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GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ SECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED
UNIDADE DIDÁTICA
O ESTUDO DAS FUNÇÕES NO ENSINO MÉDIO COM MATERIAS MANIPULÁVEIS
Prof. PDE – Carlos Alberto Marques Estima Orientador – João Cesar Guirado
Maringá, 12 de dezembro de 2008
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INTRODUÇÃO
Esta unidade didática tem com objetivo principal a pesquisa de diferentes materiais
manipuláveis que envolvem o estudo de funções. Desta forma, pretende-se
apresentar um rol de situações envolvendo o conceito de função, de modo que,
sempre que possível, o aluno utilize materiais manipuláveis e possa chegar à
abstração de forma mais dinâmica. Além do estudo, serão apresentados também os
métodos de construção destes materiais, dos quais, alguns podem ser feitos pelos
próprios alunos em sala de aula, para que eles se familiarizem com esses objetos e
possam extrair deles as expressões algébricas das funções e estudar os conceitos
inerentes a esse assunto.
Os materiais produzidos, contribuirão para enriquecer o acervo do Laboratório de
Matemática , para que este local, muitas vezes esquecido na escola, possa ser
incrementado e transformado realmente num local apropriado para leitura, pesquisa
e estudo, criando assim um espaço de construção coletiva do conhecimento.
A importância das imagens e da manipulação de objetos no processo de construção
de novos saberes é inquestionável e constitui tema de diversas pesquisas realizadas
nos últimos séculos, como por exemplo: Comenius (séc. XVII), Rousseau (séc.
XVIII), Fröebel (séc. XIX), Freinet (séc. XX).
São vários os tipos de materiais manipuláveis, como por exemplo: geoplanos,
geoespaços, sólidos geométricos, tangran, ábaco, material montessoriano
(cuisenaire ou dourado), jogos de tabuleiro, esqueletos de poliedros, etc. No caso
específico de funções, podemos citar a utilização de recipientes de vários formatos,
bolinhas de gude, rampas, mecanismos articuláveis, tubos cilíndricos, trenas, etc.
De acordo com Passos (2006, p. 78)
OS materiais manipuláveis são caracterizados pelo envolvimento físico dos
alunos numa situação de aprendizagem ativa. [...] esses materiais devem
servir como mediadores para facilitar a relação
professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber está sendo
construído.
Apesar de o material manipulável ser interessante e importante no processo ensino-
aprendizagem, o professor tem que saber utilizá-lo corretamente para que se
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aproveite toda a potencialidade que ele oferece, “(...)a eficiência do MD depende
mais do professor do que do próprio MD, e ainda mostra a importância que a
utilização correta do MD tem no desenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno.”
(LORENZATO, 2006, p. 25). Nesse sentido, é necessário que o material manipulável
venha de anseio às relações matemáticas que o professor pretende mostrar ao
aluno, de modo que o aluno ao manusear este material perceba estas relações. O
material por sí só não garante uma melhor aprendizagem da matemática , é preciso
que o professor reflita sobre a proposta pedagógica que o material possui, e saber o
momento certo de apresentar este material ao aluno.
Ao pesquisar a história da matemática, percebe-se que o conceito de Função, foi se
formalizando de acordo com a necessidade do homem em resolver problemas de
ordem prática, de forma intuitiva sem uma definição precisa de sua origem.
Na Idade Moderna, os matemáticos foram aos poucos formalizando o conceito de
Função, por exemplo, a palavra função foi utilizada pela primeira vez por Leibniz em
1694, que servia para expressar quantidade associada a uma curva. A notação f(x)
é creditada ao matemático Leonhard Euler (1707-1783), que define função de uma
quantidade real como qualquer expressão analítica formada daquela quantidade
variável e de números ou quantidades constantes. Muitos outros matemáticos
apresentaram definições para o conceito de função e a definição mais próxima
daquela usualmente apresentada nos textos escolares deve-se a Riemann-
Dirichelet, de acordo com Boyer (1993, p. 405), Dirichelet definiu função assim:
Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que,
sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual
um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função da variável
independente x.
