APRESENTAO Desdeosprimrdiosdahistriaaexperinciamatemticadohomemseconfundecoma necessidade de resolver problemas. Neste contexto surgiu a criao do jornal LPM que uma produo bimestral do grupo loucos por matemtica que tem como objetivo acompanhar os alunos olmpicos e das escolas militares e ajud los com os nossos artigos e problema para iniciantes e avanados. Aproveitamos a oportunidade paraconvidartodososloucospormatemticaparaenviarassoluesdosproblemasetambm quemquisercolocarartigos,qualqueroutraformadeajudasermuitobemvinda.Tenham certeza que estaremos aguardando ansiosos por seus e-mails.Esperamos que vocs gostem do nosso primeiro nmero e que aprendam bastante com os artigos e sedivirtamtentandodespertarnosestudantesdestabelacinciaoprazerdadescobertae entendimento,atravsdaresoluodeproblemaspropostosedaanlisecomassituaesmais engenhosas. Os editores, Fortaleza 2010

Fatoraes de polinmios Judson Santos / Luciano Santos Fatorar transformar uma soma ou diferena de duas ou mais parcelas num produto de dois ou mais fatores. H vrios processos para a decomposio de um polinmio em um produto de dois oumaisfatores.Osprincipaisprocessosdefatoraoso:"fatorcomum","fatoragrupamento", "diferena de quadrados", "soma de dois cubos", "diferena de dois cubos", e "trinmio quadrado perfeito.Porm,vamosmostrarumprocessodefatoraodepolinmioscommultivariveisque nomuitocomumnoslivrosdematemticadoensinofundamentalemdio.Sabemostambm queoprocessodefatoraoumcontedodegrandeimportncianamatemticaquevemsendo cobrado na maioria das provas de concurso de Escolas Militares e Olimpadas. Agora, vamos mostrar vrios problemas resolvidos de fatorao de polinmios com multivariaveis e tambm colocaremos uma lista de exerccios para os leitores enviarem as solues para os e-mais : judsonsantos7@gmail.com.br e prof.luciano1977@gmail.com . Fatoraes de polinmios Para fatorar - mos funes polinomiais inicialmente temos que encontrar os zeros ou raiz do polinmios. Vejamos alguns exemplos: 6 52) ( ) + = x x x f aObserve que: Como 2 = x o zero ou raiz , ento o polinmio( ) x f divisvel por( ) 2 xComo3 = x o zero ou raiz , ento o polinmio ( ) x f divisvel por( ) 3 x Portanto, a forma fatorada ser: ( )( ) 3 2 . ) ( = x x k x fPorm, substituindo um valor para3 , 2 x x , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( )( )12 . 23 1 2 1 . ) 1 (2 ) 1 ( 6 1 . 521 ) 1 ( 1== == + = =kkk fMasf f x para Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada: ( )( ) 3 2 ) ( = x x x f 1 322 ) ( ) + = x x x f bObserve que: Como 1 = x o zero ou raiz , ento o polinmio( ) x f divisvel por( ) 1 xComo 21= x o zero ou raiz , ento o polinmio ( ) x f divisvel por||

\|21x Portanto, a forma fatorada ser: ( ) ||

\| =211 . ) ( x x k x fPorm, substituindo um valor para 21, 1 x x , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( )223. 3212 1 2 . ) 2 (3 ) 2 ( 1 2 . 322 . 2 ) 2 ( 2=||

\|=||

\| == + = =kkk fMasf f x para Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada: ( ) ||

\| =211 . 2 ) ( x x x f 6 11263) ( ) + = x x x x f cObserve que: Como 1 = x o zero ou raiz , ento o polinmio( ) x f divisvel por( ) 1 xComo2 = x o zero ou raiz , ento o polinmio ( ) x f divisvel por( ) 2 x Como3 = x o zero ou raiz , ento o polinmio ( ) x f divisvel por( ) 3 xPortanto, a forma fatorada ser: ( )( )( ) 3 2 1 . ) ( = x x x k x fPorm, substituindo um valor para3 , 2 , 1 x x x , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( )( )( )( )16 . 63 0 2 0 1 0 . ) 0 (6 ) 0 ( 0= = = = =kkk fMasf x para Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada: ( )( )( ) 3 2 1 . 1 ) ( = x x x x fObservao: Opolinmio6 11263) ( + = x x x x f temasomadoscoeficientesigualazero.Portanto,1umaraizdo polinmio. Com isso, o polinmio divisvel por( ) 1 xEnto:

