INFLUÊNCIA DO ÂNGULO DE PRESSÃO.pdf

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA

COMISSO DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

INFLUNCIA DO NGULO DE PRESSOEM PROJETO DE ENGRENAGENS.

Autor: Geraldo Roberto de SousaOrientador: Franco Giuseppe Dedini

02/03


COMISSO DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICADEPARTAMENTO DE PROJETOS MECNICOS



Curso: Engenharia Mecnicarea de Concentrao: Projetos Mecnicos

Dissertao de mestrado acadmico apresentado comisso de Ps Graduao da Faculdade de EngenhariaMecnica, como requisito para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica.

Campinas, 2003.SP Brasil


COMISSO DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICADEPARTAMENTO DE PROJETOS MECNICOS

DISSERTAO DE MESTRADO ACADMICO



_____________________________________Prof. Dr. Franco Giuseppe Dedini, Presidente.Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

_____________________________________Prof. Dr. Vnia Regina Velloso e SilvaUniversidade Federal de So Joo Del Rei - UFSJ

_____________________________________Prof. Dr. Auteliano Antunes do Santos JuniorUniversidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Campinas, 21 de Fevereiro de 2003

Dedicatria:

Dedico este trabalho ao meu saudoso pai Francisco Assis de Sousa, In-memoriam, e

minha querida me Maria da Conceio de Sousa.

Agradecimentos

Este trabalho no poderia ser terminado sem a ajuda principalmente de Deus e de diversas

pessoas s quais presto minha homenagem:

Aos meus familiares e amigos, pelo incentivo em todos os momentos da minha vida.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Franco Giuseppe Dedini, que me mostrou os caminhos a

serem seguidos.

Ao meu amigo, Prof. Dr. Jorge Nei Brito e famlia, pelo incentivo.

Aos meus inesquecveis amigos Mariana, Hlio, Paulo Lamim, Alfredo, Emerson, Marco,

Arley, Roberto, Darley, Amiel, Vincius e Wagner pelo companheirismo e colaborao prestada

em horas oportunas.

A todos os professores e colegas de departamento, que ajudaram de forma direta e indireta

na concluso deste trabalho.

Aos meus colegas do departamento de mecnica da UFSJ, por me conceder esta

oportunidade para o meu crescimento profissional.

Universidade Federal de So Joo del Rei (UFSJ), por tudo que significa para mim.

Mundo, mundo, vasto mundo, mais vasto o meu corao, h se eu me chamasse Raimundo seria uma rima mais no a soluo.

(Saudoso poeta mineiro, Carlos Drumond de Andrade).

Resumo

SOUSA, Geraldo Roberto, Influncia do ngulo de Presso em Projetos de Engrenagens,

Campinas, Faculdade de Engenharia Mecnica, Universidade Estadual de Campinas, 2003,

106 p. Dissertao (Mestrado).

A aplicao de engrenagens na indstria extensa. As engrenagens devem ser econmicas,

silenciosas, leves e ter grande capacidade de transmisso de potncia. Consequentemente,

precisam ser bem projetadas, o que tem forado o seu aperfeioamento. Neste trabalho,

apresenta-se o Programa Free, desenvolvido em Visual Basic 5.0, que mostra a influncia do

ngulo de presso em projetos de engrenagens. O ngulo de presso formado pela tangente

comum aos dimetros primitivos das duas engrenagens e a trajetria descrita por um ponto de

contato entre um par de dentes das mesmas. Sua variao ir influenciar a cinemtica de

engrenamento e, consequentemente, a otimizao dos projetos de engrenagens. O Programa Free

tem duas subrotinas principais. A primeira, considera o raio no-dimensional (0,5, 1), seuobjetivo verificar o contato do dente no ponto mais elevado, ou seja, o ponto mais crtico do

engrenamento. A segunda considera o raio no-dimensional (0,1), seu objetivo identificar ainfluncia do ngulo de presso no projeto de e engrenagens cilndricas de dentes retos. Variou-se

o ngulo de presso entre 1430 a 25, em intervalos de 30, determinando-se os parmetros de

dimensionamento dos sistemas engrenados. Fez-se tambm uma anlise de sensibilidade,

objetivando a escolha de uma faixa em que o ngulo de presso exercesse, satisfatoriamente, a

maior influncia nos projetos de engrenagens.

Palavras Chave

ngulo de Presso, Engrenagens Cilndricas de Dentes Retos, Sistemas Engrenados

Abstract

SOUSA, Geraldo Roberto, Influence of the Pressure Angle in Gears Design, Campinas,

Faculdade de Engenharia Mecnica, Universidade Estadual de Campinas, 2003, 106 p.

Dissertao (Mestrado).

The use of gears in industry is extensive. The gears must to more economical, quiet, light

and they should have great capacity of power transmission. Consequently, they need to be well

designed what has forced its perfectioning. This investigation introduces the Free Programam

developed in Visual Basic 5.0, which shows the influence of pressure angle in gears design. The

pressure angle is formed by the common tangent to the primitive diameter of the two gears and

the described trajectory through by a contact point between a pair of teeth of the same ones. Its

variations will influence the cinematic of mesh and, consequently, the optimization of gears

design. The Free has two mains subroutines. The first one considers the non-dimensional ray (0,5, 1), its objective is verify the tooth contact in highest point, or in other words, the most

critical point in the mesh. The second one considers the non-dimensional ray (0, 1), itsobjective is to identify the influence of pressure angle in the spur gears design. The angle

between 1430' and 25 was divided in 30' intervals, determining the parameters of engaged

systems. Furthermore, an analysis of sensitivity was carried out aiming at choosing a band where

the pressure angle exerts, satisfactory, the biggest influence in the engaged systems.

Key Words.

Pressure Angle, Spur Gear, Engaged Systems.

indice

- Lista de Figuras ................................................................................................................ iv

- Lista de Tabelas ................................................................................................................ vi

- Nomenclatura ................................................................................................................... vii

Captulo 1 ............................................................................................................................ 1

Introduo ........................................................................................................................... 1

Captulo 2 ............................................................................................................................ 7

ngulo de Presso e Traado do Perfil de Dente ............................................................... 7

2.1 ngulo de Presso de Engrenagens Cilndricas de Dentes Retos ........................ 7

2.1.1 Introduo ....................................................................................................... 7

2.1.2 Sistemas Padronizados .................................................................................... 8

2.1.3 Sistema Normal (Adotado pela ABNT P.PB.89) ........................................... 8

2.1.4 Sistema Composto 1430' ............................................................................... 8

2.1.5 Sistema Stub 20 ............................................................................................. 8

2.1.6 Sistema Fellow ................................................................................................ 9

2.2 Traado do Perfil dos Dentes ................................................................................ 9

2.2.1 Evolvente como Perfil de Dentes de Engrenagem ......................................... 10

2.2.2 Diferentes Formas dos Dentes ........................................................................ 11

2.3 Vantagens e Inconvenientes dos Perfis Evolventes e Cicloidais .......................... 15

ii

2.4 Soluo Analtica para Determinao do Perfil de Engrenagens de Evolvente

sem correo ......................................................................................................... 16

2.4.1 Equao da Evolvente em Coordenadas Polares ............................................ 17

2.4.2 Equao da Trocide em Coordenadas Polares .............................................. 19

2.4.3 Equao da Evolvente e Trocide em Coordenadas Cartesianas ................... 20

2.5 Deslocamento dos Perfis ....................................................................................... 22

2.6 Tipos de Engrenamento ........................................................................................ 24

2.6.1 Engrenamento Zero (x1 = x2 = 0) .................................................................... 24

2.6.2 Engrenamento v zero (x1 + x2 = 0) ................................................................ 24

2.6.3 Engrenamento v (x1 + x2 0) ....................................................................... 25

2.7 Soluo Analtica para Determinao do Perfil de Engrenagens Evolvente com

Correo ................................................................................................................ 30

Captulo 3 ............................................................................................................................ 32

Implementao Computacional .......................................................................................... 32

3.1 Introduo ............................................................................................................. 32

3.1.1 Dados Geomtricos ......................................................................................... 34

3.1.1.1 Variveis de Entrada para os Dados Geomtricos ................................. 35

3.1.1.2 Variveis de Sada para os Dados Geomtricos .................................... 38

3.1.2 Dados do Material da Engrenagem ................................................................. 40

3.1.2.1 Variveis de Entrada para os Dados do Material da Engrenagem ........ 40

3.1.2.2 Variveis de Sada para os Dados do Material da Engrenagem ............ 41

3.1.3 Dados Dinmicos ............................................................................................ 41

3.1.3.1 Variveis de Entrada para os Dados Dinmicos ................................... 42

3.1.3.2 - Variveis de Sada para os Dados Dinmicos ...................................... 42

iii

3.1.4 Fatores do Projeto ........................................................................................... 44

3.1.4.1 Variveis de Entrada para os Fatores de Projeto ................................... 44

3.1.4.2 Variveis de Sada para os Fatores de Projeto ....................................... 46

3.1.5 Variao do ngulo de Presso ...................................................................... 48

Captulo 4 ............................................................................................................................ 72

Aplicao e Exemplo .......................................................................................................... 72

4.1 Introduo ............................................................................................................. 72

4.1.1 Dados Geomtricos HPSTC e Caso Geral ................................................... 73

4.1.2 Dados do Material da Engrenagem HPSTC e Caso Geral .......................... 73

4.1.3 Dados Dinmicos HPSTC e Caso Geral ...................................................... 74

4.1.4 Fatores do Projeto HPSTC e Caso Geral ..................................................... 74

4.1.5 Variao do ngulo de Presso HPSTC ..................................................... 75

4.1.6 - Variao do ngulo de Presso Caso Geral ................................................. 76

4.2 Anlise Grfica ..................................................................................................... 77

4.3 Anlise de Sensibilidade ....................................................................................... 83

4.4 Resultado .............................................................................................................. 88

Captulo 5 ............................................................................................................................ 90

Concluses e Sugestes para Trabalhos Futuros ................................................................ 90

5.1 Concluses ............................................................................................................ 90

5.2 Sugestes para Trabalhos Futuros ........................................................................ 92

Referncias Bibliogrficas .................................................................................................. 93

