História da matemática: e-book – como surgiram alguns ...editora.ifc.edu.br/wp-content/uploads/sites/33/2018/11/e-book_histor… · Caio Robério Barpp da Silva Elisiane Cardoso

Histoacuteria da matemaacutetica e-book ndash como surgiramalguns conceitos matemaacuteticos

1a ediccedilatildeo

OrgValdirene da Rosa RochoCarla Margarete Ferreira dos SantosMargarete Farias MedeirosCarla Sofia Dias BrasilTaiacutes Pereira da Silva

INSTITUTO FEDERAL CATARINENSESOMBRIO 2018

Histoacuteria da matemaacutetica e-book ndash comosurgiram alguns conceitos matemaacuteticos

OrgValdirene da Rosa Rocho

Carla Margarete Ferreira dos SantosMargarete Farias Medeiros

Carla Sofia Dias BrasilTaiacutes Pereira da Silva

Correccedilatildeo ortograacuteficaRosemary de Faacutetima de Assis Domingos

ColaboradoresCaio Robeacuterio Barpp da SilvaElisiane Cardoso de Andrade

Joel de Oliveira BassaniMara Cristina Baltazar

Sabrini dos AnjosZilmara Raupp de Quadros

Instituto Federal CatarinenseSombrio 2018

Somos filiados

Editora do Instituto Federal CatarinenseRua das Missotildees nordm 100 Ponta Aguda ndash Blumenau ndash SC CEP 89051-000

Editor chefe ndash Eduardo Augusto Werneck RibeiroConselho Editorial Cladecir Alberto Schenckel Fernando Joseacute Garbuio Josefa Surek de Souza eKaacutetia Oliveira

H673 Histoacuteria da matemaacutetica e-book - como surgiramalguns conceitos matemaacuteticos Valdirene da Rosa Rocho Carla Margarete Ferreira dos Santos Margarete Faria Medeiros Carla Sofia Dias Brasil Taiacutes Pereira da Silva (Orgs) -- Sombrio Instituto Federal Catarinense 2018

65 f il col

1 Histoacuteria da MatemaacuteticaI Rocho Valdirene daRosa II Santos Carla Margarete Ferreira dosIII Medeiros Margarete Faria IV Brasil CarlaSofia Dias V Silva Taiacutes Pereira da VI Instituto Federal Catarinense VII Tiacutetulo

ISBN978-85-5644-023-5

CDD 5109

Sumaacuterio

1 6o ano 9

11 Matemaacutetica e o seu aparecimento 9

12 Quem inventou a matemaacutetica e os nuacutemeros 11

13 De onde vieram os nuacutemeros 14

14 A necessidade de representar quantidades 16

15 O misteacuterio dos nuacutemeros decimais 20

16 Dos nuacutemeros (in)compostos aos primos 22

17 A origem das fraccedilotildees 26

18 Histoacuteria dos sinais 29

19 Geometria 32

2 7o ano 36

21 O longo caminho da aacutelgebra 36

22 A origem do conceito de aacuterea 38

23 O fantaacutestico nuacutemero pi (π) 40

3 8o ano 45

31 Histoacuteria da aacutelgebra 45

32 A histoacuteria dos polinocircmios 47

4 9o ano 51

41 Uma pequena viagem na histoacuteria das funccedilotildees 51

42 O teorema de pitaacutegoras e os nuacutemeros irracionais 54

43 Sistemas de medidas e sua origem 57

Introduccedilatildeo

O estudo da matemaacutetica pode ser associado a sua histoacuteria nos ca-piacutetulos a seguir podemos observar notaccedilotildees e registros matemaacuteticosnas quais foi possiacutevel descrever uma parte do caminho que esta ciecircn-cia percorreu

O tema central deste e-book traz um breve resumo da histoacuteria damatemaacutetica possibilitando que professores utilizem em aulas paraintroduzir determinado conteuacutedo ou ateacute mesmo em momentos deleituras os quais podem ser propiciados em uma aula de matemaacuteticaVisando assim a interdisciplinariedade tendo como base assuntosde geografia histoacuteria portuguecircs e outros

ldquoSempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudamseriamente esta ciecircncia acabam tomados de uma espeacutecie depaixatildeo pela mesma Em verdade o que proporciona o maacuteximode prazer natildeo eacute o conhecimento e sim a aprendizagem natildeo eacute aposse mas a aquisiccedilatildeo natildeo eacute a presenccedila mas o ato de atingira metardquo (Gauss - Carl Friedrich)

Visto que atualmente a histoacuteria da matemaacutetica vem sendo maisdifundida em salas de aulas alguns documentos oficiais como osParacircmetros Curriculares Nacionais (PCN) [9] incentivam o uso des-tacando que a histoacuteria da matemaacutetica pode oferecer uma importantecontribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea doconhecimento

Ao revelar a matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrarnecessidades e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentesmomentos histoacutericos ao estabelecer comparaccedilotildees entre os conceitose processos matemaacuteticos do passado e do presente o professor criacondiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favo-raacuteveis diante desse conhecimento A histoacuteria da matemaacutetica eacute nessesentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural

Matemaacutetica e o seu aparecimentoQuem inventou a matemaacutetica e os nuacuteme-rosDe onde vieram os nuacutemerosA necessidade de representar quantidadesO misteacuterio dos nuacutemeros decimaisDos nuacutemeros (in)compostos aos primosA origem das fraccedilotildeesHistoacuteria dos sinaisGeometria

1 6o ano

11 Matemaacutetica e o seu aparecimento

Mara Cristina BaltazarZilmara Raupp de Quadros

A matemaacutetica eacute um aspectouacutenico do pensamento humanoe sua histoacuteria difere de to-das as outras histoacuterias Desdeo homem da idade da pedrajaacute se tem registros da mate-maacutetica quando desenvolviamuma cultura complexa que in-cluiacutea a fabricaccedilatildeo de ferramen-tas para caccedila e proteccedilatildeo lingua-gem simboacutelica e atraveacutes de con-tagem simples (Fig 11) commuitas ateacute atuais consequecircn-cias na religiatildeo arte muacutesica e

comeacutercio ainda que agraves vezesde maneira natildeo formal

Figura 11 Pinturas rupestres

Fonte [13]

A histoacuteria da matemaacutetica sefez em vaacuterios milecircnios e aindahoje ela estaacute em processo dedesenvolvimento de novas des-cobertas e aplicaccedilotildees no nossodia a dia Historiadores rela-tam como os primeiros exem-plos de atividade matemaacuteticavecircm da consciecircncia humana

10 Capiacutetulo 1 6o ano

nas operaccedilotildees numeacutericas con-tagem ou padrotildees em formasgeomeacutetricas (Fig 12)

Figura 12 Formas geomeacutetricas

Fonte [30]

Assim sendo a matemaacuteticanasce como ciecircncia formal apartir da percepccedilatildeo de seme-lhanccedilas diferenccedilas e desigual-dades entre quantidades e for-mas O conceito de nuacutemerofoi um processo longo e gra-dual assimilados pela huma-nidade no processo de conta-gem A necessidade da lin-guagem simboacutelica era utilizadapara expressar quantidades eeventos e ainda eacute atualmentecomo exemplo simples de utili-zar os dedos das matildeos que po-dem facilmente ser usados paraindicar um conjunto de 1 2 34 ou 5 objetos em cada matildeoampliando ainda essa represen-

taccedilatildeo pode-se combinar os de-dos das matildeos e dos peacutes che-gando ateacute vinte (Fig 13)

Figura 13 A antiga civilizaccedilatildeo

Fonte [30]

A evoluccedilatildeo da matemaacuteticaestaacute diretamente relacionadacom o movimento da sociedadepara cada novo tempo Com osproblemas surgindo a matemaacute-tica vai se aperfeiccediloando comnovos conceitos que foram seestabelecendo

Ningueacutem sabe quando come-ccedilou a matemaacutetica o que sabe-mos eacute que toda civilizaccedilatildeo quedesenvolveu a escrita tambeacutemmostra evidecircncias de algum niacute-vel de conhecimento matemaacute-tico isto eacute nomes para nuacute-meros formas ideias baacutesicassobre contagem e operaccedilotildeesaritmeacuteticas parecem ser parteda heranccedila comum da humani-dade em toda parte

A matemaacutetica eacute um esforccedilohumano continuado como aliteratura a fiacutesica a arte aeconomia ou a muacutesica Temum passado e um futuro bemcomo um presente A mate-maacutetica que aprendemos e usa-mos hoje difere de muitos mo-dos da matemaacutetica de mil e qui-nhentos ou mesmo de cem anosatraacutes

A matemaacutetica do seacuteculo XXIcertamente evoluiraacute para algodiferente da do seacuteculo XXAprender sobre matemaacutetica eacutecomo comeccedilar a conhecer ou-tra pessoa quanto mais vocecircsabe de seu passado melhorpode entendecirc-la e interagircom ela agora e no futuro

12 Quem inventou a matemaacutetica e os nuacute-meros

Joel de Oliveira BassaniElisiane Cardoso de Andrade

Quem inventou a matemaacute-tica A matemaacutetica natildeo eacute algoque podemos dizer que natildeo

foi inventada da noite para odia mas foi sendo construiacutedaao longo do tempo devido agravesnecessidades que vinham sur-gindo na vida do homem

Entre os seacuteculos VIII e IXaC durante o periacuteodo Paleo-liacutetico e Idade da Pedra a mate-maacutetica engatinhava na Babilocirc-nia Os babilocircnios e os egiacutep-cios jaacute tinham uma aacutelgebra euma geometria mas somente oque bastasse para as suas neces-sidades praacuteticas natildeo havia umaciecircncia organizada Esta ciecircn-cia surgiu da necessidade de re-presentar quantidades

Com o surgimento da civiliza-ccedilatildeo egiacutepcia a matemaacutetica ob-teve grandes avanccedilos nas di-versas aacutereas tais como na ge-ometria aacutelgebra e astronomiaO povo hindu tambeacutem contri-buiu na construccedilatildeo do conheci-mento matemaacutetico bem comoos aacuterabes e os gregos A ma-temaacutetica eacute dada como um saberinacabado pois sempre surgem

novas descobertasQuem inventou os nuacutemeros

E desde quando os nuacutemeroscomeccedilaram a existir Os nuacute-meros surgiram com a necessi-dade de representar as quanti-dades de objetos e animais (Fig14)

Figura 14 Contando com pedras

Fonte [27]

Neste periacuteodo denominadocomo a preacute-histoacuteria existia umprocesso rudimentar de conta-gem como ranhuras em ossosmarcas em galhos desenhosem cavernas e pedras Essasque ateacute hoje podem ser vis-tas como monumentos histoacuteri-cos pelo fato de serem os pri-meiros registros de antigas ci-vilizaccedilotildees Aleacutem disso o pro-

cesso que alguns povos utiliza-vam para relacionar quantida-des ou seja unidades de diver-sos objetos ou animais obtidosera colocando uma pequena pe-dra em um saquinho cada pe-dra valia uma unidade Algunspovos tribos indiacutegenas confec-cionavam calendaacuterios pictograacute-ficos e desenhos em cavernas

