· Um estudo dos zeros de polinómios ortogonais na reta real e no círculo unitári eo outros polinómios relacionados Andrea Piranhe da Silva Orientador: Prof. Dr. Alagacone Sri

Um estudo dos zeros de polinómios ortogonais na reta real e no círculo unitário e outros

polinómios relacionados

Andrea Piranhe da Silva

Orientador: Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Ciências de Computação e Matemática Computacional..

"VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA"

Data da Defesa: 20/06/2005

Visto do Orientador:

USP - São Carlos Junho/2005

A Deus,

ao Prof. Ranga,

ao querido Júnior,

Dedico

Agradecimentos

Aos professores do Grupo de Pesquisa em Polinómios Ortogonais o Similares da

UNESP, campus de São José do Rio Preto, Cleonice, Dirnitar c, em especial, Eliana,

pela contribuição ein minha formação académica e pessoal.

De um modo muito especial, agradeço ao Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga, pela

orientação deste trabalho, pela atenção e confiança dedicadas a mim e, acima de tudo

pela amizade.

A todos os professores e funcionários, do DCCE-UNESP de São José do Rio Preto

e ICMC-USP de São Carlos, que de alguma forma contribuíram para a realização deste

trabalho.

A todos os amigos de pós-graduação, em especial, Deise pelo companheirismo nos

momentos de alegria e de dificuldades.

Às amigas Gilcilene e Dayene, pelo carinho, pelas lágrimas compartilhadas, pelas

boas gargalhadas e, por terem permanecido comigo, mesmo diante da distância.

A querida Lupita por participar de um momento tão importante de minha vida.

Aos meus pais que sempre me apoiaram e me incentivaram.

Ao meu querido esposo Juninho, pelo amor, dedicação e paciência.

A FAPESP, pelo auxílio financeiro.

A Deus, por tudo.

1

Resumo

O principal objetivo deste trabalho 6 estudar o comportamento dos zeros de po-

linómios ortogonais e similares. Inicialmente, consideramos uma relação entre duas

seqiiências ele polinómios ortogonais, onde as medidas associadas estão relacionadas

entre si. Usamos esta relação para estudar as propriedades de monotonicidade dos zeros

dos polinómios ortogonais relacionados a uma medida obtida através da generalização

da medida associada a uma outra sequência de polinómios ortogonais. Apresentamos,

como exemplos, os polinómios ortogonais obtidos a part ir da generalização das medidas

associadas aos polinómios de Jacobi, Laguerre e Charlier.

Em urna segunda etapa, consideramos polinómios gerados por uma certa relação

de recorrência de três termos com o objetivo de encontrar limitantes, cm termos dos

coeficientes da relação de recorrência, para as regiões onde os zeros estão localizados.

Os zeros são estudados através do problema de autovalor associado a uma matriz de

Ilessenberg. Aplicações aos polinómios de Szegó, polinómios para-ortogonais e polinó-

mios com coeficientes complexos não-nulos são consideradas.

Palavras-chave: relação de recorrência de três termos, polinómios ortogonais, medi-

das relacionadas, zeros de polinómios, problema de autovalor.

11

Abstract

The niain purpose of this work is to study thc behavior of thc zeros of orthogo-

nal and similar polynomials. Initially, we consider a relation bctwccn two sequences

of orthogonal polynomials, where the associated measures are related to each other.

We use this relation to study thc monotonicity propcrtios of thc zeros of orthogonal

polynomials related with a measure obtained through a gencralization of the measure

associated with other sequence of orthogonal polynomials. As examples, we consider

thc orthogonal polynomials obtained in this way from the measures associated with

the Jacobi, Laguerre and Charlier polynomials.

We also consider the zeros of polynomials generated by a certain three terin recur-

rence relation. Here, the main objective is to find bounds, in terms of the coefficients

of the rccurrencc relation, for the regions where the zeros are located. The zeros are

explored through an eigenvalue representation associated with a Hessenberg matrix.

Applications to Szegõ polynomials, para-orthogonal polynomials anti polynomials vvitli

non-zero complex coefficient.s are considered.

K e y w o r d s : three tcrm recurrence relation, orthogonal polynomials, related measures,

zeros of polynomials, eigenvalue problern.

111

Sumário

1 I n t r o d u ç ã o 1

1.1 Uma visão geral 1

1.2 Nosso envolvimento com polinómios ortogonais e similares 4

2 M e d i d a s re lac ionadas e po l inómios or togona i s 8

2.1 Polinómios ortogonais 8

2.2 Alguns polinómios ortogonais clássicos 10

2.3 Polinómios de Charlier 12

2.4 Fiações contínuas e sequências encadeadas 13

2.5 Propriedades adicionais de polinómios ortogonais 16

2.6 Medidas relacionadas 21

2.7 Aplicação aos polinómios ortogonais generalizados 26

2.8 Exemplos 29

2.8.1 Polinómios de Jacobi Generalizados 29

2.8/2 Polinómios de Laguerre Generalizados 31

2.8.3 Polinómios de Charlier Generalizados 34

3 Zeros de p o l i n ó m i o s que o b e d e c e m a u m a re lação de recorrência 35

3.1 Zeros e suas representações como autovalores 35

3.2 Limitantes para os zeros 41

3.3 Polinómios de Szegó e para-ortogonais 52

3.4 Polinómios com coeficientes não nulos 56

3.5 Exemplos 59

iv

C o n s i d e r a ç õ e s finais

R e f e r ê n c i a s Bibl iográf icas

Capítulo 1

Introdução

1.1 Uma visão geral

Os polinómios ortogonais e similares são amplamente utilizados em todas as áreas que

envolvem aplicações da Matemática.. Citaremos apenas algumas que se beneficiam das

propriedades desses polinómios:

• quadraturas numéricas;

• aproximações por mínimos quadrados inclusive série de Fourier;

• aproximações de Padé e teoria de frações contínuas:

• métodos de relaxação em Álgebra Linear;

• aproximações por "splines" |18|;

• aproximações que; preservam momentos |7|;

• regressão polinomial e processo de nascimento e morte ("birth and death") [25|;

• teoria do potencial [33] e

• teoria de códigos |38].

Uma outra aplicação bem interessante dos polinómios ortogonais, conhecidos como

polinómios de Jaeobi, surgiu como uma parte fundamental da comprovação, dada em

1984 por De Branges (veja |3|), da famosa Conjectura de Bieberbach (proposta em

1916). Esta conjectura tão bonita e simples, que agora é um resultado comprovado,

pode ser dada por:

1


Se. a função f ( z ) = arZr, onde. a, = 1, c. analítica c, univalcntc. no interior do

di,sco unitário, então |o„| < n para n >2. A igualdade, aeontccc somente para as

rotações da função de. Koebe z/{ 1 — z)2 = 1 rzT•

Para interpret ações interessantes dos zeros de polinómios ortogonais e similares em

termos de potências eletrostáticas veja, por exemplo, Stieltjes [41| e Dimitrov e Van

Assehe |16|.

Seja (., .) um produto interno definido no espaço vetorial dos polinómios. Então,

uma sequência de polinómios {P„}£L0, onde Pn é de grau exatamente n, é chamada

uma sequência de polinómios ortogonais se

(P„, Pm) = 7„á„,m, n, rn = 0 , 1 , 2 , . . . , (1.1.1)

onde 7n > 0 e ónjTn é o delta de Kronecker.

Se o produto interno é dado por

roo

(p,q) = / p(x)q{x)d<f>(x), J — oo

onde d(j) é urna medida positiva num subconjunto da reta real (cuja definição pode

ser encontrada no início do Capítulo 2 deste trabalho), então os polinómios ortogonais

{Pn}, que denotaremos por {Pn^}, são chamados polinómios ortogonais na reta real

ou, simplesmente, polinómios ortogonais reais.

Podemos observar que definir uma sequência de polinómios ortogonais por

J' Pn'] (x)Pra\x)d(j){x) = 7 nôn,m, ri, m = 0, f, 2 , . . é equivalente em definí-la como

f m í 0, 0 < s < n — 1,

J { In > 0, s = n,

Uma das pro])riedades mais importantes satisfeitas pelos polinómios ortogonais na

reta real é a relação de recorrência de três termos

p0?Á*) = (* - fâM+Hz) - (*)> n > 1, (-1.1.2)

com P,W( '2) = 2 - ( ) n d ( 1 P n ] G n > 1 0 n n ] > 0, n > 2, que se tornou uma

ferramenta poderosa para estudá-los. Por exemplo, se a medida 6 simétrica, isto é,

d(j)(-x) = -d<f>(x), então os coeficientes fíjf* são todos nulos.

2


Na relação de recorrência (1.1.2) os polinómios são considerados na foram mônica.

Agora, se o p rodu to interno em (1.1.1) c dado por

{p,q}= I rtz)q(z)du(z) = í ^ •Ir J o

onde d(j)(0) = dv{c1,e) é uma medida positiva no intervalo [0, 2tt], então os polinómios

ortogonais {P„}, denotados por {<SÍ'^}, são chamados polinómios ortogonais no círculo

uni tár io (F) ou polinómios de Szegó.

Infelizmente, em geral esses polinómios, introduzidos por Szegó, talvez, pela pri-

meira vez em 1939 na primeira versão de seu livro [42], não sat isfazem a uma relação

de recorrência de três termos. Ent re tanto , eles satisfazem à relação de recorrência

S& (z) = zSM (z) + a í r i SM* ( 2 ) , n > 0 .

Aqui, Sn^*(z) = zllSn\l/z) são os polinómios recíprocos e = Sn\ 0) são chamados

co(ííicient.es de reflexão. Nesta relação de recorrência t ambém estamos considerando os

polinómios na forma mônica.

Para aplicações de polinómios de Szegó no estudo de fórmulas de quadra tu ra na

reta real veja, por exemplo, [32] e [11]. Há um número considerável de t rabalhos sobre1

a aplicação de polinómios de Szegó no estudo do problema de Análise de Frequência.

Jones e Peterson [23] apresentam um t rabalho recente ("survetf') sobre esse assunto.

Quando falamos de polinómios similares aos ortogonais estamos nos referindo à

sequência de polinómios {Qn} que satisfazem à relação de recorrência de três termos

Qn+l(z) = (z 4- fin+\)Qn(z) - Otn+\zQn-\(z), Tl > 1 , (1.1.3)

com Q\ (z) = z + fti.

Quando [in < 0 e an > 0 foi most rado em [24] que existe1 uma medida especial dxj)

(chamada medida, forte) tal que {Qn = Q l f ' } satisfaz

í°° , ^ í 0, 0 < s < n — 1, / x-n+°QW(x)d(l>(x) ={ ' ~ ~ n = 1 , 2 , . . . .

J0 7n > 0, S = Tl,

3

1.2 Nosso envolvimento com polinómios ortogonais e similares

1.2 Nosso envolvimento com polinómios ortogonais e

similares

Iniciamos nossos estudos sobre polinómios ortogonais e similares, com o projeto de Ini-

ciação Científica intitulado "Polinómios ortogonais com coeficientes de recorrência pe-

riódicos", com bolsa da FAPESP (proc. no. 98/00647-2), cujo objetivo era familiarizar-

me com os conceitos básicos de polinómios ortogonais e, em particular, estudar alguns

resultados obtidos em Sri Ranga [39]. Ern Berti e Sri Ranga [6] os resultados de |39|

foram aprimorados. Os principais resultados de [6] podem ser resumidos da seguinte

forma:

Sejam dij)j e dtp2 duas medidas simétricas na reta real tais que

cdfoix) = (l + qx2)dti(x)i

onde q e r são constantes apropriadas. Sejam {Pn'1^} e {Pn'2^} os polinómios ortogonais

associados a essas medidas, com

n > 1,

as respectivas relações de recorrência de três termos. Então, existe uma sequência de

números positivos { 4 ) i corri 4 = 1, tal que

( 4 - l ) ( 4 . - i + 1) = ( 4 - l ) ( 4 + i + 1) = n > 1.

Além disso,

= PnTÍW - - 1)(4+1 - 1 )P™(z), n > 1.

Aplicações consideradas no trabalho [6] incluem estudos dc, polinómios ortogonais as-

sociados a um produto inferno do tipo Sobolev que envolve também as derivadas.

Em março de 2000, iniciamos nosso mestrado com uma proposta de projeto in-

titulado "Sequências Encadeadas e Polinómios Ortogonais de Koornwinder", também

com bolsa FAPESP (proc. no. 99/12400-4). Entretanto, durante o tempo em que

4


estávamos realizando as outras obrigações do mestrado, muitos resultados foram ob-

tidos pelos pesquisadores do grupo de Polinómios Ortogonais e Similares, sediado na

UNESP, campus de São José do Rio Preto, que levaram á publicação do artigo Brae-

ciali, Dimitrov e Sri Ranga |8|. Assim, nosso trabalho de pesquisa do mestrado seguiu

na direção de polinómios ortogonais no círculo unitário.

Com a transformação x = x(z) = - t-z - 1 /2) , que foi originalmente considerada

por Delsarte e Genin [15], existe uma relação simples entre certos polinómios de Szegó

e polinómios ortogonais associados às medidas simétricas definidas no intervalo [—1,1],

Nosso trabalho, então, compreendeu um estudo de polinómios de Szegó usando os re-

sultados obtidos no artigo [G], junto com algumas noções de sequências encadeadas.

Este estudo originou a publicação |10|

C.F. Braccial i , A .P . da Silva e A . Sri Ranga , Szegõ po lynomia ls : some rela-

t ions to L-orthogonal and orthogonal po lynomia l s , J. Comp. Appl. Maths.,

153 (2003) , 79-88.

Uma das aplicações encontradas neste trabalho c a obtenção de informações sobre os

polinómios Koornwinder-Szegó associados à medida du(A, Aí, T; z) dada por

f / ( e * ) í M A ' M ' T ; ^ = 2ÃF+T W ^ + t ^ y } '

onde c(/ , A, T) = /(«< 0)[r2 - cos2(0/2)]A+,/2[sOn(0/2)]-- 'd0, com 6{X) =

2 arccos(:/;). Aqui, A > - 3 / 2 , M > 0 e 0 < r < 1. Para os coeficientes de refle-

xão SÍA 'M ' r )(0), obtemos {.çn(A, M, r) = [1 + s £ f ' T ) ( 0 ) ] / 2 } ~ 0 que satisfaz ao seguinte

resultado, associado às sequências encadeadas:

, X T2 N(N + 2A + 1)

« m . <A,(A, M, t ) = + ,)',(,.>.,) J?\t scn(0/2)]«+2rf0.

Os resultados encontrados neste trabalho também foram fundamentais no artigo

Bracciali, Li e Sri Ranga |9| que t ra ta de uma aplicação ao problema de Análise de

Frequência.


Ern março de 2002 iniciamos o doutorado com bolsa da FAPESP (02/00958-5) con-

cedida a partir de junho de 2002 e cujo projeto de pesquisa era intitulado "Sequências

Encadeadas e suas Aplicações nos Estudos de Polinómios Ortogonais".

As pesquisas desenvolvidas desde então seguiram em duas direções interessantes

que estão descritas, respectivamente, nos Capítulos 2 e 3 deste trabalho.

No Capítulo 2, estudamos o comportamento dos zeros dos polinómios ortogonais

associados a uma medida d<f>i utilizando polinómios ortogonais associados a uma outra

medida íi</>u tal que

cd(j)0(x) = (x - q)dcj)l(x),

orrde c e q são constantes apropriadas. Este trabalho resultou no artigo [37]

A.P. da Silva, A . Sri R a n g a e T . G . Vazquez, M o n o t o n i c i t y of the zeros of

or thogonal po lynomia l s through related measures , J. Math. Anal. AppL,

aceito.

Neste trabalho, estabelecemos, entre outros, o seguinte resultado.

Sejam N e k tais que 0 < N < oo e k, < a. Seja a medida positiva dada

por

j ^ W ^ í , ) = j f L - { W p W + , (1.2.1)

onde M^^lp] = )^p(x)(x — K,)~ld(f){x) e d(f) é uma medida determinada em [a, b] com

- o o < a ,K,N) n associado a esta medida. Sc N > 0, então X n ' f ' N \ para 0 < r < n,

é uma função crescente de desde que k varie rro intervalo (—oo, onde

— a ,2N

Aqui, = [(/í / ; ) " - a) - > 0.

Em relação ao Capítulo 3, o trabalho desenvolvido foi além de nossa expectativa,

resultando no artigo [36]

6


A.P. da Silva e A . Sri Ranga , Po lynomia l s genera ted by a three t erm recur-

rence relation: b o u n d s for c o m p l e x zeros, Linear Álgebra and its Aplicati-

ons, 397 (2005) , 299-324.

