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janeiro de 2015
Hélder Manuel da Silva Ribeiro
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Universidade do MinhoInstituto de Educação
O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma experiência com alunos do 11ºano
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Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho realizado sob a orientação do
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Universidade do MinhoInstituto de Educação
janeiro de 2015
Hélder Manuel da Silva Ribeiro
O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma experiência com alunos do 11ºano
iii
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos os que contribuíram para que a concretização deste Relatório
designadamente:
Ao meu supervisor, Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, pela sua constante predisposição, pelo
seu apoio, pelas ideias e sugestões.
Ao meu orientador, doutor Marco Pereira pela sua ajuda, pela autonomia que sempre me
disponibilizou, pelo entusiasmo e pelas suas críticas pertinentes.
A todos os professores da escola pelo excelente acolhimento que tiveram para comigo. Aos
alunos da turma em estudo, pela simpatia e pelo excelente envolvimento nas tarefas que sempre
tiveram ao longo da minha intervenção.
Ao meu colega de estágio, João Barros, pela amizade, ajuda prestada e pelo debate de ideias.
Aos meus pais e à minha namorada pela força que me deram e por todo o apoio incondicional.
Sem eles nada disto teria sido possível.
Aos meus amigos, pela presença constante tanto nos momentos de frustração como nos
momentos de sucesso.
iv
v
O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES RACIONAIS COM A
CALCULADORA GRÁFICA: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 11.º ANO
Helder Manuel da Silva Ribeiro
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho, 2015
RESUMO
Este estudo teve como principal objetivo averiguar o contributo da calculadora gráfica
no ensino e na aprendizagem das funções racionais numa turma do 11.º ano de
Matemática A. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de
investigação: (1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das
funções racionais? (2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?
(3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem
das funções racionais? Para responder a estas questões recolheu-se informação através dos
seguintes métodos de recolha de dados: entrevista; questionário; produções dos alunos e
gravações de aulas.
Os tópicos abordados no estudo das funções racionais foram: funções do tipo y = a +
b
cx+d, x ≠
−𝑑
𝑐 continuidade e assíntotas, restrição e prolongamento de uma função racional.
Da análise aos dados recolhidos constatou-se que os alunos recorreram com maior
frequência à calculadora gráfica para confirmação dos resultados obtidos de forma analítica.
Trata-se de um dos formatos de implementação da calculadora gráfica na sala de aula, que
confere ao aluno um feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na
resolução de tarefas.
Os resultados obtidos permitem perceber que as dificuldades mais sentidas pelos
alunos foram no subtema de restrição e prolongamento de funções racionais, embora
tenham revelado também dificuldades em utilizar o conceito intuitivo de limite para
determinar as assíntotas de gráficos de funções racionais, bem como na compreensão do
conceito de continuidade. Relativamente às perceções dos alunos sobre a calculadora gráfica,
verificou-se que estes a consideram importante para a sua aprendizagem, consideram-na
útil para confirmar resultados, mas não dispensam o papel e o lápis nas suas resoluções.
vi
vii
TEACHING AND LEARNING OF RATIONAL FUNCTION WITH GRAPHICAL CALCULATOR: AN
EXPERIENCE WITH 11TH GRADE STUDENTS.
Helder Manuel da Silva Ribeiro
Masters in Teaching Mathematics in the 3rd Cycle of Basic Education Secondary Education Minho
University, 2015
ABSTRACT
This study aimed to investigate the contribution of graphical calculator in teaching and
learning of rational functions in a class of the 11th year of mathematics A. To achieve this goal
settled the following research questions: (1) How the student uses the graphical calculator in
learning activities of rational functions? (2) What difficulties manifest students in the study of
rational functions? (3) What perception has students about the use of graphical calculator in their
learning of rational functions.
To answer these questions, information was collected through the following data
collection methods: interview; questionnaire; productions of students and classes recordings.
Topics covered in the study of rational functions were: type functions y = a +b
c+d, x ≠
−𝑑
𝑐 , continuity and asymptotes and restriction and extension of a rational function.
The analysis of the data collected, was found that students have greater recourse to the
graphing calculator to confirm the results obtained analytically. This is one of formats of the
implementation of graphing calculator in the classroom, which gives the student an important
feedback to give him encouragement and security in solving tasks.
The results allowed realizing that the difficulties experienced by most students were in
the sub-theme of restriction and extension of rational functions, while they also have revealed
difficulties in using the intuitive concept of limit to determine the asymptotes of rational functions
graphics as well as in understanding the concept of continuity. Regarding the students'
perceptions of the graphing calculator, it was found that these consider important to their
learning, consider it useful to confirm results, but not exempt the paper and the pencil in its
resolutions.
viii
ix
INDICE
DECLARAÇÃO ................................................................................................................................ ii
RESUMO........................................................................................................................................ v
ABSTRACT ................................................................................................................................... vii
INDICE ........................................................................................................................................ ix
INDICE DE TABELAS ...................................................................................................................... xi
INDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... xii
INDICE DE QUADROS .................................................................................................................. xiii
CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................................... 1
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1
1.1. Tema, finalidades e questões de investigação ....................................................................... 1
1.2. Pertinência ......................................................................................................................... 3
1.3. Estrutura do relatório .......................................................................................................... 4
CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 5
2.1. Enquadramento contextual .................................................................................................. 5
2.1.1. Caracterização da Escola .......................................................................................... 5
2.1.2. Caracterização da turma ........................................................................................... 6
2.2. Enquadramento teórico ....................................................................................................... 8
2.2.1. O ensino das funções racionais ................................................................................. 8
2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais ....................... 10
2.3. Estratégias de intervenção ................................................................................................. 12
2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem .................................................................. 12
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação ............................................................................. 14
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................................... 17
3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções ............................................... 17
3.2. Prática pedagógica ........................................................................................................... 23
3.2.1. Continuidade e assíntotas ....................................................................................... 24
3.2.2. Estudo de funções do tipo 𝑦 = 𝑎 +𝑏
𝑐𝑥+𝑑 b, c ≠ 0 , x ≠
−d
c .................................. 28
3.2.3. Restrição e prolongamento de uma função racional ................................................... 31
3.3. Avaliação da intervenção ................................................................................................... 35
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................................... 41
4.1. Conclusões ...................................................................................................................... 41 4.1.1. Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções
racionais? .............................................................................................................. 41
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais? ................... 42
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua
x
aprendizagem das funções racionais? ...................................................................... 42
4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ........................................................................ 43
4.3. Recomendações e limitações............................................................................................. 45
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 47
ANEXOS ........................................................................................................................................ 51
Teste diagnóstico .......................................................................................................................... 53
Questionário final de aula ............................................................................................................... 57
Questionário ................................................................................................................................. 61
Guião de entrevista ....................................................................................................................... 65
xi
INDICE DE TABELAS
Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano. .......................... 7
Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos ........................................................... 9
Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico. ....................................................................... 17
Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21) ....................................... 18
Tabela 5 - Síntese da intervenção. .................................................................................................... 24
Tabela 6 - Perceção dos alunos quanto aos aspetos positivos e negativas da utilização da calculadora
gráfica no estudo das funções racionais ............................................................................ 38
xii
INDICE DE FIGURAS
Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior................................................................... 6
Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior. ....................................................... 7
Figura 3 - Questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 18
Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 19
Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ..................................... 19
Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 19
Figura 7 - Resolução do aluno A15 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 19
Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 20
Figura 9 - Questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 20
Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 20
Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico ....................................................................... 21
Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico ....................................................................... 21
Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico ............................... 22
Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico ............................... 22
Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico ............................. 23
Figura 16 - Tarefa 1 sobre o tópico continuidade e assíntotas ............................................................. 24
Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ....................... 25
Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ..................... 25
Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ......................... 25
Figura 20 - Tarefa 2 relativa ao tópico de continuidade e assíntotas .................................................... 26
Figura 21 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A12 e A22 ................................................................... 26
Figura 22 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A1 e A4. ...................................................................... 27
Figura 23 - Projeção do emulador da calculadora gráfica ................................................................... 27
Figura 24 - Tarefa 3 ........................................................................................................................ 29
Figura 25 - Resolução à tarefa 3 alínea a) do aluno A15. ................................................................... 29
Figura 26 - Resolução à tarefa 3 alínea b) do aluno A13. ................................................................... 30
Figura 27 - formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno
A11. ........................................................................................................................... 30
Figura 28 - Formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A8.
.................................................................................................................................. 31
Figura 29 - Tarefa 4 ........................................................................................................................ 32
Figura 30 - Esboços gráficos dos alunos A12, A13 e A18 relativos à questão 2 da tarefa 4. .................. 33
xiii
INDICE DE QUADROS
Quadro 1 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento
das questões a), b), c) e d) da tarefa 2 ....................................................................... 28
Quadro 2 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento
das questões a), b) da tarefa 3. .................................................................................. 31
Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento
das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4. ......................................................................... 34
Quadro 4 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas ao tema das funções
racionais (n=18) ..................................................................................................... 35
Quadro 5 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas à calculadora gráfica .......... 36
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo procede-se à apresentação do tema em estudo, evidenciando as suas
finalidades e objetivos tratados, seguem-se algumas considerações sobre a pertinência do
estudo no âmbito da Educação Matemática e, por fim descreve-se, de forma resumida, a
estrutura do relatório.
1.1. Tema, finalidades e questões de investigação
O tema em estudo incide sobre o ensino e a aprendizagem das funções racionais com a
calculadora gráfica. A escolha do tema deve-se à minha experiência enquanto aluno e à
crença de que a calculadora gráfica constitui uma ferramenta fulcral no ensino e aprendizagem
de conceitos matemáticos. Enquanto aluno do ensino secundário, constatei que o recurso a
esta ferramenta era pouco frequente. A explicação gráfica do conceito matemático era
geralmente feita no quadro, por vezes com gráficos pouco rigorosos, o que dificultava a minha
compreensão. À medida que evoluí como aluno no mestrado de ensino de matemática no 3.º
ciclo do ensino básico, surgiu a curiosidade de perceber de que forma os alunos utilizavam a
calculadora gráfica e que perceções tinham da sua utilização.
O desenvolvimento da minha prática pedagógica acompanhada pela elaboração deste
relatório possibilitou desenvolver um processo de investigação diretamente articulado com a
prática educativa. Neste sentido, o desenvolvimento deste projeto visa, por um lado, a minha
formação e, por outro lado, a melhoria das aprendizagens dos alunos no tema das funções
racionais através de uma metodologia de ensino que valoriza a atividade dos alunos e a
utilização da calculadora gráfica nas suas aprendizagens.
O estudo das funções tem-se revelado como um dos mais importantes na Matemática,
assumindo não só um papel central e unificador nesta área do conhecimento mas também a
sua compreensão torna-se indispensável a outros ramos das ciências, tais como a Física,
Química, Biologia, Geografia ou Economia. No 11.º ano de escolaridade, os alunos quando
iniciam o tema das funções racionais já possuem conhecimentos sobre o conceito de função,
as propriedades das funções polinomiais e sobre o que resulta de transformações simples de
funções. Ao longo desse estudo, emerge a relevância da articulação entre a representação
analítica e a gráfica. O programa do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002) aponta para a
2
importância do aluno recorrer, por vezes, a uma destas representações e, por outras, à conexão
entre ambas. É justamente na conexão entre estas duas representações que os estudantes
apresentam muitas dificuldades, tais como apontam os estudos realizados por Ainsworth (1997),
Duval (1988) e Tall (1994).
Admitindo uma das causas dessas dificuldades a metodologia de ensino e os
recursos utilizados pelos professores de matemática, pareceu-me pertinente desenvolver neste
projeto um método de ensino que despertasse interesse dos alunos. Uma maior ênfase na
utilização da calculadora gráfica pode dar ao aluno um contributo importante para ultrapassar
algumas das suas dificuldades de aprendizagem. Segundo Ponte (1995), a calculadora gráfica
“incentiva o investimento no desenvolvimento de capacidades intelectuais de ordem mais
elevada, como o raciocínio, a resolução de problemas e capacidade crítica, que se situam para
além do cálculo e da compreensão de conceitos e relações matemáticas simples” (p. 23).
Considerando a potencialidade da calculadora gráfica no desenvolvimento de algumas destas
atividades, delineei as seguintes finalidades do meu projeto: (i) Promover ambientes de
aprendizagem com ênfase na calculadora gráfica; (ii) Motivar os alunos nas aprendizagens do
tema das funções racionais; e (iii) desenvolver competências que possibilitem os alunos
aprender ao longo da vida.
Associadas às dificuldades sentidas pelos alunos na aprendizagem do tema das
funções racionais poderá estar a forma como os alunos utilizam a calculadora gráfica. Apesar
de existirem estudos em que “a utilização de calculadoras (…) em abordagens ativas e
exploratórias da Matemática incentivam a curiosidade, o aumento de confiança e o gosto dos
alunos por esta disciplina“ (Ponte, 1997, p. 121), existem outros estudos que identificam
casos em que os “alunos não encaram favoravelmente a utilização da calculadora” (Ponte,
1997, p. 121). Deste modo, torna-se necessário ter presente, por um lado, as formas de
utilização da calculadora gráfica no ensino e aprendizagem da matemática e, por outro, as
perceções dos alunos sobre a sua utilização. Associada a esta problemática, formulei as
seguintes questões de investigação:
1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das
funções racionais?
