Raciocínio Lógico | 2

Índice

AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3

AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5

AULA 3 Negação de proposições 8

AULA 4 Tautologia, contradição, contingência e equivalência 11

AULA 5 Argumentação lógica 14

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AULA 1

Frases

Frase é todo enunciado que tem sentido. As frases podem ser declarativas, interrogativas, imperativas, exclamativas ou optativas. Declarativas

São frases que expressam uma afirmação ou uma negação, declarando ou informando algo. Exemplos:

O Brasil vai sediar os Jogos Olímpicos em 2016.

O número 4 é primo.

Fernando não passou no concurso.

Interrogativas São frases utilizadas para fazer uma

pergunta, empregadas quando se deseja obter alguma informação. A interrogação pode ser direta ou indireta. Exemplos:

Que dia é hoje?

Você é solteira?

Desejo saber se você aceita um copo de suco.

Imperativas São frases utilizadas para incentivar alguém

a fazer ou deixar de fazer algo, ou seja, transmitem um pedido ou ordem. Podem ser afirmativas ou negativas. Exemplos:

Estude matemática para o concurso.

Comece a trabalhar.

Não perturbe! Exclamativas

São frases que expressam sentimentos. Na

escrita, levam o ponto de exclamação Exemplos:

Que prova difícil!

Estou muito cansado hoje!

É uma delícia esse bolo! Optativas

São frases usadas para exprimir um desejo. Exemplos:

Deus te acompanhe!

Bons ventos o levem!

Vá em paz!

Proposições Proposições são frases que podem ser

classificadas em verdadeiras ou falsas, não podendo ser verdadeiras e falsas simultâneamente. Apenas frases declarativas podem representar proposições. As proposições geralmente são representadas por letras maiúsculas. Exemplos:

P: O número 4 é par.

Q: Santa Catarina é um Estado da Região Sudeste.

R: Daniela é atriz. As proposições podem ser simples ou

compostas. A proposição simples é aquela que vêm sozinha, desacompanhada de outras proposições, como as proposições P, Q e R do exemplo anterior. Já a proposição composta, é formada por duas ou mais proposições simples que são ligadas por meio de algumas expressões chamadas de conectivos lógicos. Exemplos:

João é médico e Pedro é dentista.

Luís é baiano ou Luís é paulista.

Se Renata nasceu em Santa Catarina então Renata é brasileira. Observe que no primeiro exemplo podemos

extrair a proposição João é médico e também a proposição Pedro é dentista, que são ligadas pelo conectivo “e”, formando uma só sentença, o que ocorre também no segundo exemplo com o conectivo “ou”, e no terceiro exemplo com o conectivo “se então”. Na próxima aula veremos todos os conectivos detalhadamente.

Sentenças Paradoxais São declarações aparentemente verdadeiras que lavam a uma contradição lógica ou a uma contradição em relação a intuição comum. Não podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, ou seja, não são proposições. Exemplo:

Essa frase é uma mentira.

Só sei que nada sei. Abertas

São sentenças que possuem algum grau de indeterminação, não podemos classificar em verdadeiras ou falsas, também não são proposições. Exemplos:

x + 3 = 7.

Ele é presidente do país.

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Fechadas São sentenças que não possuem grau de

indeterminação, podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, e portanto são proposições. Exemplos:

2 + 6 = 12.

A Chapecoense foi campeã brasileira de futebol da primeira divisão.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 a 3 - Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações. 1 - ( ) (TRT – CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. Por que existem juízes substitutos? Ele é um advogado talentoso. 2 - ( ) (BB – CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. "A frase dentro destas aspas é uma mentira." A expressão X + Y é positiva.

O valor de √4 + 3 = 7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 3 - ( ) (BB – CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

EXERCÍCIOS

1 - Assinale as sentenças abaixo que são proposições:

a) O Chile e o Brasil. b) Emerson é professor. c) Ela é professora. d) O Brasil foi campeão de futebol em 1982. e) Que legal!

f) 5 ∙ 4 = 20 g) 4 ∙ 2 + 1 > 4 h) (-2)3 > 4 i) O Brasil perdeu o título j) X + Y é maior do que 7. k) Que horas são? l) Aquela mulher é linda. m) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta n) - 4 - 3 = 7 o) 4 ∙ 2 + 1 < 9 p) (-2)3 < 4

2 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( ) (STJ – CESPE) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte.