Sendo assim podemos afir-mar que os nuacutemeros eram pri-meiramente representados porpedras nos dedos das matildeos edos peacutes ou marcas em ossosmadeiras e pedra (Fig 15)Aleacutem de noacutes em cordas pro-cesso tambeacutem muito utilizadospara mediccedilatildeo e demarcaccedilatildeo deterras

Figura 15 Primeiros registros

Fonte [31]

Assim pode-se dizer que osregistros de nuacutemeros ocorre-ram de forma variada e deacordo com cada civilizaccedilatildeosendo que cada povo pos-suiacutea a sua proacutepria forma derepresentaacute-los A necessidadede representar grandes quanti-dades deu origem agrave numeraccedilatildeoescrita O atual sistema numeacute-rico eacute o decimal porque pos-sui apenas dez siacutembolos pararepresentaacute-lo e satildeo oriundos dosistema hindu-araacutebico

Depois de ter havido diver-sas representaccedilotildees os nuacutemeroscom a forma que utilizamos fo-ram difundidos na Europa nosseacuteculos XV e XVI e seus de-senhos foram fundamentadosna quantidade de acircngulos quecada figura possui (Fig 16)

No seacuteculo XVII muitos tiposde nuacutemeros jaacute haviam sido in-ventados assim podemos con-cluir que os nuacutemeros existemhaacute muito tempo natildeo tendoapenas uma pessoa responsaacutevel

Figura 16 Representaccedilatildeo dos nuacutemeros conformeseus acircngulos

Fonte [44]

pela sua criaccedilatildeo sendo a jun-ccedilatildeo de vaacuterios saberes e de di-ferentes povos Hoje a escritaobteve algumas alteraccedilotildees masse aproxima muito daquela ori-ginal (Fig 17)

Figura 17 Representaccedilatildeo dos algarismos indo-araacutebicos

Fonte Elaborado pelos autores 2017

Estas e outras formas de re-gistrar os nuacutemeros satildeo frutosde estudos dos povos antigosbem como a evoluccedilatildeo dos siste-mas de numeraccedilatildeo Buscandodemonstrar suas principais di-

ferenccedilas e mudanccedilas conformeo contexto histoacuterico

13 De onde vieram os nuacutemeros

No princiacutepio os homens dascavernas podiam pintar maspodiam eles contar [35] Emque eacutepoca surgiu o nosso sis-tema de numeraccedilatildeo Vamos sa-ber um pouco mais sobre a his-toacuteria dos nuacutemeros

Haacute mais de 30 000 anos ohomem vivia em pequenos gru-pos morando em grutas e ca-vernas para se esconder dos ani-mais selvagens e proteger-se dachuva e do frio Nas pare-des das cavernas registravamsuas caccedilas suas atividades (Fig18)

Com o passar dos anos o ho-mem mudou o seu modo deviver em vez de caccedilar cole-tar frutos e raiacutezes comeccedilou adedicar-se agrave agricultura e criaranimais atividades estas que

Figura 18 Registros nas paredes de cavernas

Fonte [13]

geraram a necessidade de con-tar

O pastor comeccedilou a contar asovelhas e o gado com as pe-dras pelo sistema de compara-ccedilatildeo uma pedra uma ovelhaou seja um para um Assimcada ovelha que saiacutea correspon-dia a uma pedra No final dodia agrave medida que as ovelhasentravam o pastor ia tirandoas pedras do saquinho assimele saberia se todas haviam vol-tado (Fig 19)

Durante muito tempo a ati-vidade de contar se constituiuem um para um Mas com acriaccedilatildeo de muitos animais estesistema natildeo foi mais suficientepara suprir as necessidades dohomem em relaccedilatildeo ao processo

Figura 19 Representaccedilatildeo da contagem dos nuacute-meros

Fonte [38]

de contagem havendo entatildeo anecessidade de registrar

Os primeiros registros acon-teceram de forma muito vari-ada Cada povo utilizou-sede uma teacutecnica diferente pararegistrar grandes quantidadessendo que as primeiras tentati-vas foram marcas em ossosnoacutes em cordas partes do corpomarcas em pedras e paredes(Fig 110)

Registrar quantidades dequalquer forma natildeo foi sufici-ente e finalmente comeccedilarama elaboraccedilatildeo dos primeirossistemas de numeraccedilatildeo A

Fonte [31]

necessidade de registrar gran-des quantidades deu origem agravenumeraccedilatildeo escrita

Inuacutemeras foram as tentativasde cada civilizaccedilatildeo em proporseus proacuteprios sistemas numeacuteri-cos Uns posicionais outrosnatildeo com siacutembolos e bases dife-rentes tais como o chinecircs (Fig111) e egiacutepcio (Fig 112) en-tre outros

Figura 111 Sistema de numeraccedilatildeo chinecircs

Fonte [34]

Figura 112 Sistema de numeraccedilatildeo egiacutepcio

Fonte [14]

Com o passar dos anos ou-tros sistemas de numeraccedilatildeo fo-ram criados poreacutem hoje basi-camente utilizamos um uacutenicosistema para registrar nossasquantidades

14 A necessidade de representar quanti-dades

Joel de Oliveira BassaniTaiacutes Pereira da Silva

O que lembramos quandopensamos ou ouvimos a pala-vra Matemaacutetica Quantos pen-saram na palavra nuacutemero Ge-ralmente um eacute consequecircnciado outro Os nuacutemeros sempre

existiram Se a sua respostafoi natildeo quem os inventou Por-que os inventou Acredito queenquanto estaacute lendo esse textomuitas outras perguntas estatildeosurgindo em seus pensamentose se pegue a refletir como a ilus-traccedilatildeo (Fig 113)

Figura 113 Pensando em nuacutemeros

Fonte [25]

Em muitas situaccedilotildees no nossodia a dia existe a necessidadede representar quantidades porexemplo se algueacutem nos per-gunta quantos irmatildeos vocecirctem Quantos laacutepis possuiQuantos pares de tecircnis possuiQuantos amigos tem no face-book O homem preacute-histoacutericocom certeza natildeo tinha redes so-ciais natildeo usava tecircnis e muito

menos laacutepis (Fig 114)

Figura 114 Homem preacute-histoacuterico

Fonte [11]

No princiacutepio os povos pri-mitivos viviam daquilo que anatureza lhes davam viviamna floresta e para sobreviveralimentava-se da caccedila e de fru-tas produzidas em aacutervores fru-tiacuteferas o homem preacute-histoacutericoregistrava suas caccedilas suas ati-vidades por meio de desenhosnas paredes das cavernas lo-cais onde se abrigavam Poucoa pouco o homem foi mu-dando seu estilo de vida Como abandono da vida nocircmadecomeccedilou a dedicar-se a agricul-tura agrave criaccedilatildeo de animais (Fig115)

Com a evoluccedilatildeo gradual dasociedade esse novo modelode vida implicou na necessi-

Figura 115 Agricultura e criaccedilatildeo de animais

Fonte [23]

dade de contar Como porexemplo uma tribo tinha quesaber quantos era seus mem-bros e quantos eram seus ini-migos Provavelmente a ma-neira mais antiga de contar sebaseou em algum meacutetodo de re-gistro simples como no iniacuteciodo dia quando os pastores leva-vam as ovelhas para o pasto co-locavam uma pedrinha dentrode um saquinho para cada ove-lha que levavam consigo Aoretornar para casa conferiama quantidade de ovelhas quevoltavam devolvendo ao saqui-nho uma pedra para cada ove-lha Ou seja a relaccedilatildeo esta-belecida era de um para umassim sabiam se seu rebanhoestava aumentando (nascimen-tos) ou diminuindo (roubo ou

morte) Uma evidecircncia dessapraacutetica estaacute na proacutepria origemda palavra caacutelculo (do latimcalculus que significa pedra)

Na antiguidade no iniacutecio dodia quando os pastores levavamas ovelhas para o pasto colo-cavam uma pedrinha dentro deum saquinho para cada ove-lha que levavam consigo (Fig116) Ao retornar para casaconferiam a quantidade de ove-lhas que voltavam devolvendoao saquinho uma pedra paracada ovelha Ou seja a rela-ccedilatildeo estabelecida era de um paraum

Figura 116 O pastor e as ovelhas

Fonte [31]

Para um historiador matemaacute-tico [7] as noccedilotildees primitivasrelacionadas com o conceito de

nuacutemero grandezas e formaspodem ser encontradas nos pri-meiros tempos da raccedila humanae vislumbres de noccedilotildees mate-maacuteticas se encontram em for-mas de vida que podem da-tar de milhotildees de anos antesda humanidade e podiam estarmais relacionadas com contras-tes do que semelhanccedila comodiferenccedila entre um e muitosdesigualdade de tamanhos for-mas e formatos em gerais nacontagem de animais e objetos

Os dedos de uma matildeo podemrepresentar o conjunto de umdois trecircs quatro ou cinco obje-tos utilizando as duas matildeos ateacutedez objetos ou vinte quandoutilizando as matildeos e os peacutes [6]Deste modo podemos afirmarque antigamente quando os nuacute-meros ainda natildeo eram conheci-dos o melhor meacutetodo de con-tagem era a de relacionar obje-tos Quando os dedos eram in-suficientes ou improacuteprios pararepresentar uma relaccedilatildeo se uti-

lizavam de pedras noacutes em cor-das desenhos nas paredes dascavernas ou qualquer tipo decoisa concreta

Depois dessa primeira noccedilatildeode quantidade surgiu a nume-raccedilatildeo escrita do desejo de man-ter os registros que antes eramsimbolizados pelas pedras emum registro mais praacutetico e sim-ples mas duradouro e confiaacute-vel para um possiacutevel trans-porte ou troca de informaccedilotildeesentre grupos visto que muitasvezes as pedras podiam ser per-didas ou pesavam demais con-forme a grande quantidade emque elas representavam

Entatildeo essa numeraccedilatildeo escritaera feita com marcas em ma-deiras ou qualquer outro objetoque possibilitasse a marcaccedilatildeoEssa marcaccedilatildeo a propoacutesito eacutetatildeo ou mais antiga que a proacute-pria escrita (Fig 117)

Deste modo podemos desta-car que os primeiros registrosaconteceram de forma muito

Fonte [31]

variada Cada povo utilizou-sede uma teacutecnica diferente pararegistrar grandes quantidadesSendo assim eacute possiacutevel afir-mar que a matemaacutetica foi cons-truiacuteda de forma gradual e porvaacuterios povos

A existecircncia de alguns re-gistros em territoacuterio europeumais especificamente na Moraacute-via atual Repuacuteblica Democraacute-tica do Congo foi encontradao osso de babuiacuteno com 55 pro-fundos riscos estes com cercade 30 mil anos [6] Aindaencontramos relatos do Ossode Ishango (Fig 118) com

8 mil anos de existecircncia po-reacutem hoje estudos revelam quea sua idade estimada tambeacutemseja de 30 mil anos Atual-mente o osso estaacute no InstitutoReal Belga de Ciecircncias Natu-rais em Bruxelas na Beacutelgica

Figura 118 Faces frontal e posterior do Osso deIshango mdash Institut royal des sciences naturellesde Belgique

Fonte [29]