2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?
3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua
aprendizagem das funções racionais?
3
1.2. Pertinência
O recurso à calculadora gráfica tem reunido consenso das instâncias políticas quanto às
suas potencialidades na educação matemática. Segundo o NCTM (2008), a utilização de
materiais tecnológicos é “essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a
matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos. As tecnologias eletrónicas,
calculadoras e computadores, constituem ferramentas essenciais para o ensino, a aprendizagem
e o fazer matemática” (pp. 26-27). A calculadora gráfica além de ser um recurso considerado
imprescindível no desenvolvimento de conceitos matemáticos, em especial o conceito de função,
também é considerada de utilização obrigatória pelos programas atuais de Matemática do
ensino secundário (Ministério da Educação, 2002).
Segundo Rocha (2000), existem poucos estudos relacionados com a forma como os
alunos utilizam a calculadora gráfica, o que torna pertinente a sua identificação, uma vez que as
ferramentas tecnológicas, como por exemplo as calculadoras gráficas, exigem métodos de ensino
diferentes dos que habitualmente são designados por tradicionais. Em detrimento de uma
conceção de ensino que valoriza a atividade do professor na transmissão aos alunos do
conhecimento matemático, emerge hoje em dia a conceção de ensino que considera o
envolvimento dos alunos como fator determinante na construção desse conhecimento. Por isso,
a utilização da calculadora gráfica “nas aulas de matemática implica a tomada de decisões ao
nível da organização do ensino e ao nível do próprio ensino” (Fernandes & Vaz, 1998, p. 43).
Por tratar-se da integração de um recurso com outros meios já utilizados no ensino de
matemática, é importante identificarmos as formas de utilização desta ferramenta na
aprendizagem dos alunos, pois “como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser
bem ou mal usado” (Ponte, 1989, p. 1). Segundo este autor, a calculadora gráfica é um
instrumento rico de potencialidades e “proporciona a exploração de novas estratégias e métodos
de trabalho, como a tentativa e erro e as aproximações sucessivas“ (idem). Contudo, não se
pense que a integração da calculadora no ensino da matemática constitui a solução de todos os
problemas uma vez que a calculadora gráfica também apresenta limitações. Segundo Borrões
(1998), “o acesso a esta tecnologia não dá qualquer garantia de que o aluno se torne
alfabetizado em matemática. As calculadoras e os computadores, quando se usam em
matemática, são ferramentas que simplificam, mas não executam o trabalho” (p. 13).
De modo a desenvolver estratégias que conduzam a melhorias significativas no
ensino/aprendizagem do tópico das funções racionais, importa averiguar as perceções dos
alunos sobre a utilização da calculadora gráfica e as suas dificuldades. Sendo o conceito de
4
função um dos mais importantes em Matemática e tendo em consideração que o seu estudo
integra conceitos abstratos, é natural que os alunos tenham dificuldades em relacioná-los nas
suas diferentes representações. Como futuro professor, é fundamental estar consciente dos
obstáculos que o aluno se vê envolvido ao longo da sua aprendizagem de forma a criar
estratégias de ensino adequadas.
1.3. Estrutura do relatório
O Relatório de Estágio encontra-se organizado em quatro capítulos. No capítulo I –
Introdução, para além de se descrever em que consta cada capítulo do relatório de estágio,
apresenta-se ainda o tema, as suas finalidades, os objetivos e a pertinência do estudo efetuado.
No capítulo II – Enquadramento contextual e teórico, justifica-se a relevância do projeto segundo
o contexto e a literatura. Este capítulo encontra-se dividido em três subcapítulos. No primeiro,
enquadramento contextual, carateriza-se a escola e a turma onde se desenvolveu a intervenção
de ensino. No segundo subcapítulo, enquadramento teórico, descrevem-se as estratégias de
ensino e aprendizagem utilizadas na intervenção de ensino. Por último, apresentam-se as
estratégias investigação/avaliação da ação usadas na avaliação do processo de intervenção.
No capítulo III – Intervenção pedagógica, descreve-se, documenta-se e avalia-se o
processo da intervenção pedagógica. Inicialmente, é apresentada uma análise dos
conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções. Seguidamente, ilustram-se
momentos da prática pedagógica e, por último, apresentam-se as perceções dos alunos sobre
esta intervenção com a calculadora gráfica.
Por último, no capítulo IV – Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações, faz-
se um sumário das principais conclusões deste estudo, procurando-se dar resposta às questões
de investigação inicialmente propostas. De seguida, referem-se as principais limitações do
estudo e, por último, são referidas algumas considerações didáticas bem como algumas
sugestões para futuros estudos.
5
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo encontra-se dividido em três secções nas quais se descreve o contexto de
intervenção — a escola e a turma — as metodologias e as estratégias utilizadas na concretização
do projeto devidamente justificadas à luz do contexto e da literatura.
2.1. Enquadramento contextual
Este subcapítulo apresenta uma caracterização da escola e da turma onde se
realizou o projeto de intervenção.
2.1.1. Caracterização da Escola
A escola secundária onde este estudo teve lugar situa-se no concelho de Amares. Esta
escola oferece formações diversificadas em diferentes níveis de ensino, nomeadamente Cursos
profissionais, Cursos científicos-humanísticos, Educação e Formação de Adultos (EFA) e Cursos
de Educação e Formação para Jovens (CEF). Os alunos desta escola usufruem de boas
condições a todos os níveis. As salas de aula apresentam-se equipadas com, no mínimo, um
computador com ligação à Internet e um projetor multimédia. A escola tem ao seu dispor 9
salas de informática, 156 computadores e 7 quadros interativos. Dos quatro blocos que
estruturam a escola, dois são relativos às salas de aula, outro integra os serviços administrativos
e um outro é o pavilhão gimnodesportivo.
O projeto educativo da escola apresenta como princípio orientador a “formação
integral do aluno enquanto cidadão livre, autónomo e responsável promovendo o
desenvolvimento das suas capacidades cognitivas, motoras, artísticas, sociais e morais” (p. 15).
Trata-se de uma orientação que visa criar condições que possibilitem fortalecer e alicerçar a
autonomia pessoal dos seus alunos, a sua responsabilidade, autoestima e sentido crítico. A nível
pedagógico, verifica-se neste documento uma preocupação da escola em dar prioridade ao
apoio dos alunos às disciplinas com maior taxa de insucesso. Nas disciplinas de Português
e Matemática A os alunos da escola têm apresentado um desempenho inferior à média nacional
nos últimos três anos. Para combater esta problemática, ainda no projeto educativo, apontam-se
estratégias tais como: “valorizar o papel do Gabinete de Apoio ao Aluno (…) [e dar] prioridade na
constituição de equipas pedagógicas que acompanhem os alunos nos ciclos de estudo” (p. 17).
6
A escola onde concretizei a minha prática pedagógica apresenta como principais pontos
fortes a valorização das aprendizagens e a diversificação da oferta educativa, o que lhe confere
capacidade de angariação de receitas próprias e bom empenho do pessoal docente e não
docente na definição de estratégias que visam melhorar as aprendizagens. Por outro lado,
apresenta debilidades no desempenho dos alunos do 9.º e 12.º ano nos exames nacionais,
frágil participação dos encarregados de educação no ambiente escolar e deficiente cultura
consolidada e participada de autoavaliação. Esta escola é também potenciadora de várias
atividades que procuram incentivar os alunos na participação da vida escolar. Entre elas,
destaca-se a equipa robótica da escola que se sagrou campeã do mundo de dança robótica
(Robocup) pelo segundo ano consecutivo.
No que respeita à avaliação externa, esta escola foi avaliada em bom em todas as
vertentes (prestação do serviço educativo, organização e gestão escolar, liderança, capacidade
de autorregulação). Segundo o documento da avaliação externa da escola, é evidenciada uma
preocupação quanto à garantia de que todos os alunos, mesmo os mais carenciados, tenham ao
seu dispor uma calculadora gráfica, “fornecendo, em regime de empréstimo, a todos quantos
não as possam adquirir” (p. 10).
De um modo geral, a escola é acolhedora e promove várias atividades lúdicas e
formativas de forma a propiciar experiências de aprendizagens diversificadas.
2.1.2. Caracterização da turma
A turma onde decorreu a minha intervenção pedagógica era do 11.º ano de escolaridade
e constituída por 9 rapazes e 12 raparigas. Os alunos da turma revelaram ser bem
comportados, apesar de alguns deles serem bastante conversadores, e quase todos transitaram
para o 11.º ano com aproveitamento a todas as disciplinas, como se pode verificar na Figura
1:
Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior.
O aproveitamento dos alunos na disciplina de Matemática no 10.º ano foi também
positivo, como ilustra a Figura 2:
19% 14% 67%
Aproveitamento final Transitaram com uma classificação inferiora 10Transitaram com duas classificação inferiora 10
7
Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior.
No ano letivo anterior, após diagnóstico das principais dificuldades dos alunos, o
Conselho de Turma definiu como prioritário aumentar a qualidade das aprendizagens dos alunos
que revelam mais dificuldades e criar hábitos de trabalho impulsionadores do sucesso. Nesse
sentido, foram propostas estratégias de modo a proporcionar momentos de realização de tarefas
escritas individuais ou em grupo. Para melhorar a organização de ideias e articulação de
conteúdos, solicitou-se uma maior e melhor participação dos alunos em situação de sala de
aula. Foram ainda incentivados os hábitos de estudo fora da sala de aula e a frequência das
aulas de apoio disponibilizadas pelos professores da turma, para além do reforço do controlo
dos trabalhos de casa.
No que diz respeito ao desempenho dos alunos na disciplina de Matemática ao longo
do ano letivo (2012/13), em que decorreu a minha intervenção, a turma obteve uma média
positiva nos três períodos. Em termos de género, as raparigas apresentaram, nos três períodos,
uma média de desempenho superior à dos rapazes (Tabela 1).
Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano.
1.º Período (�̅�) 2.º Período (�̅�) 3.º Período (�̅�)
Turma 11,2 11,4 11,7
Raparigas 12,2 12,3 13,1
Rapazes 10,0 10,2 9,9
Em termos gerais, os alunos terminaram o ano letivo com aproveitamento a
Matemática, o que mostra o gosto pela disciplina. Ao longo da minha intervenção pedagógica
confirmei isso mesmo. Os alunos manifestaram recetividade às tarefas que lhes propus, assim
como a maior parte deles procurou participar e envolver-se nas atividades das aulas.
Da análise das características da escola e da turma desde logo me apercebi que me
deparava com as condições ideais para a concretização do meu projeto de intervenção. No
entanto, tendo em conta que o meu colega de estágio implementou o seu projeto na mesma
turma que eu, senti que os alunos estavam um pouco apreensivos devido à presença de três
professores dentro da sala de aula, o que também foi referido por alguns estudantes em
conversas informais que tive com eles.
76%
24%
Desempenho a Matemática Transitou com aproveitamento a matemática
Transitou com negativa matemática
8
2.2. Enquadramento teórico
Este subcapítulo apresenta, numa primeira parte, a fundamentação teórica do
projeto e, numa segunda parte, descrevem-se as metodologias e as estratégias de avaliação da
ação desenvolvida.
2.2.1. O ensino das funções racionais
O tema relativo a funções racionais é iniciado no 11.º ano de escolaridade e conserva,
no essencial, o tipo de abordagem relativa ao ano anterior. Segundo o programa do 11.º ano
(Ministério da Educação, 2002), pretende-se neste ano escolar ampliar os conhecimentos do
10.º ano relativo ao tema funções. Como em qualquer tema em matemática, o estabelecimento
de uma estratégia adequada de ensino que contemple diversos tipos de tarefa e momentos
próprios para a sua exploração, reflexão e discussão entre todos os intervenientes na sala de
aula faz com que o professor dê um passo importante na criação de oportunidades que
potenciem as aprendizagens dos alunos. No estudo das propriedades das funções racionais
emerge a relevância da articulação entre a representação analítica e a gráfica. Como sugere o
programa de Matemática A do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002), no estudo de algumas
dessas propriedades os alunos recorrem, por vezes, a uma destas representações e, por outras,
recorrem à conexão entre as duas representações.
Face a esta problemática, Carvalho, Ferreira e Ponte (2011) analisaram diferentes
tarefas resolvidas por uma aluna do 11.º ano de Matemática envolvendo funções racionais. Esse
estudo concluiu que a abordagem às diferentes formas de representação pode promover “a
construção de imagens dinâmicas dos gráficos, contribuindo para uma maior flexibilidade no
trabalho com essas funções” (p. 14). Por sua vez, Abrantes (1997) defende que o estudo das
funções seja feito com ênfase no estabelecimento de relações entre as diferentes
representações. Segundo Vinner e Dreyfus (1989), as tarefas que envolvem a conexão entre as
diferentes representações são fundamentais na compreensão do conceito de função. Todavia,
segundo Domingos (1994), a aprendizagem destes diferentes registos de representação não é
fácil para os alunos e, por isso, revelam dificuldades, acabando por utilizar apenas uma
representação. Por outro lado, também a noção de função racional constitui um obstáculo para a
aprendizagem do tema. Parece simples resumir a noção de função com base na forma como
esta aparece no nosso dia-a-dia (Domingos, 1994). No entanto, deve-se ir mais longe e o
conceito deve tornar-se num objeto que a mente pode manipular (Sierpinska, 1992). Um estudo
de Nair (2010), em que participaram dezanove estudantes, com o objetivo de perceber as suas
9
noções sobre o conceito de função racional, as suas dificuldades e conceções erróneas,
relativamente à noção de função racional, os autores organizaram as respostas dos alunos em
três categorias (Tabela 2):
Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos
Conceito de função racional Número de
respostas
[Limitado] Conceito de número
“Como um número racional ” “os gráficos são bonitos”, “inteiros”, ”par”,
“simétrico”, “contínuos”, “descomplicados”.