Anexo 1 ............................................................................................................................... 99

iv

Lista de Figuras

Figura 2.1 ngulo de Presso () .................................................................................... 7

Figura 2.2 Desenvolvimento dos Dentes da Engrenagem ............................................... 11

Figura 2.3 Perfil "Stub" ................................................................................................... 12

Figura 2.4 Comparao do Perfil do Dente "Stub" de 20 e Normal de 20 .................... 12

Figura 2.5 Engrenagens Bostock e Bramley .................................................................... 13

Figura 2.6 Comparao entre Dentes Bostock e Bramley e Dente Normal de 20 ......... 14

Figura 2.7 Pinho de 30 Dentes com Cremalheira .......................................................... 14

Figura 2.8 Pinho de 30 Dentes e Engrenagem de 180 Dentes ....................................... 14

Figura 2.9 Perfil do Dente ............................................................................................... 17

Figura 2.10 Curva Evolvente e Principais Grandezas Geomtricas ................................ 18

Figura 2.11 Curva da Trocide e Principais Grandezas Geomtricas ............................. 20

Figura 2.12 Curva da Evolvente e Trocide e Principais Grandezas Geomtricas ......... 21

Figura 2.13 Perfil Normal ................................................................................................ 22

Figura 2.14 Perfil Deslocado ........................................................................................... 23

Figura 2.15 Gerao do Engrenamento "v" ................................................................... 26

Figura 3.1 Fluxograma do Programa Free ....................................................................... 32

Figura 3.2 Principais Grandezas Geomtricas das ECDR ............................................... 34

vFigura 3.3 Dados Geomtricos ........................................................................................ 40

Figura 3.4 Dados do Material da Engrenagem ................................................................ 41

Figura 3.5 Dados Dinmicos ........................................................................................... 44

Figura 3.6 Fator Dinmico AGMA, kv, Cv ...................................................................... 46

Figura 3.7 Fatores de Projeto ........................................................................................... 48

Figura 3.8 Carga Aplicada no Ponto mais Elevado para um Simples Contato no Dente

(HPSTC) ......................................................................................................... 50

Figura 3.9 Sistema de Coordenadas e Perfil do Dente .................................................... 56

Figura 3.10 Parbola Lewis ............................................................................................. 60

Figura 3.11 Fator Geomtrico j para (0,1) .................................................................... 65Figura 3.12 Efeito do Nmero de Dentes na Geometria do Dente .................................. 66

Figura 3.13 Fator Geomtrico j para (0,5,1) ................................................................. 67Figura 3.14 Coeficientes das Equaes de j para (0,5,1) .............................................. 68Figura 3.15 Variao do ngulo de Presso ................................................................... 71

Figura 4.1 Dados Geomtricos ........................................................................................ 73

Figura 4.2 Dados do Material da Engrenagem ................................................................ 73

Figura 4.3 Dados Dinmicos ........................................................................................... 74

Figura 4.4 Fatores do Projeto ........................................................................................... 74

Figura 4.5 Variao do ngulo de Presso HPSTC ..................................................... 75

Figura 4.6 Variao do ngulo de Presso Caso Geral ................................................ 76

vi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Engrenagens Cilndricas Retas Normais Perfil Evolvente ......................... 99

Tabela 2.2 Comparao entre os Diferentes Sistemas de Gerao do Perfil "Stub" ....... 100

Tabela 2.3 Caractersticas Fundamentais dos Sistemas de Gerao de Perfil "Stub" ..... 101

Tabela 2.4 Equaes para Traado do Perfil de Engrenagens Cilndricas com/sem

Correo .......................................................................................................... 102

Tabela 3.1 Fator de Distribuio de Carga (Km) ........................................................... 103

Tabela 3.2 Fator AGMA (KR) ......................................................................................... 103

Tabela 3.3 Coeficientes das Equaes de j para (0, 1) ................................................. 104Tabela 3.4 Coeficientes da Equaes de j para (0,5, 1) ................................................ 105Tabela 3.5 Coeficientes das Equaes Logartmicas para (0,5, 1) ............................... 106Tabela 4.1 Variveis de Influncia .................................................................................. 85

Tabela 4.2 Intervalos de Maior influncia do ngulo de Presso ................................... 89

vii

Nomenclatura

UnidadesSmbolos Letras Latinas

SI Sistema Ingls

a Addendum .................................................................. mm in

a Distncia entre centros de operao ........................... mm in

a1 Distncia entre centros hipottica .............................. mm in

ac Distncia da linha de referncia da cremalheira ao

centro da engrenagem ................................................ mm in

b Dedendum .................................................................. mm in

c Folga no fundo do dente (backlasch) ......................... mm in

C e a Distncia entre centros ............................................... mm in

Cf Fator de superfcie ...................................................... - -

CH Fator de dureza ........................................................... - -

CP Coeficiente de elasticidade ........................................ - -

d Dimetro de primitivo ................................................ mm in

da Dimetro da cabea .................................................... mm in

dbp e dbg Dimetro da base do pinho e da coroa ..................... mm in

df Dimetro do p .......................................................... mm in

viii

dHPSTCp e

dHPSTCg

Dimetro para o HPSTC ............................................ mm in

dop e dog Dimetro externo do pinho e coroa .......................... mm in

e Vo frontal ................................................................. mm in

Ep e Eg Mdulo de elasticidade do pinho e da coroa ............ MPa psi

F Largura da face .......................................................... mm in

F() Funo Ponderada ...................................................... - -

h Altura total do dente ................................................... mm in

ha Altura da cabea do dente .......................................... mm in

hap Altura da cabea da cremalheira ................................ mm in

hf Altura do p do dente ................................................. mm in

I Fator geomtrico superficial ...................................... - -

i, mG Relao de transmisso .............................................. - -

inv Funo evolvente ....................................................... - -

J Fator de flexo geomtrico AGMA ........................... - -

j Fator geomtrico ........................................................ - -

Ka, Ca Fator de aplicao ...................................................... - -

KB Fator de flexo perifrica ........................................... - -

KI Fator da engrenagem intermediria (ociosa).............. - -

KL Fator de vida (flexo-fadiga) ..................................... - -

Km, Cm Fator de distribuio de carga .................................... - -

KR, CR Fator de confiabilidade .............................................. - -

KS, CS Fator de tamanho ....................................................... - -

KT, CT Fator de temperatura .................................................. - -

ix

KV, CV Fator dinmico ........................................................... - -

m Mdulo mtrico ......................................................... mm -

M Momento .................................................................... N.m lb.in

m Mdulo de operao ................................................... mm -

mp Razo de contato ........................................................ - -

Ng e zg Nmero de dentes da coroa ........................................ - -

Np e zp Nmero de dentes do pinho ...................................... - -

np, ng Rotao do pinho e da coroa .................................... RPM -

P Potncia ...................................................................... hp hp

Pb Passo da base .............................................................. mm in

Pc Passo circular ............................................................. mm in

Pd Diametral pitch .......................................................... - 1/in

Qv ndice de qualidade da engrenagem .......................... - -

r Raio da circunferncia primitiva ............................... mm in

r Raio de aplicao ....................................................... mm in

r1 e r2 Raios primitivos de operao ..................................... mm in

rb Raio da circunferncia de base .................................. mm in

rf Raio do filete .............................................................. mm in

ri Raio de um ponto no perfil evolvente do dente ......... mm in

rL Raio limite terico ...................................................... mm in

ro Raio externo ............................................................... mm in

Ro2 Raios externos de duas planetrias ............................ mm in

rP Raio em qualquer ponto P sobre a evolvente ............. mm in

rps Raio padro do passo ................................................. mm in

xrT Raio da trocide ......................................................... mm in

rti Raio inicial da evolvente do perfil do dente .............. mm in

s Espessura do dente ..................................................... mm in

s1 e s2 Espessura do dente sobre a circunferncia primitiva

de gerao .................................................................. mm in

sa Espessura da cabea do dente .................................... mm in

sf Espessura da seo crtica do dente ........................... - -

Sfb Limite de resistncia flexo .................................... MPa psi

Sfb' Limite de resistncia fadiga .................................... MPa psi

Sfc Limite de resistncia flexo superficial.................... MPa psi

Sfc' Limite de resistncia fadiga superficial.................... MPa psi

t Raio padro do passo da espessura circular do dente. mm in

T Torque ........................................................................ N.m lb.m

Vt Velocidade na linha do passo ..................................... m/s in/s

W Fora resultante .......................................................... N lb

w Velocidade angular .................................................... rad/s rad/s

wA Velocidade angular do brao em relao conexo

fixa ............................................................................. rad/s rad/s

wF Velocidade angular da primeira engrenagem em

relao conexo fixa ................................................ rad/s rad/s

wL Velocidade angular da ltima engrenagem em

relao conexo fixa ................................................ rad/s rad/s

Wr Fora radial ................................................................ N lb

Wt Fora tangencial ......................................................... N lb

x Coeficiente de deslocamento do perfil do dente ........ - -

xi

xf, yf Coordenadas do perfil do filete da trocide ............... - -

xi, yi Coordenadas da evolvente do perfil do dente ............ - -

xp Coeficiente addendun do pinho ................................ - -

xp e xg Coeficiente addendum do pinho e coroa .................. - -

xt, yt Coordenadas do ponto de tangncia .......................... - -

Y Fator de forma do dente (Lewis) ................................ - -

y Fator de forma ............................................................ - -

Z Comprimento da linha de ao .................................. mm in

Zc Distncia entre o ponto do passo e o HPSTC da

engrenagem medida ao longo da linha de ao.......... mm in

Ze Distncia entre o ponto do passo e o HPSTC do

pinho medida ao longo da linha de ao................... mm in

UnidadesSmbolos Letras Gregas

SI Sistema Ingls

' ngulo de presso de operao .................................. deg deg

ngulo de presso ...................................................... deg deg

P ngulo de rolamento do ponto P ............................... deg deg

L ngulo entre a linha de ao e a linha horizontal,

(ngulo de carga) ........................................................deg deg

ngulo entre as origens da evolvente e da trocide ... deg deg

ngulo entre as origens da evolvente e trocide ....... deg deg

' ngulo entre o eixo de simetria do dente e o eixoque passa pelo ponto de origem da evolvente ............ deg deg

xii

p ngulo vetorial entre os raios vetores que definem aorigem da evolvente em qualquer ponto .................... deg deg

T ngulo diretor da trocide ......................................... deg deg

, , , ngulos estruturais .................................................... deg degp, g Coeficiente de Poisson do pinho e da coroa ............. - -

Metade da largura da base do dente ........................... - -

Raio de curvatura do filete mnimo da curva ............. mm in

p e g Raio de curvatura do pinho e coroa .......................... mm in

Raio no dimensional ................................................. - -b Tenso de flexo ........................................................ MPa psi

c Tenso de superfcie .................................................. MPa psi

Superescrito

Modificado, Operao.................................................................................... (m)

Padro, Geral.................................................................................................. (s)

Carga.............................................................................................................. (c)

1Captulo 1

Introduo

As primeiras engrenagens de que se tm conhecimento so as da Carruagem Chinesa,

sculo 27 a.C. Os dentes destas engrenagens eram pinos de madeiras, organizados em um

complexo trem de engrenagens, que moviam uma estatueta com um brao estendido, sempre

apontando para a mesma direo, independente da direo que a carruagem se movia. As

primeiras descries escritas sobre engrenagens foram feitas por Aristteles, no sculo 4 a.C.

