HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ …

1

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT

GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

Caâu 1. Cho bieåu thöùc 3 3

3

2

3

2

3

2. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. 2

3

B.

2

1

3

2

C.

2

2

3

D.

1

42

3

Caâu 2. Cho bieåu thöùc 16

11

a:aaaa (a > 0). Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. 4

1

a B.

1

3a C.

3

4a D.

1

2a

Caâu 3. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho bieåu thöùc 4 3 32

x.x.xP , vôùi x > 0. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. 2

1

xP B. 24

13

xP C. 4

1

xP D. 3

2

xP

Caâu 4. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc 20162017

734347P

A. P = 1 B. 347P C. 347P D. 2016

347P

Caâu 5. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Vôùi caùc soá thöïc döông a, b baát kì. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. ln(ab) = lna + lnb B. ln(ab) = lna.lnb C.

bln

aln

b

aln D. alnbln

b

aln

Caâu 6. (THPT QG 2018) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, ln(5a) – ln(3a) baèng

A. a3ln

a5ln B. ln(2a) C.

3

5ln D.

3ln

5ln

Caâu 7. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log2(a3) baèng

A. alog

2

3

2 B. alog

3

1

2 C. alog3

2 D. alog3

2

Caâu 8. (THPT QG 2019) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, 2

5alog baèng

A. alog25

B. alog25

C. alog

2

1

5 D. alog

2

1

5

Caâu 9. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Vôùi a laø soá thöïc döông baát kì, meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. log(3a) = 3loga B. alog

3

1alog

3 C. loga3 = 3loga D. alog

3

1a3log

Caâu 10. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log5(5a) baèng

A. 5 + log5a B. 5 log5a C. 1 + log5a D. 1 – log5a

Caâu 11. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Vôùi a vaø b laø hai soá thöïc döông tuøy yù, log(ab2) baèng

A. 2loga + logb B. loga + 2logb C. 2(loga + logb) D. blog2

1alog

Caâu 12. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log2(a2) baèng

A. 2 + log2a B. alog

2

1

2 C. 2log2a D. alog

2

1

2

2



Caâu 13. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Vôùi caùc soá thöïc döông a, b baát kì. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. blogalog31

b

a2log

22

3

2

B. blogalog

3

11

b

a2log

22

3

2

C. blogalog31

b

a2log

22

3

2

D. blogalog

3

11

b

a2log

22

3

2

Caâu 14. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho caùc soá thöïc döông a, b vôùi a 1. Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø khaúng ñònh

ñuùng ?

A. blog

2

1ablog

aa2

B. blog22ablogaa

2

C. blog

4

1ablog

aa2

D. blog

2

1

2

1ablog

aa2

Caâu 15. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Ñaët log32 = a, khi ñoù log1627 baèng

A.

4

a3 B.

a4

3 C.

a3

4 D.

3

a4

Caâu 16. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc a vaø b thoûa maõn log3(3a.9

b) = log93. Meänh ñeà naøo

döôùi ñaây ñuùng?

A. a + 2b = 2 B. 4a + 2b = 1 C. 4ab = 1 D. 2a + 4b = 1

Caâu 17. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù thoûa maõn log3a – 2log9b = 2, meänh ñeà

naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. a = 9b4 B. a = 9b

C. a = 6b D. a = 9b

2

Caâu 18. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Xeùt taát caû caùc soá thöïc döông a vaø b thoûa maõn log2a = log8(ab). Meänh

ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. a = b2 B. a

3 = b C. a = b D. a

2 = b

Caâu 19. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá f(x) = 2

xx

7.2 . Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø khaúng ñònh sai ?

A. f(x) < 1 x + x2log27 < 0 B. f(x) < 1 xln2 + x

2ln7 < 0

C. f(x) < 1 xlog72 + x2 < 0 D. f(x) < 1 1 + xlog27 < 0

Caâu 20. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho hai soá thöïc a vaø b, vôùi 1 < a < b. Khaúng ñònh naøo döôùi ñaây laø khaúng ñònh

ñuùng ?

A. logab < 1 < logba B. 1 < logab < logba C. logba < logab < 1 D. logba < 1 < logab

Caâu 21. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho a, b laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn a 1, ba vaø 3bloga

. Tính

a

blogP

a

b .

A. 335P B. 31P C. 31P D. 335P

Caâu 22. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho a laø soá thöïc döông, a 1 vaø 3

aalogP

3 . Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng ?

A. P = 3 B. P = 1 C. P = 9 D.

3

1P

Caâu 23. (THPT QG 2017) Cho a laø soá thöïc döông khaùc 1. Tính alogIa

.

A.

2

1I B. I = 0 C. I = 2 D. I = 2

3



Caâu 24. (THPT QG 2019) Cho a vaø b laø hai soá thöïc döông thoûa maõn a4b = 16. Giaù trò cuûa blogalog4

22

baèng

A. 4 B. 2 C. 16 D. 8

Caâu 25. (THPT QG 2020) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù vaø a 1, blog5

a

baèng

A. blog5a

B. blog

5

1

a C. blog5

a D. blog

5

1

a

Caâu 26. (THPT QG 2017) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù vaø a khaùc 1, ñaët 6

a

3

ablogblogP

2 . Meänh

ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?

A. P = 9logab B. P = 27logab C. P = 15logab D. P = 6logab

Caâu 27. (THPT QG 2017) Cho logax = 3, logbx = 4 vôùi a, b laø caùc soá thöïc lôùn hôn 1. Tính P = logabx.

A.

12

7P B.

12

1P C. P = 12 D.

7

12P

Caâu 28. (THPT QG 2020) Cho a vaø b laø hai soá thöïc döông thoûa maõn 3balog

a34

2

2 . Giaù trò cuûa bieåu thöùc a2b

baèng

A. 3 B. 6 C. 12 D. 2

Caâu 29. Bieát log153 = a. Haõy Tính A = log2515.

A. 1

1 a B.

1

2 a

C. A =

)a1(2

1

D.

1

3(1 a)

Caâu 30. Bieát log4911 = a vaø log27 = b. Haõy tính B =

8

121log 3 7

.

A. B = 12a – 1

b

B. B = 12a –

b

9

C. B = 12a – 3

b

D. B = 12a – 5

b

Caâu 31. Cho a = log303, b = log305. Haõy tính log301350 theo a vaø b.

A. 2a + 3b + 1 B. 3a + 2b + 1

C. a + 2b + 1 D. 2a + b + 1

Caâu 32. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Ñaët a = log23, b = log53. Haõy bieåu dieãn log645 theo a vaø b.

A.

ab

ab2a45log

6

B.

ab

ab2a245log

2

6

C.

bab

ab2a45log

6

D.

bab

ab2a245log

2

6

Caâu 33. (THPT QG 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá 3

1

1xy .

A. D = ( ; 1) B. D = (1 ; ) C. D = R D. D = R \ {1}

Caâu 34. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 5x laø

A. R B. (0; ) C. R \ {0} D. [0; )

Caâu 35. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = log2x laø

A. [0; +) B. (; ) C. (0; ) D. [2; )

Caâu 36. (THPT QG 2020) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá xlogy5

laø

A. [0; ) B. (; 0) C. (0; ) D. (; +)

Caâu 37. Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá

8

12lgy

2xx2 laø

A. D = (1 ; 3) B. D = (1 ; 3) C. D = (1 ; 4) D. D = (1 ; 5)

4



Caâu 38. Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 4x3logy 2 laø

A. ;1D B. D 0 ; C. (–1; ) D. D 1;

Caâu 39. (THPT QG 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá

2x

3xlogy

5

.

A. D = R \ {2} B. D = (;2) [3; )

C. D = (2 ; 3) D. D = ( ; 2) (3 ; )

Caâu 40. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá y = log2(x2 – 2x – 3).

A. D = ( ; 1] [3 ; ) B. D = [1 ; 3]

C. D = ( ; 1) (3 ; ) D. D = (1 ; 3)

Caâu 41. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = 13x.

A. y’ = x.13x – 1

B. y’ = 13x.ln13 C. y’ = 13

x D. y’ =

13ln

13x

Caâu 42. (THPT QG 2019) Haøm soá x3x

2

2y coù ñaïo haøm laø

A. 2ln.2).3x2(x3x

2 B. 2ln.2x3x

2

C. x3x

2

2).3x2( D.

1x3x22

2).x3x(

Caâu 43. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm ñaïo haøm cuûa haøm soá y = logx.

A.

x

1'y B.

x

10ln'y C.

10lnx

1'y D.

xln10

1'y

Caâu 44. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Haøm soá f(x) = log2(x2 – 2x) coù ñaïo haøm

A. f ’(x) =

x2x

2ln

2 B. f ’(x) =

2lnx2x

1

2

C. f ’(x) =

x2x

2ln2x2

2

D. f ’(x) =

2lnx2x

2x2

2

Caâu 45. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá x

4

1xy

.

A.

x2

2

2ln1x21'y

B.

x2

2

2ln1x21'y

C.

2x

2

2ln1x21'y

D.

2

x

2

2ln1x21'y

Caâu 46. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá 1x1lny .

A.

1x11x2

1'y

B.

1x1

1'y

C.

1x11x

1'y

D.

1x11x

2'y

Caâu 47. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá

x

xlny meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng ?

A. 2

x

1"xy'y2 B.

2

x

1"xy'y

C. 2

x

1"xy'y D.