Contudo, apenas com a criação da teoria dos conjuntos por Cantor e outros, é que o
conceito passou à sua forma eminentemente matemática e hoje possui
uma amplitude tal que independe da natureza do campo em que é aplicado. Desta
forma, em nível escolar, o conteúdo de Funções representa um papel fundamental
dentro da matemática, pois a sua aplicabilidade é muito grande, principalmente em
situações do cotidiano.
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Fonte: Autor
SUGESTÕES DE ATIVIDADES QUE ENVOLVEM O CONCEITO DE FUNÇÃO
1. FUNÇÃO AFIM
ATIVIDADE 1
Esta atividade tem por objetivo medir os comprimentos de
uma trena visualizado, utilizando tubos cilíndricos de diversos
tamanhos.
Nesse caso, a medida da imagem visualizada é função da
distância em que o observador se encontra da parede.
Material necessário:
� Cilindros ocos de tamanhos diferentes ( canos, rolos
de papel, e outros).
� 2 trenas.
� folhas de papel milimetrado.
Procedimentos:
� o primeiro passo é fixar uma das trenas na parede;
� posicionar-se a uma distância x da parede e visualizar a imagem, ou seja, o
comprimento da trena fixada (y);
� anotar numa tabela os valores de x e y;
� repetir o procedimento para diversos valores de x;
� construir, na folha de papel milimetrado, o gráfico da relação entre x e y;
� deduzir uma relação entre x e y, a partir da situação
geométrica.
Resolução:
Consideremos como variável independente a distância (x) que o observador
se encontra da parede e como variável dependente (y) a medida da imagem da
x
y
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Fonte: Autor
trena que o observador enxerga na parede.
� a é a medida do comprimento do tubo.
� b é a medida do diâmetro do tubo.
� c é a medida do que falta do tubo, que se encontra antes da ponta dos pés do
observador.
Notamos que há na figura, dois triângulos semelhantes: um de altura a e base
b, e outro de altura (x + c) e base y. Nesse caso, temos a seguinte proporção:
=
Como sabemos que a, b e c são valores constantes, podemos considerar (b/a)=m e
(cb)/a=n. Daí, temos que: y = mx + n.
Observe que a expressão algébrica obtida é a expressão de uma função afim.
Nesse momento, o professor poderá formalizar o conceito desta função como segue:
Toda função do tipo f(x) = ax + b, com a e b reais quaisquer, é denominada
função afim.
ATIVIDADE 2
Esta atividade consiste em observar o nível de água em
um copo cilíndrico em função do número de bolinhas de gude
colocadas dentro dele.
a
b
c x
y
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Fonte: Autor
Material necessário:
� um copo cilíndrico.
� várias bolinhas de gude.
� uma régua milimetrada.
� folhas de papel milimetrado.
Procedimentos:
� colocar água no copo até atingir uma altura de 6cm;
� colocar as bolinhas de gude no copo (5 de cada vez) e anotar o resultado;
� construir, na folha de papel milimetrado, o gráfico da relação entre x e y;
� deduzir uma relação entre x e y, a partir da situação geométrica.
Resolução:
Vamos considerar o número de bolinhas como a variável
independente (x) e o nível de
água como a variável dependente (y).
Os pares ordenados obtidos, plotados no plano cartesiano, estão próximos de
uma reta. Para a comprovação de que geometricamente se obtém uma expressão
algébrica da forma y=ax+b, basta verificar que a altura do nível de água é igual à
soma da altura do nível inicial e a variação da altura à medida que são colocadas as
bolinhas. Esse fato é comprovado utilizando a igualdade
Vol. do copo = vol. inicial de água + vol. das bolinhas colocadas no copo.
ATIVIDADE 3
Para realizar esta atividade é necessário a construção
do mecanismo ao lado onde o segmento AB é fixo e
M é um ponto que se desloca num trilho perpendicular
ao segmento
AB através de elásticos.
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Material necessário:
� um objeto que sirva de trilho (pode ser trilho de cortina
ou pode ser confeccionado em madeira).
