Universidade de Brasılia

Instituto de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Grupos Soluveis Finitos com

Condicoes de Permutabilidade

para seus Subgrupos Subnormais

por

Aline de Souza Lima

Brasılia

2005

Livros Grátis

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Agradecimentos

A Deus, pelo dom da vida, pelo conhecimento e por me permitir mais essa conquista.

A minha mae, Maria Abadia, pelo apoio e pelo exemplo de luta e serenidade.

A minha irma, Joselaine, pela compreensao e amizade.

Aos meus amigos, Allan, Daniel, Fausto, Fernando, Letıcia, Marina, Raquel, Ricardo

e Willian, pelos momentos de alegria, companheirismo e trocas de conhecimento.

Ao Jhone e a Sandra, que como irmaos estiveram presentes em todos os momentos de

alegrias e tristezas, dando apoio e estımulo.

Aos professores, Claudiney, Douglas, Fatima, Flavio, Gecirley, Iron, Jaqueline, Jose

Alfredo, Luciana, Lucio, Marta, Ruy, Sonia e Tonires, por me ensinar que nao so o

conhecimento cientıfico, mas tambem valores e atitudes sao importantes para a formacao

de um professor.

Ao professor Ivan pela colaboracao para o termino deste.

Ao meu orientador professor Rudolf Maier, pela escolha do tema e pela ajuda na

construcao do meu conhecimento.

Aos professores do Departamento de Matematica da UNB e a todos os funcionarios,

pela prestatividade e paciencia que sempre demonstraram.

Ao CNPq/Capes, pelo suporte financeiro.

· · · Pedi e lhe sera dado; buscai, e achareis;

batei, e lhe sera aberto. Lucas 11,9.

Ao meu pai, Jose Antonio de Souza

( in memoriam ).

Resumo

Nesse trabalho realizamos um estudo dos grupos soluveis finitos nos quais as relacoes

de normalidade, permutabilidade e Sylow - permutabilidade sao transitivas, apresen-

tando diversas caracterizacoes destes grupos. Nosso estudo esta baseado nos trabalhos de

Robinson [13], [14], [15], Agrawal [1] e Beidleman - Brewster - Robinson [4].

Abstract

In this work we realize a study of the finite soluble groups in which the relations

of normality, permutability and Sylow - permutability are transitive, presenting diverse

characterizations of these groups. Our study is based on the papers of Robinson [13], [14],

[15], Agrawal [1] and Beidleman - Brewster - Robinson [4].

Sumario

Lista de Sımbolos 1

Introducao 3

Nota Historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Apresentacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Preliminares 6

1.1 Definicoes e Resultados Basicos da Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Grupos Supersoluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Caracterizacao dos T, PT e PST - grupos Soluveis 18

2.1 Definicoes e Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 PST - grupos Soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 PT - grupos Soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 T - grupos Soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 A diferenca entre PT - grupos e T - grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Caracterizacoes Locais dos PT e T - grupos soluveis 34

3.1 Propriedade Xp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Propriedade Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Pronormalidade e os T - grupos Soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Referencias Bibliograficas 47

7

Lista de Sımbolos

G, H, · · · Conjuntos, grupos e subgrupos

x, y, z, · · · Elementos de um conjunto

xα ou xα Imagem de x por α

xy y−1xy O conjugado do elemento x por y

[x, y] x−1y−1xy O comutador dos elementos x e y

[x, kg] = [x, g, g, · · · , g︸ ︷︷ ︸k vezes

] Comutador de x com g, k vezes

H ∼= G H e isomorfo a G

H ≤ G, H < G H e um subgrupo, um subgrupo proprio de um grupo G.

H � G, H / G H e um subgrupo normal, H um subgrupo normal proprio

de G

H � � G H e um subgrupo subnormal de G

H1H2 · · ·Hn Produto de subconjuntos ou de subgrupos de um grupo

〈Xλ/λ ∈ Λ〉 Subgrupo gerado por subconjuntos Xλ de um grupo

〈X/R〉 Grupo apresentado por geradores X e relacoes R

〈x〉 Grupo gerado por um elemento x

W ∼= G W e isomorfo a G

|H| Ordem do subgrupo H

|G : H| Indice do subgrupo H no grupo G

|x| Ordem do elemento x

CG(H), NG(H) Centralizador, normalizador de H em G

Z(G) Centro de G

HG, HG Fecho normal, nucleo normal de H em G

Aut(G) Grupo dos automorfismos de G

H1 × · · · ×Hn Produto direto de grupos

G′ = [G, G] Subgrupo derivado de um grupo G

G(n) n− esimo termo da serie derivada de G

γn(G) n− esimo termo da serie central inferior de G

Zn(G) n− esimo termo da serie central superior de G

γ∗(G) Hipercomutador do grupo G

Z∗(G) Hipercentro do grupo G

F (G) Subgrupo de Fitting de G

φ(G) Subgrupo de Frattini de G

Op(G) p− subgrupo normal maximal de G

π(G) Conjunto dos primos que dividem a ordem de G

J(P ) Subgrupo de Thompson de G

Introducao

Nos ultimos anos, nos trabalhos de varios autores, foi difundido o interesse por criterios

para a transitividade de propriedades locais de subgrupos como normalidade, permutabil-

idade e Sylow - permutabilidade. Muitas caracterısticas estruturais de grupos que satis-

fazem essas propriedades foram descobertas. Realizamos uma investigacao na qual reg-

istramos resultados importantes dentro dessa teoria. Muitos deles devido a Agrawal, R.

K.; Gaschutz, W.; Robinson, D. J. S. e Zacher, G..

Nota Historica

Dizemos que um subgrupo H de um grupo G e subnormal se existe uma serie

H = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G, onde Hi � Hi+1, i = 0, 1, · · · , n − 1. Um grupo G e um

T - grupo se H � � G implica que H � G, ou seja, todo subgrupo subnormal de G e

normal. O primeiro resultado referente ao estudo de T - grupos e devido a R. Dedekind

[6], em 1896, que determinou todos os grupos finitos nos quais todo subgrupo e normal.

Resultado este estendido por R. Baer [2] para grupos infinitos. A determinacao dos

T - grupos finitos ocorreu quando Dedekind buscava determinar os corpos dos numeros

algebricos com a propriedade que todo subcorpo e normal. Hoje grupos com todos seus

subgrupos normais sao chamados grupos de Dedekind. Eles sao abelianos ou o produto

direto de um grupo quaternio de ordem 8 e um grupo abeliano sem elementos de ordem

4.

A primeira mencao explıcita de T - grupos na literatura esta no documento de E. Best

e O. Tausshy [5] de 1942. Eles mostram que qualquer grupo com subgrupos de Sylow

3

cıclicos e um T - grupo. Subsequentemente, G. Zacher [19] caracterizou os T - grupos

soluveis por meio da propriedade Torre de Sylow. O teorema que traz a estrutura precisa

dos T - grupos soluveis foi demonstrado por W. Gaschutz [7] em 1957.

Um subgrupo H de um grupo G e dito permutavel se HK = KH para todo

K ≤ G. Como generalizacao deste conceito, temos que H e S-permutavel se HP = PH

para todos subgrupos de Sylow P de G. Dizemos que um grupo G e um PT - grupo

se a permutabilidade e uma relacao transitiva em G, ou seja, se H e um subgrupo per-

mutavel em K, e K e um subgrupo permutavel em G, entao H e permutavel em G.

Analogamente, G e um PST - grupo se a S-permutabilidade e transitiva em G. De acordo

com um conhecido teorema de O. Ore [11], subgrupos permutaveis sao subnormais. Logo,

PT - grupos sao precisamente os grupos nos quais cada subgrupo subnormal e permutavel.

A estrutura dos PT - grupos soluveis foi determinada por Zacher [18] em 1964.

Um resultado semelhante ao dos PT - grupos para PST - grupos foi estabelecido

por O. Kegel [9] em 1962, mostrando que todo subgrupo S - permutavel e subnormal.

Portanto, um grupo e um PST - grupo se, e somente se, todo subgrupo subnormal e

S-permutavel. A estrutura dos PST - grupos soluveis foi determinada por R. Agrawal [1]

em 1975.

Apartir das caracterizacoes feitas por Gaschutz, Zacher e Agrawal dos T , PT e PST

- grupos, respectivamente, varios outros autores como Robinson, Ballester - Bolinches e

Esteban - Romero, dentre outros, em trabalhos recentes, trazem resultados interessantes

com caracterizacoes dos T , PT e PST - grupos atraves de propriedades locais dos grupos.

Apresentacao do Trabalho

Esta dissertacao tem como objetivo principal realizar um estudo dos grupos finitos

nos quais as relacoes de normalidade, permutabilidade e Sylow - permutabilidade sao

transitivas. Este estudo esta baseado nos trabalhos de Robinson [13], [14], [15], Agrawal

[1] e Beidleman - Brewster - Robinson [4].

No primeiro capıtulo, sao introduzidos conceitos basicos da teoria dos grupos,

resultados conhecidos como a lei modular de Dedekind e o teorema do isomorfismo, alem

4

das definicoes e resultados importantes sobre solubilidade e nilpotencia. Finalizamos o

capıtulo com alguns resultados sobre grupos supersoluveis.

O segundo capıtulo apresenta novos conceitos e resultados acerca de subgrupos

permutaveis. O principal trabalho aqui e demonstrar os teoremas de Agrawal, Zacher

e Gaschutz, que caracterizam os T , PT e PST - grupos, respectivamente. O capıtulo e

concluıdo com uma discussao sobre as diferencas entre os T e PT - grupos.

O terceiro e ultimo capıtulo introduz as propriedades locais Xp, Cp e a pronormalidade.

Sao apresentados resultados que estabelecem criterios para grupos finitos satisfazerem tais

propriedades. Apartir desses criterios conseguimos caracterizar os T , PT e PST - grupos,

e ainda estabelecer relacoes entre as propriedades locais.

5

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo apresentamos algumas das definicoes e conceitos basicos relacionados

com a teoria dos grupos, que sao necessarios para um bom entendimento do nosso tra-

balho. Desempenhando papel importante temos alguns resultados sobre grupos soluveis,

nilpotentes e supersoluveis. Apresentamos a demonstracao de varios destes resultados e

para aqueles mais conhecidos trazemos apenas seus enunciados, ja que suas demonstracoes

podem facilmente ser encontradas em [14], [17] e [16].

1.1 Definicoes e Resultados Basicos da Teoria dos

Grupos

Teorema 1.1.1 (Lei de Dedekind). Sejam H, K e L subgrupos de um grupo G com

H ≤ L. Entao HK ∩ L = H(K ∩ L).

Demonstracao: Seja x ∈ HK ∩ L, entao x = hk onde h ∈ H e k ∈ K. Como H ≤ L,

h, h−1 pertencem a L e h−1x = k ∈ L, vale que k ∈ K ∩ L, ou seja, x = hk onde h ∈ H e

k ∈ K ∩ L. Portanto, x ∈ H(K ∩ L). Consequentemente, temos HK ∩ L ⊆ H(K ∩ L).

Agora seja y ∈ H(K ∩ L). Entao y = hx onde h ∈ H e x ∈ K ∩ L. Como H ≤ L, h e

x pertencem a L, entao y pertence a L. E ainda, h ∈ H e x ∈ K, logo y = hx ∈ HK.

Portanto y ∈ HK ∩ L e temos H(K ∩ L) ⊆ HK ∩ L.

6

�

Definicao 1.1.1. Um subgrupo H de um grupo G e chamado caracterıstico em G, se

ϕ(H) = H para todo automorfismo ϕ de G.

Lema 1.1.1. Se H e caracterıstico em K e K e normal em G, entao H e normal em G.

Demonstracao: Seja a ∈ G e seja ϕ : G → G o automorfismo conjugacao por a. Como

K � G, ϕ restrito a K, ϕ|K , e um automorfismo de K; como H e caracterıstico em K,

ϕ|K(H) ≤ H. Isso diz que se h ∈ H, entao aha−1 = ϕ(h) ∈ H.

