Ingenieria Didactica-segunda Generacion

7/23/2019 Ingenieria Didactica-segunda Generacion

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Revemat: R. Eletr. de Edu. Matem. eISSN 1981-1322. Florianpolis, v. 07, n. 2, p. 22-52, 2012. 22

http://dx.doi.org/10.5007/1981-1322.2012v7n2p22

Engenharia didtica: evoluo e diversidade

Didactic engineering: evolution and diversity

Saddo Ag Almouloud

[email protected]

Maria Jos Ferreira da Silva

[email protected]

Resumo

Neste artigo, sero apresentados estudos sobre a evoluo e usos da noo de Engenharia didtica expostos nacole dt de Didactique des Mathmatiques (Escola de Vero de Didtica da Matemtica), realizada em 2009em Clermond-Ferrand, Frana. A discusso baseia-se, essencialmente, na Engenharia Didtica Clssica

(amplamente conhecida), denominada de Engenharia didtica de 1 Gerao e a Engenharia didtica de 2gerao, de acordo com o ponto de vista de Marie-Jeanne Perrin-Glorian (2009), bem como a noo deengenharia do PER (Percurso de Estudo e Pesquisa), de Chevallard (2009), e de Domnios de Experincia deBoero (2009). A sntese das pesquisas analisadas, mostra os diferentes usos e concepes sobre estametodologia, ora considerada metodologia de pesquisa cientfica, ora uma metodologia envolvendo vriosprocessos e procedimentos para a formao profissional e/ou a elaborao de objetos de aprendizagem.

Palavras-chave:Engenharia didtica de primeira gerao. Engenharia didtica de segunda gerao. Engenhariado PER. Engenharia do Domnio de Experincia.

Abstract

In this paper we present studies on the evolution and uses the notion of didactics engineering presented at theSummer School Didactics of Mathematics held in 2009 in Clermond-Ferrand, France. We will discuss mainlythe classic Didactics Engineering (widely known) that we call the Didactics Engineering of first Generation, theDidactics Engineering of 2nd generation from the point of view of Marie-Jeanne Perrin-Glorian (2009), as wellas the notion of engineering (PER Course of Study and Research) of Chevallard (2009) and Fields of ExperienceDomain Engineering of Boero (2009). The synthesis of the research shows that we analyze the different uses andconceptions of methodology is, now considered the methodology of scientific research, now a methodologyinvolving multiple processes and procedures for training and / or development of learning objects.

Keywords:Didactic engineering of 1st generation. Didactics engineering of 2nd generation. PER engineering.Experience Domain Engineering.


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Introduo

Segundo Brousseau (2008 apud CHEVALLARD, 2009b, p. 81), a engenharia didtica

consiste em determinar dispositivos de ensino comunicveis e reprodutveis. Ela evoca a

existncia de uma descrio, um estudo e justificaes to precisas e consistentes que

possveis das condies de utilizao deste dispositivo. Existe uma engenharia didtica muito

ativa, que fruto de uma avaliao respeitvel, mas abstm-se, geralmente, de fornecer

anlises precisas e justificaes que poderiam iluminar os utilizadores.

Ainda segundo Brousseau, a engenharia didtica propriamente dita acompanha os dispositivos

produzidos de um conjunto de estudos e anlises que do as caractersticas do produto de

acordo com os conhecimentos cientficos tericos e experimentais do momento. Estes estudos

podem no ser comunicados aos professores, mas so indispensveis para a anlise das

observaes das atividades de ensino efetivamente realizadas.

Brousseau (2008 apud CHEVALLARD, 2009b, p. 81-82), esclarece que no mbito das

investigaes cientficas, a engenharia didtica, com finalidade fenomenotcnica, tem por

objeto conciliar as obrigaes normais de ensino e a reproduo e o estudo de fenmenos

didticos bem determinados. Este tipo de investigao pode ser empreendido apenas em

organizaes especficas complexas e precisas, em especial, ela indispensvel para estudarsistematicamente e experimentalmente modelos tericos de dispositivos de aprendizagem e de

ensino.

