ÍNDICE - portaldoconhecimento.gov.cv 1... · Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar” 6 - No tratamento da unidade temática, “equações

ÍÍNNDDIICCEE

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO........................................................................................................................................................................................................................................ 55

II –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS EE SSUUAASS RRAAÍÍZZEESS ...................................................................................................................................................................................... 77

TEOREMA DE KRONEKER ...................................................................................................................................................................................... 11 TEOREMA DE VIETT ............................................................................................................................................................................................. 13

IIII –– AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDAASS FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE VVIIEETTTT NNAA RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS NNOO EENNSSIINNOO SSEECCUUNNDDÁÁRRIIOO ...... 1166

EXERCÍCIOS. PARTE I.......................................................................................................................................................................................... 16 EXERCÍCIOS. PARTE II........................................................................................................................................................................................ 19

IIIIII –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS DDEE ““NN”” VVAARRIIÁÁVVEEIISS...................................................................................................................................................................... 2211

TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS .............................................................................................. 23

IIVV –– AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS PPRRÁÁTTIICCAASS DDEE PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS SSIIMMÉÉTTRRIICCOOSS .................................................................................................................. 2299

1. RACIONALIZAR O DENOMINADOR ........................................................................................................................................................ 29 2. CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS ............................................................................................................................................................. 32 3. RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS.......................................................................................................................................... 37

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS........................................................................................................................................................................................................ 4433

SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 44

CCOONNCCLLUUSSÃÃOO ...................................................................................................................................................................................................................................... 4466

FFOONNTTEESS BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIICCOOSS .................................................................................................................................................................................................... 4477

Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”

5

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO

O ensino da Matemática tem sido alvo de muitos estudos devido ao

fraco aproveitamento dos alunos. As razões que levam à essa situação são várias e, uma delas,

certamente, está ligada com a maneira como a disciplina tem sido leccionada, isto é, com os tipos de exercícios que são introduzidos na turma, com a motivação dos alunos, com a metodologia utilizada na resolução dos exercícios/problemas, etc.

Nesta perspectiva, é necessário analisar bem as unidades temáticas de forma a permitir uma boa selecção dos exercícios para a motivação dos alunos, despertando neles o gosto pela disciplina o que, por sua vez, vai facilitar a aprendizagem.

Assim, tendo em conta estes aspectos, levantou-se a seguinte hipótese: - “Se forem apresentados aos professores diversidades de

exercícios/problemas, bem como uma forma para construir os seus próprios exercícios/problemas, terão mais possibilidades para motivar os alunos e, por conseguinte, atingir melhores resultados na disciplina de Matemática”.

Foi assim que surgiu o tema da minha tese para obtenção do grau de licenciatura em Matemática, Aplicação de “Polinómios” na resolução de Problemas da “Matemática Elementar”, que pauta pelos seguintes objectivos:

- Fazer uma abordagem teórica dos polinómios e suas raízes ao nível da Álgebra Superior;

- Aplicar o teorema de Viett na resolução de exercícios/problemas no estudo das equações do 2º grau;

- Apresentar uma metodologia para racionalização do denominador de uma fracção;

- Considerar o método de resolução de sistemas simétricos; - Dar sugestões de criação de novos exercícios sobre o tema; - Propor diversos exemplos de problemas. Para traçar estes objectivos parti dos seguintes pressupostos:


6

- No tratamento da unidade temática, “equações do 2º grau”, no 10º ano de escolaridade, os manuais apresentam pouca diversidade de exercícios, que permite aos professores explorar a capacidade dos seus alunos. Os exercícios/problemas devem ser elaborados de tal forma que elevem a capacidade de raciocínio dos alunos, que motivem os alunos para a aprendizagem, que relacionem aquilo que se está a aprender com o já aprendido. Por exemplo: “Sem resolver a equação, 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação cujas raízes são inversos das suas”.

- Os processos da racionalização de denominadores das fracções utilizados no Ensino Secundário não permitem a resolução de alguns

exercícios. Por exemplo: a racionalização da fracção, =+12

14

;

- Os exercícios de construção de polinómios são pouco diversificados, pois não abordam a relação entre polinómios, por exemplo: “Seja

( ) 123 −+−= xxxxf . Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes são cubos das raízes de ( )xf ”.

- A resolução dos sistemas simétricos não contemplada no programa tem feito falta. Este conteúdo pode ser ministrado, pois o método de resolução está ao alcance dos alunos. È o caso do sistema,

+=+

+=+

3

1322

uvvu

uvvu.

O trabalho ora apresentado foi realizado com base nas pesquisas e análises bibliográficas. Ao longo da sua realização, houve vários encontros de reflexão entre a orientadora e o autor, que permitiram o seu enriquecimento.

Pretende-se que este trabalho seja acessível a todos aqueles que pretendem obter uma orientação na escolha dos exercícios/problemas ao longo do tratamento das unidades temáticas nele referidas.


7

II –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS EE SSUUAASS RRAAÍÍZZEESS

Tendo em consideração o tema deste trabalho, Aplicação de “Polinómios” na resolução de Problemas da “Matemática Elementar”, considera-se de grande importância fazer uma pequena abordagem dos polinómios e as suas raízes.

Na origem de todos os assuntos básicos da Matemática Elementar (em particular, Álgebra) estão teorias fundamentais da Matemática ou Álgebra Superior.

As propriedades gerais encontram suas aplicações “simplificadas” em situações restritas ao nível “elementar”.

Assim polinómios de uma variável considerados sobre os corpos de números reais (R) e racionais (Q) a nível do Ensino Secundário são casos particulares dos polinómios de uma variável, construídos sobre um domínio de integridade com identidade L de característica zero (ou corpo qualquer P)

A noção de um polinómio introduz-se ao nível do Ensino Secundário no 8º ano e atinge uma certa profundidade nos níveis de ensino posteriores onde os alunos estudam polinómios com coeficientes reais.

Definição 1: Chama-se polinómio de variável x a toda expressão racional inteira redutível à forma 01

11 ...)( axaxaxaxf n

nn

n ++++= −− (forma

canónica), em que: e 011 ;;...;; aaaa nn − são números reais e 0≠na e n é um número natural ou nulo, isto é, 0Nn ∈ e Às expressões 01

11 e ,...,, axaxaxa n

nn

n−

− dá-se o nome de termos do polinómio e os números 011 e ;;...;; aaaa nn − denominam-se por coeficientes.

e Ao grau da potência nnxa chama-se grau do polinómio.

Exemplos 1: a. 132 2 +− xx (grau 2) b. 13 −x (grau 1)


8

c. 232 23 +−+− xxx (grau 3) Nota 1:

a. Os polinómios de grau 0 (zero) chamam-se constantes b. O grau de um polinómio nulo é indeterminado

É claro que introduzindo a Definição 1 no 9º Ano de Escolaridade, não se faz referência às questões:

à Que estrutura algébrica formam polinómios sobre um corpo (corpo numérico)?

à Como se constrói essa estrutura? à Que propriedade possui essa estrutura, e porquê?

São momentos importantes e pensa-se que saber e compreender a sua fundamentação algébrica rigorosa é muito importante para os professores do Ensino Secundário, pois estende os seus horizontes de conhecimento e transforma-os em profissionais mais qualificados na sua área.

Por isso se vão abordar neste trabalho alguns capítulos da Teoria dos polinómios sobre um domínio de integridade com identidade L (ou corpo P)

Definição 2: Seja L – domínio de integridade com identidade, x um elemento transcendente sobre L.

Ao anel de polinómios de uma variável sobre L chama-se extensão simples transcendente L[x].

Os elementos desse anel chamam-se polinómios de uma variável x sobre L e designam-se por f(x), g(x), etc.

A Definição 2 é algébrica e é equivalente à definição funcional de polinómios só quando L é domínio de integridade de característica zero ( 0=char ).

Desse modo as definições algébrica e funcional de polinómios consideradas sobre os corpos numéricos (Q, R, C), não se distinguem.

O estudo das raízes de um polinómio no Ensino Secundário é uma das

grandes prioridades dentro da Matemática, uma vez que na resolução de equações do tipo 0... 01

11 =++++ −

− axaxaxa nn

nn não se faz outra coisa se não

procurar todas as raízes do polinómio que compõe o primeiro membro da equação. Seja 01


nn

n ++++= −− polinómio sobre o corpo P e ∆

extensão de P , isto é, ∆⊆P , então ( ) ∆∈∆∈∀ αα f:

Definição 3: Um elemento ∆∈α tal que ( ) 0=αf chama-se raiz do polinómio de ( ) [ ]xPxf ∈ .

Exemplo 2: -3 é uma raiz do polinómio 35)( 23 +−+= xxxxf , com efeito:

( ) ( ) ( ) 031592733533)3( 23 =+++−=+−⋅−−+−=−f Teorema 1: Um elemento ∈1x P é raiz de um polinómio ( ) [ ]xPxf ∈ se e

somente se o binómio 1xx − é divisor de ( )xf .


9

Demonstração Segundo o Teorema de Bezout1, o resto da divisão inteira de )(xf por

1xx − é )( 1xf , por isso: g Se )(xf é divisível por 1xx − , então o resto é igual a zero; logo

f( 1x ) é igual a zero, isto é, 1x é raiz. g Se 1x é raiz de )(xf , então 0)( 1 =xf , logo )(xf é divisível por

1xx − . Nota 2: O Teorema 1 é condição necessária e suficiente para que 1x

seja raiz do polinómio ( )xf . Deste modo pode-se apresentar outra definição equivalente a Definição 3.

Definição 4: Um elemento Px ∈1 chama-se raiz do polinómio ( ) ][xPxf ∈ se ( )xf se divide por 1xx − .

Esta definição pode ser generalizada para o caso de raízes múltiplas de polinómios.

Definição 5: Um elemento Px ∈1 chama-se raiz de ordem, Nk ∈ , do polinómio ( )xf se ( )xf é divisível por ( )kxx 1− e não por ( ) 1

1+− kxx .

Assim sendo: g As raízes de ordem 1 (um) chamam-se raízes primas ou simples; g As raízes de ordem 2 (dois) chamam-se raízes duplas; g As raízes de ordem 3 (três) chamam-se raízes triplas; etc. Exemplo 3: O polinómio 43)( 23 +−= xxxf admite uma raiz dupla )2( e uma prima

)1(− , com efeito, ( )xf é divisível por ( )22−x e não por ( )32−x e é divisível por 1+x e não por ( )21+x .

