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Halliday & Resnick
Mecânica
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Fundamentos de Física
Volume 1
O GEN-IO | GEN – Informação Online é o repositório de material
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O GEN | Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica,
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Rolagem, Torque e Momento Angular
Capítulo 11
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11.01 Saber que uma rotação pode ser considerada uma combinação de translação pura e rotação pura.
11.02 Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular de um objeto que está rolando.
Objetivos do Aprendizado
Figura 11-2
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
Vamos considerar apenas objetos que rolam sem escorregar
O centro de massa do objeto se move em uma linha reta paralela à superfície
O objeto gira em torno do centro de massa enquanto se move
O movimento de rotação é definido por
Figura 11-3
Eq. (11-1)
Eq. (11-2)
11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
A figura mostra o modo como as velocidades de translação e rotação se combinam em diferentes pontos da roda
Figura 11-4
Respostas: (a) igual (b) menor
11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
11.03 Calcular a energia cinética de um objeto rolante como a soma da energia cinética de translação do centro de massa com a energia cinética de rotação em torno do centro de massa.
11.04 Conhecer a relação entre o trabalho realizado sobre um objeto rolante e a energia cinética do objeto.
11.05 Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia inicial de um objeto rolante à energia em um instante posterior.
11.06 Desenhar o diagrama de corpo livre de um objeto rolante que está se movendo em uma superfície horizontal ou em um plano inclinado sob a ação de uma ou mais forças.
Objetivos do Aprendizado
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11.07 Conhecer a relação entre a aceleração do centro de massa e a aceleração angular de um objeto rolante.
11.08 No caso de um objeto rolante que está subindo ou descendo um plano inclinado, conhecer a relação entre a aceleração do objeto, o momento de inércia do objeto e o ângulo do plano inclinado.
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida
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11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
Figura 11-7
Eq. (11-5)
Eq. (11-6)
Combinando as energias cinéticas de translação e rotação, obtemos:
Se a roda acelera, a velocidade angular aumenta
A força de atrito estático impede que a roda escorregue • Nesse caso,
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11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem
No caso em que um objeto rola para baixo sem escorregar em um plano inclinado,
1. A força gravitacional aponta verticalmente para baixo
2. A força normal é perpendicular ao plano inclinado
3. A força de atrito é paralela ao plano inclinado e aponta para cima
Figura 11-8
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11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem
A aceleração do objeto é dada por
Note que é o atrito que faz o objeto rolar
Na ausência de atrito, o objeto desceria o plano inclinado sem rolar, apenas escorregando
Eq. (11-10)
Resposta: A altura máxima atingida pelo disco B é menor que h. No caso do disco A, toda a energia cinética é convertida em energia potencial. No caso do disco B, como ele continua a girar quando chega à altura máxima, apenas a energia cinética de translação é transformada em energia potencial e, portanto, a altura atingida é menor.
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
11-3 O Ioiô
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11-3 O Ioiô
11.09 Desenhar um diagrama de corpo livre de um ioiô em movimento.
11.10 Saber que ioiô é um objeto que rola para cima e para baixo em uma rampa com uma inclinação de 90°.
11.11 Conhecer a relação entre a aceleração e o momento de inércia de um ioiô.
11.12 Calcular a tração da corda que sustenta um ioiô em movimento.
Objetivos do Aprendizado
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11-3 O Ioiô
Quando o ioiô desce, ele perde uma energia potencial mgh, que é transformada em energia cinética de rotação e translação
Para calcular a aceleração linear de um ioiô, basta considerar que o ioiô:
1.Sobe ou desce uma “rampa” com um ângulo de 90°
2.Gira em torno de um eixo
3.É freado pela tração T da corda
Figura 11-9
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11-3 O Ioiô
De acordo com a Eq. 11-10, temos:
Eq. (11-13)
Exemplo Calcule a aceleração com as seguintes características:
o M = 150 g, R0 = 3 mm, I
CM = Mr2/2 = 3105 kg · m2
o Temos: aCM
= 9,8 m/s2/[1 + 3105/(0,15 0,0032)] = 0,4 m/s2
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11-4 Revisão do Torque
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11-4 Revisão do Torque
11.13 Saber que o torque é uma grandeza vetorial.
11.14 Saber que o ponto em relação ao qual o torque é calculado deve ser especificado.
11.15 Determinar o torque produzido por uma força sobre uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa a força.
11.16 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um torque.
