Influência da projeção em planta no comportamento estrutural de

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA

LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA

INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS

CURITIBA

2015





Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná. Orientador: Prof. Dr. Marcos Arndt.

CURITIBA

2015

TERMO DE APROVAÇÃO





Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de

graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do

Paraná, pela seguinte banca examinadora:

____________________________________________

Prof. Dr. Marcos Arndt

Orientador – Departamento de Construção Civil, UFPR

____________________________________________

Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado

Departamento de Construção Civil, UFPR

____________________________________________

Prof. Dr. Lia Yamamoto

Departamento de Construção Civil, UFPR

Curitiba, 25 de Junho de 2015

AGRADECIMENTOS

Nossos sinceros agradecimentos aos nossos pais por absolutamente tudo o

que fizeram até o dia de hoje, por nos educarem, nos guardarem, nos corrigirem e,

principalmente, por se dedicarem as nossas vidas. Aos nossos amigos e familiares

pelos momentos compartilhados. Agradecemos especialmente ao professor Marcos

Arndt por aceitar ser nosso orientador, pelo apoio fornecido e conhecimento que foi

generosamente compartilhado conosco. Aos professores Roberto Dalledone

Machado e Lia Yamamoto por participarem de nossa banca de avaliação e pelas

críticas construtivas. Agradecemos também aos professores que nos

acompanharam ao longo do curso proporcionando todo o nosso aprendizado.

Agradecemos, acima de tudo, a Deus, por ter nos proporcionado boas

oportunidades e por ter nos sustentado desde sempre para que trabalhemos em prol

de seus objetivos.

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo da influência da projeção

em planta de edifícios de concreto armado no seu comportamento estrutural sob a

ação de sismos. Inicialmente é feito uma revisão bibliográfica sobre sismologia com

uma breve caracterização da sismicidade brasileira. Na sequência contempla-se

uma revisão sobre análise dinâmica das estruturas. Depois, é apresentada a

normalização brasileira com prescrições de procedimentos para projetos de

estruturas resistentes a sismos (NBR 15421/2006). Também apresenta-se a

metodologia e exemplos de cálculo utilizados para realizar o estudo deste trabalho.

Para o desenvolvimento dessa atividade, foram analisadas três estruturas de 15

pavimentos com diferentes geometrias, de modo com que o peso das estruturas não

tivesse grandes variações. Para todas as análises, consideram-se estruturas com

vigas, lajes e pilares com mesmas dimensões e módulo de elasticidade.

Primeiramente diversos parâmetros de projeto foram estabelecidos de acordo com a

norma, tais como, definição de zoneamento sísmico brasileiro, classe do terreno,

categorias de utilização, categoria sísmica, aceleração sísmica de projeto, etc.

Aplicam-se o Método das Forças Horizontais Equivalentes com auxílio do programa

estrutural ANSYS 14.5 como ferramenta de cálculo. Na sequência, comparam-se os

esforços cortantes, momentos fletores, esforços normais e deslocamentos

horizontais nos pilares mais afastados do eixo das estruturas. Também é feita uma

comparação adotando hipóteses de diferentes rigidezes de lajes para analisar os

deslocamentos no contorno frontal. Ao final do trabalho, foram obtidas conclusões,

recomendações e algumas possibilidades de estudos mais aprofundados.

Palavras-chave: Análise dinâmica das estruturas, análise estática,

regularidade em planta, Norma NBR 15421 (ABNT, 2006).

ABSTRACT

The present research takes up as an object of study the influence of the

projection in plan of concrete buildings in its structural behavior under seismic action.

Initially it presents a literature review on seismology with a brief characterization of

the Brazilian seismicity. Further it contemplates a review on dynamic analysis of

structures. Then it is displayed the Brazilian Code with prescriptions procedures for

project earthquake resistant structures (NBR 15421/2006). It also shows the method

and examples of calculation used to perform the studies of this work. For the

development of this activity, three structures were analyzed with 15 floors with

different geometries, so that the weight of the structures had no major variations. For

all analyzes, were considered the structures with beams, slabs and columns with the

same dimensions and modulus of elasticity. First various design parameters were

established according to the Brazilian Code, such as Brazilian seismic zoning

definition, land class, use categories, seismic category, seismic acceleration of

project, etc. The Method of Equivalent Horizontal Forces was applied with the aid of

structural program ANSYS 14.5 as the calculation tool. As a result, the shear forces,

bending moments, axial forces and horizontal displacements in the outer frames of

the shaft were compared. It is also made a comparison of the chances of adopting

different stiffnesses slabs to analyze shifts in front of the three contour structures. At

the end of this work arose some conclusions, recommendations and some

possibilities for further research.

Keywords: Dynamic analysis of structures, static analysis , regularity in plan,

Brazilian Code NBR 15421 (ABNT, 2006).

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 – ESTRUTURA INTERNA DA TERRA ................................................. 15

FIGURA 2.2 – ONDAS “P” E “S” ............................................................................... 18

FIGURA 2.3 – ONDAS “L” E “R” ............................................................................... 19

FIGURA 2.4 – EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA...................................... 24

FIGURA 2.5 – MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL ............ 25

FIGURA 2.6 – SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL .............................................. 26

FIGURA 2.7 – MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO

........................................................................................................... 26

FIGURA 2.8 – MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS .............................. 28

FIGURA 3.1 – TIPOS DE CARGA DINÂMICA .......................................................... 30

FIGURA 3.2 – SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR ................................. 30

FIGURA 3.3 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ........................................................ 31

FIGURA 3.4 – PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES ....................................... 32

FIGURA 3.5 – MOVIMENTAÇÃO DA BASE ............................................................. 39

FIGURA 3.6 – ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS ................................................ 42

FIGURA 4.1 – ZONEAMENTO SÍSMICO DO BRASIL ............................................. 47

FIGURA 4.2 – ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO

PERÍODO........................................................................................... 52

FIGURA 5.1 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 01 ................................................ 60



FIGURA 5.4 – MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA 3 ............................ 72

FIGURA 5.5 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 3 .................................................. 72

FIGURA 5.6 – DESLOCAMENTOS DOS PILARES .................................................. 73

FIGURA 5.7 – DESLOCAMENTO DOS PILARES - EXTRAÍDOS DO ANSYS ......... 74

FIGURA 5.8 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL .................................... 75

FIGURA 5.9 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL ... 75

FIGURA 5.10 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA RÍGIDO ...................................... 76

FIGURA 5.11 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA RÍGIDO ..... 76

FIGURA 5.12 – ESFORÇO CORTANTE .................................................................. 77

FIGURA 5.13 – ESFORÇO NORMAL ....................................................................... 78

FIGURA 5.14 – MOMENTO FLETOR ....................................................................... 79

FIGURA 5.15 – VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NA ESTRUTURA 1 ......... 79

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 – VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO

........................................................................................................... 21

TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI ............. 22

TABELA 4.1 – DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO ......................................... 49

TABELA 4.2 – DEFINIÇÃO DOS FATORES aC E vC DE AMPLIFICAÇÃO SÍSMICA

NO SOLO ........................................................................................... 51

TABELA 4.3 – COEFICIENTES DE PROJETO PARA ALGUNS DOS SISTEMAS

BÁSICOS SISMO-RESISTENTES ..................................................... 53

TABELA 4.4 – CÁLCULO APROXIMADO DO PERÍODO FUNDAMENTAL DA

ESTRUTURA ..................................................................................... 54

TABELA 4.5 – COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO ................................. 54

TABELA 4.6 – LIMITAÇÃO PARA DESLOCAMENTOS RELATIVOS DE

PAVIMENTO ( x∆ ) .............................................................................. 59

TABELA 5.1 – PRIMEIROS MODOS DE VIBRAÇÃO DAS ESTRUTURAS ............. 63

TABELA 5.2 – PERÍODO DAS ESTRUTURAS ......................................................... 63

TABELA 5.3 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA

ESTRUTURA 1 .................................................................................. 65


ESTRUTURA 2 .................................................................................. 65


ESTRUTURA 3 .................................................................................. 66

TABELA 5.6 – PESO DA ESTRUTURA .................................................................... 66

TABELA 5.7 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 1 ............... 69



SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11

1.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 12

1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................ 12

2 REVISÃO DE SISMOLOGIA ............................. ................................................... 14

2.1 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA ................................................................... 14

2.2 ONDAS SÍSMICAS ............................................................................................. 17

2.2.1 Ondas P ............................................................................................................ 17

2.2.2 Ondas S ............................................................................................................ 17

2.2.3 Ondas de Rayleigh (R) ..................................................................................... 18

2.2.4 Ondas de Love (L) ............................................................................................ 18

2.3 PARÂMETROS SÍSMICOS ................................................................................. 19

2.3.1 Magnitude sísmica ............................................................................................ 20

2.3.2 Intensidade sísmica .......................................................................................... 21

2.3.3 Profundidades ................................................................................................... 23

2.3.4 Medição sísmica ............................................................................................... 23

2.3.5 Sismograma ...................................................................................................... 23

2.4 SISMICIDADE BRASILEIRA ............................................................................... 25

2.5 FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS ............................................................. 27

3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS ........ .......................... 29

3.1 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL) ................................................ 30

3.2 SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE ....................................... 31

3.2.1 Equação de equilíbrio dinâmico ........................................................................ 31

3.2.2 Sistema não amortecido ................................................................................... 33

3.2.3 Vibração livre .................................................................................................... 34

3.2.4 Movimentação da base ..................................................................................... 38

3.3 ESPECTROS DE RESPOSTA ............................................................................ 40

3.3.1 Espectros de resposta para forças ................................................................... 40

3.3.2 Espectros de resposta para aceleração da base .............................................. 42

4 PROJETO DE ESTRUTURAS RESISTENTES A SISMOS CONFORME NORMA

BRASILEIRA NBR 15421(2006) ........................ .................................................. 46

4.1 DEFINIÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS DE PROJETO ....................................... 46

4.2 ZONEAMENTO SÍSMICO BRASILEIRO ............................................................. 46

4.3 DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO ........................................................... 48

4.4 DEFINIÇÃO DAS CATEGORIAS DE UTILIZAÇÃO ............................................ 50

4.5 DEFINIÇÃO DOS ESPECTROS DE RESPOSTA DE PROJETO ........................ 50

4.6 MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES ............................... 52

4.6.1 Distribuição vertical das forças sísmicas .......................................................... 55

4.7 MÉTODOS DINÂMICOS ..................................................................................... 55

4.7.1 Análise por espectro de resposta ...................................................................... 55

4.7.2 Análise com históricos de acelerações ............................................................. 57

4.8 CONSIDERAÇÃO DA TORÇÃO ......................................................................... 58

4.9 LIMITAÇÕES DE DESLOCAMENTOS ............................................................... 59

5 ESTUDO DE CASO .............................................................................................. 60

5.1 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO ........................................................................ 62

5.2 DETERMINAÇÃO DO PESO TOTAL DA ESTRUTURA...................................... 63

5.3 CÁLCULO DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL NA BASE .................................... 66

5.4 DISTRIBUIÇÃO VERTICAL DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL ......................... 67

5.5 DESLOCAMENTOS ........................................................................................... 73

5.5.1 Deslocamento dos pilares A1, A2 e A3 ............................................................... 73

5.5.2 Deslocamento de linha ..................................................................................... 74

5.6 ESFORÇO CORTANTE DOS PILARES A1, A2 E A3 ........................................... 77

5.7 ESFORÇO NORMAL DOS PILARES A1, A2 E A3 ............................................. 77

5.8 MOMENTO FLETOR DOS PILARES A1, A2 E A3 ............................................. 78

5.9 ESFORÇOS CORTANTES DOS PILARES A1, B, C E D .................................... 79

6 CONCLUSÃO ......................................... .............................................................. 80

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 82

APÊNDICES ............................................................................................................. 84

11

1 INTRODUÇÃO

Atualmente é muito comum se deparar com notícias de estruturas, como

edificações e obras de arte especiais, que apresentam determinado grau de

vibração. Algumas vibrações de grandes intensidades que podem fazer com que as

estruturas cheguem ao colapso.

As vibrações nas estruturas podem ser causadas por fenômenos naturais ou

esforços mecânicos. Como exemplo de causas naturais, pode-se citar o efeito do

vento nas estruturas, tendo em vista inúmeros relatos de pontes e edificações que

começaram a oscilar após receberem intensas rajadas de vento. Entre as causas

naturais estão também os abalos sísmicos, fenômenos estes, que ocorrem em

certas regiões do planeta e cuja análise é imprescindível no projeto estrutural.

Já as ações mecânicas são geradas pela movimentação de pessoas,

automóveis, etc. Tanto as causas mecânicas quanto os naturais devem ser levadas

em consideração para o cálculo estrutural.

Embora, por um longo período, se acreditasse que o Brasil não estava

sujeito aos abalos sísmicos, por se encontrar bem no centro da placa sul-americana,

considerada passiva, com o avanço da tecnologia percebeu-se que não é bem

assim. Dentro do território brasileiro ocorrem diversas falhas geológicas geradas por

fatores diversos, como reflexos de tremores ocorridos em outros países da América

Latina, podendo estar associadas ou não, à atividade sísmica brasileira, ou até

mesmo pelo desgaste das placas tectônicas. Essas falhas são encontradas em todo

o país, tendo o maior número de ocorrências na região nordeste, segundo a NBR

15421:2006

No Brasil, até muito recente não se dispunha de normalização específica

para sismos em estruturas. Considerando que já foram registrados abalos sísmicos

em algumas regiões, um conjunto de estudos incentivou a elaboração de uma norma

brasileira, a NBR 15421:2006. Esta norma tem como principal objetivo, estabelecer

requisitos exigíveis para garantia de segurança em estruturas da construção civil,

relacionadas às ações de atividades sísmicas.

Recentemente, alguns sismos foram registrados em cidades brasileiras de

acordo com OBSIS (2015), destacando-se o sismo no Acre, ocorrido em 07 de Abril

de 2014, com epicentro localizado a 89km da cidade de Tarauacá, com seu

12

hipocentro localizado a 559km de profundidade, atingindo 5.1 na escala Richter, não

havendo dano. Outro evento importante ocorrido recentemente foi no Amazonas,

com magnitude de 7.1, com epicentro localizado na Colômbia, a 38km de Sucre e a

1082km de São Gabriel da Cachoeira, a 140km de profundidade. Destaca-se

também o sismo ocorrido em Minas Gerais em 2007, com magnitude de 4.9 na

escala Richter, onde uma criança de 5 anos morreu, sendo a primeira fatalidade em

sismo no Brasil. Vários outros eventos caracterizados como micro ou pequenos já

foram registrados em território brasileiro.

