IND 1115 Inferência Estatística Aula 6 - · PDF fileA distribuição Normal Bivariada ... distribuição de probabilidade contínua usada para dados positivos

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IND 1115Inferência Estatística

Aula 6Setembro de 2004

Mônica BarrosMônica Barros


ConteúdoConteúdo

A distribuição LognormalA distribuição Normal BivariadaA distribuição Beta e sua relação com a Uniforme(0,1)


A distribuição LognormalA distribuição Lognormal

A distribuição Lognormal é uma distribuição de probabilidade contínua usada para dados positivos.

Esta distribuição é freqüentemente usada na modelagem do preço de ações e outros ativos financeiros, e também pode modelar o tempo até a ocorrência de um defeito de uma máquina.


A Distribuição LognormalA Distribuição Lognormal

Como criar uma variável lognormal?Seja X ~ N(µ, σ2). Seja Y = exp(X). Então Y tem densidade Lognormal com parâmetros µ e σ2.

A densidade de Y pode ser facilmente encontrada pelos métodos usuais (por exemplo, o método do Jacobiano), e édada por: ( )2

22

log( )1 1( ) . .exp onde y > 022

yf y

yµ

σπσ

− = −



Exemplo – Lognormais com µ = 0.05 e 0.25 e σ = 0.30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.51.323

0

f x 0.05, 0.30,( )

f x 0.25, 0.30,( )

70.01 xmonica@[email protected] 6


Atenção:A distribuição Lognormal, ao contrário do que o nome indica, não significa a densidade do logaritmo de uma variável Normal, pois uma variável Normal admite valores negativos, onde o logaritmo não está definido. Uma variável aleatória com densidade Lognormal é encontrada tomando-se a exponencial de uma variável aleatória Normal!


Lognormal como modelo para Lognormal como modelo para o preço de uma açãoo preço de uma ação

Uma forma de descrever a incerteza sobre o preço de uma ação é supor que as variações no preço entre os instantes t e t+∆t podem ser divididas em 2 componentes, uma aleatória e a outra determinística, como a seguir:

onde Z é uma variável N(0,1) e µ e σ > 0 são parâmetros conhecidos. O parâmetro µrepresenta a taxa média de crescimento do preço ao longo do tempo.

( ){ }. exp . .t t tS S t Z tµ σ+∆ = ∆ + ∆


Lognormal como modelo para Lognormal como modelo para o preço de uma açãoo preço de uma ação

Note que, se σ = 0, a evolução dos preços épuramente determinística, e então:

Nesta expressão percebemos que a tendência determinística dos preços é crescente desde que µ > 0.Se σ > 0 então existe uma componente aleatóriano comportamento dos preços. Esta componente aleatória é dada por uma variável aleatória N(0,1), e assim o efeito desta variável pode ser o de atenuar o crescimento determinístico no preço, pois Z pode ser negativo. Note que a variável exp(Z) é Lognormal.

( ){ }. exp .t t tS S tµ+∆ = ∆


Propriedades da distribuiPropriedades da distribuiçãção o LognormalLognormal

Teorema (média e variância da Lognormal)

Se Y ~ Lognormal(µ, σ2) então:E(Y) = exp( µ + σ2/2)

Demonstração – faça em casa – use a fgm de uma Normal.

( ) ( )22( ) exp 2 . 1VAR Y eσµ σ= + −


Lognormal (para casa)Lognormal (para casa)

Sejam Y1 e Y2 variáveis Normais independentes com médias 4 e 2 e variâncias iguais a 1. Sejam X1 e X2 definidos como: X1 = exp(Y1) e X2 = exp(Y2) .Defina uma nova variável W como:

a) Calcule E(W)b) Calcule VAR(W)

W e X X= 212

23. .


Lognormal (para casa)Lognormal (para casa)

Dicas:1) Se X tem densidade N(µ, σ2) então sua função geradora de momentos é: exp(µt + σ2t2/2)2) Se U é uma variável qualquer então : VAR(U) = E(U2) - {E(U)}2

Não é necessário especificar completamente a densidade da variável W - você só precisa calcular sua média e variância.