Para Chevallard (2009b), pode-se distinguir de imediato uma engenharia didtica de

investigao, de uma engenharia didtica de desenvolvimento. Apreende-se, em todos os

casos, a existncia de uma tenso entre dois polos, que o autor designar como a engenharia

didtica para o uso e a engenharia didtica para o conhecimento. Para este autor, se suprimir a

finalidade de conhecimento, volta-se engenharia didtica com finalidade prtica, que temem comum com a engenharia didtica clssica, s vezes, apenas o nome, e com inteno

diferente.

De acordo com Chevallard (2009b), a reviso da literatura permite identificar duas

orientaes, de um lado uma orientao de investigao em didtica, em que se fala

claramente da metodologia da engenharia didtica, do outro uma orientao de

desenvolvimento, que parece relativamente estranha tradio estabelecida em didtica da

matemtica.


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Chevallard (2009b) destaca o fato geral da flutuao praxeolgica associada a toda

transposio institucional, fenmeno vinculado ao fato de os atores dos sistemas de

investigao, bem como os de sistemas didticos com os quais interagem, serem eles mesmos

portadores de exigncias e restries, fruto de seus assujeitamentos (s vezes antigos) a

diversas instituies, ou das exigncias e restries atuais que se impem a eles.

Ainda, segundo este autor, essa flutuao est presente, em primeiro lugar, nos investigadores

que no parecem, por exemplo, terem sido tentados a retomar fielmente a tcnica que

prevaleceria em matemtica. O que, segundo ele, marca os encaminhamentos institucionais,

s vezes tortuosos (aparentemente), que caracterizam a divulgao (e a transposio) de uma

criao metodolgica que nasceu a priori em matemtica. Mas, Chevallard (2009b) chama

ateno para o fato de que os apontamentos feitos por ele acima no devem dar a crer que a

metodologia da engenharia didtica teria migrado em todo o campo educativo ou mesmo

apenas em didtica.

Chevallard mostra que a metodologia de engenharia didtica est sendo usada em sentidos

diferentes daquele entendido por Brousseau, inclusive por alguns dos pesquisadores da

Didtica da Matemtica. Assim, a expresso engenharia de formao est hoje presente no

ttulo de um nmero importante de masters de formao de adultos (Leguy et al., 2005, pp.

16-19 apud CHELLARD, 2009b, p.85).

Para Pedra Pastr (2004 apud Chevallard, 2009, p. 85)

A formao contnua tem uma tradio de engenharia de formao que

praticamente to longa que a sua prpria histria. Analisar um pedido, analisar

necessidades, construir um dispositivo de formao, proceder sua avaliao:

tantas atividades de engenharia que so um pouco as cartas de nobreza da formao

profissional contnua. Porque esta constituda historicamente como um campo de

prticas, trata-se de prticas analisadas e bem pensadas, que a prpria rea inventoue codificou. (traduo nossa)

Ainda segundo Pastr (2004, p. 465 apud CHEVALLARD, 2009b, p. 85-86)

Mas, a instituio desta engenharia de formao, que talvez a inveno especfica

da formao profissional contnua nos seus trinta anos de existncia instituda,

deixou na estrada outro projeto, igualmente importante, mas sem dvida menos

urgente: a constituio de uma engenharia didtica profissional, cujo objetivo utilizar a anlise do trabalho para construir contedos e mtodos, visando a

formao das competncias profissionais. Assim, at os anos 80, deixou-se para


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atrs a necessidade de reconsiderar o ato didtico, voltado para os adultos ao

trabalho, em referncia ao desenvolvimento das competncias e da experincia

profissional. Pode-se pensar - [...] - que esta questo voltada para a engenharia

didtica profissional tornou-se a urgncia de hoje. (traduo nossa)

Pastr (2004 p. 465-466 apud CHEVALLARD, 2009b, p. 86) chama de engenharia de

formao tudo o que trata da construo de dispositivos de formao, com a necessidade de

articular objetivos, mtodos e contedos; e engenharia didtica profissional tudo o que diz

respeito produo de recursos educativos, utilizando ou no novas tecnologias, mas

apoiando-se sobre situaes de trabalho que servem de apoio formao e ao

desenvolvimento das competncias profissionais.

