Impresso Total

Disciplina

Cálculo Diferencial Integral

Coordenador da Disciplina

Prof. Jonatan Floriano da Silva

5ª Edição

Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores.

Créditos desta disciplina

Realização

Autor

Prof. Celso Antonio Silva Barbosa

Colaborador

Prof. Marcelo Ferreira de Melo

Sumário Aula 01: Função ........................................................................................................................................ 01 Tópico 01: Conceito e Notação de Função ............................................................................................ 01 Tópico 02: Operações com funções ....................................................................................................... 07 Tópico 03: Gráfico de Função ................................................................................................................ 13 Tópico 04: Exemplos de Funções .......................................................................................................... 19 Aula 02: Limite e Continuidade ............................................................................................................... 28 Tópico 01: Limites de Funções .............................................................................................................. 28 Tópico 02: Limites no Infinito e Infinito ............................................................................................... 37 Tópico 03: Limites de Funções Envolvendo Seno e Co-seno ................................................................ 44 Tópico 04: Continuidades ...................................................................................................................... 48 Aula 03: Derivada ..................................................................................................................................... 53 Tópico 01: Reta Tangente ...................................................................................................................... 53 Tópico 02: Taxa de Variações ................................................................................................................ 58 Tópico 03: Derivadas de Funções .......................................................................................................... 61 Tópico 04: Fórmulas de Derivação ........................................................................................................ 70 Tópico 05: Derivação Implícita...............................................................................................................80 Aula 04: Aplicações da Derivada.............................................................................................................86 Tópico 01: Valores Extremos e Teorema do Valor Médio....................................................................86 Tópico02: Testes para Extremos Locais.................................................................................................94 Tópico 03: Convexidade, Concavidade e Gráfico................................................................................101 Aula 05: Funções Transcendentes..........................................................................................................113 Tópico 01: Funções Trigonométricas....................................................................................................113 Tópico 02: Funções Trigonométricas Inversas.....................................................................................120 Tópico 03: Função Logarítmica Natural...............................................................................................128 Tópico 04: Função Exponencial na Base Neperiana.............................................................................136 Tópico 05: Funções Exponencial e Logarítmica mais Gerais...............................................................140 Aula 06: Integrais e Aplicações...............................................................................................................145 Tópico 01: Integral Indefinida e Fórmulas de Integração.....................................................................145 Tópico 02: Aplicações da Integral Indefinida.......................................................................................158 Tópico 03: Integral Definida e Teorema Fundamental do Cálculo.......................................................166 Tópico 04: Área de uma Região no Plano.............................................................................................172

TÓPICO 01: CONCEITO E NOTAÇÃO DE FUNÇÃO

MULTIMÍDIA

Ligue o som do seu computador!

OBS.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas,

como vídeos legendados e animações, requerem a instalação da versão

mais atualizada do programa Adobe Flash Player©. Para baixar a versão

mais recente do programa Adobe Flash Player, clique aqui! [1]

Neste tópico será apresentada a"função"que é o elemento fundamental

no estudo do Cálculo Diferencial e Integral (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.). Inicialmente será definido o tipo particular de

função que se estudará neste texto, que é a função real de uma variável real;

existem funções mais gerais que tal função. Em seguida, serão definidas as

operações algébricas com funções e os conceitos de composição de funções e

função inversa. A função está presente em quase todos os ramos da

Matemática e em outras ciências, daí sua importância.

Antes de definir o que é função, considere alguns exemplos de relações

funcionais (São relações dadas através de equações (ou regras ou leis de

formações) envolvendo duas grandezas satisfazendo certas condições, tais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

AULA 01: FUNÇÃO

FUNÇÃO

“A função está presente em quase todos os ramos da Matemática e

em outras ciências, inclusive em Física e Química, daí sua relevância na

vida prática; esta aula é o passo inicial de um longo percurso que o

estudante terá na sua formação. Em relação a outras partes da

Matemática que já estudamos até o Ensino Médio, o surgimento da

função é recente; a palavra “função” foi introduzida pelo matemático

alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) em 1694, para descrever

quantidades relacionadas a uma curva, que não tem nada haver com o

significado moderno; a palavra função foi posteriormente usada pelo

matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) e criou a notação usada

até a época atual; o entendimento moderno do significado de função foi

uma contribuição do matemático alemão Peter Gustav Lejuine Dirichlet

(1805-1859); entretanto, foi somente com a teoria dos conjuntos da

análise moderna do matemático inglês George Boole (1815-1864) e

outros, que o conceito finalmente teve sua formalização. Estendendo a

definição de função, os matemáticos foram capazes de estudar objetos

matemáticos, inicialmente considerados como puramente imaginários e

até chamados genericamente de “monstros”, tais objetos matemáticos

foram já no final do século XX, considerados de grande importância

para a construção de modelos matemáticos aplicados para explicar

fenômenos físicos.”

1

condições serão explicadas em seguida nos exemplos e comentários.) que o

estudante neste estágio já tenha utilizado.

EXEMPLO USADO NO COMÉRCIO:

Suponha que se deseja adquirir um determinado produto, então o

valor do produto (indicando esse valor por V) depende da quantidade do

produto que você necessita (indicando essa quantidade por q), observe que

uma mesma quantidade do produto não terá dois preços diferentes, neste

caso, diz-se que V é função de q.

EXEMPLO USADO EM FÍSICA

Se um carro se desloca da sua residência à rodoviária de seu

município, então até que o carro cheque num determinado local do

itinerário, já terá transcorrido algum tempo a partir do momento em que

ele estava na residência, isto é, à distância percorrida pelo carro

(chamando essa distância de s) depende do tempo (que se indica pela

letra t), além disso, após um certo tempo de iniciado o movimento do

carro, ele terá percorrido uma única distância, assim diz-se que s é função

de t.

EXEMPLO USADO EM GEOMETRIA PLANA:

A área de um círculo (indicando pela letra A) de raio r é dada pela

fórmula , como dois círculos de mesmo raio não terão áreas

diferentes, diz-se que A é função de r.

2

Como ficou claro através destes exemplos, para falar em relação

funcional, deve-se ter no mínimo duas grandezas, considerando duas

grandezas designadas por y e x, onde elas estão relacionadas para que uma

dependa da outra, então suponha que y depende de x; diz-se que y é função

de x, se para cada x a relação faz corresponder um único y.

Foi definido o que é uma grandeza depender funcionalmente de outra

através de uma relação, é de interesse algo mais formal, como segue: seja

não vazio onde R é o conjunto dos reais (Visite a aula online para

realizar download deste arquivo.) uma FUNÇÃO F DE A EM R, que se

indica por é uma relação associada a A e R tal que essa

relação faz corresponder a cada elemento um único elemento .

Para indicar que um determinado y foi obtido de algum x através da

função f, usa-se o símbolo " " que se lê "y é igual a f de x". O

conjunto A é chamado de domínio da função f e é comum ser indicado

por D(f), e o conjunto R é dito o contradomínio da função f. O elemento

f(x) que corresponde a x por intermédio da relação funcional é denominado

a imagem de x através de f (ou ainda, valor de f em x). A imagem

da função f é o conjunto indicado por I(f) e constituído pelas imagens de

todos os elementos através de f, ou seja:

I(f) = {y € R; y = f(x) e x € A}.

Diz-se ainda que o elemento arbitrário x (gerador do domínio de f) é a

VARIÁVEL INDEPENDENTE de f e que y = f (x) (gerador da imagem de f) é

a VARIÁVEL DEPENDENTE de f. Pelas razões mencionadas, uma função

é dita uma FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL.

Observe que uma função f está completamente definida, somente

quando são dados o domínio D(f) e a relação que estabelece a

correspondência dos elementos do D(f) com elementos de R; entretanto,

normalmente f é definida apenas pela relação (que é comum ser

uma equação) e possivelmente o domínio; quando na definição da

função, somente a relação for dada (isto é, o domínio não for

estabelecido), significa que o domínio da função é o conjunto de

todos os valores onde a relação faz sentido e a função é indicada

somente pela relação.

Por exemplo: se a função f é definida por com , significa que a

relação definindo f é dada pela equação e que o ; mas, se f é

definida apenas pela equação , então pois todo número real

pode ser elevado ao quadrado e invés de escrever "a função f definida por

com , escreve-se apenas "a função ".

3

OLHANDO DE PERTO

Este é o momento para revisar sobre: conjugado como é o produto de

conjugados, o conceito de valor absoluto e os diversos tipos de intervalos.

Você vai precisar a partir do próximo exercício.

CONJUGADO

Sejam a e b valores ou expressões obtidas através de operações

(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação)

com valores numéricos ou literais, então a + b é o conjugado de a - b,

e a - b é o conjugado de a + b. Usando a propriedade distributiva dos

números reais, obtém-se que:

.

VALOR ABSOLUTO

Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por

|a| e definido por . Por exemplo: (a) |3| = 3 pois 3 >

0; (b) pois -3 < 0. O valor absoluto tem as seguintes

propriedades:

(desigualdade

triangular);

(desigualdade triangular

generalizada);

.

INTERVALOS

Os intervalos são conjuntos numéricos definidos da seguinte

forma: se a e b R (onde R é o conjunto do reais) com a < b, os

intervalos são definidos como a seguir. Nas figuras, os eixos na cor

"azul" representam o conjunto dos reais e os intervalos estão

ilustrados na cor "laranja":

(a) Intervalo fechado,

(b) Intervalos abertos,

4

(c) Intervalos semifechados ou semi-abertos,

EXEMPLOS RESOLVIDOS

Dada a função , encontrar:

se e

(b) se ;

(c) O domínio e a imagem de f.

SOLUÇÃO

(a) Para achar os valores de f indicados, deve-se substituir em

os valores de x que são dados entre parênteses. Assim,

e

pois uma vez que ;

(b) Como , tem-se

(c) Sendo D(f) o conjunto de todos os valores de x onde tem

sentido, se , pois a raiz quadrada só está definida para

valores não negativos (isto é, valores maiores ou iguais a zero), assim

, ou seja, .

5

Para achar a imagem de f, considera-se os valores x no seu

domínio e então se obtém os valores correspondentes. Sendo

assim, , ou seja, se , daí , logo

.

EXEMPLOS PROPOSTOS

Se , mostrar que:

LEITURA COMPLEMENTAR

Sugiro que faça a leitura do texto Matemática: Do ensino a

aprendizagem, nesse material você encontrará algumas dicas de como

você poderá obter sucesso nessa nossa disciplina.

Boas leituras!

ATIVIDADE DE PORTFÓLIO

Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste

arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,

individualmente ou em grupo. Os exercícios 4, 7, 10 e 14 do exercitando,

são os itens (a) a (d) QUESTÃO 1 do trabalho desta aula a ser postado no

PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 2 a 5 do

trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o

trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na

Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx

ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS

1. http://www.adobe.com/products/flashplayer/2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer

Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva

Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

6

TÓPICO 02: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

Neste tópico, serão definidas as operações algébricas com funções e

os conceitos de composição de funções e de função inversa; tais operações

e conceitos têm como objetivo maior, gerar novas funções a partir de

funções já conhecidas.

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS

São as operações com funções que recebem os mesmos nomes das

operações básicas no conjunto dos reais, isto é, adição, subtração,

multiplicação e divisão. Lembre-se que o resultado da: adição é

chamado de "soma"; subtração é chamado de "diferença"; multiplicação

é chamado de "produto"; divisão é chamado de "quociente".

Sejam f e g funções que tenham parte de seus domínios (ou os seus

domínios) em comum, então:

A SOMA DE F E G É A FUNÇÃO INDICADA POR F + G E DEFINIDA POR:

(B) A DIFERENÇA DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR F - G E DEFINIDA POR:

(C) O PRODUTO DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR FG E É DEFINIDA POR:

(D) O QUOCIENTE DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR :

e é definida por:

Nas operações definidas de (a) até (d), o domínio da função resultante é

formado pelos valores de x que estejam na interseção dos domínios de f e g.

No caso particular do quociente, são excluídos os valores de x da interseção

dos domínios de f e g tais que g (x) = 0.


Leia os textos sobre

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS -

No conjunto dos números reais, seus elementos devem ter as

mesmas propriedades básicas relativamente a igualdade onde o

mais importante são as relações entre os elementos desse conjunto.

Assim é que no conjunto dos reais R, existem as operações adição e

multiplicação, indicadas por "+ e .", em relação as quais R é


AULA 01: FUNÇÃO

7

fechado (isto significa que a adição e multiplicação de dois

elementos de R, são elementos de R) e para quaisquer os

seguintes axiomas são satisfeitos:

IGUALDADE

O símbolo "=" apareceu pela primeira vez em 1557 na

Inglaterra na obra "The Whetstone of Witte" do inglês Robert

Recorde (1510-1558), entretanto mais de um século passaria

para o sinal se tornar padrão; era comum na época usarem as

palavras "aequale ou sua abreviatura aeq, egaulx, eguale, etc"

no lugar do sinal.

OPERAÇÕES

Em 1489, o alemão Johann Widman (1462-1498),

publicou uma aritmética comercial intitulada "Rechenung auff

allen Kauffmanschafft", é o livro mais antigo em que nos sinais

" + e - " aparecem impressos, usados apenas para indicar

excesso e deficiência em medidas, como operadores

aritméticos eram usadas na época as palavras latinas "plus e

minus", posteriormente as suas iniciais "p e m" para a adição e

a subtração. Widmann admitiu que na biblioteca de Dresden,

havia um manuscrito de 1486 onde um estudante usou os

sinais. Tais sinais foram usados pela primeira vez como

símbolos operacionais pelo holandês Giel Vander Hoecke

numa obra de 1514. O sinal "x" para a multiplicação foi criado

pelo inglês William Oughtred (1574-1660) em sua "Clavis

Mathematicae" de 1631. O inglês Thomas Harriot (1560-1621),

em seu livro póstumo "Ars Analitycal Práxis", introduziu o

ponto como sinal de multiplicação. O ponto como sinal de

multiplicação de Harriot não se tornou popular, até que fosse

difundido em 1698 pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716), este tinha objeção ao símbolo "x" acreditando que

seria confundido com uma variável. Leibniz também foi

responsável pelo uso do símbolo ":" para a divisão, publicado

em 1684 num periódico chamado "Acta Eruditorum". O

símbolo " " para a divisão foi usado primeiramente por

Johann Rahn (ou por Rhonius) (1622-1676) em sua obra

"Teutsche Algebra" de 1659. A barra horizontal já tinha sido

usada pelo italiano Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) em

seu livro "Liber abaci" de 1202 (que já era conhecida antes na

Arábia), mas somente no século XVI o uso da barra horizontal

se tornou comum; a barra inclinada foi sugerida em 1845 pelo

hindu Augustus De Morgan (1806-1871); ambas as barras para

representar frações.

(a) Propriedades associativas,

(b) Propriedade comutativa,

8

(c) Existência de elementos neutros na adição e multiplicação.

Existem 0 e 1 R tais que a + 0 = a e a . 1 = 1;

(d) Existência de elementos simétrico e inverso. Para todo

existe tal que e se existe onde ;

(e) Propriedade distributiva,

e "potência, raiz e fatorações - (Clique aqui para abrir) (Visite a aula

online para realizar download deste arquivo.)", não há o que perder, muito

provavelmente, ganhar.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Dadas às funções e encontrar:

SOLUÇÃO

Das definições, tem-se

e

EXEMPLOS PROPOSTOS 1

Se e mostrar que:

Sejam f e g funções tais que o domínio de f contém parte da (ou toda a)

imagem de g, então a função composta de f com g (ou a composição de f

com g) é indicada por fog e definida por

(fog)(x) = f(g(x)).

9

O domínio de fog é formado pelos valores de x no domínio de g e que g

(x) que pertence ao domínio de f. Observe o que foi escrito sobre a

composição de funções:

(a) Para achar a imagem de um valor x domínio da função composta

fog primeiro se acha a imagem de x através da função à direita da

composição (isto é, acha-se g (x)), depois se encontra a imagem do resultado

obtido com g através da função à esquerda da composição (ou seja,

encontra-se f (g(x))). Por exemplo, se e para obter

tem-se então

(b) O domínio de fog não é necessariamente igual ao domínio de g. Por

exemplo, sendo ainda então e

mas

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Se f e g são as funções e

encontrar: fof, fog e gof.

SOLUÇÃO

Tem-se

e


Se e provar que:

Observe do exemplo resolvido 2 que ou seja, em geral

a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição

de duas funções f e g, ocorre quando para todo

; neste caso, diz-se que g é a inversa de f em C e é

usada a notação (ou que f é a inversa de g em C, neste caso,

escreve-se ). Uma função que tem inversa, diz-se invertível. Vale

lembrar que existe o termo “inversível” usado para números que têm inverso,

isto é, números reais diferentes de zero.

10


Leia o texto "símbolos lógicos (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.)", onde são apresentados vários símbolos

matemáticos que serão usados a partir deste momento juntamente com os

seus respectivos significados. Lembre-se só aprende quem é paciente e

persistente, além disso nunca sabemos tudo.

Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer e

no D(f), tem-se (ou equivalente, .

Em outras palavras, f é injetiva, se para cada existe um único

tal que ; neste caso, a regra dada por agregada ao caráter de

unicidade de x, define uma função g tal que e então

observe que se tem as duas funções f e g tais que ; além

disso, como para todo e

para todo , pela definição de função inversa, e .

Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é injetiva,

então f possui inversa com domínio igual a imagem de f; e mais, a equação

que define a inversa de f é obtida resolvendo a equação y = f (x) para a

variável x.

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Encontrar a inversa da função e verificar que

SOLUÇÃO

Sendo para achar a inversa de f, deve-se resolver esta

equação para a variável x. Assim, como

a função é definida por

ou então (trocando y por x).

(TROCANDO Y POR X)

Em geral a operação composição não é comutativa. Um caso

especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando

para todo neste caso, diz-

se que g é a inversa de f em C e é usada a notação (ou que f

é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se ). Uma função

que tem inversa, diz-se invertível. Vale lembrar que existe o

termo "inversível" usado para números que têm inverso, isto é,

números diferentes de zero.

11

Tem-se

e similarmente, verifica-se que


Se demonstrar que e verificar que

para todo .


Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste

arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,

individualmente ou em grupo. O exercício 3 do exercitando é a QUESTÃO

2 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do

ambiente SOLAR. As questões 3 a 5 do trabalho, serão indicadas nos

tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja

postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do ambiente

SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou

manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



12

TÓPICO 03: GRÁFICO DE FUNÇÃO

VERSÃO TEXTUAL

Neste tópico será apresentado o conceito de gráfico, será feita a

identificação do gráfico com a sua representação geométrica e a

caracterização de tal representação geométrica a partir do conceito de

função; além disso, serão estabelecidos alguns caminhos para achar

gráficos de funções a partir de gráficos já obtidos ou simplificar o

trabalho na construção de gráficos. A construção de gráficos é uma das

tarefas mais importantes do Cálculo, o que será rigorosamente

possível apenas na aula 04 (tópico 3); entretanto, este tópico e o

seguinte serão amplamente utilizados mesmo após ser efetuado o

estudo mais geral.

O gráfico de uma função f é o subconjunto do R2 (clique aqui) indicado

por G(f) e formado por todos os pares ordenados obtidos quando x varia no

domínio de f, isto é,

Um PAR ORDENADO de números reais são dois números onde é

especificado qual é o primeiro e o segundo dos números. Se x e y

representam números reais quaisquer, o par ordenado onde x é o

primeiro número e y o segundo é indicado por (x, y); assim, por

exemplo, . O conjunto de todos os pares ordenados de números

reais é indicado por R2 escrevendo-se

Como o gráfico de uma função f é um subconjunto do R2, este pode ser

representado no plano cartesiano (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.), como o lugar geométrico ( -- É a figura no plano

cartesiano representando geometricamente um subconjunto de pontos do

R2.) determinado pelos

pontos (x, f(x)) com x D(f). Traçar (ou fazer) o gráfico de uma função

significa encontrar o mencionado lugar geométrico ou um esboço

significativo do lugar geométrico. É COMUM CHAMAR O TRAÇO (OU

ESBOÇO) DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO, APENAS DE "GRÁFICO DA

FUNÇÃO".


AULA 01: FUNÇÃO

13

Da definição de função, cada valor de x no domínio de uma função f,

correspondente a um único valor f(x) na imagem de f, assim o gráfico de f

não pode ser interceptado em mais de um ponto por uma reta paralela ao

eixo vertical do plano cartesiano.

VEJA


Leia o texto equação de primeiro grau (Visite a aula online para

realizar download deste arquivo.) e equacão de segundo grau (Visite a aula

online para realizar download deste arquivo.), que você não terá

dificuldades para seguir adiante.

Sendo assim, em particular, é possível verificar quando uma equação de

primeiro ou segundo grau em x e y define uma função. Por exemplo, o

gráfico de uma equação do primeiro grau do tipo x = c (isto é, uma reta

vertical) não é gráfico de nenhuma função, como também acontece com o

gráfico de uma equação do segundo grau quando este é uma circunferência,

uma elipse ou uma hipérbole. Uma equação de primeiro grau do tipo y = mx

+ b (cujo gráfico é uma reta não vertical), sempre define uma função;

também a equação de segundo grau que pode ser reduzida à forma

quadrática y = ax2 + bx + c com a 0 (cujo gráfico é uma parábola de eixo

vertical).

Pelo conceitos e comentários efetuados, se uma função é definida por

uma equação, pela definição, o seu gráfico é o gráfico da equação

considerando os valores da variável independente no domínio da função.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Fazer o gráfico da função

INTRODUÇÃO DA DIDÁTICA MAGNA, DE COMÊNIO

14

Como foi visto no texto indicado na dica anterior, o gráfico da

equação y = x2 é uma parábola, então o gráfico de f é a parte dessa

parábola em que ou seja, a parte da parábola à direita do eixo Y

juntamente com a origem. O gráfico está na figura a seguir.

EXEMPLO PROPOSTO 1


No exemplo resolvido 1 foi usado o gráfico de uma das equações da

Geometria Analítica para obter o gráfico da função; na verdade de

informação precisa que se tem até este momento, pra traçar gráficos de

funções, são apenas os modelos de figuras associados às respectivas

equações estudadas na Geometria Analítica. A seguir serão vistas seis outras

maneiras de obter o gráfico de uma função a partir do conhecido gráfico de

outra função. Neste estágio, pouco se conhece de gráfico de equações, mas os

procedimentos poderão e deverão ser aplicados num estágio mais avançado.

Suponha que seja dado o gráfico de uma função f definida por y = f(x), então:

(a) O gráfico da função g(x) = f(x) + a onde a é uma constante ,

é dito uma TRANSLAÇÃO VERTICAL do gráfico de f. Observe que cada ponto

(x, y) no gráfico de f corresponde um ponto no gráfico de g, onde ,

assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades para baixo se ou a

unidades para cima se .

VEJA

(b) O gráfico da função g(x) = f(x-a), onde a é uma constante , é

chamado uma TRANSLAÇÃO HORIZONTAL do gráfico de f. Cada ponto (x, y)

no gráfico de f corresponde um ponto no gráfico de g, onde

, assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades

para esquerda se a < 0 ou a unidades para direita se a > 0.

VEJA

15


Leia o texto reflexão de pontos (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.); ajuda no entendimento das reflexões de

gráficos.

(c) O gráfico da função g(x) = -f(x) é dito uma REFLEXÃO EM RELAÇÃO

AO EIXO X do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f corresponde um

ponto (x,-y) no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico de f são simétricos

em relação ao eixo X.

