Imagem Digital Captura, Processamento, Interpretação, Criação, Reprodução, …

Imagem Digital

Captura, Processamento, Interpretação, Criação,

Reprodução, …

FORMAÇÃO DE UMA IMAGEM NUMA CÂMERA DIGITAL

Captura da radiância de uma cena num plano

Câmera obscura e Câmera “pin-hole”

Plymouth, UK

Câmera Obscura -- efeito natural

Bellinzona no canton TicinoSwitzerland.

Primeiras câmaras fotográficas

Luis-Jacques-Mandé Daguerre (1787-1851)1839

Câmeras digitais

Captura da cor

Sensores

MONITORESEmissão da radiância num plano

Primeira imagem colorida (início do sec. XX)

James Clerk Maxwell (1831-1879)

Scottish physicist.

RBG Images

Multi-fontes pontuais

Nexus_one_screen_microscope.jpg(wiki)

OLED

Impressão

Imagem: Modelo Matemático: Função

u

v

L

L(u,v)

Função

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Nív

eis

de c

inza

Posição ao longo da linhax

C 2,0,0: hwL

Lv

u

Imagem colorida

R

G

Bu

v

Imagem coloridas como 3 canais de cor

= ++

u

v

R

R(u,v)

u

v

GG(u,v)

u

v

BB(u,v)

Imagem Digital

Amostragem, quantização e codificação

Digitalização de Imagens

Discretização espacial (amostragem)

Processos básicos

Imagem de tons contínuos

64x54

Imagem amostrada

amostragem

64x54 - 16 cores

Imagem amostrada equantizada

quantização

55 55 55 55 55 55 55

55 20 22 23 45 55 55

55 55 10 09 11 55 55

55 55 43 42 70 55 55

55 55 28 76 22 55 55

55 55 55 55 55 55 55

codificação8*55, 1*20, 1*22, 1*23, ….

Imagem amostrada, quantizada e codificada

Áudio (Sinal 1D)

Amostragem, quantização e codificação de f(x)

x

f(x)

amostra

partição do eixo x

codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2)

Amostragem, quantização e codificação de f(x)

0

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

amostraquantizada

(a) aumento de resolução

Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x)

x

f(x)

função reconstruídapelo vizinho mais próximo

função reconstruídapor interpolação linear

0

1

2

3

4

5

6 função original

Re-amostragem de f(x)

x

f(x)

função reconstruídapelo vizinho mais próximo

função reconstruídapor interpolação linear

função original

(b) redução de resolução

0

1

2

3

4

5

6

Parte 2 - Eliminação de ruídos e realce de arestas

Aplicações da Transformada de Fourier

Imagem DigitalConceitos, Processamento e Análise

Redução de ruídos

• Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I.

),(),(),(ˆ jinjiIjiI

n

sSNR

n

sdBSNR

10log10

100n

s

20 dB significam

Dois tipos básicos de ruídos

• Ruído Gaussiano branco : processo estocástico de média zero, independente do tempo e dos espaço.

2

2

2

2

1)(

x

exG

0),( jin

),(~),( 00 jjiinjin é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo.

),( jin é uma variável aleatória com a distribuição:

Dois tipos básicos de ruídos

• Ruído impulsivo: causado por erro de transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta.

lxiiyi

lxjinsp )(

0),(

minmaxmin

1,0, yx são v.a. uniformemente distribuídas

imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.

Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)

Imagem com ruído impulsivo

223 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 223

171 120 120 120 18 120 50 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 116 120 120 120 120 120 120 120 120 171

138 120 120 120 120 120 50 120 97 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 187 120 120 242

172 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 179 120 120 120 120 167 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 76 175 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 123 120 120 214 120 114

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 143 171

171 120 120 120 232 120 120 198 120 120 120 120 120 171

203 171 171 171 171 171 171 171 171 205 171 171 171 203

Uso da mediana

Iij = mediana Ωij

Sinal com ruído

:= ( )f3 x 10 ( )cos 2 x 6 ( )sin 10 x .8 ( )cos 40 x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Suavização

f

h

4

2 11 iii

i

fffh

Filtragem Gaussiana

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w1+w2+w3 filtro w1+w2

Imagem Digital: Histogramas

Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade deocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...

Histogramas de Imagem Colorida

Propriedades básicas de uma Imagem Digital

Convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

1

0)(

n

kiiki fgh

duuxgufgfxh )()()(

Convolution

• Pictorially

f(x)

h(x)

Convolution

f(t)

x

h(t-x)

Convolution

• Consider the function (box filter):

21

21

21

21

0

1

0

)(

x

x

x

xh

Convolution

• This function windows our function f(x).

f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution


f(t)

Convolution

• This particular convolution smooths out some of the high frequencies in f(x).

f(x)g(x) f(t)

Ilustação da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

Ilustração da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

ALIASO problema de amostragem

Freqüência de Amostragem

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

Sinal sub-amostrado

Estudo de sinais digitais

Transformadas para o domínio da freqüencia

Teorema de Nyquist e Alias

Harmônicos

t+

)cos( tA

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05A-A

T

)(1

HzT

f

revisão

)(2

2 radtT

ftt

A

Integrais de senos e cosenos em [-,]

cos(nx) sin(nx)

n = 1

n = 2

sin(nx)cos(nx)

revisão

Áreas se compensam.Integrais resultam em 0.

Integrais de senos e cosenos em [-,]

Funções ortogonais

revisão

Série de Fourier

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

ktaatf k

kk

t

f(t)

0T

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Exemplo: Série de harmônicos

-0.25

-0.05

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.15

-0.25

-0.05

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.15

-0.25

-0.05

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.15

Série de Fourier: cálculo de a0

T

k

T

k

T

k

T

o dtT

ktbdt

T

nktadtadttf

01

000)

2sin()

2cos()(

00)(0 0 T

Tadttf

T

dttfT

a00 )(

1

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

tkaatf k

kk

t

f(t)

0 T

Série de Fourier: an e bn

T

dttfT

tn0

)()2

cos(

T

n dtT

tntf

Ta

0)

2cos()(

1

T

n dtT

tntf

Tb

0)

2sin()(

1 ...

