Grafos - Instituto de Computação · Grafos – Aplicações ‣ Alguns problemas práticos que podemos resolver com grafos! • Ajudar máquinas de busca a localizar informação

Grafos Representações, Buscas e Aplicações

MC 202 – Estruturas de Dados

Prof. Anderson Rocha

Organização dessa aula

MC202 Estruturas de Dados – Prof. Anderson Rocha

Sumário

3

‣ Recapitulando

‣ Implementação de Grafos

‣ Algoritmos em Grafos: Busca em Profundidade e Largura

‣ Aplicações

‣ Lição da aula de hoje

‣ Próximos capítulos

‣ Exercícios

Warming Up...


O que vimos até agora?

‣ O que vimos no curso até o momento

• Arranjos, filas, pilhas

• Árvores (Binária, B, heaps)

• Hashes

• Grafos (Definições)

5


Grafos – Definições

‣ Um grafo G = (V, A) é constituído de um conjunto de vértices e um conjunto de arestas conectando pares de vértices.

‣ Pode ser direcionado, não direcionado, ponderado

6


Grafos – Definições

‣ Muitas aplicações em computação precisam considerar um conjunto de conexões entrepares de objetos

• Existe um caminho para ir de um objeto a outro seguindo as conexões?

• Qual a menor distância entre um objeto e outro?

• Quantos objetos podem ser alcançados a partir de um determinado objeto?

7


Grafos – Aplicações

‣ Alguns problemas práticos que podemos resolver com grafos

• Ajudar máquinas de busca a localizar informação relevante na Web

• Descobrir os melhores casamentos entre posições disponíveis em empresas e pessoas que aplicaram para as posições de interesse

• Descobrir qual o roteiro mais curto para visitar as principais cidades de uma regiões turística

8


Grafos – Modelagem

‣ Finalmente, vimos a questão da modelagem de problemas segundo a ótica de grafos

‣ Exemplo da conexão entre cidades, distâncias, pedágios, pavimentação etc.

9

Ok... mas como implementar?


Idéias básicas

‣ Podemos implementar o tipo abstrato de dados “Grafo” basicamente de duas formas

• Matriz de Adjacências

• Lista de Adjacências

11


Matriz de Adjacências

‣ A matriz de adjacências de um grafo G = (V, A) contendo n vértices é uma matriz de nxn

‣ A[i,j] é 1 se e somente se existe um arco do vértice i para o vértice j.

12



13

Como fazer com grafos ponderados?



‣ Quando devemos optar por essa representação?

• Grafos densos (|A| ~ |V|2)

• Por que?

‣ O tempo necessário para acessar um elemento é independente de |V| ou |A|

14



‣ É útil quando queremos saber com rapidez se existe um aresta ligando dois vértices

‣ Qual a desvantagem?

• Armazenamento necessita Ω(|V|2) de espaço

• Então ler ou examinar a matriz nos custa O(|V|2)

15


Lista de Adjacências

‣ Utilizamos listas encadeadas

‣ Temos um arranjo adj de |V| listas, uma para cada vértice em V

‣ Para cada vértice u em V

• adj[u] contém todos os vértices adjacentes a u em G.

16



17

0

1

2

3

1 5

1 3 2 7

0

1

2

3

1 5

0 5 2 7

1 7



‣ Armazenamento em ordem arbitrária

‣ Complexidade de espaço é O(|V| + |A|)

‣ Quando é indicada?

• Grafos esparsos (|A| << |V|2)

18



‣ Qual a maior desvantagem?

• Pode ter tempo O(|V|) para determinar se existe uma aresta entre o vértice i e o vértice j

• Por que? Podem existir O(|V|) vértices na lista de adjacentes do vértice i.

19

Ok... mas o que podemos fazer com isso?


Algoritmos em Grafos

‣ Efetuar buscas

‣ Determinar topologias e restrições

‣ Achar caminhos mínimos

‣ Achar componentes

21


Algoritmos em Grafos

‣ Determinar comunidades em redes sociais

‣ Analisar padrões de espalhamento e comportamento

‣ etc.

