Imprimir - Guia para dimensionamento de turbinas hidráulicas

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25/04/12 Guia para dimensionamento de turbinas hldraullcas

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Guia para dimensionamento de turbinas

hldraullcas

Enviado por: CARLOS COSTAl cornentarios

Arquivado no curso de Engenhar ia MecAnica na PUC Minas

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Projeto de Turbinas Hldrau lleas Axiais com Parametrizacao da Geometria , Equa9ao de Equilib rio Radial e Tecnicas de

Olimizayao

Autor: Rodr igo Barbosa da Fonseca e Albuquerque

Orientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho Co-Or ientador: Prof. Dr. Waldi r de Ol ivei ra

l ta juba, Agosto de 2006

Projeto de Turbinas Hidrau llcas Axiais com Parametrlzacao da Geometria , Equa9i10 de Equillb rio Radial e Tecnlcas de

Olimizayao

Autor: Rodrigo Barbosa da Fonseca e Albuquerque Orien tador: Pro f. Dr. Ne lson Manzanares Filho Co-Orientador : Prof.

Dr. Waldir de Oliveira

Curso : Mestrado em Engenharia Mecan ica Area de concemracao: Dinam ica dos Fluidos e Maquinas de FlulCD

Dlssertaeao submetida ao Programa de Pos-Gradua9ao em Engenharia Meci3nica como parte dos requisitos para

obteneao do Titulo de Mestre em Engenharia Mecanica.

l ta juba, Agosto de 2006 M.G.- Brasil

Projeto de Turbinas Hidrau llcas Axiais com Parametrlzacao da Geometria , Equacao de Equillb rio Radial e Tecnlcas de

Olimizayao

Autor: Rodrigo Barbosa da Fonseca e Albuquerque Orien tador: Pro f. Dr. Ne lson Manzanares Filho Co-Orientador : Prof.

Dr. Waldir de Oliveira

cornpcstcao da Banca ElCSminadora:

Prof. Dr. Joao Roberto Barbosa -ITA Pro f. Dr. Ariosto Bretanha Jorge -IEIWUNIFEI Pro f. Dr . Waldi r de Oli ve ira -

IEIWUNIFEI Prof. Dr. Nelson Manzanares Fi lho, Pres idente - IEIWUNIFEI

Dedicat6ria f ! v J ti~ Deco.

Agradecimentos

Mais uma vez, 0 Pro f. Ne lson conduziu um trabalho in te ressante e crlaflvo. Alam disso, seu "esplri to de Tell! Santana",

jogando com categoria e pra frente, tomou bastante aqradavel e produtiva sua orten tacao.

dos alunos da UNIFEI na area de furbornaquinas nos ultimos anos

Acontribuiyao do Prof. Waldir para este trabalho vai alsm dos diversos artigos cedidos e das discussoes de alguns

t6picos. Sendo um leg ltimo entusiasta da area de rnaqulnas de flUlCD,a tam bam um grande educador. Ae le deve-se

boa parte do destacado desem penho

Minha familia sempre fezsacriflcios visando os estudos meu e de meus irmlios. Diflcil deve ser para quem nlio conta

com seu carinho. V O Badi e v a Orlando toleraram minha presence em sua casa por oito anos.

Sem os amigos e colegas da Universidade, 0 esforco nao teria a menor grays. E sem 0 futebol no Colagio das lrrnas,

o estresse e a preocupacao fariam mais estragos do que calvicie ou caspa.

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DESCRK;AO

Guia para dimensionamento de turbinas

hldraullcas

A R OU IV OS SBoiIELHANTES

Turbinas Hidraul icas Operando

Com Rota~ao VariavelTradicionalmente, as centrais

hldraletr tces operam suas lurbinas

h id rilul icascom ro la9!le constan le em . ..

Opera~ao otimizada de grupos

geradores em pequenas

centrais . ..

o trabalho aprasenta a desenvolvimento

de urn senror inte ligente , capaz de

monitorar a eficiAncia na...

Energia Hidraulica

recursos energel icos - energia hidri lu li ca

ED IENGHidreletricas

Hidreletricas

Turbinas hidraulicas

Maquinasde Fluxo e Aprovei tamenlos Hidreletr icos

1/18

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Jana, eu te amo!

"Quanto mais IIOc6 compreende as limitactles de seu conhecimento acerca de urn ass unto, mais apto IIOc6 esta para

supera-las" J. D. Denton

"Concept is most im portan t, not the detail s" Theodore von Karman

Resumo

ALBUQUERQUE, R. B. F. (2006), Projeto de Turb inas Hidrilul icas Axiais com

Paramefrizacao da Geometria, Equa~o de Equ ilibrio Radial e Tecnicas de Otimiza~ao, ltajuba, 94p. Dlssertacao

(Mestrado em Din timica dos Fluidos e Maqu inas de Fluxo) -Instituto de Engenharia Mectin ica, Universidade Federal de

ltajuba,

Este trabalho apresenta 0 desenllOlllimento de uma metodologia computacional de baixo custo para 0 projeto

otimizado de turb inas h ldrau llcas axiai s. Ametodolog ia fo i desenwil lida usando-se urn modelo de escoamento quase-

b idimensional, com correlacoes empiricas para as perdas e desllios nas grades. 0estudo baseou-se nos princ ipios

de consereacao de massa, energ ia e quantidade de mollimento, considerando-se a equacao de equi librio radial para

se obter urn campo de escoamento mais realista. Tendo-se em llista urn nurnero reduzido de variaveis de projeto, os

iingulos de montagem, as raziies corda-pas so e os arqueamentos das pas foram parametrizados em termos de seus

valores nas estacoes do cubo, meio e ponta. 0algoritmo de projeto otimizado - solvere metodo de ofimizacao - foi

implementado num programa escrito na linguagem MatLab®. Esse programa busca geometrias bastcas que

maximizam 0 rendimento da turbina, dadas a vamo, rotacao, restrictles para a altura de queda e faixas para as

variaveis de projeto.

Duas tecnicas de otimiza~o foram aplicadas: urn metodo de busca local, baseado em gradiente, e urn algoritrno

populacional. 0 rnetodo de gradiente e uma Prograrnacao

Ouadratlca SeqUencial padrao, usando-se a fun~o fmincon do MatLab®, que busca minimos locais partindo-se de

uma estimativa inicia l. Para as buscas globais, apresentam-se os Algoritrnos de Busca AleaI6ria Controlada, algumas

versoes e suas vantagens no prob lema de projeto otimizado.

Urn elCBmplo de apl lcacao da metodologia e apresentado e discutido. Trata-se da otimiza~o de uma turbina helice

tubula r existente, prelliamente ensaiada em bancada de testes. Soluctles 6 timas sao comparadas com 0 projeto

original da turb ina, mostrando-se as melhorias de desempenho, segundo a modelagem hidrodintimica. Sugesllies

para 0 aperfelcoamento da metodologia sao dadas no final.

Palavras-chave

Maquina de Fluxo , Turbina Hldraullca Axia l, Modelagem de Perdas e Desllio , Pararnetrizacao da Geometria, Tecnica de

otimiza~o, Projeto otimizado.

Abstract

ALBUQUERQUE, R. B. F. (2006), Des ign of Ax ial-Flow H)Uraul ic Turbines with

Geometry Parameter ization, the Radial Equil ibrium Equat ion and Optimization Techniques, l ta juba, 94p. MSc.

Dissertat ion - Insti tuto de Engenharia Mect ln ica, Univers idade Federal de l ta juba.

Th is work presents the development ofa low cost computa tional methodology for the conceptua l design optimiza tion of

axial -f low h)Uraulic turbines (propel ler turbines) . The methodology has been developed with a quasi-two dimensional

flow model, employing empirical correlations for cascade losses and flow delli ati ons. The study is based on the

conservation principles for mass, energy and momentum. The rad ial equ ilibrium equation is included in order to

ach ieve a more rea listic flow field. For reducing the number of design variab les, the runner b lading stagger, chord-pitch

ratio and camber are parameteri zed in te rms of t heir values a t t he hub, mean and tip stations. The design optimiza tion

a lgor ithm has been coded in MatLab™ language. Th is code searches for a basic geometry tha t maximizes the turb ine

e fficiency, given the design flow rate, rotational speed and bounds for the design variab les and also for the avail able

head.

Two optim ization techniques have been appl ied: a gradien t based local search method and a popula tion set-based

global search algorithm. The gradien t based technique is a standard Sequential Quadratic Programming, using the

fmincon function from MatLab™, which searches for local minimizers sta rting from an initial poin t. For the global

searches, i t is presented the Contro lled Random Search Algorithms, some of their versions and their advantages in the

design optimizat ion problem.

An application example of the methodology is presented and discussed for the optimiza tion ofa rea l tube type prope ller

tu rbine , p relliouslytested in a laboratory r ig. The optimized so lutions are compared with the original turbine design,

showing the performance improvements, according to the h)Urodynamic model ing. Suggest ions for methodology

improvements are a lso made.

Keywords

www.ebah.com.br/contenUABAAAAqFYAKlguia-dimensionamento-turbinas-hidraulicas

Tipos de turbinas hidraulicas

Estecapitulo tratara dos principaistiposde turbinase maqulnas utilizadas parageraQ30de energia em...