Registrar quantidades dequalquer forma natildeo foi sufici-ente e finalmente comeccedilarama elaboraccedilatildeo dos primeirossistemas de numeraccedilatildeo Destemodo fica evidente que anecessidade de registrar gran-des quantidades deu origemagrave numeraccedilatildeo escrita Vistoque o sistema numeacuterico queutilizamos atualmente pararepresentar quantidades algu-mas operaccedilotildees desde as maissimples ateacute as mais complexas

eacute denominado sistema decimalou seja de base dez com valorposicional

15 O misteacuterio dos nuacutemeros decimais

Caio Robeacuterio Barpp da Silva

O sistema decimal que usa-mos atualmente pode ter sidoconvencionado pelo simplesfato de termos dez dedos emnossas matildeos Poreacutem sua ori-gem deu-se a partir da necessi-dade de substituir nuacutemeros fra-cionaacuterios que eram utilizadosfrequentemente

Por usar o nuacutemero 10 comobase numeacuterica a notaccedilatildeo entatildeofoi chamada de ldquodecimalrdquo edecem significa ldquodezrdquo em latim[43] Conforme a posiccedilatildeo queo siacutembolo ocupa representa onuacutemero Poreacutem o que existe nonuacutemero 10 que o torna tatildeo es-pecial

Nas antigas civilizaccedilotildees eramutilizadas diversas notaccedilotildeescomo por exemplo os babilocirc-nicos que usam a base 60

os gregos usavam o alfabetoos maias a notaccedilatildeo vigesimal(base 20) Nossa representaccedilatildeosimboacutelica surgiu na Iacutendia porvolta de 500 dC

O mais antigo registro en-contrado sobre nosso sistemanumeral foi proacuteximo agrave ci-dade Bakshali motivo este quedeu nome ao manuscrito (Fig119) Registros apontam quea sua origem seja entre os seacutecu-los II aC e III dC o manus-crito foi escrito em uma cascade beacutetula [1]

Figura 119 Manuscrito de bakshali

Fonte [1]

Observou-se que eram usadosiacutembolos diferentes para repre-sentar os algarismos de 0 ao 9poreacutem natildeo para representaacute-lo

como valor posicional ao inveacutesdisso havia siacutembolos muacuteltiplosde 10 100 e 1000

As escritas de nuacutemeros fra-cionaacuterios satildeo encontradas emregistros antigos tendo quase3000 anos aC a forma deci-mal que eacute conhecida hoje sur-giu somente no seacuteculo XVIsendo o percursor um fran-cecircs chamado Franccedilois Viegravetetornou-se bem superior aos nuacute-meros fracionaacuterios Sendo es-ses um grade potencial de evo-luccedilatildeo quando nos referimosaos computadores e calculado-ras

Assim temos algumas rela-ccedilotildees correspondentes escritana forma geomeacutetrica fracionaacute-ria e decimal representando omesmo valor observe a figura(Fig 120)

Figura 120 Relaccedilotildees correspondentes

Fonte Elaborado pelo autor 2017

Simon Stevin levou em consi-deraccedilatildeo a notaccedilatildeo indo-araacutebicaA necessidade surgiu quandose sentiu incomodado ao repre-sentar nuacutemeros na notaccedilatildeo fra-cionaacuteria contudo a notaccedilatildeo se-xagesimal (base 60) tambeacutempassou a ser utilizada dandoentatildeo uma representaccedilatildeo paraacircngulos e consequentementeaos nossos minutos e segundosEntatildeo os nuacutemeros decimais es-critos por Stevin foram repre-sentados conforme figura (Fig121)

Figura 121 Representaccedilatildeo decimal por Stevin

Fonte [45]

Na representaccedilatildeo de Stevino siacutembolo 0copy representava a

parte inteira o 1copy indica um deacute-cimo 2copy um centeacutesimo e as-sim por diante e com o pas-sar do tempo somente o siacutem-bolo que representava a parteinteira era empregado Esseuso tornou-se cada vez maissimplificado ateacute se tornar umponto ou uma viacutergula

16 Dos nuacutemeros (in)compostos aos pri-mos

No iniacutecio da vida escolar es-tudamos a definiccedilatildeo de nuacuteme-ros primos ou seja os nuacuteme-ros primos satildeo aqueles que pos-suem apenas dois divisores o 1(um) e o proacuteprio nuacutemero Essesdivisores devem ser diferentesdessa forma o nuacutemero 1 natildeo eacuteprimo [41]

Assim quando nos depara-mos com um nuacutemero inteiromaior que um dizemos queestes satildeo compostos ou pri-mos observamos que ao longoda histoacuteria surgiram algumas

curiosidades as quais impulsi-onaram discussotildees e conjectu-ras sobre conceitos matemaacuteti-cos surgiram personagens quemarcaram o tema vamos entatildeomergulhar na histoacuteria

De acordo com [7] haacute re-gistros de que os estudos mos-tram que este toacutepico dos nuacuteme-ros inteiros e suas propriedadeseacute discutido desde as civiliza-ccedilotildees mais antigas Pois os nuacute-meros primos despertaram in-teresse por muitos matemaacuteti-cos jaacute que os nuacutemeros inteiroseram compostos por nuacutemerosprimos Como podemos verifi-car no nuacutemero 6 (Eq 11)

6 = 23 (11)

onde 2 e 3 satildeo primosOs estudos sobre os nuacuteme-

ros primos comeccedilaram na Es-cola Pitagoacuterica por volta de530 aC poreacutem natildeo existem re-gistros deixados por Pitaacutegorassomente alguns fragmentos detextos os quais revelam que Pi-

taacutegoras deu iniacutecio aos estudossobre os nuacutemeros primos

Os primeiros registros reve-lam que os gregos constituemum dos povos mais antigos queestudaram sobre os nuacutemerosprimos

No que se refere ao conhe-cimento dos gregos antigosacerca dos nuacutemeros primos en-contramos nos livros didaacuteticosque foi Euclides quem escre-veu os conceitos sobre os nuacute-meros primos da forma que eacuteencontrada ateacute hoje

Euclides registra no livro Ele-mentos de Euclides a defini-ccedilatildeo de nuacutemeros primos comosendo ldquoprotoacutes arithmoacutes estinmonadi mone metroymenosrdquoNa traduccedilatildeo nuacutemero primoeacute todo aquele que soacute podeser medido atraveacutes da unidadeSegundo [15] o nome nuacuteme-ros primos tem origem gregaquando classificavam os nuacute-meros em primeiros ou inde-componiacuteveis e secundaacuterios ou

composto Satildeo secundaacuteriospor que satildeo formados por nuacute-meros primos mas os romanosao traduzirem apenas a palavraprimeiro que em latim eacute pri-mus

Boyer [7] nos diz que no IXlivro de Euclides o uacuteltimo dostrecircs sobre teoria dos nuacutemerosna Proposiccedilatildeo 20 temos queos nuacutemeros primos satildeo mais doque qualquer quantidade fixadade nuacutemeros primos PortantoEuclides considerava que haacute in-finitos nuacutemeros primos

Eratoacutestenes de Alexandria foioutro grego que se aventurou aestudar sobre os nuacutemeros pri-mos no seacuteculo III aC Umade suas contribuiccedilotildees foi ocrivo de Eratoacutestenes veja Fig[122]

A tabela continha nuacutemerossendo do 2 (dois) ateacute n onde npoderia ser um nuacutemero naturalqualquer iniciava no 2 (dois)pois o nuacutemero 1 (um) natildeo sa-tisfaz a definiccedilatildeo de nuacutemeros

Figura 122 Crivo de eratoacutestenes

Fonte [24]

primos entatildeo pegavam-se osmuacuteltiplos de 2 (dois) e furava-se ou seja eram crivados natabela o proacuteximo nuacutemero quenatildeo estivesse furado permane-cia e tinha entatildeo seus muacuteltiplosperfurados e assim ateacute comple-tar a tabela ou seja [2] traz emseu livro a definiccedilatildeo e assimpodemos perceber o motivo deo nuacutemero 1 (um) natildeo ser primovejamos os conjuntos dos divi-sores de 1 2 7 e 8bull D(1) = 1bull D (2) = 1 2bull D (7) = 1 7bull D (8) = 1 2 4 8Notamos que os conjuntos

D(7) e D(2) possuem apenas

dois elementos Entatildeo 7 (sete)e 2 (dois) satildeo nuacutemeros primosPoreacutem D(1) e D(8) natildeo tecircmsomente dois elementos Dize-mos que 1 (um) natildeo eacute um nuacute-mero primo e que 8 (oito) tam-beacutem natildeo eacute um nuacutemero primo

Ao longo da histoacuteria muitosestudiosos estudaram os nuacuteme-ros primos como Diofanto deAlexandria (200 dC ndash 298dC) Fibonacci (1200 dC) ofrancecircs Pierre de Fermat (1601- 1665) que ao ler o texto deDiofanto despertou uma curi-osidade sobre os nuacutemeros pri-mos tornando-o fundador damoderna teoria dos nuacutemeros[7]

Leonhard Euler (1707 minus1783) considerou Fermatcomo o priacutencipe da Matemaacute-tica pois mesmo natildeo sendoFermat um matemaacutetico porprofissatildeo contribuiu parao avanccedilo dos estudos nesteassunto e entatildeo Euler quedemonstrou uma conjectura

proposta por Fermat em seuuacutenico livro como verdadeirae por meio dele percebeu umteorema mais geral

Com o passar do temposurgiram muitos matemaacuteticospropondo teoremas buscandofama e dinheiro atraveacutes dos precirc-mios que comeccedilaram a ser ofer-tados Entre as proposiccedilotildeesmais conhecidas estaacute em deter-minar uma funccedilatildeo que exprimetodos os nuacutemeros primos

No entanto surgiram diver-sas foacutermulas sendo descober-tas falhas quando testavam nuacute-meros maiores que o previstona foacutermula Foi Carl FriedrichGauss (1777 - 1855) quemconjecturou o que eacute conhecidocomo teorema dos nuacutemeros pri-mos poreacutem soacute foi provado em1896 pelo francecircs J Hadamarde pelo belga C J de la ValleePoussim

O desenvolvimento dos com-putadores modernos facilitouo trabalho dos matemaacuteticos

em descobrir nuacutemeros primosCom a utilizaccedilatildeo deste recursoeacute possiacutevel encontrar nuacutemerosprimos com ateacute 17 milhotildees dediacutegitos

Dusautoy [17] afirma que osprimos satildeo as peacuterolas que ador-nam a vastidatildeo infinita do uni-verso de nuacutemeros que os ma-temaacuteticos exploraram ao longodos seacuteculos

17 A origem das fraccedilotildees

Elisiane Cardoso de AndradeJoel de Oliveira Bassani

Mara Cristina BaltazarSabrini dos Anjos

Historicamente a necessi-dade de criar novos nuacutemerosaleacutem dos naturais foi sentida esugerida naturalmente por pro-blemas praacuteticos da natureza ge-omeacutetrica Houve tempo emque o homem natildeo conhecia asfraccedilotildees Mas a necessidadede medir terras colheitas liacute-quidos e tecidos com exatidatildeolevou-o a introduzir as fraccedilotildees

e a criar unidades padratildeo paraas medidas

Ao escolher uma determi-nada unidade padratildeo para me-dir perceberam muitas vezesque o resultado obtido natildeo eraum nuacutemero inteiro e sentirama necessidade de fracionar aunidade de medida como porexemplo ao cortarmos umapizza em porccedilotildees (Fig 123)dividirmos um chocolate a di-visatildeo de mateacuterias de um ca-derno na divisatildeo de ingredien-tes de uma receita culinaacuteria ashoras do dia entre outros exem-plos As fraccedilotildees nos auxiliama expressar o tamanho de umaporccedilatildeo