Pastr (2004, p. 466, apud CHEVALLARD, 2009b, p. 86) escreve tambm: A didtica

profissional procura analisar a aquisio e a transmisso das competncias profissionais para

melhor-las. A existncia, segundo Chevallard, se confronta com uma noo de engenharia

didtica que parece querer focalizar em primeiro lugar prticas de engenharia.

Ainda segundo Pastr (2004, p.466 apud CHEVALLARD, 2009b, p. 86)

Como a engenharia de formao, a engenharia didtica profissional tem por objetivo

ir alm da fase de uma simples acumulao de prticas sem princpios, para procurar

fundar racionalmente as prticas que se prope a desenvolver. Apoia-se nas

referncias tericas, que se pode situar na interface, e no prolongamento histrico da

ergonomia cognitiva de um lado e da didtica das disciplinas cientficas do outro.

(traduo nossa)

Chevallard (2009) afirma que, na perspectiva na qual se situam estas definies, os sistemas

e produtos para se conceber e realizar no foram pensados normalmente para o benefcio dainvestigao fundamental, mas foram concebidos ao benefcio de utilizadores externos e ao

pequeno mundo da investigao. O autor assevera que, em um caso, a engenharia didtica est

a servio da pesquisa em didtica, cujas necessidades impulsionam o desenvolvimento; no

outro, a investigao em didtica se coloca a servio da engenharia didtica, ela mesma a

servio de uma vontade diversificada de desenvolvimento institucional. Tal , segundo

Chevallard (2009b), a tenso bipolar que a noo de engenharia didtica vivencia. Essa

tenso vivida dentro da rea de Didtica da Matemtica, como mostrado na discusso sobrea Engenharia Didtica Clssica (amplamente conhecida), denominada Engenharia didtica de


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1 Gerao, e a Engenharia didtica de 2 gerao, segundo o ponto de vista de Marie-Jeanne

Perrin-Glorian (2009), bem como a noo de engenharia do PER (Percurso de Estudo e

Pesquisa), de Chevallard (2009a e 2009b), e de Domnios de Experincia de Boero (2009).

Engenharia Didtica de 1 gerao

Lembramos que a noo de Engenharia Didtica (clssica ou de primeira gerao) emergiu na

didtica da matemtica no incio dos anos 1980. Primeiramente em 1982 por Yves Chevallard

e Guy Brousseau, depois, em 1989, por Michle Artigue. Ela foi apresentada como uma

metodologia de pesquisa suscetvel de fazer aparecer fenmenos didticos em condies mais

prximas possveis do funcionamento de uma sala de aula clssica.

Segundo Artigue (1988), o termo engenharia didtica foi concebido para o trabalho didtico

comparvel ao trabalho de um engenheiro que, para realizar um projeto, se apoia em

conhecimentos cientficos de sua rea, aceita submeter-se a um controle de tipo cientfico,

mas, ao mesmo tempo, se v obrigado a trabalhar objetos bem mais complexos do que os

objetos depurados da cincia e, portanto, enfrentar, com todos os meios que dispe, problemas

que a cincia no quer ou no pode levar em conta.

Ainda, segundo Artigue, esta metodologia se caracteriza por um esquema experimental

baseado nas realizaes didticas em sala de aula, ou seja, sobre a concepo, realizao,

observao e anlise de sequncias de ensino, permitindo uma validao interna a partir da

confrontao das anlises a priori e a posteriori. Uma pesquisa, seguindo os princpios de uma

Engenharia Didtica, perpassa pelas fases seguintes:

1. Anlises preliminares: consideraes sobre o quadro terico didtico geral e os

conhecimentos j adquiridos sobre o assunto em questo, incluem a anlise

epistemolgica do ensino atual e seus efeitos, das concepes dos alunos, dificuldades

e obstculos, e anlise do campo das restries e exigncias no qual vai se situar a

efetiva realizao didtica.