-

Trabalho sobre as Pequenas

Centrais Hidreletricas

Pequenas Centrais HidrelA©tricas

_ Tecnologia Hidraulica Industrial

--. -~ Hidraullca Industrial

=1

_ Tecnologia Hidraulica Industrial

--. -~ Tecnologia Hidraulica Industrial

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2/18






Turbomachine, Ax ial-Flow Hydraul ic Turbine, loss and Deviation Model ing, Geometry Parameterization, Opt imization

Technique, Design Optimizat ion.

su M ARI O

LlSTADE FIGURASiii

SIMBOlOGIA vi

lETRAS lATINASvi

SUPERESCRITOSviii

SUBSCRITOS viii

ABREVIATURAS ix

FORMUlAC;Ao DO PROBLEMA DE OTIMlZAQAo5

PARAMETRIZAQAo DA GEOMETRIA DAS PAs8

Surnario llSTADE TABElAS_ vlETRAS GREGAS_ vii SIGlAS_xCAPITUlO 1_ 1 INTRODUCAo E MOTIVAC;Ao_ 1

CAPiTULO 2 _ 5 CAPiTULO 3 _ 8

3.1 Modelo Geom etrico ------------------------------------------------------------------------------ 8 3.2 Para metriza9i!0 ----------------------

-------------------------------------------------------------15 CAPiTULO 4 _ 20

CALCUlO DO ESCOAMENTO EM UMA TURBINA HIDRAuLlCAAXlAL20

4.1 Equa9iio de Equil ibria Radial------------------------------------------------------------------234.2 Equil ibria Radial Ap6s a

Dis tribu idor--------------------------------------------------------27 4.3 Equilibrio Rad ial Ap6s oRator -----------------------------------------

-----------------------31 4.4 correiacao de Desvio; Tril!ingulos de Velocidade-------------------------------------------354.5

ccrrelacoes de Perdas; Rendimento da Turbina---------------------------------------------38 4.5.1 Perda no distribuidor -----------

-----------------------------------------------------------40 i 4.5.2 Perda no roto r -----------------------------------------------------------------------

-------40

4.5.3 Perda no tuba de suc9i!0-------------------------------------------------------------------41 4.5.4 Perda mec;!inica--------------------

--------------------------------------------------------- 42 4.5.5 ccrretacac de Soderberg-----------------------------------------------------------

- -- -- --424.5.6 Integra9i io das perdas e da potenc ia absorvida pelas pas---- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -4 4.5.7 Rendimento e

altura de energia da turbina---------------------------------------------46 CAPITULO 5 _ 49

METODOS DE OTIMlZAQA049

5.1 Introdu9l!io ----------------------------------------------------------------------------------------49 5.2 Prog ram a9l!io Quadratica

Seq Oencial----------------------------------------------------------52 5.3 Algoritm as de Bus ca Aleat6ria Controlada (CRSA)------------

----------------------------54 5.3.1 Algoritm a bas ico---------------------------------------------------------------------------5 5.3.2 Algu mas

versOes ---------------------------------------------------------------------------5 CAPITULO 6 _ 65

RESULTADOS E DISCUSSAo _ 65

6.1 Analise do Projeto Inicial de Souza (1989)--------------------------------------------------656.2 Resultados do SQP-Fmincon--

-----------------------------------------------------------------72 6.3 Res ultados do CRSA-CRSI ---------------------------------------------------

- -- -- -- -- -- -- -- --79 CAPITULO 7 _ 85

CONClUSOES E SUGESTOES _ 85

7.1 Concl usoes ----------------------------------------------------------------------------------------85 7.2 Sugestoes -----------------------------

------------------------------------------------------------87 REFEREN CIAS

BIBLIOGRAFICAS. 90

Lista de Figuras

Figura 1- Esquema de central h ldre lefrlca de baixa queda com turb ina hellce do tipo tubu lar-S (re tirado de Quantz,1976 )----------------------------------- --------------------9

desmontado para visualiza9iio do rotor (lHPCH - UNIFEI)----------------------------9

Figura 2 - Modelo reduzido de turbina helice do tipo tubular, com tuba de succso Figura 3 - Esquema da se9i!o

mer idional da turbina het lce cons iderada--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -10 Figura 4 - Exemplo de rotor het lce ( lHPCH - UNIFEI )- -

- ------- ------- ------- ------- ------- ------ -1 Figura 5 - L inhas medias dos perfis de pa ARC em uma estacao radial com as

geom etrias de projeto do rotor---------------------------------------------------------------12

s e9i! a cilin dri ca -------------------------------------------------------------------------------2

Figura 6 - Geometria da pa ARC-------------------------------------------------------------------------13 Figura 7 - Geometrias de

proje to em uma estacao radia l (grades do distribu idor e rotor)-- ------15 Figura 8 - Parametrlzacao da geometria do ro to r

no trabalho de Lipej (2004)------ ------ ------- --16 Figura 9 - Pararnetrizacdes parab61icas para a geometria do ro to r de

Souza (1989)---- ------- ---17 Figura 10 - Esquema de pararne fr lzacao de uma grandeza generica das pas, y - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-17 Figura 1- Esquema da secac meridional da turbina helice considerada------ ------- ------- -------20 Figura 12-

Conveny l! io de pontos na se9i!o mer idional da turbina--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --21 Figura 13 - Representacao das

l inhas de corrente absolu tas lnstantaneas em uma

Figura 14 - Com ponentes de velocidade nas grades do distribuidor-- ------- ------- ------- ------- --2 Figura 15 - Triangulos de

velocidade nas grades do rotor-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --2 Figura 16 - Elemento de fluido no rec into ent re a

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distr ibuidor eo rotor- ------- ------- ------- ------23 Figura 17 - Esquema i teratiw para 0 calculo dos perfis de ve locidade apes

o estator-- ------- ---31 Figura 18 - Esquema ite ratiw para 0 calculo dos perfis de velocidade ap6s 0 rotor---- ------- ---34

Figura 19 - Desvio angular do escoamento na saida de uma grade do distribuidor---------------35 Figura 20 - Desvio

angu lar do escoamento na sa ida de uma grade do ro to r----- ------- ------- -----37 Figura 21 - Esquema geral da seqOencia

de calculos para a analise do escoamento--------------48

Figura 2 - FlulCDgrama do projeto otimizado usando-se SQP-fmincon--------------------------53 Figura 23 -Interpola~oes

quadrat icas do CRS6/CRSI------------------------------------------------57 Figura 24 - Fun9iio bidimensional de Price (1977)-----

-----------------------------------------------63 iv Figura 25 - FlulCDgrama do projeto otim izado usando-se CRSA------------------------

-------------64

Figura 26 - Esquema da se~ao meridional da turbina hellce projetada por Souza (1989)--------6 Figura 27 - Perfis de

velocidade no projeto inicial----------------------------------------------------69

Figura 28 - Dis tr ibui~es de rcu no projeto inicial -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -69 Figura 29 - Perdas no

proj eto in icia 1---------------------------------------------------------------------71

Figura 30 - Trabalho espec ifico no projeto inicial -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -71 Figura 31 - Angulo de

montagem (a) e arqueamento (b) nos projetos inicial e atimo------------75 Figura 32 - Perfis otimizados para as pas do

rotor-----------------------------------------------------76 Figu ra 3 - Perfis de velocidade----------------------------------------------------------

- ------- ------- -76 Figura 34 - Perfis de momento angu lar por un idade de massa do fluido------ ------- ------- -------76 Figura 35

- Var ia9i io radial das perdas hidraul icas--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -7 Figura 36 - Dist ribui~ao radial de

trabalho especffico---- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -78 Figura 37 - His t6rico de otimiza~ao da solucao 'CRSI- 3' em

termos de (a) itera~es e (b) chamadas da fun9iio----------------------------------------------------------------------83

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Conjunto de modelos de perdas para a turbina--------------------------------------------4

Tabela 2 - Com paracac de tres versoes de CRSA-----------------------------------------------------62

Tabela 3 - Caracterist icas bas lcas do projeto inicial -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -6 Tabela 4 - Valores

adotados para os fatores empir icos de perdas--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -67 Tabela 5 - Dados de projeto, resultados

otlrnos do ensaio e resultados do programa

para 0 projeto inicial de Souza (1989)-----------------------------------------------------67

Tabela 6 - Anal ise do projeto inicial -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -68 Tabela 7 - Ponto de projeto e

restri~es de a ltu ra para a otimiza9ii0-- ------- ------- ------- ------- --72 Tabe la 8 - Restri~es de faixa para as variave is de

projeto-------------------------------------------73

Tabela 9 - Tres sotucoes encont radas usando-se 0 SQP-fmincon--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -73 Tabela 10 - soiucees

usando-se 0 CRSI modificado---- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --81 Tabela 1 - Cornparacao do projeto inicial com os

melhores resultados de otimiza~iio----------83 vi Simbologia

Letras Latinas a Coeficien te quadra tico da pararnetrlzacao ar Acele ra9i io b Largura axial da pa, coe ficiente linear da

parametrlzacao B Altu ra radial da pa, aproxima9iio para a matr iz Hessiana c Term 0 independente da paramamzacao c

