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GRUPÓIDE
SEMIGRUPOSEMIGRUPO COMUTATIVO
Lei de composição interna
SUBGRUPÓIDE
Prop. associativaProp. comutativa
Elemento neutroElementos opostos
Prop. distributiva
GRUPOGRUPO COMUTATIVO
ANELANEL COMUTATIVO
SUBGRUPO
CORPO
Estruturas Algébricas
1
2
Lei de Composição Interna
1,
:( , )
:a b E c E
E E Ea b c a b
c a b
Nota: Lei de composição interna ou operação binária
3
Grupóide
grupóide é),( E
interna composiçãode lei uma é
1,( , ) é grupóide :x y E z EE z x y
Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide
4
Subgrupóide
),( de esubgrupóid é),(
EB
grupóide é),(grupóide é),(
EB
EB
),(),( se-Escreve EB
5
Propriedades Associativa e Comutativa
, ,
a operação é associativa sse ( ) ( ), a b c Ea b c a b c
Num conjunto E diz-se que:
,
a operação é comutativa sse , a b Ea b b a
6
Semigrupo eSemigrupo Comutativo
semigrupo é),( E
aassociativ é grupóide é),(
E
comutativosemigrupo é
),( E
comutativa é semigrupo é),(
E
Nota: comutativo ou Abeliano
7
Elemento Neutro
, a Ea u u a a
único. é este neutro, elemento tem),( Se E
sse operação a paraneutro elemento é que se-diz ),( grupóide No
uE
Teorema:
• zero = el. neutro da adição exs: (, +), (even , +), (,+)• unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)
8
Elementos Opostos
a a a a u
No grupóide ( , ) com elemento neutro diz-se que é oposto de sse
E ua a
• simétricos = els. opostos da adição• inversos = els. opostos da multiplicação
semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto)semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero.
exemplos
Teoremas
9
Elementos Opostos(Teoremas)
1. Num grupóide ( , ) com elemento neutro , se é o oposto de , então
é o oposto de . ,
A u a a
a a a a a A
2. O elemento neutro de um grupóide ( , ) é oposto de si mesmo. u A
3. Num grupóide ( , ) com elemento neutro, se for associativa, o oposto de um elemento é único.
A
4. Num semigrupo ( , ) com elemento neutro , se um elemento admite oposto à esquerda e oposto à direita, então esses opostos são iguais. ( ) ( )
u u
A u aa a
a a a a a a
a a
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Grupo e Grupo Comutativo
grupo é),( E ( , ) é semigrupo
tem elemento neutro (único)todos os elementos têm oposto (único)
E
comutativogrupo é
),( E
comutativa é grupo é),(
E
Nota: comutativo ou Abeliano
(, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!)
exemplo
Propriedades
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Grupos (Propriedades)
1. Num grupo ( , ), em que e são elementos de , as equações e têm cada uma delas solução única.
A a b Aa x b x a b
único. é grupo do neutro elemento O 2.
3. No grupo cada elemento tem único oposto.
( \{0}, ·)a·x = b x·a = bx = b/a x = b/a
coincidentes porque o grupo é comutativo
Exemplo
Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.
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Subgrupo
),( de subgrupo é),( 1
EE
grupo é),(grupo é),( 1
1
EE
EE
),(),( se-Escreve 1 EE
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Propriedade Distributiva
, , (distributiva à esquerda)
Se no conjunto estão definidas as operações e ,diz-se que é distributiva relativamente á operação sse
( ) ( ) ( ), e( ) ( ) ( ),
a b c A
A
a b c a b a c
b c a b a c a
, , (distributiva à direita)a b c A
direita. àou esquerda à vadistributi é queprovar basta arelação em vidadedistributi aprovar para ,comutativa é operação a Se
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Anel eAnel Comutativo
( , , )é anel
E ( , ) é grupo comutativo( , ) é semigrupo
é distributiva em relação a
EE
1. Ao elemento neutro do grupo ( , ) chama-se .2. Um anel diz-se se a segunda operação, , é comutativa. E se esta operação admite elemento neutro, a esse elemento chama-s
E zero do anelcomutativo
e .unidade do anel
Exemplos de Anéis Comutativos:• (, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a +• (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação)• (even , +, ·) não têm el. unidade
Propriedades
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Anel (Propriedades)
1. Sendo o zero do anel (elemento neutro do grupo aditivo), tem-se,a a x E
00 0 0
2. Representando por o simétrico de em ( , ), tem-se que, quaisquer que sejam os elementos e de E: I. ( ) ( ) II. ( ) ( )
x x Ea b
a b a ba b a
III. ( ) ( )b
a b a b
3. Quaisquer que sejam os elementos , e de E, tem-se( )
( )
a b ca b c a b a c
b c a b a c a
Seja ( , , ) o anel.E
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Conceito de Corpo
( , , )é corpoE
( , , ) é subcorpo de ( , , )
AE
( , , ) é corpo
( , , ) é corpo
A EAE
Escreve-se ( , , ) ( , , )A E
Propriedades
tem mais de um elemento( , , ) é anel comutativo com elemento unidadeTodos os elementos, diferentes de zero, têm inverso
EE
elemento neutro da 2ª operação
elementos opostos da 2ª operação
elemento neutro da 1ª operação
Exemplos:(, +, ·) e (, +, ·) são corpos(, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·)
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Corpo (Propriedades)
1. Porque é um anel, ( , , ) tem todas as propriedades dos anéis.E
2. No corpo ( , , ) , ,E a b a b a b E 0 0 0
3. As equaçoes do tipo e com admitem soluçao única no corpo ( , , ).
a x b x a ba E
0 00
Seja ( , , ) o corpo e (zero do anel) o seu elemento neutro.E 0
Apresentação sobre Estruturas AlgébricasApresentação sobre Estruturas Algébricas
Referências
[1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991.
[2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985.
[3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.
Isabel Milho,ISEL-DEETC, Out.2001