Harmônicas: Conceitos e Definições Prof. Origa...- amplitude e ângulo de fase da componente fundamental; F h, φ h- amplitude e ângulo de fase da h-ésima componente harmônica

Harmônicas: Conceitos e Definições

Prof. Origa

www.feis.unesp.br/laqee

Conteúdo


Harmônicas?

Harmônicas (Conceitos e Definições)


Distorções Harmônicas são fenômenos associados com deformações nas

formas de onda das tensões e correntes em relação à onda senoidal.

Parâmetros idealizados:

Harmônicas (Conceitos e Definições)

www.feis.unesp.br/laqee Rede de distribuição com 12000 consumidores

Harmônicas (Constatações)


Composição Harmônica de um Sinal

Uma analogia sonora ...

ACORDE: sinal composto

acorde é composto por NOTAS MUSICAIS

(Sinal elétrico)

(Componentes harmônicas do sinal elétrico)


Cálculo das Componentes Harmônicas

Teorema de Fourier:

2

11

h

hho φth.senFφωtsenFFF(t)

F0 - componente constante;

F1, φ1- amplitude e ângulo de fase da componente fundamental;

Fh, φh- amplitude e ângulo de fase da h-ésima componente harmônica.

1768 to 1830

harmônicas

fundamental

função contínua e periódica pode ser representada por um somatório de

componentes senoidais e uma componente constante (1822).

(Mesma frequência do sinal original)

(frequências múltiplas do sinal original)

sinal original


Análise Harmônica do Sinal

Determinação das amplitudes e fases das componentes senoidais (fundamental e harmônicas)

Determinação da amplitude da componentes contínua

)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh

h

h

1

0

h

h

hh thsenFAtF1

0 )()( h - ordem harmônica

22

hhh BAF )BA(tg hhh

1

Polar

Cartesiana

Relações:

Parâmetros


dtthsenBthAdtAdttF

t

t

t

t

t

t

h

h

hh .)()cos(.).(1

0

t

t

o dttFA ).(1

)]()cos([)(1

0 thsenBthAAtF hh

h

h

Definição:

Tem-se:

Componente Constante: Ao



Tt

t

h

h

hh

Tt

t

dt.)thcos().th(senB)th(cosAdt).thcos(A1

2

0

Multiplicando por cos(ht ) e integrando no período (T), tem-se:

t

t

dt).thcos().t(F


h

h

1

0Definição:

00 Tt

t

dt).thcos(A Primeiro termo:


Coeficiente: Ah


t

t

h )t(d).thcos().t(FA 2

Tt

t

h

Tt

t

h

Tt

t

h dt.A

dt).th(sen(A

dt).th(cosA2

212

2

Tt

t

h dt).thcos().th(senB

t)nm(sent)nm(sen)tncos().tm(sen 2

1

02

1

dt.t)nmcos(t)nm(sen

Tt

t

)tn(sen)tncos().tn(sen 22

1

Terceiro termo:

Segundo termo:

m≠n:

m=n: 022

1

dt.)tn(sen

Tt

t

T.A

dt).thcos().t(F h

t

t2

então:


Coeficiente: Ah


t

t

h )t(d).t.h(sen).t(F.B 2

t

t

dt).th(sen).t(F

Tt

t

h

h

hh

Tt

t

dt.)thcos().th(senA)th(senBdt).th(senA1

2

0

Multiplicando por sen(ht ) e integrando no período (T), tem-se:


h

h

1

0Definição:

Analogamente:


Coeficiente: Bh


Análise Harmônica do Sinal (Resumo)

t

t

o dttFA ).(1

t

t

h tdthtFA )().cos().(2

t

t

h tdthsentFB )()..().(.2

h

h

hh thsenFAtF1

0 )()(

22

hhh BAF

)(1

hhh BAtg

Sinal original F(t) ( tensão ou corrente ):

Determinar:


Análise Harmônica do Sinal (Propriedades)

função f(x) ímpar quando f(-x) = - f(x) função f(x) é par, quando f(-x) = f(x)

cos (-hx) = cos (hx) sin (-hx) = - sin (hx)

t

t

h )t(d).thcos().t(FA 2

t

t

h )t(d).th(sen).t(FB 2


h

h

1

0

Sabendo-se que: Ah = 0 para F(t) ímpar (série com termos em senos)

Bh = 0 para F(t) par (série com termos em cossenos)

)(1

hhh BAtg F(t) ímpar φh = 0

F(t) par φh = ± π/2

• Se f(x + π) = −f(x), só existem coeficientes de índice ímpar.