Velocidade abso luta D Di!lmetro f Fun~ao objetiw, arqueamento do perfil da pa ARC a meia corda

Fr Forea

FE Nurnero de chamadas da fun~ao obje tiw g Fun~ao de restri~ao, coordenada do centr6ide, ace leraeao da gravidade

h Pior ponto da populacao H Altura de queda (energia por unidade de peso)

Id In tegral para 0 equ ilibrio radia l apes 0 d istribuidor Ir Integral para 0 equilibr io radia l apos 0 rotor K1 a K7 Coeficientes

das regressOes para rcu ICom primento da corda do perfil da pa I Melhor ponto da populacao m Fun~ao na correlacao

de desvio , massa M Fator de penall zaeao n Velocidade de rotaeao do roto r, numero de variaveis de pro jeto nqA Rota~o

especifica referente a vazi io vii N Nurnero de estacoes radia is, tamanho da populaeao

Npa Nurnero de pas p Pressiio, dire9iio de busca do SQP

QVaziio volumejrica

tomados no CRSA

p Ponto tentativa P Potencia , conjun to de pontos da populacao r Ra io generico, coordenada radia l no p lano merid iona l,

coordenadas dos pontos R Coordenada rad ial adimensional, raio de curvatu ra

Re Numero de Reynolds ~ Conjunto dos numeros reais

S Regiiio viavel do problema de otimlzacao t Passo da grade TS Sucessos totais u Velocidade circunferencial de um

ponto de raio r d a pa (u = wr) VVeloc idade gener ica w Velocidade relat iva xVetor de variaveis de projeto xComprimento

na paARC

XDm, XDu Coeficien tes de perda no tube de succao yGrandeza gen llrica a ser parametri zada







YTraba lho especffi co , energ ia por unidade de massa zCoordenada axial

Letras Gregas a Angulo do escoamento absoluto, ;lingu lo geometrico e de montagem da palhe ta diretriz, medida de

variabilidade local ~Angulo do escoamento relatiw, iingulo geometrico e de montagem da pa 1) Angulo de desvio do

escoamento na saida da grade E Deflexao do escoamento na grade, tole rancla na popu lacao viii V Angulo na pa ARC '1

Rendimento ~Coefi ciente de perda de perfil, parametro na corre lacao de Soderberg e Angulo po lar, ;li ngulo na pa ARC,

coordenada circunferencial ACoeficiente de perda porchoque, fatorde sub-relasacao ~ Viscosidade absoluta rr

3,14159265 p Massa espec if ica < II Angulo de arqueamento do perfil, iingulo na pa ARC w Velocidade angular do rotor, W

= 2nn 'V Operador nabla

Superescritos

• Referen te ao ponto 6timo, restr ici io ativada atua l Distribuiyiio de cu5 atual g rade Distr ibuiyiio de cu5 calcu lada de

acordo com as relaylies de grade L Limite inferior n Dimensiio do espaeo now Nova distribuiyiio de cu5 T Transposto

U Lim ite superior

Subscritos

o Deflexao nula, ponto de partida 1 Seeiio de entrada do distribuidor, deflexao niio-nula 2 Seyiio de saida do

distr ibuidor i x4 Seyiio de entrada do ro to r

5 Seyiio de saida do rotor ch Componente de choque d Distribuidor e Eixo f Referente ao fluido h Cubo ou raizda pa,

pior valor objetiw, hldraullco inc Com ponente de lncldancla j j-esima coordenada do vetor I Melhor valor objetiw L

Limite inferior m Meio da pa, componente meridional mec Mecanico p Referente ao ponto tentativa pa Pa ou rotor P

Perda Pch Perda por choque Pd Perda no distribuidor Pr Perda no rotor P(r + Is) Perda no rotor e no tubo de succao Pis

Perda no tuba de succao r Com ponente radial, rotor S Condicoes de estagnaCiio t Ponta da pa u Componente

circun ferencial U Lim ite super ior z Componente axia l

Abreviaturas

ANEEL Agencia Nacional de Energ ia Eletrica ARC Referen te a pa em formato de arco de circun ferencia x BFGS

Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shan no

CERPCH Centro Nacional de Referencia em Pequenas Centra is Hld rele tricas CFD Din iimica dos fluidos

computaciona l- Computa tional Fluid Dynamics CPU Central unlca de processamento CRSAAIgoritrno de Busca

Alea t6 ria Controlada - Controlled Random Search Algor ithm PC Computador pessoa l SQP Proqramacao Quadra tica

SeqOencial- Sequential Quadrat ic Programming

Siglas

LHPCH Laborator lo Hldromecanlco para Pequenas Cent rais Hldrelefr icas IEM Inst ituto de Engenhar ia Meciinica

UNIFEI Universidade Federal de l ta juba

Capitulo 1

Turbinas hld raull cas sao rnaqu lnas de fluxo de longa hist6 ria. Vern sendo projetadas, construidas e colocadas em

operacao ha cerca de duzentos anos.lnicialmente como substitutas das milenares rodas d'agua no acionamento de

moinhos, teares e pequenas manufaturas, as turb inas h ldrau llcas siio hoje, quase que exclusivamente , destinadas a

gerayii o de energia e lefrica, Para este fim especifico, a lias, qualquer motor hldraullco moderno deve preencher os

seguin tes requisitos tecnicos baslcos (Quantz, 1976): 1°) devem possibilitaro aproveitamento de uma grande gama de

sa ltos, cobrindo ampla faixa de alturas e vazOes d isponiveis; 2°)0

aprove itamento deve efe tuar-se com bons valo res derendimento e com boas caracterist icas hidrodini imicas, permi tindo 0 acoplamento do motor hldraul ico as rnaquinas

geradoras ainda que sejam variaveis as ccnctcees do saito (a ltu ra e vaziio), de modo que a lnstalaceo se ja ren tiivel;

3") 0eixo/aMre podera dispor-se hor izontal, inc linado ou verticalmente, segundo 0 exija 0acoplamento as rnaqulnas

geradoras; 4°) a ve locidade angular deve ser a mais e levada possfvel para que se consiga dessa forma acoplamentos

diretos ou transmlssoes com poucas multipllcaeoes: 5°) devem apresentar boa regulagem a fim de que sejam tao

adequados quanto outros tipos de motores (turbinas a vapor e a gas, motores diesel) para 0 serviyo nas centrais

eletricas; 6°) todos os elementos importantes, especialmente os 6rgiios de regulagem e mancais, devem ser de tacil

manutenyiio. As modernas turb inas hldraullcas dos tipos Pelton , Francis, Kaplan e hellce cumprem bern todas

2 essas condtcces, superando largamente outros tipos de motores hld raullcos e competindo economicamente com

outras rnaquinas motoras, como os ja citados motores diesel, turbinas a vapor e a gas.

Nos primeiros projetos de turbinas hidraulicas, a exper iencia do proprio engenheiro /p rojetista ,j untamente com

numerosos e dispendiosos testes com mode los tipo tentativa-e-erro, constitu iam as principais fe rramentas de pro jetodisponfveis. Aquantidade de tntormaeao empfrica era inclusive cornparavel aos metodos anaifticos viaveis de ate

enta~. Parte desse conhecimento empirico foi condensada em diversos diagram as e guias de projeto (usados ainda

hoje) que fornecem linhas gera is para 0 dimensionamento baslco das turbinas (Cord ier, 1955; Quantz, 1976;

Schweigere Gregori , 1989). Outra parte desse conhecimento ficou retida pelos pr6prios projetistas, sendo transmitida

de "mao-ern-mao", como uma heranca, aos pr6ximos times de engenheiros das empresas. De fato, em comparaeao

com outros tipos de rnaqu lnas de fluxo, como bombas, ventiladores, turbocompressores e turbinas a gas, pode-se







afirmar que sAo escassas as publ lcacoes tecn icas refe rentes a pro jeto e otimizat;;ao de turb inas h ldrau llcas,

o desenwlvimento de computadores digitais na segunda metade do seculo Xe sua apllcacao a analise do

escoamento em tarbomaqulnas, impulsionada primordialmente pelos avances no campo das turbinas a gas

aeronauticas (Denton, 1993), tornou poss ivel 0 uso de rnetodos complems de sl rnulacao nurnerlca de escoamentos

para anali se e projeto tam bam de turb inas hldraullcas, "0 projeto hidrodinAmico e a construcao de turbinas hldraul lcas

tem sido mais uma arte do que uma ciencia. Os elementos cientificos tornaram-se mais numerosos com os recentes

avances na tecnologia de analise de escoamento" (Ueda, 1982). Atua lmente, p rogramas dos tipos Euler3D e Navier-

Stokes 3D ja sac ferramentas-padriio no desenwlvimento de novas unidades de turbinas hldraullcas, podendo em

cerlos cas os ser ate usados com rotinas de otimizacAo (Lipej, 2004; Peng et al., 2002a e 2002b). Detalhes da

separacao do escoamento, fontes de perdas e suas distr ibuit;:lies em componentes, anali se acoplada de

componentes no ponto de projeto e fora dele, e babes niveis de pressao com risco de cavitat;;ao agora sao problemas

mais amenos de se analisar com a assim denominada DinAmica dos Fluidos Computacional- CFD (Drtina e

Sal laberger, 1999; "Design byNumbers", 1998).