� elásticos.
Procedimentos:
� encontre possíveis relações funcionais entre os elementos;
� em particular, considere como variável independente a distância do ponto M
até O e como variável dependente a área do triângulo ABM.
� esboce o gráfico da função obtida.
Resolução:
Com esse mecanismo os alunos poderão encontrar várias funções, por
exemplo:
� a área do triângulo ABM depende do comprimento do segmento OM;
� o perímetro do triângulo ABM depende da distância de M a O;
� os ângulos internos do triângulo ABM dependem da distância de M a O;
� a área de triângulo AOM depende do ângulo OMA;
� Os comprimentos dos segmentos AM e BM dependem do comprimento do
segmento OM.
Resolveremos apenas o problema da área do triângulo ABM em função da
distância de M a O.
Observando o mecanismo, concluímos que à medida que o segmento OM
cresce, a área do triângulo ABM também cresce. Considerando AB a base do
triângulo ABM e OM=x a sua altura, tem-se:
Observe que se mudarmos o tamanho do segmento AB, mudamos a taxa de
variação, o que implica numa mudança na velocidade com que a área aumenta.
Note que neste caso a função obtida é ainda uma função afim, chamada
particularmente de função linear.
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Fonte: Autor
2. FUNÇÃO QUADRÁTICA
ATIVIDADE 1
Nesta atividade vamos descobrir qual a relação que
existe
entre as medidas das diagonais e as medidas dos
lados de um polígono qualquer.
Material necessário:
� um tabuleiro em MDF, de dimensões 30cm x 30cmx 10mm;
� pregos pequenos.
� elásticos coloridos;
� lã para tricô, em diversos tamanhos e cores;
Instruções para construir o geoplano:
� com uma régua e lápis, marque os pontos médios dos lados do tabuleiro e
trace os segmentos que dividem o tabuleiro em quatro partes iguais;
� desenhe uma circunferência com centro no ponto de intersecção dos dois
segmentos e raio de 14cm;
� divida a circunferência em 24 arcos congruentes, e em cada divisão fixe um
prego, tomando cuidado para que ele não atravesse a madeira.
Procedimentos:
� encontre a relação que expresse as medidas das diagonais em função das
medidas dos lados dos polígonos construídos no geoplano, utilizando os
elásticos para a construção dos polígonos e os fios de lã para representar as
diagonais;
� determine o domínio da função obtida;
� construa o gráfico dessa função, utilizando o número de diagonais e o número
de lados dos polígonos: 3, 4, 5, 6 e 7.
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Fonte: Autor Fonte: Autor Fonte: Autor
Resolução:
Observe que nos polígonos construídos, o número de diagonais que partem de cada
vértice é igual ao número n de lados do polígono menos três unidades, ou seja n –3.
Então, se multiplicarmos n – 3 por n teremos o número de diagonais de qualquer
polígono?
Errado, pois se observarmos a figura ao lado, a diagonal BF é a
mesma diagonal FB, logo basta dividir a expressão
n.(n – 3) por 2 que teremos o número de
diagonais de qualquer polígono.
Portando, considerando d o número de diagonais temos:
Como e são constantes a expressão é uma função do
tipo :
f(x) = ax2+ bx + c, com a = , b= e c=0.
Este poderá ser o momento em que o professor formalizará o conceito de função
quadrática.
Definição: Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2o grau a toda
função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ⊂ RRRR e a ≠ 0.
A B
C
D E
F
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Fonte: Autor
ATIVIDADE 2
O triângulo ABC esquematizado no mecanismo ao
lado tem tamanho fixo. O ponto P
se desloca sobre a base AB e é ligado por material
elástico, perpendicularmente aos pontos I e J,
respectivamente sobre os lados AC e BC do triângulo.
Material necessário:
� um triângulo construído com trilhos (pode ser trilho
de cortina ou confeccionado em madeira);
� elásticos.
Procedimentos:
� encontre possíveis relações funcionais entre os objetos móveis e indique os
domínios das funções;
� em particular, considere como variáveis a distância de P à A e a soma das
áreas dos triângulos API e BPJ.
