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IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIAIMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA A geometria é de extrema importância no
cotidiano das pessoas, pois desenvolve o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguiriam resolver as diferentes situações de vida que forem geometrizadas resolvendo ainda questões de outras áreas de conhecimento humano. A Geometria torna a leitura interpretativa do mundo mais completa, a comunicação das idéias se ampliam e a visão de Matemática torna-se fácil de se entender.
NESSA PONTE, PODEMOS VER UMA
CONTRIBUIÇÃO DA GEOMETRIA PARA
A SOCIEDADE ATUAL.
O QUE É PARALELISMO?O QUE É PARALELISMO? Em geometria, Paralelismo é
uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Assim, duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto em comum, logo, dadas duas retas coplanares distintas e uma transversal, se existem pares de ângulos congruentes (ou ângulos correspondentes), então essas duas retas são paralelas.
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA PARALELAS CORTADAS POR UMA
TRANSVERSALTRANSVERSAL Consideremos as retas r e s traçadas em um mesmo plano, sem pontos
comuns, essas retas são consideradas paralelas; uma outra reta t, que corta as paralelas considerada transversal ou secante, que é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
Essas retas determinam oito ângulos que possuem propriedades específicas em congruência e suplemento.
TRANSVERSALTRANSVERSAL
TRANSVERSAL PERPENDICULAR ÀS RETAS
TRANSVERSAL NÃO-PERPENDICULAR ÀS RETAS
Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°).
Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.
Ângulos alternos internos: c e e d e f.
Ângulos alternos externos: b e h a e g.
Ângulos colaterais internos: c e f d e e.
Ângulos colaterais externos: b e g a e h.
Ângulos correspondentes: d e f a e e c e g d e h.
TIPOS DE ÂNGULOSTIPOS DE ÂNGULOS POSIÇÃO
Ângulos colaterais internos: estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180º(suplementares).
Ângulos colaterais externos: estão do mesmo lado da transversal, fora das retas paralelas, a soma dos ângulos é 180º (suplementares).
Ângulos alternos internos: estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais (congruentes).
Ângulos alternos externos: estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice (congruentes).
Ângulos correspondentes: apresentam a mesma medida, com demarcação estabelecida a um mesmo lado da transversal (congruentes).
TEOREMA DAS RETAS PARALELASTEOREMA DAS RETAS PARALELAS
" Se duas retas coplanares e distintas
r e s, e uma transversal t,
determinam um par de ângulos alternos
congruentes, então r é paralela a s.”
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º
Segmentos proporcionais e os
triângulos semelhantes na Antiguidade
HISTÓRIAHISTÓRIA
Tales de Mileto, matemático e filósofo grego do século VI a.C., certa vez, apresentou-se ao Rei do Egito, oferecendo-se para calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.
O RACIOCÍNIO DE TALES NAS O RACIOCÍNIO DE TALES NAS PIRÂMIDESPIRÂMIDES
Nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.
estaca
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE
Alturada pirâmide
(h)
Alturada
estaca(2 m)
115 mbase
250 msombra
5 msombra
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE
Alturada pirâmide
(h)
Alturada
estaca(2 m)
115 mbase
250 msombra
5 msombra
mh
h
h
1465
365
2
5
250115
2
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
* Os três ângulosângulos internos são ordenadamente congruentescongruentes.
Dois triângulos são semelhantessemelhantes, se e somente se:
* Os lados homólogoslados homólogos (mesma posição) são proporcionaisproporcionais.A
B C
A’
B’ C’a a’
b’bcc’
kc
c
b
b
a
aCBAABC
''''''~
k = razão de semelhança
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TEOREMA FUNDAMENTAL
A B
C
D E
Se uma reta é paralela a um dos lados de um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro:
CDECAB ~
CASOS DE CONGRUÊNCIA
1- LAL dois lados iguais e o ângulo entre eles congruentes.
2- ALA dois ângulos iguais e o lado entre eles congruentes.
3- LLL lados homólogos iguais.