Ctesibius, inventor grego, usou no sculo 3 a.C., as engrenagens cilndricas de dentes retos e

cnicas, e Archimedes mencionou parafuso sem-fim e coroa em seus escritos. Vitruvius, que

inventou a roda dgua vertical, usou um par de engrenagens de ngulo reto para transmitir

potncia do eixo de uma roda horizontal para uma roda de eixo vertical de um moinho de pedra,

(Amaral 2000).

Os cadernos de Leonardo da Vinci contm esboos de engrenagens cilndricas de dentes

retos, cnicas e parafuso sem-fim e coroa. provvel que nenhum destes inventores prestaram

muita ateno no problema de perfis de dentes cinematicamente corretos, o que permitiria uma

relao de velocidades constantes (perfis conjugados). Embora a curva cicloidal j fosse

conhecida h mais de 200 anos, at 1674 ela ainda no havia sido empregada para perfis de

dentes de engrenagens. No sculos XVIII e XIX, debateu-se os mritos da aplicao dos perfis

cicloidais e evolventais. Desde 1830 os perfis evolventais eram os preferidos para transmisses

de potncia das mquinas industriais. J os perfis cicloidais eram usados para a fabricao dos

relgios. A primeira engrenagem cilndrica de dentes retos e cnica foi cortada com a forma de

cut-ters, e correspondia aos espaos entre os dentes, (Amaral 2000).

2O mais antigo cortador giratrio deste tipo era feito mo por um mecnico francs

chamado Jacques de Vaucanson, em 1782, tendo sido usado em uma mquina de moenda. At os

meados do sculo XIX ainda no haviam aparecido as mquinas especiais para cortar

engrenagens Britnica.

O desenvolvimento da siderurgia brasileira na dcada de 1970 ficou evidenciado pela sua

grande expanso. A conseqncia desse processo o reconhecimento internacional, que

considera o brasileiro um dos melhores fabricantes de ao plano. Nesse processo de

desenvolvimento, a siderurgia recebeu a maioria de seus equipamentos do Japo. Aps esse

perodo houve como conseqncia natural, o aspecto competitivo, ou seja, outros fabricantes na

busca de seu Market-share introduziram equipamentos de alta qualidade. As modificaes mais

significativas no que se refere transmisso de potncia foram nos Sistemas Engrenados, (Brito

1999).

Principalmente a partir da dcada de setenta, investigaes tericas e experimentais vm

sendo desenvolvidas para o estudo do comportamento dinmico de sistemas engrenados. Pode-se

observar uma primeira tendncia ligada pesquisa de tenses no dente da engrenagem, com a

incluso de efeitos trmicos durante o ciclo de engrenamento e considerando a sua flexibilidade,

objetivando a otimizao do projeto do dente de engrenagem, (Kasuba e Evans 1981, Lin e

Huston 1986, Lewicki 1986, Queiroz e Brazzalle 1978 e Milovic e Turrin 1983).

Numa segunda linha de pesquisa, tem-se estudado o comportamento dinmico global da

transmisso devido s excitaes geradas pelo engrenamento, incluindo os erros geomtricos de

fabricao, flexibilidade dos dentes e defeitos da superfcie do perfil ativo dos dentes, (Randall

1982, Magalhes 1990 e Brito 1994).

Ichimaru 1974, analisou as causas de falhas em engrenagens cilndricas de dentes retos sob

carregamento pesado provocadas por erros de fabricao, para uma determinada condio de

operao.

3Mitchiner e Mabie 1982, publicaram um artigo sobre a determinao do Fator Forma Lewis

e do Fator geomtrico AGMA J, para dentes de engrenagens externa de ao. Este trabalho definiu

problemas de aproximao direta da raiz do perfil padro dos dentes de engrenagens de ao no

padronizados.

Milovici e Turrin 1983, publicaram um trabalho que descreve um programa para gerar

perfis de engrenagens, atravs do qual baseia-se nos mtodos analticos. Essa tarefa, antes dos

computadores, era desgastante devido ao grande volume de clculos.

Magalhes 1990, investigou o comportamento dinmico transiente de sistemas engrenados

com folgas, sujeitos a impactos torcionais externos.

Mogalapalli 1992, apresentou em sua dissertao de Mestrado, um estudo de otimizao do

nmero de dentes das engrenagens para as transmisses automticas equipadas com caixa

Simpson, GM THM 440 PGT e Ravigneaux.

Erdman 1993, coordenou a edio de um livro sobre o estado da arte da moderna

cinemtica dos mecanismos que contm os principais trabalhos e autores dos ltimos 40 anos.

Um dos 14 captulos dedicado exclusivamente aos sistemas de transmisso por engrenagens,

cujo editor foi Lung-Wen Tsai.

Brito 1994, apresentou em sua dissertao de mestrado uma metodologia para identificar a

influncia de defeitos gerados pelo desgaste e/ou eroso do perfil ativo de dentes de engrenagens

cilndricas de dentes retos, sobre as vibraes medidas no redutor.

Papalambros 1995, identificou a otimizao de sistemas mecnicos como a mais importante

rea de pesquisa para o futuro.

Rey, Toll e Ballester 1998, desenvolveram um mtodo prtico para obter os parmetros

geomtricos fundamentais do dentado das engrenagens cilndricas de eixos paralelos e de

engrenamento externo com resultados mdios de preciso aceitveis. Zapico, Snches e Velasco

41998, desenvolveram um estudo cinemtico e de rendimentos dos mecanismos planetrios de

simples e duplos engrenamentos, com a simulao atravs do programa Working Model.

Pertence e Junior 1998, desenvolveram um programa visando uma seqncia automatizada

de clculo, estruturado na Linguagem Visual Basic para o dimensionamento de transmisses por

engrenagens cilndricas.

Bezerra e Junior 2001, apresentaram em seu trabalho o desenvolvimento de um programa

com diversas rotinas que possibilitam ao usurio a escolha de um conjunto de engrenagens a

partir de dados propostos. Entre estes, citam-se as condies de trabalho, materiais para as

engrenagens, etc. A linguagem de programao utilizada foi o LISP (List Processing), a qual se

mostrou bastante adaptada em um ambiente CAD (Computer Aided Design). Este programa

acessado atravs de quadros de dilogos simples e de ampla visualizao dos parmetros do

projeto do perfil evolvental. Com a utilizao de normas, pode-se aplicar fatores de correo com

o intuito de determinar as tenses e as de solicitaes do conjunto, obtendo de tal forma, um

conjunto confivel e seguro para desempenhar o trabalho o qual foi projetado.

Arikan 2001, apresentou em seu artigo as expresses analticas para o clculo do fator

geomtrico AGMA (J) obtidas de engrenagens externas, tornando possvel avaliar facilmente o

fator (J) e com o mnimo tempo de processo, para anlise computacional das engrenagens e

aplicaes do projeto. Tambm foi desenvolvido um programa de computador para demonstrar o

uso de expresses derivadas.

Flvio 2002, apresentou em seu artigo o desenvolvimento de um programa capaz de

calcular em fraes de segundo todas as caractersticas de um engrenamento que utiliza

engrenagens cilndricas de dentes retos, calculando inclusive os eixos, rolamentos e chavetas

acopladas. Este programa tambm capaz de desenhar estas engrenagens, exportar arquivos para

o AutoCAD e gerar relatrios e grficos.

Os sistemas de transmisso por engrenagens so projetados para condies de operaes

extremas, acarretando estreitos limites para as possibilidades de ocorrncia de falhas durante seu

funcionamento. Exige-se, portanto, que tanto as tcnicas de projeto como as de monitorao do

5estado de funcionamento sejam refinadas para reduzir as incertezas de desempenho e prever a

vida til do equipamento.

Praticamente, todas as mquinas possuem engrenagens. Devido s suas especificidades, os

projetistas tm necessidade de freqentemente projet-las. Isto tem forado o aperfeioamento

das engrenagens, tornando-as mais econmicas, silenciosas, leves e com maior capacidade de

carga. Consequentemente, vrios mtodos de clculos para o dimensionamento de engrenagens

tm sido desenvolvidos por universidades e empresas especializadas em sua fabricao. Com a

facilidade do uso de recursos computacionais estes mtodos esto cada vez mais precisos,

permitindo projetos mais elaborados.

Nos sistemas de transmisso de engrenagens esto presentes diversos tipos de tenses. O

projetista deve considerar todas as possibilidades, para que estas tenses fiquem dentro dos

limites do projeto.

Alguns fatores tornam difcil o clculo destas tenses. Um deles a carga transmitida pelos

dentes, geralmente conhecida. Entretanto, pode-se no saber como esta carga distribuda atravs

da largura do dente e ainda, como ela dividida por dois ou mais pares de dentes que estejam em

contato ao mesmo tempo.

Erros no passo no somente dificultam a distribuio da carga entre os dentes, como

tambm podem causar aceleraes e desaceleraes, causando o aparecimento de uma sobrecarga

dinmica.