� esboce o gráfico dessa função.
Resolução:
Com esse mecanismo os alunos poderão encontrar várias funções, por
exemplo:
� a soma das áreas dos triângulos API e BPJ depende da distância de P à A;
� a distância de B a P depende da distância de A a P;
� a área do quadrilátero CIPJ depende do comprimento do segmento AP;
� O comprimento do segmento AI depende do comprimento do segmento BJ.
Observemos que a soma das áreas permanece constante e é máxima nas
duas situações limites mostradas a seguir:
+
I J
A A B B
C C
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Fonte: Autor
Para facilitar a dedução da expressão analítica, sejam:
y a soma das áreas do triângulo API e BPJ;
x a distância e P à A;
w os ângulos CAB e CBA.
Observe que , donde e , donde .
Portanto, a área do triângulo API é dada por . Substituindo os valores de AI e
PI, chega-se à expressão do tipo y = ax2+bx+c.
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL
ATIVIDADE 1:
A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças mais
populares. As peças são n discos de tamanhos
diferentes e todos com um furo em seu centro e
três
pinos onde são colocados os discos. Inicialmente
os
discos formam uma torre onde todos são colocados
em um dos pinos em ordem decrescente de tamanho. O objetivo do jogo é transferir
toda a torre para um dos outros
pinos de modo que cada movimento é feito somente
com um disco, nunca havendo um disco maior sobre um disco menor.
Nesta atividade, a idéia é estabelecer uma relação funcional entre o número de
discos com o número mínimo de movimentos.
Material necessário:
� madeira aglomerada;
� pinos de madeira.
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Instruções para a construção da Torre de Hanói:
� recorte uma placa de uma madeira aglomerada de dimensões 10cm x 30cm;
� recorte discos de raios diferentes e fure o centro com uma broca de 15mm;
� recorte 3 pinos cilíndricos de 10cm de altura e 10 mm de diâmetro;
� perfure a madeira com uma broca de10mm;
� cole os pinos nos furos da placa.
Procedimentos:
� encontre o número mínimo de movimentos para as torres com: 1, 2, 3, 4, 5, e
6 discos.
� encontre a função que expresse a relação entre o número de discos com o
número mínimo de movimentos;
� construa o gráfico dessa função.
Resolução:
Número de discos Número de movimentos Regularidade
1 1 21 – 1
2 3 22 – 1
3 7 23 – 1
4 15 24 – 1
5 31 25 – 1
6 63 26 – 1
n 2n – 1 2n – 1
Portanto se tomarmos x como o número de discos e f(x) como o número de
movimentos obtemos uma função expressa por:
f(x)=2x – 1
Novamente, essa é a oportunidade de o professor apresentar a formalização da
função exponencial, conforme segue:
Definição: Chama-se função exponencial a toda função f: IR →IR* tal que
f(x)=ax, em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
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Fonte: Autor
ATIVIDADE 2
Esta atividade envolve a confecção de Trens com
as réguas de Cuisinaire.
Material necessário:
� barras de madeira, medindo de1cm a 10cm de comprimento, com 1cm de
largura e 1cm de altura.
� Tintas com as cores branca, vermelha, verde-clara, roxa, amarela, verde-
escura, preta, marrom, azul e laranja.
Esse material é conhecido como Réguas ou escala de Cuisinaire, que consiste em
um conjunto de dez barras em forma prismática, uma de cada cor, como na
foto ao lado. Cada cor corresponde a um tamanho em relação à menor de todas, ou
seja, a vermelha corresponde a duas brancas (onde a branca é geralmente da cor
da madeira), a verde-clara corresponde a três brancas, e assim sucessivamente.
Procedimentos:
Esta atividade envolve a construção de trens, formados com as réguas de
Cuisinaire, de modo que cada trem tem sempre o mesmo tamanho do trem inicial,
observando que se mudarmos a ordem das barras, temos um novo Trem.
