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Gráficos: Construção e Análise
Laboratório de Física – UVVProf. Rudson R. Alves
Por Rudson R. Alves
Este texto é uma compilação simples de conhecimentos gerais sobre Gráficos e Análi-se Gráfica, para auxiliar na construção de gráficos para os relatórios e atividades deFísica nas disciplinas de Física Experimental 1 e 2 dos cursos de Engenharia no CentroUniversitário de Vila Velha. Este texto não tem a pretensão se constituir uma regra uni-versal para a confecção e análise de gráfica.
SumárioGráficos: Construção e Análise...................................................................................1Introdução.................................................................................................................. 1Representação Gráfica...............................................................................................1
Precisão dos Eixos..................................................................................................2Rótulos e Unidades nos Eixos.................................................................................2Legenda, Título e Subtítulo.....................................................................................2Área Útil do Gráfico................................................................................................4Dimensões do Gráfico............................................................................................4Incrementos nas Escalas........................................................................................5Representação dos Pontos Experimentais..............................................................6Mais algumas Recomendações...............................................................................6
Análise Gráfica...........................................................................................................7Análise Manual/Visual.............................................................................................8
Exemplo..............................................................................................................9Análise Numérica - Regressão Linear...................................................................11
Exemplo............................................................................................................12
Laboratório de Física - UVV – Gráficos
Introdução
Num contexto profissional existem algumas formas práticas de apresentar resultadosnuméricos, sendo as mais utilizadas as tabelas e os gráficos. Tabelas são bastantepráticas e deixam que os números falem por si, mostrando em detalhes os resultadosmedidos como sua precisão nas medidas, regularidade ou não nas medidas experi-mentais, intervalos de medição, entre outros. No entanto, as tabelas não são capazesde mostrar com eficiência e clareza algumas particularidades do comportamento desistema físico experimentado, como pontos de inflexão, máximos, mínimos, tendênciaou a forma da função que melhor representa seus dados experimentais.
Um gráfico possui todas estas habilidades, quando bem constituído. No entanto, repre-sentação gráfica básica dos pontos experimentais está longe de expressar todos estesaspectos físicos/matemáticos de um experimento. Um gráfico sempre requer algumtipo de análise numérica, como o ajuste a uma reta ou outra função (esperada), aanálise da curva de tendência, análise da taxa de variação dos dados em pontos espe-cíficos ou em todo seu conteúdo, além de vir acompanhado de algum esclarecimentodestes aspectos no texto.
Neste texto é apresentado alguns critérios para se fazer uma representação gráficacoerente, bem como técnicas básicas de análise visual e numérica, sem se estenderpor conceitos muitos sofisticados e interpolações complexas, as quais deixo para asdisciplinas específicas.
Representação GráficaA construção de um gráfico requer alguns cuidados fundamentais, para se produziruma apresentação coerente dos dados experimentais.
Para tornar esta apresentação mais objetiva, considere as medidas da posição de umapartícula hipotética ao longo do tempo, representado pela Tabela 1, abaixo:
Uma investigação direta desta tabela permite observar um máximo próximo ao instan-te , e que se trata de uma função com concavidade para baixo, sem nenhum indi -cativo da forma da função, embora tudo isto fique pouco claro para um observador de-satento.
Para criar uma representação gráfica destes pontos, é importante observar os critériosa seguir:
1,0 9,8 6,0 13,7 11,0 13,8
2,0 10,5 7,0 13,8 12,0 13,5
3,0 11,4 8,0 13,9 13,0 13,2
4,0 12,6 9,0 14,3 14,0 13,4
5,0 12,5 10,0 13,9 15,0 13,2
Tabela 1: Medidas da posição de uma partícula no tempo
Precisão dos Eixos
Os eixos do gráfico devem possuir a mesma precisão dos seus dados experimentais,nem mais nem menos. Para os dados da Tabela 1, o eixo do tempo deve conter apenasum algarismo após a vírgula (de dois a três algarismos significativos), assim como oeixo da posição, se expresso em centímetros, Figura 1. Se expressado em metros, oeixo da posição deve conter três algarismos após a vírgula, como mostrado na Figura2.