O tema do trabalho Influncia do ngulo de Presso em Projeto de Engrenagens foi

escolhido baseado na importncia que o ngulo de presso representa no projeto das engrenagens.

Para estudar a influncia do ngulo de presso em projetos de engrenagens foi desenvolvido o

programa Free, em linguagem Visual Basic 5.0, variando-se o ngulo de presso em funo dos

parmetros envolvidos no projeto. Fez-se uma anlise das principais mudanas no engrenamento,

e observou-se que os sistemas engrenados tornaram-se mais eficientes.

6No captulo 2 apresenta-se uma abordagem sobre a utilizao do ngulo de presso e

tambm um estudo sobre o traado do perfil dos dentes das Engrenagens Cilndricas de Dentes

Retos.

No captulo 3 apresenta-se o programa Free, onde possvel analisar o contato crtico entre

os dentes (subrotina HPSTC) e o caso genrico que analisa o contato em todo perfil evolvental do

dente (subrotina CASO GERAL).

No captulo 4 tem-se uma aplicao do programa Free, tambm apresenta-se uma anlise

de sensibilidade, objetivando fornecer a faixa em que o ngulo de presso exera maior influncia

na eficincia dos sistemas engrenados.

No captulo 5 apresenta-se as concluses e sugestes para trabalhos futuros.

7Captulo 2

ngulo de Presso e Traado do Perfil de Dente.

2.1 ngulo de Presso de Engrenagens Cilndricas de Dentes Retos.

2.1.1 Introduo.

O ngulo de presso formado pela tangente comum aos dimetros primitivos das duas

engrenagens e a trajetria descrita por um ponto de contato entre um par de dentes das

engrenagens, como ilustra a Figura 2. 1. Os ngulos de presso dos pares engrenados so

padronizados em poucos valores pelos fabricantes de engrenagem. Eles so definidos na distncia

de centros nominal para um par engrenado cortado. Os valores padres so 14,5, 20 e 25. A

norma DIN 867 recomenda-se a utilizao do ngulo de presso = 20, atualmente o mais

usado, (Sarkis 2000).

Figura 2. 1 - ngulo de Presso ().

82.1.2 Sistemas Padronizados.

indiscutvel a convenincia dos perfis serem padronizados. o que se faz normalmente,

adotando-se dimenses dos dentes em funo do mdulo ou do passo diametral. Assim, a cada

mdulo (ou passo diametral) correspondero dimenses bem determinadas para os dentes.

Existem vrios perfis padronizados, dificultando a identificao de engrenagens gastas, (Sarkis

2000).

2.1.3 Sistema Normal (Adotado pela ABNT P.PB.89).

A curva do perfil uma evolvente de crculo com ngulo de presso de 20 ou 1430. A

caracterstica principal deste sistema a cabea do dente igual ao mdulo ou ao inverso do passo

diametral, (Sarkis 2000).

Na Tabela 2.1 do anexo 1, so apresentadas as relaes geomtricas deste sistema.

2.1.4 Sistema Composto 1430.

O perfil do dente constitudo, na sua parte central, por um arco de evolvente de crculo,

concordando por arcos de curvas tipo cicloidais no fundo e no exterior.

O ngulo de presso 1430. Estas engrenagens possuem um melhor funcionamento

quanto interferncia devido a forma da cabea do dente. As cortadeiras so, no entanto, mais

caras, (Sarkis 2000).

2.1.5 Sistema Stub 20.

Em funo das condies exigidas na moderna construo de mquinas e elementos de

trao, foi preciso estudar engrenagens de elevadas condies de resistncia, modificando-se os

ngulos de presso. Em 1899, a firma americana Fellows Shaper Co. utilizou o dente Stub, que

foi traduzido como dente sem ponta, em diversos rgos de mquinas. O resultado do uso do

9sistema Stub foi excelente, mas seu uso generalizado foi lento, encontrando seu lugar

preferencial na industria automobilstica e de mquinas ferramentas.

A finalidade de utilizao deste perfil, obter nmero mnimo de dentes, a cabea do dente

menor que a do sistema normal, isto , a altura da cabea do dente (ha) menor que o mdulo

(m). Conseqentemente, a profundidade por ser menor, resultar um dente mais reforado e uma

diminuio na relao de contato, (Sarkis 2000).

2.1.6 Sistema Fellow.

Este sistema foi desenvolvido pela Fellow Gear Sharper Co. e tm sido usado largamente

para transmisses de automveis. O sistema utiliza ngulo de presso de 20, sendo a geometria

da engrenagem determinada por uma funo, em que o numerador o passo diametral utilizado

para o dimetro e a espessura do dente e o denominador para a altura, a cabea e a base.

Conforme mostra a Tabela 2.1 do anexo 1, (Sarkis 2000).

2.2 Traado do Perfil de Dentes.

O estudo do traado do perfil do dente de engrenagens cilndricas de evolvente tem

despertado interesse dos projetistas pelo fato das engrenagens, na sua maioria, serem fabricadas

sempre com correo, (Brito 1999).

Neste item so discutidos os princpios bsicos para o traado do perfil do dente das

engrenagens cilndricas de evolvente, destacando suas vantagens, inconvenientes e solues

analticas.

O traado do perfil do dente de engrenagens torna-se necessrio em diversas situaes de

projeto e de controle de qualidade. Dentre elas podem ser destacadas:

10

- No projeto e no controle de ferramentas, tais como moldes de injeo, coquilhas para

fundio sob presso, matrizes de extruso e matrizes de compactao em processos de

sinterizao.

- No projeto de engrenagens com perfis especiais, tais como engrenagens que devem operar

sob condies muito severas de carga, engrenagens fabricadas em termoplsticos, etc.

- Na necessidade de calcular a tenso que atua no p do dente, no caso de perfis especiais

ou quando dados geomtricos necessrios a este clculo no podem ser fceis ou rapidamente

obtidos.

- No controle do perfil de engrenagens obtidas atravs de diferentes processos de

fabricao, na falta de equipamento especfico para esta finalidade.

Existem diversos mtodos para o traado de perfis de dentes de engrenagens. Os mtodos

grficos so mais simples e fceis de executar, simulam o processo de gerao e so muito teis

no caso de perfis especiais. Porm, os mtodos analticos so os mais precisos e com o uso de

artifcios computacionais, pode-se obter qualquer nmero de pontos do perfil, de forma rpida e

precisa.

2.2.1 Evolvente como Perfil de Dentes de Engrenagem.

Quando a evolvente usada como perfil de dentes de engrenagens, vrias curvas evolventes

so desenvolvidas a partir de uma mesma circunferncia de base, (Dias 2002).

A Figura 2. 2 ilustra o desenvolvimento do lado que apresenta vrios dentes sucessivos.

Considere-se um cordo com vrios ns igualmente espaados, enrolado sobre uma

circunferncia de base. Quando o cordo desenrolado, cada n descreve uma curva evolvente.

A distncia entre essas evolventes, medida sobre qualquer linha tangente circunferncia de base

sempre a mesma, que por sua vez igual ao comprimento do arco da circunferncia de base

entre as origens de quaisquer duas evolventes sucessivas, que tambm igual a distncia entre os

ns do cordo e ao comprimento da circunferncia de base dividida pelo nmero de dentes da

engrenagem. Chamada de passo da base ( Pb), conforme Equao 2.1.

11

Figura 2. 2 - Desenvolvimento dos Dentes da Engrenagem.

Nr2P bb

= (2.1)

2.2.2 Diferentes Formas dos Dentes

Em um procedimento anlogo a Firma Americana Fellows Shaper Co. (item 2.1.5), a

empresa R. D. Nuttall Co. desenvolve o desenho dos dentes, marcando suas formas de uma

maneira distinta, diferenciando-se entre si nas dimenses das alturas da cabea e do p do dente,

a partir do dimetro primitivo, mas mantendo o mesmo ngulo de presso.

A Comisso de Normalizao Alem - DIN, adota o mesmo sistema de dentes Stub,

conservando as alturas normais do dente. A American Standard, em sua norma, apresenta uma

ligeira variao.

Brito 1999, mostra em seu trabalho que a Figura 2. 3 ilustra o perfil Stub de um dente de

engrenagem com suas dimenses, onde (s) a espessura, (h) a altura total, (ha) a altura da cabea

e (hf) a altura do p. A Tabela 2.2 do anexo 1 mostra a comparao entre os diferentes sistemas

de gerao do perfil Stub. Para a mesma, ser tomado como referncia o Diametral Pitch n

4, passo equivalente ao mdulo 6,35. A Figura 2. 4, ilustra o perfil do dente Stub e normal de

20.

12

Figura 2. 3 - Perfil "Stub".

Figura 2. 4 - Comparao do Perfil do Dente "Stub" de 20 e Normal de 20.

A Tabela 2.3 do anexo 1 mostra as caractersticas fundamentais que se deve conhecer sobre

os sistemas Fellows, Nuttall e AGMA Amereican Gear Manufactory Association.

O Comit Francs de Normalizao CFN adotou um perfil de dente que j empregado

na indstria francesa, tambm usando o ngulo de presso de 20. Neste perfil, a altura do dente e

altura do p do dente so dadas pelas Equaes 2.2 e 2.3, respectivamente, onde (m) o mdulo.

m75,0ha = (2.2)

m95,0hf = (2.3)

13

Um perfil de dente, considerado um processo que revoluciona tudo aquilo de uso corrente,

apesar de pouco conhecido, porm muito aplicado, o sistema Bostock e Bramley, cuja aplicao

principal so as engrenagens redutoras de velocidade utilizadas principalmente na propulso de

barcos acionados por turbinas a vapor. Suas caractersticas so notveis, como pode-se observar

nas Figuras 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8, onde so ilustradas diversas comparaes relacionadas com a

cremalheira com dente normal de 15 a 20. Pode-se observar a zona de rolagem e deslizamento

cujas vantagens so relevantes quando comparadas a outro sistema ou norma para gerao de

dentes que satisfaz aplicao especial atribuda a este sistema. Tambm pode-se observar que o

dimetro primitivo encontra-se na proximidade da raiz do dente e quase na extremidade da

cabea do mesmo na engrenagem e na cremalheira. Portanto, pode-se afirmar que nada se fez em

matria de engrenagens com caractersticas to originais como as do sistema Bostock e Bramley.