Objetivos do Aprendizado
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11-4 Revisão do Torque
Anteriormente, o torque foi definido apenas para um corpo em rotação em torno de um eixo fixo
Agora vamos definir o torque de uma partícula em relação a um ponto fixo
A trajetória da partícula não precisa ser uma circunferência; o torque agora é um vetor
A orientação do torque é determinada pela regra da mão direita
Figura 11-10
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11-4 Revisão do Torque
A equação geral do torque é
e o módulo do torque é
Usando a componente perpendicular da força ou o braço de alavanca de F, também podemos escrever
Eq. (11-14)
Eq. (11-15)
Eq. (11-16)
Eq. (11-17)
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11-4 Revisão do Torque
Respostas: (a) +z ou -z (b) +y (c) +x
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11-4 Revisão do Torque
Exemplo Cálculo do torque total
Figura 11-11
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11-5 Momento Angular
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11-5 Momento Angular
11.17 Saber que o momento angular é uma grandeza vetorial.
11.18 Saber que deve ser especificado o ponto fixo em relação ao qual o momento angular é calculado.
11.19 Determinar o momento angular de uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa o momento.
11.20 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um momento angular.
Objetivos do Aprendizado
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11-5 Momento Angular
O momento angular é o equivalente angular do momento linear
Temos:
Note que a partícula não precisa girar em torno do ponto O para ter um momento angular em relação a O
A unidade de momento angular é o kg·m2/s ou J·s
Figura 11-12
Eq. (11-18)
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11-5 Momento Angular
Para determinar a orientação do momento angular, use a regra da mão direita
Para determinar o módulo do momento angular, use a equação do módulo do produto vetorial:
que também pode ser escrito nas formas
Eq. (11-19)
Eq. (11-20)
Eq. (11-21)
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11-5 Momento Angular
O momento angular tem significado apenas em relação a um ponto dado
O momento angular é perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento
Resposta: (a) 1 e 3 empatadas, 2 e 4 empatadas, 5 (b) 2 e 3 (supondo que o sentido anti-horário é positivo)
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
11.21 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre uma partícula à variação do momento angular da partícula.
Objetivo do Aprendizado
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
Podemos escrever a segunda lei de Newton na forma
O torque e o momento angular devem ser definidos em relação ao mesmo ponto (quase sempre a origem)
Note a semelhança com a forma linear:
Eq. (11-23)
Eq. (11-22)
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
Resposta: (a) F3, F
1, F
2 e F
4 empatados (b) F3 (supondo que o sentido anti-
horário é positivo)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
11.22 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre um sistema de partículas à variação do momento angular do sistema.
11.23 Conhecer a relação entre o momento angular de um corpo rígido em relação a um eixo fixo, o momento de inércia do corpo e a velocidade angular do corpo em torno do eixo.
11.24 Calcular o momento angular resultante de um sistema de dois corpos rígidos que giram em torno do mesmo eixo.
Objetivos do Aprendizado
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Para determinar o momento angular resultante de um sistema de partículas, basta somar os momentos angulares das partículas do sistema:
A taxa de variação do momento angular resultante é dada por
O torque resultante é definido por essa variação:
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Eq. (11-26)
Eq. (11-28)
Eq. (11-29)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Note que o torque e o momento angular devem ser medidos em relação ao mesmo ponto
Se o centro de massa está acelerando, o ponto de referência deve ser o centro de massa
Podemos calcular o momento angular de um corpo sólido usando um somatório:
O último somatório é o momento de inércia I do corpo
Eq. (11-30)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Assim, temos:
Figura 11-15
Eq. (11-31)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Respostas: (a) Todos empatados, já que o torque é o mesmo nos três casos (b) esfera, disco, anel
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11-8 Conservação do Momento Angular
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11-8 Conservação do Momento Angular
11.25 Se nenhuma força resultante age sobre um sistema ao longo de um eixo, aplicar a esse eixo a lei de conservação do momento angular para relacionar o momento angular inicial do sistema ao momento angular em um instante posterior.