A distribuição Normal A distribuição Normal BivariadaBivariada

É uma distribuição conjunta para duas variáveis X1 e X2, ambas Normais e, a princípio dependentes.

A densidade conjunta é dada por:

Onde R é:( ) ( )1 2 22 2 2

1 2

1 1( , ) .exp .2 12 1

f x x Rρπ ρ σ σ

− = −−

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

2. . .x x x xR µ µ µ µρσ σ σ σ

− − − −= + −



Esta densidade conjunta é chamada de densidade Normal Bivariada com parâmetros µ1, µ2 , ρ, σ1

2, σ22 , onde µ1 e µ2

são números reais quaisquer, ρ estárestrito ao intervalo (-1,1) e σ1

2, σ22 são

positivos.

Se (X1, X2) ~ N( µ1, µ2 , ρ, σ12, σ2

2 ) então:



A densidade marginal de X1 é N(µ1,σ12)

A densidade marginal de X2 é N(µ2,σ22)

As densidades condicionais também são Normais. A densidade condicional de X1 dado X2 = x2 é:

A densidade condicional de X2 dado X1 = x1 é:

( ) ( )2 211 2 2 1 2 2 1

2

( | ) ~ . . , . 1X X x N xσµ ρ µ σ ρσ

= + − −

( ) ( )2 222 1 1 2 1 1 2

1

( | ) ~ . . , . 1X X x N xσµ ρ µ σ ρσ

= + − −



Dada uma densidade Normal bivariada, quais são as suas características mais importantes ?Pr( a < X1 < b, c < X2 < d) é encontrada

pela integral dupla da densidade Normal bivariada sobre os intervalos (a, b) e (c, d).

A integral dupla sobre todos os valores de X1 e X2 da densidade Normal bivariada é um.



O parâmetro ρ na densidade Normal Bivariada é o coeficiente de correlação entre X1 e X2.

Se ρ = 0, X1 e X2 são descorrelatados, mas da expressão da densidade Normal bivariada podemos perceber que a densidade conjunta reduz-se ao produto das densidades marginais.

Logo, no caso da distribuição Normal bivariada (e apenas nele!!!!), correlação zero é equivalente àindependência entre as duas variáveis aleatórias.



Os valores esperados das densidades condicionais são funções lineares. Por exemplo:

Note que este valor esperado é chamado de regressão de X2 em X1 e neste caso percebemos que a função de regressão éuma função linear de X1.

( )22 1 1 2 1 1

1

( | ) . .E X X x xσµ ρ µσ

= = + −



As variâncias das densidades condicionais são constantes, e não dependem do valor da variável em que se está condicionando. Por exemplo:

que não depende de X1. Na verdade, quanto maior (em módulo) a correlação entre X1 e X2, menor é a variância condicional (maior a informação que X1 trouxe para X2).

( )2 22 1 1 2( | ) . 1VAR X X x σ ρ= = −



Isto é, se a correlação entre as duas variáveis é grande (em módulo), o conhecimento de uma das variáveis (densidade condicional) implica numa redução substancial da incerteza (variância) da outra.

Por outro lado, se a correlação entre as variáveis épequena, o efeito de conhecer uma variável sobre a incerteza na densidade condicional é pequeno também, e a variância condicional está próxima da variância da variável "sozinha" ( variância da densidade marginal).

No limite, se ρ = 0 , as variáveis são independentes, e conhecer uma delas não traz qualquer informação sobre a outra variável.


A distribuição Normal A distribuição Normal Bivariada Bivariada -- ExemploExemplo

Sejam X1 ~ N(0, 1) e X2 ~ N(0, 4). Escreva a densidade Normal bivariada neste caso em função de ρ e calcule as densidades condicionais quando ρ = 0.5, -0.5, 0, 0.8, -0.8.Solução

( )2 2

1 2 1 21 2 22

1 1( , ) .exp . 2. . .1 2 1 22 12 (1)(2) 1x x x xf x x ρ

ρπ ρ

− = + − − −



Lembramos novamente que o caso ρ = 0 corresponde à independência entre X1 e X2 , pois neste caso a densidade conjunta anterior é apenas o produto das marginais, que são N(0,1) e N(0,4).