22

Busca em Profundidade



‣ É um algoritmo para caminhar no grafo

‣ A estratégia é buscar o “mais profundo” no grafo sempre que possível

‣ As arestas são exploradas a partir do vértice v mais recentemente descoberto que ainda possui arestas não exploradas saindo dele

24



‣ Quando todas as arestas adjacentes a v tiverem sido exploradas a busca “anda para tras” para explorar vértices que saem do vértice do qual v foi descoberto

‣ Algoritmo útil em diversas aplicações

• Ordenação topológica

• Componentes conectados

• Verificação de ciclos

25



‣ Para acompanhar o progresso do algoritmo, cada vértice é colorido de branco, cinza ou preto

‣ Todos os vértices começam em branco

‣ Quando um vértice é descoberto pela 1ª vez, ele se torna cinza

26



‣ Quando acabamos de analisar sua lista de adjacentes ele se torna preto

‣ Usamos “time-stamps” para marcar o tempo de descoberta e o tempo de finalização

27



28

u v w

x y z



29

1/

u v w

x y z



30

1/ 2/

u v w

x y z



31

1/ 2/

u v w

x y z



32

1/ 2/

3/

u v w

x y z



33

1/ 2/

3/

u v w

x y z



34

1/ 2/

4/ 3/

u v w

x y z



35

1/ 2/

4/ 3/

u v w

x y z



36

1/ 2/

4/5 3/

u v w

x y z



37

1/ 2/

4/5 3/6

u v w

x y z



38

1/ 2/7

4/5 3/6

u v w

x y z



39

1/ 2/7

4/5 3/6

u v w

x y z



40

1/8 2/7

4/5 3/6

u v w

x y z



41

1/8 2/7 9/

4/5 3/6

u v w

x y z



42

1/8 2/7 9/

4/5 3/6

u v w

x y z



43

1/8 2/7 9/

4/5 3/6

u v w

x y z



44

1/8 2/7 9/

4/5 3/6 10/

u v w

x y z



45

1/8 2/7 9/

4/5 3/6 10/

u v w

x y z



46

1/8 2/7 9/

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z



47

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

Algoritmo e Complexidade


1. BuscaProf(G)

2. Para cada vértice u em V[G]

3. coru = Branco; paiu = NULL

4. tempo = 0


6. Se(coru == Branco)

7. Visitar(u)


49


1. BuscaProf(G)



4. tempo = 0



7. Visitar(u)


50

O(|V|)


1. BuscaProf(G)



4. tempo = 0



7. Visitar(u)


51

O(|V|)

???


1. Visitar(u)

2. coru = cinza; tempo = tempo + 1; du = tempo;

3. Para cada v em Adj[u]

4. Se (corv == Branco)

5. paiv = u

6. Visitar(v)

7. coru = Preto

8. fu = tempo + 1; tempo = tempo + 1;


52

Executado vezes |Adj[u]|



‣ Fazemos uso da Análise agregada

‣ Visitar é chamado apenas uma vez para cada vértice v em V mas apenas para vértices brancos

‣ Todas as chamadas a Visitar tem custo

!

!

‣ Logo, custo do algoritmo é O(|V| + |E|)

53

�

u�V

|Adj[u]| = �(E)