GABARITO

1) b) d) f) g) h) m) n) o) p) 2-V)

ANOTAÇÕES

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AULA 2

Conectivos lógicos

São expressões usadas para ligar duas ou mais proposições simples, formando as proposições compostas. Veremos agora cada um deles, construindo suas respectivas tabela-verdade, determinando o valor lógico das proposições. Conjunção (e) ˄

Conjunção é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo “e”. Sejam P e Q as proposições a seguir:

P: Fernando fala inglês.

Q: Fernando fala espanhol. A conjunção P e Q (Fernando fala inglês e

espanhol), pode ser representada simbolicamente como P ˄ Q.

Quais serão os valores lógicos dessa conjunção? Se Fernando fala inglês e espanhol, significa que ele fala os dois idiomas, fala inglês e fala espanhol, assim a conjunção só será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras, caso contrário será falsa. A tabela-verdade a seguir nos mostra todos os possíveis resultados para uma conjunção formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˄ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Número de linhas da tabela-verdade

Toda tabela verdade terá 2n linhas, onde n é o número de proposições simples que estamos analisando.

Disjunção inclusiva (ou) ˅

Disjunção inclusiva é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. Sejam P e Q as proposições a seguir:

P: Fernando fala inglês.

Q: Fernando fala espanhol. A disjunção inclusiva P ou Q (Fernando fala

inglês ou espanhol), pode ser representada simbolicamente como P ˅ Q. Ela nos indica que Fernando pode falar apenas inglês, apenas

espanhol, ou os dois idiomas, inglês e espanhol. Dessa maneira, o valor lógico da disjunção inclusiva só será falso se todas as proposições forem falsas, caso contrário será verdadeiro.

A tabela-verdade a seguir nos mostra todos os possiveis resultados para uma disjunção inclusiva formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˅ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disjunção exclusiva (ou, ou) ˅

A disjunção exclusiva é semelhante a disjunção inclusiva, mas com uma pequena diferença. Na disjunção exclusiva, não existe a possibilidade de ocorrer as duas situações, elas são excludentes, ocorrendo uma, a outra necessariamente não ocorrerá, e ainda não existe a possibilidade de ambas não ocorrerem. Observe o exemplo a seguir:

Ou Maria faz uma viagem ou Maria troca de carro. Vemos duas situações distintas, “Maria faz

uma viagem”, e “Maria troca de carro”, siginifica que ela tem que fazer apenas uma dessas coisas, não pode fazer as duas e nem deixar de fazer ambas. Seja P uma das proposições e Q a outra, a disjunção exclusiva ou P ou Q, representada simbolicamente por P ˅ Q será verdadeira sempre que uma das proposições for verdadeira e a outra falsa, e só será falsa quando ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Observe a tabela-verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˅ Q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional (se, então) →

Denominamos de condicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se, então ou por uma de suas formas equivalentes. Veja o seguinte exemplo:

Se João nasceu em Santa Catarina, então João é brasileiro. Abrindo a proposição composta nas

proposições simples componentes, temos a

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proposição “João nasceu no Brasil” e a proposição “João é brasileiro”, vamos identificar a primeira por P e a segunda por Q. A proposição P, que é anunciada pelo uso da conjunção se, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição Q, apontada pelo advérbio então, é denominada conclusão ou consequente. A condicional se P, então Q, simbolicamente P ⟶ Q, só terá valor lógico falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa, caso contrário a condicional é sempre verdadeira. Em outras palavras, a única coisa que não pode acontecer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.

Vamos entender com o exemplo. Se as duas proposições forem verdade, a condicional é verdade, já se for verdade que João nasceu em Santa Catarina mas for falso que é brasileiro, a condicional é falsa, é a única coisa que não pode acontecer, pois Santa Catarina é um Estado brasileiro. Caso a primeira proposição seja falsa, a condicional será sempre verdadeira, pois se for verdadeiro que ele é brasileiro, basta ter nascido em outro Estado do país, e se for falso que é brasileiro, basta ter nascido em qualquer outro país do mundo. Observe a tabela-verdade:

P Q P ⟶ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional (se e somente se) ↔

Denominamos de bicondicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se. Veja o seguinte exemplo:

João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais. As proposições são “João é meu tio” e “João