1.1 JUSTIFICATIVA

Mesmo possuindo certa atividade sísmica no país, existem poucos estudos

sobre a influência desses sismos sobre as estruturas de concreto armado. Nesse

contexto, considerando a existência dos sismos, juntamente com a tendência de se

construir edificações cada vez mais esbeltas, mais suscetíveis aos efeitos

dinâmicos, a consideração desses efeitos torna-se mais importante em relação ao

projeto estrutural de edifícios.

1.2 OBJETIVOS

A experiência obtida em sismos passados demonstra que a vulnerabilidade

sísmica dos edifícios está intimamente relacionada com as características dos

sistemas estruturais e tipologias adotadas. Um dos aspectos básicos para a

obtenção de uma estrutura com comportamento previsível é a sua simetria e , na

prática, uma estrutura simples é essencial para se conseguir tal requisito

(Eurocódigo n°8, 1988). Por exemplo, Guerreiro (2007) recomenda que estruturas

com forma retangular em planta não tenham comprimento maior do que três vezes a

largura e Santos (2010) afirma que estruturas que apresentam em planta uma forma

alongada apresentam problemas de flexão, que podem induzir efeitos de torção no

comportamento da estrutura.

Este trabalho consiste num estudo paramétrico realizado através do

programa computacional ANSYS entre três estruturas hipotéticas. Elas possuem

forma retangular em planta, com lados 30x30m, 20x40m, 15x60m e 15 pavimentos

cada, geradas de modo que a massa e a rigidez ficassem aproximadas. O objetivo

13

do trabalho então se resume a analisar, através do método das forças horizontais

equivalentes, a influência da forma em planta das estruturas apresentadas no seu

comportamento estrutural quando estão submetidas aos efeitos das cargas sísmicas

definidas pela Norma ABNT NBR 15421:2006.

14

2 REVISÃO DE SISMOLOGIA

Quando se faz a análise dinâmica de uma estrutura supondo o

conhecimento por completo dos históricos das excitações e características

mecânicas do sistema, sua resposta pode ser obtida de forma determinística.

Entretanto excitações como as decorrentes do vento, ondas marítimas, sismos, entre

outros, não são passíveis de descrição, a menos no sentido elástico, ou seja, por

meio de valores médios, desvios destes valores e distribuição de probabilidades.

A argumentação a favor dessa análise não determinística do comportamento

dinâmico de estruturas é irrefutável.

Os carregamentos de vento, ondas do mar e sismos, são naturalmente

aleatórios. Uma análise espectral pode ser mais precisa para determinar as “ondas

de projeto” com diferentes períodos de recorrência, frequência e intensidade

diferentes.

Para melhor compreensão da ocorrência de terremotos, deve-se,

inicialmente entender a estrutura da Terra, ou seja, entender como se originam os

sismos.

O planeta Terra, desde sua formação vem passando por transformações em

sua geomorfologia e a teoria tectônica de placas facilita a compreensão das

geociências, desde o estudo de fósseis, até a sismologia, estudo de sismos. A partir

dessa teoria foi possível determinar que a superfície terrestre encontra-se

fragmentada em várias placas tectônicas e estas deslocam-se sobre a astenosfera,

camada que se situa logo abaixo da litosfera. Esta teoria surgiu com base em dois

fenômenos distintos. A deriva continental e a expansão dos fundos oceânicos.

(USGS, 2015).

2.1 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA

A terra é constituída por materiais sólidos, líquidos e gasosos, que se

concentram em camadas concêntricas. Essas camadas, apresentadas na FIGURA

2.1, variam a sua composição química e física, são: o núcleo, o manto e a crosta. A

FIGURA 2.1 obtida de Antunes (2010) foi descrita de acordo com Pena (2015).

15

FIGURA 2.1 – ESTRUTURA INTERNA DA TERRA FONTE – ANTUNES (2010)

a) Núcleo: a parte mais interna do planeta, pode ser dividido em núcleo

interno e núcleo externo. A parte interna do núcleo é sólida, com raio de

até 1220 km, chegando a atingir temperaturas de 5000°C. A parte

externa, ou núcleo líquido, envolve o primeiro, com raio de 2250 km,

também atinge elevadas temperaturas e ambos são compostos por ferro

e níquel.

b) Manto: trata-se de uma camada intermediária com abrangência de cerca

de 30 km – 2900 km de profundidade. É principalmente composto por

substâncias ricas de ferro e magnésio.

c) Crosta: é a camada que forma a maior parte da litosfera, podendo chegar

a 90 km de profundidade. A parte superficial, a primeira camada, é

formada principalmente por granito nos continentes e basaltos nos

oceanos. É a camada aonde se desenvolve a vida na terra.

As placas tectônicas são rígidas, são pequenas porções da litosfera, limitada

por zonas de convergência e divergência. O atrito entre elas gera um acúmulo de

energia, acumulando também tensões na crosta terrestre. As falhas geológicas, por

serem zonas frágeis, funcionam como uma válvula de escape dessas tensões

A movimentação das placas tectônicas ocorre devido à fraqueza relativa da

astenosfera. Como a temperatura da astenosfera é mais elevada, possui menor

rigidez sofrendo deformação quando sujeita a esforços. Os movimentos das placas

16

são devidos às “correntes de convecção”. Essas correntes são decorrentes de

movimentos ascendentes de material mais quente no manto (magma) em direção a

litosfera, que, ao atingir essa camada, tende a se movimentar de forma lateral.

Nas regiões de choque dessas placas, é onde os sismos ocorrem com maior

frequência e intensidade. O contato entre as placas pode ocorrer de três maneiras

distintas: convergentes, divergentes ou transformantes. O primeiro ocorre quando

duas placas se movem uma em direção à outra (ocorre a formação de cadeias

montanhosas). O segundo ocorre quando duas placas se afastam uma da outra. A

terceira acontece quando as placas deslizam ou encostam uma na outra.

Há também casos onde o contato entre as placas não se enquadra bem em

nenhum desses casos, sendo comumente designadas de fronteiras complexas. Um

exemplo desse tipo de contato se verifica na região mediterrâneo-alpina,

correspondente à fronteira entre as placas euroasiática e africana.

Qualquer material terrestre submetido a uma tensão que supere o seu limite

elástico de deformação, entra em um regime plástico de deformação, ou seja,

deformação permanente do material, podendo chegar a ruptura. Essa ruptura pode

acontecer de maneira dúctil ou frágil. Na primeira ocorre liberação gradativa da

energia, enquanto na segunda toda energia acumulada durante a deformação

elástica é liberada, em consequência dessa grande liberação de energia ocorrem os

sismos. (USGS, 2015).

Os regulamentos nacionais separam o território em regiões chamadas de

zonas sísmicas, e para cada uma delas, são fornecidas as informações necessárias

para a determinação da carga sísmica a ser utilizada.

No Brasil, até muito recentemente, não se tinha uma normalização

específica para projetos anti-sísmicos das estruturas. A primeira norma a ser

publicada foi a NBR 15421:2006 – Norma Brasileira de Estruturas Resistentes a

Sismos.

As solicitações sísmicas a serem consideradas no projeto de uma

construção são função de alguns fatores. A importância da estrutura, a intensidade

usual de sismos na região da obra, as características do subsolo em que se faz a

fundação, as características da resistência, de ductilidade da estrutura e o período

de vibração da estrutura.

17

2.2 ONDAS SÍSMICAS

As ondas sísmicas são movimentos vibratórios de partículas de rochas que

se transmitem segundo superfícies concêntricas devido à libertação de energia no

foco sísmico.

Os sismos se manifestam na superfície terrestre por meio da propagação

dessas ondas em todas as direções, a partir do foco, e são essas que levam a

vibração do solo. As ondas sísmicas são classificadas em dois grupos principais: as

ondas volumétricas e as ondas superficiais.

As ondas volumétricas se propagam no interior da terra. Apresentam

trajetórias radial devido as variações de densidade e composições no interior da

terra. Tratam-se de ondas que se propagam num espaço tridimensional, a partir de

uma fonte pontual, onde sua amplitude decresce de maneira inversamente

proporcional à distância da fonte. Existem dois tipos de ondas de volume: ondas S e

ondas P. (OBSIS, 2015).

2.2.1 Ondas P

Ondas P ou primárias são as ondas mais rápidas, e consequentemente

chegam primeiro a superfície do solo, propagam-se em todos os estados da matéria

(sólido, líquido e gasoso), havendo variação na velocidade de propagação da onda,

quando esta passa de um meio para outro. São ondas longitudinais, que fazem com

que a rocha vibre paralelamente à direção da onda, como ilustrado na FIGURA 2.2.

(OBSIS, 2015).

2.2.2 Ondas S

Ondas S ou secundárias, são ondas transversais ou de cisalhamento, nas

quais as partículas que transmitem a onda oscilam perpendicularmente à direção de

propagação. As ondas S propagam-se apenas em meios sólidos, uma vez que os

fluidos (líquidos e gases) não suportam forças de cisalhamento. Sua velocidade de

propagação é inferior à das ondas P. (OBSIS, 2015).

18

FIGURA 2.2 – ONDAS “P” E “S” FONTE – OBSIS (2015)

As ondas superficiais podem ser oriundas das ondas volumétricas que

alcançam a superfície. Estas são geralmente responsáveis pela maior destruição

causada. Basicamente estas ondas são geradas por uma perturbação exercida em

uma superfície livre e que se propaga por ela. São classificadas em dois tipos de

ondas: ondas de Rayleigh e ondas de Love. (OBSIS, 2015).

2.2.3 Ondas de Rayleigh (R)

As ondas de Rayleigh, ou ondas R, são ondas formadas em um plano

vertical, podendo ser resultados da interferência de ondas P e S. Essas ondas

provocam vibrações no sentido contrário à propagação da onda, ou seja, em um

movimento de rolamento (descrevem uma órbita elíptica), e sua amplitude diminui

rapidamente com a profundidade. (OBSIS, 2015).

2.2.4 Ondas de Love (L)

19

São ondas de superfície que produzem cisalhamento horizontal, geram um

movimento processado apenas no plano horizontal, em um ângulo reto,

perpendicular à direção de propagação da onda. São ondas de torção. Na FIGURA

2.3 é possível observar o movimento das ondas “L” e “R”. (OBSIS, 2015).

FIGURA 2.3 – ONDAS “L” E “R” FONTE – OBSIS (2015)

2.3 PARÂMETROS SÍSMICOS

Outros conceitos referentes à sismologia são os de magnitude e intensidade.

Ambos determinam o tamanho do sismo, porém representam conceitos distintos,

segundo a Sociedade Portuguesa de Engenharia Sísmica. A intensidade é uma

grandeza qualitativa e está relacionada com o modo em que se sente a vibração do

solo e os danos produzidos pelo sismo, enquanto que a magnitude é uma grandeza

quantitativa e está relacionada com o tamanho da fonte e a energia liberada durante

o sismo. A magnitude é a mesma, quer nos encontremos perto ou distantes do

epicentro. (BRASIL e SILVA, 2013).

20

2.3.1 Magnitude sísmica

De acordo com Brasil e Silva (2013), a magnitude sísmica é baseada na

análise de sismogramas, em medições precisas de ondas sísmicas. Indica a

quantidade de energia liberada por um evento sísmico. Existem diferentes maneiras

de determinar a magnitude dos terremotos.

Os sismos são medidos, de forma absoluta, pela quantidade de energia que

liberam. Esta medida é chamada de magnitude. Charles F. Richter apresentou em

1935 a Escala Richter de Magnitude, calculada como o logaritmo decimal da

amplitude máxima do registro sísmico, em mícron (10-6m), registrada por sismógrafo

do tipo Wood-Anderson, a uma distância de 100 Km do epicentro do sismo. Como,

em geral, não se tem sismógrafos distante do epicentro naquela distância, é

necessário se fazer uma correção, quando então se tem para a magnitude:

01010 loglog AAM −= (2.1)

sendo: A a amplitude máxima do registro sísmico e 0A é um fator de correção que

corresponde a uma leitura do sismógrafo produzida por um sismo padrão ou de

calibração, geralmente adotado como 0,001 mm. A energia E liberada, em Joules,

por um sismo de magnitude M na escala Richter é avaliada empiricamente como:

ME 5,14,11log10 += (2.2)

Sismos com magnitude menor do que cinco geralmente provocam danos de

pouca monta. Já os de magnitude superior a cinco são potencialmente muito

destrutivos. A profundidade do hipocentro, local no interior da terra onde se inicia a

ruptura do material rochoso ocorrendo a libertação de energia sob forma de ondas

sísmicas, é um fator que também afeta os efeitos destrutivos de um sismo. Um

sismo com hipocentro muito profundo pode ter efeito destrutivo menor do que outro

de igual magnitude, em que o hipocentro esteja mais próximo da superfície. Na

TABELA 2.1 encontram-se listados a magnitude dos terremotos e a quantidade de

energia liberada.

21

Embora a magnitude quantifique a energia liberada por um sismo, não

fornece indicação dos danos por ele causados, que são diferentes nos diversos

locais afetados. A intensidade é uma medida destes danos.

TABELA 2.1 – VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO

Magnitude Energia (ergs)

1 2,0x1013

2 6,3x1014

3 2,0x1016

4 6,3x1017

5 2,0x1019

6 6,3x1020

7 2,0x1022

8 6,3x1023

FONTE: BRASIL e SILVA (2013).

2.3.2 Intensidade sísmica

Para cada sismo existe um valor único de magnitude, porém seus efeitos

podem variar em função de fatores como, por exemplo, a qualidade das

construções, a distância da zona epicentral, características geológicas locais, entre

outros fatores. A intensidade sísmica é uma medida desses danos. Entende-se que

um mesmo sismo irá receber classificações diferentes de intensidades em diferentes

locais, sendo seus efeitos mais severos nas zonas mais próximas aos epicentros.