Obtemos, a forma fatorada do polinmio( ) ||

\|+ = 6 521 ) ( x x x x fMas, sabemos que: ( )( ) 3 2 6 52 = + x x x xConcluimo que a forma fatorada do polinmio vale: ( )( )( ) 3 2 1 ) ( = x x x x f 6 11263 + x x x( ) 1 x6 52+ x x2 3x x + 6 1125 + x xx x 525 6 6 x6 6 + xzero Fatoraes de polinmios com multivariaveis Portanto, agora vamos fazer algumas fatoraes utilizando estes artifcios matemticos transformando expresses em polinmios e depois encontraremos os zeros ou raiz. Vejamos alguns casos: ( ) ( ) ( ) b a c a c b c b a Fatore a + + 2 2 2)Caro leitor, seja a funo polinomial( ) ( ) ( ) ( ) b a c a c b c b a c b a f + + =2 2 2, , . Observamos por inspeo que: b a = raiz do polinmio c a = raiz do polinmio c b = raiz do polinmio Com isso: ( ) b a divisvel de( ) c b a f , ,( ) c a divisvel de( ) c b a f , ,( ) c b divisvel de( ) c b a f , ,Portanto, o polinmio da forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) c b c a b a k b a c a c b c b a c b a f = + + =2 2 2, ,Substituindo qualquer valor parac b a temos: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1. 2 2:3 2 3 1 2 1 2 1 9 1 3 4 3 2 1 3 2 , 1= = = + + = = =kkTemosk c e b a Ento, conclumos que a forma fatorada da expresso vale: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) c b c a b a b a c a c b c b a = + + . 12 2 2 ( )3 3 3 3) c b a c b a Fatore b + +Caro leitor, seja a funo polinomial( ) ( )3 3 3 3, , c b a c b a c b a f + + = . Observamos por inspeo que: b a = raiz do polinmio temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ,3 3 3 3, , = + + = c b b f c b b c b b c b b fPortanto,( ) b a + divisvel por( ) c b a f , ,c a = raiz do polinmio temos( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ,3 3 3 3, , = + + = c b c f c b c c b c c b c fPortanto,( ) c a + divisvel por( ) c b a f , ,De modo anlogo, temos que( ) c b +tambm divisvel por( ) c b a f , ,Portanto, o polinmio da forma: ( ) ( ) ( )( )( ) c b c a b a k c b a c b a c b a f + + + = + + =3 3 3 3, ,Substituindo qualquer valor para1 = = = c b atemos: ( ) ( )( )( )3. 8 3 27:1 1 1 1 1 131313131 1 1 1 1 , 1== + + + = + + = = =kkTemosk c e b a Ento, conclumos que a forma fatorada da expresso vale: ( ) ( )( )( ) c b c a b a c b a c b a + + + = + + 33 3 3 3 CRITRIOS DE FATORAES DE POLINMIOS COM MULTIVARIAVEIS Vejamos alguns critrios de fatoraes dos polinmios utilizando as seguintes formas. C1.( ) ( ) C Bx Ax x P ou Cy y Bx Ax y x Pn n m m n n+ + = + + =2 2 2,Para fatorar ( )m m n nCy y Bx Ax y x P2 2, + + =Seguiremos os seguintes procedimentos: I.Decompomos os termos extremos da seguinte forma ( ) +)`+ +m n m nm n m nm m n ny x a c y c x ay x a c y c x aCy y Bx Ax1 2 2 22 1 1 12 2 II.Se o termo central igual a soma dos produtos das parcelas acima 2 12 11 2 2 1c c Ca a Aa c a c B==+ = III.Logo,( ) ( )( )m n m n m m n ny c x a y c x a Cy y Bx Ax y x P2 2 1 12 2, + + = + + =Por exemplo: a)Fatorar( ) 8 10 32+ + = x x x PSoluo: Decompondo os extremos, temos: ( )x x xx xx xx x10 6 46 24 4 38 10 32= ++)`+ + Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada dada por: ( ) ( )( ) 2 4 3 8 10 32+ + = + + = x x x x x P b)Fatorar( )2 2 42 11 15 , y y x x y x P + =Soluo: Decompondo os extremos, temos: ( )y x y x y xy x y xy x y xy y x x2 2 22 22 22 2 411 5 65 1 36 2 52 11 15 = +)` + Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada dada por: ( ) ( )( ) y x y x y y x x y x P = + =2 2 2 2 43 2 5 2 11 15 ,c)Fatorar( ) 10 5 22 3 5 + = x x x x MSoluo 1: Utilizando a tcnica de agrupamento, temos: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 5 22 5 23 22 2 3+ = + =x x x Mx x x x M Soluo 2: ( ) +)` + + 3 22 32 3 52 25 510 5 2x xx xx x x Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada dada por: ( ) ( )( ) 2 5 10 5 22 3 2 3 5 + = + = x x x x x x MC2. FORMA GERAL ( ) F Ey Dx Cy y Bx Ax y x Pm n m m n n+ + + + + =2 2,Seguiremos os seguintes procedimentos: I.Devemos ordenar o polinmio de acordo com a forma geral