Aapucacao dessas tecnlcas modernas de CFD para a predicAo do campo de escoamento alraws de uma turbina

inteira tem levado a uma melhorcompreensAo fisica dos feniimenos que ocorrem nesses escoamentos, com

consequenclas diretas sobre 0 proje to hid rodinAmico dos componentes da turbina . Alam dis so, 0 progresso nas

tecnicas

3 experimentais de medteao e testes com modelos a outro fator importante que tem contribufdo para essa

compreensAo mais detalhada dos feniimenos fluido-d inamicos em turbinas hidraullcas. No tocante iiparte

exper imental, inclus ive, os avaneos na analise numer ics computacional e a tecnologia de predicAo das caracter ist icas

de funcionamento nao eliminam os ensaios com modelos como meio para se melhorar 0 rendimento, especialmente

fora do ponto de projeto. Tais ensaios, no entanto, agora podem ser muito mais objetiws, sendo realizados em menor

nurnero e ja na fase final de projeto/pro to tipagem, reduzindo-se significativamente, assim, os custos com

experimentos (Ueda, 1982; "Design byNumbers" , 1998).

Mas embora os programas do tipo Navie r-Stokes 3D apresentem resultados bastante confiiiveis, reve lando detalhes

importantes do escoamento local e fornecendo predlcoes de performance mui to precisas, um esrorco computacional

significatiw a exigido com a geracAo e modificat;;ao de malhas e com a resotucao das complicadas equacees de

movimento (viscoso , 3D e nAo-permanente) em cada investigat;;ao numer lca . Porexemplo, na otimizacAo de

turbomaquinas, 0 contexte desta d lsser tacao, quando uma alte racao geometrica a efetuada pelo algoritrno de

onmlzacao, as malhas devem ser recalculadas e 0 campo de escoamento deve ser novamente avaliado pelo solver-

com seu alto custo computaciona l. Esse esforco freqOentemente impede a in tegrat;;ao de slmulacoes sofi sticadas do

tipo Navie r-Stokes 3D ao longo de todas as etapas de pro jeto (Dr tina e Sa llaberger , 1999; "Design by Numbers", 1998).

Alam disso, uma analise de precisao razoavel, mas simples e raplda, ainda e essencial para as fases iniciais do

projeto, quando a geometria nao esta complemente determinada (Oh e Kim, 2001; Yoon, et al., 1998). Em turbinas a

gas, porexemplo, sAo bastante comuns as publlcacoes sobre metodos computacionais de babe custo para analise e

projeto preliminares. Nesse ambito, e tipica a apllcacao de Metodos de Curvatura de Linha de Corrente com uma

modelagem simplificada para as perdas e desvios do escoamento (Yoon et al., 1998; Lee e Chung, 1991; Park e

Chung, 1992; Sullereye Kumar, 1984) ou mesmo anallses apenas na linha media -1 D - (Kackere Okapuu, 1982;

Souza Junior et al ., 2005), ta lvezainda ind ispensaveis para a otimizacAo inicial de um now projeto e para a predlcao

dos rendimentos atingiveis.

Tendo essas ccnelderacoes em mente , pode-se afirmar que metodolog ias lnte rmedla rlas de projeto, com babo custo

computaciona l, sao necessartas para as etapas iniciai s de proje to otimizado de qua lquer turbomaqutna. E no caso

particular de turbinas h idrau lioas, sAo a inda raramente encontradas na literatura . Essas metodologias consistem no

que se chama de onmlzacao conceptual, fomecendo uma geometria simples mas

4 suficientemente representativa para a descrtcao dos pr incipais parametros de proje to de rotores e estatores e

tambern levando a tendenclas corre tas para 0 campo de escoamento 6timo. Neste trabalho, uma tal metodologia a

desenwlvida para turbinas hldraul lcas axiais, do tipo hel ice- tubular.

/losconfigurat;:lies dos tipos bu lbo e tubular , inclusive , vem sendo usadas cada vez mais em diversos pa ises, entre os

quais 0Brasil, em detrimento as turbinas Kaplan convencionais de e im verti ca l. Ha de fate uma ni tida tendsncla

mundia l em dire t;;ao aos aprove itamentos de baixas e baixissimas quedas (in fer iores a 15 m) ate entao inexplorados

por questoes econOmicas, mas que agora, em vi rtude do esgotamento dos aprove itamentos tradicionais, com quedas

moderadas e altas, e por restri!(oes ambientais cada vez mais for tes, despontam como eJCCelentealternativa para a

expansAo da matr izh ldroeletrlca mundial, especia lmente na America do Sui, India, China , Sudeste /losiatico e Oeste e

Sudoeste M" icanos (Dansie, 1996; Subrahmanyam, 1982, Hind ley, 1996). No Brasil, em parti cu lar, 0 potencial

hldreletrico situase ao redor de 260 GW, enquanto que a potsncta instalada em nossas hldrelefrlcas e de cerca de 80

GW, ou seja, menos de um terce do potencial (sites do CERPCH e da ANEEL). Ha portanto muito espaco ainda para 0

desenwlvimento hldreletr lco brasi le iro. No tocante as turbinas axiais dos t ipos bulbo e tubular , espec ialmente

destinadas as baixas quedas, 0destaque vai para a reg iAo AmazOnica, onde diversos r ios de planfcie podem ser

aproveitados. Por examplc.ja se enconlra em fase de projeto bastco as duas maiores centrais de baixa queda do

mundo, a saber, as usinas hldreletrlcas de Jirau e Santo AntOnio no rio Madeira. SAo nada menos que oitenta e oito

turbinas do tipo bulbo, com rotores de 8 m de dlametro, que produzirao um total de 6450 r v n t V , um va lor significatiw parao desenwlvimento da RegiAo Norte do Brasil (Por to e t al., 2005).

Na metodologia proposta neste trabalho, dado 0 ponto de pro jeto (vazao e rotacao), restrit;:lies para a altura de queda e

a lgumas dlmensoes preestabelecidas para a turb ina, buscase uma configurat;;ao 6 tima para as geometrias do

distribuidor e do rotor de modo que a energia do escoamento seja absorvida da maneira mais eficiente, ou seja, com

maximo rendimento.







a projeto otimizado de out ros t ipos de rnaqulnas de f lu lCDaxiais, como bombas, wnt iladores, turbocompressores,

lurbinas a vapor e turbinas a gas tam bam poderia ser realizado conforme a metodologia deste trabalho, feitas as

devidas modificagiies. Aparamemzacao da geometria, a cond lcao de equilibr io radial e as tecnicas de otimizayao

seriam essenc ialmente iguais as apresentadas nos capitulos subsequantes.

Capitulo 2

Neste capitulo, def ine-se 0 problema de otimizal;!lo de projeto da turbina. Em linhas gerais, consiste na busca de

alguns parametres geometricos baslcos para as pas do rotor e para as aletas do distribuidor- as variawis de projeto

- de forma a maximizar 0 rendimento da turbina - a funl;ao objetlvo -, dadas algumas dlmensoes preestabelecidas, a

vazi!io volumetrica e a rotacao da maqulna, Aaltura de queda dispon iwl, resultan te da geometria de projeto inwstigada

e do par vazao-rotacao defin ido, dew permanecerentre limites infe riore superior, sendo essas as restrig iies nao-

l ineares do problema. Ha tam bam restril;oes latera is (ou de faixa) para as variawis de proje to , defin indo-se a regiao

viawl, ou regi!lo de busca do problema.

Em termos mais formais, tem-se um problema de mlntmlzacao nao-llnear, com restrigi ies, na fo rma:

sujeito a gi(x):S 0, i = 1" m (2.1)

minimizarf(x)xE S

xe 0wtor n-dimensional das variawis de projeto xj, j = 1" n. Aregi!lo de busca S e

definida por limites inferior e superior , xjL e xjU respectivamente, para cada componente de x:

S = {x E ~n : xjL :Sxj :SxjU, j = 1" n}. A f unyao objetlvo a f(x) = -rj(x), em que rj a 0

6 rendimento da turbina (de fin ida geometricamente pe lo wtor xe operando no ponto vazi!io-

rotacao dado). gi(x), i = 1" m, sao as m fungiies de restril;ao, a saber:

g1(x)=HL-H(x) (2.2)

g2(x) = H(x) - HU(2.3)

em que H(x) a a altura de queda disponiwl da turbina e HL e HU sao respectivamente limites inferiore superior, de

modo que se tenha HL:S H :SHU. Essa forma de impor as restrigiies quanto a altura de queda disponiwl, H, e

adequada quando se usam metodos de otimizayao baseados em gradiente e outras derivadas direcionais, como

Proqrarnacao Ouadranca sequenclet, I'v1iIximoDescenso, Gradiente Conjugado, e tc. Uma outra maneira de impor as

restr ig iies quanto a altura e penal izar a funl;ao objefivo:

!