A primeira escala de intensidades foi desenvolvida em 1833 por Rossi e

Forel. Em 1902 Mercalli e em 1904 Cancani apresentaram suas escalas. Entretanto,

em 1931, Newman e Wood apresentaram a Escala Modificada de Mercalli (MMI) de

uso muito difundido, e que apresenta 12 graduações de intensidade, apresentadas

na TABELA 2.2: (LIMA; SANTOS, 2008).

22

TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI

Intensidade Descrição

I Imperceptível para as pessoas. Corresponde aos efeitos secundários e de componentes de período longo de grandes terremotos.

II Sentido por pessoas em repouso, em andares altos ou em locais muito favoráveis para isto.

III Sentido no interior de edificações. Objetos suspensos balançam. Vibração similar ao tráfego de caminhões leves. A duração pode ser estimada. Pode ser reconhecido como um terremoto.

IV

Objetos suspensos balançam. Vibração similar ao tráfego de caminhões pesados, ou sensação de impacto similar à de uma bola pesada batendo nas paredes. Carros parados balançam. Janelas, pratos e portas vibram. Vidros estalam. Louças se entrechocam. Na faixa superior da intensidade IV, paredes de madeira e pórticos fissuram.

V

Sentido nas ruas; a direção pode ser estimada. Pessoas acordam. Líquidos são perturbados, alguns são derramados. Pequenos objetos instáveis são deslocados ou derrubados. Portas oscilam, fecham e abrem. Venezianas e quadros movem-se. Relógios de pêndulo param, voltam a funcionar ou alteram o seu ritmo.

VI

Sentido por todos. Muitos se assustam e correm para as ruas. As pessoas andam de forma instável. Janelas, pratos e objetos de vidro são quebrados. Pequenos objetos, livros, etc. caem das estantes. Quadros caem das paredes. A mobília é deslocada ou tombada. Reboco e alvenaria fracos apresentam rachaduras. Pequenos sinos (de igrejas e escolas) tocam. Árvores e arbustos movem-se visivelmente.

VII

Difícil manter-se de pé. Notado pelos motoristas. Objetos suspensos oscilam fortemente. A mobília quebra-se. Danos e rachaduras em alvenaria fraca. Queda de reboco; tijolos, pedras, telhas, cornijas, parapeitos não contraventados e ornamentos arquitetônicos soltam-se. Algumas rachaduras em alvenaria normal. Ondas em reservatórios e água turva com lama. Pequenos escorregamentos e formação de cavidades em taludes de areia ou pedregulho. Sinos grandes tocam. Canais de irrigação de concreto danificados.

VIII

Condução de veículos afetada. Danos e colapso parcial em alvenaria comum. Algum dano em alvenaria sólida e nenhum em alvenaria reforçada. Queda de estuque e de algumas paredes de alvenaria. Torção e queda de chaminés, inclusive as de fábricas, monumentos, torres e tanques elevados. Casas em pórtico movem-se em suas fundações, quando não arrancadas do solo. Pilhas de destroços derrubadas. Galhos quebram-se nas árvores. Mudanças na vazão ou temperatura de fontes. Rachaduras em chão úmido ou taludes íngremes.

IX

Pânico geral. Alvenaria fraca destruída; alvenaria comum fortemente danificada, as vezes com colapso total. Alvenaria sólida seriamente danificada. Danos gerais em fundações. Estruturas em Pórtico, quando não arrancadas, deslocadas em suas fundações. Pórticos rachados. Rachaduras significativas no solo. Em áreas de aluvião, areia e lama arrastadas; criam-se minas d’água e crateras na areia.

Continua

23

TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI

Continuação

Intensidade Descrição

X

A maioria das alvenarias e estruturas em pórtico destruídas com suas fundações. Algumas estruturas de madeira bem construídas e pontes destruídas. Danos sérios em barragens, diques e taludes. Grandes deslizamentos de terra. Água lançada nas margens de canais, rios, lagos, etc. e Lama lançada horizontalmente em praias e terrenos planos. Trilhos ligeiramente entortados.

XI Trilhos bastantes entortados. Tubulações subterrâneas completamente fora de serviço.

XII Destruição praticamente total. Grandes massas de rocha deslocadas. Linhas de visão e nível distorcidas. Objetos lançados no ar.

FONTE: LIMA E SANTOS (2008, p. 127).

2.3.3 Profundidades

Quanto a profundidade, os sismos podem ser classificados de três formas:

superficiais, intermediários e profundos.

Os superficiais, com profundidade focal inferior a 70km, são responsáveis

por 85% da energia anual liberada pelos sismos. Os intermediários, com

profundidade focal entre 70 e 300km, são responsáveis por cerca de 12% dos

sismos produzidos no globo. E, finalmente, os profundos, com hipocentros

localizados em profundidades superiores a 300km, representam cerca de 3% da

energia sísmica global. (OBSIS, 2015).

2.3.4 Medição sísmica

O sismógrafo é um aparelho que permite converter os movimentos de

vibração do solo em um registro possível de visualização. Este aparelho consiste

num sensor que detecta e mede as ondas sísmicas naturais ou induzidas e permite

determinar, a posição exata do foco (hipocentro) dessas ondas e do ponto de

chegada na superfície terrestre (epicentro).

2.3.5 Sismograma

24

O sismograma é uma representação visual dos movimentos do solo,

produzidos pela conversão do sinal do sismógrafo para um registro temporal do

evento sísmico.

O sismograma de um evento sísmico recebe inúmeros sinais de ondas

sísmicas que percorrem vários percursos diferentes através da Terra, desde a fonte

até o receptor. A FIGURA 2.4 mostra um exemplo de um evento sísmico expresso

em sismograma.

FIGURA 2.4 – EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA FONTE – Universidade do Algarve (2015)

Como as ondas P são as mais rápidas, elas são as primeiras a chegar,

correspondendo então, à primeira fase do sismograma. A próxima fase é relacionada

com as ondas S, que normalmente tem uma amplitude superior à das ondas P. Na

sequência, chegam as perturbações associadas com as ondas superficiais (ondas

com comprimentos de ondas muito elevados), também caracterizadas por possuírem

uma amplitude mais elevada que a das ondas volumétricas. Dentre as ondas

superficiais, as ondas Love deslocam-se com praticamente a mesma velocidade das

ondas S, chegando mais rapidamente que as ondas Rayleigh.

Uma estação sismográfica deve ser composta por três sismógrafos

diferentes: um sensível às vibrações Norte-Sul, outro às Leste-Oeste e um terceiro

para as vibrações verticais. Com a utilização conjunta desses equipamentos, é

possível determinar a direção e distância do epicentro, a magnitude e o tipo de falha

que gerou o sismo. Atualmente as redes sismográficas interligam várias estações, o

que permite determinar com maior precisão a localização do hipocentro e do

25

epicentro, assim como produzir melhores estimativas de outros parâmetros. (OBSIS,

2015).

2.4 SISMICIDADE BRASILEIRA

O Brasil, por se situar no interior da placa tectônica da América do Sul, uma

região continental mais estável, como mostra a FIGURA 2.5, apresenta uma

sismicidade bem inferior quando comparada com países mais próximos às regiões

de encontro das placas tectônicas, como ocorre com o Chile por exemplo, situado na

zona de contato entre as placas Nazca e Sul-americana, apresentando sismos mais

frequentes e de maiores magnitudes.

FIGURA 2.5 – MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL FONTE – USGS (2015)

A sismicidade na América do Sul, de acordo com o instituto de pesquisa U.S.

Geological Survey, apresenta as características reproduzidas na FIGURA 2.6 a

seguir.

26

FIGURA 2.6 – SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL FONTE – USGS (2006)

FIGURA 2.7 – MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO FONTE – OBSIS (2015)

No mapa acima (FIGURA 2.7), nota-se a ausência de sismicidade em

algumas áreas, principalmente nas regiões Sul, Norte e Centro-Oeste, o que não

significa necessariamente que estão ausentes de sismos, podendo inclusive, ter

27

interferência nos resultados devido a instalações tardias de estações sismográficas.

A região Nordeste é a mais afetada e onde se registra a maior atividade sísmica.

Como se pode observar, os sismos de grande magnitude não são frequentes

no Brasil. Isso é bom, contudo, como é pouco frequente, usualmente o efeito dos

sismos não são considerados na hora de se projetar. Assim, caso ocorram eventos

significativos, principalmente em cidades mais populosas, com grande número de

construções, as consequências podem ser desastrosas.

2.5 FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS

Um estudo realizado em 2002, coordenado pelo professor Allaoua Saadi,

ligado à Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), gerou o primeiro Mapa

neotectônico do Brasil. Neste estudo, identificaram-se 48 falhas geológicas mestras

em todo território nacional (FIGURA 2.8), locais onde “nascem” os terremotos. “Hoje,

poderíamos acrescentar algumas outras a esse total, sem falar nas falhas

secundárias”, afirmam Saadi et. al. (2005).

28

FIGURA 2.8 – MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS FONTE: APOLO 11 (2011)

29

3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS

Carga dinâmica é aquela que apresenta variação no tempo, seja em sua

magnitude, direção ou posição. Esta variação introduz na estrutura acelerações e

velocidades, além de deslocamentos, gerando como consequência forças de inércia

e de amortecimento. A grande maioria das cargas possíveis de serem consideradas

em estruturas de obras civis tem natureza dinâmica (LIMA; SANTOS, 2008).

Segundo Brasil e Silva (2013) se a aplicação dos esforços apresentam

pequena variação no tempo, é usual não levar em conta o aparecimento de forças

de inércia e por simplificação serem tratadas como estáticas. Caso contrário, deve-

se considerar a necessidade de análise dinâmica em estruturas que, por exemplo,

suportem máquinas e equipamentos, tráfego de veículos, estejam sobre efeito de

vento, sismos, entre outros.

Considerando a forma da variação no tempo, uma carga pode ser

classificada como harmônica, periódica, transiente ou impulsiva. A carga é dita

harmônica quando sua variação no tempo pode ser representada pela função seno

(ou cosseno). Este tipo de carga é característico de máquinas rotativas que

apresentam massa desequilibrada, como turbinas, geradores e bombas centrífugas.

Carga periódica é aquela que apresenta repetições a um intervalo regular de tempo,

chamado periódico. Uma carga que represente as forças geradas por uma máquina

rotativa em operação é também essencialmente periódica. Carga transiente é a que

apresenta variação arbitrária no tempo, sem periodicidade. Vento e terremoto são

exemplos deste tipo de carga. Carga impulsiva é também uma carga transiente, com

a característica de ter uma duração muito curta (LIMA; SANTOS, 2008). Na FIGURA

3.1 é apresentada os tipos característicos de gráficos de cargas dinâmicas

harmônica (item a), periódica (item b), impulsiva (item c) e transiente (item d).

30

FIGURA 3.1 – TIPOS DE CARGA DINÂMICA FONTE – CLOUGH E PENZIEN (2003)

3.1 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL)

FIGURA 3.2 – SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR FONTE – LIMA E SANTOS (2008)

Seja o sistema mostrado na FIGURA 3.2, a massa m está concentrada no

bloco de corpo rígido que é limitada por rodas, de modo que o movimento ocorre

somente por translação simples. Assim o único sistema de coordenada x(t) define a

31

sua posição. A resistência elástica do deslocamento é proporcionada por uma mola

elástica de rigidez k enquanto que a perda de energia do mecanismo é representado

pelo amortecedor de constante c (CLOUGH; PENZIEN, 2003).

Segundo Lima e Santos (2008) a equação do movimento de um sistema de

um grau de liberdade pode ser estabelecido pelo Princípio de d’Alembert

adicionando-se às forças externas aplicadas, uma força fictícia chamada de força de

inércia, proporcional à aceleração e com sentido contrário ao do movimento, sendo a

constante de proporcionalidade igual à massa do sistema. Considerando o diagrama

de corpo livre (DCL) mostrado na FIGURA 3.3, temos que:

)()()()( tFtkxtxctxm =++ &&& (3.1)

FIGURA 3.3 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE FONTE – LIMA E SANTOS (2008)

3.2 SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

3.2.1 Equação de equilíbrio dinâmico

Neste item é introduzido um estudo apresentado por Lima e Santos (2008)

de um pórtico de três andares sujeitos às forças f1(t), f2(t) e f3(t) aplicadas

(externamente) ao nível dos andares, conforme mostrado na FIGURA 3.4(a).

Considera-se as vigas e pilares sem deformação axial, as vigas apresentam inércia

à flexão infinita e a massa da estrutura é aplicada ao nível dos andares, têm-se um

total três graus de liberdade, que apresentam variações dos deslocamentos no

32

tempo chamadas, respectivamente, de d1(t), d2(t) e d3(t). Por simplificação no que

se segue, os deslocamentos e suas derivadas primeira e segunda em relação à

variável tempo, para a coordenada j são representadas por jd , jd& e jd&& ,

respectivamente. As rigidezes dos andares são denominadas por k1, k2 e k3 e os

coeficientes de amortecimento por c1, c2 e c3. Na EQUAÇÃO (3.4)(b) encontram-se

o DCL da massa 1m , Aplicando a equação de equilíbrio dinâmica da referida massa

tem-se:

)()()( 1221212212111 tfdkdkkdcdccdm =−++−++ &&&& (3.2)

A equação do movimento (EQUAÇÃO (3.2)) é meramente uma expressão

de equilíbrio de forças dada por (CLOUGH; PENZIEN, 2003):

)(tffff jKjDjIj =++ (3.3)

onde, Ijf , Djf , Kjf e jf representam as forças de inércia, de amortecimento, elástica e

externa, respectivamente.

FIGURA 3.4 – PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES FONTE – LIMA E SANTOS (2008)

33

Com equação de equilíbrio dinâmico para o pórtico apresentado na FIGURA

3.4, obtém-se o seguinte sistema de equações:

=

−−+−

−+

+

−−+−

−++

)(

)(

)(

0

0

0

0

00

00

00

3

2

1

33

3322

221

33

3322

221

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

tf

tf

tf

d

d

d

kk

kkkk

kkk

d

d

d

cc

cccc

ccc

d

d

d

m

m

m

&

&

&

&&

&&

&&

(3.4)

Ou pode-se demonstrar as matrizes da EQUAÇÃO (3.4) de forma compacta

(LIMA; SANTOS, 2008):

)(~~~~~~~

tfdKdCdM =++ &&& (3.5)

onde ~

M , ~C e

~K são, respectivamente, as matrizes de massa, de amortecimento e

de rigidez e ~d ,

~d& ,

~d&& e )(

~tf os vetores de deslocamentos, velocidades, acelerações

e forças aplicadas, respectivamente. As matrizes ~

M , ~

C e ~K são de ordem n, sendo

n o número de graus de liberdade.