II.Se falta algum termo preencher com zero

III.Aplicaremos a seguinte idia ( )2 2 21 1 12 2,f y c x af y c x aF Ey Dx Cy y Bx Ax y x Pm nm nm n m m n n+ + + + + = Faamos em casos separados: 1 2 2 11 2 2 11 2 2 1f a f a Df c f c Ec a c a B+ =+ =+ = Com isso, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( )2 2 2 1 1 12 2, f y c x a f y c x a F Ey Dx Cy y Bx Ax y x Pm n m n m n m m n n+ + + + = + + + + + =Por exemplo: a) Fatorar( ) 2 8 7 6 13 6 ,2 2+ + + + + = y x y xy x y x PSoluo: Aplicando o teorema estudado acima temos: 1 3 22 2 32 8 7 6 13 62 2y xy xy x y xy x + + + + + Observamos que: y y yx x xxy xy xy8 6 27 4 313 4 9= += += + Com isso, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( ) 1 3 2 2 2 3 2 8 7 6 13 6 ,2 2+ + + + = + + + + + = y x y x y x y xy x y x Pb) Fatorar( ) 3 11 6 11 10 ,2 2 + = y x y xy x y x PSoluo: Aplicando o teorema estudado acima temos: 1 3 23 2 53 11 6 11 102 2y xy xy x y xy x + Observamos que: y y yx x xxy xy xy11 9 26 511 4 15 = = = Com isso, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( ) 1 3 2 3 2 5 3 11 6 11 10 ,2 2+ + = + = y x y x y x y xy x y x Pc)Fatorar( ) yz xz xy z y x z y x M 5 23 5 20 25 6 , ,2 2 2 + =Soluo: Inicialmente vamos ordenar o nosso polinmio de acordo com forma geral ( )2 2 220 5 23 25 5 6 , , z yz xz y xy x z y x M + =Aplicando o teorema estudado temos: z y xz y xz yz xz y xy x5 5 24 5 320 5 23 25 5 62 2 2 + Observamos que: yz yz yzxz xz xzxy xy xy5 20 2523 8 155 10 15 = + = = Com isso, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( ) z y x z y x z yz xz y xy x z y x M 5 5 2 4 5 3 20 5 23 25 5 6 , ,2 2 2 + = + =C3. FORMA GERAL ( ) E Dx Cx Bx Ax x Pn n n n+ + + + =2 3 4 Procedimento para fatorar o polinmio: P1. Ordenar o polinmio da forma geral e colocar zero nos termos que esto faltando P2. Aplicaremos a seguinte idia 2 2221 1212 3 4e x k x ae x k x aE Dx Cx Bx Axn nn nn n n n+ + + + Faamos em casos separados: 1 2 2 11 2 2 1e k e k Dk a k a B+ =+ = Porm, para obter-mos o termo nCx2vamos proceder da seguinte forma: 2 1 1 2 2 1k k e a e a C + + =Isto , o produto de 2 1k k o coeficiente que falta para 1 2 2 1e a e a +para obter-mos o coeficiente C. Com isso, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( )2 222 1 1212 3 4e x k x a e x k x a E Dx Cx Bx Ax x Pn n n n n n n n+ + + + = + + + + =Por exemplo: a)Fatorar( ) 1 7 14 72 3 4+ + + + = x x x x x PSoluo: Aplicando o teorema estudado temos: 111 7 14 7222 3 4xxx x x x + + + + Temos: 2 2 22x x x = +Observamos que: 2 2 212 2 14 x x x = Ento, o polinmio( ) 1 7 14 72 3 4+ + + + = x x x x x Ppode ser escrito da seguinte forma: 1 31 41 7 14 7222 3 4x xx xx x x x + + + + Com isso, verificamos que: x x xx x x7 3 47 4 33 3 3= += + Portanto, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( ) 1 3 1 4 1 7 14 72 2 2 3 4+ + + + = + + + + = x x x x x x x x x P b)Fatorar( ) 15 5 22 3 4 + + + = x x x x x PSoluo: Aplicando o teorema estudado temos: 3515 5 2222 3 4 + + +xxx x x x Temos: 2 2 22 3 5 x x x = Ento, o polinmio( ) 15 5 22 3 4 + + + = x x x x x Ppode ser escrito da seguinte forma: 35 015 5 2222 3 4 + + +x xx xx x x x Com isso, verificamos que: x x xx x x5 0 503 3 3= += + Portanto, a forma fatorada do polinmio dada por: ( ) ( )( ) 3 5 15 5 22 2 2 3 4 + + = + + + = x x x x x x x x P Seo n cego. Nestaseconcegotemcomoobjetivoprincipalaprofundarosseusconhecimentos,isto,todosos problemas aqui contidos envolvem um raciocnio matemtico apurado e uma certa dose de criatividade. Problema 1. (ITA2003)Areadopolgono,situadonoprimeiroquadrante,quedelimitadopeloseixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, igual a: A)6B) 25 C)2 2D)3 E) 310 Resp.: B Problema 2. (PERU)Fatorar( ) a c c b b a a b b c c a c b a M3 3 3 3 3 3, , + + =Resp.:( ) ( )( )( )( ) c b a a c c b b a c b a M + + = , , Problema 3. (IME 2005)Determine o valor das razes comuns das equaes 0 52 32 44 12 0 18 18 11 22 3 4 2 3 4= + = + + x x x x e x x x xResp.:3 1 Problema 4. (PERU)Fatorar( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 2, , y x z x z y z y x z y x A + + =Resp.:( ) ( )( )( )( ) xz yz xy x z z y y x z y x A + + = , , Problema 5. (OMRJ)Determine todas as razes reais de0 1 2 5 12 5 22 3 4 5 6= + + x x x x x x Problema 6. (E.N 2006) Um tanque de combustvel tema forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3 metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das razes da equao x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A rea lateral do tanque em m2, mede: a) 6b) 12c) 18d) 36e) 48 Resp.: B Problema 7. (PERU)Fatorar e indicar o fator primo cbico de( ) 1 2 22 4 5+ + = x x x x x P1 )1 )1 )1 )1 )2 332 32 33+ + + ++ ++ +x x ex x dx x x cx x bx x a Resp.: D Problema 8. (E. N 86)O valor da soma das razes comuns s equaes x4 7x3 + 16x2 15x + 3 = 0 e x4 3x3 x2 7x + 2 = 0: a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4 Resp.: E Problema 9. a)(OMRUSSIA)Fatore x3 + y3 + z3 3xyz b) Usando a fatorao obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das mdias aritmtica e geomtrica. Se a, b, c R+ ento 33a b cabc+ +e a igualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c. Problema 10. Fatore (x + y + z)3 (x3 + y3 + z3) Problema 11. Verifique que: (x + y + z)3 (y + z x)3 (x + z y)3 (x + y z)3 = 24xyz. Problema 12. (Crocia-2001) Se0 = + + z y x , simplifique

( )4 4 47 7 7z y x xyzz y x+ ++ + Sugesto : calcule( )4y x +e( )6y x + Problema 13. (Grcia-2001) Fatore a expresso (i) 2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 x z z y y x z y x A + + =e mostre que a equao A = 2000 no possui soluo no conjunto dosnmeros inteiros. Problema 14. Se x + y + z = 0, prove que |||