2

x

1"xy'y2

5



Caâu 48. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho ba soá thöïc döông a, b, c khaùc 1. Ñoà thò caùc

haøm soá y = ax, y = b

x, y = c

x ñöôïc cho trong hình veõ beân. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây

ñuùng?

A. a < b < c

B. a < c < b

C. b < c < a

D. c < a < b

Caâu 49. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá f(x) = xlnx. Moät trong boán ñoà thò cho

trong boán phöông aùn A, B, C, D döôùi ñaây laø ñoà thò cuûa haøm soá y = f ’(x). Tìm ñoà thò ñoù.

A. B. C. D.

Caâu 50. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå haøm soá y = ln(x2+1) –

mx + 1 ñoàng bieán treân khoaûng ( ; +).

A. ( ; –1] B. ( ; –1) C. [1 ; 1] D. [1 ; +)

Caâu 51. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Xeùt caùc soá thöïc a, b thoûa maõn a > b > 1. Tìm giaù trò nhoû nhaát Pmin cuûa bieåu

thöùc

b

alog3alogP

b

22

b

a.

A. Pmin = 19 B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15

Caâu 52. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Cho haøm soá y = f(x). Haøm soá y = f ’(x) coù baûng bieán thieân nhö sau

Baát phöông trình f(x) < ex + m ñuùng vôùi moïi x (1; 1) khi vaø chæ khi

A. m f(1) – e B. e

11fm C.

e

11fm D. m > f(1) – e

Caâu 53. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn log9x = log6y = log4(2x + y).

Giaù trò cuûa

y

x baèng

A. 2 B.

2

1 C.

2

3log

2 D. 2log

2

3

Caâu 54. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Coù bao nhieâu caëp soá nguyeân (x; y) thoûa maõn 0 x 2020 vaø log3(3x

+ 3) + x = 2y + 9y?

A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4

Caâu 55. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc döông a, b, x, y thoûa maõn a > 1, b > 1 vaø ax = b

y =

ab . Giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P = x + 2y thuoäc taäp hôïp naøo döôùi ñaây?

A. (1; 2) B.

2

5;2 C. [3; 4) D.

3;

2

5

6



Caâu 56. (THPT QG 2020) Xeùt caùc soá thöïc khoâng aâm x vaø y thoûa maõn 34.yx21yx

. Giaù trò nhoû nhaát cuûa

bieåu thöùc y6x4yxP22 baèng

A.

4

33 B.

8

65 C.

8

49 D.

8

57

Caâu 57. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Cho daõy soá (un) thoûa maõn 101011

ulog2ulog2ulog2ulog vaø un +1 =

2un vôùi moïi n ≥ 1. Giaù trò nhoû nhaát cuûa n ñeå un > 5100

baèng

A. 247 B. 248 C. 229 D. 290

Caâu 58. (THPT QG 2017) Xeùt caùc soá thöïc döông x, y thoûa maõn 4y2xxy3

y2x

xy1log

3

.

Tìm giaù trò nhoû nhaát Pmin cuûa P = x + y.

A.

9

19119P

min

B.

9

19119P

min

C.

21

291118Pmin

D.

3

3112P

min

Caâu 59. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020) Coù bao nhieâu soá nguyeân x sao cho toàn taïi soá thöïc y thoûa maõn log3(x + y) =

log4(x2 + y

2)?

A. 3 B. 2 C. 1 D. Voâ soá

Caâu 60. (THPT QG 2018) Cho a > 0, b > 0 thoûa maõn log3a + 2b + 1(9a2 + b

2 + 1) + log6ab + 1(3a + 2b + 1) = 2.

Giaù trò cuûa a + 2b baèng

A. 6 B. 9 C.

2

7 D.

2

5

Caâu 61. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Coù bao nhieâu caëp soá nguyeân döông (m, n) sao cho m + n 16 vaø öùng vôùi

moãi caëp (m, n) toàn taïi ñuùng ba soá thöïc a (1; 1) thoûa maõn 1aalnna22m ?

A. 16 B. 14 C. 15 D. 13

Caâu 62. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình 3x – 1

= 27 laø

A. x = 4 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 1

Caâu 63. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm nghieäm cuûa phöông trình 3x – 1

= 27.

A. x = 9 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 10

Caâu 64. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình 22x – 4

= 2x laø

A. x = 16 B. x = 16 C. x = 4 D. x = 4

Caâu 65. (THPT QG 2017) Cho phöông trình 4x + 2

x + 1 – 3 = 0. Khi ñaët t = 2

x, ta ñöôïc phöông trình naøo döôùi

ñaây?

A. 2t2 – 3 = 0 B. t

2 + t – 3 = 0 C. 4t – 3 = 0 D. t

2 + 2t – 3 = 0

Caâu 66. (THPT QG 2019) Nghieäm cuûa phöông trình 32x – 1

= 27 laø

A. x = 5 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 4

Caâu 67. (THPT QG 2018) Phöông trình 22x + 1

= 32 coù nghieäm laø

A.

2

5x B. x = 2 C.

2

3x D. x = 3

Caâu 68. (THPT QG 2020) Nghieäm cuûa phöông trình 931x

laø

A. x = 2 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 3

Caâu 69. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Giaûi phöông trình log4(x – 1) = 3.

A. x = 63 B. x = 65 C. x = 80 D. x = 82

7



Caâu 70. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Nghieäm cuûa phöông trình log3(2x – 1) = 2 laø

A. x = 3 B. x = 5 C.

2

9x D.

2

7x

Caâu 71. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa phöông trình log2(x – 1) + log2(x + 1) = 3.

A. S = {3 ; 3} B. S = {4} C. S = {3} D. 10;10S

Caâu 72. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Taäp nghieäm cuûa phöông trình log2(x2 – x + 2) = 1 laø

A. {0} B. {0; 1} C. {1; 0} D. {1}

Caâu 73. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Hoûi phöông trình 3x2

– 6x + ln(x + 1)3

+ 1 = 0 coù bao nhieâu nghieäm phaân bieät ?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Caâu 74. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Toång giaù trò taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình

3

2xlog.xlog.xlog.xlog

812793 baèng

A.

9

82 B.

9

80 C. 9 D. 0

Caâu 75. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Toång taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình log3(7 – 3x) = 2 – x baèng

A. 2 B. 1 C. 7 D. 3

Caâu 76. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình log2(x + 9) = 5 laø

A. x = 41 B. x = 23 C. x = 1 D. x = 16

Caâu 77. (THPT QG 2019) Nghieäm cuûa phöông trình log3(x + 1) + 1 = log3(4x + 1) laø

A. x = 3 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 2

Caâu 78. (THPT QG 2020) Nghieäm cuûa phöông trình 21xlog3

laø

A. x = 8 B. x = 9 C. x = 7 D. x = 10

Caâu 79. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 273x2x

2

laø

A. (; 1) B. (3; ) C. (1; 3) D. (; 1) (3; )

Caâu 80. (THPT QG 2020) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 27313x

2

laø

A. (4; ) B. (4; 4) C. (; 4) D. (0; 4)

Caâu 81. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 22x

< 2x + 6

laø

A. (0 ; 6) B. ( ; 6) C. (0 ; 64) D. (6; )

Caâu 82. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình 0

5

15

1x

A. S = (1 ; +) B. S = (1 ; +) C. S = (2 ; +) D. S = ( ; 2)

Caâu 83. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 9xx1x

2

55 laø

A. [2; 4] B. [4; 2] C. (; 2] [4; ) D. (; 4] [2; )

Caâu 84. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 9x + 2.3

x – 3 > 0 laø

A. [0; ) B. (0; ) C. (1; ) D. [1; )

Caâu 85. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình logx 1 laø

A. (10; ) B. (0; ) C. [10; ) D. (; 10)

Caâu 86. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Giaûi baát phöông trình log2(3x – 1) > 3.

A. x > 3 B. 3x

3

1 C. x < 3 D.

3

10x

8



Caâu 87. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình 1x2log1xlog

2

1

2

1 .

A. S = (2 : ) B. S = ( ; 2) C.

2;

2

1S D. S = (1 ; 2)

Caâu 88. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình log3(13 – x2) 2 laø

A. (; 2] [2; ) B. (; 2] C. (0; 2] D. [2; 2]

Caâu 89. (THPT QG 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình log2

2x – 5log2x + 4 0.

A. S = ( ; 2] [16 ; ) B. S = [2 ; 16]

C. S = (0 ; 2] [16 ; ) D. S = ( ; 1] [4 ; )

Caâu 90. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình 6x + (3 –

m)2x – m = 0 coù nghieäm thuoäc khoaûng (0 ; 1).

A. [3 ; 4] B. [2 ; 4] C. (2 ; 4) D. (3 ; 4)

Caâu 91. (THPT QG 2017) Tìm giaù trò thöïc cuûa tham soá m ñeå phöông trình log3

2x – mlog3x + 2m – 7 = 0 coù

hai nghieäm thöïc x1, x2 thoûa maõn x1x2 = 81.

A. m = 4 B. m = 4 C. m = 81 D. m = 44

Caâu 92. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Coù bao nhieâu giaù trò nguyeân döông cuûa tham soá m ñeå phöông trình

16x – 2.12

x + (m – 2).9

x = 0 coù nghieäm döông?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Caâu 93. (THPT QG 2018) Goïi S laø taäp hôïp taát caû caùc giaù trò nguyeân cuûa tham soá m sao cho phöông trình

16x – m.4

x + 1 + 5m

2 – 45 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. Hoûi S coù bao nhieâu phaàn töû?