2. Concepo e anlise a priori das situaes didticas: o pesquisador, orientado pelas

anlises preliminares, delimita certo nmero de variveis pertinentes ao sistema sobre

os quais o ensino pode atuar, chamadas de variveis de comando (microdidticas ou

macrodidticas). Na anlise a priori devem ser levados em considerao os seguintes

pontos:


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Descrever as escolhas feitas no nvel local (relacionando-as eventualmente

com as selees globais) e as caractersticas da situao adidtica

desenvolvida;

Analisar o que poderia estar em jogo nesta situao para o aluno, em funo

das possibilidades de ao, seleo, deciso, controle e validao que o aluno

ter durante a experimentao.

Prever campos de comportamentos possveis e tentar demonstrar como a

anlise permite controlar seus significados e assegurar, particularmente, que se

tais comportamentos esperados ocorreram, por consequncia do

desenvolvimento visado pela aprendizagem.

3. Experimentao: consiste na aplicao da sequncia didtica, tendo como

pressupostos apresentar os objetivos e condies da realizao da pesquisa,

estabelecer o contrato didtico e registrar as observaes feitas durante a

experimentao.

4. Anlise a posteriori e validao: A anlise a posteriori consiste em uma anlise de

um conjunto de dados colhidos ao longo da experimentao, como por exemplo,

produo dos alunos, registros de observadores e registro em vdeo. Nessa anlise, se

faz necessrio sua confrontao com a anlise a priori para que seja feita a validao

ou no das hipteses formuladas na investigao.

Engenharia de segunda gerao

Segundo Perrin-Glorian (2009), a engenharia didtica encontra-se na interface entre a

pesquisa e o ensino regular. Para a autora, os primeiros trabalhos considerados engenharias

didticas situam-se no ensino da Matemtica no primrio (nmeros e medidas), sendo que a

elaborao das sequncias de ensino foi feita nos anos 70, uma poca em que o referencial

terico utilizado no era explicitado, e foi essa elaborao, segundo a autora, que contribuiu

para a explicitao dos quadros tericos. Dessa forma, essas primeiras engenharias didticas

tinham por objetivo a elaborao e o estudo de uma proposta de uma transposio didtica

para o ensino, sendo essa transposio didtica o objetivo principal da pesquisa. Mas, ao

mesmo tempo, estudavam-se, tambm, outros fenmenos didticos mais gerais que permitiam

enriquecer e ampliar os quadros tericos em construo.


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O que era estudado, segundo a autora, do ponto de vista adidtico, eram as situaes, sem

estudar o papel do professor, mesmo sabendo que ele incontornvel na devoluo, na

institucionalizao ou na efetivao da dialtica ferramenta objeto. As situaes foram

elaboradas por professores experientes, muito competentes e interessados pela pesquisa,

sendo que depois desta fase de pesquisas, as engenharias didticas tornaram-se

especificamente metodologias de pesquisa, sobretudo aps a sntese de Michle Artigue

(1998).

A engenharia didtica agrega algumas das caractersticas da pesquisa-ao, j que se

desenvolvem nela situaes de sala de aula onde o pesquisador levado a descrever e analisar

os resultados de sua aplicao, tomando os devidos cuidados em relao ao grau de

generalidade dos resultados.

Uma engenharia didtica de segunda gerao, segundo Perrin-Glorian, tem por primeiro

objetivo o desenvolvimento de recursos (ou objeto de aprendizagem) para o ensino regular, ou

a formao de professores. O que, consequentemente, necessita de vrios nveis de

construo. Podem-se distinguir dois tipos de engenharias didticas em funo da pergunta

inicial da investigao, sendo a Engenharia Didtica para a Investigao (IDR) e a Engenharia

Didtica de Desenvolvimento (IDD).

Na IDR procura-se fazer emergir fenmenos didticos e estud-los, com a inteno de um

avano nos resultados da investigao, por meio de experimentaes montadas em funo da

questo de pesquisa, sem preocupao imediata de uma eventual divulgao mais ampla das

situaes utilizadas. Por outro lado, na IDD, o objetivo a produo de recursos para

professores ou para a formao de professores.