O termo genérico ij

K~

da matriz de rigidez, chamado de coeficiente de rigidez,

representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposto

um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade j, mantendo todos os

demais deslocamentos nulos. O termo genérico ij

M~

da matriz de massa representa

a força na direção do grau de liberdade i quando é imposta uma aceleração unitária

na direção do grau de liberdade j. Já o termo ij

C~

da matriz de amortecimento

representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposta

uma velocidade unitária na direção do grau de liberdade j.

3.2.2 Sistema não amortecido

34

Particularizando a EQUAÇÃO (3.5) para a situação de um sistema sem

amortecimento, tem-se:

)(~~~~~

tfdKdM =+&& (3.6)

3.2.3 Vibração livre

3.2.3.1 Frequência e modo de vibração natural

Desprezando-se o amortecimento e adotando carregamento nulo, os únicos

movimentos possíveis se devem às condições iniciais de deslocamento (BRASIL;

SILVA, 2013). Deste modo a EQUAÇÃO (3.6) se particulariza para:

0~~~~

=+ dKdM && (3.7)

A solução que representa a vibração livre de um sistema segundo um de

seus modos de vibração, é dada por (LIMA; SANTOS, 2008):

)(~~

tqd jj

φ= (3.8)

onde: j~

φ é um vetor constante que fisicamente representa uma deformada; )(tq j é

uma função harmônica na forma:

)sin()cos()( tBtAtq njjnjjj ωω += (3.9)

sendo:

m

kn =ω (3.10)

35

nω é uma propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular

expressa em radianos por segundos;

jA e jB representam as constantes de integração determinadas a partir das

condições iniciais do movimento.

Substituindo-se a EQUAÇÃO (3.9) na EQUAÇÃO (3.8) tem-se:

[ ])sin()cos(~~

tBtAd njjnjjj

ωωφ += (3.11)

Substituindo-se a EQUAÇÃO (3.11) na EQUAÇÃO (3.7), obtêm-se:

~~~~~

2 0)( =

+− tqKM jjj

njφϕω (3.12)

A igualdade expressa pela EQUAÇÃO (3.12) pode ser atendida com

0)( =tq j significando a não existência de movimento, não tendo esta solução

interesse para a dinâmica. Outra forma da igualdade a ser atendida é o termo entre

parênteses ser nulo, o que implica na determinação de valores para nj

ω e j~

φ que

satisfaçam à condição da EQUAÇÃO (3.13) (LIMA; SANTOS, 2008):

jjKM

nj~~~~

2 φφω = (3.13)

Ou reescrevendo, tem-se a EQUAÇÃO (3.14):

( )~~~

2

~0=−

jMK

njφω (3.14)

Para que seja possível soluções não triviais, o determinante da matriz entre

colchetes deve ser nulo (BRASIL; SILVA, 2013):

( ) 0det~

2

~=− MK

njω (3.15)

36

O desenvolvimento de EQUAÇÃO (3.15) leva a um polinômio de ordem N,

sendo N o número de graus de liberdade, em relação a 2nj

ω dito polinômio

característico. As N raízes deste polinômio, chamadas de autovalores ou valores

característicos, fornecem as N frequências circulares nj

ω , que podem ser

ordenadas na forma crescente, sendo 1n

ω , a menor delas, conhecida como

frequência circular fundamental e as demais como harmônicos superiores (LIMA;

SANTOS, 2008).

Substituindo-se na EQUAÇÃO (3.14), os valores calculados para as

frequências, por exemplo, nj

ω , calcula-se um vetor j~

φ chamado de auto-vetor ou

modo de vibração natural. Entretanto, não é possível a determinação dos valores

absolutos para as componentes de j~

φ , o que é explicado pelo fato de a condição

imposta pela EQUAÇÃO (3.15) implicar em que o sistema de equações seja

indeterminado (LIMA; SANTOS, 2008).

Para poder calcular os modos correspondentes a cada frequência é

necessário arbitrar uma das componentes. Uma possível forma de fazer isso é fazer

a primeira coordenada de cada modo unitária. Com esse valor admitido, as outras

coordenadas poderão ser determinadas univocamente. Assim , pode-se determinar

os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz modal n x n, cujas colunas são

os N modos de vibração livre, não amortecidos, normalizados (BRASIL; SILVA,

2013).

Lima e Santos (2013) apresentam um caso particularmente interessante e

muito utilizado para normalizar os autovetores, definido pela EQUAÇÃO (3.16):

j

T

j

j Mj ~~~

~

~ φφ

φφ = (3.16)

onde: j~

φ representa o autovetor antes da normalização;

T significa transposição.

37

Podem-se determinar os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz

modal n x n, cujas colunas são os N modos de vibração livre, não amortecidos,

normalizados (BRASIL; SILVA, 2013).

:

=Φ

NNN

N

,1,

,11,1

~

...

.....

.....

.....

...

φφ

φφ

(3.17)

Os N autovalores podem ser colocados em uma matriz diagonal chamada de

matriz espectral, como (LIMA; SANTOS, 2008):

=

=

2

2

21

~

...0

.....

....

.....

0...

...0

.....

....

.....

0...1

nN

nj

n

N

j

ω

ω

ω

λ

λ

λ

λ (3.18)

Com esta representação a EQUAÇÃO (3.13) pode ser reescrita como:

~~~~~Φ=Φ KM λ (3.19)

3.2.3.2 Ortogonalidade dos modos de vibração

Os modos de vibração livre não amortecidos possuem a propriedade de

serem ortogonais com relação às matrizes de rigidez e de massa (BRASIL; SILVA,

2013). A condição de ortogonalidade, estabelecida para condições de frequências

distintas, isto é njni

ωω ≠ , e sendo I a matriz identidade, é definida pelas seguintes

equações (LIMA; SANTOS, 2008):

38

~~~~IMT =ΦΦ (3.20)

~~~~λ=ΦΦ KT (3.21)

3.2.4 Movimentação da base

Chopra (1995) define a aceleração do solo durante um terremoto como o

melhor modo de representar o efeito de sismos nas estruturas. Através do modelo

de pórtico de três andares, apresentado por Lima e Santos (2008) define-se um

movimento caracterizado por )(tdb , )(tdb& e )(tdb

&& , respectivamente deslocamento,

velocidade e aceleração atuantes na base.

Na determinação das forças elásticas e de amortecimento interessam os

deslocamentos relativos entre andares. Os deslocamentos dos andares em relação

ao da base podem ser escritos como (LIMA; SANTOS, 2008):

{ } bddu 1~~−= (3.22)

onde ~u é o vetor de deslocamento relativos à base e { }1 é um vetor de ordem N com

todos os termos iguais a um. Na EQUAÇÃO (3.22), por simplicidade, foi omitida a

indicação do tempo. Ainda considerando a EQUAÇÃO (3.22), escreve-se:

{ } bddu &&& 1~~

−= (3.23)

{ } bddu &&&&&& 1~~

−= (3.24)

39

FIGURA 3.5 – MOVIMENTAÇÃO DA BASE FONTE – LIMA E SANTOS (2008)

Com o DCL mostrado na FIGURA 3.5 obtém-se as equações de equilíbrio

dinâmico:

0)()()( 111111 =−++−+++ ++++++ iiiiiiiiiibii ukukkucuccdum &&&&&& (3.25)

Generalizando para todas as massas e considerando, a princípio, o sistema

sem amortecimento, esta equação pode ser escrita do seguinte modo:

{ } bdMdKuM &&&& 1~~~~~

−=+ (3.26)

O deslocamento da base pode ser estudado como sendo uma vibração

forçada provocada por forças fictícias, também chamadas de forças efetivas, dadas

por (LIMA; SANTOS, 2008):

{ } bEFET

dMf &&1~~

−= (3.27)

40

As soluções para o problema são, neste caso, obtidas em termos dos

deslocamentos relativos à base, ~u.

Em particular, é de interesse para o engenheiro o máximo deslocamento a

partir do qual se pode calcular a máxima força elástica, obtido de um Espectro de

Projeto ou de Resposta Elástica (BRASIL; SILVA, 2013).

3.3 ESPECTROS DE RESPOSTA

Um gráfico que mostre a resposta máxima, seja em termos de

deslocamentos, velocidades, acelerações ou qualquer outra grandeza, em função do

período natural ou da frequência natural para um SGL, considerando uma

determinada excitação é chamado de espectro de resposta. O período natural,

expresso em segundos, é dado por (LIMA; SANTOS, 2008):

nnT

ωπ2= (3.28)

O inverso do período natural fornece a frequência natural. nω é uma

propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular expressa em

radianos por segundos.

Conhecido o espectro de resposta de uma dada excitação, a resposta

máxima para um SGL é facilmente determinada desde que conhecido o seu período

natural nT . Entretanto, a informação sobre o instante no tempo onde ocorre a

resposta máxima não fica disponível.

3.3.1 Espectros de resposta para forças

Seja um SGL sujeito a uma força qualquer atuando por um tempo ft . Para

instantes t menores ou iguais ao tempo de aplicação de uma carga ft o movimento

é de vibração forçada e a resposta do sistema pode ser obtida pela integral de

Duhamel a seguir:

41

[ ] ττωτω

τξω dtseneFm

txt

nt

n

n∫ −= −−

0

)( )()(1

)( (3.29)

sendo:

ξ o fator de amortecimento, dado por (BRASIL; SILVA, 2013):

ωξ

mc

2= (3.30)

m = massa;

c= constante de amortecimento;

)(τF é a força impulsiva no instante τ .

Para instantes ftt > o movimento é de vibração livre, para as condições

iniciais tfxx =)0( e tfxx && =)0( a equação é dada por:

)()cos()( tsenx

txtx nn

tnt

f

fω

ωω

&

+=

(3.31)

Para a obtenção do espectro a resposta é calculada, utilizando-se, por

exemplo, a integral de Duhamel, para uma faixa de frequências de interesse, sendo

retida para cada uma daquelas frequências o valor máximo obtido.

Na FIGURA 3.6, como exemplo, reúnem-se os espectros não amortecidos,

em termos do fator de amplificação dinâmica máxima ( maxDA ), para forças com

função retangular (curva a), triangular decrescente (curva b) e parabólica (curva c).

Brasil e Silva (2013) definem a amplificação dinâmica máxima como sendo a

razão entre o deslocamento dinâmico máximo e o deslocamento obtido pela

aplicação estática da amplitude máxima. A EQUAÇÃO (3.32 obtida de Lima e

Santos (2008) exprime esta relação:

2,12

1

ξξ −=MÁXDA (3.32)

42

FIGURA 3.6 – ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS FONTE – LIMA E SANTOS (2008)

3.3.2 Espectros de resposta para aceleração da base

Espectros de resposta para aceleração da base são de grande importância

na análise sísmica. A forma mais direta para se obter o espectro de resposta relativo

a um determinado registro sísmico consiste na utilização de um equipamento capaz

de medir a resposta dinâmica ao longo do tempo (por exemplo, a aceleração

absoluta) de um conjunto de osciladores lineares de SGL, caracterizados por um

mesmo valor de amortecimento e diferentes valores de frequência circular de

interesse.

Seja um SGL sujeito ao deslocamento harmônico de sua base. A equação

diferencial do movimento relativo, devido à aceleração da base é dada pela seguinte

equação:

)()()(2)( 2 txtututu bnn&&&&& −=++ ωξω

sendo )(txb&& a aceleração absoluta da base.

(3.33)

Conhecida a aceleração da base e definindo o amortecimento, a EQUAÇÃO

(3.33) pode ser resolvida para vários valores de nω , utilizando qualquer método de

solução para a equação diferencial. Utilizando-se a integral de Duhamel obtém-se:

43

[ ]∫ −= −−t

Dt

bD

dtsenetxtu n

0

)( )()(1

)( ττωω

τξω&& (3.34)

[ ] [ ]∫ −+−−= −−t

DDDnt

bD

ttsenetxtu n

0

)( )(cos)({)(1

)( τωωτωξωω

τξω&&&

(3.35)

sendo Dω a frequência circular amortecida.

Calculados os deslocamentos e velocidades, as acelerações absolutas são

obtidas com o auxílio da EQUAÇÃO (3.33) resultando em:

)()(2)( 2 tututx nn ωξω −−= &&& (3.36)

A parcela )(2 tunω é chamada de pseudo-aceleração e para sistemas

levemente amortecidos é uma boa aproximação da aceleração absoluta, podendo-

se neste caso escrever:

)()( 2 tutx nω−=&& (3.37)

Os valores máximos dos deslocamentos relativos e acelerações absolutas,

respectivamente máxu e máxx&& , são chamados de deslocamentos e acelerações

espectrais, dS e aS . A variação destas grandezas, em função do período natural de

um SGL, constitui-se nos espectros de deslocamentos e aceleração. Considerando a

EQUAÇÂO (3.37) escreve-se a relação:

dna SS 2ω= (3.38)

A pseudo-velocidade espectral é uma velocidade fictícia, que para sistemas

levemente amortecidos e períodos naturais também pequenos, fornece uma boa

aproximação para a velocidade relativa da massa, sendo dada por:

dnv SS ω= (3.39)

44

As forças elásticas máximas podem ser obtidas a partir do deslocamento

espectral ou da aceleração espectral:

adndmáx mSmSkSfs === 2ω (3.40)

Os espectros de resposta de projeto são determinados por meio da

suavização, média ou envoltória de espectros de resposta de terremotos reais,

definidos a partir de uma análise de registros de terremotos significativos ocorridos

na região. Assim, pode-se realizar a aplicação ou extrapolação de um espectro

padronizado para análises de estruturas futuras. Contudo, para cada região pode ser

necessário ajustar o acelerograma. Desta forma, a partir do gráfico de espectro de

projeto, podem-se avaliar os valores máximos de resposta da estrutura a uma gama

de possíveis carregamentos sísmicos para posterior dimensionamento. (PARISENTI,

2011).