O objetivo inicial aqui era considerar um estudo sobre os polinómios de Szegó (po-

linómios ortogonais no círculo unitário) a partir de uma relação de recorrência do tipo

(1.1.3), satisfeita pelos polinómios similares aos ortogonais. Como já mencionamos,

nem todos os polinómios de Szegó satisfazem a uma relação de recorrência de três ter-

mos. Entretanto, na prática, encontramos uma grande classe de polinómios de Szegó

com esta propriedade, porém com os coeficientes fin e a n números complexos.

O trabalho do Capítulo 3, em princípio, é baseado no problema de autovalor da

matriz

7/1 a 2 0 • • • 0 0

V\ 7/2 Qí3 • • • 0 0

m r/2 m ••• «n - i o

Vl V2 Vi • • • Vn-l OLn

Vl V2 V'A • • • Vn-l Vn

onde 7/1 = Pi e r/m = arn - (3m, m = 2, 3 , . . . , n.

Os estudos realizados neste capítulo serviram também para obter informações so-

bre os zeros de polinómios cujos coeficientes são diferentes de zero. Por exemplo, foi

mostrado o seguinte resultado:

" b Dado o polinómio Pn{z) = ^ b k z k , sejam |/i| > 0 e 4 = —— tais que

o k

j í f c - / 3 j < f , A; = 1, 2 , . . . , n,

com f um número positivo. Então, todos os zeros de Pn estão no anel

onde a função real C(x) é igual a x, se x > 0, e igual a 0, caso contrário. Aqui

an = max \sen(^) |} < y/n(n + l)/2.

7

Capítulo 2

Medidas relacionadas e polinómios

ortogonais

0 principal objetivo deste capítulo 6 o estudo do comportamento dos zeros de polinó-

mios ortogonais definidos em relação a uma medida positiva que; depende de parâme-

tros.

Inicialmente, daremos algumas noções básicas sobre medidas para podermos definir

scqiiência de polinómios ortogonais. Daremos, também, algumas informações sobre os

polinómios ortogonais clássicos de Jacobi e Laguerre e, ainda, os polinómios ortogonais

de Charlier. Além disso, apresentaremos alguns conceitos e resultados sobre frações

contínuas e sequências encadeadas.

As principais fontes bibliográficas sobre os polinómios ortogonais são os livros de

Chibara [13], Krylov [27] e Szegó [42],

2.1 Polinómios ortogonais

Seja (j), definida na reta real IR,, uma função real, l imitada, não-decrescente e com

infinitos pontos de aumento, então ckf) representa uma medida (medida positiva) em

IR. Consideramos ainda, que os momentos, definidos por

existem para todo r inteiro.

8

2.1 Polinómios ortogonais

O conjunto de pontos de aumento E^ de c/> 6 o suporte da medida d(f). Quando

dxj>(.x) = w(x)dx, onde w{x) > 0 em mas não identicamente nula, w é chamada

de função peso. Denotemos por o menor intervalo fechado que contém o suporte

Dizemos que dxj) é uma medida no intervalo fechado / se C / . Assim, por

exemplo, podemos escrever J / f(x)dip(x) ou f/W f(x)dx/)(.x) no lugar de J'^ j'{x)d<p{x).

Para temos as seguintes possibilidades:

1) IW = [a, b]- 2) = ( - o o , oo); 3) = [a, oo); 4) = ( - o o , b],

onde o suporte1 está contido em um intervalo finito no caso 1, o menor intervalo que

contém o suporte é a reta real inteira no caso 2 e o menor intervalo que contém o

suporte é uma semi-reta real nos casos 3 e 4.

Definição 2.1. Dizemos que é uma sequência de polinómios ortogonais com

relação à medida dxj), se n

i) Pl:"] é de grau exatamente n, isto é, se P^'\z) = ^^ a.,tifcZA' então an.n, / 0; k=-- o

n) (P™,Ptf))= I P!*\x)P!*\x)d<l>(x) = JlM

0, se n ^ rn, (<t>) pn , se ri = rn.

Se pn^ = 1, n > 0, dizemos que é uma sequência de polinómios ortonormais

e, quando aM)„ = 1, n = 0,1, 2 , . . . , {P^}%L 0 é uma sequência de polinómios ortogonais

mônicos.

Definição 2.2. Dada a sequência de polinómios ortogonais mônicos {PÍÎ^q, defi

nimos os polinómios mônicos associados a P^ por

° y ' M = - l g / „ , ' ' > w - f ( x ) d * w . n > o.

H0'Ji('i-) z — x

Os polinómios assoei; ulos () lf ] são polinómios de grau n — 1. 9

2.2 Alguns polinómios ortogonais clássicos

Os seguintes resultados são bem conhecidos.

A) Os zeros de P^ são reais, distintos e pertencem ao intervalo /(*). Os zeros de

Pn-] se entrelaçam com os zeros de P^. Além disso, os zeros de são reais,

distintos, pertencem ao intervalo jM e se entrelaçam com os zeros de o j f \

Assim, o intervalo /(<w também é chamado de verdadeiro intervalo de ortogonalidade

dos polinómios {Pn''1}.

B) Os polinómios {Pr{^} e {On^} satisfazem às seguintes relações de recorrência,

respectivamente,

n > 1, (2.1.1)

com P^\z) = P[cl'\z) = z - f j f , Oq'\z) = 0 e 0[*\z) = 1, onde os coeficientes

í i f ] <E R e alfli > 0, n > \, são dados por

1 f n{4>)

W = -W xpM{x)pM{x)d<j>{x) e n > 1. Pn- 1 J>W Pn-l


Segundo Chihara [13], os polinómios de Laguerre, Hermite e Jacobi (incluindo os casos

especiais de Tchcbichef, Legendre e Gegenbauer), são chamados de polinómios orto-

gonais clássicos. Nesta seção, consideraremos algumas propriedades básicas dos poli-

nómios de Jacobi e Laguerre. Para isso, apresentemos, primeiramente, a definição da

função especial Gama.

Definição 2.3. A função gama foi definida por Euler, em 1729, da seguinte forma

1 00 / I T l >V> = , « ^ 0 . - 1 , - 2 . . . .

10


A funga o gama também podo sor dada como a integral do Euler do segunda espécie

OO V(x) = / e~Ll,xdt, Rc{x)>i),

•la

de onde facilmente mostramos que r(.x + 1) = .xr(.x).

Polinómios de Jacobi

Os polinómios de Jacobi são ortogonais no intervalo [—1,1] com relação à medida

dcjÁ"'íj\x) — (1 - :r)"(l + x)'jdx, onde a,fi > —1. Denotemos os polinómios mônicos

do Jacobi por PÍ" ' l j \ Através da formula de Rodrigues, podem ser definidos por

k n P ^ ( x ) = (1- x-)~"(l + " x)a+n{l + x;f+% (2.2.1)

onde h -( ]\nr(a+fn2n+\) oikK. Ln - ( - 1 J -r(ft+/J.+ n . H ) •

Os polinómios P,{satisfazem à seguinte relação do ortogonalidado

0, se m ^ n,

2a+íj+]n\r(n + n + 1 )r(/? + n + 1) — se in — ii

r ( a + /3 + n + l ) r ( a + /3 + n + 2) '

A relação de recorrência de três termos para os polinómios é dada por

^ S f ^ ) = (* - - n > 1, (2.2.2)

com P t ' \ z ) = 1, PÍaJi\z) = z-(5y e

^ " ^ (2n + a + p - l )2 - 1' n > 1.

(a,p) _ 4n(?t + a)(ii + ft)(TI + a + p) an+1 (2rc + rc + /?)2[(2n + n< + / ? ) 2 - 1]

Polinómios de Laguerre

Os polinómios mônicos de Laguerre, denotados por \ são ortogonais no intervalo

[0,oc), com relação à medida d<j)^{.x) = xae~x dx, onde a > - 1 . Através da fórmula

de Rodrigues, podem sor definidos por

I ^ i x ) = ( - 1

11

2.3 Polinómios dc Charlicr

A relação dc ortogonalidade para os polinómios mônicos dc Laguerre c

0, sc m / 71, [a)<x)xaerxdx o 7i!r(u + cv + 1), sc r/i = u.

A relação dc recorrência de três termos para estes polinómios c dada por

/ ( f v ) - ( r - <1(a) - rv(<v) / ( 'v) M 7, > 1 71+I v"/ ~" V-6 > n+\) n X^) " n + l - ^ n - l ^ / ' "J —

com I}q\z) = 1, L|C^(z) = z — P1, onde

fíin) = 2n + (t - 1 e , = n(o: + n), n > 1.

Á<*) (2.2.3)

2.3 Polinómios de Charlier

Os polinómios mônicos dc Charlier, denotados por C,[a\ podem ser definidos, através

da fórmula do tipo Rodrigues, por

C^(x) = (-!)"«-'r(:r + l) A'1 cr _r(.x — n + 1) J

com rv > 0, onde A" é o operador de diferenças definido recursivamente por

A/(,;) = f ( x + 1) - f(x),

A n , f ( x ) = f ( x + n) - Q f ( x + n - 1) + Q f ( x + n - 2) + ... + ( - 1 )nf(x

Os polinómios mônicos de Charlier satisfazem à relação dc ortogonalidade

0, se m ^ n,

«"ri!, se m = «, r=0 rl

onde é uma função escada com saltos em x = 0,1, 2 , . .

A relação de recorrência de três termos para CÍ a ) é dada por

r i [L - I 9- 1 — | r _ , * ) - « & < ? £ . ( * ) > n > 1,

com C l,C[n)(z) ( Í a \ onde

= n + a - 1 e = na, n > 1

12

2.4 Frações contínuas c sequências encadeadas

2.4 Frações contínuas e sequências encadeadas

Uma fração contínua é uma expressão da forma

bo + ^ (2.4.1) h + j—

[ ^ I bn

onde e {bn}(^'=0 são sequências arbitrárias de números complexos (ou funções

complexas). Uma fração contínua pode ser finita ou infinita. Consideremos a sequência

{Cn}™=0 construída da seguinte; maneira

C0 = b0

C, = + ^ b\

Ch = + / , 0 / 2

b i + — &2

cn = bo + (2.4.2) (>•2 b<2+ ..

I br.

Cn, que é uma fração contínua finita, é chamado de n-ésimo convergente (ou aproxi-

mante) da fração contínua (2.4.1).

Neste trabalho, adotamos as seguintes notações para as frações contínuas (2.4.1) e

(2.4.2), respectivamente,

a i Cl 2 o,n h" + r i r . , r* , bj I b2 -!•••: bn \ •••

e

r< , , «1 «2 an Cn = b0 + — , — — • bI I b2 I • • • ! bn

13

2.4 Fraçõcs contínuas c sequências encadeadas

A, Da relação (2.4.2), podemos escrever Cn = - , « = 0 ,1 ,2 , . . ., onde

Bn

Ao = b0, B0 = 1,

= b0bi + ai,

A2 = M162 + ò0a2 + (iib-2, D2 = M2 + «2,

Note que /12 = b2Ay + a2,40 e B2 = b2B\ + a2B0. Deste modo, podemos demonstrar

o resultado a seguir.

Lema 2.1. Sejam as sequências {An} e {Bn} tais que

An = bnAn-\ + anAn-2, 1} _ , u n

n > 1, (2-4.3)

com A-1 = 1, Ao = 6o, = 0 e Bq — 1. Então, o n-ésimo convergente Cn da

fração contínua (2.4.1), dado por (2.4.2), satisfaz Cn = AnjBn, n = 0,1, 2,. .. .

D e m o n s t r a ç ã o : Mostremos por indução. Facilmente podemos mostrar para n = 1.

Suponhamos que (2.4.3) seja válido para n < k e mostremos que vale para n = k + 1.

ai a2 ak (ik+i Ck+1 = b0 + —

b i í b2 I • • • I bk I bk+

_ , (h (í'2 a>k _ n * - o0 + — — — o fc ,

b i I b2 I • • • i b*k

onde b*. = /;/,. + Logo, Cl 6 o fc-ésirno convergente da fração contínua

>0 bx + b2 + ••• + b*k + • • • '

Usando a hipótese de indução, obtemos

Ç,* _ Afc + {ak+[/bk+{)Ak^\ _ bk+1Ak + ak+\Ak_L = Afc+i k Bk + (ak+\/bk ( i)Pfc-i h+\Bk + a f c + iB k Z?fe.H

•

As fórmulas dadas por

(2.4.3) são conhecidas por fórmulas de Wallis, onde An é

chamado o n-ésimo numerador parcial e Bn é o n-ésimo denominador parcial da fração

contínua.

Segundo Chihara |14|, as sequências encadeadas surgiram dos estudos de E.B. Van

Vleck sobre1 certas fraçóes contínuas, cuja teoria foi formalizada por Wall [45],

14

2.4 Frações contínuas c sequências encadeadas

Def in ição 2.4. Urna sequência é chamada sequência encadeada positiva (ou

simplesmente sequência encadeada) se existir urna segunda sequência tal que

i) 0 < //o <1, (X gn < 1, n > 1, (2.4.4)

n) an = (1 - yn-i)yn, n = 1 , 2 , 3 , . . . .

A sequência {%} é chamada sequência de parâmetros para {«,„} e gQ é o parâmetro

inicial.

A teoria de sequências encadeadas fornece uma. ferrarrrerrta poderosa, para estudar

os polinómios ortogonais a partir dos coeficientes da relação de recorrência de três

termos. Por exemplo, temos o seguinte resultado para o verdadeiro intervalo de

ortogonalidade dos polinómios ortogonais { / ^ ( . t ) } .

í a^ 1 Lema 2.2. Seja « ^ ( c ) = ' "+1 , n > 1. Então,

[{C- Pn){c- Pn+i) )

A) I ^ Ç [a, oo) se, e somente se, > a, n >1, e {ttn^(t:)} é uma sequência

encadeada para qualquer c < a ;

D) jW C (—oo, b] se, e somente se, < b, n > 1, e {«.[^(c)} uma sequência

encadeada -paru qualquer c > b.

A demonstração deste resultado pode ser encontrada no livro de Chilrara [13].

Denotemos por X ^ — ( — o o , o o ) \ / ^ o complemento do intervalo em

( -00,00) . Do mesmo modo. Z ^ = onde C é o plarro complexo

estendido. O fecho de X ^ dentro da reta real será derrotado por X^K Por exem-

plo, se 7(,/,) = [a,ò], como X ^ = ( - 0 0 , a) U (b, oo), então = ( - 0 0 , a] U [b,oo), ou

seja, os pontos extremos de são pontos de rrras ±00 não o são.

Corno consequência do Lema 2.2, temos que

A) alf\c) 6 uma sequência encadeada se e. £

B) / W é um intervalo finito se, e somente se, ambas as sequências { A ^ } e {«4^} são

limitadas.

Urna contribuição recente obtida por Bracciali, Dirnitrov e Sri Ranga errr |8| é o

í a n \ 1 seguinte resultado. Dada a sequência encadeada a\t\c) = < ,n+1 ttí— >, a H v - W W - Á t l ) *

15

2.5 Propriedades adicionais dc polinómios ortogonais

sequência. {(]lf\( ' , t)}, dada, por

' ^ ' W - í l . - . r j O Í W ( r - / £ > , ) ' " - 1 ' ' '

é urna scqiiência dc parâmetros para qualquer t tal que 0 < t < l/G^(c). A função

G w { z ) será definida em (2.5.5).

2.5 Propriedades adicionais de polinómios ortogonais

Da relação de recorrência (2.1.1) e do Lcrria 2.1 (fórmulas de Wallis), obtemos

Olf\z) = 1 qW a f ^

P^\z) (z ~ p^) ~ ( z - pM) ~ ( z - Pi(l>)) - • • • - (z P^) (2.5.1)

O seguinte teorema faz parte dos estudos associados ao famoso problema de mo-

mentoconsiderado por muitos matemáticos famosos como Stieltjes, Hamburger, Haus-

dorff, M. Riesz, R. Ncvanlinna, etc.

Teorema 2.1 (S t i e l t j e s -Hamburger-Hausdorf f ) . Suponha que d<p é uma medida

determinada (cuja definição será esclarecida abaixo). Então, quando ri —» oo,

O^ (z) . f°° 1 0 - converge uniformemente para / d(j)(x) PP (

em Lodo

A demonstração deste teorema é bastante extensa. Por esta razão, daremos apenas um

esboço com o intuito de esclarecer alguns fatos importantes.

