Hidrostática de Navios - fenix.tecnico.ulisboa.pt · maiores e menores dimensões, ou seja com o eixo longitudinal e com o ... o comprimento de um arco elementar: ds e a inclinação

Hidrostática de Navios


Capítulo 2 – Teoria Metacêntrica

Leonhard Euler (1707-1783) Pierre Bouguer (1698-1758)


Equilíbrio à Rotação - 1

• Para que um flutuador esteja em equilíbrio é necessário que satisfaça ascondições de equilíbrio de forças e de momentos.

• Após a satisfação do equilíbrio à translação vertical, se o centro degravidade e o centro de carena de um flutuador não estiverem na mesmavertical, o flutuador inclina-se.

• A inclinação deve ser isocarénica, ou seja, mantendo o mesmo volume decarena.


Equilíbrio à Rotação - 2• Durante a rotação, a cunha de líquido cujo centro está no ponto é retirada

à carena e a cunha com o centro em é adicionada. Esta variação dovolume da carena faz o centro de carena transferir-se do ponto para oponto .

tg.yh

tg..= ydAdV

A

dAyV .tg.

AdAyV .tg.

C

C

oC

1C

y


Equilíbrio à Rotação - 3

V

• No caso da figura de flutuação, o centróide da área denomina-se centro deflutuação.

• Conclui-se assim que para pequenas rotações isocarénicas os flutuadoresrodam em torno de um eixo que contem o centro de flutuação.

• Dado que tem de ser zero, esta condição só será satisfeita se o últimointegral se anular.

• Este integral representa o momento da área e este só se anula quando écalculado relativamente a um eixo que contenha o centróide da área.

0.tg

..tg

A

A

dAy

dAydAyVVV

• A definição de rotações isocarénicas é a de serem inclinações a volume decarena constante ou seja:


Superfície dos Centros de Carena - 1

• A rotação equivale também a transportar o liquido que encontrava no volumepara o volume . Em resultado do transporte do liquido, o centro de carenamuda de C0 para C1.

C CV C C

Vm

0 10

.

A

Ac

A

Ac

dAy

dAyY

dAy

dAyyY

.

.tg.

).tg.(

2

VV



V C C V C Cm0 0 1. .

Vm

IdAy

VmYYCC xx

Acc

tgtg 2

• é o momento de inércia da área de flutuação relativamente ao eixo OX,em torno do qual se dá a rotação transversal.

xxI

• A distância que os meniscos são transportados é:

• O correspondente deslocamento do centro de carena obtém-se a partir daigualdade dos momentos:

0010

tg..

V

I

V

CCVCCY xxm

c

• Daqui se conclui que o deslocamento transversal depende do momento deinércia da figura de flutuação, do ângulo de rotação e do volume de carena.



tgtg)(

000 V

IdAyx

VV

XXVX xy

A

ccmc

dAxydVxdM y tg.

Am

A

A

A y

dAyxV

Xc

V

dAyx

dV

dMXc

tg

tg

• O deslocamento longitudinal do centro de carena obtém-se de forma análoga.• O momento de um elemento de volume relativamente ao eixo dos yy é:

• onde é o produto de inércia da área.Ixy


Superfície dos Centros de Carena - 4• Para além do transporte transversal e longitudinal do volume de carena existe

também um movimento vertical do mesmo.

dvy

dM tg2

m

A

A

Ac V

dAy

dV

dMZ

2

tg 22

• O momento do elemento cilíndrico de volume dV relativamente ao plano x-y éigual ao produto do volume pela coordenada do seu centro de volume, o qualestá a uma ordenada igual a metade da altura :) tg5.0=5.0( yh

:

• A ordenada do centro do menisco removido obtem-se pela razão do momentototal do volume pelo volume total:



0

2

0 2

tg)(

V

I

V

ZZVZZZ xxccm

ccc

2

tgcc YZ

:

m

Ac V

dAyZ

2

tg 22

• Analogamente, para o centro do volume adicionado:

• O transporte vertical do volume de carena é igual às distância entre os doispontos ou seja à soma das distâncias dos pontos ao plano x-y:

• Comparando este resultado com a variação de abcissa resulta:



• Obtiveram-se as expressões que quantificam a variação das coordenadas docentro de carena com uma rotação do flutuador em torno do eixo dos xx.