VEJA

(d) O gráfico da função g(x) = f(-x) é denominado uma REFLEXÃO EM

RELAÇÃO AO EIXO Y do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f

corresponde a um ponto (-x, y) no gráfico de g, logo os gráficos de g e f são

simétricos em relação ao eixo Y.

VEJA

(e) O gráfico da função g(x) = -f(-x) é designado uma REFLEXÃO EM

RELAÇÃO A ORIGEM do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f

corresponde um ponto (-x, -y) no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico de

f são simétricos em relação a origem.

VEJA

16

Através do gráfico de uma função f num intervalo I D(f), pode-se

verificar se ela possui inversa em I, pois de acordo com o que foi tratado no

tópico 2 da aula 01, se o gráfico tem o aspecto ascendente ou descendente em

I, isto é, se a função f é CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se x1 e

x2 I com implica ou respectivamente, fará

com que f seja injetiva em I.

INVERSA

EM GERAL A OPERAÇÃO COMPOSIÇÃO NÃO É COMUTATIVA. UM

CASO ESPECIAL DA COMPOSIÇÃO DE DUAS FUNÇÕES F E G, OCORRE

QUANDO (fog) (x) = (gof) (x) = x PARA TODO

NESTE CASO, DIZ-SE QUE G É A INVERSA DE F EM C E É USADA A

NOTAÇÃO f = g-1 (OU QUE F É A INVERSA DE G EM C, NESTE CASO,

ESCREVE-SE f = g-1). UMA FUNÇÃO QUE TEM INVERSA, DIZ-SE

INVERTÍVEL. VALE LEMBRAR QUE EXISTE O TERMO "INVERSÍVEL"

USADO PARA NÚMEROS QUE TÊM INVERSO, ISTO É, NÚMEROS

DIFERENTES DE ZERO.

Na primeira figura, a curva não pode ser o gráfico de uma função que

tem inversa, pois x1/= x2 e y1 = y2, isto é, a função não seria injetiva; já nas

duas figuras seguintes as curvas poderiam ser gráficos de funções que

possuem inversas.

(f) Quando se tem o gráfico de uma função f, o gráfico de sua inversa f-1

(no mesmo sistema de coordenadas) é facilmente obtido, pois o gráfico de f-1

é a REFLEXÃO do gráfico de f em relação à reta y = x (isto é, para cada ponto

P no gráfico de f, existe um único ponto Q no gráfico de f-1, tais que P e Q são

simétricos em relação à reta y = x). Para ver isto basta usar que, y = f(x) se e

somente se x = f-1, ou seja, P(x, y) está no gráfico de f se e somente se Q(x, y)

está no gráfico de f-1.

VEJA

EXEMPLO RESOLVIDO 2

17


RESOLUÇÃO

EXEMPLO PROPOSTO 2


EXEMPLO RESOLVIDO 3


SOLUÇÃO

EXEMPLO PROPOSTO 3



Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download

deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,

individualmente ou em grupo. Os exercícios 1 e 3 do exercitando, são os

itens (a) e (b) da QUESTÃO 3 do trabalho desta aula a ser postado no

PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 4 e 5 do

trabalho, serão indicadas no tópico seguinte desta aula.É exigido que o




FONTES DAS IMAGENS

1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer



18


AULA 01: FUNÇÃO

TÓPICO 04: EXEMPLOS DE FUNÇÕES

Neste tópico serão introduzidos exemplos de funções reais de uma

variável real juntamente com seus gráficos, que serão utilizadas nos

exemplos e exercícios no decorrer da disciplina. Os gráficos a serem

estudados, essencialmente serão decorrentes dos gráficos das equações de

primeiro e segundo graus vistas em Introdução ao Cálculo (Aulas 05 e 06).

Além disso, será também apresentada a função cujo gráfico é conhecido

como parábola cúbica e as funções seno e cosseno, cujo papel neste estágio

é ampliar o universo de exemplos de funções.

Uma função f é dita CONSTANTE, se f(x) = c para todo valor de x e alguma

constante c. Se f é a função definida por f(x) = x para todo x, então f é

chamada de FUNÇÃO IDENTIDADE. Uma FUNÇÃO ALGÉBRICA é uma

função definida através de um número finito de operações envolvendo as

funções constante e identidade. Essas operações são: adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Por exemplo, a função

definida por:

é uma função algébrica.

As funções polinomiais e racionais, que serão definidas a seguir, são

casos particulares de funções algébricas.

Uma FUNÇÃO POLINOMIAL f é definida por uma equação da forma:

onde n é um número inteiro maior ou igual a zero e ai(i = 0, 1, 2, ..., n) é

um número real fixo. Se an 0 então f é dita uma FUNÇÃO POLINOMIAL DE

GRAU N. Para n = 0, tem-se f(x) = an e se n = 1, obtém-se f(x) = a1 + a0 cujos

gráficos são retas pois se tratam de equações de primeiro grau em x e y; se n

= 2, então f(x) = a2x2 + a1x + a0 cujo gráfico é uma parábola (veja equação de

segundo grau – parábola) com eixo paralelo ao eixo Y. Os gráficos das

funções polinomiais de grau n ≥ 3 , não têm um modelo padronizado, como

acontece com os gráficos das funções polinomiais de grau n com n = 0,1 e 2;

apenas no caso particular da função polinomial de grau três que pode ser

escrita na forma f(x) = a(x - b)3 + c onde a ≠ 0, o gráfico de f tem um formato

padrão e é chamado de parábola cúbica.

19

O ponto (b, c) é dito o PONTO DE INFLEXÃO da parábola cúbica e pode

ser verificado a simetria do gráfico em relação ao ponto (b, c). A verificação

está proposta no exercício 29 do exercitando deste tópico. Os gráficos das

funções polinomiais de grau em geral, poderão ser estudados no tópico 3 da

aula 04, onde será visto que a parábola cúbica é o gráfico da citada função,

veja os exemplos resolvido e proposto 1 do tópico 3 da aula 04.

EXEMPLOS RESOLVIDOS 1

F azer

os gráficos das seguintes funções:

SOLUÇÃO


Fazer os gráficos das seguintes funções:

20

Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais. Por

exemplo, a função definida por:

é uma função racional.

O exemplo seguinte ilustra como obter o gráfico de uma função racional,

que através de uma simplificação da sua equação, esta se torna uma função

polinomial de grau e de grau 3 do tipo apresentado. No tópico 3 da aula

04, será visto como fazer os gráficos de funções racionais, em que não é

possível fazer tal simplificação.


Leia o texto "Potência, raiz e fatorações" a partir do Teorema

Fundamental da Álgebra.EXEMPLOS RESOLVIDOS 2

Fazer os gráficos das funções:

SOLUÇÃO

21





SOLUÇÃO

(a) Observe que x está no domínio de f se ou seja, se

. Fazendo e elevando ao quadrado os dois lados,

resulta em y2 = 1 - x2 daí x2 + y2 = 1. O gráfico desta última equação é acircunferência de centro na origem e raio igual a 1 (veja equação de segundo grau – circunferência). Logo, o gráfico da equação

é a parte desta circunferência cujos pontos têm a segunda coordenada

menor do que zero ou igual a zero (isto é, a semicircunferência abaixo

do eixo X juntamente com os pontos ) e que está na figura a

seguir.

(b) Um valor de x está no domínio de se isto é,

se . Elevando os dois lados da equação ao quadrado,

obtém-se assim . O gráfico desta última equação é uma

parábola com o eixo na posição horizontal (veja equação de segundo

grau – parábola), assim o gráfico da função dada é a parte desta

parábola cujos pontos têm a segunda coordenada maior do que zero ou

igual a zero (isto é, a parte da parábola que está acima do eixo X

juntamente com o ponto (2, 0)) e que está na figura a seguir. Observe

22

que o gráfico de g é também uma translação horizontal do gráfico

da função do exemplo resolvido 2 do tópico 3 desta aula.

(c) Observe que o domínio de h é o conjunto dos números reais.

Elevando ao cubo os dois lados da equação obtém-se

. Assim, a inversa de h é definida por cujo

gráfico é a parábola cúbica obtida no exemplo resolvido 1(c) deste

tópico. Pelas discussões efetuadas no tópico 1 desta aula, para ter o

gráfico de h, basta fazer a reflexão do gráfico de h-1 em torno da reta y = x e que está na figura a seguir.

DISCUSSÕES EFETUADAS NO TÓPICO 1 DESTA AULA



Além de definir uma função usando as operações, também é possível definir uma função usando outras funções da seguinte forma: sejam f1 e f2funções com domínios D(f1) e D(f2) respectivamente, tal que

então a função f cujo domínio é e é definida por

é chamada uma FUNÇÃO DEFINIDA POR DUAS EQUAÇÕES. É comum

23

escrever a função f na seguinte forma simplificada,

Observe que a condição é indispensável para que f esteja

bem definida. Analogamente, pode-se definir uma função usando outras três

ou mais funções.

EXEMPLO RESOLVIDO 4


SOLUÇÃO

EXEMPLO PROPOSTO 4

Fazer o gráfico da função e concluir que está

na figura a seguir.

VEJA O CONCEITO E PROPRIEDADES DE VALOR ABSOLUTO

24

Uma função envolvendo valor absoluto é qualquer função definida por

uma ou mais equações em que aparece o símbolo de valor absoluto. O

exemplo seguinte, ilustra como obter o gráfico de algumas dessas funções.



SOLUÇÃO


Fazer o gráfico das funções:

O símbolo [b] (lê-se, maior inteiro menor ou igual a b) é definido como o

maior número inteiro que é menor ou igual a b. Por exemplo:

. Uma FUNÇÃO ENVOLVENDO MAIOR

INTEIRO é qualquer função definida por uma equação em que aparece o

símbolo maior inteiro. O exemplo seguinte, ilustra como obter os gráficos de

algumas dessas funções.



SOLUÇÃO

25



São consideradas como FUNÇÕES TRANSCENDENTES, as funções

trigonométricas, logarítmicas, hiperbólicas e as inversas de tais funções; ou

ainda, as funções obtidas através de um número finito de operações

envolvendo tais funções. As funções trigonométricas seno e co-seno serão

definidas a seguir, a fim de que possam ser utilizadas em exemplos e

exercícios, as demais funções transcendentes serão estudadas na Aula 05.


Leia o texto "Ângulo, Medida de Ângulo e Trigonometria" para fazer

uma revisão desses temas, vamos precisar a partir deste momento.

Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um

arco da circunferência unitário de centro na origem a partir do ponto (1, 0)

então as funções SENO e CO-SENO são definidas, respectivamente, pelas

equações y = senx e y = cosx. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a

seguir com os respectivos domínios e imagens. No tópico 3 da aula 04

(exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados.

26


Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios

que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 e 5 do

exercitando, são as respectivas QUESTÕES 4 E 5 do trabalho desta aula

a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido

que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período

indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento de texto

(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



27

TÓPICO 01: LIMITES DE FUNÇÕES

VERSÃO TEXTUAL

O estudo de limites estabelece a noção intuitiva de proximidades

das variáveis de uma função, isto será indispensável à compreensão de

aplicações que surgirão futuramente. Inicialmente serão apresentados

os termos e simbologias necessários para a linguagem básica; será

dado o conceito de limite; e em seguida serão abordadas técnicas de

cálculo de limites, usando alguns teoremas. O conceito de limite e sua

compreensão, são fundamentais para o estudo do Cálculo, pois os

conceitos de derivada e a integral definida, que constituem a

finalidade maior da parte básica do Cálculo, estão diretamente ligados

a limites.

Sejam x uma variável real e c um número real fixo, diz-se que x tende a

c (ou x se aproxima de c), indica-se pelo símbolo , se à medida que x

muda de valor, a distância de x a c se torna cada vez menor, isto é, se os

valores de x a serem assumidos, ficam cada vez mais próximos de c. Por

exemplo, tomando c = 1 a tabela seguinte ilustra x tendendo a 1.

Os seguintes símbolos serão utilizados:

X→ C-

X→C+

X→ -∞ (MENOS INFINITO)

X→ +∞ (MAIS INFINITO)

X→ C-

x → c- (lê-se, x tende a c pela esquerda), para indicar que x tende a c

somente através de valores menores do que c;

X→C+

x→c+ (lê-se, x tende a c pela direita), para indicar que x tende a c

somente através de valores maiores do que c;

X→ -∞ (MENOS INFINITO)

x→ -∞ (lê-se, x tende a menos infinito), significa que x está decrescendo

de forma ilimitada, isto é, indica que os valores de x assumidos, estão

decrescendo e se afastando de qualquer número fixado;

X→ +∞ (MAIS INFINITO)

x →+∞ (lê-se, x tende a mais infinito), significa que x está crescendo de

forma ilimitada, isto é, indica que os valores de x assumidos, estão crescendo

e se afastando de qualquer número fixado;


AULA 02: LIMITE E CONTINUIDADE

28

Seja f uma função definida pela equação y = f(x) então se a variável x

tende a um valor fixo (pela esquerda, direita ou os dois lados) ou ainda a

mais ou menos infinito, as mesmas possibilidades ocorrem com a variável y.

Para considerar limites, é de interesse as sentenças indicadas no esquema a

seguir :

Inicialmente, serão usadas do esquema (*) apenas as sentenças:

onde a primeira alternativa significa que se pode ser

um único valor ou assumir dois valores distintos. Nas figuras seguintes estão

os gráficos de ,

ilustram as alternativas quanto a unicidade ou não de L.

Na primeira figura, à medida que x→2 (através de valores < 2 ou > 2) as

imagens correspondentes f(x) →3; na segunda figura, se x→1- então g(x) →2

e se x→1+ então g(x) →-1, assim quando x→1 as imagens correspondentes f

(x) não se aproximam de um único valor.

Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo c, exceto

possivelmente em c, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X TENDE

A C É IGUAL A L, indica-se por

se unicamente; isto significa que se à medida que

a distância de x a c (independendo de ou ) vai diminuindo, implica

que a distância de f(x) a L se torna cada vez menor. Em outras palavras:

se a distância de f(x) a L pode se tornar tão pequena quanto se

deseja, desde que se considere a distância de x a c suficientemente pequena.

A fim de entender a definição de limite, baseando-se nas noções de

distâncias, considere a função g dada acima juntamente com o seu gráfico,

verifica-se: o não é igual a -1, pois (por exemplo) não é possível ter

com x à esquerda de 1; também não é 2, pois (por

exemplo) é impossível ter com x à direita de 1; e claro que

29

para qualquer outro valor L diferente de -1 e 2, é possível estabelecer uma

situação análoga; portanto, não existe um único valor L tal que .

As letras gregas (lê-se, épsilon) e (lê-se, delta) são usadas para

expressar a definição de limite através dessas noções de distâncias, da

seguinte forma:

A condição é necessária, pois é de interesse as imagens f(x) dos

valores de x próximos de c e não para x = c. Esta última versão da definição

de limite, é a que é usada para demonstrar os resultados que decorrem

diretamente da definição.


Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:

SOLUÇÃO

a) Sendo f(x) = 2x + 1, deve-se mostrar que dado qualquer ε > 0

existe δ > 0 tal que

Ou seja,

Logo, considerando tem-se

Isso mostra que . Qualquer valor δ1 com pode

também ser considerado como o δ que se procurava.

b) Sendo deve-se mostrar que dado qualquer ε > 0

existe δ > 0 tal que

Da experiência obtida no item (a), para encontrar um que

satisfaça tal condição, deve-se achar uma inequação envolvendo

apenas dependendo de x, para tanto é necessário determinar

um valor que majore o fator . Sendo assim, como se deseja que

os valores de x estejam próximos de 1, é possível considerar (por

exemplo) que (ou seja, é possível considerar que o

procurado seja menor que 1), logo

isto é, o valor 5 majora se . Assim, se , então

30

Deseja-se que ou seja, Portanto, tomando

como o menor dos dois valores,

obtém-se então


Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:

O limite definido (isto é, se é chamado de LIMITE BILATERAL. Os

limites se são ditos LIMITES UNILATERAIS à esquerda e à

direita, respectivamente; tais limites estão definidos a seguir:

Observe que x - c não aparece entre as barras de valor absoluto nas

definições dos limites unilaterais, pois e nas definições dos

limites à esquerda e à direita, respectivamente.

As demonstrações dos teoremas seguintes estão no texto complementar

indicado no final deste tópico. Os dois teoremas logo a seguir estabelecem a

unicidade do limite e critério de existência do limite bilateral a partir dos

limites unilaterais.

TEOREMA (UNICIDADE DO LIMITE) 1

TEOREMA (CRITÉRIO DE EXISTÊNCIA DO LIMITE BILATERAL) 2

TEOREMA 3

TEOREMA 4

TEOREMA (UNICIDADE DO LIMITE) 1

TEOREMA (CRITÉRIO DE EXISTÊNCIA DO LIMITE BILATERAL) 2

TEOREMA 3

Se a e b são números reais fixos, então

TEOREMA 4

31

(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos limites se o

limite de cada parcela da soma ou diferença existe, isto é,

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator

do produto existe, ou seja,

(c) O limite do quociente é o quociente dos limites se o limite da função

do numerador existe e o limite da função do denominador existe e é diferente

de zero, isto é,

(d) O limite da raiz n-ésima de uma função é a raiz n-ésima do limite da

função se existe a raiz n-ésima do limite da função, ou seja,

Do teorema (3), obtém-se:

onde (i) e (ii) significam que o limite quando da função constante é

igual à própria constante e o limite quando da função identidade é igual

a c, respectivamente.

Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um número

finito de funções; mais precisamente, se

então:

Se decorrente de (iv), tem-se

Os resultados dos teoremas 3 e 4, continuam valendo se pode ser

substituído por . O exemplo seguinte ilustra a aplicação dos

teoremas 3 e 4 no cálculo de limites.


Calcular os limites indicados:

32

SOLUÇÃO


Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:

Se f é uma função definida por duas ou mais equações, então para

determinar o limite bilateral de f, em certos casos, deve-se considerar o

critério de existência do limite bilateral dado no teorema (2). O exemplo

seguinte ilustra o procedimento.


Dada a função, verificar se o limite indicado existe e caso exista, dar o

seu valor:

SOLUÇÃO

a) Para calcular o limite de f(x) quando x tende a 2 pela

esquerda, deve-se considerar f(x) = - x² + 2x+3, pois quando x → 2-

tem-se x < 2. Assim, obtém-se:

33

Por motivos análogos, acha-se

Como os limites unilaterais de f quando x tende a 2, existem e

são iguais a 3, concluí-se:

b) Tem-se e

. Como os limites unilaterais de g

quando x tende a -1, têm valores diferentes, o .


Dada a função, verificar se o limite indicado existe, caso exista, dar o seu

valor:

Se , diz-se que o tem a FORMA

INDETERMINA 0/0, onde pode ser substituído por .

Existem ainda outras formas indeterminadas, que serão estudadas

posteriormente. O exemplo seguinte ilustra o procedimento para calcular

alguns limites que têm a forma indeterminada 0/0.



SOLUÇÃO


34




SOLUÇÃO



Outros teoremas que serão aplicados posteriormente, são os seguintes,

suas demonstrações estão no texto complementar indicado no final deste

tópico.

TEOREMA 5

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo

c, exceto talvez em c, onde

35

então

TEOREMA 6

Se com L < M, então existe tal

que implica que

Os dois resultados seguintes, seguem-se do teorema 6 e suas

demonstrações são sugeridas como exercícios.

COROLÁRIO 1

Se existem tais que:

(a) Se implica que

(b) Se implica que

COROLÁRIO 2

Se para todo x num intervalo aberto contendo c, exceto

talvez em c, , então


Leia o texto "Demonstrações dos Teoremas de Limites de Funções

(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)" para ver como

são demonstrados os teoremas enunciados neste tópico.



deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,

individualmente ou em grupo. Os exercícios: 2 e 12 são os respectivos

itens (a) e (b) da QUESTÃO 1; 13 e 21 são os respectivos itens (a) e (b)

da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO

INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 3 até 5 do trabalho serão

indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta

aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do

ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou


FONTES DAS IMAGENS




36

TÓPICO 02: LIMITES NO INFINITO E INFINITO

Considere do esquema * apresentado no tópico 1 desta aula ( <img

src=imagens/02/img01.gif>) , apenas as alternativas

onde significa que se . Cada alternativa define um

LIMITE FINITO NO INFINITO da seguinte forma:

ALTERNATIVA 1

(a) Seja f uma função definida num intervalo aberto e ilimitado

inferiormente, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X

TENDE A É IGUAL A L, indica-se por se

. Em termos de e DIZ-SE QUE , SE PARA QUALQUER

EXISTE TAL QUE

ALTERNATIVA 2

(b) Seja f uma função definida num intervalo aberto e ilimitado

superiormente, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X

TENDE A É IGUAL A L, indica-se por se

Em termos de e DIZ-SE QUE SE

PARA QUALQUER EXISTE TAL QUE

No teorema 3 tópico 1 desta aula com a = 0 (isto é, se a função é

constante) e no teorema 4 do tópico 1 desta aula x c pode ser substituído

por ou . As demonstrações são análogas a quando x c. O

teorema seguinte, mais precisamente o seu corolário, poderá ser útil para

calcular limites no infinito.



TEOREMA 3 TÓPICO 1 DESTA AULA

Se a e b são números reais fixos, então .

TEOREMA 4 DO TÓPICO 1 DESTA AULA

Se , então:


onde (i) e (ii)

significam que o limite quando x c da função constante é igual à

própria constante e o limite quando x c da função identidade é igual

a c, respectivamente.

37

TEOREMA 1

Se n é um número inteiro positivo, então:

DEMONSTRAÇÃO

Será demonstrada a parte (a), a outra parte tem demonstração

análoga e está sugerida como exercício. Para demonstrar que

deve-se mostrar que para qualquer existe tal

que:

mas

Logo, tomando é verificada a afirmação. O que conclui a

demonstração.

Combinando resultados análogos aos dos teoremas 3 e 4(c) do tópico 1

desta aula quando e o teorema 1, segue-se o seguinte

resultado.

COROLÁRIO

Se r um número real e n é um número inteiro positivo, então:

O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites finitos no infinito.



Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um

número finito de funções; mais precisamente, se

então:

Se , decorrente de (iv), tem-se:

38

SOLUÇÃO

(a) Dividindo por x o numerador e o denominador do

quociente tem-se

Pelo corolário, Pelo teorema análogo

ao teorema 3 do tópico 1 desta aula quando e

. Pelo teorema análogo ao teorema 4(a) quando

Logo do teorema análogo ao teorema 4(c) d o tópico 1 desta

aula quando conclui-se

(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente

por , tem-se

(c) Dividindo o numerador e o denominador do quociente

por x e no numerador pondo (pois os valores que

x está assumindo são positivos), tem-se

(d) Dividindo o numerador e o denominador do quociente

por x e no numerador pondo (pois os valores que x

está assumindo são negativos), obtém-se


Calcular os limites indicados para concluir os valores dados:

39

Finalmente, considere o restante do esquema apresentado no tópico 1

desta aula, que ainda não foi visto, isto é,

onde cada alternativa define um LIMITE INFINITO, por exemplo, a

primeira da forma a seguir. Seja f uma função definida num intervalo aberto

contendo c, diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X TENDE A C É IGUAL

A indica-se por

Em termos de e DIZ-SE QUE SE PARA QUALQUER

EXISTE TAL QUE

O seguinte teorema poderá ser útil para calcular limites infinitos.

TEOREMA 2

Sejam então:

SOLUÇÃO

Será demonstrada a parte (a), as outras partes têm

demonstrações análogas e estão sugeridas como exercícios. Para

demonstrar a parte (a), deve-se mostrar que para qualquer

existe tal que:

Com para existe tal que

ESQUEMA APRESENTADO NO TÓPICO 1 DESTA AULA

Esquema de Limites

40

Sendo para (onde é positivo e arbitrário)

existe tal que

Seja então

Como é arbitrário, a demonstração está concluída.

