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Ondas Planas: Incidência Oblíqua
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza16
• Reflexão de ondas planas na interface entre dielétricos com incidência oblíqua:
• Polarização paralela
• Polarização perpendicular
• Angulo de Brewster
Ondas planas: Reflexão de ondas (Capítulo 12– Páginas 428 a 437)
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas
• Por simplicidade vamos considerar meios sem perdas (σ1 = σ2 = 0).
Ondas Planas: Incidência Oblíqua
• Vamos considerar a reflexão de uma ondas plana na interface entre dois meios
dielétricos, com incidência oblíqua.
• O campo E de uma Onda Plana Uniforme pode ser representado por: !E !r, t( ) =
!Eo cos ωt −
!k ⋅ !r( )
• Onde a a polarização está embutida no termo Eo, e k é o vetor de onda, que aponta na
direção de propagação, que não é mais a direção de z. !k = kxax + kyay + kzaz
• Considerando o vetor posição r em coordenadas cartesianas: !r = xax + xay + xaz,
⇒ k2 = kx2 + ky
2 + kz2 =ω 2µε
• O campo elétrico se propagando na direção dadas por k fica: !E !r, t( ) =
!Eo cos ωt − kxx − kyy− kzz( )
Faze
rdesen
hodek
1
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Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua
Ondas Planas: Incidência Oblíqua
• Na forma fasorial, o campo fica:
• Substituindo esta equação para a onda plana na L. F.:
• Vemos que, para uma Onda Plana Uniforme se propagando na direção de k:
!E !r( ) =
!E0e
− j!k ⋅!r =!E0e
− j kxx+kyy+kzz( )
∇×!E =
ax ay az∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ex Ey Ez
= −∂ µ!H( )∂t
∇×!E =
ax ay az− jkx − jky − jkzEx Ey Ez
= − j!k ×!E
2
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
• Além disso, o lado direito da L.F fica:
• Substituindo a equação dos campos de uma onda plana nas Eqs. de Maxwell para
meios sem fontes resulta em:
• Da L.G.E e da L.G.M. Vemos que k é perpendicular a E e H.
−∂ µ!H( )∂t
= − jωµ!H
!k ×!E =ωµ
!H
!k ×!H = −ωε
!E
!k ⋅!H = 0
!k ⋅!E = 0
(L.F.)
(L.A.)
(L.G.E.)
(L.G.H.)
• Da L.F. e da L.A. vemos como calcular H dados E e k (ou como calcular E dados H e k). !H =
1ωµ
!k ×!E = ak ×
!E
η3
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Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
• Se uma Onda Plana Uniforme incide numa interface em z = 0 de forma a formar
um ângulo θi com relação à normal, há uma onda refletida e uma transmitida.
• Os campos das ondas incidente, refletida e transmitida são tais que:
• Vamos desconsiderar momentaneamente a polarização embutida nos termos Eio, Ero e
Eto.
• O plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda incidente e a normal à
interface.
!Ei =
!Eio cos ωit − kixx − kiyy− kizz( )
!Er =
!Ero cos ωrt − krxx − kryy− krzz( )
!Et =
!Eto cos ωtt − ktxx − ktyy− ktzz( )
(incidente)
(refletida)
(transmitida)
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Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!ki
ε1, µ1
!kr
ε2, µ2y z
x
θi
θr θt
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!kt
ε1, µ1 ε2, µ2y z
x
!kr
θi
θr θt
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Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
• Como vimos, na interface (z=0) a condição de Contorno que terá que ser satisfeita
é:
• Para que a condição seja satisfeita independentemente da posição ao longo de x (e y),
temos que ter:
• Estas últimas condições são denominadas de condições de casamento (ou acordo)
de fase.
• A frequência da onda não pode mudar na interface (considerando que os meios são
lineares). ωi =ωr =ωt =ω
(1)
kix = krx = ktx = kx e
kiy = kry = kty = ky.
(2)
• Em
z =
0 a
s con
diçn
oes p
ara
kz n
ao im
porta
m.
(3)
!E
i
t z = 0( )+!E
r
t z = 0( ) =!E
t
t z = 0( )
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SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!kix
!kiz
!krx !
krz
!ktx
!ktz
• A
dota
mos
um
pla
no p
ara
o qu
al k
iy =
kry
= k
ty =
0
• Podemos reescrever a condição de acordo de fase para kx como:
kisenθi = krsenθre
kisenθi = ktsenθt
• Contudo, para meio sem perdas a constante de atenuação é nula e no meio 1:
ki = kr = β1 =ω µ1ε1
• No meio 2:
(4)
(5)
(6)
(7)kt = β2 =ω µ2ε2
6
SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com Incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
• Substituindo (6) em (4) concluímos que o ângulo de incidência é igual ao angulo
de reflexão.