é irmão de um de meus pais”, as quais vamos representar respectivamente por P e Q. A bicondicional P se e somente se Q (João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais), que pode ser representada simbolicamente por P ↔ Q, indica que se uma coisa acontecer, a outra também acontece, já se uma não acontecer, a outra também não acontece. No exemplo, se João é meu tio, ele tem que ser irmão de um de meus pais, e vice-versa, já se não for meu tio, não é irmão de um de meus pais e vice-versa. Dessa maneira, a bicondicional terá valor lógico verdadeiro quando as duas proposições forem verdadeiras, ou quando as duas forem falsas, caso contrário

a bicondicional será falsa. Observe a tabela-verdade:

P Q P ↔ Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Resumindo os conectivos e valores lógicos

das proposições, temos a tabela a seguir:

Conectivo Simbologia Verdadeiro Falso

E P ˄ Q P e Q são verdade

Nos demais casos

Ou P ˅ Q Nos demais

casos P e Q são

falsos

Ou, ou P ˅ Q P e Q tiverem valores lógicos

diferentes

P e Q tiverem valores lógicos

iguais

Se, então P ⟶ Q Nos demais

casos P é verdade e

Q é falso

Se e somente se

P ↔ Q P e Q tiverem valores lógicos

iguais

P e Q tiverem valores lógicos

diferentes

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 – (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: a) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. b) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. c) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. d) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. e) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 2 - (TJ-SE – CESPE – 2014) Considerando que P seja a proposição “Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos”, julgue os itens seguintes ( ) Se a proposição “Os seres humanos sabem se comportar” for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição “Há menos conflitos entre os povos”.

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3 - (SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9. b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9. c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9. d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9. e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9.

EXERCÍCIOS

1 - (MEC – CESPE – 2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional. ( ) A sentença “A vida é curta e a morte é certa" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 2 - (TRT – FCC) Em lógica de programação, denomina-se ...... de duas proposições p e q a proposição representada por "p ou q" cujo valor lógico é a falsidade (F), quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e o valor lógico é a verdade (V), nos demais casos. Preenche corretamente a lacuna acima: a) disjunção inclusiva b) proposição bicondicional c) negação d) disjunção exclusiva e) proposição bidirecional 3 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) Londres é a capital da Inglaterra ou a torre Eiffel situa-se em Londres. 4 – (DATAPREV 2014) Observe a tabela-verdade a seguir.

Essa tabela-verdade representa o funcionamento de 2 sensores x e y em um equipamento, de tal forma que: V = VERDADEIRO, ou seja, o sensor está acionado. F = FALSO, ou seja, o sensor não está acionado. Assinale a alternativa que contém os valores CORRETOS para 1, 2, 3 e 4, considerando-se o Conectivo do tipo OU (x ∨ y). a) 1-V, 2-V, 3-V,4-F b) 1-F, 2-F, 3-F, 4-F c) 1-V, 2-F, 3-V, 4-F d)1-V, 2-V, 3-F, 4-F e) 1-V, 2-F, 3-F, 4-F 5 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (TRE-ES – CESPE) Se P e Q representam as proposições “Eu estudo bastante” e “Eu serei aprovado”, respectivamente, então, a

proposição P → Q representa a afirmação “Se eu estudar bastante, então serei aprovado”.

GABARITO

1-V) 2-d) 3-V) 4-a) 5-V)

ANOTAÇÕES

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AULA 3

Negação de proposições Negação de proposições simples

Dada uma proposição simples P, denominamos negação de P e representamos

por ~P ou ¬P, a proposição que se obtém acrescentando-se adequadamente à essa proposição a palavra “não” ou outro equivalente. Exemplo:

P: Rogério é estudante. ~P: Rogério não é estudante. ~P: Não é verdade que Rogério é estudante. ~P: É falso que Rogério é estudante. Caso a proposição original já seja uma

negativa, para negar a negativa, excluímos a palavra “não” ou seu equivalente e a sentença passa a ser uma afirmação. Exemplo:

P: Maria não é atriz. ~P: Maria é atriz. Toda proposição quando negada fica com

seu valor lógico oposto, se é verdadeira passa a ser falsa e se for falsa passa a ser verdadeira. Negação de proposições compostas

Para negar uma proposição composta, precisamos observar qual o conectivo presente.

