aula de polinómios

Denies e exemplos Operaes de Polinmios Casos notveis Decomposio Exerccios Bibliograa

Aula de Polinmios 8

o

ano

Ensino da Matemtica I

Tnia Lopes

FCTUC - Departamento de Matemtica

27 de Janeiro de 2012

Ensino da Matemtica I Tnia Lopes

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Denio de polinmio

Um polinmio uma soma algbrica em que a varivel x no

aparece no denominador.

Exemplo:

4x

5 + 3x3 +2

5

x 34


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Denio de monmio

Um monmio cada uma das parcelas que constitui a soma, ou

seja, um nmero ou um produto de nmeros, alguns deles podem

ser representados por letras e assim podem tomar quaisquer valores

(a isto chama-se varivel).

Exemplo: O polinmio,

x

5 + 3x3 +2

5

x 34tm 4 monmios.


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Denio de binmio

Um binmio um polinmio com dois monmios.

Exemplo:

x

5 + 34


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Denio de trinmio

Um trinmio um polinmio com trs monmios.

Exemplo:

3x

3 +2

5

x 34


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Denio de Monmios Semelhantes

Chamam-se monmios semelhantes aos monmios que tm a

mesma parte literal, ou seja,

2x

2

,

5

8

x

2

, 6x2 so monmios semelhantes de parte literal x2;

12

x , 5x , 82x so monmios semelhantes de parte literal x ;

4, 32

, 6, 25

so monmios semelhantes de parte literal

chamados termos independentes.


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Operaes de Polinmios

Adio;

Subtraco;

Multiplicao;

Diviso (dada mais tarde).


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Adio

A soma de dois polinmios o polinmio que se obtm ligando os

dois polinmios pelo sinal de adio.

Exemplo:

A soma dos polinmios,

x

4 + 2x2 5x 3 e 2x4 3x3 5x2 + 4x 2.

(x4+2x25x3)+(2x43x35x2+4x2) = x43x33x2x5

.


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Subtraco

A diferena de dois polinmios o polinmio que se obtm

ligando-os pelo sinal de subtraco, aqui deve-se colocar

correctamente os parntesis.

Exemplo:

A diferena dos polinmios,

x

4 + 2x2 5x 3 e 2x4 3x3 5x2 + 4x 2.

(x4+2x25x3)(2x43x35x2+4x2) = 3x4+3x3+7x29x1

.


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Multiplicao

O produto de dois polinmios o polinmio que se obtm

ligando-os pelo sinal de multiplicao.

Aqui temos trs casos:

Multiplicao de dois monmios

Multiplicao de um monmio por um polinmio

Multiplicao de dois polinmios


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Caso 1: Multiplicao de dois monmios

Exemplo: A multiplicao de 3x2 com 2x ,

(3x2) (2x) = 6x3

.

Em geral,

(ax) (bx) = abx+


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Caso 2: Multiplicao de um monmio com um polinmio

Exemplo: A multiplicao de 3x2 com 2x + 1 ,

(3x2) (2x + 1) = 6x3 3x2

.

Em geral,

(ax) (bx + cx) = abx+ + acx+


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Caso 3: Multiplicao de dois polinmios

Exemplo: A multiplicao de 3x2 2x 3 com 2x + 1 ,

(3x2 2x 3) (2x + 1) = 6x3 3x2 4x2 2x 6x 3 =

= 6x3 7x2 8x 3.

Em geral,

(a0

x

n + ... + an1x + an) (b0xm + ... + bm1x + bm) =

= (a0

x

n) (b0

x

m + ... + bm1x + bm)+

+...+(an1x)(b0xm+...+bm1x+bm)+an(b0xm+...+bm1x+bm)


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Na multiplicao de dois polinmios aplica-se, normalmente, a

propriedade distributiva. No entanto, h produtos de polinmios

que possvel calcular de uma forma mais rpida. H dois casos:

Quadrado de um binmio;

Diferena de quadrados.


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Primeiro caso:Diferena de quadrados

(a b)(a + b) = a2 b2


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Segundo caso: Quadrado de um binmio

(a b)2 = a2 2ab + b2


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Generalizando...

O quadrado de um binmio o polinmio cujos termos so: o

quadrado do 1

o

monmio, o dobro do produto do 1

o

monmio pelo

2

o

e o quadrado do 2

o

monmio, ou seja,

(a b)2 = a2 2ab + b2


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Forma 1) Pondo em evidncia factores comuns

Exemplo:

3x

3 + 9x2 12x + 15 = 3(x3 + 3x2 4x + 5)Aplicou-se a propriedade distributiva no sentido inverso do que

habitual: a b + a c = a (b + c).Chama-se a este procedimento pr em evidncia os factores comuns

aos vrios termos do polinmio.


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Forma 2) Utilizando os casos notveis da multiplicao

Recorda (casos notveis):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2(a + b)(a b) = a2 b2

Exemplo:

(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2(a + b)(a b) = a2 b2Exemplo:

(2a 3)2

= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9

(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25

(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)

= b2 125


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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(2a 3)2= (2a)2 2 2a 3+ 32 = 4a2 12a + 9(2y +1

5

)2

= 4y2 +4

5

y +1

25(b 15

)(b +1

5

)= b2 125


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Forma 3) Utilizando os dois processos anteriores

Exemplo:(12

x + 3

)(12

x 3) 3

(x 12

)2

= 114

x

2 3x 394(2 12

x

)(2+1

2

x

) 2 (x 3)2 = 94

x

2 + 12x 14


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Exemplo:(12

x + 3

)(12

x 3) 3

(x 12

)2

= 114

x

2 3x 394

(2 12

x

)(2+1

2

x

) 2 (x 3)2 = 94

x

2 + 12x 14


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Exemplo:(12

x + 3

)(12

x 3) 3

(x 12

)2

= 114

x

2 3x 394(2 12

x

)(2+1

2

x

) 2 (x 3)2

= 94

x

2 + 12x 14


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Exemplo:(12

x + 3

)(12

x 3) 3

(x 12

)2

= 114

x

2 3x 394(2 12

x

)(2+1

2

x

) 2 (x 3)2 = 94

x

2 + 12x 14


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Exerccio 1:

Qual o permetro do retngulo, sabendo que as medidas dos lados

dado pelas expresses abaixo da gura?


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Exerccio 2:

Efetue e simplique.

a) (2 x)2 (4 x) (4+ x)b)

(1

2

13

x

)(1

2

+1

3

x

)c) (a + 3) (b + 5)d) 2 (3x + 1)2 (2x 3) (2x + 1)


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Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Lus; Neves, Armando;

Matemtica - 2 Parte, 8ano, Porto Editora, 1a Edio, 2008


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