Objetivo do Aprendizado
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11-8 Conservação do Momento Angular
Como temos uma nova versão da segunda lei de Newton, também temos uma nova lei de conservação:
De acordo com a lei de conservação do momento angular, em um sistema isolado,
(momento angular inicial) = (momento angular final)
Eq. (11-33)
Eq. (11-32)
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Como essas são equações vetoriais, equivalem a três equações escalares
Isso significa que podemos separar as componentes e escrever:
Se a distribuição de massa muda sem que haja um torque externo, temos:
11-8 Conservação do Momento Angular
Eq. (11-34)
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11-8 Conservação do Momento Angular
Exemplo Conservação do momento angular
Um aluno girando sentado em um banco: a velocidade de rotação aumenta quando o aluno fecha os braços e aumenta quando o aluno abre os braços
Salto de trampolim: a velocidade de rotação do mergulhador aumenta na posição carpada e diminui na posição esticada
Salto em distância: o momento angular causado pelo torque no início do salto pode ser transferido para o movimento dos braços, evitando assim que o corpo da atleta gire no ar.
Figura 11-18
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11-8 Conservação do Momento Angular
Respostas: (a) diminui (b) permanece o mesmo (c) aumenta
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11-9 Precessão de um Giroscópio
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11-9 Precessão de um Giroscópio
11.26 Saber que a ação da força gravitacional sobre um giroscópio em rotação faz com que o vetor momento angular (e o próprio giroscópio) gire em torno do eixo vertical, um movimento conhecido como precessão.
11.27 Calcular a taxa de precessão de um giroscópio.
11.28 Saber que a taxa de precessão de um giroscópio não depende da massa do giroscópio.
Objetivos do Aprendizado
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Um giroscópio parado, como o da Fig. 11-22 (a), não se sustenta
Um giroscópio em movimento, como o da Fig. 11-22 (b), gira em torno de um eixo vertical
Esse movimento é chamado de precessão
11-9 Precessão de um Giroscópio
Figura 11-22
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11-9 Precessão de um Giroscópio
O módulo do momento angular de um giroscópio em movimento é constante e dado por
O torque da força gravitacional produz uma variação incremental em um intervalo de tempo dt:
Como o módulo do momento angular é constante, dado pela Eq. 11-43, o torque pode mudar apenas a orientação de . De acordo com a Eq. 11-44, a única maneira de a orientação de mudar sem que o módulo de mude é o eixo do giroscópio girar em torno do eixo do suporte
Eq. (11-43)
Eq. (11-44)
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11-9 Precessão de um Giroscópio
A taxa de precessão é dada por
A Eq. 11-46 é válida apenas se o giroscópio estiver girando rapidamente
A taxa de precessão não depende da massa (porque I é proporcional a M), mas depende de g
A Eq. 11-46 é válida, mesmo que o eixo do giroscópio não esteja na horizontal (é o caso de um pião, por exemplo)
Eq. (11-46)
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11 Resumo
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Momento Angular de uma Partícula
Corpos Rolantes
O Torque como um Vetor
Orientação dada pela regra da mão direita
11 Resumo
Eq. (11-2)
Eq. (11-18)
A Segunda Lei de Newton para Rotações
Eq. (11-14)
Eq. (11-23)
Eq. (11-5)
Eq. (11-6)
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
Momento Angular de um Sistema de Partículas
Momento Angular de um Corpo Rígido
11 Resumo
Conservação do Momento Angular
Eq. (11-32)
Eq. (11-33)
Precessão de um Giroscópio
Eq. (11-46)
Eq. (11-26)
Eq. (11-29)
Eq. (11-31)
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