A análise por espectro de resposta consiste em se considerar isoladamente

a resposta de cada modo de vibração da estrutura, obtendo-se os valores máximos

de cada modo. Para se obter os valores máximos de resposta da estrutura pode-se

aplicar 3 procedimentos distintos de combinação modal, conforme é apresentado por

CLOUGH e PENZIEN (1995):

• Soma dos valores absolutos das contribuições de cada modo (ABSSUM

– “Absolute Summation”)

• Raiz quadrada da soma dos valores máximos ao quadrado de todos os

modos (SRSS - “Square Root of Sum of Squares”)

• Combinação quadrática completa (CQC – “Complete Quadratic

Combination”)

A soma dos valores absolutos das contribuições de cada modo é um

processo conservador, mas fornece bons resultados para as estruturas em que a

resposta do primeiro modo predomina sobre as demais (PARISENTI, 2011). A

equação é dada por:

∑=

≤N

jNmáx jmáx

EE1

, (3.41)

45

A regra de combinação modal SRSS fornece excelentes estimativas da

resposta para estruturas com frequências naturais bem separadas. Deve-se ter

cuidado na aplicação dessa regra em edifícios com planta assimétrica, pois estas

estruturas podem apresentar frequências naturais muito próximas (PARISENTI,

2011). Conforme apresentado por Lima e Santos (2008), a equação é dada por:

2/1

1

2

,

≅ ∑

=

N

jNmáx imáx

EE (3.42)

A regra de combinação modal CQC é aplicável a uma vasta classe de

estruturas e ultrapassa as limitações da regra SRSS. A estimativa de resposta obtida

pela regra CQC pode ser superior ou inferior à estimativa fornecida pela regra SRSS

(PARISENTI, 2011). Conforme apresentado por Lima e Santos (2008), a equação é

dada por:

2/1

11,,

≅ ∑∑

==

N

jNNij

N

imáx jmáximáx

EEE ρ (3.43)

sendo ijρ o coeficiente de correlação entre os modos i e j. Existem mais de uma

expressão para a sua avaliação. A mais utilizada é atribuída a A. Der Kiureghian

(1981) citada por Lima e Santos (2008):

2222

2/32

)1(4)1(

)1(8

ijijij

ijij rrr

rrij

++−+

=ξ

ξρ (3.44)

onde ξ é o fator constante de amortecimento e nj

niijr

ωω= a relação entre as

frequências circulares naturais dos modos i e j.

46

4 PROJETO DE ESTRUTURAS RESISTENTES A SISMOS CONFOR ME

NORMA BRASILEIRA NBR 15421(2006)

A primeira normalização brasileira com prescrições de procedimentos para

projetos de estruturas resistentes a sismos, a NBR15421, vigora desde Outubro de

2006, complementando as demais normas brasileiras de projeto estrutural.

4.1 DEFINIÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS DE PROJETO

Para estabelecer os procedimentos a serem adotados na análise sísmica de

uma estrutura, inclusive cargas sísmicas de projeto, a Norma NBR 15421 (2006)

considera a zona sísmica onde a estrutura se localiza, as características do terreno

de fundação, o tipo de ocupação, o sistema estrutural adotado, a regularidade e

ductilidade da estrutura e outros aspectos que serão a seguir comentados.

De acordo com a NBR 8681 (2003), as ações sísmicas devem ser

consideradas como ações excepcionais. As verificações exigidas nos estados limites

de serviço de deformações excessivas, tem o objetivo principal de limitação dos

dados causados pelos sismos às edificações. Defini-se também, os seguintes

coeficientes de ponderação a considerar para efeito de combinações últimas para

ações sísmicas:

• Permanente desfavoráveis: 2,1=gγ

• Variáveis desfavoráveis: 0,1=gγ

• Excepcionais: 0,1=gγ

4.2 ZONEAMENTO SÍSMICO BRASILEIRO

Os valores definidos como característicos para as ações sísmicas, são

aqueles que tem 10% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido

desfavorável, durante um período de 50 anos, o que corresponde a um período de

retorno de 475 anos.

47

Cinco zonas sísmicas são definidas no território brasileiro. No mapa de

zoneamento, consta os valores da aceleração característica de projeto para cada

zona. Para estruturas localizadas nas zonas sísmicas 1 a 3, os valores a serem

considerados para ga podem ser definidos por interpolação nas curvas da FIGURA

4.1.

FIGURA 4.1 – ZONEAMENTO SÍSMICO DO BRASIL FONTE – ABNT NBR 15421:2006

Conforme a NBR 15421:2006, estruturas projetadas nas zonas sísmicas 0 e

1 classificam-se como categoria sísmica “A”, edificações localizadas na zona 2 são

classificadas como categoria sísmica “B”, e nas zonas sísmicas 3 e 4 como categoria

“C”.

Para efeito de análise de estruturas, quando a edificação estiver localizada

na zona 0, nenhum requisito de resistência anti-sísmica é exigido. Estruturas

localizadas na zona 1 devem apresentar sistemas estruturas resistentes às forças

48

sísmicas horizontais e mecanismos de resistência de torção para um valor de força

sísmica igual a:

XX WF ⋅= 01,0 (4.1)

XW é o peso total da estrutura correspondente ao piso x, incluindo cargas

operacionais fixas e reservatórios de água e, em casos de áreas de armazenamento

e estacionamento, 25% desse valor deve ser considerado.

Estruturas classificadas nas categorias sísmicas B ou C podem ser

analisadas por um dos seguintes métodos prescritos na NBR 15421 (2006).

• Forças horizontais equivalentes;

• Resposta espectral;

• Análise dinâmica no domínio do tempo com aceleração ao longo do

tempo de sismos aplicada nos apoios da estrutura.

4.3 DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO

Quando da ocorrência de um sismo, é constatado que seus efeitos locais

dependem das características de rigidez e amortecimento das camadas superficiais

do terreno. Terrenos mais fracos tendem a amplificar as ondas sísmicas. A Norma

NBR 15421 (2006) leva em conta estes efeitos de forma aproximada, através de

fatores que são aplicados a um espectro de projeto básico, de forma a considerar as

especificidades dos terrenos de fundação.

Os terrenos de fundação podem ser categorizados em seis Classes,

associados aos valores numéricos de parâmetros médios de resistência avaliados

nos 30m superiores do terreno, conforme a TABELA 4.1 a seguir.

A velocidade média de propagação da onda de cisalhamento sV no terreno

é o parâmetro preferencial nesta classificação. Quando esta velocidade não for

conhecida, será permitida a classificação do terreno a partir do número médio de

golpes N no ensaio SPT.

49

As classes de rocha A e B, não podem ser consideradas se houver uma

camada superficial de solo superior a 3m. Neste caso, devem ser categorizados de

acordo com as propriedades desta camada superficial.

TABELA 4.1 – DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO

Classe do

terreno

Designação da classe do terreno

Propriedades médias para os 30m superiores do terreno

sV N

A Rocha sã smVs /1500≥ (não aplicável)

B Rocha smVsm s /760/1500 ≥≥ (não aplicável)

C Rocha alterada ou solo muito

rígido smVsm s /370/760 ≥≥ 50≥N

D Solo rígido smVsm s /180/370 ≥≥ 1550 ≥≥ N

E Solo mole smVs /180≤ 15≤N

- Qualquer perfil, incluindo camada com mais de 3m de argila mole

F -

Solo exigindo avaliação específica, como:

1. solos vulneráveis à ação sísmica, como solos liquefazíveis, argilas muito sensíveis e solos colapsíveis fracamente cimentados;

2. turfa ou argilas muito orgânicas;

3. argilas muito plásticas;

4. estratos muito espessos (≥35m) de argila mole ou média.

FONTE: ABNT NBR 15421:2006

Para solos estratificados, os valores médios sV e N são obtidos em função

destes mesmos valores siV e iN nas diversas camadas i, através das EQUAÇÕES

(4.2) e (4.3), em que id é a espessura de cada uma das camadas do subsolo:

∑

∑

=

== n

i si

i

n

ii

s

vd

dV

1

1 (4.2)

50

∑

∑

=

== n

i i

i

n

ii

Nd

dN

1

1 (4.3)

4.4 DEFINIÇÃO DAS CATEGORIAS DE UTILIZAÇÃO

Para o efeito da classificação da edificação quanto a sua utilização, com o

objetivo de proteger as estruturas cujas funcionalidades são essenciais para a

preservação da vida humana, ou que afetem um grande contingente de pessoas, a

norma definiu três categorias e os respectivos valores de fator de importância para

garantir a proteção dessas edificações.

• Categoria III: fator I = 1,5 para estruturas essenciais (instituições de

saúde, bombeiros, centros de coordenação, instalações de gerações de

energia, estações de tratamento...);

• Categoria II: fator I = 1,25 para estruturas de importância substancial

para a preservação da vida humana no caso de ruptura, locais com

grandes ocupações (escolas, postos de saúde, penitenciária, estruturas

com mais de 5000 ocupantes, instalações contendo substâncias

químicas);

• Categoria I: fator I = 1,0 para todas as estruturas não classificadas como

de categoria II ou III.

4.5 DEFINIÇÃO DOS ESPECTROS DE RESPOSTA DE PROJETO

As solicitações sísmicas básicas são definidas a partir dos espectros de

projeto. O espectro de resposta de projeto, )(TSa , segundo a Norma NBR 15421

(2006), para acelerações horizontais, corresponde a resposta elástica de um sistema

de um grau de liberdade com uma fração de amortecimento crítico igual a 5%. O

espectro é constituído a partir das acelerações espectrais 0gsa e 1gsa , definidas a

seguir para os períodos de 0,0s e 1,0s, respectivamente, a partir da aceleração

51

sísmica de projeto ga e da classe do terreno, de acordo com as EQUAÇÕES (4.4) e

(4.5):

gags aCa .0 = (4.4)

gvgs aCa .1 = (4.5)

onde aC e vC são fatores de amplificação sísmica no solo, para os períodos de 0,0s

e 1,0s, respectivamente, definidos na TABELA 4.2 em função da aceleração básica

de projeto ga e da classe do terreno. T é o período próprio (em s), associado a cada

um dos modos de vibração da estrutura. O espectro de resposta de projeto é

considerado como aplicado à base da estrutura.

TABELA 4.2 – DEFINIÇÃO DOS FATORES aC E vC DE AMPLIFICAÇÃO SÍSMICA NO SOLO

Classe do terreno

aC vC

gag 10,0≤

gag 15,0=

gag 10,0≤

gag 15,0=

A 0,8 0,8 0,8 0,8

B 1,0 1,0 1,0 1,0

C 1,2 1,2 1,7 1,7

D 1,6 1,5 2,4 2,2

E 2,5 2,1 3,5 3,4

FONTE: LIMA E SANTOS (2008)

Para valores de 0,01g a 0,15g de ga , os valores de aC e vC podem ser

obtidos por interpolação linear. Para a classe do terreno F, um estudo específico de

amplificação no solo deverá ser elaborado.

O espectro de resposta de projeto, )(TSa , é expresso graficamente na

FIGURA 4.2.

FIGURA 4.2 – ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODOFONTE – ABNT NBR 15421:2006

4.6 MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES

No método das forças horizontais

representada por um conjunto de forças estáticas proporcionais às cargas

gravitacionais atuantes na estrutura.

A força cortante total na base da estrutura, em uma dada direção, é

determinada de acordo com a expressão:

WCH s=

onde W é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,

incluindo o peso operacional de equipamentos fixados na estrutura e dos

reservatórios de água. Em áreas de armazenamento e estacionamento 25% de

carga acidental deve ser incluída.

como:

ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODOABNT NBR 15421:2006

MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES

No método das forças horizontais equivalentes, a ação sísmica é


gravitacionais atuantes na estrutura.


determinada de acordo com a expressão:

é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,



carga acidental deve ser incluída. sC é o coeficiente de resposta sísmica, definido

52

ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODO

equivalentes, a ação sísmica é



(4.6)

é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,



é o coeficiente de resposta sísmica, definido

53

( )( )IR

gaC gs

s /

/5,2 0= (4.7)

O fator de importância de utilização I é definido conforme o item 4.5. A

norma reconhece diversos tipos de sistemas estruturais padronizados, alguns dos

quais estão listados na TABELA 4.3. Também estão definidos nesta tabela os

coeficientes de modificação de resposta R e os coeficientes de amplificação de

deslocamentos dC que será utilizado na EQUAÇÂO (4.15) do item 4.9.

TABELA 4.3 – COEFICIENTES DE PROJETO PARA ALGUNS DOS SISTEMAS BÁSICOS SISMO-RESISTENTES

Sistema básico sismo-resistente

Coeficientes

R dC

Pilares-parede de concreto com detalhamento usual 4 4

Pórticos de concreto com detalhamento usual 3 2,5

Pórticos de aço momento-resistente com detalhamento usual 3,5 3

Pórticos de aço contraventados em treliças, com detalhamento usual 3,25 3,25

Sistema dual, composto de pórticos com detalhamento usual e pilares-parede de concreto com detalhamento usual

4,5 4

Estruturas do tipo pêndulo invertido e sistemas de colunas em balanço 2,5 2,5

FONTE: ADAPTADO DE LIMA E SANTOS (2008)

O coeficiente de resposta sísmica deve ficar compreendido entre os valores

abaixo:

máximoss CC ,01,0 ≤≤ (4.8)

( )( )IRT

gaC gs

máximos /

/1, = (4.9)

O período natural da estrutura T pode ser avaliado pela expressão abaixo:

54

upa CTT ×≤ (4.10)

sendo: xnTa hCT ×= (4.11)

onde aT é o período natural aproximado da estrutura, que leva em conta as

características mecânicas e de massa; TC (coeficiente de período da estrutura) e x

são definidos na TABELA 4.4; upC é o coeficiente de limitação do período, função da

zona sísmica à qual a estrutura em questão pertence, definido na TABELA 4.5; nh é

a altura em metros da estrutura acima da base.

TABELA 4.4 – CÁLCULO APROXIMADO DO PERÍODO FUNDAMENTAL DA ESTRUTURA

0724,0=TC e

8,0=x

para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são 100% resistidas por pórticos de aço momentos-resistentes, não sendo estes ligados a sistemas mais rígidos que impeçam sua livre deformação quando submetidos à ação sísmica;

0466,0=TC e

9,0=x

para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são 100% resistidas por pórticos de concreto, não sendo estes ligados a sistemas mais rígidos que impeçam sua livre deformação quando submetidos à ação sísmica;

0731,0=TC e

75,0=x

para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são resistidas em parte por pórticos de aço contraventados com treliças;

0488,0=TC e

75,0=x

para todas as outras estruturas.