Associemos um número a cada cor, como segue: branca=1, vermelha=2,
verde-clara=3, roxa=4, amarela=5, verde-escura=6, preta=7, marrom=8, azul=9 e
laranja=10.
De posse dessas informações:
� descubra todos os trens equivalentes ao comprimento das réguas de tamanho
1, 2, 3, 4 e 5;
� encontre uma relação funcional entre o tamanho da régua e o número de
trens equivalentes a este tamanho;
� construa o gráfico da função obtida.
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Fonte: Autor
Fonte: Autor
Resolução:
Observe a figura:
Logo, tomando x como o tamanho da barra e f(x) com o número de trens, temos a
função representada algebricamente por:
f(x)= 2x-1
ATIVIDADE 3:
Jogo das Torres: São cubos de plásticos de duas
cores com encaixe na parte superior como mostra a
figura ao lado. Esta atividade propõe analisar o
número de torres que podemos construir com andares
diferentes.
Material necessário:
Tamanho da régua
Total de trens Regularidade
1 1 21-1
2 2 22-1
3 4 23-1
4 8 24-1
5 16 25-1
6 32 26-1
n 2n-1 2n-1
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Fonte: Autor Fonte: Autor Fonte: Autor
� vários cubos com duas cores.
Procedimentos:
� verifique qual é a relação funcional que existe entre o número de torres com o
número de andares dessas torres;
� construa todas a possíveis torres com 1, 2, 3 e 4 andares.
� Faça o gráfico da função obtida.
Resolução:
Observe as figuras abaixo:
Número de andares Número de torres Regularidade
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 32 25
n 2n 2n
Tomando x como o número de andares e f(x) a quantidade de torres construídas
com esses andares temos a função representada algebricamente por :
f(x)=2x
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Função f(x)=log3x
para x=1/3
-1 -1
-1 -1 -1
função f(x)=log2x
para x=8
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3 3 3
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Esta atividade se resume na elaboração de um jogo chamado Baralho da Função
Logarítmica.
O objetivo deste jogo é a familiarização com os gráficos da função
logarítmica, as propriedades dos logaritmos, e também com os cálculos envolvendo
logaritmos.
Material necessário:
� papel cartão;
� tesoura;
� canetas hidrográficas coloridas.
Instruções para confeccionar o baralho:
� corte 50 cartas de dimensões 6cm x 10cm;
� represente em cada grupo de cinco cartas a mesma função logarítmica,
sendo as funções de cada grupo diferentes entre si, totalizando 25 cartas;
� nas 25 cartas restantes registre as respectivas soluções para cada carta;
� a estampa de cada carta pode ser feita no computador, como nas figuras
anteriores e depois coladas no papel cartão;
� cada grupo de cartas com o registro da mesma função pode ter uma cor
diferente, mas as respostas têm que ter as mesmas cores, para que o jogador
não decore a resposta facilmente;
� como sugestão, apresentamos o seguinte conjunto de funções, representadas
por: f(x)=log2 x, f(x)=log1/2 x, f(x)=log3 x, f(x)=log1/3 x e f(x)=log5 x;
� para cada função são atribuídos 5 valores para x, e também 5 valores como
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soluções, formando um conjunto de 25 pares (5 pares para cada função);
� construa em uma folha os cinco gráficos das funções escolhidas, a partir dos
5 pares ordenados obtidos.
Regras do jogo:
� este jogo é para no máximo 5 alunos;
� cada jogador recebe 5 cartas de uma única função;
� as soluções são embaralhadas e postas em um monte com os registros não à
vista;
� sorteia-se de alguma maneira quem vai iniciar o jogo, e depois segue no
sentido anti-horário;
� o primeiro jogador pega uma carta-solução e confere se ela é solução de
alguma de suas cartas; caso isso ocorra, exibe aos demais jogadores o par
obtido, deixando-o sobre a mesa e repete o procedimento; caso contrário,
devolve a carta ao monte, sem que os outros a vejam, e passa a vez para o
próximo jogador.