Figura 123 Pizza em porccedilotildees

Fonte [22]

A palavra fraccedilatildeo proveacutem do

latim fractus e significa ldquopar-tidordquo

Os nuacutemeros racionais sur-gem da necessidade em atri-buir valores para grandezas quenem sempre eram inteiras Oconjunto dos nuacutemeros racio-nais postulados pelo matemaacute-tico Dedekind pode ser escritona forma de uma razatildeo (fraccedilatildeo)sendo este conjunto represen-tado pela letra Q formado pe-los quocientes a e b onde b 6= 0ou seja

Os objetos existentes no es-paccedilo podem ser divididos empartes ou natildeo Por exemplonatildeo podemos dizer ldquouma pes-soa e meia ou duas pessoase um quartordquo No entantoquando haacute possibilidade de di-visatildeo estes podem ser dividi-dos em porccedilotildees menores doque uma unidade

As fraccedilotildees satildeo uacuteteis para ex-pressar o tamanho de uma por-ccedilatildeo Elas podem ser expressascomo um nuacutemero inteiro divi-

dido por outro ou seja nume-rador dividido pelo denomina-dor

A histoacuteria das fraccedilotildees eacute tatildeoantiga quanto a histoacuteria do ho-mem e por consequecircncia a in-venccedilatildeo dos nuacutemeros Surgi-ram a cerca de 3000 anos aCAinda no tempo das constru-ccedilotildees das Piracircmides Egiacutepcias ofaraoacute Sesoacutestris dividiu o soloque ficava agraves margens do RioNilo entre alguns agricultoresMas nos meses de junho a se-tembro essas terras eram alaga-das por causa das cheias doRio Nilo e tinham as cercasde pedra que as demarcavamderrubadas pelas aacuteguas Assimque essas aacuteguas baixavam eranecessaacuterio realizar uma novademarcaccedilatildeo de terras O fa-raoacute enviava seus funcionaacuteriosresponsaacuteveis para realizar estanova mediccedilatildeo Os profissionaisque faziam este serviccedilo eramdenominados de estiradores decordas (Fig 124) isto porque

eles esticavam cordas com noacutesdemarcados para realizar a me-diccedilatildeo

Figura 124 Estiradores de cordas

Fonte [20]

As cordas utilizadas pelos es-tiradores jaacute tinham noacutes mar-cando certa unidade de medidaQuando esticavam estas cor-das verificavam quantas vezesaquela medida cabia no terrenoAs vezes natildeo cabia um nuacutemerointeiro de vezes nas dimensotildeesdo terreno (Fig 125) e foi aiacuteque surgiram as primeiras fra-ccedilotildees

Figura 125 Corda com noacutes

Fonte [31]

No iniacutecio eles usavam comofraccedilotildees somente o nuacutemero 1dividido por outro nuacutemero in-

teiro Hoje essas fraccedilotildees satildeochamadas de fraccedilotildees unitaacuteriasEssas fraccedilotildees eram representa-das com um siacutembolo oval sobreo denominador conforme a fi-gura(Fig 126)

Figura 126 Representaccedilatildeo egiacutepcia de fraccedilatildeo uni-taacuteria

Fonte [12]

Dificilmente cabia um nuacute-mero inteiro nas dimensotildees doterreno por mais adequada quefosse a unidade de medida es-colhida Foi por essa razatildeoque os egiacutepcios criaram umnovo tipo de representaccedilatildeo nu-meacuterica o nuacutemero fracionaacuteriocuja representaccedilatildeo eacute uma fra-ccedilatildeo

No Papiro de Rhind ou Ah-mes (Fig 127) datado de apro-ximadamente 1700 aC haacute ou-tros tipos de fraccedilotildees represen-tadas como uma soma de fra-ccedilotildees unitaacuterias

Figura 127 Papiro de Rhind - Museu Britacircnico

Fonte [29]

O povo babilocircnio abordava asfraccedilotildees de uma forma diferentesendo o seu denominador o nuacute-mero 60 pelo fato de a base deseu sistema de numeraccedilatildeo sersessenta (60 siacutembolos)

Jaacute na Greacutecia antiga a ideia defraccedilatildeo como um nuacutemero levoutempo a ser aceita Por mui-tos seacuteculos apenas os elemen-tos das sequecircncias 2 3 4 5 eram considerados nuacutemeros e oldquo1rdquo era o gerador de todos osnuacutemeros

A invenccedilatildeo das fraccedilotildees sur-giu para facilitar na resoluccedilatildeode diversos problemas enfren-tados pelos comerciantes daeacutepoca Se a vara estivesse di-vidida em partes iguais por

exemplo em partes de18

acompradora poderia levar um

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

de 16 moedasA forma moderna de escre-

ver fraccedilotildees com uma barra divi-dindo o numerador pelo deno-minador vem do meacutetodo HinduO primeiro matemaacutetico a usar abarra de fraccedilotildees da forma comoela eacute usada hoje foi FibonacciAinda hoje as fraccedilotildees satildeo usa-das nas medidas

Contudo na Inglaterra e nosEstados Unidos eacute utilizadauma unidade de medida cha-mada polegada que eacute subdivi-dida em meios quartos e oita-vos

18 Histoacuteria dos sinais

Os matemaacuteticos chineses da

antiguidade tratavam os nuacuteme-ros como excessos ou faltasOs chineses realizavam caacutelcu-los em tabuleiros onde repre-sentavam os excessos com pa-litos vermelhos e as faltas compalitos pretos Na Iacutendia os ma-temaacuteticos tambeacutem trabalhavamcom esses estranhos nuacutemerosBrahmagupta matemaacutetico nas-cido no ano 598 dC afirmavaque os nuacutemeros podem ser en-tendidos como pertences ou diacute-vidas

Ao longo dos seacuteculos o de-senvolvimento da Matemaacuteticasempre esteve diretamente li-gado a atividades de trocas eposteriormente ao desenvolvi-mento do comeacutercio Quantomais complexas as atividadesde comeacutercio entre os povosmais os matemaacuteticos tinhamque quebrar a cabeccedila para des-cobrir foacutermulas que permitis-sem aos comerciantes efetuarsuas contas com precisatildeo e ra-pidez (Fig 128)

Figura 128 Comeacutercio mariacutetimo

Fonte [20]

Na eacutepoca Renascentista ocor-reu um grande desenvolvi-mento nos paiacuteses da Europaocidental e no desbravamentodos mares para descobrirem ou-tras terras [20] Com a des-coberta de outros territoacuterios aoredor do mundo melhoraramas condiccedilotildees para os comerci-antes que saiam em longas ex-pediccedilotildees em busca de novasmercadorias Quando estes co-merciantes voltavam vendiamesses produtos e com o lucroque conseguiam partiam rumoa novas expediccedilotildees na busca deuma nova remessa de produtospara comercializar

No pensamento daqueles quepesquisavam assuntos relacio-nados agrave matemaacutetica circulavaum problema substituir as pa-

lavras por siacutembolos simples eque facilitassem a rapidez doscaacutelculos e que ainda auxiliassediante do desenvolvimento queestava ocorrendo

Os matemaacuteticos ficaram en-cantados com a invenccedilatildeo doscomerciantes que passaram autilizar o nuacutemero com sinal emdiversas situaccedilotildees Ateacute estaeacutepoca eram utilizadas somentepalavras para representar os si-nais e os nuacutemeros eram utili-zados somente para representarquantidades mas agora com ainvenccedilatildeo dos sinais eles indi-cariam tambeacutem a direccedilatildeo destaquantidade

A aplicaccedilatildeo do sinal da adi-ccedilatildeo aparece na obra AritmeacuteticaComercial de Joatildeo WeidmandrsquoEger publicada em 1489sendo tambeacutem atribuiacuteda a estematemaacutetico alematildeo a introdu-ccedilatildeo do sinal de subtraccedilatildeo (minus)[40] O surgimento do sinalde multiplicaccedilatildeo (times) no seacute-culo XVII eacute meacuterito do mate-

maacutetico inglecircs William Ough-tred que ao olhar para umaexpressatildeo semelhante agrave repre-sentada na figura (Fig 129)buscou representaacute-la de umaforma mais simples

Figura 129 Exemplo de expressatildeo que originouo sinal de vezes

O matemaacutetico William Ough-tred natildeo queria utilizar a pala-vra vezes e sim inventar umnovo sinal para representaacute-laOlhando para o sinal da adi-ccedilatildeo simplesmente o girou umpouco para a esquerda e sur-presa nasce aqui o sinal damultiplicaccedilatildeo sendo utilizadopela primeira vez no livro Cla-vis Matematicae no ano de1631

Em 1637 Descartes jaacute escre-via a operaccedilatildeo de multiplicaccedilatildeoutilizando apenas um ponto en-

tre os fatores O matemaacuteticoLeibniz natildeo gostava de utilizaro siacutembolo times para multiplica-ccedilatildeo por ser facilmente confun-dido com a letra x do alfabetopassando assim a utilizar ape-nas um ponto () para represen-tar a operaccedilatildeo

O siacutembolo anglo-americanoda divisatildeo (divide) tambeacutem aparecepela primeira vez no seacuteculoXVII mais especificamente noano de 1659 em um trabalhodo matemaacutetico suiacuteccedilo JohannHeinrich Rahn [18] Este siacutem-bolo acabou se tornando conhe-cido na Inglaterra anos maistarde com a traduccedilatildeo deste tra-balho

19 Geometria

Taiacutes Pereira da Silva

A palavra geometria eacute com-posta por duas palavras gregasgeo (terra) e metron (medida)No antigo Egito as chuvas pro-

vocavam anualmente o trans-bordamento do rio Nilo Oalagamento dos campos dani-ficava as demarcaccedilotildees de li-mites das propriedades e porisso apoacutes o periacuteodo das chu-vas quando as aacuteguas voltavamao leito do rio era necessaacute-rio remarcar esses limites (Fig130)

Figura 130 Estiradores de corda

Fonte [20]

O trabalho de remarcaccedilatildeo erafeito por agrimensores que uti-lizavam como ferramenta umacorda esticada reproduzindoum triacircngulo retacircngulo paraauxiliar no caacutelculo e extensatildeodos terrenos

As construccedilotildees das piracircmidese templos das civilizaccedilotildees egiacutep-cias e babilocircnicas satildeo testemu-nhos de que a geometria jaacute exis-

19 Geometria 33

tia para esses povos por co-nhecimentos naturais geomeacutetri-cos Poreacutem o homem preacute-histoacuterico jaacute apresentava rudi-mentos de um sentido geomeacute-trico quando se preocupavaem apresentar a natureza pormeio de desenhos ou em darforma aos objetos por exem-plo construindo vasos escul-pindo em pedra com as pontasde suas lanccedilas Assim se con-siderarmos a geometria quantoagrave forma sua origem eacute anterioragrave civilizaccedilatildeo egiacutepcia