Utilizando a regra de Ruffini2, pode-se constatar isto:

1 -3 0 4 2 2 -2 -4

1 -1 -2 0 = R 2 2 2

1 1 0 = R -1 -1

1 0 =R

( ) ( )12)( 2 +⋅−= xxxf Nota 3: a) Se ( )xf é um polinómio nulo, então Px ∈∀ 1 é raiz de ordem

indefinida de ( )xf , com efeito ( )xf é divisível por ( )mxx 1− com Nm ∈ ;

1 Bezout (Estevão) – Matemático Francês (1730-1783)

2 Ruffini – Matemático e Médico Italiano (1765-1822)


10

b) Se 0)( ≠xf , então qualquer raiz Px ∈1 tem a ordem determinada f(x) deg ≤k , pois ( )xf é divisível por ( )kxx 1− e não por ( )mxx 1− , f(x) deg >m ;

c) Se 1x é raiz de ordem k de ( )xf onde nk < e f(x) d n eg= , então: ( ) )()( 1 xgxxxf k ⋅−=

Teorema 2: A quantidade de todas as possíveis raízes dum polinómio [ ]xPxf ∈≠ 0)( não é mais do que o seu grau.

Demonstração Suponhamos que:

11 k ordem de raíz é x ; 22 k ordem de raíz é x ;

… mk ordem de raíz é mx .

( ) ( ) ( ) )(...)( 2121 xgxxxxxxxf mk

mkk ⋅−⋅−⋅−= onde ( )xg é um polinómio para

o qual nenhum dos elementos mxxx ,...,, 21 é raiz. Então, ++++= mkkk ... f(x) deg 21 ( )xg deg , isto é: deg...21 <+++ mkkk ( )xf . Corolário 1: Se ( ) [ ]xPxf ∈ de grau n tem 1+n raízes diferentes, então

é um polinómio nulo. Agora passaremos a enunciar um teorema conhecido por princípio de

identidade de dois polinómios. Teorema 3: Dois polinómios [ ]xPf(x) e g(x) ∈ , cujos graus não são maiores

do que n , são iguais se eles tomam valores iguais em 1+n pontos diferentes. Demonstração

Sejam, ∑=

−−=

n

i

inin xaxf

0)( e ∑

=

−−=

n

i

inin xbxg

0)(

Suponhamos que ( )xg e ( )xf tomam os mesmos valores para os seguintes 1+n valores diferentes:

)()( 11 xgxf = )()( 22 xgxf =

… )()( nn xgxf =

)()( 11 ++ = nn xgxf Então, ( ) ( )xgxf − cujo grau não é superior a n , anula-se para

1+n valores diferentes, isto é, ( ) ( )xgxf − tem 1+n raízes (pelo menos). Então pelo Corolário 1, ( ) ( ) 0=− xgxf ⇔ ( ) ( )xgxf = . Definição 6: Seja *P uma extensão de P e [ ]xPxp ∈)( um polinómio

irredutível. Quando )(xp tem uma raiz em *P , dizemos que *P é um corpo de ruptura de )(xp .

Definição 7: O corpo P chama-se corpo de decomposição do polinómio ( )xf , se ( )xf se decompõe em factores lineares em [ ]xP .


11

Definição 8: O corpo P chama-se algebricamente fechado se todas as raízes de polinómio arbitrário ( ) [ ]xPxf ∈ pertencem ao mesmo corpo P , isto é, se for corpo de decomposição de qualquer polinómio sobre ele.

De seguida vamos apresentar um teorema de grande utilidade na resolução de exercícios práticos apresentados neste trabalho, que descreve o processo de construção de um corpo de ruptura de um polinómio irredutível.

TEOREMA DE KRONEKER3 Teorema 4 (de Kroneker): Se f(x) é um polinómio de grau 1≥

irredutível sobre o corpo P, então existe uma extensão do corpo P, que contem uma determinada raiz de f(x).

Demonstração Consideremos o anel [ ]xP e construímos o anel – quociente [ ]

( ))(xfxP

(corpo de ruptura), onde ( )xf é irredutível sobre P . [ ]

( ))(xfxP é o anel de classes de restos obtidos da divisão de qualquer

polinómio ( ) [ ]xPxg ∈ por ( )xf . g Além disto, [ ]

( ))(xfxP é um corpo, isto é, para as classes de

[ ]( ))(xf

xP diferentes de ( )xf=0 se efectua a divisão, isto é, todo o elemento de [ ]

( ))(xfxP diferente de 0 é invertível.

Para se convencer disso, devemos mostrar a existência da classe que desempenha o papel da unidade e que, para qualquer classe diferente de 0 , existe a classe inversa.

A unidade de [ ]( ))(xf

xP é 1, isto é, a classe de polinómios que na divisão

por ( )xf dá resto 1. Seja )(xS ∈ [ ]

( ))(xfxP , uma classe diferente de 0 e ( )xs ∈ )(xS , então

( )xs não é divisível por ( )xf , e sabendo que ( )xf é irredutível, tem-se ( ) 1)();( =xfxsMDC , isto é, ( ) ( ) [ ]xPxvxu ∈∃ e :

1)()()()( =⋅+⋅ xvxfxuxs 1)()()()( +⋅−=⋅⇔ xvxfxuxs , o que significa que 1)()( =⋅ xUxS , onde

)(xU a classe que contém ( )xu .

1)()( =⋅ xUxS ( ) 1)()(

−=⇔ xSxU , isto é, )(xU é inverso de )(xS .

Logo, [ ]( ))(xf

xP é um corpo.

g Mostremos que [ ]( ))(xf

xP é extensão do corpo P .

Pomos em correspondência a cada elemento a de P uma classe de polinómios que tem o resto igual a ""a (polinómio de grau zero) na divisão por f(x), isto é, aa → .

3 Kroneker (Leopold) – Matemático Alemão (1823-1891)


12

Tais classes completam um subcorpo do corpo [ ]( ))(xf

xP isomorfo a P .

Realmente a bijecção é evidente e a "." e ""+ de elementos de P corresponde a “+” e “.” das classes às quais pertencem os elementos de P .

Por isso, pode-se não distinguir os elementos de P e as classes correspondentes de [ ]

( ))(xfxP .

g Designemos por X a classe de polinómios que tem o resto ""x na divisão por ( )xf . X ∈ [ ]

( ))(xfxP .

É fácil verificar que X é raiz do polinómio ( )xf em [ ]( ))(xf

xP .

Seja 011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

− e iA uma classe correspondente a Pai ∈ , ( )ni ,0= .

Consideremos o elemento 011

1 ... AXAXAXA nn

nn +⋅++⋅+⋅

−− do corpo

[ ]( ))(xf

xP .

A classe 011

1 ... AXAXAXA nn

nn +⋅++⋅+⋅

−− contem ( )xf (tendo em conta as

regras de "." e ""+ de classes). Como ( )xf é divisor de ( )xf , então essa classe é igual a classe 0 . Deste modo, substituindo em 01

11 ... AXAXAXA n

nn

n +⋅++⋅+⋅−

− as classes

iA por respectivos elementos Pai ∈ , verifica-se que no corpo [ ]( ))(xf

xP tem

lugar: 0... 01

1

1 =++++−

− aXaXaXan

n

n

n , isto é, a classe X é raiz de ( )xf . Como consequência deste teorema, pode-se enunciar o seguinte

teorema: Teorema 5: Para qualquer polinómio )(xf de grau 1≥ sobre o corpo P,

existe uma extensão L do corpo P, tal que )(xf se representa sob a forma de produto de factores lineares, isto é, L é o corpo de decomposição de )(xf .

Demonstração Com efeito: Seja ][)( xPxf ∈ de grau 1≥n . Pelo Teorema 4 existe uma extensão 1K

de P, tal que )(xf tem uma raiz 1x e, por isso, pode ser representada sob a forma:

( ) )()( 11 xfxxxf ⋅−= , onde )(1 xf ][1 xK∈ e grau de )(1 xf é 1−n . Aplicando o Teorema 4 ao corpo 1K e ao polinómio )(1 xf , obtemos a

extensão 2K do corpo 1K , onde existe uma raiz 2x do polinómio )(1 xf . Claro que 2x é raiz de )(xf e 2K é extensão de P. Agora tem lugar a representação:

( ) ( ) )()( 221 xfxxxxxf ⋅−⋅−= , onde )(2 xf ][2 xK∈ e grau de )(xf é igual a 2−n .


13

Continuando este processo constroem-se as extensões, nKKK ,...,, 43 do corpo P; que contêm as raízes, nxxx ,...,, 43 de )(xf .

Depois de n passos se obtém o polinómio )(n xf de grau 0, isto é, )(n xf é igual a um constante nKc ∈ .

O corpo nK é a extensão L procurada do corpo P, assim: ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21

Exemplo 4: 2)( 2 −= xxf não se decompõem em factores lineares sobre o corpo Q,

mas em R: ( ) ( )22)( +⋅−= xxxf , logo R é um corpo de decomposição de )(xf . Corolário 2: Um polinómio de grau n tem no corpo de decomposição n

raízes: nxxx ,...,, 21 . Com efeito, como )(xf não pode ter em nenhuma extensão de P mais do

que n raízes, então pode-se dizer que o corpo de decomposição contem todas as raízes de )(xf .

Corolário 3: Em corpo de decomposição do polinómio, 01


nn

n ++++= −− , a sua decomposição canónica tem a forma:

( ) ( ) ( ) nkn

kkn xxxxxxaxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21

21 , onde: nkkk n =+++ ...21 e nxxx ,...,, 21 são raízes diferentes.

Com efeito, na decomposição ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21 , pode existir os factores iguais, agrupando-os obtém-se a representação:

( ) ( ) ( ) nkn

kk xxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 2121 , onde nkkk n =+++ ...21 e

nxxx ,...,, 21 são diferentes em pares, isto é, representa a sua forma canónica. A constante c define-se igualando os coeficientes de nx dos polinómios

que ficam nas duas partes da expressão: ( ) ( ) ( ) nk

nkk xxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21

21 , logo nac = . Com esta exposição teórica chega-se ao teorema que ao longo deste

trabalho vai ser explorado no sentido da sua aplicação na resolução de problemas do ensino secundário.

TEOREMA DE VIETT4 Teorema 6 (de Viett): se nxxx ,...,, 21 são raízes do polinómio,

011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

− e 0≠na , então:

n

nn a

axxx 121 ... −−=+++

n

nnnnn a

axxxxxxxxxxxx 2123213121 ......... −

− =⋅++⋅++⋅+⋅++⋅+⋅

… ( )∑ −⋅−=⋅⋅⋅

kn

kC n

knkjjj a

axxx 1...21

, onde nk ≤≤2 e ( )!!!

knknC k

n −⋅=

4 Viett (Fransua) – Matemático Francês (1540-1603)


14

( )n

nn a

axxx 021 1... ⋅−=⋅⋅⋅

Estas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Viett. Para obtê-las, basta multiplicar os binómios na parte direita da

identidade: ( ) ( ) ( )nn

nn

nn xxxxxxaaxaxaxa −⋅⋅−⋅−⋅=++++ −

− ...... 21011

1 , reduzir os termos semelhantes e igualar os coeficiente do mesmo grau de x nas duas partes da igualdade apresentada.