• Estas expressões constituem uma representação paramétrica de umasuperfície no espaço que define o lugar geométrico das posições do centrode carena.

• Quando se faz coincidir a origem dos eixos coordenados com a posição docentro de carena, as variações de posição daquele ponto passam a ser assuas coordenadas em valor absoluto.

2

0

0

0

tg2

tg

tg

V

IZ

V

IY

V

IX

xxc

xxc

xyc



• A análise destas expressões permite concluir que para pequenos valores de, o centro de carena move-se assintoticamente no plano x-y pois serámuito menor que ou .

• Daqui se infere que a superfície dos centros de carena é perpendicular aoeixo dos Z na vizinhança da posição inicial do centro de carena.

• Portanto, a impulsão será perpendicular à superfície dos centros de carena,já que é vertical.

• Com o aumento da inclinação , o centro de carena vai ocupar uma posiçãocom uma ordenada diferente de zero.

Zc

X c Yc

Zc



• Pode também concluir-se que a superfície dos centros de carena, que tem aforma de um elipsóide, está sempre acima da posição inicial do centro decarena.

B

• A forma da superfície dos centros de carena depende da figura de flutuaçãoe dos eixos de inércia que forem escolhidos.

C

• Os eixos principais de inércia são eixos perpendiculares relativamente aosquais os momentos de inércia da figura de flutuação são máximos emínimos e o produto de inércia é nulo.



• Quando existem eixos de simetria numa figura, estes coincidem com oseixos principais de inércia.

• Em flutuadores é frequente os eixos principais de inércia coincidirem com asmaiores e menores dimensões, ou seja com o eixo longitudinal e com otransversal, embora só o primeiro seja normalmente um eixo de simetria.

• Quando um flutuador se inclina em torno de um eixo principal de inércia, atrajectória do centro de carena está contida no plano de inclinação pois oproduto de inércia é nulo e portanto .

• O plano de inclinação é o plano vertical que é normal ao eixo de rotação eque contém o centro de carena e o centro de gravidade.

0cX



• Uma rotação em torno de um eixo qualquer pode sempre ser decomposta emduas rotações em torno dos eixos principais de inércia.

• Quando as rotações em torno dos eixos principais de inércia são suficientementepequenas para se poder substituir por diz-se que é aplicável a Teoriametacêntrica.

tg

• Note-se que para = 10º a razão é 0.990, para =20º é 0.959 e para30º é de 0.907.

• Daqui se pode verificar que a substituição é perfeitamente adequada paravalores de até 7º ou 10º e que em certas aplicações até se poderia entenderaquele domínio a 30º.

/ tg


Raio Metacêntrico - 1• No domínio de aplicação da teoria metacêntrica a trajectória do centro de

carena para rotações em torno do eixo dos xx é:

2

2

V

IZ

V

IY

xxc

xxc

O raio de curvatura

d

O raio de curvatura

• O raio de curvatura na origem dos eixos deduz-se a partir da relação entreo comprimento de um arco elementar ds e a inclinação ::

dds T0

22

0

d

dZ

d

dY

d

ds ccT


Raio Metacêntrico - 2

• As derivadas das expressões anteriores avaliadas em são:

• Daqui se deduz que o raio de curvatura é:

V

I xxT

• Uma dedução semelhante a esta para rotações em torno do eixo dos yypermitiria deduzir o raio de curvatura transversal como:

V

I yyL

0

000

V

I

d

dZV

I

d

dY

xxc

xxc


Raio Metacêntrico - 3

• Para pequenas rotações, no domínio de validade da teoria metacêntrica osraios de curvatura são constantes.

• A superfície dos centros de carena, na vizinhança da origem é umacircunferência e o seu centro de curvatura é denominado metacentro.

• O metacentro está uma distância acima do centro de carena.

• Logo as ordenadas dos metacentros longitudinal e transversalserão:

LMZTMZ

L

T

M C L

M C T

Z Z

Z Z


Posição de Equilíbrio à Rotação - 1• Considere-se um corpo que estando inicialmente no seio de um líquido, teve

uma translação vertical.

• Esta transformou-o num flutuador mediante a satisfação da condição deequilíbrio à translação vertical.