� o jogo prossegue até que um dos jogadores obtenha 5 pares de cartas e esse
será o vencedor, desde que os pares estejam corretos. Isso pode ser feito,
consultando a folha que contém o registro dos gráficos das funções; caso se
verifique a incorreção de algum dos pares apresentados, o jogador é
desclassificados e as suas cartas-solução são devolvidas ao monte, o qual
será embaralhado novamente para a continuidade do jogo.
Como esta atividade envolve a função logarítmica, convém que antes da
aplicação do jogo o professor recorde o conceito dessa função, explorando seus
gráficos.
Definição: Chama-se função logarítmica a toda função f: IR → IR tal que
f(x) = logb x, com b ϵ IR+* e b ≠ 1.
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Fonte: Autor
FUNÇÕES SENO E COSSENO:
Conceituação: a cada valor de x podemos associar um único seno, um único
cosseno e, obedecida a condição de existência, uma única tangente. Desse modo,
definimos essas três funções trigonométricas definidas, respectivamente, por
f(x)=sen x, g(x)=cos x e h(x)=tg x.
A proposta desta atividade é a construção de um Geoplano Trigonométrico
que tem por objetivo facilitar o entendimento do aluno na construção de gráficos das
funções seno e cosseno.
Foto:
Material necessário:
� uma placa de madeira MDF de dimensões 60cmx100cmx10mm;
� rebites;
� elásticos;
� linhas de diversos comprimentos e variadas cores;
� selador para madeira;
� tinta esmalte sintético;
� lixa para madeira.
Instruções para a construção do geoplano:
� trace o eixo horizontal, no sentido do comprimento, dividindo o tabuleiro em
duas partes;
� desenhe uma circunferência com 10cm de raio próxima ao lado esquerdo da
placa, conforme foto acima;
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� divida a circunferência em 24 arcos congruentes;
� trace as ordenadas segundo linhas paralelas, no sentido horizontal;
� retifique a circunferência e divida o segmento em 24 partes congruentes;
� trace as abscissas segundo retas paralelas, no sentido vertical;
� faça um furo de 2mm de diâmetro em cada ponto de intersecção dessas
linhas;
� coloque os valores dos senos e dos cossenos dos arcos notáveis (e seus
simétricos) nos eixos da circunferência, furando cada ponto desse;
� faça um furo no centro da circunferência e também em cada divisão de arco
da circunferência;
� marque as ordenadas do dobro e do triplo daquelas já marcadas;
� aplique o selador de madeira;
� pinte com esmalte sintético.
Procedimentos:
� encontre na circunferência, os arcos de 30o, 45o e 60o e seus simétricos no
2o, no 3o e no 4o quadrantes. Para marcar cada arco obtido, utilize um rebite e
elásticos para que seja facilitada a visualização da simetria entre os arcos;
� construa, no geoplano, os gráficos das funções f(x)=sen x, f(x)=sen 2x,
f(x)=sen x/2, f(x)= 1+sen x, f(x)=cos x, f(x)=cos 2x, f(x)=cos x/2,
f(x)= – 1 +cos x. Utilize para representar os gráficos, rebites para marcar os
pontos e a linha colorida para realçar a curva obtida.
REFERÊNCIAS:
BOYER, Carl. História da Matemática, 10a impressão. São Paulo : Edgar Blücher/Edusp, 1993.
GRAVINA, Maria Alice. Funções e gráficos: um curso introdutório. http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab2/fun_graf.htm. Acesso 26/11/2008. LEVANDOSKI, Antonio Amílcar. Materiais didáticos manipuláveis trigonométricos. (apostila). Curitiba, 2008.
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LORENZATO, Sergio Apparecido. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, Sergio Apparecido (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
OLIVEIRA, Rosana, Ronaldo da S. B. Materiais concretos para o ensino das funções exponencial e logarítmica. www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO75591618715T.doc . Acesso 08/12/2008. PASSOS, Carmen Lúcia Brancaglion. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de professores de matemática. In: LORENZATO, Sergio Apparecido (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
WINTER,Mary Jean e CARLSON, Ronald J. Algebra Experiments I. U.S.A: Dale Seymous Publications, 1993.