Figura 2. 5 - Engrenagens Bostock e Bramley

14

Figura 2. 6 - Comparao entre Dentes Bostock e Bramley e Dente Normal de 20

Figura 2. 7 - Pinho de 30 Dentes com Cremalheira

Figura 2. 8 - Pinho de 30 Dentes e Engrenagem de 180 Dentes.

15

Outro perfil de dente que obteve uma grande aceitao, sendo muito utilizado, o perfil da

British Standard. Este perfil tem um ngulo de 20 e sua aplicao principal em engrenagens de

trao, caixas redutoras para turbinas a vapor, em aviao e em outras aplicaes especiais. O seu

uso mais generalizado em engrenagens helicoidais com eixos paralelos. Estas engrenagens

classificam-se em trs classes:

- Classe A Preciso: engrenagens para uma velocidade perifricas maior que 600

[m/min];

- Classe B Alta preciso: engrenagens para uma velocidade perifrica de 230 a 900

[m/min];

- Classe C Tipo comercial: engrenagens para uma velocidade perifricas inferior a 360

[m/min];

2.3 Vantagens e Inconvenientes dos Perfis Evolventes e Cicloidais.

Segundo Pires 1980 e Shigley 1984, cada um dos perfis tm vantagens e inconvenientes.

Nas engrenagens cicloidais o contato dos dentes verifica-se entre uma superfcie cncava e uma

convexa. Desta maneira, a rea deformada de contato maior que nas engrenagens da evolvente,

resultando uma presso menor, e conseqente diminuio de desgaste. O nmero mnimo de

dentes admissveis menor. Estas engrenagens apresentam, porm, o inconveniente de exigir

uma distncia precisa entre as rvores, pois uma modificao na distncia provoca alterao de

funcionamento, j que a lei fundamental das engrenagens no se satisfaz. O traado mais difcil,

a intensidade das presses nos pontos de contato aumenta do centro do perfil para as

extremidades. Engrenagens com o mesmo passo s podem engrenar se os perfis so gerados por

circunferncias de mesmos raios. As ferramentas para a execuo so mais numerosas e de

execuo difcil. As bases dos dentes resultam debilitadas, para as engrenagens de pequeno

nmero de dentes.

As engrenagens da evolvente do crculo permitem uma variao na distncia dos centros, o

que acarreta apenas a modificao do ngulo de presso. O traado mais simples e as

cortadeiras so de execuo fcil. A presso nos pontos de contato constante, por ser a linha de

16

ao, uma reta. Para um mesmo passo, os dentes das engrenagens da evolvente so mais

reforados que os das cicloidais. Mas, inconvenientes existem. Os contatos se processam entre

duas superfcies convexas, o que aumenta a presso atuante. O nmero mnimo de dentes bem

mais elevado que para engrenagens cicloidais, tornando o rendimento ligeiramente inferior.

Ponderando estas vantagens e inconvenientes, as engrenagens cicloidais esto sendo, cada

vez mais, substitudas pelas engrenagens evolventes.

2.4 Soluo Analtica para Determinao do Perfil de Engrenagens de Envolvente

Sem Correo.

Brito 1999, destaca em seu trabalho que a curva evolvente universalmente utilizada como

perfil dos dentes das engrenagens, por sua grande facilidade de fabricao e, sobretudo por certas

caractersticas que ela tem na sua utilizao.

A evolvente permite que o contato entre os dentes das duas engrenagens acontea apenas

em um ponto A (ou uma pequena regio reformada em torno do ponto), permitindo uma ao

conjugada, suave e sem muito deslizamento, prximo a uma condio de rolamento.

Conforme ilustrado na Figura 2. 9, medida que as engrenagens giram, o ponto de contato

A muda nos dentes, mas permanece sempre ao longo da linha aa, chamada de linha de ao. A

inclinao desta linha, definida pelo ngulo de presso , sendo uma caracterstica j

incorporada na ferramenta usada para gerar o dente. na direo da linha de ao que a fora

transmitida de um dente para outro.

17

Figura 2. 9 - Perfil do Dente

2.4.1 Equao da Evolvente em Coordenadas Polares.

A evolvente uma linha gerada por um ponto P de uma reta g, que rola sem escorregar

sobre uma circunferncia de base b, como ilustra a Figura 2. 10. Na mesma, a curva obtida se faz

sobre uma circunferncia de raio rb e centro em O, onde o raio instantneo de curvatura da

evolvente, rP o raio em qualquer ponto P sobre a evolvente, P o ngulo vetorial entre os raios

vetores que definem a origem da evolvente em qualquer ponto, tal como P sobre a evolvente, P

o ngulo de rolamento do ponto P e rb o raio da circunferncia de base, (Brito 1999).

18

Figura 2. 10 - Curva Evolvente e Principais Grandezas Geomtricas.

O segmento PT da reta g chama-se geratriz da evolvente. Este segmento perpendicular a

evolvente no ponto P, gerando o raio de curvatura desta no mesmo ponto. O ngulo que o raio

vetor OP forma com o raio do crculo de base, passando por T, igual ao ngulo que a geratriz

forma com a reta n, normal a OP, e resulta tambm igual ao ngulo que o raio vetor OP forma

com a tangente evolvente do ponto P. A condio fundamental que PT = TA!

Como, PT = ,tm-se as Equaes 2.20 e 2.21. Fazendo-se a Equao 2.20 igual a Equao 2.21, pela condio

fundamental, tem-se a Equao 2.22, que define a funo evolvente inv, onde (tg) expressa

em graus e () em radianos. O ngulo de rolamento do ponto P (p) dado pela Equao. 2.23.

( ) += PbrAT (2.20)

22bPb rrtgrPT === (2.21)

= tgP = tginv (2.22)

19

b

bP

P

PP r

rrarctg

drd

arctgrp22

==

(2.23)

O vetor (rP) e o ngulo (P) variam com a posio do ponto P, e esto ligados ao raio (rb) do

crculo de base pela Equao 2.24, sendo o ngulo (P) igual a zero na origem A e aumentando

enquanto o ponto P percorre a evolvente. Portanto, em coordenadas polares, tm-se (P) para cada

(rP), para um dado crculo de base P (rP, P).

P

bP

rr

cos= (2.24)

2.4.2 Equao da Trocide em Coordenadas Polares.

A curva evolvente tm seu comeo na circunferncia de base, no permitindo que haja ao

conjugada abaixo desta circunferncia. Se uma cremalheira com cantos agudos atua contra a

evolvente e seus bordos se estendem bem abaixo da circunferncia de base, ocorrer

interferncia, a menos que o dente seja recortado. A curva em lao, representa a trajetria do

canto agudo do dente da cremalheira quando ele entra e sai do engrenamento e, chamada de

trocide, como ilustra a Figura 2. 11, onde () o ngulo de presso, (r) o raio da

circunferncia primitiva, (rT) o raio qualquer da trocide ( origem no centro da engrenagem),

(T) o ngulo diretor da trocide, (hap) a altura da cabea da cremalheira, () o ngulo entreas origens da evolvente e da trocide e LP a linha primitiva, (Brito 1999).

20

Figura 2. 11 - Curva da Trocide e Principais Grandezas Geomtricas.

Para o caso mais freqente de recorte, que a trocide gerada no engrenamento de um

pinho com uma cremalheira, o que ocorre com a maioria dos processos de fabricao de

engrenagens por gerao, tem-se as Equaes 2.25 e 2.26, sendo () em radianos e (tg) em

graus. Para a altura da cabea da cremalheira, geralmente, adota-se o mesmo valor da altura do p

do dente (hf).

( ) ( )r

hrrhrhrr

arctg apTapTT2222

= (2.25)

( )r

tghr ap

=(2.26)

2.4.3 Equao da Evolvente e Trocide em Coordenadas Cartesianas.

A Figura 2. 12 ilustra a curva da evolvente e trocide, onde XP, YP so as coordenadas

cartesianas de um ponto P pertencente evolvente em relao a um sistema com origem no

21

centro da engrenagem e cujo eixo y passa pelo centro do dente, () o ngulo entre o eixo de

simetria do dente e o eixo que passa pelo ponto de origem da evolvente e XT, YT so as

coordenadas cartesianas de um ponto T pertencentes trocide em relao ao mesmo sistema de

coordenadas XP, YP.

Figura 2. 12 - Curva da Evolvente e Trocide e Principais Grandezas Geomtricas

O ngulo () dado pela Equao 2.27 onde N o nmero de dentes. A curva da

evolvente em coordenadas cartesianas dada pela Equao 2.28, e a curva da trocide em

coordenadas cartesianas dada pela Equao 2.29.

++++

==== inv'(2.27)

22

( )PPP rX = 'sen ( )PPP rY = 'cos (2.28)

( ) ( )TTTTTT rYrX == 'cos'sen (2.29)

2.5 - Deslocamento dos Perfis.

Brito 1999, mostra em seu trabalho que uma das grandes vantagens do perfil evolvente a

possibilidade de deslocamento do perfil, sem modificao da conjugao. Outras vantagens do

deslocamento de perfis so: obteno de maior ou menor razo de contato, melhorar a resistncia

flexo, eliminao do recorte, melhoramento do rendimento e diminuio do rudo.

Uma engrenagem de perfil evolvente no tm definido o dimetro da circunferncia

primitiva at que os perfis entrem em contato.

Na Figura 2. 13, a linha de referncia da cremalheira tangencia a circunferncia primitiva

da engrenagem, obtendo-se a Equao 2.30, onde (d) o dimetro primitivo, (m) o mdulo e (N)

o nmero de dentes.

mNd ==== (2.30)

Figura 2. 13- Perfil Normal

23

Na Figura 2.14, a engrenagem ao ser gerada foi afastada da cremalheira geradora de uma

distncia v dada pela Equao 2.31, onde (x) o coeficiente de deslocamento do perfil e (m) o

mdulo.

xmv = (2.31)

Por questo de conveno, o coeficiente de deslocamento do perfil positivo (+ x) se a

linha de referncia da cremalheira se afasta do centro da engrenagem. A distncia da linha de

referncia da cremalheira ao centro da engrenagem (ac) dado pela Equao 2.32, onde (r) o

raio primitivo.

xmm2Nxmra

c++++====++++==== (2.32)

Figura 2. 14 - Perfil Deslocado

A espessura do dente (s) gerado com deslocamento de perfil positivo, medida sobre a

circunferncia primitiva de gerao, aumenta de (2 x mtg), Equao 2.33. As novas alturas da

cabea e do p do dente so dadas pelas Equaes 2.34 e 2.35, respectivamente.