* Os casos AAL e ALL só são válidos se o triângulo for retângulo.
CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS
BASE MÉDIA
x
A
B C
M N
B
b
2
BCMN
2
bBx
TEOREMA DE TALES
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes de outra.
A
B
A’
B’
C
D
C’
D’
''
''
DC
BA
CD
AB
As medidas dos segmentos correspondentes nas transversais
são diretamente proporcionais.
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes:
A
B C
c b
Dx y
y
b
x
c
A
B C
c b
Dx y
r s
Ângulos alternos internos
Ângulos correspondentes
r//s E
Demonstração:
y
b
x
c
A
B C
c b
Dx y
r
E
Logo o triângulo ACE é
isósceles AC = AE = b b
Pelo Teorema de Tales temos:
s
r//s
A
BC
D
CD
AC
BD
AB
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
A
BC
D
Dica para a demonstração:
...pelo Teorema de Tales:
A
BC
D
CD
AC
BD
AB
c b
x
y
OO
TRIÂNGULOTRIÂNGULO
RETÂNGULRETÂNGULOO
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Significado:
Trigonometria
Tri trêsgono ângulosmetria medição
É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de
um triângulo retângulo.
Aplicação:
É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc.
É indispensável à engenharia e à física.
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa
A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
HIPOTENUSA E CATETOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto catetocateto
hipotenusa
RELAÇÕES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULOtg x = Cat.Oposto
Cat. Adjacente
sen x = Cat.Oposto Hipotenusa
cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa
Tabela de razões trigonométricas:(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg
2
1
2
2
2
3
2
3
2
22
1
1 3
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg 2
3
3
OUTROS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a: é a hipotenusa.b e c: são os catetos.h: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
hbc
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h
Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:
h
(I) + = 90º
A
B H C
(II) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = .
Portanto, = .
(I) + = 90º
(III) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = .
Portanto, = .
(I) + = 90º
CONCLUSÃO
Como = e = , os triângulos ABC, ABH
e ACH são semelhantes pelo caso (AA). h
A
B H C
A
B CB H H C
A A
1ª RELAÇÃO MÉTRICA
nmh
h
m
n
h
2
h
b
m
A
H C
hc
n
A
HB
2ª RELAÇÃO MÉTRICA
amb
b
m
a
b
2
h
b
m
A
H C
bc
A
B Ca
3ª RELAÇÃO MÉTRICA
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
anc
a
c
c
n
2
4ª RELAÇÃO MÉTRICA
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
cbhaa
b
c
h
TEOREMA DE PITÁGORAS(5ª RELAÇÃO MÉTRICA)
a
mn
hbc
2ª relação: b² = m . a3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
anc
amb2
2
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
1ª e 4ª RELAÇÃO MÉTRICA SOB OUTRAS PERSPECTIVAS
Ba = m + n
CH
n
bh
A
m
c
A
m
c
HB
h
CH
n
bh
n
h
h
mtg
nmh .2
A área do triângulo ABC pode ser calculada por:
2
.
2
. cbha
cbha ..
A
RESUMO
a
mn
hbc
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de
demonstração matemática. O Teorema de Pitágoras é
provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática, estabelece
uma relação simples entre o comprimento dos lados de um
triângulo retângulo.
TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS
A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Triângulo Retângulo
A área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados
menores
Triângulo Retângulo
A área do quadrado
é dada por a2
b c
b
c
b + c
Efetuando a soma das áreas temos:
22 )(2
.4 cb
cba
222 22 cbcbbca 222 cba
a
a
Triângulo Retângulo
b2
c2
Conclusão:
a2 = b2 + c2
Isto é, a área do quadrado maior é a soma das áreas
dos quadrados menores
a2
aa
c
b
Triângulo Retângulo
l
l
2l
22
222
.2 ld
lld
2ld
2
l
2
l
l lh
22
2
2h
ll
€
⇒ l2 −l2
4= h2
22
4
3h
l
2
3lh
Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero