Http:// ESTRUTURA DE DADOS I Christiano Lima Santos

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ESTRUTURA DE DADOS I

Christiano Lima Santos


Tipos de Dados eTipos Abstratos de Dados

(Aula 1)



Sumário

Motivação Tipos de Dados Operações Tipos Primitivos ou

Escalares– Tipos Inteiros– Tipos Reais– Tipos Lógicos– Tipo Caracter– Funções Para

Conversão

Tipos Coleções ou Não-Escalares

– Tipo Vetor– Tipo Registro– Tipo Conjunto

Tipos Abstratos de Dados

Alocação de Memória Vantagens e

Desvantagens da Alocação Dinâmica


Motivação

Por que estudar os tipos de dados?

Duas são as principais preocupações em um projeto de software– Os procedimentos a serem executados;– Os dados sobre os quais os procedimentos

atuam;


Motivação

“Estruturas de Dados” busca descrever modelos de estruturas de dados e procedimentos– Exemplos: Arrays, Registros, Listas, Pilhas, Filas

e Árvores, etc.


Motivação

Os tipos de dados e operações determinam as estruturas de dados– Exemplo: em uma pilha ou fila você possui

operações push e pop para colocar e retirar elementos dela;

A forma como os dados são inseridos ou removidos é que difere uma estrutura da outra!


Tipos de Dados

Define a forma como um dado deve ser armazenado ou recuperado, bem como os possíveis valores que ele pode assumir ou as operações que podem ser efetuadas sobre os mesmos

– Exemplo em Pascal: integer permite valores inteiros e operações de adição,

multiplicação, subtração e divisão; string permite valores literais e operações de concatenação;


Tipos de Dados

Primitivos, derivados ou coleções;– Os principais tipos primitivos são: inteiro, real,

lógico, caracter, ponteiro;

Estáticos ou dinâmicos (instanciados em tempo de execução);


Operações

Um conjunto de instruções a fim de manipular um determinado tipo de dado a fim algum objetivo;

– Criação (declaração)– Percurso– Busca– Alteração– Retirada– Inserção (em tipos dinâmicos)


Tipos Primitivos ou Escalares

Inteiro (integer, longint, etc.);

Real (real, double, etc.);

Lógico (boolean);

Caracter (char);


Tipos Inteiros

Operações numéricas contidas no conjunto dos números inteiros:– Soma, subtração, multiplicação, divisão inteira,

resto da divisão;

Permitem comparações de igualdade e/ou de desigualdade;


Tipos Reais

Satisfaz as operações e comparações possíveis com tipos inteiros;

Operações numéricas contidas no conjunto dos números reais:– Soma, subtração, multiplicação, divisão;


Tipos Lógicos

Permite operações lógicas (booleanas):– E, OU, NÃO;

Deve-se ter muito cuidado na construção de expressões lógicas– Quanto maiores elas são, maiores as chances de

cometermos equívocos.


Tipo Caracter

Permite a representação de um único caracter;

Operações de igualdade e desigualdade;

Por ser armazenado internamente como um valor inteiro, podemos fazer um “casting” e efetuar outras operações.


Funções para conversão

De real para inteiro:– Trunc, Floor, Ceil, Round;

De caracter para inteiro:– Ord;

De inteiro para caracter:– Char;

Obs: Dependendo de quais os tipos/classes envolvidos, podemos efetuar “typecasting”;


Tipos Coleções ou Não-Escalares

Vetor;

Registro;

Conjunto.


Tipo Vetor

Coleção de dados homogênea indexada que pode ser acessada por meio de um índice numérico;

var v = array [1..5] of integer;

v[3];


Tipo Registro

Coleção de dados heterogênea cujas informações podem ser acessadas por meio de um campo;

var r = recordc1: integer;c2: boolean;

end;

r.c1;


Tipo Conjunto

Coleção de objetos (ou informações) correlatos que podem estar presentes ou não em um dado momento;

var c = set of (V1, V2, V3);

c := [V1, V2]; V1 in c;



Segundo a Wikipédia:– Especificação de um conjunto de dados e

operações que podem ser executadas sobre esses dados;

Exemplo:– Quando usamos arrays e registros para criar uma

estrutura de dados em vez de usar variáveis de tipos primitivos.



Vetores, registros e conjuntos são interessantes...– ... Mas há um problema, são estáticos!

O que acontece se eu tiver um vetor de 5 posições e precisar de outras 1000?

E se meu vetor tiver 100000 posições e eu somente uso 5, isso é bom?


Alocação de Memória

Alocação estática Variável alocada ocupa espaço fixo e contíguo na memória;

Alocação dinâmica Variável alocada ocupa espaço variável e é criada segundo a necessidade do programa.


Vantagens e Desvantagens da Alocação Dinâmica

Se alocamos dinamicamente, podemos aumentar e diminuir o tamanho de nossa estrutura quando quisermos!

Entretanto, necessitaremos de mais algumas operações para buscar, inserir e/ou remover informações;

Além disso, um array (estático) de vinte posições geralmente ocupa menos espaço que uma lista cujos elementos foram criados um a um dinamicamente.


Referências Bibliográficas

[Não foram definidas]


Matrizes(Aula 2)



Sumário

Definição e Representação de Matrizes

Compactação de Matrizes– Matrizes Diagonais– Matrizes Triangulares– Matrizes Esparsas



Na Matemática, uma matriz pode ser considerada um conjunto de informações numéricas que podem ser referenciadas por meio de dois parâmetros, comumente chamados linha e coluna;

A =1 2 3 42 0 3 10 1 2 5



Na Computação, podemos representar as matrizes matemáticas por meio de estruturas conhecidas como vetores ou arrays, onde cada posição/valor pode ser referenciada por um ou mais parâmetros (dependendo da quantidade de dimensões de nosso vetor);

var A = array [1..3, 1..4] of real;



Enquanto que na Matemática uma matriz possui sempre duas dimensões, na Computação podemos chamar qualquer vetor de matriz, podendo assim ter uma ou mais dimensões;

– Matrizes unidimensionais;

– Matrizes bidimensionais;

– Matrizes n-dimensionais.


Compactação de Matrizes

Quanto memória ocupa uma matriz 5000 x 5000 de reais?– Um valor real = 4 bytes;– Aproximadamente 100 MB!

E se somente alguns poucos elementos da matriz fossem diferentes de zero, poderíamos reduzir o tamanho dela?


Compactação de Matrizes

Como representar de forma compactada:

– Matrizes Diagonais;

– Matrizes Triangulares;

– Matrizes Esparsas;


Matrizes Diagonais

Os elementos da diagonal de uma matriz são: a[1,1], a[2,2], a[3,3], ... a[n,n];

Podemos armazená-los, então, em uma matriz unidimensional de n elementos.


Matrizes Triangulares

Podem ser superior ou inferior;

Podemos armazenar todos os elementos da parte triangular em uma matriz unidimensional de m elementos (inclui os elementos da diagonal).


Matrizes Esparsas

Podem ser n-dimensionais;

Podemos armazenar somente os elementos diferentes de zero em uma matriz unidimensional;

Problemas:– Como saber qual o índice de cada elemento na matriz?

Armazenar também o índice (tupla índice-valor);– E se um dos elementos for alterado para um valor não-

nulo? Deve-se reservar algumas posições vazias para o caso de

incluir novos elementos.


Exercícios

De volta às aulas? De volta aos jogos. Vamos criar um simulador de exploração espacial (modo texto,

claro)! Crie um universo que possa ser “navegado tridimensionalmente” por meio da indicação de três coordenadas X, Y e Z, onde o jogador precisa pilotar uma nave até um dos planetas existentes.

– O sistema de coordenadas de nosso “universo” vai de 0 a 4100 (para cada coordenada);

– Temos um total de 100 planetas no espaço;– Para facilitar para o jogador, cada vez que ele indicar as

coordenadas, dizer quão longe ele está do planeta mais próximo;– O jogo encerra quando ele encontrar um dos planetas;– Os planetas são criados em posições aleatórias a cada vez que é

gerada uma nova partida;– E há um total de combustível para o jogador, o qual é consumido

de acordo com a distância percorrida!



VELOSO, Paulo, SANTOS, Clésio, AZEREDO, Paulo, FURTADO, Antônio, Estruturas de Dados, Editora Campus Ltda


Recursividade(Aula 3)



Sumário

Definição de Recursão Exemplo de Recursão Recursão versus Iteração Observações Referências Bibliográficas


Definição de Recursão

Possibilidade de um objeto buscar definir-se em função dele próprio;

Na Computação, um método é recursivo quando ele invoca a si próprio a fim de resolver um problema;


Definição de Recursão

Na Matemática, podemos encontrar claramente a recursividade na resolução de problemas por meio de recorrência;

– Fatorial de um número;

– Potenciação;

– Seqüência de Fibonacci.


Exemplo de Recursão

Recorrência para encontrar um elemento da seqüência de Fibonacci:– x1 = 1;

– x2 = 1;

– xn = xn-1 + xn-2;


Exemplo de Recursão

Função em Pascal:

function fibonacci(n: integer): integer;

begin

if (n < 1) then

fibonacci := 0

else if (n <= 2) then

fibonacci := 1

else

fibonacci := fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);

end;


Recursão versus Iteração

Iteração na definição de algoritmos – cada um dos “passos”/repetições de um comando de repetição (“loop”);

Diversos problemas resolvidos de forma recursiva podem ser resolvidos de forma iterativa;

– Chamadas recursivas precisam salvar o “contexto” atual da execução do programa a fim de recuperá-lo após a execução de cada chamada recursiva;

– A implementação do cálculo do fatorial de forma iterativa, por exemplo, consome menos memória e processamento.


Recursão versus Iteração

Por outro lado, há problemas que não podem ser resolvidos de forma iterativa;

– Percorrer uma árvore para encontrar um elemento, por exemplo;

Além disso, recursão é muito útil na resolução de diversos problemas que possam se beneficiar do “dividir-para-conquistar”, exemplos:

– Ordenação por meio de quicksort ou mergesort;– Programação dinâmica;– Diversas técnicas de busca em grafos.


Observações

Quando escrevendo funções recursivas, atente-se a:– Ordem em que cada comando deve aparecer dentro da

função – o resultado final pode ser totalmente diferente se trocarmos duas linhas de código de lugar!

– Definição de todos os casos base – se esquecermos de definir um dos casos base e o algoritmo procurar por ele em algum momento, ele não saberá que é um caso de parada e continuará a sua execução, talvez indefinidamente!

– Cuidado com a passagem de parâmetros por valor ou por referência.



COSTA, Raimundo M, Programação Pascal, 1995

WIKIPÉDIA, Recursividade em Ciência da Computação, disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Recursividade_(ciência_da_computação)


Noções de Complexidade de Algoritmos(Aula 4)



Sumário

Motivação Alguns Mitos Como Medir a Eficiência de

um Algoritmo?– Avaliação Empírica– Contagem do Número de

Operações Efetuadas– Determinação da

Complexidade Assintótica de um Algoritmo

Notação O Notação Ω Notação θ

Principais Classes de Comportamento Assintótico

– Tabela Comparativa das Principais Classes

Os “Três Casos”– O Melhor Caso– O Pior Caso– O Caso Médio

Calculando a Complexidade para cada Caso



Motivação

Quais os dois recursos de hardware mais importantes para a execução de um algoritmo?– Tempo de processamento;– Quantidade de memória consumida;

Devemos, então, observar quanto de cada recurso nossos algoritmos consomem;– Temos que medir quanto de cada recurso nossos

programas utilizam!


Motivação

Um exemplo bem simples é o caso de dois programas que precisam fazer a ordenação de um grande conjunto de dados:– Cada qual deles pode usar uma abordagem bem

diferente do outro;– Desta forma, cada qual pode resolver o problema

com mais ou menos tempo, ocupando mais ou menos memória;

– Como exímios Cientistas da Computação, buscamos sempre compreender e trabalhar com a melhor solução possível!


Alguns Mitos

Basta um computador mais rápido para resolver o problema;

– Pena que até mesmo um grande cluster com dezenas de computadores não conseguem resolver eficientemente alguns problemas somente por “força bruta”;

Ninguém efetua cálculo de complexidade ou busca de solução mais eficiente em um sistema!

– É, se você considerar somente os sistemas do tipo “controle de locadora”, pois sistemas de tempo real, simulações físicas, sistemas para cálculos estatísticos e estimativas razoavelmente pesadas e tantos outros precisam!


Alguns Mitos

Por que eu tenho que aprender sobre isso? Eu posso simplesmente contratar alguém!– Pois é, que tal alguém da área de Computação?

Ei, esse alguém é você!


Como Medir a Eficiência de um Algoritmo?

Avaliação empírica (medir o tempo de execução);

Contagem do número de operações efetuadas;

Determinação da complexidade assintótica de um algoritmo;


Avaliação Empírica

Experimento 1: Verificar o tempo que dois programas levam para efetuar uma busca em um array e recuperar um dado;

– Primeiro programa: 750 ns;– Segundo programa: 600 ns;

Qual programa é mais eficiente?– E se o primeiro foi executado em um core duo de 2,4 GHz

cada, e o segundo em um 486 DX2?– E se ambos foram executados na mesma máquina, mas o

segundo executou em paralelo com algum outro programa?– Somente por avaliação empírica, conseguimos ter certeza de

qual o programa mais eficiente?


Considerações sobre a Avaliação Empírica

Em meu supercomputador o programa “rodou” normal...– ... Mas nos computadores do cliente não!

Programas podem possuir “casos especiais” para alguns tipos de casos

– Deve-se então aumentar o número de casos de testes tentando cobrir o maior número possível de situações;

Em uma dada linguagem, um programa pode ser mais eficiente do que quando implementado em outra linguagem;

– Não estamos analisando o algoritmo em si, mas somente o programa!


Contagem do Número de Operações Efetuadas

Experimento 2: Dado o algoritmo abaixo, vamos contar quantas operações são necessárias para calcular fatorial(5):

function fatorial (n: integer): longint;var f, i: integer;begin

if (n < 0) thenf := -1

elsebegin

f := 1;for i := 1 to n do

f := f*i;end;fatorial := f;

end;


Contagem do Número de Operações Efetuadas

No algoritmo anterior:– fatorial(1) 5 operações;– fatorial(5) 13 operações;– fatorial(10) 23 operações;– fatorial(n) 2*n + 3;

Perceba que para calcular o fatorial de um número N qualquer, vamos executar 2*N operações, ou seja, um número de operações diretamente proporcional;


Considerações do Número de Operações Efetuadas

Em Computação, geralmente não nos preocupamos com a eficiência do algoritmo quando tratando poucos elementos

– Se são poucos, por pior que nosso algoritmo seja, provavelmente ele executará rápido e sem ocupar muito espaço!