15/19
Conceito de fração Em forma de fração sem variável no
denominador, sempre contínuo.
Sempre descontínua em algum lugar, gráfico aparece em várias peças, todas as funções racionais têm assíntotas verticais.
1/19
Conceito de
descontinuidade
3/19
Verifica-se que a conceção dos alunos de função racional se limita ao conceito de
número. Neste estudo, os alunos evidenciaram ideias pouco claras e mostraram-se muito
confusos nas suas respostas. Para a autora, “o estudo de funções racionais e das assíntotas
dos seus gráficos, segue o estudo de funções, revelando-se como fundamentais no campo da
matemática” (Nair, 2010, pp. 1-2). No entanto, as funções racionais é também um tema em
“que os alunos raramente desenvolvem uma compreensão adequada” (Nair, 2010, p. 2). Ao
longo deste estudo, os alunos evidenciaram dificuldades na conexão entre os conceitos de
assíntota do gráfico de uma função e de limite; na identificação das assíntotas do gráfico de uma
função recorrendo à expressão algébrica; no cálculo do domínio de uma função racional; e na
construção analítica de uma função dada uma determinada assíntota horizontal.
Por outro lado, Domingos (1994) refere que “os alunos apresentam dificuldades em
identificar o que é uma variável ou quais são as variáveis envolvidas no processo. Eles não
analisam a situação, mas tomam-na como um todo” (p. 33). Na perspetiva deste autor, a noção
de variável é um pré-requisito fundamental para uma completa compreensão das na sua
globalidade. A causa dessas dificuldades deve-se ao facto de se tratar de conceitos abstratos e
complexos (idem). Como forma de combater algumas dessas dificuldades, nomeadamente
problemas de representação, o uso da calculadora gráfica pode ser uma forma prática de
superar obstáculos.
10
2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais
A tecnologia assume nos dias de hoje um papel indiscutivelmente importante na
sociedade. O sistema educativo não lhe é indiferente e como consequência disso tem-se vindo a
assistir a inúmeras alterações nomeadamente ao nível do currículo de Matemática. Segundo
Hong (2000), o uso da calculadora gráfica nas escolas acarreta alterações inevitáveis nos
métodos de ensino e consequentemente uma mudança nas aprendizagens da Matemática. A
esse respeito, Cardoso (1995) acrescenta que o uso das calculadoras gráficas nas aulas de
Matemática, para além de ter originado mudanças inevitáveis no relacionamento do aluno com a
aprendizagem da disciplina, também provocou uma modificação dos “métodos memorizados
que se esquecem facilmente para um desenvolvimento de capacidades mais duradouras como
seja a compreensão e intuição matemática” (p. 30). Por outras palavras, o recurso a esta
tecnologia requer que o professor trabalhe com os seus alunos novos aspetos da disciplina, tais
como a resolução de problemas, a comunicação, o raciocínio matemático e as conexões.
Essa opinião é partilhada por Ponte (1997), para quem a calculadora gráfica obriga a
“relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica,
uma vez que o cálculo numérico e algébrico é realizado de forma mais eficiente pelas máquinas,
que, neste domínio, superam o ser humano em rapidez e rigor” (p. 98). A utilização da
calculadora gráfica no ensino da matemática veio alargar o leque de tarefas que o aluno pode
resolver, uma vez que o liberta de procedimentos rotineiros e fastidiosos, deixando-o disponível
para atividades mais enriquecedoras (Rocha, 1998). Essas alterações devem-se, sobretudo, ao
reconhecimento das vantagens relativas ao uso da calculadora nas salas de aula. Vários estudos
apontam nesse sentido. Por exemplo, Bigode (1998) conclui que “quando libertados do cálculo,
os alunos conseguem se concentrar melhor nas relações entre os dados, nas condições e nas
variáveis dos problemas. Em outras palavras, canalizam suas energias para o raciocínio” (p. 45).
Por seu lado, o NCTM (2008) afirma que “a tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem
da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos”
(p. 26).
O programa de Matemática do ensino secundário atualmente em vigor (Ministério da
Educação, 2002) também refere que o uso de calculadoras gráficas nas atividades de
aprendizagem de conteúdos matemáticos permite a “condução de experiências matemáticas,
elaboração e análise de conjeturas” (p. 16) e cada aluno deve realizar “investigação e exploração
de várias ligações entre diferentes representações para uma situação problemática” (p. 16). O
programa refere também, por um lado, a importância da confrontação dos resultados teóricos
11
com os da calculadora gráfica e, por outro lado, a relevância da descrição dos raciocínios e
interpretação dos resultados nas tarefas que se pretende que sejam resolvidas com a
calculadora gráfica (Ministério da Educação, 2002). Este recurso tecnológico também permite
“que se trabalhe com um muito maior número de funções em que diversas características,
como os zeros e os extremos, não se podem determinar de forma exata” (p. 16). A utilização
da calculadora gráfica no processo de ensino-aprendizagem “é considerada como um campo
privilegiado para o desenvolvimento de capacidades e de atitudes positivas” (Borrões, 1998, p.
29). Outros autores, como Borba e Penteado (2003), Scheffer et al. (2004), Cláudio e Cunha
(2001), apoiam esta ideia e defendem que o uso da calculadora gráfica na sala de aula
possibilita um melhor entendimento de fórmulas e conceitos matemáticos. Novas formas de
representação, associadas à utilização da calculadora gráfica, desafiam o professor a integrá-las
nas suas estratégias de ensino. Em particular, para o estudo das funções é fundamental que o
aluno estabeleça relações entre tabelas, gráficos e símbolos, avaliando as vantagens e as
desvantagens de cada representação e que adquiram a capacidade de passar informação de
uma representação para a outra (NCTM, 2008).
Quanto às formas de implementar a calculadora gráfica na sala de aula, Waits e
Demana (1994) referem três formatos: (i) abordagem analítica seguida da calculadora para
verificar; (ii) abordagem com a calculadora seguida de uma abordagem analítica; e (iii) apenas
uma abordagem usando a calculadora pois a resolução analítica é irrealizável ou mesmo
impossível. De acordo com Waits e Demana (1994), a primeira forma de implementação da
calculadora confere ao aluno feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na
resolução das tarefas. Na segunda, a calculadora assume o papel de mediador de conjeturas e
hipóteses, fornecendo indícios importantes para a resolução analítica. Por último, a abordagem
apenas com a tecnologia é justificada quando se torna impossível realizar a resolução com papel
e lápis.
Waits e Demana (1994) defendem que as representações gráficas auxiliadas pelo uso
da calculadora podem incentivar o aluno na manipulação algébrica. Domingos (1994) considera
que a sobreposição de gráficos de várias funções é uma das funcionalidades da calculadora que
possibilita “ajudar o aluno no estudo da influência dos vários parâmetros numa dada família de
funções” (p. 44). Por outro lado, segundo Drijvers (1993), a utilização da calculadora gráfica
permite não só facilitar os alunos na manipulação de um grande número de funções mas
também no processo de conjeturas ajudando-o a construir a sua própria teoria. No entanto, um
estudo realizado por Ruthven (1997) revela que o trabalho envolvendo a calculadora gráfica
12
deve incluir também um forte sentido crítico na interpretação dos resultados obtidos e não
apenas se limitar à questão do uso da ferramenta ou os contextos dessa utilização.
Tendo presente as vantagens e limitações da própria máquina, torna-se ainda necessário
considerar um conjunto específico de dificuldades dos alunos que tende a decorrer da
integração da calculadora gráfica no ensino das funções racionais. Um dos erros mais comuns
dos alunos está ligado a questões de escala, mais especificamente na escolha de valores para
a janela de visualização dos gráficos (Rocha, 2000). Por sua vez, Cavanagh (2006) menciona
a tendência dos alunos pela escolha de valores simétricos e iguais nos dois eixos. Segundo o
autor, esta preferência demonstra dificuldades em compreenderem o impacto que a escolha dos
valores da escala tem na visualização do gráfico. Como exemplo disso mesmo, Como exemplo
disso mesmo, Hector (1992) dá um exemplo da função racional x3−10x2+x+50
x−2 e as janelas de
visualização [−10, 10] × [−70, 70] e [−100, 100] × [−7000, 7000]. Verifica-se que a função
racional com uma simples mudança de escala parece converter-se numa parábola. Face a
esta problemática, é importante que o professor esteja atento às dificuldades associadas à
utilização da calculadora pelos alunos de forma a chamar “continuamente a atenção para as
discrepâncias entre, por exemplo, o gráfico que seria de esperar e aquele que é exibido pela
calculadora gráfica” (Rocha, 2012, p. 119).
Sendo a calculadora gráfica de uso obrigatório na disciplina de Matemática e face às
suas potencialidades educativas que lhe é reconhecida, ao longo do Ensino Secundário deve ser
dada uma especial relevância à sua utilização de modo a despertar nos alunos o
desenvolvimento de competências de raciocínio e pensamento matemático.
2.3. Estratégias de intervenção
Neste subcapítulo são descritas as estratégias de ensino e aprendizagem da intervenção
recorrendo à literatura e ao contexto teórico para justificar a sua importância bem como a
descrição das estratégias de avaliação da ação e a sua relevância na resposta aos objetivos
propostos no projeto.
2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem
Papel do professor e do aluno. Na concretização deste relatório, a forte convicção de
que “aprender resulta sobretudo de fazer e de refletir sobre esse fazer” (Ponte, 2003, p. 16)
manteve-se sempre presente ao longo da minha intervenção. Nos momentos em que os alunos
resolviam as tarefas propostas, procurei dar-lhes o feedback necessário para que pudessem
13
avançar nas suas resoluções, atuando como mediador da sua aprendizagem. Nos momentos de
discussão da resolução das tarefas, procurei colocar questões aos alunos de forma a promover o
diálogo, a discussão e a participação entre todos os intervenientes. Em relação ao papel dos
alunos, procurei envolvê-los nas atividades de aprendizagem, conferindo-lhes alguma
responsabilidade no seu processo de desenvolvimento cognitivo. Assim sendo, acredito numa
filosofia de ensino que valoriza a atividade do aluno. As orientações atuais do programa de
Matemática apontam no sentido da participação ativa entre alunos e professores sendo estes
responsáveis na gestão e no processo de ensino e aprendizagem (Ministério da Educação,
2002).
Tarefas. A seleção das tarefas a realizar na sala de aula influencia o processo de ensino
aprendizagem. Segundo Ponte (2005), “as tarefas são um elemento fundamental na
caracterização de qualquer currículo, pois elas determinam em grande medida as
oportunidades de aprendizagem oferecidas aos alunos” (p. 31). É dever do professor
selecionar e organizar as tarefas a propor com o objetivo de desenvolver as competências
requeridas. Assim, as tarefas propostas ao longo da minha intervenção apresentavam um
grau de dificuldade variado: tarefas de natureza mais acessível, com o intuito da execução de
um dado procedimento; tarefas de natureza mais desafiante, de forma a apelar à inteligência
dos alunos incentivando-os a estabelecer as suas conjeturas e discutir sobre elas. Para que isso
fosse possível, concedi o tempo que achei necessário para que os alunos tentassem resolver as
tarefas.
Como o tema deste relatório se relaciona com o uso da calculadora gráfica, as
tarefas apresentadas foram elaboradas visando, por um lado, concretizar os objetivos
curriculares e, por outro, recolher informação que me permita responder às questões de
investigação. Desta forma, é importante criar situações em que se desperte o interesse dos
alunos no que se refere à utilização da calculadora gráfica. Neste sentido, é importante a
escolha cuidadosa de tarefas que enquadrem a utilização deste recurso tecnológico de forma
vantajosa e que motivem os alunos para a sua utilização. Tendo em conta esse objetivo,
enfatiza-se a importância de propor tarefas mais incentivadoras de aprendizagem “onde as
calculadoras gráficas assumem um papel importante na medida em que podem estabelecer
conexões quando utilizadas como meios incentivadores do espírito de pesquisa e do espírito
crítico” (Silva & Seixas, 2010, p. 147).
Torna-se urgente descobrir metodologias que “levem os alunos a encarar as tarefas
matemáticas como algo d e s a f i a n t e , as aulas como um local de aprendizagem, mas onde se
14
está com prazer, em que as práticas de socialização não sejam esquecidas em nome do
cumprimento de conteúdos” (César, Loureiro & Rijo, 2000, p. 196).
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação
De modo a a v a l i a r a minha intervenção pedagógica, recorri aos seguintes métodos de
recolha de informação: teste diagnóstico; questionário; gravação de aulas; entrevista; e análise
documental (reflexões, resoluções das tarefas realizadas pelos alunos).