24

tgxmms 22+= (2.33)

( )xmvmha

+=+= 1 (2.34)

( ) ( )xcmvcmhf

+=+= 11 (2.35)

2.6 Tipos de Engrenamento.

2.6.1 Engrenamento Zero (x1 = x2 = 0)

Brito 1999, destacou em seu trabalho que no engrenamento zero, as duas engrenagens so

geradas sem deslocamento de perfil. As vantagens so: intercambiabilidade das engrenagens e

possibilidade de fabricao com fresas mdulos. As desvantagens so: em engrenagens de dentes

retos, no permite a utilizao de qualquer distncia entre centros requerida e os dentes do pinho

podem ser muito delgados, conseqentemente so menos resistentes que os da coroa.

Uma engrenagem cilndrica com deslocamento zero do perfil, chama-se engrenagem sem

correo por deslocamento do perfil.

2.6.2 - Engrenamento v zero (x1 + x2 = 0).

No engrenamento v zero, o deslocamento positivo do perfil de uma das engrenagens

(em geral a menor), igual ao deslocamento negativo do perfil da engrenagem conjugada.

A distncia entre centros e o ngulo de presso de operao no variam em relao ao

engrenamento zero.

25

Este tipo de engrenamento empregado em casos com grandes relaes de multiplicao, a

fim de se conseguir dentes de pinho mais espessos, ou dentes de pinho sem penetrao

considervel.

Como x1 + x2 = 0 e x1 0 tem-se as espessuras dos dentes sobre a circunferncia de

gerao que coincidem com as de operao, Equaes 2.36 e 2.37, e consequentemente s1 s2.

+=

tgxms 11 22(2.36)

++++==== tgx22

ms22

(2.37)

Como s1 + s2 = m = p, logo possvel que o sistema de engrenagens opere com um

mdulo igual ao de gerao das engrenagens, isto , m = m.

Conclui-se que no engrenamento v zero, o passo e os dimetros primitivos de operao

so os mesmos e a distncia entre centros igual ao engrenamento zero, ou seja, no sofre

alterao.

2.6.3 Engrenamento v (x1 + x2 0).

Um par de engrenagens com perfil deslocado que no satisfaz a condio de engrenamento

v zero, chamado de engrenamento v.

Freqentemente, apenas o pinho sofre em deslocamento de perfil positivo. O

engrenamento v permite uma variao contnua da distncia entre centros de operao e

tambm possibilita maior capacidade de carga ou maior razo de conduo ou engrenamento

equilibrado. Por estes motivos, este engrenamento o mais usado em projetos elaborados.

26

A fabricao destas engrenagens s pode ser feita com o uso de dentadoras por gerao

(cremalheira ou fresa geradora). A condio bsica que (x1 + x2 0), logo, s1 + s2 m.

A Figura 2. 15 ilustra o caso onde foram geradas duas engrenagens com deslocamento de

perfil positivo, utilizando-se a mesma cremalheira geradora, e as Equaes 2.38 e 2.39.

Figura 2. 15 - Gerao do Engrenamento "v"

(((( ))))(((( ))))2121

xxtg2mss ++++++++====++++ (2.38)

0xx21>>>>++++ mss

21>>>>++++

0xx21

27

m2

Nr P1====

(2.40)

++++==== tgx22

ms11

(2.41)

Para a coroa, o raio de circunferncia primitiva (r2) de gerao c2 dado pela Equao 2.42.

A linha primitiva de gerao (L2) deslocada de x2m em relao a linha de referncia da

cremalheira Lo. A espessura do dente (s2) sobre a circunferncia primitiva de gerao dada pela

Equao 2.43) e (s2) a espessura do dente sobre a circunferncia primitiva de gerao.

m2

Nr g2====

(2.42)

+=

tgxms 22 22(2.43)

A distncia entre centros hipottica (a1) existente na Figura 2. 15 dada pela Equao 2.44,

sendo a = r1 + r2. Com essa distncia, constata-se que no se estabelece o contato entre os dentes.

Ser ento necessrio aproximar as engrenagens para uma distncia entre centros (a), chamada

de distncia entre centros de operao. A diferena entre as distncias de operao e a de

referncia (a = mNm) que a modificao da distncia entre centros sempre menor que a soma

de deslocamento de perfil executados no pinho e na coroa, como mostra a Equao 2.45.

mxmxaa211

++++++++==== (2.44)

(((( ))))mxxa'a21

++++

28

Para a distncia entre centros de operao (a), tem-se os raios primitivos de operao (r1)

e (r2), o ngulo de presso de operao () e o mdulo de operao (m).

Na Equao 2.48 tm-se o valor de (a) e na Equao 2.49 o valor de (m). Na Equao

2.50 tem-se o valor de (s). Com a condio de operao dada pela Equao 2.51 e substituindo-

se os valores de (s1), (s2), (r1), e (r2), tem-se o valor de (ev) dada pela Equao 2.54, sendo o

valor de (Nm) dado pela Equao 2.55.

'coscos'

aa = (2.46)

mP

21mN

2mNg

2

mNrra ====++++====++++==== (2.47)

mgp

21N'm

2

N'm

2

N'm'r'r'a ====++++====++++==== (2.48)

'coscos'

mm = (2.49)

( )

+= '2''

1

111 evevr

srs

( )

+= '2''

2

222 evevr

srs

(2.50)

'coscos''' 21

mmss ==+ (2.51)

29

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]'evevNNtgxx2'cos

cosm'cos

cosmgP21

++++++++++++++++

====

(2.52)

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 0'evevNNtgxx2gP21

====++++++++++++ (2.53)

(((( ))))

++++++++==== tg

Nxx

ev'evm

21 (2.54)

2NN

N 21m

++++==== (2.55)

Para manter a folga de fundo (backlash), quando da aproximao das engrenagens, estas

tm suas alturas de cabea e p do dente modificadas, Equaes 2.56 e 2.57, respectivamente, e

conseqentemente os dimetros da cabea, Equaes 2.58, sendo (y) dado pela Equao 2.59 e

(k) dado pela Equao 2.60.

( ) ( )kxmyxmha +=+= 12 111(((( )))) (((( ))))kx1myx1mh

21a2

++++====++++====(2.56)

( )111 xcmh f +=( )212 xcmh f +=

(2.57)

1121 aa hdd +=

2222 aa hdd +=

(2.58)

30

maay = ' (2.59)

yxxk += 21 (2.60)

Quando se produz o deslocamento do perfil positivo, deve-se ter o cuidado para que as

engrenagens no resultem dentes pontiagudos. Para isso pode-se calcular a espessura da cabea

do dente (Sa) pelas Equaes 2.61.

( ) ( )

++= aaa evevtgxz

rs 241

( )

+

+= aaa evevtgxmds

22

(2.61)

A razo de contato transversal calculada da mesma forma, apenas utilizando-se a

distncia entre centros de operao (a) e o ngulo de presso de operao (), dado pela

Equao 2.62.

]'sen'2[2

1 22222211

abdbdp babab

a += (2.62)

2.7 Soluo Analtica para Determinao do Perfil de Engrenagens Evolvente com

Correo.

Brito 1999, destacou em seu trabalho que no item 2.4 foi estudada a soluo analtica para o

traado do perfil de engrenagens cilndricas de dentes retos de evolvente sem correo. Neste

item ser apresentados o estudo do traado do perfil de engrenagens cilndricas de dentes retos e

helicoidais de evolvente com correo.

31

As engrenagens cilndricas corrigidas so os tipos de maior utilizao e pode-se afirmar

que, praticamente, no existem engrenagens sem correo.

Para soluo de engrenagens cilndricas de dentes retos com correo e para a soluo de

engrenagens cilndricas de dentes helicoidais com plano normal e frontal, com e sem correo,

procede-se de forma anloga ao caso estudado no item 2.4. As equaes da evolvente e trocide

em coordenadas cartesianas, so as mesmas. As alteraes so no raio primitivo(r), raio de base

(rb), ngulo de presso (), no ngulo (), na altura do p do dente (hf) e na altura da cabea do

dente (ha). A Tabela 2.4 do anexo 1 mostra todas as equaes para os seis casos: engrenagens

cilndricas de dentes retos, com e sem correo e engrenagens cilndricas de dentes helicoidais,

plano normal e frontal, com e sem correo.

Neste captulo foi introduzido alguns mtodos de utilizao do ngulo de presso e tambm

foi apresentado um estudo criterioso sobre o traado do perfil de dentes de engrenagens.

No prximo captulo mostrada a implementao computacional para as duas subrotinas,

HPSTC (Contato do dente no ponto mais elevado ponto crtico) (0,5, 1) e o Caso Geral (0,1), desenvolvidas em Visual Basic 5.0, cuja finalidade destacar a influncia do ngulo de

presso em projetos de engrenagens.

32

Captulo 3

Implementao Computacional

3.1 - Introduo

Na Figura 3. 1 tem-se o fluxograma do programa Free, desenvolvido na linguagem Visual

Basic 5.0.

Figura 3. 1- Fluxograma do Programa Free

DadosGeomtricos

DadosDinmicos

Dados dosMateriais

Fatores doProjeto

Z m Jp Jg Wr W I Sf SfP

Variao do ngulo de Presso

bp bg s

HPSTC Caso Geral

33

O programa composto pelas janelas: Dados geomtricos, Dados dos materiais, Dados

dinmicos e Fatores do projeto. Estas janelas fornecem os dados de entrada para as subrotinas:

HPSTC e Caso Geral. Finalmente tem-se as sadas bp, bg e s que so respectivamente, as

tenses de flexo do pinho e da coroa e a tenso de superfcie.