�

Teorema 1.1.2 (isomorfismo). Sejam G um grupo, H ≤ G e N � G. Entao valem:

(i) 〈H, N〉 = HN = NH;

(ii) N � HN , H ∩N � H;

(iii) HNN

∼= HH∩N

;

(iv) |N : N ∩H| = |HN : H|;(v) Se N e H sao subgrupos normais em G e N ≤ H, entao H

N� G

Ne

( GN

)

(HN

)∼= G

H.

Demonstracao: Veja [17], pag. 42. �

Definicao 1.1.2. Um automorfismo de um grupo G que deixa todo subgrupo invariante

e chamado um automorfismo de potencia.

Podemos observar que o conjunto dos automorfismos de potencia de G e um subgrupo

do grupo de automorfismos de G e o denotaremos por P (G).

Teorema 1.1.3. Se A e um grupo abeliano finito e α e um automorfismo de potencia de

A, entao existe um inteiro positivo m tal que aα = am para todo a ∈ A.

Demonstracao: Veja [7], pag. 88. �

7

Definicao 1.1.3. Se H e um subgrupo de um grupo G, um subgrupo K e chamado um

complemento de H em G se podemos escrever G = HK onde H ∩K = 1

Definicao 1.1.4. Seja G um grupo finito. Um subgrupo de Hall de G e um subgrupo

H cuja ordem e o indıce em G sao relativamente primos, ou seja, (|H|, |G : H|) = 1.

Teorema 1.1.4 (Schur - Zassenhaus - Feit - Thompsom). Seja N um subgrupo

normal de um grupo finito G. Suponha que N e um subgrupo de Hall de G. Entao,

N possui complemento em G e quaisquer dois deles sao conjugados.

Demonstracao: Veja [14], pag. 253 �

Definicao 1.1.5. Seja H subgrupo de um grupo G. O nucleo normal de H em G, de-

notado por HG, e definido como o subgrupo gerado pelos subgrupos normais de G contidos

em H.

Com essa definicao podemos escrever o nucleo normal de um grupo G tambem da

forma HG =⋂g∈G

g−1Hg. Claramente, HG e normal em G.

Definicao 1.1.6. Um subgrupo normal H de um grupo G e normal minimal se H 6= 1

e nao existe subgrupo normal K de G com 1 < K < H.

Seja G um grupo. Dizemos que H/K e um fator principal de G se H/K e um

subgrupo normal minimal de G/K. E H e um subgrupo maximal de G se 1 ≤ H < G

e nao existe subgrupo proprio de G contendo H. O proximo teorema exibe uma relacao

entre subgrupos maximais e fatores principais.

Teorema 1.1.5. Seja G um grupo. Assuma que G = HA onde H e um subgrupo proprio

e A e um subgrupo abeliano normal de G. Entao H e um subgrupo maximal em G se, e

somente se, AH∩A

e um fator principal de G. Tambem |G : H| = |A : H ∩ A|.

Demonstracao: Note que H ∩ A � H e H ∩ A � A pois A e abeliano. Assim,

H ∩ A � HA = G.

Assuma que H e um subgrupo maximal em G. Se existe L ≤ A tal que H ∩ A < L

e L � G, temos que G = HL pois L 6≤ H. Logo, pela lei de Dedekind, vale que

8

A = (HL) ∩ A = (H ∩ A)L = L. Portanto, AH∩A

e um fator principal de G. Recip-

rocamente, suponha que AH∩A

e um fator principal de G. Seja K um subgrupo de G tal

que H < K ≤ G. Novamente, pela lei de Dedekind, K = K ∩ (HA) = H(K ∩ A) > H.

Entao, H ∩ A < K ∩ A � G e consequentemente A = K ∩ A e G = K, o que mostra que

H e um subgrupo maximal em G.

�

Grupos Soluveis

Seja G um grupo. Uma serie subnormal de G e uma cadeia de subgrupos,

1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G, onde Gi � Gi+1 para 0 ≤ i ≤ n − 1. Se Gi+1/Gi e

abeliano para todo 0 ≤ i ≤ n− 1, entao tal serie e denominada abeliana.

Um grupo G e dito soluvel se possui uma serie subnormal abeliana.

Como exemplos importantes e conhecidos podemos citar:

(i) Todo grupo abeliano e soluvel;

(ii) Os grupos simetricos Sn, n ≤ 4 sao soluveis;

(iii) Os grupos Sn, n ≥ 5 nao sao soluveis;

(iv) Todo p - grupo finito e soluvel.

Podemos ainda definir grupo soluvel atraves da serie derivada: Sejam G um grupo e

G′ = [G, G] = 〈x−1y−1xy : x, y ∈ G〉 (o grupo comutador de G). A serie dos subgrupos

G(0) = G, G(1) = [G, G], · · · , G(n) = [G(n−1), G(n−1)], · · · onde n ≥ 1 e chamada serie

derivada de G.

Logo, um grupo G e soluvel se, e somente se, existe um inteiro r ≥ 0 tal que G(r) = 1.

Se Gr−1 > Gr = 1, entao r e o comprimento derivado de G.

Proposicao 1.1.1. Subgrupos, imagens homomorficas e produtos diretos (de um numero

finito) de grupos soluveis sao soluveis.

Observacao 1.1.1. Seja G um grupo. Se N e um subgrupo normal de G, entao G e

soluvel se, e somente se, N e G/N sao soluveis.

9

Definicao 1.1.7. Dizemos que um grupo soluvel com comprimento derivado igual a 2 e

metabeliano.

Teorema 1.1.6. Se G e um grupo finito soluvel, entao todo subgrupo normal minimal e

abeliano elementar.

Demonstracao: Seja V um subgrupo normal minimal de G. Como V ′ e caracterıstico

em V , pelo lema 1.1.1, V ′ = 1 ou V ′ = V , mas V e soluvel, logo V ′ = 1 e V e abeliano.

Entao um p-subgrupo de Sylow P de V , para qualquer primo p, e caracterıstico em V .

Portanto V e um p-grupo abeliano. Mas {x ∈ V : xp = 1} e caracterıstico em V , e assim

V e abeliano elementar.

�

Teorema 1.1.7. Um grupo finito G que nao tem subgrupos caracterısticos diferentes de

G e 1 e simples ou e o produto direto de grupos simples isomorfos.

Demonstracao: Escolha um subgrupo normal minimal nao trivial H de G. Escreva

H = H1, e considere todos os subgrupos de G da forma H1 × H2 × . . . × Hn, onde

n ≥ 1, Hi � G e Hi∼= H. Seja M um desses subgrupos de maior ordem possıvel.

Mostraremos que M = G utilizando o fato que M e caracterıstico em G. Para isso e

suficiente mostrar que ϕ(Hi) ≤ M para todo i e todo automorfismo ϕ de G. E claro que

ϕ(Hi) ∼= H = H1, ϕ ∈ Aut(G) e assim temos ϕ(Hi) � G. Se a ∈ G entao a = ϕ(b) para

algum b ∈ G, e aϕ(Hi)a−1 = ϕ(b)ϕ(Hi)ϕ(b)−1 ≤ ϕ(Hi), pois Hi � G. Se ϕ(Hi) 6≤ M ,

entao ϕ(Hi) ∩M < ϕ(Hi) e |ϕ(Hi) ∩M | < |ϕ(Hi)| = |H|. Mas ϕ(Hi) ∩M � G, e assim,

pela minimalidade de H, ϕ(Hi) ∩ M = 1. Logo o subgrupo 〈M, ϕ(Hi)〉 = M × ϕ(Hi) e

do mesmo tipo de M mas de maior ordem, uma contradicao. Entao M e caracterıstico

em G e, por hipotese, M = G. E finalmente H = Hi tem que ser simples. Suponha que

N e um subgrupo normal nao trivial de H, entao N e um subgrupo normal de M = G, e

isso contradiz a minimalidade de H.

�

10

Corolario 1.1.1. Um subgrupo normal minimal H de um grupo finito G e simples ou e

o produto direto de subgrupos simples isomorfos.

Demonstracao: Se N e um subgrupo caracterıstico de H entao N � G, logo N = 1 ou

N = H. Portanto H nao tem subgrupos caracterısticos proprios, e o resultado segue do

teorema acima.

�

Observacao 1.1.2. Com esse corolario e o teorema 1.1.6 temos que um grupo simples

finito e soluvel se, e somente se, ele e cıclico de ordem prima.

Grupos Nilpotentes

Dizemos que um grupo G e nilpotente se G possui uma serie subnormal

1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G tal que Gi+1/Gi ≤ Z(G/Gi) para i = 0, 1, 2, · · · , n− 1

Teorema 1.1.8. Todo p - grupo finito e nilpotente.

Demonstracao: Seja G um grupo tal que |G| = pn. Como G > 1, sabemos que

Z(G) > 1. Coloquemos G0 = 1, G1 = Z(G). Se Gk � G ja foi definido, definamos Gk+1

por Gk+1/Gk = Z(G/Gk). Como G/Gk e um p - grupo finito teremos que se G/Gk > 1,

entao Gk+1/Gk = Z(G/Gk) > 1 e daı Gk < Gk+1 � G. Depois de (no maximo) n passos

temos 1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn−1 ≤ Gn = G, com Gk � G e Gk/Gk−1 = Z(G/Gk−1)

k = 1, · · · , n. Portanto G e nilpotente de classe ≤ n.

�

Proposicao 1.1.2. Subgrupos, imagens homomorficas e produtos diretos finitos de grupos

nilpotentes tambem sao nilpotentes.

Observamos que todo grupo nilpotente e soluvel, mas em geral um grupo soluvel nao

e nilpotente. Como exemplo temos o grupo S3 que e soluvel e tem centro trivial.

11

Observacao 1.1.3. Podemos definir a serie central superior de G da forma

1 = Z0(G) ≤ Z1(G) ≤ · · · ≤ Zi(G) ≤ · · · , onde 1 = Z0(G), Z1(G) = Z(G),Z2(G)Z1(G)

= Z( GZ1(G)

), · · · , Zi(G)Zi−1(G)

= Z( GZi−1(G)

), · · · . Esta serie nao atinge o grupo G

necessariamnete, mas se G e finito a serie termina em um grupo chamado hipercentro

de G, que denotaremos por Z∗(G).

E a serie central inferior de G como G = γ1(G) ≥ γ2(G) ≥ · · · ≥ γj(G) ≥ · · · ,onde γ1(G) = G, γ2(G) = [G, G], γ3(G) = [G, γ2(G)], · · · , γs+1(G) = [G, γs(G)], · · · .

Se G e um grupo nilpotente, existem n e r inteiros positivos tal que Zn(G) = G e

γr+1(G) = 1.

Teorema 1.1.9. Seja G um grupo nilpotente. Suponha que N e um subgrupo normal nao

trivial de G. Entao Z(G) ∩N 6= 1.

Demonstracao: Seja 1 = Z0(G) ≤ Z1(G) ≤ · · · ≤ Zn(G) = G a serie central superior

de G, onde Z1(G) = Z(G). Suponha que Z(G) ∩N = 1. Seja i o menor numero tal que

N contem um elemento x 6= 1 de Zi(G). Como x ∈ N e N � G, decorre que [G, x] ≤ N .

Por outro lado [G, x] ≤ Zi−1(G). Pela minimalidade de i, decorre que [G, x] = 1. Entao

x ∈ Z(G).

�

Teorema 1.1.10. Seja G um grupo finito. Entao, G e nilpotente se, e somente se, G e

o produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Demonstracao: Veja [16], pag. 116 �

Definicao 1.1.8. O subgrupo F (G) gerado por todos os subgrupos normais nilpotentes de

um grupo G e chamado o subgrupo de Fitting de G.

Definicao 1.1.9. O subgrupo de Frattini de um grupo G, denotado por Φ(G), e a

intersecao de todos os subgrupos maximais de G. Se G nao possui subgrupos maximais,

entao Φ(G) = G.

12

Observacao 1.1.4. O subgrupo de Frattini de um grupo G tambem pode ser visto como

o conjunto dos elementos nao geradores de G, ou seja, se x ∈ Φ(G) e M ⊆ G e tal que

〈x, M〉 = G, entao 〈M〉 = G.

Teorema 1.1.11. Seja G um grupo finito. Entao G/Φ(G) e nilpotente se, e somente se,

G e nilpotente.