Poreacutem foi na Greacutecia quea geometria teve o seu augeOs gregos deram extremaimportacircncia agrave geometriaempregando-na de sentidospara as atividades diaacuterias comconceitos acessiacuteveis ao cida-datildeo Com o passar do tempoagraves formas geomeacutetricas (Fig131) foram sendo nomeadasde acordo com certos criteacuteriose caracteriacutesticas Surge entatildeo ageometria plana e a geometria

espacial

Figura 131 Algumas formas geomeacutetricas

Fonte [41]

Entre 600 e 300 aC acon-teceu um marco histoacutericona construccedilatildeo da Geometriaquando o matemaacutetico Euclidesde Alexandria (Fig 132) fir-mou um sistema organizadoDevido agraves suas importantescontribuiccedilotildees ao estudo desseramo da matemaacutetica foi atri-buiacutedo a ele o tiacutetulo de ldquopai dageometriardquo

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

Euclides publicou por voltade 325 aC o livro Os Elemen-tos uma obra com treze volu-mes propondo um sistema ineacute-dito no estudo da Geometriasuas obras deixaram grandescontribuiccedilotildees para a matemaacute-tica

A maior parte do conteuacutedo dolivro I eacute conhecida por quemestuda geometria plana teore-mas de congruecircncia de triacircn-gulos construccedilotildees elementarescom reacutegua e compasso desi-gualdades envolvendo acircngulose lados de triacircngulos constru-ccedilotildees envolvendo retas parale-las Elementos tecircm sequecircnciacom a apresentaccedilatildeo de proposi-ccedilotildees sempre acompanhadas dedemonstraccedilotildees construiacutedas deforma loacutegica a partir dos pos-tulados axiomas e das proposi-ccedilotildees jaacute demonstradas [29]

O livro II eacute curto conteacutem ape-nas 13 proposiccedilotildees e se ocupade um assunto conhecido hojecomo aacutelgebra geomeacutetrica A aacutel-

gebra com seus artifiacutecios sim-boacutelicos de representaccedilatildeo e ma-nipulaccedilatildeo soacute seria desenvol-vida a partir da Idade MeacutediaEuclides prova resultados denatureza algeacutebrica de forma ge-omeacutetrica com o uso de quadra-dos e retacircngulos [29]

Jaacute os livros III e IV li-dam com a geometria do ciacuter-culo material que possivel-mente tem origem em Hipoacutecra-tes de Quiacuteos Estes exempla-res inclui relaccedilotildees de interse-ccedilatildeo e tangecircncias entre ciacutercu-los e retas Apresenta uma de-finiccedilatildeo de tangente ao ciacuterculoda seguinte forma ldquoUma li-nha reta que toca o ciacuterculo eacutequalquer linha reta que encon-trando o ciacuterculo natildeo corta o ciacuter-culordquo Ainda possuem proble-mas sobre a inscriccedilatildeo e a cir-cunscriccedilatildeo de figuras retiliacuteneasno ciacuterculo Aleacutem de outrosnove exemplares da coleccedilatildeoOs Elementos aborda concei-tos da geometria escrita por di-

19 Geometria 35

versos matemaacuteticos tais comoPlatatildeo e Eudoxo [29]

O longo caminho da aacutelgebraA origem do conceito de aacutereaO fantaacutestico nuacutemero pi (π)

2 7o ano

21 O longo caminho da aacutelgebra

A histoacuteria da matemaacutetica co-meccedilou a ser lapidada haacute muitosseacuteculos nesse longo percursosurgiram diversas fontes quenos remetem aos nossos ante-passados poreacutem nossa simbo-logia matemaacutetica do modo queconhecemos atualmente demo-rou seacuteculos para ser convencio-nada

Uma parte importante do pen-samento algeacutebrico deixado pe-los egiacutepcios encontra-se nodocumento matemaacutetico conhe-cido como papiro de Ahmes

ou papiro de Rhind do Egito(escrita hieraacutetica) conforme fi-gura (Fig 21) que foi escritopor volta de 1650 aC

Fonte [29]

O matemaacutetico Euclides(325 ndash 265) em sua obraOs Elementos descreve queforam os babilocircnicos queencontraram soluccedilotildees paraalguns problemas algeacutebricos

utilizavam de um processochamado a aplicaccedilatildeo de aacutereasuma parte da aacutelgebra geomeacute-trica estudada por Euclidesem sua obra [3] Muitas destasescritas descrevem retas aacutereade uma determinada superfiacuteciee volumes

No seacuteculo III dC Diofantoao escrever o seu livro Arithme-tica iniciou o caminho para alinguagem por notaccedilatildeo que te-mos hoje pois em sua obra uti-lizava de abreviaccedilotildees nos tex-tos matemaacuteticos [8]

Franccedilois Vieacutete por volta doseacuteculo XV foi o matemaacute-tico que utilizou pela primeiravez uma vogal para represen-tar quantidades assim surgeuma notaccedilatildeo para a incoacutegnitadando flexibilidade para resol-ver expressotildees algeacutebricas

Em consequecircncia diversosmatemaacuteticos adotaram a sim-bologia de Vieacutete por sua vezReneacute Descartes utiliza umanova notaccedilatildeo para tratar proble-

mas algeacutebricos [8]

Geralmente usa-se as letrasdo iniacutecio alfabeto para paracircme-tros e as do final como incoacuteg-nitas a adaptaccedilatildeo da notaccedilatildeoexponencial a essas e o usodos siacutembolos germacircnicos (+)

e (minus) tudo isso fez com quea notaccedilatildeo de Descartes se asse-melhasse agrave nossa pois tiramosa nossa dele

Os termos como incoacutegnita evariaacutevel em alguns casos ateacutese assemelham poreacutem satildeo de-finidas de forma diferente poisincoacutegnita representa a quanti-dade desconhecida cujo va-lor pode ser determinado pe-las condiccedilotildees fornecidas pelaequaccedilatildeo Sendo assim eacuteuma quantidade determinadaporeacutem desconhecida jaacute a variaacute-vel por sua vez eacute a quantidadeindeterminada cujo valor ldquova-riardquo de acordo com outra quan-tidade que tambeacutem eacute variaacutevel

22 A origem do conceito de aacuterea

Elisiane Cardoso de Andrade

Vocecirc seria capaz de explicaronde poderiacuteamos utilizar o con-ceito matemaacutetico de aacuterea Tal-vez esse seja um dos mais utili-zados desde a antiguidade ateacuteos dias atuais Seja na medi-ccedilatildeo de terrenos na construccedilatildeode casas edifiacutecios nas cons-truccedilotildees de embalagens para di-versos produtos dentre outrosAcredite o conceito de aacutereaestaacute por toda parte na sala deaula na rua na sua casa nocampo de futebol (Fig 22)

Figura 22 Campo de futebol

Fonte [19]

Mas para que utilizamos oconceito de aacuterea Para me-dir o tamanho de uma superfiacute-cie na qual estaacute relacionado ao

conceito de uma extensatildeo bidi-mensional [5] O conceito deaacuterea e de comprimento tenhamsurgido com os povos egiacutepciose babilocircnios utilizando estesconceitos em grandes constru-ccedilotildees como as grandes piracircmi-des do Egito (Fig 23)

Figura 23 Piracircmides de gizeacute no Egito

Fonte [36]

Assim como muitos outrosconhecimentos matemaacuteticos oconceito de aacuterea surgiu da ne-cessidade do povo em fazer no-vas mediccedilotildees de terra apoacutes ascheias anuais do Rio Nilo [5]durante os meses de julho aoutubro Quando a inundaccedilatildeopassava os agrimensores eramchamados para realizar a medi-ccedilatildeo e estabelecer os limites deterras dos pequenos agriculto-res Essas mediccedilotildees eram cha-

madas de agrimensura sendoesta uma das praacuteticas mais an-tigas da humanidade

O fato mais interessante era omodo como eles mediam essasterras e o que eles utilizavampara fazer isso Na praacutetica osagrimensores jaacute sabiam que umtriacircngulo com lados que medis-sem 3 4 e 5 possui um acircnguloreto interno de 90o [5] En-tatildeo eles faziam 12 noacutes (3 +

4+ 5) em uma corda com dis-tacircncias iguais entatildeo quandoiam medir as terras amarravamas pontas e esticavam a cordadobrando-a em trecircs dos noacutesconforme a figura (Fig 24)

Figura 24 Estiradores de cordas ou agrimenso-res

Fonte [5]

Esse modo lhes permitia tra-

ccedilar retas perpendiculares neces-saacuterias ao ato da agrimensura

Os agrimensores eram cha-mados de ldquoestiradores de cor-dasrdquo devido ao uso destas cor-das como uma unidade de me-dida Essas cordas eram esti-cadas para verificar quantas ve-zes aquela medida estava con-tida no comprimento que se de-sejava medir [5]

Os agrimensores aprendiam adeterminar a aacuterea destes lotesde terrenos por meio da divisatildeodestes retacircngulos e triacircngulos[12]

Podemos destacar que as pri-meiras foacutermulas para calcularaacutereas de superfiacutecies planas fo-ram as do retacircngulo do triacircn-gulo e do ciacuterculo veja a Tabela21

Tabela 21 Foacutermulas para o caacutelculo de aacutereaRetacircngulo Triacircngulo reto Ciacuterculo

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte Elaborada pela autora 2017

Os babilocircnios tambeacutem dedi-caram parte de suas vidas a es-tudar sobre a aplicaccedilatildeo da Geo-

metria para suprir suas necessi-dades [12] Foram estes povosque realizaram a divisatildeo do ciacuter-culo em 360 partes iguais

No entanto para se determi-nar a aacuterea de uma superfiacuteciee tambeacutem demonstrar demaisfoacutermulas de outras figuras pla-nas tomou-se por base a aacutereado quadrado de lado unitaacuteriocomo referecircncia de unidade deaacuterea chamando de metro qua-drado (m2) sua unidade de me-dida principal

Assim podemos perceberque na matemaacutetica o conceitode aacuterea eacute fruto das necessi-dades encontradas em tarefascotidianas desde a antiguidadeateacute os dias atuais sendo estauma ciecircncia que estaacute sempreem construccedilatildeo pois a cada diasurgem novos estudos e novasdescobertas

23 O fantaacutestico nuacutemero pi (π)

O nuacutemero pi (π) foi desco-berto haacute muitos anos sendoeste um dos nuacutemeros mais fa-mosos do mundo a sua ori-gem eacute tatildeo miacutestica quanto a his-toacuteria da origem dos humanosO caacutelculo do valor deste nuacute-mero com certeza foi um desa-fio grande para o homem e asua histoacuteria possui mais de qua-tro mil anos de existecircncia

Este nuacutemero tatildeo conhecidopossui diversas aplicaccedilotildees emnosso cotidiano A sua desco-berta se deu devida agrave da neces-sidade de calcular aacutereas em for-mato de ciacuterculo e na de demar-caccedilatildeo de terras

De acordo com o historiadormatemaacutetico [6] no papiro egiacutep-cio de Rhind (Fig 21) deaproximadamente 1650 aC jaacutehavia vestiacutegios da existecircncia deum valor aproximado do nuacute-mero π ou seja a busca pelovalor aproximado de π eacute algotatildeo antigo quanto a histoacuteria daproacutepria matemaacutetica [6]

