Guia Mate1 2010 II Final

7/27/2019 Guia Mate1 2010 II Final

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INTRODUCCION

La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica I para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica yel rea de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su

elaboracin est decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de

enseanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemtica I, en la Unidad Acadmica de

Estudios Generales.

Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de

cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre

acadmico 2010 - II, por lo que est dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo

correspondiente. Estas unidades son: Lgica matemtica y conjuntos, los nmeros

reales, funciones, tpicos de geometra analtica y aplicaciones de la programacin

lineal.

Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento

bsico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formacin profesional y

acadmica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la

Asignatura de Matemtica I, as como tambin el de mejorar los procesos de

enseanza aprendizaje.

La Coordinacin del rea de Matemtica


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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

ESTUDIOS GENERALES 2

SEMANA 1

LGICA MATEMTICA

1. ENUNCIADO. Es toda oracin o frase que exprese alguna idea, a travs de

afirmaciones, negaciones, preguntas, rdenes, saludos, emociones, etc.

2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no

tiene la propiedad de ser verdadero o falso.

3. PROPOSICIN LGICA. Una proposicin es un enunciado cuya propiedad

fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Por tanto

no puede ser ambigua.

Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p, q,

r, s, llamadas variables proposicionales.

4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposicin, su valor de verdad se denota con V(p)

y escribimos:

V(p) = V si el valor de p es verdadero y

V(p) = F si el valor de p es falso.

5. PROPOSICIN SIMPLE. Es aquella proposicin lgica que consta de un solo sujeto y

un predicado. Se llaman variables proposicionales.

6. PROPOSICIN COMPUESTA. Es aquella proposicin lgica compuesta de dos o ms

proposiciones simples.

7. OPERADORES LGICOS. Son signos que representan palabras y que son usadospara relacionar proposiciones. Tenemos:

- Conjuncin

- Disyuncin dbil o inclusiva

- Disyuncin fuerte o exclusiva

- Condicional

- Bicondicional


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- Negacin ~

8. TABLAS DE VERDAD.

9. SIGNOS DE AGRUPACIN. Los signos de agrupacin ( ) [ ] { }, , se usan en lgica

cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos. Otra finalidad de estossignos es darle mayor o menor jerarqua a los operadores.

10. FRMULA LGICA. Es una combinacin de variables proposicionales y operadores

lgicos. Se evala mediante tablas de verdad.

Las frmulas lgicas o esquemas moleculares, se evalan mediante tablas de valoresde verdad, el nmero de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n es elnmero de proposiciones.

Si al evaluar una frmula lgica resulta que todos los valores de verdad de su operadorprincipal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIN.

Si es una combinacin entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene unaCONTINGENCIA

CONJUNCIN

P Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

DISYUNCINDBIL

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

DISYUNCINFUERTE

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

CONDICIONAL

P Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

BICONDICIONAL

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

NEGACIN

p ~ p

V

F

F

V


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EJERCICIOS

I. De las siguientes expresiones, indicar cules son proposiciones lgicas, justificar.

1. Hace calor!2. Todo nmero entero es negativo

3. Silencio!

4. 4 2 5x <

5. Viajo el fin de semana.

6. Las rosas son hermosas.

7. El verano es una estacin playera.

8. 8 4 6x +

9. El nmero 333 es divisible por 3.

10. 3 8 1 2 3+ = + +

11. Qu edad tienes?

12. Viva el Per!

13. Prohibido fumar

14. 3 1 7 2x x+

15. 3 4 10x y+ =

16. 6 es un nmero primo o 3 en un nmero impar.

II. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. O Alan Garca es el Presidente del Per o es el Presidente del Congreso.

2. Lima es la Ciudad de los Virreyes y Arequipa es la Ciudad Blanca.

3. 10 es mltiplo de 3 y 30 es divisor de 600

4. Noviembre tiene treinta das.

5. El da tiene 24 horas y una hora tiene 60 minutos.

6. ( )2 2 20.25 0.5 9 3 2 3 5 = = + =

7. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 225 5 25 12 13 8 6 11 = = =

8. ( )23 21 3 5 12 3 3

3 2 6 8

+ = > =

9. ( )2 21

5 7 5 3 7 2 0.425

< = =

10. ( )2 2 20.36 0.6 4 2 5 3 4 = = =


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11. ( ) ( ) ( )2 2 2 016 4 6 30 3 3 5 3 = = =

12. ( ) ( ) ( ) ( )22 0 1 2 249 7 2 0 x y x y = = + = +

13. ( )2 2

(5 1 6 10) 2 4+ = <

14. ( )53

41 22 5 1

3 22

4

+

+ = = +

15. ( ) ( ) ( )3 2 245 67 34 4 30 23 5 4 3 > = =

III. Establecer la tautologa, la contradiccin y la contingencia de las siguientesproposiciones:

1. ( ) ( ) ( )~p q p q p q

2. ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~p q p q p q

3. ( ) ( )~ ~ ~p q p r

4. ( ) ( ) ( )~p q p r q p

5. ( ) ( )~ ~p q p q

6. ( ) ( ) ( )p p q r p r

7. ( ) ( ) ( ){~ p p q r p r

8. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r r p q

9. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r p q r

10. ( ) ( )~ ~ ~ ~p r p q r

11. ( ) ( ) ( ){ }~p V q V p q p

12. ( ) ( ) ( ){ }~ ~p q p q p q V

13. ( ) ( ){ }~ ~ ~p q V V p V V V


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14. ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p p q

IV. De la falsedad de ( ) ( )~ ~p q r s deduzca el valor de verdad de:

1. ( ) ( )~ ~ ~p q q p

2. ( ) ( )~ ~r q q q r s

3. ( ) ( )~r s q p s

V. Si ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~p r q s r s es verdadero, determine el valor de verdad

de:

1. ( ) ( ) ( )~p q q p r s

2. ( ) ( ) ( )~ ~q r s q p r

3. ( ) ( )q V p q F

VI. Si ( ) ( )p q q r es falso, determinar el valor de:

1. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r p r p

2. ( ) ( )~ ~w t x p q

3. ( ) ( )p F q V

VII. Si el esquema ( ) ( ) ( )p q r s p s es falso, hallar el valor de:

1. ( ) ( )~ ~ ~p q s p r s

2. ( ) ( )~ ~w t p p q u

3. ( ) ( ) ( )~p q q p p q


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CUANTIFICADORES

FUNCIN PROPOSICIONAL. La funcin proposicional es un enunciado abierto de la forma( )P x , es decir, se trata de una expresin que contiene alguna variable que al ser sustituida

por un valor particular se convierte en proposicin.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x + > es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P + > es una proposicin falsa

2

(3) : 3 3 10P + > es una proposicin verdadera

CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto ofuncin proposicional en una proposicin para lo cual su misin es indicar cuntos

elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta funcin proposicional.

1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por se emplea para afirmar quetodos los elementos de un conjunto cumplen con determinada funcin proposicional.

Notacin:

Ax

:, se lee: Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que

2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al

menos un elemento de un conjunto cumple con determinada funcin proposicional.Notacin: Ax /, se lee: Existe algn x que pertenece al conjunto A tal que se

cumple que

NEGACIN DE LOS CUANTIFICADORES.

[ ] :)(/~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un existencial da un universal

[ ] /)(:~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un universal da un existencial

NOTA.

En general, la proposicin universal ( ):x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo es,

es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos unelemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .

En general, la proposicin existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un

elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningn elemento de A cumple con ( )P x , estoes, todo elemento de A no cumple ( )P x .