A densidade condicional de X2 dado X1 = x1 é Normal, com média e variância dadas por:



A densidade condicional de X1 dado X2 = x2 é Normal com média e variância dadas por:

( )2 1 1 12( | ) 0 . . 0 2. .1

E X x x xρ ρ = + − =

( )2 2 22 1( | ) 2 .(1 ) 4.(1 )VAR X x ρ ρ= − = −

( )1 2 2 21 1( | ) 0 . . 0 . .2 2

E X x x xρ ρ = + − =

( )2 2 21 2( | ) 1 .(1 ) 1VAR X x ρ ρ= − = −



A próxima tabela exibe os valores das médias e variâncias condicionais para os valores de ρ especificados.

ρ E(X2|x1) VAR(X2|x1) E(X1|x2) VAR(X1|x2)-0.8 (-1.6)x1 4(0.36) = 1.44 (-0.4)x2 0.36

-0.5 (-1.0)x1 4(0.75) = 3.00 (-0.25)x2 0.25

0 0 4 0 10.5 (+1.0)x1 4(0.75) = 3.00 (+0.25)x2 0.25

0.8 (+1.6)x1 4(0.36) = 1.44 (+0.4)x2 0.36



Da tabela notamos que, a variância incondicionalde X2 (quando X1 não é levado em consideração, ou quando as duas variáveis são independentes) é 4. Esta variância se reduz quando o coeficiente de correlação aumenta em módulo.

A média condicional de X2 dado x1 não dependede x1 quando as variáveis são independentes, e éuma reta quando ρ ≠ 0. O coeficiente angular desta reta varia de acordo com o valor de ρ, podendo ser negativo ou positivo. Comentários semelhantes se aplicam à distribuição condicional de X1 dado x2.



A seguir mostramos densidades Normais bivariadas com µ1 e µ2 = 0, σ1

2 = 1 σ22 = (4)2

= 16 e ρ com diversos valores.

Verifique e compare as curvas de nível destas densidades.


A distribuição Normal A distribuição Normal Bivariada Bivariada -- ExemploExemploρ = -0.8 (Densidade Bivariada)



ρ = -0.8 (Curvas de Nível – são ELIPSES!)


A distribuição Normal A distribuição Normal Bivariada Bivariada -- ExemploExemploρ = -0.8 (Densidade Condicional de X1 dado X2)


A distribuição Normal A distribuição Normal Bivariada Bivariada -- ExemploExemploρ = -0.8 (Densidade Condicional de X2 dado X1)



ρ = 0 (Densidade Bivariada)



ρ = 0 (Curvas de Nível – são CÍRCULOS)



ρ = +0.8 (Densidade Bivariada)



ρ = +0.8 (Curvas de Nível – são ELIPSES!)


Distribuição Normal bivariada Distribuição Normal bivariada (para casa)(para casa)

Num certo instante de tempo, as taxas de juros de 30 e 60 dias têm, conjuntamente, uma distribuição Normal bivariada com médias 16% e 16.8% ao ano, e desvios padrões 4% e 5% ao ano respectivamente.

A correlação entre as taxas é 90%. Calcule:



a) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 14% e 18%.b) A probabilidade da taxa de 60 dias estar entre 14% e 18%.c) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 14% e 18% sabendo que a taxa de 60 dias estáhoje em 22%.d) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 14% e 18% sabendo que a taxa de 60 dias estáhoje em 15%.e) A probabilidade da taxa de 60 dias estar entre 14% e 18% sabendo que a taxa de 30 dias estáhoje em 18%.



Fez-se uma pesquisa de preços de roupas masculinas num shopping center. Uma amostra dos produtos existentes revela que o preço das calças éuma variável Normal com média R$ 80 e desvio padrão R$ 30. O preço das camisas é, por sua vez, uma variável Normal com média R$ 60 e desvio padrão R$ 25. A correlação entre os preços de calças e camisas é 0.6. Calcule as seguintes probabilidades:

a) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95.



b) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 75 nesta loja.c) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 50 nesta loja.d) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças éR$ 100?e) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças éR$ 70?


Distribuição BetaDistribuição Beta

Definição (Função Beta)Sejam m e n > 0 (não necessariamente inteiros). A função Beta com argumentos m e n é definida por:

Aqui usamos a transformação x = sin2θpara obter a última integral do lado direito.

