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Gráficos de polinómios de graus superiores

Slide 1: objetivosOs alunos serã o capazes de :

è Relacionar as raízes reais dum polinómio com as interseções do gráfico com o eixo dos xx.

è Desenhar polinómios simples de grau 3 ou superior.

è Deduzir possíveis equações polinomiais de grau superior a partir dum gráfico.

è Relacionar gráficos da funçã o polinomial e da sua primeira derivada.

è Relacionar gráficos da funçã o polinomial e do gráfico da segunda derivada.

Warm-upPeça aos alunos para desenhar os gráficos das funções :

� y=(x-2)(x+2)

� y=Hx - 2L2

� y=Hx - 2L3

Faça-os verificar os gráficos no W|A

Wolfram|Alpha

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Slide 2: AulaChame a atençã o dos alunos para o facto de quando o polinómio está fatorizado, cada fator gera uma raiz e cadauma destas raízes é igual a um número real, que graficamente corresponde à interseçã o do gráfico do polinómiocom o eixo dos xx. Peça para os alunos preverem quais vã o ser as interseções do gráfico de

� y=x2(x-5)(x+5)

com o eixo do xx e de seguida validarem as suas respostas com o W|A.

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Slide 3: AulaExplique como o grau de um polinómio e o sinal do coeficiente de maior grau afetam o comportamento geral dorespetivo gráfico. Chame a atençã o para as simetrias de reflexã o e rotaçã o de funções pares e ímpares, respetiva-mente, com vários exemplos no W|A.

� y=x5- 16x3

� y=-x6+ 16x4

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Slide 4: AulaChame a atençã o dos alunos que à medida que x aumenta em valor absoluto, os números que figuram nosmonómios se tornam insignificantes e o comportamento do polinómio pode ser aproximado pelo termo de maior

grau ax2 . Por exemplo, veja o comportamento no W|A dos polinómios

� (x + 3L Hx - 1L3 Hx - 10L

� x5

para x grandes.

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Slide 5: AulaExplique aos alunos que o grau de cada fator num polinómio determina o comportamento do gráfico nas proximi-dades da raiz x que corresponde a esse fator. Volte ao primeiro exemplo e ilustre com o W|A o efeito de aumen-tar a potência dum dos fatores, p.ex.

� y=x3(x-5)(x+5)

� y=x4(x-5)(x+5)

� y=x5(x-5)(x+5)

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Slide 6: Conclusã o da primeira parte da aulaUse o W|A para gerar o gráfico da funçã o

� y=x(x + 10L Hx + 5L Hx - 5L2 Hx - 10L

Mostre só o gráfico e peça aos alunos para indicarem uma expressã o possível para o polinómio com base no queaprenderam durante a aula.

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Slide 7 of 11Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/

Polynomial RootsEnd Behavior of Polynomial FunctionsLocal Behavior of a Polynomial Near a RootParameters for Plotting a Cubic PolynomialParameters for Plotting a QuarticPolynomial Graph GeneratorQuadratic Equation with Factored Form

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Slide 8: Continuaçã o da aulaUse o W|A para gerar os gráficos das funções polinomiais

� y=x3

� y= 3x3+4x2+x+3

e das suas derivadas ao mesmo tempo. Perca algum tempo a estudar os intervalos em que a funçã o é crescente,decrescente, com concavidade virada para cima, ou para baixo.

Chame a atençã o para o facto de o primeiro polinómio ter só uma raíz real (repetida), enquanto o segundopolinómio tem uma raíz real (interseta uma vez o eixo dox xx) e duas raízes complexas.

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Slide 9: AulaDesafie os alunos a escreverem um polinómio de grau 3 ou superior na forma expandida. Peça-lhes para elesescreverem a funçã o primeira derivada e segunda derivada.

Desafie os alunos a desenhar os gráficos da funçã o (indique-lhes a raíz real) e da primeira derivada (sem usarcalculadora nem W|A).

Faça-os verificar os gráficos no W|A

Desafie agora os alunos a desenhar os gráficos da funçã o e da segunda derivada (sem usar calculadora nem W|A).

Faça-os verificar os três gráficos juntos no W|A

� x5+4x+1

� 5x4+4

� 20x3

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Slide 10: Conclusã oEscolha uma funçã o polinomial simples de grau quatro com raízes reais na forma fatorizada

� y=x2(x-2)(x+2)

Peça aos alunos para calcularem os máximos e mínimos analiticamente. Faça -os desenhar os gráficos da funçã o,da primeira e da segunda derivadas, atentando nas simetrias e nas concavidades dos 3 gráficos.

Use o W|A para gerar o gráfico da funçã o e das suas duas primeiras derivadas.

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Slide 11 of 11Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/

Derivatives : A Look at GraphsGraphing DerivativesA Fifth-Degree Polynomial and Its DerivativesPolynomials and DerivativesDerivative as a FunctionPolynomial and Derivative

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