As variveis de sada so:

- Dados Geomtricos: Passo da base (Pb), comprimento da linha de ao (Z), razo de contato

(mp), coeficiente J AGMA do pinho e coroa (Jp e Jg) e os dados dinmicos.

- Dados Dinmicos: Carga radial (Wr), carga resultante (W) e os Fatores de projeto.

- Dados dos Materiais: Fator geomtrico superficial (I) e os limites de resistncia flexo (Sfb e

Sfc).

- Fatores de Projeto: Limites de resistncia flexo.

Atravs da subrotina HPSTC possvel estudar o contato do dente no ponto mais elevado,

variando-se o raio no-dimensional para o intervalo de 0,5 a 1, Figura 3.13. Este caso considerado o mais crtico, devido atuao do ngulo de presso entre os pares de dentes

adjacentes em contato.

Atravs da subrotina Caso Geral possvel estudar a geometria do dente em todo o perfil

evolvental, permitindo uma anlise mais criteriosa do contato. Neste caso, o raio no-dimensional

varia entre 0 e 1, Figura 3.11.

O programa Free permite estudar a influncia do ngulo de presso para ngulos de 1430

a 25, discretizados em intervalos de 30.

O usurio entra com as variveis de dimensionamento e o programa Free fornece os

parmetros de projeto da engrenagem e as tenses de flexo e de superfcie. Atravs dessas sadas

o usurio pode avaliar a influncia do ngulo de presso em projetos de engrenagens cilndricas

de dentes retos.

34

Alm dessa avaliao pessoal do usurio, realizou-se tambm uma anlise de sensibilidade

apresentada no item 4.3.

3.1.1 Dados Geomtricos

Sempre que possvel as definies, equacionamentos e simbologias sero normalizadas,

segundo normas aprovadas pela ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas.

Figura 3. 2- Principais Grandezas Geomtricas das ECDR.

As grandezas geomtricas foram nomeadas conforme a Figura 3. 2 e descritas como o

exposto abaixo. A janela da Figura 3. 3 oferece ao usurio a opo de trabalhar com engrenagens

internas ou externas.

As grandezas fsicas de entrada e sada que compem as janelas referentes aos dados

geomtricas, do material da engrenagem, dinmicos, do projeto e a variao do ngulo de presso

ilustradas nas Figuras 3.3, 3.4, 3.5, 3.7 e 3.15, so definidas e equacionadas, segundo as seguintes

35

referncias: Normas NBR 10099 1970, 6774 1980, 6684 1981, 8088 1983, normas AGMA 2001-

B88, 908-b89, Shigley 1996, Norton 1998 e Arikan 2001.

3.1.1.1 - Variveis de Entrada para os Dados Geomtricos.

Atravs das grandezas geomtricas de entrada e sada, foi elaborada a janela referente aos

dados geomtricos, Figura 3. 3, cuja as definies e equacionamentos so expostos abaixo.

- O ngulo de presso () o ngulo formado pela tangente comum aos dimetros

primitivos das duas engrenagens e a trajetria descrita por um ponto de contato entre um par de

dentes das mesmas.

- O passo diametral (diametral Pitch) (Pd), Equao 3.1 - o nome pelo qual se compreende

o nmero de dentes por polegada inglesa no dimetro primitivo, ou seja, o inverso do mdulo.

mpdNP

cd

1===

(3.1)

- O nmero de dentes (Np e Ng), Equao 3.2 dente em uma engrenagem cada um dos

elementos salientes destinados a transmitir potncia por contato a outro elemento mecnico.

mdN ==== (3.2)

- A largura da face (F) estimada em funo do passo diametral (Pd). A faixa

recomendada de trabalho 8/Pd < F < 16/Pd. Por outro lado o valor nominal utilizado F = 12/Pd.

- O addendum ou altura da cabea do dente (ha) ou (a), Equao 3.3 ou salincia, a

distncia radial entre a circunferncia da cabea e a circunferncia primitiva.

36

m0,1P

0,1ad

======== (3.3)

- O dedendum ou altura do p do dente (hf) ou (b), Equao 3.4 ou profundidade, a

distncia radial entre a circunferncia do p e a circunferncia primitiva.

m25,1P25,1bd

======== (3.4)

- O coeficiente addendum do pinho (xP) igual a porcentagem decimal do alongamento

do addendum para uma desigualdade no addendum do dente.

Para o comprimento integral do dente padro, usa-se xp = 0 e para 25% do comprimento do

addendum, usa-se xp = 0,25.

- A espessura do dente (s), Equao 3.5 comprimento do arco de circunferncia

primitiva, compreendido entre dois perfis aparentes de um dente.

2m

2P

P5708,1s c

d

=== (3.5)

- O dimetro da base (db), Equao 3.6 o dimetro da circunferncia da base. Em uma

engrenagem cilndrica de evolvente, a circunferncia de base das evolventes das mesmas,

determinado pelos perfis frontais.

= cosddb (3.6)

- O passo da base (Pb), Equao 3.7 a distncia medida, ao longo do crculo de base, de

um ponto de um dente ao ponto correspondente do dente adjacente. tambm a distncia entre

perfis paralelos em dentes adjacentes, medida segundo a geratriz.

37

==

= cosmcosPddPP cbcb (3.7)

- A Razo de contato (mP), Equao 3.8 define o nmero mdio de dentes em contato

num instante de tempo.

+++=

=

senC)cosr()ar()cosr()ar(Z

,ondecosZPm

2g

2gg

2p

2pp

dp

(3.8)

- A circunferncia da cabea a seo da superfcie cilndrica da cabea por um plano

perpendicular ao eixo da engrenagem.

- A circunferncia primitiva a seo da superfcie cilndrica primitiva (ou de

funcionamento) por um plano perpendicular ao eixo da engrenagem.

- A altura do dente (h), Equao 3.9 a distncia radial entre a circunferncia da cabea e

a circunferncia do p.

m25,2P8,1P5729,0hd

c === (3.9)

- A folga no fundo do dente (c) a distncia, sobre a linha de centros, entre a superfcie

do p de uma engrenagem e a superfcie da cabea da engrenagem conjugada. O valor

padronizado segundo a norma NBR 9438, 1980 dado na Equao 3.10, recomenda-se tambm

para acabamento superficial do dente retificado, c = 0,4.m.

m25,0c = (3.10)

38

- O dimetro da cabea (da), Equao 3.11 ou dimetro externo, o dimetro da

circunferncia da cabea.

ad

a h2dP6,1Nd +=+= (3.11)

- O dimetro do p (df), Equao 3.12 - ou dimetro interno, o dimetro da circunferncia

do p do dente.

ff h2dd = (3.12)

- O vo frontal (e), Equao 3.13 o comprimento de arco da circunferncia primitiva

compreendido entre dois perfis aparentes consecutivos.

2c

pe = (3.13)

- A largura do dentado (B) um valor a ser dimensionado ou adotado.

3.1.1.2 - Variveis de Sada para os Dados Geomtricos.

- A razo de transmisso (i) ou (mG), Equao 3.14 a relao entre o nmero de dentes

da coroa com o nmero de dentes do pinho (ou dimetro da coroa com o dimetro do pinho,

rotao da coroa com a rotao do pinho).

g

p

p

g

g

p

n

n

d

d

N

Ni === (3.14)

- O dimetro primitivo (d) ou (dp), Equao 3.15 a seo da superfcie cilndrica

primitiva (ou de funcionamento) por um plano perpendicular ao eixo da engrenagem.

39

NmPNd

d

======== (3.15)

- O mdulo (m), Equao 3.16 o quociente do passo circular (Pc) pelo nmero , ou

quociente do dimetro primitivo (d) pelo nmero de dentes (N).

d

c

PNdpm 1===

(3.16)

- O passo circular (Pc), Equao 3.17 o comprimento do arco da circunferncia

primitiva, compreendido entre dois flancos homlogos consecutivos.

=

= mNdPc (3.17)

- A distncia entre centros (C), Equao 3.18 a semi-soma (ou semi-diferena) dos

dimetros primitivos de duas engrenagens de um par externo (ou interno) de engrenagens.

2

ddC gp

++++====

(3.18)

40

Figura 3. 3- Dados Geomtricos

3.1.2 Dados do Material da Engrenagem.

A janela da Figura 3. 4, refere aos dados do material da engrenagem, cujo os

equacionamentos, definies e simbologias esto sendo demonstradas abaixo.

3.1.2.1 - Variveis de Entrada para os Dados do Material da Engrenagem.

- Mdulo de Elasticidade (E) definido pela razo entre tenso e deformao. ( = E).

- Coeficiente de Poisson ().

- Limite de Resistncia Fadiga Superficial (Sfc').

- Limite de Resistncia Fadiga (Sfb').

41

3.1.2.2 - Variveis de Sada para os Dados do Material da Engrenagem.

- O coeficiente elstico (CP), Equao 3.19 calculado para as engrenagens de materiais

diferentes.

+

=

g

g

p

p

p

EE

C22 11

1

(3.19)

Figura 3. 4- Dados do Material da Engrenagem

3.1.3 Dados Dinmicos.

A janela que se refere aos dados dinmicos, Figura 3. 5, foi construda com base s

definies e equacionamentos citados abaixo.

42

3.1.3.1 - Variveis de Entrada para os Dados Dinmicos.

- A potncia (P), Equao 3.20 a razo entre o trabalho realizado pelo tempo decorrido.

d

pp P2

cosNWnP

= (3.20)

- A rotao do pinho (np), Equao 3.21 o produto da relao de transmisso pela

rotao na engrenagem.

gtpnin ==== (3.21)

3.1.3.2 - Variveis de Sada para os Dados Dinmicos.

- A velocidade da linha do passo (Vt), Equao 3.22 a razo entre distncia percorrida

pelo tempo decorrido.

)s/m(,60

ndVoumin)/ft(,n2d

V tpp

t

== (3.22)

- A rotao na coroa (ng), Equao 3.23 definida pelo produto da relao de transmisso

entre as engrenagens (pinho, coroa) pela rotao do pinho.

ptg nin = (3.23)

- A fora tangencial (Wt), Equao 3.24 responsvel pelo movimento das engrenagens,

sendo tambm a carga que origina o momento fletor, tendendo a romper por flexo o p do dente.