A título de exemplos: g Para 2=n

( ) ( )212012

2 xxxxaaxaxa −⋅−⋅=++ ( )2112

2201

22 xxxxxxxaaxaxa +−−⋅=++⇔

( ) 21212222

2012

2 xxaxxaxaxaaxaxa +−−+=++⇔ , então:

( )2

1121221 a

axxxxaa −=+⇔+⋅−=

2

0212120 a

axxxxaa =⇔=

g Para 3=n ( ) ( ) ( )321301

22

33 xxxxxxaaxaxaxa −⋅−⋅−⋅=+++

( )321213112

3222

323

3012

23

3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaxaxaxa −++−+−−⋅=+++⇔

( ) ( ) 3213323313213

2132333

33 xxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxa −+++⋅−−−+⇔

( )

=−

++=

++=−

⇔

−=++=

++⋅−=

3213

0

3231213

1

3213

2

32130

3233132131

32132

xxxaa

xxxxxxaa

xxxaa

xxxaaxxaxxaxxaa

xxxaa

g Para 4=n ( ) ( ) ( ) ( )4321401

22

33

44 xxxxxxxxaaxaxaxaxa −⋅−⋅−⋅−⋅=++++

( ++−+−−⋅=++++⇔ 42

22

343

23

34

34401

22

33

44 xxxxxxxxxxxxxaaxaxaxaxa

)4321321421212

431312

412

13

432322 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx +−−+−++−−−+

( ) ( +⋅+⋅+++⋅−=++++⇔ 4243

123444

4012

23

34

4 xxaxxxxxaxaaxaxaxaxa ) ( ) +⋅+++⋅−⋅+++++ xxxxxxxxxxxxxaxxxxxxxxxxx 3214214314324

24321314132

43214 xxxxa ⋅+


15

=

+++=−

+++++=

+++=−

⇔

43214

0

4324314213214

1

4342324131214

2

43214

3

xxxxaa

xxxxxxxxxxxxaa

xxxxxxxxxxxxaa

xxxxaa

Exemplo 5: Consideremos o polinómio, 1)( −= nxxf , sobre o seu corpo de decomposição, C.

As raízes de )(xf são raízes de ordem n de unidade: 0W , 1W , 2W , 3W , …,

1−nW , onde nkisen

nkWk

ππ 22cos += , ( )1,0 −= nk

Pelas Fórmulas de Viett obtém-se:

( )

−=

=+++=+++

−−

−−

−

nnn

nn

n

WWWW

WWWWWWWWW

1......

0...0...

1210

122010

110


16

IIII –– AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDAASS FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE VVIIEETTTT NNAA RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS NNOO EENNSSIINNOO SSEECCUUNNDDÁÁRRIIOO

As fórmulas de Viett não são mais do que a extensão das fórmulas da

soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau ministrada no Ensino Secundário no 10º Ano de Escolaridade.

Neste sentido passa-se a apresentar alguns exercícios de aplicação dessas fórmulas que podem servir como exercícios de apoio para os professores que trabalham no Ensino Secundário.

Também, na base de algumas ideias gerais expostas nos problemas “com parâmetros”, sugere-se a criação das colectâneas de exercícios individuais para a prática lectiva dos professores (Exercícios. Parte II).

EXERCÍCIOS. PARTE I 1. Completar uma equação do 2º grau sabendo as suas raízes 1x e

2x :

a) 11 =x e 32 −=x b) 611 +=x e 612 −=x

c) 2

711

+−=x e

271

2−−

=x

d) 31 −=x e 332 =x Resolução

a) É claro que a equação procurada pode ser escrita na forma

02 =++ CBxx , com efeito, 00 22 =++⇔=++acx

abxcbxax .

23121 =⇔−=−⇔−=+ BBBxx ( ) 33121 −=⇔=−⋅⇔=⋅ CCCxx


17

A equação procurada é 0322 =−+ xx . Outras equações equivalentes à 0322 =−+ xx podem ser encontradas, bastando para isso, multiplicar o primeiro

membro da referida equação por um constante diferente de zero. b) Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx

221 −=⇔−=+ BBxx

( ) ( ) 56161616122

21 −=−=−=⇔−⋅+=⇔=⋅ CCCxx A equação procurada é 0522 =−− xx . Outras equações equivalentes à

0522 =−− xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.

c) Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx

12

712

7121 =⇔

−−+

+−=−⇔−=+ BBBxx

23

46

471

271

271

21−

=−

=⇔−

=⇔

−−⋅

+−=⇔=⋅ CCCCxx

A equação procurada é 032023 22 =−+⇔=−+ xxxx . Outras equações

equivalentes à 032 2 =−+ xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.

d) Seja a equação procurada na forma, 02 =++ CBxx

3233321 −=⇔+−=−⇔−=+ BBBxx 933321 −=⇔⋅−=⇔=⋅ CCCxx

A equação procurada é 09322 =−−+ xx . Outras equações equivalentes à 09322 =−−+ xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.

Nota: Da resolução destes exercícios, pode-se constatar que, para além do conhecimento das fórmulas de Viett, os alunos devem ainda dominar as operações com números reais onde muitas vezes apresentam várias dificuldades.

Ainda, o professor pode propor outros tipos de exercícios aos alunos: 2. Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula

resolvente: a) 01272 =+− xx b) 0132 2 =+− rr c) 0123 2 =−− tt

Resolução Tendo em conta que se uma equação do 2º grau tem raízes, 1x e 2x

então:


18

( ) 0000 222 =+−⇔=++⇔≠=++ PSxxac

abxacbxax , onde:

21 xxS += e 21 xxP ⋅= Na resolução de exercícios em 2) deve-se em primeiro lugar, reduzir a

equação à forma 02 =+− PSxx e a partir da soma e do produto das raízes, determinar as próprias raízes.

a) 01272 =+− xx 7=S e 8=P , significa que 1x e 2x são positivos

1x 2x 21 xx ⋅ 21 xx + 4 3 12 7

Então, { }3,4=Solução

b) 0132 2 =+− rr 021

232 =+−⇔ xx

23

=S e 21

=P , significa que 1x e 2x são positivos.

Nota-se que 211

23

+==S (basta efectuar a divisão inteira de 3 por 2) e

que P==⋅21

211 .

Então,

=

21

,1Solução

c) 0123 2 =−− tt 031

322 =−−⇔ tt

32

=S e 31

−=P , significa que 1x e 2x são de sinais opostos.

Nota-se que

−

+==31

132S e que P=

−=

−

⋅31

31

1

Então,

−

=31

,1Solução

3. Decompor em factores lineares os seguintes polinómios, caso possível. a) 152)( 2 −−= xxxf b) ( ) axaxxg 22)( 2 +++= c) 123)( 2 −−= vvxh

Resolução a) 152)( 2 −−= xxxf 3 xe 5x-15P e 2 21 −==⇒==S

( ) ( )35)( +⋅−= xxxf b) ( ) axaxxg 22)( 2 +++= aaS −=−=⇒=−−= 21 xe 2x2aP e 2

( ) ( )axxxg +⋅+= 2)(

c) 123)( 2 −−= vvxh 31 xe 1

31-P e

32

21−

==⇒== xS


19

( )

+⋅−⋅=

31

13)( xxxh

EXERCÍCIOS. PARTE II Os problemas com parâmetros exigem um nível elevado de

“familiarização” com o assunto e compreensão da matéria. A resolução desses exercícios têm carácter investigativo, pressupõem os momentos de “análise” e “síntese”, interpretação de diferentes situações ou casos.

Descobrindo as “potencialidades cognitivas”, isto é, a “bagagem” de ideias que os problemas contêm, a amplitude das suas aplicações, o professor, sem grandes dificuldades, consegue criar um vasto leque de exercícios “simples” para os seus alunos.

Seguidamente, propõem-se alguns exercícios do género: 1. Demonstrar que as raízes das equações 02 =++ qpxx e

012 =++ pxqx são números inversos entre si. Resolução

Com efeito, se 1x e 2x são raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21

Para a equação 012 =++ pxqx , se 1y e 2y são suas raízes, então:

2121

2

21

1

21

2121

11xxxx

xxx

xxxxx

qp-yy +=+=

+==+

212121

1111xxxxq

yy ×===× , logo as raízes de 02 =++ qpxx são inversos

das raízes de 012 =++ pxqx . 2. Encontrar o quadrado da diferença das raízes da equação,

02 =++ qpxx . Resolução

Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21

( ) ( ) q-xx-xxq-xxxxx-x-xx 2222 212

212

22

12

2212

12

21 +=+=+= q-pqq--p 422 22 ==

R: O quadrado da diferença das raízes é igual a 4q-2p Nota: Partindo desses exemplos, podemos propor exercícios

interessantes que poderão despertar interesses nos alunos na aprendizagem. Até porque, se repararmos bem, na resolução deste tipo de exercício, os alunos têm de ser capazes de conhecer fórmulas de casos notáveis, aplicar artifícios e conhecer as operações básicas com números reais, principalmente, permitindo, deste modo, a consolidação da matéria.


20

O exercício do ponto 2, por exemplo, pode ser lançado da seguinte forma:

" Sem resolver a equação, 0232 =++ xx determina o quadrado da diferença das suas raízes.

Resolução: 2q e 3 ==p ( ) 18-924-34q-- 2 ==×== 22

21 pxx

3. Encontrar a soma dos quadrados das raízes da equação, 02 =++ qpxx .

Resolução Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então:

pxx -=+ 21 e qxx =21 ( ) ( ) 2q-2q-p-- 22

22

122

22

1212

212

22

1 2 pxxxxxxxxxx =+⇔=+⇔+=+ R: A soma dos quadrados das raízes da equação 02 =++ qpxx é 2q-2p . 4. Encontrar a soma dos cubos das raízes da equação

02 =++ qpxx . Resolução

Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21

( ) ( ) ( )122133

23

12

2122

13

213

23

1 333 xxxx-pxxxxxxxxxx +=+⇔+=+ --- ( ) qppxxpqpxx 33 33

23

133

23

1 +=+⇔=+⇔ ----

R: A soma dos cubos das raízes da equação 02 =++ qpxx é qpp 33 +- .

5. Para que valor do parâmetro “p”, a razão entre as raízes da equação, 0162 =−+ pxx , é igual a -4?

Resolução Sejam 21 e αα as raízes da equação 0162 =−+ pxx . Sabe-se que: 1) p−=+ 21 αα 2) 1621 −=αα

3) 212

1 44 αααα

−=⇔−= (pelo dado)

De 2): 2416416 22

22221 ±=⇔=⇔−=−⇔−= αααααα De 3): Se 22 =α então, 81 −=α , logo 682 =⇔−=− pp Se 22 −=α então 81 =α , logo 682 −=⇔−=+− pp O parâmetro “p” pode ser igual a 6 ou -6.


21

IIIIII –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS DDEE ““NN”” VVAARRIIÁÁVVEEIISS

A noção de polinómio de n variáveis introduz-se a partir da noção do polinómio de uma variável.

Sabe-se que, na linguagem algébrica, essa definição significa o seguinte:

Um polinómio de uma variável x sobre um domínio de integridade L com identidade, é um elemento do anel [ ]xL que é extensão simples transcendente de L, e x um elemento transcendente sobre L. Representa-se por, ( ) ( ),..., xgxf .