– 2*n + 3 operações parecem piores que n2 operações para n = 0, 1 ou 2;

Entretanto, quanto maior o número de elementos ou o valor do dado de entrada...

– Para n = 1.000, 2*n + 3 é 2003;– Mas e se nosso algoritmo executasse n2 operações? 1.000.000!


Determinação da Complexidade Assintótica de um Algoritmo

Definição de Complexidade– Quantidade de "trabalho" necessária para a execução de

um algoritmo, expressa em função das operações fundamentais, as quais variam de acordo com o algoritmo, e em função do volume de dados;

Complexidade Assintótica– Trata-se de uma função que expressa a relação entre o

volume de dados ( n ) e o tempo ( t ) necessário para o processamento dos mesmos;

– No algoritmo do experimento 2, poderíamos dizer que:f(n) = 2*n + 3


Determinação da Complexidade Assintótica de um Algoritmo

Notações O (“O Grande”), Ω (Omega) e θ (Theta);

Obs: Funções assintoticamente não-negativas;


Notação O

Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = O(g) ) se:

f(n) ≤ c * g(n)Para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.g(n) é, então, o limite assintótico superior (upper bound) de f(n)

Exemplos:3x2 + 5 = O ( x2 )x3/2 = O ( x3)1 + 2 + 3 + ... + x = O ( x2 )


Notação Ω

Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = Ω(g) ) se:

f(n) ≥ c * g(n)Para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.g(n) é, então, o limite assintótico inferior (lower bound) de f(n)

Exemplos:3x3 + 5 = Ω ( x2 )x3/2 = Ω ( x3/3)


Notação θ

Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = θ(g) ) se:

f(n) ≥ c1 * g(n) e f(n) ≥ c2 * g(n)

Para algum c1 e c2 positivos e para todo n suficientemente grande.

Exemplo:

3x3+ 5 = θ ( x3 )



O (1) : O uso do algoritmo independe do tamanho de n. Neste caso as instruções do algoritmo são executadas um número fixo de vezes;

O (log n): ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem um problema transformando-o em problemas menores;

O (n): linear – Um conjunto de operações de tamanho constante é aplicado a cada elemento da entrada;

O (n log n): Ocorre em algoritmos que resolvem um problema quebrando-o em problemas menores, resolvendo cada um deles independentemente e depois juntando as soluções;



O (n2): quadrático. Algoritmos desta ordem de complexidade ocorrem quando os itens de dados são processados aos pares, muitas vezes em um loop dentro de outro. Úteis para resolver problemas de tamanhos relativamente pequenos;

O (nk): polinomial – OK para k pequeno; O (kn), O (n!), O (nn): exponencial – Geralmente não são

úteis sob o ponto de vista prático. Eles ocorrem na solução de problemas quando se usa força bruta para resolvê-los.


Tabela Comparativa das Principais Classes

CLASSE NOTAÇÂO O n=10 n=100 n=1000 ... n=1000000constante O(1) 1 1 1 1

logaritmico O(lg n) 3,32 6,64 9,97 19,93linear O(n) 10 100 1000 1000000

O(n lg n) O(n lg n) 33,2 664 9970 199,3*10 5̂quadrático O(n²) 100 10000 1000000 10 1̂2

cúbico O(n³) 1000 1000000 10 9̂ 10 1̂8exponencial O(2^n) 1024 10 3̂0 10 3̂01 10 3̂01030


Os “Três Casos”

Para qualquer algoritmo, sempre há situações em que ele resolverá de forma muito rápida e outras em que “nem tanto”;

– Exemplo: ordenação dos dados de um vetor Se ele já estiver ordenado? Ótimo! E se os dados estiverem em ordem inversa? Dependendo do

algoritmo, pode ser muito ruim;

Desta forma, para determinar a eficiência de um algoritmo, precisamos conhecer a sua complexidade para o melhor caso, o pior caso e o caso médio.


Melhor Caso

Caso para o qual o algoritmo executa da melhor forma possível:– Menor número de instruções;– Menor tempo de processamento necessário;– Menor consumo de memória.


Pior Caso

Ao contrário do melhor caso, este é o caso para o qual o algoritmo executa da pior forma possível;


Caso Médio

A complexidade para o caso médio é dada por meio de cálculo tempo médio esperado para a resolução de um problema qualquer, independente de como os dados estão (se ordenados ou não, etc);


Calculando a Complexidade Para Cada Caso

Geralmente, é necessário conhecer qual o volume de dados que atende a cada um dos casos e, então, busca-se definir a função matemática que expressa o número de operações necessárias para cada caso;

No caso de algoritmos recursivos, deve-se determinar primeiro a fórmula de recorrência capaz de expressá-los e, então, “resolvê-la”.



MADEIRA, Gonçalo, Complexidade Computacional, disponível em http://w3.ualg.pt/~hshah/algoritmos/aula8/Aula8.htm

SILVA, Elton, Análise Assintótica da Complexidade de Algoritmos, disponível em http://www.decom.ufop.br/prof/elton/cic210/cap2.pdf


Exercícios Sobre Matrizes, Recursividade e Complexidade de Algoritmos

(Aula 5)



Primeiro Exercício

Implemente um programa capaz de armazenar e recuperar dados de uma matriz triangular inferior;

Qual a ordem de complexidade desse algoritmo para:

– Armazenar n elementos;– Para recuperar um elemento qualquer, dada a sua posição

na matriz inicial;– Para buscar a posição de um elemento qualquer, dado o

valor do elemento;

Você consegue identificar quais são os casos pior, médio e melhor?


Segundo Exercício

Implemente um programa que localiza uma substring dentro de outra string;

Qual a ordem de complexidade desse algoritmo para:

– Encontrar uma letra em uma frase de tamanho N;– Encontrar uma palavra de tamanho K em uma frase de

tamanho N;

Você consegue identificar quais são os casos pior, médio e melhor?


Terceiro Exercício

Implemente um programa que armazena os telefones armazenados em ordem alfabética de acordo com os nomes das pessoas seguindo a seguinte “fórmula”:

– Toda vez que for inserir um novo telefone, procura qual será a posição correta dele e, para inseri-lo ali, move antes todo mundo daquela posição em diante para uma após e, então, copia seus dados para lá (inserção direta);

Qual a ordem de complexidade deste algoritmo? Você consegue identificar quais são os casos pior,

médio e melhor?


Quarto exercício

Implemente a função de potenciação de forma recursiva;

Qual a complexidade deste algoritmo?

Faça uma comparação das vantagens e desvantagens desta implementação em relação à iterativa.


Ponteiros e Alocação Dinâmica(Aula 6)



Sumário

Motivação; Definição de ponteiro; Tipos de ponteiro; Apontando para um endereço nulo; Apontando e recuperando uma variável; Apontando e Invocando um Subprograma; Alocação Dinâmica de Memória; Alocando e desalocando memória; Referências Bibliográficas.


Motivação

Por que estudar alocação dinâmica se podemos criar todas as estruturas de forma estática?

O que acontece em um programa com alocação estática quando precisamos de estruturas maiores do que as que foram criadas?

Ponteiros e alocação dinâmica permite-nos criar diversos Tipos Abstratos de Dados;

– É fácil criá-los somente com alocação estática? Como seria?


Definição de ponteiro

Tipo de variável que “aponta” para um outro endereço de memória;

O conteúdo de uma variável ponteiro é o endereço de memória para o qual está apontando;

Um ponteiro pode referenciar e “des-referenciar”;


Definição de ponteiro

Um ponteiro pode apontar para:

– Uma área com informação (uma variável ou conteúdo de uma variável);

– Uma rotina (procedimento ou função);

– Endereço nulo.