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EJERCICIOS

I. Dado el conjunto { 3, 2, 1, 0,1, 2, 3}A = . Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

1) AxAx + 5/ 2) 2: 5 6 0x A x x =

3) x B /4

82

x 4) x B / 2 10 2x

5) x B : 4 61

x

x

=

+6) x A : 2 4 5x +

II. Consideremos el conjunto: { }/ 4 7A x x= < 2) x A / 4 2 12x + =

3) x A : 3 2 6x + 4) x A / 55

23>

x

5) x A / 72

13>

x6) x A : 34 5 6x >

7) x A / 2 3 13x > 8) x A : 3 9 24x

9) x A / 5

5

2>

x10) x A / 2( 8)( 1) 0x x+ + =

III. Dado el conjunto { 2, 1, 0,1, 3, 4, 5, 7}B = . Negar cada un de las siguientesproposiciones y dar su valor de verdad:

1) x B : 2 5 16x + > 2) x B : 2 3 26x =

3) x B / 5 1 38x + = 4) x B : 4 1 55

x +<

5) x B / 102 3

2

x>

6) x B / 2 2 45x

7) x B : 4 2 30x 8) x B / 5 3 10x +

9) x B : 2 24

x

x

=

10) x B / ( 6)( 9) 0x x + =


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SEMANA 2

CONJUNTOS

Agrupaciones?, para qu?

En la vida diaria y en la vida profesional, nos encontramos ante situaciones en las cuales demanera natural agrupamos objetos, personas, proyectos, etc., que tienen alguna cualidad encomn. Por ejemplo los compaeros de la escuela, las enfermedades del corazn,estudiantes de matemtica, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas

agrupaciones y sus componentes, por eso la matemtica se encarga de estudiarlas y esteestudio es conocido como Teora de Conjuntos.

1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una

coleccin bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamoselemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayscula, sus elementosse encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado

por extensin.

2. DETERMINACIN DE CONJUNTOS.

2.1. POR EXTENSIN. Aqu se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista deelementos la escribimos entre llaves.

2.2. POR COMPRENSIN. Aqu se escribe una propiedad que cumplen todos loselementos que estn en el conjunto.

3. RELACIN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto sedice que este elemento pertenece al conjunto y se denota por pertenece.

4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee es

subconjunto de est contenido en. Un conjunto A es subconjunto de B si y slo sicada elemento de A tambin es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto A.

5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son grficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas.En el caso de la teora de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usangeneralmente crculos para graficar los conjuntos y un rectngulo para el conjuntouniversal.

6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o nmero de elementos de un conjuntoy se denota por ( )n A .


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7. CONJUNTOS ESPECIALES.

7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con loscuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es

muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinar nuestromarco de referencia.

7.2. CONJUNTO VACO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por { .

7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en

comn.

7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto

formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por ( )P A y el nmero deelementos de ( ) 2nP A = , donde n es el nmero de elementos de A .

7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada.

Por ejemplo el conjunto de nmeros reales.

EJERCICIOS:

I. Expresar por extensin los siguientes conjuntos:

1. ( ){ }2/ 1 ; ; 1 4A x x n n n= =


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II. Resolver:

1. Si { }/ 1 5A x x= < . Determinar ( )P A .

2. Si { }/ 0 4A x x= . Determinar ( )P A .

3. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas:

a) { }0 = b) { } { }0 =

c) { } = d) { }{ }

4. Dado el conjunto { }{ }3,4, 6 ,8A = , colocar verdadero o falso, segn corresponda:

a) { }3 A b) { }4 A c) 8 A

d) { }3,8 A e) A f) { }{ }6 A

g) { } A h) { }6 A i) { }6 A

5. Cules de los siguientes conjuntos son vacos:

a) { }/A x x= b) { }3/ 3B x x= =

c) ( ){ }/ 1/C x x= d) { }2/ 4 0D x x= + =

6. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) { }/ 6 7A x x= <


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SEMANA 3

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

1. UNIN. Dado dos conjunto A y B, la unin de A y B se define como:

{ }/A B x x A x B =

Siempre se cumple que A A =

2. INTERSECCIN. Dado dos conjuntos A y B, la interseccin de A y B se define como:

{ }/A B x x A x B =

Dos conjuntos son disjuntos si A B = . Adems siempre se cumple que A = .

3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se definecomo:

{ }/A B x x A x B =

A BU

A BU

A BU


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4. DIFERENCIA SIMTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simtrica de A y B sedefine como:

( ) ( ){ }/A B x x A B x B A =

5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , sedefine el complemento de A como:

{ }/'A x x U x A=

Siempre se cumple que: 'U = y ' U = .

EJERCICIOS

I. Resolver:

1. Sean los conjuntos: { }/ 2 9U x x=


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3. Sean los conjuntos ( )( ){ }* / 2 1 0A x x x x= + = ,

( ) ( ){ }2 2/ 1 4 0B x x x= = y U A B= , determine ( ) 'E A B=

4. Considerando { }/ 4 6U x x= < , { }/ 0 4A x x x=


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8. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican bsquet, 14ftbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican ftbol y bsquet

pero no tenis, 1 practica bsquet y tenis pero no ftbol, 3 practican slo tenis.Cuntos alumnos practican slo 1 deporte? .

9. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personasmanifestaron no consumir ninguno de ellos. Cuntos consumen los dos productos?

10. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente informacin: 15 personas que noestudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan.Cuntas personas realizan una sola actividad? .

11. En una reunin hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente informacin: los

que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no

fuman ni toman son 12. Cuntos solamente toman?.

12. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:

60 casas tenan aparatos de TV a color 30 casas tenan equipo de sonido 20 casas tenan DVD 21 casas tenan TV a color y equipo de sonido. 15 casas tenan TV a color y DVD 4 casas tenan equipo de sonido y DVD.

Cuntas casas, como mximo, no tenan estos aparatos?

13. Un grupo de alumnos de Administracin ha planeado realizar una investigacin

sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pelculas A, B yC. Despus de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente informacin: 20 hanvisto la pelcula A; 17 han visto la pelcula B; 23 han visto la pelcula C. 6 han vistolas pelculas A y B, 8 han visto las pelculas B y C, 10 han visto las pelculas A y C.Adems se sabe que 2 han visto las tres pelculas. Cuntas personas han visto

una sola pelcula?, Cuntas personas han visto al menos dos pelculas?

14. En un conjunto de 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan y otras que ni

estudian ni trabajan. Si hay 15 personas que no estudian ni trabajan, 10 personasque estudian; 3 personas que estudian y trabajan. Cuntas personas sloestudian? , Cuntas personas slo realizan una actividad?

15. En una encuesta realizada a personas adultas de la regin norte del pas, conrespecto al gnero de cine que preferan, se obtuvo la siguiente informacin: 120prefieren la comedia; 100 prefieren el gnero policial; 50 les gusta el suspenso. 10prefieren los gneros policial y comedia; 16 prefieren comedia y suspenso ; 16prefieren suspenso y policial. 6 les agrada los tres gneros.

Si se entrevist a un total de 290 personas, Cuntos optan por uno slo de estos

gneros? , Cuntos slo prefieren la comedia?


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16. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la msica rock o salsa. La cantidad de los

que gustan el rock es el quntuplo de los que slo gustan la salsa; la cantidad de los

que slo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos gneros. Cuntos

alumnos slo gustan de un gnero?

17. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientesespecialidades: postres, cremas y pastas. Obtenindose como resultado que: 30ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20

ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no encremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 gan en las tres especialidades. Ademsse sabe que el nmero de los que ganaron slo postres es la mitad de los queganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de

las especialidades.

18. Para obtener la licencia de conducir, hay que aprobar necesariamente 3 exmenes:el mdico, el de manejo y el de reglas de trnsito. En una evaluacin de 80 personas

que solicitaron la licencia de conducir, aprobaron el examen mdico 26, y son tantos

como los que aprobaron el examen de manejo, pero la mitad de los que aprobaron el

examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen mdico y el de manejo; 8

aprobaron el examen mdico y el de reglas, 10 aprobaron el examen de manejo y

reglas. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir, ninguno aprob

los tres exmenes), determine cuntos aprobaron slo uno de los exmenes.

19. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de lecturasde las Revistas Magaly TV, Gisela y Caretas, se obtiene el resultado siguiente: todos

leen alguna de las tres revistas, 75 leen Magaly TV , 15 leen Magaly TV y Gisela pero

no Caretas, 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV , 20 leen slo Caretas. El

nmero de personas que leen las tres revistas es 12 y el nmero de los que leen Magaly

TV y Caretas es el doble del nmero de los que leen las 3 revistas. El nmero de los que

leen slo Gisela es el mismo que el total de los que leen Magaly TV y Caretas.

Determine:

a) El nmero de personas que leen solamente Magaly TV .

b) El nmero de personas que leen solo dos revistasc) El nmero de personas que leen solo Magaly TV y Caretas.

20. En la Unidad Acadmica de Estudios Generales, se realiz una encuesta a un grupo

de 200 alumnos, sobre la responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas,

puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos; obteniendo los siguientes

resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas, 110 responden

tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntual

a clase; 60 responden ser responsables en sus tareas y confan aprobar sus cursos,

20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero noconfan aprobar sus cursos, 80 responden ser puntuales a clase y confan en aprobar


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sus cursos. Adems, segn la respuesta de los alumnos, se estima que 50 alumnos

son responsables, puntuales y confan aprobar sus cursos. Cuntos alumnos son

slo puntuales a clase?, Cuntos alumnos no son responsables, no llegan

puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?, Cuntos alumnos

cumplen con, por lo menos, dos de las tres preguntas?

21. Un grupo de 160 jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas

marcas de bebida gaseosa (Coca Cola, Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado

siguiente: los que beben Coca Cola son 59, los que beben Inca Kola 73 y los que

beben Pepsi 77. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22, Pepsi y Coca Cola 17,

solamente Coca Cola 30. Adems, los que beben Inca Kola y Pepsi, pero no Coca

Cola, son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. Cuntos jvenes beben

las tres bebidas?, Cuntos jvenes beben solamente una de las tres bebidas.

22. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automvil que prefieren los

peruanos, se realiz una encuesta a 310 personas obtenindose los siguientes

resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y

110 la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la

marca Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas

prefieren las marcas Nissan y Toyota. Adems se sabe que el nmero de personas

que prefieren las tres marcas, es la sptima parte de los que prefieren la marca

Volvo.

a) Cuntas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de

Automvil?

b) Cuntos personas prefieren, por lo menos, dos de las tres marcas?

c) Cuntas persona prefieren slo dos de las tres marcas de automvil?


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SEMANA 4

ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuacin son llamadas lados o miembros, y estn separados por el

signo de igualdad =. Toda ecuacin lineal con una incgnita se puede llevar a la

forma: 0ax b+ = , con 0a .

Resolver una ecuacin consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solucin es tambin llamada raz de la ecuacin siendo expresada por:a

bx

=

1. Resolver Rx

a) { } { }5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x + = +

b) [ ]4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x + + =

c) ( ) ( ) xxx 1423826 =

d) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x = +

e) ( ) ( ) ( )222 243513 = xxx3

73

xx=

f) 64

89

2

37=

+ xx

g)11 4 10

2 33 6

x xx

+ + =

h)21

53

14

98

3

72 =

+

xxx

2. Resolver las siguientes ecuaciones racionales:

a)4

2

2

=

+ x

x

x

x b)

4

1

2

2

2 2

2

=

++

x

x

xx

x


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c)82

12

4

53

2

432

=

+

+

xxx

x

x

x

d) 39

14

3

12

3 2+

=

+

+

xx

x

x

x

e)xxx

x

x

x

6

13

6

432

+=

+

+

+

f)5

22

10

111=+

xx

g)xxx 21

4

2

3

3

1

=

h)6

666

+=

y

y

yy

y

i)xx

x

x

x

x

x

5

53

5

412

+

+=

+

+

+

j)14

114

7

8

37

12 +=

+

+

+ xx

x

x

k)34

4

9

1

32

2222

+=

+

+

xxx

x

xx

x

l)65

13

12

1

82

2222

++=

+

xxxxxx

4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

a) 6 2 5 0x + =

b) 2 9 9x x =

c) 3 2 5x x+ =

d) 2 7 1x x+ + =

e) 5 2 4 2x x+ =

f) 1 1x x + =

g) 5 14 2 1x x =

h) 5 2 4 5x x x+ + = +

i) 9 10 2 3 2x x x+ + =

j) 9 7 16 7x x x+ =


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EJERCICIOS DE REPASO

1. Resolver Rx :

a) ( ) ( ) ( )43422 33 +=+ xxxx

b) 012

78

5

6

6

52

5

3

2

13

5

4=

+

xxx

c) ( )18

3

3

1

2

1

6

5+++=

xx

xx

d) ( )( ) ( )( )[ ]112112 ++=+ xxxxx

e) ( )( ) ( )4321 2 =+ xxxx

f) ( ) ( ) 522 22 =+ xx

g) 06

21

3

1

4

31 =

++

xxx

3. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a) 1

3

2

7

1

4

++=

xxx

b)9

43

33 2

=

+ x

x

x

x

x

x

c)5

8

5

7

3

51

xx

x

x +=

++

d)xxx

2

1

2

1

32

+

=

e) xxx

245

256

23

=

f)1

42

1

322

+=

+

+

xxx

x

x

x

g) 078

2

49

52

76

2222

=++

++

xx

x

x

x

xx

x

h)12

27

714

3

77

52

+

=

+ xx

x

xx


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4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

a) 5 6 16 0x = b) 2 33 3x x+ =

c) 4 6 0x x = d) 3 3y y =

e) 31 8 1 0x x+ + = f) 2 3y y+ + =

g) 2 3 2 6x x x = + + h) 4 4 2 1x x x + + =

i) 32 2 12 1

x xx

+ =

j) 314 1111

x xx

+ =

APLICACIONES

1. El ingreso mensual total de una guardera por el cuidado de x nios est dado por450I x= , y sus costos mensuales totales estn dados por 380 3500C x= + . Cuntos

nios se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otraspalabras cundo los ingresos igualan a los costos?

2. Una compaa de refinacin de maz produce gluten de maz para alimento de ganado,con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110,000 por mes y el

alimento se vende en $126 por tonelada, cuntas toneladas deben venderse para quela compaa tenga una utilidad mensual de $540,000?

3. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $20. El costode fabricacin de cada cartucho es de $12. Los costos fijos mensuales son de $8000

.Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego cuntos cartuchos debe venderel fabricante para llegar al punto de equilibrio?

4. Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado demano de obra y material es de $21 por calentador .Los costos fijos son $70,000. Si el

precio de venta de un calentador es $35.

a) Cuntos calentadores debe vender para que la compaa tenga una utilidad de

$140 000?

b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?

5. La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 yun costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60,000, determine:

a) El nmero de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90,000.

b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?c) Cul ser el costo total para esa utilidad?


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6. Suponga que los consumidores comprarn q unidades de un producto al precio de

21000

+q

dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un ingreso

de $5000?.

7. Se sabe que los consumidores comprarn q unidades de un producto si el precio es

de 10200

+q

dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un

ingreso de $4000?.


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SEMANA 5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Definicin.

Una ecuacin de segundo grado es aquella expresin en la que el exponente mximo es 2,

siendo adems racional y entera de la forma: 2 0ax bx c+ + = ; donde , ,a b c , son

nmeros reales y 0a .

Clases:

Completas: 2 0ax bx c+ + =

Incompletas: 2 0ax bx+ = donde 0c = ; 2 0ax c+ = donde 0b =

METODOS DE SOLUCION

Los mtodos para resolver una ecuacin de segundo grado son:

a) Factorizacin.

Se factoriza a travs del aspa simple. Para obtener las soluciones o races seiguala cada factor a cero:

Ejemplo:

Resolver: 032 2 =+ xx

Factorizando por aspa simple: 032 2 =+ xx

x2 3

x -1

Los factores son: 0)1)(32( =+ xx

Igualando a cero cada factor: 01;032 ==+ xx

Resolviendo se obtiene: 1;2

3== xx

El conjunto solucin es: 1;.2

3=SC


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b) Formula General:

Una ecuacin de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general:

2 4

2

b b acx

a

= donde cba

,y son los coeficientes de la ecuacin.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes : a, b y c

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la frmula general.

c) Se reducen los trminos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incgnita.