Tendo em conta que qualquer extensão transcendente simples de [ ]xL é também domínio de integridade com identidade, isto é, por exemplo,

[ ][ ] [ ]yxLyxL , = , onde y é um elemento transcendente sobre [ ]xL , pode-se estender a noção de um polinómio de uma variável para noção de um polinómio de duas, três, …, “n” variáveis sobre um domínio de integridade com identidade, em particular, um corpo.

Definição 9: Ao anel de polinómios [ ]nn xxxxL ,,...,, 121 − de variáveis, nn xxxx ,,...,, 121 − , sobre o domínio de integridade L, chama-se anel de polinómios de

uma variável nx sobre o domínio de integridade [ ]121 ,...,, −nxxxL , isto é: [ ][ ] [ ]nnn xxxxLxxxxL ,,...,, ,...,, 121n121 −− = (por definição).

Cada elemento do anel [ ]nxxxL ,...,, 21 chama-se polinómio de “n” variáveis,

nxxx ,...,, 21 sobre L e designa-se por ( )nxxxf ,...,, 21 , ( )nxxxg ,...,, 21 , …, tendo a forma:

( ) ∑=

=n

i

kn

kkin

niii xxxAxxxf1

2121 ...,...,, 21 , onde LAi ∈ , ( )n,1,0 =∈ + iZkli .

Definição 10: Dois termos de um polinómio que se distinguem só por coeficientes chamam-se semelhantes.

Se um polinómio não tem termos semelhantes diz-se que o polinómio está na forma canónica.

Definição 11: Grau do termo nkn

kk xxAx ...2121 do polinómio, ( )nxxxf ,...,, 21 é a

soma, nkkk +++ ...21 .


22

O número ik chama-se grau do termo dado relativamente a ix . Definição 12: O maior dos graus dos termos do polinómio chama-se

grau do polinómio dado. Definição 13: O termo de grau maior chama-se termo maior do

polinómio. Obs.: Um polinómio pode ter diferentes termos maiores. Exemplos 6: ( ) xyxyzzxzxyzyxf −++= 32,, 2423 Os termos maiores são: 232 zxy e 24zx Definição 14: Se todos os termos do polinómio têm o mesmo grau, “l”,

então o polinómio chama-se homogéneo ou forma de grau “l”. Obs.: Qualquer polinómio pode ser representado sob a forma de soma

de número finito dos polinómios homogéneos de graus diferentes. Definição 15: Um polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 chama-se simétrico

relativamente às variáveis kiii xxx ,...,,

21 onde ( )k1,j =ji são números do conjunto

{ }( )nk ,...,3,2,1 ≤n diferentes em pares, se depois de uma permutação qualquer de variáveis

kiii xxx ,...,,21

, se obtém um polinómio igual ao polinómio dado. Um polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 chama-se simétrico se ele é simétrico

relativamente a todas as variáveis, nxxx ,...,, 21 . Nota: qualquer constante pode ser considerado um polinómio simétrico. Exemplos 7:

a) ( ) 22, yxyxf += é simétrico, com efeito, ( ) ( )yxfxyxyf ,, 22 =+= b) ( ) 5223, 2

212121

22121 ++−−+= xxxxxxxxxxg é também simétrico

c) ( ) 32212

2321 2,, xxxxxxxxh −+= é simétrico relativamente a 31 x e x , mas não é simétrico relativamente a 32 x e x ou 21 x e x , por isso ele não é simétrico.

Nota: Aos polinómios:

nxxx +++= ...211σ nn xxxxxx 131212 ... −+++=σ

…

∑=k

nk

Cjjjjk xxxx ...

321σ , onde ( )

−⋅

=!!

!knk

nC kn

nn xxxx ...321=σ , são polinómios simétricos fundamentais (elementares ou simples).

Propriedades de polinómios simétricos 1. A soma, a diferença e o produto de polinómios simétricos de “n”

variáveis sobre o corpo P é um polinómio simétrico sobre esse corpo.

2. O conjunto de todos os polinómios simétricos é um subanel do domínio de integridade [ ]nxxxP ,...,, 21 . Esse subanel é um domínio de integridade com unidade.


23

3. Se o polinómio simétrico contém o termo ni ln

li

ll xxxUx ......2121 , então

ele contém também o termo formado mediante a uma permutação de expoentes nllll ,...,,, 321 arbitrária.

4. Se nii ln

li

li

ll xxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ++ ...... 121121 é termo maior de um polinómio

simétrico, então nlll ≥≥≥ ...21

TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS Qualquer polinómio simétrico, ( )nxxxf ,...,, 21 , de “n” variáveis sobre P,

pode ser representado sob a forma de um polinómio sobre P de polinómios simétricos fundamentais 1σ , 2σ , …, nσ de variáveis nxxx ,...,, 21 .

Antes de passar para a demonstração do teorema apresentado, vai-se fazer algumas observações que servirão de base para a demonstração do teorema.

1. Um polinómio de “n” variáveis nxxx ,...,, 21 pode ter somente um número finito de diferentes (não semelhantes) termos de grau determinado, “l”. Esse número não ultrapassa a quantidade de possibilidades de representação de “l” como soma de “n” parcelas ordenadas inteiras não negativas.

Exemplos 8: Para 7=l ; 2=n temos 8 possibilidades. 347 2;57 1;67 0;77 4;37 5;27 ;617 ;707 +=+=+=+=+=+=+=+=

2. O termo maior nln

ll xxx ...2121 de qualquer polinómio simétrico pode

ser representado como o termo maior do produto de polinómios simétricos fundamentais, nσσσ ...,, ,21 .

Considera-se o produto, nnn ln

lln

llll σσσσ ⋅⋅⋅ −−

−− −13221121

Pela propriedade 4 de polinómios simétricos, nnn lllllllll ,,...,,, 1433221 −−−− − são números inteiros não negativos, por isso nnn l

nll

nllll σσσσ ⋅⋅⋅ −

−−− −13221

121 é um polinómio de nxxx ,...,, 21 .

Assim como o termo maior do produto de dois ou mais polinómios fundamentais é igual ao produto dos termos maiores desses polinómios e sabendo que os termos maiores de nσσσ ,...,, 21 são, respectivamente,

nn xxxxxxxxxxxx ... ,... ..., , , , 21121321211 − , então o termo maior do produto nnn l

nll

nllll σσσσ ⋅⋅⋅ −

−−− −13221

121 é igual a: ( ) ( ) ( )nnn l

nll

nllll xxxxxxxxx ......... 21121211

13221 ⋅⋅⋅⋅ −−

−− − , que coincide com o termo nl

nll xxx ⋅⋅⋅ ...21

21 . 3. Sabe-se que qualquer polinómio simétrico pode ser representado

sob a forma da soma de polinómios simétricos homogéneos. Com efeito, se um polinómio é simétrico então cada um dos seus

componentes homogéneos é também um polinómio simétrico. Pois, para qualquer


24

permutação de variáveis nxxx ,...,, 21 , cada termo do polinómio se transforma em termos do mesmo grau, isto é, em outro termo do mesmo polinómio homogéneo. Por isso, a igualdade do polinómio, obtido depois de uma permutação das variáveis, ao polinómio dado significa invariedade de cada um dos componentes homogéneos, isto é, a simetria desses polinómios homogéneos.

Demonstração do Teorema Fundamental dos Polinómios Simétricos Depois destas observações, pode-se demonstrar o teorema

fundamental dos polinómios simétricos. Vai-se fazer a demonstração para os polinómios simétricos homogéneos, uma vez que cada polinómio simétrico pode ser representado sob a soma de polinómios simétricos homogéneos.

Seja ( )nxxxf ,...,, 21 um polinómio homogéneo de grau “m”. Suponhamos que o termo maior de ( )nxxxf ,...,, 21 tem a forma:

nln

ll xxAx ...2121 (1)

Constrói-se o polinómio simétrico: ( ) nnn l

nll

nllll

n Axxxg σσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅= −−

−− −1322112121 ...,...,,

Segundo observação 2, o termo maior desse polinómio é igual a (1). Além disso, ( )nxxxg ,...,, 21 é polinómio homogéneo, assim como são homogéneos os seus factores nσσσ ,...,, 21 .

O grau do polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 é igual ao grau do polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 , pois esses polinómios têm os mesmos termos maiores.

Considera-se agora ( ) ( ) ( )nnn xxxgxxxfxxxf ,...,,,...,,,...,, 2121211 −= Claro que ( )nxxxf ,...,, 211 é também um polinómio simétrico homogéneo de

grau “m”. Mas esse polinómio já não contém todos os possíveis termos desse grau. Realmente, ( )nxxxf ,...,, 211 já não contém o termo (1). Além do mais nessa subtracção desaparecem todos os !n termos que se obtêm do termo (1) como resultado de todas as possíveis permutações dos expoentes nlll ,..,, 21 , assim como pela propriedade 3, esses termos estão contidos nos polinómios ( )nxxxf ,...,, 21 e

( )nxxxg ,...,, 21 . O polinómio ( )nxxxf ,...,, 211 pode conter só termos do mesmo grau com

sistema de expoentes nlll ,..,, 21 “inferior” a do termo (1). Aplica-se a esse polinómio o mesmo raciocínio, isto é, seja o termo

maior de ( )nxxxf ,...,, 211 da forma: nmn

mm xxxB ⋅⋅⋅⋅ ...2121 (2)

Constrói-se o polinómio: ( ) nnn mn

mmn

mmmmn Bxxxg σσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅= −

−−− −13221

121211 ...,...,, e forma-se a diferença ( ) ( ) ( )nnn xxxgxxxfxxxf ,..,,,..,,,..,, 211211212 −= .

Também ( )nxxxf ,...,, 212 é polinómio simétrico homogéneo de grau “m” que não contém os termos (1) e (2), e pode conter só os termos com os sistemas de expoentes “inferior” a do sistema de expoentes de (1) e (2).


25

Assim como a quantidade de diferentes termos de grau “m”, pode ser um número finito (Obs. 1), então, continuando este processo, a um determinado passo, chega-se à diferença:

( ) ( ) ( )nknknk xxxgxxxfxxxf ,...,,,...,,,...,, 2121211 −=+ que não pode conter nenhum termo de grau “m”, isto é, igual ao polinómio nulo.

Então, das diferenças: gff −=1

112 gff −= …

11 −− −= kkk gff

kk gf −=0 , segue-se a que kk gggggf +++++= −121 ... Assim como os polinómios kgggg ,...,,, 21 são expressos por produtos de

polinómios nσσσ ..., , , 21 , então o polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 fica representado sob a forma de um polinómio de nσσσ ,...,, 21 .