Posição de Equilíbrio à Rotação - 2

• Se o centro de gravidade e o centro de carena não estiverem na mesmavertical cria-se um momento inclinante igual ao produto do deslocamentoD pela distância entre aqueles pontos:

M1

M D G G1 . '

• O momento inclinante pode ser decomposto em momentos relativamente aoseixos transversal e longitudinal:

M Y D

M X D

T G

L G



'

'

sin

cosL L

LG L

G M M L

X GG GM

Z Z G M Z GM

• Consideremos primeiramente as rotações longitudinais.

• Na posição inclinada, a linha de acção da impulsão passa pelo centro decarena e pelo centro de gravidade, interceptando o eixo dos z nometacentro.

• Denominando por G’ a projecção de G no eixo dos z, deduz-se da geometriaque:



• Considerando ângulos inferiores a 10º, tem-se que

cosL 1Logo:

LL M GGM Z Z

Donde se deduz que:

( ) sinLG M G LX Z Z

• Considerando-se agora as rotações transversais, pode obter-se de modointeiramente análogo a expressão:

( ) sinTG M G TY Z Z

• As expressões entre parêntesis nas duas últimas equações denominam-sealtura metacêntrica e são determinantes na resistência que o flutuadoroferece às inclinação.


Posição de Equilíbrio à Rotação - 5• No domínio da teoria metacêntrica as ordenadas dos metacentros são iguais

aos raios metacêntricos quando a origem dos eixos coordenados coincidecom a posição do centro de carena.

• Os senos dos ângulos são aproximadamente iguais aos ângulos.

X Z

Y ZG L G L

G T G T

( )

( )

• Os ângulos de inclinação longitudinal e transversal em função das coordenadasdo centro de gravidade de um flutuador:

LG

L G

TG

T G

X

Z

Y

Z



• A partir das componentes das rotações em torno dos eixos coordenados épossível determinar o ângulo de rotação real:

T L2 2

• Esta vai-se dar num plano que faz um ângulo com o eixo x tal que:

tg = T L/

• Quando a origem dos eixos coordenados não coincide com a posição docentro de carena, a expressão da altura metacêntrica será alterada para:

( ) ( ) ( )Z Z Z Z Z ZM G c G G c

• Neste caso, o raio metacêntrico vai ser subtraído da altura do centro degravidade relativamente ao centro de carena.


Estabilidade do Equilíbrio - 1• Tendo já visto como determinar as posições de equilíbrio relativamente à

translação vertical e à rotação, importa agora estudar a estabilidade daqueleequilíbrio.

• Diz-se que o equilíbrio é estável quando o flutuador revela tendência por voltarà posição inicial de equilíbrio após uma perturbação daquela posição.

• No caso da translação vertical o equilíbrio é intrinsecamente estável.

• Este facto deriva de qualquer variação da posição do flutuador afectar o valorda impulsão criando uma desigualdade relativamente ao peso do corpo.

• Essa desigualdade cria as condições para o corpo voltar novamente àsposição de equilíbrio.

• No caso das inclinações a situação é mais complexa e o equilíbrio só é estávelpara certos valores relativos entre alguns dos parâmetros.


Estabilidade do Equilíbrio - 2• Para estudar a estabilidade do equilíbrio considera-se uma inclinação que

resulta da perturbação do equilíbrio de um flutuador.

• Nesta situação os vectores deslocamento e impulsão deixam de estar namesma vertical.

• As linhas de acção a uma distância uma da outra, onde Z é a projecção deG na linha de acção da impulsão.

GZ


• Em que é a altura metacêntrica transversal inicial :

• A distância constitui o braço do binário formado pelo deslocamento eimpulsão o qual se pretende que leve o flutuador à posição inicial e por isso sedenomina momento endireitante.

Estabilidade do Equilíbrio - 3

GMZ ZM G

• A partir do triângulo rectângulo que assim se forma deduz-se que:

( ) sinM GGZ Z Z

GZ

( ) sinE M GM D GZ D Z Z • Esta expressão do momento endireitante é suficiente para caracterizar a

estabilidade do equilíbrio.