Ejemplo:

Resolver: 0682 2 =+ xx

Los valores de cba , y son: 6,8,2 === cba

Reemplazando en la F.G.)2(2

)6)(2(4)8()8( 2 =x =

4

48648 =

4

168 =

4

48

Entonces:4

481

+=x y4

482

=x 31

=x y 12

=x

El conjunto solucin es: { }1;3. =SC

EJERCICIOS

Resolver las siguientes ecuaciones:a) 05562 =+ xx b) 02814 2 =x

c) 025102 =+ xx d) 0922 =+ ww

e) xxxx 8662 22 = f) 032 2 = yy

g) 07

2

3

5 2= xx h) 053 2 = xx

i) 224

2

=+xx j) 013.13.0 2 =+ xx


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k) ( ) ( ) 872215 2 = xxxx l) )23()12( 2 +=+ xxx

m) 2)32()23( = xxx n) 512

6

1

2=

+

xx

o) 643 =+ xx p)

EJERCICIOS DE REPASO

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x 2 = 81 2) 14x2 - 28 = 0

3) (x + 6)(x - 6) = 13 4) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

5) (x + 11)(x - 11) = 23 6) x2 = 7x

7) 21x2 + 100 = - 5 8) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

9) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

11) x2 + 12x + 35 = 0 12) x2 - 3x + 2 = 0

13) x2 + 4x =285 14) 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8

15) (x + 2)2 = 1 -x(x + 3) 16)2 3 13

3 2 6

x

x+ =

17)4 2 1

5 3 24

x x

x x

+ + =

+ +18)

2

24 2

x x+ =

19)2 2

6 2 3

x x x+ = 20)

5 8 7 4

1 2

x x

x x

=

+

APLICACIONES

1. Hallar la suma de dos nmeros consecutivos tales que su producto sea igual alproducto de los dos consecutivos siguientes disminuidos en 30.

2. Si la suma de un nmero con 3 se multiplica por la diferencia de dicho nmero con 2,se obtiene el cuadrado de dicho nmero menos 2. Hallar el nmero.

3. Un terreno rectangular de 4x8 m. se usa como jardn. Se decide poner una vereda entoda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. Cul debe

ser el ancho de la vereda?


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4. Una compaa determina que si produce y vende q unidades de un producto, el

ingreso total por las ventas ser q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y

el costo fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.

5. La ecuacin de ingresos de cierta compaa es:

2

340 4I p p=

; donde p es el precioen dlares del producto que fabrica esa compaa. Cul ser el precio para que elingreso sea de $ 6000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

6. El ingreso mensual de cierta compaa est dado por ,7800 2ppR = donde p es elprecio en nuevos soles del producto que fabrica esa compaa. A que precio elingreso ser de S/. 10,000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

7. Cuando el precio de un producto es de p dlares por unidad, suponga que un

fabricante suministrar 23 4p p unidades del producto al mercado y que los

consumidores demandarn 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta

es igual a la demanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, halle el valor de p .

8. Una compaa de muebles para computadoras tiene la ecuacin de ingresosmensuales dada por: 2450 9I p p= , donde p es el precio en dlares de cadamueble. Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400dlares, si el precio debe ser mayor que 20 dlares.

9. Suponga que un comerciante vender q unidades de un producto, cuando el precio esde )110( q dlares por unidad. Determine el nmero de unidades que debe vender afin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dlares, si debe vender ms de 50

unidades.10. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dlares

por unidad, en donde qp = 150 . El costo total de producir q unidades de camisases de )401800( q+ dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a la semanapara obtener una utilidad de 1200 dlares, si el nmero de camisas debe ser mayorque 50.

11. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio dep dlares por unidad, en donde qp = 185 . El costo total de producir q unidades depantalones es de )452800( q+ dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a

la semana para obtener una utilidad de 2000 dlares, si el nmero de camisas debeser mayor que 60.


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DESIGUALDADES LINEALES

Propiedades de las desigualdades

1) Si a b a c b c< + < +

2) Si 0a b

a b y c ac bc yc c

< > < <

3) Si 0a b

a b y c ac bc yc c

< < > >

Desigualdades Lineales

0ax b+ < , a yb son constantes y 0a

< se lee menor que

se lee menor o igual que

> se lee mayor que

se lee mayor o igual que

Ejemplo 1:Resolver: 4 8 3 5x x+

Pasando las variables al primer miembro: 4 3 5 8x x+

Simplificando: 7 13x

Dividiendo entre 7: 137

x

El conjunto solucin es: 13,7

CS =

Ejemplo 2:

Resolver: 2 6 6 9x x >

Pasando las variables al primer miembro: 2 6 9 6x x > +

Simplificando: 8 3x >

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 8: 38

x <

El conjunto solucin es: 3,8

CS =


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Ejemplo 3:

Resolver: 4 3 223 2 4

x x < +

Multiplicando por 12 (MCD): 24 16 18 6x x < + Pasando las variables al primer miembro: 16 6 18 24x x <

Simplificando: 22 6x <

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 6: 311

x >

El conjunto solucin es: 3 ;11

CS= +

EJERCICIOS:

I. Resolver:

1. 3 5 5 1x x > + 2.6 3 3

(2 6)2 4

x xx

3.2 15 5 2

(2 ) (8 5 )2 3 3

xx x

< > 4.2 4

(4 2) ( 2) (4 5)3 13x x x+ +

5.3 5 2 9

3 4 12 15

x x x ++ < + 6.

3 1 911 (5 14) (2 )

2 3 5x x x < + +

7.6 3 11 14

22 5 4 5 5

x xx+ < + > 8. 4 5 6 13x x+ >

9.5 1 7( 1)

3 2

x x + 12.

1 34

2 2x x

13.3(2 2) 6 3

2 5 10

x x x > + 14. 0.1(0.03 4) 0.02 0.434x x+ +


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SEMANA 6

APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia: 0U> ; 0t tI C > No obtener prdida: 0U ; 0t tI C

1. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 aos resulta menor que 35, pero mayor que31. Cul es la edad de Juan?.

2. Miguel tiene .520S para gastar en ropa. Si compra un terno que cuesta .250S y elprecio de unas camisas es de .30S cada una, determine el mayor nmero de camisasque l puede comprar.

3. Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio unitario deventa de .18S y un costo unitario de .13S . Si los costos fijos son .300000S ,determine el nmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tengautilidades.

4. Ricardo, se dedica a la venta de sndwich de pollo. El precio de venta al pblico es de.1.50S cada uno. Tiene un costo unitario de .0.80S y costo fijo de .20,S determine el

nmero de sndwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tengaprdidas.

5. En la produccin del peridico La Nueva se tienen: costos de materia prima en.0.20S y mano de obra en .0.30S , por unidad. El costo que se hace sin importar el

volumen de ventas, es de .1000S mensual. El precio de cada peridico es .1.00.S Determine el nmero de peridicos que se deben vender para que la editorial obtengautilidades.

6. Los nios de una escuela compran q unidades de galletas Dulces al precio de

102

q+ por unidad. Cul es el nmero mnimo de unidades de galletas que deben

venderse para que el ingreso sea mayor que .130.00S ?

7. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del productoes .4S . El prximo mes el precio por unidad se incrementar en .0.50.S El fabricantequiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2 500 unidades no sea menorque .10 750.S Cul es el nmero mximo de unidades que pueden venderse estemes?

8. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta .0.2S 0 en fruta y.0.20S en otros insumos (como azcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.

Adems, debe aportar .20.00S mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza

para la preparacin de los mismos. Si los vende a .0.50S cada uno. Cuntosmarcianos debe elaborar y vender para obtener utilidades?


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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Procedimiento:

Resolver la inecuacin como si fuera una ecuacin, las races o soluciones de la ecuacin,

sern los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solucin.