A. 13 B. 3 C. 6 D. 4

Caâu 94. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Cho phöông trình log2

2(2x) – (m + 2)log2x + m – 2 = 0 (m laø tham soá

thöïc). Taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm phaân bieät thuoäc ñoaïn [1; 2] laø

A. (1; 2) B. [1; 2] C. [1; 2) D. [2; )

Caâu 95. (THPT QG 2019) Cho phöông trình log9x2 – log3(3x – 1) = log3m (m laø tham soá thöïc). Coù taát caû

bao nhieâu giaù trò nguyeân cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm ?


Caâu 96. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Hoûi coù bao nhieâu giaù trò m nguyeân trong ñoaïn [2017 ; 2017] ñeå phöông trình

log(mx) = 2log(x + 1) coù nghieäm duy nhaát ?

A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015

Caâu 97. (THPT QG 2018) Cho phöông trình 5x + m = log5(x – m) vôùi m laø tham soá. Coù bao nhieâu giaù trò

nguyeân cuûa m (20 ; 20) ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm?

A. 20 B. 19 C. 9 D. 21

Caâu 98. (THPT QG 2020) Coù bao nhieâu soá nguyeân x sao cho öùng vôùi moãi x coù khoâng quaù 728 soá nguyeân y

thoûa maõn yxlogyxlog3

2

4 ?

A. 59 B. 58 C. 116 D. 115

Caâu 99. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc x, y thoûa maõn x221yx42x2yx2

22

. Giaù trò lôùn

nhaát cuûa bieåu thöùc

1yx2

4x8P

gaàn nhaát vôùi soá naøo döôùi ñaây?

A. 9 B. 6 C. 7 D. 8

Caâu 100. (THPT QG 2019) Cho phöông trình 0m75xlogxlog4x

2

2

2 (m laø tham soá thöïc). Coù taát

caû bao nhieâu giaù trò nguyeân döông cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù ñuùng hai nghieäm phaân bieät ?

A. 49 B. 47 C. Voâ soá D. 48

9



Caâu 101. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log3(9a) baèng

A. 3

1log a

2

B. 2log3a C. (log3a)2 D. 2 + log3a

Caâu 102. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = 2x laø:

A. y’ = 2xln2 B. y’ = 2

x C. y’ =

x2

ln 2

D. y’ = x2x – 1

Caâu 103. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, 3

a baèng

A. a6 B.

3

2a C.

2

3a D.

1

6a

Caâu 104. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Nghieäm cuûa phöông trình 52x – 4

= 25 laø

A. x = 3 B. x = 2 C. x = 1 D. x = 1

Caâu 105. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Nghieäm cuûa phöông trình log2(3x) = 3 laø:

A. x = 3 B. x = 2 C. 8

x

3

D. 1

x

2

Caâu 106. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình

24 x

3 27 laø

A. [1; 1] B. (; 1] C. 7 ; 7

D. [1; )

Caâu 107. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Coù bao nhieâu soá nguyeân döông y sao cho öùng vôùi moãi y coù khoâng quaù 10

soá nguyeân x thoûa maõn x 1 x2 2 2 y 0

A. 1024 B. 2047 C. 1022 D. 1023

Caâu 108. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Coù bao nhieâu soá nguyeân a (a 2) sao cho toàn taïi soá thöïc x thoûa maõn:

loga

logxa 2 x 2 ?


Caâu 109. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 3x < 2 laø

A. (; log32) B. (log32; ) C. (; log23) D. (log23; )

Caâu 110. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 + 4x

2 – 3 caét truïc tung taïi ñieåm coù tung ñoä

baèng

A. 0 B. 3 C. 1 D. 3

Caâu 111. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Treân khoaûng (0; ), ñaïo haøm cuûa haøm soá

5

2y x laø:

A.

7

22

y ' x7

B.

3

22

y ' x5

C.

3

25

y ' x2

D.

3

25

y ' x2

Caâu 112. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Nghieäm cuûa phöông trình log3(5x) = 2 laø

A. 8

x5

B. x = 9 C. 9

x5

D. x = 8

Caâu 113. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 9x laø

A. R B. [0; ) C. R \ {0} D. (0; )

Caâu 114. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Cho a > 0 vaø a 1, khi ñoù 4

alog a baèng

A. 4 B. 1

4 C.

1

4 D. 4

10



Caâu 115. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Vôùi moïi a, b thoûa maõn 3

2 2log a log b 6 , khaúng ñònh naøo sau ñaây

ñuùng?

A. a3b = 64 B. a

3b = 36 C. a

3 + b = 64 D. a

3 + b = 36

Caâu 116. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Coù bao nhieâu soá nguyeân x thoûa maõn 2x x

33 9 . log x 25 3 0 ?

A. 24 B. Voâ soá C. 26 D. 25

Caâu 117. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Coù bao nhieâu soá nguyeân y sao cho toàn taïi 1

x ;33

thoûa maõn

23x xy 9x27 1 xy .27

A. 27 B. 9 C. 11 D. 12

Caâu 118. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Vôùi moïi soá thöïc döông a, 4log 4a baèng

A. 41 log a B. 41 log a C. 4log a D. 44log a

Caâu 119. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Ñaïo haøm cuûa haøm soá xy 3 laø

A.

x3y '

ln 3 B.

xy ' 3 C. x 1y ' x3 D.

xy ' 3 ln3

Caâu 120. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 3y log x 3 laø

A. ;3 B. 3; C. 3; D. ;3

Caâu 121. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Nghieäm cuûa phöông trình 5x = 3 laø:

A. 3x 5 B.

3x

5 C. x = 3log 5 D. x = 5log 3

Caâu 122. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 2log 3x 5 laø

A. 32

0;3

B. 32

;3

C.

250;

3

D. 25

;3

Caâu 123. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Vôùi a > 0, ñaët 2log 2a b , khi ñoù 4

2log 8a baèng

A. 4b + 7 B. 4b + 3 C. 4b D. 4b – 1

Caâu 124. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Coù bao nhieâu soá nguyeân x thoûa maõn

2 x 1

2 2log x 1 log x 31 32 2 0

?

A. 27 B. Voâ soá C. 26 D. 28

Caâu 125. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Coù bao nhieâu soá nguyeân döông y sao cho toàn taïi soá thöïc x 1;6 thoûa

maõn x x 24 x 1 e y e xy 2x 3 ?

A. 18 B. 15 C. 16 D. 17

----------

11



ÑAÙP AÙN HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT

Caâu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ñaùp aùn B A B C A C D A C C

Caâu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ñaùp aùn B C A D B D B D D D

Caâu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Ñaùp aùn C C D A D D D A C B

Caâu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Ñaùp aùn D C B A C C A A D C

Caâu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ñaùp aùn B A C D A A A B C A

Caâu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Ñaùp aùn D C B D D B B D B C

Caâu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Ñaùp aùn D A C D D B B B B B

Caâu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Ñaùp aùn C B C A A B D D C B

Caâu 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Ñaùp aùn B C A B C A C D C C

Caâu 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Ñaùp aùn B B B C A C B C C B

Caâu 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

Ñaùp aùn D A B A C A A A A D

Caâu 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

Ñaùp aùn C C A B A C C A D B

Caâu 121 122 123 124 125

Ñaùp aùn D B D C B

12



HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT

GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

I. LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ NGUYEÂN

1) Luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân : Cho n Z , n > 1, a R. Luõy thöøa baäc n cuûa a, kyù hieäu an, ñöôïc ñònh nghóa

laø tích cuûa n thöøa soá a. Ta coù: a soá thöøa n

n a...a.aa VD: 3 soá thöøa n

n 3...3.33

Trong bieåu thöùc an, soá a goïi laø cô soá, soá n goïi laø soá muõ, a

n goïi laø luõy thöøa cuûa a vôùi soá muõ n.

2) Luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân aâm, vôùi soá muõ 0 : Vôùi a 0 vaø n = 0 hoaëc n laø moät soá nguyeân aâm, ta ñònh nghóa :

a0 = 1 (a 0) VD: 3

0 = (–3)

0 = 1 ;

n

n

a

1a

n

n

a

1ahoaëc VD: 9

3

13

2

2

;

9

1

3

13

2

2

Chuù yù :

a) Caùc kyù hieäu 00; 0

n (n nguyeân aâm) ñeàu khoâng coù nghóa.

b) Ngöôøi ta thöôøng duøng caùc luõy thöøa cuûa 10 vôùi soá muõ nguyeân ñeå bieåu thò nhöõng soá raát lôùn vaø nhöõng soá raát

beù. (Khi söû duïng maùy tính caàm tay ñeå giaûi toaùn, ta nhôù raèng: “möôøi muõ döông” (ví duï: 1010

laø töông ñöông

vôùi voâ cuøng (): chaüng haïn 1010

töông ñöông vôùi +, coøn –1010

töông ñöông vôùi –). Coøn “möôøi muõ aâm”

thì töông ñöông vôùi 0 (ví duï: 10–10

hieåu laø töông ñöông vôùi 0).

c) Moãi soá haïng coù daïng a.10k thì soá muõ k chæ roõ vò trí cuûa chöõ soá a trong bieåu dieãn thaäp phaân cuûa soá ñaõ cho.