Em essência, os eixos não podem apresentar uma precisão diferente a dos teus dadosexperimentais, por informar uma resolução errada do seu experimento. Embora apre-sentar uma resolução inferior aos dados experimentais possa parecer um erro menor,isto também não se justifica. Caso a precisão dos seus dados seja questionável, o cor-reto é reduzir a precisão apresentada nas tabelas, mas manter a precisão dos gráficoscoerente com as tabelas.
Rótulos e Unidades nos Eixos
É obrigatório a colocação de rótulos para identificar as grandezas representadas peloseixos do gráfico, com a respectiva unidade entre colchetes ou parenteses. O uso decolchetes ou parenteses é determinado pelos padrões empregados na revista, jornalou livro para o qual estiver escrevendo. Na ausência de um padrão estabelecido, utili -ze apenas uma forma, seja colchetes ou parenteses, ao longo de todo o texto. Nas Fi-guras 1 e 2 foram utilizados como padrão o uso de parenteses.
Os rótulos dos eixos devem informar precisamente o conteúdo representado nos eixosdo gráfico. Não use siglas simples com “ “ e “ “, por mais que lhe pareça óbvio o seusignificado. Dê preferência a texto mais diretos com “Posição” e “Tempo”, para nãodeixar margem a especulações. Eventualmente use textos mais longos como “Posiçãodo Esporo”, “Tempo de Decaimento”, … desde que não fique excessivamente longo.
Legenda, Título e Subtítulo
Na base do gráfico se deve colocar uma legenda apresentando o conteúdo do gráfico.Esta legenda não deve ser muito extensa, contendo apenas as informações essenciaisdo gráfico. Informações mais extensas, como análises detalhadas, devem ser apresen-tadas ao longo do texto, na apresentação do gráfico.
Figura 1: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em cen-tímetros
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
Tempo (s)
Po
siçã
o (
cm)
Laboratório de Física - UVV – Gráficos
Em alguns textos é comum o uso de Título e Subtítulo no gráfico. O uso de Título émais restritivo, já que seu conteúdo não pode exceder a uma linha, embora o Subtítulopossa conter mais de uma linha, geralmente não ultrapassando a duas linhas. A figuraa seguir apresenta um gráfico com o uso de Título e Subtítulo.
A figura a seguir, possui o Título “Figura 01” e o subtítulo “Estudo do deslocamento deuma partícula”, sem a Legenda como nos gráficos anteriores.
O Título deve ser escrito com letra maior que o Subtítulo, que por sua vez possui letramaior que os outros textos do gráfico, para salientar.
O uso do Título e Subtítulo não deve ser empregado acompanhado do uso de Legendano gráfico, já que os dois têm finalidades semelhantes. Títulos e Subtítulos são maisempregados em apresentações, já as legendas, em artigos, livros e textos acadêmicosem geral.
Figura 2: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em me-tros e remoção do excesso de espaço vazio na base do gráfico.
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,00,080
0,090
0,100
0,110
0,120
0,130
0,140
0,150
Tempo (s)
Po
siçã
o (
m)
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
0,080
0,090
0,100
0,110
0,120
0,130
0,140
0,150
Figura 01
Estudo do deslocamento de uma partícula
Tempo (s)
Po
siçã
o (
m)
Área Útil do Gráfico
As escalas dos eixos não necessitam iniciar em 0 (zero), devem iniciar e terminar comos valores mais adequados para que os pontos experimentais ocupem a maior áreapossível no interior gráfico.
No exemplo da Figura 1, onde a área do gráfico é de
enquanto os dados experimentais ocupam apenas
de altura e
de comprimento no interior do gráfico, totalizando
ou seja
da área total do gráfico.
Na Figura 2, o eixo vertical é iniciado em em vez de , como no gráfico daFigura 1. Isto garante uma distribuição mais homogênea dos pontos e um aproveita-mento de da área total do gráfico, já que a área apresentada foi reduzida de
para
Este aproveitamento da área do gráfico, também chamado de área útil, deve situarentre e da área total.