Tipos de Ponteiro

Tipado – irá interpretar o dado do endereço referenciado segundo o seu tipo;– Declaração:

var p : înteger;

Não-Tipado – não está associado a um tipo, logo, é necessário fazer o typecasting da informação referenciada a fim de acessá-la;– Declaração:

var p : Pointer;


Apontando para um endereço nulo

Em Pascal, nil representa um endereço nulo que qualquer ponteiro pode apontar;

ponteiro := nil;

if ponteiro = nil then

writeln(‘Não está apontando’)

else

writeln(‘Está apontando para ’, ponteiro);


Apontando e Recuperando uma variável

program ponteiro1;uses crt;var p: înteger; a: integer;BEGIN a := 12; p := @a; writeln(‘O endereço de a é: ’, p); writeln(‘O valor de a é: ’, p^); p^ := 6; writeln(‘O novo valor de a é: ’, p^, ‘. Confirmando: ’, a); readkey;END.


Apontando e Invocando um Subprograma

program ponteiro2;uses crt;var D: procedure(Arg: Byte);procedure rotina1(Arg: Byte);Begin writeln('Rotina 1 recebeu ', Arg);end;procedure rotina2(Arg: Byte);Begin writeln('Rotina 2 recebeu ', Arg);end;

BEGIN D := @rotina2; D(10); { Irá imprimir: 'Rotina 2 recebeu 10' }END.


Alocação Dinâmica de Memória

É a criação (reserva) de um endereço de memória para uma dada variável do tipo ponteiro;

Geralmente, quando alocamos dinamicamente um endereço de memória, devemos desalocá-la (na alocação estática, o compilador é encarregado disso).


Alocando e Desalocando Memória

program ponteiro3;uses crt;var p: înteger;BEGIN new(p); p^ := 12; writeln(‘Endereço apontado: ’, p); writeln(‘Valor armazenado: ’, p^); readkey; dispose(p);END.

Não confunda nil com new!



Blog de João Morais, http://blog.joaomorais.com.br/2008/08/23/ponteiros.html

http://www2.dc.ufscar.br/~bsi/materiais/ed/u7.html


Listas(Aula 7)



Sumário

Definição de Lista Características Tipos de Implementação

– Lista Seqüencial– Lista Encadeada ou Dinâmica

Outros Tipos de Listas

Implementação de uma Lista Referências Bibliográficas


Definição de Lista

TAD que permite representação e manipulação de seus elementos de forma linear;

Também chamada lista linear;

L e1, e2, ... , en;


Características

Uma coleção de dados homogênea;

Itens dispostos em seqüência;

Quantificável;

Ordenável;


Tipos de Implementação

Seqüencial

Encadeada ou Dinâmica


Lista Seqüencial

Os itens são armazenados em posição contígua na memória;

Podem ser implementadas por meio de um array!

O programa executa um determinado cálculo para encontrar a posição na memória em que se encontra o elemento ei;


Lista Encadeada ou Dinâmica

A lista cresce dinamicamente, isto é, cada novo elemento é criado e inserido nela em tempo de execução;

Se é criado em tempo de execução, precisamos usar ponteiros... Onde estará o ponteiro para cada elemento?

– Cada elemento possui o ponteiro para o próximo elemento;

Listas podem ser encadeadas, duplamente encadeadas ou n-uplamente encadeadas (só depende de sua criatividade)!


Outros Tipos de Listas

Podemos precisar de listas que satisfaçam certas restrições quanto à forma de recuperar um elemento ou de inserção do mesmo;

– Pilhas;

– Filas.


Implementação de uma Lista

Lista Seqüencialvar lista: array [1..N] of integer;

Lista Encadeadatype PNo = ^TNo; TNo = record

valor: integer;proximo: PNo;

end;var lista: TNo;





Buscas em Listas(Aula 8)



Sumário

Definição de Busca Tipos de Busca Busca Seqüencial

– Implementação– Complexidade

Busca Binária– Implementação– Complexidade

Busca Interpolada– Implementação– Complexidade

Comparando os Três Métodos



Definição de Busca

Operação de percurso de uma estrutura de dados e recuperação de uma informação baseado em algum campo-chave;

Recuperação de informações em uma lista é uma operação importante e o tempo que operações de inserção, remoção e busca levam para serem processadas afetam diretamente a eficiência de um algoritmo.


Tipos de Busca

Busca Seqüencial baseia-se no percurso de todos os elementos de uma lista de forma seqüencial;

Busca Binária baseia-se no percurso dos elementos de uma lista levando em consideração o valor de chave esperado e o valor encontrado;

Busca Interpolada similar à busca binária, introduz cálculo de próxima posição a ser verificada levando em consideração os valores dos “elementos-limite”.


Busca Seqüencial

“Se você não sabe por onde começar, comece pelo começo”;

Não se conhece uma ordenação dentro da lista;

Somos forçados a verificar um por um.


Busca Seqüencial - Implementação

function buscaSeq(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;var i : integer;Begin

For i := 1 to tamanho doIf lista[i] = chave thenBegin

buscaSeq := i;exit;

End;buscaSeq := -1;

End;


Busca Seqüencial - Complexidade

Qual a complexidade para:

– O melhor caso;

– O pior caso;

– O caso médio.


Busca Binária

Quando os elementos de uma lista estão ordenados segundo um campo-chave, podemos tirar proveito disso;– O primeiro elemento é o menor;– O último elemento é o maior;– O elemento do meio... é o do meio!


Busca Binária

Suponha uma lista com valores ordenados de forma crescente; Dado um intervalo [A, B] (inicialmente, A é 1 e B é o tamanho

da lista), calculo um elemento X = floor((A + B) / 2); Se lista[X] é o valor que procuro, retorno a posição / elemento

encontrado; Senão, se lista[X] é maior que o valor que procuro, então devo

olhar o intervalo que possui os valores menores que lista[X], ou seja, [A, X-1];

Senão, se lista[X] é menor que o valor que procuro, então devo olhar o intervalo que possui os valores maiores que lista[X], ou seja, [X+1, B];

Repito todo o processo até encontrar (ou não!) o elemento.


Busca Binária - Implementação

function buscaBin(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;var A, B, X: integer;Begin

A := 1;B := tamanho;While (A <= B) doBegin

X := floor( (A + B) / 2);If lista[X] = chave thenBegin

buscaBin := X;exit;

EndElse If lista[X] < chave then

A := X + 1Else

B := X - 1;

End;buscaBin := -1;

End;


Busca Binária - Complexidade


– O melhor caso;

– O pior caso;

– O caso médio.


Busca Interpolada

Similar à busca binária, leva em conta a ordenação dos dados de uma lista;

Entretanto, em vez de “olhar” sempre o elemento mediano, efetua um cálculo que busca estimar onde o elemento desejado deve estar.


Busca Interpolada

Se tenho uma lista ordenada crescente com 50 elementos, o primeiro é o 1 e o último é o 1000, onde provavelmente estará o 999?

– Próximo do início;

– No meio;

– Próximo do fim.


Busca Interpolada

Basta mudar o cálculo do termo X:

X := 1 + floor((tamanho - 1)*(chave – lista[A])/(lista[B] – lista[A]));


Busca Interpolada - Implementação

function buscaInterp(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;var A, B, X: integer;Begin

A := 1;B := tamanho;While (A <= B) doBegin

X := 1 + floor((tamanho - 1)*(chave – lista[A])/(lista[B] – lista[A]));If lista[X] = chave thenBegin

buscaInterp := X;exit;

EndElse If lista[X] < chave then

A := X + 1Else

B := X - 1;

End;buscaInterp := -1;

End;


Busca Interpolada - Complexidade


– O melhor caso;

– O pior caso;

– O caso médio.


Comparando os Três Métodos

Em que ocasiões o busca seqüencial é melhor?

O que é melhor: busca interpolada ou busca binária?

E se na busca binária / interpolada comparássemos também os valores dos extremos com o valor da chave, melhoraríamos a eficiência?





Listas Encadeadas(Aula 9)



Sumário

Definição de Lista Encadeada Listas Encadeadas Estáticas Listas Encadeadas Dinâmicas Listas Encadeadas Simples Operações em Listas Encadeadas Definindo nossa Lista Encadeada Inserção na Lista Encadeada Busca na Lista Encadeada Remoção na Lista Encadeada Referências Bibliográficas


Definição de Lista Encadeada

Toda lista linear onde cada elemento (geralmente chamado nó) possui algum apontador para o próximo elemento;

Esse encadeamento produz a estrutura linear da lista.

| | |...


Lista Encadeadas Estáticas

Alguns autores consideram a possibilidade de listas encadeadas criadas de forma estática;

Exemplo de lista encadeada não dinâmica;

O apontadores são inteiros.

0 4

1 Carlos 5

2 Erica -1

3 Beth 1

4 Ana 3

5 Davi 2


Listas Encadeadas Dinâmicas

Permitem a inserção de novos elementos com menos restrições quanto à posição (não precisa ser contígua) ou quantidade.


Listas Encadeadas Simples

Cada nó possui um único apontador para o próximo nó;

Para fins de facilitar a inserção, alteração (quando ordenada), remoção e busca pelo valor presente em um nó qualquer da lista, podemos eleger um campo (ou atributo) do nó para ser o campo-chave do mesmo;

Podem ser implementadas com listas seqüenciais ou dinâmicas.


Operações em Lista Encadeada

Criação;

Inserção;

Busca / Recuperação;

Remoção.


Definindo Nossa Lista Encadeada (opção 1)

type PNo = ^TNo;

TNo = record

valor: integer;

proximo: PNo;

end;

TLista = PNo;


Definindo Nossa Lista Encadeada (opção 2)

type PNo = ^TNo; TNo = record

valor: integer;proximo: PNo;

end;TLista = record

primeiro: PNo;ultimo: PNo;tamanho: integer;

end;


Inserção na Lista Encadeada

//Inserção no fim da Listaprocedure inserirFim(var a: TLista; var v: integer);var p, t: PNo;Begin

new(p);p^.valor := v;p^.proximo := nil;if a = nil then

a := pelsebegin

t := a;while (t^.proximo <> nil) do

t := t^.proximo;t^.proximo := p;

end;end;



//Inserção no início da Listaprocedure inserirInicio(var a: TLista; var v: integer);

var p, t: PNo;

Begin

new(p);

p^.valor := v;

p^.proximo := a;

a := p;

end;



//Inserção ordenadaprocedure inserirOrdenado(var a: TLista; var v: integer);var p, t: PNo;Begin

new(p);p^.valor := v;p^.proximo := nil;if a = nil then

a := pelse if a^.valor >= v thenbegin

p^.proximo := a;a := p;

endelsebegin

t := a;while ((t^.proximo <> nil) && ((t^.proximo^).valor < v)) do

t := t^.proximo;if (t.proximo = nil) then

t^.proximo := pelsebegin

p^.proximo := t^.proximo;t^.proximo := p;

end;end;

end;


Busca na Lista Encadeada

//Busca Seqüencialfunction buscaSeq(a: TLista; v: integer): PNo;

var t: PNo;

Begin

t := a;

while ((t <> nil) && (t^.valor <> v))

t := t^.proximo;

buscaSeq := t;

End;


Busca na Lista Encadeada

Em Listas Encadeadas Dinâmicas, Busca Binária ou Interpolada, é possível? Há vantagens em seu uso em relação à Busca Seqüencial?


Remoção na Lista Encadeada

Como seria a remoção de um elemento em uma lista encadeada? E a remoção de todos os elementos?

No caso de remoção de um elemento (e), tomar o cuidado para garantir que o anterior (t) dele passe a apontar para o sucessor dele (t.proximo := e.proximo);

No caso de remoção de todos os elementos, a idéia é percorrer todos os elementos da lista, removendo-os (dispose);

Cuidado para não remover um elemento antes de guardar a referência para o próximo como saber quem é o próximo elemento de um elemento que não mais existe?





Pilhas & Filas(Aula 10)



Sumário

Definição de Pilha– Exemplo de Pilha no Mundo Real– Implementação de uma Pilha

Definição de Fila– Exemplo de Fila no Mundo Real– Implementação de uma Fila

Exercícios Referências Bibliográficas


Definição de Pilha

Toda lista linear onde o último elemento a entrar é o primeiro a sair (ou o primeiro a entrar é o último a sair, FILO);

Para satisfazer esta condição, basta que a inserção e remoção sejam feitas na mesma extremidade da lista (head);– Obviamente, não é necessário ordenar;


Exemplo de Pilha no Mundo Real

Um baralho de cartas, colocadas uma a uma sobre a mesa, umas sobre as outras, formando um monte;

A carta mais ao topo (a primeira a ser removida) foi a última a ser colocada sobre o monte;


Implementação de uma Pilha

type PNo = ^TNo; TNo = record valor: integer; proximo: PNo; end; TPilha = record head: PNo; end;

function push(var pilha: TPilha; valor: integer): Boolean;

function pop(var pilha: TPilha): integer;


Implementação de uma Pilha

Push: Nada mais é que o nosso método inserirInicio!

Pop: Como devemos inserir e remover da mesma extremidade da lista, devemos então remover do início, devolvendo então o valor daquele elemento.


Implementando o Método Push

function push(var pilha: TPilha; valor: integer): Boolean;var p, t: PNo;Begin

new(p);p^.valor := v;p^.proximo := pilha.head;pilha.head := p;

push := true;end;


Implementando o Método Pop

function pop(var pilha: TPilha): integer;var p: PNo;Begin

if (pilha.head = nil) thenpop := -1

elsebeginp := pilha.head;pilha.head := pilha.head^.proximo;pop := p^.valor;dispose(p);end;

end;


Definição de Fila

Toda lista linear onde o primeiro elemento a entrar é o primeiro a sair (FIFO);

Para satisfazer esta condição, basta que a inserção seja feita em uma extremidade (tail) da lista e a remoção seja feita na outra extremidade (head);– Obviamente, também não é necessário ordenar;


Exemplo de Fila no Mundo Real

Muitas coisas são ordenadas por fila;

A fila de um banco por exemplo;– ... e a fila do RESUN?

Muitos processos e requisições em um computador são organizados e gerenciados por meio de filas.


Implementação de uma Fila

type PNo = ^TNo; TNo = record valor: integer; proximo: PNo; end; TFila = record head: PNo; tail: PNo; end;

function push(var pilha: TFila; valor: integer): Boolean;

function pop(var pilha: TFila): integer;


Implementação de uma Fila

Push: Apesar de inserir no final, nós não precisaremos percorrer toda a fila para inserir no fim;– Nós mantemos um ponteiro para o último

elemento!