Sinais discretos ( sistemas de medição com conversor A/D )

N

n

h )thcos().t(FN

A1

2

N

n

h )th(sen).t(FN

B1

2

N - Número de amostras no período T N

Tt

N

n

h t)thcos().t(FA1

2

N

n

h tthsentFB1

)().(2

t

t

h dtthtFA ).cos().(2

t

t

h dtthsentFB ).().(2


Analógico Digital


2

2

0

2

2

0

0 .1.11

).(1

T

T T

T

dtdtT

dttFT

A

Obter as componentes harmônicas do sinal

Coeficiente: Ao

Descrição analítica:

1)( tF

-0,5 ≤ t ≤ 0

0 < t ≤ 0,5

1)( tF

0oA

Cálculo das Componentes Harmônicas -01


2

0

0

2

2

2

).cos().cos(.12

)cos().(2

T

T

T

T

h dtthdtthT

dtthtFT

A

Coeficiente: Ah

2

0

0

2

)(12

)(12

T

Th thsen

hTthsen

hTA

0hA



2

0

0

2

2

0

0

2

2

2

)cos(12

)cos(12

).().(.12

)().(2

T

T

T

T

T

T

h

thhT

thhT

dtthsendtthsenT

dtthsentFT

B

Coeficiente: Bh

)cos(12

hh

Bh

para h ímpar

0hB para h par

hBh

4



...

5

)5(

3

)3()(

4)(

tsentnestsentF

Representação analítica em função das componentes harmônicas

)cos(12

hh

Bh

para h ímpar

0hB para h par

hBh

4

0hA0oA


h

h

1

0

h

h

hh thsenFAtF1

0 )()( 22

hhh BAF

0)0(1

hh Btg

Polar

Cartesiana

hh BF

)(1

hhh BAtg

...

5

)5(

3

)3()(

4)(

tsentnestsentF



-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

)(4

)( tsentf

)3

)3()((

4)(

tsentsentf

)

5

)5(

3

)3()((

4)(

tsentsentsentf

)9

)9(

7

)7(

5

)5(

3

)3()((

4)(

tsentsentsentsentsentf

Recomposição do sinal:

...

7

)7(

5

)5(

3

)3()(

4)(

tsentsentnestsentF



Sinal Composto

...

7

)7(

5

)5(

3

)3()(

4)(

tsentsentnestsentF

Espectro harmônico

% F

un

da

men

tal

h – ordem harmônica

Representação do sinal :



Obter as componentes harmônicas do sinal de tensão

mm

VdtdttsenVV

0

/2

0 .0).(2

2T

t

t

o dttvV ).(1

Descrição analítica:

)t(senV)t(v m

0)( tv

0 ≤ t ≤ π/ω

π/ω < t ≤ 2π/ω

Componente média:



00

112

dt.t)h(sent)h(senV

dt).thcos()t(senVA mmh

02

2

22

2 000

1

tcosVdt.tsen

Vdt).tcos()t(senVA mm

m

2

)ba(sen)ba(sen)bcos()a(sen

para h ímpar e h≠1 0hA

)1).(1(

4

2 hh

VA m

h

para h par

para h=1

)h(

)hcos(

)h(

)hcos(VA m

h1

11

1

11

2

01

1

1

1

2

)h(

t)hcos(

)h(

t)hcos(VA m

h

t

t

h tdthtFA )().cos().(2

Componente Ah:



00

112

dt.t)hcos(t)hcos(V

dt).th(sen)t(senVB mmh

2

)bacos()bacos()b(sen)a(sen

0

1

1

1

1

2

)h(

t)h(sen

)h(

t)h(senVB m

h

01

1

1

1

2

)h(

)h(sen

)h(

)h(senVB m

h

22

2

221

2 000

1mmm

m

Vtsent

Vdt.tcos

Vdt).t(sen)t(senVB

t

t

h tdthsentFB )().().(2

para h=1

para h≠1

Componente Bh:



)1).(1(

2

hh

VA m

h

(para h par)

21

mVB

mV

V 0

)]()cos([)(1

0 thsenBthAVtv hh

h

h

máxNh

h

mmm )th(cos)h(

V)t(sen

VV)t(v

22 1

12

2

...)t(cosV

)t(cosV

)t(cosV

)t(senVV

)t(v mmmmm

635

24

15

22

3

2

2

...)tsen(6V

)tsen(4V

)tsen(V

)t(senVV

)t(v mmmmm 235

22

15

222

3

2

2

h

h

hh thsenFAtF1

0 )()( 22

hhh BAF )BA(tg hhh

1

Composição:

Resultados obtidos:

Então:



)t(senVV

)t(v mm 2

)t(senV

)t(senVV

)t(v mmm

22

3

2

2

)t(senV

)t(senV

)t(senVV

)t(v mmmm

24

15

2

22

3

2

2

)t(sen

V)t(sen

V)t(sen

V)t(sen

VV)t(v mmmmm

26

35

2

24

15

2

22

3

2

2

Recomposição do sinal:

...)2sen(635

2)2sen(4

15

2)22sen(

3

2)(

2)(

t

Vt

Vt

Vtsen

VVtv mmmmm



Valor eficaz (RMS - Root Mean Square) de sinal variável e periódico de tensão ou corrente:

É o valor constante equivalente associado mesma quantidade de potência em uma carga.