Se for uma conjunção, P Q, basta negar cada uma das proposições e trocar a conjunção pela disjunção inclusiva, assim, a negação de

P Q, representada por ~(P Q) é ~P ~Q. Para entender porque isso ocorre, assim como faremos nas demais regras, vamos considerar que a proposição é verdadeira e queremos torná-la falsa negando essa proposição. Bem, uma conjunção só é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras, em todas as demais situações ela é falsa, sendo assim, para negar essa proposição, podemos negar apenas

P, apenas Q, ou negar ambas, logo, ~P ~Q. Na disjunção inclusiva, negamos cada uma

das proposições e trocamos a disjunção pela

conjunção, dessa maneira, ~(P Q) é ~P ~Q. Agora, lembre-se que a disjunção inclusiva é falsa somente quando as duas proposições são falsas, dessa maneira, para negar a disjunção

inclusiva P Q precisamos negar as duas proposições, devemos negar P e negar Q, ou

seja, ~P ~Q. No condicional P ⟶ Q, a sua negação é

obtida mantendo-se a primeira proposição, negando a segunda e trocando o condicional

pela conjunção. Logo, ~(P ⟶ Q) é P ~Q. Isso ocorre já que o condicional só é falso quando a

primeira proposição é verdadeira e a segunda proposição é falsa.

E por fim, no bicondicional P Q, temos duas possibilidades para negá-lo. Podemos negar a primeira proposição e manter a segunda, mantendo o conectivo bicondicional, ou mantemos a primeira proposição, negamos a segunda e mantemos também o bicondicional.

Logo, ~(P Q) é ~P Q ou P ~Q. Isso acontece pois o bicondicional é falso quando uma proposição é verdadeira e a outra é falsa, então quando a primeira proposição é mantida a segunda tem que ser negada e vice-versa.

A tabela a seguir resume a negação das proposições compostas:

Proposição Negação

P Q ~P ~Q

P Q ~P ~Q

P ⟶ Q P ~Q

P Q ~P Q ou P ~Q

As duas primeiras são chamadas de Leis de

Morgan, e podem ser extendidas para uma proposição composta com três ou mais proposições simples. Negação de proposições quantificadas

Proposições quantificadas são aquelas que trazem algum quantificador. Existem dois tipos de quantificadores, o quantificador universal e o quantificador existencial. O quantificador universal quer dizer “todo”, “para todo” ou

“qualquer que seja”, cujo símbolo é ∀. Já o

quantificador existencial significa “existe”, “existe algum”, “existe pelo menos um” ou

“algum” e seu símbolo é ∃. Exemplos:

Todos os políticos são honestos.

Existem pessoas que não são felizes. Para negar essas proposições, precisamos

negar o quantificador e negar também o que se está afirmando ou negando. A negação do quantificador universal é o quantificador existencial e vice-versa. Exemplos:

P: Todos os políticos são honestos. ~P: Existem políticos que não são honestos.

Q: Existem pessoas que não são felizes. ~Q: Todas as pessoas são felizes.

Raciocínio Lógico | 9

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 - A negação de “ganhei o jogo” é: a) Perdi o jogo. b) Não joguei. c) Não ganhei o jogo. d) Eu sempre perco todos os jogos. e) As vezes eu perco os jogos. 2 - A negação de “algumas pessoas passaram no concurso” é : a) Algumas pessoas não passaram no concurso. b) Todas as pessoas passaram no consurso. c) Não é verdade que nenhuma pessoa passou no concurso. d) Ninguém passou no concurso. e) Algumas pessoas foram reprovadas no concurso. 3 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (STJ - CESPE) Considere que A e B sejam as seguintes proposições. A: Júlia gosta de peixe. B: Júlia não gosta de carne vermelha. Nesse caso, a proposição "Júlia não gosta de peixe, mas gosta de carne vermelha" está corretamente simbolizada por ¬(A ˄ B). 4 - (CAIXA - CESPE - 2014) Considerando a proposição “Se Paulo não foi ao banco, ele está sem dinheiro”, julgue os itens seguintes.

( ) A negação da referida proposição pode ser expressa pela proposição “Paulo não foi ao banco e ele não está sem dinheiro”.

EXERCÍCIOS

1 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (TRT – CESPE) A proposição "A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita" será V quando a proposição "A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita" for F, e vice-versa.