De acordo com a autora, os conhecimentos dos alunos so controlados teoricamente em todos

os casos, mais uma varivel mais ou menos fixada na IDR, enquanto no caso da IDD necessrio prever adaptaes dessas situaes e meios para conduzi-los. O papel do professor

controlado pela teoria, no caso da IDR. Enquanto na IDD, uma flexibilidade nas decises

deve ser prevista. E, por fim, as exigncias institucionais podem ser negligenciadas no caso da

IDR, so incontornveis no caso da IDD e consequentemente devem ser levadas em

considerao teoricamente.

No caso da IDR, se o objetivo estudar as situaes e as potencialidades do meio para fazer

evoluir os conhecimentos dos alunos, o professor ocupa o lugar de professor e deinvestigador, porm, suas aes, enquanto investigador, devem ser transparentes. J no caso


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da IDD, o professor no faz parte da investigao, ele tem a inteira responsabilidade pelo

ensino na sua classe.

Para ilustra as reflexes acima tecidas sobre a engenharia didtica de segundo gerao, um

exemplo de pesquisa realizada por Perrin-Glorian e colaboradores apresentado neste estudo.

Trata-se de um trabalho sobre a simetria axial. Segundo Perrin-Glorian (2009, p. 71-75), a

investigao foi realizada no primrio e na 6 srie. O objetivo principal o desenvolvimento

de recursos para as classes regulares e a formao de professores. A anlise do contedo

realizada pela equipe no est relacionada aos currculos escolares atuais ou passados, est

mais ligada a uma abordagem da geometria plana no primrio. A escolha da simetria foi feita

porque envolve as questes essenciais levantadas por esta abordagem, e porque faz parte, ao

mesmo tempo, dos currculos prescritos do primrio e de 6 srie. A pesquisa apoiou-se nas

observaes prvias relativas s prticas comuns, a partir de entrevistas realizadas com

professores, na experincia dos formadores, estudos prvios realizados sobre pesquisas

relacionadas com os processos de ensino e aprendizagem da geometria e o papel das figuras

nesses processos. A problemtica de investigao tem com principais preocupaes:

5. a produo de recursos para o ensino regular.

6. a investigao de uma (ou vrias) situao(es) fundamental(ais) com um meio

adequado anlise do saber geomtrico e acessvel cultura atual dos professores,

suas exigncias e condies materiais (em especial o tempo em termos de preparao

do material e tempo pedaggico) e de gesto de classe;

7. as sesses no devem exigir do professor um grande investimento e um tempo maior

do que o tempo pedaggico;

8. as possibilidades de adaptao das situaes, em funo da execuo da tarefa e das

produes dos alunos, a viabilidade dessas situaes para o ensino regular, os

conhecimentos matemticos e didticos dos professores, necessrios para a

experimentao das situaes e as necessidades para a formao.

Perrin-Glorian (2009) identifica dois nveis de engenharia didtica: No primeiro nvel, usou-

se uma metodologia bastante clssica em vrias etapas, sem necessariamente, segundo a

autora, exercer completamente o mesmo tipo de controle sobre as situaes da engenharia

didtica clssica:

1. Criao de uma sequncia de situaes que colocam em jogo os princpios que

correspondem anlise do saber e do milieu;


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2. Os professores no participam desta primeira fase, porm previsto analisar a

viabilidade das situaes em classes regulares, em especial, no que diz respeito

preparao do material;

3.

Um documento redigido e enviado aos professores duas ou trs semanas antes da

data prevista para uma primeira entrevista;

4. Este documento deve fornecer os elementos essenciais relativos aos saberes visados e

o milieu;

5. No documento no esto detalhados nem a preparao, nem os procedimentos

esperados.