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

tkaatf k

kk

t

f(t)

0 T

0)2

cos()2

cos(200

1

T

kn dt

T

tk

T

tna

nTa

Resumindo

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

ktaatf k

kk

T

k kdtT

kttf

Ta

0,...3,2,1,0)

2cos()(

1

T

k kdtT

kttf

Tb

0,...3,2,1)

2sin()(

1

t

f(t)

0 T

T

kk

2

T

2

Domínios

t

f(t)

0 T

T

2

w

ak

0

w

bk

0

tempo ou espaço

freqüencia

Coeficientes de funções pares e ímpares

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos cos sin sin

f-ímpar ak= 0

f-par bk= 0

Periodicidade da Série de Fourier

)()(2

sin)(2

cos2)(1

0 tfTtT

kbTt

T

kaaTtf

kkk

t

f(t)

0 T

t

f(t)

0 T

Números complexos

• x é a parte real• y é a parte imaginária• A é a magnitude• q é a fase

q

A

x

eixo real

eixo imagnário

y

)sin(cos iAiyxz

1i

revisão

Operação básicas com complexos

)()( 2211 iyxiyx

))(( 2211 iyxiyx

))(( iyxiyx

22

11

iyx

iyx

iayax)()( 2121 yyixx )( iyxa

)()( 21122121 yxyxiyyxx )()( 2112212

21 yxyxiyyixx 12 i

2222 )()( yxxyxyiyx

2222

2211

iyxiyx

iyxiyx

221122

22

1iyxiyx

yx

sincos iei

revisão

Derivada de eit

titi eiedt

d

tittitdt

d cossinsincos

)cossin1

( tti

i

i

1

)cossin( ttii

C.Q.D.

2i

ii

i

1

revisão

Outras propriedades úteis

sincos iei

1ie

iei2

i

-1 1

revisão

Outras propriedades úteis (2)

sincos iei sincos ie i

)(cos 21 ii ee

revisão

)(cos 21 titi eet

t

t

1-1

i

-i

o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüênciasw e -w


sincos iei sincos ie i

)()(sin 221 iiiiii eeee

revisão

i

12i

ii

i

1

tt

1-1

i

-i

o seno também corresponde a dois harmônicos:w e -w


)sin(cos 111111 iAeAz i

)sin(cos 222222 iAeAz i

)(2121

21 ieAAzz

)(

2

1

2

1 21 ieA

A

z

z

revisão

Amplitude e fase de complexos

sinA

A-A

Dado um valor:

iyxiAz )sin(cos

zzyxA 222

x

ytan

Amplitude

Fase

cosA

revisão

Série de Fourier com números complexos

10

2sin

2cos2)(

knk T

ktb

T

ktaatf

2cos

ii ee

i

ee ii

2sin

1

22

0)(k

T

kti

kT

kti

k eFeFFtf

nnkkkk ibaFibaFaF ,,00

k

T

kti

keFtf2

)(

kk FF

1

2222

0)(k

T

kti

T

kti

kT

kti

T

kti

k eei

beeaatf

1

22

0)(k

T

kti

kk

T

kti

kk e

i

bae

i

baatf

T

T

kti

k kdtetfT

F0

)2

(,...3,2,1)(

1

i

12i

ii

i

1

Escrevendo em complexos

k

T

kti

kkk

k eFT

ktb

T

ktaatf

2

10 )

2sin

2cos(2)(

T T

kk kdtT

kttf

Tbdt

T

kttf

Ta

0 0,...3,2,1,0)

2sin()(

1,)

2cos()(

1

T

T

kti

k kdtetfT

F0

)2

(,...3,2,1,0)(

1

kkk ibaF

)2

sin()2

cos()

2(

T

kti

T

kte T

kti

Serie de Fourier de Sinais Discretos

Sinal discreto

t0 1 2 3 4 5 6 N-1

rf

r

)(tf

tNT

ttrt

,,,,,,,, 1221 NNro ffffff

T

k dtT

kttf

Ta

0)

2cos()(

1

01 2 3 4 5 N

)2

cos()(T

kttf

tt

trtr

ttN

tkrf

tN

N

rk

1

0

2cos

1

TtNT

1

0

)2

cos(1 N

rrk N

rkf

Na

1

0

2sin

1 N

rkk N

rkf

Nb

. . .

1

0

)2

cos(1 N

rrk N

rkf

Na

1

0

2sin

1 N

rkk N

rkf

Nb

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

ccc

ccc

ccc

N

a

a

a

)2

cos(N

krckr

onde:

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

sss

sss

sss

N

b

b

b

)2

sin(N

krskr

onde:

1

0

)2

(1 N

s

N

ksi

skkk efN

ibaF

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

EEE

EEE

EEE

N

F

F

F

N

kri

kr eE2

onde:

1

0

)2

(N

r

N

kri

rk eFf

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

'''

'''

'''

NNNNN

N

N

N F

F

F

EEE

EEE

EEE

f

f

f

N

kri

kr eE2

'

onde:

Transformada Discreta

)102sin()( ttf

256N

sec005.01

aft

sec28.1256005.0 T

T - não é o período do sinal!

Hzfa 200

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

af

NtNT

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

)102sin(N

sTf s

Transformada Discreta de Fourier

1

0

)2

(1 N

s

N

ksi

sk efN

F

/sec0.78131

Tf

/sec91.42

radT

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ampl

10.15625, 0.46776

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 20 40 60 80 100

)102sin(N

sTf s

1k

todas as feqüências computadas são multiplas destas

Outro exemplo

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

:= ( )f3 t + +10 ( )cos 2 p t 6 ( )sin 10 p t .8 ( )cos 40 p t

Transformada fk

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ampl

0.78

, 4.5

24.

69, 2

.41

20.3

1, 0

.35

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

1

0

)2

(1 N

s

N

ski

sk efN

F

1

0

)2

(N

r

N

rki

rk eFf

Eixo de freqüência

Discrete Cosine Transformation (DCT)

02

01)(

k

kk

1

0 2

)12(cos

)( N

ssk N

ksf

N

kC

1

0 2

)12(cos

)(N

krs N

ksC

N

kf

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

N

ks

2

)12(cos

)()cos( 2 sen o cosseno pode substituir o seno

Resumindo

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

ktaatf k

kk

T

k kdtT

kttf

Ta

0,...3,2,1,0)

2cos()(

1

T

k kdtT

kttf

Tb

0,...3,2,1)

2sin()(

1

t

f(t)

0 T

T

kk

2

T

2

T

k dtT

kttf

Ta

0)

2cos()(

1

01 2 3 4 5 N

)2

cos()(T

kttf

tt

trtr

ttN

tkrf

tN

N

rk

1

0

2cos

1

TtNT

1

0

)2

cos(1 N

rrk N

rkf

Na

1

0

2sin

1 N

rkk N

rkf

Nb

. . .