Chaúng haïn, vôùi k = –1 thì chöõ soá a ôû haøng phaàn möôøi, vôùi k = 0 thì chöõ soá a ôû haøng ñôn vò, vôùi k = 1 thì chöõ

soá a ôû haøng chuïc, … Ví duï: 3,010

310.3

1

1 ; 03,0

10

310.3

2

2 ; 31.310.3 0 ; 3010.3 1 ; 30010.3 2

3) Tính chaát cuûa luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân :

Quy taéc tính : a, b R, a 0, b 0 vaø m, n Z ta coù :

1) am

. an = a

m + n 2)

n

m

a

a = a

m – n 3) (a

m)

n = a

m.n 4) (ab)

n = a

n. b

n 5)

n

b

a

=

n

n

b

a

So saùnh caùc luõy thöøa : Cho m, n Z ta coù :

1) Neáu a > 1 thì am

> an m > n. VD: 3

3 > 3

2 3 > 2.

2) Neáu 0 < a < 1 thì am

> an m < n. VD: 32

2

1

2

132

.

3) Neáu 0 < a < b vaø m Z ta coù : a) am

< bm

m > 0. VD: 23 < 3

3 3 > 0.

b) am

> bm

m < 0. VD: 2–3

> 3–3

–3 < 0.

4) Neáu a, b > 0; n Z, n 0 thì an = b

n a = b. VD: x

3 = 2

3 x = 2 (vôùi x > 0).

5) Vôùi n laø soá töï nhieân leû: Neáu a < b an < b

n. VD: 2 < 3 2

3 < 3

3.

II. CAÊN BAÄC n VAØ LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ HÖÕU TÆ

1) Caên baäc n : Vôùi n nguyeân döông, caên baäc n cuûa soá thöïc a laø soá thöïc b sao cho bn = a.

Vôùi n N*, ta coù: ban sao cho bn = a.

_ Khi n laø soá leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. (VD: caên baäc ba cuûa 8 laø 2, caên baäc ba cuûa –8 laø –2)

_ Khi n laø soá chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau. (VD: caên baäc hai cuûa 9 laø

3 vaø –3 vì 32 = (–3)

2 = 9).

2) Nhaän xeùt :

_ Caên baäc 1 cuûa a laø chính laø a.

_ Moät soá döông coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau.

_ Caên baäc n cuûa 0 laø 0.

_ Moät soá aâm khoâng coù caên baäc chaün (vì luõy thöøa baäc chaün cuûa moät soá thöïc baát kyø luoân laø soá khoâng aâm).

13



_ Vôùi n nguyeân döông leû, caên baäc leû cuûa moät soá döông laø soá döông, caên baäc leû cuûa moät soá aâm laø soá aâm.

_ Ta coù:

chaün

leû

nkhia

nkhiaa

n n VD: aa

5 5 ; aa6 6

3) Moät soá tính chaát cuûa caên baäc n :

Cho a, b R vaø a, b khoâng aâm; hai soá nguyeân döông m, n vaø hai soá nguyeân p, q tuøy yù, ta coù :

1) nnn b.ab.a

VD: 333 3.23.2

2) n

nn

b

a

b

a (b > 0)

VD: 3

3

3

3

2

3

2

3) pnn p aa (a > 0)

VD: 233 2 aa

4) n.mm n aa

VD: 63.23 222

5) n mk.n k.m aa

VD: 53.2 3.5 aa

6) mn n.m aa

VD: 23 3.2 aa

7) aan2 n2

VD: aa4 4

8) Neáu

m

q

n

p thì

m qn p aa

VD:

6

3

4

2

6 34 2 55

Moät soá ví duï :

a) 2324.84.8 5555 b)

2

3

16

81

16

81

16

15

4

4

44 c) 822128128 337 7377 3

d) 3729729 63 e) 37.3 721 721 222128

Chuù yù :

_ Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì nn ba . VD:

55 3232

_ Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì nn ba . VD:

44 32320

4) Luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tæ :

Ñònh nghóa : Cho :

*N n Z, m ôùi

n

m rdaïng coù tæ u höõsoálaø r

0) (a a

v

R

Ta coù : n mn

m

r aaa (a > 0) VD: 46488 33 23

2

;

3

1

27

12727 3

3 13

1

Chuù yù : nn

1

aa (a döông, n nguyeân döông)

III. LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ THÖÏC

1) Ñònh nghóa : Cho soá döông a. Ngöôøi ta ñònh nghóa luõy thöøa vôùi soá muõ thöïc a (a R) nhö sau:

nr

nalima

vôùi nn

rlim

2) Caàn nhôù :

a) Khi xeùt luõy thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá phaûi khaùc 0.

b) Khi xeùt luõy thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá phaûi döông.

VD: Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá : a) 31xy

. b) 3

1

1xy .

a) Haøm soá 31xy

ñöôïc xaùc ñònh khi x – 1 0 x 1. Vaäy D = R\1.

b) Haøm soá 3

1

1xy ñöôïc xaùc ñònh khi x – 1 > 0 x > 1. Vaäy D = (1 ; ).

14



IV. LOGARIT

1) Ñònh nghóa : Loâgarit cô soá a (0 < a 1) cuûa soá x > 0, (kyù hieäu xlog a ) laø moät soá y sao cho khi naâng a

leân luõy thöøa y thì ñöôïc soá x, töùc laø : xlog a = y x = ay

VD: 532log2

vì 3225 ; 2

9

1log

3 vì

2

23

3

1

9

1

Chuù yù :

Khoâng coù loâgarit cuûa soá 0 vaø soá aâm (vì a luoân döông vôùi moïi ).

Cô soá cuûa loâgarit phaûi döông vaø khaùc 1.

Logarit cô soá 10 cuûa moät soá döông x ñöôïc goïi laø loâgarit thaäp phaân cuûa x, ñöôïc kyù hieäu laø lgx (hoaëc logx)

Theo ñònh nghóa cuûa loâgarit, ta coù :

alog a = 1 vaø 1log a = 0 b = b

a alog (b R) b = blogaa (b R, b > 0)

VD: 13log3 ; 01log3 ;

3

13log3log 3

1

3

3

3 ; 3log223

2) So saùnh hai loâgarit coù cuøng cô soá

Ñònh lyù 1 :

Cho caùc soá döông b vaø c.

a) Khi a > 1 thì blog a > clog a b > c > 0 VD: 3x3logxlog 22 (vôùi x > 0)

b) Khi 0 < a < 1 thì blog a > clog a 0 < b < c VD: 3x03logxlog2

1

2

1 (vôùi x > 0)

Heä quaû :

Cho 0 < a 1 vaø b > 0, c > 0, ta coù :

a) Khi a > 1 thì blog a > 0 b > 1. VD: 1x0xlog2 (vôùi x > 0)

b) Khi 0 < a < 1 thì blog a > 0 b < 1. VD: 1x00xlog2

1 (vôùi x > 0)

c) blog a = clog a b = c VD: 3x3logxlog 22 (vôùi x > 0)

3) Caùc quy taéc tính loâgarit

Ñònh lyù 2 : Cho 0 < a 1 vaø b > 0, c > 0, ta coù :

clogblog)c.b(log aaa clogblogc

blog aaa

blogblog aa

( R)

VD: 5322log2log8log4log)8.4(log 3

2

2

2222

2242log2log4log16log4

16log 2

2

4

2222

3log33log27log 2

3

22

Chuù yù : Baèng qui naïp vôùi caùc soá döông b1, b2, … , bn, ta coù : loga(b1b2…bn) = logab1 + logab2 + … + logabn

Heä quaû 1 : Cho 0 < a 1 , b > 0 vaø n Z+, ta coù : blog

b

1log aa vaø blog

n

1blog a

na

VD: 3log3

1log 22 ; 3log

3

13log 2

3

2

4) Coâng thöùc ñoåi cô soá cuûa logarit

15



Ñònh lyù 3 : Cho 0 < a, b 1 vaø c > 0, ta coù :

blog

clogclog

a

a

b hay blog a . clogclog ab

VD:

2log

3log3log

5

52

Heä quaû 2 : Cho 0 < a, b 1, ta coù :

blog

1alog

a

b hay 1alog.blog ba

VD:

15log

13log

3

15 hay 115log.3log 315

Heä quaû 3 : Cho 0 < a 1, c > 0 vaø 0, ta coù : clog1

clog aa VD: 5log

2

15log 332

Heä quaû 4 : Cho 0 < a 1, c > 0 vaø 0, ta coù : clogclog aa

VD: 5log2

75log 3

7

32

5) Soá e vaø logarit töï nhieân

1) Soá e = ...71828,2x

11lim

x

x

Vôùi soá voán ban ñaàu A, theo theå thöùc tính laõi keùp ñònh kyø lieân tuïc, laõi suaát moãi naêm seõ laø r thì sau N naêm

soá tieàn thu ñöôïc caû voán laãn laõi seõ laø : Nre.AS

2) Logarit cô soá e cuûa 1 soá döông a ñöôïc goïi laø logarit töï nhieân (hay logarit Neâ-pe) cuûa soá a, kyù hieäu laø lna.