Pop: A remoção continua sendo feita na cabeça, o que facilita muito as coisas.


Implementando o Método Push

function push(var fila: TFila; valor: integer): Boolean;var p, t: PNo;Begin

new(p);p^.valor := v;p^.proximo := nil;if (fila.tail = nil) then

fila.head := pelse

fila.tail^.proximo := p;fila.tail := p;push := true;

end;


Implementando o Método Pop

function pop(var fila: TFila): integer;var p: PNo;Begin

if (fila^.head = nil) thenpop := -1;

elsebegin

p := fila;fila^.head := fila^.head^.proximo;if (fila^.head = nil) then

fila^.tail := nil;pop := p^.valor;dispose(p);

end;end;


Exercício

Crie um jogo para ser disputado por duas pessoas com dois “modos” (o modo pilha e o modo fila) e a opção de sair;

Primeiro, Deve-se escolher quantos números serão embaralhados e ocultos e qual o modo de organização dos mesmos;

Em segundo lugar, o jogo deverá ir inserindo cada número (0 <= K <= 9) na pilha/fila, mostrando um de cada vez na tela (lembre-se de limpar ela por inteiro a cada número mostrado);

Após isso, os jogadores devem alternar-se tentando adivinhar qual o próximo número a ser removido do jogo. Ganha quem não errar. Caso acabem todos os números, declarar empate;

Quando os jogadores escolherem sair, mostrar o placar final e encerrar o jogo.




Outros Tipos de Listas(Aula 11)



Sumário

Lista Duplamente Encadeada– Declaração– Operações

Lista Circular– Declaração– Operações

Exercícios Referências Bibliográficas


Lista Duplamente Encadeada

Uma estrutura de dados linear que se utiliza de dois ponteiros (um apontando o elemento anterior e outro o posterior) a fim de permitir percorrer a mesma não somente avançando, como também recuando;

I | | | |...


Lista Duplamente Encadeada

Vantagem:– Facilidades na hora de procurar um elemento,

principalmente se o mesmo estiver antes da atual posição pesquisada;

Desvantagem:– Nas inserções, remoções e alterações, isso

significa mais ponteiros para atualizar, o que pode levar programadores não muito bons a cometer falhas (o que não é o caso de vocês!).


Declaração de uma Lista Duplamente Encadeada (opção 1)

type PNo = ^TNo;

TNo = record

valor: integer;

anterior: PNo;

proximo: PNo;

end;

TLista = PNo;


Declaração de uma Lista Duplamente Encadeada (opção 2)

type PNo = ^TNo; TNo = record

valor: integer;anterior: PNo;proximo: PNo;

end;TLista = record

primeiro: PNo;ultimo: PNo;tamanho: integer;

end;


Operações em Lista Duplamente Encadeada

Operações Básicas:– Criação;– Inserção;– Busca / Recuperação;– Remoção;

Como seriam essas operações em uma Lista DE se ela não estiver ordenada? E se estiver ordenada?


Lista Circular

Estrutura de dados linear em que o último elemento aponta para o primeiro;

Lista em que todo elemento possui um “sucessor” (o sucessor do último é o primeiro elemento);

Pode-se adotar encadeamento simples, duplo ou outro qualquer;


Lista Circular

Observações:– Não há mais elementos apontando para nil, logo

não podemos mais identificar o último elemento desta forma!

Mas podemos parar quando percebermos que o próximo é o “primeiro elemento” (apontado pela lista circular);

– Podemos até mesmo deslocar a “cabeça” da lista sem que se perca a referência para nenhum dos elementos;

Mas isso não é interessante caso a lista seja ordenada.


Declaração de uma Lista Circular (opção 1)

type PNo = ^TNo;

TNo = record

valor: integer;

proximo: PNo;

end;

TLista = PNo;


Declaração de uma Lista Circular (opção 2)

type PNo = ^TNo;

TNo = record

valor: integer;

proximo: PNo;

end;

TLista = record

primeiro: PNo;

tamanho: integer;

end;


Operações em Lista Circular

Operações Básicas:– Criação;– Inserção;– Busca / Recuperação;– Remoção;

Como seriam essas operações em uma Lista Circular se ela não estiver ordenada? E se estiver ordenada?


Exercícios

Implemente as operações de inserção, busca, alteração e remoção para:

– Lista duplamente encadeada não-ordenada;

– Lista duplamente encadeada ordenada;

– Lista circular.





Árvores(Aula 12)



Sumário

Definição de Árvore Representação Gráfica Classificação das Árvores Declaração de uma Árvore

N-ária Declaração de uma Árvore

Não N-ária Nível de um Nó Altura ou Profundidade de

uma Árvore Percurso de uma Árvore Inserção em uma Árvore

Remoção em uma Árvore Árvores Binárias Árvores Binárias de Busca Inserção em uma Árvore

Binária de Busca Busca em uma Árvore

Binária de Busca Deleção em uma Árvore

Binária de Busca Comparações entre Ordens

de Complexidade Referências Bibliográficas


Definição de Árvore

Estrutura de dados não linear;

Um grafo totalmente conexo e acíclico;

Analogia a uma árvore (reino vegetal):– Raiz;– Folhas;– “galhos” ou sub-árvores – conceito de poda.


Representação Gráfica


Classificação das Árvores

Uma árvore pode ser classificada de diversas formas diferentes, uma delas é pelo número máximo de nós-filhos que cada nó-pai pode ter:– Binária (dois nós);– Ternária (três nós);– Quaternária (quatro nós);– N-ária (N nós);– Não N-ária (quando não conhecemos ou não há

um número máximo de nós-filhos para cada nó-pai).


Declaração de uma Árvore N-ária

const N = 2;

type

PNo = ^Tno;

TNo = record

valor: integer;

filhos: array [1..N]

of PNo;

end;

TArvore = PNo;


Declaração de uma Árvore Não N-ária

type

PNo = ^TNo;

TNo = record

valor: integer;

irmao: PNo;

filho: PNo;

end;

TArvore = PNo;


Nível de um Nó

Refere-se à distância do mesmo até a raiz;

0

1

2

3


Altura ou Profundidade de uma Árvore

É o nível máximo que um nó da árvore atinge;

0

1

2

3

A altura desta árvore é 3! Ela possui 4 níveis!


Percurso de uma Árvore

Também conhecido como travessia;

Consiste em percorrer (em uma dada ordem) todos os nós de um árvore ou até encontrar algum que satisfaça ao problema em questão;

É empregado, por exemplo, na busca de um nó a partir de uma chave;


Percurso de uma Árvore

Tipos– Pré-ordem / pre-order;– Em-ordem / in-order;– Pós-ordem / pos-order.


Percurso Pré-Ordem

Processa primeiro a informação do nó atual, para só então processar a informação de seus filhos;

função x (no)Início

processa no;aplica função x para cada filho de no;

Fim;


Percurso Pré-Ordem

function buscaTelefone(no: PNode; nome: String): String;var s: String;Begin

if no = nil thenbuscaTelefone := “”

else if no.nome = nome thenbuscaTelefone := no.telefone

elsebegin

s := buscaTelefone(no.filho1, nome);if s <> “” then

buscaTelefone := selsebegin

s := buscaTelefone(no.filho2, nome);if s <> “” then

buscaTelefone := selse

buscaTelefone := “”;end;

end;End;


Percurso Em-Ordem

Neste caso, um filho (ou parte dos filhos) é processado primeiro, o nó atual é então processado e, por fim, o outro filho (ou parte dos filhos);

função x (no)Início

aplica função x para parte dos filhos de no;processa no;aplica função x para parte dos filhos de no;

Fim;


Percurso Pós-Ordem

Neste caso, todos os filhos do nó atual devem ser processados antes que o mesmo o seja;

função x (no)

Início

aplica função x para cada filho de no;

processa no;

Fim;


Inserção em uma Árvore

Cria-se o novo nó (método new) e popula-se o mesmo com as informações desejadas;

Pode utilizar algum critério para determinar em qual nó e em qual posição o novo nó deverá ficar;

O pai deve apontar para o filho.


Remoção em uma Árvore

Utiliza-se de um outro ponteiro ( t ) para apontar para o objeto que se deseja remover;

Após isso, reorganiza-se seus filhos a fim de que seu pai possa apontara para esses e ninguém ficar “abandonado”, eliminando o vínculo entre a árvore e o nó-alvo;

Por fim, elimina-se o nó (método dispose); E se nosso objetivo for remover TODOS os nós de

uma árvore, qual método de percurso você utilizaria? Por quê?


Árvores Binárias

Árvores onde cada nó possui no máximo dois filhos;

Muito usadas em computação;

Cada nível pode ter no máximo 2N nós, onde N é o valor do nível;

Quantidade de níveis que uma árvore binária com N nós pode ter:

– Máximo: N; (árvore degenerada)– Mínimo: Log2 N + 1; (árvore completa)


Árvores Binárias

Dado um nó qualquer, ele possuirá uma sub-árvore esquerda e uma sub-árvore direita (podendo qualquer uma delas ou ambas não possuir elementos);

Sub-árvoreesquerda

Sub-árvoredireita


Árvores Binárias de Busca

Ou árvores de busca binária (tanto faz!);

São árvores em que é possível determinar em que direção buscar um dado nó a partir do valor do pai e levando-se em consideração alguma regra quanto à disposição dos filhos;

– Nós com valores menores que o pai à esquerda, nós com valores maiores que o pai à direita;

– Nós que satisfazem uma condição expressa pelo pai de um lado e nós que não satisfazem do outro;

O que acontecerá se a árvore de busca não estiver bem balanceada?


Inserção em uma Árvore Binária de Busca

function inserir(var arvore: TArvore; valor: integer): boolean;

var p, t: PNode;Begin new(p); p.valor := valor; p.filho[1] := nil; p.filho[2] := nil; if arvore = nil then arvore := p else begin t := arvore; while t <> nil do begin if (t^.valor > valor) then begin if t^.filho[1] = nil then begin t^.filho[1] := p; inserir := true; exit; end

else t := t^.filho[1]; end else if t^.valor < valor then begin if t^.filho[2] = nil then begin t^.filho[2] := p; inserir := true; exit; end else t := t^.filho[2]; end else begin inserir := false; exit; end; end; inserir := false;end;


Busca em uma Árvore Binária de Busca

function buscar(arvore: TArvore; valor: integer): PNode;

var t:PNode;Begin if (arvore = nil) then buscar := nil else begin t := arvore; while (t <> nil) do begin

if t^.valor > valor then t := t^.filho[1] else if t^.valor < valor

then t := t^.filho[2] else begin buscar := t; exit; end; end; buscar := nil; end;end;


Deleção em uma Árvore Binária de Busca

Caso 1: Remover um nó que não possui filhos



Caso 2: Remover um nó que possui um filho



Caso 3: Remover um nó que possui dois filhos– Escolher o nó mais à esquerda da sub-árvore direita (ou mais à

direita da sub-árvore esquerda) para “substituí-lo;– Com isso, teremos que remover o nó selecionado de onde ele

está abordagem recursiva.


Comparações entre Ordens de Complexidade





Árvores AVL(Aula 13)



Sumário

Definição de Árvore AVL Representação Gráfica Operações

– Inserção– Remoção– Rotação

Simples– À Esquerda– À Direita

Dupla– Pesquisa



Definição de Árvore AVL

Trata-se de uma Árvore de Busca Binária Auto-Balanceada, isto é, que mantém o balanceamento de sua árvore em cada operação executada;

A maior diferença possível entre os níveis de dois nós-folhas é 1;


Representação Gráfica

Árvore Não-Balanceada Árvore AVL (Balanceada)


Operações

Inserção

Remoção

Rotação– Simples (à esquerda ou à direita);– Dupla.


Inserção

Efetua-se a busca pelo nó (igual a qualquer outra árvore de busca binária);

Insere-se o nó;

Verifica-se se ela está balanceada, caso não esteja, efetuar rotação (simples ou dupla) até que esteja.


Remoção

Efetua-se a busca pelo nó (igual a qualquer outra árvore de busca binária);

Rotaciona-se até que o mesmo seja um nó-folha e remova-o;

– Por quê? A remoção de um nó sem filhos é o caso mais simples!

Verifique se a árvore se encontra balanceada, caso não esteja, efetue rotações.


Rotação

Operação em que a ordem dos nós em uma árvore de busca binária pode ser invertida a fim de manter o balanceamento da mesma;

Pode ser simples (um único passo, rotacionando à esquerda ou à direita) ou dupla (efetuando mais de uma vez a rotação, em qualquer combinação de rotações simples);


Rotação Simples

Ocorre quando o nó desbalanceado e o seu filho estão no mesmo sentido de inclinação da árvore;

Formam “uma linha reta”;


Rotação à Esquerda

Dado um nó X com um filho à direita Y e este tendo um filho à esquerda Z;

Pseudo-código:Seja Y o filho à direita de X;Torne X o filho à esquerda de Y;Torne o filho à esquerda de Y (Z) o filho à direita

de X;


Rotação à Direita

Dado um nó X com um filho à esquerda Y e este tendo um filho à direita Z;

Pseudo-código:Seja Y o filho à esquerda de X;Torne X o filho à direita de Y;Torne o filho à direita de Y (Z) o filho à esquerda

de X;


Rotação Dupla

Ocorre quando o nó desbalanceado está em um sentido da inclinação e o seu filho em outro;

Formam, assim, “um joelho”.


Pesquisa

O tempo médio para encontrar um elemento em uma árvore AVL é da ordem de O (log n)

Aproximadamente 1.44 log2 n no pior caso



http://www.csi.uottawa.ca/~stan/csi2514/applets/avl/BT.html - Aplicação interessante para compreender árvores AVL

http://pt.wikipedia.org/wiki/Árvore_AVL


Classificação de Dados(Aula 14)



Sumário

Por que estudar métodos para classificação de dados?

Alguns tipos de algoritmos de classificação Seleção Direta (Selection Sort) Inserção Direta (Insertion Sort) Método da Bolha (Bubble Sort) Método do Balde (Bucket Sort) QuickSort MergeSort HeapSort Referências Bibliográficas


Por que estudar métodos para classificação de dados?

Qual a importância da ordenação dos dados quando se deseja uma busca mais eficiente ou classificar os mesmos segundo algum critério?

Há muita diferença entre o tempo de processamento de um algoritmo de ordenação O(n log n) e o tempo de um algoritmo de ordenação O(n2), quando executados sobre uma base com um milhão de dados?

Sendo assim, torna-se interessante o estudo dos diversos tipos de algoritmos de ordenação?