-"'+M(H~ -H)\

t= - r "-1 +M(Jt"--H"")l., --- - [j ,

H<N!.

n, ~N'5,J

H>Hu

H HHHHMfrjrj (2.4)

a fator de pena llzacao Meum numero positivo suficien temente grande. Novamente, 0 ob jetlvo e maximizar 11

(minimizar -rj) com H pertencendo ao intervalo [HL ;HUj. Aescolha do fator de penallzacao M nao dew conduzir 0

processo de onmtzacao em direl;!lo a uma minimizayao da penalidade apenas, perdendo-se a lnfo rmaeao importante

da funl;ao objef ivo, i .e., 0 rendimento rj. Por outro lado, as restrigiies nao dewm ser violadas ao fim do processo de

conwrg~ncia. Logo, dewm-se perfazer alguns testes a fim de se poder escolher valores satisfat6rios para M.

a metodo de penallzacsc e mais apropriado quando se usam metodos de otimizal;!lo dos tipos populacionais, como

os Algor itmos de Busca Aleat6ria Contro lada, Geneticos e de ElIOluyao Diferencial. Porem, a medida que cresce 0

numero de restri~oes a serem impostas, um esquema de penalizaeao pode causar serlas instabilidades no processo

de conwrg~ncia , chegando ate mesmo a fazer fracassar a oumlzacao. Aescolha dos diwrsos fatores de penallzacao

nesses cas os tambern torna-se compl icada. a mesmo pode ocorrer em prob lemas rnu lfl-objefivos tratados comomono-objenvos por meio de somas ponderadas das diwrsas

7 fun~oes ob jetillO originais. Em tais casos, um outro rnetodo dew ser empregado para tratar eficientemente as

restr ig iies e/ou os var ios objef ivos (Oyama et aI. , 2005).

Como se percebe, sera fe ita a maximizayao do rendimento apenas no ponto de proje to, caracterizado pelo par vazao-

rotacao dado e pela fai xa de al turas de queda imposta como restri yao. No entanto, como regra geral, pode-se afirmar

que, ao se aumentar 0 rendimento no ponto de projeto (comumente, 0 rendimento maximo), me lhora-se a efici~ncia da

rnaquina em uma ampla faixa operacional em tome desse ponto (Ueda, 1982). Assim, espera-se que as turbinas

otimizadas segundo a metodologia desenvolvida neste t rabalho apresentem boas caracter is ticas de funcionamento

tambern fo ra do ponto de pro jeto, mesmo que isso n!lo tenha sido colocado como obje tillO do problema de otimlzacao.

Outro ponto que pode (e dew) ser levantado e 0 fato de n!lo se inserir a lgum parametro de cavitayao nos objetillOs ou

nas restrigi ies do problema. De fa to , embora a ava lial;!lo do fenOmeno de cavita l;!lo se ja um aspecto baslco no projeto

de turb inas h ldraulleas (L ipej, 2004; Peng et a I., 2002a), este trabalho esta focado apenas no rendimento da lurb ina.

Isso , no entanto, ainda e viawl para um pro jeto realista porque a cccr rencta de cavitayao pode ser evitada

preliminarmente controlando-se, porexemplo, os iingulos de lncldencla do escoamento na entrada do roto re 0

car regamento hid rodiniimico sobre as pas. Especificandose criterios como esses, pode-se realmente proceder a

ofimlzacao do rendimento da turbina com alguma sequranca contra os riscos de cavital;ao , 0 que a aceitawl num

estag io inicial de projeto. Como complemento a essa metodo logia lntermedlarla, uma tecnica mais sofi sticada,







usando-se CFD, pode ser aplicada no contexto de um projeto inverso otim lzado para as grades do distribuidor e do

rotor. Nessa etapa mais avancada, os perfis de velocidade inicialmente determinados na ofimlzacao conceptual sao

preservados ou levemente alterados ao mesmo tempo em que os perfis das pas sao desenhados de modo a garantir

minima ocorrencia de cavtacao,

Capitulo 3 PARAMETRIZA<;Ao DA GEOMETRIA DAS pfts

3.1 MODELO GEOMETRICO

A t urbina hldraullca axial considerada neste trabalho e uma turbina helice do tipo tubular, como mostram as Figuras 1,

2 e 3. Admite-se ainda um distribuidor cillndrico (i.e., sem conicidade) e aletas sem toreao ao longo de sua

envergadura.

o tratamento da geometria do rotor pode serfeito de diferentes form as , dependendo das lnforrnacoes que se

pretendem obtera partirdessa geometria. Porexamplo, para um estudo detalhado do carregamento hld rodlnarn lco

sobre as pas, com identificacl'lo de pontos de pressao minima e pontos de descolamento da camada-limite, seria

necessaria uma descrlcao porrnenorizada dos perfis das pas em qualquer estaeao radial. Um rnetodo de paineis, por

examplo, talvezfosse satisfat6rio para essa descrlcac em algumas se~es cilindricas, e a geometria assim

discretizada poderia ser interpolada de alguma maneira para que a descrtcao fosse completa ao longo de toda a

exiensao radia l das pas (span).

Aquantidade de parametros e variave is de proje to escolh idos deve ser compative l como 0 nivel de tnformaeao que se

pretende gerar a parti r da geom etria da

9 turbina. Um aspecto fundamental e a selecac dessas variaveis, que deve serfeita de modo a facilmente seidentificarem as melhorias de desempenho na fase inicial de projeto. 0 numero de vari;~veis de projeto ta rnbem

merece ateneao, pois inf luencia s igni ficativamente a convergi!nc ia do processo de otimizayao.

Figura 1- Esquema de central h ldre letrica de baixa queda com turb ina hellce do tipo tubu lar-S (re tirado de Quantz,

1976).

Figura 2 - Modelo reduzido de turbina hellce do tipo tubular, com tubo de succao desmontado para visualizacao do

rotor (LHPCH - UNIFEI ).

Para 0 nivel de otimizaciio a que se propee este trabalho, sera su ficien te a aval iayao das distribu i~es de velocidade

apenas nas secoes de entrada e de salda do

10 distribu idor e do rotor. Esse tipo de ln fo rmaeao ja viab iliza a estimativa dos pr incipais parametres energe ticos da

turbina , como potenclas, perdas e rendimentos. Nao sera necessar lo, por exernplo, 0 calculo do campo de

escoamento ao redordos perfi s das pas, posto que a principa l preocupacao e com relacao as defle lCfies resultantes

do escoamento nas grades. Logo, a geometria sera simplificada de forma que, juntamente com as equaeoes da

continuidade, equil ibrio radial e cor retaeao de desvio, seja a estritamente necessar ia para 0 calculo das distribui~es

de velocidade nas se~es de entrada e de saida do distribuidor e do rotor.

Tubo de Succao FlulCDRotor Distribuidor

EilCD

Figura 3 - Esquema da se~o meridional da turbina hellce considerada.

Turbinas hldraulleas axiais, especialmente as destinadas as babas quedas, como as dos tipos bulbo e tubular,

apresentam pas muito pouco arqueadas. AFigura 4 e a fotografia de um rotor helice para alturas de queda nem tao







babas, vislo que ele apresenta cinco pas; os rotores de babas e baixfssimas quedas tern apenas qualro ou ale

mesmo Ires pas. flllesmo assim, acham-se na Figura 4 perfis delgados e pouco arqueados para as pas do rotor, com

eJCCe9 iiotalvezpara as estacees mais proximas ao cuba (que sao mais espessas devido a requ isitos estrulura is) .

Decidiu-se entao aproximar as linhas medias dos perfis das pas (camber lines) por arcos de clrcunferencla (ARC) de

pequena curvalu ra, uma escolha razoave l para urn ro to r de turbina h ldrau llca axial de baba queda. Aespessura das

pas nao sera considerada nesle Irabalho, pois, como ja se juslificou, nenhum renorneno de cavitayao ou separaeao do

escoamento sera avaliado diretamente pela metodolog ia adotada. De fa to, quando os perfis sao suficientemente

delgados, a espessura nao conlribui para a

1 torca de sustentacao sobre 0 hidrof6lio: em urn perfil delgado e pouco arqueado, a espessura afeta apenas a

dlatribulcao de pressao, a sustentaeao sendo uma funyao somente do Ilngulo de ataque e do arqueamento do perfil

(Ieoria do aerof6lio delgado - Karamcheli, 1980). Sera, pois, suficienle considerar apenas as linhas medias (ou de

arqueamento) para 0 calcu lo das velocidades atraws da lurb ina, sem considerar as espessuras.

Figura 4 - Examplo de rotor helice (LHPCH - UNIFEI). Notar a esbeltezdos perfis.

Dessa forma, em uma dada estaeao radial, 0 perfil da pa ARC e completamente definido pelo Ilngulo de montagem da

corda (stagger angle), 1 3 , comprimento da corda, I, e arqueamento maximo (posicionado a meia corda) , f, Figura 5.

Como 0 numero de pas e previamenle fiJCadoneste Irabalho, ou seja, nao e uma variave l de proje to , a especlficacao da

corda e da flecha do perfil e equivalenlemente obtida pe la especlflcacao das ra2fies corda-pas so (chord-pilch ralio) , lit,

e f lecha-corda (relative camber), tn , consideradas mais apropriadas de se lrabalhar por serem adimensionais.