Figura 25 Papiro de Rhind

Fonte [26]

Naquela eacutepoca ainda natildeoexistiam calculadoras ou com-putadores capazes de realizarcaacutelculos com valores tatildeo exatose com vaacuterias casas decimaisos caacutelculos eram realizados ma-nualmente O primeiro a pro-por um meacutetodo para fornecer onuacutemero π foi um matemaacuteticogrego que viveu no seacuteculo IIIaC chamado Arquimedes quenasceu por volta do ano 287aC em Siracusa (Siciacutelia) Erafilho de um astrocircnomo e foi umimportante guerreiro na defesade Siracusa contra os romanosutilizando vaacuterias maacutequinas dedefesa para lanccedilar pedras maacute-quinas estas inventadas por ele

morreu no ano 212 aC com75 anos de idade assassinadopor um soldado romano em-bora as ordens do general fossepara que o matemaacutetico devesseser poupado da morte

O matemaacutetico Arquimedes(Fig 26) nos deixou umgrande acervo de trabalhos ci-entiacuteficos sendo que grandeparte de suas descobertas satildeoaplicadas nos mais variados ra-mos da matemaacutetica e da fiacutesicadestacando-se tambeacutem comopioneiro no ramo da anaacutelisecombinatoacuteria

Figura 26 Arquimedes

Fonte [29]

Dentre as obras e invenccedilotildees

de Arquimedes podemos desta-car o Stomachion (um quebracabeccedila) o Princiacutepio de Arqui-medes (sobre os corpos flutuan-tes) a palavra Eureka a lei daalavanca a quadratura da paraacute-bola sobre as esferas e cilin-dros a espiral de Arquimedesmedida do ciacuterculo o nuacutemeroπ e entres vaacuterios outros traba-lhos

Por volta de 200 aC que Ar-quimedes consegue um valoraproximado para o nuacutemero π Essa descoberta se deu devidoao fasciacutenio que os matemaacuteticostinham com a figura do ciacuterculopois na matemaacutetica o ciacuterculo eacutea figura que representa a per-feiccedilatildeo o comeccedilo e o fim satildeoapenas um Sendo esta uma fi-gura incomensuraacutevel assim in-ventaram uma medida imaginaacute-ria chamada hoje de π

Para medir o comprimentodo ciacuterculo os matemaacuteticos daeacutepoca utilizaram o processochamado ldquoquadratura do ciacuter-

culordquo no qual o ciacuterculo passoua ser definido como um poliacute-gono de infinitos lados [32]

Figura 27 Quadratura do ciacuterculo ou meacutetodo deexaustatildeo

Fonte [6]

Utilizando as fraccedilotildees31071

e31070

Arquimedes mostrou queo valor exato de π situava-seentre estas duas fraccedilotildees con-seguindo este valor circunscre-vendo e inscrevendo um ciacuter-culo com poliacutegonos regularescontendo 96 lados sendo estauma aproximaccedilatildeo melhor que ados egiacutepcios e babilocircnios estadescoberta foi um grande acon-tecimento na histoacuteria da mate-

maacutetica [32]Posteriormente a Arquime-

des outros matemaacuteticos tenta-ram obter um valor ainda maisaproximado para o nuacutemero π Ptolomeu por volta do seacuteculoIII dC conseguiu calcular o

valor de π como sendo377120asymp

31416 sendo uma aproxima-ccedilatildeo melhor que a encontradapor Arquimedes

Ainda no seacuteculo III dC ochinecircs Liu Hui conseguiu en-contrar o valor de 314159E as aproximaccedilotildees continu-aram a serem encontradasno seacuteculo V o matemaacuteticohindu Aryabhata disse queo valor de π estava com-preendido entre 31415926 e31415927 Ateacute o seacuteculo XVo melhor valor aproximado deπ foi encontrado pelo matemaacute-tico Al-Kashi que correspondiaa 31415926535897932 [32][veja Figura (Fig 28)]

O matemaacutetico holandecircs Lu-dolph Van Ceulen no ano de

Figura 28 Siacutembolo π e seu valor aproximado

Fonte [16]

1596 repetindo o meacutetodo deArquimedes conseguiu encon-trar o nuacutemero π com aindamais aproximaccedilotildees de casas de-cimais Veio a falecer logo de-pois da sua descoberta e sua es-posa mandou gravar em sua laacute-pide o valor de π com 35 casasdecimais

Depois disso mais matemaacute-ticos continuaram a calcular ovalor de π ateacute chegar no anode 1984 nos Estados Unidosjaacute com a existecircncia de calcula-doras e computadores a apro-ximaccedilatildeo de π foi calculadanovamente com mais de dezmilhotildees de algarismos exatose em 1997 dois matemaacuteticosjaponeses conseguiram progra-

mar um computador para queencontrasse um pouco mais de51 bilhotildees de casas decimais

No ano de 1761 o matemaacuteticofrancecircs Jean Henri Lambert feza mais importante descobertado seacuteculo XVIII provando queo nuacutemero π eacute um nuacutemero irra-cional encerrando o sonho deele possuir um final ou que pu-desse ser representado por umafraccedilatildeo que expressasse seu va-lor exato

Figura 29 Leonhard Euler pintura de 1753 mdashKunstmuseum Basel Suiccedila

Fonte [29]

A representaccedilatildeo do nuacutemero π

eacute dada pela deacutecima sexta letrado alfabeto grego π sendo estarepresentaccedilatildeo adotada pelo ma-temaacutetico Willian Jones em1706 poreacutem como ele natildeo eramuito conhecido para publicare espalhar sua ideia incumbiua outro grande matemaacutetico cha-mado Leonard Euler (Fig 29)que em 1737 passou a usar osiacutembolo de Jones E assim osiacutembolo passou a ser aplicadopor todo mundo

Histoacuteria da aacutelgebraA histoacuteria dos polinocircmios

3 8o ano

31 Histoacuteria da aacutelgebra

O termo aacutelgebra vem doaacuterabe que significa ldquoreuniatildeordquoou ldquoreacomodaccedilatildeo das partesquebradasrdquo Quando vocecircpensa em aacutelgebra o que vemagrave mente primeiro Vocecirc pensaem equaccedilotildees ou em foacutermulacom termos desconhecidos

A histoacuteria da aacutelgebra podeser vivenciada em trecircs periacuteo-dos retoacuterico sincopado e sim-boacutelico Seu iniacutecio eacute marcadocom equaccedilotildees da antiguidadeescritas em versos e resolvidas

por diferentes meacutetodos

Provavelmente a aacutelgebra seoriginou na Babilocircnia sendoutilizado o estilo retoacuterico paraescrever as equaccedilotildees Este es-tilo utiliza argumentos de reso-luccedilatildeo de um problema escritosem prosa sem fazer uso de siacutem-bolos nem de abreviaccedilotildees paraexpressar o pensamento algeacute-brico

A fase da aacutelgebra sincopadacomeccedila com Diofanto de Ale-xandria por volta do seacuteculoIV dC e se estende por vaacute-rios anos ateacute Franccediloacuteis VieacuteteSendo este que embora utili-zasse um estilo sincopado o

principal responsaacutevel pela in-troduccedilatildeo de novos siacutembolos naaacutelgebra

O uso dos siacutembolos mate-maacuteticos por fim foi introdu-zido por Diofanto de Alexan-dria para facilitar a escrita eos caacutelculos Estes siacutemboloseram geralmente abreviaccedilotildeesque expressavam quantidades eoperaccedilotildees

Diofanto foi o pioneiro na so-luccedilatildeo de equaccedilotildees O matemaacute-tico com sua maravilhosa habi-lidade nos diz sua idade pormeio de prosa

Aqui jaz Diofanto Maravi-lhosa habilidade ndash Pela arte daaacutelgebra a laacutepide nos diz suaidade [12]

ldquoDeus lhe deu um sexto davida como infante um duo-deacutecimo mais como jovem debarba abundante

E ainda uma seacutetima parte an-tes do casamento

Em cinco anos nasce-lhe vi-goroso rebento laacutestima O filho

do mestre e saacutebio do mundo evai morreu quando da metadeda idade final do pai uatro anosmais de estudos consolam-nodo pesar

Para entatildeo deixando a terratambeacutem ele aliacutevio encontrarrdquo

Se realmente esse enigma forverdadeiro Diofanto viveu exa-tamente oitenta e quatro anosNa linguagem matemaacutetica esteenigma eacute traduzido da seguinteforma

x =x6+

+x7+5+

efetuando os caacutelculos algeacutebri-cos em (31) temos que x = 84

No iniacutecio da era modernaos matemaacuteticos aperfeiccediloam asnotaccedilotildees algeacutebricas aumentama precisatildeo dos caacutelculos e obtecircmum grande progresso na aacutelge-bra Passam a usar letras pararepresentar as incoacutegnitas Asnotaccedilotildees utilizadas atualmentenas equaccedilotildees algeacutebricas como

os coeficientes a b e c para osnuacutemeros conhecidos como x ye z para as incoacutegnitas se deve aesse matemaacutetico

A aacutelgebra eacute uma parte damatemaacutetica que foi se modifi-cando com o passar do tempoantigamente se economizavatempo de escrita e espaccedilo deimpressatildeo mas pouco se faziapara promover o conhecimentomais profundo das ideias queexpressavam A aacutelgebra de fatoera uma arte em geral umaatividade que defendia forte-mente as habilidades de seuspraticantes individuais

A nossa notaccedilatildeo algeacutebricacorrente estaacute muito proacuteximo doideal Seu desenvolvimento foilongo lento e algumas vezesconfuso Essa maneira de es-crever a matemaacutetica eacute usual-mente chamada de retoacuterica po-reacutem com contraste com o estilosimboacutelico usado atualmente

32 A histoacuteria dos polinocircmios

Joel de Oliveira Bassani

Estudos apontam para a ne-cessidade de contextualizar oensino da matemaacutetica ou sejasempre buscam aplicaccedilotildees ime-diatas para os conteuacutedos Natildeoque esse deva ser um caminhouacutenico a ser seguido pelo con-traacuterio a compreensatildeo de seuvalor abstrato eacute importante

A histoacuteria das equaccedilotildees poli-nomiais eacute muito antiga tem-seconhecimento que na Babilocirc-nia cerca de 1800 aC algunsmeacutetodos de resoluccedilatildeo de equa-ccedilotildees do 2o grau jaacute eram conhe-cidas Assim o problema deencontrar raiacutezes de uma equa-ccedilatildeo algeacutebrica isto eacute de umpolinocircmio eacute alvo de estudode muitas pessoas haacute muitotempo

O estudo que se ocupa desteprocesso eacute chamado AacutelgebraEste nome deve-se agrave expressatildeoAl-Jabr do livro Al-Jabr WarsquolMugabalah em portuguecircs ldquoci-

ecircncia da restauraccedilatildeo (ou reu-niatildeo) e reduccedilatildeordquo de auto-ria do matemaacutetico aacuterabe Al-Khowarizmi (Fig 31) porvolta de 830 [20]

Figura 31 Matemaacutetico Al-Khowarizmi

Fonte [20]