Busca em Largura


Busca em Largura

‣ Explicar busca em largura

55


Busca em Largura

56

r s t u

v w x y


Busca em Largura

57

∞ 0 ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

r s t u

v w x y

Fila Q s

0Nível


Busca em Largura

58

1 0 ∞ ∞

∞ 1 ∞ ∞

r s t u

v w x y

Fila Q w

1Nívelr

1


Busca em Largura

59

1 0 ∞ ∞

∞ 1 ∞ ∞

r s t u

v w x y

Fila Q w

1Nívelr

1


Busca em Largura

60

1 0 2 ∞

∞ 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila Q r

1Nívelt

2

x

2


Busca em Largura

61

1 0 2 ∞

∞ 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila Q r

1Nívelt

2

x

2


Busca em Largura

62

1 0 2 ∞

2 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila QNível

t

2

x

2

v

2


Busca em Largura

63

1 0 2 ∞

2 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila QNível

t

2

x

2

v

2


Busca em Largura

64

1 0 2 3

2 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila QNível

x

2

v

2

u

3


Busca em Largura

65

1 0 2 3

2 1 2 ∞

r s t u

v w x y

Fila QNível

x

2

v

2

u

3


Busca em Largura

66

1 0 2 3

2 1 2 3

r s t u

v w x y

Fila QNível

v

2

u

3

y

3


Busca em Largura

67

1 0 2 3

2 1 2 3

r s t u

v w x y

Fila QNível

v

2

u

3

y

3


Busca em Largura

68

1 0 2 3

2 1 2 3

r s t u

v w x y

Fila QNível

u

3

y

3


Busca em Largura

69

1 0 2 3

2 1 2 3

r s t u

v w x y

Fila QNível

y

3


Busca em Largura

70

1 0 2 3

2 1 2 3

r s t u

v w x y

Fila QNível

ø

–


Busca em Largura – Algoritmo

71

1. BuscaLarg(G)

2. Para cada vértice u em V[G] - {S}

3. coru = Branco; du = 0; paiu = NULL

4. cors = Cinza

5. ds = 0; pais = NULL;

6. Q = {}

7. Enqueue(Q,s)


Busca em Largura – Algoritmo

72

8. (...)

9. while(Q != {})

10. u = DeQueue(Q)

11. foreach v = Adj[u]

12. if(corv BRANCO)

13. corv = CINZA; dv = du + 1; paiv = u;

14. Enqueue(Q,v)

15. coru = PRETO

Aplicações de Buscas

Onde podemos usar a Busca em Profundidade?

Ordenação Topológica

Aplicação 1



‣ Podemos usar Busca em Profundidade para Ordenar Topologicamente um grafo

‣ Ordenação topológica é uma ordenação linear de todos os seus vértices, tal que se se o grafo G (acíclico*) tem uma aresta (u, v), então u aparece antes de v na ordenação

76

* Grafo cíclico = não é possível ordem linear


Busca em Profundidade‣ Considere o problema

• João quer definir a ordem de ações em que deve se preparar para uma reunião

• Suas restrições são que ele deve vestir a cueca antes das calças e o cinto só pode ser colocado após vestir a calça

• O paletó deve ser colocado após colocar os cintos

• A camisa deve ser colocada antes do cinto

77


Busca em Profundidade‣ Considere o problema

• A gravata deve ser colocada depois da camisa e antes do paletó

• As meias podem ser colocadas em qualquer ordem

• As Cueca devem ser colocadas antes dos sapatos assim como as calças

‣ Como conseguir um plano de execução?

78



79

Cueca

Calças

Cinto

Camisa

Gravata Sapatos

Meias

Paletó



80

Cueca

Calças

Cinto

Camisa (1/)

Gravata Sapatos

Meias

Paletó



81

Cueca

Calças

Cinto

Camisa (1/)

Gravata (2/) Sapatos

Meias

Paletó



82

Cueca

Calças

Cinto

Camisa (1/)


Meias

Paletó (3/)



83

Cueca

Calças

Cinto

Camisa (1/)


Meias

Paletó (3/4)

{Paletó}



84

Cueca

Calças

Cinto

Camisa (1/)

Gravata (2/5) Sapatos

Meias

Paletó (3/4)

{Gravata, Paletó}



85

Cueca

Calças

Cinto (6/)

Camisa (1/)


Meias

Paletó (3/4)

{Gravata, Paletó}



86

Cueca

Calças

Cinto (6/7)

Camisa (1/)


Meias

Paletó (3/4)

{Cinto, Gravata, Paletó}



87

Cueca

Calças

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias

Paletó (3/4)

{Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



88

Cueca (9/)

Calças

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias

Paletó (3/4)




89

Cueca (9/)

Calças (10/)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias

Paletó (3/4)




90

Cueca (9/)

Calças (10/)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)

Gravata (2/5) Sapatos (11/)

Meias

Paletó (3/4)




91

Cueca (9/)

Calças (10/)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)