Estabilidade do Equilíbrio - 4

Z ZM G GM 0

• Se o momento endireitante é positivo e o flutuador tem tendência a voltar àposição inicial:

Z ZM G GM 0

• O equilíbrio é indiferente se o momento é nulo, não havendo reacção àperturbação do equilíbrio:

• O equilíbrio é instável quando com a inclinação se cria um momento que éproporcional à inclinação e que tende a aumentá-la.

Z ZM G GM 0


Estabilidade do Equilíbrio - 5• A Figura seguinte ilustra os três tipos de estabilidade do equilíbrio de um

navio:

• Estável.

• Neutro.

• Instável.


Acção de Momento Inclinante - 1• Quando o equilíbrio de um flutuador é estável, este tem sempre tendência a

voltar às posição inicial.

• Quando é sujeito às acção de um momento inclinante o flutuador vaiprocurar uma nova posição de equilíbrio por forma a que o momentoendireitante que se gera equilibre o momento inclinante.

M I

( ) sinLI E M G LM M D Z Z

• O ângulo de equilíbrio é:

sin( )

L

IL

M G

M

D Z Z

tendo em atenção que para pequenos ângulos se pode substituir porsinL L


Acção de Momento Inclinante - 2• No caso em que o momento inclinante é provocado por uma movimentação

transversal de um peso de uma certa distância tem-se que:

TI ypM cos..

• Note-se que também é possível pensar na movimentação transversal de umpeso em termos de movimentação transversal do centro de gravidade dopróprio navio:


Acção de Momento Inclinante - 3• Considerando a movimentação de peso como um momento inclinante, o

ângulo de equilíbrio transversal será:

.

.T

T

p ytg

D GM

• Nos flutuadores com formas típicas de navio o raio metacêntrico longitudinal émuito superior às alturas do centro de carena ou do centro de gravidade.

• Pode então simplificar-se o denominador da expressão do ângulo de equilíbriolongitudinal para:

L

I

L

M

D


Acção de Momento Inclinante - 4• O valor elevado de e consequentemente os valores muito pequenos que

normalmente tem levam a que seja preferível medir diferenças de imersãoa vante e a ré nos flutuadores do que medir os ângulos .

• A diferença entre estas imersões denomina-se caimento, o que é dado por:

• O caimento provocado por um momento inclinante obtém-se combinando asduas últimas expressões:

L

L

L

d L L

onde L é o comprimento do flutuador ou a distância entre os pontos extremosque servem de referência ao caimento.

dL M

DI

L


Acção de Momento Inclinante - 5

• É conveniente definir o momento de caimento unitário que é o momentoinclinante necessário para produzir o caimento de uma unidade:

uM

L

DM L

u

donde se deduz que o caimento provocado por um momento inclinante qualquerserá simplesmente:

uM

Md I


Equilíbrio a Grandes Ângulos- 1

• A teoria metacêntrica assenta na hipótese de as inclinações serempequenas, em princípio até um limite de 7º a 10º.

• Para ângulos superiores a superfície dos centros de carena que éparabólica já não pode ser aproximada por uma circunferência de raio igualao raio metacêntrico.

• Ao considerar a forma exacta da superfície já deixa de ser válida a condiçãode o centro de curvatura da superfície estar fixa.

• Note-se que em flutuadores com as configurações típicas de navios osgrandes ângulos de rotação só ocorrem para inclinações transversais.

• Para grandes ângulos de rotação a posição do metacentro vai variar com oângulo de inclinação.


Equilíbrio a Grandes Ângulos- 2• Para grandes ângulos de rotação a posição do metacentro vai variar com o

ângulo de inclinação.

• A ordenada do metacentro tem de ser calculada para cada posição inclinada, emfunção do momento de inércia da figura de flutuação e do volume de carena:

T

xxM T c c

IZ Z Z

V

• O lugar geométrico das posições do metacentro durante uma inclinação doflutuador a grandes ângulos denomina-se Evoluta metacêntrica.

A

B

C

D

a

b

c

d


Equilíbrio a Grandes Ângulos- 3• Para navios de formas convencionais a posição do metacentro vai variar com o

ângulo de inclinação da forma abaixo ilustrada.• A ordenada do metacentro tem de ser calculada para cada posição inclinada, em

função do momento de inércia da figura de flutuação e do volume de carena,pelo que após a imersão do bordo-livre, a evoluta metacêntrica (curva M1, M2,M3, etc) sofre uma inflexão.

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