Como P$?\z) = (z - x,hi )(z - xn>2) •••(z- xn>n), onde xn,n < a:n>n_, < • • • <

xnA são os zeros dc Pn'\ temos que

f ^ O n H z ) _ 1-ôltHz) _ An,, | A?t,2 | | Au,„, p^'\z) (Z - xn, 1) •••{z - xrhn) (z - Xn>]) (z - xn:2) {z - Xntn)

_ A»;i (z - Xn-2) • • • {z - XU:U) H h Xn,n{z - i) • • • (z - Xn^ . |) {z - Xn,l) •••{z - Xn,n)

Para 2; = x,hr, obtemos

(•''•»!,r) = \i,r{Xn,r ~ ^n.l) ' ' ' ~ Xlhr-i)(x1hr ~ Xn<r+ |) ' • ' (xn,r ~ X„,„).

16

'2.5 Propriedades adicionais de polinómios ortogonais

Portanto,

Anr = /ff W (*»,,.) Pu \'l'n,r)

onde 'Pn'^ representa a derivada de Podemos, então, escrever

J ^ / O ^ M " n ^ f P h - r ) / P W ( - r \ "' X tl0 (-y» _ fl0 <-Ai {J-n,r)/-ln [J-ni,r) _ ST^ Án,r r

Mostremos que A?ljf. > 0, r — 1, - - -, n. Seja

Substituindo as relações de recorrência de o O f f l em Tn repetidas vezes, encontra-

mos

Através da derivada. da relação do recorrência para os polinómios p j f \ obtemos

RÁZ) = IÍ{"HZ)P^ÁZ) - P'^1(Z)P^(Z) = [P^(z)f + O^R^Z)

= • • • = tór+w + • • • + • • • [pí'}r+w • • • • Logo, Rv{x) > 0 para qualquer x E M o

/•oo Mas, fi^ = / d<f>(x) > 0. Portanto, An,r > 0.

J — oo Como Pn^ é um polinómio do grau n o é um polinómio do grau n — 1, então,

om (2.5.2), temos que

[/q\ZIL 1 + Cn-2ZU 2 + • ' ' + Cq) _ v Àn%r

zn + dn.., z»"1 +••• +do ~ f ^ z - xrhr'

Multiplicando por 2 ambos os lados da igualdade acima o aplicando o limite para

z —oo , tomos

Vo r = l

17


Consideremos a sequência de funções escada {<-/>„} definida por

' 0, x < x„, .„,, s

\l)1L — 7'+ 1 1 —.S'+ i < < Xn-!l -s; 'S' ~ -1 ,2 ,3 . . . . , Tl — 1 , M--> 0 r=l Ih) > -i x '

para n > 1. Assim,

r — d M x ) .

Este resultado segue da definição da integral de Stieltjes (veja, por exemplo,

Widder |46|). Logo,

Pelo resultado conhecido por Teorema de Gromer-Hamburger ou Teorema de Helly

(veja, por exemplo, Shohat e Tamarkin |35|), existe uma subseqiiência nk tal que

iôWiz) r r 1 ,, , n r 1 lim A' = lim / d(j)llk{x)= / d/ijjk(x),

n/f—>oo p W ( z ) «fcôo </_Qo z - X 2 - X

onde é uma função não-decrescente em ( — co,oo). A convergência é uniforme em

todo subconjunto compacto de Z ^ .

Podemos veriíicar que d;ijik representa uma medida em IR cujos polinómios ortogo-

nais são exatameute {P^}. Há possibilidade de existirem subseqíiências nk diferentes

associadas, 110 limite, com medidas dtpk diferentes. Entretanto, se a medida conside-

rada dxj) é determinada, então todas as subseqíiências convergem para o mesmo limite,

ou seja, í/'A; = <•/>• Isto significa que

,(<!>)n(<l>), 0 l P^Hz) nôoj_ ^Z-X ' J _ x

J ^ V / ^ M r°° 1 r0 0 1 lim ; 0 = lim / d(j)n{x) = / d(/>{x), 2 G Z*.

>0° P>R (z) J-oo - X .L^ z - X

Uma condição necessária e suficiente para que uma medida d(/> seja determinada 6

que, para todo c G IIí,

um ^ ' I f w - ^ w i = r J -

uniformemente em qualquer subconjunto compacto de Z^. Isso significa, em outras

palavras, que a solução do problema de momento associado é única.

18

2.5 Propriedades adicionais de polinómios ortogonais

As medidas clássicas de Jacobi, Hermite, Laguerre e, também, a medida associada

aos polinómios de Charlier são exemplos de medidas determinadas.

itHz) (2.5.1), podemos escrever

" )Un n> 0. Então G\f\z) = 0, CJ\4'\Z) = 1 e, de

, n > 2, (2 .0 .3 ) " w 1 - 1 - 1 _ • • • - 1

onde a í f ( z ) = « ^ / [ ( z - / ^ ) ( z - ( J ^ ) ] , n > 1.

Lema 2.3. Para qualquer z £

v\t\z) = W - - z) - >0, »>1.

Demons tração : Pelo Lema 2.2, temos que {« j f^z)} é uma sequência encadeada

positiva para z £ Deste modo,

(</>)

0 < aîz) = ... •. < 1.

O que comprova o resultado do teorema. •

Para G\t\ os seguintes resultados são válidos

(<!>) ( \ _ a2 a3 (z) - , (z) = P^(z)Pr(z)

n > 2. (2.5.4)

De fato, temos que

-GÂz ( z - ^ ) O ^ ( z ) (z - ^)Olí'\(z)

(y - íA'1'h

/ (<t>)

P^Áz)P^(z)

, n > 2.

19


Então, para « > 2,

GL*Hz) = 2 3W i r ' J+G(*\(z)

a™ - t f » ) ^ • • • c t f U z - f i M )

z A<í>)(v fÁ4>) s

p[<p\z)p!1<l\z)

" «<*> cif • • • a f { z - p f )

U P£\(z)Pj*\z)

Seia, também, G ^ definido, em por

(z - fíW) 1 lim G?\z)={^ ' ' / d<j>{x). (2.5.{

^ J-oo z - .x-

Lema 2.4. Para qualquer z £ {G^} é uma sequência crescente, isto é,

1 < G?>{z) <••• < Gl?](z) <•••< G{cp\z). (2.5.6)

D e m o n s t r a ç ã o : Para Grt\z) > G^l^z), basta mostrarmos (veja (2.5.4)) que

«f a™ •. • a&*\z - A»)

pfM^pPi*) > 0, n > 2.

Já sabemos que a ^ > 0 para n > 2. Vamos, então, analisar o sinal de (0) , ' n-ll2)""

n > 2. Como P,W,)(z) = 2 - p f \ temos que p[(l>) 6 zero de Pf'A) e, então, /ij0) G .

Mas, como 2 e Ã'(í/>), ou seja, 2 temos os seguintes casos:

(i) Se 2 > p[(l'\ então 2 - pf > 0 c sabemos, ainda, que P j f \ z ) > 0, para 11 > 1.

Portanto,

* " / 1 > 0.

11) Sc 2 < p[;l,], então 2 - pf'] < 0. Mas, se PÍ'l'\z) > 0, então ^ ( 2 ) < 0 ou, ainda,

e P^\z) < 0, então P^Mz) > 0. Assim, Pk*\z)P{*\[z) < 0, n > 2. Portanto,

7 - B W Z P l > 0 .

20

2.6 Medidas relacionadas

Logo, Git\z) > Glfhiz), n > 2, para z 6 j W . Consequentemente,

1 < G f { z ) <•••< G«'\z) <•••< GW(z),

pois G f ] { z ) = 1. •


Estudar as semelhanças entre as propriedades de duas sequências de polinómios orto-

gonais, cujas medidas estão relacionadas entre si de a lguma forma, tem sido assunto

de pesquisa bas tan te explorado. Es tudar o comportamento dos zeros e coeficientes

associados a u m a dessas sequências de polinómios ortogonais, ou até mesmo gerar nu-

mericamente u m a dessas sequências de polinómios ortogonais a par t i r das informações

conhecidas sobre a out ra , tem sido muito gratificante. Neste sentido, um dos resultados

bem conhecido é o seguinte teorema, a tr ibuído a Ismail [19|.

T e o r e m a 2 .2 ( M a r k o f f - I s m a i l ) . Seja TV(x) — W(X,K) urna função peso no interior

do 'intervalo , que depende do parâmetro K G (KuK2). Consideremos, também,

que as derivadas parciais WK(X,K) existem e são contínuas no interior de para

Ki < k < k2 e que as integrais

/ xrwK(x, K,)ri0(.x-), r = 0 ,1, 2 , . . . , 2n - 1,

convergem unifonnemente em todo subintervalo fechado K' < K < K" do intervalo

aberto (k,, k-2). Se os zeros de, pj^(x), n-ésimo polinómio ortogonal associado à medida

d(}(.x) = w(x, K)d(f)(x), são denotados por x^n < ... < x f y < então o r-csimo

zero, Xn'l (para um valor fixo de r), é uma função crescente (decrescente) de K se wK/w

é uma função crescente (decrescente) de x, para x G

A demonst ração deste teorema quando, d<j>(x) = dx, é devido a A. Markoff e pode ser

encontrada em Szegó |42, p. 115].

Nesta seção, nosso objet ivo é considerar as sequências de polinómios ortogonais

associados às medidas d(f)ç> e definidas em ( - 0 0 , 0 0 ) , relacionadas por

cdM*) = (x ~ q)dch(x). (2 .6 .1)

21


Temos duas possibilidades para os suportes E ^ e E ^ ^ dessas medidas:

1) E = FMa\ onde os valores de c e q são tais que (:?; — q)/c é finito e positivo no

menor intervalo que contém este suporte comum;

2) EM'1} = FM0"* U {K}, onde os valores de c c q são tais que q = K e (x — K)/C é finito

e não-negativo no menor intervalo que contém ambos os suportes.

Expressando P n ' ^ como uma combinação linear dos polinómios { P n ^ } ,

obtemos

j(<h) = pM(z) + bn_,pW(z), n> 1, (2.6.2)

onde

pít,]

h - i = — t ã ^ - n > ! > ( 2 - 6 - 3 )

CPn-i

com = e W = f [P^(x)mx) = • • • n > 1. JlW

Os resultados dos dois próximos lemas podem ser encontrados em Belmehdi |4|,

Marcellán e Petronilho [29| e Maroni [30]. Entretanto, as demonstração apresentadas

aqui são devidas a Berti, Bracciali e Sri Ranga [5[.

Lema 2.5. Sejam d(j)0 e d(pi que (2.6.1) vale. Então, os coeficientes de conexão

bn da relação (2.6.2) satisfazem

M &„/&«-. = («) &n-&n 1 = A Í Í " Pnlh

(m) ( ^ - ^ ^ - ^ ^ - « S í ! . para n > 1, onde 6

0 = - = / ( f i [ h ) - q).

Demons tração : O resultado (i) segue de (2.6.3). De (2.6.2) e da relação de recorrência

(2.1.1) para P ^ o ) , obtemos

n ' [z) = 1 / _ /,(</>())

UM n + l

^ " ' - r i ^ U ) , n > i. (0o) n + l

72+1

Substituindo esta relação e (2.6.2) em (2.1.1) para e, então, usando o resultado

(i) deste lema, temos

rftíW = - ( / í í í + - bn^)}PÍ'M(z) + - tóí) - r v S m S W ,

22


para n > 1. Dostt^ modo, comparando este resultado com a relação de recorrência

(2.1.1) para Pn h°\ chegamos aos resultados («) e (ra). As condições iniciais são facil-

mente estabelecidas de (2.6.2) e (2.6.3). •

L e m a 2.6. Sejam dxj){] e dxj)\ tais que (2.6.1) vale. Então,

AM ,S.M) anr2 A M , h _ AM , L _ íVf! + 1 - ~J Pn+1 + °n ~

Al Vn-1

Conseqiie.nl,emente, os coeficientes bn, n > 1, podem ser gerados por

, (<Ai) AM h - Sai m i h - (A(M _ \ _ an+i

11 (,/,,) 0 U °n-{Pn+i Q) , W i "

com b(} dado como no Lema 2.5.

D e m o n s t r a ç ã o : Do item (i) do Lema 2.5, segue que

/) h - h - 7) > 1

Ai^n+i - Ai,-\au+2 — °n- l (Yn,{2)i 11 ^ J •

Aplicando o resultado (m) do Lema 2.5, temos h u AM __ h h (AM _ > i OnOín+1 ~ On_|OíJ1+2 — »n-l<MP„+i / Vt 2 J ) n ^ U

que é equivalente a

M « í í ! - K-iíí^h = K-i ( « l í í - M i í í ) , n > 1.

Como (3^1 = - / v h + n > 0, do item (n) do l ima anterior, obtemos

- = " M Í S + M » + i ) ~ ô , . - ^ , » > 1.

Isto mostra cine [aJJÍ - + &„-i&»]/&«-i 6 uma constante para n > 1. Para

encontrar o valor desta constante, de (ii) e (iii) do Lema 2.5, temos que

a ™ - b A Í M + M i = <4*° - k A t í ] + 6g = ' M Í * 0 + fto

Deste modo, usando as condições iniciais do Lema 2.5, podemos mostrar que o lado

direito da igualdade anterior é igual a —q.

23


Finalmente, também de (n) e {vi/i) do Lema 2.5,

an+l " M/^ i+ í ~ K-1) = «i+2 ~~ bnWn+2 ~~ <Wt),

concluindo, assim, a demonstração. •

Na próxima seção, estudaremos o comportamento dos zeros de polinómios ortogo-

nais associados a uma classe especial de medidas que dependem de parâmetros. Para,

tal estudo, além dos resultados apresentados acima, precisaremos também dos seguintes

resultados.

Lema 2.7. Sejam qn(x) = (a: - x'i) • • • (x - xn) e qn-i{x) = (x - y\) • • • {x - yn-\)

polinómios com zeros reais c que se entrelaçam, isto é,

Xn < Vn-1 < Zn-l < ' ' " < V\ < X] •

Então, para qualquer constante c real, o polinómio

Q{x) = Qn{x) + cqn- i(.x)

tem n zeros reais < < • • • < 6 < (lU(i entrelaçam com os zeros de qn{x) e

qn-$x). Mais precisamente,

(i) se c < 0, então

x} < Ç],

xr < < ?/r_i, r = 2,..., n;

(ii) se c > 0, então

yr < ir < xr, r = 1,... ,'ii — 1, e < xn;

{vn) Além disso, cada é uma função decrescente de c.

Demons tração : Para c = 0, temos que Q{x) = qn(x) e, então, £r = xr,

r i . . . . ,n.

Suponhamos c < 0. Logo, como Q(xr) = cqn-i(xr), r = 2 , . . . , n, temos

sinal{Q{xr)) = — sinal{qn-i (xr)) = (-^(-l)""1 = (-l)r

24


e, como Q(yr ,) = qn(yr-$, r = 2 , . . temos

A77m/(Q(?/r_i)) = ninal(qu(yr-i)) = ( -1) 1 " ' 1 .

Consequentemente, muda de sinal entre xr e -yr_ r = 2 , . . . , ? i . Então,

possui zeros r = 2,..., n, satisfazendo ay < £r < Temos, ainda, que Q(ar,) =

( :Qn-i{xi) < 0 e, então, quando x — o o , ç7l(x) vai mais rápido para o infinito que (hi-i{x)- Assim, Q(x) vai para o infinito. Logo, existe tal que ^ > e, portanto,

(/') está provado.

Suponhamos, agora, que c > 0. Então, como Q(xr) = cqn i(.'/y), temos

sinal(Q(xr)) = sinal(qnî (xy)) = , ''' = « - 1

e, como Q(yr) = qn{yr),

sinal (Q(yr)) = sinal (qn(yr)) = ( - l ) r , r = 1,..., n - 1.

Portanto, Q(x) muda de sinal entre xr e yr, r = 1 , . . . , n — 1. Então, Q(x) possui zeros

£ r, r = f , . . . ,71 - 1, onde yr < Çr < xr. Temos, ainda, que Q(xn) = cqn-\(xn). Assim,

• se n for par, Q(xn) < 0 e, ainda, quando x —oo, Q(x) vai para o infinito.

Logo, existe < xn tal que é um zero de Q(x);

• se n for ímpar, Q(xn) > 0 e, então, quando x —> —oo, Q(x) vai para —oo. Logo,

existe < xn tal que é um zero de Q(x).

Portanto, existe £n < xn para todo n. Deste modo, (ii) está demonstrado.

Mostremos, agora, a monotonicidade dos zeros de Q(x) com respeito a c. Seja

QAX) = qn{x) + (c + c) qn-i{x),

com e > 0. Sejam os zeros de Qe(x), satisfazendo £n(e) < • • • < Podemos notar

que = £ r(0) e, como Q(x) = qn(x) + cqnî(x), temos

Q<{x) = Q(x) + eqn-i(x).