FONTE: NBR 15421:2006

TABELA 4.5 – COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO

ZONA SÍSMICA COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO ( upC )

ZONA 2 1,7

ZONA 3 1,6

ZONA 4 1,5

FONTE: NBR 15421:2006

55

4.6.1 Distribuição vertical das forças sísmicas

A força horizontal total na base (H) deve ser distribuída verticalmente entre

as várias elevações da estrutura, de forma que, em cada elevação x, seja aplicada

uma força xF definida de acordo com a expressão:

HCF vxx = (4.12)

sendo:

∑=

= n

i

kii

kxx

vx

hW

hWC

1

(4.13)

onde:

vxC : é o coeficiente de distribuição vertical;

iW ou xW : parcelas do peso efetivo total;

ih ou xh : altura entre a base e as elevações;

n : é o número total de andares da edificação;

k : expoente de distribuição, relacionado ao período natural da estrutura T:

• Para estruturas com período inferior a 0,5s, k=1;

• Para estruturas com períodos entre 0,5s e 2,5s, k=(T+1,5)/2;

• Para estruturas com período superior a 2,5s, k=2.

4.7 MÉTODOS DINÂMICOS

Os métodos dinâmicos podem ser aplicados seguindo dois procedimentos:

análise por espectro de resposta e análise com histórico no tempo.

4.7.1 Análise por espectro de resposta

56

O item 4.5 define os espectros de resposta de acordo com a Norma NBR

15421 (2006). A FIGURA 4.2 expressa graficamente esta definição.

Na análise espectral, todos os modos que tenham contribuição significativa

na resposta da estrutura devem ser considerados na determinação desta resposta.

Para tanto, a norma exige que o número de modos usado para cálculo da resposta

seja suficiente para capturar ao menos 90% da massa total em cada uma das

direções ortogonais consideradas na análise.

4.7.1.1 Combinação das respostas modais

Os espectros de projeto devem ser aplicados nas direções ortogonais

analisadas. Quando os espectros forem aplicados na direção vertical suas

ordenadas deverão corresponder a 50% das correspondentes na direção horizontal.

Todas as respostas modais em termos de forças, momentos de reações de

apoio devem ser multiplicadas pelo fator RI / , de forma a considerar estes dois

fatores.

Todas as respostas obtidas em termos de deslocamentos absolutos e

relativos devem ser corrigidas, multiplicando-as pelo fator RCd / .

As respostas elásticas finais poderão ser combinadas pelas regras definidas

no item 3.3.2. O critério da combinação quadrática completa (CQC) deve ter

preferência, por fornecer as respostas mais precisas.

Com relação às respostas elásticas devidas aos sismos aplicados em

diferentes direções ortogonais, as respostas finais deverão ser combinadas através

da soma dos quadrados das respostas obtidas em cada uma das direções.

4.7.1.2 Verificação das forças obtidas

A Norma exige uma verificação das forças obtidas pelo processo espectral,

por comparação com as mesmas forças obtidas pelo método das forças horizontais

equivalentes.

A força horizontal total na base da estrutura H deverá ser determinada em

cada uma das duas direções horizontais, pelo método das forças horizontais

equivalentes, conforme descrito no item 4.6. Caso a força horizontal total na base tH

57

determinada pelo processo espectral em uma direção, for inferior a H85,0 , todas as

forças elásticas obtidas nesta direção devem ser multiplicadas por tHH /85,0 . Esta

correção não precisará ser aplicada no cálculo dos deslocamentos.

4.7.2 Análise com históricos de acelerações

A análise com históricos de acelerações no tempo deverá consistir da

análise dinâmica de um modelo estrutural, submetido a históricos de acelerações no

tempo (acelerogramas) aplicados à sua base, conforme detalhado no item 3.2.4. Os

históricos de acelerações deverão ser compatíveis com os espectros de projeto

definidos para a estrutura.

4.7.2.1 Requisitos para os acelerogramas

As análises consistirão na aplicação simultânea de um conjunto de

acelerogramas, independentes entre si, nas direções ortogonais relevantes para

cada estrutura.

Os acelerogramas poderão ser registros de eventos reais, compatíveis com

as características sismológicas do local da estrutura, ou poderão ser acelerogramas

gerados artificialmente. Os acelerogramas a serem aplicados deverão ser afetados

de um fator de escala, de forma que os espectros de resposta na direção

considerada, para o amortecimento de 5%, tenham valores médios não inferiores

aos do espectro de projeto para uma faixa entre 0,2T e 1,5T, sendo T o período

fundamental da estrutura nesta direção. Ao menos três conjuntos de acelerogramas

deverão ser considerados na análise.

4.7.2.2 Definição dos efeitos finais da análise

Para cada acelerograma analisado, as respostas obtidas em termos de

forças, momentos e reações de apoio devem ser multiplicadas pelo fator RI / .

Nenhuma correção é necessária para os deslocamentos obtidos.

58

A Norma exige uma verificação das forças obtidas pelo processo de análise

com históricos de aceleração no tempo, por comparação com as mesmas forças

obtidas pelo método das forças horizontais equivalentes. A força horizontal total na

base da estrutura H deverá ser determinada pelo método das forças horizontais

equivalentes, conforme descrito no item 4.6 mas usando o valor de 01,0=sC . Caso

a força horizontal máxima na base tH , obtida com um determinado acelerograma,

for inferior a H , todas as forças elásticas nesta direção, com este acelerograma,

devem ser multiplicadas por tHH / .

Os efeitos estruturais finais obtidos na análise corresponderão à envoltória

dos efeitos estruturais máximos obtidos com cada um dos conjuntos de

acelerogramas considerados.

4.8 CONSIDERAÇÃO DA TORÇÃO

O projeto deverá incluir um momento de torção nos pisos causado pela

excentricidade dos centros de massa relativamente aos centros de rigidez ( tM -

momento de torção inerente), acrescido de um momento torsional acidental ( taM ).

Este será determinado considerando-se um deslocamento de centro de massa, em

cada direção, igual a 5% da dimensão da estrutura paralela ao eixo perpendicular à

direção de aplicação das forças horizontais. Quando houver aplicação simultânea de

forças horizontais nas duas direções, bastará considerar o momento acidental na

direção mais crítica.

Nos casos das estruturas de categoria sísmica C, onde exista irregularidade

estrutural no plano do Tipo 1 (Irregularidade de torção, definida quando em uma

elevação, o deslocamento relativo de pavimento em uma extremidade da estrutura,

avaliado incluindo a torção acidental, medido transversalmente a um eixo, é maior do

que 1,2 vezes a média dos deslocamentos relativos de pavimento nas duas

extremidades da estrutura, ao longo do eixo considerado. Os requisitos associados à

irregularidade de torção não se aplicam no caso em que o diafragma é classificado

como flexível) o deslocamento, os momentos torsionais acidentais taM , em cada

elevação, devem ser multiplicados pelo fator de amplificação de torção ( xA ), definido

pela EQUAÇÃO (4.14), a seguir.

59

0,32,1

2

max ≤

⋅=

avgxA

δδ

(4.14)

onde máxδ é o deslocamento horizontal máximo em uma direção, na elevação x em

questão; avgδ é a média dos deslocamentos na mesma direção.

4.9 LIMITAÇÕES DE DESLOCAMENTOS

Os deslocamentos absolutos xδ em uma elevação x, avaliadas em seu

centro de massa, devem ser determinadas pela seguinte expressão:

I

C xedx

δδ .= (4.15)

onde dC é o coeficiente de amplificação de deslocamentos, definido na TABELA 4.3;

xeδ é o deslocamento determinado em uma análise estática utilizando as forças

sísmicas (EQUAÇÃO (4.12)) e I é o fator de importância de utilização definido no

item 4.4.

Os deslocamentos relativos dos pavimentos x∆ podem ser determinados

como a diferença entre os deslocamentos absolutos nos centros de massa xδ nas

elevações acima e abaixo do pavimento em questão, sendo limitados ao valores

máximos definidos na TABELA 4.6. A variável sxh é a distância entre as elevações

imediatamente acima e abaixo do pavimento em questão.

TABELA 4.6 – LIMITAÇÃO PARA DESLOCAMENTOS RELATIVOS DE PAVIMENTO ( x∆ )

Categoria de utilização

I II III

sxh×020,0 sxh×015,0 sxh×010,0

FONTE: LIMA E SANTOS (2008)

60

5 ESTUDO DE CASO

O estudo deste trabalho consiste na análise de três edifícios residenciais

hipotéticos com geometrias diferentes (LxL, 2LxL e 4LxL) localizados na cidade de

Rio Branco, no estado do Acre. Cada edifício contém quinze pavimentos. Para

análise dos esforços sísmicos nas estruturas, foi utilizado o Método de Forças

Horizontais Equivalentes.

Todas as estruturas foram avaliadas considerando-se pilares com seção

transversal quadrada típica de 0,4m de lado; vigas com seção transversal retangular

de 0,2m por 0,5m; lajes quadradas com 5,0x5,0x0,1m; pé direito de 3,0m e todos os

vãos entre pilares iguais a 5,0m, de modo com que o peso total das estruturas não

apresentassem grandes variações.

O concreto armado utilizado em todas as estruturas possui módulo de

elasticidade igual a 2,76x10^7 kN/m² e massa específica igual a 25 kN/m³. Não foi

considerado elementos de vedação e revestimento.

A estrutura 01, representada pela FIGURA 5.1, corresponde a um edifício

simétrico com dimensões de 30x30m, composto por 49 pilares por pavimento.

FIGURA 5.1 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 01 FONTE – O AUTOR

61


com dimensões de 40x20m, composto por 45 pilares por pavimento.



com dimensões de 60x15m, composto por 52 pilares por pavimento.


O Zoneamento sísmico brasileiro foi definido utilizando-se a FIGURA 4.1:

Zona 4, gag 15,0= ;

Classe do terreno E (TABELA 4.1);

Categoria de utilização I→ , com respectivo Fator igual a 1,0 (item 4.4.);

62

Fatores de amplificação sísmica 1,2=aC e 4,3=vC definidos na tabela

TABELA 4.2 , para Classe do terreno E e gag 15,0= ;

Coeficiente de modificação de resposta 0,3=R e coeficiente de amplificação

de deslocamentos 5,2=dC definidos na TABELA 4.3, para pórticos de concreto com

detalhamento usual;

5.1 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO

O cálculo do período natural aproximado ( aT ) é dado pela EQUAÇÃO (4.11);

TC e X são definidos na TABELA 4.4; nh é a altura em metros da estrutura acima da

base; upC é definido na TABELA 4.5; A extração dos primeiros modos de vibração foi

realizada através do programa ANSYS, como mostra a TABELA 5.1, obtendo-se o

período natural máximo (T), correspondente ao primeiro modo de vibração.

Conforme a EQUAÇÂO (4.10), T não deve ser maior que upa CT × .

Exemplo de cálculo para a estrutura 3:

xnTa hCT ×= (4.11)

sTa 433,1450466,0 9,0 =×=

upa CTT ×≤ (4.10)

sCT upa 15,21495,25,1433,1 ≈=×=×

15,6=T s (obtido por extração modal pelo programa ANSYS)

sTADOTADO 15,215,215,6 =→>

63

Os primeiros modos de vibração extraídos no programa ANSYS e os

respectivos períodos adotados para as Estruturas 1, 2 e 3 são apresentadas na

tabela a seguir:

TABELA 5.1 – PRIMEIROS MODOS DE VIBRAÇÃO DAS ESTRUTURAS

ESTRUTURA 1 2 3

MODOS FREQ. (Hertz)

PERÍODO (s)

FREQ. (Hertz)

PERÍODO (s)

FREQ. (Hertz)

PERÍODO (s)

1 0,17038 5,87 0,16656 6,00 0,16265 6,15

2 0,17038 5,87 0,17548 5,70 0,18039 5,54

3 0,5165 1,94 0,50606 1,98 0,49558 2,02

4 0,5165 1,94 0,5308 1,88 0,54568 1,83

5 0,88398 1,13 0,87215 1,15 0,86003 1,16

6 0,88398 1,13 0,90513 1,10 0,92737 1,08

7 12.649 0,00 12.507 0,00 12.356 0,00

FONTE: O AUTOR

Os valores adotados e os resultados dos cálculos para o período das

Estruturas 1, 2 e 3 estão apresentados na TABELA 5.2.

TABELA 5.2 – PERÍODO DAS ESTRUTURAS

ESTRUTURA

X T

1 45 0,0466 0,9 5,87 1,43 1,5 2,15 2,15

2 45 0,0466 0,9 6,00 1,43 1,5 2,15 2,15

3 45 0,0466 0,9 6,15 1,43 1,5 2,15 2,15

FONTE: O AUTOR

5.2 DETERMINAÇÃO DO PESO TOTAL DA ESTRUTURA

nh TC aT upC upa CT × ADOTADOT

64

Para obter o peso total da estrutura calculou-se primeiramente o volume de

concreto de cada elemento (pilar, viga e laje):

CLhV ××=

sendo:

h: altura da seção transversal

L: largura da seção transversal

C: comprimento

Multiplica-se o volume de cada elemento pelo peso específico do concreto

armado ²/25 mkNconc =γ .

O Peso total de um único pavimento ( )Σ é igual ao somatório do peso total

de todos os elemento do pavimento.

³464,09,24,04,0 mVpilar =××=

kNPilarDoPeso 6,1125464,0 =×=

³5,21,00,50,5 mVlaje =××=

kNLajeDaPeso 5,62255,2 =×=

³46,06,45,02,0 mVviga =××=

kNVigaDaPeso 5,112546,0 =×=

Exemplo de cálculo para a estrutura 3:

kNWpavimentodototaldoPeso x 7,3853875,11365,62526,11)( =×+×+×=

65

O peso da estrutura (W ) é igual ao peso total dos elementos de um único

pavimento vezes o número de pavimentos:

kNpavimentosWW x 5,5780515 =×=

Os valores adotados e os resultados dos cálculos do peso de um único

pavimento para as estruturas 1, 2 e 3 estão apresentados nas TABELAS 5.3, 5.4 e

5.5 respectivamente.