Portanlo , os parl lmetros geomelri cos de pro jeto de uma grade do rotor sil o, 1 3 , l it e fn .

Essa esco lha e adequada porque, alem de serem grandezas di retas para se especificar num dimensionamento,

levam a todas as caracterislicas geometricas e clnematicas necessarias das grades numa fase ini cia l de proje to , tais

como Ilngu los de lncidsncla , Ilngulos de arqueamento, Ilngu los de ataque, Ilngulos de desvio, deflexfies, etc.

fl b

Figura 5 - Linhas medias dos perfis de pa ARC em uma estacao radial com as geometrias de projeto do rotor.

Aseguir, mostra-se como, a partir de 1 3 , li t e f / l , obtiim-se os demais parametres geometricos da pa ARC. Numa dada

estacao radial de raio r, 0 passo I e dado por:

rtrr2=(3.1 )

paN onde Npa e 0 nurnero de pas. Logo, dadas as relacoes lite fll, calculam-se os comprimentos da corda e da flecha

respect ivamente por:

1)/(1=(3.2)

1)/(f=(3.3)

e definindo-se completamente a linha media da pa ARC, Figura 5. A corda axial b e dada

por: I3senl=b(3.4)

Tendo em vista a Figura 6, tem-se pelo teorema de Pi tagoras:

2)2/(paRx=+1(3.5)

A f lecha fetal que:

/=R',II -x

13 pe lo que:

(3.6)

2)(fRxpa-=(3.7)

Das Equayees (3.5) e (3.7) , obtem-se:

222224/papapaRffRR=+-+1(3.8)

ou

21+=(raio de curvatura do perfi l) (3.9)

f {I.R. "'-+-

P 'f 2 8}







equaeao essa que mostra ser a raio de curvatura do perfil, Rpa, fun~!lo apenas da corda I e da flecha f.

Rpa Rpax (ate a linha da corda)

--"~/9 ~ ~,

Figura 6 - Geometria da pa ARC. Tem-se ainda:

,=

a r c s e n ( ~ : J2/arcsenlcp(3.10)

pny-=2/ (3.1)

paR

cpn9-=2/(3.12)

e Com isso,

cpp9yrrP+=--=4(l ingulo geometr ico de ent rada da pal (3.13)

Para uma pa em ARC, a raio de curvatura tambern pode ser calculado par:

45coscos pp-=bRpa(3.14)

de modo que

fJ s '= arcc o s ( . . . . ! : . _ _ + c o s fJ , J .

R""

(angu lo geometrico de salda da pa l (3.15)

As Equa96es (3.1) a (3.4), (3 .9 ), (3.13) e (3.15) fomecem todas as grandezas geometricas necessarias para a ca lculo

do escoamento nas secees de entrada e de salda das grades do rotor. Para a geometria do distribuidor, como as

aletas n!lo sao torcidas ao longo do raio, um unlco lingula de salda, a2, e suficiente como variavel de projeto, devendo

a restante da geometria das aletas ser previamente estabelecido . Essa escolha permiflra ao programa de otimizacao

a lte rar a quantidade de movimento angula r do fluido que a distribuidor "descar rega" para a rotor, buscando-se um valor

tal que fa-.ore~ as melhores condicoes de absorcao da energia do fluido pelas pas. De fato, a otimiza~!lo da

geometria somente do rotor, em geral, e insuficiente para se obter grandes aumentos no rendimento da turbina como

um todo (Ueda, 1982).

Na Figura 7, apresentam-se as geometrias de projeto numa estacao radial para as grades do distribuidore do rotor.

f I

Figura 7 - Geometrias de projeto em uma estaeao radial (grades do distribuidor e rotor).

3.2 PARAMETRIZAYAo

Escolheu-se parametrizaro l ingula de montagem, 1 3 , a razao corda-passo, lit, e a arqueamento rela tlvo, fn , em termos

dos valores dessas grandezas nas estaeoes radiais referentes ao cuba, meio e ponta das pas, au seja, 0%, 50% e

100% da envergadura, respectivamente.lsso leva a 3 x 3 = 9 variaveis de projeto para a rotor. Somando ainda a unlca

variavel de projeto escolhida para a distribuidor (a2), resulta um total de apenas 9 + 1 = 10 variaveis de projeto para a

turbina inteira.

Em geral, uma paramemzacao deve permitir boa reproducao de toda a geometria, ainda que alguns detalhes de menor

importiincia sejam neg ligenciados. Alem de facili tar as alteracoes geometricas durante a processo de onmlzacao, a

parametrlzacao e mui to importan te para se reduzi r a nurnero de variaveis de projeto numa turbomaquina, sendo usada

ate mesmo na geracAo e modttlcacao de malhas em problemas tratados via CFD (Drtina e Sallaberger, 1999; Lipej,

2004; Oyama, 2005).

Dentre as muitas possib ilidades de parametrl zacac, optou-se por funcoes parab61icas para se descrevera geometria

das pas ao longo de toda sua extens!lo radial. Ha de fato diversas maneiras de se parametrizar a geometria, sendo

que a forma mais

16 adequada e conveniente talvez s6 possa ser determ inada par meio de um estudo parametrico. Neste trabalho, tal

i nvestigacAo n!lo foi realizada, mas mesmo assim acredita-se que a escolha de parabo las seja razoavel para

aproximarsa tisfatoriamente as confiquraeoes geometricas usua lmente encontradas em turbinas hld raullcas axiais. Na

Figura 8, reproduzida do ar tigo de Lipej (2004), encontra-se a angu lo de montagem ( 1 3 ) e a arqueamento rela ti vo (fll)

segundo as parametrlzacoes adotadas par esse autor.

Em bora nao as cite explicitamente, dlzendo somente que poderiam sercompostas por funcoes lineares au de ordem

mais a lta , percebe-se cla ramente pela figura que fun96es po linomia is, exponenciais au logarltmicas sao fortes







candidatas a servir de parametrlzacao.

" ' , \ .o

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-_runlC"1 ~

_lunl1G:l.!).

~r~InIH::r9

-(;o-llInlle 10

Figura 8 - Pararnetrlzacao da geometria do roto r no trabalho de Lipej (2004).

Alem disso, a geometria do rotor da turbina hldraullca projetada por Souza (1989) - que sera usada mais adiante para

as comparacoes com os resu ltados da otimiza t;:ao - e razoavelmente reproduzida pelas parametrizacoes parab61 icas

propostas, como mostra a Figura 9.

Seja yqualquer uma das tres grandezas a serem parametrizadas (~, lit ou tn). yh, ym e yt sao respect ivamente os

valores de ynas estacoes do cubo, meio e ponta das pas, cujos raios, adimensionalizados pelo raio da ponta (rt), sao

Rh (= rh I rt), Rm (= rm I rt) e Rt (= rt I rt = 1), Figura 10. Tem-se entao 0 seguinte sistema linear em a, b e c oriundo da

parametrlzacao y = aR' + bR + c, Rh S R S 1 :

~;-s«, + C= Yh

I R , ; + b R I O + C =

1 + b+ c= V.

t m ycba ycbRaR ycbRaR22

(3.16)

k1 gul 0 de mo nta 9 em da co rd a, 9 r au s

Projeto de Souza (1989) Parametrizat; :ao

Ramo cord a - p a sso,

Projeto de Souza (1989) Parametrizat; :ao

Figura 9 - Parametri zayCies parab61icas para a geometria do ro tor de Souza (1989). y

Rt= 1 ytym

Rm Rh

Figura 10- Esquema de parametrlzacao de uma grandeza generica das pas, y.

18 Aforma matr icial para 0 sistema (3.16) e :

1 1 ( < 1 ) - ( Y ;1 1 b -. y"

1 C s ,

mh m yyyba R

( [A] {abc} = {y } )(3.17)

Como Rh, Rm e Rt (=1) sao todos distintos entre si, a matriz [A] e nao-alnqular pelo teorema de Vandermonde e logo

esse sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer

(Alonso et al. , 1990). Para tal, calcula-se:

R 'b

det A = R~

RI,

R.! 1·= CR ," - R ,,)( R .. + R. - R .. R .-I)

1 1hR

A(3.18)






25/04/12

s, 1

R,. 1'" )I" (R ,, , ~ l) + )I", (ll- R,,) + y, (R . ~ R",)

I

Guia para dimensionamento de turbinas hldraullcas

detmhthmmhtm h

R R yR yR yy R y R y

a-+-+-==(3.19)

i ? , ; Y.

del/) =R,~ s; = = )I " (I ~ R ,;) '" Y m(R ~ -I)+ )I, (R ;, ~ R ;)Y,

hmthmmhtm h

R R yR yR yy yR y R

b-+-+-==

(3.20) Agora, pela regra de Cramer:

Aadet

det=(3.21)

Abdet

det=(3.2)

bayct--=(3.23)

e , pela terce ira equaeao do sistema (3.16): 0 que conclui 0 calculo da parabola de parametr lzacao adotada.