Aula 2

Serie de Fourier de Sinais Discretos

Sinal discreto

t0 1 2 3 4 5 6 N-1

rf

r

)(tf

tNT

ttrt

,,,,,,,, 1221 NNro ffffff

1

0

)2

(1 N

s

N

ksi

skkk efN

ibaF

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

EEE

EEE

EEE

N

F

F

F

N

kri

kr eE2

onde:

1

0

)2

(N

r

N

kri

rk eFf

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

'''

'''

'''

NNNNN

N

N

N F

F

F

EEE

EEE

EEE

f

f

f

N

kri

kr eE2

'

onde:

Transformada fk

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ampl

0.78

, 4.5

24.

69, 2

.41

20.3

1, 0

.35

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

1

0

)2

(1 N

s

N

ski

sk efN

F

1

0

)2

(N

r

N

rki

rk eFf

Transformada de Fourier

dwewFxf wxi 2)()(

dxexfwF wxi 2)()(

Exemplo 1: Função caixa (box)box(x)

x

]2,

20

2[

20

)()( b

bxse

bxsea

bxse

xboxxf

a

dxexboxwF wxi 2)()(

2/

2/2

2

b

bwxie

wi

a

2/

2/

2b

b

wxi dxea

wbiwbi eewi

a

2

i

ee

w

a wbiwbi

2

)sin( wb

w

a

b

wb

wbabwF

)sin(

)(

Transformada da função box

bw

bwabwF

)sin(

)(

F(w)

0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b

ab

w

sinc(bw)

wb

wbabwF

)sin(

)( box(x)

x

a

b

Distribuição normal: Gaussiana

2

2

22

1)(

x

exGauss

:= ( )gaus x e( ) x

2

Exemplo 2: Gaussiana

-0.02

0.03

0.08

0.13

0.18

-0.02

0.03

0.08

0.13

0.18

2

2

2

2

1)(

x

exf

2

2

12)(

w

ewF

f(x)

x

|| F(w) ||

w

1

Transformada da Gaussiana

dxeewF wxix

22 2

2

2

1)(

dxwxiwxex

)2sin()2cos(2

1 2

2

2

dxwxex

)2cos(

2

2

22

1

222 we

2

1,

2

12

2

2

2

w

e

Exemplo 3: Delta de Dirac f(x)

xb/2-b/2

1/b ]2,

20

2[/1

20

lim)(0

b

bxse

bxseb

bxse

xb

2

,2

),(2/2/

lim)(1

lim)()(0

2/

2/0

bbf

b

bbdxxf

bdxxxf

b

b

bb

)0()()( fdxxxf

Delta de Dirac de Gaussianas

22

31

9

x

e

22

21

4

x

e

22

11

1

x

e

2

2

20

1lim)(

x

ex

Transformada do Delta de Dirac

f(x)

x

1)()( 02

edxexwF wxi (x)

|| F(w) ||

w

1

Transformada do cosseno

dxexwwF wxi 2cos()(

dxwxiwxxw )2sin()2cos()cos(

2

20

)2cos()cos(w

wse

wwse

dxwxxw

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5)cos( tw

x

Exemplo 4: Cosseno

)

2()

2(

2

1)(

w

ww

wwF

|| F(w) ||

ww w

)( ww )( ww

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5)cos( tw

x

Exemplo 5: Sequência de impulsos

w

f(x)

xb 2b3b-b-2b

|| F(w) ||

1/b 2/b2/b-1/b-2/b

f(x)

x1b 2b 3b-b-2b

|| F(w) ||

w1/b 2/b2/b-1/b-2/b

k

kTtt )()( 0 k T

ktw )2

()(0

Pares importantes

Propriedades da transformada

convolução

Filtragem com Transformada de Fourier

)(xf

)(wF

FT

)(xh

)(wH

FT

)(xf )(xh

X )(wF X )(wH

FT

FT

-1

Amostragem e Reconstrução

Observando os domínio do espaço e das freqüências

Sinal original

domínio do espaço domínio das freqüências

Sinal discretizado

dtkTttffk

k )()( 0

Amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução

Sinal discretizado


Reconstruçãodomínio do espaço domínio das freqüências

convolução produto

Retorno ao sinal original


Sinal original com mais altas freqüências


Mesma taxa de amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução

Sinal amostrado


Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

Teorema de Nyquist

Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist.

Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

Aliasing

• Esta mistura de espectros é chamada de aliasing.

• Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing.

– Passar um filtro passa-baixa no sinal.

– Aumentar a freqüência de amostragem.

Alias

Texture errors

Parte 2 - Eliminação de ruídos e realce de arestas

Aplicações da Transformada de Fourier


Filtragem Gaussiana

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w1+w2+w3 filtro w1+w2

4

2 11 iii

i

fffh

Filtro

• Um filtro é um operador que atenua ou realça uma determinada freqüência

• Fácil de visualizar no domínio da freqüência onde:

)()()( GFH

)()( tfF

)()( Hth h(t) é o f(t) filtrado

Tipos de Filtros

F G

=

=

=

H

Passa baixa

Passa alta

Passa banda

)()()( GFH

Imagem filtrada com um filtro passa baixa

Imagem filtrada com um filtro passa alta

Filtragem no domínio espacial

• Filtragem no domínio espacial é obtida pela convolution (e vice-versa).

)()()( GFH

)()( xfF

)()( Hxh

)()( xgG

duuxgufgfxh )()()(

ou:

Na realidade é ao contrário: a TF é uma ferramenta para filtragem.

Mascara ou Filtro

4

2 11 iii

i

fffh

1

0)(

n

kiiki fgh

10

14/1

04/2

14/1

10

lse

lse

lse

lse

lse

gl

ou:

Discretização da Gaussiana 1D

0.1

0.2

0.3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2

2

2

2

1)(

x

exG

1214

1 14641

16

1

161520156164

1

Discretização da Gaussiana 2D

2

22

2

2

1),(

yx

eyxG

121

242

121

16

1

14741

41626164

72641267

41626164

14741

273

1

Separabilidade do filtro gaussiano

207 247 38 131 38

62 90 129 234 231

211 175 44 1 26

236 58 75 128 112

210 141 125 168 58

121

242

121

16

1

130 117 129

125 90 88

129 93 92

1214

1

1214

1

185 113 84

93 145 207

151 66 18

107 84 111

154 140 130

130 117 129

125 90 88

129 93 92

Transformada normalizada de Fourier

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

r

h

s

hyswxriesrFwh

yxf

Transformada normalizada de Fourier: separação

)/(21

0

1

0

)/(2),(11

),( wxriw

x

h

y

hysi eeyxfhw

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

),( sxT

Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

1

0

)/(21),(),(

h

y

hysieh

yxfsxT

),( syH

sy

h

ihysi e

he

hsyH

2)/(2 11

),(

)1(0)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

hhhhh

h

h

ffff

fff

fff

f

fHT

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

hh

h

ih

h

ih

h

i

h

h

i

h

i

h

i

h

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

h

H

fHT

1

0

2

),(1

),(w

x

rx

w

i

sxTew

srF

),( xrW

xr

w

i

ew

xrW

21),(

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

h

iw

h

iw

h

i

w

h

i

h

i

h

i

w

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

w

W

WfHWTF

Problemas com a Transformada de Fourier

)(2121

21),(),( bkakiekkFbxaxf

),(),( 2121 kkFxxf

),(1

),( 2121

kkFxxf

)cossin,sincos(

)cossin,sincos(

2121

2121

kkkkF

xxxxf

Como tornar a TF invariante a rotação e escala?

),(),( 2121 kkFxxf ),(),( 2121 kkFxxf iezkkF ),( 21

2

1 )ln(

y

yez i

)','(),( 2121 kkFyyf

Parte 3 - Processamentos apenas no espaço das cores


Correção gamaAjustes de contraste e iluminação

Correção gama

LL

Probabilidade

0 1 x

DF(x)

x0 x1

1

0

)( 10

x

x

dxxDFxxxP x

dxxDFxxPxCDF0

)(0)(

)()( xCDFdx

dxDF

Função de densidade de probabilidade

0 1 x

CDF(x)

1

x

Função de densidade acumulada de probabilidade

Mudança de variavel y = f (x)

)()( yCDFdy

dyDF

0 1 x

y=f(x)

1

0 1 y

1

)(1 yfx

)()( xCDFxf )(xDFdx

dy

1)(

)()(

xDF

xDFyDF

0 1 x

DF(y)1

Transformação monotônica e limitada ao intervalo [0,1]

dy

dxxCDF

dx

d)(

dy

dxxDF )(

Equalização de Histograma

L

j

j

n

nLfL

0

)('

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n

n j

L

Equalização do histograma

Tons de cinza e negativo

Lx,y = 0.299Rx,y + 0.587Gx,y + 0.114Bx,y

tons de cinza

Lx,y = 255 - Lx,y

Outros exemplos com o PaintShopProtm

Quantização de cores

Quantização de 24 para 8 bits

A qualidade depende da imagem

Corte mediano

Corte mediano

Parte 4 - Codificação e armazenamento de Imagens

compressão e formatos de arquivos


Codificação uniforme

Uniforme

tons # pixels código tam. # bits

0 1900 000 3 5700

1/7 2500 001 3 7500

2/7 2100 010 3 6300

3/7 1600 011 3 4800

4/7 800 100 3 2400

5/7 600 101 3 1800

6/7 300 110 3 900

1 200 111 3 600

TOTAL 30000

Podemos melhorar?

Construção da Árvore Huffman

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

3/7 1600

4/7 800

5/7 600

6/7 300

1 200

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

3/7 1600

4/7 800

5/7 600

n0 500

n0

6/7 1


1/7 2500

2/7 2100

0 1900

3/7 1600

4/7 800

5/7 600

n0 500

n0

6/7 1

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

3/7 1600

n1 1100

4/7 800

5/7

n1


1/7 2500

2/7 2100

0 1900

3/7 1600

n1 1100

4/7 800

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

n2 1900

3/7 1600

n0

6/7 1

5/7

n1 4/7

n2


1/7 2500

2/7 2100

0 1900

n2 1900

3/7 1600

n3 3500

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

n0

6/7 1

5/7

n1 4/7

n2 3/7

n3


n3 3500

1/7 2500

2/7 2100

0 1900

n0

6/7 1

5/7

n1 4/7

n2 3/7

n3

n4 4000

n3 3500

1/7 2500

n4

2/7 0


n0

6/7 1

5/7

n1 4/7

n2 3/7

n3

n5 6000

n4 4000 n4

2/7 0

n4 4000

n3 3500

1/7 2500n5

1/7

n6


1 0

11

10 01

00

111 110

1111 1110

1111

1

11110

1111

01

111100

000110

110

1110

11111

111100111101

n0

n1

n2

n3

n4n5

n6

6/7 1

5/7

4/7

3/7

0 2/71/7

Codificação de HuffmanUniforme Huffman

tons # pixels código tam. # bits código tam. # bits

0 1900 000 3 5700 00 2 3800

1/7 2500 001 3 7500 10 2 5000

2/7 2100 010 3 6300 01 2 4200

3/7 1600 011 3 4800 110 3 4800

4/7 800 100 3 2400 1110 4 3200

5/7 600 101 3 1800 11111 5 3000

6/7 300 110 3 900 111101 6 1800

1 200 111 3 600 111100 6 1200

TOTAL 30000 TOTAL 27000

Redundância de Codificação

r p(r) Code 1 l(r) l(r)p(r) Code 2 l(r) l(r)p(r)0 0.19 000 3 0.57 11 2 0.38

1/7 0.25 001 3 0.75 01 2 0.502/7 0.21 010 3 0.63 10 2 0.423/7 0.16 011 3 0.48 001 3 0.484/7 0.08 100 3 0.24 0001 4 0.325/7 0.06 101 3 0.18 00001 5 0.306/7 0.03 110 3 0.09 000001 6 0.18

1 0.02 111 3 0.06 000000 6 0.12

1.00 Lavg= 3.00 2.70

rk = tons de cinza em uma imagem, k=0, 1, ..., 1

p(rk) = nk / n

onde nk = número de pixels com tom rk

n = número de pixels da imagem

Lavg=

kk

kavg rprlL

1

0

111001

001

0001

00001

000001000000

Resultado da Teoria da Informação

bitsdenúmerorp

rlk

kopt

1log2

r p(r) Code 1 l(r) l(r)p(r) Code 2 l(r) l(r)p(r) log(1/p) log(1/p)*p0 0.19 000 3 0.57 11 2 0.38 2.4 0.461/7 0.25 001 3 0.75 01 2 0.50 2.0 0.502/7 0.21 010 3 0.63 10 2 0.42 2.3 0.473/7 0.16 011 3 0.48 001 3 0.48 2.6 0.424/7 0.08 100 3 0.24 0001 4 0.32 3.6 0.295/7 0.06 101 3 0.18 00001 5 0.30 4.1 0.246/7 0.03 110 3 0.09 000001 6 0.18 5.1 0.151 0.02 111 3 0.06 000000 6 0.12 5.6 0.11

=1.00 Lavg = 3.00 2.70 Lopt = 2.65Lavg =

Compressão de imagens

Compressão deImagens

Compressão deImagens

Sem PerdaSem Perda Com PerdaCom Perda

• Preserva exatamente o conteúdo da imagem

• Taxas de compressão 3 : 1

• Preserva de forma controlada o nível de qualidade da imagem

• Taxas de compressão que chegam a valores de mais de 100 : 1

Métodos de compressão

• Sem perdas–Run length encoding (RLE) - repetição–Huffman coding - histograma–Predictive coding - diferenças–Block coding (LZW) - dicionário

• Com perdas–Truncation coding - reduz a representação–Predictive coding - descarta diferenças altas–Block coding - dicionário aproximado –Transform coding - descarta frequencias altas

Métodos compostos: JPEG, MPEG

Processo de compressão e descompressão

Dados daImagemOriginal

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Imagem Comprimida

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Dados daImagemOriginal

Compressãoda imagem

Imagem Comprimida

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Transporte e/ouArmazenamento

Descompressãoda imagem

¹

¹

Fundamentos da Compressão de Imagens

•codificação

•entre pixels

•psico-visual

A compressão de uma imagem é obtida quando se elimina a redundância de:

Redundância entre pixels

640 colunas x 480 linhas x 1 byte/pixel = 300 KBytes

480*(1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0) = ~18 Kbytes

onde 1 = 32 bytes de preto e 0 = 32 bytes de branco

Compressão - RLE

Objetivo

Reduzir a quantidade de dados redundantes.

Exemplo

AAAAAAxxx 6A3x

Caracterísiticas

Simples e rápido, porém a eficiência depende da imagem a ser comprimida.

Run-Length Encoding

76 76 76 76 76 78 79 79 79 79 80 80

76 | 5 78 | 1 79 | 4 80 | 2

imagem binária

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

7 4

1. . .

5

Compressão do jpeg

Aplicações são tecnologicamente complexas:

exemplo: algoritmo do JPEG

FDCT

SourceImage

QuantizerEntropyEncoder

TableTable

Compressedimage data

DCT-based encoding

8x8 blocks

R

BG

Equations for JPEG DCT

• Forward DCT:

• Inverse DCT:

.1, otherwise ;0yfor x, 2

1 where

16

)12(cos

16

)12(cos),(

4

1),(

7

0

7

0

yxyx

x yyx

CCCC

yjxijiSpixelCCyxDCT

.1, otherwise ;0,for 2

1, where

)12(cos

16)12(

cos),(41

),(7

0

7

0

jiji

x yji

CCjiCC

iyjx

jiDCTCCyxpixel

Visualization of Basis Functions

Increasin

g frequ

ency

Increasing frequency

Organização de pixels num arrayno formato TGA (targa)

b g r ab g r a bb arg

0 1 …

...

arg

w-1x

y

unsigned char *bgra_vector;…offset=4*(w*y+x);blue = bgra_vector[offset];green = bgra_vector[offset+1];red = bgra_vector[offset+2];alpha = bgra_vector[offset+3];

0

12

h-1

3

Pixel (x,y)

Outra ordem no plano

Tipo Abstrato ImagemImage *imgCreate (int w, int h);

void imgDestroy (Image *image);

int imgGetWidth(Image * image);

int imgGetHeight(Image * image);

float * imgGetRGBData(Image * image);

void imgSetPixel3fv(Image *image, int x, int y, float * color);

void imgSetPixel3ubv(Image *image, int x, int y, unsigned char *color);

void imgGetPixel3fv(Image *image, int x, int y, float *color);

void imgGetPixel3ubv(Image *image, int x, int y, unsigned char *color);

Image * imgReadBMP(char *filename);

int imgWriteBMP(char *filename, Image * image);

Image * imgCopy(Image * image);

Image * imgGrey(Image * image);

Image * imgResize(Image * img0, int w1, int h1);

/*- implementação do tipo Imagem */

struct image_imp

int width; /* largura (width) em pixels */

int height; /* altura (height) em pixels */

float *buf; /* buffer RGB */

;

Arquivos Targa RGBA

Cabeçalho Pixels (bgra,bgra, …,bgra)

/* escreve o cabecalho */

putc(byteZero,filePtr); /* no. de caracteres no campo de id da imagem */

putc(byteZero,filePtr); /* imagem nao tem palheta de cores */

putc(imageType,filePtr); /* = 2 -> imagem "true color" (RGBA) */

putuint(shortZero,filePtr);/* info sobre a tabela de cores (inexistente) */

putuint(shortZero,filePtr); /* idem */

putc(byteZero,filePtr); /* idem */

putuint(shortZero,filePtr); /* =0 origem em x */

putuint(shortZero,filePtr); /* =0 origem em y */

putuint(img->width,filePtr); /* largura da imagem em pixels */

putuint(img->height,filePtr); /* altura da imagem em pixels */

putc(bitDepth,filePtr); /* numero de bits de um pixel */

putc(byteZero, filePtr); /* origem canto inf esquedo sem entrelacamento */

unsigned char imageType=2 /* RGB(A) sem compressão */

unsigned char bitDepth=32; /* 32 bits por pixel */

unsigned char byteZero=0; /* usado para escrever um byte zero no arquivo */

short int shortZero=0; /* usado para escrever um short int zero no arquivo */

Organização de pixels num arrayno formato PPM (o mais simples)

00 01 02 0807060503 04 1009 11

0 1 2

...