O teorema continua válido se x c for substituído por

ou O teorema 2 não se aplica quando

, neste caso tem-se a forma indeterminada para que já foi

estudada. No limite bilateral infinito só pode ser determinado a partir dos

limites unilaterais, neste caso, se: e então

então

então escreve-se



SOLUÇÃO

(a) Tem-se

então de acordo com o teorema 2, o é infinito e

conforme foi mencionado é necessário calcular os limites

unilaterais.

Se x < 2 então

se x < 2. Assim, se então A conclusão que

pode ser obtida também da seguinte forma, embora

com menos rigor: como se x = 2 ou x = 3 então em outros

valores é < 0 ou > 0, daí nos intervalos

a expressão assume somente

valores negativos ou positivos, assim atribuindo um valor a x em

cada intervalo se obtém o sinal desta expressão no intervalo, de

acordo com a figura a seguir.

41

Logo, se então e daí

. Assim

se , pelo teorema 2(a),

Se x > 2 então x - 2 > 0 e se x < 3 então x - 3 < 0, daí

se 2 < x < 3. Assim, se então

Também, observando a figura anterior, tem-se

então . Logo

e se , pelo teorema 2(b),

Portanto, de (I) e (II), concluí-se que

(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente

por x2, tem-se

Com e se implica que

pois se do teorema 2(b), concluí-se


Calcular os limites dados para concluir os resultados indicados:




individualmente ou em grupo. Os exercícios: 1 e 3 são os respectivos itens

(a) e (b) da QUESTÃO 3; 9 E 17 SÃO OS RESPECTIVOS ITENS (A) E (B)

DA QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO

INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. A questão 5 do trabalho será indicada

no tópico 5 desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no

42

Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num

único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



43



TÓPICO 03: LIMITES DE FUNÇÕES ENVOLVENDO SENO E CO-SENO

É comum limites do grupo de funções envolvendo as funções seno e

cosseno que têm a forma indeterminada 0/0, serem calculados usando o

LIMITE FUNDAMENTAL, dado por:

Para mostrar que será usado o teorema 5 do tópico 1 desta

aula, isto é, será provado que:

O TEOREMA 5 DO TÓPICO 1 DESTA AULA

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c,

exceto talvez em c, onde para todo x em I com . Se então .

Inicialmente, considere e a figura seguinte:

Comparando as áreas do triângulo OBP, do setor circular OBP e do

triângulo OBQ, tem-se:

ou seja,

mas, e , logo fazendo a substituição

na desigualdade, obtém-se:

como é positivo (pois ) multiplicando por cada membro

da última desigualdade, encontra-se:

44

Como , desta última desigualdade e do teorema 5 do

tópico desta aula, tem-se:

Seja agora então . Logo, do resultado obtido, tem-se:

mas quando assim:

O exemplo seguinte ilustra a aplicação do limite demonstrado.


Mostrar que:

SOLUÇÃO

(a) Tem-se:

mas, logo (pelo teorema 4(b) do tópico

1 desta aula):

Portanto,

(b) Para mostrar esse limite, será usada a identidade . Do teorema 4(b) do tópico 1 desta aula e item (a)

deste exemplo, tem-se: assim (ainda

pelo teorema 4(b) do tópico 1 desta aula):

assim (pelo teorema 4(a) do tópico 1 desta aula):

fazendo, tem-se , logo:

45

TEOREMA 4(B) DO TÓPICO 1 DESTA AULA

Se , então:


onde (i) e (ii) significam que o limite quando da função

constante é igual à própria constante e o limite quando da função

identidade é igual a c, respectivamente.

Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um

número finito de funções; mais precisamente, se, então:

Se decorrente de (iv), tem-se: .


Provar que:


SOLUÇÃO

(a) Observe que o limite dado tem a forma indeterminada 0/0.

Como:

e, além disso,

tem-se:

46

(b) O limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como tem-se:

mas, logo:




É possível mostrar que não existe (veja o exercício 72(c) do

exercitando deste tópico), entretanto mostrar que

SOLUÇÃO

Tem-se e para qualquer valor de (isto é,

é limitada para todo , portanto do resultado (ii) do

tópico 1 desta aula, segue-se que:

RESULTADO (II) DO TÓPICO 1 DESTA AULA)

Se e g é limitada em torno de c, então (mesmo

que não exista):

EXEMPLO PROPOSTO 3

Mostrar que (Sugestão: fazer ).


Vá ao EXERCITANDOe resolva a quantidade máxima de exercícios

que puder, individualmente ou em grupo. A questão 5 do trabalho será

indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula

seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do

ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou


FONTES DAS IMAGENS

47



TÓPICO 04: CONTINUIDADES

Para um determinado grupo de funções é possível estabelecer o limite

em relação a um valor, sem que a função esteja definida no valor; ou ainda,

mesmo sendo definida no valor e podendo estabelecer o limite, tal limite não

coincida com a imagem da função no valor. Por exemplo: então

.

Uma função f é CONTÍNUA NUM VALOR c do seu domínio, se o limite de

f(x) quando existe e é igual ao valor de f em c, isto é, se .

VERSÃO TEXTUAL

Este tópico trata dos conceitos de continuidade de funções num

valor e num intervalo, a compreensão de tais conceitos não apresenta

nenhuma dificuldade para o estudante que tenha assimilado a noção

intuitiva de limite. A parte teórica é finalizada com o "teorema do valor

intermediário", trata-se de um importante resultado que será usado

posteriormente, seu enunciado neste estágio deve-se a fato de ser

necessário apenas o conceito de continuidade na formulação de suas

hipóteses; entretanto, encontram-se nos exercícios 40 a 45 do

exercitando deste tópico algumas aplicações desse teorema.


Verificar que a função dada é contínua no valor indicado:

SOLUÇÃO


Mostrar que a função dada é contínua no valor indicado:

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Mostrar que as funções seno e cosseno são contínuas em zero.

48

SOLUÇÃO

No exemplo resolvido 1 do tópico 3 desta aula foi provado que logo, pela definição, isto

mostra que as funções seno e cosseno são contínuas em zero.

EXEMPLO RESOLVIDO 1 DO TÓPICO 3 DESTA AULA

EXEMPLO PROPOSTO 2

Provar que as funções seno e cosseno são contínuas em qualquer

número real c. Sugestão: veja o exemplo proposto 1 do tópico 3 desta aula.

EXEMPLO PROPOSTO 1 DO TÓPICO 3 DESTA AULA

Se uma função f não é contínua num valor c do seu domínio, diz-se que f

é DESCONTÍNUA em c.

Geometricamente, para que uma função f seja contínua num valor c, o

gráfico de f não deve apresentar interrupção em c. Nas figuras seguintes,

estão ilustrados os gráficos de algumas funções, que apresentam algum tipo

de interrupção relativa a um valor c, por serem descontínuas em c.

A primeira figura ilustra um exemplo em que o limite existe, mas é

diferente do valor da função e nas demais figuras o limite não existe.

Decorrente da definição de continuidade num valor e do teorema 4 do

tópico 1 desta aula, tem-se o seguinte teorema.


49

TEOREMA 1

Se f e g são funções contínuas num valor c, então: e fg são contínuas em c,

Com aplicações sucessivas deste teorema e baseando-se que as funções

constante e identidade são contínuas em qualquer valor, tem-se os seguintes

corolários.

COROLÁRIO 1 - Uma função polinomial é contínua em qualquer número

real.

COROLÁRIO 2 - Uma função racional é contínua em qualquer número

real em que ela esteja definida.

Por exemplo: a função é contínua em qualquer número real, pois ela é uma função polinomial; já a função é

contínua em todo número real exceto 1, pois ela é uma função racional e não

está definida apenas em 1.

O conceito de função contínua em um número, apenas acrescenta ao

conceito de limite, que o limite da função seja igual ao valor da função nesse

número. Logo, para expressar que uma função f é contínua num valor c,

usando , basta que seja omitida da definição de limite a condição

(isto é, 0 é menor do que ), uma vez que x pode ser igual a c na definição

de continuidade e substituir L por f(c), tal definição é formalizada a seguir.

Uma função f é CONTÍNUA NUM VALOR c, se f está definida em algum

intervalo aberto contendo c e para qualquer

Quanto à composição de funções, tem-se o teorema seguinte.

TEOREMA 2

Sejam e f contínua em a, então

DEMONSTRAÇÃO

50

Do teorema 2, segue-se o seguinte resultado.

COROLÁRIO - Sejam g contínua em c e f contínua em g(c), então fog é

contínua em c.

DEMONSTRAÇÃO

Como g é contínua em c, logo, como f é contínua em g

(c) pelo teorema 2, . O que conclui

a demonstração.

Sejam f uma função e c um valor no domínio de f, diz-se que f é:

CONTÍNUA NUM INTERVALO ABERTO

(a) Contínua num intervalo aberto I, se f é contínua em todos os

valores de I;

CONTÍNUA NUM INTERVALO SEMIFECHADO À ESQUERDA

(b) Contínua num intervalo semifechado à esquerda , se

f é contínua à direita de a e no intervalo aberto :

CONTÍNUA NUM INTERVALO SEMIFECHADO À DIREITA

(c) Contínua num intervalo semifechado à direita , se f

é contínua à esquerda de b e no intervalo aberto :

CONTÍNUA NUM INTERVALO FECHADO

(d) Contínua num intervalo fechado [a, b], se f é contínua em (a, b),

além disso, é contínua à direita de a e à esquerda de b.

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Determinar os maiores intervalos em que é contínua a função

SOLUÇÃO

51

EXEMPLO PROPOSTO 3

Mostrar que [-1, 1] é o maior intervalo em que é contínua a função

O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta

interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade

pode ser justificada pelo teorema seguinte. A demonstração do teorema não

faz parte dos objetivos deste texto.

TEOREMA (DO VALOR INTERMEDIÁRIO) 3

Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I.

Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c

em (a, b) tal que f(c) = r.



que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 10 e 33 são os

respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 5 do trabalho desta aula a ser

postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAl do ambiente SOLAR.É exigido que o

trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na,



FONTES DAS IMAGENS



52

TÓPICO 01: RETA TANGENTE

VERSÃO TEXTUAL

A partir desta aula, será visto como o limite pode ser aplicado em

diversos tipos de problemas que surgem em outras ciências além de

Matemática, como Física, Química, Biologia, etc. Este tópico trata de

um problema geométrico, cujo objetivo é chegar ao conceito de reta

tangente ao gráfico de uma função num ponto.

A reta tangente ( Da palavra latina “tangere” que significa “tocar”.) a

uma circunferência, parábola, elipse e a um ramo de uma hipérbole num

ponto, é definida em Geometria Analítica, como a reta que intercepta essas

cônicas somente nesse ponto , nesse estágio, a unicidade desse ponto de

interseção é um argumento indispensável para chegar às equações das retas.

Este conceito de reta tangente, não se aplica a uma curva qualquer;

entretanto, para uma reta ser tangente a uma curva num ponto , será

exigido que pelo menos em algum arco da curva em torno de , a reta não

intercepte a curva noutro ponto, além disso, outras considerações são

exigidas conforme será visto a seguir.

CÔNICAS SOMENTE NESSE PONTO

Este conceito foi usado para as cônicas e outras curvas especiais

através de vários séculos pelos gregos antigos e era satisfatório devido o

desconhecimento nessa época de curvas mais gerais.


Lembra-se que o texto "equação de primeiro grau (Visite a aula online

para realizar download deste arquivo.)" já foi sugerido para leitura, caso

ache necessário, leia novamente que a sua compreensão neste tópico será

satisfatória.

A equação de uma reta fica determinada, quando são conhecidos um

ponto e a declividade da reta. Portanto para encontrar a equação da reta

tangente a uma curva num ponto dado, resta obter a declividade da reta.


AULA 03: DERIVADA

53

Seja f uma função contínua em , para definir a declividade da reta

tangente ao gráfico de f no ponto , considere a reta contendo e

outro ponto P (x,y) do gráfico de f, tal reta é chamada de reta secante.

RETA SECANTE

Como o triângulo na figura é retângulo, a declividade da reta

secante contendo e P, é

mas , assim

Considerando o ponto fixo e o ponto P tendendo ao ponto ao longo

da curva (isto é, P aproximando-se de sem sair da curva, ou equivalente,

fazendo ), se a reta secante tem uma posição limite, esta posição limite

é definida como a da reta tangente à curva no ponto Po.

PONTO PO

Assim, a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto

pode ser vista como o limite da declividade da reta secante quando , ou

seja,

se o limite existe.

Existem situações onde é útil mudar neste limite a variável x para uma

variável , fazendo , ou seja, equivale a

assim

VARIÁVEL

54

É histórico e tradicional indicar esta variável usando a letra grega

(lê-se, delta) seguida da letra x, posteriormente, por razões de

simplicidade, será usada apenas uma letra minúscula do nosso alfabeto.

Evidentemente que se existe, a reta tangente não pode ser vertical;

assim é relevante examinar o tipo de não existência do limite de se a reta

tangente é vertical. Isto significa que deverá ser analisado os limites

unilaterais de se a reta tangente é vertical. Inicialmente, considere a reta

tangente vertical como o limite da secante girando no sentido anti-horário.

ANTI-HORÁRIO

Observe (na figura) que se , então , assim

pois . Seja agora a reta tangente vertical

como o limite da secante girando no sentido horário.

SENTIDO HORÁRIO

Note (na figura) que se , então , logo

pois

Portanto, é sugestivo que a definição de reta tangente seja como a

seguir. Seja f uma função contínua em , então a RETA TANGENTE ao

gráfico de f no ponto é a reta de equação:

55

OBSERVAÇÃO

Observe que a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto,

está definida apenas nos casos de inexistência do limite de em que

, isto é, nos outros casos em que não existe, diz-se

que o gráfico de f não tem reta tangente em .

A RETA NORMAL a uma curva num ponto, é a reta perpendicular a reta

tangente à curva nesse ponto.

Na figura estão a reta tangente ao gráfico de f num ponto na cor

"laranja" e a reta normal ao gráfico nesse ponto na cor "preta".

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Achar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da parábola

no ponto A(1,1). Fazer os gráficos da parábola e das retas.

SOLUÇÃO

Fazendo , tem-se

é a declividade da reta tangente ao gráfico da equação no

ponto A. Portanto é uma equação da reta tangente, que

simplificando dá . Como é a declividade da

reta perpendicular à reta de declividade igual a 2, tem-se

como uma equação da reta normal ao gráfico da

equação dada em A, que simplificando dá . Os gráficos

estão na figura a seguir.

EXEMPLO PROPOSTO

Mostrar que e são as equações das retas tangente

e normal à curva no ponto em que x = 1, respectivamente. Fazer os

gráficos da curva e das retas.


56

Leia o texto "Movimento Retilíneo (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.)", onde você pode ver uma aplicação em Física de

limite.






postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 2

a 5 do trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É

exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período

indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto


FONTES DAS IMAGENS




57

TÓPICO 02: TAXA DE VARIAÇÕES

VERSÃO TEXTUAL

Os conceitos de declividade da reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto e velocidade de uma partícula em movimento

retilíneo num instante, embora pareçam bastante distintos, têm muito

em comum e historicamente serviram de inspiração para a criação de

uma teoria mais geral. Este tópico faz uma única interpretação dos

limites envolvidos nos conceitos de reta tangente e velocidade.

Limites análogos aos das definições de , e , vistos no tópico 1 e

texto complementar indicado no final do tópico 1 desta aula, são usados em

outras aplicações, assim é sugestivo fazer uma uniformização. Seja f uma

função definida de a , se x varia de a , então y varia de

a ; indicando por a variação de correspondente a

variação de , tem-se

Assim, a TAXA (OU RAZÃO) MÉDIA DE VARIAÇÃO de pela variação

de é dada por

Quando se faz , diz-se que é uma VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de

(ou uma variação infinitesimal do valor ). Suponha que f seja contínua

em , então implica que , logo sendo f contínua em é

possível interpretar que é taxa (ou razão) de duas quantidades

infinitesimais. Se tal limite existe, ele é dito a TAXA (OU RAZÃO)

INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO de y em relação a x em , então sendo

, tem-se

Assim, pode-se dizer: declividade da reta tangente, velocidade e

aceleração instantâneas são taxas de variações infinitesimais.

Outros exemplos aparecem em:

QUÍMICA

Quando é de interesse achar a taxa em que uma substância se

modifica em relação ao tempo ao reagir com outra;

BIOLOGIA


AULA 03: DERIVADA

58

Para saber a taxa em que a quantidade de bactérias diminui ou

aumenta numa cultura com o passar do tempo;

FÍSICA

Para achar num circuito a taxa de variação da corrente elétrica em

relação ao tempo.

Em geral, a taxa de variação de uma grandeza em relação ao tempo,

também é chamada de VELOCIDADE DE VARIAÇÃO da grandeza.

É possível também considerar taxas de variação em relação a uma

grandeza que não seja o tempo, por exemplo: a taxa de variação do volume

de um gás em relação à pressão; a taxa de variação da corrente elétrica em

relação à resistência, etc.

EXEMPLO RESOLVIDO

A variação da pressão num gás confinado, faz com que ele sofra uma

dilatação (isto é, altere de volume), a LEI DE BOYLE-MARIOTTE para a

dilatação de um gás estabelece: em temperatura constante, o produto da

pressão pelo volume do gás é constante, ou seja, pV = c onde p é a

PRESSÃO (isto é, a força em newtons por unidade de volume) que age

sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante. Se um gás

confinado, num determinado instante, está submetido a uma pressão de

, achar a taxa de variação do volume do gás nesse instante, fazendo

c = 75.

SOLUÇÃO

Substituindo c por 75 e colocando V em termos de p, tem-se

, assim a taxa de variação

O valor negativo de significa que o volume está

diminuindo nesse instante.

EXEMPLO PROPOSTO

A LEI DE OHM afirma: num condutor, a razão da diferença de

potencial (ou força eletromotriz, que é escrita abreviadamente como

FEM) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente elétrica

59

I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V / I = R. Se um condutor

está submetido uma fem de 220 volts, provar que a taxa de variação da

intensidade da corrente elétrica I em relação a resistência ( -- A resistência

de um condutor pode variar quando ele é submetido a variações de

temperatura.) quando ela é 10 ohms é igual a -2,2 ampères por ohms.




individualmente ou em grupo. As questões 2 a 5 do trabalho, serão

indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta

aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do

ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou


FONTES DAS IMAGENS




60

TÓPICO 03: DERIVADAS DE FUNÇÕES

VERSÃO TEXTUAL

Neste tópico inicialmente será definida uma função usando limite,

tal função desempenha um papel de grande importância em várias

áreas da Matemática, além de ter relevantes aplicações em outras

ciências; essa função chama-se derivada. A imagem da derivada de

uma função num valor, pode ser vista, por exemplo, como a inclinação

da reta tangente a uma curva num ponto, a velocidade de uma

partícula, a razão (ou taxa) de quantidades muito pequenas; onde a

interpretação depende do tipo de grandeza representada por tal

função. Posteriormente, serão examinados o problema de existência

da derivada e a relação entre derivada e continuidade. O tópico é

finalizado com os conceitos de derivadas de ordens superior a

primeira, que serão indispensáveis em várias aplicações futuras.

A DERIVADA PRIMEIRA (ou simplesmente, a derivada) de uma função

f é a função indicada por f ' (lê-se, f linha) e definida num valor por

se este limite existir. Além do símbolo f '(x), utiliza-se também as

seguintes notações para indicar a derivada de f num valor x onde ela existe:

Como foi mencionado no tópico 1 desta aula, a fim de simplificar, se for

desnecessário usar a variável , será usada apenas uma letra minúscula do

nosso alfabeto, por exemplo h ou t invés de .


Calcular a derivada da função dada:

SOLUÇÃO

(a) Como , tem-se


AULA 03: DERIVADA

61

assim

(b) Sendo tem-se

logo


Mostrar que se:

O limite que estabelece a derivada de uma função f num valor

particular onde ela existe, pode ser encontrado de uma das seguintes

maneiras:

(a) Substituindo x por na fórmula para f '(x), que fica

(b) Fazendo , assim equivale a que

resulta em

62

Sejam uma função f, um intervalo aberto e diz-se que f é

DERIVÁVEL em (ou diferenciável em ), se f '( ) existe.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Mostrar que a função não é derivável em 0.

SOLUÇÃO

Deve-se mostrar que f '(0) não existe. Tem-se que

mas (do teorema 3 do tópico 1 da aula 02) e (do

teorema 4(d) do tópico 1 da aula 02) onde

se logo (pelo teorema 2(a) do tópico 2 da aula 02)

portanto f '(0) não existe.

DO TEOREMA 4(D) DO TÓPICO 1 DA AULA 02

Se então:

(d)O limite da raiz n-ésima de uma função está bem definido, o seu

valor é a raiz n-ésima do limite da função, desde que exista a raiz

n-ésima do limite da função, ou seja,

TEOREMA 2(A) DO TÓPICO 2 DA AULA 02

Sejam então:

O teorema continua válido se for substituído por

ou

EXEMPLO PROPOSTO 2

Provar que a função não é derivável em 0.

Observe que embora a função f do exemplo resolvido 2 seja contínua em

todo o conjunto dos números reais, f não é derivável. Isto é, em geral,

DO TEOREMA 3 DO TÓPICO 1 DA AULA 02

Se a e b são números reais fixos, então


63

continuidade não implica em diferenciabilidade; entretanto, se uma função é

derivável num valor, ela é contínua nesse valor, conforme verificado no

teorema a seguir.

TEOREMA

Se f é uma função derivável em , então f é contínua em .

DEMONSTRAÇÃO

Deve-se mostrar que se existe, então

Observe que além

disso

pois e existem e

pois é constante; logo (aplicando o teorema 4(a) do tópico 1

da aula 02)

APLICANDO O TEOREMA 4(A) DO TÓPICO 1 DA AULA 02

Se então:

(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos

limites se o limite de cada parcela da soma existe, isto é,

O que conclui a demonstração.

A derivada de uma função num valor é um limite bilateral, assim uma

forma de verificar a existência da derivada, é o critério da existência do limite

bilateral dado no teorema 2 do tópico 1 da aula 02, mais precisamente,

indicando e definindo a DERIVADA À ESQUERDA e a DERIVADA À DIREITA

de f em por

TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 02

O se, e somente se,

64

respectivamente, então: (existe) se, e somente se,

existem e são iguais a L. Os números são também chamados

DERIVADAS LATERAIS de f em . Uma função é DERIVÁVEL NUM

INTERVALO (ou diferenciável em I) se ela é derivável em todos os

valores de I; caso I seja semifechado ou fechado, a derivada no valor

extremo inferior ou superior do intervalo é a derivada à direita ou à

esquerda, respectivamente. Uma FUNÇÃO DERIVÁVEL é a função derivável

em todos os valores do seu domínio.

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Verificar se a função é derivável em 1.

SOLUÇÃO

Tem-se

(substituindo pois se

e

e

(substituindo pois

Como , obtém-se que f '(1) não existe,

assim f não é derivável em 1.

EXEMPLO PROPOSTO 3

Provar que a função é derivável em 1.

Como as funções dos exemplos resolvidos 2 e 3 são contínuas em 0 e

1, respectivamente, mas não são deriváveis em 0 e 1, tais funções justificam

que a recíproca do último teorema não é verdadeira, ou seja, continuidade

não implica em diferenciabilidade.