BAØI TAÄP

BAØI 1 : Caùc logarit sau ñaây döông hay aâm :

1) log25 2) log0,20,8 3) log50,5 4) 0,25log 7

BAØI 2 : Tính giaù trò bieåu thöùc :

1)

3

5 32

aa

aalog ÑS :

15

34 2) loga

aa

a.a.a5

3 45 33

ÑS : –

30

17

3) 89tanlg...3tanlg2tanlg1tanlgA ÑS : 0 4) A = lg

2(10x) – lg

2x. ÑS : 1 + 2lgx

5) 89tanlg...3tanlg.2tanlg.1tanlgB ÑS : 0 6) B =

5log33log2

182

4

ÑS :

25

3

7) 7log436log5log 993 32781A ÑS : 890 8) B = log36.log89.log62 ÑS : 2/3

9) A = log32.log43.log54.log65.log76.log87 ÑS : 1/3 10) B = 3log

2

2log

1

86 34 ÑS : 10

IV. HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT

1) Ñònh nghóa : Giaû söû a laø moät döông khaùc 1.

Haøm soá daïng y = ax ñöôïc goïi laø haøm soá muõ cô soá a.

Haøm soá daïng y = logax ñöôïc goïi laø haøm soá logarit cô soá a.

2) Ñaïo haøm cuûa haøm soá muõ vaø haøm soá logarit :

Ñaïo haøm cuûa haøm soá sô caáp cô baûn. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp.

1) (xn)’ = n.x

n–1

2) 2

'

x

1

x

1

(x 0)

3) x2

1x

'

(x > 0)

1*) (un)’ = n.u

n–1.u’

2*) 'uu

1

u

12

'

(u 0)

3*) 'uu2

1u

'

(u > 0)

16



4) (sinx)’ = cosx

5) (cosx)’ = –sinx

6) (tanx)’ = 1 + tan2

x =

xcos

12

7) (cotx)’ = – (1 + cot2

x) =

xsin

12

4*) (sinu)’ = cosu.u’

5*) (cosu)’ = –sinu.u’

6*) (tanu)’ = (1 + tan2

u).u’ = 'uucos

12

7*) (cotu)’ = – (1 + cot2

u).u’ = 'uusin

12

8) (ex)’ = e

x

9) (ax)’ = a

x.lna

8*) (eu)’ = e

u.u’

9*) (au)’ = a

u.lna.u’

10) (lnx)’ =

x

1 hay (ln x )’ =

x

1

11) (logax)’ =

aln.x

1 hay (loga x )’ =

aln.x

1

10*) (lnu)’ =

u

1.u’ hay (ln u )’ =

u

1.u’

11*) a

1(log u)' u'

u.lna

hay a

1log u ' u'

u.lna

3) Khaûo saùt haøm soá muõ y = ax (a > 0, a 1)

y = ax, a > 1 y = a

x, 0 < a < 1

1) Taäp xaùc ñònh : R

2) Söï bieán thieân

y’ = axlna > 0, x

Giôùi haïn : 0alimx

x

,

x

x

alim

Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ngang.

3) Baûng bieán thieân

x 0 1

y’

y a

1

0

4) Ñoà thò :

1) Taäp xaùc ñònh : R

2) Söï bieán thieân

y’ = axlna < 0, x

Giôùi haïn :

x

x

alim , 0alimx

x

Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ngang.


x 0 1

y’

y

1

a

0

4) Ñoà thò :

Baûng toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = ax (a > 0, a 1)

Taäp xaùc ñònh ( ; )

Ñaïo haøm y’ = axlna

Chieàu bieán thieân a > 1 : haøm soá luoân ñoàng bieán

0 < a < 1 : haøm soá luoân nghòch bieán

Tieäm caän truïc Ox laø tieäm caän ngang

Ñoà thò Ñi qua caùc ñieåm (0 ; 1) vaø (1 ; a), naèm phía treân truïc hoaønh

(y = ax > 0, x R)

4) Khaûo saùt haøm soá logarit y = logax (a > 0, a 1)

y = logax, a > 1 y = logax, 0 < a < 1

17



1) Taäp xaùc ñònh : (0 ; )

2) Söï bieán thieân : y’ =

alnx

1 > 0, x > 0

Giôùi haïn :

xloglima

0x

,

xloglima

x

Tieäm caän : Truïc Oy laø tieäm caän ñöùng.


x 0 1 a

y’

y 1

0

4) Ñoà thò :

1) Taäp xaùc ñònh : (0 ; )

2) Söï bieán thieân : y’ =

alnx

1 < 0, x > 0

Giôùi haïn :

xloglima

0x

,

xloglima

x

Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ñöùng.


x a 1

y’

y

1

0

4) Ñoà thò :

Baûng toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = logax (a > 0, a 1)

Taäp xaùc ñònh (0 ; )

Ñaïo haøm y’ =

alnx

1

Chieàu bieán thieân a > 1 : haøm soá luoân ñoàng bieán

0 < a < 1 : haøm soá luoân nghòch bieán

Tieäm caän truïc Oy laø tieäm caän ñöùng

Ñoà thò Ñi qua caùc ñieåm (1 ; 0) vaø (a ; 1), naèm phía beân phaûi truïc tung

BAØI 3 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau :

1) y = (2x + 1) 2) y =

ba

x

a

b

x

(a, b > 0) 3) y = 3

3

3

x1

x1

4) y =

5 3 x5ln

5) y = ln(x2 + 1) 6) y = ln(x

2 + 2x) 7) y = ln

2x 8) y = ln

4(sin2x)

9) y = 2axax ee 10) 14) y = xx ee2

1 11) y = 2x + 3

x 12) y =

2

ee xx

17) y =

1xxln 2 18)

xsin1

xsin1lny

19) y =

x21

x21ln

20) y = ln

x1

x1

BAØI 4 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :

1) y =

x

xln 2

treân ñoaïn [1 ; e3] . (ÑH B 2004) 2) y =

2lg

1lg

2

2

x

x .

3) y = 8log2

3x – 6log2

2x – 12log2x + 3 treân ñoaïn

4;

4

1. 4) y = e

3x + 3e

2x – 9e

x + 5 treân ñoaïn [ln2 ; ln5].

5) y = x2.e

x treân ñoaïn [–3 ; 2] . 6) xln1xlny

2 treân ñoaïn [1 ; e]

7) f(x) = 4x – ln(x + 1) treân ñoaïn [0 ; 2]. 8) y = x(ln

2x – 5lnx + 7) treân ñoaïn [1 ; e

2].

9)

2 29 x 2 9 xy e e treân ñoaïn 5 ; 5

. 10) f(x) = 2x + 1

+ (x2 – 6x)ln2 treân ñoaïn [1 ; 2].

18



ÑS : 1)2e

4, 0; 2)

2

1; 3) 19,–61; 4)160, 0; 5) 4e

2, 0; 6) 1 2 , 1; 7) 16 – ln3, ln 2 5 4 ; 8) 3e ; 7 ; 9)

e

1e4 ; 1e2 ; 10) 2ln71 ; 2ln54 .

V. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Phöông phaùp: Bieán ñoåi caùc phöông trình veà moät trong caùc daïng sau (vôùi 0 < a 1).

1) Phöông trình muõ

Daïng 1 : af(x)

= b

blog)x(f

0b,1a0

a

Daïng 2 : af(x)

= ag(x)

)x(g)x(f

1a0

Daïng 3 : af(x)

= bg(x)

blog).x(g)x(fblogalog a

)x(g

a

)x(f

a

2) Phöông trình logarit

Daïng 1 : logaf(x) = b

ba)x(f

1a0 Daïng 2 : logaf(x) = logag(x)

0)x(g)x(f

1a0

Caàn chuù yù ta raát hay nhaàm khi aùp duïng nhoùm coâng thöùc naøy :

Neáu 0 < a 1 , b1b2 > 0 thì :

1) 2a1a21a

blogblogbblog 2)2a1a

2

1

ablogblog

b

blog 3) blog.k2blog

a

k2

a , k Z

+, b 0

BAØI 5 : Giaûi caùc phöông trình sau :

1) 2x 3 2x 29 27 ÑS : 0 ; 3 2)

3x

2 3 2 3 ÑS : –1/3

3) 3x = 25 ÑS : 2log35 4) 5x59 2)x21(log3

ÑS : 102

5) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) ÑS : 5 6) 2)x(loglog)x(loglog 4224 ÑS : 16

8) 3x

17x

7x

5x

128.25,032

ÑS : 10 7) 94x4xlog)2x(log 2

3

2

3 ÑS : 25; –29

9) 2x + 3

x = 5

x ÑS : 1 10) log5x = 11 – 2x ÑS : 5

11)2xx1x )1x(22

2

ÑS : 1 12) 2x3x

5x4x2

3xxlog 2

2

2

3

ÑS : –1; –2

1) 2.16x – 17.4

x + 8 = 0 ÑS :–1/2 ; 3/2 2) 8433

10x10

x5

ÑS : 20

3) 62.54 2x1x2xx 22

ÑS : 3/2 4) 24.74 x2cos1x2cos23

ÑS : /3 + k

5) 2x – 24.2

–x + 2 = 0 ÑS : 2 6) 991010

22 x1x1 ÑS : 1

7) 02055 x3x ÑS : 4 8) 62.42 xcosxsin 22

ÑS : /2 + k

9) 3.16x + 2.81

x = 5.36

x ÑS : 0 ; 1/2 10) 03.264 2xlnxln1xln 2

ÑS : e

–2

11) 0210.325 x

21

x

1

2

1

x

1

ÑS : –1 12) x

1

x

1

x

1

964

ÑS :

2

3log

2

51

13) x x

2 1 2 1 2 2 ÑS : 1 14) 43232xx

ÑS : 2

15) xxx

2.315215 ÑS : 0; 2log

2

15 16) 3x

xx

22157215 ÑS : 0; 7log

2

215

17) 1444 7x3x25x6x2x3x 222

ÑS : 1 ; 2 ;–5 18)

x452x2xx2 22222 ÑS : 31

19) 20xlogxlog 42

4

24

2 ÑS : 2 ; 1/2 20) 2xlog)x2(logx2x2

ÑS : 2

VI. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Phöông phaùp: Bieán ñoåi caùc phöông trình veà moät trong caùc daïng sau (vôùi 0 < a 1).