43

p

pd

p

p

p

pt N

TP2dT2

rT

W

=

== (3.24)

- O torque (T), Equao 3.25 a razo entre potncia fornecida ao sistema pela rotao.

ptg

gg

pp TiTOnde,n

PTenPT === (3.25)

- A fora radial Wr, Equao 3.26 atua na direo radial da engrenagem. determinada

por meio da tangente do ngulo (ngulo de presso).

= tanWW tr (3.26)

- A fora resultante W, Equao 3.27 soma vetorial da componente tangencial e radial.

2r

2t

p

pd

tr

WWW

cosNTP2

Wou

WWW

+=

=

+=!!!

(3.27)

44

Figura 3. 5- Dados Dinmicos

3.1.4 Fatores do Projeto.

A janela que estabelecida para os fatores do projeto da engrenagem, Figura 3. 7,

composta de variveis de entrada e sada, cujas definies, simbologias e equacionamentos esto

expostos abaixo.

3.1.4.1 - Variveis de Entrada para os Fatores de Projeto.

- O fator de aplicao (ka, Ca), AGMA 2001-B88 embora no modelo de carga tenha-se

usado uma definio de carga tangencial (Wt) uniforme em funo do tempo, flutuaes

momentneas esto presentes em uma situao real devido ao acoplamento e desacoplamento dos

dentes da engrenagem.

Na ausncia de uma informao definitiva sobre as cargas dinmicas durante o uso, aplica-

se o fator kA para aumentar a tenso no dente em uma modelagem uniforme.

45

kA = 1, em se tratando de solicitaes de esforos sem choque.

kA > 1, em se tratando de solicitaes de esforos com choque.

- O fator de distribuio de carga (Km, Cm) uma forma conservadora e aproximada para

quantificar uma maior largura da face do dente (F), visando contemplar a fora tangencial

causada por desalinhamentos axiais. Adquirido da Tabela 3.1 do anexo 1.

- O fator de tamanho (KS, CS) pode ser usado da mesma forma que o fator de tamanho

para cargas e fadigas normais.

- O fator de espessura da borda (kB), foi recentemente introduzido pela norma AGMA

2001-B88, para quantificar situaes atravs do qual grandes dimetros de engrenagem, faz com

que a borda seja to grande quanto o disco slido, que tm uma profundidade da borda fina em

comparao com a profundidade dos dentes.

KB = -2.mB + 3,4 para, 0,5 mB 1,2

KB = 1,0 para, mB = 1,2

mB = tR/ht

- O fator da engrenagem ociosa (louca) (kI) est sujeito a mais ciclos de tenso por

unidade de tempo e maior magnitude de cargas alternadas que uma engrenagem vizinha no

ociosa (louca).

Considera-se: KI = 1,42, para engrenagem ociosa (louca).

KI = 1,0, para engrenagem no ociosa (no louca).

- O fator de acabamento superficial (CF) usado quando se considera as rugosidades no

usuais no acabamento superficial dos dentes da engrenagem.

Utiliza-se: Cf = 1, para engrenagens convencionais.

Cf > 1, para engrenagens no convencionais.

46

- O fator de vida (kL, CL) um fator de correo para os ciclos de vida da engrenagem.

- O fator de confiabilidade (kR, CR) um fator de correo da confiabilidade das

engrenagens. Adquirido conforme a Tabela 3.2 do anexo 1.

- O fator de dureza (CH) Este fator gerado em funo da razo de transmisso das

engrenagens e da dureza relativa entre o pinho e a coroa.

3.1.4.2 - Variveis de Sada para os fatores de Projeto.

- O fator dinmico (kv), Equaces 3.28 a 3.30 quantifica as cargas de vibrao geradas

internamente devido aos impactos dos dentes induzidos por engrenamento no conjugado.

11Q6,para4Q12B)SI(

v200AAk

e)B1(5650A,onde)Ingls(vA

Ak

v

32

v

B

tv

B

tv

=

+=

+=

+=

(3.28)

Onde Qv o ndice qualitativo para o acoplamento de engrenagens de baixa qualidade.

Na Figura 3. 6 cada curva emprica termina abruptamente em um valor (Vt) particular. Elas

podem ser extrapoladas alm desses pontos, mas os dados experimentais atravs dos quais elas

foram geradas, no se estendem alm desses limites. Os valores terminais de (Vt) para cada curva

podem ser calculados atravs da Equao 3.29.

( )[ ]( )[ ]

)/(200

3

min)/(3

2

(max)

2(max)

smQA

v

ftQAv

vt

vt

+=

+=

(3.29)

47

Para engrenagens com QV 5, usa-se.

Figura 3. 6- Fator Dinmico AGMA, (kv e Cv).

5Q

)SI(v20050

50k

)Ingls(v50

50k

v

tv

tv

+=

+=

(3.30)

A relao mostrada na Equao 3.30 somente vlida para Vt 2500 ft/min (13 m/s)

como pode ser observado na linha Qv = 5, conforme a Figura 3. 6.

- O fator de temperatura (kT), Equao 3.31 uma correo para a temperatura de

trabalho das engrenagens.

48

620T460

k FT

++++====

(3.31)

Para temperaturas abaixo de (250F = 121,11C), considera-se kT = 1.

Figura 3. 7- Fatores de Projeto

3.1.5 Variao do ngulo de Presso.

O objetivo do programa foi identificar a influncia do ngulo de presso nos parmetros

fsicos conforme ilustra a Figura 3. 15, tais como: Passo da base, Comprimento da Linha de

Ao, Razo de contato, Carga radial, Carga resultante, Fator geomtrico do pinho, coroa e

superfcie, Tenses de Flexo do pinho e da coroa, Tenso superficial total, Limite de

Resistncia Fadiga Superficial e Limite de Resistncia a Fadiga.

49

Foi proposta uma variao do ngulo de 1430' a 25, com pretenses futuras de expandir

esta faixa, em seguida foi feita uma anlise de todas as equaes que direta ou indiretamente

influenciam o mesmo. Tais como:

a) - As Equaes da Tenso de Flexo no Dente AGMA 2001-B88 (b). So descritas

conforme as Equaes 3.32, 3.33 e 3.34.

YFPW dT

b

= (3.32)

IBSv

madtb KKKK

KKJFPW

= (3.33)

e

IBSv

matb KKKK

KKJmF

W

= (3.34)

Segundo Mitchiner e Mabie 1982, a determinao de Rc que ter como conseqncia a

deduo do fator geomtrico J AGMA para engrenagens externas de dentes retos, Equao 3.47,

que compem as equaes para o clculo da tenso de flexo no dente, Equaes. 3.32, 3.33 e

3.34 mostrada na equao 3.41 e ilustrada na figura 3.8, vlida para o caso da carga entre os

dentes minimizados. A distncia (Rc) deriva-se das seguintes equaes 3.35, 3.36, 3.37, 3.38,

3.39 e 3.40).

= cosRRsin

2o

21 (3.35)

+= sinRQ2RQR 121

2x

(3.36)

50

Onde,

( )2Rsin

cosQ

+= (3.37)

Figura 3. 8 Carga Aplicada no Ponto mais Elevado para

um Simples Contato no Dente (HPSTC).

Como,

+

=

invcosRRcosinv

N2k

x

11 (3.38)

kN2

= (3.39)

51

( )

++=

2ox

221

22o

2x1

RR2RRRRcos (3.40)

Ento,

)(sin)(sinRR xc +

= (3.41)

Shigley 1977, define o fator de Lewis (Y ), conforme a equao 3.42:

3PX2

Y d

= (3.42)

Onde X definido na equao 3.43, como:

Ec

E

yR

xX

=

2

(3.43)

O fator de forma Lewis (Y) definido na equao 3.42, considera-se apenas os efeito de

flexo no dente do elemento, no combinando os efeitos de flexo e compresso. A norma

AGMA 908-B89 define Y conforme a equao 3.44.

=

Ttan

X5,1

coscos

PYLL

d

(3.44)

Onde L o ngulo entre a linha de ao e a linha horizontal e sua definio mostrada na

equao 3.45.

52

+

+

+

+

+

= invcos

aRR

cosaR

R1taninv

N2cosaR

R

cosaR

R1tan

2

1

2

1L

(3.45)

Sabe-se que (inv = tg - ), dado em (Radianos).

Para o caso de carga dividida entre os dentes, L definido conforme a equao 3.46.

2L

++++==== (3.46)

O Fator Geomtrico J mostrado na equao 3.47 definido pela norma AGMA 908-B89

como,

Nf mkYJ

= (3.47)

Onde Kf, o fator de concentrao de tenso, definido por Dolan e Broghamer 1942, na

equao 3.48.

)rbR/()rb(rre4583662,0290,0M

4583662,0316,0L

4583662,034,0H,OndeyR

TrTHk

f2

ff

M

EC

L

f

++=

+=

=

=

+

+=

(3.48)

O mN pode ser considerado igual a razo de contato mP, definido segundo a equao 3.8 do

tem 3.1.1.

Segundo Arikan 2001, o fator geomtrico (J) AGMA o parmetro principal para o clculo

das tenses na raiz do dente. Foram feitas muitas aplicaes visando determinar alguns nmeros

53

especficos de dentes usando um procedimento avanado e os resultados obtidos, foram

tabelados. Estas tabelas compreendem somente dados para engrenagens padres, isto ,

engrenados sem a modificao do addendum. Sabe-se, que os valores tabelados necessitam de

tcnicas de interpolao para o clculo de valores intermedirios. Se estas tabelas estiverem

sendo utilizadas em aplicaes computacionais, elas devem ser inseridos no banco de dados, afim

de que os algoritmos de interpolao usem as bases de dados. Ento o resultado ser includo no

mdulo da anlise ou no software do projeto da engrenagem. Desde que o projeto exija um

procedimento interativo, o uso dos dados tabelados necessitar de um nmero de interpolao e

tempo de processo.

Em 1982, Mitchiner e Mabie introduziram um procedimento semi-analtico para a

determinao do fator J para as engrenagens externas de dentes retos com tamanhos

padronizados. Os resultados foram tabelados e compilados p

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