Depende de la relacin de orden que tenga la inecuacin, para establecer el conjuntosolucin.

Sea la inecuacin: 02 ++ cbxax , entonces:

1) 02 =++ cbxax , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones mx =1

y nx =2

2) Como la relacin de orden es entonces el conjunto solucin ser] [; ;x m n + y m< n

Nota:

Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solucin sera: ; ;x m n +

Si la inecuacin fuera: 02 ++ cbxax se procede de la misma forma pero el conjuntosolucin estara dado por [ ],m n , en el caso de ser solo < el conjunto solucin sera

;m n .

Ejemplo:

Resolver 2 6 0x x

1) 2 6 0x x = 0)2)(3( =+ xx 31 =x 22 =x

2) Como la inecuacin es el conjunto solucin es ] [; 2 3;x +

Para analizar:

Si la inecuacin es de la forma 0)( 2 + bax el conjunto solucin es:

.

Si la inecuacin es de la forma 0)( 2 + bax el conjunto solucin es:

Cul sera el conjunto solucin si en las desigualdades cuadrticas anteriores no existe eligual?


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EJERCICIOS

Resolver:

1. 028112 ++ xx 2. 0583 2 + xx

3. 05143 2 xx 4. 04 2 x

5. 0814 2 x 6. 0344 2 ++ xx

7. 012 2 + xx 8. 0532 + xx

9. x2 - x < 0 10. 0583 2 + xx

11. 55145 2 + xx 12. 0962 + xx

13. 01682 ++ xx 14. 1211)2)(3( +++ xxx

15. 421072 ++ xxx 16. )3)(2(3)3(2 + xxx

17. 1523 22 +++ xxxx 18. 0483 2 + xx

19. 2( 4) 0x > 20. 2(2 5) 0x <


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SEMANA 7

APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRTICAS

(Produccin y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artculo cuando su precio esp dlares estn dadas por xp 3200 = . El costo de producir x unidades al mes delartculo es )5650( xC += dlares. Cuntas unidades de este articulo debern producirse

y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dlares?

Solucin.

)()( unidadporpreciovendidasunidadesI =

)3200( xxI =

23200 xxI =

El costo C (en dlares) de fabricar x unidades es xC 5650 += , la utilidad U (mensual)obtenida por producir y vender x unidades est dada por:

CIU =

)5650()3200( 2 xxxU +=

2195 3 650U x x=

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

2200U

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estndar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de ladesigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x +

Que es una inecuacin cuadrtica, por lo tanto, el conjunto solucin de la desigualdad es elintervalo cerrado [ ]8.42;2.22

Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el nmero de unidades producidas y vendidas por mesdebe estar entre 22.2 y 42.8 inclusive.

xpI =


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(Decisin de precios). Una peluquera tiene un promedio de 120 clientes semanales a uncosto actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75% en el precio, la

peluquera perder 10 clientes. Cul debe ser el precio mximo que puede cobrarse demodo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solucin.

Sea x el numero de incremento de 75% por encima de $8. Entonces el precio por corte decabello es (8 0,75 )x+ dlares, y el nmero de clientes ser de (120 10 )x por semana.

Entonces: corteporprecioclientesdenumerosemanalestotalesIngresos =

)75.08)(10120( xxI +=

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$8120 = por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x +

Simplificando

210 7,5 0x x

Por tanto la solucin de la desigualdad es el intervalo [ ]4/3,0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0,75(4/3) )=$9.00

Rpta. El precio mximo que puede cobrarse es $9.00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 = . Cuntas unidades debern

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500?

Solucin:

preciounidadesdenumerosemanalestotalesIngresos =

; 12500I

12500)5500( xx 125005500 2 xx 0125005005 2 + xx

025001002 + xx 0)50( 2 x

La solucin de la desigualdad es 50=x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI =


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EJERCICIOS

1. Si x rboles producen (60 )x frutos cada uno. Cuntos rboles habrn de

plantarse para que la prxima cosecha supere los 9000 frutos?

2. La fbrica de cierto articulo ha estimado que su ganancia en miles de dlares estadado por la expresin 2( ) 6 30 10G x x x= + donde ( x en miles) es el nmero de

unidades producidas Qu nivel de produccin le permitir obtener una ganancia de almenos S/. 14 000?

3. La demanda mensual de un cierto artculo cuando su precio es de p euros viene dada

por

=

3

200 px unidades. Los costes generales de la planta son 650 euros

mensuales y el coste de produccin de cada unidad es de 56. Qu producciones

garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 2500 euros?

4. El costo de producir x lmparas esta dado 2300 70C x x= + + . Si estas se pueden

vender a140 soles. Cuntas deben producirse y venderse para obtener utilidades

semanales de al menos 900 soles?

5. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio p por unidad, x unidades de ciertoartculo, con 120p x= . Si a la empresa le cuesta (160 15 )x+ dlares producir x

unidades, Cuntas unidades debern producirse y venderse cada mes con objeto deobtener una utilidad de al menos $1100?

6. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. Elcosto C (en dlares) de producir x unidades cada semana, est dado por

240000 300C x x= + . Cuntas unidades debern producirse y venderse a la

semana para obtener alguna utilidad?

7. Las ventas mensuales x de cierto producto cuando su precio es p dlares estdada por: 240 4p x= . El costo de producir x unidades del mismo

artculo es 700 20C x= + dlares. Cuntas unidades de ste artculo debern

producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300?

8. Si el precio p de cierto articulo depende de la cantidad demandada q y est dadopor 120 2p q= , y adems se tienen costos fijos de $300 y el costo de unidad es de

$20. Cuntas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de almenos $900?

9. Un fabricante de relojes puede producir un reloj marca TIC TAC con un costo de $15por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es x , entonces el nmero derelojes que se vende por semana es (125 )x .

Expresa el monto semanal de las utilidades del fabricante como funcin de x

Determina cual debe ser el precio de venta, si se busca que se alcance alguna utilidad.


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10. Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderseal mes en el mercado con 600 5p x= . Cuntas unidades debern venderse

cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000?

11. En el ejercicio anterior, si cuesta (800 75 )x+ dlares producir x unidades. Cuntas

unidades debern producirse y venderse con el objeto de obtener una utilidad de almenos $5500?

12. En el ejercicio 10, si cuesta (2800 45 )x+ dlares producir x unidades. A qu preciop deber venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos

$3200?

13. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmtico cuando su precio unitario es de $60.Por cada disminucin de $5 en el precio se vendern 45 unidades ms. Qu precio

mximo deber fijar para obtener ingresos de al menos $19500?

14. Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; porcada dlar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. Quprecio mximo deber fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo

menos de $ 300000?

15. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrndoles $4 porcorte. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. Quprecio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

16. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por

semana. Si sabe que por cada dlar que aumente el precio, perder cuatro clientes,Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos$2500?

17. Un comerciante puede vender 8 electrodomsticos a $15 cada uno. Por cada

incremento de $2 en el precio, deja de vender 1 electrodomstico. Cadaelectrodomstico le cost al comerciante $7, quien desea generar utilidades de al

menos $64. Qu precio mximo podr fijar y qu cantidad se vender a este precio?

18. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debevender rpidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p cntimospor kilo, vender x kilos, con 1000 20x p= . Qu precio deber fijar con el fin de

obtener ingresos de por lo menos $12000?


39/93



ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO:

El valor absoluto de un nmero real x , denotado por x , se define como:

; : 0

; : 0

x xx

x x

=


50/93



5) Dada la grfica de la funcin:

a) Hallar)0()6()2(

)3()7(

fff

ff

++

+

b) Hallar los x para los cuales se cumple que

.0)( =xf c) Halle el dominio y el rango.

d) Indique los intervalos de crecimiento ydecrecimiento.

e) Indique los intervalos en que la funcin esconstante.

f) En qu intervalos la funcin es negativa?

g) Hallar los puntos de interseccin con los ejescoordenados.