0

2

0 0

2 .)(..1

..1

dttsenIR

dtiRdtivP mca

2

0 0

211RIdt.I.Rdt.I.VPcc

ccca PP

22

211

0

2

0

2 mmmrms

Idt.

)tcos(Idt.)tsenI(I

Valor Eficaz de um Sinal Não Senoidal

2

2

0

2 ..)(1

. rmsmca IRdttsenIRP

constante

senoidal


0

21dtiI rms

1

22

0

1

22

0 )(2 h

RMS

h

h

hrms VV

VVV

Equipamentos de Medida

Valor Eficaz de um Sinal Não Senoidal

h

h

hh thsenIIti1

0 )()(

1

22

0

1

22

0

1

2

2

0 )(22 h

RMS

h

h

h

h

hrms II

II

III

periódica

analogamente

Valor eficaz

verdadeiro

( True – rms )


Quantificação das Componentes Harmônicas

Define-se:

Valor eficaz do sinal :

Sinal elétrico genérico :

Distorção harmônica individual :

Distorção harmônica total :

h

h

hh thsenFAtF1

0 )()(

100.(%)1F

FDI h

100.(%)1

2

2max

F

F

DT

h

h

h

1

22

02h

hrms

FFF


Componentes Simétricas ( revisão )

2

1

0

2

2

1

1

111

a

a

a

c

b

a

F

F

F

.

αα

αα

F

F

F

Teorema de Fortescue ( Componentes simétricas ):

c

b

a

a

a

a

F

F

F

.

αα

αα

F

F

F

2

2

2

1

0

1

1

111

3

1

Em relação a Fase A:

Matricial: 012abc TFF

abc012 FTF1

Um sistema trifásicos desequilibrados pode ser representado por três sistemas equilibrados com diferentes

sequencias de fases.

210 aaaa FFFF

210 FFFF bbbb

210 cccc FFFF

21

2

0 aaab FαFαFF 2

2

10 aaac FαFαFF 210 aaaa F F FF o1201


Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos

)32()(

)32()(

)0()(

11

11

11

tsenFtF

tsenFtF

tsenFtF

C

B

A

)322(

)322(

)02(

22

22

22

tsenF

tsenF

tsenF

)03(

)03(

)03(

33

33

33

tsenF

tsenF

tsenF

)324(

)324(

)04(

44

44

44

tsenF

tsenF

tsenF

...)325(

...)325(

...)05(

55

55

55

tsenF

tsenF

tsenF

Seq. 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h

Positiva √ √ √

Negativa √ √ √

Zero √ √ √

Distribuição Sequencial:

Sinal trifásico:

h

h

hhA thsenFtF1

)0()(

h

h

hhB thsenFtF1

)3/2()(

h

h

hhC thsenFtF1

)3/2()(


• Valor RMS por fase e no neutro

• DT(%) e DI(%) por fase

• Distribuição sequencial das harmônicas

h FA(pu) ΦA(O) FB(pu) ΦB(O) FC(pu) ΦC(O)

1 1,84 9,54 1,85 -111,6 1,86 129,2

3 1,26 -157,0 1,24 -159,3 1,28 -158,9

4 0,08 57,1 0,03 83,9 0,01 -2,5

5 0,49 26,4 0,45 148,8 0,48 -90,8

7 0,13 122,1 0,12 -35,3 0,11 -124,2

9 0,17 -105,3 0,20 -97,1 0,24 -95,1 Valores de pico das componentes harmônicas

Sinal trifásico:

Obter:



1

2

2h

hrms

FF

Valores eficazes de distorções harmônicas totais

FA(A) FB(A) FC(A)

RMS (A) 1,62 1,62 1,64

1

22

02h

hrms

FFF

A,,,,,,,F A

rms 62311701304900802618412

1 222222

A,F C

rms 6431

Valor eficaz na fase A:

Valor eficaz na fase B:

Valor eficaz na fase C:


A,,,,,,,F B

rms 61512001204500302418512

1 222222


ChBhAhNh FFFF

Corrente no Neutro (pico):