2 - (TRE-MG – CESPE) Proposições são sentenças que podem ser julgadas somente como verdadeiras ou falsas. A esse respeito, considere que p represente a proposição simples "É dever do servidor promover o atendimento cordial a clientes internos e externos", que q represente a proposição simples "O servidor deverá instruir procedimentos administrativos de suporte gerencial" e que r represente a proposição simples "É tarefa do servidor propor alternativas e promover ações para o alcance dos objetivos da organização". Acerca dessas proposições p, q e r e das regras inerentes ao raciocínio lógico, assinale a opção correta a) ~(p˅q˅r) é equivalente a ~p˄~p˄~q

b) p⟶q é equivalente a ~p⟶~q c) p˄(q˅r) é equivalente a p˄q˄r d) ~(~(~r)) ↔ r e) a tabela-verdade completa das proposições simples p, q e r tem 24 linhas 3 - (INSS – CESPE) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal. A: A prática do raçismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro, será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir. ( ) Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a

proposição B ⟶ C é V. ( ) De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (¬A) ˅ (¬C) tem valor lógico F. 4 – A negação de “todas as pessoas são felizes” é: a) Todas as pessoas são tristes. b) Existem pessoas que não são felizes. c) Todas as pessoas são infelizes. d) Não existem pessoas que não são felizes. e) Todas as possoas que conheço são infelizes.

Raciocínio Lógico | 10

5 - A negação de “todas as mulheres loiras são inteligentes” é : a) Nenhuma mulher loira é inteligente. b) Existe pelo menos uma mulher loira que não é inteligente. c) Não é verdade que nenhuma mulher loira é inteligente. d) Ninguém é inteligente. e) Apenas as mulheres morenas podem ser inteligentes.

GABARITO

1-V) 2-a) 3-F) F) 4-b) 5-b)

ANOTAÇÕES

Raciocínio Lógico | 11

AULA 4

Agora veremos de forma mais aprofundada as tabelas-verdade, tabelas onde são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Já vimos as tabelas-verdade de cada conectivo, com isso podemos construir a tabela-verdade de qualquer proposição composta.

Com duas proposições, a tabela possui quatro linhas e sua estrutura inicial é sempre a mesma:

1ª proposição 2ª proposição

V V

V F

F V

F F

A próxima ou as próximas colunas da tabela

dependem dos conectivos presentes na proposição composta que vamos analisar, onde teremos que seguir uma ordem de precedência dos conectivos, precisamos obedecer uma sequência. Primeiro fazemos o que está dentro dos parênteses, em seguida vamos ao que está fora, sempre obedecendo a seguinte ordem:

1º: Negações;

2º: Conjunções ou disjunções, na ordem em que aparecerem;

3º: Condicinais;

4º: Bicondicionais. Exemplo:

Construa a tabela-verdade da proposição

(P ~Q) (Q ~P).

P Q ~Q P∧~Q ~P Q∧~P (P∧~Q)V(Q∧~P)

V V F F F F F

V F V V F F V

F V F F V V V

F F V F V F F

Com três proposições, a tabela-verdade

passa a ter 8 linhas e sua estrutura inicial é a seguinte:

1ª

PROPOSIÇÃO 2ª

PROPOSIÇÃO 3ª

PROPOSIÇÃO

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

As demais colunas dependem dos conectivos presentes e seguem a mesma ordem que vimos anteriormente. Exemplo:

Construa a tabela-verdade da proposição

(P ~Q) ⟶ (Q ~R).

P Q R ~Q P ~Q ~R Q ~R

V V V F F F V

V V F F F V V

V F V V V F F

V F F V V V V

F V V F F F V

F V F F F V V

F F V V F F F

F F F V F V V

P ~Q Q ~R (P ~Q) ⟶ (Q ~R)

F V V

F V V

V F F

V V V

F V V

F V V

F F V

F V V

Como já vimos na aula sobre os conectivos,

o número de linhas da tabela-verdade é dado por 2n, onde n é o número de proposições simples que compõem a proposição composta. Portanto, com 4 proposições a tabela-verdade tem 16 linhas, o que já torna mais complicado sua construção. Assim, vamos trabalhar apenas com duas e três proposições, como é cobrado também nos concursos.

Agora que já sabemos construir qualquer tabela-verdade, veremos alguns conceitos simples que são muito importantes.

Tautologia, Contradição, Contingência e Equivalência

Tautologia é a proposição composta formada

por duas ou mais proposições simples cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Ou seja, construímos a tabela-verdade da proposição e se na última coluna só tiver valores lógicos positivos temos uma tautologia. Exemplo:

(P Q) ⟶ (P Q)

P Q P Q P Q (P Q) ⟶ ( P Q)

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Raciocínio Lógico | 12

Já a proposição composta formada por duas ou mais proposições simples onde o valor lógico é sempre falso, é dita contradição. Então, basta construir a tabela-verdade da proposição e analisar a última coluna, se todos os valores lógicos forem falsos trata-se de uma contradição. Exemplo:

P ↔ ~P

P ~P P ↔ ~P

V F F

F V F

A contingência corresponde a todos os

demais casos, onde não temos tatutologia nem contradição. Exemplo:

P ↔ (P Q)

P Q P Q P ↔ (P Q)

V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

E por fim, teremos uma equivalência quando

duas proposições compostas, formadas pelo mesmo número de proposições simples, apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, a última coluna de suas tabela-verdade é igual. Exemplo:

~(P Q) e ~P ~Q

P Q P Q ~( P Q)

V V V F

V F F V

F V F V

F F F V

P Q ~P ~Q ~P ~Q

V V F F F

V F F V V

F V V F V

F F V V V

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Do ponto de vista lógico, a proposição (P→Q) v (~Q) representa: a) Silogismo b) Tautologia c) Equivalência d) Contingência e) Contradição

EXERCÍCIOS

1 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (BB – CESPE) A proposição simbólica (P ˄ Q) ˅ R possui, no máximo, 4 avaliações V. 2 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (BB – CESPE) A proposição simbolizada

por (A ⟶ B) ⟶ (B ⟶ A) possui uma única valoração F.

3 - (TRT - FCC) Considere a seguinte proposição: “Na eleição para Prefeitura, o candidato “A” será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: a) Silogismo b) Tautologia c) Equivalência d) Contingência e) Contradição

4 - (MCT – CESPE) Julgue os próximos itens, considerando proposição P, a seguir: O desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado se, e somente se, não houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. A proposição P é logicamente equivalente a “Se não houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então o desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado, e se houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então o desenvolvimento do país não permanecerá estagnado” ( ) Certo ( ) Errado

5 - Do ponto de vista lógico, a proposição

(PQ) (P ⊻ Q) caracteriza: a) Silogismo b) Tautologia c) Equivalência d) Contingência e) Contradição

Raciocínio Lógico | 13

6 - (TCE-RO – Cesgranrio) Sejam p e q proposições. Das alternativas abaixo, apenas uma é tautologia. Assinale-a. a) p ˅ q b) p ˄ q c) (p ˄ q)⟶q

d) (p ˅ q)⟶q e) ~p ˄ ~q 7 - (CAPES – Cesgranrio) Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? a) p ˄ q b) p ˄ ~q

c) (p ˄ q) ⟶ (~p ˄ q) d) (p ˅ q) ⟶ (p ˄ q)

e) (p ˄ q) ⟶ (p ˄ q)

8 – Construa a tabela-verdade de cada proposição:

a) ~(A B) A

b) (A B) C

c) ~(A B) C

GABARITO

1-F) 2-V) 3-b) 4) Errado 5-d) 6-c) 7-e) 8-a)

A B A B ~(A B) ~(A B)˅A

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

b)

A B C A ˅ B (A ˅ B) C

V V V V V

V V F V F

V F V V V

V F F V F

F V V V V

F V F V F

F F V F V

F F F F V

c)

A B C A ˅ B ~(A ˅ B) ~(A˅B)C

V V V V F F

V V F V F V

V F V V F F

V F F V F V

F V V V F F

F V F V F V

F F V F V V

F F F F V F

ANOTAÇÕES

Raciocínio Lógico | 14

AULA 5

A argumentação lógica ou lógica de argumentação tem como principal objetivo verificar se um argumento é válido ou inválido. Argumento

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3, ... , Pn a uma outra proposição C. As proposições desse conjunto são chamadas de premissas ou hipóteses do argumento e a proposição C é chamada de conclusão ou tese do argumento. Os argumentos que possuem apenas duas premissas são chamados de silogismos. Exemplo:

P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gosta de flores. C: Todos os artistas gostam de flores.