51/93



SEMANA 10

FUNCIONES ESPECIALES

Funciones especiales

1. Funcin constante.cxf =)( , donde c es una constante, ( ) =fDom , ( ) { }cfRan =

2. Funcin lineal,)( baxxf += con 0a , ( ) =fDom .

3. Funcin cuadrtica,)( 2 cbxaxxf ++= con 0a , ( ) =fDom .

4. Funcin polinomial),()( xpxf = donde )(xp es un polinomio, ( ) =fDom

5. Funcin Racional( )

( )( )

p xf x

q x= , donde )()( xqyxp son funciones polinomiales.

( ) { }0)(/ == xqxfDom

6. Funcin radical

( ) ( )nf x p x= , si n es par, ( ) 0)(: xpfDom

7. Funcin por partes o tramos( )

( )

( )

=

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf ( ) ( ) ( )21 fDomfDomfDom = ( )3fDom .

8. Funcin valor absoluto

( ) f x x= , donde, 0

, 0

x si xx

x si x

=

+ x 43>x

( ) ]3 / 4 , 2Dom f =

4 43 2


52/93



EJERCICIOS

Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( =xf

2. ( ) xxxf 22 =

3. 2518)( xxxf +=

4. 216)( xxf =

5. xxf 25)( =

6.xx

xxf

2

3)(

2

=

7.232

25)(

2

4

+=

xx

xxxf

8.x

xxxf

24)(

2+

=

9. 12

3

)( 2 +=

xx

x

xf

10.16

22)(

2

+=

x

xxf

11.1

326)(

2+

=

x

xxf

12.6

)(2

+=

xx

xxf

13. ( )2147)(

=

xxxf

14. xx

xxf 5

32

49)( +

+=

15. 21

2

)( +

= x

x

xf

16.x

xxf

26

32)(

+

=

17.12

1054)(

2

2

++

++=

xx

xxxf

18. 65)( 2 += xxxf

19. 4

65)(

2

+

+

= x

xxxf

20.

>

=

0;1

2;2)(

3xx

xxxf

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ , ( ) ( )gDomfDomgfDom =+ )(

2. Diferencia de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxgf = , ( ) ( )gDomfDomgfDom = )(

3. Multiplicacin de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxfg .= , ( ) ( )gDomfDomgfDom =).(

4. Divisin de funciones

( )

( )

( )xg

xf

xg

f=

, ( ) ( )gDomfDomgfDom =+ )( { }0)(/ = xgx

5. Composicin de funciones

( ) ( ),)()( xgfxgf = { })()()()( fDomxggDomxgfDom =

( ) ( ),)()( xfgxfg = { })()()()( gDomxffDomxfgDom =

Observacin

Las operaciones entre funciones estn definidas siempre y cuando el dominio de lasnuevas funciones sea distinto de vaco.


53/93



7321

Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x= = + hallar ))(( xgf + y ( )( )f

xg

SolucinComo ( ) ];1Dom f = y ( )Dom g = , entonces:

( ) ];1Dom f g+ = , ] { };1 2f

Domg

=

Luego:

( ) 21)()()( ++=+=+ xxxgxfxgf

2

1

)(

)()(

+

==

x

x

xg

xfx

g

f

2. Si [ ]7,3,2)( = xxxf y 3,0,4)( += xxxg . Hallar ( ) )(xgf y ( ) )(xfg

Solucin

a) { })()()()( fDomxggDomxgfDom = ( ) [ ]7,343,0 + xx

31

743

+

x

x

3,0)( =gfDom 1 0 3

Por lo tanto:( ) ( ) ( ) xxxfxgfxgf =+=+== 2)4(24)()(

b) { })()()()( gDomxffDomxfgDom =

[ ] ( ) 3,027,3 xx

21

12

320


54/93



2) Sean lasfunciones:


55/93



y

x

y

GRFICA DE FUNCIONES

1) Funcin constante

cxf =)( , c constante

( )Dom f = , ( ) { }cfRan =

3) Funcin cuadrtica

2)( xxf =

( )Dom f = , ( ) [0;Ran f = +

4) Funcin valor absoluto

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

= =


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EJERCICIOS

I. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, dominio, rango y grfica de lassiguientes funciones:

1. 5)( =xf

2. 2)( =xf

3. 32)( += xxf

4. xxf 41)( =

5. xxf 4)( =

6. 5)( = xxf

7. 13)( += xxf

8. 262)( ++= xxf

9. xxf 41)( =

10. 3)( = xxf

11. xxf 32)( =

12.x

xf2

1)( =

13.1

3)(

=

xxf

14.


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SEMANA 11

FUNCIN LINEAL

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como: 2 1

2 1

y y cambio verticalm

x x cambio horizontal

= =

Podemos caracterizar la orientacin de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

ECUACIONES DE RECTAS

Ecuacin punto pendiente

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuacin:

0 0( )y y m x x =

Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solucin.

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuacin de la recta es 4 5( 1)y x =

simplificando : 5 1L y x= .

Ecuacin que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuacin de recta

es:2 1

1 1

2 1( )

y y

y y x xx x

=


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Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).

Solucin.

Es claro que5 2 3

3 ( 1) 4

m

= =

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,

digamos el punto (3,5) se tiene la ecuacin: ( )3

5 34

y x = . Reduciendo tenemos:

3 11:

4 4L y x= + .

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:

21//LL si slo si 21 mm = .

Rectas Perpendiculares

Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la

siguiente relacin 1 2. 1m m = .

Es decir 1 2 12

1

L L mm

= si y solo si .

Ejemplo 3:

Hallar la ecuacin de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto (1,2) y es

paralela a la recta 2 3y x= .

Solucin. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x= entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuacin punto pendiente tenemos

2 2( 1) : 2y x L y x = = . Luego la ecuacin de la recta L1 perpendicular a L y que

pasa por (1,2) es L1: ( )1

2 12

y x = resolviendo tenemos L1:1 3

2 2y x= + que es la

recta perpendicular a L.


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Ejercicios

1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a) (1,1) y (2,5) b)1 3

,3 5,2 4

y

c) (-2,3) y (0,6)

2) En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuacin de la recta con lascondiciones dadas:

a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.

b) Pasa por4

2;5

y m = 5.

c) Pasa por1 6

;

5 5

y3

2

4

m =

d) Pasa por (-1,3) y (2,5)

e) Pasa por el punto3

,12

y2

7 31

2 4

m =

f) Pasa por el origen y de pendiente -4.

g) Corta al eje X en 3, de pendiente 2.

h) Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.

i) Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.

j) Pasa por (1,5) y paralela a la recta y = -x + 3.

k) Pasa por el punto (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.

l) Pasa por el punto (2, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 2) y(-1, 5).

m) Pasa por el punto (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2,6) y(9,1).

n) Que pasa por (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1

o) Es perpendicular a la recta y = -x + 2 y pasa por el punto (3,4).

p) Pasa por el punto (5,6) y perpendicular a la recta que corta a los ejes X e Y en 3 y 4respectivamente.

q) Pasa por (5, 4) y paralela al eje Y.

r) Pasa por (2, 4) y paralela al eje X.


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APLICACIONES

Demanda Lineal Oferta Lineal

m es cantidad de equilibrio

n es precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio

de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuacin de

demanda, si dicha ecuacin es lineal.

Solucin.

Segn los datos, es claro que q = 150 y p = 40; tambin q = 300 y p = 35. Por el hecho que

es lineal, el precio p y la cantidad q estn relacionados linealmente, de modo que podemosrepresentar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos ( ) ( )150,40 300,35y , hallando

as la ecuacin de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que35 40 1

300 150 30m

= =

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)

tenemos la recta 1 45430 3

p q

= + , que es la ecuacin de demanda.

q

pPendiente

negativa

q

p

Pendientepositiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


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EJERCICIOS

1) (Ecuacin de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de unproducto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $40 cada una. hallar la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el

precio por unidad cuando se requiere 35 unidades.2) (Ecuacin de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precioes de $ 25 c/u. hallar la ecuacin de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.