6. Negociao desta sequncia de situaes, a partir de uma entrevista prvia com

professores (escolhidos e interessados).7. Alteraes eventuais so introduzidas em uma colaborao professor/investigador

para atender s expectativas e perguntas dos professores, e levar em conta o nvel dos

alunos (o mesmo documento proposto aos professores de todo o ciclo 3 e 6 srie);

8. A experimentao deve ser feita em seis sesses, no mximo, e terminar por uma

avaliao dos alunos. Estas sesses constituem, para os professores aplicadores, o

essencial do ensino da simetria ortogonal naquele ano.

9.

Observao das sesses alteradas nas classes e anlise dos resultados com o professor,em discusses informais em fim de sesso, e acompanhada de uma entrevista.

10.Anlise, pela equipe de investigao, por confrontao dos trs tempos: anlise a

priori, alteraes introduzidas nas situaes, anlise a posteriori da experimentao,

que deve permitir responder s seguintes perguntas: Quais modificaes foram feitas?

O que motivou essas modificaes? A sesso desenrolou-se como previsto aps

modificao? Se no, quais as diferenas e como explic-las?

Segundo Perrin-Glorian (2009), neste primeiro nvel, o importante so as situaes e o

milieu que as compe, o carter fundamental dessas situaes, a sua robustez, bem como

suas exigncias e o seu potencial de auto formao para os professores que a experimentaram.

Para avanar na construo de recurso, Perrin-Gloriam acha importante buscar resposta s

seguintes questes: As situaes permitem produzir os conhecimentos previstos em relao

aos alunos? Elas foram dispendiosas para os professores? Como alter-las para aumentar a sua

eficcia, a sua maneabilidade? Ainda segundo ela, a questo do custo para os professores


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uma questo nova em relao engenharia didtica clssica, mas essencial, na perspectiva

do desenvolvimento e do segundo nvel da experimentao.

Perrin-Glorian (2009) aponta alguns resultados desse nvel. Ela destaca a dobradura de uma

folha de papel e a reverso de um decalque:

1. Constituem meios materiais muito diferentes do ponto de vista da noo de figura

simtrica e da determinao do seu eixo de simetria;

2. No so comandadas pelos mesmos conhecimentos nem pelos mesmos gestos.

3. A relao entre os dois pode fazer-se apenas recorrendo noo de simtrica de uma

figura em relao a um eixo.

4. Uma situao fundamental para a noo de figura simtrica deve permitir abordar a

noo de simtrica de uma figura em relao a um eixo.

5. No que diz respeito ao milieu material, ele essencial no que tange geometria no

primrio e na sexta srie. O milieu material intervm fortemente nos conhecimentos

em jogo para agir sobre este milieu, porque as propriedades geomtricas aparecem

por intermdio de aes fsicas muito precisas sobre o material. Consequentemente, a

preparao do material e a sua gesto em classe so aspectos essenciais do trabalho do

professor e conduzem a exigncias importantes em relao ao tempo. Do lado dos

alunos, a realizao das atividades exige conhecimentos no matemticos sobre as

propriedades do material e suas possibilidades de uso.

A autora assevera que as diferenas em relao aos saberes (por exemplo, com a dobradura

necessrio conhecer o eixo de simetria ou fazer uma hiptese sobre a sua posio para decidir

se uma figura simtrica ou no, enquanto que com o decalque no se tem necessidade de

conhecer o eixo), s manipulaes e formulaes tinham sido esclarecidas no documento

entregue aos professores. Contudo as dificuldades no uso do decalque revelaram-se mais

importantes do que o previsto. Independentemente da ordem na qual se utiliza os dois meios,

tanto no decalque quanto na dobradura, preciso ver em uma figura simtrica duas subfiguras

em que cada uma o reverso da outra e que essas duas subfiguras so simtricas em relao

ao eixo.

Segundo a autora (p. 74), a primeira experimentao permitiu identificar nas situaes,

elementos fundamentais que no foram necessariamente percebidos a priori. Ela permitiutambm levar em considerao as exigncias e restries relativas ao trabalho do professor e

aos conhecimentos prvios dos alunos.