\| + +|||

\| + +=+ +2 3 52 2 2 3 3 3 5 5 5z y x z y x z y x Problema 15. (HONG KONG 1997)Se a, b e c so as razes da equao x3 2x2 3x 4 = 0. O valor da expresso a ca cc bc bb ab a++5 5 5 5 5 5 igual a: a) 180 b) 181 c) 182d) 183e) 184 Resp.: D Problema 16. (BULGARIA)Se 3 2 1, , x x x soasrazesdaequao0 3 22 3= + x x x ,ento 3 2 13 23 2 13 13 2 12 12 2 2 x x xx xx x xx xx x xx x+ ++++ ++++ ++ igual a : ado er ser pode no e d c i b a min det ) 2 ) 1 ) 1 ) 0 ) Resp.: C Problema 17. (BULGARIA)OscomprimentosdasalturasdoABC sosoluesdaequaocbica 02 3= + + + m x kx x l . Ento o raio do crculo inscrito noABC igual a: ll l mekmdmckbmka ) ) ) ) ) Problema 18. (BULGARIA)Seja p(x) um polinmio de grau 2 tal que0 ) 2 ( 10 . 10 cos ) 1 ( , 10 cos ) 0 (2 3= = = p e sen p p . Ento o valor de) 3 ( . 3 2 p igual a: a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 Resp.: C Problema 19. (IME 2002) Resolva a equaox x= 5 5 , sabendo-se que0 > x . Resp.:221 1+ = x Problema 20. (IME 2002) a) Encontre as condies a que devem satisfazer os coeficientes de um polinmio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1 x). b) Considere o polinmio P(x) = 16x4 32x3 56x2 + 72x + 77. Determine todas as suas razes sabendo-se que o mesmo satisfaz condio do item acima. Resp.:a)( ) ( ) 0 , 22 3 4 + + + = a e x c a cx ax ax x Pb) Logo as razes de P(x) so:221 ,321 Problema 21. (IME 2006)Considere o polinmio( ) 30 44 27 3 32 3 4 5+ + = x x x x x x P . Sabendo que o produto de duas de suas razes complexas igual ai 3e que as partesreais e imaginrias de todas as suas razes complexas so inteiras e no nulas, calcule todas as razes do polinmio. Problema 22. (IME 1986) a)Mostre que se( )403020 0 0x a x a x a x a a x P + + + + = , ento existe um polinmio( ) x gdo segundo grau, tal que( ) ( )1 + = x x g x P b)Determine todas as razes de( )4 3 24 5 4 1 x x x x x P + + + + = Problema 23. (IME)Determine todas as razes da equao0 4 4 3 22 3 4= + + x x x xResp.:2 1 e Problema 24. (ITA 2006)Sobre o polinmio( ) 2 3 4 52 3 5 + = x x x x x Ppodemos afirmar que a)2 = xno razes dePb)Ps admite razes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c)Padmite uma nica raiz real, sendo ela uma raiz inteira d)Ps admite razes reais, sendo duas delas inteiras e)Padmite somente 3 razes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. RESP.: E Problema 25. (ITA - 1997) Seja S o conjunto de todas as razes daequao 2x6 -4x5 +4x -2=0. Sobre oselementos de S podemos afirmar que:(A) Todos so nmeros reais. (B) 4 so nmeros reais positivos. (C) 4 so nmeros reais. (D) 3 so nmeros reais positivose 2 no so reais. (E) 3 so nmeros reais negativos. Resp.: D Problema 26. (ITA - 1991) Considere as afirmaes: I-A equao 3x4-10x3 + 10x - 3 = 0 s admite razes reais. II- Toda equao recproca admite um nmero par de razes. III-As razes da equao x3 + 4x2 - 4x - 16 = 0. So exatamente o dobro das razes de x3 + 2x2 - x - 2 = 0 . Ento: (A) Apenas I verdadeira. (B) Apenas II falsa. (C) Apenas III verdadeira. (D) Todas so verdadeiras. (E) n.d.a. RESP.: B Problema 27. (EUA) Determinar todos os valores reais que satisfazem a equao:

24 5 31 32xx x+ += + =+ =2 13 2: . RexxspProblema 28. (INDIA96)Defineseumaseqncia na ,2 . 2 2 , 11 2 2 1+ = = =+ + n n na a a e a a por para1 n . Prove que para todo 1. ,+ mama mtambm um termo na seqncia.