3) (Ecuacin de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precioes de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuacin deoferta, sabiendo que es lineal.

4) (Ecuacin de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio

es de $ 30. determine la ecuacin de oferta, sabiendo que p y q estn relacionadoslinealmente.

5) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:551

( )4

qp f q

= = .

Si la demanda de un producto es de 255, Cul ser el precio unitario (en dlares) delproducto?

6) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:2200 2

( )3

qp f q

= = . Si la demanda de un producto es de 350, Cul ser el precio

unitario (en dlares) del producto?

7) (Funcin de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda

son:90 3

( )5

pq f q

= = y ( ) 140 12q f q p= = , respectivamente, donde p est expresado

en dlares.

Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, Cul de los dos bienes tendrmayor demanda?.

Existe algn precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la

misma?

8) (Funcin de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por( ) 5 20p f q q= = y ( ) 15 120p f q q= = respectivamente. Un consumidor acude al

mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si elconsumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, Cul delos bienes debera comprar?

9) (Funcin de oferta) Una compaa va a entregar mensualmente 5000 linternas debolsillo a un precio de s/.50 la unidad; si el precio unitario es de s/ 35, ofrece 2000unidades. Suponiendo que la funcin de la oferta es lineal. Obtenga la funcin de la

oferta.


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10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinadobien son, respectivamente:

180 156 18

2

pq s p

= = y . Obtenga el punto de equilibrio.

11) (Ecuacin de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un productoes de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C esta relacionado deforma lineal con la produccin q, determine el costo de producir 35 unidades.

12) (Ecuacin de demanda). Una compaa ha analizado sus ventas y ha encontrado quesus clientes compran 10 artculos mas de sus productos por cada s/ 2,50 de reduccinen el precio unitario. Cuando el precio es de s/ 12,75 la compaa vende 500 unidades.Asumiendo que la relacin entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es lineal.Cul es la ecuacin de la demanda?

13) (Ecuacin de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una

lmpara es de s/ 2000, no hay lmparas disponibles, sin embargo, por cada s/ 1000 deaumento en el precio, se dispone de 20 lmparas ms para el mercado. Asumiendo quela relacin entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. Cul es laecuacin de la oferta?


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SEMANA 12

FUNCIN CUADRTICA

FUNCIN CUADRTICA

f es una funcin cuadrtica si y slo si puede escribirse en la forma 2( ) = + +f x ax bx c ;donde a, b y c son constantes, con 0a .

Representacin grfica de una funcin cuadrtica.

Su grfica es una curva, llamada parbola, y es simtrica respecto a la recta verticalhx = , llamada eje de simetra y con vrtice ( )khV , .

si 0>a , 2= + +y ax bx c si 0


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Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y grfica de 352)( 2 +== xxxfy

Solucin:

Primero hallamos el vrtice

Como ,2=a 5=b y 3=c , luego h= 2)2(2

8

2=

=

a

by 13)2(5)2(2)2( 2 =+=f

Entonces el vrtice es: )1,2(=V

Como 02 >=a , entonces la parbola se abre hacia arriba

Grfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y grfica de 2342)( xxxfy ==

Solucin:

Primero hallamos el vrtice

Como ,3=a 4=b y 2=c , luego h= 1)3(2

6

2=

=

a

by

4)1(3)1(42)1( 2 ==f

Entonces el vrtice es: )4,1(=V

Como 03


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EJERCICIOS

Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar lassiguientes funciones:

a) 2( ) 4 1= = +y f x x x

b) 2232)( xxxfy ==

c) 2342)( xxxfy ==

d) 2( ) 3 4= = +y k x x

e) 2( ) 2 8= = y h x x x

f) ( ) ( 3) 14= + f x x x

g) 2( ) 6 13= = + +t f s s s

h) 2( ) 2 4= = + y g t t t

i) ( ) ( 3) 14= + f x x x

j) 261)( xxxfy ++==

k) 154)( 2 +== xxxfy

l) ( )32)( +== xxxfy

m) xxxfy +== 2)(

n) 25)( xxfy ==

o) 7)( 2 +== xxfy


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APLICACIN DE LA FUNCIN CUADRTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a travs del tiempo de acuerdo a la

siguiente funcin2

24 288 64I t t= + , donde I es el ingreso en miles de dlares y t es eltiempo medido en aos.

a) En que ao se alcanzar el mximo ingreso y cunto ser ?

b) Grafique la funcin ingreso.

Resolucin:

a) 224 288 64I t t= +

Luego 2(6) 24(6) 288(6) 64I = +

(6) 800I =

El mximo ingreso se alcanzar en el 6to ao.

El mximo ingreso ser de 800 mil dlares.

b)

U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario.q cantidad.

V (h, k) =

a

bf

a

b

2,

2el vrtice de una parbola.

I

t6

800(6,800)


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APLICACIONES

1. La funcin de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( == , dondep es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de produccin que maximiza el ingreso total del fabricante.b) Determine el ingreso mximo.

2. La funcin de demanda para una compaa de seguros para autos esqqfp 132600)( == , donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando se

demandan q unidades (semanales).

a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso mximo.

c) Grafique la funcin ingreso.

3. La funcin de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp == endonde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso.

b) Determine este ingreso mximo.

c) Grafique la funcin ingreso.

4. La utilidad diaria por la venta de rboles de jardinera de un almacn, esta dada por2

( ) 169 16= + P x x x , en donde x es el numero de rboles vendidos.

a) Determine la cantidad de rboles vendidos que maximizar la utilidad.

b) Determine dicha utilidad mxima.

5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artculo est dado

por 201.012)( qqqI = soles. Determine el nmero de unidades que debe vendersecada mes con el propsito de maximizar el ingreso. Cul es el mximo ingresocorrespondiente?

6. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construccin se tiene que la

funcin ingreso se expresa como 2500100

2+=

ppI , determinar el ingreso mximode dicha empresa.

7. Un grupo de inversionistas le encarg a una compaa de investigacin de mercadoque estimara los f(t) miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los

aos 2000 y 2008, donde 20082000,)12(9

10)( = ttttf . Estime el nmero

mximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos aos. Indique el aoen que se obtuvo la mxima cantidad de alumnos.

8. Una compaa de productos de belleza estima que t meses despus de la introduccinde un nuevo perfume, h(t) miles de mujeres lo usarn, donde


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.120,360018)( 2 += ttth Estime el nmero mximo de mujeres que usarn el

producto.

9. Una fbrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio yse estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se vendern 4 carterasmenos. Si el costo de cada cartera es de $10.

a) Hallar la funcin utilidad mensual.

b) Determinar el nmero de carteras que se deben vender para obtener la utilidadmxima.

c) Graficar la funcin utilidad.

10. Los costos de produccin de una empresa que ensambla computadoras se expresamediante la funcin 600007803)( 2 += qqC , en donde q representa el nmero decomputadoras ensambladas.

a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que elcosto sea mnimo.

b) Determinar dicho costo.

c) Graficar la funcin costo.

11. Se estima que, de aqu a t aos, el nmero de personas que visitarn el parque delas leyendas ser dado por la funcin 300012030)( 2 += tttN .

a) Actualmente Cul es el nmero de personas que visitan el parque de las

leyendas?b) Determinar el ao en que ser registrado el menor nmero de visitantes.


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SEMANA 13

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Sistema de Ecuaciones Lineales.

Al conjunto de ecuaciones:

=+

=+

253

542

yx

yxse le llama sistema de 2 ecuaciones lineales

con 2 variables. Las variables o incgnitas son x e y. el problema consiste en encontrarvalores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manerasimultnea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretacin Geomtrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus grficas son rectas. Si los dibujamos enun mismo plano, existen slo 3 posibilidades:

1 .

2.

3.

y

L1

L2

(xo;yo)

xo x

L1

L2

y

x

y

x

L1L2

Un slo punto de interseccin.El sistema tiene solucin nica:

0

0

x x

y y

=

=

No hay interseccin.El sistema no tiene solucin.