Devido à propriedade de entrelaçamento entre yr e como e > 0, podemos usar o

item (ii) do teorema, de onde concluímos que £ r(f) < £ r, r = 1, . . . ,n. Portanto, temos

que Cr ó uma função decrescente de c e, deste modo, (iii) está provado. •

Esse resultado pode ser encontrado em [8].

25

2.7 Aplicação aos polinómios ortogonais generalizados

Lema 2.8. Seja J °°/(:/;, y)d,cj){x) convergente quando yA < y < y2. Seja, também,

•LT 'ôy^dfii-1') uniformemente convergente em y{ < y < y2. Então, para yx < y < y2,

d r f( \,u ^ r 9 f ( x , y ) n í TyJa ^ y ) d ^ ) = Ja 7~d

A prova desto lema (para d<f>(x) = dx) pode ser encontrada, por exemplo, em Ferrar

|17] e Widder |46).


Seja dej) uma medida determinada com I^ = [a,b] ou = [a,oo). Sabe-se (pie

quando / W = [a, 6], a medida é determinada. Sejam os números reais N e k tais que

0 < N < oo e. K < A (ou, excepcionalmente, K < a). Sejam os polinómios

ortogonais mônicos associados à medida dej )^^ dada por

jp{xW«-»>lx) = ~ + M } , (2.7.1) onde p é um polinómio qualquer e

M('M\p] = í - M - ^ ( x ) . Jut) (x - K)

Aqui, k — a somente se M^^yi) é convergente.

Quando N > 0, a medida tem um salto no ponto k. Em (2.7.1), a medida

é escrita de forma que o valor do salto em k é N/(N + 1) e sua massa total é igual a

1, ou seja, /iy — 1.

Agora, se tomarmos dtpj = d<F>ÍK'N) em (2.6.1), com q - K e, por exemplo, C =

a, — k, + 1, para dfa obtemos

./ p ix )d1"{x) = (.v + 1 ) ( „ - } + 1 ) M ^ ) [ i ] j v J { x m x y

Observe1 que dej)0 é a medida dó, dada aqui com a massa total

(</>) (0o) _ /fo

onde p{{f] = I d(f){.x).

Jpi>)

26


Soja a relação de recorrência para {p}?'*'^}

P ^ f N ) ( z ) = ( Z - ^ N ) ) P ^ N \ Z ) - A L ^ ^ W ,

para n > 1, com = 1 e P ^ ' N \ z ) = 2 -

De (2.6.2),

P^'N\z) = P!*Xz) + b^>N)pM (z), n > 1, (2.7.2)

onde, de (2.6.3), s i n o i ^ ' ^ ) = sinal(a - k + 1) = 1, n > 1. Além disso, do Lema

2.5, i (</',«',N)

(<!>,*,N) __ U) Vn o(<p,K,N) _ n{4>) _ h{</>,K,N) , l(</>,k,A0 ( i í 7 i . + 2 » + l . ( < / , , „ • , / V ) ' '- « + 1 — r i 1 + 1 u n " T u n - l '

71— I '

para n > 1, com = ô j * " ^ (/?<*> - ô j * ^ - «) e ft^ = ^ - Os

coeficientes podem ser gerados por

CM') = ( f f l - «) - - ^ j , n > 1, (2.7.3)

com (</>) ] (4-,k,n) __ .,(0) o(4>,K,,N) _ M) Mo /9 7

&0 ~K ~ (N + 1)MM[1} ' 1 ]

Se « < a, então, para Gn'\z) e G^^(z) definidos corno em (2.5.4) e (2.5.5), obtemos,

do Lema 2.4,

M) 1 < < • • • < < • • • < = ( / j l < " W ^ l ] . (2.7.5)

Mo

Esse resultado também vale para k, = o, uma vez que é convergente.

Teorema 2.3. Sejam x\?f'N) e x{$, r = 1 ,2 , . . . , n , respectivos zeros de P^'K'N) e

Pn>S) organizados em ordem decrescente. Então, os seguintes resultados valem:

m J® <- J<I"k>N) <- r - 1 11 - I P r < r(0,'t,JV) < r(0) '

(2) é uma função decrescente de N;

(3) se N = 0 então é urna função decrescente de K;

27


(4) .sr: N > O então XIFF'^^ é urna função crescente de K para K G ( - 0 0 ,

onde

a-«fi™ - a) - (fi{4,) - a)]2 + 4Nv\*\a) - [N(í^] - a) - (fi\é) - a)]

2N

Aqui, = [{(jM «)(/}f - a) - a^] > 0.

D e m o n s t r a ç ã o : Como sinal = 1, a aplicação da parte (ii) do Lema 2.7 para

a relação (2.7.2) fornece a parte (1) deste teorema.

Agora, se K < A (ou K < a), então 1] é positivo e, portanto, de (2.7.4),

^ u m a fUI1ção crescente de N, Assim, de (2.7.3), bn')Ké uma função crescente

de N para qualquer ri > 0. Aplicando o resultado da parte (m) do Lema 2.7, obtemos

a parte (2).

Para obter a parte (3), note que pode ser considerada como a sequência

dos polinómios ortogonais associados a (K — x)~] d,(/)(x) e definidos em . Portanto,

o resultado segue da aplicação do Teorema 2.2 (Teorema de Markoff-Ismail).

Agora, para obter a parte (4) deste teorema, de (2.7.4),

d b ^ K ' N ) _ //.y 1]

dK ~~ 1 + ( i V + l ) ( ^ í ( ^ ) [ l ] ) 2 dK

Portando, para valores de K tais que A - K > e > 0, do Lema 2.8, segue que A') (0) r 1

dK (N + 1)(7W(^)[1])2 V/w) {x - k)

Disso, obtemos

OK ( V V + L ) ( A - K ) X ^ ' ) [ L ] '

De (2.7.5), como G^\K) < ^ ^ A ^ f l ] , temos que í1 o

Ok (N + l){a-K)G^{k) '

Mas, de (2.5.3),

GAAK = 2 K ' ~ (AA ,a(AA JA (/r - -«) fVÒ

28

3.5 Exemplos

então,

d i i r ^ < _ i + (pM - - K ) - ç

d* (ÍV + 1)(g-K,)( /Í? ) - K )

Observando os valores de aí para os quais o lado direito da inequação acima é não-

positivo, encontramos o intervalo (—00, onde isso vale. Dentro desse intervalo,

temos, então, que é uma função de,crescente de K. Conseqiientemente, de (2.7.3),

também cltuitro desse1 intervalo, ternos que é urna função decrescente de K para

todo n > 0. Portanto, da parte (m) do Lema 2.7, a parte (4) do teorema segue.

Finalmente, -(;j0)(a) = - - a) - a { f ] > 0 segue do Lema 2.3. •

2.8 Exemplos

Nesta seção, aplicaremos os resultados do Teorema 2.3 em três exemplos. Os exemplos

foram escolhidos de modo que abrangessem medidas contínuas em intervalos finito e

semi-infinito e, também, medidas discretas.

2.8.1 Polinómios de Jacobi Generalizados

Sejam os números reais N e K tais que 0 < N < 00 e |k,| > 1 (ou, excepcionalmente,

|k,| > 1 ) . Consideremos os polinómios ortogonais mônicos associados à me-

dida d^ a ' f ) ' K ' N ) dada por

I = ^ + . (2.8.1)

onde p é um polinómio qualquer e

M(°J,,l"\p] = f ~ X>°(1+X—dx. J-1 X — K

Aqui, se > 1, então a > - 1 , fi > - 1 , se k = 1, então a > 0, ,8 > - 1 e, se

k = - 1 , então (v > - 1 , f ) > 0.

Quando |/c| = 1, os polinómios p j f * ^ ^ são casos particulares dos polinómios de

Koornwindcr [26].

29

2.8 Exemplos

Podemos, então, estudar os zeros de pjfK>N) usando os polinómios de Jaeobi

lembrando que, quando mônicos, satisfazem a relação de recorrência (2/2.2),

= (* - - fV), n > 1,

com = 1 e P\,i'p\z) = z - onde

P2 - o' ' " " p n + a + p - i y t - l 1

n > 1, (2.8.2) (a,i3) _ 4n(n + a)(n + p)(n + a + (3)

a 'r 'A 1 ~ ( 2 ^ T ^ T 7 i ) 2 [ ( 2 n + 7 7 '

A aplicação do Teorema 2.3 fornece o seguinte resultado.

Corolário 2.3.1. Sejam e r = l , 2 , . . . , n , os respectivos zeros de

p{a,p,t,,,h) ^ p(a>P) organizados em ordem decrescente. Então, valem os resultados:

(1) Se K > 1 (ou K > 1), então

•''li, I - -S/,,1 ^ K J-„,r ^ xn,7- ^ •St-J.r-U ' ~ ' ' ' '

(2) 5(3 k < — 1 (ou K < — 1), então

J":P) ^ r(«,/3,K,N) . r(a,0) 1 1 . ,Ja,í3,K,N) (aji) ri- I ,r J'n,r n,r > ' —!,...,/<- -i a. ^ n ^ •*-«,» •

(3) Se K > 1 (ou K > 1), eníão é uma função crescente de N.

(4) 5e k, < —1 (ou, k < —1), então xi',x/j'R'N^ é urna função decrescente de N.

(5) 5e A' = 0, então x \ { é uma função decrescente de k.

(6) Se N > 0 então x^F'K,N'> é uma função crescente de K para K variando no

intervalo ( —oc, ou no intervalo [k^^^ôo), onde

[ a t ( i - &-*>) - d - EL0"*)? + 4Nv\AMO)

2 JV 1 + - (1 + /3|tt',j))]2 + 4A^«"3)(-1) - [A'('l + /4a""1) - (1 +

2N

Aqui, v(r(i)(z) = KP\n,l)) - -)(/íí,/?) »inJj)] por-íanío, ^'^(±1) > 0.

30

3.5 Exemplos

D e m o n s t r a ç ã o : Os resultados das partes (2) e (4) seguem do Teorema 2.3 (partes

(1) e (2), respectivamente). Também, os resultados das partes (5) e (6), que corres-

pondem aos possíveis valores negativos de k, seguem do Teorema 2.3 (partes (3) e (4),

respectivamente).

Para obter os outros resultados do corolário, observemos que

[ P Í x W ^ i x ) = t t ^ Í ^ Í - a O + ^ ^ I

= I p(x)d4^'a<-k'A,)(.t),

onde p(-x) = p(x). Portanto, P ^ K ' N ) ( x ) = P ^ ^ i - x ) , n > 1. Além disso,

através da fórmula de Rodrigues (2.2.1), podemos observar que P}?'S \x) = P j f ' a \ ~ x )

e, de (2.8.2), ( j f 0 = para n > 1.

Portanto, para K > 1, da parti1 (2) desse corolário,

JP>°>) < ~(f},a,~it,N) < (d,a) l < r < n _ K < •«>") < («,/» •Ln-\,r s J'n,r ^ V ) 1 — ' ^ ^ -"'n.n ^ u'n,n •

Como = - x l ? ; ^ c x & a ) = para 1 < r < n, obtemos a parte

(!)•

Agora, da parte (4), se k > 1, então X n f ~ K ) N ) é uma função decrescente de N.

Portanto, x^/,R'N] é uma função crescente de N, o que prova a parte (3) do corolário.

Para mostrar a parte (5) quando K > 1, temos, da parte (3) do Teorema 2.3,

que x$(!ra'K'A) é uma função decrescente de k = -K. Portanto, xl?/'K'N) é uma função

decrescente de K.

Finalmente1, usando a parte (6) deste corolário para k < — 1, temos cjuo XnJn,K,N'> é

uma função crescente de k = -K para k e ( - o o , kâ'N)]. Logo, obtemos que x!]"/,fl,N)

é uma função crescente de k para k G [A" ' í j ' N \oo) . •

2.8.2 Polinómios de Laguerre Generalizados

Sejam os números reais N e k tais que 0 < N < oo e k > 0 (ou, excepcionalmente.,

k > 0). Conside.remos os polinómios ortogonais niônicos lJ;?A'N') associados à medida

N) dada por

31

3.5 Exemplos

onde p c qualquer polinómio e

M^\P) = yo

Aqui, se K > 0 então et > — 1 e, se K ~ 0 então a > 0. Logo, podemos estudar os zeros

de usando os polinómios de Laguerre L [ " \ lembrando que, na forma mônica,

satisfazem ã relação de recorrência (2.2.3),

= (* - )L[:]{z) - a^LÛz), n > 1,

com L((,o) = 1 e = z — onde

= 2ít + r* - 1 e o g , = n(n + rv), n > 1. (2.8.4)

Aplicando o Teorema 2.3 com K substituído por — K, obtemos o corolário enunciado

a seguir.

Corolário 2 .3 .2 . Sejam e r = 1,2, . . . , n , os zeros de Ln*'*'^ e ú"\

respectivamente, organizados em ordem decrescente. Então, os seguintes resultados

valem:

m T ( a ) <r* Ja'K'N) <r T(ív) r - 1 -n - 1 p - k <r r ( a , K ' / V ) <T r ( n ) •

(2) .r é uma função decrescente de N para N £ [0, oo);

(3) XnT'0'1 é uma função crescente de k para k £ (0, oo);

(4) se N > 0, então x ^ t ^ é uma função decrescente de K para K <E [ « ^ ' ^ , 0 0 ) ,

onde

yJ[N{3 + «) - (l + «)]2 +4iV(2 + «)(l + a) - [N(3 + «) - (1 + «)]

'•00

.(a,A1) _ 2N

Observação 2.1. O Corolário 2.3.2 também pode ser obtido através dos resultados do

Corolário 2.3.1, usando a propriedade assintótica

lim P,\a^{z) = L£\z), (2.8.5) fi—>oo

com = t p t l P ^ ( l - | ) .

32

3.5 Exemplos

Dc Cato, através da relação de recorrência para os polinómios de Jacobi

2P ~lz), podemos escrever

i x n+1 1

onde

M ( - 1 Y f t

4 71+ 1 I 1 71-1 n '

2» n V [•)) Podemos verificar (2.8.5) através dos coeficientes da relação de recorrência acima.

De (2.8.2) e (2.8.4), temos

B2 (a,/i) («)

• J a n + 1 = «n+l P2(n + p)(n + a + P)

Mas,

e, então,

lim

(2n + a + P)2[{2n + c* + P)2 ~ 1] '

P2 (n + p)(n + a + P) p-->oo (2n + a + P)2[{2n + a + p)2 - 1]

= 1

/l-Ti, 4 ~ W

Do mesmo modo, temos que lim ^ ( 1 - P^"'^) = P ^ • f)->oo 2

De (2.7.2), podemos escrever

p(a,f],K,,N) í \ n \ 1

onde p W * > » ) ( z ) = t ®

B Tl > 1,

2z

1 + 2p 1 k, obtemos

h _ í í ). De (2.7.3) e com K substituído por

R R PdaA*,N) _ P(1 - + K 4 n+j > j

2 » ~ 2 Pn+1 ) ^ K , (a,f},K,N) ' " ^ l 1 -V !>n- 1

Fazendo P —> oc, temos

"71. ~ n+1 tt. '71+1 T o ^ , n > 1,

com

PT1 + K + ( a )

/''O

(iV + ^ M ^ W '

onde = lhn Portanto, lim P ^ N \ z ) = L^'"[z). /3->co \ 2 / /?->oo

33

3.5 Exemplos

2.8.3 Polinómios de Charlier Generalizados

os números reais N e K tais que 0 < N < oo e K > 0. Consideremos os

polinómios ortogonais mônicos CnV'ft'A-> associados à medida ehh(-"'K,N'1 dada por

f p ( x ) d ^ > N \ x ) = - ± - í A + ^ I S l , (2.8.6)

onde p c um polinómio qualquer e

/ • o o 1 ° ° | - f v r

, / o r c + « ^ v + AC r !

Aqui, et > 0. É conhecido que a medida discreta ' é determinada e que os polinó-

mios ortogonais associados Cn^ satisfazem (veja (2.3.1))

CÂz) = ( z - fàlWPiz) - «S.cSí*), n > 1,

com C f } = 1 e C[n]{z) =z- /3[n), onde

fi^ = n + a — 1 e = na, n > 1.

Estes são os polinómios de Charlier, vistos no Capítulo 2. Agora, Aplicando o Teorema

2.3 com K substituído por — K, obtemos o seguinte resultado.