Teste diagnóstico. O teste diagnóstico implementado antes da minha intervenção
pedagógica teve como objetivo central o desenvolvimento de estratégias de forma a
identificar os conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre o tema e possíveis
dificuldades. Segundo o Decreto-Lei n.º 139/2012 de 5 de Julho, “a avaliação diagnóstica visa
facilitar a integração escolar do aluno, o apoio à orientação escolar e vocacional e o
reajustamento de estratégias” (p. 3482). Este teste permitiu-me também ter a perceção sobre a
destreza no manuseamento da calculadora gráfica por parte dos alunos. As tarefas propostas
aos alunos ao longo da minha intervenção foram de encontro a essas perceções e dificuldades
evidenciadas no teste diagnóstico.
O teste diagnóstico a p r e s e n t a -se dividido em dois grupos. O primeiro grupo é
constituído por quatro perguntas de resposta direta, embora solicitem os alunos a explicar os
seus raciocínios nas suas escolhas. O segundo grupo contém duas questões: a primeira questão
é uma pergunta de desenvolvimento onde é dada a representação gráfica de uma função em
que os alunos teriam de determinar o domínio, contradomínio, expressão analítica da função,
análise da função dada e interpretação de um dado valor no contexto do problema. A segunda
questão envolve a utilização da calculadora gráfica para o cálculo dos pontos de interceção do
gráfico de duas funções.
Questionário. O questionário foi implementado no final da minha intervenção e teve o
objetivo de recolher as perceções dos alunos da turma sobre a utilização da calculadora gráfica
na aprendizagem de funções racionais e sobre as suas dificuldades neste tema. A estrutura do
questionário apresenta três grupos. O primeiro grupo incide sobre questões de resposta
fechada. Em cada questão deste grupo os alunos teriam de escolher cinco opções, seguindo a
tipologia da escala de Likert: DT – Discordo totalmente, D – Discordo, I – Indiferente, C –
Concordo e CT – Concordo Totalmente. As primeiras quatro questões tiveram como objetivo
averiguar os conhecimentos dos alunos acerca do tema das funções racionais. As questões
entre 5 e 11, inclusive, visaram a recolha de informação sobre a importância da calculadora
15
gráfica na aprendizagem do tema. Nas restantes questões, até à 16, averiguam-se as perceções
dos alunos quanto à utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções
racionais.
O segundo grupo é constituído por 5 questões. A primeira relaciona-se com a frequência
do uso da calculadora no tema do relatório. As questões 2 a 4 relacionam-se com as formas de
utilização da calculadora gráfica no estudo do tema das funções racionais segundo Waits e
Demana (1994). A última questão diz respeito às dificuldades dos alunos no tema de funções
racionais. Finalmente, o terceiro grupo contém duas questões de natureza aberta sobre os
aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora gráfica nas aprendizagens dos
alunos.
A razão pela qual se utilizou este instrumento de investigação relaciona-se com a
facilidade com que se interroga um número significativo de pessoas, num espaço de tempo
relativamente curto.
Gravação de aulas. No sentido de recolher outro tipo de informação que não foi possível
alcançar através de outros instrumentos de recolha de dados, as gravações de aulas permitiram
registar comentários, questões e dúvidas dos alunos nas aulas. Com esse objetivo, foram
gravadas três aulas. Para isso, recorri a um gravador (de som) visto que a câmara de filmar não
foi autorizada pelo diretor da escola. Segundo Carvalho e Gonçalves (1999), este método de
recolha de dados permite “uma tomada de consciência coletiva sobre o desenrolar de cada aula
observando e discutindo atentamente o desempenho do aluno, do professor, do material
didático e principalmente a interação entre eles” (pp. 1-2).
Entrevista. No final da minha intervenção pedagógica e depois de analisar o teor das
respostas dos alunos ao questionário, deparei-me com algumas dúvidas em relação a algumas
questões de investigação. No sentido de perceber a razão de algumas das respostas dos alunos,
elaborei um guião de entrevista que foi posteriormente aplicado a seis alunos de diferentes
níveis de desempenho: dois alunos com classificação no final do ano letivo anterior de 17
valores, um com 14 valores, um com 13 valores e dois com classificação negativa de 9 valores.
Análise documental. Outros instrumentos de recolha de informação utilizados foram as
questões pós aula, as reflexões e as atividades realizadas pelos alunos ao longo da intervenção.
No final de algumas aulas, solicitei aos alunos o preenchimento de um questionário final de aula
contendo perguntas diretas sobre a utilização da calculadora gráfica nas atividades que
realizaram na aula. As reflexões das aulas visam fornecer informações sobre a forma como
esperava que fosse implementada a minha aula e antecipar possíveis dificuldades (pré-reflexão).
16
Depois de analisada, permitiu-me ter a consciência do que falhou para posteriormente criar
estratégias que possibilitassem colmatar essas falhas (pós-reflexão). A informação proveniente
dessas reflexões ajudou-me a estruturar momentos das aulas analisadas neste projeto de
intervenção.
Por sua vez, todas as resoluções relativas às tarefas realizadas nas aulas foram
recolhidas no final de cada aula bem como outras resoluções realizadas ao longo da minha
intervenção. Também as resoluções dos alunos nos dois testes de avaliação foram fotocopiadas.
A resolução das atividades realizadas pelos alunos ao longo da minha intervenção permitiu, por
um lado, identificar as suas dificuldades no tema das funções racionais e, por outro, analisar
a influência da calculadora gráfica na resolução das tarefas e a sua predisposição para utilizá-
la.
17
CAPÍTULO 3
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
Este capítulo, dividido em três secções, descreve, documenta e avalia o processo da
intervenção pedagógica: Começa por analisar os conhecimentos prévios dos alunos sobre
tópicos de funções, de seguida ilustra momentos da prática pedagógica e, por último,
apresenta as perceções dos alunos sobre esta intervenção com a calculadora gráfica.
3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções
Para além do conhecimento do grupo turma desenvolvido ao longo das aulas assistidas
e da consulta da documentação existente na escola relativa ao percurso escolar dos alunos nos
anos letivos anteriores, elaborei em conformidade um teste diagnóstico (Anexo 1) incidindo
sobre os seus conhecimentos de tópicos de funções. Este instrumento de recolha de informação
caracteriza-se como estratégia usada para compreender as dificuldades dos alunos sobre a
unidade temática em análise. A sua estrutura apresentava dez questões distribuídas por dois
grupos com objetivos e níveis de compreensão distintos:
Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico.
Questões Objetivos
1. Compreender o conceito de função;
Gru
po
I 2. Esboçar o gráfico de uma função conhecidas algumas das suas propriedades;
3. Definir condições de modo a verificar determinado número de soluções numa equação quadrática;
4. Compreender os conceitos de paridade e injetividade de uma função. Utilização do gráfico de uma função para contextualizar um problema da vida real;
1.1. Identificar o domínio e contradomínio de uma função através da sua representação gráfica;
1.2. Definir a expressão analítica de uma função a partir da sua representação gráfica;
Gru
po
II 1.3. Interpretar um dado valor da variável independente em contexto do problema
apresentado;
1.4. Calcular o valor de x para um dado valor da função e interpretar esse valor tendo em conta o problema;
1.5. Determinar entre que valores podem variar a variável x dado um intervalo de valores da função apresentada;
2. Utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de duas funções.
18
Em geral, os alunos não revelaram dificuldades em identificar gráficos de funções,
embora se evidenciassem falhas nas suas justificações. Os alunos não tiveram igualmente
dificuldades em ler o domínio e o contradomínio das funções apresentadas a partir do respetivo
gráfico, bem como utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos
de interseção dos gráficos de duas funções. No entanto, a maior parte dos alunos deu
respostas incorretas às questões cujo objetivo era esboçar gráficos a partir de algumas
propriedades previamente conhecidas do mesmo e também em definir condições de forma a
verificar determinado número de soluções, o que revela alguma dificuldade de interpretação da
questão em causa. De forma mais pormenorizada, determinou-se o número de alunos que
responderam de forma correta, parcialmente correta, incorreta e não respondeu às questões do
teste diagnóstico.
Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21)
Para averiguar a compreensão dos alunos sobre o conceito de função, o teste
diagnóstico apresentava a seguinte questão:
Da análise à tabela 4, conclui-se que os 3 alunos que responderam incorretamente à
Tipo de resposta
Questões
Grupo I Grupo II
1 2 3 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2
Correta 7 1 0 0 18 1 11 5 1 13
Parcialmente correta 11 5 0 11 2 5 1 1 1 4
Incorreta 3 15 20 5 1 7 2 0 13 2
Não respondeu 0 0 1 5 0 8 7 15 6 2
Grupo I:Questão 1
Quais dos seguintes gráficos representam funções? Explica o teu raciocínio.
Figura 3 - Questão 1 do grupo I do teste diagnóstico
19
questão 1, indicaram o gráfico II como sendo uma função como é o caso do alunoA11:
As respostas consideradas parcialmente corretas (11), os alunos indicam bem os
gráficos que representavam funções. No entanto, 9 não apresentam qualquer justificação e 5
evidenciam confusões nos seus raciocínios como é o caso do aluno A2:
Nesta questão, os estudantes evidenciaram dificuldades nas explicações das suas respostas
e também foram notórias dúvidas na própria definição de função.
No que respeita à questão 2 do grupo I, denotaram-se muitas dificuldades:
Se o esboço gráfico do aluno reuniu todas as condições (I, II e III), a resposta é
considerada correta. Se se verificar duas é considerada parcialmente correta. Quando verifica
uma ou nenhuma das condições referidas, a resposta é avaliada como incorreta. Nesse sentido,
foram notórias muitas respostas incorretas (15), como é o caso do aluno A15:
Grupo I: Questão 2
De uma função 𝑓 sabe-se que:
I) Df = IR+;
II) D′f = [−1 , 1];
III) A equação f(x) =1
2 admite uma e uma só solução.
Represente uma possível representação gráfica de f.
Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 7 - Resolução do aluno A15 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico
20
Tal resposta indicia que o aluno interpretou que a condição f(x) =1
2 representava a função
e não revelou cuidado em garantir o contradomínio pretendido e o número de soluções que a
equação f(x) =1
2 satisfazia. Apesar de alguns alunos atenderem ao domínio da função, outros
alunos (5) tiveram dificuldades em conciliar as três condições, como ilustra o esboço gráfico
efetuado pelo aluno A11:
Quanto à questão 3 do grupo I, não teve qualquer resposta correta:
Todos os alunos, exceto um que não apresentou qualquer resposta, responderam de
forma incorreta. As dificuldades evidenciadas vão desde o desconhecimento da condição que
possibilita a função quadrática ter duas raízes a erros na manipulação de expressões como de
seguida se ilustra:
Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico
A questão 4 do grupo I, à semelhança da anterior, também nenhum aluno respondeu
de forma correta quanto à paridade e injetividade das quatro funções representadas
graficamente, nem explicaram de forma clara os seus raciocínios:
Grupo I: Questão 3
Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação
f(x) = k admite exatamente duas soluções reais, indique o conjunto de valores que k pode
assumir.
Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 9 - Questão 3 do grupo I do teste diagnóstico
21
Das 11 respostas parcialmente corretas, concluiu-se que 4 alunos classificaram
corretamente a paridade e injetividade de todas as funções. No entanto não explicaram ou foram
pouco claros na forma como chegaram às suas respostas, o que denota, uma vez mais,
dificuldades em expressar os seus raciocínios. Os restantes 7 apenas classificaram corretamente
alguns dos gráficos quanto à paridade e injetividade mas não explicaram de forma convicta as
suas análises, o que prova que os conceitos de paridade e injetividade de uma função não
estavam consolidados neste grupo turma.
Relativamente às questões do grupo II do teste diagnóstico, verificou-se maior número
de respostas incorretas à questão 1.5. Por outro lado, observou-se maior número de não
respostas na questão 1.4. Vejamos de seguida a questão 1 do grupo II:
Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico
Grupo I: Questão 4
Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade. Explica o teu raciocínio.
I II III IV
Grupo II
A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o
fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês
necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico seguinte mostra o lucro (L) da Dona Joaquina
(no final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.
1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.
1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.
1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema
1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha
lucro nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).
1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer,
por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.
Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico
22
A questão 1.1 foi a que menos suscitou dúvidas dos alunos, uma vez que se apurou
apenas 1 resposta incorreta pois o estudante atribuiu um intervalo de valores inadequado ao
domínio e contradomínio da função L. As 2 respostas parcialmente corretas devem-se ao facto
dos alunos apresentarem apenas os intervalos sem qualquer referência ao seu significado, o que
evidencia dificuldades em escreverem notações matemáticas, como é o caso do aluno A7:
Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico
A questão seguinte (1.2) registou apenas 1 resposta assertiva, 7 incorretas e 8 não
responderam. As restantes 5 foram avaliadas como parcialmente corretas pois apenas
definiram um dos ramos da função considerando essa expressão a representação analítica da
função em todo o seu domínio como é o caso do aluno A3:
Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico
A questão seguinte (1.3), a par da 1.1, teve o maior número de respostas corretas (11),
apesar de 7 alunos não terem respondido a esta questão. Constatou-se também duas
respostas incorretas, devido a erros no cálculo de L(0), e uma parcialmente correta pois o
aluno, embora tenha calculado bem o valor da função no ponto de abcissa 0, não explicou o seu
significado no contexto do problema.