Demonstracao: Sejam p um primo e P um p - subgrupo de Sylow de G, temos que

PΦ(G)/Φ(G) � G/Φ(G). Considere em G o subgrupo N = PΦ(G). Temos, pelo argu-

mento de Frattini, que G = NNG(P ) = PΦ(G)NG(P ) = Φ(G)NG(P ). Mas Φ(G) e o

conjunto dos elementos nao geradores de G, entao G = NG(P ) e P e normal em G. Pelo

teorema 1.1.10, vemos que G e nilpotente. Observe que a recıproca do teorema segue da

proposicao 1.1.2

�

Dizemos que um grupo finito G e p - nilpotente, onde p e um primo, se ele tem um

p′ - subgrupo de Hall normal. Observemos que todo grupo nilpotente finito e p - nilpotente.

Reciprocamente, um grupo finito que e p - nilpotente para todo primo p, e nilpotente. Um

dos resultados mais conhecidos sobre p - nilpotencia e devido a Burnside e sua demon-

stracao pode ser encontrada em [14] (pag. 289). Apresentamos este resultado no teorema

abaixo.

Teorema 1.1.12 (Criterio de Burnside). Se para algum primo p um p - subgrupo de

Sylow de um grupo finito G esta no centro de seu normalizador, entao G e p - nilpotente.

1.2 Grupos Supersoluveis

Um grupo G e dito supersoluvel se existe uma serie 1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G,

com Gi � G e tal que Gi/Gi−1 e cıclico para cada i, 0 ≤ i ≤ n.

Podemos observar que todo grupo supersoluvel e soluvel. E o grupo alternado A4 e

um exemplo de grupo soluvel que nao e supersoluvel.

13

Proposicao 1.2.1. Subgrupos, imagens homomorficas e produtos diretos (de um numero

finito) de grupos supersoluveis sao tambem supersoluveis.

Demonstracao: Seja G um grupo supersoluvel. Entao existe uma serie

1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G tal que Gi � G e Gi+1

Gie cıclico para todo i.

Vamos mostrar que se H ≤ G, entao H e supersoluvel. Considere a serie

1 = H0 ≤ H ∩G1 ≤ H ∩G2 ≤ · · · ≤ H ∩Gn = H (I).

Temos que H∩Gi�H. Logo (I) e uma serie normal de H. Pelo teorema do isomorfismo

1.1.2, vale:

H ∩Gi+1

H ∩Gi

=H ∩Gi+1

(H ∩Gi+1) ∩Gi

∼=Gi(H ∩Gi+1)

Gi

≤ Gi+1

Gi

Como Gi+1

Gie cıclico para todo i, segue que H∩Gi+1

H∩Gie um grupo cıclico. Portanto H

tem um serie normal onde os quocientes sao cıclicos, ou seja, H e supersoluvel.

Agora, seja N um subgrupo normal de G. Mostraremos que G/N e supersoluvel.

Seja Ni = NGi e considere

NN≤ NG1

N≤ NG2

N≤ · · · ≤ NGn−1

N≤ NGn

N= G

N(II)

Temos que NGi � NG para todo i, logo a serie (II) e normal em GN

. Alem disto, pelo

teorema 1.1.2, vemos que

NGi+1/N

NGi/N∼=

NGi+1

NGi

=(NGi)Gi+1

NGi

∼=Gi+1

Gi+1 ∩NGi

=Gi+1

(Gi+1 ∩NGi)Gi

∼=Gi+1/Gi

(Gi+1 ∩N)Gi/Gi

que e cıclico. Logo, G/N e supersoluvel pois tem um serie normal onde os quocientes sao

cıclicos.

Finalmente, para provar que o produto direto de um numero finito de grupos super-

soluveis e supersoluvel, e suficiente considerar o caso de dois fatores. Sejam H e K grupos

e sejam 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hm = H e 1 = K0 ≤ K1 ≤ · · · ≤ Km = K series normais

onde os quocientes sao cıclicos. Entao:

1 = H0 ×K0 ≤ H1 ×K0 ≤ · · · ≤ Hm ×K0 ≤ Hm ×K1 ≤ · · · ≤ Hm ×Kn = H ×K

14

e uma serie normal de H ×K onde os quocientes sao cıclicos. Portanto H ×K e super-

soluvel. �

Observacao 1.2.1. Seja G um grupo finito supersoluvel. Se N e um subgrupo normal

minimal de G, entao |N | = p, onde p e um numero primo.

Proposicao 1.2.2. Seja G um grupo finito supersoluvel. Se P e um p - subgrupo de

Sylow de G, onde p e o maior primo que divide a ordem de G, entao P e um subgrupo

caracterıstico de G.

Demonstracao: Seja G um contra - exemplo de ordem mınima. Seja N um subgrupo

normal minimal de G. Pela observacao 1.2.1, |N | = q, onde q e um numero primo.

Temos que PN/N e um p - subgrupo de Sylow de G/N e, como |G/N | < |G|, segue pela

minimalidade da ordem de G, que PN � G. Alem disso, P e um p - subgrupo de Sylow

de PN . Podemos entao considerar dois casos:

1o Caso: p = q. Pelo Teorema de Sylow PN = P e assim P � G, o que implica que P e

caracterıstico em G, uma contradicao.

2o Caso: Consideramos p 6= q. Neste caso, novamente pelo Teorema de Sylow,

|PN : NPN(P )| ≡ 1 (mod p), onde NPN(P ) e o normalizador de P em PN , isto e,

|PN : NPN(P )| = 1 + kp. Ainda, |PN : NPN(P )| = |N | = q. Como por hipotese temos

p > q, segue que, k = 0. Logo P � PN , o que implica que P e caracterıstico em PN .

Portanto, pelo lema 1.1.1, P e normal em G e conseqentemente, caracterıstico em G, uma

contradicao.

�

Podemos observar, com esta proposicao, que se G e um grupo supersoluvel, entao G

possui uma torre de Sylow. Ou seja, para todo subgrupo normal N de G, o p - subgrupo

de Sylow de G/N e normal quando p denota o maior primo dividindo a ordem de G/N .

Particularmente, G e q - nilpotente, quando q e o menor primo que divide a ordem de G.

Observacao 1.2.2. Sejam G um grupo, N, M � G. Se GN

e GM

sao grupos supersoluveis.

Entao GN∩M

e supersoluvel.

15

Teorema 1.2.1. Se todo subgrupo maximal de um grupo finito G e supersoluvel, entao G

e soluvel.

Demonstracao: Suponha que G nao e soluvel e seja p o menor primo dividindo a ordem

de G. Se G e p - nilpotente, entao Op′(G) 6= G pois Op′(G) e maximal em G e Op′(G) e

supersoluvel. Como G/Op′(G) e um p - grupo, a solubilidade de G segue. Portanto, G

nao e p - nilpotente. Em outras palavras, um subgrupo H maximal em G e supersoluvel

e portanto p - nilpotente. Seja P um p - subgrupo de Sylow de G. Temos que HOp′ (H)

e

nilpotente, pois H e p - nilpotente, e HH∩P

e nilpotente enquanto P ∩Op′(H) = 1. Assim,

H e nilpotente. Logo, todo subgrupo maximal de G e nilpotente e consequentemente G

e soluvel.

�

Teorema 1.2.2. Um subgrupo maximal de um grupo supersoluvel tem ındice primo.

Demonstracao: Sejam G um grupo supersoluvel e M um subgrupo maximal de G.

Temos que G e soluvel e M 6= G, logo existe um maior inteiro i tal que para o i - esimo

termo da serie derivada de G, temos A = G(i) 6≤ M . Entao A′ ≤ M e M/A′ e maximal

em G/A′. Sem perda de generalidade podemos assumir que A′ = 1 e A e abeliano. Como

M e maximal, G = MA. Entao, pelo teorema 1.1.5, A e minimal normal em G. Como

|G : M | = |A|, o resultado segue da observacao 1.2.1.

�

Mencionaremos a seguir o famoso Teorema de Huppert, onde a recıproca do teorema

acima tambem e verdadeira.

Teorema 1.2.3 (huppert). Um grupo finito G e supersoluvel se, e somente se, todo

subgrupo maximal de G tem ındice primo.

Demonstracao: Veja [14], pag. 276 �

Outro resultado importante e o seguinte:

16

Teorema 1.2.4. Se G e um grupo supersoluvel, entao G′ e nilpotente.

Demonstracao: Veja [14], pag. 151 �

17

Capıtulo 2

Caracterizacao dos T, PT e PST -

grupos Soluveis

Neste capıtulo apresentamos os resultados que caracterizam os T , PT e PST - grupos

soluveis finitos. Estes resultados foram estabelecidos por W. Gaschutz [7], G. Zacher [18]

e R.K. Agrawal [1], respectivamente. Para tanto introduzimos os conceitos de grupos

permutaveis e grupos S-permutaveis, e demonstramos alguns resultados referentes a estes

grupos. Na segunda secao deste capıtulo, demonstramos o teorema de Agrawal. Para a

demonstracao dos teoremas de Gaschutz e Zacher, nas terceira e quarta secoes, fazemos

uso dos resultados obtidos sobre PST - grupos. E por fim, na quinta secao, identificamos

a diferenca entre as estruturas dos PT e T - grupos e demonstramos um resultado que

diz quando um PT - grupo e um T - grupo.

2.1 Definicoes e Resultados Preliminares

Seja G um grupo. Dois subgrupos H e K de G permutam se HK = KH. E se

um subgrupo H permuta com todos os subgrupos de G dizemos que H e permutavel

em G. Como uma generalizacao desse conceito, se H permuta com todos os subgrupos

de Sylow de G, H e chamado S-permutavel. Em [9], Kegel mostra que um subgrupo

18

S-permutavel e tambem um subgrupo subnormal.

Estudaremos apartir de agora em que estruturas de grupos a permutabilidade e a

normalidade sao relacoes transitivas.

Um grupo onde a S-permutabilidade e transitiva e chamado de PST - grupo. Ou

ainda, de acordo com Kegel [9], um grupo G e um PST - grupo se, e somente se, todo

subgrupo subnormal de G e S-permutavel em G.

Ja um grupo onde a permutabilidade e uma relacao transitiva e chamado de

PT - grupo. De maneira semelhante, dizemos que um grupo G e um PT - grupo se,

e somente se, todo subgrupo subnormal de G e permutavel em G.

Finalmente, dizemos que um grupo G e um T - grupo se todo subgrupo subnormal de

G e normal em G.

Sejam T , PT e PST as classes correspondentes aos grupos definidos acima. Clara-

mente percebemos que T ⊆ PT ⊆ PST . Adiante mencionaremos alguns resultados onde

alguma dessas inclusoes pode inverter.

Lema 2.1.1. Se H ≤ K ≤ G e H e S-permutavel em G, entao H e S-permutavel em K.

Demonstracao: Seja P1 um p - subgrupo de Sylow de K. Pelo teorema de Sylow P1 ≤ P ,

onde P e um p - subgrupo de Sylow de G e P ∩ K = P1. Logo pela Lei de Dedekind,

teorema 1.1.1, temos

HP1 = H(P ∩K) = HP ∩K = PH ∩K = (P ∩K)H = P1H.

Portanto H e S-permutavel em K.

�

Lema 2.1.2. Um subgrupo subnormal de um PST - grupo e tambem um PST - grupo.

Mas um subgrupo nao subnormal de um PST - grupo nao e necessariamente um

PST - grupo.

Demonstracao: Seja G um PST - grupo e H um subgrupo subnormal de G. Seja K

um subgrupo de G subnormal em H. Logo, K e subnormal em G, o que implica que

19

K e S-permutavel em G. Pelo lema 2.1.1, K e S-permutavel em H. Portanto, H e

PST - grupo.

�

Expomos aqui o grupo A5 como exemplo de um PST - grupo, pois ele e simples,ou

seja, nao possui subgrupos normais proprios. O subgrupo A4, nao subnormal em A5, nao

e um PST - grupo. Percebemos que o grupo A5 tambem e PT e T - grupo, e da mesma

forma o subgrupo A4 nao satisfaz as condicoes para ser um PT ou T - grupo.

Mencionamos que, em grupos soluveis, as propriedades T , PT e PST sao herdadas

por subgrupos. Este fato esta demonstrado adiante neste trabalho.