19 N!lo e eJCageroenfatizar, novamente, 0 carater conceptual do projeto otim izado proposto neste trabalho. Nesse

estag io do d imensionamento da turbina , os padriies obtidos para os perfis de velocidade a partir da geometria

considerada sao mais relevantes que a pr6pr ia geometr ia, em bora esta tarnbem seja representat iva const rutivamente.

Um proced imento complementar poderia ser a o timiza~!lo do projeto inverso das grades, garantindo as dlstnbu lcees

de velocidade inicialmente ca lcu ladas na otimizac!lo conceptual . De fato, tal abordagem vem sendo efetuada em

questoes mais cornplexas de onmlzacao de turb inas hidraulioas, onde 0desempenho de cav itac! lo tarnbern e um

objetillO do problema e programas CFD do tipo Navier-Stokes 3D sac empregados como solver. No entanto, como ja

citado anteriormente, 0 alto custo computacional nesse tipo de anal ise ainda e um fator l imitante para 0 processo de

onrn lzacao. Nesta d lsser tacao, mais uma vez, 0 objetillO e desenvolver uma metodologia de proje to lntermediarla , de

babe custo computaciona l, viavel de se perfazer rapidamente em um unlco computador (PC) e que preceda a ana llses

mais sof is ticadas para ja adiantarresul tados baslcos importantes.

Capitulo 4

Repete-se a segu ir a Figura 3, onde se apresenta 0esquema da secao merid iona l da turb ina h ldrau llca considerada

neste trabalho, i. e., uma turb ina helice do tipo tubu lar, com distr ibuidor cil lndrico e ale tas sem torC!lo ao longo do raio.

Tubo de suceao RotorDistribuidor

Figura 1- Esquema da sec!lo meridional da turbina hellce considerada.

Neste capitulo, sera oesenvolvoo 0 procedimento de calculo das distribu icOes de velocidade antes e apes 0

distr ibuidor (esta tor ) e antes e apes 0 rotor. Para tal, sera imposta a condlcso de equilibrio radial das maqulnas de

flum axiais. 0desvio angular do escoamento na saida das grades sera ava liado usando-se correlaeoes empiricas

provenientes da l iteratura. Uma vezestabelec idas as dis tr ibuicOes de veloc idade, calculam-se as perdas hidraul lcas

atraves da turbina, tambern por meio de correlayOes, e a potsncta absorvida pelas pas, usando-se agora a equacao de

Euler para as turbornaqulnas - equacao integral da quantidade de movimento angular. Com is so, temse 0 rendimento

da turbina (0 alvo da onmlzaeao) e a altura de queda d isponlvel , que sera submetida a restrl coes.

Os desenllOlvimentos que se seguem fazem referencia as Figuras 12 a 15 para a convsncao de pontos e defini~Oes

dos triAngulos de velocidade. Os Indices he t referem-se respectivamente as estayOes radiais do cubo (hub) e da

ponta das pas (tip). c e a ve locidade absolu ta , w e a velocidade relativa e u e a veloc idade c ircunferenc ial (ou de

condueao) das pas. a e J3 sao respectivamente os Angulos do escoamento absoluto e relatlvo, med idos a partir da

dire~!lo ci rcunferencial (convenc! lo alem! l) . Os Indices u e m correspondem respect ivamente aos componentes

c ircunferenc ial e mer idional da veloc idade. Por exernplo, cm5h e 0 componente meridional da ve locidade abso luta na

sec!lo de saida do rotor, na estacao do cubo.

DistribuidorRotor

r Tubo de suceao Flum

1:entrada do dist ribuidor ; 2: salda do dis tr ibuidor

Figura 12 - Convenc!lo de pontos na sey!lo meridional da turbina. 4: entrada do rotor; 5: saida do rotor







RotorDist ribuidor u

em uma secao ci lindrica.

Figura 13 - Representacao das l inhas de cor rente absolu tas lnstantaneas

Figura 14 - Com ponentes de wlocidadeFigura 15 - Triangulos de wlocidade

nas grades do distribuidor. nas grades do rotor.

234.1 EQUAC;Ao DE EQUILIBRia RADIAL

Aequacao da quantidade de movimento na dire9i!0 rad ial e tambern conhecida como equacao de equ ilibria radial. Em

maqulnas de flUlCOaxiais, essa equacao desempenha papel fundamental no estabelecimento das distri bui90es de

wlocidade. Neste trabalho, a equacao de equilibria radial sera usada em conjunto com as equacees da energia e da

continuidade para relacionar as com ponentes meridional e ci rcunferencial da wlocidade abso luta ap6s a distr ibuidor(cm2 e cu2) e ap6s a rotor (cm5 e cu5). Isso e realmente necessaria para que a campo de wlocidade a ser obtido seja

compatrwi com as principios ftsicos de conservacao de energia , massa e quantidade de movimento.

Aequacao de equilibria radial pode ser obtida da maneira como se segue.

Admite-se um escoamento com simetr ia axia l e incompressiwl. Desprezam-se as forcas viscasas eo componente

radia l da wlocidade, au seja, supce-se um flu lCOpuramente axial na pro je~iio merid iona l. Admite-se ainda escoamento

absoluto em regime permanente no estator e escoamento re latbo estao lonarlo no rotor.

r z c zu dl.da p e dp p

Distribuidor Rotor

Figura 16 - Elemento de fluido no recinto entre a distribuidor e a rotor.

Aplicando-se a 281ei de Newton para a movimento ao elemento de fluido representado na Figura 16, tem-se:

d F = a d m (4.1)

sendo a fo~ resultante sabre a elemento de massa dm e Fr dar, sua aceleracao medida de um referencial inercial.

Tomando a componente radial de ambos as wtores:

r=(4.2)

»dmdraF

a componente radial da aceleracao e a aceleracac centr ipeta dev ida a wlocidade c ircunferencial cu. Logo:

(4.3)

cd u r2

a componente radial da for9a resultante tem origem nas pressoes estilticas pep + dp nas faces do elemento (Figura

16):

d F ) , = prdildl: - (1' +dp)rdedL = -dprdedL

Das Equa90es (4.3) e (4.4), e sendo dm = p r de dL dr, tem-se:

(4.4)

rcdr

p=(Equacao de equil ibria radial) (4.5)

Essa e a equaeao da quantidade de movimento na direcao r, cham ada de equacao de equilibria radial. Usando agora

a equacac de Bernoulli para a rotor (Bran e Souza, 1979):







IV II

- - - = = cons tan te2 2p(4.6)

=-+ uwp onde 0 efeito gravi tacional ja fOra negligenc iado, tem-se por diferenclacao:

~ =O2

p(4.7)

=+ dwdp

Observe que, como se despremu anteriormente 0 componente radial da l lelocidade, admitiu-se implicitamente linhas

de corrente paralelas ao eim da rnaqulna (ramallel como primeira aproxrnaeao numa turbina hld raullca axial), e ,

portanto, u = wr e suposlo constante ao longo de uma dada linha de corrente. Dos triangulos de velocidade e da

equacao de Eu ler das turbomaqulnas, tem-se :

2 2 2 2'("~-C5 W,-W4

u(c".,c"·')=--2-+ 2

ccuYuupa-+-=-=(4.8)

wce

de" dill1

·l(ac )=--+-" 2 2

ucddYupa+-=-=(4.9)

Impondo-se agora Ypa = constante na Equacao (4.9) - trabalho especifico uniforme ao longo do raio -, ob tem-se :

O=padY (4.10)

constante=urc("wrtice potencial") (4.1)

22dwdc=(4.12)

Alem disso,

uuuuurdcdrcrdcdrcrcd-==>=+=0)((4.13 )

Com binando as equacoes de equ illbrio radia l (4.5) e Bernoulli (4 .7 ):

rcuu-=(4.14 )

2 2dwdrce usando as Equa~es (4.13) e (4.12), chega-se a:

rcuu-=-(4.15)

c dc'__ ! !_ (- rdc )=---r " 2

ou seia:

0)(2=-uccd(4.16)

ou

constante02=¢>=mmcdc(4,17)

Assim, Ypa = const. => rcu = const. e cm = const. numa maqulna de flum hldraullca puramente axial.

lnvsrsamente , supondo cm = const., pode-se provar que Ypa = const. Da Equa~iio (4,9):

ducudcucddYuuupa--=-=)((4.18)

260u

drcrdcdYuupaww--=(4.19)

pelo que:

drc--=w(4.20)

upau rdcdYem que u = wr, com w sendo a velocldade angu lar do rotor,

Usando novamente a Equa9iio (4 .14) (equilib rio radial e Bernou lli) e a Equa9iio (4.9 ), deriva-se:

C dc2

_ _ !! _c d r =----r N 2

pauu dYdcdrc r

(4.21)

2 que com a Equayao (4.20) Io rna-se :

pau pau dYdcrdc







au

w(4.2)

d~ (. c. ) dc' de:y d l~- ..~--+-p WI' 2 2

uupa

(-w(4.23)

Usando-se agora a hip6tese de cm = const. na Equacao (4.23), hip6tese esse que leva diretamente a e' - cu' = const.,

ou de' - dcu' = 0, obtem-se:

cdYupa(4.24)

Logo, ou cu = u ou Ypa = const. 0 caso cu = u e um caso particular sem interesse pratico para turbinas hldraullcas

axiais, pois leva a um grau de rescao te6rico de apenas

0,5 e um angulo de entrada no rotor (34= 90', valor muito alto para uma turbina axial.