OBSERVAÇÃO

Observe ainda, que o teorema afirma: SE F NÃO É CONTÍNUA EM ,

ENTÃO F NÃO É DERIVÁVEL EM . Isto não é aplicável nos exemplos

citados, mas pode ser usado (por exemplo) para mostrar que a função

65

não é derivável em zero, pois f não é contínua em zero.

Derivando uma função f pela segunda vez, isto é, derivando a função f ',

tem-se a DERIVADA SEGUNDA de f, que é indicada por f " (lê-se, f duas

linhas) e definida por

para todo x no domínio de f ' onde este limite existe. Similarmente,

define-se a DERIVADA TERCEIRA de f, que é indicada por , como a

derivada primeira de f ". Em geral, se n é um número inteiro maior ou igual

a 2, a DERIVADA N-ÉSIMA (ou a derivada de ordem n) de f, que é indicada

por , é a derivada primeira da função , onde em particular

. Usa-se ainda, as seguintes notações para a derivada de

ordem n da função f:

particularmente, as notações

são usadas para simbolizar a derivada segunda de f.

EXEMPLO RESOLVIDO 4

Encontrar f "(3) se

SOLUÇÃO

Inicialmente, deve-se ter a derivada primeira

de f para x arbitrário. Do exemplo resolvido 1(b) deste tópico, tem-

se

Portanto

66

EXEMPLO PROPOSTO 4

Mostrar que se

Conforme foi visto no texto complementar indicado no final do tópico 1

desta aula, se s = f(t) é a equação de movimento retilíneo de uma partícula,

então as derivadas primeira e segunda de f, são a velocidade e a aceleração

instantâneas da partícula, respectivamente.


Considere a distância percorrida por uma partícula no

tempo t, se o movimento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de

zero:

(a) Encontrar o instante em que a partícula está em repouso e os

intervalos de tempo em que a partícula se desloca para direita ou

esquerda;

(b) Mostrar que partícula se desloca com aceleração constante.

SOLUÇÃO

(a) Seja calculando num tempo qualquer,

tem-se

logo

Inicialmente, veja a análise no começo da solução do exemplo

resolvido do texto complementar indicado no final do tópico 1 desta

aula. A partícula estará em repouso se isto é, se t = 1. Se

então logo neste intervalo de tempo a partícula se

desloca apenas para esquerda; e se t > 1 então assim após

uma unidade de tempo a partícula se desloca somente para direita.

EXEMPLO RESOLVIDO DO TEXTO COMPLEMENTAR INDICADO NO

FINAL DO TÓPICO 1 DESTA AULA.

EXEMPLO RESOLVIDO. Se é a distãncia

percorrida por uma partícula no tempo t, supondo que o

deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de

zero, mostrar que a partícula no instante:

(a) t = 1 está em repouso;

(b) t = 0,5 se desloca para esquerda.

SOLUÇÃO. Nos instantes em que a partícula está em

repouso, a velocidade instantânea é zero. Assim entre esses

67

instantes a velocidade é menor ou maior que zero e a partícula

estará se movendo para esquerda ou para direita. Para

verificar tal fato, suponha que

então (pelo corolário 1 do teorema 6 do tópico 1 da aula 3),

para valores de em algum intervalo aberto contendo

zero, exceto mas logo ou seja,

Portanto se em a partícula estará se

movendo para esquerda. Analogamente, prova-se que se

em a partícula estará se movendo para direita.

(b) Sendo a aceleração da partícula num tempo

qualquer é

portanto a aceleração tem o mesmo valor para todo

valor de t, ou seja, a aceleração é constante.


Se é a distância percorrida por uma partícula no tempo

t, supondo que o deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de

zero, provar que:

(a) No instante t = 2 a partícula está em repouso e nos intervalos de tempo (0,2) e (2,+∞) a partícula se desloca para esquerda e direita, respectivamente;

(b) A aceleração instantânea da partícula no instante em que t = 1 é igual a 6 e neste instante sua velocidade está aumentando.

ATIVIDADE DE PORFÓLIO



individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3, 5 e 23 são

os respectivos itens (a) a (c) da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser

postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões3

a 5 do trabalho desta aula, serão indicados nos tópicos seguintes desta

aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no

período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento

de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

68

FONTES DAS IMAGENS




69

TÓPICO 04: FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO

VERSÃO TEXTUAL

A derivada de uma função, até este momento, foi efetuada através

da sua definição; entretanto, tal procedimento quando usado para

funções mais complexas requer excessivo trabalho ou dificuldades.

Neste tópico, serão apresentados os teoremas e corolários que

permitem encontrar a derivada de uma função (num valor onde ela

existe) através de fórmulas, onde as suas demonstrações serão

efetuadas no texto complementar indicado no final deste tópico; as

fórmulas para derivar as funções seno e cosseno, serão estabelecidas

no final do tópico.

O que se chama DERIVAÇÃO (ou diferenciação) é o processo usado para

encontrar a derivada de uma função. Os teoremas que serão estabelecidos a

seguir, dão um conjunto de fórmulas que permitem encontrar a derivada de

uma função num valor onde ela existe, as demonstrações de alguns itens

serão efetuadas no texto complementar indicado no final deste tópico.

TEOREMA 1

Se a e b são constantes, r é racional e é derivável, então

TEOREMA 2

Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada:

(A) DA SOMA DE F COM G

Da soma de f com g é dada por

(B) DO PRODUTO DE F POR G

Do produto de f por g é dada por

(C) DO QUOCIENTE DE F POR G

Do quociente de f por g é dada por


A FÓRMULA (I)

Significa que a derivada da função constante é igual a função nula.


AULA 03: DERIVADA

70

A FÓRMULA (II)

Significa que a derivada da função identidade é igual a função

constante e igual a um.


Calcular a derivada das seguintes funções:

SOLUÇÃO (A)

(a) Aplicando o resultado (iii) (<img

src=imagens/04/imagem06.gif>) , tem-se

Usando o teorema 1,tem-se

TEOREMA 1

Se a e b são constantes, r é racional e é

derivável, então


e b = 0.

Logo, substituindo os resultados obtidos, encontra-se

SOLUÇÃO (B)

SOLUÇÃO (C)

71

SOLUÇÃO (D)

(d) Sendo , do teorema 2(b), tem-se

TEOREMA 2(B)

mas Logo,

substituindo os resultados obtidos, encontra-se

SOLUÇÃO (E)

(e) Sendo , aplicando o teorema 2(c), tem-se

TEOREMA 2(C)

mas . Logo, substituindo os

resultados obtidos, encontra-se


Mostrar que se:

72

O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas

funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a

composição; a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a

"REGRA DA CADEIA".

TEOREMA 3

Sejam f e g funções deriváveis e definidas por e então é derivável, além

disso

Como aplicações imediatas da regra da cadeia, tem-se os resultados (I) e

(II) a seguir.

(I)

(II)

73


Calcular:

SOLUÇÃO (A)

Uma segunda solução pode ser obtida, considerando a variável

intermediária u mencionada no enunciado do teorema 3 deste

tópico, assim fazendo

TEOREMA 3

74

SOLUÇÃO (B)

Do resultado (ii) do teorema 3 tem-se

RESULTADO (II) DO TEOREMA 3


Mostrar que se:

TEOREMA 4

Sejam r um número racional, f e g deriváveis tal que então

75

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Calcular .

SOLUÇÃO

Aplicando o teorema 2(c) tem-se

TEOREMA 2(C)

mas (do teorema 1(ii) e do teorema 4) e

logo substituindo os resultados encontrados, obtém-se:

TEOREMA 1(II)

Portanto, a derivada segunda da função f é dada por

EXEMPLO PROPOSTO 3


Achar a derivada das seguintes funções:

76

SOLUÇÃO


Provar que se:

A seguir, serão encontradas as derivadas das funções seno e co-seno. Da

definição de derivada, obtém-se

mas

logo

como pois senx e cosx são constantes em

relação a t, além disso (conforme exemplo resolvido 2(a) do

tópico 3 da aula 02) e (como foi visto no tópico 2 da aula 02), tem-

se

EXEMPLO RESOLVIDO 2(A) DO TÓPICO 3 DA AULA 02

77

Se u é uma função de x e derivável, da regra da cadeia (enunciada no

teorema 3 deste tópico),

obtém-se

A derivada da função co-seno é obtida, aplicando-se a fórmula da

derivada da função seno e as identidades

Sendo assim,

Sendo ainda u uma função de x e derivável, pela regra da cadeia,


Calcular a derivada da função dada:

SOLUÇÃO


78

Provar que se:


No texto "Demonstrações das Fórmulas de Derivação" (clique aqui

para abrir) (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.),

estão as demonstrações a maioria das fórmulas apresentadas neste tópico.

É uma boa oportunidade para rever recursos algébricos gerais com limites

que possuem a forma indeterminada 0/0. É recomendável, pelo menos

uma leitura atenciosa.


Vá ao exercitando (CLIQUE AQUI PARA ABRIR) (Visite a aula online

para realizar download deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de

exercícios que puder, individualmente ou em grupo. No exercitando, os

exercícios: 9 e 27 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 3; 35 e 41

são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a

ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. A questão

5 do trabalho, será indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o




FONTES DAS IMAGENS




79

TÓPICO 05: DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

VERSÃO TEXTUAL

Esta aula é finalizada, vendo o processo para encontrar a derivada

de uma função definida por uma equação em que a variável

dependente não esteja isolada, diretamente da equação (isto é, sem

resolver a equação), processo esse conhecido como derivação

implícita.

Se na equação que define uma função f, a variável dependente y está

isolada, diz-se que f (ou y) está DEFINIDA EXPLICITAMENTE como uma

função de x. Por exemplo, na equação

y está definida explicitamente como uma função de x.

Se numa equação que define uma ou mais funções, a variável

dependente y não está isolada, diz-se que y está DEFINIDA

IMPLICITAMENTE como uma ou mais funções de x. Por exemplo, na equação

y está definida implicitamente como uma ou mais funções de x; neste

caso, resolvendo a equação , assim y pode ser

explicitada através das equações

que definem duas funções com domínios (por exemplo) iguais ao

intervalo [-2, 2].

É comum, numa equação em que a variável y está implícita, haver

dificuldades para explicitar y em termos de x, como por exemplo na equação

daí a necessidade de um processo para encontrar Dxy sem resolver a

equação para y, esse processo usa também as fórmulas de derivação dadas

no tópico 1 desta aula e é chamado DERIVAÇÃO IMPLÍCITA. Os exemplos

seguintes ilustram o processo de derivação implícita. Os teoremas e

resultado (iii) citados no exemplo resolvido1a seguir, são do tópico 4 desta

aula.



AULA 03: DERIVADA

80

Encontrar Dxy se x e y são dadas nas equações seguintes:

SOLUÇÃO

(a) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x,

tem-se

assim (pelo teorema 2(a))

TEOREMA 2(A)

mas (pelo teorema 1) , (pelo teorema 4,

colocando y no lugar de , substituindo os

resultados encontrados, obtém-se

TEOREMA 1

TEOREMA 4

(b) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x,

obtém-se

logo (pelo resultado (iii) do teorema 2(a) ( -- <img

src=imagens/05/imagem16.gif>) )

Aplicando o teorema 2(b) para derivar os produtos, tem-se

TEOREMA 2(B)

81

mas (pelo teorema 1) , (pelo

teorema 4)

Portanto, substituindo os resultados obtidos, obtém-se:

passando todos as parcelas que têm Dxy para o primeiro

membro e as que não têm para o segundo membro da equação,

acha-se

colocando Dxy em evidência, tem-se

portanto (passando o coeficiente de para o segundo membro da

equação)


Provar que se:

O exemplo seguinte ilustra como obter derivadas de ordem superior a

primeira de funções implícitas.


Calcular para x e y dadas na equação:

SOLUÇÃO

82


Provar que se:

Um grupo de problemas sobre razão instantânea de variação e que usa

derivação implícita na sua solução é o seguinte: se duas variáveis y e x estão

83

relacionadas através de uma única equação e por sua vez cada uma destas

variáveis são funções do tempo t, quando se deseja encontrar a razão (ou

taxa) instantânea de variação de y ou de x em relação a t, usa-se derivação

implícita; esse tipo de problema, chama-se PROBLEMA DE TAXAS

RELACIONADAS. Lembrando do tópico 3 da aula 03, que a razão instantânea

de variação de uma grandeza em relação ao tempo, também é chamada de

velocidade de variação da grandeza. O exemplo a seguir ilustra o referido

tipo de problema.


Se um gás confinado, num certo instante, tem a pressão de 50 N/cm2,

o volume de 10 cm3 e a pressão está aumentando a razão de 4(N/cm2) por

minuto, encontrar a velocidade de variação do volume do gás nesse

instante.

SOLUÇÃO

A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada no exemplo resolvido do

tópico 2 da aula 03) relaciona a pressão e o volume do gás. Deseja-

se achar DtV no instante em que:

por minuto. Como pV = c obtém-se:

LEI DE BOYLE-MARIOTTE

Lei de Boyle-Mariotte para a dilatação de um gás

estabelece: em temperatura constante, o produto da pressão

pelo volume do gás é constante, ou seja, pV = c onde p é a

pressão (isto é, a força em newtons por unidade de volume)

que age sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante.

assim

é a razão instantânea de variação do volume do gás em relação

ao tempo, num tempo qualquer. Substituindo os dados do

problema, tem-se a razão de variação do volume do gás em relação

ao tempo no instante considerado, que é

O valor negativo de DtV, significa que o volume do gás está

diminuindo à medida que o tempo passa.

EXEMPLO PROPOSTO 3

84

Se num condutor de resistência constante igual a 10 ohms, num

determinado instante, a taxa de variação da diferença de potencial é de 20

volts por segundo, mostrar que a velocidade de variação da intensidade da

corrente elétrica nesse instante é de 2 ampères por segundo. Sugestão: use a

Lei de Ohm enunciada no exemplo proposto do tópico 2 da aula 03.

LEI DE OHM

LEI DE OHM afirma: num condutor, a razão da diferença de


FEM) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente

elétrica I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V/I = R.




individualmente ou em grupo. Os exercícios 11 e 19 do exercitando, são

os respectivos itens(a) e (b) da QUESTÃO 5 do trabalho desta aula a ser

postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.É exigido que o




FONTES DAS IMAGENS




85

TÓPICO 01: VALORES EXTREMOS E TEOREMA DO VALOR MÉDIO

VERSÃO TEXTUAL

Este tópico trata dos conceitos e resultados básicos necessários às

aplicações da derivada que serão estudadas nesta aula. Inicialmente

serão introduzidos os conceitos de valores mínimo e máximo locais de

uma função, posteriormente serão definidos os valores mínimo e

máximo absolutos de uma função. Esses valores locais e absolutos são

também chamados de valores extremos da função, são fundamentais

ao estudo de gráficos de funções usando derivadas (a ser realizado no

tópico 3 desta aula) e aparecem também numa variedade de

problemas muito comuns que serão vistos no texto complementar a

ser indicado no final do tópico 3 desta aula). Este tópico será

finalizado com o importante resultado conhecido como o "teorema do

valor médio de Lagrange", trata-se de um resultado teórico de extrema

importância na demonstração de vários outros resultados que serão

tratados posteriormente.

Sejam f uma função com domínio e , diz-se que f tem um:

• VALOR MÍNIMO LOCAL (ou um valor mínimo relativo) em m, se existe

um intervalo aberto com tal que para todo ;

• VALOR MÁXIMO LOCAL (ou um valor máximo relativo) em m, se

existe um intervalo aberto com tal que para todo .

Um valor mínimo ou máximo local de uma função, é chamado de

VALOR EXTREMO LOCAL(ou valor extremo relativo) da função e um ponto

correspondente a um desses valores é dito um PONTO EXTREMO LOCAL (ou

um ponto extremo relativo) do gráfico da função.

Geometricamente, um ponto extremo local significa que localmente esse

é o ponto mais baixo ou mais alto do gráfico, conforme o ponto seja de

mínimo ou de máximo, respectivamente. Por exemplo, seja a função

o gráfico de f está na figura seguinte.


AULA 04: APLICAÇÕES DA DERIVADA

86

OBSERVAÇÃO

Como pode ser observado no gráfico, a função f tem valor mínimo

local igual a -2 em 1 e valor máximo local igual a 1 em 0, assim (-1,2) é

ponto de mínimo local e (0,1) é ponto de máximo local do gráfico de f.

O teorema a seguir mostra como determinar os possíveis valores de m,

onde uma função derivável em m tem um extremo local.

TEOREMA 1

Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo m e

derivável em m. Se f tem um valor extremo local em m, então f ' (m) = 0.

DEMONSTRAÇÃO

Suponha que f tenha valor mínimo local em m, então

para todo x num intervalo aberto I contendo m. Daí

para todo x em I. Como f é derivável em m, os limites de

quando x tende a m pela esquerda e pela direita, existem e são iguais

a f'(m), logo (pela versão do corolário 2 do teorema 6 do tópico 01 da

aula 02 para limites unilaterais), tem-se:

COROLÁRIO 2

assim

Analogamente, demonstra-se o teorema se f tem valor máximo

local em m.

Geometricamente, o teorema 1 tem a seguinte interpretação: se uma

função f tem um valor extremo local em m, onde ela é derivável, então a reta

tangente ao gráfico de f no ponto (m,f(m)) é uma reta horizontal. Observe

que a recíproca do teorema 1, em geral, não é verdadeira; por exemplo, se f

é a função definida por (dada exemplo resolvido 1(c) do tópico 4 da

aula 01) então f é derivável e f '(0) = 0, mas f não tem valor extremo local

em 0. A diferenciabilidade de uma função, num valor onde ela tem um

extremo local, é indispensável para que a derivada se anule nesse valor, isto

é, uma função f pode ter um extremo local num valor, sem que f '(m) seja

igual a 0; por exemplo, a função definida por (veja exemplo

87

resolvido 5(a) do tópico 4 da aula 01) tem mínimo local em 0 e f '(0) não

existe.

EXEMPLO RESOLVIDO 1(C) DO TÓPICO 4 DA AULA 01


(a)

SOLUÇÃO.

(c) O gráfico da função é uma parábola cúbica, onde

comparando com a equação geral, tem-se a = 1, b = 0 e c = 0. Assim, o

ponto de inflexão do gráfico é (0,0) e o gráfico contém os pontos (-1,-1)

e (1,1). Marcando os pontos encontrados e seguindo o modelo da figura,

obtém-se o gráfico de h que está na figura a seguir.

EXEMPLO RESOLVIDO 5(A) DO TÓPICO 4 DA AULA 01


(a) (FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO);

SOLUÇÃO.

(a) Observe que o domínio de f é o conjunto dos números reais.

Usando a definição de valor absoluto, tem-se

que reduz f a uma função definida por duas equações. Assim,

fazendo os gráficos de , tem-se o

gráfico de f que está na figura a seguir.

Um valor m no domínio de uma função f, onde f '(m) se anula ou não

existe, chama-se um VALOR CRÍTICO de f. Assim, dos comentários já feitos,

concluí-se: OS VALORES CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO, SÃO OS POSSÍVEIS

VALORES ONDE A FUNÇÃO PODE TER UM EXTREMO LOCAL.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Encontrar os valores críticos da função

88

SOLUÇÃO

Tem-se

daí f '(x) = 0 para x = 8 e f '(x) não existe para x = 0, como os

números e estão no domínio de f, estes são os valores críticos de f.

No tópico 2 desta aula (exemplo resolvido 1), onde a teoria estará

mais desenvolvida, será verificado de forma simples, se nestes

valores críticos a função f tem extremos locais.

EXEMPLO PROPOSTO 1

Provar que 0 e 1 são os únicos valores críticos da função

Sejam I um subconjunto no domínio de uma função f e , então se

ou para todo diz-se que f(m) é um VALOR MÍNIMO

ABSOLUTO ou um VALOR MÁXIMO ABSOLUTO de f em I,

respectivamente, ou ainda, que f (m) é um VALOR EXTREMO ABSOLUTO

de f em I; além disso, (m,f(m)) é chamado de PONTO EXTREMO

ABSOLUTO do gráfico de f em I. Geometricamente, um ponto extremo

absoluto do gráfico de f em I, significa que esse ponto é o mais baixo ou o

mais alto do gráfico f em I, conforme o ponto seja de mínimo ou de máximo,

respectivamente. Por exemplo: a função tem valor mínimo

absoluto igual a g (0) = 1 e valor máximo absoluto igual a g (2) = 3 em

[0,2]; a função tem valor máximo absoluto igual a h (1) = 1 em

seu domínio; a função seno (definida no tópico 4 da aula 01) tem

valor mínimo absoluto igual a e valor máximo absoluto igual a

no seu domínio para todo inteiro

FUNÇÃO SENO

Seja x uma variável real, onde x representa a medida em

radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a

partir do ponto (1,0), então a função SENO é definida pela equação y

=senx. O gráfico desta função está na figura a seguir com o domínio e

imagem. No tópico 3 desta aula(exemplo resolvido 3) o gráfico será

justificado.

É comum nas soluções de problemas envolvendo valores extremos

absolutos, a necessidade de determinar se uma função definida num

intervalo, tem valor extremo absoluto nesse intervalo. 0 teorema de

89

Weirstrass ( -- Karl Weirtrass (1815-1897), matemático alemão.) , cuja

demonstração ( -- Pode ser encontrada na referência (Curso de Análise -

Lima, Elon Lages, Editora Edgard Blucher Ltda, 1976) não faz parte dos

objetivos deste texto, dá a condição suficiente para que uma função tenha

valores extremos absolutos num intervalo fechado; devido à importância

desse teorema, ele será enunciado a seguir.

TEOREMA (DE WEIRSTRASS) 2

Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] então f tem

valores mínimo e máximo absolutos em [a,b].

Os valores extremos absolutos de uma função contínua f em [a,b],

podem ser os valores da função nos extremos do intervalo ou valores

extremos locais da função assumidos em algum número do intervalo aberto

correspondente. Portanto, tomando como base os resultados já discutidos,

tem-se o seguinte procedimento para encontrar os valores extremos

absolutos de f em [a,b]: ENCONTRAR OS VALORES F(A) E F(B), E

DETERMINAR OS VALORES DA FUNÇÃO NOS VALORES CRÍTICOS DE F

EM (a,b), ENTÃO O MENOR DESSES VALORES É O MÍNIMO ABSOLUTO E O

MAIOR É O MÁXIMO ABSOLUTO.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Determinar os valores extremos absolutos de no

intervalo [-2.2].

SOLUÇÃO

obtém-se f '(x) = 0 para x = 0. Por outro lado, sendo

tem-se que f '(1) não existe. Os números 0 e 1

pertencem ao intervalo [-2,2], logo estes são os valores críticos de f

em [-2,2]. Os valores de f nos seus números críticos são f (0) = -1 e

f (1) = 0. Portanto, os valores mínimo e máximo absolutos de f em

[-2,2], são f (0)=f (2) = -1 e f (-2) = 3, respectivamente.

EXEMPLO PROPOSTO 2

Mostrar que os valores extremos absolutos de em

[-2,2], são atingidos nos extremos do intervalo.

Antes de enunciar o teorema do valor médio, será demonstrado um

resultado básico conhecido como o teorema de Rolle. ( Michel Rolle (1652-

1719), matemático francês. O teorema de Rolle foi publicado em 1691 num

90

livro sobre geometria e álgebra intitulado “Méthode pour résoudre les

égalitéz”. )

TEOREMA (DE ROLLE) 3

Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b).

Se então existe pelo menos um tal que f '(c) = 0.

DEMONSTRAÇÃO

Se f é constante em [a,b], isto é, se para

todo x em [a,b], então f ' (x) = 0 para todo x em [a,b], neste caso,

c pode ser qualquer valor do intervalo (a,b).

