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Imagine dois objetos eletrizados, com cargas de mesmo sinal, inicialmente afastados. Paraaproximá-los, é necessária a ação de uma força externa, capaz de vencer a repulsão elétrica entre eles. O trabalho realizado por esta força externa mede a energia transferida ao sistema, na forma de energia potencial de interação elétrica.Eliminada a força externa, os objetos afastam-se novamente, transformando a energia potencial de interação elétrica em energia cinética à medida que aumentam de velocidade.O aumento da energia cinética corresponde exatamente à diminuição da energia potencial de interação elétrica.
O potencial elétrico
Com relação a um campo elétrico, interessa-nos a capacidade de realizar trabalho, associada ao campo em si, independentemente do valor da carga q colocada num ponto desse campo. Para medir essa capacidade, utiliza-se a grandeza potencial elétrico.Para obter o potencial elétrico de um ponto, coloca-se nele uma carga de prova q e mede-se a energia potencial adquirida por ela. Essa energia potencial é proporcional ao valor de q. Portanto, o quociente entre a energia potencial e a carga é constante. Esse quociente chama-se potencial elétrico do ponto.
O potencial elétrico
A diferença de potencial entre dois pontos, em uma região sujeita a um campo elétrico, depende apenas da posição dos pontos. Assim, podemos atribuir a cada ponto um potencial elétrico, de tal maneira que a diferença de potencial entre eles corresponda exatamente à diferença entre seus potenciais, como o próprio nome indica.Fisicamente, é a diferença de potencial que interessa, pois corresponde ao trabalho da força elétrica por unidade de carga.
O potencial elétrico
Energia no movimento de uma carga em campo elétrico
EF QE =Força na carga devida ao campo elétrico:
Componente da força aplicada a uma carga na direção de deslocamento dL:
LLEEL QF E.a.aF ==
Lapl QF E.a−=Força externa aplicada em oposição à do campo:
Trabalho diferencial realizado por uma força externa para mover a carga:
∫−=⇒−=−=final
inícioL dQWdQdLQdW LE.LE.E.a
Integral de linha em um campo uniforme
Integral de linha em um campo uniforme
∫−=final
iníciodQW LE.
A integral acima pode ser resolvida de forma simplificada,ao longo da componente EL (componente de E ao longo de dL): ∫−=
final
iníciodLEQW .
A integral pode ser mais facilmente resolvida dividindo-se o caminho em um grande número de pequenos segmentos.
)...()...( 22112211 nnnLnLL QWLELELEQW L.EL.EL.E ∆++∆+∆−=⇒∆++∆+∆−=
Se o campo for uniforme, tem-se:
nEEE === ...21
BAn QQW E.LLLLE. −=∆++∆+∆−= )...( 21
Vetor do ponto B ao ponto A
BA
A
BQdLQW E.LE. −=−= ∫
Diferença de potencial e potencial
Diferença de potencial é o trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga unitária positiva de um ponto B a outro ponto A em um campo elétrico:
BA
Afinal
BinícioAB VVdVQW
−=−== ∫ volts:
:LE.
1) No cálculo de VAB, B é o ponto inicial e A é o ponto final.2) Observar que a diferença de potencial é definida em temos de uma carga unitária.
Diferença de potencial entre dois pontos A e B, nas distâncias radiais rA e rB(mesmos valores para θ e φ) de uma carga pontual Q, localizada na origem de coordenadas esféricas:
rrr rQE aaE
2
04πε== rdrd aL =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−=⇒ ∫∫
BA
rA
rB
A
BAB rrQdr
rQdV 11
44
0
2
0 πεπεLE.
Campo potencial de uma carga pontual
Agora, os pontos A e B são genéricos (diferentes valores de θ e φ).
O campo elétrico possui apenas componente radial.
O caminho diferencial possui as três componentes.
Campo potencial de uma carga pontual
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=++++−=−=⇒ ∫∫∫
BA
rA
rB
A
B rrr
A
BAB rrQdr
rQdrrdrdrEdV 11
44 sen00
0
2
0 πεπεφθ φθφθ aaa.aaaLE.
Mais uma vez mostra-se que a diferença de potencial entre 2 pontosdepende, apenas, da distância entre eles, e não do caminho.