Acredita-se tambeacutem que a uti-lizaccedilatildeo de letras do alfabeto noestudo matemaacutetico tenha sur-gido com o grego Hipoacutecratesde Quio que viveu entre 460 e380 aC e teria representadopontos e retas de figuras geo-meacutetricas

Muito tempo depois porvolta do seacuteculo II dC o mate-

maacutetico Diofanto de Alexandria(Fig 32) criou e utilizou siacutem-bolos algeacutebricos pela primeiravez A maneira como ele uti-lizou para representar uma in-coacutegnita e suas potecircncias erabem complicadas muito dife-rente daquela que conhecemoshoje

Figura 32 Diofanto de Alexandria

Fonte[29]

No seacuteculo XVI FranccediloisViegravete (1540 ndash 1630) (Fig 33)francecircs em um periacuteodo quandoa matemaacutetica baacutesica ainda seencontrava em formaccedilatildeo criouum sistema de notaccedilatildeo que con-sistia em representar quantida-

des variaacuteveis com letras vogaismaiuacutesculas e as constantes comconsoantes maiuacutesculas

Na histoacuteria da matemaacuteticapela primeira vez usaram-se le-tras para representar coeficien-tes assim tornando possiacutevelescrever apenas uma equaccedilatildeoque representasse uma classede equaccedilotildees

Figura 33 Franccedilois Viegravete

Fonte [12]

Posteriormente tivemos gran-des contribuiccedilotildees de Reneacute Des-cartes o qual fez um aprimora-mento no estudo de Viegravete uti-lizando apenas as letras finaisdo alfabeto (x y z) para re-presentar variaacuteveis e as primei-

ras (a b c) para representar asconstantes

Figura 34 Reneacute Descartes

Fonte [29]

Assim podemos perceber queo conceito de polinocircmio queconhecemos hoje teve umalonga caminhada Eacute a soma dossaberes de diversos pensadoresao longo dos seacuteculos

Observe na figura (Fig 35)que a medida dos lados satildeo va-riaacuteveis

Figura 35 Uso de polinocircmios no caacutelculo de aacutereas

Note que para as regiotildees ilus-

tradas temos que a aacuterea dos re-tacircngulos eacute dada por A = x2A = xy e A = y2 E ainda casoatribuirmos valores para as va-riaacuteveis temos a medida da su-perfiacutecie

Uma pequena viagem na histoacuteria das fun-ccedilotildeesO teorema de pitaacutegoras e os nuacutemeros irra-cionaisSistemas de medidas e sua origem

4 9o ano

41 Uma pequena viagem na histoacuteria dasfunccedilotildees

As funccedilotildees satildeo ferramentasindispensaacuteveis para descreverfatos e fenocircmenos do nossomundo Tais descriccedilotildees ex-pressam a relaccedilatildeo existente en-tre grandezas das mais diversasaacutereas do conhecimento Utili-zando destas ferramentas pode-mos analisar interpretar e des-crever diversos fenocircmenos na-turais e sociais

Podemos representar algu-mas situaccedilotildees envolvendo gran-dezas variaacuteveis tais como ocomprimento de um fio de ca-

belo em funccedilatildeo do tempo oconsumo de combustiacutevel de umautomoacutevel em funccedilatildeo da distacircn-cia percorrida o faturamentode uma empresa em funccedilatildeo donuacutemero de vendas entre mui-tas outras Ao descrevermosfatos semelhantes aos citadosrelacionamos duas grandezascriando uma interdependecircnciaentre ambas Podemos uti-lizar a linguagem matemaacuteticapara representar essas grande-zas por meio do conceito defunccedilotildees

As funccedilotildees assim como oconceito de diversos assuntosrelacionados agrave matemaacutetica sur-

giram das necessidades que ospovos enfrentavam para soluci-onar seus problemas Natildeo sesabe ao certo quando o con-ceito de funccedilotildees foi utilizadopela primeira vez [5] O que sesabe eacute que cerca de 2000 a Co povo babilocircnio jaacute construiacuteatabelas de raiacutezes quadradas

O conceito de funccedilotildees de-senvolvido pelos babilocircnios foiaperfeiccediloado ao longo dos seacute-culos e uma prova disso eacute ofato que a Astronomia da eacutepocaera baseada em taacutebuas de qua-drados cuacutebicos e de raiacutezes qua-dradas [10]

Os gregos tambeacutem deramsua contribuiccedilatildeo relacionandograndezas fiacutesicas como alturados sons e dos comprimentosdas cordas vibrantes (leis daacuacutestica)

Desde entatildeo houve vaacuteriosacontecimentos ao longo dosseacuteculos relacionados agrave utiliza-ccedilatildeo de funccedilotildees como exemplotemos a representaccedilatildeo da velo-

cidade de um moacutevel (um corpoque se movimenta) ao longodo tempo informaccedilatildeo geradapelo matemaacutetico francecircs Niacuteco-las Oresme (1323 - 1382) aqual contribuiu de forma con-sideraacutevel no estudo do referidoassunto

Para a representaccedilatildeo de umafunccedilatildeo geometricamente usa-mos o plano cartesiano (Fig41) contribuiccedilatildeo feita pelomatemaacutetico e filoacutesofo ReneacuteDescartes Ainda dentre estasconsideraccedilotildees ao estudo de fun-ccedilotildees temos a descoberta dasleis sobre as trajetoacuterias planetaacute-rias por Keppler assim comoo estudo da queda dos corpose a relaccedilatildeo entre o espaccedilo e otempo por Galileu

Figura 41 Plano cartesiano

Fonte Elaborado pela autora 2017

O conceito de funccedilatildeo foiintroduzido na matemaacuteticapor Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) para inicialmenteexpressar a associaccedilatildeo entrequantidades e curvas [42] Anoccedilatildeo que temos atualmentede funccedilatildeo deve-se agraves considera-ccedilotildees feitas posteriormente porLeonhard Euler (1707 - 1783)

Deve-se ao matemaacutetico ale-matildeo Leibniz com a invenccedilatildeoda linguagem matemaacutetica dis-tribuiacutedas em diversos termos esimbologias a primeira utili-zaccedilatildeo do termo funccedilatildeo propi-ciando sua utilizaccedilatildeo nas anaacute-lises matemaacuteticas no seacuteculoXVIII

No entanto a definiccedilatildeo defunccedilatildeo surge mais tarde comLeonhard Euler contudo soacutefoi no seacuteculo XIX que apare-ceu o significado mais amplode funccedilatildeo

Destaca-se que houve ou-tras contribuiccedilotildees significati-vas para o estudo de fun-

ccedilotildees realizadas pelos mate-maacuteticos Joseph-Louis de La-grange (1736 - 1813) Jean-Baptiste Fourier (1768 - 1830)e Johann Dirichlet (1805 -1859) [5] A teoria dos conjun-tos criada por Georg Cantor(1845 - 1918) ampliou aindamais o conceito de funccedilotildees ateacutese chegar agrave definiccedilatildeo que co-nhecemos hoje

Uma funccedilatildeo pode ser repre-sentada algebricamente ou des-critivamente Sob a forma detexto conforme [5] exempli-fica uma representaccedilatildeo usualou descritiva Estabelecendoa relaccedilatildeo entre duas grandezasem forma de texto abordandouma determinada situaccedilatildeo pro-blema

O exemplo a seguir repre-senta uma funccedilatildeo na represen-taccedilatildeo descritiva ldquoPaulo eacute ven-dedor de assinatura de revistase seu salaacuterio varia conforme onuacutemero de assinaturas que elevende no mecircs Paulo recebe

um valor fixo de R$ 120000mas comissatildeo de R$ 4000 paracada assinatura vendida [5]rdquo

Tambeacutem pode ser represen-tada tabularmente forma quetraz os dados abordados vejana tabela 41 a relaccedilatildeo entreo nuacutemero de assinaturas vendi-das e o salaacuterio de Paulo

Tabela 41 Representaccedilatildeo tabularNuacutemero de assinaturas vendidas Salaacuterio de Paulo

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

Aleacutem destas duas formasainda podemos representar es-tes dados dispostos na tabelatransformando na sua forma al-geacutebrica ou seja

f (x) = 1200+40x

na qual x representa a quanti-dade de revista vendida e f (x)o salaacuterio de Paulo Tal relaccedilatildeorepresenta-se sua forma graacutefica(Fig 42)

Com o passar do tempo a par-

Figura 42 Representaccedilatildeo graacutefica da situaccedilatildeo pro-blema

tir de investigaccedilotildees matemaacuteti-cas constatamos a grande im-portacircncia da empregabilidadedas funccedilotildees distribuiacutedas nosmais variados campos da ciecircn-cia moderna podendo ser con-siderada como pilar de inuacuteme-ras bases de conhecimento

42 O teorema de pitaacutegoras e os nuacutemerosirracionais

De acordo com [12] Pitaacute-goras (Fig 43) nasceu porvolta de 572 aC em uma dasilhas do mar Egeu chamadailha de Samos proacutexima a Mi-leto E morreu em Metaponto

com aproximadamente 75 ou80 anos de idade provavel-mente assassinado

Figura 43 Pitaacutegoras

Fonte [12]

Quando se mudou para Cro-tona uma colocircnia ao sul da Itaacute-lia fundou uma sociedade co-nhecida tambeacutem como EscolaPitagoacuterica onde se abordavamassuntos relacionados a filoso-fia matemaacutetica muacutesica astro-nomia e ciecircncias Tudo indicaque Pitaacutegoras era seguidor deTales outro importante filoacutesofoe matemaacutetico

Na eacutepoca da Escola Pitagoacute-rica os estudos se davam oral-mente e as descobertas realiza-das pelos seguidores de Pitaacute-goras eram sempre atribuiacutedaspara ele mesmo dificultando

na identificaccedilatildeo da autoria des-sas descobertas [18]

Entre essas descobertas haacuteum teorema muito importantena matemaacutetica muito aplicadono ramo da geometria cha-mado teorema de PitaacutegorasEste teorema diz o seguintepara qualquer triacircngulo retacircn-gulo ldquoo quadrado da hipote-nusa eacute igual agrave soma dos quadra-dos dos outros dois lados deno-minados catetosrdquo

Esse teorema jaacute era conhe-cido pelo povo egiacutepcio e babilocirc-nico do tempo de Hamurabimuitos seacuteculos antes da existecircn-cia de Pitaacutegoras [18 12] Po-reacutem na histoacuteria do teorema soacuteaparece que foi Pitaacutegoras quemrealizou a demonstraccedilatildeo desteteorema pela primeira vez Ademonstraccedilatildeo geomeacutetrica rea-lizada por Pitaacutegoras pode serexemplificada pela figura (Fig44)

Os pitagoacutericos foram os res-ponsaacuteveis por descobrirem os

Figura 44 Demonstraccedilatildeo geomeacutetrica do teoremade pitaacutegoras

Fonte [33]

nuacutemeros Irracionais (I) paraeles essa descoberta era fasci-nante mas ao mesmo tempoperturbadora pois na filosofiapitagoacuterica tudo dependia ape-nas dos nuacutemeros inteiros [1218]

A conclusatildeo de que os nuacute-meros irracionais existiam deu-se atraveacutes do objetivo de cal-cular a medida da diagonal deum quadrado de lado 1 cm con-forme a figura (Fig 45)