Outro ponto importante sobre a área útil, é que esta deve sempre se manter no interi-or do gráfico, ou seja, os pontos experimentais nunca devem ficar sobre os eixos, difi-cultando a leitura da escala.
Dimensões do Gráfico
As dimensões (altura x largura) de um gráfico, devem possuir uma razão de a ,que são as razões das dimensões de uma folha A4 (paisagem/retrato). Uma razão a área do gráfico será um quadrado. Razões fora deste intervalo, deixam o gráficomuito longo ou muito estreito, dificultando a análise visual das informações contidasno seu interior. A Figura 3 mostra dois exemplos de gráficos mau dimensionados, emcontradição as representações nos gráficos anteriores.
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Incrementos nas Escalas
Os incrementos empregados nas escalas dos eixos, devem ser uma potência de dez,dos valores , e . Outros valores dificultam a leitura direta nas escalas em pontosintermediários. Como exemplo, considere o gráfico representado na Figura 4, onde éapresentado o resíduo de um ajuste linear dos dados apresentados na Figura 3. Obser-ve que a leitura de um ponto neste gráfico necessita do auxílio de uma régua e umacalculadora, visto que um intervalo de 2,12 (no eixo horizontal) não é nada convenien-te.
Na Figura 5 é refeito a representação dos pontos anteriores, com uma escalaconvencional, com intervalos de na horizontal e na vertical. Neste gráficoa leitura dos pontos se torna mais natural, sem a necessidade de outros instrumentos.
Figura 3: Demonstração de gráficos mau dimensionados. No primei-ro, à esquerda, a razão altura/comprimento é de 0,28, enquanto que
o segundo, à direita, é de 2,1.
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
Tempo (s)
De
slo
cam
en
to (
m)
0,0 10,0 20,0
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
Tempo (s)
De
slo
cam
en
to (
m)
Figura 4: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, emuma escala absurda.
0,0 2,1 4,3 6,4 8,5 10,7 12,8 14,9 17,0 19,2 21,3
-0,800
-0,570
-0,340
-0,110
0,120
0,350
0,580
Tempo (s)
Re
síd
uo
(m
)
Representação dos Pontos Experimentais
Os pontos experimentais no gráfico devem ser representados por símbolos visíveiscomo pontos gordos, triângulos, quadrados, círculos, ... Em todos os gráficos apresen-tados até o momento, estes pontos foram muito bem representados. Os símbolos de-vem ser grandes o suficiente para serem bem distinguidos no gráfico, mas sem exage-ros. Alguns autores limitam as dimensões destes símbolos pelo tamanho das incerte-zas dos seus dados, mas isto não é obrigatório.
Mais algumas Recomendações
A seguir algumas recomendações que são igualmente importantes, mas não necessi-tam de uma seção específica para comentá-las.
• Em hipótese alguma marque valores ou pontos nos eixos do gráfico, pois estasmarcações apenas dificultam a leitura das escalas do gráfico. Os eixos devempermanecer limpos para uma boa leitura. Quando for necessário salientar al-gum ponto, utilize um rótulo, como uma letra “A”, posicionado logo acima doponto experimental e, em seguida, comente a marcação no texto e/ou legendado gráfico, veja a Figura 6.
Figura 5: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, em umaescala coerente.
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
6,000
6,500
4,2704,209
3,581
4,1194,307
4,638
5,049
4,817
4,284
4,8364,825
5,610
5,025
4,762
5,111
5,770
6,024
5,7625,562
5,919
5,617
Tempo (s)
De
slo
cam
en
to (
m)
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• Uma outra prática não recomendada é a apresentação dos dados experimentaisacima dos pontos, como mostra a Figura 5. Isto pode ser útil em gráficos de pro-dução industrial e em alguns casos de gráficos estatísticos, no entanto estáprática não acrescenta nada de relevante a apresentação de dados físicos, alémde poluir o gráfico com informações que são melhores representadas em tabe-las convencionais.
