EhdomorfismoshiperbElicosdeumespagodeBanach@EhdomorFismoshiperbolicosdeume.sp

ago de Banach :

DEI Um endomorfismo continuo A : E E de um espago de Banach E E

hipeRbolicoSeexistiRumadecomposisaoE-EsAEVeumanormaH.HLalquei@EseEVsaoFechadoseestEveisponACi.eAlEslcEsAlEYcEY.bOA.oiEu-EneinvertiveleftleTtiEu_Euecontinua.cOAleseftkuYSaocontra5oespelanormaH.HCieHAles1h1KAleytIk1I.dOVxeE.sex-xstxncomxsEEsxneEntemos11xH-maxdlxsHd1xnlD.UmanormadestetipoechamadaadaptadaaA.A

constante de

hiperbolicidadeedefinidacomo:

ch ( At := max (Hale 'll,Haley 'll) .

Exempt uma aplicagano linear A : lRk IRKE hiperbolica see somentese ela had tem autovalores

de modulo 1.

Dike'nt#hEnila: ( em bra que em dim < to

, ser Linear ⇒ ser continua.

(Falso em dim.in Finita :

pen sa A ( entnllenll ) .

Em dim. infinity este criteria de hipenbolicidade E vendadeiro : se E E um Banach sobre e tal que

H Zee de modulo 1,

A - ZI de tem um Inverso continuo,

entao A e- hipenbolico .

Lema : Seja A : E E um endomorfismo hipenbolico do Banach E, com norma adaptada H . H

.

Ehtao A - Ide E inventive e : HH-Idt 'll flat ;

Bedstead: A - Ide respeita a decomposing Es to E

"

.

Temos Hal .[sH< 1, IKAIEY ' ' 11<1

,

ehtao podemos definir B : E E ( Respeitandotambem a deumposigao ) Pela formula :

B ( xs.in/=(.EgoAixs.EgnlAleIixn ) . ( Efacilverifian que 13=1 A - Idd. ') .

Temos : 111311 f max ( § .

Hates Hi, EIKAHY 'll it = max ( Ines ninkthnifjlhn

,) feet ,

.

AplicagTeshiperbolicaseespagos0eFungTesiDeISejaXumespagotopokgicoeEumBanachcomtopologiadefinidapelanormaH.110espagoCblX1E1edefinidocomooespagovetoRiaLdasfungTescontinuasOiX-Elimitadasgi.eH0Hg-supHIokHljxe1Ycto.EXeRcTciomimostrequeCbCx.E1eumespagodeBanachpeLanormaH.Ha.PRoposisaoiSejaAiE-EumendomorfismohiperbolicodoBanachE.SejaXespagotopokgico1ehiX-Xumhomeomorfismo1entaoooperadorLinear@a.n

: Cbk,E) Cbk ,

E ) E hipenbolico .

|n i Ank±

A decomposigao associadae C↳l×, EKCBK ,Es) �1�. CblXEY owe E=E '

�1� Eu E a decomposigao

associada a A .

Uma norma adapt ada a OA.

E |hHa= sup 1121×111 on de A . HE adaptadaa A.

Para essa norma : ch ( Oa,n ) = ch (A ) .

Demonstrated :

mm

SejamasprojegoestsiE-EsetTE-En.AssimtemosVve-fv-TsutanyeHr1kmaxHtsrIhHtnvN.SeyiX-Eecontinua.Tsyetnztambem1ey-thttih.elKlla-maxHthllalItih11of.AssimtemosadeumposiganoCbk-EkCblX.Es18Cblx-Cn1.EimediatoverificarqveessesespagossEoinvariantespor0a.nyeque@a.n1q.k.euD.1EnHAhh.GnsequenciaimH0a.nkblxessIbfHAlEHeHfa.n1q.k.enDtHafHHlErYll.UtiLizandoFungTesconstahtesemXcomvaloresemEsEmpodemosvenqueessasdesigualdadesSaoigualdades.nObjetivoagoraimostrarteoremasdeestabilidadedotipoAtyeconjugadaaA.l

'

m "

hipenbolicafkquena pertorbagao Lipchitz .

Mas antes,

a gente vai precis an deal gunsteoremas de Ponto fixos

. . .

Teoremas de ponto Fixo

Deft h :X Y entice espagos metrics E Lipchitz se exist KZO tal que

Hx ,x'

ex,dlhkthlx ' Dfkdlx ,x

') .

A constant de Lipchitz Lip ( h ) E definidapor : Lipchl := sup { ddlYIh×Y×,

" ); Xx

'EX

, xtx ' } .

Teo Rema do ponto Fixo de Banach :

Seja (X , d) umespaso metric o ( ompkto eh :X X uma contract ( i . e Lip (h) < 1) .

Entao h tem um Tnico Ponto fixo ×.

etambem : Yx EX,

d( × ,× . ) fnH*µ ,d ( ×

,hk )) .

Deny : unicidade : se xoexnfixos, dlxnxa )