1 / 21 1 2 1 2 1

o( , ) = (1 ) = 2 (sin ) (cos ) m n m n

om n x x dx d

πβ θ θ θ− − − −−∫ ∫



Teorema Teorema -- Propriedades da FunPropriedades da Funçãção Betao Betaβ(m, n) = β(n, m)

Esta última propriedade é importante por que relaciona as funções Gama e Beta, e será útil na derivação dos momentos da densidade Beta.

( ) ( )( , ) = (m+n)m nm nβ Γ ΓΓ



Definição (Densidade Beta)A densidade de probabilidade Beta deve ser aplicada a variáveis aleatórias definidas no intervalo [0,1], e seráimportante no contexto de Estatística Bayesiana.A variável aleatória X tem densidade Beta(m, n), se sua densidade é:

1 11( ) = (1 ) , 0 x 1, m,n > 0( , )

m nf x x xm nβ

− −− ≤ ≤



onde β(m, n) é a função Beta definida anteriormente.Note que, se m = n = 1 a densidade Beta se reduz à Uniforme no intervalo (0,1).

Notação: X ~ Beta(m, n)

A densidade Beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu domínio (o intervalo (0,1)) e também pela variedade de formas que a densidade pode assumir, de acordo com os valores especificados de m e n.



Algumas densidades Beta

0

2

4

6

8

10

12

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Beta(1,2)

Beta(1,3)

Beta(2,1)

Beta(2,2)

Beta(2,3)



Teorema - (Média e variância de uma v.a. Beta)Se X ~ Beta (m, n) então:

( )nm

mXE+

=

2( )( 1) ( )

mnVAR Xm n m n

=+ + +



DemonstraçãoSegue do fato:

Para todo k inteiro ≥ 1

( ) ( )( ) = ( ) ( )

k k m m nE Xm k m n

Γ + Γ +Γ Γ + +


Distribuição Beta e relação Distribuição Beta e relação com a Uniforme(0,1)com a Uniforme(0,1)

TeoremaSejam X1, X2, ... , Xn variáveis aleatórias independentes com densidade Unif(0,1). Seja Yr o r-ésimo maior número dentre os valores observados de X1, X2, ... , Xn . Então Yr tem densidade Beta com parâmetros r e n – r + 1.



ExemploUm computador gera 10 números aleatórios uniformemente no intervalo (0,1). Calcule a probabilidade de que o menor destes números será maior que 0.5.SoluçãoPelo teorema anterior, a densidade do menor dos 10 números é uma Beta com parâmetros 1 e 10. Isto é, se Y denota este número temos:



A densidade de Y é:

A probabilidade deste número exceder 0.5 é:

Faça a mudança de variável: t = 1 - y ⇒dt = -dy e se y→ 0.5, t → 0.5 e se y→ 1, t → 0. Logo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 1 9 91 111 10!1 1 10 1 onde 0<y<11 . 10 0!9!

f y y y y y−−Γ= − = − = −Γ Γ

( ) ( )1

9

0.5

Pr 0.5 10 1Y y dy> = −∫

( ) ( ) ( )0 0.5

109 9 10

0.5 0

0.5Pr 0.5 10 10 0.5 0.0977%

0Y t dt t dt t> = − = = = =∫ ∫


Distribuição Beta (para casa)Distribuição Beta (para casa)

Considere uma amostra de tamanho n > 3 da densidade Uniforme(0,1). Calcule, como função do tamanho da amostra, as seguintes probabilidades:a) De que o maior número na amostra exceda 0.8;b) De que o menor número na amostra seja menor que 0.2.c) Faça um gráfico das probabilidades nos ítens a) e b) versus n.



Um computador gera 6 números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo (0,1). Calcule a probabilidade de que o menor destes números será maior que 0.2.Calcule o valor esperado do menor destes números.Encontre a densidade do 2o. menor destes números e calcule a sua média e variância.Calcule a probabilidade de que o maior destes números exceda 0.6.



Suponha que X tem distribuição Beta com parâmetros a e b. Mostre que Y = 1 - X tem distribuição Beta com parâmetros b e a.

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