Já na questão 1.4, apenas 5 alunos responderam corretamente. Observou-se também
que 15 alunos não responderam a esta questão e 1 calculou bem o valor da variável
independente dado o valor da função, mas não justificou a sua resposta (parcialmente
correta). Conclui-se, assim, que os estudantes demonstraram dificuldades na contextualização
do problema e interpretação do gráfico apresentado.
Por sua vez, na questão 1.5, o cenário de alunos que não responderam (6) melhorou
um pouco. No entanto a maioria dos alunos respondeu incorretamente, observando apenas o
23
gráfico apresentado e sem qualquer justificação como é o caso do aluno A15:
Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico
Por último apresenta-se a questão 2 do grupo II:
A questão que solicitava o recurso da calculadora gráfica não foi reveladora de muitas
dificuldades, o que denota que a generalidade dos alunos (13) estava à vontade no
manuseamento da calculadora gráfica, nomeadamente no uso do comando que possibilita
obter os pontos de interceção de duas funções na máquina e no cálculo da área de
triângulos. No entanto, das 4 respostas parcialmente corretas, 3 apresentaram apenas as
abcissas dos pontos A e B sem o cálculo da área do triângulo que era pedido e 1 não
apresentou o arredondamento referido.
3.2. Prática pedagógica
Ao longo da minha intervenção pedagógica foram detetadas algumas lacunas e
deficiências nas aprendizagens ao nível dos pré-requisitos com maior incidência nas primeiras
aulas. Aos alunos com maior dificuldade foi dado um apoio mais individualizado mas
promovendo sempre a aprendizagem dos temas uns com os outros.
Grupo II Questão 2
Considere a função 𝑔, de domínio IR, definida por 𝑔(𝑥) =1
4𝑥4 +
1
3𝑥3 + 2𝑥 − 1.
O gráfico da função 𝑔 , num referencial o.n. xOy, intersecta a recta de equação y = 5 em
dois pontos.
Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.
Determine a área do triângulo [AOB], recorrendo às capacidades gráficas da sua
calculadora.
Apresente o resultado arredondado às centésimas. Na sua resposta deve:
•indicar as abcissas dos pontos A e B, arredondadas às centésimas;
•apresentar a área do triângulo [AOB], com o arredondamento pedido.
24
Tarefa 1
Considera os seguintes gráficos:
𝐷𝑓 = 𝐼𝑅\{0} 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅 𝐷ℎ = 𝐼𝑅 𝐷𝑖 = 𝐼𝑅
Da análise de cada um dos gráficos verifica-se que: (i) 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas no seu domínio
(ii) ℎ é descontínua em 𝑥 = 3 (iii) 𝑖 é descontínua em 𝑥 = 1
Com base nestas afirmações, indica quando uma função é contínua no seu domínio? E quando uma função tem pontos de descontinuidade?
De seguida apresento de forma resumida na Tabela 5 o processo de intervenção.
Tabela 5 - Síntese da intervenção.
AULAS Tópicos
Aula 1e Aula 2 Estudo da função real de variável real 𝑓: 𝑥 →1
𝑥.
Aula 3 Conceito intuitivo de limite.
Aula 4 Aula Prática.
Aula 5 Continuidade e assíntotas.
Aula 6, 7 e 8 Estudo de funções do tipo y = a +b
cx+d, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐼𝑅, x ≠
−𝑑
𝑐.
Aula 9 Assíntotas oblíquas.
Aula 10 Simplificação de frações racionais;
Equações e inequações fracionárias.
Aula 11 Restrição e prolongamento de uma função racional.
Aula 12 Aula Prática.
Para ilustrar a minha intervenção, o trabalho do aluno e as estratégias implementadas
descrevo alguns dos momentos mais significativos de três aulas lecionadas: aulas 5, 8 e 11.
3.2.1. Continuidade e assíntotas
O objetivo principal desta aula foi analisar as propriedades de funções racionais e do seu
gráfico quanto à continuidade e às assíntotas verticais e horizontais. As assíntotas do gráfico de
uma função racional traduziram-se, para os alunos, num novo conceito, apesar do estudo, na
aula anterior, do conceito intuitivo de limite de funções do tipo 𝑦 =1
𝑥. Relativamente à
continuidade, os alunos trabalharam em pares a seguinte tarefa:
Figura 16 - Tarefa 1 sobre o tópico continuidade e assíntotas
25
O trabalho em pares foi importante para este tipo de tarefa pois não se tratava de uma mera
aplicação ou exercício. A ideia era apelar aos conceitos previamente estudados e às suas
intuições.
A realização desta tarefa suscitou alguma perplexidade muito por causa da afirmação (i):
Professor: Então já chegaram a alguma conclusão?
Aluno1: Estão a dizer que para ser contínua não posso levantar o lápis para
desenhar a função mas na (i) do enunciado diz que é contínua e eu preciso
levantar o lápis.
É interessante evidenciar a diversidade de respostas dadas pelos alunos às questões,
pois é reveladora das limitações que uma abordagem intuitiva apresenta nomeadamente em
conceitos tão complexos como este. Vejamos algumas respostas dadas pelos pares formados
pelos alunos A3 e A19, A15 e A16 e A6 e A8:
Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas
Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas
Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas
No que se refere às respostas dos pares de alunos, observaram-se respostas muito
idênticas às acima mencionadas. Apenas duas respostas não mencionaram a palavra
“interrupções”.
Para o estudo dos conceitos de assíntotas horizontais e verticais, os alunos realizaram a
seguinte tarefa:
26
Os 20 alunos presentes na realização da tarefa, trabalharam em pares. Da análise às
respostas dos alunos, verifica-se que não tiveram dificuldade em determinar o domínio da
função, visto que 90% dos pares responderam corretamente a essa questão. Apenas um par de
alunos falhou nessa questão. A representação gráfica da função foi concretizada por todos eles,
embora, quanto à continuidade, 40% dos pares de alunos responderam que a função era
contínua, 50% descontínua e 10% não responderam.
Quanto ao cálculo dos limites, 60 % dos pares determinaram corretamente os limites,
enquanto os restantes 40% responderam corretamente apenas a i) e ii), o que mostra que
os alunos sentiram dificuldades no cálculo dos limites no infinito como ilustram as respostas
dos alunos A12 e A22.
Figura 21 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A12 e A22
Relativamente à última questão desta tarefa, 70% dos pares referiu, corretamente, que
a Ana tinha razão. No entanto, não apresentaram qualquer justificação. Desses 70% apenas um
par de alunos apresentou justificação:
Tarefa 2
Considera a função real de variável real f definida por 𝑓(𝑥) =𝑥+6
𝑥−3.
a) Indica o domínio de f.
b) Representa o gráfico de f e descreve o comportamento da função e a sua continuidade.
c) Determina:
i) x 3lim f(x) .....
iii) xlim f(x) .....
ii) x 3lim f(x) .....
iv) xlim f(x) .....
d) Considera o seguinte diálogo entre a Ana e o João:
João: “A calculadora elabora um gráfico de f que não é completo. Se considerares valores muito grandes de 𝑥 a partir de certa ordem o gráfico interceta a reta 𝑦 = 1”.
Ana: “Não concordo, por maior que seja o valor que deres a 𝑥, as respetivas imagens nunca assumem o valor 1, ou seja, o gráfico de 𝑓não interceta a reta 𝑦 = 1”.
Quem tem razão, o João ou a Ana? Figura 20 - Tarefa 2 relativa ao tópico de continuidade e assíntotas
27
Figura 22 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A1 e A4.
Tendo em consideração que esta questão suscitou alguma dúvida no grupo turma,
utilizou-se o emulador da calculadora gráfica instalado no computador e projetou-se na sala de
aula:
Figura 23 - Projeção do emulador da calculadora gráfica
A utilização deste emulador revelou-se eficaz na medida que proporcionou à turma
estipularem as noções de assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função 𝑓. Uma vez
tratando-se de conceitos novos, permitiu também ao grupo turma realizarem as suas próprias
conjeturas tal como se verificou na discussão com o seguinte aluno:
Aluno1: Professor, mas a partir das assíntotas sabemos qual é o domínio e o contradomínio das funções racionais.
Professor: Não achas que estás a generalizar? Aluno1: Eu acho que é possível professor porque se as assíntotas são os valores que
não pertencem ao gráfico, então se é assíntota vertical, por exemplo, nós colocamos todos os valores menos aquele da assíntota e nas horizontais a mesma coisa.
Professor: Os casos que estivemos a trabalhar parecem permitir fazer conjeturas, mas em Matemática devemos ter muito cuidado com as generalizações. Nas
próximas aulas iremos estudar as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 +𝑏
𝑐𝑥+𝑑 e vamos
verificar o que estás a sugerir.
Quanto às formas de utilização da calculadora gráfica, conjugou-se também, à
semelhança das tarefas analisadas anteriormente, três formas de utilização: (I) Papel e lápis e
de seguida a calculadora gráfica; (II) calculadora gráfica e de seguida papel e lápis, e (III) apenas
calculadora gráfica.
Em suma, o quadro seguinte mostra as formas de utilização da calculadora gráfica e
respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b), c) e d) da tarefa 2.
28
Da análise a este quadro, constata-se que os alunos optaram mais pela forma de
utilização I. Mesmo no cálculo dos limites os alunos dão preferência à resolução analítica.
O questionário final de aula (Anexo 2), tende a confirmar a tendência pela utilização da
calculadora gráfica como forma de confirmação dos resultados. Das 20 respostas obtidas pelos
alunos, 14 responderam que começaram a resolução com papel e lápis e depois partiram para
a verificação na calculadora gráfica (I). Por sua vez, 6 responderam que começaram a resolução
com calculadora e depois completaram com papel e lápis (II). Nenhum aluno afirmou ter usado
apenas a calculadora gráfica (III).
3.2.2. Estudo de funções do tipo 𝐲 = 𝐚 +𝐛
𝐜𝐱+𝐝, 𝐛, 𝐜 ≠ 𝟎 , 𝐱 ≠
−𝐝
𝐜
Esta aula tinha como objetivo central levar o aluno à generalização das propriedades das
funções do tipo 𝑦 = 𝑎 +𝑏
𝑐𝑥+𝑑 quanto ao domínio, contradomínio e assíntotas dos seus gráficos.
A tarefa que visava esse objetivo foi realizada individualmente. No final de cada alínea, pedi ao
grupo turma para que descrevessem a forma como a resolveram.
Questões Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)
Dificuldades detetadas
I II III
a) 16 4 0 Apresentação apenas do intervalo sem referência ao domínio.
b) 10 9 1 Encontrar a janela de visualização adequada para a representação gráfica da função. Dúvidas quanto à continuidade da função.
c) 11 7 2 Conceito de limite à esquerda e à direita de 3.
d) 12 7 1
Dificuldade na identificação da reta y=1 como a reta horizontal da qual o gráfico se aproxima cada vez mais, sem chegar a intercetar.
Quadro 1 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b), c) e
d) da tarefa 2
29
A questão a) não apresentou muita dificuldade aos alunos uma vez que pareceram estar
presente as transformações simples de funções que aprenderam no 10.º ano. Apenas um aluno
aplicou o conceito de limite na resolução da tarefa. Observaram-se 75% de respostas corretas ao
que era pedido, embora com algumas limitações na linguagem matemática usada. Exemplo
disso é a resposta do aluno A15:
Figura 25 - Resolução à tarefa 3 alínea a) do aluno A15.
Já o preenchimento da tabela revelou maior dificuldade, principalmente no cálculo do
contradomínio das funções pedidas, como ilustra o diálogo entre o professor e o grupo turma
depois da análise da resolução no quadro de um aluno:
Professor: Relativamente à função 𝑡(𝑥) =3
𝑥, porque é que vocês afirmam que o
domínio é IR\{0}? Aluno1: Porque o domínio corresponde a todos os valores exceto os que anulam o
denominador. Professor: Muito bem, nós aprendemos no estudo das funções racionais que o
domínio de uma função racional que o seu domínio são todos os valores exceto os que anulam o denominador. Foi isso que aprendemos certo?
Alunos: Sim.
𝑓(𝑥) = −1 +3
𝑥; 𝑔(𝑥) =
3
𝑥 − 2 𝑒 ℎ(𝑥) = −1 +
3
𝑥 − 2
Tarefa 3
Considera as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ tais que:
a) A partir da função 𝑡(𝑥) =3
𝑥, explica como podes obter uma representação gráfica da função:
i) f ii) g iii) h b) Completa a tabela seguinte:
Função Domínio Contradomínio Assíntotas
𝑡(𝑥) =3
𝑥
𝑓(𝑥) = −1 +3
𝑥
𝑔(𝑥) =3
𝑥 − 2
ℎ(𝑥) = −1 +3
𝑥 − 2
Figura 24 - Tarefa 3
30
Professor: No caso desta função, o único valor que anula o denominador é zero, certo? Alunos: Certo. Professor: E quanto ao contradomínio da função? Porque é que vocês dizem que o
contradomínio desta função é também IR\{0}? Aluno9: Não é tao fácil de observar. Aluno1: Professor, ao observar o gráfico na calculadora, reparei que a reta y=0 é
uma assíntota, o gráfico aproxima-se sempre desse valor sem nunca lhe tocar por isso é que é o contradomínio é IR\{0}.
Professor: Então estás a dizer que o contradomínio da função é IR\{0} porque o gráfico tem uma assintota horizontal y=0?