Se f não é constante em [a,b], então existe x em (a,b) tal que

Sendo f contínua em [a,b],

pelo teorema 2 deste tópico ( Teorema de Weirstrass - Se f é uma

função contínua num intervalo fechado [a,b], então f tem valores

mínimo e máximo absolutos em [a,b].) , f tem valores mínimo e

máximo absolutos em [a,b]. Se então f tem o

valor mínimo absoluto em algum assim esse valor será

também mínimo local; se então f tem o valor

máximo absoluto em algum , logo esse valor será também

máximo local. Como f é derivável no intervalo (a,b) e tem pelo

menos um valor extremo local em algum pelo teorema 1

deste tópico ( Seja f uma função definida num intervalo aberto

contendo m e derivável em m. Se f tem um valor extremo local em

m, então f '(m) = 0) tem-se que f '(c) = 0. O que concluí a

demonstração.

TEOREMA (DO VALOR MÉDIO DE LAGRANGE ( -- JOSEPH LOUIS LAGRANGE(1736-1813), MATEMÁTICO ITALIANO) ) 4

Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe

pelo menos um valor tal que

DEMONSTRAÇÃO

A demonstração é efetuada aplicando o teorema de Rolle a uma

função g em [a,b] onde g é definida como a seguir. Seja C a

inclinação da reta secante ao gráfico de f contendo

91

Então e a equação da reta secante pode ser escrita

na forma Considere g a função que dá a distância

vertical orientada do ponto (x,f(x)) ao ponto (x,y) na reta secante,

então

A função g é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), além disso

logo, pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um

valor tal que

daí ou seja, O que conclui a

demonstração.

Geometricamente, o teorema do valor médio tem a seguinte

interpretação: se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe

pelo menos uma reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta secante

ao gráfico de f por P e Q; uma vez que, f '(c) é a inclinação da reta tangente

ao gráfico de f no ponto é a inclinação da reta secante ao

gráfico de f por P e Q, e além disso tais inclinações são iguais. A

diferenciabilidade de f em (a,b) é indispensável ao resultado estabelecido

pelo teorema do valor médio, ou seja, se f não é derivável em (a,b), pode não

existir onde por exemplo, se

então

mas para todo isto é, não existe tal que

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Provar que existe um valor c que satisfaz o teorema do valor médio,

se e achar o valor de c.

SOLUÇÃO

A função f é descontínua somente em x = 0, logo contínua em

[1,2]. Como é derivável em (1,2) Assim existe um

valor c satisfazendo o teorema.

Tem-se

logo

92

daí isto é, Como apenas é o valor que satisfaz

o teorema do valor médio.

EXEMPLO PROPOSTO 3

Mostrar que existe um único valor c que satisfaz o teorema do valor

médio, se e que esse valor é

O resultado seguinte será útil posteriormente, ele estabelece que duas

funções com a mesma derivada num intervalo, diferem apenas de uma

constante.

COROLÁRIO

Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais que

para todo então existe uma constante C tal que para

todo

DEMONSTRAÇÃO

Sejam valores em I com

Aplicando o teorema do valor médio de Lagrange para h no

intervalo obtém-se

para algum Mas pois

para todo logo Isto mostra que

para dois valores quaisquer em I, h tem a mesma imagem, ou seja,

h é constante em I; considerando essa constante igual a C, tem-se

para todo daí para todo O que

conclui a demonstração.



deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,



postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido que

o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na



FONTES DAS IMAGENS




93

TÓPICO 02: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS

VERSÃO TEXTUAL

No tópico 1 desta aula foram introduzidos os conceitos dos valores

extremos locais de uma função, onde foi estabelecido que tais valores

são atingidos somente nos valores críticos da função; além disso, foi

visto que nem todo valor crítico corresponde a um valor extremo local.

Em geral, usando a definição, não é fácil verificar se uma função tem

num valor crítico, um valor extremo local. Este tópico estabelece os

testes, onde a derivada é aplicada para determinar se num valor crítico

de uma função, essa função tem um valor extremo local.

Sejam f uma função definida num intervalo I e valores quaisquer e

em I com , conforme foi definido no tópico 2 da aula 01, f é

crescente em I se e decrescente em I se . Como foi

comentado e é evidente das definições, o fato de uma função f ser

decrescente ou crescente num intervalo I, faz com que o seu gráfico (relativo

a I) esteja decaindo ou se elevando (em relação ao eixo X), respectivamente,

à medida que x cresce em I, conforme se encontra ilustrado na figura

seguinte.

A função f é decrescente nos intervalos [a,b] e [c,d] e crescente nos

intervalos [b,c] e [d,e]; o teorema do valor médio de Lagrange (enunciado no

tópico 1 desta aula), permite mostrar que esse aspecto ascendente ou

descendente que pode ocorrer no gráfico de uma função, pode ser

previamente detectado a partir do sinal da derivada primeira da função, de

acordo com o teorema seguinte.

TEOREMA DO VALOR MÉDIO DE LAGRANGE

Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então

existe pelo menos um valor tal que

TEOREMA 1

Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é aberto,

fechado ou semifechado) e derivável no intervalo aberto



94

correspondente (isto é, é o intervalo aberto de mesmos extremos de I),

então f é:

(a) Decrescente em I, se para todo ;

DEMONSTRAÇÃO

Sejam x1 e x2 em I com Então f é contínua em e

derivável em logo (pelo teorema do valor médio de

Lagrange) existe tal que

Como , tem-se

ou seja

O que conclui a demonstração.

O teorema seguinte permite identificar, usando o sinal da derivada

primeira de uma função, quando a função tem um extremo local num valor,

mesmo que a função não seja derivável nesse valor.

TEOREMA (TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS LOCAIS) 2

Seja f uma função contínua num intervalo (c,d). Se f é derivável em

(c,d), com provável exceção num valor então f tem:

(a) Mínimo local em m, se f ' é negativa em (c,m) e positiva em (m,d);

(b) Máximo local em m, se f ' é positiva em e negativa em (m,d).

DEMONSTRAÇÃO

A demonstração da parte (a) do teorema será feita a seguir, a

demonstração da segunda parte é análoga e está sugerida no

exercício 32 do exercitando deste tópico. Se f ' é negativa em (c,m),

pelo teorema 1, f é decrescente em (c,m], daí para todo

Por outro lado, se f ' é positiva em (m,d) pelo teorema 1, f é

crescente em (m,d], assim para todo Portanto,

para todo com isto é, f tem mínimo local

em m. O que conclui a demonstração.

SABE-SE QUE OS VALORES EXTREMOS LOCAIS DE UMA FUNÇÃO NUM

INTERVALO ABERTO, OCORREM NOS VALORES CRÍTICOS DA FUNÇÃO,

95

DAÍ OS POSSÍVEIS VALORES DE M CITADOS NO TEOREMA 2, SÃO OS

VALORES ONDE A DERIVADA PRIMEIRA DA FUNÇÃO SE ANULA OU NÃO

EXISTE. E mais, para saber quando uma função f (que tem as hipóteses do

teorema 2) tem um valor extremo local num de seus valores críticos m, basta

verificar se f ' muda de sinal em torno de m.


Sendo encontrar os:

(a) Intervalos de decrescimento e crescimento de f;

(b) Valores extremos locais de f.

SOLUÇÃO

(a) Do exemplo resolvido 1 do tópico desta aula, tem -se

e que os valores críticos de f são 0 e 8. A reta

seguinte representa geometricamente o domínio de f, que é o

conjunto dos números reais, e foi separada em segmentos nos

pontos correspondentes aos valores 0 e 8; estes segmentos

representam os intervalos acima dos

segmentos correspondentes aos respectivos intervalos, estão

indicados os sinais de f '(x).

EXEMPLO RESOLVIDO 1 DO TÓPICO DESTA AULA

Encontrar os valores críticos da função

SOLUÇÃO. Tem-se daí para

x = 8 e f ' (x) não existe para x = 0. como os números

0 e 8 estão no domínio de f, estes são os valores críticos de f.

No tópico 2 desta aula (exemplo resolvido 1), onde a teoria

estará mais desenvolvida, será verificado de forma simples, se

nestes valores críticos a função f tem extremos locais.

Portanto, do teorema 1, obtém-se: sendo x < 0 então

logo f é crescente em sendo 0 < x < 8 então daí f é

decrescente em [0,8]; e sendo x > 8 então assim f é

crescente em

(b) Agora, usando o teorema 2, tem-se: como f ' é positiva em

e negativa em (0,8), f tem valor máximo local igual a F (0) =

0; sendo f ' negativa em (0,8) e positiva em f tem valor

mínimo local igual a f (8) = -4.

96

EXEMPLO PROPOSTO 1

Se , provar que f é decrescente em e

crescente em [0,1], tem valor mínimo local igual a f (0) = 0 e máximo local

igual a f (1) = 1.

O teorema seguinte dá outro teste para identificar se uma função tem

um extremo local num valor, mas ele é menos geral que o teorema 2, pois só

é possível aplicá-lo quando a função tiver derivada até a segunda ordem sob

condições especiais no valor.

TEOREMA (TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS LOCAIS) 3

Seja f uma função derivável em algum intervalo aberto contendo um

valor m. Se f ' (m) = 0 e f "(m) existe, então f tem:

(a) Mínimo local em m, se

(b) Máximo local em m, se

DEMONSTRAÇÃO

Será feita a demonstração da parte (a), a outra parte tem

demonstração análoga e está proposta no exercício 33 do

exercitando deste tópico. Como f '(m) = 0, tem-se

Logo, se pelo corolário 1(a) do teorema 6 do tópico 1 da

aula 02, existe um intervalo aberto (a,b) contendo m tal que

COROLÁRIO 1(A) DO TEOREMA 6 DO TÓPICO 1 DA AULA 02

COROLÁRIO 1. Se existem e tais

que:

(A) Se e implica que ;

(B) Se e implica que .

para todo x em (a,b) com Se tem-se x - m < 0, daí

e da última desigualdade, resulta que para todo . Se

tem-se x - m > 0, daí e da desigualdade, resulta que

para todo Portanto, sendo f ' (x) negativa em (a,m) e

positiva em (m,b), do teorema 2, a função f tem mínimo local em

m. O que conclui a demonstração.

97

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Verificar se a função tem extremos locais.

SOLUÇÃO

Tem-se

assim Sendo f derivável

em qualquer intervalo aberto contendo 0 e 4: como

tem-se que f tem mínimo local em 0; e como

obtém-se que f tem máximo local em 4.

Sendo f derivável, 0 e 4 os únicos valores que satisfazem o

teorema 3, isto conclui que são os únicos valores

extremos de f.

EXEMPLO PROPOSTO 2

Se provar que -1 e 2 são os valores críticos de

é máxmo local e f (2) = 16 é mínimo local.

O teorema 3 pode ser generalizado de acordo com o teorema a seguir,

sua demonstração ( -- A demonstração pode ser encontrada na referência

Cálculo Diferencial e Integral/Barbosa, Celso Antonio Silva, Realce Editora e

Indústria Gráfica, 2007.) está acima do nível deste texto.

TEOREMA (TESTE DA DERIVADA N-ÉSIMA PARA EXTREMOS LOCAIS) 4

Seja f uma função vezes derivável em algum intervalo

aberto contendo um valor m. Se existe

e é 0, então:

(a) Quando n é par, f tem valor mínimo local em m se

ou f tem valor máximo local em m se

(b) Se n é ímpar, f não tem valor extremo local em m.

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Verificar se a função tem extremos locais.

SOLUÇÃO

Tem-se

assim Como f é

quatro vezes derivável em qualquer intervalo aberto contendo 0 e n

= 5 é ímpar, f não tem extremo local em 0. Sendo f derivável e

zero é o único valor que satisfaz o teorema 4, f não tem nenhum

valor extremo local.

98

EXEMPLO PROPOSTO 3

Se provar que -3 e 0 são valores críticos de

é mínimo local e não é valor extremo.

EXEMPLO RESOLVIDO 4

Encontrar os valores extremos locais da função

SOLUÇÃO

Tem-se

assim se ou ou seja, em

e para n=0,1,2,3,.... .Como

obtém-se , logo f tem

valor máximo local igual a , daí

f tem valor mínimo local igual a e

neste caso nada pode ser concluído, mas daí

logo (como a ordem da primeira derivada não nula é

ímpar) f não tem valor extremo local em

EXEMPLO PROPOSTO 4

Provar que tem valores críticos iguais a

além disso, é

máximo local e é mínimo local.

PARADA OBRIGATÓRIA

O teorema 1 juntamente com os testes para extremos locais, às vezes

permite determinar quando um extremo local de uma função é um

extremo absoluto dessa função num intervalo. Mais precisamente,

suponha que uma função f tem um único extremo local num valor m

pertencente a um intervalo I, então se f é:

(a) Decrescente para todo e crescente para todo onde

f (m) é valor mínimo absoluto de f em I;

(b) Crescente para todo e decrescente para todo onde

f (m) é valor máximo absoluto de f em I.

EXEMPLO RESOLVIDO 5

Sendo verificar se f tem valores extremos absolutos em

SOLUÇÃO

Tem-se

99

daí se x = 1, como f é derivável em este é o

único valor crítico de f.

Sendo f é decrescente

em e crescente em [1,3], logo f tem mínimo local igual a f (1)

= 0 que também é mínimo absoluto. Observe que f (3) = 16 não é

máximo absoluto, pois

EXEMPLO PROPOSTO 5

Mostrar que tem valor máximo absoluto igual a




individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 1 e 5 são os

respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 2; 16 e 27 são os respectivos

itens (a) e (b) da QUESTÃO 3 do trabalho desta aula a ser postado no

Portfólio Individual> DO AMBIENTE Solar. AS QUESTÕES 4 E 5 DO

PORTFÓLIO, serão indicadas no tópico seguintes desta aula. É exigido que




FONTES DAS IMAGENS

1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer



100



TÓPICO 03: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO

Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado [a,b] e

suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte.

Quando o ponto P(x,y) se desloca sobre a curva C, a reta tangente a C em

P varia continuamente de posição, assim:

Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um

intervalo aberto I, têm-se os seguintes conceitos:

� se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está abaixo de S, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO em I (ou ainda, que a função f é convexa em I);

VERSÃO TEXTUAL

Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser

usada na construção de gráficos de funções. Alguns requisitos

necessários à construção de gráficos, já foram apresentados em tópicos

de aulas anteriores; além desses requisitos, neste tópico serão

introduzidos os conceitos de convexidade, concavidade e ponto de

inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar

gráficos de funções. Serão introduzidos também os conceitos de

assíntotas vertical e horizontal, que auxiliam a esboçar com mais

precisão os gráficos de um grupo amplo de funções. O tópico é

finalizado com as construções dos gráficos das funções seno e cosseno,

que foram apresentados no tópico 2 da aula 02, sem nenhuma

justificativa. O esboço de gráficos será necessário a vários assuntos que

serão tratados posteriormente, de imediato pode ser citado o cálculo

de área.

a reta tangente está acima de algum arco de C em torno de P, como nas partes do gráfico entre A e Q1 e entre Q2 e B;

a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de P, como na parte do gráfico entre Q1 e Q2;

e nos pontos de transição, onde a reta tangente muda de cima para baixo (ou de baixo para cima) de C localmente, ela secciona C, como nos pontos Q1 e Q2.

101

� se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está acima de S, diz-se que o gráfico de f é CÔNCAVO em I (ou que a função f é côncava em I);

� e o ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou vice-versa,chama-se um PONTO DE INFLEXÃO.

Uma função f é dita CONVEXA ou CÔNCAVA, quando o gráfico de f é

convexo ou côncavo no seu domínio, respectivamente.

O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico

de uma função, podem ser previamente identificadas a partir do sinal da

derivada segunda da função.

TEOREMA 1

Seja f uma função tal que f " existe num intervalo aberto I, então o

gráfico de f é:

(a) Convexo em I, se para todo

(b) Côncavo em I, se para todo

DEMONSTRAÇÃO

Será demonstrada a parte (a) do teorema, a demonstração da

parte (b) é análoga e está proposta no exercício 53 do exercitando

deste tópico. Se para , pelo teorema 1 do tópico 2 desta

aula, a função f ' é crescente em I; uma vez que f '(x) é a declividade

da reta tangente ao gráfico de f, isto significa que, se P (x,y) desloca-

se sobre a parte do gráfico S de f correspondente ao intervalo I, à

medida que x cresce em I, a reta tangente à S em P(x,y) gira

sobre S no sentido anti-horário, ou seja, a reta tangente a S em P

(x,y) está abaixo de S. O que conclui a demonstração.


Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é

aberto, fechado ou semifechado) e derivável no intervalo

aberto correspondente (isto é, é o intervalo aberto de

mesmos extremos de I), então f é:

(a) Decrescente em I, se para todo

(b) Crescente em I, se para todo

Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira, conforme o

exercício 55 do exercitando deste tópico. São comuns as definições de

convexidade e concavidade num ponto (invés de num intervalo) de acordo com o teorema 1, isto é, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO NO PONTO

se e CÔNCAVO NO PONTO se

O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de

c, onde uma função f tal que f " é contínua em c, tem um ponto de

102

inflexão.

TEOREMA 2

Seja f uma função tal que f " existe num intervalo aberto contendo c e é contínua em c. Se é um ponto de inflexão do gráfico de f, então

DEMONSTRAÇÃO

Suponha que então sendo f " contínua em c, tem-se assim (veja corolário 1(a) do teorema 6 do tópico

1 da aula 02) existe um intervalo aberto I contendo c tal que

para todo ou para todo , conforme

respectivamente. Logo, pelo teorema 1, em I

o gráfico de f é somente côncavo ou apenas convexo, assim (c,f(c))

não pode ser ponto de inflexão. Isto mostra que com as hipóteses do

teorema, (c,f(c)) só pode ser ponto de inflexão se

COROLÁRIO 1(A) DO TEOREMA 6 DO TÓPICO 1 DA AULA 02

Se existem tais que:

OBSERVAÇÃO

a) A recíproca do teorema 2, em geral, não é verdadeira, por exemplo:

se então , portanto se x = 1, mas (1,0)

não é ponto de inflexão do gráfico de f, pois (1,0) não separa partes

convexa e côncava do gráfico de f;

b) O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num valor

onde a derivada segunda da função não existe, por exemplo: se então assim g "(x) não existe se x = 0; além disso, o gráfico

de g é convexo em e côncavo em pois para

para x > 0, portanto (0,0) é ponto de inflexão do gráfico

de g.

Assim, pode-se concluir do teorema 2 e do comentário anterior: os

possíveis valores de c tais que (c,f(c)) é ponto de inflexão do

gráfico de uma função f, são os valores onde f "(c) é igual à zero ou

não existe; além disso estes são os valores que determinam os

intervalos onde o gráfico de f pode ser convexo ou côncavo.

As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do gráfico

da função, tais como: os intervalos de crescimento e decrescimento,

localização dos pontos extremos, os intervalos em que o gráfico é convexo ou

côncavo e os pontos de inflexão. O exemplo seguinte ilustra como esboçar o

gráfico de uma função a partir de tais informações, onde o item (a) justifica o

modelo da parábola cúbica (dado no tópico 4 da aula 01) quando a > 0; se a

103

< 0, a justificativa do modelo está sugerida no exemplo proposto 1(a) a

seguir.

MODELO DA PARÁBOLA CÚBICA

Os gráficos das funções polinomiais de grau não têm um

modelo padronizado, como acontece com os gráficos das funções

polinomiais de grau n com n = 0,1,2, que dão retas ou parábolas

quadráticas; apenas no caso particular da função polinomial de grau

três que pode ser escrita na forma onde o gráfico

de f tem um formato padrão e é chamado de PARÁBOLA CÚBICA.


Fazer o gráfico da função dada:

.

SOLUÇÃO

(a) Tem-se logo Sendo

obtém-se A reta indicada na

figura e representando o domínio de f (que é o conjunto dos

números reais), foi dividida considerando o valor b, nas partes

resultantes da divisão que representam os intervalos , acima aparecem os sinais da derivada primeira e

abaixo os sinais da derivada segunda de f.

Assim, concluí-se:

(1) f é crescente no seu domínio;

(2) O gráfico de f é convexo em e côncavo em ,

ou seja, (b,c) é ponto de inflexão do gráfico de f;

(3) O gráfico é simétrico em relação à (b,c), conforme

exercício 29 do exercitando do tópico 3 da aula 01.

Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do

gráfico de f conforme o modelo estabelecido.

(b) Tem-se logo se x = -1 e x

= 1. Como , obtém-se g "(x) = 0 se x = 0. A reta seguinte,

representando o domínio de g, foi dividida considerando os

valores -1, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão, acima aparecem

os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada

segunda de g.

Assim, concluí-se:

104

(1) A função g é crescente nos intervalos e

decrescente em (-1,1). Logo, g(-1) = 4 é máximo local e g(1) = 0 é

mínimo local;

(2) O gráfico de g é côncavo em e convexo em .

Assim (0,2) é ponto de inflexão do gráfico de g.

Com base nestas conclusões, faz-se o gráfico de g, que está na

figura a seguir.

(c) Sendo tem-se

logo h '(x) = 0 se x + 2 = 0, isto é, se x = -2 e h '(x) não existe

se ou seja, se x = 0. Como

obtém-se h "(x) = 0 se x = 1 e h "(x) não existe se x = 0.

A reta seguinte, representando do domínio de h, foi dividida

pelos valores -2, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão estão

indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h.

Assim, têm-se as seguintes informações:

(1) h é crescente nos intervalos e decrescente em (-2,0). Logo, é máximo local e h(0) = 0 é mínimo

local.

(2) O gráfico de h é côncavo em e (0,1) é convexo em

Daí apenas (1,6) é ponto de inflexão do gráfico de h.

Considerando as informações, faz-se o gráfico de h, que está

na figura à direita.

105


Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas

figuras:

A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções, pode

ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções. Antes é necessário

introduzir alguns conceitos.

A reta x = c é uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de uma função f, se

pelo menos uma das seguintes condições se verifica:

As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, para x

próximo de c, na primeira na segunda se

e

Observe nas duas figuras, a aproximação cada vez maior do gráfico com

a sua assíntota a medida que x se aproxima de c, e considerando também o

decrescimento ou crescimento da imagem da função.

A reta y = L é uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de uma função f,

se pelo menos uma das seguintes condições se verifica:

As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f,

relativamente à reta y = L, a primeira se e na segunda se

a primeira situação, refere-se quando através de

106

valores menores do que L e a segunda é quando através de

valores maiores que L.

Observe nas duas figuras, a aproximação cada vez maior do gráfico com

a sua assíntota a medida que x decresce ou cresce.

O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente

vertical ou horizontal, conforme está definida no enunciado dos exercícios

50 e 51 do exercitando deste tópico.


Fazer o gráfico da função dada:

SOLUÇÃO

(a) Tem-se assim f '(x) não existe para x = 0.

Como obtém-se f "(x) não existe para x = 0. A reta

seguinte foi dividida considerando o valor 0, nas partes

resultantes da divisão, acima aparece o sinal da derivada primeira

e abaixo os sinais da derivada segunda de f.

Assim, concluí-se:

(1) f é decrescente no seu domínio;

(2) O gráfico de f é côncavo em e convexo em

O gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero, pois f não

está definida nesse valor;

(3) A reta x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f, pois (por

exemplo)

a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f, pois (por

exemplo) Tem-se ainda,

(4) Como para todo o gráfico de f é

simétrico em relação à origem.

Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do

gráfico de f.

GRÁFICO DE F

107

Na figura a seguir está o gráfico de que será

justificado no tópico 3 da aula 04.

Foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 3 da

aula 01. Observe que devido à simetria do gráfico em relação à

origem, bastaria analisar a função para x > 0.

(b) Sendo obtém-se

logo g '(x) = 0 para x = 0 e g '(x) não existe para

Como

tem-se que para todo x e g "(x) não existe para

Observe que g não está definida para A reta seguinte foi

dividida pelos valores -2, 0 e 2, nas partes resultantes da divisão

estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g.

Logo, têm-se as seguintes informações:

• g é crescente em e decrescente em

Assim, é máximo local;

• O gráfico de g é côncavo em (-2,2) e convexo em

O gráfico não tem ponto de inflexão em -2 e 2, pois g não está

definida nestes valores;

• O gráfico de g não intercepta o eixo X pois para todo

x. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais do gráfico, pois

(por exemplo) é assíntota

horizontal do gráfico, pois Acha-se ainda,

108

• Sendo para todo x no domínio de f, o gráfico é

simétrico em relação ao eixo Y.

Considerando as informações obtidas, faz-se o gráfico de g,

que está na figura a seguir.

Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo

Y, bastaria analisar a função para

(c) Sendo tem-se

logo h '(x) = 0 para x = -1 e h '(x) não existe para x = 1. Como

obtém-se

não existe se x = 1. Observe que h não está definida para x =

1. A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, -1 e 1, nas partes

resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas

primeira e segunda de h.


(1) h é crescente em (-1,1) e decrescente em .

Logo, é mínimo local;

(2) O gráfico de h é côncavo em

e convexo em Daí, é ponto de inflexão

do gráfico de h;

109

(3) O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h(0) = 0, a

reta x = 1 é assíntota vertical do gráfico pois e y = 0 é

assíntota horizontal do gráfico pois

Tem-se ainda,

Considerando estas informações, faz-se o gráfico de h, que

está na figura a seguir.

EXEMPLO PROPOSTO 2

Se verificar que o gráfico de f e como está na figura a seguir.



SOLUÇÃO

(a) O domínio da função seno é o conjunto dos números reais,

pois todo número real x é possível na equação Como o

seno tem período igual a (isto é, para todo x),

cada intervalo de comprimento igual a antes de 0 e a partir de

, dá a mesma parte do gráfico que for obtida com

assim, para obter o gráfico da função seno, basta ter a parte do

gráfico correspondente a e o restante é encontrado

através da periodicidade. Considerando tem-se

e O segmento de 0 a em seguida, foi dividido

considerando os valores que anulam as derivadas primeira e

segunda do seno e nas partes resultantes da divisão estão

indicados os sinais de tais derivadas.

Assim, concluí-se:

(1) O seno é crescente nos intervalos e

decrescente em

110

(2) O gráfico do seno é côncavo em e convexo em

Considerando as informações obtidas, tem-se a justificativa

do seno, conforme foi apresentado no tópico 4 da aula 01.

SENO

Seja x uma variável real, onde x representa a

medida em radianos de um arco da circunferênciada

unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então

a função SENO é definida pela equação y = senx. O

gráfico desta função está na figura a seguir com o domínio

e imagem. No tópico 3 desta aula(exemplo resolvido 3) o

gráfico será justificado.

(b) A função cosseno tem o mesmo domínio e período de

função seno, assim para obter o gráfico da função cosseno, basta

ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é

encontrado através da periodicidade. Considerando tem-

se

e . O segmento de 0 a a seguir, foi dividido considerando

os valores que anulam as derivadas primeira e segunda da função

co-seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os

sinais de tais derivadas.

Assim concluí-se

(1) O co-seno é decrescente no intervalo e crescente em

(2) O gráfico do co-seno é côncavo em e

convexo em

Considerando as informações obtidas, tem-se O gráfico da

função co-seno, conforme foi apresentado no tópico 4 da aula 01.

(c) Sendo tem-se assim o gráfico

de h é simétrico em relação à origem, logo basta analisar a

função h em a simetria pode ser usada. Como

tem-se para

Sendo obtém-se h "(x) = 0 em para

111

O segmento de 0 a a seguir, foi

dividido por e nas partes resultantes da divisão estão indicados

os sinais das derivadas primeira e segunda de h.


(1) h é crescente em

(2) O gráfico é convexo em e côncavo em

é ponto de inflexão do gráfico.

Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico

em relação à origem, faz o gráfico de h, que está na figura a seguir.


No "Problemas de Otimização", você encontrará outras aplicações da

teoria de máximos e mínimos de funções.



que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3

e 15 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4; 37 é a QUESTÃO


ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no

Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente, Solar, num

único documento de texto (doc, docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



112


AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES

TÓPICO 01: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

É importante lembrar a importância do texto "Ângulo, Medida de

Ângulo e Trigonometria" para entender as funções trigonométricas e suas

aplicações, já recomendado para leitura no tópico 4 da aula 01. As funções

trigonométricas seno e cosseno já foram definidas no tópico 4 da aula 01 e

suas derivadas foram encontradas no tópico 04 da aula 03. O objetivo deste

tópico é introduzir o restante das funções trigonométricas. Como já foi vista

a construção de gráficos no tópico 03 da aula 04, depois de obtidas as

derivadas dessas funções, seus gráficos poderão ser feitos com as devidas

justificativas. Vale destacar a lista de exercícios do exercitando no final deste

tópico, que fazem uma abordagem de temas já vistos com as novas funções,

assim dão uma oportunidade do estudante melhor assimilar o conhecimento

de tópicos anteriores. Além disso, as funções trigonométricas serão

amplamente usadas no restante deste módulo, outros subsequentes do

Cálculo e áreas afins.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO

Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos

de um arco da circunferência unitário de centro na origem a partir do

ponto (1,0), então as funções seno e cosseno são definidas,

respectivamente, pelas equações y = sen x e y = cos x. Os gráficos de tais

funções, com os respectivos domínios e imagens, estão a seguir.

As funções trigonométricas são definidas pelas equações:

Tangente

113

cotangente

Secante

cossecante

OBSERVAÇÃO

No restante deste tópico, sempre que for usada a função u de variável

independente x, estará sendo suposto que u é derivável; além disso, a

fim de simplificar, será usada apenas u invés de u(x).

As derivadas das funções seno e cosseno são dadas, respectivamente,

por:

conforme foram demonstradas no tópico 4 da aula 03.

Como as funções tangente, cotangente, secante e cossecante, dependem

unicamente das funções seno e cosseno, suas derivadas são obtidas através

das derivadas do seno e cosseno e das fórmulas de derivação encontradas no

tópico 4 da aula 03.

Tem-se:

mas, , logo:

Analogamente, encontra-se a fórmula para derivar a função cotangente

composta com uma função u, que é dada por:

Tem-se:

mas, logo:

114

Similarmente, obtém-se a fórmula para derivar a função cossecante

composta com uma função u, que é dada por:


Encontrar a derivada da função dada:

SOLUÇÃO ITEM (A)

(a) Tem-se:

como (usando a fórmula para derivar a secante com u = x2)

e (usando a fórmula para derivar a tangente com u = x2)

obtém-se (substituindo

)

SOLUÇÃO ITEM (B)

(b) Sendo , tem-se:

como:

e (usando a fórmula para derivar a cossecante com u = x2)

Logo, (substituindo ):

115

SOLUÇÃO ITEM (C)

(c) Sendo tem-se:

como (usando a fórmula para derivar a secante com u = x)

e (usando as fórmulas para derivar a soma de funções, a

cotangente e cossecante com u = x, respectivamente):

logo (substituindo

):


Se e , provar que:

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Achar:

SOLUÇÃO

Tem-se:

como (usando as fórmulas para derivar o cosseno e seno com u

116

= y):

Além disso, substituindo os

resultados encontrados, tem-se:

logo,


Se , mostrar que:

DICA

Leia o teorema 1 do tópico 2 da aula 04 , os teoremas do tópico 3 da

aula 04 e os conceitos de assíntotas vertical e horizontal, os teoremas e

conceitos são indispensáveis para entender e construir os gráficos a seguir.


TEOREMAS DO TÓPICO 3 DA AULA 04

Este tópico é concluído com a apresentação dos gráficos das funções

trigonométricas tangente, cotangente, secante e cossecante.

Como , está no domínio da função tangente se , ou

seja, se (n = 0,1,2,3,...). Como a tangente tem período igual a (isto

é, para todo x no domínio da tangente), cada intervalo de

comprimento antes de e a partir de (por exemplo), dá a mesma parte

do gráfico que for obtida com assim para obter o gráfico da função tangente, basta ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é

encontrado através da periodicidade. Considerando , tem-se:

117

para todo x

e

se x = 0

O segmento na figura a seguir entre , foi dividido considerando o

valor que anula a derivada segunda da função tangente, no segmento e nas

partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira

e segunda. Os sinais são determinados, substituindo valores para achar as

derivadas primeira e segunda da tangente, como já foi feito em situações

análogas.

ASSIM, CONCLUI-SE:

(1) A função tangente é crescente em

(2) O gráfico é côncavo em e convexo em logo (0,0) é ponto

de inflexão do gráfico.

(3)Como (pois, e

se e (pois, e

se as retas são assíntotas verticais do gráfico

da função tangente.

Com as informações obtidas, faz-se o gráfico da função tangente, que

está na figura seguinte. Observe as assíntotas verticais que são as retas na cor

"laranja".

De modo análogo, são obtidos os gráficos das outras funções

trigonométricas, que estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios

e imagens. Observe nas figuras as assíntotas verticais que são as retas na cor

"laranja", as retas horizontais na cor "preta" nas duas últimas figuras não são

assíntotas.

118



que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 e 19 do

exercitando, são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 1 do trabalho

desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do

ambiente SOLAR. As questões 2 até 5 do trabalho, serão indicadas nos

tópicos seguintes desta aula.É exigido que o trabalho desta aula seja

postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente

Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito

e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



119



TÓPICO 02: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Foi estabelecido no tópico 2 da aula 01 que se uma função é injetiva,

então ela possui inversa.

PARA SABER MAIS

Uma função f é dita INJETIVA (ou biunívoca), se para quaisquer x1 e x2 no D(f), tem-se (ou equivalente,

. Em outras palavras, f é injetiva, se para cada

existe um único tal que neste caso, a regra dada

por agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função

g tal que e então observe que se tem as duas

funções f e g tais que além disso, como

para todo para

todo , pela definição de função inversa,

Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é

injetiva, então f possui inversa (isto é, f é invertível) com

domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a

inversa de f é obtida resolvendo a equação PARA A

VARIÁVEL X.

Através do gráfico de uma função f num intervalo pode-se

verificar se ela possui inversa em I, da seguinte forma: se o gráfico

tem o aspecto ascendente ou descendente em I, isto é, se a função f é

CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se com

implica respectivamente, fará

com que f seja injetiva em I.

Em geral, as funções trigonométricas não são injetivas nos seus

domínios, devido as suas periodicidades, daí a impossibilidade de definir a

inversa de qualquer uma das funções trigonométricas considerando todo o

seu domínio. Logo, a fim de que seja possível definir a função que se chama a

inversa da função trigonométrica correspondente, é necessário restringir o

domínio da função trigonométrica a um intervalo onde a função seja injetiva.

Neste tópico serão escolhidas as restrições que aparecem normalmente nos

textos do Cálculo, serão estabelecidas as fórmulas de derivação e para

finalizar serão apresentados os gráficos das inversas das funções

trigonométricas.

120

DICA

Leia o texto "trocando y por x" , na equação y = f(x), isto é, fazer x = f

(y) para obter y = f-1(x).

TROCANDO Y POR X

É importante observar que a inversa de uma função não é obtida

apenas pela troca de x por y, isto deve ser acrescido ao processo

algébrico de inversão; entretanto, a troca pode ser efetuada antes ou

depois do processo de inversão. Neste exemplo (isto é, exemplo

resolvido 3 do tópico 2 da aula 01), a troca está sendo efetuada após a

resolução da equação para x. É comum praticar tal sistemática, para

continuar usando a letra "x" para indicar a variável do domínio da

função que está sendo obtida, como foi feito até este momento e

continuará sendo usada; além disso, isto será útil para obter o gráfico

da inversa a partir do gráfico da função, de acordo como será tratado

posteriormente.

A restrição da função seno ao intervalo é injetiva, pois ela é

crescente em assim a função seno restrita a possui inversa. A

inversa da função seno restrita a é chamada de inversa do seno (ou

função arco seno) e é indicada pelo símbolo arcsen. Desta forma, tem-se:

RESTRIÇÃO DA FUNÇÃO SENO AO INTERVALO

PARADA OBRIGATÓRIA

Observe que as posições de y e x foram invertidas na equação y =

sen x a fim de obter a função arco seno em função de x; além disso, a

restrição não alterou a imagem da função.

E assim, obtém-se: arcsen(sen y) = y para e SEN(ARCSEN

X) = X se . Além disso, o domínio da função arco seno é o intervalo [-1,1] e a imagem é o intervalo conforme estão indicados acima.

De modo análogo, são escolhidas restrições aos domínios do restante

das funções trigonométricas para definir as funções arco cosseno, arco

tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante, como as inversas

das restrições das funções cosseno, tangente, cotangente, secante e

cossecante, respectivamente, que estão relacionadas a seguir com as

121

respectivas restrições dos domínios e as imagens:

RESTRIÇÕES AOS DOMÍNIOS DO RESTANTE DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Embora as restrições das funções trigonométricas tenham sido aos

intervalos que foram indicados, a fim de definir as suas inversas, poderão ser

escolhidos quaisquer outros intervalos onde cada uma das funções for

injetiva. Por exemplo, a função arco seno poderá ser definida por: X = SEN

Y com se, e somente se, Y = ARCSEN X.

As identidades seguintes podem ser facilmente demonstradas:

IDENTIDADES SEGUINTES

Como ilustração, a primeira das identidades é demonstrada a

seguir, as provas das demais estão sugeridas no exercício 5 do

122

exercitando desta aula. Considere o triângulo retângulo da figura

seguinte.

Sendo tem-se e . Mas logo substituindo nesta última equação, a demonstração

está concluída

As derivadas das funções trigonométricas inversas, são determinadas

passando para a função trigonométrica correspondente e usando derivação

implícita. No restante desta seção, sempre que for usada a função u de

variável independente x, estará sendo suposto que u é derivável, a fim de

simplificar, será escrito apenas u invés de u(x).

Seja isto é, u = sen y, para . Assim,

daí,

mas y = arcsen u e, , pois para

logo substituindo y e cos y, obtém-se:

Analogamente, obtém-se a fórmula para derivar a inversa da função arco

cosseno composta com uma função u, que é dada por:

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Calcular a derivada da função:

SOLUÇÃO

Tem-se:

123

EXEMPLO PROPOSTO 1

Se , provar que

Seja , então u = tg y para . Assim,

mas, y = arctgu e logo substituindo y e ,

tem-se:

Similarmente, encontra-se a fórmula para derivar a função arco

cotangente composta com uma função u, que é dada por:

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Sendo , determinar

SOLUÇÃO

Tem-se:

mas,

124

EXEMPLO PROPOSTO 2

Se mostrar que

Seja y = arcsecu para então u = sec y, se ou logo:

mas, y = arcsec u e, além disso:

portanto, substituindo y e secy tgy, obtém-se:

De modo análogo, obtém-se a fórmula para derivar a função arco

cossecante composta com uma função u, que é dada por:

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Achar

SOLUÇÃO

125

EXEMPLO PROPOSTO 3

Se provar que

OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Podem ser obtidos pelas reflexões dos gráficos das funções

trigonométricas correspondentes (restritas aos intervalos citados) em

relação à reta y = x (conforme foi visto no tópico 1 da aula 02) ou então

usando as informações dadas pelas derivadas primeira e segunda. Os

gráficos das funções trigonométricas inversas estão nas figuras

seguintes. As retas de cor "laranja" são assíntotas horizontais dos

gráficos.

TÓPICO 1 DA AULA 02

126



que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 até 5 do

trabalho desta aula ,serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula.É




FONTES DAS IMAGENS



127

TÓPICO 03: FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL

VERSÃO TEXTUAL

Neste tópico será estudado mais um exemplo de função

transcendente, trata-se da função logarítmica natural. Inicialmente,

aparece o conceito de logaritmo natural, a partir daí haverá condições

de definir a função logarítmica natural, calcular sua derivada e fazer o

seu gráfico. É sugestivo que o estudante aproveite o máximo a lista de

exercícios, a fim de assimilar melhor o conhecimento dos tópicos

anteriores.

A hipérbole de equação foi apresentada no exercitando do tópico 3

da aula 01 e justificada no exemplo 2(a) do tópico 3 da aula 04, tal hipérbole

é usada na definição de logaritmo natural. A seguir serão usadas no plano

cartesiano outras letras invés de x e y, a fim de utilizar x para outra

finalidade. Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,

com eixo horizontal T e eixo vertical U; seja R é a região limitada pelas retas t

= 1 e t = x para x > 0, o eixo T e a hipérbole .

HIPÉRBOLE DE EQUAÇÃO

As duas figuras ilustram a região R, quando R está a esquerda e à direita

da reta t=1.

Então define-se o logaritmo natural de x por:

LOGARITMO NATURAL

Uma introdução minuciosa da definição de logaritmo natural,

encontra-se na referência "Logaritmos – Lima, Elon Lages, Coleção

Fundamentos de Matemática Elementar, Sociedade Brasileira de

Matemática, Rio de Janeiro, 1985".



128

onde A(R) indica a área de R.

OBSERVAÇÃO

A definição da área de uma região no plano, limitada por segmentos e

parte do gráfico de uma função contínua, tal como foi usada para definir

logaritmo natural, exige um tratamento especial, o que será feito no tópico

4 da aula 06. Neste estágio, será necessário apenas aceitar que a região

tem uma medida e que essa medida é chamada de área de R.

Apenas para servir de motivação, observe que seria natural dizer que a

área de R é um número que está entre as áreas dos retângulos ABCD e ABEF

indicados nas figuras a seguir, pois a região está entre os retângulos; além

disso, a área do trapézio ABDE é uma aproximação razoável para a área de

R, pois as figuras diferem apenas no segmento e arco da hipérbole

FIGURAS

A FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL é indicada pelo símbolo e

definida pela equação:

A ÁREA DO TRAPÉZIO

Da Geometria Plana, a área de um trapézio de bases b e B, e

altura h, é dada por . A figura a seguir ilustra dois trapézios:

Neste caso, tem-se:

É possível mostrar que:

129

usando o mesmo princípio que foi utilizado no tópico 3 da aula 02 para

mostrar que

DEMONSTRAÇÃO

Inicialmente, suponha que então é a área da

região (indicada na figura seguinte) entre as retas t = x e t = x+h acima

do eixo T e abaixo da hipérbole .

Assim, comparando as áreas da região e dos retângulos ABCD e

ABEF (indicados na última figura), obtém-se:

ou seja,

Como h > 0, multiplicando os membros desta última

desigualdade por 1/h, tem-se:

mas, , logo pelo teorema 5 do tópico 1 da

aula 02,


Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I

contendo c, exceto talvez em c, onde para todo x

em I com Se então

obtém-se:

Seja agora h < 0, então a área da região (indicada na figura

seguinte) entre as retas t = x+h e t = x, acima do eixo T e abaixo da

hipérbole u = 1/t é dada por .

130

Assim, fazendo a comparação entre as áreas da região e dos

retângulos ABCD e ABEF (indicados na última figura), encontra-se:

Como h < 0, multiplicando os membros desta última

desigualdade por -1/h, obtém-se:

mas , logo pelo teorema 5 do tópico 1 da

aula 02, obtém-se:

Sendo:

isto mostra que

Se u é uma função derivável e pela regra da cadeia (dada no teorema 3

do tópico 4 da aula 03), tem-se:


O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de

duas funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a


"REGRA DA CADEIA". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por

y = f(u) e u = g(x) então fog é derivável, além disso,

ou

Sendo u derivável e da última fórmula, tem-se:

mas, logo:

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Calcular , se

SOLUÇÃO

Tem-se:

131

mas , logo:


Se provar que .

Se a e b são números reais positivos, o logaritmo natural tem as

seguintes propriedades:

As demonstrações das propriedades (1) a (3), podem ser feitas usando

o corolário do teorema 2 do tópico 1 da aula 04.

COROLÁRIO DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 04

O resultado seguinte será útil posteriormente, ele estabelece que

duas funções com a mesma derivada num intervalo, diferem apenas de

uma constante. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais

que para todo então existe uma constante C tal que

para todo .

A demonstração de (1) é feita a seguir. As propriedades (2) e (3) têm

demonstrações análogas e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando

deste tópico. Como:

pelo corolário citado acima, , diferem de uma constante, isto

é, mas, se x = 1, tem-se ou seja, , pois ,

portanto e assim Fazendo x = b na última

igualdade, a demonstração está concluída.

As propriedades do juntamente com a derivação logarítmica, poder

ser usadas para simplificar o cálculo de em equações envolvendo

produtos ou quocientes de vários termos. O exemplo seguinte dá uma

ilustração.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Calcular , se

SOLUÇÃO

Tem-se:

132

tomando o logaritmo natural dos membros desta última

equação e usando as propriedades do logaritmo, obtém-se:

Derivando os dois membros desta última equação em relação a

x e usando a fórmula para resulta

multiplicando os dois membros por y e substituindo y, acha-se:

EXEMPLO PROPOSTO 2

Se mostrar que

Para obter o gráfico da função que está na figura seguinte, foram

usadas as seguintes informações:

(1) O domínio da função ℓn é o conjunto dos números reais positivos,

assim o gráfico está a direita do eixo Y. Além disso, como ℓn1 = 0 o gráfico

contém o ponto (1, 0);

(2) Sendo para todo x > 0, o gráfico é sempre

crescente. Sendo para todo x > 0, o gráfico é sempre

côncavo. Além disso, como , a declividade da reta tangente

ao gráfico tende a zero quando x→ +∞, isto é, o gráfico tende a uma

posição horizontal (ou seja, a variável y cresce menos rapidamente) à

medida que x cresce;

(3) Como a função ℓn é derivável para todo x no seu domínio, ela é

contínua no seu domínio. Isto faz com que o gráfico seja uma curva sem

interrupção;

(4) Sendo (isto é, a reta x=0 é assíntota vertical ao

gráfico) e (ou seja, o gráfico não te assíntota horizontal),

além disso a função ℓn é contínua, tem-se que a imagem da função ℓn é o

conjunto dos números reais, isto é, I (ℓn)=(-∞, +∞). A prova de tais

limites está sugerida no exercício 24 do exercitando deste tópico.

133

Sendo a tem-se que logo (pelo teorema do valor

intermediário enunciado no tópico 4 da aula 02) existe um valor tal

que além disso, o valor "e" é único pois a função é crescente no seu

domínio. Pode-se já neste estágio achar de várias maneiras, uma

aproximação para o valor de "e" , neste caso, uma aproximação com cinco

algarismos decimais é 2,71828, tal aproximação pode ser calculada usando o

exercício 17(c) do exercitando do tópico 4 desta aula ou o exemplo

resolvido 5(b) do texto complementar indicado no final do tópico 5 desta

aula. Nos parágrafos seguintes aparecem várias aplicações do número "e".

VALOR

O número "e" é irracional e pode ser considerado o terceiro

número irracional mais famoso da História da Matemática, atrás da

. A irracionalidade de "e" e têm demonstrações de níveis mais

alto do que a raiz de dois. A primeira demonstração que o número "e"

é irracional, foi obtida pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-

1783) em 1737. O uso da letra "e" foi idealizado por Euler e impresso

pela primeira vez em sua obra "Mechanica" de 1736, embora o seu

conceito já fosse conhecido a mais de um século.