1312 14

w-1

15 16 17 18 ...

x

y Pixel (x,y)unsigned char *rgb_vector;…offset=3*(w*y+x);red = rgb_vector[offset];green = rgb_vector[offset+1];blue = rgb_vector[offset+2];

01

2

h-1

3

...

Formato PPM• File_signature "P6". • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Width, w, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Height, h, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Max_color, max, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Pixels, (3*w*h bytes rgb components of pixels)

• Comments from # to the end of line• lines 70 characters

Formato PPM

P6# Created by Paint Shop Pro358 539255=?:?A<AC>CE@EFAFGBGHCGHCGHB . . .

exemplo

Gravação em PPM

int ppm_write(int w, int h, unsigned char *rgb, char *file_name) FILE *fp;

fp = fopen(file_name, "wb"); if (fp == NULL) return 0;

if (fprintf(fp, "P6\n%d %d\n255\n", w, h) <= 0) fclose(fp); return 0;

if (fwrite(rgb, 3*w*h, 1, fp) != 1) fclose(fp); return 0;

fclose(fp); return 1;

Leitura em PPMint ppm_read(int *p_w, int *p_h, unsigned char **p_rgb, char *file_name) FILE *fp; char line[80]; int rgb_size; int max;

fp = fopen(file_name, "rb"); if (fp == NULL) printf(”Error reading %s",file_name); return 0; fgets(line,80,fp); if(strcmp(line,"P6\n")) printf(”Wrong signature\n"); return 0;

while (fscanf( fp, " %d ", p_w ) != 1) fgets(line, 80, fp);

while (fscanf( fp, " %d ", p_h ) != 1)

fgets(line, 80, fp); while (fscanf( fp, " %d", &max ) != 1)

fgets(line, 80, fp); fgetc(fp); rgb_size=3*(*p_w)*(*p_h); (*p_rgb) = (unsigned char *) calloc(rgb_size, 1); if ((*p_rgb) != NULL) fread( (*p_rgb), rgb_size, 1, fp ); fclose(fp); return 1;

Programa Simplesvoid main(void) int w, h; // dimensões da imagem unsigned char *rgb; // bytes de rgb unsigned char r,g,b,grey; // componentes de cor int x,y; long int k;

if (ppm_read(&w,&h,&rgb,"test_in.ppm")==0) return; for (y = 0; y < h; y++) for (x = 0; x < w; x++) k = 3*(y*w+x); r = rgb[k]; g = rgb[k+1]; b = rgb[k+2]; grey = (unsigned char)(0.3*r+0.6*g+0.1*b); rgb[k] = grey; rgb[k+1] = grey; rgb[k+2] = grey; ppm_write(w, h, rgb, "test_out.ppm"); free(rgb);

Arquivo BMP

00 01 02 0807060503 04 1009 11

Pixel 0 Pixel 1 Pixel 2 Pixel 3

1312 14

Pixel 4

15

16 17 18 ...

colocado para garantir múltiplo de 4

colocado para garantir múltiplo de 4

Organização dos pixels de uma imagem RGB no arquivo BMP

Microsoft Windows Bitmap - BMP

Características Principais

• Mono, 4-bit, 8-bit, 24-bit• Tipo de compressão: RLE / não comprimido• Tamanho máximo: 64K x 64K pixels• Seções (versão 3):

Header

Info. Header

Palette

Bitmap Data

BMP - Header

typedef struct _Win3xBitmapHeader

WORD Type; /* Image file type 4D42h (“BM”)*/

DWORD FileSize; /* File size (bytes) */

WORD Reserved1; /* Reserved (always 0) */

WORD Reserved2; /* Reserved (always 0) */

DWORD Offset; /* Offset to bitmap data in bytes */

WIN3XHEAD;

BMP - Information Header

typedef struct _Win3xBitmapInfoHeader

DWORD Size; /* Size of this Header (40) */

DWORD Width; /* Image width (pixels) */

DWORD Height; /* Image height (pixels) */

WORD Planes; /* Number of Planes (always=1) */

WORD BitCount; /* Bits per pixel (1/4/8 or 24)*/

DWORD Compression; /* Compression (0/1/2) */

DWORD SizeImage; /* Size of bitmap (bytes) */

DWORD XPelsPerMeter; /* Horz. resol.(pixels/m) */

DWORD YPelsPerMeter; /* Vert. resol.(pixels/m) */

DWORD ClrUsed; /* Num of colors in the image */

DWORD ClrImportant; /* Num of important colors */

WIN3XINFOHEADER;

BMP - Palette

typedef struct _Win3xPaletteRGBQUAD Palette[ ]; /* 2, 16, or 256 elem. */ WIN3XPALETTE;

typedef struct _Win3xRgbQuadBYTE Blue; /* 8-bit blue component */BYTE Green; /* 8-bit green component */BYTE Red; /* 8-bit red component */BYTE Reserved; /* Reserved (= 0) */

RGBQUAD;

BMP - Image Data

Notas

Cada scan line em um arquivo BMP é sempre um múltiplo de 4.

Imagens com1-, 4-, e 8-bits usam uma palheta de cores.

Imagens com 24-bits guardam a cor diretamente, na ordem azul, verde e vermelho.

O armazenamento da imagem é sempre feito a partir do canto esquerdo inferior.

Esquemas de armazenamento de imagens

Verm.

Verde

Azul

Pixe

l 2

Plano de Cores

00 01 02 060503 04

07 08 09 . . .

Pixe

l 0

Pixe

l 5

Pixe

l 4

Pixe

l 3

Pixe

l 1

06

06

Organização dos pixels de uma imagem por planos de cores

Ban

cos

(Jav

a)

Informação é uma componente da cor

(Data Buffer – Java)

Transformações Geométricas na Imagem

Amostragem

e

Reconstrução

Transformações R2 R2

xy

yx

y

x 2

'

'

Exemplos:

x

yx´

y´ p´ =

x

y

y

xf

y

x'

'

pp T'

x

yp =

yx

yx

y

x 52'

'

)sin(

)cos('

'

yx

yx

y

x

Transformações lineares R2 R2

x

y

m11 x´

y´ =

m21 m22

m12

Mostre que:

1 0

x

y

0 1

m11 m21

1 0

T =

m12 m22

0 1

T =

T (0) = 0A)

B)