TABELA 5.3 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 1

h (m) L (m) C (m) V (m³) Peso (kN) Quantidade Peso Total

(kN)

Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 49 568,4

Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 36 2250

Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 84 966

xW 3784,4

FONTE: O AUTOR



(kN)

Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 45 522

Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 32 2000

Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 76 874

xW 3396

FONTE: O AUTOR

66



(kN)

Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 52 603,2

Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 36 2250

Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 87 1000,5

xW 3853,7

FONTE: O AUTOR

Na TABELA 5.6 estão apresentados os resultados do peso total (W ) para as

estruturas 1, 2 e 3.

TABELA 5.6 – PESO DA ESTRUTURA

ESTRUTURA 1 2 3

xW (kN) 3784,4 3396 3853,7

W (kN) 56766 50940 57805,5

FONTE: O AUTOR

5.3 CÁLCULO DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL NA BASE

A força horizontal total na base da estrutura, calculado pelo método das

forças horizontais equivalentes é dada por:

gags aCa .0 = (4.4)

ggags 315,015,01,20 =×=

( )( ) 2625,0

/

/5,2 0 ==IR

gaC gs

s (4.7)

67

( )( ) 2625,0

0,1/0,3/315,05,2 == gg

Cs

gvgs aCa .1 = (4.5)

ggags 51,015,0.4,31 ==

( )( )IRT

gaC gs

máximos /

/1, = (4.9)

T neste caso refere-se a ADOTADOT obtido no item 5.1.

( )( ) 0,07908

0,1/0,315,2/51,0

, == ggC máximos

máximoss CC ,01,0 ≤≤ (4.8)

0,079080,262501,0 ><

0,07908; =ADOTADOSC

WCH s= (4.6)

kNH 4,45715,578050,079083 =×=

5.4 DISTRIBUIÇÃO VERTICAL DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL

A força horizontal total na base (H) deve ser distribuída entre as várias

elevações de acordo com as EQUAÇÕES (4.12) e (4.13). Também deve-se

considerar um momento de torção nos pisos causados pela excentricidade dos

centros de massa relativamente aos centros de rigidez ( taM ), assumindo um

deslocamento de centro de massa igual a 5% na direção considerada. Ainda,

68

segundo a Norma NBR 15421 (2006), a direção de aplicação das forças sísmicas na

estrutura deve ser a que produz o efeito mais crítico. Para isto foi aplicado um

binário nos pórticos extremos, com forças de sinais contrários e de valor numérico

igual a Fx/20, correspondente ao momento causado pelas forças vezes o

deslocamento de centro de massa assumido de 5%.

Exemplo de cálculo de xF e taM para o primeiro pavimento da estrutura 3:

∑=

= n

i

kii

kxx

vx

hW

hWC

1

(4.13)

xW é igual a 3853,7 kN, calculado no 5.2;

xh é a altura entre a base e as elevações. A distância da base da estrutura

para a o primeiro pavimento é igual a 3,0 m;

No item 0 definiu-se [ ]2/)5,1( += Tk . T , neste caso, refere-se a

sTADOTADO 15,2= (calculado no item 5.1)

83,12

)5,115,2( =+=k

mhkx 46675,73 83,1 ==

mkNhW kxx .63,287740,37,3853 83,1 =×=

Para calcular vxC do primeiro pavimento é necessário obter o somatório de

kxxhW para cada elevação. Na TABELA 5.9, ∑

=

n

i

kiihW

1

é igual a 23739335,07 kN.m.

00121,0 723739335,0

37,3853 15,1

=×=vxC

=H 4022,13 obtido conforme o exemplo do item 5.3.

69

kNHCF vxx 54,54,457100121,0 =×==

kNF

M xta 28,0

2054,5

20===

Nas TABELAS 5.7, 5.8 e 5.9, são apresentados os valores de xF e 20/xF

para cada pavimento das estruturas 1, 2 e 3.

TABELA 5.7 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 1

PAVIMENTO xW

(KN)

xh

(m) k

kxh (m)

kxxhW

(kN.m) vxC Fx

(KN) Fx/20 (KN)

1 3784,40 3,00 1,83 7,47 28257,19 0,001 5,44 0,27

2 3784,40 6,00 1,83 26,55 100464,78 0,004 19,35 0,97

3 3784,40 9,00 1,83 55,75 210989,49 0,009 40,63 2,03

4 3784,40 12,00 1,83 94,38 357189,52 0,015 68,78 3,44

5 3784,40 15,00 1,83 141,99 537333,65 0,023 103,47 5,17

6 3784,40 18,00 1,83 198,22 750145,86 0,032 144,45 7,22

7 3784,40 21,00 1,83 262,82 994622,65 0,043 191,53 9,58

8 3784,40 24,00 1,83 335,57 1269941,18 0,054 244,55 12,23

9 3784,40 27,00 1,83 416,29 1575406,82 0,068 303,37 15,17

10 3784,40 30,00 1,83 504,81 1910420,33 0,082 367,88 18,39

11 3784,40 33,00 1,83 601,01 2274456,02 0,098 437,98 21,90

12 3784,40 36,00 1,83 704,75 2667046,64 0,114 513,58 25,68

13 3784,40 39,00 1,83 815,92 3087772,28 0,132 594,60 29,73

14 3784,40 42,00 1,83 934,43 3536252,24 0,152 680,96 34,05

15 3784,40 45,00 1,83 1060,18 4012138,66 0,172 772,60 38,63

∑=

=n

i

kiihW

1

23312437,3 ==∑=

HFn

ix

1

4489,2

FONTE: O AUTOR

70


PAVIMENTO xW

(KN)

xh

(m) k

kxh (m)

kxxhW

(kN.m) vxC Fx (KN) Fx/20 (KN)

1 3396,00 3,00 1,83 7,47 25357,10 0,001 4,88 0,24

2 3396,00 6,00 1,83 26,55 90153,89 0,004 17,36 0,87

3 3396,00 9,00 1,83 55,75 189335,25 0,009 36,46 1,82

4 3396,00 12,00 1,83 94,38 320530,50 0,015 61,72 3,09

5 3396,00 15,00 1,83 141,99 482186,10 0,023 92,85 4,64

6 3396,00 18,00 1,83 198,22 673157,00 0,032 129,63 6,48

7 3396,00 21,00 1,83 262,82 892542,68 0,043 171,87 8,59

8 3396,00 24,00 1,83 335,57 1139604,76 0,054 219,45 10,97

9 3396,00 27,00 1,83 416,29 1413719,90 0,068 272,24 13,61

10 3396,00 30,00 1,83 504,81 1714350,34 0,082 330,13 16,51

11 3396,00 33,00 1,83 601,01 2041024,38 0,098 393,03 19,65

12 3396,00 36,00 1,83 704,75 2393322,69 0,114 460,87 23,04

13 3396,00 39,00 1,83 815,92 2770868,48 0,132 533,58 26,68

14 3396,00 42,00 1,83 934,43 3173320,10 0,152 611,08 30,55

15 3396,00 45,00 1,83 1060,18 3600365,42 0,172 693,31 34,67

∑=

=n

i

kiihW

1

20919838,57 ==∑=

HFn

ix

1

4028,46

FONTE: O AUTOR

71


PAVIMENTO xW

(KN)

xh

(m) k

kxh (m)

kxxhW

(kN.m) vxC Fx

(KN) Fx/20 (KN)

1 3853,70 3,00 1,83 7,4668 28774,63 0,00121 5,54 0,28

2 3853,70 6,00 1,83 26,55 102304,49 0,00431 19,70 0,99

3 3853,70 9,00 1,83 55,75 214853,14 0,00905 41,37 2,07

4 3853,70 12,00 1,83 94,38 363730,39 0,01532 70,04 3,50

5 3853,70 15,00 1,83 141,99 547173,31 0,02305 105,37 5,27

6 3853,70 18,00 1,83 198,22 763882,55 0,03218 147,10 7,35

7 3853,70 21,00 1,83 262,82 1012836,19 0,04266 195,04 9,75

8 3853,70 24,00 1,83 335,57 1293196,37 0,05447 249,03 12,45

9 3853,70 27,00 1,83 416,29 1604255,70 0,06758 308,93 15,45

10 3853,70 30,00 1,83 504,81 1945403,98 0,08195 374,62 18,73

11 3853,70 33,00 1,83 601,01 2316105,90 0,09756 446,00 22,30

12 3853,70 36,00 1,83 704,75 2715885,64 0,11440 522,99 26,15

13 3853,70 39,00 1,83 815,92 3144315,63 0,13245 605,49 30,27

14 3853,70 42,00 1,83 934,43 3601008,15 0,15169 693,43 34,67

15 3853,70 45,00 1,83 1060,18 4085609,02 0,17210 786,75 39,34

∑=

=n

i

kiihW

1

23739335,07 ==∑=

HFn

ix

1

4571,4

FONTE: O AUTOR

Na FIGURA 5.4 e na FIGURA 5.5 são apresentados como exemplo o

modelo de aplicação de xF e o binário de 20

xF , sendo que a primeira está

representada por um modelo tridimensional com nós e a segunda por uma

visualização em planta de linhas de elementos de vigas. As forças de torção são

aplicadas nos pilares da extremidade enquanto que a força horizontal é aplicada no

pilar central das estruturas conforme foi comentado no início do item deste capítulo.

72

FIGURA 5.4 – MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA 3 FONTE – O AUTOR


73

5.5 DESLOCAMENTOS

5.5.1 Deslocamento dos pilares A1, A2 e A3

Na FIGURA 5.6 é possível observar as diferenças do deslocamento absoluto

em y (global) dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3, respectivamente,

conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3. Nos APÊNDICES

1, 2 e 3 É apresentado o resultado dos deslocamentos em formato de tabela, os

cálculos foram efetuados conforme o item 4.9.

FIGURA 5.6 – DESLOCAMENTOS DOS PILARES FONTE – O AUTOR

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0

ALT

UR

A (

m)

DESLOCAMENTO ABSOLUTO - Y (cm)

PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3

74

Como exemplo, na FIGURA 5.7 apresentam-se os deslocamentos dos

pilares da estrutura 3, extraídos do programa ANSYS. Na imagem observa-se as

cores dos elementos indicando deslocamentos menores em tons de azul, na base,

até os deslocamentos maiores, no topo da estrutura, em vermelho.

FIGURA 5.7 – DESLOCAMENTO DOS PILARES - EXTRAÍDOS DO ANSYS FONTE – O AUTOR

5.5.2 Deslocamento de linha

O deslocamento de linha é representado pelos nós do ultimo pavimento

distantes do eixo das estruturas 1, 2 e 3 conforme indicado nas FIGURA 5.1,

FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3 por círculos. Além de apresentar os deslocamentos das

estruturas como definido no estudo de caso, em que foi considerado um modelo de

diafragma rígido de lajes (FIGURA 5.10), incluem-se os o gráfico dos deslocamentos

para o caso das estruturas com diafragma flexível (FIGURA 5.8). Nos APÊNDICES

75

4, 5 e 6 é apresentado o resultado dos deslocamentos em formato de tabela,

efetuado conforme o item 4.9.

FIGURA 5.8 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL FONTE – O AUTOR

Para efeito de visualização, na FIGURA 5.9 apresenta-se como exemplo da

figura acima os deslocamento dos pilares da estrutura 3 extraída do programa

ANSYS.

FIGURA 5.9 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL FONTE – O AUTOR

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30

DES

LOC

AM

ENTO

AB

SOLU

TO -

Y (

cm)

DISTÂNCIA DO EIXO (m)

ESTRUTURA 1 ESTRUTURA 2 ESTRUTURA 3

76

FIGURA 5.10 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA RÍGIDO FONTE – O AUTOR

Para efeito de visualização, na FIGURA 5.11 apresenta-se como exemplo

da figura acima os deslocamentos dos pilares da estrutura 3 extraídos do programa

ANSYS.

FIGURA 5.11 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA RÍGIDO FONTE – O AUTOR

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30

DES

LOC

AM

ENTO

AB

SOLU

TO -

Y (

cm)

DISTÂNCIA DO EIXO (m)

ESTRUTURA 1 ESTRUTURA 2 ESTRUTURA 3

5.6 ESFORÇO CORTANTE

Na FIGURA 5

cortantes em função da altura

respectivamente, conforme indicado nas

No APÊNDICE 7 é apresentado os valores

tabela.

FIGURA 5.12 – ESFORÇO CORTANTEFONTE – O AUTOR

5.7 ESFORÇO NORMAL

Na FIGURA 5

normais em função da altura


No APÊNDICE 8 é apresentado os valores dos esforços normais em formato de

tabela.

-100 -80

Alt

ura

(m)

ESFORÇO CORTANTE DOS PILARES A1, A2 E A3

5.12 é apresentada a representação gráfica dos

em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3

conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA

No APÊNDICE 7 é apresentado os valores dos esforços cortantes

ESFORÇO CORTANTE

ESFORÇO NORMAL DOS PILARES A1, A2 E A3

5.13 é apresentada a representação gráfica dos esforços

em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3,

respectivamente, conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA


0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

-60 -40 -20 0

KN


77

a representação gráfica dos esforços

das estruturas 1, 2 e 3,

FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3.

cortantes em formato de

a representação gráfica dos esforços




20 40

FIGURA 5.13 – ESFORÇO NORMALFONTE – O AUTOR

5.8 MOMENTO FLETOR

Na FIGURA 5.

fletors em função da altura


No APÊNDICE 9 é apresentado os valores dos momentos fletores em formato de

tabela.

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

0 1000

Alt

ura

(m)

ESFORÇO NORMAL

MOMENTO FLETOR DOS PILARES A1, A2 E A3

.14 é apresentada a representação gráfica dos

em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3,

respectivamente, conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA


2000 3000 4000 5000 6000

KN

Esforço normal


78

a representação gráfica dos momentos




7000 8000

FIGURA 5.14 – MOMENTO FONTE – O AUTOR

5.9 ESFORÇOS CORTANTES

Apresenta-se na

mostrando a variação dos esforços

FIGURA 5.15 – VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTEFONTE – O AUTOR

-120 -100 -80 -60

Alt

ura

(m)

-120 -100 -80 -

Alt

ura

(m)

MOMENTO FLETOR

ESFORÇOS CORTANTES DOS PILARES A1, B, C E D

se na FIGURA 5.15 os cortantes dos pilares

mostrando a variação dos esforços dos elementos nos pavimentos

VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NA ESTRUTURA 1

0369

121518212427303336394245

60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

kN/m


0369

121518212427303336394245

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

kN

PILAR A1 PILAR B PILAR C PILAR D

79

dos pilares A1, B, C E D,

nos pavimentos da estrutura 1.