( ) ( )nn ,...,σ,σσ ,...,x,xxf 2121 ϕ= (3) Os coeficientes desse polinómio ϕ são obtidos de coeficientes do

polinómio dado depois de adição e subtracção, por isso, são elementos do corpo P. Teorema 8: A representação de um polinómio simétrico sob a forma de

um polinómio de polinómios simétricos fundamentais é única. Exemplos 9: Encontrar a representação do polinómio,

( ) ( ) 54,, 23

22

21

2323

22

231

2213

212

21321 +++⋅−+++++= xxxxxxxxxxxxxxxxxxf , sobre Q,

por polinómios simétricos fundamentais. Primeiro vai-se escrever ( )321 ,, xxxf sob a forma de uma soma algébrica

de polinómios homogéneos de graus diferentes: ( ) 54,, 21321 +−= ffxxxf onde: ( ) 2

3232

22

312

2132

122

13211 ,, xxxxxxxxxxxxxxxf +++++= ( ) 2

32

22

13212 ,, xxxxxxf ++= Vai-se agora expressar separadamente 1f e 2f por polinómios

simétricos fundamentais. O termo maior de 1f é 2

21 xx , isto é, 21 =l , 12 =l e 03 =l (sistema de

expoentes de 22

1 xx ). ( ) 21

03

012

1213211 ,, σσσσσ ⋅=⋅⋅= −−xxxg

Não é necessário determinar a subtracção 11 gf − , basta determinar a forma dos termos do polinómio ( )321 ,, σσσϕ , e depois encontrar os coeficientes através do método de coeficientes indeterminados.

Na diferença 11 gf − desaparecem todos os termos da forma 321

321lll xxx ⋅⋅ , cujos expoentes 321 ,, lll é uma permutação qualquer do sistema dos

expoentes 2, 1, 0, do termo maior de 1f . Ao mesmo tempo, podem aparecer os


26

termos do mesmo grau “3” mas com outro sistema “inferior” de expoentes. Neste caso, tal sistema é 1, 1, 1.

Portanto, no segundo passo, será necessário subtrair o polinómio simétrico: ( ) 3321

'1 ,, σ⋅== axxxg .

Assim como para os termos de grau “3” não existem sistemas de expoentes “inferior” a 1, 1, 1, então se pode escrever:

3213211 ),,( σσσ ⋅+⋅= axxxf , onde “ a ”, por enquanto, um coeficiente indeterminado ou em forma desenvolvida.

Para encontrar o valor do coeficiente “ a ”, basta atribuir às variáveis, 321 ,, xxx , quaisquer valores do corpo Q, por exemplo, 1321 === xxx . Assim sendo,

pode-se obter o seguinte: ( ) 396,, 3213211 −=⇔+=⇔⋅+⋅= aaaxxxf σσσ

Logo, ( ) 3213211 3,, σσσ ⋅−⋅=xxxf Analogamente pode-se proceder para ( ) 2

32

22

13212 ,, xxxxxxf ++= . O termo maior é 2

1x , isto é, 21 =l , 02 =l e 03 =l , logo: ( ) 2

13212 ,, σ=xxxg Podem aparecer os termos do mesmo grau “2”, mas com outro, sistema

“inferior” de expoentes. Neste caso, 1, 1, 0. Então, ( ) 23212 ,,' σ⋅= bxxxg Como, para os termos de grau “2”, não existem sistemas de expoentes

“inferior” a 1, 1, 0, então, pode-se escrever: ( ) 2

213212 ,, σσ ⋅+= bxxxf

Para 1321 === xxx , se obtém: ( ) 2393,, 2

213212 −=⇔+=⇔⋅+= bbbxxxf σσ

Logo, ( ) 22

13212 2,, σσ ⋅−=xxxf Finalmente, ( ) ( ) 5243,, 2

21321321 +⋅−⋅−⋅−⋅= σσσσσxxxf .

Nota: Uma das grandes vantagens da representação de um polinómio sob a forma de um polinómio de polinómios simétricos fundamentais consiste exactamente na representação de Somas de Potências, isto é, polinómios simétricos da forma:

{ }( )0\Nk onde ...321 ∈++++= kn

kkkk xxxxS

Do teorema fundamental sobre polinómios simétricos, segue-se a que cada soma de potências pode ser representado como um polinómio de polinómios simétricos fundamentais (com coeficientes inteiros).

É fácil ver que: 11 σ=S

22

12 2σσ −=S (foi encontrado no decurso da resolução do exercício do exemplo 9).

Pode-se obter a fórmula para 332

313 ... nxxxS +++= , aplicando o método

geral de representação de polinómio simétrico por polinómios simétricos fundamentais.


27

Completa-se a tabela:

Sistema de expoentes de termos maiores

Termos maiores Produtos de polinómios fundamentais correspondentes

3, 0, 0 31x 3

1σ 2, 1, 0 2

21 xxa ⋅ 21 σσ ⋅⋅a

1, 1, 1 321 xxxb ⋅ 3σ⋅b

Logo, pode-se escrever: 321

313 σσσσ ⋅+⋅⋅+= baS , onde “ a ” e “b ” são coeficientes

indeterminados. Para determinar “ a ” e “b ”, toma-se primeiro:

0... ;1 4321 ====== nxxxxx , obtém-se: 23 =S ; 21 =σ ; 12 =σ e 03 =σ . 3282321

313 −=⇔⋅+=⇔⋅+⋅⋅+= aabaS σσσσ

Depois: 1321 === xxx e 0...54 ==== nxxx , obtém-se: 33 =S , 31 =σ , 32 =σ e 13 =σ .

33332733 3213

13 =⇔+⋅⋅−=⇔⋅+⋅⋅−= bbbS σσσσ Deste modo: 321

313 32 σσσσ ⋅+⋅⋅−=S

Analogamente, podem ser representados 4S , 5S , …, por polinómios simétricos fundamentais.

No entanto, existem relações que ligam as somas de potências com os polinómios simétricos fundamentais: chamam-se Fórmulas de Newton:

" ( ) ( ) 011... 111

2211 =⋅⋅−+⋅⋅−+−⋅+⋅− −−

−− kk

kk

kkk SkSSSS σσσ , ( )nk ,...,2,1= .

" ( ) 01...2211 =⋅⋅−+−⋅+⋅− −−− nnkn

kkk SSSS σσσ , ( ),...,1+= nk Utilizando fórmulas de Newton é possível encontrar representação de

kS por nσσσ ,...,, 21 , se já são conhecidas as representações para 1S , 2S , …, 1−kS . Considera-se agora um dos corolários mais importantes do teorema

fundamental dos polinómios simétricos. Corolário 4: Se )(xf é um polinómio de uma variável x sobre o corpo P

com raízes nααα ,...,, 21 (que podem não pertencer ao corpo P), então o valor de qualquer polinómio simétrico ( ) [ ]nn xxxPxxxg ,...,,,...,, 2121 ∈ para, 11 α=x , 22 α=x , …,

nnx α= é um elemento do corpo P. Com efeito, seja o polinómio: ( ) ][... 01

11 xPaxaxaxxf n

nn ∈++++= −

− . Designam-se as raízes desse polinómio por nααα ,...,, 21 , que podem não

pertencer a P, mas, de certeza à uma extensão ∆ de P. Toma-se agora um polinómio simétrico qualquer ( )nxxxg ,...,, 21 sobre P de

“n” variáveis.


28

De acordo com o teorema fundamental de polinómios simétricos, o polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 pode ser representado por polinómios simétricos fundamentais nσσσ ,...,, 21 com coeficientes do corpo P.

Então, ( ) ( )nnxxxg σσσϕ ,...,,,...,, 2121 = . Coloca-se em ( )nxxxg ,...,, 21 , no lugar de 1x o elemento 1α , 2x o elemento

2α , …, nx o elemento nα . Assim como todas as raízes pertencem a uma extensão ∆ de P, então,

( )ng ααα ,...,, 21 em geral é um elemento do corpo ∆ . Mas, a especificidade de polinómios simétricos consiste no facto de ( )ng ααα ,...,, 21 ser também um elemento de P.

Com efeito, pelas fórmulas de Viett, os respectivos valores de polinómios simétricos fundamentais expressam-se pelos coeficientes do polinómio ( )xf .

( ) 121211 ...,...,, −−=+++= nnn aαααααασ ( ) 213121212 ...,...,, −− =⋅++⋅+⋅= nnnn aααααααααασ

… ( ) 021 1... an

nn ⋅−=⋅⋅⋅= ααασ Então, ( ) ( )[ ]02121 1,...,,,...,, aaag n

nnn ⋅−−= −−ϕααα Agora é fácil ver que ( )ng ααα ,...,, 21 é um elemento do corpo P, assim

como é resultado de operações de adição e de multiplicação dos elementos ( )1-n ..., 1, 0,i =∈ Pai e coeficientes do polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 .


29

IIVV –– AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS PPRRÁÁTTIICCAASS DDEE PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS SSIIMMÉÉTTRRIICCOOSS

Feitas as considerações teóricas sobre os polinómios simétricos, passa-

se para a sua aplicação prática na racionalização do denominador de uma fracção, na construção de polinómios (ou equações polinomiais) e na resolução de sistemas simétricos.

Nota-se que as fórmulas de Viett voltam a ter lugar importante, ao longo da resolução dos exercícios aqui apresentados, pois estão “intimamente” ligadas aos polinómios simétricos fundamentais.

1. RACIONALIZAR O DENOMINADOR Evitar a irracionalidade do denominador de uma fracção é um problema

muito frequente em Matemática no Ensino Secundário, quando se simplifica uma fracção.

Daí que se vai aproveitar os conhecimentos sobre polinómios simétricos, para apresentar uma metodologia (um procedimento) de racionalização do denominador de uma fracção, pensando com isso estar a enriquecer os conhecimentos daqueles que consultarem este trabalho.

Na racionalização do denominador de uma fracção do tipo 3

3

2242

−+ ,

costuma-se multiplicar ambos os termos da fracção por 3 232 2222 +⋅+ , devendo-se isto à fórmula seguinte: ( ) ( )2233 bbaababa +⋅+⋅−=− .

Passa-se da análise deste exemplo para apresentar um método geral.

De um modo geral, é dada uma fracção ( )( )1

1αα

gf , onde )(xf , )(xg são

polinómios sobre Q e 1α é raiz irracional de um polinómio ( ) [ ]xQx ∈ψ Se ( )xψ é um polinómio de grau “n”, então no seu corpo de

decomposição ele tem, além de 1α , as raízes nααα ,...,, 32 . Para evitar a


30

irracionalidade do denominador, multiplica-se ( )1αf e ( )1αg por ( ) ( ) ( )nggg ααα ⋅⋅⋅ ...32 , e obtém-se:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n

n

gggggggf

gf

αααααααα

αα

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=......

321

321

1

1

O produto ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nngggg αααϕαααα ,...,,.... 21321 =⋅⋅⋅ é o valor do polinómio simétrico ( ) [ ]nn xxxQxxx ,...,,,...,, 2121 ∈ϕ , para ( )nix ii ,1 == α .