Corrente no neutro fund. (h=1): A,,,,,,,F oooo

N 0,148050212986161118515498411

Corrente no neutro (h=3):



A,,,,F oooo

N 4158779,39,1582813,1592410,1572613

AF oooo

N 6,59112,05,201,09,8303,01,5708,04

AF oooo

N 5,31055,08,9048,08,14845,04,2649,05



AF oooo

N 3,123060,02,12411,03,3512,01,12213,07

AF oooo

N 6,98608,01,9524,01,9720,03,10517,09

h Pico (A) Fase (graus)

1 0,050 148,0

3 3,779 -158,4

4 0,112 59,6

5 0,055 -31,5

7 0,060 -123,3

9 0,608 -98,6



H Neutro (A)

1 0,05

3 3,78

4 0,11

5 0,06

7 0,06

9 0,61

RMS(A) 2,71

Correntes no Neutro e nas Fases (RMS):

2,71 A

1,62 A

1,62 A

1,64 A

FA(A) FB(A) FC(A)

RMS (A) 1,62 1,62 1,64

1

2

2h

hrms

FF

Componentes de sequencia zero

Componentes de sequencias positiva e negativas


A,,,,,F N

rms 71,261006006011078305,02

1 222222


100.(%)1F

FDI h

H DIA(%) DIB(%) DIC(%)

1 100,0 100,0 100,0

3 68,5 67,0 68,8

4 4,3 1,6 0,5

5 26,6 24,3 25,8

7 7,1 6,5 5,9

9 9,2 10,8 12,9

Distorções harmônicas individuais

%5,68100.84,1

26,1(%) ADIDI(%) (h=3):

DI(%) (h=4):

DI(%) (h=5):

DI(%) (h=7):

DI(%) (h=9):

%0,67100.85,1

24,1(%) BDI %8,68100.

86,1

28,1(%) CDI

%3,4100.84,1

08,0(%) ADI %6,1100.

85,1

03,0(%) BDI %5,0100.

86,1

01,0(%) CDI

%6,26100.84,1

49,0(%) ADI %3,24100.

85,1

45,0(%) BDI %8,25100.

86,1

48,0(%) CDI

%1,7100.84,1

13,0(%) ADI %5,6100.

85,1

12,0(%) BDI %9,5100.

86,1

11,0(%) CDI

%2,9100.84,1

17,0(%) ADI %8,10100.

85,1

20,0(%) BDI %9,12100.

86,1

24,0(%) CDI



DTA(%) DTB(%) DTC(%)

74,5 72,4 74,9

Distorções harmônicas totais

100.(%)1

2

2max

F

F

DT

h

h

h

Distorção harmônica total na fase A (%): %5,74100.84,1

17,013,049,008,026,1(%)

22222

ADT

Distorção harmônica total na fase B (%): %4,72100.85,1

20,012,045,003,024,1(%)

22222

BDT

Distorção harmônica total na fase C (%): %9,74100.86,1

24,011,048,001,028,1(%)

22222

CDT



Componentes simétricas

c

b

a

a

a

a

F

F

F

.

αα

αα

F

F

F

2

2

2

1

0

1

1

111

3

1

A,,,,,,,FF oooo

oao 0,148020)21298616111851549841(3

1

A,,,,,,FF oooooo

a 9,8885,1)1201.21298611201.6111851549841(3

11

h Fo φo F+ φ+ F- φ-

1 0,02 148,0 1,85 -88,9 0,01 72,9

3 1,26 -158,4 0,00 -20,4 0,03 -63,1

4 0,04 59,6 0,02 77,7 0,03 42,8

5 0,02 -31,5 0,01 91,0 0,47 28,1

7 0,02 -123,3 0,12 20,9 0,03 142,8

9 0,20 -98,6 0,03 -167,9 0,02 77,0

A,,,,,,FF oooooo

a 9,7201,0)1201.21298611201.6111851549841(3

12

Componentes sequencias da fundamental (h=1):

Componentes sequencias para (h=3):

A,,,,,FF oooo

oao 4,15826,1)915828131592410,157261(3

1

A,,,,,FF oooo

a 4,2000,0)1201.91582811201.31592410,157261(3

11

A,,,,,FF oooo

a 1,6303,0)1201.91582811201.31592410,157261(3

12

Repetir processo de cálculo para as demais componentes harmônicas (h=4; h=5;h=7;h=9):



Conjunto de retificadores de onda completa com filtro capacitivo.

Concentração sequencial

Correntes de alimentação

Ir=1,62A

Is=1,61A

It=1,65A

DHTr=75%

DHTs=73%

DHTt=75%


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