Corolário 2.3.3. Sejam e x^J, r — 1,2, ...,n, os zeros de CÍ"'K'N^ e Cn\

respectivamente, organizados em ordem decrescente. Então, seguem os resultados:

m -r(a 'K 'N) <r T(o) r - 1 n 1 c - K < r ( a A ' A , ) <r T (a ) • (J J Xn < Xn,r < •f-n,r , í — I, . . . , fi — 1 t — fv Xn,n Xn,n,

(2) é uma função decrescente de N para N E [0,oo);

(3) .x'njr1'0') é uma função crescente de K, para K E (0, oo);

(4) .sc N > 0, então C uma função decrescente de K para K E [k/"'A) ,oo),

onde

K («,") _ + 1) - "]2 + i N a 2 - lN(<* + !) -

2 N

34

Capítulo 3

Zeros de polinómios que obedecem a

uma relação de recorrência

Neste capítulo, estudaremos o comportamento dos zeros dos polinómios Qm gerados

pela relação de recorrência de três termos

Qm+í (z) = (z + Pm+\)Qm{z) - am+izQm-x(z), m = 1 , 2 , . . . , (3.1)

com Qq = 1 e Q\ (z) = z+fti, onde os números complexos a m e ftm são tais que « m + i ^ 0

e fim ^ 0, m = 1 , 2 , 3 , . . . . O objetivo principal é encontrar limitantes para as regiões

onde os zeros estão localizados, em função dos coeficientes da relação de recorrência.

Os zeros serão estudados através do problema de autovalores associado a uma matriz de

Hessenberg. Como casos especiais deste estudo, consideraremos os polinómios de Szegõ,

os polinómios conhecidos como para-ortogonais e os polinómios Pn(z) = Yl'k=o ^kZk com

coeficientes complexos bk ^ 0 para k = 0 , 1 , . . . , n. Os resultados provenientes deste

capítulo foram publicados este ano no artigo [36).

3.1 Zeros e suas representações como autovalores

A relação de recorrência (3.1) foi estudada por muitos autores quando

am+1 > 0 e (ím < 0 para m > 1. (3.1.1)

35


Citamos o artigo do Jones, Thron e Waadeland |24|, como a motivação inicial para o

estudo deste caso especial de relação de recorrência (3.1). Nele foi considerado o pro-

blema de momento forte (st/rong rnoment problem). Para uma referência mais recente,

citamos o trabalho [40], no qual nos baseamos para desenvolver esta seção.

Da relação de recorrência (3.1), temos imediatamente que Qrn(0) = • • • A», / 0,

m > 1. Além disso, como (3.1) pode ser escrito na forma

«2-2 = {z + fh)Qi{z) -Q-z{z),

AM+1 Z — (z + [3M+1 ) Q, ^ _ Qvi+ljz)

Qm-l(z) Qrn-\(z)' rri > 2,

(3.1.2)

obtemos o seguinte resultado

L e m a 3.1. Para todo rn > l, os polinómios consecutivos Qm e Qm+i não têm zeros

em comum.

Demons tração : A prova deste lema é feita por indução. Seja u> G C um zero de Q,

e Q2, OU seja, Q I M = Q2(u) = 0. Então, a2u = 0. Como a2 / 0 e w = 0 não é zero

de nenhum Qm, chegamos a uma contradição. Portanto, Qi(z) e Q2(z) não têm zero

em comum.

Agora, seja m > 2 c suponha que Qm-i e Qrn não tenham zeros em comum. Se

Qm(u) = 0, então Qm_, (w) / 0 e , de (3.1.2),

Qrn+](u)) = - a m + 1 a>Q m _i (u ; ) 0.

Isto mostra que Qrn e Qm+1 não têm zeros em comum. •

Teorema 3.1. Os zeros de Qn são os autovalores da matriz de Hessenberg inferior

H,

Vi a2 0 • • 0 0

Vi V2 « 3 ' ' 0 0

Vi V'2 V.i • • • • « u - 1 0

Vi V2 Vi • • • Vn-1 « »

V\ V2 Vi • • • Vn- 1 Vn

onde ?/m = am - [ím, m = 1 , 2 , . . . , n, com at

36


Demons tração : Do (3.1), podemos escrever

z + Pi -OL-l 0 0 0

-z Z + 0 0

Qn(z) = 0 — z Z + b :s ' • 0 0 , n >

0 0 0 • z + /?«-! -<y-n

0 0 0 z + Pn

Então,

Qn(z) = det{zAn - B„),

onde A„ e B n são, respectivamente, as matrizes n x n

1 0 0 ••• 0 ~P\ «2 0 •• • 0

1 0 ••• 0 0 -1% • 0

0 - 1 1 ••• 0 1 e 0 0 -P-A • • 0

0 0 0 ••• 1 0 0 0 •• • -Pn

Note que, como An é não-singular,

Qn(z) = det(An) det(zl - A~ B„).

Como det(An) = 1 e

1 0 0 • • 0 0

1 1 0 • • 0 0

1 1 1 • • 0 0 -

1 1 1 ••• 1 0

1 1 1 ••• 1 1

temos que Qn é o polinómio característico (mônico) associado à matriz de Hessenberg

inferior H„ = A ^ B , , . Isto completa a demonstração do teorema. •

Podemos escrever, também, Qn{z) = det(zl - B n A ~ J ) det(An). Portanto, Qn é

o polinómio característico associado à matriz B„A~' e, ainda, à matriz (B n A~' ) 7 =

37


(A(l 1)1 B/ (. Isto significa, que os zeros de Qn são, também, os autovalores da matriz de

llessenberg superior

7i. 72 73 ••• In-1 ~Pn

«2 72 73 ••• 7»-l ~Pn

o 0 o ••• 7n_, - A

0 0 0 n

onde 7,„ = r*„H , - pm, rn = 1 , 2 , . . . .

No restante desta seção, faremos um estudo detalhado sobre a representação dos

autovalores associados à matriz H n . Baseados no recente trabalho de Sri Ranga e Van

Assche [40j, faremos uma análise similar àquela desenvolvida pelos autores, mas com

as hipóteses feitas sobre os coeficientes da relação de. recorrência para os polinómios

Qm como em (3.1) e mais a hipótese de que os autovalores z n j , j = 1 , 2 , . . . ,n , de H n

(isto é, os zeros de Qn) são distintos.

Sejam Qm{z) = ( a 2 o 3 - a m + , ) - 1 Q T O ( í ) e Qm(z) = z~mQm(z), 1 < m < n, c

Qo(z) = Qo{z) = QQ(Z). Então, a relação de recorrência (3.1) para rn = 1 ,2 , . . .n — 1

pode ser dada de duas formas diferentes

z[Qm{z) ~ Qm+i (z)] = am+lQm-l{z) ~ Pm+lQm[z), 1 < '»>' < n ~ ^

com z[Qo(z)] = -PiQo(z) + a2Qi(z) e z[Q0(z) - Qi{z)] = ~P\Qq{Z). Na forma,

matricial, essas relações podem ser escritas, respectivamente, como

z[-Qm-l(z) + QnXZ)} = ~Pm+\Qm{z) + «m+aOm+l (z), l<m<n-l

e

zAnb{z) = B n b (z) + an+iQn(«)e. •n (3.1.3)

zb(z)rAn = l)i )7 B„ + zQn(z)el, (3.1.4)

38


onde e n 6 a n-ésima coluna da matriz identidade n x n,

b ( z ) = \Q0(z), Q l ( z ) , . . . , 4 t - i ( z ) ] T e b ( z ) = [Q0(z), Qi ( z ) , . . •, Q „ _ i ( z ) f .

Consequentemente, de (3.1.3), como z,h j são também zeros de Qn(z), temos

znjb(znij) = A ~ ' B n b (znJ),

ou seja, b(z„ ; /) é um autovetor à direita de H n = A ^ B n associado ao autovalor z n j .

Além disso, como supomos que znj, j = 1 , 2 , . . . , n, são distintos, os correspondentes

autovetores à direita b(z„ i ?), j = 1 , 2 , . . . , n, são todos linearmente independentes.

Agora, de (3.1.4) e como znj são também zeros de Qn(z), de modo análogo con-

cluímos que zn,jb(znj) A„ = b (znj) B n .

Logo,

[ÁJnb(znj)Jrzn, = [Á^b(znjj)]r A~lBn,

ou seja., o vetor A 7 b ( z n j ) é um autovetor à esquerda de H„ associado ao autovalor

zn,j. Embora não seja aqui relevante, talvez seja. mais apropriado dizer que c(znj),

onde c(z) = A^b(z), é um autovetor à esquerda de H n , pois neste caso, temos

c(znj)*Hn = c(znj)*znj. Aqui, * representa o transposto conjugado. Novamente,

existem n autovetores à esquerda linearmente independentes c(znj), j — 1,2, . . . , / t ,

associados aos « autovalores distintos zHyj, j = 1 , 2 , . . . , n.

E conhecido que o autovetor à esquerda e o autovetor á direita associados a auto-

valores diferentes são ortogonais. A multiplicação de (3.1.3), avaliado em w, à direita

por b(z)7 ' e a multiplicação de (3.1.4) à esquerda por b(w) nos fornecem os seguintes

sistemas

'(/;Anb('//;)b(z)T = B n b M b ( z ) T + a n + , Q n { w ) e n b(z)7 ' (3.1.5)

e

zb(w)b(z)TAn = b (« ; )b (z ) r B„ + zQn(z)b(w)ei;. (3.1.6)

Sabemos que o traço de uma matriz quadrada, representado por tr A, é a soma dos

elementos da diagonal principal. Como tr A B = t r B A , subtraindo o traço de (3.1.6)

39


do traço do (3.1.5), tomos

> - z) tr (b(«;)b(z) rA„) = t r ( a „ + J Q n ( w ) e „ b ( z ) T ) - t r ^ Q ^ t y w J e

= an+iQn(w)Qn-i(z) - z Q n ( z ) Q n _ l (w).

Então.

7 1 - 2

^Qrn(z) ~ Q m + l ( z ) J Qm(iv) + Qn-l(z)Qn-i(w) 11,-0

zQn{z)Qn-l{w) - ®n+lQn(w)Qn--l{z)

(3.1.7)

2 — W

Esta relação é uma espécie da fórmula de Cristoffel-Darboux. O termo do lado esquerdo

desta fórmula pode ser identificado como b ( z ) ' A n b ( w ) = c(z)*b(w) e isto confirma a

ortogonalidade do autovetor à esquerda c ( z n j ) e do autovetor à direita b ( z n ^ ) quando

j ^ k. Em (3.1.7), fazendo w —> z,

7 1 . - 2

^ {Qm{z) - Qm+](z)} Qm{z) + Qn-1 (z)Qn-l (*)

= nu+]Q'n(z)Qn-i{z) - zQn{z)Q'n__L{z)-

7 Í I . - 0

Assim, para 1 < j < n e 1 < k < n,

[AJnh(znj)Y b (zn,k) = b(zn,k)< [A > ( 2 n j ) ] = A n ^ k (3.1.8)

onde A"]- ^ rv„+1 Q'n{znJ)Qn.. i { z n j ) e ôjtk é o delta de Kronccker. Como os zeros de

Qn são simples (distintos) e, do Lema 3.1, Qn e Qn-, não têm zeros em comum, então

A71,-/ ^ 0, para j = 1 , 2 , . . . ,n. Assim, podemos dizer que as duas sequências finitas

{ b ( z n j ) } £ n e {A'[b (2 n J )}J = 1 são biortogonais.

Se definirmos P n , matriz não-singular n x n, por

b ( z n j ) b ( z n j 2 ) b (Znj,

Un+iQh{zn,i) an+1Q'n(zni2) an+lQ'n(zr

então sua inversa (a matriz que satisfaz P ^ P n = I n ) é

KMZn,l) KMzn,2) KMZn,n) '

^rí.,2) Qn, — l (^71,n^)

(3.1.9)

(3.1.10)

40

3.2 Limit, antes para os zeros

pois, do (3.1.8), A, ; ,b(z n j)]T b(z í ) J :

Qn~í(zn,j) an+íQ'n(zn,j)

So p k j e pk>j são os elementos (la Á;-ésima linha o j-ósima coluna das matrizes P„ o

P„ 1, respectivamente, então

p k J = e = (3.1.11) <*n+ 1 Qn (Zn,j) Qn- 1 (zn,k)

Como b(zUik) é o autovetor à direita dc H n e A^b(zn^) é o autovetor à esquerda

de H„, temos

Hnb(2„ ifc) = z„,fcb(z„,fc), k = 1 , 2 , . . . , n

[A^b (z n J ) ] r H n = [AfiiZnjfZnj. (3.1.12)

Então, multiplicando (3.1.12) por b ( z U ) k ) à direita,

[A^b(2 í tJ)]7'Hnb(2n)fc) = znAA!nb{zn>J)írb{zn,k)-

Logo, do (3.1.8),

i K M ^ r H b M _ 5 k k _ 1 2 r i

j) (y-n+\Wn{Znj)

Portanto, com as matrizes P„ e P" 1 , podemos escrever o problema do autovalor asso-

ciado a H„ corno

P " 1 H n P n = 3 n , (3.1.13)

onde S n ó a matriz diagonal contendo os autovalores zn>1, zn,2, • • • > z,hn.

3.2 Limitantes para os zeros

Nosso objetivo nesta seção é encontrar limitantes, em função dos coeficientes da re-

lação de recorrência (3.1), para as regiões onde os zeros estão localizados. Para tal,

precisaremos de um resultado clássico da teoria da Álgebra Linear, dado pelo seguinte

teorema.

41


Teorema 3.2 (Teorema de Gerschgorin) . Cada autovalor- X (real ou complexo) de

uma matriz B , n x «, satisfaz a pelo menos uma das desigualdades, n

|A - bjj\ < Tj, onde r j = ^ \bl}1, j = 1, 2,. . ., u,

ou seja, cada autovalor pertence a pelo menos um dos discos com centro bjj e raio r7

plano complexo, onde bij são os elementos da matriz B.

A prova dosto resultado podo. ser encontrado, por exemplo, em Noble e Daniel

(31, p. 3171.

Primeiramente, definimos a região W(Ài, A2, r ) , onde X2 > A] c r > 0, por

W(XU A2, T) = {Z = x + zY € C : |y| < r , Aj - v 7 ^ 3 ! / " < a: < A2 + s / R ^ ^ F ) .

Seja D a a ma,triz diagonal n x n com diagonal (<5, ó2,... ,ôn), 6 ^ 0. Então, os auto-

valores de H n , definida de acordo com o Teorema 3.1, são os mesmos que o da matriz

D í H n D ^ 1 , dada por

a 2 5~ l ••• 0 0

Tjiô 7/2 0 0

r j i ô n-3 . . . Q

7j\ôn"2 TfrS'1'* ••• 7/n_i a,^""1

r/iíM_1 ••• r/T(_]J r/n

onde 7/r„ = o;w - /iTO, rn = 1 , 2 , . . . ,n , com = 0. Deste modo, podemos enunciar o

seguinte resultado.

Teorema 3.3. Para todo n > 2, sejam = max{|a fc | , k = 2,3, . . . , n } e rfi' =

max{ \ í j k) , k = 2, 3, . . . , n}. Sejt

d, 'a M

raM + 1}M' ' N 1 V HL

do a A7

CV. M \m I - v, M n

e d3 2 a M

v / W l H ^ O i j J - ® + a * M

Então, os zeros de Qk, 1 < k < n, estão no disco \z\ < pn, onde

se 0 < d2 < d,i, Pr,

1+\m\ Iml- (3.2.1)

+ -v/ry^)2, ca.so contrário.

42


Se í)k, k = 1 ,2 , . . . ,11 , mo todos reais, então os zeros de Qk, 1 < k < n, estão no

interior da região W{i]n^, pn), onde

r]nj = miri{r//fc, k = 1 , 2 , . . . , n}, r/n,2 = max{%, k = 1 , 2 , . . . , n) e

^ T R F ) !r / l !' U " • (l • Pti

rtn )2 ~ ai,SY; e.oritrário.

D e m o n s t r a ç ã o : Suponha que 0 < ó < 1. Pelo Teorema 3.2 (Teorema de Gers-

ehgorin), ternos que os autovalores da matriz D^H^D^1, isto é, da matriz H„, es-

tão cm ULLi onde Akl\ó) é o disco fechado com centro rjk e raio pk{ò) ~

\'tk \ Xlr ^f + \ak\S-\ Lembramos que «i = 0. Mas,

n — ] n - 2 o o

V Ir; , IA V ^ Ã r = Ir», I

1 - 5 Pi(í) = I m l E ^ = M ^ E * ' ' < = M T 3 Ã = ^ | t—0 0

e, analogamente para 2 < k < n,

Ô 1 1 P k ( S ) < T ^ \ r j k \ + -\ak\<Pn(ô) = + ^

= -rtM + + -aM

j —- ^ $ '

onde a^ = max{|(vfc|, k = 2 , 3 , . . . , n ) e r/^ = max{|r/fc|, k: = 2,3,..., n}. Assim, todos

2 < k < n, estão no disco

kl < Pn(S) = + ^

e, além disso, A\n\ó) está no disco \z\ < pi(ô) = y^k/ i l - Escolhemos o valor de ô que

minimiza max{/3, (ó), p n (b ) } . Este valor será d2 ou d\ dependendo de i]^1 « |r/i|, ou

não. Isto fornece a primeira parte do teorema.