1) Baát phöông trình muõ

Nếu a > 1 : af(x)

> ag(x)

f(x) > g(x) Nếu 0 < a < 1 : af(x)

> ag(x)

f(x) < g(x)

19



2) Baát phöông trình logarit

Nếu a > 1 : logaf(x) > logag(x) f(x) > g(x) > 0 Nếu 0 < a < 1: logaf(x) > logag(x) 0 < f(x) < g(x)

BAØI 6 : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

1) 2x > 5

x ÑS : x < 0 2)

1x2x3

5x3

22

1

ÑS : (x –4) (–3 < x –1)

3) 04x

xxloglog

2

67,0

ÑS : (–4 < x < –3) (x > 8) 4) 0

1x

3x2loglog 2

3

1

ÑS : x < –2.

5) 1x2log1xlog

2

1

2

1 ÑS :

1x 2

2

6) log2

2x – 5log2x + 4 0 ÑS : 2 < x < 4.

VII. BAØI TOAÙN LAÕI SUAÁT

Laõi keùp laø hình thöùc laõi coù ñöôïc do coäng doàn tieàn laõi thaùng tröôùc vaøo tieàn goác thaønh voán môùi vaø tieáp tuïc

göûi cho thaùng sau.

Chuù yù :

Thuaät ngöõ laõi keùp cuõng ñoàng nghóa vôùi caùc thuaät ngöõ nhö laõi goäp voán, laõi gheùp voán hoaëc laõi nhaäp voán.

Laõi ñôn laø soá tieàn laõi chæ tính treân soá voán goác maø khoâng tính treân soá tieàn laõi do soá voán goác sinh ra trong

moät khoaûng thôøi gian coá ñònh. (Chæ coù voán goác môùi phaùt sinh tieàn laõi).

BAØI TOAÙN : Göûi vaøo ngaân haøng soá tieàn laø A ñoàng theo theå thöùc laõi keùp lieân tuïc, vôùi laõi suaát haøng naêm laø

r. Tính caû voán laãn laõi T sau N naêm?

Höôùng daãn :

Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu.

r (%) laø laõi suaát haøng naêm.

N (naêm) laø soá naêm.

T (ñoàng) tieàn voán laãn laõi sau N naêm.

Cuoái naêm thöù 1, soá tieàn coù ñöôïc: r1Ar.AAT (ñoàng)

Cuoái naêm thöù 2, soá tieàn coù ñöôïc: 2r1Arr1Ar1AT (ñoàng)

Cuoái naêm thöù 3, soá tieàn coù ñöôïc: 322r1Ar.r1Ar1AT (ñoàng)

Töông töï cho caùc naêm tieáp theo ...

Töø ñoù suy ra cuoái naêm thöù n, soá tieàn coù ñöôïc: Nr1AT (ñoàng)

Nhö vaäy neáu ñem göûi ngaân haøng moät soá voán ban ñaàu laø A vôùi laõi suaát moãi naêm laø r theo theå thöùc laõi keùp

thì sau N naêm göûi, soá tieàn thu veà caû voán laãn laõi seõ laø Nr1A .

Ta coù coâng thöùc : Nr1AT

Töø coâng thöùc Nr1AT ta tính ñöôïc caùc ñaïi löôïng khaùc nhö sau:

1)

)r1ln(A

Tln

A

TlogN )r1(

2) 1

A

Tr N 3)

N)r1(

TA

Ta chöùng minh caùc coâng thöùc nhö sau:

1) Laáy logarit Nepe hai veá cuûa (*) ta ñöôïc:

)r1ln(A

Tln

N)r1ln(.NA

Tln)r1ln(.NAlnTln)r1ln(.NAln)r1(AlnTln N

2) Töø 1A

Tr

A

Tr1r1

A

Tr1AT NN

NN 3) Töø

NN

r1

TAr1AT

20



TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC BAØI TOAÙN LAÕI SUAÁT

Coâng thöùc 1: Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng A ñoàng vôùi laõi ñôn r%/kyø haïn thì soá tieàn khaùch haøng nhaän

ñöôïc caû voán laãn laõi sau n kyø haïn (n N*) laø:

Ta coù coâng thöùc 1 : T A nAr A 1 nr

THÍ DUÏ 1 : Moät ngöôøi göûi 100 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi hình thöùc laõi ñôn 5%/naêm thì sau 5 naêm,

soá tieàn khaùch haøng nhaän ñöôïc caû voán laãn laõi laø bao nhieâu?

Höôùng daãn :

Soá tieàn caû goác laãn laõi khaùch haøng nhaän ñöôïc sau 5 naêm laø: T A 1 nr 100 1 5 5% 125 (trieäu ñoàng)

Coâng thöùc 2: (Daønh cho göûi tieàn moät laàn) Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng A ñoàng vôùi laõi suaát hình thöùc

laõi keùp r%/kyø haïn thì soá tieàn khaùch haøng nhaän ñöôïc caû voán laãn laõi sau n kyø haïn (n N*) laø:

Ta coù coâng thöùc 2 : n

T A 1 r

Chuù yù : Trong tính toaùn, caùc baøi toaùn laõi suaát vaø caùc baøi toaùn lieân quan, ta nhôù r

r%

100

THÍ DUÏ 2 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi 100 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát

0,4% /thaùng. Bieát raèng neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi thaùng, soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp

vaøo voán ban ñaàu ñeå tính laõi cho thaùng tieáp theo. Hoûi sau ñuùng 6 thaùng, ngöôøi ñoù ñöôïc lónh soá tieàn (caû voán

ban ñaàu vaø laõi) gaàn nhaát vôùi soá tieàn naøo döôùi ñaây, neáu trong khoaûng thôøi gian naøy ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn

ra vaø laõi suaát khoâng thay ñoåi?

A. 102.424.000 ñoàng B. 102.423.000 ñoàng C. 102.016.000 ñoàng D. 102.017.000 ñoàng

Höôùng daãn :

AÙp duïng coâng thöùc laõi keùp, ta coù sau ñuùng 6 thaùng, ngöôøi ñoù ñöôïc lónh soá tieàn caû voán ban ñaàu vaø laõi laø:

n 6

T A 1 r 100 1 0,4% 102.424.128,4 (ñoàng) choïn A

THÍ DUÏ 3 : (THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 7,5%/naêm. Bieát raèng

neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo voán ñeå tính laõi cho

naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù thu ñöôïc (caû soá tieàn göûi ban ñaàu vaø laõi) gaáp ñoâi soá

tieàn göûi ban ñaàu, giaû ñònh trong khoaûng thôøi gian naøy laõi suaát khoâng thay ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn ra?

A. 11 naêm B. 9 naêm C. 10 naêm D. 12 naêm

Höôùng daãn :

Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu ; r (%) laø laõi suaát haøng naêm ; N (naêm) laø soá naêm ; S (ñoàng) tieàn voán laãn

laõi sau N naêm. AÙp duïng coâng thöùc:

10...5843,92log2logNr12r1AA2r1AS %)5,71()r1(

NNN choïn C

THÍ DUÏ 4 : (THPT QG 2017) Moät ngöôøi göûi 50 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 6%/naêm. Bieát

raèng neáu khoâng ñöôïc pheùp ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo goác

ñeå tính laõi cho naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù nhaän ñöôïc soá tieàn nhieàu hôn 100

trieäu ñoàng bao goàm goác vaø laõi? Giaû ñònh trong suoát thôøi gian göûi, laõi suaát khoâng ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt

tieàn ra.


Höôùng daãn :

Ta coù coâng thöùc n%r1aT neân 50.(1 + 6%)n 100 (trieäu ñoàng) n log(1 + 6%)2 n 12 Choïn C

THÍ DUÏ 5 : (THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 7,5%/naêm. Bieát raèng

neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo voán ñeå tính laõi cho

21



naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù thu ñöôïc (caû soá tieàn göûi ban ñaàu vaø laõi) gaáp ñoâi soá

tieàn göûi ban ñaàu, giaû ñònh trong khoaûng thôøi gian naøy laõi suaát khoâng thay ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn ra?


Höôùng daãn :

Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu ; r (%) laø laõi suaát haøng naêm ; N (naêm) laø soá naêm ; S (ñoàng) tieàn voán laãn

laõi sau N naêm. AÙp duïng coâng thöùc:

10...5843,92log2logNr12r1AA2r1AS %)5,71()r1(

NNN choïn C

THÍ DUÏ 6 : (THPT QG 2017) Ñaàu naêm 2016, oâng A thaønh laäp moät coâng ty. Toång soá tieàn oâng A duøng ñeå traû

löông cho nhaân vieân trong naêm 2016 laø 1 tyû ñoàng. Bieát raèng cöù sau moãi naêm thì toång soá tieàn duøng ñeå traû

löông cho nhaân vieân trong caû naêm ñoù taêng theâm 15% so vôùi naêm tröôùc. Hoûi naêm naøo döôùi ñaây laø naêm ñaàu

tieân maø toång soá tieàn oâng A duøng ñeå traû löông cho nhaân vieân trong caû naêm lôùn hôn 2 tyû ñoàng?