NA ESTRUTURA 1

120 140 160

120 140 160

PILAR D

80

6 CONCLUSÃO

O deslocamento absoluto na direção “y” (global) dos pilares A1, A2 e A3

aumenta em função da altura (ver FIGURA 5.6). O maior deslocamento encontrado

foi no pilar A3 (igual a 34,5 cm), que é 4,5 cm maior do que o deslocamento do pilar

A2 (igual a 30 cm) e 6,1 cm maior do que do pilar A1 (igual a 28,4 cm).

Observa-se no gráfico da FIGURA 5.8 que o deslocamento da estrutura

flexível é maior próximo das aplicações das forças, enquanto que na estrutura de

diafragma rígido os deslocamentos se apresentam muito próximos de uma

constante, pois o pavimento trabalha em conjunto (ver FIGURA 5.10). As lajes têm

grande importância na resistência das estruturas aos sismos: o deslocamento

máximo observado na estrutura flexível (igual a 94,7 cm) é aproximadamente

174,5% maior que o deslocamento máximo observado na estrutura rígida (igual a

34,5 cm). Conclui-se que travar o deslocamento do plano horizontal dos nós é o

mais apropriado para representar o modelo, uma vez que as lajes de fato possuem

grande rigidez no sentido horizontal.

O esforço cortante, normal e o momento fletor de cada estrutura,

apresentaram valores próximos no topo dos pilares e diferenciaram-se

consideravelmente na base, onde o comportamento do pilar A3 se distingue dos

pilares A1 e A2 por apresentar esforço cortante negativo e momento fletor invertido.

Também é possível notar que a estrutura 03 apresenta valores mais críticos ao

longo da variação da altura da estrutura para todos os esforços analisados.

O último gráfico deste trabalho (FIGURA 5.15) mostra que existe diferença

de esforço cortante nos diferentes pilares de um pavimento. No caso dos pilares

analisados, destacam-se as diferenças de comportamento dos pilares A1 e B em

relação a C e D.

Conclui-se que a projeção em planta das estruturas influenciaram no

comportamento estrutural, provocando acréscimos de deslocamento e solicitações

conforme o alongamento da estrutura. Indo de encontro com a conclusão de Santos

(2010), quando afirma que estruturas que apresentam em planta uma forma

alongada apresentam problemas de flexão, que podem induzir efeitos de torção no

comportamento da estrutura. Além disso, os acréscimos não foram meramente

lineares, aumentaram consideravelmente com o alongamento das estruturas.

81

Possivelmente seja por este motivo que Guerreiro (2007) recomenda que estruturas

com forma retangular em planta não tenham comprimento maior do que três vezes a

largura.

Este trabalho permitiu melhor entendimento do comportamento estrutural

dos edifícios quando submetidos aos esforços causados por sismos segundo os

critérios da NBR 15421 (2006) , além disso conseguiu sustentar as afirmações de

outros autores de que estruturas alongadas são desfavoráveis no dimensionamento

quando comparadas à estruturas que possuem simetria em planta relativamente às

duas direções ortogonais.

Sugere-se para trabalhos futuros avaliar a influência da variação do número

de pavimentos; inserir caixa de elevador e escadas para avaliar a importância

desses elementos; realizar análise transiente das estruturas e compará-las com o

Método das Forças Horizontais Equivalentes; analisar outras configurações de

projeções em planta, entre outras possibilidades.

82

REFERÊNCIAS

ANTUNES, C. Geografia e Didática. Petrópolis: Vozes, 2010.

APOLO 11. Mapa dos Principais Lineamentos e Falhas Brasileiros com Indícios de Movimentação Quartenária: 1a aproximação. Disponível em: http://www.apolo11.com/display.php?imagem=imagens/etc/mapa_falhas_geologicas_brasil_grande.jpg. Acesso em: 12 de junho de 2015.

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

BRASIL, REYOLANDO M. L. R. F. e SILVA, MARCELO ARAUJO. Introdução à dinâmica das estruturas para engenharia civil. Editora Blucher. 2013.

CLOUGH, RAY W., PENZIEN, JOSEPH – Dinamics of structures, Berkeley. Computers & Structures, 1995.

COMISSÃO DAS COMUNIDADES EUROPÉIAS. Eurocódigo N° 8 – Estruturas em regiões sísmicas – projecto, 1988.

GUERREIRO, LUIS; Dinâmica e engenharia sísmica. Instituto Superior Técnico: Lisboa. 2007.

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OBSERVATÓRIO SISMOLÓGICO (OBSIS). Ondas Sísmicas. Disponível em: http://www.obsis.unb.br/sismologia/o-que-e-um-terremoto/ondas-sismicas. Acesso em: 10 de junho de 2015.

OBSERVATÓRIO SISMOLÓGICO (OBSIS). Sismologia Brasileira. Disponível em: http://www.obsis.unb.br/index.php?option=com_content&view=article&id=59&Itemid=70&lang=pt-br. Acesso em: 12 de junho de 2015.

83

PARISENTI, RONALDO; Estudo de análise dinâmica e métodos da nbr 15421 para projeto de edifícios submetidos a sismos; Florianópolis. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2011.

SAADI, A.; BEZERRA, F. H. R.; COSTA, R. D. ; FRANZINELLI, E. ; IGREJA, A.. Neotectônica da Plataforma Brasileira. 1 ed. Ribeirão Preto-SP: Holos, 2005.

SANTOS, RITA A. C.; Aplicação de conceitos de risco sísmico a construções no campus da FCT; Lisboa. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Ciências e tecnologia da Universidade Nova Lisboa, Lisboa, 2010.

UNITED STATES GEOLOGICAL SURVEY (USGS). Moving slabs. Disponível em: http://pubs.usgs.gov/gip/dynamic/slabs.html. Acesso em: 10 de junho de 2015.

UNITED STATES GEOLOGICAL SURVEY (USGS). Seismic Hazard Map of South America. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABX3cAI/impacto-sismos. Acesso em: 13 de junho de 2015.GLOSSÁRIO

UNIVERSIDADE DO ALGARVE. Geologia Ambiental. Disponível em: http://w3.ualg.pt/~jdias/GEOLAMB/GA5_Sismos/52_Sismologia/5205_Sismografos.html. Acesso em 10 de junho de 2015.

84

APÊNDICES

85

APÊNDICE 1 – DESLOCAMNTO DO PILAR A1

ALTURA (m)

Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx

(cm)

0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0

3 5,4 4489,2 300 0,007 1,7 0,00 6

6 19,3 4489,2 300 0,017 4,2 0,00 6

9 40,6 4489,2 300 0,027 6,9 0,00 6

12 68,8 4489,2 300 0,038 9,5 0,01 6

15 103,5 4489,2 300 0,048 12,0 0,01 6

18 144,5 4489,2 300 0,058 14,5 0,01 6

21 191,5 4489,2 300 0,067 16,9 0,01 6

24 244,5 4489,2 300 0,076 19,1 0,02 6

27 303,4 4489,2 300 0,085 21,1 0,02 6

30 367,9 4489,2 300 0,092 23,0 0,03 6

33 438,0 4489,2 300 0,099 24,6 0,03 6

36 513,6 4489,2 300 0,104 26,0 0,04 6

39 594,6 4489,2 300 0,109 27,1 0,04 6

42 681,0 4489,2 300 0,112 27,9 0,05 6

45 772,6 4489,2 300 0,114 28,4 0,06 6

FONTE: O AUTOR


ALTURA (m)


(cm)

0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0

3 4,9 4028,5 300 0,007 1,7 0,00 6

6 17,4 4028,5 300 0,017 4,3 0,00 6

9 36,5 4028,5 300 0,028 7,1 0,00 6

12 61,7 4028,5 300 0,039 9,8 0,00 6

continua

86


continuação

ALTURA (m)

Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)

15 92,9 4028,5 300 0,050 12,5 0,01 6

18 129,6 4028,5 300 0,060 15,1 0,01 6

21 171,9 4028,5 300 0,070 17,6 0,01 6

24 219,4 4028,5 300 0,080 19,9 0,02 6

27 272,2 4028,5 300 0,088 22,1 0,02 6

30 330,1 4028,5 300 0,096 24,0 0,02 6

33 393,0 4028,5 300 0,103 25,8 0,03 6

36 460,9 4028,5 300 0,109 27,3 0,03 6

39 533,6 4028,5 300 0,114 28,5 0,04 6

42 611,1 4028,5 300 0,118 29,4 0,04 6

45 693,3 4028,5 300 0,120 30,0 0,05 6

FONTE: O AUTOR


ALTURA (m)


(cm)

0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0

3 5,5 4571,4 300 0,007 1,7 0,00 6

6 19,7 4571,4 300 0,018 4,5 0,00 6

9 41,4 4571,4 300 0,029 7,4 0,00 6

12 70,0 4571,4 300 0,041 10,3 0,01 6

15 105,4 4571,4 300 0,053 13,2 0,01 6

18 147,1 4571,4 300 0,065 16,1 0,01 6

21 195,0 4571,4 300 0,076 19,0 0,01 6

24 249,0 4571,4 300 0,087 21,7 0,02 6

continua

87


continuação

ALTURA (m)

Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)

27 308,9 4571,4 300 0,097 24,3 0,02 6

30 374,6 4571,4 300 0,107 26,7 0,03 6

33 446,0 4571,4 300 0,116 28,9 0,03 6

36 523,0 4571,4 300 0,123 30,8 0,04 6

39 605,5 4571,4 300 0,130 32,4 0,04 6

42 693,4 4571,4 300 0,135 33,7 0,05 6

45 786,8 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

FONTE: O AUTOR

APÊNDICE 4 – DESLOCAMNTO DE LINHA – ESTRUTURA 1

DIST. DO EIXO

Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm)

δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx

(cm)

15 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

10 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

5 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

0 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

5 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

10 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

15 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6

FONTE: O AUTOR

88


DIST. DO EIXO

Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm)

δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx

(cm)

20 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

15 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

10 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

5 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

0 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

5 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

10 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

15 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

20 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6

FONTE: O AUTOR


DIST. DO EIXO Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)

30 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

25 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

20 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

15 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

10 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

5 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

0 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

5 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

10 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

15 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

20 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

25 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

30 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6

FONTE: O AUTOR

89

APÊNDICE 7 – ESFORÇO CORTANTE (kN)

ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3

0 27,47 12,75 -10,95

3 27,47 12,75 -10,95

3 8,34 -3,15 -22,61

6 8,34 -3,15 -22,61

6 2,39 -8,48 -27,13

9 2,39 -8,48 -27,13

9 -3,93 -14,29 -32,16

12 -3,93 -14,29 -32,16

12 -9,87 -19,69 -36,69

15 -9,87 -19,69 -36,69

15 -15,67 -24,87 -40,84

18 -15,67 -24,87 -40,84

18 -21,32 -29,81 -44,62

21 -21,32 -29,81 -44,62

21 -26,81 -34,51 -48,00

24 -26,81 -34,51 -48,00

24 -32,13 -38,97 -51,00

27 -32,13 -38,97 -51,00

27 -37,28 -43,17 -53,59

30 -37,28 -43,17 -53,59

30 -42,23 -47,07 -55,76

33 -42,23 -47,07 -55,76

33 -46,91 -50,65 -57,47

36 -46,91 -50,65 -57,47

36 -51,39 -53,92 -58,86

continua

90

APÊNDICE 7 – ESFORÇO CORTANTE (kN)

continuação


39 -51,39 -53,92 -58,86

39 -55,00 -55,46 -57,55

42 -55,00 -55,46 -57,55

42 -75,12 -76,94 -78,19

45 -75,12 -76,94 -78,19

FONTE: O AUTOR

APÊNDICE 8 – ESFORÇO NORMAL (kN)


0 6550 6664 6872

3 6432 6546 6754

3 6185 6287 6474

6 6067 6169 6357

6 5810 5899 6064

9 5692 5782 5947

9 5422 5499 5642

12 5304 5381 5525

12 5022 5087 5209

15 4904 4969 5092

15 4609 4664 4766

18 4492 4546 4648

18 4186 4230 4313

21 4068 4112 4195

21 3751 3786 3852

24 3634 3668 3734

Continua

91

APÊNDICE 8 – ESFORÇO NORMAL (kN)

continuação


24 3307 3333 3383

27 3189 3215 3265

27 2853 2871 2908

30 2735 2754 2790

30 2390 2402 2426

33 2272 2285 2309

33 1918 1926 1940

36 1801 1809 1823

36 1440 1444 1450

39 1322 1326 1333

39 953 955 957

42 836 837 840

42 460 461 461

45 343 343 343

FONTE: O AUTOR

APÊNDICE 9 – MOMENTO FLETOR (kN.m)


0 74,35 42,53 -9,33

3 -8,05 4,28 23,54

3 16,18 -1,91 -33,05

6 -8,86 7,55 34,80

6 5,04 -11,19 -39,35

9 -2,12 14,25 42,04

9 -5,04 -20,68 -47,23

continua

92

APÊNDICE 9 – MOMENTO FLETOR (kN.m)

continuação


12 6,39 22,20 49,26

12 -14,81 -29,17 -54,18

15 14,79 29,89 55,87

15 -24,00 -37,31 -60,58

18 23,03 37,30 61,95

18 -32,89 -45,05 -66,38

21 31,06 44,39 67,46

21 -41,53 -52,41 -71,57

24 38,89 51,13 72,43

24 -49,89 -59,37 -76,15

27 46,52 57,55 76,83

27 -57,93 -65,88 -80,10

30 53,91 63,61 80,66

30 -65,63 -71,93 -83,39

33 61,06 69,29 83,88

33 -72,9 -77,45 -85,96

36 67,83 74,51 86,45

36 -79,82 -82,39 -87,83

39 74,35 79,36 88,75

39 -86,38 -86,59 -88,12

42 78,64 79,79 84,52

42 -95,71 -98,29 -99,37

45 129,00 132,52 135,22

FONTE: O AUTOR

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Influência da projeção em planta no comportamento estrutural de