Para definir o potencial em um ponto qualquer a r metrosda carga pontual Q, faz-se r = rB tender ao infinito e a expressão se torna:
rQ
rQV
AA
00 44 πεπε==⇒
Com r = rB no infinito, o potencial de referência torna-seZERO. Caso não se deseje utilizar uma referência ZERO,pode-se usar a expressão:
1
04C
rQV +=⇒πε
Potencial de um sistema de carga - Campo Conservativo
Potencial em um ponto P, localizado em r, devido a uma carga pontual única Q1, localizada em r1, com referência em zero (infinito) :
10
1
4)(
rrr
−=
πεQV
Para n cargas, teremos:
∑=
= −=
−++
−+
−=
nm
m m
m
n
QQQQV1 00
3
20
2
10
1
44...
44)(
rrrrrrrrr
πεπεπεπε
Para um elemento de distribuição volumétrica de carga (ρ∆v), tem-se:
∫ −=
−∆
++−∆
+−∆
=vol
v
n
nnvvv dvvvvV'4')'(
4)(...
4)(
4)()(
0020
22
10
11
rrr
rrr
rrr
rrrr
περ
περ
περ
περ
Para um elemento de distribuição linear ou de superfície, vem, respectivamente:
∫∫ −=
−=
S
SL dSVdLV'4')'()(
'4')'()(
00 rrrr
rrrr
περ
περ
Potencial de um sistema de carga - Campo ConservativoResumo
1) O potencial devido a uma carga pontual é o trabalho realizado para levar uma carga positiva do infinito até ao ponto no qual desejamos calcular o potencial, independente do caminho escolhido;
2) O potencial de uma quantidade de cargas pontuais é a soma dos potenciais individuais de cada carga;
3) O potencial devido a um certo número de cargas pontuais ou quaisquer distribuições contínuas de cargas pode ser obtido levando-se uma carga do infinito ao ponto em questão, independentemente do caminho escolhido.
∫∫ =−=−=∞
A
BBAAB
A
A dVVVdV LE.LE.
4) O trabalho necessário para deslocar uma carga unitária ao longo de um percurso fechado é nulo, ou seja:
∫ = 0LE.d
Neste caso, o campo é dito Campo Conservativo.
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
∫−= LE.dVRelação entre E e V a partir de uma integral de linha genérica:
Aplicando-se a relação acima a elementos muito pequenos, pode-se supor Eaproximadamente constante. Logo,
θθ coscos EdLdVLE.VdV −=⇒∆−≅∆⇒−≅∆ LE.
O valor máximo de ∆V ocorrerá quando o deslocamento estiver no sentido oposto ao de E, ou seja, quando cos θ for = – 1. Assim, teremos:
EdLdV
máx
=
- O módulo do campo elétrico é dadopelo máximo valor da taxa de variaçãodo potencial com a distância;
- O valor máximo é obtido quando osentido de E é oposto ao sentido no qual o potencial cresce mais rapidamente.
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Partindo da relação vista anteriormente, na direção do potencial crescente, temos:
0=∆−≅∆ LE.V
Considerando que nem o campo nem o deslocamento são nulos, conclui-seque ambos são ortogonais.
Dipolo Elétrico
Um dipolo elétrico é umconjunto formado por duascargas pontuais, iguais emmódulo, porém com sinaisopostos. A distância entreAs cargas deve ser pequenacompara à distância até oponto P.
A diferença de potencialentre os dois pontos ondese encontram as cargas é:
2 1
0 1 2 0 1 2
1 14 4
R RQ QVR R R Rπε πε
⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dipolo Elétrico
Para um ponto P distante,podemos considerar
R1 = R2 = r.Além disto, R1 será,aproximadamente, paraleloa R2.Assim, temos:
20
cos4
QdVr
θπε
=
Como d.cos θ = d.ar, temos:
20
.4
rVrπε
=p a
Dipolo Elétrico
A figura ao lado mostra o campo eletrostático devido a um dipolo pontual, com o momento na direção az.As linhas numeradas representam 6 superfícies equipotenciais.
Exercícios
23Exercício E 4.1Dado o campo elétrico V/m, use a expressão dW = -Q d para encontrar o trabalhorealizado ao mover uma carga de 7 C ao longo de um caminho incremental de 1 mm de compri
x y zz y xµ
= − +D a a a E Li
2 6 3
A
B
C
mento, nadireção do vetor , localizado em:a) P (1;2;3);b) P (2;0;-4);c) P (6;1;-7).