A. Naêm 2023. B. Naêm 2022 C. Naêm 2021 D. Naêm 2020

Höôùng daãn :

Ta coù coâng thöùc: (1 + 15%)n 2 tyû ñoàng n log(1 + 5%)2 n 5 2016 + 5 = 2021 choïn C.

THÍ DUÏ 7 : Moät soá tieàn 100.000.000 ñoàng göûi tieát kieäm trong 2 naêm thì laõnh veà ñöôïc 112.360.000 ñoàng.

Tìm laõi suaát haøng naêm?

Höôùng daãn :

Ta coù : nr1AT 1A

Tr

A

Tr1

A

T)r1( nnn

Vaäy laõi suaát haøng naêm laø: 1000.000.100

000.360.112r = 0,06 hay 6%.

THÍ DUÏ 8 : (THI THÖÛ THPT QG TÆNH ÑOÀNG THAÙP 2015–2016) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm ngaân haøng vôùi laõi

suaát 6,8%/naêm vaø laõi haøng naêm ñöôïc nhaäp vaøo voán. Cho bieát soá tieàn caû goác vaø laõi ñöôïc tính theo coâng thöùc

nr1AS , trong ñoù A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát vaø N laø soá kyø haïn göûi. Hoûi sau bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù

thu ñöôïc gaáp ñoâi soá tieàn ban ñaàu?

Höôùng daãn :

Sau n naêm soá tieàn thu ñöôïc laø N068.01AS

Ñeå S = 2A thì phaûi coù 54.102logN2068.1A.2068.01A 068.1

NN

Vaäy muoán thu ñöôïc gaáp ñoâi soá tieàn ban ñaàu, ngöôøi ñoù phaûi göûi 11 naêm.

Coâng thöùc 3: (Daønh cho göûi tieàn haøng thaùng) Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng a ñoàng vôùi laõi suaát haøng

thaùng laø r% . Hoûi sau n thaùng, khaùch haøng coù bao nhieâu tieàn?

Cuoái thaùng thöù n, khaùch haøng coù soá tieàn caû goác laãn laõi laø:

Ta coù coâng thöùc 3 : na

T 1 r 1 1 r

r

n

n

T .ra

1 r 1 r 1

vaø

nT .r

ln 1 r

a

n 1

ln 1 r

THÍ DUÏ 9 : Moät ngöôøi muoán sau 5 naêm coù 1 tæ ñoàng ñeå mua oâ toâ. Hoûi raèng ngöôøi khaùch haøng ñoù phaûi göûi

ngaân haøng moãi thaùng (soá tieàn nhö nhau) laø bao nhieâu? Bieát laõi suaát moãi thaùng laø 0.5%.

Höôùng daãn :

Coi raèng ngöôøi khaùch haøng ñoù göûi tieàn vaøo thôøi ñieåm cuoái thaùng, aùp duïng coâng thöùc laõi keùp, göûi haøng

thaùng. Theá soá T60 = 1.000.000.000 vaø r = 0.5% vaøo coâng thöùc, ta coù:

n

n 60

T .r 1.000.000.000 0.5%a

1 r 1 r 1 1 0.5% 1 0.5% 1

Vaäy moãi thaùng ngöôøi khaùch haøng phaûi göûi tieát kieäm khoaûng 14 trieäu 260 ngaøn ñoàng vaøo ngaân haøng, lieân

tuïc trong 5 naêm.

22



Coâng thöùc 4: (Daønh cho baøi toaùn traû goùp) Goïi soá tieàn vay laø N, laõi suaát laø r, n laø soá thaùng phaûi traû, A laø soá

tieàn phaûi traû vaøo haøng thaùng ñeå sau n thaùng laø heát nôï.

Goïi x (ñoàng) laø soá tieàn phaûi traû haøng thaùng

Nhôù: Traû heát nôï thì sau n thaùng, soá tieàn seõ baèng 0.

Ta coù coâng thöùc 4 :

1)r1(

)r1.(r.Ax

n

n

THÍ DUÏ 10 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2019) OÂng A vay ngaân haøng 100 trieäu ñoàng vôùi laõi suaát 1%/thaùng.

OÂng ta muoán hoaøn nôï cho ngaân haøng theo caùch: Sau ñuùng moät thaùng keå töø ngaøy vay, oâng baét ñaàu hoaøn nôï;

hai laàn hoaøn nôï lieân tieáp caùch nhau ñuùng moät thaùng, soá tieàn hoaøn nôï ôû moãi thaùng laø nhö nhau vaø oâng A traû

heát nôï sau ñuùng 5 naêm keå töø ngaøy vay. Bieát raèng moãi thaùng ngaân haøng chæ tính laõi treân soá dö nôï thöïc teá cuûa

thaùng ñoù. Hoûi soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn traû cho ngaân haøng gaàn nhaát vôùi soá tieàn naøo döôùi ñaây?

A. 2,22 trieäu ñoàng B. 3,03 trieäu ñoàng C. 2,25 trieäu ñoàng D. 2,20 trieäu ñoàng

Höôùng daãn :

AÙp duïng coâng thöùc traû goùp, oâng A traû heát nôï sau ñuùng 5 naêm keå töø ngaøy vay, soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn

traû cho ngaân haøng: Vôùi S = 100 trieäu ñoàng, r = 1% vaø n = 5 12 = 60 thaùng thì :

n

n

A.r 1 r

x

1 r 1

=

1%11

%11%.110060

60

2,22 trieäu ñoàng choïn A

THÍ DUÏ 11 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2017) OÂng A vay ngaén haïn ngaân haøng 100 trieäu ñoàng, vôùi laõi suaát

12%/naêm. OÂng muoán hoaøn nôï cho ngaân haøng theo caùch : Sau ñuùng moät thaùng keå töø ngaøy vay, oâng baét ñaàu

hoaøn nôï ; hai laàn hoaøn nôï lieân tieáp caùch nhau ñuùng moät thaùng, soá tieàn hoaøn nôï ôû moãi laàn laø nhö nhau vaø traû

heát tieàn nôï sau ñuùng 3 thaùng keå töø ngaøy vay. Hoûi, theo caùch ñoù, soá tieàn m maø oâng A seõ phaûi traû cho ngaân

haøng trong moãi laàn hoaøn nôï laø bao nhieâu ? Bieát raèng, laõi suaát ngaân haøng khoâng thay ñoåi trong thôøi gian oâng

A hoaøn nôï.

A. 3

01,1.100m

3

(trieäu ñoàng) B.

101,1

01,1m

3

3

(trieäu ñoàng)

C.

3

03,1100m

(trieäu ñoàng) D.

112,1

12,1.120m

3

3

(trieäu ñoàng)

Höôùng daãn :

AÙp duïng coâng thöùc traû goùp, oâng A traû heát nôï sau ñuùng 3 thaùng keå töø ngaøy vay, soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn

traû cho ngaân haøng: Vôùi S = 100 trieäu ñoàng, r = 12%:12 = 1% thaùng vaø n = 3 thaùng thì:

n

n

A.r 1 r

m

1 r 1

=

3

3

3 3

100 1%. 1 1% (1.01)

(1,01) 11 1% 1

choïn B

VIII. BAØI TOAÙN TÆ LEÄ TAÊNG TRÖÔÛNG

Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa vi khuaån: Tính tæ leä taêng tröôûng r cho coâng thöùc S = A.er.N

.

A laø soá löôïng vi khuaån ban ñaàu; S laø soá löôïng vi khuaån sau thôøi gian N, r laø tæ leä taêng tröôûng (r > 0), N laø

thôøi gian taêng tröôûng.

Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo: Giaû söû löôïng beøo ban ñaàu laø T0 vaø moãi giôø löôïng beøo taêng gaáp k laàn thì

sau n giôø löôïng beøo seõ laø n

0T T .k

THÍ DUÏ 12 : (SGK) Söï taêng daân soá ñöôïc öôùc tính theo coâng thöùc Nre.AS , trong ñoù A laø daân soá cuûa naêm

laáy laøm moác tính, S laø daân soá sau N naêm, r laø tæ leä taêng daân soá haøng naêm. Bieát raèng tæ leä taêng daân soá treân

theá giôùi haøng naêm laø 1,32%, naêm 1998 daân soá theá giôùi vaøo khoaûng 5926,5 trieäu ngöôøi. Khi ñoù döï ñoaùn daân

soá theá giôùi naêm 2008 (10 naêm) sau seõ laø bao nhieâu ? (giaû söû tæ leä taêng daân soá haøng naêm laø khoâng thay ñoåi).