Aluno1: Eu fiz a análise do gráfico e então concluí isso. Depois vi na máquina e deu. Professor: Tu observaste na calculadora gráfica e fizeste essa conjetura? Aluno1: Sim, foi isso.
Da análise a esta questão, verifica-se 100% de respostas corretas no cálculo do
domínio das funções apresentadas. Por outro lado, apenas 60% responderam corretamente à
questão do contradomínio. Por último, 90% dos alunos acertaram na determinação das
assíntotas verticais embora nas assíntotas horizontais apenas 40% responderam
acertadamente. Na figura 26 mostra-se a descrição do aluno A13 relativamente aos
procedimentos que efetuou na sua resolução.
Figura 26 - Resolução à tarefa 3 alínea b) do aluno A13.
Para averiguar as formas de utilização da calculadora gráfica pelos alunos no
desenvolvimento da tarefa 3, no final da resolução de cada alínea os alunos indicaram as formas
de utilização da calculadora gráfica. Da análise geral à tarefa, verifica-se mais uma vez a
tendência para a forma I (62,5%), como salienta o aluno A11:
Figura 27 - formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A11.
Por sua vez, 35% dos alunos responderam que usaram a forma de utilização II
(calculadora como primeira abordagem ao exercício e de seguida papel e lápis). Apenas um
aluno (2,5%), A8, referiu na alínea b) não ter usado a calculadora gráfica, ou seja, resolveu
apenas analiticamente:
31
Figura 28 - Formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A8.
Em suma, o quadro seguinte mostra as formas de utilização da calculadora gráfica e
respetivas dificuldades presentes no desenvolvimento das alíneas a) e b) da tarefa 3:
Quadro 2 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b) da tarefa 3.
Questões
Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)
Dificuldades detetadas
I II III
a) 14 6 0 Erros na referência aos vetores de translação.
b) 11 8 1 Dificuldades no cálculo do contradomínio e assíntotas horizontais.
Total: 25 14 1
Relativamente ao questionário final de aula (Anexo 2) onde esta tarefa foi inserida,
observou-se um maior equilíbrio quanto às formas de utilização da calculadora gráfica: 55 % dos
alunos afirmam ter usado a calculadora gráfica apenas para confirmação dos resultados
analíticos (I); 40 % dizem ter usado primeiro a calculadora gráfica como primeira abordagem às
questões; e nenhum aluno diz ter usado apenas a calculadora gráfica (III). Apenas um aluno
afirma que não utilizou a calculadora gráfica para resolução das tarefas.
3.2.3. Restrição e prolongamento de uma função racional
O tópico proposto insere-se no tema das Funções racionais e tem como objetivo
conduzir o aluno às definições de restrição e prolongamento de uma função racional. Uma das
tarefas apresentadas com esse propósito foi a seguinte:
32
As designações restrição e prolongamento são por si só sugestivas. Neste sentido,
esperava que de forma intuitiva os alunos entendessem esses conceitos sem dificuldade, o que
não aconteceu. Aliás, estes tópicos foram os que suscitaram mais dúvidas nos alunos no tema
das funções racionais.
A primeira, quarta e sexta questões foram resolvidas corretamente pela generalidade
dos alunos da turma. Já a segunda, terceira e quinta questões suscitaram maior dúvida aos
alunos.
Professor: Vamos agora para a questão 2. Pede um esboço da função T1(t) sem recurso à calculadora.
Aluno 3: Professor, é para fazer o esboço no momento que existe o corte da luz ou é tudo?
Professor: Eu quero que vocês façam o esboço da função T1, essa função tem um dado comportamento e eu quero que vocês a representem graficamente. Quero um esboço gráfico dessa função. (…)
Professor: Nós já vimos que para t=0 a função valia 250 graus e que a partir daí ia diminuindo. Agora façam o esboço de T2 a partir do momento que a pessoa se apercebeu do corte de energia.
Relativamente à questão 2, verifica-se que 5 alunos responderam corretamente. Por sua
vez, 4 não responderam e 11 responderam incorretamente. Da análise às respostas incorretas
constata-se que: 4 alunos esboçaram o gráfico da função 𝑇1 (𝑡) como uma reta; 5
calcularam incorretamente as assíntotas; e 2 alunos representaram gráficos completamente
despropositados, como são exemplo os seguintes esboços:
Tarefa 4 Numa cozinha, um forno elétrico estava a funcionar a uma temperatura constante quando houve um corte de energia elétrica. A partir do instante 𝑡 = 0, momento da falha de energia, a temperatura no forno evoluiu de acordo
com o seguinte modelo matemático: 𝑇1(𝑡) =150𝑡+250
6𝑡+1, 𝑇 graus Celcius e 𝑡 horas.
1. Determina a temperatura a que o forno estava a funcionar no momento em que houve o corte de energia elétrica.
2. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇1 sem recurso à calculadora.
3. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇1 com recurso à calculadora. Identifica propriedades da função e do seu gráfico.
4. A pessoa responsável por vigiar o forno apenas se apercebeu da falha de energia elétrica quando a temperatura no forno era de 75º𝐶. Determina, em minutos, o tempo que decorreu
entre o instante em que houve o corte de energia elétrica e o instante em que o mesmo foi detetado.
5. Representa analiticamente e graficamente a função que contextualiza a temperatura do forno a partir do momento que a pessoa responsável por vigiar o forno se apercebeu da falha de energia (𝑇2).
6. Com o decorrer do tempo, a temperatura no forno aproximou-se de um dado valor. Que significado tem esse valor no contexto do problema e na representação gráfica da função?
Figura 29 - Tarefa 4
33
No que diz respeito à questão 3, 16 estudantes transcreveram para o papel o esboço
gráfico que visualizaram na calculadora gráfica. No entanto, nenhum deles apresentou qualquer
propriedade da função e do seu gráfico como é o caso do aluno A2.
Figura 31 - Resolução do aluno A2 à questão 3 da tarefa 4.
A Questão 5 foi a que suscitou maior dificuldade. Apenas 1 aluno respondeu
corretamente, 8 alunos não responderam e 11 responderam incorretamente, o que revela
dificuldades em adaptarem o gráfico da função 𝑇1(𝑡) ao contexto do problema.
Como o principal objetivo desta aula foi de levar o aluno à definição de restrição e
prolongamento de uma função racional, o grupo turma foi confrontado com os esboços gráficos
das funções 𝑇1 e 𝑇2. O seguinte diálogo é revelador das dificuldades sentidas na compreensão
desses conceitos:
Professor: Vamos lá analisar o domínio da nova função T2. O domínio de T2 vai de 0.58 fechado até?
Aluno 2: Até mais infinito. Professor: Muito bem, e de T1 é qual?
Alunos: ℝ0+.
Professor: Tendo em conta a própria palavra ‘Restrição’, qual é a função que vos parece uma restrição da outra?
Aluno 2: A T2 é uma restrição da T1.
Professor: Porquê? Aluno 2: Porque é um domínio mais pequeno. Professor: E se agora olharmos para a função T1 e quisermos um prolongamento da
função? Aluno3: Temos de aumentar a função. Professor: A própria palavra diz-nos para aumentar, estender. Quero então que vocês
me digam uma função T3 de maneira que seja um prolongamento da
função T1.
Aluno3: Temos que alargar o domínio da função, certo?
Figura 30 - Esboços gráficos dos alunos A12, A13 e A18 relativos à questão 2 da tarefa 4.
34
Professor: Então temos que considerar o quê? Aluno2: Valores negativos.
Aluno2: Mas −1
6 não pode pertencer porque senão a função não tem significado e
o denominador fica igual a zero. Professor: A vossa colega diz que não consegue alargar a função porque se
considerar o ponto de abcissa −1
6 a função deixa de ter significado.
Aluno 2: Claro, porque se eu considerar o ponto de abcissa −1
6 o denominador fica
igual a zero e não pode ser pois é uma contradição. Professor: Contradição porquê?
Aluno 3: Então −1
6 não podia pertencer ao domínio e agora já pode?
A dificuldade evidenciada pelos alunos residia no facto de se introduzir o valor −1
6 ao
domínio da função resultante do prolongamento de T1 uma vez que anulava o denominador da
expressão que representa esta função.
As formas de utilização da calculadora gráfica e as dificuldades que os alunos sentiram
no desenvolvimento da tarefa 4 estão sintetizadas no Quadro 3:
Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4.
Questões Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)
Dificuldades detetadas
I II III
1 10 6 4 Incompreensão do contexto da situação apresentada; Manipulação de expressões algébricas.
2 19 1 0 Erros na determinação das assíntotas; Incompreensão da situação-problema.
3 3 14 3 Identificação de propriedades da função e do seu gráfico.
4 14 5 1 Manipulação de expressões algébricas. Incompreensão da situação-problema.
5 12 7 1
Dificuldades em reconhecer que a função
𝑇2 é uma restrição de 𝑇1 ao intervalo [0 ,+∞[
6 17 3 0 Incompreensão do contexto da situação apresentada
Também nesta tarefa se evidenciou maior influência ao uso da calculadora como forma
de confirmação dos resultados. Apenas na questão 3,70% dos alunos afirmaram ter usado a
calculadora gráfica como primeira abordagem à resolução da tarefa. Este facto parece dever-
se ao próprio enunciado pedir o esboço com a calculadora gráfica. Nas restantes questões,
os alunos privilegiam o uso da calculadora gráfica apenas para confirmação dos resultados. No
total das 120 respostas analisadas a toda a tarefa 4, 62,5% dos alunos dizem usar a forma de
35
utilização da calculadora I (Papel e lápis seguido da calculadora para confirmação). Por sua vez,
30% consideram a forma de utilização da calculadora II (calculadora como primeira abordagem
e de seguida papel e lápis). Por último, das 120 respostas analisadas, apenas 7,5% usaram a
forma III (apenas calculadora).
3.3. Avaliação da intervenção
Neste subcapítulo analisa-se a perceção dos alunos sobre a utilização da calculadora
gráfica na sua aprendizagem de tópicos das funções racionais. Nesse sentido, no final da minha
intervenção pedagógica elaborei um questionário (Anexo 3) e uma entrevista a 6 alunos de
diferentes níveis de desempenho (Anexo 4). O questionário foi distribuído a 18 alunos presentes
na última aula da minha intervenção, 11 raparigas e 7 rapazes.
Perceções dos alunos sobre as funções racionais. O quadro 4, apresentado em baixo, diz
respeito às respostas dos alunos às questões que abordam o tema das funções racionais. São
atribuídas as seguintes designações: Discordo Totalmente (DT), Discordo (D), Indiferente (I),
Concordo (C), Concordo Totalmente (CT) uma escala de 1 a 5 por esta ordem.
Quadro 4 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas ao tema das funções racionais (n=18)
AFIRMAÇÕES DT/D I C/CT �̅�
Funções racionais é um tema da matemática que gostei de estudar. 0 2 16 4,1
No tema funções racionais evidenciei menos dificuldades do que noutros temas de matemática.
5 5 8 3,2
As tarefas propostas sobre o tema funções racionais despertaram o meu interesse pela matemática.
0 3 15 3,9
O tema funções racionais não é importante para a minha formação 17 1 0 1,5
Quase 90% dos alunos gostaram de estudar o tema das funções racionais e 94,4%
reconheceram a sua importância para a sua formação. Esse facto constatou-se na entrevista
como se pode verificar na seguinte afirmação de um dos alunos: “Eu gosto de funções (...) Tem
partes que acho que tem utilidade de facto no dia-a-dia, até mais que outros conteúdos de
matemática”.
Relativamente ao grau de dificuldade, comparativamente a outros tópicos da disciplina,
manifestaram opiniões muito dispersas. Por outro lado, 83,3% reconheceram que as tarefas
propostas ajudaram a despertar os seus interesses pela disciplina.
Perceções dos alunos sobre a utilização da calculadora gráfica no tema das funções racionais.
O quadro seguinte representa as respostas dos inquiridos às questões relacionadas ao uso da
36
calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem das funções racionais.
Quadro 5 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas à calculadora gráfica
AFIRMAÇÕES DT/D I C/CT �̅�
Na aprendizagem de funções racionais recorri à calculadora gráfica para me ajudar na resolução das tarefas. 3 2 13 3,8
Costumo utilizar a calculadora gráfica com muita frequência nas minhas atividades de estudo fora das aulas. 7 2 9 3,1
A interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica desafiou os meus conhecimentos que adquiri no estudo do tema funções racionais. 2 4 12 3,6
A calculadora gráfica ajudou-me a estabelecer as definições e as propriedades de tópicos que estudei no tema funções racionais. 0 3 15 3,8
A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar os conceitos estudados no tema funções racionais. 0 4 14 3,8
A calculadora gráfica ajudou-me a desenvolver o meu espirito crítico. 1 5 12 3,7
O uso da calculadora gráfica levou-me a repensar os meus raciocínios. 3 5 10 3,4
Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei papel e lápis.
2 11 5 3,2
A calculadora gráfica dificultou a minha aprendizagem de tópicos de funções racionais.
14 2 2 2
Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei a calculadora gráfica.
2 7 9 3,4
Não precisei de utilizar a calculadora gráfica nas atividades que realizei no estudo do tema funções racionais.
13 2 3 2,2
Aprendi melhor os tópicos de funções racionais quando combinei papel e lápis com a calculadora gráfica. 2 3 13 4,2
Quanto à utilização da calculadora gráfica, a maioria dos alunos (72,2%) utilizou a
calculadora gráfica no estudo dos tópicos de funções racionais. No entanto, metade deste grupo
turma não utiliza como muita frequência a calculadora gráfica no seu estudo fora das aulas.