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No segundo nvel, Perrin-Glorian (2009, p. 74) identificou com mais acuidade as dificuldades

e exigncias especificas da IDD. O documento destinado aos professores deve ser alterado em

funo dos resultados do nvel 1 da IDD, e preciso integrar nas situaes os elementos

essenciais (ou seja meios, tarefas e organizaes didticas) e as suas relaes com o saber

visado. Um contexto preciso, com suas variveis e suas exigncias, deve ser explicitado de

modo que se possa encarar a maneira como as propriedades matemticas podem ser estudadas

a partir do material. Assim, ela aponta as dificuldades em caracterizar as situaes em funo

dos determinantes fundamentais dos meios. Neste nvel, devem-se integrar alguns dos

professores que j participaram do projeto e outros que no participaram da primeira

experimentao. Alm disso, destaca-se a importncia da realizao de um seminrio, cujos

participantes seriam os pesquisadores e os professores em formao.

Finalmente, Perrin-Glorian (2009) evidencia trs condies para a realizao de uma

engenharia didtica para o desenvolvimento (IDD):

1. Deixar uma certa liberdade de ao ao professor: esta condio j vlida no primeiro

nvel, mas agora trata-se de definir a sequncia de situaes com o professor e analisar

como o professor adapta o documento que lhe fornecido.

2. Utilizando os documentos produzidos, os professores devem procurar no reproduzir a

histria, mas as condies da aprendizagem, a questo essencial para a engenharia

didtica, sendo como identificar os elementos essenciais para a realizao efetiva da

atividade.

3. necessrio apoiar-se em uma engenharia didtica de primeira gerao que possibilite

a construo de uma situao fundamental e sua anlise.

A engenharia didtica de desenvolvimento , segundo Perrin-Glorian (2009), ao mesmo

tempo uma engenharia didtica para o desenvolvimento de recursos e para a formao de

professores envolvidos no projeto. O tamanho das engenharias uma questo importante para

a engenharia de desenvolvimento e a produo de recursos. Uma situao isolada pode ser

desenvolvida facilmente, mas no se pode esperar um efeito positivo na prtica dos

professores, alis este tipo de situaes pode ter, s vezes, um efeito negativo nos processos

de ensino e aprendizagem de conceitos matemticos. A engenharia de desenvolvimento est

fortemente ligada s investigaes nos saberes matemticos necessrios aos professores para

ensinar a matemtica. neste sentido que ela est ligada formao.


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Engenharia dos Domnios de Experincia

Outro tipo de engenharia foi apresentado por Boero (2009) no artigo intitulado Os Domnios

de Experincia no ensino-aprendizagem: ligar o trabalho escolar com a experincia dos

alunos.

O objetivo estudar engenharias didticas para crianas entre seis a 14 anos, no campo da

didtica da experincia. Segundo o autor, essas engenharias constroem um lugar de encontro,

na escola, entre a experincia (real ou potencial) dos alunos fora da escola e, em classes

avanadas, bem como a experincia matemtica familiar e significativa (como no caso da

aritmtica) por um lado, e a cultura matemtica, cujo professor o responsvel e o mediador

na classe, por outro.

O termo "engenharia didtica" foi usado por Boero em um sentido mais amplo, no que diz

respeito concepo, realizao, observao e anlise de sequncias de ensino sem, no

entanto, lhe dar o mesmo status que ele tem na teoria das situaes didticas. Para o autor, a

concepo pode ser, por exemplo, a escolha motivada de uma srie de situaes problema

abertas sobre um tema no necessariamente matemtico. Seu papel permitir a mediao (por

parte do professor) de ferramentas matemticas por meio de sua resoluo. Quanto anlise,

ela pode ser feita de acordo com diferentes perspectivas de teorias que contribuem para oprojeto.

Entre vrios exemplos apresentados por Boero (2009), destaca-se a constituio do domnio

de experincia da Aritmtica entre alunos de nove a 11 anos. Segundo o autor, as crianas de

nove anos de idade participaram da construo do algoritmo de diviso. Esta construo

apoia-se em um encaminhamento progressivo das situaes problema, contextualizadas nos

domnios de experincia para uma reflexo sobre a natureza da diviso como operao. As

crianas de 10 a 11 anos podem chegar a tratar questes tericas envolvendo conjecturas eprovas sobre divisores comuns de dois inteiros consecutivos.