0)()()()0( pppp TTTT

222112211 ),()()( RpRpppp ii eaTaTaaaT

Transformações lineares: escala

x

y

a =x

y

x´

y´ a =

Redução (0< sx <1) ,Aumento (sy >1)

c

b

y

x

s

s

ys

xs

y

x

y

x

y

x

0

0

'

'

y

x

s

s

0

0S

x

y

i

j

0)( xs

T i

ysT

0)(j

Transformações lineares: espelhamento

x´ = -1xy´ = y

x

y

x´

y´ p' =

=px

y

y

x

y

x

y

x

10

01

'

'

x

y

i

j

0

1)( iiT

1

0)( jjT

10

01yE

Transformações lineares: rotação

x´

y´ p' =

x´

y´

a

r

x´ = x.cos q - y.sen q y´ = x.sen q + y.cos q

x

y

p =x

yqar

r

sincoscoscos

sinsincoscos

rr

rr

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

r

sinsin - coscos )cos(

sincos cossin )sin(

)sin(

)cos(

'

'

r

r

y

x

Transformações Lineares:matriz derivada pela geometria

x

y

q

sin

cos)(iT

cos

sin)(jT

i

j

cossin

sincosR

cossin

sincosR

Mudança de referêncial

x

y

p =x

y

x

y

cos q u

v=

sen q cos q

-sen q

u

v

u

vou

- qx

y

p =

x´

y´ p'=

x

yq

x

yux

u

v=

vxvy

uy

Para montarmos a matriz que transforma as coordenadas de um refencial xy para um novo refencial uv basta escrevermos as linhas como sendo os unitários das direções.

x

y

q

sin

cos)(iT

cos

sin)(jT

i

j

cossin

sincosR

Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados

• As coordenas de um ponto rodado de um ângulo em relação a um sistema são iguais as coordenadas do ponto original em relação a um sistema que sofre a rotação inversa.

• Como o novo sistema sofre a rotação inversa, a matriz de rotação é a inversa da matriz que levaria da base original para a este novo sistema.

• As colunas de uma matriz de uma rotação são as transformadas dos vetores da base e a transposta desta matriz é a sua inversa (rotaçãomatriz ortonormal).

• Logo as linhas da matriz que escreve uma mudança entre bases ortonormais rodadas são as coordenadas do vetores da nova base em relação a base original.

y

x

y

yx

y

x

10

tan1tan

'

'

Transformações lineares: cisalhamento (shear)

Cisalhamento em x

x

x

yy

x

y

ij

0

1)( iiT

1)(

tgT j

10

1 tgShx

Exemplo de aplicação do cisalhamento

x

y

a

b

cplano de projeção

m

x

y

a' m'

x

y

c'

b'

a' m'

R

ySh

Exemplo de aplicação do cisalhamento

2

xy

1

4

y

xyx

x

y

x12

101

2'

'

x

y

a x

y

c'

b'

a' m'

5

4

2

4

2'

'

xyy

xx

i

)(jj T

)(iT

Decomposição Singular de Matrizes

USVM diagonal

rotações

0.7991650.601112

0.601112-0.799165

1.3294760

00.752176

0.6011120.799165-

0.7991650.601112

10

5773.01

10

5773.01

10

30tan1 0

M

)cos(37)sin(37

)sin(37-)cos(37

1.3294760

00.752176

)cos(-53)sin(-53

)sin(-53-)cos(-53

10

30tan100

00

00

000

)37()329.1,752.0()53()30( 000 RSRSh x

Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala

10

5773.01

0.7991650.601112

0.601112-0.799165

1.3294760

00.752176

0.6011120.799165-

0.7991650.601112

)30( 0xSh

)37( 0R

S

)53( 0R

Transformações Geométricas: Translação

x

y

p

p'

tx

ty

t =

x

yp' =

tx

ty

+=x’

y’

x

y

? x´

y´ =

? ??

x

y

1 x´

y´ =

0 10 tx

ty

+

Não pode ser escrito na forma

Ruim paraimplementação

Translação num plano do R3

yh

xh

w

w=1

x

y

t

1100

10

01

1

'

'

y

x

t

t

y

x

y

x

matriz de translação

Concatenação

x

y

x0

y0

a

x

y

x

y

a

x

y

x0

y0

1 0

0 1

0 0 1

0

0

x

y 1 0

0 1

0 0 1

0

0

x

y

cos sin

sin cos

0

0

0 0 1

x

y

x

y

x

y

x

y

'

'

cos sin

sin cos

1

1 0

0 1

0 0 1

0

0

0 0 1

1 0

0 1

0 0 1 1

0

0

0

0

Concatenação

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

yT1

R1

E

R2

T2P’= T2 R2 E R1 T1 PP’= T2 R2 E R1 T1 P

Coordenadas projetivas(ou homogêneas)

x

yp

wx

wy

w

xh

yh

w

= =

x

y

1

=D =D

yh

xh

w

w=1

x

y

wx

wy

w

x = xh /w

y = yh /ww>0

Ex.:

3

2

1

3

2

6

4

2

9

6

3

==D =D

p

Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito)

yh

xh

w

w=1

x

y

2

3u =

u

uh

2

3

0

=?

?

w=1

uh

wh1

c1h2 = c2

h3

c3

2

3

2

2

3

1

2

3

1/2

2

3

1/4

2

3

0

. . .

1

1.5

2

3

4

6

8

12

infinitona

direção(2,3)

infinitona

direção(2,3)

h1 h2 h3 h4

c1 c2 c3 c4

Reta no espaço projetivo

yh

xh

w

reta: ax+by+c=0

plano: ax+by+cw=0

plano: w=1

Reta paralelas no espaço projetivo

yh

xh

wplano: ax+by+c1w=0

reta: ax+by+c 1 =0

reta: ax+by+c 2 =0

plano: ax+by+c2w=0

reta= ax+by =0

plano: w=1

Deformação sem paralelismo

yh

xh

w

w=1

x

y

yh

xh

w

w=1

x

y

Matriz da Homografia

?H

u

v

x

y

0

0

v

u

1

1

v

u

2

2

v

u

3

3

v

u

0

0

y

x

1

1

y

x

2

2

y

x

3

3

y

x

NP

A

APNH

[A] : Afim

100

00301

00301

yyyyy

xxxxx

A

x

y

0

0

y

x

1

1

y

x

2

2

y

x

3

3

y

x

?A

110012

2

1

00301

00301

2

21 y

x

yyyyy

xxxxx

y

x

A Obs: Se fosse um

paralelograma a imagem do ponto 2 seria (1,1)T

e não (α, )T

[P] : Projetiva

111

00

00

P

?P

[N] : Paralelograma para quadrado unitário

TLN 1

u

v

0

0

v

u

1

1

v

u

2

2

v

u

01

01

vv

uu

03

03

vv

uu

3

3

v

u

100

10

01

0

0

v

u

T

1

1

100

0

0

0301

0301

vvvv

uuuu

L

1L

Fundamentals of Texture Mapping and Image Warping

“Explained”A revisit of Paul Heckbert’s

M.Sc. Thesis

Um exemplo 1D

)(uf

u

)(ufc

Nk

kkkc uurwuf )()(

u

Sinal de entrada discreto

Textura discreta Textuta contínua

Deformação da textura (warping)