Para obter a próxima parte, note que o disco A ( ,n)(í) está no interior do disco

\z - r/i | < p, (ò~) e, para qualquer k, 2 < k < n, o disco a£i)(<5) está no interior do

disco \z - % | < pn{ô). Escolhemos para õ o valor que minimiza max{/j, (á), p„(á)), ou

seja, (4 ou di dependendo de < < |r/]| ou não. Como os centros yk de todos os

discos a£w)(<J) estão sobre uma reta (neste caso a reta real), obtemos a última parte do

teorema para o polinómio Qn.

43


Finalmente, como o zero de Qi(z) é //i, ele ccrtarncnte está cm (JjL, Se

p 6 tal que 1 < p < n, então os autovalores de Hp (isto é, os zeros de Qp) estão cm

U L , Como A[p )(í) C a£ , 0 ( í ) para 1 < k < p, observe que os zeros de Qp

estão todos em (JL i Portanto, os resultados do teorema também são válidos

para os polinómios Qk , ! < / , : < n. •

Teorema 3.4 (Saff e Varga) . Sejam ak+\ e f j k , k = 1 ,2,3, . . . , n números reais

positivos. Seja

T = m i n j - % = (3K - ak : k: = 1 , 2 , . . . , v},

com OL\ = 0. Então, se r > 0, a região parabólica

•p+(r) = {z = x + iy <E C : y2 < 4 r ( r + x), x > —r},

não contém zeros dos polinómios Q\, Q2,. .., Qn.

Este teorema está demonstrado em SafF e Varga |34j.

No próximo resultado, mostramos algumas propriedades sobre os zeros dos polinó-

mios Qn, quando os an são positivos e todos os [in são iguais a uma constante também

positiva. A demonstração deste teorema, quando /in = 1, é dada em |10|.

Teorema 3.5. Sejam (3k = (3 > 0 e ak+i > 0 para k = 1 , 2 , . . . ,n. Então, os zeros de

Qk, 1 < A; < n, são distintos (exceto para um possível zero duplo z ft) e estão em

C(,B) U (0, oo), onde

C{(5) = {z:z = 0 < 9 < 27r}.

Ern particular, se {(^pL}kZ\ e' uma sequência encadeada positiva, então todos os zeros

são distintos e estão no círculo aberto C(fí).

Demons tração : Sej transformação

x = x ( f r z ) = ±{f}-l/2zl/2 + Pl/'2z-i/:t)-

Então os polinómios Pk(x) = ( 4 f i z ) ~ k / 2 Q k ( z ) , 0 < k < n, satisfazem PQ(x) = 1,

Py(x)=x C

f W s ) = xPk(x) - l<k<n- 1. (3.2.2)

44

3.2 L i m i t , antes para os zeros

Destes resultados, podemos provar que os zeros de Pk são reais, distintos e simétri-

onde Zkj/ft = (^ x l , j ~ 1) + 2 y x l j ( x l j ~ Consequentemente, se x'2kj < 1, então zkj

e f32/zk,j são pares conjugados de zeros de Qk no círculo C(fi) e, se x2k^ > 1, então eles

são dois zeros positivos de Qk. Deste modo, concluímos que os zeros de Qk estão no

círculo C(f3) ou na reta real positiva. Se z = j3 é um zero de Qk, então ele é um zero

de multiplicidade 2.

Agora, suponhamos que { ^ r j / j l - j é uma seqiiência encadeada positiva. Então, de

(3.2.2), como 2gJ- = g W (l - pelo Le.ma 2.2 temos que todos os zeros de

Pk, 1 < k < n, estão em (—1,1). Portanto, neste caso, todos os zeros de Qk, 1 < k < n,

estão no círculo aberto C(fi). •

O próximo resultado ainda considera [3n uma constante positiva, mas agora para

casos particulares de a n , que continua positivo. Na verdade, este resultado considera

casos especiais do teorema anterior.

Corolário 3.5.1. Seja Pk = P > 0; 1 < k < n. As seguintes propriedades são

verdadeiras:

(1) se 0 < ctk+i < P, 1 < fc < n - 1, então todos os zeros de Qh, 1 < k < n, estão em

(2) em particular, para e > 0, se 0 < ak+i < P - e, 1 < k < n - 1, então os zeros de

qualquer Qk, 1 < k < n, estão sobre o arco de C(fí) que está fora da região parabólica

) o. P2k+l(x)

Chk^(z) = (z + P) nU [(2 - z2k+u)(z - 82/z2k+lú)},

M ;

V+(e) = {z = x + iy € C : y2 < 4e(e + x), x > -e};

(3) novamente, se 0 < ak+1 < ft, 1 < k < n - 1, seja Ku =

todos os zeros de Qk, 1 < k < n, estão sobre o arco aberto

•ii max 1 <fc<n— 1

\Jcy.k+\/p. Então

C((i,0n) = {z: Z = 0n <0<2 7T - 0„}>

45


onde 6n = 2 arccos(h;„ c o s ( ^ ) ) ;

(4) para e > O, suponha que O < < B + e, 1 < k < n — 1. Se Qn têm zeros fora

de C(fi), então eles estão no intervalo (/32/b,b), onde b = (y/ft + f -f \f()2 •

Demons tração : Como 0 < < f j , então 0 < < \ < 1. Podemos encontrar

uma sequência {gt} tal que ^ ^ = (1 - gk~í)gk tom 0 < </0 < 1 e 0 < gk < 1, k =

1 , . . . ,n . Isto é fácil de verificar, se tomarmos, por exemplo, % = 0. Logo, j ^ p - j ê

uma sequência encadeada e, então, pelo Teorema 3.5 segue a parte (1) do corolário.

Agora, como fik = (j > 0 e a k + 1 > 0, /,; = ! , . . . , n, então pelo Teorema 3.5, os

zeros de Qk estão sobre C{fi) U (0,oo). Mas, se 0 < < fl — f, para e > 0, então

e < min{Ã - «fc, k = 1,2,..., n},

com rvj = 0. Logo, como f > 0, pelo Teorema 3.4 (Teorema de Saff e Varga) temos que;

os zeros de Qk estão fora da região

P+(f) = {z = x + iye C : y2 < 4f(f + x), x > -e}.

Portanto, os zeros de Qk, 1 < k < n, estão sobre o arco de C{0) que está fora da região

parabólica V 4 (t).

Para obtermos a terceira parte deste1 corolário, consideremos os polinómios Pk(x) =

(4[1z)~ k / 2 Q k {z) , onde :/: = x{fi]z) = itf-Wz1*2 + ^1/2^1/2). Corno já foi mostrado,

eles satisfazem á relação de recorrência

Pk+, (x) = xPk(x) (x), 1 < k < n - 1,

com Po(x) = 1 e Pi{x) = x. Consequentemente, de Ismail e Li [20, Teor. 2 e 3], os ze-

ros de Pk{x), 1 < k < n, estão 110 intervalo ( - x , £ ) , onde x = eos(^-j-) max \Jnk-\\ fP> L h ti—1

= Kn c o s ( ^ ) . Pela parte (1), já que os zeros de Qk estão em C{fi), então, para

2 = fie*0 (zero de Qk), temos que 0 = 0(x) = 2 arccos(.-r), onde x é um zero de Pk.

Deste modo, temos que 0n - 9{x) = 2 a r c c o s ( « „ c o s ( ^ 7 ) ) e 0(~x) = 2ir - 8n. Logo,

como os zeros de Pk(x), 1 < k < n, estão 110 intervalo (-x,x), então os zeros de

Qk(z) = (4pz)ki l '2Pk(x(f1-, z)), 1 < k < n, estão sobre o arco aberto

C(I3, 0n) = {z: 2 - 0eiO, 0n <0<2n- 0n),

46


onde 0n = 2 arccos(«;n eos(~j)).

Para obter a última parte, note, que todos os /eros de Pk(x) = (4flz)~k/2Qk(z) estão

no intervalo ( - £ , £ ) , onde x = c o s ( ^ ) max vW+i//?- Mas, como por hipótese

0 < < ri + f, 1 < k < n - 1, então max s/ak+\/fi = Além 1 <k<n- 1

disso, - 1 < c o s ( ^ ) < 1. Logo, os zeros de Pk(x), 1 < k < n, estão no intervalo

( ~ y / F ' V^ jF) - Consequentemente, como a aplicação Qk(z) = (4 pz)k/2 Pk{x(fi; z))

tem zeros zkJ e P2/zkJ, onde zkú/(5 = (2x2ktj - 1) + 2yjxl

k)j{xl%j - 1) (veja prova do

Teorema 3.5) e, ainda, corno • > 1, então esses zeros são positivos e estão no intervalo

(/?2/6, 6), onde b = {s/JT~e + v^)2- •

A seguir, vamos estudar os zeros de polinómios através da representação de auto-

valores (3.1.13) associada com a correspondente matriz de Hessenberg.

Teorema 3.6. Dada a relação de recorrência de três termos (3.1) suponha que todos

os zeros zn j de Qn (autovalores de H„) são distintos e que as matrizes P n . P"1 e

S„ são dadas, respectivamente, pelas equações (3.1.9), (3.1.10) e (3.1.13). Considere a

relação de recorrência de três termos perturbada

a; , l + 1 (z) = (z + P'm+l)QfJz) - aU^Qrn^ (z), m = 1 , 2 , . . . , n - 1, (3.2.3)

com Q'0 = 1 e Q\(z) = z + onde os números complexos a(rn e /3(

m são tais que

|tt'm - «m| < C m = 2,3, . . . , /? , c - pvi\ < e, m = 1 , 2 , 3 , . . . , n . Aqui, e é um

n ú ri i e ro p o s i t i vo.

Seja II', a matriz de Hessenberg associada à relação de recorrência (3.2.3) definida

de acordo com o Teorema 3.1, cujos autovalores são os zeros do polinómio Q'n. Então,

•para qualquer zero w de Qfn,

min \w - zU:j\ < ||H'f - H^HHP^H||P~11|, I <J<JI

onde ||.|| é qualquer norma subordinada em Cn.

D e m o n s t r a ç ã o : Se w é igual a algum dos zeros de Qn, então o resultado é trivial.

Consequentemente, vamos supor que w não é zero de Qn. Seja u o autovetor de H*t

associado ao autovalor w. Logo,

H„u - wu = - {Hn - H„)u.

47


Dc (3.1.13), a relação acima pode ser escrita como P n ( S u - í/;In)Pn"'u = -(HJ t - H n ) u

c, assim,

u = - P n ( S „ - WI^P-' (Hjt - H n )u .

Tomando qualquer norma subordinada, temos

( 2 n - t , i í l ) - 1 r 1 < | | H ; l - H n | | | | p n ! | | | p í - 1 |

Como a matriz ( S n - ?/;In) 1 é diagonal, segue o resultado do teorema.

Temos que

H„ - H n

rj\ - ??! a\ - a2 0

V\ ~ rh V2 ~ rI'2 a.3 ~ «3

'A ~ Vi V2 - f}2 Vz ~ Vs

o o

a. n — l (-hi-1

o o

o vl - vi ?/2 - m tfi - m • • • v'n-i - Vn- \ < - vn

v{ - 'h v'i - V2 t/3 - T/a • • • r/;_, - r/n. i rfn - r/H

onde rfm - r;m = (cv'TO - a m ) + - /im), m = 1 , 2 , . . . , «, com rvj = « i = 0. Então, so

\a\n — am | < e, m = 2, 3, . . ., n e \f3'm — pm\ < e, m = 1,2,3,... ,n, corri e > 0, temos

Hn - Vm\ < 2e, m = 2, 3 , . . . , n e |r/í - r/i | < e.

Assim, encontramos os seguintes resultados

| | H ; - H n | U < (2n - l)e e ||H; t - H J , < (2n - l)c. (3.2.4)

Corolário 3.6.1. Seja fl > 0 e considere a relação de recorrência de três termos

Q'M+1(2) = (* + P'm+Mm(z) ~ «m+1 ^ - i W . ™ = 1 , 2 , . . . , » - 1 , (3.2.5)

com <2< = 1 e <5í(z) = z + onde os números complexos a(m e (3(

m são tais que

| / m ( o ^ J | < c, 0 < Re(aLm) < f j para rn = 2 , 3 , . . . , rc e \f3'm - < e para rn =

1, 2, 3 , . . . , n. Aqui e é um número positivo.

Seja Hn, definida de acordo corri o Teorema 3.1, a matriz de Hessenberg associada

à relação (3.2.5), cujos autovalores são os zeros do polinómio Q'n. Considere a relação

48


de recorrência de três termos

Qmri (z) = {z + P)Qm{z) - m = 1,2

com Q0 = 1, (î(z) = z + p. Para esta relação de recorrência, sejam H„ , P „ e P " 1

as ma,trizes associadas definidas de acordo com o Teorema 3.1 e as equações (3.1.9) e

(3.1.10). Então, todos os zeros de Qen estão no anel

C(P - IÍH; - Hn||||pn||||p-J||) < \z\ 0, e igual a, 0, caso contrário.

D e m o n s t r a ç ã o : Como os /eros do Qn são distintos, pelo Teorema 3.6 temos que

mm \z - znJ < - Hn | | | |Pn | | | |P,,;' | | , 1 < j <n

para qualquer zero z de Q(n. Mas, pelo Corolário 3.5.1 par te (1), os zeros de Qn

estão sobre o círculo \z\ = que é uma consequência de 0 < Re(atm) < p para

m = 2, 3 , . . . , n. Então, todos os zeros de Qen estão no anel

a a - K -Hn | | | |pn | | | |p- l | |) < kl 0, e igual a 0, caso contrário. •

Observação 3.1. Em adição a \P(m- P\ < f, rn = 1, 2, 3 , . . . , n, a condição \Prn(a'm)\ <

e para rn = 2 , 3 , . . . , n, também possibilita fazermos uso dos limitantes superiores dados

em (3.2.4) se são escolhidas normas apropriadas.

Agora, consideremos o seguinte caso espoo,ial de. relação de recorrência de três

termos para o qual as matrizes S n , P „ e P " 1 podem ser explicitamente encontradas.

Com p > 0, sejam os ])olinômios {Qm{P\ z)Ym=o dados por

Qrn+1 {p-,z) = (z + P)Qm(P] z) - PzQm-i (P; z), 7/1 = l,2,...,n-l,

com Qo(p:z) = 1, Q\(p:z) = z + p. Denotemos a matriz de Hessenberg associada a

esta relação de recorrência (dada de acordo com o Teorema 3.1) por Hn .

49


Tomos que Qk(fc z) = {zk+i - /? f c + ,)/(z - (1), para k = 0 , 1 , . . . , n. Os /eros de

Qnifl', z) (isto é, os autovalores de são zn/) = z j f j = , j = 1 , 2 , . . . , « .

Conseqiien temeu te,

QkW;zntj)=l3-kQk{l3-,znij) sen i — r f -\ "-f i

( (fcf n yrr sen I QkifcZnj) = z-$Qk{P\zn>j) = _

sen

e «+1

e «+1.

Assim, do (3.1.11) os elementos p ^ o p j ^ da £:-ésima linha o j-ésima coluna das

correspondentes matrizes P„ = P , ^ e ( P n ) _ 1 = ( P r f V respectivamente,

2Í í k m \ „- (2n.-fc)jTr + ^ j = rsen I r ) C

ri + i \ n

Portanto, podemos enunciar o seguinte resultado.

~(P) -t1 o = e »+' (3.2.6)

Lema 3.2.

( P n V N I l (PÍf)

)-1

lloo = n ,

»(/í)|| _ llp W II _ n 111 — 11 -t 11 oo — n + 1

onde. an = max { E ^ i I |} < + l ) / 2 .

D e m o n s t r a ç ã o : A primeira parte do lema segue diretarnente de (3.2.6). Também de

(3.2.6),

com a n = inax { | sen | ) . Através da desigualdade de Cauchy-Schwartz K K n l ' J

E sen ri + 1 < 'E

o=i sen kjn

n + l

•A ] / 2 X l/2

E

» E sen

1/2

Mas, ..ilkr

• i — n 1 " — • J 1 - e ' í + T

0. Então,

j=o v 7

50

3.2 Limitantes para us zeros

que 6 equivalente a

Logo, \ - 2 /' kJ71 \ _ 11 + 1

z.8011 {^JT) = — •

Portanto, o n = m a x ^ E ^ , |sen ( g ) | } < / n ( n + l ) / 2 . •

Corolário 3.6.2. 5eja fi > 0 e considere a relação de recorrência de três termos

Qn,f , (*) = (Z + K n + M Â Z ) ~ « m + l ^ m - 1 (*), m = 1, 2, . . . , 71 - 1,

com Q'0 = 1 c Q[(z) — z + P\, onde os números complexos a(rn e f f m são tais que

I(Kn ~ íA < c Para "1 = 2 , 3 , . . . , n e \/3'm — fi\ < e para rn = 1, 2, 3 , . . . , n. Aqui e é um

númaro posit/ivo.