• Nunca ligue os pontos! Ligar os pontos experimentais não devem ser feitos amenos que isto tenha algum significado ao seu problema, como ocorre na evo-lução financeira de uma empresa, dados econômicos e afins. O comportamentodas grandezas físicas, em sua maioria, geralmente é contínuo e sem pontos dedescontinuidade, exceto em transformações de fase e alguns fenômenos maisespecíficos.
Análise GráficaUm gráfico não é um objeto de decoração em um relatório ou qualquer outro docu-mento profissional, mas sim um instrumento para transmitir alguma informação, comoenfatizar o comportamento de um sistema, salientar alguns pontos de inflexão, deter-minar coeficientes de inclinação, taxa de crescimento, entre outras.
Isto significa que um gráfico deve estar sempre acompanhado de algum tipo de análi-se seja ela semiquantitativa ou mesmo quantitativa, como o ajuste de uma reta ououta função que melhor represente o comportamento seu sistema em estudo.
Dentre os diversos tipos de funções para ajustes de curva, uma das mais importantes,e também mais simples, é o ajuste linear, o qual permite determinar a inclinação dareta de melhor ajuste e o coeficiente de interseção com o eixo vertical. Este ajustepode ser feito numericamente, por meio da regressão linear, ou de forma semiquanti -tativa, como uma análise visual e um pouco técnica, apresentada adiante.
Embora muitos dos problemas físicos não possuam um comportamento linear, emmuitas ocasiões é possível linearizar o sistema com alguma transformação matemáti-ca. A Tabela 2 mostra alguns exemplos destes sistemas não lineares, mas linearizáveis
Figura 6: Representação do movimento de um corpo na tempo, enfati-zando o ponto A.
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
6,000
6,500
Tempo (s)
De
slo
cam
en
to (
m) A
por meras operações de substituição.
Análise Manual/Visual
A análise manual não é a mais recomendada para as aplicações atuais, onde computa-dores são equipamentos de fácil acesso, no entanto, sua prática permite uma rápidacompreensão do comportamento do seu sistema e melhor senso crítico sobre os da-dos e comportamentos experimentais.
O primeiro passo de uma análise manual é a confecção do gráfico. Para isto considereo gráfico da Figura 7, do movimento de um corpo aleatório. Suponha que o ajuste es-perado para este movimento seja o de uma reta, ou seja, o corpo se move a velocida-de constante, segundo o modelo físico do problema hipotético.
A análise manual é bem simples:
1. Com uma régua transparente, posicione-a entre os pontos de forma que a quan-tidade e densidade de pontos acima e abaixo da borda da régua seja aproxima-damente a mesma;
2. Passe a reta média pela borda da régua até que esta transpasse as bordas dasescalas;
3. Tome dois pontos quaisquer nos extremos da reta média. Estes pontos não po-dem ser pontos experimentais e sim pontos na reta média. Em geral, os pontosmais convenientes são estes mais aos extremos da reta, o que reduz o erro nocálculo da inclinação;
4. Calcule a inclinação da reta média com estes pontos
Sistema Desenvolvimento
Determinação da aceleração da gravidade através de um pêndulo simples
linearizando:
com
e
tem-se a equação linear:
onde é a inclinação no gráfico
Corrente de carga em um ca-pacitor
linearizando o sistema:
com
; ; e
tem-se a equação linear:
Tabela 2: Exemplos de sistemas linearizáveis
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5. Se necessário, o ponto em que a reta média intersecciona o eixo vertical é ocoeficiente da reta média:
Exemplo
Como exemplo considere os dados de uma observação do movimento de um corpo hi-potético, ao longo do eixo vertical, onde as medidas são apresentadas na Tabela 3.
O gráfico destes pontos é apresentado na Figura 7.
No gráfico seguinte, Figura 8, são traçadas duas retas de “ajuste”, a linha A, em azul, ea linha B, em verde.
Figura 7: Deslocamento de uma corpo aleatório.
Tabela 3: Dados da posição vs. deslocamento do movi-mento vertical de um corpo.