( ) Qn ∈αααϕ ,...,, 21 (pelo corolário 4), desse modo a irracionalidade do denominador da fracção é evitada.

É de salientar que, tanto o numerador como o denominador da fracção, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n

ngggggggf

αααααααα

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

...

...321

321 , podem ser calculados sem saber as raízes nααα ,..., 21 , de

( )xψ . O denominador ( ) ( ) ( ) ( )ngggg αααα ⋅⋅⋅⋅ ...321 pode ser representado por polinómios simétricos fundamentais de nααα ,..., 21 que se exprimem por coeficientes de ( )xψ .

O produto ( ) ( ) ( )nggg ααα ⋅⋅⋅ ...32 é simétrico relativamente a nααα ,...,, 32 e, por isso, pode ser representado por coeficientes do polinómio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn xxxax

xxw αααα

ψ−⋅⋅−⋅−⋅=

−= ...32

1

, que tem raízes nααα ,...,, 32 .

Os coeficientes de ( )xw exprimem-se por 1α e coeficientes de ( )xψ , encontrados como resultado da divisão de ( )xψ por ( )1α−x (aplicando a regra de Ruffini).

Apresentam-se agora alguns exercícios para ilustrar aquilo que foi acima exposto.

Exercícios

1. Racionaliza os denominadores das seguintes fracções:

a) =−

+3

3

2242

b) =+12

14

c) =−+ 321

1

Resolução

a) =−

+3

3

2242

31 2=α ; ( ) 4+= xxf ; ( ) xxg −= 2 ; ( ) 23 −= xxψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32112321321 2224222 ααααααααααα −⋅+−−=−⋅−⋅−=⋅⋅ ggg

321213113223 2242448 αααααααααααα −++−+−−= ( ) ( ) 6202048248 321323121321 =−⋅+⋅−=−++⋅+++⋅−= αααααααααααα

( ) ( ) 211

2

1

ααα

ψ++=

−= xx

xxxw


31

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323232233232 2422422 αααααααααααα ++⋅−=+−−=−⋅−=⋅ gg

( ) 3 23211

211 22242424 ++=++=+−⋅−= αααα

Então: ( ) ( )

34226

18262126

2224422242 33

3 233 233

3

3

++=++

=++⋅+

=−

+

b) =+12

14

41 2=α ; ( ) 1=xf ; ( ) 1+= xxg ; ( ) 24 −= xxψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+⋅+=⋅⋅⋅ 43214321 1111 αααααααα gggg

( ) ( )43432121 11 αααααααα +++⋅+++= ++++++++++++= 432423224314131143431 αααααααααααααααααααα

( )+++++=++++ 4321432142132121 1 αααααααααααααααα ( ) ( )+++++++++++ 432431421321434232413121 αααααααααααααααααααααααα

1200014321 −=−+++=+ αααα

( ) ( ) 31

21

21

3

1

αααα

ψ+++=

−= xxx

xxxw

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43333432432 11111 ααααααααααα +⋅+++=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅ ggg ( ) ( )+++++++=+++++++= 434232432432324224334 11 ααααααααααααααααααααα

4 34 2431

211432 22211 −+−=−+−=+ αααααα

Então: 4 34 24

4 34 24

42221

12221

121

+−+−=−

−+−=

+

c) =

−+ 3211

321 −=α ; ( ) 1=xf ; ( ) 1+= xxg ; ( ) 110 24 +−= xxxψ Nota: o ( )xψ é obtido utilizando o seguinte processo:

( ) 6256253232 2222 −=−⇔−=⇔−=⇒−= xxxx ( ) ( ) 01100242510625 242422 =+−⇔=−+−⇔−=−⇒ xxxxx

Então, ( ) 110 24 +−= xxxψ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+⋅+=⋅⋅⋅ 43214321 1111 αααααααα gggg

( ) ( )43432121 11 αααααααα +++⋅+++= ++++++++++++= 432423224314131143431 αααααααααααααααααααα

( )+++++=++++ 4321432142132121 1 αααααααααααααααα ( ) ( )+++++++++++ 432431421321434232413121 αααααααααααααααααααααααα

81010014321 −=++−+=+ αααα

( ) ( ) ( ) ( )311

21

21

3

11010 αααα

αψ

+−++−++=−

= xxxx

xxw

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43333432432 11111 ααααααααααα +⋅+++=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅ ggg


32

( ) ( )+++++++=+++++++= 434232432432324224334 11 ααααααααααααααααααααα ( ) ( ) 3

112

112

12

11432 1010110101 αααααααααα −++−−=+−−+−+−=+ ( ) ( ) ( ) 9329323299

21

21

31 −−+−+−−=−++−= ααα

( ) 46222939296253329362299 12

13

1 −−−=−−+−+−+−−=−++−= ααα

4262

846222

3211 ++

=−

−−−=

−+

2. CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS É dado um polinómio ( ) [ ]xPxf ∈ com as raízes nααα ,...,, 21 . Construir um

polinómio ( )xg cujas raízes ( )nii ,1 =β se exprimem por iα de ( )xf , mediante as relações, ( )ii αϕβ = , onde ( ) [ ]xPx ∈ϕ (P um corpo).

Problemas desse tipo são muito frequentes no Ensino Secundário, pelo que se vai apresentar um método que permite resolver essas questões.

Seja o polinómio ( )xg na forma: ( ) 011

1 ... axaxaxxg nn

n ++++= −− , onde:

( ) ( ) ( )nna αϕαϕαϕ +++=− − ...211 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnna αϕαϕαϕαϕαϕαϕ ⋅++⋅+⋅= −− 131212 ...

… ( ) ( ) ( ) ( )n

n a αϕαϕαϕ ⋅⋅⋅=⋅− ...1 210 Como já se viu, os coeficientes ( )1-n1,i =ia são valores de polinómios

simétricos determinados sobre P para valores de variáveis iguais a ( )iαϕ , onde iα são raízes de ( ) [ ]xPxf ∈ .

Do Teorema Fundamental de Polinómios Simétricos segue-se a que sempre é possível encontrar a expressão dos coeficientes ia procurados por coeficientes do polinómio dado, ( )xf , e esses coeficientes pertencem ao mesmo corpo P.

Esses raciocínios têm lugar quando ( )nii αααϕβ ,...,, 21= , onde iϕ é um polinómio simétrico arbitrário sobre P.

Exercícios

1. Encontrar uma equação cujas raízes 21 e ββ são ligadas com as

raízes 21 e αα da equação ( )0a 02 ≠=++ cbxax , mediante a relação: à 11 αβ k= 22 αβ k= ( )0≠k

Resolução Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx


33

( ) BabkBkBkkB =

−

⋅−⇔−=+⋅⇔−=+⇔−=+ 212121 ααααββ

akbB =⇔

ackCC

ackCCkC

22

212

21 =⇔=⋅=⇔=⇔= ααββ

R: A equação procurada é: 002

22 =++⇔=++ackx

akbxCBxx .

022 =++⇔ ckkbxax Aqui o professor pode diversificar os exercícios tomando k como um

número inteiro ou racional qualquer. 2. Completa uma equação cujas raízes são quadrados das raízes da

seguinte equação: 0=++2 qpxx . Resolução

Sejam 1x e 2x as raízes da equação 0=++2 qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21

Seja a equação pedida na forma 0=++2 cbxx , então: ( ) 2q-pb-b2x-- 2

1 +=⇔=+⇔=+ 22

212

22

1 xxxbxx ( ) 22

212

22

1 qccxxxx =⇔== R: A equação pedida é ( ) 0=+2++ 22 qxqx 2p- . Nota: com este exercício, os professores podem propor várias outras

aos seus alunos, como por exemplo: " Sem resolver a equação 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação

cujas raízes são quadrados das suas raízes. 3. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são ( )2ba + e

( )2ba − , sabendo que “a” e “b” são raízes da equação 02 =++ qpxx .

Resolução Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx ( ) ( ) ( ) ( ) BabbapBabbapBbaba −=−++⇔−=−++−⇔−=−++ 42 2222222

222 44 pqBBqpp −=⇔−=−+⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) CqppCabbapCbaba =−⋅⇔=−+⋅⇔=−⋅+ 42 2222222

qppC 24 4−=⇔ R: A equação pedida é: ( ) ( ) 0440 24222 =−+−+⇔=++ qppxpqxCBxx . 4. Sejam βα e raízes da equação 0473 2 =++ xx . Sem resolver a

equação dada, completar uma equação do 2º grau cujas raízes

são 1-

e 1 α

ββ

α−

.


34

Resolução Seja 02 =++ cbxx a equação pedida.

( ) ( )( ) bbb −=

++−+−−+

⇔−=+−−−+−

⇔−=−

+− 1

2111

222

βαβαβααββα

αββαββαα

αβ

βα

bbbb =−⇔−=⇔−=+−

⇔−=++

+⋅−

−

⇔2123

314946

314

37

38

949

137

34

37

342

37 2

( ) 72

31434

111=⇔=⇔=

++−⇔=

−⋅

−CCCC

βααβαβ

αβ

βα

R: A equação pedida é:

062321072

21230 222 =+−⇔=+−⇔=++ xxxxCBxx

5. Encontrar -2-2

21 + xx , onde 1x e 2x são raízes da equação 0=++2 cbxax , sem resolver a equação dada.

Resolução

ab- =+ 21 xx e

acxx =21 , então:

( )( )

=

⋅−

−

=−+

=+

=+=+ 2

2

221

212

212

22

1

22

21

22

21

2-2

2-1

2211

ac

ac

ab

xxxxxx

xxxx

xxxx

0c ,222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≠−

=

−

=−

=c

acb

aca

acb

ac

ac

ab

R: 0c onde ,22

22

22

1 ≠−

=+ −−

cacbxx .

Nota: atribuindo aos parâmetros “a”, “b” e “c” valores numéricos, pode-se encontrar -2-2

21 + xx sem resolver a equação dada.

6. Completar uma equação do 2º grau sabendo que 21 x

1 e 1x

são suas

raízes, onde 21 xe x são raízes da equação 0)(a 02 ≠=++ cbxax Resolução

Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx Se 21 xe x são raízes da equação 0)(a 02 ≠=++ cbxax , então:

abxx −=+ 21 e

acxx =21

Em equação 02 =++ CBxx :


35

( )cbBcB

cbB

acab

Bxx

xxBxx

=⇔≠−=−

⇔−=

−

⇔−=+

⇔−=+ 011

21

21

21

caCC

acC

xxC

xx=⇔=⇔=⇔=⋅

1111

2121

R: Então a equação pedida é:

00 22 =++⇔=++ abxcxcax

cbx

Nota: Deste exercício, pode-se constatar que, se trocarmos os coeficientes “a” e “c” numa equação do 2º grau, poderemos encontrar uma outra equação cujas raízes são inversas das da equação dada.

Sendo assim o exercício pode ser apresentado da seguinte forma: " Sem resolver a equação 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação

cujas raízes são inversos das suas. O aluno que já conhece o exercício pode em “cinco segundos”, resolver

esta questão: basta trocar os coeficientes 1=a e 2=c , o que não acontece com um outro aluno que não a conhece.