23



A. 6762,6 (trieäu ngöôøi) B. 6762,7 (trieäu ngöôøi) C. 6762,8 (trieäu ngöôøi) D. 6762,9 (trieäu ngöôøi)

Höôùng daãn :

Döï ñoaùn daân soá theá giôùi naêm 2008 seõ laø : 8,6762e.5,5926e.AS 0132,0.10Nr (trieäu ngöôøi)

THÍ DUÏ 13 : (SGK) Bieát raèng naêm 2001, daân soá Vieät Nam laàn löôït laø 78685800 ngöôøi vaø tæ leä taêng tröôûng

daân soá naêm ñoù laø 1,7% vaø söï taêng daân soá ñöôïc öôùc tính theo coâng thöùc Nre.AS . Hoûi cöù taêng daân soá vôùi tæ

leä nhö vaäy thì ñeán naêm naøo daân soá nöôùc ta ôû möùc 100 trieäu ngöôøi ? (giaû söû tæ leä taêng daân soá haøng naêm laø

khoâng thay ñoåi)

A. naêm 2014 B. naêm 2015 C. naêm 2016 D. naêm 2017

Höôùng daãn :

Theo giaû thieát, ta coù : N017,0N017,0 e.6858,78ln100lne.6858,78100 14017,0

6858,78ln100lnN

Vaäy cöù neáu taêng daân soá vôùi tæ leä haøng naêm laø 1,7% thì ñeán naêm 2015 daân soá nöôùc ta seõ ôû möùc 100 trieäu

ngöôøi.

THÍ DUÏ 14 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2020 LAÀN 1) Ñeå döï baùo daân soá cuûa moät quoác gia, ngöôøi ta söû duïng

coâng thöùc S = Aenr

; trong ñoù A laø daân soá cuûa naêm laáy laøm moác tính, S laø daân soá sau n naêm, r laø tæ leä taêng

daân soá haøng naêm. Naêm 2017, daân soá Vieät Nam laø 93.671.600 ngöôøi (Toång cuïc Thoáng keâ, Nieân giaùm thoáng

keâ 2017, Nhaø xuaát baûn Thoáng keâ, Tr.79). Giaû söû tæ leä taêng daân soá haèng naêm khoâng ñoåi laø 0,81%, döï baùo

daân soá Vieät Nam naêm 2035 laø bao nhieâu ngöôøi (keát quaû laøm troøn ñeán chöõ soá haøng traêm)?

A. 109.256.100 B. 108.374.700 C. 107.500.500 D. 108.311.100

Höôùng daãn :

Ta coù: 2035 – 2017 = 18 n = 18.

Theá A = 93.671.600 ; n = 18 vaø r = 0,81% vaøo coâng thöùc: S = A.eNr

Daân soá Vieät Nam naêm 2035 laø S = 93.671.600 × e18 × 0,81%

108.374.741 choïn B.

THÍ DUÏ 15 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2017) Soá löôïng cuûa loaïi vi khuaån A trong moät phoøng thí nghieäm

ñöôïc tính theo coâng thöùc s(t) = s(0).2t, trong ñoù s(0) laø soá löôïng vi khuaån A luùc ban ñaàu, s(t) laø soá löôïng vi

khuaån A coù sau t phuùt. Bieát sau 3 phuùt thì soá löôïng vi khuaån A laø 625 nghìn con. Hoûi sau bao laâu, keå töø luùc

ban ñaàu, soá löôïng vi khuaån A laø 10 trieäu con?

A. 48 phuùt B. 19 phuùt C. 7 phuùt D. 12 phuùt

Höôùng daãn :

Ta coù s(3) = s(0).33 625.000 = 8.s(0) s(0) = 78125. Goïi thôøi gian caàn tìm laø t phuùt.

Ta coù : s(t) = s(0).2t

128

78125

1000000

0s

ts2

t 2t – 128 = 0 t = 7 choïn C

THÍ DUÏ 16 : (ÑMH THPT QG 2020 LAÀN 2) Ñeå quaûng baù cho saûn phaåm A, moät coâng ty döï ñònh toå chöùc

quaûng caùo theo hình thöùc quaûng caùo treân truyeàn hình. Nghieân cöùu cuûa coâng ty cho thaáy: neáu sau n laàn

quaûng caùo ñöôïc phaùt thì tæ leä ngöôøi xem quaûng caùo ñoù mua saûn phaåm A tuaân theo coâng thöùc P(n) =

n015,0

e491

1

. Hoûi caàn phaùt ít nhaát bao nhieâu laàn quaûng caùo ñeå tæ leä ngöôøi xem mua saûn phaåm ñaït treân

30%?

A. 202 B. 203 C. 206 D. 207

Höôùng daãn :

Ñeå tæ leä ngöôøi mua saûn phaåm ñaït treân 30%, ñieàu kieän laø: 10

3%30

e491

1nP

n015,0

203n968,202

21

1ln

015,0

1n

21

1lnn015,0

21

1e

3

10e491

n015,0n015,0

nmin = 203 Choïn B.

24



THÍ DUÏ 17 : (THPT QG 2020 ÑÔÏT 1) Trong naêm 2019, dieän tích röøng troàng môùi cuûa tænh A laø 600 ha. Giaû

söû dieän tích röøng troàng môùi cuûa tænh A moãi naêm tieáp theo ñeàu taêng 6% so vôùi dieän tích röøng troàng môùi cuûa

naêm lieàn tröôùc. Keå töø sau naêm 2019, naêm naøo döôùi ñaây laø naêm ñaàu tieân tænh A coù dieän tích röøng troàng môùi

trong naêm ñoù ñaït treân 1000 ha?

A. Naêm 2028 B. Naêm 2047 C. Naêm 2027 D. Naêm 2046

Höôùng daãn :

Goïi P0 laø dieän tích röøng troàng môùi naêm 2019.

Goïi Pn laø dieän tích röøng troàng môùi sau n naêm.

Goïi r% laø phaàn traêm dieän tích röøng troàng môùi taêng moãi naêm.

Sau 1 naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: P1 = P0 + P0r = P0(1 + r)

Sau 2 naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: P2 = P1 + P1r = P0(1 + r)2

…

Sau n naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: Pn = P0(1 + r)n

Theo giaû thieát: P0 = 600, r = 0,06 600(1 + 0,06)n > 1000

6

1006,1

n

6

10logn

06,1 8,8

Do ñoù n = 9.

Vaäy sau 9 naêm (töùc naêm 2028) thì tænh A coù dieän tích röøng troàng môùi trong naêm ñoù ñaït treân 1000 ha.

THÍ DUÏ 18 : (THPT QG 2020 ÑÔÏT 2) Naêm 2020, moät haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø

750.000.000 ñoàng vaø döï ñònh trong 10 naêm tieáp theo, moãi naêm giaûm 2% giaù baùn so vôùi giaù baùn cuûa naêm

lieàn tröôùc. Theo döï ñònh ñoù, naêm 2025 haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø bao nhieâu (keát quaû laøm

troøn ñeán haøng nghìn)?

A. 677.941.000 ñoàng B. 675.000.000 ñoàng C. 664.382.000 ñoàng D. 691.776.000 ñoàng

Höôùng daãn :

Ñaët A = 750.000.000 ñoàng laø giaù nieâm yeát loaïi xe X naêm 2020.

Naêm 2021, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 02,01A

100

2AAA

1

Naêm 2022, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 212

02,01A02,01AA

…

Vaäy ñeán naêm 2025, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 000.941.67702,01AA5

5 ñoàng.



0T T .k

THÍ DUÏ 19 : Moät ngöôøi thaû 1 laù beøo vaøo moät caùi ao, sau 12 giôø thì beøo sinh soâi phuû kín maët ao. Hoûi sau

maáy giôø thì beøo phuû kín 1/5 maët ao, bieát raèng sau moãi giôø thì löôïng beøo taêng gaáp 10 laàn löôïng beøo tröôùc ñoù

vaø toác ñoä taêng khoâng ñoåi.

A. 12 – log5 (giôø) B. 12

5

(giôø) C. 12 – log2 (giôø) D. 12 + ln5 (giôø)

Höôùng daãn :

Caùch 1 : Söû duïng coâng thöùc soá haïng toång quaùt cuûa caäp soá nhaân

Coâng thöùc soá haïng toång quaùt cuûa caáp soá nhaân:

Neáu (un) laø moät caáp soá nhaân coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng boäi q 0 thì soá haïng toång quaùt un cuûa noù ñöôïc xaùc

ñònh theo coâng thöùc sau :

un = u1.qn –1

(n 2)

Vì cöù sau moät giôø thì dieän tích cuûa ñaùm beøo lôùn gaáp 10 laàn dieän tích ñaùm beøo tröôùc ñoù neân ñaây laø moät caáp

soá nhaân coù coâng boäi laø 10.

Giaû söû dieän tích beøo ban ñaàu laø u1.

25



Dieän tích beøo giôø thöù n laø: un = u1.10n –1

.

Sau 12 giôø beøo phuû khaép maët hoà. Khi ñoù dieän tích beøo seõ laø: u12 = u1.1011

.

Goïi t (giôø) laø thôøi gian ñaùm beøo phuû kín 1

5

maët hoà.

Dieän tích beøo giôø thöù t laø: ut = u1.10t –1

.

Beøo phuû kín 1

5

maët hoà, töùc laø dieän tích beøo seõ laø: 11

1

1u .10

5

Ta coù: t 1 11

1 1

1u .10 u .10

5

t 12

1 1

1u .10 u

5

t 12 1

10

5

1

t 12 log

5

t 12 log5 t 12 log5 Choïn A.

Caùch 2 : Söû duïng coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo



0T T .k

Ta coù : n

0T T .k

12

0T(12) T .10

Goïi t0 laø thôøi gian beøo phuû 1

5

maët hoà thì 0 0t t 12

0 0 0

1 1T .10 T(12) T .10 T .10

5 5

0 0t t12 12 12

0 0

1 1 110 10 log10 log 10 t log log10 t log5 12

5 5 5

Choïn A.

----------

Documents

HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ …