I- INTRODUÇÃO

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I- INTRODUÇÃO

Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I) escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o conceito matemático é mais recente e nasce com a correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat acerca da possibilidade do ganho nos jogos. Borel (1871-1956) e Henri Lebesgue(1875-1941) foram responsáveis pelo seu arranque sistemático.

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• Inicialmente o conceito de probabilidade era de caráter frequentista, isto é, associando a probabilidade de um acontecimento à frequência com ele se repetia, quando observadas um grande número de experiências.

• Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizer-se :"um grande número de experiências".

• Em 1933 o russo Kolmogorov construiu uma axiomática para o cálculo de probabilidades convertendo-a numa teoria matemática e transformando-a na ciência que hoje é.

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• Os objetivos deste curso são: 1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade e

estatística usando os conhecimentos prévios de cálculo e análise de sinais procurando relacionar as definições e conclusões dos experimentos científicos e de engenharia com situações reais, estimulando o uso da intuição, da observação e da dedução para extrair conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados.

2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos para modelar fenômenos em função do tempo, apresentando diversas aplicações.

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• MODELOS DETERMINÍSTICOS• MODELOS PROBABILÍSTICOS

EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS

1. TRÁFEGO TELEFÔNICO

QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DASCHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ?

CENTRAL

ACENTRAL

B

N CIRCUITOS

M TERMINAIS

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SITUAÇÃO:Uma população de usuários solicitaem diferentes instantes de tempoum determinado serviço.

MODELO: tráfego de entrada, fila posto de serviço, etc.

Teoria de filas

2- RUÍDO TÉRMICO 3- SÉRIE TEMPORAIS

Previsão de valores futuros base-ados no valor presente e passadosde um conjunto de variáveis.

Onde se aplica:Vazão de um rio, demanda de energia elétrica, inflação, etc

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5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL

4- DESVANECIMENTO DE SINAIS RÁDIOELÉTRICOS

ENLACE RADIOELÉTRICO

DESVANECIMENTO DOS SINAISRADIOELÉTRICOS

6- OUTRAS APLICAÇÕES• Modelamento de canais de propagação para comunicação móveis e fixas.• Qualidade de serviço em redes de telecomunicações.• Confiabilidade de sistemas• Identificação, estimação• etc

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MODELO PROBABILÍSTICO

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS2. ÁLGEBRA DE EVENTOS3. MEDIDA DE PROBABILIDADE

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS

EXPERIÊNCIA: ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR APRIMEIRA LETRA IMPRESSA.

S = { a, b, c, . . . , z }

observar se é vogal ou consoante

S = { vogal, consoante }

CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA POR MINUTO NO HORÁRIODE DE10:00 AS 12:00 H.

S = { 100, 97, 94, ... }

TEORIA DAS PROBABILIDADES

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS

É O CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO.

RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO

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2. ÁLGEBRA DE EVENTOS

EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA CONDIÇÃOA = { s : uma dada condição c é satisfeita } S = { s1 , s2 , s3 . . . , sK }

AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DASOPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

1. IGUALDADE A = B 2. INCLUSÃO A B, B A 3. UNIÃO A B 4. INTERSEÇÃO A B 5. COMPLEMENTO Ā 6. DIFERENÇA A - B 7. EVENTO NULO 8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS OU DISJUNTOS

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PROPRIEDADES

1. COMUTATIVA: A B = B A e A B = B A

2. ASSOCIATIVA : A ( B C) = (A B) C e (A B) C = A (B C)

3.DISTRIBUTIVA: A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C)

4. REGRA DE DEMORGAN : (A B)C = AC BC e (A B) C = AC BC

CLASSE DE EVENTOS

A CLASSE OU COLEÇÃO DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ:

SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO

1. SE A Ā 2.

B)A(BA

PORTANTO É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO.

PROPRIEDADES:

B)A(BA

B)-A(BA

SE S

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-ALGEBRA DE EVENTOS

UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ ASEGUINTE CONDIÇÃO:

1

,...3,2,1,i

ii AiA

DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S. É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA-ÁLGEBRA.

DEFINIÇÃOA MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C.

EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO.

S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 } ESPAÇO DE AMOSTRAS

SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS

C = [ { f1 } , { f2 , f 4 , f6 } , { f1 , f 3 , f 5 } , S , ]

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ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO

{ f1 } { f2 , f4 , f6 } = { f1 , f2 , f4 , f6 } C

{ f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } C

ENTÃO:

[ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } ,

{ f3 , f5 } ] É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO.

PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA -ÁLGEBRA

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EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III)

b

4

c

5

d

I

II

III

1

2

3

a

A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EMUM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOSDOS TRONCOS.

1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS

CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO”SEJA i UM PONTO GENÉRICO DE S , ENTÃO:

i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5.

NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S : N = 3 x = 9652

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2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS

2.1. A = { : a e c podem comunicar-se }

A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x }; A2 = { II , x , 1 , x , x , x }; A3 = { III , x , x , 1 , x , 1 };

A = A1 A2 A3 N = 8 + 16 + 8 = 32 ( EVENTOS DISJUNTOS )

2.2. B = { : b e c podem comunicar-se } B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x = 48

2.3. C = { : a chave está na posição I }

C = { I , x , x , x , x , x }; N = = 32b

4

c

5

d

I

II

III

1

2

3

a

42

52

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3. MEDIDA DE PROBABILIDADE

A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILI-DADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS : AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE 1. P(A) > 0 ; 2. P( S ) = 1 ; 3. SE A B = , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B)

PROPRIEDADES

1. SE Ai Bj = ; i, j = 1, 2, 3, . . . , n , i j , n

i

n

iii APAP

1 1

)()(

2. P( Ā ) = 1 - P( A )

3. P( ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1

4. P( A ) < 1

5. P( A B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )

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Probabilidades de eventos

)(1)( APAP 1) Evento complementar:

)()()()( BAPBPAPBAP 2) Propriedade da soma:

)()()( BPAPBAP

3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:

)/()()( ABPAPBAP

4) Propriedade do produto:

)()()( BPAPBAP

5) Propriedade do produto para eventos independentes

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Exemplo

• Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial.

• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

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Exemplo• Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados

conforme o esquema abaixo. Considerando que a probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os componentes)

A BC1

C2

C3

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Exemplo

A BC1

C2

C3

• P(sistema funcionar) = P{(C1 C2) (C1 C3)}=

= P(C1 C2) + P(C1 C3) P(C1 C2 C3) =

= (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9) (0,9)(0,9) (0,9) =

= 0,891

P(Ci) = 0,9, i = 1, 2, 3

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Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.O espaço amostral é denotado por S.Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por

Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço amostral pode ser:finito quando o espaço amostral é discreto e finitoinfinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinitoinfinito incontável quando o espaço amostral é contínuoevento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos. ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A.

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Probabilidade

• Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos.

• Base teórica para a análise inferencial.

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Probabilidade Intuitiva

Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento.

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Probabilidade Axiomática

As noções intuitivas de probabilidade permitem tratar problemas relativamente simples, em especial quando tem-se igualdade de condições para todos os eventos.No entanto, freqüentemente deseja-se tratar situações onde alguns eventos não são "honestos". Adicionalmente, em alguns casos não se pode enumerar todos os possíveis resultados de um experimento. A formulação axiomática da teoria da probabilidade simplifica o tratamento nestes casos.

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Axiomas da Probabilidade

Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade.

Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades)

).()()( então , Se (iii)unitário) é amostras de espaço do dade(Probabili 1)( (ii)

negativo) não número um é dade(Probabili 0)( (i)

BPAPBAPBAPAP

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Probabilidade

universo do estudo (população)Hipóteses, conjeturas, ...

Resultados ou dados observados

O raciocínio dedutivo da probabilidade

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Exemplo de um experimento aleatório

Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher.

Resultados possíveis: homem, mulher

Espaço amostral = {homem, mulher}

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Probabilidade de um resultado

Qual a probabilidade de homem e de mulher?P(homem) = 0,5P(mulher) = 0,5A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.50% homens

50% mulheres

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Modelo de probabilidades

20%

30%

50%

bom/ótimoregularruim/péssimo

POPULAÇÃOOpinião a respeitodo governo

AMOSTRA:1 pessoa observadaao acaso

Resultado Probab.

bom/ótimo 0,20regular 0,30ruim/péssimo 0,50

Modelo probabilístico

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Evento• Evento = conjunto de resultados possíveis

• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6• Eventos: A = número par, B = número menor que 3 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3

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Operações com eventos

A

A

)(1)( APAP

não A

31

Operações com eventos

A

BA B

)()()()( BAPBPAPBAP

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Revisão de Análise Combinatória

A Análise combinatória estuda os diversos procedimentos que possibilitam a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento.

No fundo com o uso da Análise combinatória teremos métodos que permitem contar, de forma indireta, os elementos desses conjuntos. Vamos analisar alguns desses agrupamentos:

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Fatorial Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendo n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 2. E por definição :Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940 3! = 3.2.1 = 6

Muitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos facilitar os cálculos: 11! =11.10.9.8.7! 6! = 6.5.4!

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Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

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Permutações Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Pn = n!

no exemplo anterior 3!=3.2.1=6Numa fila de 6 pessoas de quantas formas diferentes se podem organizar ?

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

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Arranjos Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k, teremos a seguinte fórmula:

)!(!

, knnA kn

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Combinações Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.

b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.

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Representando o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) por Cn,k, teremos a seguinte fórmula:

)!(!!

, knknC kn

É fácil mostrar que

knn

kn

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Exemplo:Um campeonato de atletismo consta de 10 provas diferentes cada equipe tem de concorrer a 7. De quantas formas pode uma equipe participar ?

Solução:

Observe que a ordem de escolha das provas não altera a forma de concorrer. Portanto trata-se de um problema de combinação de 10 elementos 7 a 7.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003