Exercício E 4.2Mostre que é realizado o mesmo trabalho ao mover-se uma carga de -10 C, da origem até o pon
x y z− −a a a
2 36 2 6
4
to (1;2;3),no campo , ao longo dos caminhos a seguir:a) Segmentos de linha reta (0;0;0) (1;0;0) (1;2;0) (1;2;3);b) Linha reta y = 2x, z = 3x;c) Curva y = 2x, z = 3x .
Exercício E 4.
x y zx y x z= + +
→ → →
E a a a
53
Se um campo varia no tempo ele não é conservativo. Seja o campo V/m em t = 0. Que trabalhoseria realizado nesse instante para deslocar uma carga de 0,4 C de (0;0;0) a (1;2;0) ao longo dos
xxy=E E acaminhos:
a) (0;0;0) (1;0;0) (1;2;0);b) (0;0;0) (0;2;0) (1;2;0);
→ →→ →
Exercícios240 20 2
PQ
Exercício E 4.4Dado o campo V/m, calcule:a) V , dados P(1;-1;0) e Q(2;1;3);b) V no ponto P(1;-1;0), se a referência zero está no ponto Q(2;1;3);c) V no ponto P(1;-1;0), se a refer
x y zxy x= + +E a a a
ência zero está na origem.
Exercício E 4.5Uma carga de 1,6 nC está localizada na origem no vácuo. Determine o potencial em r = 0,7 m se:a) A referência zero está no infinito;b) A referência zero está e
0 0
0,55 1,0
( ') '( ') '( ) ( )4 ' 4 '
m m;c) V em m
Exercício E 4.6
Usar uma das equações e para determinar o potencial no
ponto (0;0;10) causado por cada uma das seguintes
SLS
rV r
dSdLV V ρρπε πε
== =
= =∫ ∫rrr r
r - r r - r
2
2
distribuições no vácuo:a) Anel = 5 nC/m, = 4, z = 0;b) Disco = 2 nC/m , 0 4, z = 0;c) Disco furado = 3 nC/m , 2 4, z = 0
L
S
S
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
≤ ≤
≤ ≤
Exercícios
2 250 20
;P
P
N
Exercício E 4.8Dado o potencial V no vácuo, encotre:a) V no ponto (1;2;3);b) ;c) d) dV/dN em P;e) em P.
Exercício E 4.9
Um dipolo situado na origem, no vácuo, tem um momento igual
V x yz y
ρ
= +
E
a
( )0,6 0,75 0,80
A
B
C
D
a 400 C m.
Determine o potencial nos pontos:a) P (0;0;5);b) P (0;5;0);c) P (5;0;0);d) P (2;3;4).
Exercício E 4.10Um dipolo localizado no vácuo é formado por uma carga de 1 nC em (0;
x y zπε − +a a a i
; 0 ),o
0;0,01) e outra de -1 nC em(0;0;-0,01). Com relação ao ponto P(r=0,2; =45 determine:a) ;b) ;c) O módulo do campo que seria produzido pela carga de +1 nC agindo sozinha.
oθ φ =EE
Respostas dos exercícios
4.1) 75; )14; )14 .4.2)310; )310; )310 .4.3)0; ) 2 .4.4)106; )106; )20 .4.5)20, 5; ) 8, 22; )11,16 .4.6)104, 9; )87, 0; )97, 0 .
Ea b c nJEa b c JEa b JEa b c VEa b c VEa b c V
−
−
−
Respostas dos exercícios
3
4.7) 750 ; ) 325 700 ; ) 350 950 / .
4.8)380 ; ) 600 230 100 / ; ) 5, 67 /
) 0, 923 0, 354 0,154 .
4.9)3, 2; ) 3; )2, 4; )1, 597 .4.10)31, 8 15, 89 ;
y x y x y
x y z
x y z
r
Ea a b a a c a a V m
Ea V b a a a V m c nC m
d a a a
Ea b c d VEa a aθ
− − − − −
− − − −
− + +
−
+ 35, 5; 241 / .4.11)44, 5; )33, 4 m .
V mEa b J