Lema 2.1.3. Um grupo quociente de um PST - grupo e um PST - grupo.

Demonstracao: Sejam G um PST - grupo e N um subgrupo normal de G. Temos que

todo subgrupo de Sylow de G/N e da forma PN/N , onde P e um subgrupo de Sylow

de G. Seja H/N um subgrupo subnormal de G/N . Como H e subnormal em G, temos

(PN)H = PH = HPH(PN). Logo (H/N)(PN/N) = (PN/N)(H/N). Portanto G/N e

um PST - grupo.

�

Proposicao 2.1.1. Se G1 e G2 sao dois PST - grupos e (|G1|, |G2|) = 1, entao

G = G1 ×G2 e tambem um PST - grupo.

Demonstracao: Sejam H um subgrupo subnormal de G = G1×G2 e Gp um p - subgrupo

de Sylow de G. Para provar que G e um PST - grupo temos que mostrar que H e Gp

comutam.

Como (|G1|, |G2|) = 1 temos G1 ∩ G2 = 1. Observe que (H ∩ G1) × (H ∩ G2) ⊆ H.

Agora, seja h ∈ H . Entao h ∈ G e h = (g1, g2) com g1 ∈ G1 e g2 ∈ G2. Temos que G1

e G2 sao finitos, logo existe n inteiro positivo tal que gn1 = 1 e hn = (1, gn

2 ) ∈ H. Como

H e um subgrupo, temos que hn(hn−1)−1 = (1, g2) ∈ H. Analogamente, g1 pertence a H.

Portanto, g1 ∈ (H ∩ G1) e g2 ∈ (H ∩ G2) e assim h ∈ (H ∩ G1) × (H ∩ G2). Podemos

entao escrever H = (H ∩G1)× (H ∩G2).

20

Agora vamos assumir sem perda de generalidade que Gp ≤ G1. Como H e subnormal

em G, existe uma serie subnormal H = H0 � H1 � · · · � Hn = G. Fazendo a intersecao

com G1 obtemos H ∩ G1 = H0 ∩ G1 � H1 ∩ G1 � · · · � Hn ∩ G1 = G ∩ G1 = G1. Logo

H ∩ G1 e subnormal em G1 e como G1 e um PST - grupo temos que H ∩ G1 permuta

com Gp.

Alem disto, seja x ∈ G1 e y ∈ G2 e considere o elemento xyx−1y−1. Observe que

xyx−1y−1 = (xyx−1)y−1 = yx−1y−1 ∈ G2, mas por outro lado temos que

xyx−1y−1 = x(yx−1y−1) = x(x−1)y−1 ∈ G1. Entao xyx−1y−1 ∈ G1 ∩ G2 = 1, o que

implica que xy = yx para todos x ∈ G1 e y ∈ G2. Logo G2 centraliza G1 e entao H ∩G2

centraliza Gp.

Portanto, H = (H ∩G1)× (H ∩G2) permuta com Gp. Isto prova a proposicao.

�

No resultado acima a condicao que (|G1|, |G2|) = 1 e necessaria. O seguinte exemplo

mostra isto

Exemplo 2.1.1. Sejam G1 = S3 = 〈x, y|x3 = y2 = 1, yx = x2y〉 e G2 = 〈z|z3 = 1〉. Entao

〈xz〉 e subnormal em G1×G2. Mas como 〈xz〉 nao permuta com 〈y〉, nao e S - permutavel

em G1 ×G2. Portanto, G1 ×G2 nao e um PST - grupo.

Observacao 2.1.1. Note que os grupos nilpotentes sao PST - grupos, mas nao sao

necessariamente PT - grupos.

2.2 PST - grupos Soluveis

Nesta secao apresentamos a caracterizacao dos PST - grupos soluveis, a qual foi

estabelecida de forma conclusiva por R.K. Agrawal [1], em 1975. Antes de demonstrar

o principal teorema referente a essa caracterizacao, introduzimos dois resultados prelim-

inares importantes.

Lema 2.2.1. Seja G um PST - grupo. Se N e um subgrupo normal minimal soluvel de

G, entao a ordem de N e um primo.

21

Demonstracao: Como N e um subgrupo normal minimal soluvel de G, vale que |N | = pn

para algum primo p, onde n e um inteiro positivo. Logo, todo subgrupo de N e subnormal

em G e portanto S-permutavel em G.

Seja Gp qualquer p - subgrupo de Sylow de G. Entao N e um subgrupo normal de Gp

e N ∩ Z(Gp) 6= 1, conforme o teorema 1.1.9. Seja g um elemento nao trivial pertencente

a N ∩ Z(Gp). Logo 〈g〉 e um subgrupo subnormal em G e portanto S-permutavel.

Seja q primo tal que q 6= p. Como 〈g〉 ≤ Gp entao 〈g〉 ∩ Gq = 1 e 〈g〉Gq ≤ G. Logo

〈g〉 e subnormal em 〈g〉Gq. Disto e do fato que 〈g〉 e um p - subgrupo de Sylow de 〈g〉Gq,

obtemos que 〈g〉 e normal em 〈g〉Gq, para todo q 6= p. Por outro lado 〈g〉 e normal em

Gp, pois 〈g〉 ≤ Z(Gp). Portanto, 〈g〉 e normal em G. Pela minimalidade de N temos que

N = 〈g〉 e assim |N | = p.

�

Teorema 2.2.1. Um PST - grupo soluvel e supersoluvel.

Demonstracao: Usamos inducao sobre a ordem de G. Seja N um subgrupo normal

minimal de G. Como G/N e um PST - grupo soluvel, G/N e supersoluvel por inducao.

Mas pelo lema 2.2.1, |N | e um primo e assim G e supersoluvel. �

O proximo teorema apresenta a estrutura dos PST - grupos soluveis determinada por

R.K. Agrawal [1], em 1975.

Teorema 2.2.2. Seja G um PST - grupo soluvel e γ∗(G) seu subgrupo hipercomu-

tador (o menor subgrupo normal de G tal que G/γ∗(G) e nilpotente). Entao

(i) γ∗(G) e um subgrupo de Hall de G de ordem impar, e

(ii) todo subgrupo de γ∗(G) e normal em G.

Neste caso em particular, γ∗(G) e abeliano.

Observacao 2.2.1. Note que todo complemento de γ∗(G) em G e nilpotente.

Demonstracao: Suponha que G e um contra exemplo de ordem mınima tal que G e

um PST - grupo soluvel mas nao satisfaz (i). Temos que G e supersoluvel, logo G′ e

22

nilpotente. Segue que γ∗(G) e nilpotente, pois γ∗(G) ≤ G′. Como G e 2 - nilpotente,

γ∗(G) tem ordem impar. Analizemos, agora, tres possibilidades quanto ao numero de

primos que dividem a ordem de γ∗(G).

1o caso: Suponha que dois primos distintos, p e q, dividem a ordem de γ∗(G). Sejam

P e Q os p - subgrupo e q - subgrupo de Sylow de γ∗(G), respectivamente. Como γ∗(G)

e nilpotente, P e Q sao normais em γ∗(G), logo sao caracterısticos em γ∗(G). Portanto

P e Q sao normais em G. Pelo lema 2.1.3, G/P e G/Q sao PST - grupos e ainda, pela

minimalidade da ordem de G, a propriedade (i) vale. Entao, γ∗(G/P ) e um subgrupo

de Hall de G/P . Como γ∗(G/P ) = γ∗(G)P/P = γ∗(G)/P temos que γ∗(G)/P e um

subgrupo de Hall de G/P , onde q divide a ordem de γ∗(G)/P . Logo q nao divide a ordem

de G/γ∗(G). Analogamente, γ∗(G)/Q e um subgrupo de Hall de G/Q e p nao divide

a ordem de G/γ∗(G). Portanto, se existirem mais primos dividindo a ordem de γ∗(G),

indutivamente, temos que γ∗(G) e um subgrupo de Hall de G.

2o caso: Suponha que γ∗(G) e um p - grupo, ou seja, |γ∗(G)| = ps, onde s e um inteiro

positivo. Considere N um subgrupo normal minimal de G com N ≤ γ∗(G). Como G e

supersoluvel, |N | = p. Pela minimalidade da ordem de G, a propriedade (i) vale em G/N ,

ou seja, γ∗(G/N) e um subgrupo de Hall de G/N . Mas γ∗(G/N) = γ∗(G)N/N = γ∗(G)/N .

Logo, (|G/γ∗(G)|, |γ∗(G)/N |) = 1. Se N < γ∗(G), entao p divide a ordem de γ∗(G)/N

mas nao divide a ordem de G/γ∗(G). Segue que (|G/γ∗(G)|, |γ∗(G)|) = 1. Portanto γ∗(G)

e um subgrupo de Hall de G.

Resta - nos o

3o caso: Considere que |γ∗(G)| = p. Em outras palavras, que γ∗(G) = N e um subgrupo

normal minimal de G. Suponha que γ∗(G) ≤ Φ(G). Entao G/Φ(G) e nilpotente, e pelo

teorema 1.1.11, G e nilpotente. Absurdo. Entao γ∗(G) 6≤ Φ(G), por consequencia existe

um complemento M para γ∗(G) em G o qual nao e normal. Se p divide a ordem de

M existe um subgrupo normal Y de M , de ordem p, e portanto central em M . Entao

T = Y γ∗(G) e um subgrupo abeliano elementar de G do tipo (p, p), e Y e um fator

central em G = γ∗(G)M . Como γ∗(G) nao e central em G, existe um primo q 6= p e

um q - subgrupo de Sylow Q de G que nao centraliza γ∗(G). Seja W um subgrupo de

T de ordem p com γ∗(G) 6= W 6= Y . Como W e subnormal em G, W permuta com Q.

Logo WQ ≤ G e W � WQ, ou seja, Q normaliza W . Daı, temos os Q - isomorfismos

23

γ∗(G) ∼=Q T/W ∼=Q Y . Como Y e centralizado por Q e γ∗(G) nao e, p nao pode dividir a

ordem de M e γ∗(G) e um subgrupo de Hall de G.

Agora vamos mostrar que todo subgrupo de γ∗(G) e normal em G. Claramente, basta

mostrar que todo subgrupo cıclico de γ∗(G) e normal em G. Para tanto, note que todos

os subgrupos de γ∗(G) sao subnormais em γ∗(G), e portanto sao subnormais em G. Logo,

sao S-permutaveis, ou seja, permutam com todos os subgrupos de Sylow de G. Seja M

um complemento de γ∗(G) em G. Temos que M e nilpotente e assim sendo, M e o produto

direto de seus subgrupos de Sylow, que sao tambem subgrupos de Sylow de G. Seja 〈c〉um subgrupo cıclico de γ∗(G). Dado que 〈c〉 permuta com M e (| 〈c〉 |, |M |) = 1, vale

que 〈c〉 e normalizado por M . Como M e um complemento arbitrario de γ∗(G) em G,

temos que 〈c〉 e normalizado por todos os conjugados de M . Portanto, 〈c〉 e normal em

MG. Mas o fecho normal de M em G e normal em G e GMG e nilpotente o que e uma

contradicao com a definicao de γ∗(G). Portanto, temos MG = G e 〈c〉 e normal em G.

�

Observe que a condicao (ii) do teorema acima nos diz que os elementos de G induzem

automorfismo de potencia em γ∗(G).

O proximo teorema da condicoes suficientes para um grupo G ser um PST - grupo.

Mesmo nao exigindo que G seja soluvel.

Teorema 2.2.3. Suponha que o grupo G tem um subgrupo de Hall normal N tal que:

(i) G/N e um PST - grupo, e

(ii) Todo subgrupo subnormal de N e normal em G.

Entao G e um PST - grupo.

Demonstracao: Seja H um subgrupo subnormal de G. Temos entao que mostrar que

H e S-permutavel em G. Suponha que G e um grupo de menor ordem tal que vale (i) e

(ii) mas nao e um PST - grupo

Considere primeiramente o caso K = N ∩H 6= 1. Como H e subnormal em G existe

uma serie subnormal H � H0 � · · · � Hn = G. Fazendo a intersecao com N obtemos a

serie H ∩N � H0 ∩N � · · ·� Hn ∩N = N . Portanto, K e subnormal em N e por (ii) e

normal em G. Logo, G/K e um PST - grupo e H/K e subnormal em G/K e portanto

24

S-permutavel em G/K. Segue que H e S-permutavel em G.