Infinitos puntos de interseccin.El sistema tiene infinitas soluciones.Se le llama Solucin paramtrica.

( )

=

=

x r

r Ry f r


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Mtodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los mtodos, es

conveniente alinear los trminos en x y en y:

A. Mtodo de eliminacin por adicin

Ilustramos este mtodo para el sistema:

=+

=+

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para

esto multiplicamos a la ecuacin (1) por 3 y a la ecuacin (2) por -2, as queda un sistema

equivalente:

=

=+

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 =y que es unaecuacin lineal en la variable y, fcil de resolver: 2/11=y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11=y en cualquiera de las ecuaciones

originales (1) (2), para este caso elegimos la ecuacin (1):

=

=+

2/11

542

y

yx

5)2/11(42 =+x

que es una ecuacin lineal en la variable x, fcil de resolver, as 2/17=x . Por lo tanto, la

solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 == yx

Esta solucin cumple en ambas ecuaciones.

B. Mtodo de eliminacin por sustitucin

Ilustramos este mtodo, con el sistema:

=+

=+

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de lasvariables, en este caso despejamos la variable y, as obtenemos:

=+

=

2534

25

yx

xy

Luego sustituimos el valor de y en la ecuacin (2), resultando una ecuacin lineal, de una

variable, fcil de resolver:

2)4

25(53 =

+

xx , luego 2/17=x .


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(0,0)

(-1,1)

x + y = 0x

y

Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuacin (1) se obtiene una ecuacin lineal en lavariable y, fcil de resolver:

54)2

17(2 =+

y , luego 2/11=y .

Por lo tanto, la solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 == yx .

Esta solucin cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuacin (2) y

despejar la variable x, y proceder de manera similar.

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuacin noes lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Mtodo de eliminacin porsustitucin.

Ejemplos:

1. Resolver:

=+

=

0

2

yx

xy

Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuacin lineal.

Por ejemplo y, as:

=+

=

0

2

yx

xy

luego reemplazamos en la ecuacin no lineal: 2xx = , la cual es una ecuacincuadrtica, que al resolver se obtiene: 10 == xx .

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

s 0=x entonces 0=y ; s 1=x entonces 1=y .

Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

=

=

0

0

y

x

=

=

1

1

y

x

Forma Grfica


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2. Resolver:

+=

+=

1

1

xy

xy

Observamos que en la ecuacin lineal, la variable y est despejado. Slo queda sustituir

en la ecuacin no lineal: 1 1+ = +x x , la cual es una ecuacin con radical que nos lleva auna ecuacin cuadrtica. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 +=+ xx , entonces resolviendose tiene: 10 == xx

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

s 0=x entonces 1=y ; s 1=x entonces 0=y

Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

=

=

1

0

y

x

=

=

0

1

y

x

Forma Grfica

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

=+

=+

5123

34

yx

yxb)

=

=

5438

3625

wv

wv

c)

=+

=+

2

11

6

5

8

3

22

1

3

2

yx

yx

d)

=+

=

3

2

2

1

6

1

4

1

2

1

wz

wz

e)

=+

=+

326

6124

pq

qpf)

=+

=

1932

3

pq

qp

II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

=+

=

03

4y 2

yx

xb)

+=

+=

43

6

xy

yxc)

=

=

0

82

2

xy

yx

d)

=

=

2qp

qp

e)

2 0

3 2 1 0

p q

q p

= = f)

25

1

p q

p q

= = +

(0,1)(-1,0)

y = x+1

x

y

1= +y x


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APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.

1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuacin de oferta y una de demanda

para un producto. Si p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero de

unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

a) Oferta:3

2100

p q= + ; demanda:7

12100

p q= +

b) Oferta: 35 2 250 0q p + = ; demanda: 65 785 0q p+ =

c) Oferta : 2 20p q= + ; demanda : 2200 2p q=

2. En los problemas a) , b) y c) se representa el ingreso total en TI dlares y TC el

costo total en dlares para un fabricante. si q representa tanto el nmero de unidades

producidas como el nmero de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio .Esquematice un diagrama de equilibrio

=

+=

qI

qCa

T

T

3

45002)

+=

=

60085.0

05.0)

qC

qIb

T

T

+=

=

303

)10()

2

qC

qIc

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p = y100 1100 0p q+ = respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de

equilibrio.

5. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6

5150

p q = y9

20 0150

p q+ =

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmerode unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.

6. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 -200 = 0 ,respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero deunidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.

7. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 -248 = 0

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmerode unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.

8. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p + = y

3 100 1800 0q p+ = , respectivamente, donde p representa el precio por unidad en

dlares y q el nmero de unidades vendidas por periodo.

a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedzcalo por medio de unagrfica.

b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos porunidad, al proveedor.


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9. A un precio de $2400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que sudemanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2700 por unidad, la oferta y la

demanda sern de 160 y 380 unidades respectivamente.

a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.

b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.

10. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13500unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertar unidades a $1 y elconsumidor no demandara unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y

demandas si ambas son lineales.

11. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artculo es de 4500kg., mientrasque la oferta es de 3300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda

y la oferta sern de 4400 y 4200kg., respectivamente. Encontrar la ecuacin de la ofertay demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.

12. Un empresario de ropa para nios observa, que el punto de equilibrio del mercadoocurre cunado se producen 10000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El

consumidor no demandar unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor noofertar unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuacin de la oferta y demandasabiendo que son lineales.

13. Un fabricante vende todo lo que produce .Su ingreso total esta dado por : 7TI q= y

el costo total es 6 800T

C q= + donde q representa el nmero de unidades

producidas y vendidas .

a) Encuentre el nivel de produccin en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama deequilibrio.

b) Encuentre el nivel de produccin en el punto de equilibrio, si el costo total seincrementa en 5%.

14. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce.Los costos fijos son de son de $2116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad

.A que nivel de produccin existirn utilidades de $ 4600?. A que nivel deproduccin ocurre el punto de equilibrio?

15. La compaa de Sandalias Cmodas fabrica sandalias para las que el costo delmaterial es de $ 0.80 por par, y el costo de de mano de obra es de adicionales e $

0,90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30 .Los costos fijos son de $70,000.Si cada par se vende a $ 2,50 Cuntos pares se deben vender para que lacompaa llegue al equilibrio?


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FUNCIN EXPONENCIAL

Es la funcin de la forma y = 1,0)( >= aaconxaxf .

Representacin grfica. Segn la base de la funcin exponencial se tiene:

Si a >1 (funcin creciente) Si 0 < a < 1 (funcin decreciente)

Observacin: Si a = e 2,7182, entonces a > 1

Nota:

Propiedades de los exponentes:

a) .m n m nx x x+ = b) 1( ) mxmx

=

Ejemplo 1

Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: 3( ) 5 4xf x = +

a) Base : 5 > 1, entonces la funcin es creciente.

b) Asntota Horizontal: y = 4

c) Punto de paso: x 3 = 0

x = 3 , luego f(3) = 5. Punto de paso: (3,5)

x

xa

1

y

x

xa

1

y

( ) 0,R f x = +

( )D f x =

( ) 0,R f x = +

( )D f x =

4

y

x

4y =

3( ) 5 4xf x = +

3

5

( )f x = dom

( ) 4 ;f x = + rang


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Ejemplo 2

Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: ( )2

1( ) 3

2

x

f x+

=

a) La base es

( )

1

2

< 1, entonces la funcin es decreciente.

b) Asntota Horizontal: 3y =

c) Punto de paso: x + 2 = 0 2x = , luego f(-2) = -2. Punto de paso: (-2,-2)

Ejemplo 3

Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: 2 8( ) 2xf x e = +

a) La base es: e 2,7182, e > 1 , entonces la funcin es creciente.

b) Asntota Horizontal: y = 2

c) Punto de paso: 2x 8 = 0 x = 4 , luego f(4) = 3. Punto de paso: (4,3)

( )f x = dom

( ) 3 ;f x = +

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Guia Mate1 2010 II Final