Seja Wn, definida de, acordo corri o Teorema 3.1, a matriz de Hessenberg associada

à relação de recorrência acima, cujos autovalores são os zeros do polinómio Qen- Então,

os zeros de Q(n estão no anel

C (p - t f f UHn " H ^ l l ) < kl 0, e igual a 0, caso contrário. O número

an é corno no Lema 3.2.

D e m o n s t r a ç ã o : Considere a relação de recorrência de três termos

Qm+ 1 {z) = (z + P)Qm{z) ~ ftzQm_, (z), TU = 1 , 2, . . . , U - 1,

com Q0 = 1, Qi(z) = z + p, ou seja, Qm(z) = Qm(p]z). Então, para esta relação H,^ ,

P f e ( P ^ ) " 1 são as matrizes associadas. Logo, pelo Corolário 3.6.1,

c (p - h h ; - H f I I Y P F I H I ( P ^ V J I I ) < 1^1 < a + IIH;(, - H f m i p f M I ( p f ) - ' N .

Portanto, pelo Lema 3.2, os zeros de Qfn estão no anel

c ( p - - H f | | ) <\z\<p + - H f ||. \ n +1 / 7i + 1

51

3.3 Polinómios de Szegõ e para-ortogonais

3.3 Polinómios de Szegó e para-ortogonais

Seja du(z) uma medida positiva no círculo unitário. Isto significa que v(e%0), definida

em 0 < 6 < 2n, é uma função real, limitada e não-decrescente com infinitos pontos de

aumento, tal que os momentos

= j zmdi/(z) = J * em0dv{eê), m = 0,1, 2 , . . . ,

existem. Consideremos os polinómios de Szegó {Sn^} associados à medida du(z) defi-

nido por

J Sl;:\z)S^(z)du(z) = {), n^m.

Esses polinómios foram introduzidos por Szegó (veja, por exemplo [42]).

Os polinómios de Szegó são conhecidos por satisfazerem a um sistema de relações

de recorrência, dados aqui em termos dos polinómios mônicos,

n > 0, (3.3.1) — zSn \z) = S"^^) — (lnliSn+] (z),

onde Sn^*(z) = znS^\l/z) são os polinómios recíprocos. Os números a^ — Sn\0),

n > 1, são conhecidos como os coeficientes de reflexão dos polinómios de Szegó.

Os coeficientes de reflexão têm a propriedade < 1 para n > 1. Além disso, os

zeros dos polinómios de Szegó estão no disco unitário aberto.

Se os coeficientes de reflexão satisfazem 0 < < 1, então os polinómios de

Szegó também satisfazem

= ( z + n k ) - - lfln (z), n > 1, (3.3.2) \ CLn / Q>n

( \ u í onde 5, = (z + ^ r ) , com a^ = 1. Consequentemente, esses polinómios satisfazem a ° , , (W a uma relação de recorrência de três termos da forma (3.1) com ftn = e cxn+i = tln- 1

^ ( l - K ^ n . n ^ l . a„

Em 1989, Jones, Njàstad e Thron [21] estudaram os polinómios Sn \z )+u) n Sn^*( z ) .

onde |w„| = 1, que denominaram de polinómios para-ortogonais. Consideremos dois

52


casos especiais de polinómios para-ortogonais

" l l 1 + S'í,"'(0) ( ) K " { Z ) 1 - 5 ^ , ( 0 ) ' ( '

para n > 0. Os denominadores são escolhidos de maneira que os polinómios sejam

mônicos.

Do (3.3.3), tomos 2S^(z) = (1 + o t ) P^ (z) + (1 - o V ) { z - 1 )R^](z), n > 1.

Mas, de (3.3.1), ( l - | « í í , p ) zS^(z) = S ^ ( z ) - para - 1 < at} < 1.

Assim, somando e subtraindo Sn'>*(z) + nt Sn\z) do lado direito desta igualdade,

obtemos

2 z S l : \ ( z ) = RlP(z) + ( z - l)RSUz), n > 1. (3.3.4)

Se — 1 < (ii','' < 1, então os polinómios mônicos (i = 1,2) satisfazem R ^ = 1

RP(z) = z + 1 e

li® Az) = (z + l)R^(z) - t ^ l z ^ i z ) , n> 1, (3.3.5)

com a i 1 ] ^ (l + a ^ J í l - a í r ^ O o a g , = (1 - « ^ ( l 4- a ^ , ) > 0, n > 1. Este

último resulta,do 6 atribuído a Delsarte e Genin |15]. Note que os coeficientes de reflexão

an são reais se, e somente se, a medida dv(z) satisfaz à, simetria du(l/z) = -du(z).

Portanto, se —1 < an < 1, então os polinómios para-ortogonais satisfazem a uma

relação de recorrência da forma (3.1) com (3n = 1 e Q„+] = n > 1.

Ainda, em [21], Jones, Njâstad e Thron mostraram que os zeros dos polinómios

para-ortogonais são distintos e estão no círculo unitário. Verifiquemos isto para as

duas sequências de polinómios para-ortogonais R n ' o Rn ^ definidos por (3.3.3). Como

- 1 < ot < 1, na relação de recorrência (3.3.5) para esses polinómios, os coeficientes

{ i a n + ] } e { i a n + i } são sequências encadeadas positivas com as respectivas sequências

de parâmetros dadas por {glP = ' } e { g ^ = isto 6,

(1 = ( l - A l í ^ í í , .

para n > 1, com //J0 = 0 o 0 < g^ = 1 - = l 1 + a ^ ) / 2 < L Portanto, do

Icoriíma 3.5, os zeros de RlP e /?i,2' são distintos e estão sobre1 o círculo unitário aberto

C{ 1) = {z : = cl°, 0 <9 < 2tt}.

53


O próximo resultado relaciona os polinómios de. Szegó {slí^} e os polinómios

ortogonais {Pj,'^} obtidos através de Pn\x(z)) = (Az)^'1/2 (z), onde

Teorema 3.7. (1) Seja d,u(z) •uma medida positiva sobre o círculo unitário tal que os

polinómios de Szegõ associados { S ^ } são reais, isto é, - 1 < Sn \Q) = a^ < 1 para

n > 1. Sejam

« í , l = (l + a í r i i ) ( l - a í r ) ) > 0 e « S . = ( l - a í r ) ) ( l + f l í 2 . ) > 0 , n > 1.

Consideremos as medidas positivas dxj)^ c d<j>W definidas por

d(j){x\x) = -du(z) e d(f)(2\x) = -(1 - x2)d(l){[){x),

onde x = x(z). Os suportes de íic//1' e d(jP' estão em, [—1,1], EntÂo (para, i — 1,2), a

sequência de polinómios {PÍ^}, dada por P^ = 1, P\l\z) = x e

>(0 _ * (0 r>«

éformada, por polinómios ortogonais mônicos com respeito à medida dx^.

(2) Reciproca,mente, sejam d<f>W e dcf>^ duas medidas positivas definidas em, [—1,1] tais

que d^^Çx) =- (1 — x2)d,cjAA\x). Sejam, os respectivos polinómios ortogonais mônicos

Pu' PiP associados a, estas medidas satisfazendo Pj[ll(x) = xPn\x) —

n > 1. Então, os coeficientes de reflexão = 0) dos polinómios de Szegõ si

associados à medida positiva dv(z) = — dx[)^(x(z)) satisfazem

«ír} = 1 - ' í+i /U + «íí.) e = - 1 + 0 ^ / ( 1 - n > 1,

com Oo"* = 1. Explicitamente (com $ os momentos de ordem zero associados a

> ) — na2rl-\a2n-3 ' ' ' , M _ 0 2 " " ' ] >-.

«2n-l - - - ( 1 ) (,) 1 6 (1) (1) __ (1) ^

Além disso,

2zS{:Uz) = RÍP(z) + ( z - l ) ^ h ( z ) , n > 1,

onde R^{z) = (4zy^P^[x(z)).

54


A demonstração deste teorema segue de resultados dados em |1()| e |47|.

Consideremos agora, a relação de recorrência dc três termos (3.3.2). Logo, pelo

Teorema 3.1, os zeros de Sn^ são os autovalores da matriz dc, Hessenberg inferior

ih «2 0 ••• 0 0

r/j 7/2 «3 • • • U 0

H, r/i r/2 7/3 • • • 0

r/i % r/3 ••• r/n_i a n

r/i % r/3 • • • r)n^ r]n

-d r Q' r — l ? ''' onde 7/,, =

r = 2 , . . ., n. Assim, com ?/,.

1, 2,. .. , u e o.r a;. » U,r «y-I ~~ (i/ [1 - ! « S P ] , M-M i o -«r r = 1 , 2 , . . . . n e « r a,- VÍ>V,,

/• = 2 , . . . , 7i, {iodemos usar o Teorema 3.3 para obter limitantes para os zeros dos

polinómios de Szegó. Entretanto, a primeira parte do Teorema 3.3 não fornece um

resultado melhor, já que os zeros dos polinómios de Szegõ são conhecidos por estarem

no interior do disco unitário.

Podemos aplicar também o Teorema 3.4 (Teorema de Saff e Varga) para, a relação

de recorrência (3.3.2) e, assim, obtemos o seguinte resultado.

T e o r e m a 3.8. (1) Suponha que 0 < a^ < 1 para k = 1, 2 , . . . , n. Seja

T = ////'//{ ia. = aâ^},, k = 1 , 2 , . . . , ri}.

Então, a região parabólica

V+{T) = {z = x + iye C : y2 < 4r(r + x), x > - r } ,

não contém zeros de S\"\ ..., Sn \

(2) Suponha que 0 < ( - l ^ a f < 1 para k = 1 , 2 , . . . , n. Seja

T = M I N I - A ^ A ^ , k = 1 , 2 , . . . , ri}.

Então, a região parabólica

V ~ { t ) = {Z = X + iy G C : y2 < 4 r ( r - ;r), :r < r} ,

não contém zeros de S ^ , S^,. . ., Sn\

55

3.4 Polinómios com coeficientes não nulos

D e m o n s t r a ç ã o : A primeira parte deste teorema é obtida aplicando o Teorema 3.4

para a relação de recorrência (3.3.2). Para obter a segunda parte, precisamos escrever

a relação de recorrência (3.3.2) em termos dos polinómios {(~l) r \SÍ '^( — z)}, ou seja,

( - l ) n + l 5 S , ( - z ) = (z - ( - 1 YS^(-z) + - l a ^ n ^ - i r V «» / (In '

para n > 1. Como, por hipótese;, 0 < ( —1 < 1, os coeficientes da relação acima

são positivos. Logo, pelo Teorema 3.4, obtemos o resultado desejado. •

3.4 Polinómios com coeficientes não nulos

Pn(z) = Y bkzk = = bnPn{z),

k-0 k=0

h onde bk, k = 0 , 1 , . . . , n, são complexos, diferentes de zero e bk = — para K

A; = 0 . 1 , . . . , n. Seja Òfc-] Òfe_!

t k = - — = - j — , k = 1 , 2 , . . . , n . bk bk

Temos as seguintes expressões em termos de frações contínuas,

1 Pn

z»-1 + ^ - V " 2 + • • • + p-z + ^ 0n bn bn

1 t\Z t2z tn~lz

+ h - z + t2 - z + t-i

(3.4.1)

Pn(z) +

bn-1 bn-\ bn~ i 1 tn-[Z tn-'/Z

(3.4.2)

Z + tn - Z + ín_ 1 - Z + tn-2 - • • • - Z + ti

Da fração contínua (3.4.1), se considerarmos a sequência de polinómios { Q ^ j j ^ o go-

rada por Q^ = 1 e Q\l\z) = z + tx e

0 ( i ) | Vfc+i < (z + tk+i)Q[]}(z) - tkzQlll, (z), k = 1, 2 , . . . , n - 1,

então, pelo Teorema 2.1, Q ^ é o denominador do A;-ésimo convergente desta fração

contínua finita e, em particular, Qn^ = Pn.

56

3.4 Polinómios com cocíicicntcs não nulos

Analogamente, da fração contínua (3.4.2), considerando agora, os polinómios

{Q{k]YU Kû los por Q%> = 1 e Q\ M) z + tn e

Q[ll{z) = (z + tn,k)Qf{z) - t ^ z Q f ^ z ) , k = 1.2 „ I.

o. novamente usando o Teorema 2.1, concluímos que polinómio Q ^ é o denominador

do fc-ésimo convergente da fração contínua (3.4.2) e, da mesma forma, = Pn.

Portanto, usando o Teorema 3.1 para a relação de recorrência de três termos acima,

obtemos o seguinte resultado.

Teorema 3.9. Os zeros de Pn são os autovalores da matriz de Hessenberg inferior

- t n tn-1 0 • • • 0 0

-tn 0 tn-2 '••O 0

H, -tn

-tn

0 o

o o

o o

h 0 0 íi o o

Uma análise similar à prova do Teorema 3.3 com a matriz acima gera o seguinte

teorema.

Teorema 3.10. Sejam = max{|ífe|, k = 1, 2 , . . . , n - 1} e írf = max{|í^ ' |, k =

2 , 3 , . . . , n}. Para 0 < S < 1, considere os discos

A0,, {S) = {z : |z + ín | < h (<*)} e A0,2(<5) = {z : \z\ < p2( í )} ,

onde pf{6) = 5(1 - <$ ) -% | e p-2{ô) = ô~ltff. Então, os zeros do polinómio Pn estão

na região A0,i (6) UA ( ) ; i (á) . Em particular, valem os seguintes resultados:

(1) corri Ti = \tn \ +/,f/7 os zeros do polinómio Pn estão no disco

A, = {z : \z\ < n};

(2) com T, = os zeros do polinómio Pn estão no disco V ' Z -)U I I IAÍ _./l\l ! Í A-/ V2 «Í AÍ I / I 1 " "

A, = [z : \z + tn\ < r2};

57

3.4 Polinómios com coeficientes uao nulos

(3) com r-A = KvÕ^')2 + 4t*f\tn\ + t f f ] , os zeros do 'polinómio Pn estão na união

A ; j = A ; ! . ] U A.-j 2 <ÍOf> dlSCOS

A, {z : Iz + tnI < r3}

(4) com T,\ -f tjí'} 1, os zeros do polinómio Pu estão fora do disco aberto

Ã4 = {z : |z| < r.j}.

Demons tração : Da matriz H„ do Teorema 3.9, os discos Ao,i(£) e A0,2(<5) são obtidos

aplicando o Teorema 3.2 (Teorema de Gerschgorin) à matriz D á H n D ^ ' .

O resultado da parte (1) é obtido escolhendo ô tal que Pi(S) + \tn\ = p2{5). Para

demonstrar a parte (2), tomamos S tal que pi(5) = p2(á) + \tn\ e, a parte (3), 5 tal que

pdô) = p2(S).

Finalmente, o resultado da parte, (4) 6 obtido como o da parte (1), considerando o

polinómio znPn{l/z). Para esse polinómio, temos a seguinte matriz de Hessenborg

-ti[ t- 0 - C o tõ '

o o o o

tV o o C i «

• • o C - C o o

- C o o o o

Pela parte (1), os zeros de znPn(l/z), dados por cor = — (onde zr são os zeros de Pn),

estão no disco |z| < | C I + C Logo,

t4

e, consequentemente,

Ur > r4 .

Portanto, os zeros de Pn estão fora do disco aberto

Ã 4 = {z : |z| < T 4 } .

58

2.8 Exemplos

Observação 3.2. As interseções do duas ou mais das regiões dadas em cada parte

do teorema acima, geram regiões menores onde todos os zeros do polinómio Pn estão

contidos.

Agora, o próximo teorema fornece algumas informações sobre a variação dos zeros

quando os coeficientes de um polinómio variam como em uma progressão geométrica. n

Teorema 3.11. Seja |/i| > 0 e considere o polinómio Pn(z) = ^ bkzk tal que as razões k=o

bk-i ~ t,k = sao tais que h

\h ~ P\ < e, k — 1 , 2 , . . . ,n ,

com e um, número positivo. Então, todos os zeros de Pn estão no anel

C ( \ m - < w < 131 + (3.4.3) \ n + 1 J 7i+ 1

onde a Junção real ("(:/;) é igual a x, se x > 0, e igual a 0, caso contrário. O número

<7n é dado como no Lema 3.2.