7. Completar uma equação do 2º grau, sabendo que uma das suas

raízes é igual a soma das raízes da equação ( )002 ≠=++ acbxax , e outra, ao produto das raízes da mesma equação.

Resolução Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx e 21 e αα as suas raízes,

então:

ab−

=1α e ac

=2α

acbBB

acbB

ac

abB −

=⇔−=+−

⇔−=+−

⇔−=+ 21 αα

221 abcC

ac

abCC −

=⇔⋅−

=⇔=αα

Então a equação pedida é:

( ) 00 222

2 =−−+⇔=−

+−

+ bcxacabxaabcx

acbx

8. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são maiores do que as raízes da equação ( )002 ≠=++ acbxax em uma unidade.

Resolução Sejam 21 xe x as raízes de ( )002 ≠=++ acbxax , e a equação procurada

na forma 02 =++ CBxx

Sabe-se que: acx

abxx =

−=+ 2121 xe , então:

( ) ( ) Ba

abBabBxx =

−⇔−=+

−⇔−=+++

2211 21


36

( ) ( ) Ca

bcaCab

acCxxxxCxx =

−+⇔=+−⇔=+++⇔=+⋅+ 1111 212121

R: A equação pedida é: 020 22 =−+

+−

+⇔=++a

bcaxa

abxCBxx

( ) ( ) 022 =−++−+⇔ bcaxabax 9. Seja ( ) 123 −+−= xxxxf . Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes são

cubos das raízes de ( )xf . Sejam 321 ,, ααα as raízes de ( )xf , então: 3

11 αβ = , 322 αβ = e 3

33 αβ = são raízes de ( ) cbxaxxxg −+−= 23 , pois 321 ,, βββ têm os mesmos sinais de

321 ,, ααα . Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:

( ) ( ) ( +⋅++⋅−++=++=++= 213213

3213

33

23

1321 3 αααααααααααβββa ) ( ) 13313 3213231 =+−=⋅+++ ααααααα , pois

3213

13

33

23

13 33 σσσσ ⋅+⋅−=++= xxxS

( ) ( ) ( ) ( ) −++=++=++= 3323121

332

331

321323121 ααααααααααααββββββb

( ) ( ) ( )2321

23213

22132

21323121 33 αααααααααααααααααα ⋅+++⋅++⋅−

( ) 13113113131 3213213 =+⋅⋅−=⋅+⋅++⋅⋅−= αααααα

( ) 1133

321321 ==== αααβββc R: Então, ( ) 123 −+−= xxxxg Obs. : Sendo ( ) ( )xfxg = significa que as raízes de ( )xf elevadas ao

cubo não se alteram.

Este facto pode ser explicado pelo seguinte: ( )114

+−

=xxxf , pelo que as

suas raízes são iguais às raízes de ordem 4 de unidade (excepto -1). Recorda-se que as raízes de ordem 4 de 1 são: ii −− ,,1,1 .

10. Seja ( ) .6116 23 −+−= xxxxf Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes

são dobros das raízes de ( )xf . Resolução

Sejam 321 ,, ααα as raízes de ( )xf , então: 11 2αβ = , 22 2αβ = e 33 2αβ = são raízes de ( ) cbxaxxxg −+−= 23 , pois 321 ,, βββ têm os mesmos sinais de

321 ,, ααα . Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:

( ) 12622222 321321321 =×=++⋅=++=++= ααααααβββa ( )323121323121323121 4444 ααααααααααααββββββ ++⋅=++=++=b

44114 =×= 48688 321321 =×=== αααβββc


37

R: Então, ( ) 484412 23 −+−= xxxxg .

3. RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS Os “sistemas simétricos” de n equações com n incógnitas definem-se

com mais rigor ao nível da Álgebra Superior. Para este trabalho limitamo-nos ao estudo de sistemas simétricos de

duas equações com duas incógnitas. Assim sendo: Um sistema de duas equações com duas incógnitas em que equações não

se alteram numa permutação qualquer de variáveis chama-se “sistema simétrico”. As partes esquerdas das equações de tais sistemas são polinómios

simétricos de duas variáveis ou redutíveis aos tais, ou suas razões. Como por exemplo:

Ò 51-1- =+ yx é equivalente a 5=+

xyyx em que ( )0;0 ≠≠ yx e a parte

esquerda da igualdade é a razão de dois polinómios simétricos elementares de duas variáveis;

Ò ( )[ ]2yx-1313 +=⇔=++ xyyxyx com 13≤+ yx onde ( ) ( )[ ]2yx-13, +=yxf já é um polinómio simétrico de duas variáveis.

Vai-se, de seguida, apresentar um método para resolução de sistemas simétricos com duas incógnitas, o que muitas vezes causam problemas para professores e alunos ao longo do Ensino Secundário.

O método consiste na substituição conforme o seguinte: yxu += e yxv ⋅= , onde x e y são variáveis do sistema. Essa ideia

surgiu do teorema fundamental aplicado a esse caso particular. Deve-se lembrar que resolver um sistema significa determinar as suas

soluções (pares ordenados que satisfazem a cada equação do sistema) ou concluir que o sistema é impossível.

É de notar que, em sistemas simétricos, tendo em conta a natureza dos polinómios simétricos, se ( )21, xx é uma solução, então ( )12 , xx é também solução.

Exercícios

Na fase inicial é bom que se saiba resolver os sistemas simétricos

básicos, como os seguintes: 1. Resolve os seguintes sistemas simétricos

a)

=⋅=+34

yxyx

Resolver este sistema é mesmo que procurar dois números cuja soma é 4 e produto é 3.

x y yx + yx ⋅


38

1 3 4 3 São os números 1 e 3.

( ) ( ){ }1,3;3,1=S

b)

=⋅=+132

23yxyx

Analogamente, pode-se encontrar os números 12 e 11. ( ) ( ){ }12,11;11,12=S

Com esta prática já se pode resolver outros tipos de sistemas como os

seguintes:

c)

=⋅

=+

201

1211

zt

zt d)

=⋅=+

61322

vuvu e)

=+

=+−−

−−

135

22

11

yxyx

f)

=+

=+

56

13

yxxy

yx

g)

=++=+

5622

yxxyxyyx h)

=++

=++

13

9122

yxyx

yxyx

i)

+=+

+=+

3

1322

uvvu

uvvu j)

=

=+

93411

xyyx

k) ( ) ( )( ) ( )

=+⋅+=+⋅+

2511011

xyyxyx

l)

=++=+

233422

xyyxyx

Resolução

c)

=

=+

⇔

=

=+

201

12

201

1211

tz

tzzt

tz

zt Para ztu += e tzv = , com 0≠t e 0≠z

=−+−

−=⇔

=

−⋅

−=⇔

=

=+⇔

=

==⇔

=

=

0201

53

53

201

5353

201

53

201

53

2012

201

12

2 tt

tz

tt

tz

tz

zt

v

u

v

vu

=−+−

−=⇔

01122053

2 tt

tz

( ) ( )

101

21

40812

641204124 22

=∨=⇔−

±−=

=−⋅−⋅−=−=∆

ttt

acb

=

=∨

=

=⇔

10121

21101

t

z

t

z

=

21,

101;

101,

21S


39

d) ( )

==−+

⇔

=⋅=+

6132

613 222

uvuvvu

vuvu Para vut += e uvz =

=−=

∨

==

⇔

==

⇔

==−

⇔65

65

625

613 22

zt

zt

zt

zzt

à

==

∨

==

⇔

==+

⇔

==

23

32

65

65

vu

vu

uvvu

zt

( ) ( ){ }3,2;2,31 =S

à

−=−=

∨

−=−=

⇔

=−=+

⇔

=−=

23

32

65

65

uv

uv

uvvu

zt

( ) ( ){ }3,2;2,32 −−−−=S

( ) ( ) ( ) ( ){ }3,2;2,3;3,2;2,321 −−−−=∪= SSS

e)

( )( )

( )

=−+

=+

⇔

=+

=+

⇔

=+

=+⇔

=+

=+−−

−−

132

5

13

5

1311

511

135

2

2

2

22

22

22

11

xyxyyx

xyyx

xyyx

xyyx

yx

yxyxyx

Para,

yxu += e xyv = , com 00 ≠∧≠ yx

( )( )

=−

=⇔

=−

=⇔

=−

=⇔

=−+

=+

02125

1325

132

5

132

5

222

2

2

2

2 vvvu

vvuvu

vvu

vu

xyxyyx

xyyx

( )

=

=⇔

=−⋅=

⇔

6165

01625

v

u

vvvu

(Pois 0≠v )

=

=∨

=

=⇔

=

=+⇔

2131

3121

61

65

y

x

y

x

xy

yx

=

21,

31;

31,

21S

f) ( )

=+

=−+

⇔

=+

=+

⇔

=+

=+

56

132

56

13

56

13 222

yxxy

xyyx

yxxy

yx

yxxy

yx

Para yxu += e xyv = ,

com 0≠x ∧ 0≠y . ( )

==

⇔

==−

⇔

=

=−⇔

=

=−

⇔

=+

=−+

56

51312150

56

13225

56

132

56

132 22

uv

uvv

u

vv

uv

vu

yxxy

xyyx

==

∨

==

⇔

=+=

⇔23

32

56

yx

yx

yxxy

( ) ( ){ }2,3;3,2=S

g) ( )

=++=+⋅

⇔

=++=+

56

5622

yxxyyxxy

yxxyxyyx Para yxu += e xyv =


40

==

∨

==

⇔

=+=

⇔23

32

56

uv

uv

vuuv

à

==

∨

==

⇔

=+=

⇔

==

12

21

32

32

yx

yx

yxxy

uv

( ) ( ){ }1,2;2,11 =S

( )

−==−+−

⇔

−==−⋅

⇔

=+=

⇔

==

xyxx

xyxx

yxxy

uv

2032

232

23

23 2

( ) ( )impossível quação

831424 22

Eacb −=−⋅−⋅−=−=∆

( ) ( ){ }1,2;2,1=S

h) ( )

=++

=−+⇔

=++

=++

13

91

13

91 222

xyxy

xyyx

yxyx

yxyx Para yxu += e xyv = , com

( ) ( )0000 <∧<∨>∧> yxyx ( )

( ) ( )

−=

=−⇔

≤−=

=−⇔

=+

=−⇔

=++

=−+2

2222

13

91

13 13

91

13

91

13

91

uv

vu

uuv

vu

uv

vu

xyxy

xyyx

( )( ) ( ) ( )

==+

⇔

==

⇔

−=

=⇔

−=

=−+−⇔

−=

=−−9

10910

13

26026

13

9126169

13

911322

22

2

22

xyyx

vu

uv

u

uv

uuu

uv

uu

==

∨

==

19

91

yx

yx

( ) ( ){ }1,9;9,1=S

i) ( )