Argumento válido

Dizemos que um argumento é válido ou bem construído quando sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Em outras palavras, quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Assim, nunca podemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido.

Ao discutir a validade de um argumento, sempre consideramos as premissas como verdadeiras, independentemente do seu valor de verdade. Exemplo:

“Todos os pardais adoram jogar xadrez. Nenhum enxadrista gosta de óperas. Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.” O argumento é válido pois nenhum pardal

pode gostar de ópera, mesmo que seja questionável se pardais adoram jogar xadrez ou que nenhum enxadrista gosta de ópera. Argumento inválido

Um argumento é inválido, ilegítimo ou mal construído quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo:

“Todos os alunos do curso passaram. Maria não é aluna do curso. Portanto, Maria não passou.” O argumento é inválido porque Maria pode

ter passado mesmo sem ser aluna do curso. A primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 - Assinale a alternativa que contém um argumento válido. a) Alguns atletas jogam xadrez. Todos os intelectuais jogam xadrez. Conclusão: Alguns atletas são intelectuais. b) Todos os estudantes gostam de Lógica. Nenhum artista é um estudante. Conclusão: Ninguém que goste de Lógica é um artista. c) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não passei. Conclusão: Eu não estudei tudo. d) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não estudei tudo. Conclusão: Eu não passei.

2 - (CESGRANRIO) Considere as seguintes premissas: I - Quem gosta de música não é triste. II - Gatos não gostam de chocolate. III - Quem não gosta de chocolate é triste. Com base nessas premissas, conclui-se que

a) gatos tristes gostam de chocolate. b) gatos não gostam de música. c) quem não gosta de música é triste. d) quem gosta de chocolate não é triste. e) quem não gosta de chocolate é gato.

EXERCÍCIOS

1 - (MPE-BA) Considere verdadeiras as proposições P1 “Se chove o dia inteiro, Marcos fica resfriado" e P2 “Marcos não ficou resfriado". A leitura dessas proposições leva à conclusão indicada na alternativa a) Choveu o dia inteiro. b) Não choveu o dia inteiro. c) Não choveu e Marcos ficou resfriado. d) Choveu e Marcos não ficou resfriado. e) Choveu ou Marcos ficou resfriado.

Raciocínio Lógico | 15

2 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( ) Nenhum A é B. Todo C é A. Conclui-se que “Nenhum C é B”. 3 - (TRF-FCC) Algum A é B. Todo A é C. Logo

a) algum D é A b) todo B é C c) todo C é A d) todo B é A e) algum B é C 4 - Considere as premissas:

P1: Os bebês são ilógicos. P2: Pessoas ilógicas são desprezadas. P3: Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

Assinale a única alternativa que é uma consequência lógica das três premissas apresentadas.

a) Bebês não sabem amestrar crocodilos. b) Pessoas desprezadas são ilógicas. c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos. d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos. e) Bebês são desprezados. 5 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( ) (ANCINE – CESPE) Considere a seguinte sequência de proposições.

I. Se Nicole é considerada uma ótima atriz, então Nicole ganhará o prêmio de melhor atriz do ano. II. Nicole não é considerada uma ótima atriz. III. Portanto, pode-se concluir que Nicole não ganhará o prêmio de melhor atriz do ano.

Nesse caso, essa sequência constitui uma argumentação válida, porque, se as proposições I e II são verdadeiras, a proposição III também é verdadeira. 6 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( ) (PF – CESPE) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.

Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. 7 - (TCE-PR – FCC) Considere que as seguintes premissas são verdadeiras:

I. Se um homem é prudente, então ele é competente. II. Se um homem não é prudente, então ele é ignorante. III. Se um homem é ignorante, então ele não tem esperanças. IV. Se um homem é competente, então ele não é violento. Para que se obtenha um argumento válido, é correto concluir que se um homem

a) não é violento, então ele é prudente. b) não é competente, então ele é violento. c) é violento, então ele não tem esperanças. d) não é prudente, então ele é violento. e) não é violento, então ele não é competente.

8 - (STJ – CESPE - 2015) Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das estruturas lógicas. Considerando-se as seguintes proposições: p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então ela aprende o conteúdo de Química Geral"; q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então ela é aprovada em Química Geral"; c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o argumento formado pelas premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido.

GABARITO

1-b) 2-V) 3-e) 4-a) 5-F) 6-V) 7-c) 8) ERRADO