Conclui-se dessa maneira que cm = const. ~ Ypa = const. (rcu = const.) em uma maqulna de fluJ«) hldraullca axial, de

acordo com a condtcao de equil fbrio radial. Ahip6tese de IIOrtice potenc ial e de fato muito usada nos projetos de

turbinas axiais, pois constitu i uma sotucao extremamente simp les para a equaeao de equil ibrio radial, com

dis tr ibuicdes uni forme para a velocidade meridional e trabalho especi fico, e hiperb61ica para a veloc idade

c ircunferenc ial. No entanto, s6 e ver if icada na pratica se a tor~ao radial das palhetas diret rizes (aletas do dis tr ibuidor)

realmente assegurar a formacao do "IIOrtice potenc ial" no recinto entre 0 distr ibuidor eo rotor . Para isso, 0 ilngulo de

saida a2 deve crescer do cuba para a ponta de maneira tal que, juntamente com a velocidade meridional e 0 desvio

angular do escoamento na saida das grades em cada estacao radial, se obtenha rcu2 = const. Se esse nao for 0 caso,

a d latrlbul cao de velocidade meridional nao sera uniforme ao longo do raio, assim como a d istribuicao do trabalho

especifico das pas. Alem disso, a condtcao de wrtice potencial nao constitui, necessariamente, a configuracao 6tima

para 0 cam po de escoamento. Logo, 0 correto equ ilibrio radial devera ser considerado no in tu ito de se obter per fis de

velocidade mais realistas e otimizados.

4.2 EQUILIBRIO RADIAL AP6S 0 DISTRIBUIDOR

Admitindo escoamento incompressfve l e em reg ime permanente no distribuidor (esta to r), a equacao da energia (1alei

da Termodinilmica), e escrita como (Foxe McDonald , 1998):

PdSSYppp=-21 (4.25)

em que pS e a pressao de estaqnacao (pS = p + Yopc2), pea massa especifica do fluido e

VPd e a perda de energia mecanlca por unidade de massa que ocorre no distribuidor, devido as irreversibilidades do

escoamento.

Na entrada do distribuidor, a pressao estauca, p1, e a velocidade, c1, sao admitidas constantes, de modo que pS1 euni forme ao longo do raio. Portanto, der ivando a Equacao (4.25), obtern-se:

drdYdr

dpPdSp=-2(4.26)

Aequacao de equilibr io radia l (4 .5 ) na saida do distribu idor e escrita como:

rcdr dp u2 2p= (4 .27)

28 Da defin icao de pressao de estaqnacao, pode-se escrever:

222umSccpp++=p(4.28)

dPn dp; dC rn1 dC .2--=-+pc --+pc --dr dr ..2 dr ·.2 dr

e

dc c d c c d rdp dr

2pp++=(4.29)

Usando a equacao da energia na forma (4 .26) e a equacao de equil fbr io rad ial (4.27) em (4.29), obtem-se:







dc c dc c rcdr

2pppp++=-(4.30)

2 que pode ser rearranjada como:

dYrdcrc

u+++=2222220

rccPdmmu

(4.31)ou

dYrdcrc

0(4.32)

A Equa~o (4.32) expressa a condtcao de equilfbrio radial ap6s 0 estator.

DistribuicOes de cm2 e cu2 que satisfazem a essa equacao estao em conformidade com os princlpios de conservacao

de energia e quantidade de movimento. Embora algumas slmpllficacoes tenham side feitas para se chegar a Equa~o

(4.32) ( fo~as v iscosas despreziwis na dire~1!o radial, f lU lCO puramente axial na proje~1!o meridional, pressao de

estagna~1!o un ifo rme na entrada do dislri buidor), a obsetvancia dessa re la~o conduza tend1!ncias reali stas para 0

nucleo do escoamento em turbornaquinas axiais. Novamente pode-se observar que com a hip6tese de wrlice

potencial (rcu2 = cons!.) e desprezando- se 0 efei to das perdas sobre 0 equil ibrio radial (dVPd I dr = 0), obtem-se de

(4.32) cm2 = cons!., tal qual fora demos!rado na se~o anterior usando-se a equacao de Bernoulli

(que de fato pode-se aplicarquando sao desprezados os efeitos viscosos).

Dividindo agora ambos os mem bros da Equacao (4.32) por r e reagrupando, chega-se finalmente a:

d(c,! ./2+ Y/'iIl _ c.~d(rc.ll

e l l ' r dr

01 ]

dr rcdrc dr

(4.3)

lee;"~ 12 + V,,,) _ J d(I",,",)

;I!. _- 2 1 " ' - - -- ; ;-

dr rcd rdr

Ycd uPdm 22

(4.34)

equacao essa numa forma conwniente para ser integrada e expressar cm2 em termos de rcu2. Como ultima

slmptlffcacac, 0 efei to das perdas hldraullcas sobre 0 equilfbrio rad ial pode ser neg ligenciado na Equa~1!o (4 .34), ou

seja, admite-se dVPd I dr = O.Note que n1!o esta sendo afirmado serem nulas as perdas no dislribuidor, mas apenas

que seu efeito sobre 0 equil ibrio radial na EquaC1!o (4.34) e desprez iwl (Peng etaL, 2002a).

disso, citando Denton (1993), "muitos escoamentos sao dominados pelas leis de

Essa affrmaeao sera tanto mais w i ida quanto mais uniforme for 0 perfil de VPd. Alem conaervacao de massa, energ ia

e quant idade de movimento, e n1!oporefeitos viscosos detalhados. 0poderdas equacoes de conservacao nunca

dew ser subestimado e modelos de escoamento que nao satisfayam a essas equacoes estao fadados ao fracasso".

Dessa forma, tem-se:

dr rcd rdr

2)(1 )(-=(4.35)

2 que ap6s a integra~1!o do cubo (rh) a um raio r generico torna-se:

hmm h dr dr rcd

)(1)((4.36)







_ 1 (--) -, l' Id(rc",)'Cmi~ r - Ci.it~fr = 1'","- ~~

Definiudo:

IJ(r) = 1 ' -J, d(rc",)2'. 1'- dr

dhdrdrrcd

)(1)((4.37)

escreve-se explicitamente a distri buiyao de ve locidade meridional ap6s 0 distr ibuidor sati sfazendo ao equilib rio radial

ao longo de lodo 0 raio:

22rlcrcdhm m+=(4.38)

Acontinuidade geral e agora imposta para 0 calculo da velocidade meridional na estacao do cuba (cm2h); Q e a vamo

volumetr lca atraws da turbina:

rmrdrrcQ)(2n(4.39)

Q = I " r .

au

[' C m1 (r)rdr =2 QI). 7r

rm=J(4.40)

Subst itu indo a Equacao (4.38), obtem-se finalmente:

rdhm= .+J(4.41)

A Equayao (4.41) e uma squacao nao-llnear - com a inc6gnita em uma integral- para ajustar cm2h de acordo com a

continuidade geral e a cond lcao de equ ilibrio radia l. Para reso lve-la, esco lheu-se urn rnetodo de blssecao padrao do

MatLab® (funyao fzero). J a a integrayao em (4.41) e realizada numericamente segundo a regra de Simpson (Silva e

Miyazima, 2000).

o calcu lo da integralld( r) em (4.37) exige 0 conhecimento prellio da distribu iyao do momenta clnernati co rcu2(r).

Porsm, os componentes circunferenciais cu2 sao calculados usando-se os componentes meridionais cm2 ainda nao

determinados. Logo, urn procedimen lo itera tiw teve que ser adotado. Prime iramente assume-se uma disfrlbuicao

uniforme para cm2 (= Q/[n(rt2 - rh2)]). Com isso, alguns valores de rcu2 podem ser calculados usando-se as relayliesde grade (geometria e corre lacao de desllio) em N estayl ies radiai s (ver item 4.4). Uma distribu icao parab61ica na

forma rcu2 = K1 +

K2r + K3r2 e entao ajustada a esses N valores usando-se minimos quadrados (Silva e Miyazima, 2000). Aescolha de

uma distribuicao parab61ica e realmente adequada para tu rbinas hldraullcas axiais, po is reproduzmuilo bern os

padr1 ies tip icos de g iro (Peng et al ., 2002a) , pode recuperar 0 ..o rtice potencial (caso particu lar importante) e te rn

fo rnecido boa preclsao no prob lema em questao . Em seguida , essa d istribuicao parab61ica e usada no calcu lo

analftico de Id(r) em (4.37),0 que possibilita a determlnacao do perfil de cm2 (4.38) ap6s a resolucao da Equayao

(4.41) para cm2h. Essa nova d istribuicao de cm2 e agora usada para recalcular os valores de rcu2 nas N grades e as

l teracees continuam ate que 0 cam po de velocidade na saida do d istribuidor con llirja ,

F igura 17.

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