Por outro lado, a tendência de opiniões (3,6 numa escala de 1 a 5) aponta a tendência
dos alunos considerarem que a interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica
desafiou os seus conhecimentos adquiridos nestes tópicos. Por sua vez, mais de 80% são da
opinião que este recurso tecnológico os ajudou a estabelecer as definições e as propriedades das
funções racionais, como se comprova na seguinte transcrição: “Ajudou porque ajudava a ver o
comportamento das funções e facilitou-me a compreensão. Em casa para estudar para os testes
também me ajudou”.
Analisando o questionário, infere-se que mais de 77% entende que a calculadora os
ajudou a visualizar os conceitos estudados, 66% dos inquiridos refere ainda que a mesma
contribuiu para desenvolver o seu sentido crítico e mais de 80% os levou mesmo a repensar os
37
seus raciocínios. Ainda assim, observa-se disparidade de opiniões quanto à importância da
calculadora na melhoria das suas aprendizagens, como refere um aluno:
“A compreender não. A resolver exercícios sim. A aprendizagem torna- se mais interativa se tivermos os meios gráficos mas em termos de compreender penso que o mais importante é mesmo o professor, a forma como ele vai explicitar os conteúdos. Acho que o mais importante é o professor, depois claro que a máquina é fundamental para mais que não seja para confirmar os resultados”.
A opinião dominante expressa neste questionário revela que os alunos aprenderam
melhor os tópicos das funções racionais quando combinaram papel e lápis e calculadora
gráfica (72,2%), como se pode verificar na seguinte resposta:
“Usei a calculadora gráfica essencialmente para verificar. Eu resolvia analiticamente e depois claro, tenho a máquina, convém verificar. Até porque se fosse no teste era assim que eu faria. Posso ter feito na máquina e depois partia para o analítico, posso ter feito isso algumas vezes sim. Eu quase sempre recorro ao modo analítico porque sinto mais à vontade, mas depois uso a calculadora para verificar os resultados que obtive”.
Os alunos reconhecem a importância do uso da calculadora gráfica nas suas
aprendizagens. No entanto, desvalorizam a sua utilização pois preferem usar o método analítico
nas resoluções das tarefas, tal como indica um aluno: “Para visualização de gráficos
praticamente, ou às vezes nos limites para aumentar o x e ver o que acontece ao y. Eu não uso
muito a calculadora. Uso mais o método analítico”.
A maioria dos alunos (55,6%) diz ter utilizado a calculadora gráfica apenas quando
surgiram dúvidas nas suas resoluções com papel e lápis e 55,6% dizem que este recurso
tecnológico os ajudou a compreender o que a tarefa pedia, como sustenta a afirmação de
um aluno:
“É claro que a matéria foi dada e depois ao analisar o gráfico na calculadora gráfica consolidei melhor a matéria, por exemplo, nos vários tipos de funções racionais e assim. Verifiquei o gráfico na calculadora e consolidei melhor o que foi dito e se calhar compreendi melhor do que se não tivesse o apoio da calculadora gráfica”.
Ainda sobre as formas de utilização da calculadora gráfica e as dificuldades no estudo
do tópico das funções racionais, constata-se no questionário final que os alunos usaram mais
esta tecnologia para verificar a continuidade, a monotonia e as assíntotas dos gráficos.
Também neste questionário, 13 no total de 18 alunos (72,2%) afirmaram que neste tópico
começaram por resolver as tarefas com papel e lápis e, de seguida, usaram a calculadora
gráfica para verificar as suas respostas. Por sua vez, 3 alunos (16,7%) declararam que primeiro
38
usaram a calculadora gráfica e só depois completaram com papel e lápis. Apenas 1 aluno (5,5%)
referiu ter usado apenas a calculadora gráfica enquanto um outro (5,5%) afirmou a utilização só
papel e lápis. Esta ideia comprovou-se também na entrevista final: “Ajudou, foi importante por
exemplo nas assíntotas. Basicamente para ver se a assíntota que me deu dá certo. No meu
estudo a calculadora gráfica serve mais para confirmar resultados. Primeiro faço
analiticamente e depois vejo se tenho certo na calculadora”.
Quanto ao subtópico de funções racionais que mais sentiram dificuldades, a maioria, 13
no total de 18 (72,2%), afirmou ter sido na restrição e prolongamento. Também na entrevista
realizada, 5 no total de 6 alunos entrevistados evidenciaram isso mesmo, como exemplifica a
afirmação de um deles: “No tema das funções racionais eu tive mais dificuldades nos
prolongamentos e restrições porque eu entendi o conceito, mas não conseguia definir as
funções e traduzir para linguagem matemática”.
Relativamente aos aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora gráfica,
referidos no questionário final, os alunos apresentaram as seguintes respostas, sendo que cada
um dos estudantes poderia referir mais que um aspeto tanto negativo como positivo:
Tabela 6 - Perceção dos alunos quanto aos aspetos positivos e negativas da utilização da calculadora gráfica no estudo das funções racionais
Aspe
tos
posi
tivos
Ajuda a verificar os resultados
Permite visualizar melhor o gráfico da função
Facilita a “perceção” da função
Possibilita resolver mais rapidamente os exercícios
Aumenta a “eficácia” na resolução das tarefas
9
7
5
3
1
Aspe
tos
nega
tivos
Torna mais fácil e mecânico e dificulta a desenvolver o raciocínio
matemático;
Dificuldades no manuseamento da máquina;
Autonomia do aluno;
Torna o aluno mais “preguiçoso”.
7
3
1
1
No que se refere aos aspetos positivos, nove alunos referiram que a calculadora gráfica
os ajudou a verificar os resultados, sete referiram que a calculadora gráfica permitiu visualizar
melhor o gráfico da função e cinco mencionaram que este recurso tecnológico facilitou as
suas perceções relativamente às funções apresentadas. Estes aspetos também foram referidos
pelo aluno 3 na entrevista: “Para ver se está certo ou por exemplo, num exercício que não sei
fazer, vou à calculadora e vejo mais ou menos como se faz. Por exemplo, nos gráficos vou
sempre à calculadora gráfica para ter uma ideia”. Ainda como aspetos positivos, três alunos
constaram que a calculadora gráfica possibilitou resolver mais rapidamente as tarefas e um
39
considera que esta ferramenta aumentou a sua eficácia nas suas resoluções por lhe permitir
confirmá-las, como é referido por um dos alunos na entrevista: “Só se no teste não tiver
tempo, vou logo à calculadora e ponho o resultado final, mas se estiver nas aulas com tempo,
prefiro usar o papel e lápis e a máquina é só para confirmar”.
Quanto aos aspetos negativos, sete alunos sustentaram que a utilização da calculadora
gráfica tornou mais fácil, mecânico as suas resoluções e dificultou o desenvolvimento do
raciocínio matemático. Por sua vez, três alunos referiram sentir dificuldades no manuseamento
deste recurso, como exemplifica a afirmação do aluno 6:
“Já me aconteceu querer utilizar a calculadora gráfica num exercício e não saber como a usar. No entanto, tento depois descobrir. Não me lembro exatamente o que foi mas sei que já tive esse problema. Quando isso acontece eu chamo o professor mas por vezes também não sabe resolver esse problema. Depois tento procurar no manual da calculadora gráfica.”
Para além destes aspetos negativos da utilização da calculadora gráfica, constatou-se
outros tais como a perda de autonomia e a tendência de se tornarem mais ‘preguiçosos’.
40
41
CAPÍTULO 4
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
Neste capítulo, dividido em três secções, apresentam-se as principais conclusões deste
estudo, referem-se as suas implicações para o ensino e a aprendizagem de funções racionais
com recurso à calculadora gráfica e, por último, apresentam-se algumas recomendações para
projetos futuros e as limitações inerentes ao projeto desenvolvido.
4.1. Conclusões
As conclusões do estudo surgem como resposta às questões de investigação delineadas
que orientaram a intervenção pedagógica, e discutem-se essas conclusões com base nos
estudos referidos no enquadramento teórico.
4.1.1. Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções racionais?
Ao longo da intervenção pedagógica a calculadora gráfica foi implementada nos métodos
de ensino com o objetivo de estudar os diferentes formatos de utilização desta tecnologia
segundo Waits e Demana (1994): I. Abordagem analítica seguida da calculadora gráfica para
verificar; II. Abordagem com a calculadora gráfica seguida de uma abordagem analítica; III.
Apenas uma abordagem usando a calculadora gráfica pois a resolução analítica é irrealizável ou
mesmo impossível.
Em geral, nos tópicos abordados no tema das funções racionais, os alunos
começaram por resolver as tarefas com papel e lápis e de seguida foram à calculadora
confirmar. No entanto, verifica-se que esta forma de utilização é mais ou menos significativa
mediante o que é pedido no enunciado. Por exemplo, na tarefa 2 alínea b) em que era
solicitado que o aluno representasse graficamente a função e que descrevesse o seu
comportamento, quase metade da turma optou por começar as suas resoluções com a
calculadora gráfica (forma II). Também Semião e Canavarro (2012) num estudo a alunos do
12º ano referente ao tema das funções concluíram que “Sempre que os enunciados peçam
explicitamente para utilizar a calculadora gráfica, os alunos utilizam-na. Mas também a
utilizam mesmo que o enunciado não diga explicitamente para recorrer à calculadora
gráfica, desde que sejam pedidos gráficos”. Outro exemplo é a alínea b) da tarefa 3 em que
se pretende que os alunos completem as tabelas com os domínios e contradomínios das
42
respetivas funções e com as assíntotas dos seus gráficos. Também nessa questão, o número de
alunos que utilizaram a calculadora gráfica como feedback (formato I) não foi tão significativa
como a maioria das questões pois 40% dos alunos utilizaram a máquina como geradora de
uma ideia geral do problema (formato II).
Assim, os alunos tendem a começar as suas resoluções com recurso à calculadora
gráfica quando observaram alguma indicação nesse sentido, do professor ou pelos próprios
enunciados das questões. Caso contrário, os alunos depositaram maior confiança na resolução
analítica como primeira abordagem às questões. A tarefa 4 (questão 3) é prova disso pois
constatou-se que 14 alunos no total de 20 utilizaram a calculadora gráfica como geradora de
uma ideia (formato II).
Neste sentido, este estudo está de acordo com os investigadores Gracias e Borba
(2000), que salientam a importância da calculadora gráfica no desenvolvimento das
investigações dos alunos, nomeadamente, na elaboração das suas conjeturas.
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?
No trabalho dos tópicos abordados neste estudo detetaram-se dificuldades no
estabelecimento de uma escala para a representação do gráfico na calculadora gráfica de
acordo com o estudo de Hector (1992) já referido neste estudo. Também se refletiram
confusões na compreensão dos conceitos de limite à esquerda e à direita de um dado ponto, na
identificação das assíntotas do gráfico da função apresentada, no cálculo do contradomínio e
assíntotas horizontais.
Neste projeto constatou-se que foi no tópico relativo ao estudo de funções do tipo
𝑦 = 𝑎 +𝑏
𝑐𝑥+𝑑 𝑏, 𝑐 ≠ 0 que os alunos evidenciaram maiores adversidades, desde a
interpretação do contexto em que o problema é apresentado a erros na determinação das
assíntotas e na manipulação de expressões. Também no trabalho com estes conceitos foram
evidentes dificuldades na identificação de propriedades da função racional, na interpretação de
um dado valor em contexto do problema e principalmente na compreensão dos próprios
conceitos de restrição e prolongamento.
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções racionais?
No questionário e na entrevista pretendeu-se constatar as perceções dos alunos
relativamente ao tema das funções racionais e, sobretudo à calculadora gráfica.
43
Funções racionais. A maioria dos alunos (90%) gostou de estudar o tema e 94,4%
reconheceram utilidade na sua formação. Por sua vez, as tarefas propostas sobre o tópico das
funções racionais despertaram o seu interesse pela Matemática (83,3%) apesar de alguns
alunos (27,8%) admitirem ter mais dificuldades comparativamente a outros temas da disciplina.
Calculadora gráfica. Grande parte dos alunos da turma em estudo (72,2%) recorreu
à calculadora gráfica para lhes ajudar na resolução das tarefas, mas apenas 50% utilizaram a
máquina no seu estudo fora das aulas. Por outro lado, quase 68% admitiu que a interpretação
da informação gerada pela máquina desafiou os seus conhecimentos no tema das funções
racionais assim como concluiu Ponte (1995). Este autor também concluiu no seu estudo que a
calculadora gráfica incentiva o aluno no desenvolvimento das suas capacidades intelectuais, na
resolução de problemas e sua capacidade crítica.
Em geral, a grande maioria dos alunos (83,3%) concordou que esta ferramenta
tecnológica os ajudou a estabelecer as definições, as propriedades e a visualizar os conceitos
que estudaram no tema das funções racionais, analogamente aos estudos de Bigode (1998) e
Cláudio e Cunha (2001),
Além disso, a generalidade dos alunos consideram que a calculadora gráfica
contribuiu para desenvolvimento do espírito crítico e os levou a repensar os seus raciocínios. O
estudo de Borrões (1998) também aponta nesse sentido uma vez que refere que a utilização da
máquina favorece o desenvolvimento de capacidades do aluno no processo de ensino-
aprendizagem.