Nk

kkkc uurwuf )()(

)(ufc

u))(()( 1 xmfxg cc

)(xgc

x

)(umx

)(1 xmu

))(()( 1k

Nkkkc uxmrwxg

Textuta contínua deformadaTextuta contínua

Limitando a freqüência

)(xgc

))(()( 1 xmfxg cc

x

)(xgc

)()()(' xhxgxg cc

x

Filtro de re-amostragem

R

cc dttxhtmfxg )())(()(' 1

)()()(' xufxg kNk

kc

)()()(' xhxgxg cc

R Nk

kkkc dtuxmrwtxhxg ))(()()(' 1

R

kkk dtutmrtxhx ))(()()( 1

R

kkk duu

muurumxhx )())(()(

)(umt

duu

umdt

)(

Reconstrução, warping, filtragem e amostragem

Textura em imagem

v

ji

ijkijc rff,

)()()( uuuu

u

v

u

Textura em imagem

ji

ijkijc rff,

)()()( uuuu

v

u x

y)(umx

))(()( 1 xmx cc fg

)(1 xmu

Filtro de re-amostragem no espaço de destino (espaço da imagem)

A

cc dAhfg ttxtmx )())(()(' 1

)()()(',

xux ijji

ijc fg

)()()(' xxx hgg cc

A

tji

ijijijc dArfhg,

1 ))(()()()(' uxmutxx

A

ijijij dArh tutmtxx ))(()()( 1

destination space integral

Filtro de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

)()()(',

xux ijji

ijc fg

A

ijijij dArh tutmtxx ))(()()( 1

R

ijijij drh uu

muuumxx )())(()(

)(umt

R

ijijij drh uJuuumxx )())(()(

)(det)(

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

yv

x

u

x

ddd

u

u

umuJt

)(1 tmu

R

ijijij drh uJuuumxx )())(()(


cJuculumx )()( 11111 )()( cxJcxlxmu

))(()(

))(()(1

1

uxmJumx

uxmmumx

ijijcJux

cJux

22

11

)( 2121 uuJxx

R

ijijij drh uuuuxmJJx )()))((()( 1

R

ijijij drh tttuxmJJx )()))((()( 1

ijuut ut dd tuu ij

R

ijijij drh tttuxmJJx )()))((()( 1

)()(' uJJu hh

R

ijijij drh tttuxmx )()))(((')( 1

))()('()( 1ijijij rh uxmx


texture space integral

Mapeamentos lineares afins

11001

v

u

fed

cba

y

x

100

1

1

v

u

bdae

afcdab

cebfde

bdaev

u

ed

ba

v

y

u

yv

x

u

x

J

cJuculumx )()(

f

c

v

u

ed

ba

y

x

11111 )()( cxJcxlxmu

)()(' uJJu hh ),()(),(' evdubvauhdbaevuh

Elliptical Gaussian Resampling

Gaussiana

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eG

2

2

0

0

V

0

02

1V

y

xyxT

2

21

10

01

xVx2

22

yx

2

22

222

1),(

yx

eyxG

2

2

2

2

1)(

x

exG

Gaussiana

2

22

222

1),(

yx

eyxG

2

2

2

2

1)(

x

exG

2

2

2

2

1)(

y

eyG

2

22

2

2

2

2

22

222 2

1

2

1)()(),(

yxyx

eeeyGxGyxG

Circulos e Elipses

v

u

dc

ba

y

x222 Ryx

2Ry

xyx

2R

v

u

dc

ba

db

cavu

2

22

22

Rv

u

dbcdab

cdabcavu

2

2

2 Rv

u

CB

BAvu

FCvBuvAu 22

Warping de domínios de Gaussianas

2

22

2

1),(

vu

evuG

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eG

CB

BA

2/

2/V

.22 contCyBxyAxT Vxx

Filtro Gaussiano de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

Exemplo de reconstrução com Gaussiana

Implementação do Filtro Gaussiano

IRH k

))(()( 1 kkk Tg uxmxIJJ

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eg

IJJV T1

Magnificação e mimificação

Regiões que mapeiam num quadrado ou círculo

Nosso problema

Screen space Texture space

Como tratar o caso geral

...)( Jucumx

FIM

Adding a lens

• A lens focuses light onto the film– There is a specific distance at which

objects are “in focus”• other points project to a “circle of confusion” in

the image

– Changing the shape of the lens changes this distance

“circle of confusion”

Lenses

• A lens focuses parallel rays onto a single focal point– focal point at a distance f beyond the plane

of the lens• f is a function of the shape and index of refraction of the lens

– Aperture of diameter D restricts the range of rays• aperture may be on either side of the lens

– Lenses are typically spherical (easier to produce)

focal point

F

optical center(Center Of Projection)

Thin lenses

• Thin lens equation:

– Any object point satisfying this equation is in focus– What is the shape of the focus region?– How can we change the focus region?– Thin lens applet: http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/Lens/lens_e.html (by Fu-Kwun Hwang )

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/Lens/lens_e.html

Depth of field

• Changing the aperture size affects depth of field– A smaller aperture increases the range in

which the object is approximately in focus

f / 5.6

f / 32

Flower images from Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Depth_of_field

http://en.wikipedia.org/wiki/Depth_of_field

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Jonquil_flowers_at_f32.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Jonquil_flowers_at_f5.jpg

Lentes reais

Câmera obscura e Camera “pin-hole”

Sensor Fujifilm

O que é registrado nos sensores (CCD, CMOS...)

yim

xim0

1 3 4

1

2

0

3

2

sx

sy

5

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