Agora suponha que N ∩H = 1. Pelo teorema de Schur - Zassenhaus 1.1.4, N tem um

complemento em G e todos os complementos sao conjugados. Seja M um complemento

de N em G. Entao M e um PST - grupo. Como H e subnormal em G e (|N |, |M |) = 1

temos que H = (H ∩M)(H ∩N). Mas H ∩N = 1, assim H = H ∩M . Isto significa que

H ≤ M . Portanto, todo complemento M de N em G e um PST - grupo que contem H

e sendo (|N |, |M |) = 1, temos tambem (|H|, |N |) = 1.

Considere o subgrupo HN . Como H e subnormal em HN e (|H|, |N |) = 1, segue que

H e caracterıstico em HN . Portanto, H permuta com todos os subgrupos de Sylow de

N . Sejam p um divisor primo da ordem de G e Gp um p - subgrupo de Sylow de G. Se

p divide a ordem de N , entao Gp ≤ N e assim HGp = GpH. Em outras palavras, se p

nao divide a ordem de N , entao existe um complemento L de N em G tal que Gp ≤ L.

Como H e um subgrupo subnormal de L e L e um PST - grupo, os subgrupos H e Gp

permutam. Portanto H e S - permutavel em G. Isto prova o teorema.

�

Uma consequencia do teorema acima que mostra que as condicoes (i) e (ii) do teorema

2.2.2 nao sao somente necessarias mas sao tambem suficientes e o

Corolario 2.2.1. Se o grupo G tem um subgrupo de Hall normal N tal que:

(i) G/N e um PST - grupo soluvel, e

(ii) N e soluvel e todos os seus subgrupos subnormais sao normais em G.

Entao G e um PST - grupo soluvel.

Demonstracao: Como G/N e N sao soluveis, G e soluvel. Portanto, pelo teorema 2.2.3,

G e um PST - grupo soluvel.

�

Observacao 2.2.2. A condicao (i) do corolario 2.2.1 e automaticamente satisfeita se o

grupo quociente e nilpotente.

Corolario 2.2.2. Seja G um PST - grupo soluvel. Entao seus subgrupos sao tambem

PST - grupos soluveis.

25

Demonstracao: Seja K um subgrupo de G e considere K ∩ γ∗(G). Segue, pelo teorema

2.2.2, que K ∩ γ∗(G) e um subgrupo de Hall normal em K e seus subgrupos subnormais

sao normais em K. Temos tambem que γ∗(G)Kγ∗(G)

∼= KK∩γ∗(G)

, e como Gγ∗(G)

e nilpotente, entaoK

K∩γ∗(G)e nilpotente. Portanto, K

K∩γ∗(G)e um PST - grupo soluvel. Ainda, K ∩ γ∗(G)

e soluvel e todos os seus subgrupos subnormais sao normais em K. Pelo corolario 2.2.1,

segue que K e um PST - grupo soluvel.

�

2.3 PT - grupos Soluveis

O primeiro teorema desta secao caracteriza os PT - grupos soluveis, ele foi estabelecido

por G. Zacher [18]. Antes de apresentar este resultado observamos que um p - grupo ou

um grupo nilpotente e modular se seus subgrupos sao permutaveis. Demonstramos esse

resultado utilizando o teorema 2.2.2.

Teorema 2.3.1. Um grupo soluvel G e um PT - grupo se, e somente se, ele tem um

subgrupo de Hall normal abeliano L de ordem impar tal que G/L e um grupo modular

nilpotente e os elementos de G induzem automorfismos de potencia em L.

Demonstracao: Suponha que o grupo G e um PT - grupo soluvel. Temos que G e um

PST - grupo soluvel. Faca L = γ∗(G). Portanto, pelo teorema 2.2.2, L e um subgrupo de

Hall abeliano normal em G de ordem impar, e os elementos de G induzem automorfismos

de potencia em L. Resta-nos entao mostrar que G/L e modular. Mas como G/L e

nilpotente e todo subgrupo de G/L e permutavel, entao G/L e modular.

�

A condicao de suficiencia do teorema acima segue do proximo resultado, apesar de

nao exigirmos a solubilidade do grupo G.

26

Lema 2.3.1. Seja N um subgrupo de Hall normal de um grupo G e assuma que valem:

(i) G/N e um PT - grupo, e

(ii) todo subgrupo subnormal de N e normal em G

Entao G e um PT - grupo.

Demonstracao: Seja H um subgrupo subnormal de G. Temos que mostrar que H e

permutavel em G. Considere o subgrupo H ∩ N , e suponha que H ∩ N 6= 1. Suponha,

ainda, que G seja o grupo de menor ordem tal que valem (i) e (ii) mas nao seja um PT

- grupo. Temos que H ∩N e subnormal em N , logo pelo item (ii), H ∩N e normal em

G. Entao, HH∩N

e permutavel em GH∩N

, pela minimalidade da ordem de G. Segue que H

e permutavel em G.

Agora suponha que H ∩ N = 1. Pelo teorema 1.1.4, N tem um complemento em G

e todos os complementos sao conjugados. Seja M qualquer complemento de N em G.

Entao M e um PT - grupo. Como H e subnormal em G e (|N |, |M |) = 1, podemos

escrever H = (H ∩N)(H ∩M). Mas H ∩N = 1 e assim H = H ∩M . Isto significa que

H e um subgrupo de M . Portanto todo complemento de N em G e um PT - grupo e

contem H.

E suficiente mostrar que H permuta com qualquer subgrupo T de G de ordem pn,

onde p e um primo e n e um inteiro positivo. Se p divide a ordem de N , entao T ≤ N .

Considere o subgrupo HN . Temos que H e subnormal em HN e (|H|, |N |) = 1. Segue

entao que H e caracterıstico em HN . Logo, H e normal em HN e H permuta com T .

Assuma agora que p nao divide a ordem de N . Entao T esta contido em algum conjugado

de M ; digamos Mx, onde x ∈ G. Pelo item (i), Mx e um PT - grupo e H ≤ Mx, assim

H permuta com T e o resultado segue.

�

O proximo corolario da caracterısticas interessantes para os PT - grupos soluveis.

Corolario 2.3.1. Seja G um PT - grupo soluvel. Entao as seguintes afirmacoes valem:

(i) G e metabeliano.

(ii) O subgrupo de Fitting de G, F (G), e igual a γ∗(G)× Z∗(G).

(iii) Se H e um subgrupo de G, entao H e um PT - grupo soluvel.

27

(iv) Se G′ ∩ Z(G) = 1, entao G e um T - grupo. Em particular se Z(G) = 1, entao G e

um T - grupo.

Demonstracao: Faca L = γ∗(G). Pelo teorema 2.3.1, L e abeliano e tem um comple-

mento B, em G. Entao, G′ = LB′ e G′′ = [L, B′]. Mas [L, B′] ≤ L, visto que B induz

automorfismo de potencia em L, e [L, B′] ≤ B. Portanto G′′ = [L, B′] = 1. Isto estabelece

(i).

Seja π = π(G/L) e note que L e um π′ - subgrupo de Hall abeliano de F (G). Portanto,

temos F (G) = L × Fπ. Agora, [Fπ,i G] ≤ Fπ ∩ L = 1, para algum i, o que significa que

Fπ ≤ Z∗(G). Tambem note que γ∗(G) ∩ Z∗(G) = 1, pois do contrario γ∗(G) ∩ Z(G) 6= 1,

o que e uma contradicao com a definicao de γ∗(G). Portanto, Fπ = Z∗(G) e (ii) esta

demonstrado.

Seja H um subgrupo de G e considere o subgrupo H ∩ L. Temos, pelo teorema

2.3.1, que H ∩ L e um subgrupo de Hall abeliano normal em H e tem ordem impar.

Consequentemente, HH∩L

∼= HLL

e um grupo modular nilpotente e todos os subgrupos

subnormais de H ∩L sao normais em H. Portanto, pelo lema 2.3.1, H e um PT - grupo.

Finalmente, assuma que G′ ∩ Z(G) = 1. Pelos itens (i) e (ii), temos que

L ≤ G′ ≤ L×Z∗(G). Assim G′ = L e G/L e abeliano. Portanto, G e um T - grupo, pelo

lema 2.4.1. Logo (iv), segue.

�

Observemos que o item (iv) do corolario acima nao e verdadeiro para PT - grupos

nao soluveis.

Exemplo 2.3.1. Existe um PT - grupo G nao soluvel com centro trivial o qual nao e

um T - grupo. Seja D = PSL8(25). Entao D tem um automorfismo diagonal σ de

ordem 8, e um automorfismo α de um corpo de ordem 2. Coloque Q = 〈σ, α〉 e note que

σα = σ5 = σ1+4. Portanto Q e um 2 - grupo modular de ordem 16.

Seja G o produto semidireto de D por Q. Entao G e semisimples. Seja H um subgrupo

subnormal nao trivial de G. Entao D ≤ H, e H e permutavel em G pois G/D e um PT

- grupo. Assim, G e um PT - grupo com centro trivial, mas nao e um T - grupo pois Q

nao e.

28

2.4 T - grupos Soluveis

A estrutura dos T - grupos soluveis foi estabelecida por W. Gaschutz, em 1957, atraves

do seguinte resultado:

Teorema 2.4.1. Um grupo G e um T - grupo soluvel se, e somente se, ele tem um

subgrupo de Hall abeliano normal L de ordem impar tal que G/L e um grupo de Dedekind

e os elementos de G induzem automorfismos de potencia em L.

Demonstracao: Como G e um T - grupo soluvel, entao G e um PT - grupo soluvel e

pelo teorema 2.3.1, L = γ∗(G) e um subgrupo de Hall abeliano normal de ordem impar

de G. Alem disto G/L e um grupo modular nilpotente e os elementos de G induzem

automorfismos de potencia em L. Basta entao mostrar que G/L e um grupo de Dedekind.

Temos que G/L e um T - grupo. Como ele e nilpotente todos os seus subgrupos sao

subnormais e portanto normais. Entao G/L e um grupo de Dedekind. Observe que

L = γ∗(G) = γ3(G) = [G′, G].

�

Como no caso dos PT - grupos soluveis a condicao de suficiencia do teorema acima

segue do proximo lema.

Lema 2.4.1. Seja N um subgrupo de Hall normal de um grupo G e assuma que vale:

(i) G/N e um T - grupo, e

(ii) todo subgrupo subnormal de N e normal em G

Entao G e um T - grupo.

Demonstracao: Seja H um subgrupo subnormal de G. Mostraremos que H e normal em

G. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que H � K � G. Como H e subnormal

em G, temos que H ∩N e subnormal em N . Logo, pelo item (ii), H ∩N e normal em G.

Assim, passando o quociente modulo H ∩N , podemos supor que H ∩N = 1. Isto implica

que |H| e |N | sao relativamente primos.Considere o subgrupo HN e seja M = K ∩HN .

Pela Lei de Dedekind temos M = K ∩ HN = H(K ∩ N). Entao, M e normal em G

pois HN e normal em G, pelo item (i). Tambem H e normal em M . Portanto, se π e o

29

conjunto de todos os primos divisores de |G : N |, entao H e o unico π - subgrupo de Hall

de M . Isto mostra que H e caracterıstico em M e normal em G.

�

Construindo T - grupos Soluveis Finitos

Seja A um grupo abeliano finito de ordem impar, e seja B um grupo de Dedekind finito

cuja ordem e relativamente prima com a ordem de A. Alem disto, existe um homomorfismo

θ : B → P (A) com a propriedade de que para cada primo p dividindo a ordem de A,

existe um elemento bp de B tal que bθp age trivialmente sobre os p - componentes de A.

Agora forme o produto semidireto G(A, B, θ). Obviamente esse produto semidireto e um

grupo soluvel finito. Para ver que ele e um T - grupo basta fazer A = N no lema 2.4.1.

Observe tambem, pelo teorema 2.4.1, que todo T - grupo soluvel finito e isomorfo

com algum G(A, B, θ). Note que se G = G(A, B, θ), temos por construcao A = [A, G] e

A = γ3(G).