Para os alunos da turma, ficou claro que os alunos consideraram importante a
calculadora gráfica nas suas aprendizagens do tema das funções racionais pois apenas 16,7%
afirmaram que não precisaram de utilizar a calculadora gráfica no estudo do tópico. No
entanto, somente 50% dos alunos são da opinião que compreenderam melhor os tópicos de
funções racionais quando usaram a calculadora gráfica e 38,9% mostram- se indiferentes a esta
afirmação. Por outro lado 72,2% afirmam que compreenderam melhor os tópicos do tema
proposto quando combinaram a máquina e papel e lápis.
Em geral ficou claro nesta intervenção que os alunos da turma em estudo consideram a
calculadora gráfica importante nas aprendizagens dos tópicos das funções racionais, é útil na
resolução dos exercícios, mas não dispensam o papel e lápis nas resoluções das tarefas.
4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem
Deste estudo resultam várias implicações para o ensino e a aprendizagem das funções
44
racionais com a calculadora gráfica. Dos resultados obtidos, constatou-se que as capacidades
gráficas da calculadora possibilitam uma mudança efetiva nas abordagens a alguns tópicos,
nomeadamente o das funções racionais, perspetivando melhorias no processo de ensino e
aprendizagem. Mas, para que isso seja possível, importa conhecer e compreender a forma como
os alunos utilizam a calculadora gráfica nas suas aprendizagens. No presente estudo
constatou-se que recorrem a esta ferramenta tecnológica mais para verificarem as suas
resoluções analíticas. Nesta perspetiva, também se verificou neste estudo ser fundamental
conjugar a calculadora gráfica com o papel e lápis e observaram-se muitas vantagens inerentes
a esta estratégia de ensino e aprendizagem, nomeadamente, maior atitude de persistência na
resolução de situações problemáticas, desenvolveu a autonomia e a capacidade de
argumentação, o espírito crítico e de iniciativa.
Este estudo está de acordo com o estudo de Silva e Seixas (2010), pois os autores
concluíram que a calculadora gráfica aliada a outros meios de ensino como o papel e lápis
favorece “o desenvolvimento de competências de argumentação, do espírito crítico, de pesquisa
e de autonomia” (p. 163). Como a calculadora gráfica é um recurso que os alunos deverão usar
nas suas aprendizagens, tendem a estar sempre presentes as dificuldades não só no
manuseamento da máquina bem como na interpretação dos resultados obtidos.
Nesta intervenção também ficou patente as adversidades que os alunos encontram nas
suas análises aos gráficos visualizados bem como na contextualização de problemas
apresentados. Deste modo, este estudo revela que o trabalho envolvendo a calculadora gráfica
nas salas de aula deve incluir também um forte sentido crítico na interpretação dos resultados
obtidos e não apenas se limitar à questão do uso da ferramenta, o que já foi referido
anteriormente no estudo de Rocha (2001).
Neste trabalho também se averiguou as perceções dos alunos sobre a utilização da
calculadora gráfica nas aprendizagens das funções racionais e verificou-se que a generalidade
reconhece a sua importância na compreensão dos tópicos propostos. Assim, este projeto
revelou-se uma mais-valia na formação do professor, ao longo do estágio profissional, na
medida em que lhe permitiu conhecer estratégias de ensino e de aprendizagens variados e
inovadores, assim como recursos didáticos e a sua aplicabilidade na sala de aula.
Assim, pro jeta -se uma busca incessante por metodologias diferentes que aliadas a
outras já existentes possam contribuir para a formação de cidadãos ativos e interessados em
aprender Matemática.
45
4.3. Recomendações e limitações
Embora considere que este estudo respondeu aos objetivos propostos, ao longo da sua
consecução foram surgindo outras questões, que podem servir a outros projetos ou
investigações nesta área. Neste projeto verificou-se a influência das tarefas utilizadas no elencar
das potencialidades da utilização da calculadora gráfica. Assim, seria interessante estudar qual o
tipo de tarefas que conduz a um maior número de vantagens no uso da calculadora gráfica. Por
outro lado, apesar deste estudo se centrar nas aprendizagens, denotou-se, ao longo do projeto,
que o papel do professor revela-se crucial no ensino e aprendizagem com a calculadora gráfica.
Deste modo, seria pertinente estudar as relações entre o tipo de ensino e o papel da calculadora
gráfica nas aprendizagens dos alunos. Neste sentido, também seria interessante averiguar se o
discurso do professor influencia as perceções dos alunos perante a calculadora gráfica.
Nesta intervenção constataram-se alguns aspetos que podem ser colmatados em
estudos posteriores ou mesmo em intervenções futuras. Por exemplo, apesar do professor
demonstrar preocupação de, na resolução dos problemas, diversificar as estratégias a utilizar e
não demonstrar preferência pela via analítica ou gráfica, constatou-se algumas vezes que a
simples utilização da calculadora gráfica permitiu ao aluno chegar à resposta pretendida. Assim,
a elaboração desse tipo de tarefas mais abertas podiam ter sido desenvolvidas com grau de
complexidade maior sendo a calculadora gráfica um instrumento precioso na descoberta de
respostas aos problemas propostos.
Embora os objetivos deste projeto se centrassem nas respostas às questões de
investigação e tratando-se de uma intervenção de ensino de curta duração de um professor
estagiário, talvez se este tivesse sido mais profundo ao nível da comunicação e da interação com
a turma, os resultados obtidos pudessem ter sido mais profícuos.
46
47
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50
51
ANEXOS
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ANEXO 1
Teste diagnóstico
54
55
Teste diagnótico Duração:60m
Grupo I 1. Qual dos seguintes gráficos representam funções ? Explica o teu raciocínio
2. De uma função 𝑓 sabe-se que:
I) Df = IR+;
II) D′𝒇 = [−1 , 1];
III) A equação f(x) =1
2 admite uma, e uma só solução.
Represente uma possível representação gráfica de 𝑓.
Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação f(x) = k
admite exactamente duas soluções reais. Indique o conjunto de valores que k pode assumir.
3. Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade.
Explica o teu raciocínio.
I II III IV
Grupo II
1. A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o
fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês
necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico L seguinte mostra o lucro da Dona Joaquina (no
final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.
1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.
1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.
1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema
56
1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha lucro
nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).
1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer,
por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.
2. Considere a função g, de domínio IR, definida por g(x) =1
4x4 +
1
3x3 + 2x − 1.
O gráfico da função g , num referencial o.n. xOy, intersecta a reta de equação y = 5 em dois pontos.
Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.
Determine a área do triângulo [AOB], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
Na sua resposta deve:
• indicar as abcissas dos pontos A e B, arredondadas às centésimas;
• apresentar a área do triângulo [AOB ], com o arredondamento pedido.
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ANEXO 2
Questionário final de aula
58
59
QUESTIONÁRIOS DE AULA
Coloca um X na resposta que achares adequada:
Na resolução das tarefas que foram hoje propostas pelo professor, de que forma utilizaste a calculadora
gráfica:
1. Comecei por resolver as tarefas propostas com papel e lápis e, de seguida, utilizei a calculadora para verificar
se a minha resolução estava correta.
2. Comecei por desenvolver as tarefas com a calculadora e de seguida completei-as com papel e lápis.
3. Resolvi as tarefas apenas com a calculadora, pois foi impossível a resolução com papel e lápis. A calculadora gráfica ajudou-te na resolução das tarefas ? Como ? R:
60
61
ANEXO 3
Questionário
62
63
Caro(a) aluno(a),
No âmbito da unidade curricular Estágio Profissional, do 2.º ano do Mestrado em Ensino da Matemática, pretendo averiguar, através deste questionário, as perceções que os alunos de uma turma do 11.º ano de escolaridade têm sobre a utilização da calculadora gráfica na aprendizagem de tópicos da função racional. A informação recolhida será usada somente para fins académicos, comprometendo-me a assegurar o anonimato da mesma.
I. Dados pessoais
1. Idade: _____
2. Sexo: Masculino Feminino
3. Número de retenções durante o teu percurso escolar: ____________________________
4. Que anos escolares repetiste? ______________________________________________
5. Que classificação final obtiveste na disciplina de Matemática no 10.ºano? _______________
II. A calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais
Nas afirmações seguintes, assinala com uma cruz (x) o quadrado que mais se adequa ao teu grau de concordância tendo em consideração a seguinte escala:
DT: Discordo Totalmente; D: Discordo; I: Indiferente; CT: Concordo Totalmente. Afirmações DT D I C CT
1. Funções racionais é um tema da matemática que gostei de estudar.
2. No tema funções racionais evidenciei menos dificuldades do que noutros temas de matemática.
3. As tarefas propostas sobre o tema funções racionais despertaram o meu interesse pela matemática.
4. O tema funções racionais não é importante para a minha formação
5. Na aprendizagem de funções racionais recorri à calculadora gráfica para me ajudar na resolução das tarefas.
6. Costumo utilizar a calculadora gráfica com muita frequência nas minhas atividades de estudo fora das aulas.
7. A interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica desafiou os meus conhecimentos que adquiri no estudo do tema funções racionais.
8. A calculadora gráfica ajudou-me a estabelecer as definições e as propriedades de tópicos que estudei no tema funções racionais.
9. A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar os conceitos estudados no tema funções racionais.
10. A calculadora gráfica ajudou-me a desenvolver o meu espírito crítico.
11. O uso da calculadora gráfica levou-me a repensar os meus raciocínios.
12. Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei papel e lápis.
13. A calculadora gráfica dificultou a minha aprendizagem de tópicos de funções racionais.
14. Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei a calculadora gráfica.
15. Não precisei de utilizar a calculadora gráfica nas atividades que realizei no estudo do tema funções racionais.
16. Aprendi melhor os tópicos de funções racionais quando combinei papel e lápis com a calculadora gráfica.
64
III. Formas de utilização da calculadora gráfica no estudo do tema funções racionais
Coloca uma cruz (x) no(s) quadrado(s) que mais se adequa à tua opinião
1. No estudo de funções racionais utilizaste mais a calculadora gráfica para verificar a:
2. Na resolução das tarefas sobre funções racionais, na maioria das vezes…
3. Na resolução de algumas tarefas só usaste a calculadora gráfica porque:
4. Na resolução das tarefas, utilizaste a calculadora gráfica:
Na maioria das vezes.
IV. Aspetos positivos e negativos do uso da calculadora no estudo de funções racionais
Indica três aspetos postivos do uso da calculadora gráfica na tua aprendizagem de funções racionais:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Continuidade Paridade Monotonia
Raízes Assíntotas Sinal
Comecei por resolver as tarefas com papel e lápis e, de seguida, utilizei a calculadora para verificar se a minha resolução estava correta.
Comecei por resolver as tarefas com a calculadora e de seguida completei-as com papel e lápis.
Resolvi as tarefas apenas com a calculadora, não sabia resolver de outra forma.
Outra situação. Qual ________________________________________________
Ajudou a compreender o que a tarefa pedia.
Era mais fácil chegar à solução.
Era mais rigoroso.
Facilitava os cálculos.
Outra situação. Qual ? ________________________________________________________
Sempre que tive dúvidas sobre a minha resolução com papel e lápis.
Apenas quando o enunciado da tarefa mencionava o seu uso.
Poucas vezes pois confio mais na minha resolução analítica.
Outra situação. Qual ? ________________________________________________________
5. No estudo de uma função racional ou do seu gráfico tiveste dificuldades no estudo de:
Continuidade Paridade Domínio
Raízes Sinal Contradomínio Assíntotas Monotonia Restrição e prolongamento
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ANEXO 4
Guião de entrevista
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67
A entrevista foi realizada a 6 estudantes de diferentes níveis de desempenho no sentido
de recolher informações relativas às suas perceções sobre o uso da calculadora gráfica.
Guião de Entrevista A. Dados pessoais sobre a disciplina de matemática
1. Como foi o seu percurso escolar? Já repetiste algum ano? Se sim, qual?
2. Como te descreves como aluno(a) na disciplina de Matemática? Como foi o teu percurso
escolar nesta disciplina?
3. Qual a importância que atribuis à disciplina de Matemática para a tua formação?
4. Quais os temas que mais gosta em Matemática? Porquê? E quais os que menos gostas?
Porquê?
5. Qual foi a tua classificação no final do 10.º ano na disciplina de Matemática? E no final do 1.º e 2.º
períodos deste ano?
B. Utilização da calculadora gráfica
1. Desde quando é que tens uma calculadora gráfica? Aprendeste a trabalhar com ela nas aulas ou
em casa? Foi complicado?
2. Sentes-te à vontade a trabalhar com a calculadora gráfica ou sentes dificuldade em alguns
aspetos? Quais?
3. Com que finalidade(s) costumas usar a calculadora?
4. No tema das funções racionais, a utilização da calculadora ajudou-te a compreender melhor a
matéria? Porquê?
5. Quando podes escolher um modo de resolução de um problema, preferes recorrer ao modo
gráfico ou analítico? Porquê?
6. De que forma usaste a calculadora gráfica na resolução das tarefas relativas a funções
racionais?
7. Na questão X, resolverias o exercício analiticamente ou utilizavas a calculadora gráfica para te
ajudar na resolução?
8. Quais foram as maiores dificuldades que sentiste no tema de funções racionais?