=−+

=−+⇔

+=+

+=+

3

133

3

13 222

uvvu

uvvu

uvvu

uvvu Para vut += e uvz = , com

( ) ( )0000 <∧<∨>∧> vuvu ( )

( )( )

( )

−=

=−⋅−⇔

≥−=

=−⇔

=−

=−⇔

=−+

=−+2

22222

3

1333

3 3

133

3

133

3

133

tz

tt

ttz

zt

zt

zt

uvvu

uvvu

( ) ( ) ( )

−=

=−+−⇔

−=

=−+−⇔

−=

=−+−2

2

2

2

2

22

3

0209

3

040182

3

1327183

tz

tt

tz

tt

tz

ttt

( ) ( )

4 52

191201494 22

=∨=⇔−

±−=

=−⋅−⋅−=−=∆

ttt

acb

( )

==

∨

==

⇔

−=

=−+−

14

45

3

02092

2

zt

zt

tz

tt

à

==

∨

==

⇔

==+

⇔

==

14

41

45

45

yx

yx

xyyx

zt

( ) ( ){ }1,4;4,11 =S


41

à ( )

=−+−

−=⇔

=−⋅−=

⇔

==+

⇔

==

0144

144

14

14

2 xxxy

xxxy

xyyx

zt

( ) ( )

32 322

324

1211444 22

+=∨−=⇔−±−

=

=−⋅−⋅−=−=∆

xxx

acb

+=

−=∨

−=

+=⇔

=−+−

−=

32

32

32

32014

42 x

y

x

yxxxy

( ) ( ){ }32,32;32,322 −++−=S

( ) ( ) ( ) ( ){ }32,32;32,32;1,4;4,121 −++−=∪= SSS

j)

=

=+

⇔

=

=+

934

93411

xyxy

yx

xyyx Para b+= au e b.av = , com 00 >∧> yx ; onde

u e v são polinómios simétricos de variáveis a e b ( )yb; == xa

=

=∨

=

=⇔

=

=+⇔>

==

⇔

=

=⇔

=

=+

1

3

3

1

3

4)0(

34

934

934

2 y

x

y

x

xy

yxPois v

vu

vvu

xyxy

yx

==

∨

==

19

91

yx

yx

( ) ( ){ }1,9;9,1=S

k) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=+⋅+=+++

⇔

=+⋅+=+⋅+

251101

2511011

xyyxyxxy

xyyxyx

Para yxt += e xyz =

( ) ( )

=−+−

−=⇔

=+−⋅−=

⇔

=+⋅=++

⇔02510

92510

9251

1012 tt

tztt

tzzttz

( ) ( )

52

1002514104 22

=−−

=

=−⋅−⋅−=−=∆

t

acb

==

∨

==

⇔

=+=

⇔

==

14

41

44

54

yx

yx

yxxy

tz

( ) ( ){ }1,4;4,1=S

l) ( )

=++=−+

⇔

=++=+

23342

2334 222

xyyxxyyx

xyyxyx Para yxt += e xyz =

−==−+

⇔

−==−+−

⇔

=+=−

⇔tz

tttz

ttzt

zt23

080223

03424623

342 222

( )

8 102

182324801424 22

=∨−=⇔±−

=

=−⋅⋅−=−=∆

ttt

acb

==

∨

=−=

⇔

−==−+

158

3310

2308022

zt

zt

tztt


42

à ( )

=−−−

−−=⇔

=−−⋅

−−=⇔

=

−=+⇔

=

−=

0331010

331010

3310

3310

2 xxxy

xxxy

xyyx

zt

( ) ( ) ( )impossívelEquaçãoacb

323314104 22 −=−⋅−⋅−−=−=∆

à

==

∨

==

⇔

==+

⇔

==

35

53

158

158

yx

yx

xyyx

zt

( ) ( ){ }3,5;5,3=S


43

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS

1. Complete uma equação do 2º grau, sabendo as suas raízes 1x e 2x :

a) 11 −=x ; 22 −=x b) 31 =x ; 32 −=x

c) 21 =x ; 32 =x d) 231 +=x ; 232 −=x

e) 4

331

+=x ;

433

2−

=x f) 331 =x ; 32 −=x

2. Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula resolvente: a) 010112 =+− xx b) 02012 =++ xx c) 062 =−+ xx d) 0862 =−+− uu e) 0156 2 =+− vv f) 01310 2 =++− tt

3. Decomponha, se possível, em produto de factores: a) 962 ++ xx b) 123 2 −− vv c) ( ) atat 332 +++

4. Para que valores do parâmetro 0≠k , a soma dos cubos das raízes da

equação 22 26 kkxkx +− é igual a 72 ?

5. Sabendo que 2 é uma raiz da equação ( ) 02b2 23 =−++− axxax onde

Z b a , ∈ , encontrar os valores dos parâmetro ba e e outras raízes da equação dada.

6. Resolva os seguintes sistemas:

a) ( )

−=+=+

2733

yxxyyx b)

=++

=++

137

22 xyyxxyyx

c)

=+=+

53533

yxyx d)

=+

=+

2065

22

33

xyyxyx


44

e)

=++=++

5173333

yxyxyyxx f)

==+

2933

xyyx

g) ( )( )

=++=+

281933

yxxyyx

7. Racionalize os denominadores das seguintes fracções:

a) 6 211

+ b)

1+αα , onde 0133 =+− αα

8. Sem determinara as raízes do polinómio dado, construa um polinómio ( )xP

sabendo que as suas raízes são: a) Quadrados das raízes de 842 23 −+− xxx . b) Triplos das raízes de 3323 +++ xxx .

SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sugestão: A equação pode ser escrita na forma 02 =+− PSxx onde S e P são,

respectivamente, a soma e o produto das raízes. A partir de 02 =+− PSxx determina-se outras equações equivalentes, multiplicando ambos os termos de 02 =+− PSxx por um constante diferente de zero.

a) 3−=S e 2=P , logo a equação procurada pode ser: 0232 =++ xx . b) 032 =−x c) ( ) 06322 =++− xx d) 0762 =+− xx

e) 083

232 =+− xx

f) 09322 =−− xx 2. Sugestão: Reduza a equação à forma 02 =+− PSxx . S e P são, respectivamente, a

soma e o produto das raízes.. Conhecida a soma e o produto pode-se determinar as raízes procuradas.

a) 11=S e 10=P , logo { }10,1:.Sol . b) { }10,2:. −−Sol c) { }2,3:. −Sol d) { }4,2:. −−Sol

e)

31,

21:.Sol

f)

−

51,

21:.Sol

3. Sugestão: Determine as raízes utilizando a soma e produto das raízes e, depois, utilize a fórmula: ( ) ( )21

2 xxxxacbxax −⋅−⋅=++ onde 1x e 2x são raízes de cbxax ++2 . a) 6−=S e 9=P , logo existe uma raiz dupla 3− . Então, ( )22 396 +=++ xxx


45

b) ( )

+⋅−⋅=−−

3113123 2 vvvv

c) ( ) ( ) ( )3332 +⋅+=+++ tatatat 4. R: 4=k 5. R: 2−=b ; 1−=a e as outra raízes são 1− e 2− . 6.

a) ( ) ( ){ }1,2;2,1:. −−Sol Sugestão: ( ) ( )yxxyyxyx +⋅−+=+ 3333

b) ( ) ( ){ }1,3;3,1:.Sol Sugestão: ( ) xyyxxyyx −+=++ 222

c) ( ) ( ){ }3,2;2,3:.Sol d) ( ) ( ){ }1,4;4,1:.Sol e) ( ) ( ){ }1,2;2,1:.Sol f) ( ) ( ){ }1,2;2,1:.Sol g) ( ) ( ){ }3,2;2,3:. −−Sol

7.

a) 63366 3242221

211

+−+−+−=+

b) 3

13

1133

21

22323 +−=

−−+−+−

=−

−−=

+ααααααααα

αα

8. a) 64164)( 23 −−+= xxxxP

Sugestão: 22

12

32

22

12 2 σσ ⋅−=++= xxxS b) 81273)( 23 +++= xxxxP


46

CCOONNCCLLUUSSÃÃOO

O estudo realizado ao longo da elaboração deste trabalho e os resultados alcançados são satisfatórios apesar dos esforços despendidos, pois permitiu-me alargar os meus horizontes de conhecimentos.

A abordagem teórica dos polinómios feita a nível da Álgebra Superior, vai permitir àqueles que vão consultar este trabalho, ter um conhecimento mais sólido, que lhes dão a capacidade de criar os seus próprios exercícios para motivar os alunos e aprofundar os seus conhecimentos.

Os exercícios apresentados acerca das equações do 2º grau devem ser introduzidos paulatinamente aumentando os seus graus de dificuldades. Há um leque de exercícios que permite a criação de vários outros, dando possibilidades aos professores de diversificar os problemas de acordo com as características dos seus formandos.

A metodologia apresentada para racionalização do denominador de uma fracção vai ajudar na resolução de vários exercícios, elevando o nível de conhecimentos dos alunos e dos professores. No entanto, esses exercícios devem ser apresentados aos alunos com noção clara acerca do Teorema de Viett.

O método de resolução dos sistemas simétricos está ao alcance dos alunos de nível igual ou superior ao 9º ano, só que os exercícios devem ser adequados a esses níveis, pelo que, se for introduzido lhes vai dar possibilidades de resolução de vários sistemas, que muitas vezes parecem de resolução impossível.

Os exercícios aqui apresentados podem ser aproveitados para os vários níveis de ensino, conforme for o grau de conhecimentos adquiridos pelos alunos; permitem uma relação entre os diferentes conteúdos estudados ao longo do Ensino Secundário.


47

FFOONNTTEESS BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIICCOOSS

1. ÁVILA, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. Brasília. 3ª Edição. JC

Editora. 2000

2. GARCIA, Maria Madalena, DOS ANJOS; Alfredo Osório, RUIVO; António

Fernando. Compêndio de Matemática. Porto. 1976.

3. FADEEV, D. K., LYASCHENCO, N. N., NIKULINE, M. C., SOKOLOVSKY, J. F.,.

Problemas algébricos de 6 a 8 anos de escolaridade. Moscovo. 1988.

4. SKANAVI, M. I. Coletânea dos Problemas Matemático para os Candidatos para

o Ensino Superior. 3ª edição. Moscovo. 1978.

5. KOSFRIKIN, A. Introdução à Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1977.

6. ZAVALO, S., HATZET, B., KASTARCHUK, V.. Álgebra e Teoria dos Números, II

Parte. Kiev. Vuschaya Skala. 1980.

7. KUROSH, A.. Curso da Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1975.

8. MONTEIRO, António I., MATOS, Isabel Teixeira. Álgebra - Um Primeiro Curso.

Escolar Editora. 1995.

9. CABRAL, Manuela. Álgebra. Universidade Aberta. 1996.

10. FADIEEV, I., SAMINSKI, I.. Problemas da Álgebra Superior. Moscovo. Editora

Mir. 1980.

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