# Tempo (s) # Tempo (s)
1 1,0 3,5 11 11,0 4,8
2 2,0 4,2 12 12,0 5,2
3 3,0 4,5 13 13,0 5,4
4 4,0 4,0 14 14,0 6,0
5 5,0 4,0 15 15,0 6,1
6 6,0 4,0 16 16,0 5,9
7 7,0 4,7 17 17,0 6,2
8 8,0 4,2 18 18,0 6,0
9 9,0 4,3 19 19,0 5,5
10 10,0 4,9 20 20,0 6,7
Y (m) Y (m)
0,0 5,0 10,0 15,0 20,03,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
Tempo (s)
Posi
ção (
m)
A linha A é apenas ilustrativa, para salientar um erro comum, sendo apenas uma retaque liga o primeiro ao último ponto do gráfico. O mais motivo mais óbvio para invali-dar esta escolha é o fato dela ignorar completamente todos demais pontos experimen-tais. Se os demais pontos não são relevantes, a pergunta eminente é “para que have-ria de medir os demais?” Portanto esta escolha é insustentável e dificilmente esta retaserá a mais adequada.
A linha B, em verde, passa entre os pontos distribuindo-os acima e abaixo da reta,mais equilibradamente. Como é um ajuste manual, é óbvio que é uma aproximação,mas se feita com cuidado e um pouco de prática, deve resultar em uma boa aproxima-ção.
Para terminando a análise gráfica deste exemplo, tome dois pontos nos extremos dareta média (linha B) e calcule o coeficiente de inclinação, a velocidade do corpo, e o ,a sua posição inicial.
Os pontos retirados do gráfico são:
Tempo (s) Desloc. (m)
P1 0,0 3,4
P2 22,0 6,7
Tabela 4: Pontos selecionados na Reta Média
A inclinação, velocidade:
e a posição inicia: . Por fim, a equação para esta reta média é
Na seção seguinte será feito a regressão linear nestes pontos, o que mostrará que oerro na velocidade acima foi de apena , bem razoável para uma técnica rápida esimples.
Figura 8: Gráfico com retas de ajuste. A linha B é o ajustemais adequado, veja discussão no texto.
0,0 5,0 10,0 15,0 20,03,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
Tempo (s)
Posi
ção (
m)
Laboratório de Física - UVV – Gráficos
Análise Numérica - Regressão Linear
Para a apresentação do método numérico de regressão linear, considere um conjuntode n medidas com os dados representados pelo conjunto de pontos , onde areta que melhor se ajusta a estes pontos é representada pela equação:
(1)
O desvio do i-ésimo ponto experimental, para a reta ajustada, com representado naFigura 9, é calculado como sendo a diferença entre o , experimental, com o valor do determinado pela reta do ajuste, equação (1), ou seja:
(2)
O desvio quadrático total será:
(3)
ou simplesmente
(4)
Os coeficientes a e b que minimizam a equação do desvio quadrático, equação (4),são aqueles que satisfazem as equações:
e (5)
Calculando as derivadas parciais acima são encontradas as equações
Figura 9: Representação do desvio ( ) de um ponto ( ; ) à reta deajuste
0,0 5,0 10,0 15,0 20,03
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
Tempo (s)
Posi
ção
(m
)
(6)
ou
(7)
Estas equações podem ser escritas na forma do sistema abaixo:
(8)
cuja as soluções são:
(9)
e
(10)
Outro fator importante para avaliar a qualidade do ajuste e a correspondência dospontos experimentais ao ajuste é o coeficiente de ajuste linear, o qual é encontradopela equação:
(11)
onde e são os valores médios de e , respectivamente. Quanto mais próximo de1, melhor foi o ajuste da reta mádia aos pontos experimentais.
Exemplo
A Tabela 5 apresenta os coeficientes para o cálculo da regressão linear para os dadosda Tabela 3, com sendo substituído pelo tempo.
Tabela 5: Coeficientes para regressão linear dos dados da Tabela 3.
Em seguida aplica estes coeficientes para calcular as constantes da reta pelas equa-ções (10) e (9),
o coeficiente de ajuste dá um pouco mais de trabalho e as contas não serão apresen-tadas aqui. No entanto, o valor encontrado para estes dados foi de .