Figura 45 Diagonal do quadrado de lado 1

Fonte[21]

No caacutelculo dessa hipotenusapor meio do teorema de Pitaacutego-ras os pitagoacutericos concluiacuteramque por mais que os catetosfossem divididos em partes me-nores o lado desse quadradocontinuava a natildeo caber um nuacute-mero de vezes na hipotenusa[12]

Assim surgiu o primeiro nuacute-mero irracional

radic2 Essa

descoberta foi mantida em se-gredo por muito tempo so-mente muito tempo depois Te-odoro de Cirene apresentoumais alguns irracionais π eradic

3 5radic

7 entre outros

Por volta do ano de 370 aCessa descoberta tratada comoum grande ldquoescacircndalordquo foi re-solvida por Eudoxo que eraum dos disciacutepulos de Platatildeo(Fig 46) (outro grande mate-maacutetico e filoacutesofo ) esses nuacute-meros irracionais eram chama-dos de incomensuraacuteveis (natildeopodiam ser medidos) De-dekind matemaacutetico moderno

tambeacutem explanou esses nuacuteme-ros em 1872

Figura 46 Platatildeo

Fonte [29]

Outro nuacutemero irracionalmuito conhecido eacute o π (pi)que tem diversas aplicaccedilotildeesem nosso cotidiano cuja des-coberta se deu devido agrave neces-sidade de calcular aacutereas emformato de ciacuterculo

43 Sistemas de medidas e sua origem

Os sistemas de medida sur-giram tambeacutem de acordo comas necessidades do homem

Atualmente encontramos essasmedidas em muitas situaccedilotildeesdo nosso cotidiano como porexemplo as medidas de um ter-reno a capacidade de volumede um copo a distacircncia entreduas cidades a altura de umpreacutedio entre outras aplicaccedilotildees

A necessidade de medir eacute tatildeoantiga quanto a histoacuteria do ho-mem e ao longo do tempovaacuterios povos desenvolveram oseu sistema de acordo com suasnecessidades [33]

Muitas das unidades de me-dida utilizadas tinham por refe-recircncia partes do corpo humanopalmo peacute polegada braccedilajarda etc exemplifica-se pormeio da figura (Fig 47)

Figura 47 Medidas de comprimento utilizando ocorpo humano

Fonte [39]

Natildeo se sabe ao certo sobre aorigem das medidas de compri-mento e de aacutereas pois os pri-moacuterdios deste assunto satildeo maisantigos que a origem da escrita[5]

Eacute muito provaacutevel que os pri-meiros povos a utilizarem asmedidas de comprimento e deaacuterea foram os babilocircnios e egiacutep-cios por serem civilizaccedilotildeesque tinham o conhecimento deconstruccedilotildees de grandes edifica-ccedilotildees como por exemplo as pi-racircmides egiacutepcias [5]

O povo egiacutepcio talvez foi umdos povos que mais se desta-cavam na arte de medir poisa cada cheia do Rio Nilo osagrimensores do faraoacute neces-sitavam medir as terras nova-mente separando-as em novosterrenos restabelecendo os li-mites das aacutereas inundadas pelacheia do Rio Nilo

Cabe aqui ressaltar que osagrimensores do faraoacute eramchamados de ldquoestiradores de

cordardquo porque para medir elesesticavam suas cordas que pos-suiacuteam noacutes que demarcavamuma certa medida na mesmaconforme pode-se observar nafigura (Fig 48)

Fonte [5]

Conforme as civilizaccedilotildees fo-ram evoluindo foi necessaacuterioaperfeiccediloar os sistemas de me-didas utilizados Com o de-senvolvimento do comeacutercio aexistecircncia de vaacuterias unidadesde medida dificultava as nego-ciaccedilotildees sendo necessaacuterio quese criasse um uacutenico padratildeo deunidades de medida para cadagrandeza [39]

Foi somente apoacutes a Revolu-ccedilatildeo Francesa em 1789 quea Academia de Ciecircncias da

Franccedila unificou o sistema demedidas no paiacutes baseando-seem padrotildees simples fixos ecientiacuteficos [33 39] Assimconstituiu-se o Sistema Meacute-trico Decimal criado em junhode 1799

O metro padratildeo que conhe-cemos hoje (com 100 cm) foiconstruiacutedo em 1799 Atual-mente nos referenciamos peloSistema Internacional de Me-didas (Sistema SI) aprovadono ano de 1960 em Paris pelaConferecircncia Geral de Pesos eMedidas

O sistema SI eacute uma versatildeomoderna e atual do SistemaMeacutetrico Decimal O Brasil soacuteadotou o sistema SI em 1862[33]

O Sistema Meacutetrico Decimalque tambeacutem eacute conhecido comoSistema Internacional de Medi-das (SI) eacute utilizado em quasetodos os paiacuteses Segundo [39]o Sistema Meacutetrico Decimal foiassim chamado com base em

uma unidade padratildeo as demaissatildeo obtidas por meio da multi-plicaccedilatildeo ou divisatildeo dessa uni-dade por 10 100 ou 1000

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6ordm ano

Matemaacutetica e o seu aparecimento

Quem inventou a matemaacutetica e os nuacutemeros

De onde vieram os nuacutemeros

A necessidade de representar quantidades

O misteacuterio dos nuacutemeros decimais

Dos nuacutemeros (in)compostos aos primos

A origem das fraccedilotildees

Histoacuteria dos sinais

Geometria

7ordm ano

O longo caminho da aacutelgebra

A origem do conceito de aacuterea

O fantaacutestico nuacutemero pi ()

8ordm ano

Histoacuteria da aacutelgebra

A histoacuteria dos polinocircmios

9ordm ano

Uma pequena viagem na histoacuteria das funccedilotildees

O teorema de pitaacutegoras e os nuacutemeros irracionais

Sistemas de medidas e sua origem

Histoacuteria da matemaacutetica e-book ndash comosurgiram alguns conceitos matemaacuteticos

OrgValdirene da Rosa Rocho

Carla Margarete Ferreira dos SantosMargarete Farias Medeiros

Carla Sofia Dias BrasilTaiacutes Pereira da Silva

Correccedilatildeo ortograacuteficaRosemary de Faacutetima de Assis Domingos

ColaboradoresCaio Robeacuterio Barpp da SilvaElisiane Cardoso de Andrade

Joel de Oliveira BassaniMara Cristina Baltazar

Sabrini dos AnjosZilmara Raupp de Quadros

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Somos filiados

65 f il col

ISBN978-85-5644-023-5

CDD 5109

Sumaacuterio

1 6o ano 9

19 Geometria 32

2 7o ano 36

3 8o ano 45

4 9o ano 51

1 6o ano

Fonte [13]

Fonte [30]

Fonte [27]

Fonte [31]

Fonte [44]

Fonte [13]

Fonte [38]

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Fonte [34]

Fonte [14]

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Fonte [11]

Fonte [23]

Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

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Fonte [26]

Fonte [29]

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Fonte [20]

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Somos filiados

65 f il col

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CDD 5109

Sumaacuterio

1 6o ano 9

19 Geometria 32

2 7o ano 36

3 8o ano 45

4 9o ano 51

1 6o ano

Fonte [13]

Fonte [30]

Fonte [27]

Fonte [31]

Fonte [44]

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Fonte [38]

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Fonte [24]

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Fonte [20]

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comprimento de18

de vara e pa-

garia18

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19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Figura 132 Euclides

Fonte [12]

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Fonte [29]

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7 entre outros

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Fonte [39]

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




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1 6o ano 9

19 Geometria 32

2 7o ano 36

3 8o ano 45

4 9o ano 51

1 6o ano

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Fonte [27]

Fonte [31]

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19 Geometria

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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Sumaacuterio

1 6o ano 9

19 Geometria 32

2 7o ano 36

3 8o ano 45

4 9o ano 51

1 6o ano

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Geometria

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f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [38]

Fonte [31]

Fonte [34]

Fonte [14]

Fonte [25]

Fonte [11]

Fonte [23]

Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [14]

Fonte [25]

Fonte [11]

Fonte [23]

Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [11]

Fonte [23]

Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

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Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

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Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [31]

Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

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Fonte [20]

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Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [29]

Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

Fonte [29]

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e31070

Fonte [16]

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Fonte [20]

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Fonte [12]

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [1]

Fonte [45]

6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

Fonte [29]

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Fonte [16]

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Fonte [20]

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Fonte [12]

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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6 = 23 (11)

Fonte [24]

Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

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Fonte [29]

comprimento de18

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garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

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3 8o ano

x =x6+

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Fonte [20]

Fonte[29]

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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6 = 23 (11)

Fonte [24]

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comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

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4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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Fonte [24]

Fonte [22]

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Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

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Fonte [20]

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Fonte [12]

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

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e31070

Fonte [16]

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3 8o ano

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Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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Fonte [22]

Fonte [20]

Fonte [31]

Fonte [12]

Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

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Fonte [6]

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Fonte [12]

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Fonte[21]

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7 entre outros

Fonte [29]

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Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




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Fonte [20]

Fonte [31]

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comprimento de18

de vara e pa-

garia18

Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

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Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




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de vara e pa-

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19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

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Fonte [26]

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Fonte [6]

e31070

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4 9o ano

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Fonte [12]

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radic2 Essa

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7 entre outros

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Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [29]

comprimento de18

de vara e pa-

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Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Figura 132 Euclides

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19 Geometria 35

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Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

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3 8o ano

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4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

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Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [20]

19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

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Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

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Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

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Fonte [6]

e31070

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




19 Geometria

Fonte [20]

19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




19 Geometria 33

espacial

Fonte [41]

Figura 132 Euclides

Fonte [12]

19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




19 Geometria 35

2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




2 7o ano

Fonte [29]

Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [19]

Fonte [36]

Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [5]

A = bh A =bh2

A = πr2

Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [26]

Fonte [29]

Fonte [6]

e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [26]

Fonte [29]

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e31070

Fonte [16]

Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

Fonte [29]

4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

Fonte[21]

radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [6]

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Fonte [16]

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3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

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4 9o ano

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [16]

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3 8o ano

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+x7+5+

Fonte [20]

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4 9o ano

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Fonte [12]

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3 5radic

7 entre outros

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




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Fonte [29]

3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

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Fonte[29]

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4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




3 8o ano

x =x6+

+x7+5+

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4 9o ano

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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x =x6+

+x7+5+

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4 9o ano

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



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Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

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4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

Fonte [33]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

Fonte [39]

Fonte [5]

6ordm ano









Geometria

7ordm ano




8ordm ano



9ordm ano




Fonte [20]

Fonte[29]

Fonte [12]

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4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

f (x) = 1200+40x

Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

Fonte [29]

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




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9ordm ano




Fonte [12]

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4 9o ano

0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

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6ordm ano









Geometria

7ordm ano




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4 9o ano

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

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Geometria

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4 9o ano

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Fonte [12]

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radic2 Essa

3 5radic

7 entre outros

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Geometria

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0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

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radic2 Essa

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7 entre outros

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Geometria

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0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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Fonte [12]

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7 entre outros

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Geometria

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0 12001 1200 + 140=12402 1200 + 240=12803 1200 + 340=13204 1200 + 440=13605 1200 + 540=1400

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7 entre outros

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Geometria

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7 entre outros

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Geometria

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radic2 Essa

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7 entre outros

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Geometria

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