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta

interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade

pode ser justificada pelo teorema seguinte. A demonstração do teorema

não faz parte dos objetivos deste texto. Sejam f uma função contínua

num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r

entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c) =

r.




individualmente ou em grupo. No exercitando, os exercícios: 3 e 9 são os

respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 2; 21 É A QUESTÃO 3 DO

trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do

ambiente SOLAR. As questões 4 e 5 do trabalho, serão indicadas nos

134

tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja

postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente

Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito

e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS




135

TÓPICO 04: FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE NEPERIANA

Neste tópico será estudada a inversa da função logarítmica natural,

chamada de função exponencial na base neperiana ( Devido ao inventor

dos logaritmos naturais, o escocês Jonh Napier ou Neper (1550-1617)

publicou sua invenção em 1614 na obra intitulada “Mirifici logarithmorum

canonis descriptio”, que significa “Uma descrição da maravilhosa regra dos

logaritmos”). ) .É sugestivo que o estudante aproveite o máximo a lista de

exercícios, a fim de assimilar melhor o conhecimento de tópicos anteriores

e das novas funções.

A função logarítmica natural é injetiva, pois ela é crescente no seu

domínio (como pode ser observado no gráfico da função que foi justificado

no tópico 3 desta aula), logo tal função possui inversa. A inversa da função

logarítmica natural é chamada de FUNÇÃO EXPONENCIAL e é indicada pelo

símbolo exp. Assim, tem-se:

GRÁFICO DA FUNÇÃO

Portanto, para y > 0 e para todo x. Em particular,

como tem-se e como obtém-se

Sejam a um número real positivo e r um número racional, então e

, assim como para todo y > 0 considerando e

substituindo na igualdade anterior, tem-se:

A igualdade é válida somente para r racional, o que torna a

igualdade também válida somente para r racional; mas o domínio

da função exponencial é o conjunto dos reais, logo é aceitável que tal

igualdade seja estendida para um número real x qualquer.

VÁLIDA SOMENTE PARA R RACIONAL



136

Assim, motivado pela observação, sendo a > 0 e x um número real

qualquer, define-se o logaritmo natural de ax por e isto

permite também definir potência de base positiva a e expoente real x,

por

Portanto, desta última definição, tem-se:

Usando a definição de é possível escrever a equação simbólica que

define a função exponencial em termos do número "e" ( -- O número e é

definido como o valor cujo logaritmo natural é igual a 1, isto é, <img

src=imagens/04/img23.gif align=absmiddle>) definido no tópico 1 desta

aula. Assim, fazendo a = e na igualdade , tem-se ,

mas , logo e portanto:

A partir deste momento, como é tradicional, escreve-se invés de

e isto justifica chamar a função definida por de FUNÇÃO

EXPONENCIAL NA BASE E ou NA BASE NEPERIANA.

Pelo que já foi visto, observe que:

(1) y = e2 para todo x real se, e somente se, x= ℓn y para todo y>0;

(2) e ℓny = y para y>0 e ℓn ex=x para todo x;

(3) exℓna = ax para a>0 e todo x;

(4) e0=1 e e1=e

Se a e b são números reais quaisquer, a função exponencial tem as

seguintes propriedades:

As demonstrações das propriedades (1) a (3), decorrem da definição da

função exponencial e das propriedades do logaritmo natural. A

demonstração de (1) será feita a seguir. (2) e (3) têm provas análogas e estão

sugeridas no exercício 25 do exercitando deste tópico.

137

A DEMONSTRAÇÃO DE (1) SERÁ FEITA A SEGUIR

Sejam e então (da observação (1)) e , mas

, logo substituindo e nesta

última igualdade, obtém-se a demonstração da propriedade (1).

Para achar a derivada da função exponencial na base neperiana, seja

, então . Derivando em relação a x os dois lados da equação

tem-se

logo, substituindo y por , obtém-se:

Se u é uma função de x e derivável, da regra da cadeia (dada no teorema

3 do tópico 4 da aula 03), tem-se mas do último

resultado obtido, ou seja,

REGRA DA CADEIA




"REGRA DA CADEIA". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por

y=f(u) e u=g(x) então fog é derivável, além disso,

ou .

EXEMPLO RESOLVIDO

Calcular

SOLUÇÃO

EXEMPLO PROPOSTO

Se provar que

O gráfico da função exponencial na base neperiana, pode ser obtido pela

reflexão do gráfico da função logarítmica natural em relação à reta y =

x (conforme foi visto no tópico 4 da aula 01) pois a função exponencial é a

inversa da função logarítmica natural ou então usando as informações dadas

138

pelas derivadas primeira e segunda. Na figura seguinte está o gráfico da

função exponencial na base neperiana.

REFLEXÃO DO GRÁFICO






postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.É exigido que o




FONTES DAS IMAGENS



139

TÓPICO 05: FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA MAIS GERAIS

O objetivo deste tópico é definir as funções transcendentes que

estendem os conceitos das funções logarítmica natural e exponencial na

base neperiana, para outras funções logarítmicas e exponenciais numa

base não necessariamente igual a e. Inicialmente, aparece o conceito de

função exponencial na base a, onde a é um número real positivo, tal

conceito se justifica devido à definição de potência com expoente real dada

no tópico 4 desta aula, a partir daí será definida a função logarítmica numa

base a. Então serão obtidas as derivadas dessas funções e será possível a

construção dos seus gráficos.

POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL

Se a é um número real positivo e r é um número racional,

como tem-se da definição de função exponencial e de tal

propriedade que Esta última igualdade vale

somente para um número racional r qualquer, pois só

vale para r racional; entretanto, o domínio da função exponencial é o

conjunto dos reais, logo sendo é aceitável que tal

igualdade seja estendida para um número real x qualquer. Assim,

sendo a>0 e x um número real qualquer, define-se

Se a um número positivo fixo e diferente de um a relação (dada

no tópico 4 desta aula) para todo número real x, permite definir a FUNÇÃO

EXPONENCIAL NA BASE A pela equação:

DIFERENTE DE UM

Pois se a = 1 a função será constante.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Calcular , se

SOLUÇÃO

Usando a última fórmula obtida, tem-se:

mas , logo substituindo , obtém-se:



140

EXEMPLO PROPOSTO 1

Se mostrar que

Sendo ainda a um número positivo fixo e diferente de 1, a função

exponencial de base a é derivável no seu domínio, além disso,

se a > 1, assim (do teorema 1 do tópico 2 da

aula 04) a função exponencial na base a é decrescente ou crescente,

conforme seja 0 < a < 1 ou a > 1, respectivamente; logo, conforme visto no

tópico 3 da aula 01 , tal função é injetiva e assim é invertível.


Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é aberto,

fechado ou semifechado) e derivável no intervalo aberto

correspondente (isto é, é o intervalo aberto de mesmos extremos de

I), então f é:

(A) Decrescente em I, se para todo x em .

(B) Crescente em I, se para todo x em .

VISTO NO TÓPICO 3 DA AULA 01

Uma função f é dita INJETIVA (ou biunívoca), se para

quaisquer x1 e x2 no D(f), tem-se (ou equivalente,

. Em outras palavras, f é injetiva, se para cada

existe um único tal que f(x) = y, neste caso, a regra dada por x =

g(y) agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal

que D(g) = I(f) e I(g) = D(f), então observe que se tem as duas funções

f e g tais que além disso, como

para todo para todo pela definição

de função inversa, g = f-1 e f = g-1.

Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: SE UMA FUNÇÃO

F É INJETIVA, ENTÃO F POSSUI INVERSA (ISTO É, F É

INVERTÍVEL) COM DOMÍNIO IGUAL A IMAGEM DE F; e mais, A

EQUAÇÃO QUE DEFINE A INVERSA DE F É OBTIDA RESOLVENDO A

EQUAÇÃO Y = F(X) PARA A VARIÁVEL X.

Através do gráfico de uma função f num intervalo pode-se

verificar se ela possui inversa em I, da seguinte forma: se o gráfico tem

o aspecto ascendente ou descendente em I, isto é, se a função f é

CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se com x1 <

x2 implica respectivamente, fará com que f

seja injetiva em I.

141

A inversa da função exponencial na base a (a>0 e diferente de 1) é

chamada de função logarítmica na base a e é indicada pelo símbolo

.

Assim, tem-se:

Observe que as posições de y e x foram invertidas em y = ax a fim de

obter a função logarítmica na base a com variável independe x. Observe

também que se a = e obtém-se a função logarítmica na base e, que é a função

logarítmica natural, isto é, . Sendo para estabelecer a

relação entre logaritmo na base a e logaritmo natural, considere x um

número real positivo, então é equivalente a . Logo,

Assim de , achando y e substituindo por , tem-se a relação

Particularmente, se x = e, obtém-se:

Se m e n são números reais positivos, e , a função logarítmica na

base a tem as seguintes propriedades:

(1) loga (mn)= loga m + loga n;

(2) loga (m/n)= loga m - loga n;

(3) loga mr= r loga m, r real;

(4) loga 1 =0 e loga a=1;

As demonstrações das propriedades (1) a (4) da função logarítmica na

base a, estão sugeridas no exercício 20 do exercitando deste tópico.

Para achar a derivada da função logarítmica na base a, pode-se usar a

sua definição ou a relação com logaritmo natural. Optando pela primeira

alternativa, seja Derivando em relação a x os dois

membros da última equação, tem-se:

142

logo, substituindo y por , obtém-se:

Portanto, sendo u uma função derivável e u(x) > 0, pela regra da cadeia

(dada no teorema 3 do tópico 4 da aula 03), tem-se

mas do último resultado obtido, ou seja,




"regra da cadeia". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por y=f(u) e

u=g(x) então fog é derivável, além disso,

.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

SOLUÇÃO

Tem-se:

EXEMPLO PROPOSTO 2

Sejam u e v funções de x onde u(x) > 0, então a função

exponencial de base u e expoente v é definida pela equação:

Sendo u e v funções deriváveis, usando logaritmo natural, acha-se a

derivada de em relação a x. Assim, aplicando logaritmo natural nos

membros da equação tem-se , logo ; derivando y em

relação a x, obtém-se:

143

portanto substituindo y por , acha-se:

EXEMPLO RESOLVIDO 3

SOLUÇÃO

Usando a última fórmula encontrada, tem-se:

EXEMPLO PROPOSTO 3


No texto "Regras de L´Hospital (Visite a aula online para realizar

download deste arquivo.)", será encontrada aplicações da derivada no

cálculo de alguns limites.






postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.. É exigido que




FONTES DAS IMAGENS



144

TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO

Como foi visto no tópico 2 da aula 3 a derivada de uma função f

representa o quociente de duas quantidades infinitesimais, mas até este

momento não se enfatizou o significado do numerador e denominador

dessa razão que são chamados de diferenciais; o objetivo inicial deste

tópico é estabelecer e interpretar as diferenciais, o que será de grande

relevância no cálculo integral. Em seguida será introduzido o conceito de

integral indefinida, trata-se de uma família de funções que é obtida através

de um processo inverso a derivação. Posteriormente, serão relacionadas às

fórmulas de integração que constituem a base do cálculo integral, isto é, as

fórmulas que decorrem diretamente das fórmulas de derivação ou destas

através de mudanças de variáveis simples. Vale observar que a habilidade

na utilização de tais fórmulas, constitui tarefa indispensável ao estudo dos

tópicos posteriores e só é possível se o estudante resolver uma quantidade

substancial de exercícios que estão propostos no exercitando deste tópico.

TÓPICO 2 DA AULA 3

Quando se faz , diz-se que é uma VARIAÇÃO

INSTANTÂNEA de (ou uma variação infinitesimal do valor ).

Suponha que f seja contínua em , então implica que

logo sendo f contínua em possível interpretar que é

taxa (ou razão) de duas quantidades infinitesimais. Se tal limite existe

é dito é dito a TAXA (OU RAZÃO) INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO de

y em relação a x em , então sendo tem-se

Sejam x um valor qualquer no domínio de uma função f e uma

variação de x (conforme foi visto no tópico 2 da aula 03), então a

DIFERENCIAL DE X é indicada por dx e definida como sendo essa variação,

ou seja,

Se existe, então é aproximadamente igual a para

próximo de 0, ou seja, para próximo de 0, daí

para próximo de 0. A quantidade é chamada a DIFERENCIAL DE

Y e é indicada por dy, assim ou ainda,

Para interpretar geometricamente, considere a figura seguinte.

VEJA


AULA 06: INTEGRAIS E APLICAÇÕES

145

Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto

tem-se: é a distância orientada |PQ| do ponto P ao ponto Q;

enquanto que pois o triângulo é retângulo, onde

é a inclinação da reta tangente, daí

Portanto, dy é a variação da ordenada da reta tangente

correspondente a variação dx da abscissa. Observe que a

aproximação entre pode ser melhor quanto menor

for .

Dada uma função f definida num intervalo I, diz-se que uma função

F é uma INTEGRAL(primitiva ou antiderivada) de f em I, se

para todo .

Assim, para encontrar uma integral de uma função num intervalo é

necessário efetuar o processo inverso ao da derivação, esta operação é

chamada de INTEGRAÇÃO (primitivação ou antiderivação). Com a

familiaridade que se tem com a derivação, não haverá dificuldade para se

obter integrais de algumas funções, por exemplo: se então

é uma integral de f (x) em R, pois para todo

Observe que não é a única integral de em R,

pois adicionando qualquer valor constante no segundo membro de

ainda se tem uma integral de ; logo (por exemplo):

•

• e

• são também integrais de em R. Desta

forma, se C é um valor constante arbitrário, então é uma

integral de em R.

Em geral, se C é uma constante arbitrária e y = f(x) é uma integral de f

(x) num intervalo I, então

é também uma integral de f (x) em I.

DÚVIDA

O que não está evidente é a resposta da pergunta: se y =f (x) é uma

integral de f (x) em I, então qualquer outra integral de f (x) em I é da

forma ? A resposta é afirmativa, a justificativa decorre do

corolário do teorema 2 do tópico 1 da aula 04 pois sendo outra

integral qualquer de f (x) em I, G e F têm a mesma derivada f (x) em I,

logo (do corolário) G e F diferem de uma constante em I e assim

para todo .

146

COROLÁRIO DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 04

Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais que

para todo , então existe uma constante C tal que

para todo .

Uma integral F de uma função f num intervalo I adicionada a uma

constante arbitrária C, dada por é dita a INTEGRAL INDEFINIDA

de f (x) em relação a x e a constante C é chamada uma CONSTANTE DE

INTEGRAÇÃO. O símbolo

é chamado de SÍMBOLO DA INTEGRAL INDEFINIDA e é usado para

representar a integral indefinida da função f num intervalo da seguinte

forma

Nesta representação, f(x) é chamada de INTEGRANDO e dx indica que x

é a VARIÁVEL DE INTEGRAÇÃO (isto é, a variável em relação a qual se deve

derivar F (x) para obter f (x)).

Assim, para o exemplo dado inicialmente, escreve-se

onde é o integrando e


Calcular as seguintes integrais indefinidas:

SOLUÇÃO

(a) Tem-se

pois

(b) Tem-se

pois


147

Calcular as integrais e verificar que o resultado está correto:

A constante de integração C pode ser determinada quando se deseja

que a integral satisfaça alguma condição, que é chamada de

CONDIÇÃO INICIAL (ou condição de contorno), por exemplo: suponha que o

valor da integral seja para então isto é,

está determinada. O exemplo seguinte dá uma ilustração.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Achar a função G tal que

SOLUÇÃO

Tem-se

pois Sendo obtém-se

daí C = -2, portanto é a função

procurada.

EXEMPLO PROPOSTO 2

Determinar a função G tal que e

Verificar o resultado.

A constante de integração C dá origem a uma família de funções

definidas por e que é chamada de FAMÍLIA A UM PARÂMETRO.

Geometricamente, estas funções representam uma família de CURVAS

PARALELAS (isto é, nos pontos de interseções das curvas com uma reta

vertical, todas as retas tangentes às curvas são paralelas), como se encontra

ilustrado na figura seguinte.

VEJA

PARADA OBRIGATÓRIA

O cálculo integral é uma tarefa mais difícil que o cálculo diferencial,

este às vezes requer artifícios de notória complexidade. A seguir serão

estabelecidas fórmulas e técnicas simples que serão de grande utilidade no

cálculo integral. Entretanto vale chamar a atenção, que existem integrais

que não podem ser expressas como FUNÇÕES ELEMENTARES (isto é,

148

funções resultantes de um número finito de operações algébricas

envolvendo as funções até agora estudadas).

No século XIX, foi provado por Liouville ( -- Joseph Liouville (1809-

1882), matemático francês.) que integrais como

não podem ser expressas como funções elementares, isto é, não existe

função elementar cuja derivada seja

fazem parte também de tal grupo de integrais (provado também por

Liouville) as integrais elípticas ( -- A expressão 'integral elíptica', deve-se ao

fato de que o comprimento de uma elipse é expresso através de uma integral

desse tipo.) isto é, qualquer integral da forma onde é uma

função racional e y é a raiz quadrada de uma função polinomial de terceiro

ou quarto grau em x, como por exemplo,

Através das fórmulas de derivação já estabelecidas, é possível calcular a

derivada de qualquer função elementar derivável; entretanto, as fórmulas de

integração não têm um papel tão geral, tais fórmulas, na maioria das vezes,

apenas auxiliam o cálculo integral. A seguir estão relacionadas as fórmulas

de integração, que servem de base para o cálculo integral. As justificativas de

tais fórmulas serão efetuadas ou comentadas no texto complementar

indicado no final deste tópico.

As três primeiras fórmulas valem para qualquer função, devido a isso,

são consideradas como propriedades da integral indefinida.

VEJA

(1) A integral indefinida da derivada de uma função ou da

diferencial da função é a função adicionada a constante de integração,

isto é,

Particularmente, sendo tem-se

(2) A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma

função é a constante multiplicada pela integral indefinida da função,

ou seja,

149

onde a é uma constante. Em outras palavras, uma constante

permuta com o sinal de integração.

(3) A integral indefinida da soma ou diferença de duas funções é a

soma ou diferença das integrais indefinidas das funções, isto é,

Resulta das fórmulas (2) e (3) que

onde é constante.

(4) Se u e uma função de x e derivável, então

Particularmente, se obtém-se


Calcular as integrais:

SOLUÇÃO

(a) Pela fórmula (ii)

mas (pela fórmula

e (pela fórmula (i)) logo substituindo os resultados das

três últimas integrais na integral proposta, obtém-se

(b) Tem-se

(c) Tem-se

150

Outra forma de aplicar a fórmula 4 no cálculo desta integral, é

fazendo uma mudança de variável (isto é, mudando de forma

conveniente a variável x para a variável u). Assim, considerando

tem-se portanto substituindo x + 1 e dx na

integral, obtém-se:

(d) Tem-se

A integral também pode ser calculada, mudando para a variável

u onde

Cada integral calculada pode ser verificada, por derivação do

resultado encontrado. Assim, no item d, por exemplo,

que é o integrando da integral do item d, logo o cálculo da

integral está correto.


Calcular a integral para mostrar que:

AS FÓRMULAS (5) ATÉ (17)

151



SOLUÇÃO

(a) (1º Solução)

pois ou seja,

(2º Solução)

(3º Solução)

152

(b) Tem-se

(c) Tem-se

(d) Tem-se

(e) Tem-se



AS FÓRMULAS (18) ATÉ (20)



153

SOLUÇÃO

(a) Tem-se

(b) Tem-se



No conjunto das fórmulas de integração, não aparecem fórmulas para

integrar, por exemplo, as funções logarítmicas e as trigonométricas inversas,

o motivo é que das fórmulas básicas de derivação não se tem diretamente o

integrando; mais precisamente, não há na relação de fórmulas dadas nos

tópicos 4 da aula 03 e nos tópicos da aula 05, por exemplo, uma fórmula do

tipo onde f (x) seja conhecida, a fim de que se tenha

O seguinte procedimento, conhecido como INTEGRAÇÃO POR

PARTES, permite calcular as integrais das funções logarítmicas e

trigonométricas inversas, além de vários outros exemplos.

Sejam u e v funções de x e deriváveis, então (da fórmula para derivar o

produto)

e daí

Integrando os dois lados da última equação, obtém-se a FÓRMULA DE

INTEGRAÇÃO POR PARTES, dada por

Observe que esta fórmula não resolve de imediato o problema de

calcular a tal integral passa a depender da que em certos casos,

154

para uma escolha conveniente de u e dv, é mais fácil de calcular do que a

integral proposta. O método é ilustrado nos exemplos seguintes.


Calcular

SOLUÇÃO

Tem-se

Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se

EXERCÍCIO PROPOSTO 6

Mostrar que

No exemplo resolvido 6, a primeira constante de integração

(resultante da integral, não aparece no resultado final da integral;

em geral, isto sempre ocorre. A fim de provar tal afirmação, observe que

Portanto, é desnecessário colocar a constante de integração no momento

em que for encontrada a função v a partir de dv Isto será posto em prática a

partir do exemplo seguinte.



SOLUÇÃO

(a) Tem-se

155

Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se

(b) Tem-se

assim

Considere agora

daí

Substituindo, tem-se

onde

(c) Tem-se

então

Considere agora

então

Como à direita da equação aparece a integral proposta,

somando esta integral nos dois lados da equação, tem-se

156

ou seja,

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7

Mostrar que:


No texto "Demonstrações das Fórmulas de Integração (Visite a aula

online para realizar download deste arquivo.)", serão encontradas as

demonstrações de algumas das fórmulas ou comentadas.




individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3, 6, 11 e 25

são os respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO 1; 29, 56, 59 e 69 são os

respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser

postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 3

a 5 do trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula.É




FONTES DAS IMAGENS



157

TÓPICO 02: APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA

Este tópico ilustra alguns problemas de natureza prática em engenharias

e ciências, que são resolvidos usando integral indefinida. Inicialmente, serão

ilustrados problemas que aparecem em mecânica, mais precisamente,

problemas de deslocamento de partículas em movimento retilíneo;

posteriormente, serão vistos alguns problemas que aparecem em Física,

Química e Biologia, esses problemas satisfazem certas leis conhecidas como

leis de crescimento e decrescimento.

No texto complementar "Movimento Retilíneo (Visite a aula online para

realizar download deste arquivo.)" indicado no final do tópico 1 da aula 03, a

derivada foi usada para definir velocidade e aceleração instantâneas de uma

partícula em movimento retilíneo, a partir da equação de movimento da

partícula. Mais precisamente, se é a equação de movimento, então a

velocidade e a aceleração são dadas por e respectivamente.

A integração permite reverter esse procedimento para encontrar a equação

de movimento, quando é dada a velocidade ou a aceleração da partícula

juntamente com certas condições iniciais. Os exemplos 1 e 2 a seguir,

estabelecem algumas situações.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Uma partícula em movimento retilíneo, desloca-se com aceleração

constante a. Se é a velocidade inicial da partícula na posição inicial ,

determinar a sua equação de movimento.

SOLUÇÃO

Como tem-se (separando as variáveis v e t) que

agora integrando os dois lados, obtém-se:

Supondo que o tempo começa a partir de t = 0, então e

assim

Substituindo , obtém-se

Sendo separando as variáveis e integrando os

dois lados, resulta

mas logo



158

assim substituindo , tem-se

que é a equação de movimento da partícula.