D e m o n s t r a ç ã o : Se [d > 0, a prova deste teorema segue do Corolário 3.6.2 onde, neste

caso,

r -tn+fi t-n-i-P 0 ••• 0 0

~tn + P 0 ín_.2-/3 ••• 0 0

H f - H ^ n AXn ~tn + P 0 0

-tn + P 0 0

~tn + P 0 0

e, consequentemente, — H^Hoo < 2e.

Para obtermos o resultado quando [3 = \P\el9, t rabalhamos com o polinómio

H - p 0

0 íi - P

0 0

Pn(z) — Pn(zerie) o que completa a demonstração do Teorema.

3.5 Exemplos

E x e m p l o 1. Neste exemplo, analisamos o comportamento dos zeros dos polinómios

Qn para diferentes valores de an e pn na relação de recorrência (3.1).

3.5 Exciupios

• A Figura 3.1a mostra os zeros de Q2o quando fín = 1, a-Zn = - 0 . 0 5 e « 2 n + i = 0.05

para n > 1. Como indicado no Teorema 3.3, todos os zeros estão na região

1T(A|, A2, T), onde A, = -1 .05 , A2 = - 0 . 9 5 e r « 0.50825757.

• A Figura 3.16 mostra os zeros de Q2I) quando f)n = 1, a 2 n = 0.05 o cv2n.t, = —0.05

para n > 1. Os zeros estão na região H / (A 1 ,A 2 , r ) , com Ai = —1.05, A2 = —0.95

e r « 0.50825757.

• A Figura 3.1c mostra os zeros de Q2o quando j5\ = /i2 = - 0 . 1 , (íll+2 = 1 e an =

0.05 para n > 1. Todos os zeros estão na região M /(Ai,A2 , r ) , onde A] = —0.95,

A2 = 0.15 e T « 0.4858899.

• A Figura 3.1 d mostra os zeros de Q2a quando fix — (32 — 0.1, / in + 2 = — 1 e

an = 0.05 para n > 1. Novamente, pelo Teorema 3.3, todos os zeros estão na

região W(X1,X2,r), onde A: = -0 .10 , A2 = 1.05 c r « 0.50825757.

0.4

0 . 2

- 0 . 2

-0.4

-1 4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

(a)

0.4

0 . 2

0 - 0 . 2

-0.4:

-1.5 -1 -0.5 0

0.4

0 . 2

- 0 . 2

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

(6)

0.4-

0.2

0 - 0 . 2

-0.4

-0.5 0 0.5 1 1.5

(c) (d)

Figura 3.1: Zeros do polinómio Q20 gerados pela relação de recorrência (3.1) com quatro

combinações diferentes para as sequências ( a n j e {/J„}.

60

3.5 Exemplos

E x e m p l o 2. Sejam p > 0 e q > 0 tais que ^/p + v /q < 1. Considere os polinómios de

Szegó Sn'^ associados à medida de probabilidade dv{z), onde

A(p,q) ITTAÍP, q) J0{b) |sen(0)|

./o

2TT ,4(p,q) J2n-o(a) ' |sen(

com 6*(:Í;) = 2areeos(.x), A(.R) É igual a 0 pa ra x < 0 e igual a x para x > 0,

11 = I s/P ~ v ^ l ' b = v ^ + V^ ' = V T ^ ^ v T ^ 1 ^ ? e <?) = [1 - (p - q) +

B(Plq)}/2.

Observe que, se q > p, a medida tem um sal to no pon to 2 = — 1. Além disso, se

y / p + y/q < 1, então a medida t em um salto 110 ponto 2 = 1. Esse salto desaparece

quando y / p + y/q = 1.

Foi mos t rado em [10] que os coeficientes de reflexão sat isfazem

(0) = - B f a q) - i p ~ q ) e = -B(p, q) + (p - q),

para n > 1.

Supondo p e q tais que (p - q) > B(p,q), então os coeficientes de reflexão an =

Sn'Q\0) sat isfazem ( ~ l ) n a „ > 0, para n > 1. Deste modo, podemos aplicar o Teorema

3.8 para analisar os zeros de

A desigualdade (p — q) > B(p, q) significa t ambém, que p > q e, por tanto , a medida

associada não t em salto no ponto 2 = — 1.

Além de considerarmos (p - q) > B(p,q), restr ingimos t ambém p e q tais que

y/p - y/q = a pa ra um dado a, onde 0 < a < 1. Isto significa que o supor te da medida

está dentro do arco { 2 : 2 = ei0, - 2 arccos(a) < 0 < 2 arceos(a)}. Temos ainda, que

esta escolha pa ra p e q l imita seus valores por

^ ( o + v / T ^ ) < y/p< ~(l + a) e 0 < y/p - a = y/q. (3.5.1)

Por exemplo, se tomarmos a = 0.6, então

0.7 < ^ < 0 . 8 0

61

3.5 Exemplos

Para, urna escolha particular de p e q em (3.5.1), do Teorema 3.8 obtemos que os

zeros dos polinómios de Szegõ Sn'g\ para todo n > 1, estão fora, da região parabólica

V'{T) = {z = :r. + iy G C : y2 < 4T(T - x), x < r} ,

onde r = a2b2 — (1 — a 2 ) ( l — b>2), a = y/p - y/q e b = y/p + y/q.

Com a = 0.6, a escolha y/p = 0.8 e y/q = 0.2 fornece os polinómios do Szegõ c ( 0 . 0 4 , 0 . 0 4 ) , c ( 0 . 6 4 , 0 . 0 4 ) n r c ( 0 . 6 4 , 0 . 0 4 ) n r \ 1 r u

b„ ', onde { (0) = - 0 . 6 e S>2n (0) = 0.6 para n > 1. Observe que,

neste caso, b = 1 e, conseqiientemerite, a medida não tem salto no ponto 2 = 1. O

suporte da medida está destacado sobre o círculo unitário dado na Figura 3.2a.

Os polinómios 5,(°-6/|'0-04)) n > ^ devem ter todos os seus zeros fora da região

parabólica V~ (0.36). Na Figura 3.2o,, ilustramos este caso para o polinómio S1^'64 '° '01\

Tornando, novamente, a = 0.6, a escolha y/p = 0.75 e y/q = 0.15 fornece os po-

linómios de Szegó % onde s£ I Í ' ° - 1 5 2 ) (0 ) « -0.8887119 e 0) «

0.191288, para n > 1. O suporte da medida está destacada sobre o círculo unitário

dado na Figura 3.2b. A medida tem salto no ponto z = 1. (0 7rj2 0 152') • i •

Os polinómios Sn ' ' , n > 1, devem ter todos os seus zeros fora da região

parabólica "P"(0.17). Como mostra a Figura 3.2b, isto é verdade para o polinómio

51 0 . Esclarecemos que o zero de ò)0 ' que esta muito proxnrro a z = 1

é, aproximadamente, 0.999991502995.

( a ) (b)

Figura 3.2: (a) Zeros de sj°-64>0-04) localizados fora da região parabólica V~(0.36). (b) Zeros

de S ^ 7 5 1 ^ localizados fora da região parabólica "P_(0.17).

62

3.5 Exemplos

E x e m p l o 3. Consideremos os polinómios de Szegó com an = qn, n > 1, onde 0 < q <

1. De (3.3.2), quando q > 0, esses polinómios (denotados por S^fi) satisfazem à relação

de recorrência de três termos

^ ( z ) = (z + q)SP(z) - q{ 1 - ifnzSXUz), n > 1, (3.5.2)

com S j ^ z ) = 2; + q.

Considere os polinómios para-ortogonais R r l ^ = R ^ e = Rl'P definidos por

(3.3.3). Esses polinómios satisfazem

R ^ í ( z ) = (z + 1 ) 1 % ' % ) - (1 + ( T ^ U - (z), n > 1, (3.5.3)

^ h Í ( Z ) = (z + l ) /d 2 , 9 ) (z) - (1 - qn)( 1 + ? n + 1 ) z i Ô Í (z),

com r [ ] , ( ' \ z ) = R ^ ' q \ z ) = z + l . Portanto, do Teorema 3.7, os polinómios Pn'9\x) =

(42)--"/'2i?iíl,")(2;), ii > 1, onde x = x{z) = $zx>2 + z " ^ 2 ) , satisfazem

PH+h*) = xP^\x) - 1(1 + qn~ ')(1 - <r)P£?(*), n > 1,

com = x. Essa relação de recorrência mostra que (veja (1, 2j) os polinómios

{Prí1'9'} são certos polinómios de Al-Salam-Chihara, ortogonais com relação à medida

7T x/í .X

definida em [ -1 ,1 ] , onde /i(:r, c) = n ^ o l 1 ~ 2 c X ( lk + (?Q2k] « M ) o c

n r = 0 ( l — aí/A:)- Portanto, ainda do Teorema 3.7, obtemos que

SM{z)S${z)dvM(z) = 0, n ^ m , Jc

ondo d!M(cw) = ( g 1 / 2 ^ 2 , * / 1 ^ - ^ / 2 - , í?)^ ( — — P o -

demos escrever, também,

71 ZlZ

Note que {£(1 + qn'l){ 1 - e U l 1 " ( i")(l + íln+ ')},?=i «ão sequências en-

cadeadas positivas com sequências de parâmetros { + (1 - <7n)}S£Lo e { f í 1 + </n+1)}»U>

respectivamente. Consequentemente, de (3.5.3) e do Teorema 3.5, todos os zeros de

R ^ estão sobre o círculo unitário aberto C{$ = {z : z = e%\ 0 < 0 < 2ti}.

63

3.5 Exemplos

Como (1 - q2") < (1 + 1 - qn) para ri > 1, a sequência {1(1 - q2n)}^=l

também é uma sequência encadeada positiva. Portanto, de (3.5.2) e do Teorema 3.5,

todos os zeros dc S f estão sobre o círculo aberto C(q) = {z : z = qe10, 0 < 9 < 2TT}.

Além disso, em (3.5.2), temos q(\ — q2n) < q — q2m~i para 1 < n < rn — 1. Portanto,

da parte (2) do Corolário 3.5.1, os zeros de qualquer Sn \ 1 < n < rn, devem estar

sobre o arco do círculo C(q) que está fora da região parabólica V+(q2'"1"1).

Também em (3.5.3), para R n ^ temos, por exemplo, (1—</n)(l + </"+l) < (l—q2"'~ ')

para 1 < n < m — 1. Portanto, da parte (2) do Corolário 3.5.1, os zeros dc qualquer

1 < n < rn, devem estar sobre o arco do círculo C{ 1) que está fora da região

parabólica V+(q2m"~').

Esses resultados são confirmados através das Figuras 3.3a e 3.36 onde, os zeros de

S[q e os zeros de R f ^ estão ilustrados para q = 0.9 c q = 0.8, respectivamente. Os

zeros de R-[q''\ indicados por pequenos círculos, estão sobre o círculo unitário e os zeros

de S^Q, indicados por pequenos quadrados, estão sobre um círculo com raio q. Estes

zeros estão fora da região parabólica V+(q19).

(«) (6)

Figura 3.3: Zeros de s\QJ (indicados pelos quadrados) e zeros de Ii[yí/) (indicados pelos

círculos), quando (a) q = 0.9 e (b) q = 0.8.

64

3.5 Exemplos

E x e m p l o 4. Seja Pn(z) = onde \bk\ = 2fc, k = 0 , 1 , . . . , n. De acordo com a

parto (1) do Teorema 3.10, todos os zeros do, Pn devem estar no disco Ai = {\z\ < 1}.

Claramente isto 6 verdade se bk = 2k, k = 0 , 1 , . . . ,n , já que os zeros do Pn estão todos

sobre o círculo \z\ = 1/2.

As Figuras 3.4a o 3.46 mostram os zeros de Pn para duas outras escolhas de {bk}

satisfazendo à condição ]bk\ = 2k e são comparados com os resultados dados pelo

Teorema 3.10. Nessas figuras, o círculo maior é a fronteira da região A2, o círculo

intermediário, a fronteira de Ai e o círculo menor é a fronteira da região A4 = [\z\ <

0.25}.

Na Figura 3.4a os zeros de P2o são dados quando bk = 2k, k = 2 , . . . , 18 e b0 = -i,

bi = 2i, bh) = 2wi e b2o = —220i. Os zeros estão na interacção das 4 regiões dadas pelo

Teorema 3.10.

Na Figura, 3.4Ò os zeros de P2o são dados quando bk = 2fc, k = 1 , . . . , 19, 60 = —1

o b2o = —220. Novamente os zeros de P2o estão na intorseção de todas as regiões dadas

pelo Teorema 3.10. Esclarecemos que o zero próximo á fronteira do disco A t vale

aproximadamente 0.99999857, enquanto que, o zero próximo a, fronteira do disco A4

tem o valor aproximado de 0.25000036. Isto indica que os resultados (parte (1) e parte

(4)) do Teorema 3.10 são satisfeitos.

0.5

-0.5

0.5

o-

-0.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(a)

-1 -0,5 0 0.5 1 1.5

(6)

Figura 3.4: Os zeros de P20 quando |òfc| = 2k, k = 0 , 1 , . . . , 20.

65

Capítulo 4

Considerações finais

Como já mencionamos, uma das propriedades mais importantes dos polinómios ortogo-

nais e similares 6 a relação de recorrência de três termos, que se tornou uma ferramenta

poderosa para estudá-los. Um importante resultado, frequentemente atribuído ao ma-

temático francês Favard (enunciado por ele em 1935), pode ser enunciado da seguinte

forma:

Dadas as sequências de números e se

(3n e B, e a n + i > 0 , II > 1,

então existe uma medida dq') tal que os polinómios ortogonais mônicos {Pn = Pn'])

associadas a esta medida satisfazem, à relação de recorrência

Pn+l(x) = (:/; - íín+í)Pn(x) - (vn+iPn- i (,x), n > 1, (4.1)

corri Po = 1 e P\ (x) = (x — fti).

Este resultado, previamente conhecido por vários matemáticos, é parte fundamen-

tal das soluções dos famosos problemas de momentos (veja Teorema 2.1), que deram

origem a vários resultados fundamentais da matemát ica moderna, inclusive as integrais

de Stieltjes. Desde então, muitas contribuições voltadas à obtenção de informações so-

bre a medida d4 a part ir dos coeficientes an e f3n foram obtidas, incluindo os zeros dos

polinómios {Ph^} e as fórmulas de quadratura associadas.

A partir do artigo de Jones, Thron e Waadeland [24|, publicado em 1980, surgiu

66

Considerações finais

uma nova vertente de trabalhos focada na relaçao de recorrência

Qn+i (x) = (.t + Bn+1)Qn(x) - an+]xQn^(x), n > 1, (4.2)

com Qo — 1 e Q\{x) = (./; - /?,), com os coeficientes satisfazendo

(3n < 0, a n + l > 0, n > 1. (4.3)

O trabalho de nossa autoria descrito no Capítulo 3, envolve um estudo sobre o com-

portamento dos zeros de polinómios Qn obtidos através da relação de recorrência (4.2),

mas com condições diferentes daquelas dadas em (4.3). Evidentemente, este estudo

pode ainda ter continuidade com a obtenção de muitos resultados novos.

Em (28], Leopold apresenta novas relações entre duas famílias de polinómios defini-

dos por relações de recorrência de três termos do tipo (4.1). Essas relações permitiram

ao autor estudar de que modo algumas propriedades de uma família de polinómios or-

togonais são afotadas quando os coeficientes da relação de recorrência são perturbados.

A maioria dos métodos existentes na literatura são eficazes para pequenas perturba-

ções. O novo método mostrado nesse artigo permite resolver o problema de perda de

informações no caso de grandes perturbações. Acreditamos que um estudo semelhante

ao desenvolvido por Leopold |28|, mas agora direcionado para os polinómios gerados

pela relação de recorrência do tipo (4.2), seria bastante interessante.

Uma nova família de polinómios, chamados de polinómios 7n-simétricos, foram

introduzidos por Delsarte e Genin (veja, por exemplo, |15|) e são construídos através

dos polinómios de Szegõ, inclusive com coeficientes complexos, cujos zeros se entrelaçam

no círculo unitário. É interessante observar que esses polinómios também satisfazem a

uma relação de recorrência de três termos do tipo (4.2). Em [12], Bunse-Gerstner e He

interpretam esses polinómios em termos dos polinómios característico de certas matrizes

de Hessenberg. É interessante verificar se existe alguma relação entre os polinómios

7 ? rsimétricos e os polinómios para-ortogonais considerados no Capítulo 3. Também

seria interessante considerar um estudo sobre os zeros dos polinómios 7n-simétricos.

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· Um estudo dos zeros de polinómios ortogonais na reta real e no círculo unitári eo outros polinómios relacionados Andrea Piranhe da Silva Orientador: Prof. Dr. Alagacone Sri