Em geral, um subgrupo de um T - grupo nao e necessariamente um T - grupo. Por

exemplo, A5 e simples, assim ele e certamente um T - grupo. Mas A5 tem um subgrupo

isomorfo a A4 que nao e um T - grupo. Contudo, a situacao e diferente para T - grupos

soluveis finitos.

Teorema 2.4.2 (Gaschutz). Um subgrupo de um T - grupo soluvel e um T - grupo.

Demonstracao: Seja L = γ∗(G) e seja H um subgrupo de G. Sabemos, pelo teorema

2.4.1, que |L| e |G : L| sao relativamente primos, o que implica que |H ∩L| e |H : H ∩L|sao relativamente primos. Tambem, pelo teorema do isomorfismo, H

H∩L∼= HL

L≤ G

L, logo

HH∩L

e isomorfo a um subgrupo de um grupo de Dedekind e e certamente um T - grupo.

Subgrupos de H ∩ L sao normais em G, e portanto em H. Assim, H e um T - grupo

como consequencia do lema 2.4.1.

�

Teorema 2.4.3. Um grupo finito com subgrupos de Sylow cıclicos e um T - grupo soluvel.

30

Demonstracao: Este resultado segue do lema 2.4.1 e de um resultado devido a Holder,

Burnside e Zassenhaus ([14], pag - 290), que diz que um grupo cujos subgrupos de Sylow

sao cıclicos e uma extensao cıclica de um grupo cıclico. Grupos com esta propriedade sao

chamados metacıclicos.

�

2.5 A diferenca entre PT - grupos e T - grupos

Podemos observar que todo T - grupo e um PT - grupo e ainda que os teoremas de

Zacher e Gaschutz mostram que as estruturas dos PT - grupos e T - grupos soluveis sao

bastante similares. Percebemos nos teoremas 2.3.1 e 2.4.1 uma unica diferenca no grupo

quociente G/L.

Antes de mencionar o teorema que mostra essa diferenca entre os T e PT - grupos,

enunciamos um resultado importante que utilizamos na sua demonstracao.

Teorema 2.5.1 (Maier - Schmid). Se Q e um subgrupo permutavel de um grupo finito

G, entao QG/QG esta contido no hipercentro Z∞(G/QG) de G/QG.

A demosntracao deste teorema pode ser encontrado em [10]. Finalmente, o resultado

seguinte mostra que a diferenca entre T - grupos e PT - grupos acontece nos fatores

abelianos.

Teorema 2.5.2. Seja G um PT - grupo. Entao G e um T - grupo se, e somente se, para

cada fator subnormal abeliano elementar HK

de ordem p2, com p um primo,NG( H

K)

CG( HK

)e um

p′ - grupo.

Demonstracao: Assuma que G e um T - grupo e seja HK

um fator subnormal abeliano

elementar de ordem p2. Como HK

e subnormal, H e subnormal em G e portanto normal.

Logo H e K sao normais em G e cada p - elemento x de G age trivialmente sobre HK

, poisHK

e p - grupo abeliano elementar e x fixa todo subgrupo de HK

. Logo os p - elementos de

G estao no CG(HK

) e entaoNG( H

K)

CG( HK

)e um p′ - grupo.

31

Agora, inversamente, considere G o grupo de menor ordem onde as condicoes do

teorema valem mas G nao e um T - grupo. Pela hipotese existe um subgrupo H de

ordem mınima que e subnormal nao normal em G. Seja HG o nucleo normal de H em

G. Pela minimalidade da ordem de G, HG = 1. Portanto, como H e permutavel, pelo

teorema de Maier - Schmid, H ≤ Z∗(G). Usando a minimalidade da ordem de H, vemos

que H e um p - grupo cıclico; digamos H = 〈u〉. Como HG = 1, temos que |H| = p.

Agora os p′ - elementos de G normalizam, e portanto centralizam H, pois H ≤ Z∗(G).

Consequentemente, existe um p - elemento x tal que v = [u, x] 6= 1. Tambem Z(G) 6= 1,

visto que HZ(G)Z(G)

e G - central. Portanto, v ∈ Z(G) e como vp = [up, x] = 1, vale que

〈u, v〉 = 〈u〉 × 〈v〉. Temos que x age nao trivialmente sobre 〈u〉 × 〈v〉, pois nao normaliza

〈u〉. Agora, 〈u, v〉 ≤ Z∗(G), e como Z∗(G) e normal em G, 〈u〉 × 〈v〉 e subnormal em G

com ordem p2. Mas isto contradiz a hipotese. Portanto, G e um T - grupo.

�

No proximo resultado mostramos que um PT - grupo soluvel pode ser imerso no

produto direto de um grupo modular nilpotente com um T - grupo.

Teorema 2.5.3. O grupo G e um PT - grupo soluvel se, e somente se, existe um grupo

modular nilpotente M e um T - grupo soluvel W tal que:

(i) (|M |, |γ∗(W )|) = 1;

(ii) Existe um monomorfismo α : G → M × W com Gα subdireto em M × W e

γ∗(W ) ≤ Gα;

(iii) Se p e um divisor primo de (|M |, |W |), entao um p - subgrupo de Sylow de G e

isomorfo a um p - subgrupo de Sylow de M .

Demonstracao: Primeiramente, assuma que G e um PT - grupo soluvel e coloque

L = γ∗(G). Pelo teorema 2.3.1, L e um subgrupo de Hall abeliano de G, G/L e um grupo

modular nilpotente e os elementos de G agem por conjugacao sobre L como automorfismos

de potencia. Alem disto, pelo corolario 2.3.1, temos F (G) = L×K onde K e o hipercentro

de G.

Coloque M = G/L e W = G/K. Como Z(W ) = Z(G/Z∗(G)) = 1, pelo item (iv) do

corolario 2.3.1, W e um T - grupo. Agora γ∗(W ) = LK/K ∼= L, pois (|K|, |L|) = 1, e

32

assim (|γ∗(W )|, |M |) = 1. Portanto, (i) esta estabelecido.

A atribuicao g 7→ (gL, gK) e uma imersao subdireta α de G sobre M × W . Alem

disso, γ∗(W ) = {(1, gK)/g ∈ L} ≤ Gα. Assim, a afirmacao em (ii) e verdadeira.

Finalmente, seja p um divisor primo de (|M |, |W |). Entao (p, |L|) = 1 e (iii) segue.

Inversamente, assuma que os itens (i), (ii) e (iii) valem em G com G ≤ M×W . Como

M e nilpotente e W e soluvel temos que G e soluvel. Pelo teorema 2.4.1, L = γ∗(W ) tem

ordem impar e e um subgrupo de Hall abeliano normal de W . Tambem os elementos

de W , e portanto de M × W , induzem automorfismos de potencia em L. Dos itens (i),

(ii) e (iii) segue que L e um subgrupo de Hall normal de G sobre o qual G age como

automorfismo de potencia. Como G/L e nilpotente e suficiente mostrar, pelo lema 2.3.1,

que G/L e um grupo modular. Seja P um p - subgrupo de Sylow de G/L. Se p divide

(|M |, |W |), entao P e modular pelo item (iii). Se p nao divide (|M |, |W |), entao P e

isomorfo a P1, onde P1 e um p - subgrupo de Sylow, , de W ou de M . Se P1 ≤ M , P e

modular, pois M e modular. Se P1 ≤ W , P e modular porque W e T - grupo soluvel e

W/L e nilpotente modular. Como o produto direto de p - grupos modulares e modular,

G/L e um grupo modular nilpotente.

�

O grupo M ×W no teorema acima nao e necessariamente um PT - grupo.

Exemplo 2.5.1. Seja W um grupo nao abeliano de ordem 21 e M um 3 - grupo extrae-

special de ordem 27 e expoente 32. Segundo Robinson ([14] pag - 145) um p - grupo finito

G e chamado extraespecial se G′ e Z(G) coincidem e tem ordem p (G′ = Z(G) e cıclico e

V = G/G′ e um p - grupo abeliano elementar). Entao M e um grupo modular. Existem

epimorfismos α : W → C3, β : M → C3 e G ={(x, y) ∈ M ×W/xβ = yα

}e um subgrupo

subdireto de M ×W . Pelo teorema 2.2.2, G e um PT - grupo soluvel, mas M ×W nao

e. Tambem note que G nao e um T - grupo.

33

Capıtulo 3

Caracterizacoes Locais dos PT e T -

grupos soluveis

Como vimos no capıtulo anterior, a estrutura dos PT e T - grupos soluveis foram

determinadas por Zacher [18] e Gaschutz [7], respectivamente. Neste capıtulo, vemos

que algumas estruturas locais tambem podem levar a caracterizacao desses grupos. Na

primeira secao, mostramos que os grupos que satisfazem a propriedade Xp, para todo

primo p, e um PT - grupo soluvel. Na segunda secao, apresentamos um resultado

semelhante para a propriedade Cp e os T - grupos soluveis. Ja na terceira e ultima secao,

fazemos um estudo sobre a relacao entre pronormalidade, que e uma propriedade local, e os

T - grupos soluveis.

3.1 Propriedade Xp

Dizemos que um grupo G satisfaz a condicao Xp se, e somente se, cada subgrupo

de um p - subgrupo de Sylow P de G e permutavel no normalizador de P em G. Como

subgrupos de PT - grupos soluveis sao PT - grupos soluveis, e claro que um PT - grupo

soluvel satisfaz Xp para todo primo p. A questao interessante e saber se a recıproca deste

fato e verdadeira.

34

Nosso objetivo, nesta secao, e justamente mostrar que um grupo G e um PT - grupo

soluvel se, e somente se, G satisfaz Xp para todo primo p. Para isso, precisamos de alguns

resultados preliminares sobre a propriedade Xp e suas consequencias para a estrutura dos

grupos.

Comecamos com o seguinte:

Lema 3.1.1. Um grupo G satisfaz Xp se, e somente se, um p - subgrupo de Sylow P de

G e modular e os p′ - elementos do NG(P ) induzem automorfismos de potencia em P .

Demonstracao: Suponha que o grupo G satisfaz Xp. Entao cada subgrupo de P e

permutavel em NG(P ). Portanto, P e modular. Seja a ∈ P e seja x um p′ - elemento

de NG(P ). Entao, pela Lei de Dedekind, 〈a〉 〈x〉� P ∩ 〈a〉 〈x〉 = 〈a〉 (P ∩ 〈x〉) = 〈a〉 pois

P ∩ 〈x〉 = 1. Assim, x induz automorfismo de potencia em P . Reciprocamente, se um p

- subgrupo de Sylow de G e modular, entao todos subgrupos de P sao permutaveis em

P . Seja a ∈ P e x um p′ - elemento de NG(P ) , como x induz automorfismo de potencia

em 〈a〉 temos que 〈a〉 comuta com 〈x〉. Portanto, cada subgrupo de P e permutavel no

NG(P ), e G satisfaz Xp.

�

Corolario 3.1.1. Seja G um grupo satisfazendo Xp e seja P um p - subgrupo de

Sylow de G. Se p e o menor primo divisor da ordem de G ou P e nao abeliano, entao

NG(P ) = P ×Op′(NG(P )).

Demonstracao: Primeiramente, assuma que p e o menor primo dividindo a ordem de

G. Pelo lema 3.1.1, Op′(NG(P )) centraliza P e o resultado segue. Agora, assuma que

P nao e abeliano. Pelo Hilfssatz 5 de [8], se α e um automorfismo de potencia de or-

dem relativamente prima com p, entao P e abeliano. Portanto, pela hipotese, o grupo dos

automorfismos de potencia de P e um p - grupo. E novamente o resultado segue.

�

Nosso proximo resultado relaciona a condicao Xp com o conceito de p - nilpotencia.

35

Teorema 3.1.1. Seja p o menor primo divisor da ordem de G. Entao G satisfaz Xp se,

e somente se, G e p - nilpotente e os p - subgrupos de Sylow de G sao modulares.

A demonstracao deste teorema pode ser encontrada no artigo Criteria for permutability

to be transitive in finite groups de Beidleman, Brewster e Robson [4].

Com os resultados pre - estabelecidos, podemos agora demonstrar o resultado mais

importante desta secao.

Teorema 3.1.2. Um grupo G e um PT - grupo soluvel se, e somente se, ele satisfaz Xp

para todo primo p.

Demonstracao: Seja G um PT - grupo soluvel. Pelo item (iii) do corolario 2.3.1, todos

os subgrupos de G sao PT - grupos soluveis. Logo, se P e um p - subgrupo de Sylow de

G, P e PT - grupo, e todo subgrupo de P e subnormal no NG(P ), que tambem e um

PT - grupo. Portanto todo subgrupo de P e permutavel no NG(P ). Consequentemente,

G satisfaz Xp para todo primo p.

Inversamente, assuma que G satisfaz Xp para todo primo p, e que G e o grupo de

menor ordem que nao e um PT - grupo soluvel. Seja p o menor primo divisor da ordem

de G. Pelo teorema 3.1.1, G e p - nilpotente e Op′(G) 6= G. Coloque K = Op′(G). Sejam

q um divisor primo da ordem de K e Q um q - subgrupo de Sylow de G. Entao, pelo lema

3.1.1, Q e modular e os q′ - elementos do NK(Q) induzem automorfismo de potencia em

Q. Aplicando o lema 3.1.1 novamente, vemos que K satisfaz Xq. Segue da minimalidade

da ordem de G que K e um PT - grupo soluvel. E assim G e certamente soluvel.

Faca L = γ∗(K). Pelo teorema 2.3.1, L e um subgrupo de Hall normal abeliano de K

e os elementos de K induzem automorfismos de potencia em L. Seja r um primo divisor

da ordem de L e seja R um r - subgrupo de Sylow de L. Entao R e um r - subgrupo

de Sylow normal de G. Como G satisfaz a condicao Xr, os r′ - elementos de G induzem

automorfismos de potencia em R. Pela arbitrariedade de r, todos os elementos de G

induzem automorfismo de potencia em L. Suponha que L 6= 1. Entao G/L satisfaz a

hipotese do teorema e assim, pela minimalidade de G, G/L e um PT - grupo soluvel. Pelo

lema 2.3.1, G e um PT - grupo, uma contradicao. Portanto L = 1 e assim K e nilpotente.

Finalmente, seja T um subgrupo de Sylow de K. Temos que K e caracterıstico em

G e todo subgrupo de Sylow de K e normal em K. Entao T e tambem um subgrupo

36

de Sylow normal de G. Novamente, se T 6= 1, entao G/T e um PT - grupo e G induz

automorfismo de potencia em T . De novo, pelo lema 2.3.1, G e um PT - grupo. Isto

significa que K = 1 e G e um p - grupo modular, logo nilpotente, o que implica que G e

um PT - grupo, uma contradicao.

�

Estaremos, apartir de agora estabelecendo outros resultados interessantes sobre a

propriedade Xp.

Teorema 3.1.3. Um grupo G satisfaz Xp se, e somente se, G e p - nilpotente ou um

p - subgrupo de Sylow P de G e abeliano e todo subgrupo de P e normal no NG(P ).

Demonstracao: Note que em um sentido este resultado e obvio.

Seja G um grupo de menor ordem tal que G satisfaz Xp mas nao e p - nilpotente e

G nao possui um p - subgrupo de Sylow P abeliano. Entao, pelo teorema 3.1.1, temos

p > 2. Seja J(P ) o subgrupo de Thompson de P (J(P ) e o subgrupo gerado por todos

subgrupos abelianos de P com posto maximal [ver [14] pag. 298]). Obviamente J(P ) e

caracterıstico em P . Entao P ≤ NG(J(P )), e ainda P ≤ NG(Z(P )). Pelo resultado de

Thompson [[14], 10.4.1], NG(J(P )) e NG(Z(P )) nao podem ser ambos p - nilpotentes.

Mas G satisfaz Xp, logo ambos satisfazem Xp e portanto um deles tem que ser G. Segue

que P contem um subgrupo N normal minimal em G. Note que G/N satisfaz Xp, e assim,

pela minimalidade da ordem de G, ou P/N e abeliano ou G/N e p - nilpotente.

Suponha, primeiramente, que P/N e abeliano. Como, pelo corolario 3.1.1,

NG(P ) = P × Op′(NG(P )), o p - subgrupo de Sylow P/N esta no centro de seu nor-

malizador em G/N . Portanto, pelo Criterio de Burnside, teorema 1.1.12, G/N e p -

nilpotente. Agora, se P/N nao e abeliano, pela minimalidade da ordem de G, temos que

G/N e p - nilpotente.

Como P nao e abeliano, temos 1 6= P ∩ G′ e podemos considerar N como sendo o

unico subgrupo normal minimal contido em P ∩G′. Alem disto, temos Op′(G) = 1. Caso

contrario, como G/Op′(G) satisfaz Xp, G/Op′(G) seria p - nilpotente e logo G tambem

seria p - nilpotente.

Seja Op′(G/N) = Q0/N . Entao Q0 = QN onde Q e um p′ - grupo e Q ∩N = 1. Faca

37

C = CQ(N). Entao C � CN � QN = Q0 � G, assim C e subnormal em G. Portanto

C ≤ Op′(G) e CQ(N) = 1.

Mostraremos agora que N tem um complemento em G. De fato, pelo Teorema de

Schur-Zassenhaus, N tem um complemento em Q0 = QN . Portanto, e suficiente mostrar

que CN(Q) = 1. Como [N, Q] 6= 1, segue que CN(Q) = 1 se mostrarmos que CN(Q) e

normal em G = PQ. Vejamos: Seja a ∈ CN(Q), b ∈ P , e x ∈ Q. Entao, temos que

[ab, x] = [a, x[x, b−1]]b ∈ [a, QN ]b = 1 e assim CN(Q) e normal em G.

Agora, podemos escrever P = XN com X ∩ N = 1. Seja a ∈ N e x ∈ X. Como

P e modular, 〈a〉 〈x〉 = 〈x〉 〈a〉. Isto significa que x induz um automorfismo de potencia

de ordem potencia de p no p - grupo abeliano elementar N . Temos entao [N, 〈x〉] = 1 e

N ≤ Z(P ).

Note que [N, [P, Q]] = 1, pois [N, P ] = 1. Mas CQ(N) = 1 e consequentemente

[P, Q] ≤ N . Portanto [P ′, Q] ≤ [P, Q, P ] ≤ [N, P ] = 1. Segue que P ′ � PQ = G, logo

N ≤ P ′ pois P ′ 6= 1 e N e o unico subgrupo normal minimal de G contido em P ∩ G′.

Daı temos [N, Q] ≤ [P ′, Q] = 1, uma contradicao.

�

Seja G um grupo. Dizemos que um subgrupo H e pronormal em G se para cada

elemento g de G, os subgrupos H e Hg sao conjugados em 〈H, Hg〉.

Lema 3.1.2. Seja H um subgrupo pronormal de um grupo G e seja K um subgrupo de

G contendo H. Entao H e subnormal em K se, e somente se, H e normal em K.

Demonstracao: Seja H subnormal em K. Podemos assumir que existe um subgrupo

L de G tal que H e normal em L e L e normal em K. Seja x qualquer elemento de K.

Entao Hx esta em L e assim 〈H, Hx〉 e um subgrupo de L. Temos que H e pronormal em

G, logo, existe um elemento y em 〈H, Hx〉 tal que Hy = Hx. Como H e normal em L e

y esta em L, temos Hx = H. Portanto H e normal em K.

�

O proximo teorema relaciona a condicao Xp com pronormalidade

38

Teorema 3.1.4. Um grupo G satisfaz Xp se, e somente se, um p - subgrupo de Sylow P

de G e modular e todo subgrupo normal de P e pronormal em G.

Demonstracao: Assuma que o grupo G satisfaz Xp. Pelo teorema 3.1.3, um p - subgrupo

de Sylow P de G e abeliano ou G e p - nilpotente.

Suponha primeiramente que P nao e abeliano. Logo G e p - nilpotente, o que implica

que Op′(G) e um subgrupo de Hall normal em G, entao G = POp′(G). Seja P0 um

subgrupo normal de P e seja g ∈ Op′(G). Entao P0Op′(G) = P g0 Op′(G) e P0, P g

0 sao

p - subgrupos de Sylow de J = 〈P0, Pg0 〉. Portanto eles sao conjugados em J , e P0 e

pronormal em G.

Agora assuma que P e abeliano. Sejam P0 ≤ P e J = 〈P0, Pg0 〉 onde g ∈ G. Seja

P1 um p - subgrupo de Sylow de J contendo P0. Entao P gx−1

0 ≤ P1 para algum x ∈ J .

Seja Q um p - subgrupo de Sylow de G contendo P1. Como P e abeliano, Q tambem e

abeliano e entao P0 � Q e P0 � Qxg−1. Portanto, Q e Qxg−1

sao conjugados em NG(P0),

ou seja, Q = Qxg−1n onde n ∈ NG(P0). Assim, xg−1n ∈ NG(Q). Como G satisfaz Xp, P0

e normal no NG(Q) pelo lema 3.1.1. Portanto, P g0 = P x

0 , logo P0 e pronormal em G.

Inversamente, assuma que um p - subgrupo de Sylow P de G e modular e todo subgrupo

normal de P e pronormal em G. Pelo lema 3.1.1, e suficiente mostrar que os p′ - elementos

de NG(P ) induzem automorfismos de potencia em P . Seja P0 ≤ P . Se P0 e normal em

P , entao P0 e pronormal em G, e isso implica que P0 e normal em NG(P ). Assim, se P e

abeliano, todo subgrupo de P e normal em P , logo pronormal em G, e portanto normal

no NG(P ). E o resultado segue.

Agora assuma que P nao e abeliano. Entao, temos P = 〈x〉A, onde A e abeliano e

ax = a1+pipara todo a ∈ A, i inteiro positivo. Se N�P , entao por hipotese N e pronormal

em G e deste modo N � NG(P ). Seja g um p′ - elemento de NG(P ). Entao g induz

automorfismos de potencia em P/P ′ e em A. Se P = P ′[P, g], entao [P, A] ≤ [A, [x, g]] = 1

pois automorfismos de potencia comutam. Logo temos a contradicao P ′ = 1. Portanto

P 6= P ′[P, g]. Como g e um p′ - elemento, g centraliza P/P ′ e assim [P, g] = 1. Isto

mostra que G satisfaz Xp.

�

39

O ultimo resultado desta secao, mostra que se G satisfaz a propriedade Xp, entao

qualquer subgrupo de G tambem satisfaz Xp.

Corolario 3.1.2. A propriedade Xp e fechada a subgrupos.

Demonstracao: Sejam G um grupo que satisfaz Xp e H um subgrupo de G. Se G

tem p - subgrupos de Sylow nao abeliano, entao, pelo teorema 3.1.3, G e p - nilpotente,

consequentemente H e p - nilpotente e portanto satisfaz Xp.

Assuma que G tem p - subgrupos de Sylow abelianos. Seja Q um p - subgrupo de

Sylow de H e seja Q0 ≤ Q ≤ P , onde P e um p - subgrupo de Sylow abeliano de G. Entao

Q0 e normal em P e pelo teorema 3.1.4, e pronormal em G, e portanto em H. Novamente

pelo teorema 3.1.4, H satisfaz Xp.

�

3.2 Propriedade Cp

Diremos que um grupo G satisfaz a condicao Cp, onde p e um primo, se todo subgrupo

de um p - subgrupo de Sylow P de G e normal no normalizados de P em G. Nosso

objetivo nesta secao e demonstrar que um grupo finito que satisfaz Cp, para todo primo

p, e um T - grupo soluvel. Para tanto expomos dois resultados preliminares conectando

a condicao Cp com a nocao de p - nilpotencia.

Teorema 3.2.1. Se o grupo G satisfaz Cp, onde p e o menor primo dividindo a ordem

de G, entao G e p - nilpotente.

Demonstracao: Como G satisfaz Cp, temos que todo subgrupo P de um p - subgrupo

de Sylow de G e permutavel no NG(P ). Entao G satisfaz Xp. E, como p e o menor primo

dividindo a ordem de G, pelo teorema 3.1.1, G e p - nilpotente.