Se uma partícula de massa m desloca-se com uma aceleração a

(t), então a SEGUNDA LEI DE NEWTON (Newton -- Isaac Newton (1642-

1727), matemático e físico inglês.) estabelece: A FORÇA F QUE ATUA NA

PARTÍCULA É IGUAL AO PRODUTO DA MASSA DA PARTÍCULA POR SUA

ACELERAÇÃO, ISTO É,

Quando uma partícula movimenta-se livremente ao longo de uma reta

vertical, ela é atraída para a superfície da Terra pela FORÇA DE GRAVIDADE,

que numa distância próxima da superfície da Terra essa força é constante

(isto é, a aceleração devida, que é aceleração da gravidade é constante nas

proximidades da superfície da Terra).

EXEMPLO PROPOSTO 1

De um ponto a altura do solo, uma partícula de massa m é lançada

verticalmente para cima com uma velocidade inicial . Se a única força que

atua na partícula é a força de gravidade, provar que a equação de movimento

da partícula é

A LEI DA GRAVIDADE DE NEWTON estabelece: A FORÇA COM QUE

DUAS PARTÍCULAS DE MASSAS E SE ATRAEM, É PROPORCIONAL

AO PRODUTO DAS MASSAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO

QUADRADO DA DISTÂNCIA QUE AS SEPARA, isto é, onde k é a

constante de proporcionalidade e s é a distância entre as partículas.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Se uma partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade

inicial , calcular a velocidade da partícula em termos da distância s da

partícula até a superfície da Terra.

SOLUÇÃO

A força atuando sobre a partícula é onde: m é a

massa da partícula, M é a massa da Terra e s é a distância da

partícula à superfície da Terra. Logo, pela segunda lei de Newton,

tem-se

Pode ser provado que a força gravitacional da Terra sobre a

partícula, é a mesma que é exercida por uma partícula de massa M

localizada no centro da Terra, veja exercício 17 do exercitando

159

deste tópico. Assim, fazendo s = r onde r é o raio da Terra e usando

que da última equação, obtém-se ou seja,

. Logo, substituindo kM por , tem-se em termos de

constantes apropriadas, isto é,

Sendo (decorrente da regra da cadeia) enunciada

no tópico 4 da aula 03), tem-se

DECORRENTE DA REGRA DA CADEIA

O teorema a seguir permite encontrar a derivada da

composta de duas funções a partir das derivadas das funções,

isto é, sem efetuar a composição; a fórmula estabelecida pelo

teorema é conhecida como a "regra da cadeia". Sejam f e g

funções deriváveis e definidas por y = f (u) e u = g (x), então

fog é derivável, além disso

daí

que resolvendo, acha-se

Usando que se s = r tem-se logo

Se uma partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade inicial

, o movimento da partícula vai diminuindo (devido a atração da força de

gravidade exercida pela Terra) e não sendo suficientemente grande, a

partícula num determinado instante entra em repouso ainda no campo

gravitacional, assim retorna à superfície da Terra. A velocidade inicial ,

para que uma partícula saia do campo gravitacional da Terra, é chamada de

VELOCIDADE DE ESCAPE da Terra.

EXEMPLO PROPOSTO 2

Provar que a velocidade de escape da Terra é Usando que

verificar que

Alguns problemas são caracterizados, quando neles estão envolvidas

certas quantidades, onde a razão da variação dessas quantidades em relação

160

ao tempo é proporcional a elas em cada instante (ou ainda, quando tal

proporcionalidade difere de uma constante). Nos exemplos seguintes, estão

alguns problemas do tipo mencionado.

EXEMPLO RESOLVIDO 3

Se uma fem V é aplicada num condutor, a intensidade de corrente

não alcança de forma instantânea o valor dado pela lei de Ohm enunciada

no tópico 2 da aula 03, ela vai aumentando até atingir o seu valor estável;

a razão disto, deve-se a FEM AUTOINDUZIDA dada por que se

opõe à variação da corrente ( é dada pela lei da indução

eletromagnética, o sinal menos é devido a oposição da variação da

corrente e a constante de proporcionalidade L, que em geral depende da

forma geométrica do condutor, é chamada de AUTOINDUTÂNCIA), ela só

existe enquanto a corrente aumenta de zero até o seu valor final constante.

Portanto, a fem total aplicada no circuito é dada por ou seja,

Encontrar I em função do tempo t. Veja o exercício 23 do

exercitando deste tópico, se no circuito for colocado um capacitor.

SOLUÇÃO

Como tem-se

que separando as variáveis e integrando resulta em

pois Observe que se t = 0 então I = 0, logo

ou seja,

Substituindo C, encontra-se

De onde se conclui que I se aproxima do valor V/R (dado pela

lei de Ohm), mais rapidamente quando maior for a razão da

resistência pela indutância do condutor.

LEI DE OHM

A lei de Ohm afirma: num condutor, a razão da diferença de


161

fem) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente

elétrica I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V / I = R.

De onde se conclui que I se aproxima do valor V/R (dado pela lei de

Ohm), mais rapidamente quando maior for a razão da resistência pela

indutância do condutor.

EXEMPLO PROPOSTO 3

Supondo que a corrente atingiu seu valor estacionário, cessando a fem

aplicada, vai haver uma queda de corrente I. Provar que I decaindo é dada

por

EXEMPLO RESOLVIDO 4

De acordo com a LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: a velocidade

de resfriamento de um corpo num ambiente é proporcional a diferença da

temperatura do corpo pela temperatura do ambiente. Se a temperatura de

um ambiente é de 30º e um corpo passa de 100º para 80º em 10

minutos, determinar o tempo em que a temperatura do corpo atinge 40º.

SOLUÇÃO

Seja T (t) a temperatura do corpo t minutos após o corpo ter

sido colocado no ambiente, então

Logo, separando as variáveis e integrando, tem-se

daí

Como t (0) = 100, obtém-se

Substituindo o valor de C, tem-se

Tem-se ainda T(10) = 80, assim

Seja o tempo em que a temperatura do corpo atinge 40º,

então

elevando ambos os lados a décima potência e substituindo o

valor acha-se

162

assim minutos.

EXEMPLO PROPOSTO 4

Um corpo com 120º foi posto num líquido com 40º e 10 minutos

depois a temperatura do corpo caiu 20º. Mostrar que a temperatura do

corpo 30 minutos após a primeira observação é aproximadamente 65,31º.

EXEMPLO RESOLVIDO 5

Os átomos das substâncias radioativas têm a propriedade de emitir

espontâneamente certas partículas, isso é resultante de uma instabilidade

nos seus núcleos. Devido a isso, as substâncias radioativas sofrem uma

desintegração com o passar do tempo (isto é, tem uma diminuição em sua

massa com o passar do tempo) numa razão proporcional a quantidade

existente a cada instante. O rádio é uma substância radioativa, supondo

que uma massa de rádio pesa 40 gramas neste instante e sua VIDA

MÉDIA (ou seja, o tempo necessário para a sua massa se reduzir à metade)

é de 3 mil anos, calcular a quantidade que restará daqui a 600 anos.

SOLUÇÃO

Seja M (t) a massa de rádio t anos após o início da

desintegração, então


daí

Como M(0) = 40, obtém-se

assim

Sendo a vida média do rádio igual a 3000 anos, M = 20 quando

t = 3000, logo

Substituindo o valor de k, tem-se

163

Portanto, daqui a 600 anos restará gramas

de rádio.

EXEMPLO PROPOSTO 5

O urânio é uma substância radioativa, supondo que uma amostra de

urânio tem 30 gramas e sua vida média é de anos, provar que

é o tempo para que decaia 20 gramas da amostra.

EXEMPLO RESOLVIDO 6

Numa reação química, a quantidade de cada uma das substâncias

presentes no início da reação, vai diminuindo com o passar do tempo, uma

vez que as substâncias vão se transformando na substância resultante da

reação. Suponha que numa reação química, a razão de variação da

quantidade da substância em relação ao tempo, é proporcional à

quantidade que ainda resta naquele instante, sabendo-se que 64 gramas

da substância iniciou a reação e 16 gramas foram transformadas em 20

minutos, calcular a quantidade que restará após uma hora.

SOLUÇÃO

Seja S (t) a quantidade da substância ainda presente

após t minutos, então


assim

Como S(0) = 64, tem-se

Sendo S(20) = 64 - 16 = 48, obtém-se

Substituindo o valor de k encontrado, tem-se

Portanto, a quantidade da substância após uma hora (isto é,

depois de 60 minutos) é gramas.

EXEMPLO PROPOSTO 6

164

Suponha que uma substância está se transformando noutra

substância e a quantidade de varia numa razão proporcional a

quantidade existente a todo instante. Mostrar que o tempo t da

transformação em função das quantidades e de e ,

respectivamente, presentes num determinado instante é de

onde é o tempo em que as duas quantidades estão em equilíbrio.




individualmente ou em grupo. As questões 3 a 5 do trabalho desta aula,

serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho

desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA

do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF)

ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS



165

TÓPICO 03: INTEGRAL DEFINIDA E TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

VERSÃO TEXTUAL

Este tópico estuda a integral definida, trata-se de um processo

para calcular um tipo de soma com uma infinidade de parcelas, tal

soma é usada para determinar: áreas de regiões planas, volume de

sólidos e comprimento de curvas; e aplicações em Física, tais como, o

centro de massa de uma lâmina, o cálculo de trabalho e força devida à

pressão de fluidos, aplicações em Física estão fora dos objetivos deste

texto. Inicialmente, o tópico trata do conceito de integral definida e

suas propriedades, posteriormente será visto um resultado conhecido

como "teorema fundamental do Cálculo", que estabelece as condições

suficientes para que a integral definida possa ser calculada através de

uma integral indefinida.

A integral definida, como a derivada, é também um limite de uma

expressão envolvendo uma função. Antes de enunciar o conceito de integral

definida, é necessário construir os elementos a serem utilizados.

A primeira etapa, refere-se à construção de uma soma, que é o elemento

central da definição. Seja f uma FUNÇÃO LIMITADA no intervalo fechado [a,

b] isto é, existe uma constante m > 0 tal que para todo .

Considere uma divisão D de [a, b] em n subintervalos:

[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]

onde a=x0 < x1 < x2 <... < xn-1 < xn = b. Considere ainda ∆ix (i = 1, 2, ...,

n) o comprimento do i-ésimo subintervalo [xi-1, xi], ou seja ∆1x = x1 – x0, ∆2x

= x2 – x1,..., ∆nx = xn - xn-1 e α Є [xi-1, xi]. Então a referida soma é dada por

e é chamada de SOMA DE RIEMANN ( -- Georg Friedrich Bernhard

Riemann (1826-1866), matemático alemão) da função f relativa a divisão D e

aos valores .

É comum chamar o conjunto dos valores que determinam

uma divisão de [a, b] em subintervalos, uma PARTIÇÃO de [a, b]. Observe

que, para uma dada função f e um determinado intervalo [a, b] sobre o qual f

é limitada, uma soma de Riemann de f depende da divisão (ou da partição)

de [a, b] que for considerada e da escolha dos valores em cada subintervalo.

Ao considerar uma divisão de [a, b] faz-se de forma que o número de

subintervalos possa crescer de maneira ilimitada, então a próxima etapa é

fazer o número de parcelas da soma de Riemann tender a de forma que o

comprimento de cada subintervalo tenda a zero; para isto, seja



166

∆x = máx.{∆ix; i=1, 2, ..., n}.

Isto é, ∆x é o comprimento do maior subintervalo da divisão; então a

etapa estará concluída considerando o seguinte limite:

Estabelecer que o mencionado limite existe e é igual a L, escreve-se

significa: dado qualquer ε>0 existe δ >0, tal que para qualquer divisão

de [a, b] com ∆x < δ e qualquer escolha de α Є [xi-1, xi] (i=1, 2, ..., n), vale a

desigualdade

É relevante observar que este limite difere dos limites tratados na aula

02; entretanto, é possível mostrar que tal limite quando existe é também

único, a prova está sugerida no exercício 48 do exercitando deste tópico.

Quando o limite existe, diz-se que f é INTEGRÁVEL em [a, b] e neste caso o

número L é chamado de INTEGRAL DEFINIDA de f em [a, b] (ou

simplesmente, a integral de f em [a, b]) e é indicado pelo símbolo

ou seja,

Os dois conceitos de integrais dados têm significados distintos, pois a

integral indefinida é uma função, enquanto que a integral definida é um

número; entretanto, a seguir será demonstrado que sob determinada

condição, é comum o valor da integral definida ser obtido através da integral

indefinida.

No símbolo são usadas as seguintes designações: é o SÍMBOLO

DA INTEGRAL DEFINIDA, "a" é o LIMITE INFERIOR INTEGRAÇÃO e "b" é o

LIMITE SUPERIOR DE INTEGRAÇÃO e a expressão f(x) é o INTEGRANDO.

Historicamente, o símbolo representa um S alongado, inspirado na

primeira letra da palavra latina "summa" que significa "soma", usado para

enfatizar que a integral definida representa uma soma.

Uma questão que surge é sob que condição uma função é integrável num

intervalo fechado, o teorema seguinte estabelece tal condição, sua

demonstração ( -- Uma demonstração pode ser encontrada na referência

Princípios de Análise Matemática - Rudin, Walter - Rio de Janeiro, Editora

Ao Livro Técnico, 1971) está acima do nível deste texto.

167

TEOREMA 1

Se uma função é contínua num intervalo fechado, então ela é

integrável nesse intervalo.

Assim, quando se deseja encontrar o valor da integral definida de uma

função contínua f num intervalo fechado [a, b] basta achar esse valor para

uma particular divisão de [a, b] e uma escolha particular de em cada

subintervalo da divisão; pois devido a unicidade do valor da integral, o

valor é o mesmo para qualquer outra divisão e escolha de . O exemplo

seguinte ilustra o procedimento.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Achar o valor da integral de .

SOLUÇÃO


Provar que .

No conceito de integral definida, o valor de a foi considerado como

limite inferior e de b como o limite superior de integração; quando se deseja

fazer uma permuta dos limites de integração a e b, define-se

168

desde que f seja integrável em [a, b]. E a integral com os limites de

integração iguais é definida como igual a zero, isto é,

desde que f(a) exista.

A integral definida tem as seguintes propriedades:

As demonstrações das propriedades (1) a (4), decorrem das definições

de integral definida e função integrável. A propriedade (1) será demonstrada

no texto complementar "Demonstrações Envolvendo a Integral Definida"

indicado no final deste tópico, as demonstrações das demais estão sugeridas

no exercício 45 do exercitando deste tópico.

A propriedade (2) pode ser estendida para uma soma finita qualquer e

aplicando a propriedade (1), resulta em

onde cada função é integrável em [a, b] e cada ci é

constante.

Na propriedade (3), o intervalo [a, b] foi dividido nos dois subintervalos

[a, c] e [c, b] ela pode ser estendida para uma divisão com um número finito

qualquer de subintervalos; além disso, é possível mostrar que se f é

integrável num intervalo contendo a, b e c, então

sem levar em consideração a ordem dos valores a, b e c.

O processo de calcular uma integral definida através da definição, é

muito trabalhoso e na maioria das vezes é bastante difícil. No teorema

seguinte será visto o procedimento para obter o valor da integral definida de

uma função contínua, através da sua integral indefinida, esse é o processo

normalmente usado, sua demonstração está no texto complementar

"Demonstrações Envolvendo a Integral Definida" indicado no final deste

tópico.

TEOREMA (FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) 2

169

Seja f uma função contínua em [a, b] então onde F

é qualquer integral de f(x)

A diferença F(b) - F(a) geralmente é indicada por

escrevendo-se

Vale enfatizar que o teorema fundamental do Cálculo estabelece: se f é

contínua em [a, b] então uma função F, citada no teorema, pode e deve ser

obtida da igualdade . O exemplo seguinte ilustra a

aplicação do teorema fundamental do Cálculo.


Calcular as seguintes integrais:

SOLUÇÃO


Mostrar que:


170

No texto "Demonstrações Envolvendo a Integral Definida" (Visite a

aula online para realizar download deste arquivo.), serão encontradas as

demonstrações de resultados deste tópico.


Vá ao exercitando (clique aqui para abrir) (Visite a aula online

para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de

exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do

exercitando: 7 e 13 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 3;

19 e 23 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho

desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente

SOLAR. A questãoe 5 do trabalho será indicada no tópico seguinte desta

aula.A questão 5 do trabalho será indicada no tópico seguinte desta aula. É




FONTES DAS IMAGENS




171

TÓPICO 04: ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO

VERSÃO TEXTUAL

Em Geometria Plana, estuda-se área de regiões poligonais e

circulares. Neste tópico será introduzido, com a utilização da integral

definida, o conceito de área de certas regiões planas mais gerais.

Inicialmente, será visto um caso particular da área de uma região no

plano cartesiano, onde faz parte da fronteira da região (isto é, a curva

fechada que limita a região), o gráfico de duas funções em que x é a

variável independente da função; posteriormente, será abordado o

caso em que faz parte da fronteira da região, o gráfico de duas funções

em que y é a variável independente da função.

Tomando como base à definição da área de um retângulo, define-se a

área de um triângulo, que por sua vez é usada para definir a área de qualquer

região poligonal; recorrendo a um processo de limite, esse procedimento é

usado para definir a área de uma região plana não necessariamente

poligonal, como a seguir.

A princípio, considere o tipo de região R entre as retas x = a e x = b

acima do eixo X e abaixo da curva y = f(x) onde f é uma função

contínua em [a, b] e para todo .

VEJA

Inicialmente, seja a divisão do intervalo [a, b] em n subintervalos

regulares onde a = x0 e b = xn, isto é, cada

subintervalo tem comprimento igual a . Como f

é contínua em cada subintervalo , pois f é contínua em [a, b] pelo



172

teorema de Wierstrass ( -- Se f é uma função contínua num intervalo fechado

[a, b] então f tem valores mínimo e máximo absolutos em [a, b]) (teorema 2

do tópico 1 da aula 04), f tem valor mínimo absoluto em , seja f(ci)

esse valor mínimo. A união dos n retângulos com base nos subintervalos

(isto é, com largura igual a x) e altura igual a f(ci), define uma

região poligonal Rn contida em R.

Na figura estão ilustrados na cor "cinza" os três primeiros retângulos, o

i-ésimo e n-ésimo retângulos da região poligonal Rn.

Se An é a área de Rn e A é o número que deverá ser definido como a área

de R, então comparando as figuras das regiões Rn e R, concluí-se que

Onde a igualdade ocorre se f é constante em [a, b]. Intuitivamente,

percebe-se que aumentando o número n de retângulos (isto é, diminuindo

x), Rn aproxima-se mais da região R, como pode ser observado nas figuras:

VEJA

Logo, é natural definir a ÁREA de R por

173

A área da região R, pode ser também definida a partir da área de uma

região poligonal formada por retângulos não necessariamente inscritos em R

ou de bases com o mesmo valor, ou seja,

onde: ix é o comprimento do i-ésimo subintervalo (i = 1,2, ...,

n) de uma divisão qualquer de [a, b], i é um valor arbitrário em e

.

VEJA

Conforme foi mencionado no teorema 1 do tópico 3 ( -- Se uma função é

contínua num intervalo fechado, então ela é integrável nesse intervalo.) desta

aula, devido a continuidade de f no intervalo [a, b], f é integrável em [a, b],

assim os dois limites encontrados existem e têm o mesmo valor, que é a

integral definida de f em[a, b], ou seja,

O exemplo seguinte ilustra aplicação da última definição.

EXEMPLO RESOLVIDO 1

Calcular a área da região limitada pela parábola y = 4 - x2 e os eixos

coordenados no primeiro quadrante.

SOLUÇÃO

174

EXEMPLO PROPOSTO 1

Mostrar que a área da região limitada pela parábola y = x2 o eixo X e a

reta x = 2, é igual a .

Um conceito análogo de área, pode ser dado a regiões bem mais gerais

que a anterior. Sendo assim, considere a região R entre as retas x = a e

x = b e entre as curvas onde f e g são funções

contínuas em para todo .

A figura ilustra uma região do tipo definido juntamente com os dois

primeiros retângulos, o i-ésimo e enésimo retângulos resultantes da divisão

do intervalo [a,b] enunciada a seguir.

Seja uma divisão de [a, b] em n subintervalos, em que cada subintervalo

(i = 1,2, ..., n) tenha comprimento ix e considere i um valor

qualquer em . Cada subintervalo está associado ao retângulo

da base ix e altura , logo a soma das áreas desses n retângulos é:

que é uma aproximação do número A que se deseja definir como a área

de R; quanto maior for o valor de n de forma que ∆x = máx.{∆ix; i=1, 2, ..., n}

esteja diminuindo, melhor será esta aproximação, assim define-se a área de

R por

Como f e g são contínuas em [a, b], f – g também é contínua em [a, b],

logo este limite existe e é a integral de f – g em [a, b], ou seja,

Observe que a região usada para definir área inicialmente é um caso

particular deste último tipo de região, basta considerar g(x) = 0 para todo x

em [a, b]. Nesta formulação (assim como na anterior) para definir o valor de

A, diz-se que foram considerados os ELEMENTOS DE ÁREA PARALELOS AO

EIXO Y (isto é, os elementos retangulares de base ix e altura ).

175

Sejam p e q funções definidas por x = p(y) e x = q(y) contínuas em [c, d]

e com para todo Considere R a região entre as curvas

x = q(y) e x = p(y), e entre as retas y = c e y = d.

A figura ilustra uma região do tipo definido juntamente com o primeiro

retângulo, o i-ésimo e enésimo retângulos da região poligonal enunciada a

seguir.

Tomando agora uma região poligonal associada a R, que seja a união de

elementos de área paralelos ao eixo X (ou seja, elementos

retangulares de base iy e altura ), define-se a ÁREA de R por

onde: iy é o comprimento do i-ésimo subintervalo

de uma divisão qualquer de é um valor arbitrário em e

. Como a função p - q é contínua em [c, d] o valor

de A existe e é a integral de p - q em [c, d], ou seja,

Os exemplos seguintes ilustram aplicações das duas últimas definições.

EXEMPLO RESOLVIDO 2

Calcular a área da região limitada pela parábola x = y2 e a reta x + y =

2.

SOLUÇÃO

176

EXEMPLO PROPOSTO 2

Uma região é limitada pela parábola y = 1 - x2 e a reta -x + 2y = 1.

Calcular a área da região usando elementos de área paralelos aos eixos

coordenados e provar que seu valor é 27/48.


Calcular a área da região R limitada:

(a) Pelos eixos coordenados e a parte da curva

(b) Pela curva .

SOLUÇÃO

177

Do exemplo resolvido 6 do tópico 1 desta aula, tem-se

EXEMPLO RESOLVIDO 6 DO TÓPICO 1 DESTA AULA

assim

Considerando os elementos de área paralelos ao eixo X, obtém-

se

EXEMPLO PROPOSTO 3

Seja a região limitada pelas retas x = 0 e , e a curva y = arctgx,

calcular a área da região usando elementos de área paralelos aos eixos

coordenados e provar que seu valor é igual a .


1. No texto "Volume de um Sólido" (clique aqui para abrir) (Visite a

aula online para realizar download deste arquivo.), aparece a aplicação da

integral definida no cálculo de volume de alguns sólidos.

2. No texto "Comprimento de Arco" (clique aqui para abrir) (Visite a

aula online para realizar download deste arquivo.), aparece a aplicação da

integral definida no cálculo de comprimento de uma parte do gráfico de

uma função.

3. No texto "Integral Imprópria" (clique aqui para abrir) (Visite a aula

online para realizar download deste arquivo.), aparece a extensão do

conceito de integral definida de uma função.


178

Vá ao exercitando (clique aqui para abrir) (Visite a aula online

para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de

exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do

exercitando: 1, 3, 7 e 9 são os respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO


ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no

Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num

único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.

FONTES DAS IMAGENS




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