• Substituindo (7) em (5):
• Em
z =
0 a
s con
diçn
oes p
ara
kz n
ao im
porta
m.
θr =θi
senθtsenθi
=β1β2
=ωv2ωv1
=µr1εr1µr2εr2
n = cv= µr1εr1
• Utilizando a definição de índice de refração:
• E o fato de que para a maioria dos dielétricos µr1 = 1: senθtsenθi
=senθ2senθ1
=n1n2 ⇔ n1senθ1 = n2senθ2
• Note que a Lei de Snell e a condição θr = θi são consequência da condição de acordo
de fase na interface.
COLO
CARGRAFS
ANGULO
CRITICO
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Incidência Oblíqua: Γ e τ para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• Duas polarizações são possíveis no caso de incidência oblíqua:
• Polarização perpendicular: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é
perpendicular ao plano de incidência
• Para polarização paralela, orientação dos campos das ondas incidente, refletidas e
transmitidas são ilustradas na Figura (próximo Slide).
• Polarização paralela: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é
paralelo ao plano de incidência
• Lembrando que o plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda
incidente (e das demais ondas) e a normal à interface.
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
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SJBV
Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua
Reflexão de ondas planas
!kt
ε1, µ1 ε2, µ2y z
x
!kr
θi
θr θt
!ki
!Ei!Hi
!Er
!Hr
!Et
!Ht
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
• Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Paralela)
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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• No meio 1, o vetor de onda da onda incidente é:
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
!Ei = Eio cosθiax − senθiaz( )e− jβ1(xsenθi+zcosθi )
!Hi =
Eio
η1e− jβ1(xsenθi+zcosθi )ay
!kix
!kiz
y z
x
!ki
!Ei
!Hi
θi!ki = β1senθiax +β1 cosθiaz
• Eio possui componentes em x e z: !Ei
!Hi
θi!Eix
!Eiz
!Eio = Eio cosθiax − senθiaz( )
θi• Os campos da onda incidente no meio 1 são:
Componentes de k
Componentes de E
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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• No meio 1, o vetor de onda da onda refletida é: !krx
!krz
y z
x
θr
!kr = β1senθrax −β1 cosθraz
• Ero possui componentes em x e z: !Erx
!Erz
!Ero = Ero cosθrax + senθraz( )
• Os campos da onda refletida no meio 1 são:
!kr!Hr
!Er
θr
!Hr
!Er θr
!Er = Ero cosθrax + senθraz( )e− jβ1(xsenθr−zcosθr )
!Hr = −
Ero
η1e− jβ1(xsenθr−zcosθr )ay
Componentes de k
Componentes de E
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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é:
!ktx
!ktz
y z
x
!kt
!Et
!Ht
θt
!kt = β2senθt ax +β2 cosθt az
• Eto possui componentes em x e z: !Et
!Ht
θt!Etx
!Eto = Eto cosθt ax − senθt az( )
θt• Os campos da onda transmitida no meio 2 são:
Componentes de k
Componentes de E
!Et = Eto cosθt ax − senθt az( )e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )
!Ht =
Eto
η2e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )ay
!Etz
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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Reflexão de ondas planas
• Os campos E e H tangenciais a interface têm de ser iguais dos dois lados.
• Da C.C. para o campo elétrico (1):
• A condição de contorno para o campo magnético (que só possui Hy) fica:
• Se
a o
rien
taça
o de
Ei,
Er
e E
t na
fig
ura
segu
inte
est
iver
erra
da e
la se
rá c
orri
gida
pel
o si
nal d
e ga
mm
a e
T
⇒ Eio +Ero( )cosθi = Eto cosθt (8)
(9)⇒1η1
Eio −Ero( ) = 1η2Eto
!E
i
t z = 0( )+!E
r
t z = 0( ) =!E
t
t z = 0( )
!H
i
t z = 0( )+!H
r
t z = 0( ) =!H
t
t z = 0( )
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SJBV
• Isolando Eto em (8) e (9), e igualando ambas as equações:
Reflexão de ondas planas
• Isolando Ero em (8) e (9), e igualando ambas as equações:
• O Coeficiente de Reflexão para polarização paralela ao plano de incidência é:
η1 cosθi Eio +Ero( ) =η2 cosθt Eio −Ero( )
Eto cosθt −Eio cosθicosθi
= Eio −η1η2Eto
• O Coeficiente de Transmissão para polarização paralela é:
Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela
Γ =Ero
Eio
=η2 cosθt −η1 cosθiη2 cosθt +η1 cosθi
τ =Eto
Eio
=2η2 cosθi
η2 cosθt +η1 cosθi
Coeficientes de Fresnel (polarização
paralela)
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