Análise Estrutural II - Grelhas Prof. Jackson Antonio Carelli

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GRELHAS

Grelhas são sistemas estruturais reticulados (constituídos por barras - elementos em que uma das dimensões predomina em relação às outras duas) planos. Esta definição é a mesma dos pórticos planos, porém, a diferença entre eles está no carregamento, enquanto os pórticos planos possuem carregamento paralelo ao próprio plano, as grelhas são submetidas a cargas perpendiculares ao seu plano, conforme pode ser visto nas figuras a seguir.

PÓRTICO PLANO

Z

X

Y

GRELHA

Z

X

Y

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Enquanto os movimentos possíveis de um nó de pórtico plano são:

� translação paralela ao eixo X; � translação paralela ao eixo Y; � rotação em torno do eixo Z;

os movimentos possíveis de um nó de grelha são:

� rotação em torno do eixo X; � rotação em torno do eixo Y; � translação paralela ao eixo Z.

Como é possível observar, nas grelhas existem rotações ocorrendo em torno dos eixos das barras. Isto significa que as barras de uma grelha estarão sujeitas a esforços de torção. Assim, ao fazer uso do método dos deslocamentos, torna-se necessário estabelecer um coeficiente de rigidez a torção das barras, ou seja, um momento torçor capaz de causar uma rotação unitária em torno do eixo da mesma. Na busca por este coeficiente de rigidez é importante salientar inicialmente que, ao aplicarmos um momento de torção na extremidade de uma barra, considerando a outra extremidade fixa (processo para obtenção do coeficiente de rigidez), é fácil perceber que a barra apresentará exclusivamente torção, pois haverá apenas uma deflexão angular longitudinal da mesma, ou seja, este momento de torção não causará nenhum outro efeito sobre a barra (momento fletor, esforço cortante ou esforço normal). Com auxílio do método da carga unitária (Análise Estrutural I) pode-se chegar ao valor do coeficiente de rigidez de uma barra submetida a esforços de torção. O método da carga unitária diz que:

(1)

Considerando apenas os efeitos de torção, temos:

(2)

sendo: G – módulo de elasticidade transversal; I0 – momento de inércia à torção da seção da peça;

Τ – esforço de torção virtual unitário; T – esforço de torção atuante na barra.

∫∫∫∫ ⋅

⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅⋅=

llll

i

IG

dxTT

AG

dxVV

IE

dxMM

AE

dxNNu

00

000

χδ

∫ ⋅

⋅⋅=

l

i

IG

dxTTu

00

δ

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Se considerarmos ainda que a barra tenha seção constante e comprimento L podemos reescrever a equação já integrada da seguinte forma:

(3)

onde: φ – ângulo de rotação sofrido pela barra em função do esforço T; L – comprimento da barra. Como um coeficiente de rigidez é, conceitualmente, o esforço capaz de causar uma deformação unitária no elemento, basta fazer φ = 1 e isolar T, obtendo-se assim o coeficiente de rigidez da barra à torção:

(4)

De acordo com a resistência dos materiais, o módulo de elasticidade transversal (G) é dado por:

(5)

onde: E – módulo de elasticidade longitudinal do material ν – coeficiente de Poisson (Ex: 0,2 para o concreto) Os momentos de inércia a torção (I0) de algumas seções transversais mais comuns, são apresentado na tabela a seguir. No entanto, é importante salientar que para o caso de elementos de concreto armado, os valores informados podem cair para até 15% dos valores indicados na tabela, dependendo do grau de fissuração da peça.

0IG

LT

⋅

⋅=φ

L

IGT

0⋅=

( )ν+⋅=

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EG

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De acordo com GERE E WEAVER (Análise de Estruturas Reticuladas) o parâmetro “ηηηη” para o caso de seções retangulares pode ser obtido pela seguinte expressão:

(6)

MOMENTOS DE INÉRCIA A TORÇÃO – Fonte: Curso de Análise Estrutural (Volume II) – José Carlos Süssekind

⋅−⋅−=

4

4

12121,0

3

1

h

b

h

bη