�

A solubilidade dos grupos de ordem impar induz o seguinte resultado:

40

Corolario 3.2.1. Um grupo finito satisfazendo C2 e soluvel.

Observacao 3.2.1. O grupo alternado de grau 5 satisfaz C3 e C5 mas nao C2, assim a

hipotese que p e o menor primo dividindo a ordem de G nao pode ser omitida no teorema

3.2.1.

Seja p um primo. Dizemos que um grupo e p - perfeito se ele nao tem p - fatores

abelianos nao triviais. Um grupo finito que e ambos, p - nilpotente e p - perfeito tem

ordem prima com p, logo estas propriedades representam extremos de comportamentos

para grupos finitos. Interessante e que a condicao Cp fornece um grupo finito para um

desses extremos, ou seja

Teorema 3.2.2. Se um grupo finito G satisfaz Cp, entao G e p - nilpotente ou e p -

perfeiro.

Demonstracao: Seja P um p - subgrupo de Sylow de G e seja N = NG(P ). Se P esta no

centro de N , pelo Criterio de Burnside 1.1.12, G e p - nilpotente. Assim podemos supor

que [P, x] 6= 1 para algum x ∈ N . Podemos tambem assumir que p > 2, pois se p = 2, pelo

teorema 3.2.1, G seria novamente p - nilpotente. Portanto, P e abeliano e pelo teorema

1.1.3 existe um inteiro m > 0 tal que ax = am para qualquer a ∈ P . Se m ≡ 1 (mod p),

temos mpi ≡ 1 (mod pi+1), onde i e inteiro positivo e os automorfismos induzidos em

P por x tem ordens potencias de p. Como |N : P | e p sao relativamente primos, esses

automorfismos sao iguais ao automorfismo trivial. Absurdo, pois [P, x] 6= 1. Portanto

m 6≡ 1 (mod p) e assim 〈[a, x]〉 = 〈am−1〉 = 〈a〉 para todo a ∈ P . Consequentemente,

temos P ≤ G′, o que mostra que G e p - perfeito.

�

Passaremos agora a demonstracao do principal resultado desta secao.

Teorema 3.2.3. Um grupo finito G que satisfaz Cp, para todo primo p, e um T - grupo

soluvel.

Demonstracao: Suponha que G e um grupo finito de menor ordem tal que G satisfaz

Cp para todo primo p e, contudo, G nao e um T - grupo soluvel. Seja p o menor primo

41

dividindo a ordem de G. Logo, pelo teorema 3.2.1, G e p - nilpotente. Podemos escrever

G = PH onde H / G, H ∩ P = 1 e P e um p - subgrupo de Sylow de G. A ordem de

H e o ındice de H em G sao relativamente primos, assim H satisfaz a condicao Cp, para

todo primo p, e e um T - grupo soluvel, pela minimalidade da ordem de G. Entao, G

e certamente soluvel, e para obter uma contradicao temos somente que mostrar que G e

um T - grupo.

Suponha que H e nilpotente. Como H tem ordem impar, e portanto abeliano. Seja

q um primo dividindo a ordem de H. Entao Q, a componente q - primaria de H, que

e o conjunto dos elementos de H cujas ordens sao potencias de q, [[17] pag. 149]), e o

unico q - subgrupo de Sylow de G. Portanto, cada subgrupo de Q e normal em G, pois

G satisfaz Cq. Podemos entao escrever G = KQ com K ∩ Q = 1. K satisfaz a condicao

Cp, para todo primo p, e e portanto um T - grupo soluvel, pela minimalidade da ordem

de G. Assim G/Q e um T - grupo. Daı, pelo lema 2.4.1, G e um T - grupo soluvel, uma

contradicao.

Agora suponhamos que H nao e nilpotente, assim existe um primo q dividindo a ordem

de H tal que H nao e q - nilpotente. Como H e um T - grupo soluvel, H ′ e abeliano e o

teorema 3.2.2 mostra que H e q - perfeito. Assim H/H ′ tem ordem relativamente prima

com q. Analogo ao caso anterior, a componente q - primaria de H ′, e o unico q - subgrupo

de Sylow de G e cada subgrupo de Q e normal em G. Pela minimalidade da ordem de G,

G/Q e T - grupo e novamente pelo lema 2.4.1, G e um T - grupo soluvel.

�

Os proximos resultados mostram que existe uma relacao entre a propriedade Cp e a

pronormalidade de p - subgrupos.

42

Lema 3.2.1 (J. S. Rose). Um grupo finito G satisfaz Cp se, e somente se, todo

p - subgrupo e pronormal em G.

Demonstracao: Assuma que o grupo G satisfaz Cp, e seja P0 qualquer p - subgrupo de

G. Seja g um elemento de G, mostraremos que P0 e P g0 sao conjugados em J = 〈P0, P

g0 〉.

Considere P1 um p - subgrupo de Sylow de J contendo P0. Entao para algum x ∈ J ,

temos P g0 ≤ P x

1 . Portanto, P0 e P gx−1

0 estao ambos contidos em P1.

Agora, considere P um p - subgrupo de Sylow de G contendo P1. Como G satisfaz Cp,

P0 e P gx−1

0 sao ambos normais em P e portanto sao conjugados em NG(P ). Novamente

pela condicao Cp, temos P0 = P gx−1

0 e assim P g0 = P x

0 .

Reciprocamente, suponha que todo p - subgrupo de G e pronormal. Sejam P0 um p -

subgrupo de G, P um p - subgrupo de Sylow de G contendo P0 e N = NG(P ). Temos que

P0 e subnormal em P , logo e subnormal em N . Portanto, pelo lema 3.1.2, P0 e normal

em N e G satisfaz Cp.

�

3.3 Pronormalidade e os T - grupos Soluveis

Como vimos anteriormente, um subgupo H do grupo G e pronormal em G se para todo

g pertencente a G, os subgrupos H e Hg sao conjugados em 〈H, Hg〉. Nesta secao,

mostraremos que todos os subgrupos cıclicos de ordens potencias de um primo sao pronor-

mais em G se, e somente se, G e um T - grupo soluvel. Para tanto, demonstraremos um

lema importante que usaremos adiante.

Lema 3.3.1. Seja G um grupo finito. Seja M um p′ - subgrupo normal de G e seja P

qualquer p - subgrupo de G. Entao P e pronormal em G se, e somente se, PMM

e pronormal

em GM

.

Demonstracao: Suponha que P e um p - subgrupo pronormal em G. Entao para

qualquer elemento x em G, P e P x sao conjugados em 〈P, P x〉 e assim PMM

e P xMM

sao

conjugados em 〈P,P x〉MM

=⟨

PMM

, P xMM

⟩. Portanto, PM

Me pronormal em G

M.

43

Reciprocamente, suponha que PMM

e pronormal em GM

. Entao para qualquer elemento

xM em GM

, os subgrupos PMM

e P xMM

sao conjugados em 〈P,P x〉MM

. Assim, existe um elemento

y em 〈P,P x〉MM

tal que P yMM

= P xMM

e temos P yM = P xM . Portanto, 〈P y, P x〉 e um

subgrupo de P xM e como P x e um p - subgrupo de Sylow de P xM , P y e P x sao subgrupos

de Sylow de 〈P y, P x〉. consequentemente, existe um elemento z em 〈P y, P x〉 tal que

P yz = P x. Temos 〈P y, P x〉 ≤ 〈P, P x, y〉 = 〈P, P x〉 e yz esta em 〈P, P x〉 o que mostra que

P e P x sao conjugados em 〈P, P x〉.�

O proximo teorema apresenta tres implicacoes muito interessantes na caracterizacao

dos T - grupos soluveis. Tais implicacoes relacionam um T - grupo soluvel G com a

pronormalidade de seus subgrupos.

Teorema 3.3.1. Seja G um grupo finito. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(i) G e um T - grupo soluvel;

(ii) Todo subgrupo de G e pronormal em G;

(iii) Todos os subgrupos de G de ordens potencias de um primo sao pronormais em G;

(iv) Todos os subgrupos cıclicos de G de ordens potencias de um primo sao pronormais

em G.

Demonstracao: Iniciaremos a demonstracao pela implicacao de (i) para (ii). Seja G

um T - grupo soluvel de menor ordem tal que nao satisfaca (ii). Pelo teorema 2.4.1,

L = γ∗(G) e um subgrupo de Hall abeliano normal de G, e ainda todo subgrupo de L e

normal em G. Seja K = L ∩ Q 6= 1, onde Q e um subgrupo qualquer de G, entao K e

normal em G e pela minimalidade da ordem de G, Q/K e pronormal em G/K. Portanto

Q e pronormal em G. Podemos entao supor que K = 1.

Considere o subgrupo QL. Temos que QL e normal em G. Assim, vale que (QL)g =

QgL = QL, para todo g pertencente a G e 〈Q, Qg〉 ≤ QL. Como 1 = (| 〈Q,Qg〉 : Q|, |Q|) =

(| 〈Q,Qg〉 : Qg|, |Qg|), temos que Q e Qg sao subgrupos de Hall de 〈Q,Qg〉. Logo, pelo

teorema de Schur - Zassenhaus 1.1.4, Q e Qg sao conjugados em 〈Q,Qg〉. Portanto, Q e

pronormal em G.

As implicacoes de (ii) para (iii) e de (iii) para (iv) sao obvias. Resta provar entao a

44

implicacao de (iv) para (i).

Suponha que G e um contra - exemplo de ordem mınima, ou seja, G satisfaz (iv)

mas nao e um T - grupo soluvel. Logo, todos os subgrupos proprios de G sao T -

grupos soluveis, consequentemente sao supersoluveis. Em particular, todos os subgrupos

maximais de G sao supersoluveis. Temos entao que G e soluvel, pelo teorema 1.2.1.

Pela hipotese, G nao e um T - grupo, logo existe um subgrupo H de ordem mınima tal

que H e subnormal em G mas nao e normal em G. Seja K um subgrupo normal maximal

em H, onde |H/K| = p. Entao K e subnormal e, portanto, normal em G. Notemos que

K e unico subgrupo normal maximal de H com |H/K| = p.

Como H e um T - grupo soluvel, H e supersoluvel. Logo H e q - nilpotente, onde q e

o menor primo divisor da ordem de H. Entao, existe Hq um q′ - subgrupo normal de H.

Note que q = p, pois se q 6= p existira um subgrupo K1 normal em H tal que |H/K1| = p,

o que e um absurdo pela unicidade de K.

Finalmente, seja P um p - subgrupo de Sylow de H tal que H = PHp. Entao P e

cıclico e pela propriedade (iv), P e pronormal em G e PHp/Hp e pronormal em G/Hp,

pelo lema 3.3.1. Mas PHp = H. Logo, H/Hp e pronormal em G/Hp, e ainda H/Hp e

subnormal em G/Hp. Portanto, pelo lema 3.1.2, H/Hp e normal em G/Hp e entao H e

normal em G. Concluımos que G e um T - grupo soluvel.

�

Observacao 3.3.1. Seja G um grupo finito cujos subgrupos de Sylow sao cıclicos. E

claro que todos subgrupos de G de ordens potencias de um primo sao pronormais em G e

assim, pelo teorema acima, G e um T - grupo soluvel. Isto mostra que este ultimo teorema

tambem da uma importante caracterizacao dos T - grupos souveis finitos.

Uma questao natural a se fazer e se existe uma caracterizacao similar para

PST - grupos soluveis. Se considerarmos o grupo G = S4 e S(p) um p - subgrupo

de Sylow de G. Entao, temos S(2) = NG(S(2)) = D8 e NG(S(3)) = S(3). Daı, todos os

normalizadores dos subgrupos de Sylow de G sao PST - grupos, mas G nao e. Por causa

deste exemplo, fica difıcil imaginar uma caracterizacao local para PST - grupos.

45

Apesar dessa dificuldade alguns autores vem discutindo versoes locais para caracter-

izacao dos PST - grupos, como Ballester - Bolinches e Esteban - Romero, em [3]. Nesse

trabalho, um grupo soluvel G e um PST - grupo se, e somente se, G e um PSTp - grupo

para todo primo p (G e um PSTp - grupo se todo subgrupo subnormal p′ - perfeito em G

permuta com todo p′ - subgrupo de Hall de G.).

46

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