Alguns Tipos de Algoritmos de Classificação

Seleção direta (selection sort) Inserção direta (insertion sort) Método da Bolha (bubble sort) Método do “Balde” (bucket sort) Quicksort Mergesort Heapsort


Seleção Direta (Selection Sort)

Definição

– Trata-se de um algoritmo de comparação in-loco, isto é, executa comparações e operações de troca na própria estrutura original, sem necessidade de usar uma estrutura auxiliar;

– É o algoritmo mais simples de implementar, infelizmente, é também o mais ineficiente de todos os aqui apresentados;

– Dado um array/lista não ordenado, varre-o por completo procurando o primeiro menor elemento presente no mesmo, trocando o mesmo de lugar com o primeiro elemento do array; Após isso, procura o segundo menor elemento presente no mesmo e troca de posição com o segundo elemento do array. Procede desta forma até processar os N elementos;



Ilustração



Implementação

function selecaoDireta(var a: array [1..N] of real):boolean;

var i, j, menor : integer; v: real;begin

for i := 1 to N do begin menor := i; for j := i+1 to N do begin

if a[menor] > a[j] then

menor := j; end;

if menor <> i then

begin

v := a[i];

a[i] := a[menor];

a[menor] := v;

end;

end;

selecaoDireta := true;

end;



Complexidade– Tanto para o pior caso, quanto para o caso médio

e para o melhor caso, o algoritmo sempre precisará efetuar:

N operações para encontrar o primeiro menor elemento; N-1 operações para encontrar o segundo menor

elemento;

... 1 operação para encontrar o n-ésimo menor elemento; Total: 1 + 2 + ... + N = N(N+1)/2 = O(n2)


Inserção Direta (Insertion Sort)

Definição

– Dado um array/lista Y não ordenado, inicia com uma lista X vazia. Pega o primeiro elemento de Y e varre toda a lista X procurando a posição correta para inseri-lo e, então, o insere. Pega o segundo elemento e também varre toda a lista X, procurando a posição correta e insere-o. Procede desta forma até processar os N elementos;



Ilustração



Implementação

function insercaoDireta(var y: array [1..N] of real):boolean;

var x,t: TLista; i: integer;begin

x := nil;for i := 1 to N do

insercaoOrdenada(x, y[i]); t := x; i := 1;

while (x <> nil) do begin y[i] := x^.valor; x := x^.proximo; dispose(t); t := x; end; insercaoDireta := true;end;



Complexidade– Melhor Caso: O(n), pois ele simplesmente pegará

cada elemento e inserirá na cabeça da lista;– Pior Caso: O(n2), pois para cada elemento ele

terá que inseri-lo na cauda da lista, o que significará 1 + 2 + 3 + ... + N = N(N+1)/2 operações;

– Caso Médio: O(n2).


Método da Bolha (Bubble Sort)

Definição

– Varre do início ao fim, sempre checando se o elemento xi é menor ou igual ao xi+1. Se for, passa para o próximo par (xi+1 e xi+2), caso não seja, inverte suas posições e recua uma posição para checar então com o anterior (xi-1 e xi). Procede desta forma até varrer toda a estrutura e chegar ao fim;

– Este algoritmo de classificação também é in-loco, isto é, dispensa a utilização de estruturas auxiliares para efetuar a classificação dos dados.



Ilustração



Implementação

function metodoDaBolha(insercaoDireta(var y: array [1..N] of real):boolean;

var i: integer; c: real;begin i := 1; while (i < N) do begin if (y[i] <= y[i+1]) then i := i + 1

else begin c := y[i]; y[i] := y[i+1]; y[i+1] := c; i := i – 1; if (i < 1) then i := 1; end; metodoDaBolha := true;end;



Complexidade– Melhor Caso: O(n), pois passa uma vez só por

cada par (todos os dados já estão ordenados);– Pior Caso: O(n2), onde os dados estão na ordem

inversa e portanto levará executará 1 + 2 + ... + N trocas;

– Caso médio: O(n2);


Método do Balde (Bucket Sort)

Definição

– Cria K buckets identificados e ordenados segundo algum critério (buckets contendo elementos de 1 a 10, buckets contendo elementos de 11 a 20, etc.) e então armazena os elementos dentro de cada bucket correspondente. Após isso, pode-se aplicar a cada bucket o algoritmo de ordenação que melhor convier;

– Este método geralmente se utiliza de um array de buckets como estrutura auxiliar, cada qual podendo ser implementado como um array ou uma lista.



Ilustração



Implementação (pseudo-código)

function bucket-sort(array, n) isbuckets ← new array of n empty listsfor i = 0 to (length(array)-1) do

insert array[i] into buckets[position(array[i], k)]for i = 0 to n - 1 do

next-sort(buckets[i])return the concatenation of buckets[0], ..., buckets[n-1]



Implementação

function metodoDoBalde(var y: array [1..N] of real; k: integer):Boolean;

var bucket: array [1..k] of record slots: array [1..N] of real; index: integer; end; menor, maior: real; i,j,c: integer;



Implementação (continuação)

begin menor := y[1]; maior := y[1]; for i := 1 to N do begin if y[i] > maior then maior := y[i]; if y[i] < menor then menor := y[i]; end;




for i := 1 to N do begin j := 1 + k*(y[i] - menor)/(maior – menor + 1); bucket[j].index := bucket[j].index + 1; bucket[j].slots[bucket[j].index] := y[i]; end; c := 1;




for j := 1 to k do begin selecaoDireta(bucket[j].slots, bucket[j].index); for i := 1 to bucket[j].index do begin y[c] := bucket[j].slots[i]; c := c + 1; end; end; metodoDoBalde := true;end;



Complexidade

– Depende do algoritmo de classificação a ser usado em cada bucket;


Quicksort

Definição– Algoritmo “dividir para conquistar”. Escolhe um pivô dentro

da lista de dados a ordenar e cria dois grupos, um com os números menores que ele (à esquerda) e outro com números maiores que ele (à direita). Após isso, o algoritmo é executado para cada grupo, escolhendo-se novamente um pivô e dividindo-se em dois grupos menores. O processo procee até que cada grupo contenha somente um elemento, concatenando todos e formando uma lista ordenada;


Quicksort

Ilustração

[Ops! Não escrevi aqui!]


Quicksort

Implementação

function quicksort(var y: array [1..N] of real, IniVet, FimVet: integer): boolean;

var i, j: integer;pivo, aux: real;

Inícioi := IniVet;j := FimVet;pivo := y[(IniVet + FimVet) div 2];repeat

while (y[i] < pivo) AND (i < FimVet) do

i := i + 1;while (y[j] > pivo) AND (j > FimVet)

doj := j – 1;

if (i <= j) thenbegin

aux := y[i];y[i] := y[j];y[j] := aux;i := i + 1;j := j – 1;

end;until (i > j);if (j > IniVet) then

quicksort(y, IniVet, j);if (i < FimVet) then

quicksort(y, i, FimVet)end;


Quicksort

Complexidade



Mergesort

Definição– Também algoritmo “dividir para conquistar”.

“Quebra” a lista em listas menores, até que cada lista contenha somente um elemento, quando então começa a ordená-las fazendo um “merge”, isto é, juntando duas listas diferentes por vez mantendo a nova ordem dos elementos;


Mergesort

Ilustração



Mergesort

Implementação



Mergesort

Complexidade



Heapsort

Definição– Utiliza uma árvore binária chamada “heap” para

ordenar os dados. Todo o problema aqui resume-se à criação desta árvore, bem como a remoção de cada nó da mesma sem alterar a ordenação.


Heapsort

Ilustração



Heapsort

Implementação



Heapsort

Complexidade





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Http:// ESTRUTURA DE DADOS I Christiano Lima Santos