18
GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop. distributiva GRUPO GRUPO COMUTATIVO ANEL ANEL COMUTATIVO SUBGRUPO CORPO Estruturas Algébricas 1

GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

GRUPÓIDE

SEMIGRUPOSEMIGRUPO COMUTATIVO

Lei de composição interna

SUBGRUPÓIDE

Prop. associativaProp. comutativa

Elemento neutroElementos opostos

Prop. distributiva

GRUPOGRUPO COMUTATIVO

ANELANEL COMUTATIVO

SUBGRUPO

CORPO

Estruturas Algébricas

1

Page 2: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

2

Lei de Composição Interna

1,

:( , )

:a b E c E

E E Ea b c a b

c a b

Nota: Lei de composição interna ou operação binária

Page 3: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

3

Grupóide

grupóide é),( E

interna composiçãode lei uma é

1,( , ) é grupóide :x y E z EE z x y

Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide

Page 4: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

4

Subgrupóide

),( de esubgrupóid é),(

EB

grupóide é),(grupóide é),(

EB

EB

),(),( se-Escreve EB

Page 5: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

5

Propriedades Associativa e Comutativa

, ,

a operação é associativa sse ( ) ( ), a b c Ea b c a b c

Num conjunto E diz-se que:

,

a operação é comutativa sse , a b Ea b b a

Page 6: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

6

Semigrupo eSemigrupo Comutativo

semigrupo é),( E

aassociativ é grupóide é),(

E

comutativosemigrupo é

),( E

comutativa é semigrupo é),(

E

Nota: comutativo ou Abeliano

Page 7: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

7

Elemento Neutro

, a Ea u u a a

único. é este neutro, elemento tem),( Se E

sse operação a paraneutro elemento é que se-diz ),( grupóide No

uE

Teorema:

• zero = el. neutro da adição exs: (, +), (even , +), (,+)• unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)

Page 8: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

8

Elementos Opostos

a a a a u

No grupóide ( , ) com elemento neutro diz-se que é oposto de sse

E ua a

• simétricos = els. opostos da adição• inversos = els. opostos da multiplicação

semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto)semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero.

exemplos

Teoremas

Page 9: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

9

Elementos Opostos(Teoremas)

1. Num grupóide ( , ) com elemento neutro , se é o oposto de , então

é o oposto de . ,

A u a a

a a a a a A

2. O elemento neutro de um grupóide ( , ) é oposto de si mesmo. u A

3. Num grupóide ( , ) com elemento neutro, se for associativa, o oposto de um elemento é único.

A

4. Num semigrupo ( , ) com elemento neutro , se um elemento admite oposto à esquerda e oposto à direita, então esses opostos são iguais. ( ) ( )

u u

A u aa a

a a a a a a

a a

Page 10: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

10

Grupo e Grupo Comutativo

grupo é),( E ( , ) é semigrupo

tem elemento neutro (único)todos os elementos têm oposto (único)

E

comutativogrupo é

),( E

comutativa é grupo é),(

E

Nota: comutativo ou Abeliano

(, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!)

exemplo

Propriedades

Page 11: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

11

Grupos (Propriedades)

1. Num grupo ( , ), em que e são elementos de , as equações e têm cada uma delas solução única.

A a b Aa x b x a b

único. é grupo do neutro elemento O 2.

3. No grupo cada elemento tem único oposto.

( \{0}, ·)a·x = b x·a = bx = b/a x = b/a

coincidentes porque o grupo é comutativo

Exemplo

Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.

Page 12: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

12

Subgrupo

),( de subgrupo é),( 1

EE

grupo é),(grupo é),( 1

1

EE

EE

),(),( se-Escreve 1 EE

Page 13: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

13

Propriedade Distributiva

, , (distributiva à esquerda)

Se no conjunto estão definidas as operações e ,diz-se que é distributiva relativamente á operação sse

( ) ( ) ( ), e( ) ( ) ( ),

a b c A

A

a b c a b a c

b c a b a c a

, , (distributiva à direita)a b c A

direita. àou esquerda à vadistributi é queprovar basta arelação em vidadedistributi aprovar para ,comutativa é operação a Se

Page 14: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

14

Anel eAnel Comutativo

( , , )é anel

E ( , ) é grupo comutativo( , ) é semigrupo

é distributiva em relação a

EE

1. Ao elemento neutro do grupo ( , ) chama-se .2. Um anel diz-se se a segunda operação, , é comutativa. E se esta operação admite elemento neutro, a esse elemento chama-s

E zero do anelcomutativo

e .unidade do anel

Exemplos de Anéis Comutativos:• (, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a +• (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação)• (even , +, ·) não têm el. unidade

Propriedades

Page 15: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

15

Anel (Propriedades)

1. Sendo o zero do anel (elemento neutro do grupo aditivo), tem-se,a a x E

00 0 0

2. Representando por o simétrico de em ( , ), tem-se que, quaisquer que sejam os elementos e de E: I. ( ) ( ) II. ( ) ( )

x x Ea b

a b a ba b a

III. ( ) ( )b

a b a b

3. Quaisquer que sejam os elementos , e de E, tem-se( )

( )

a b ca b c a b a c

b c a b a c a

Seja ( , , ) o anel.E

Page 16: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

16

Conceito de Corpo

( , , )é corpoE

( , , ) é subcorpo de ( , , )

AE

( , , ) é corpo

( , , ) é corpo

A EAE

Escreve-se ( , , ) ( , , )A E

Propriedades

tem mais de um elemento( , , ) é anel comutativo com elemento unidadeTodos os elementos, diferentes de zero, têm inverso

EE

elemento neutro da 2ª operação

elementos opostos da 2ª operação

elemento neutro da 1ª operação

Exemplos:(, +, ·) e (, +, ·) são corpos(, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·)

Page 17: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

17

Corpo (Propriedades)

1. Porque é um anel, ( , , ) tem todas as propriedades dos anéis.E

2. No corpo ( , , ) , ,E a b a b a b E 0 0 0

3. As equaçoes do tipo e com admitem soluçao única no corpo ( , , ).

a x b x a ba E

0 00

Seja ( , , ) o corpo e (zero do anel) o seu elemento neutro.E 0

Page 18: GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop

Apresentação sobre Estruturas AlgébricasApresentação sobre Estruturas Algébricas

Referências

[1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991.

[2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985.

[3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.

Isabel Milho,ISEL-DEETC, Out.2001