Gravata (2/5) Sapatos (11/12)

Meias

Paletó (3/4)

{Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



92

Cueca (9/)

Calças (10/13)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias

Paletó (3/4)

{Calças, Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



93

Cueca (9/14)

Calças (10/13)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias

Paletó (3/4)

{Cueca, Calças, Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



94

Cueca (9/14)

Calças (10/13)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias (15/)

Paletó (3/4)

{Cueca, Calças, Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



95

Cueca (9/14)

Calças (10/13)

Cinto (6/7)

Camisa (1/8)


Meias (15/16)

Paletó (3/4)

{Meias, Cueca, Calças, Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}



96

{Meias, Cueca, Calças, Sapatos, Camisa, Cinto, Gravata, Paletó}

Meias (15/16) Cueca (9/14) Calças (10/13)

Sapatos (11/12)

Camisa (1/8)

Cinto (6/7)

Gravata (2/5)

Paletó (3/4)

Componentes Fortemente Conectados

Aplicação 2


Componentes Conectados

‣ A decomposição de um grafo orientado em seus componentes fortemente conectados

‣ Por que? Porque muitos algoritmos podem fazer a decomposição e depois serem executados separadamente em cada componente

98



‣ O que é um componente fortemente conectado em um grafo G = (V, A)?

• É um conjunto maximal de vértices C em V, tal que para todo par u e v em C, temos ao mesmo tempo um caminho de u a v e v a u

• Em outras palavras, u e v são mutuamente acessíveis

99



1. CPTFortementeConectado(G)

2. BuscaProf(G)

3. Calcular GT

4. BuscaProf(GT), mas no laço principal da busca em profundidade, considerar os vértices em ordem decrescente de tempo de término fu

5. Dar saída aos vértices de cada árvore resultante em (3) como um CPT fortemente conectado

100



1. CPTFortementeConectado(G)

2. BuscaProf(G)

3. Calcular GT

4. BuscaProf(GT), mas no laço principal da busca em profundidade, considerar os vértices em ordem decrescente de tempo de término fu

5. Dar saída aos vértices de cada árvore resultante em (3) como um CPT fortemente conectado

101



102

u v w

x y z

G

u v w

x y z

GT



103

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



104

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

1/

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



105

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

1/2

3/

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



106

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

1/2

3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



107

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/ 1/2

3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



108

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 1/2

3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



109

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



110

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/ 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



111

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/ 9/ 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



112

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/ 9/ 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



113

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/ 9/ 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



114

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/ 9/10 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



115

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/ 1/2

8/11 9/10 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



116

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/1

u v w

x y z

BuscaProf(G)

5/6 7/12 1/2

8/11 9/10 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)



117

5/6 7/12 1/2

8/11 9/10 3/4

u v w

x y z

BuscaProf(GT)v

x y

w

z

u

Resultado

1/8 2/7 9/12

4/5 3/6 10/11

u v w

x y z

BuscaProf(G)

Lição da aula de hoje


Lição da aula de hoje

1. O que aprendemos na aula de hoje?

2. Importância da estrutura de dados grafo

3. Como implementá-la em computador (Listas x Matrizes)

4. Busca em profundidade e complexidade

5. Aplicação da busca em profundidade

119

Próximos capítulos...


Próximos capítulos...

1. Mais aplicações da busca em profundidade

2. Complexidade e Aplicações

3. Árvores geradoras

4. Caminhos mínimos

121

Para casa...


Para casa...

‣ Para cada um dos grafos a seguir, representá-los como matrizes e listas de adjacências

‣ Discutir quais vantagens e desvantagens de cada implementação para cada grafo

‣ Realizar a busca em profundidade em cada grafo

‣ Realizar ordenação topológica (quando cabível)

‣ Achar os CPTs fortemente conectados

123


Para casa...

124

1 2

3


Referências

Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. Nivio Ziviani, 2007. Cap. 7

Introduction to Algorithms. T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, and C. Stein, 2nd ed. Caps. 22-26

Introduction to Algorithms – A creative approach. Udi Manber. Cap. 7 The Algorithm design manual. Steven Skiena. Cap. 4

125

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