Boero (2004) aponta o papel crucial das atividades no processo de enculturao, nesse

processo as atividades (e no os objetos da matemtica e de outras disciplinas) so o cerne do

trabalho em classe. Os objetos das disciplinas (conceitos, mtodos, algoritmos, etc.) emergem

das atividades tais como "objetos-em-ato", e o professor pode decidir de torn-los explcitos

no momento certo, ou oferec-los como ferramentas para responder s perguntas que surgem

no tratamento de uma situao problema.


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Boero considera a Engenharia dos Domnios de Experincia como uma metodologia didtica

e uma abordagem das disciplinas escolares inspirada na leitura de Vygotsky, em especial no

que diz respeito necessidade de enculturao das crianas, idas e voltas do trabalho escolar

na experincia cultural espontnea da criana fora da escola, as contribuies especficas de

diversas disciplinas para o desenvolvimento intelectual da criana, a importncia transversal

da linguagem natural (hiptese vygotskiana sobre as funes da linguagem natural no

desenvolvimento do pensamento), e o papel mediador do professor na zona de

desenvolvimento Proximal dos alunos. Alm disso, o autor acha importante lidar com todas as

principais disciplinas do professor, entre outros, ensinar matemtica.

De acordo com o autor, a escolha dos eixos norteadores acima rene duas exigncias

importantes para os investigadores como para professores e alunos: assegurar um equilbrio

temporal entre as vrias disciplinas (evitando um excesso de trabalho em matemtica, o que

acontece muitas vezes, quando diz respeito apenas matemtica) e garantir a coerncia e

homogeneidade metodolgica do trabalho em classe.

Os projetos de pesquisa dirigidos por Boero foram inspirados por ideias tericas emprestadas

do debate contemporneo (em matemtica, aprendizagem, cultura e ensino), com uma

implementao original no que diz respeito escolha do objeto de estudo durante um perodo

suficientemente longo. Por outro lado, era esperada que as experimentaes realizadas nas

classes (classes dos professores - pesquisadores que colaboram com a equipe da Universidade,

mas tambm muitas classes dos professores associadas ao grupo de pesquisa e disponveis

para experimento "bem controlado") sejam tambm portadoras de questionamentos e de

novos temas de investigao.

Boero (2009) elenca trs razes que justificam a escolha dos Domnios de Experincia (alunos

de 6 a 14-15 anos): motivao do aluno; melhor aprendizagem da matemtica til na vida, por

meio da aprendizagem de seu uso a partir da realidade; facilidade do surgimento de

determinados conceitos (principalmente geomtricos) se trabalhados sobre realidades bem

selecionadas.

Afinal, o que so Domnios de Experincia? De acordo com Boero (2009), o conceito de

"Domnios de Experincia" uma rea da cultura humana que se desenvolve na classe pelo

intermdio da ao de mediao do professor que se apoia nos signos, objetos e nas restries

do domnio, visado para guiar, segundo sua cultura e suas intenes, a evoluo das prticas econcepes dos alunos sobre esse domnio. Os Domnios de Experincia dizem respeito ao

inicio da escola primria, realidade extracurricular acessvel a todos os alunos (como por


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exemplo, a moeda e os preos para seis anos, ou o crescimento de plantas para os alunos de

sete anos).

Segundo o autor, em um determinado nvel de escolaridade, alguns domnios da matemtica

(como a aritmtica) tambm se tornaram domnio de experincia para os alunos, que agora

tm um extenso repertrio de fatos e comportamentos matemticos para desenvolver seus

conceitos.

Vale aqui ressaltar os objetivos principais visados pela equipe de Boero:

1. Supervisionar os processos de ensino e aprendizagem em uma perspectiva unificadora,

independente do tema (matemtica ou no) abordado. Segundo o autor, os tpicos

abordados na classe devem ser importantes do ponto de vista da cultura extraescolar, epelo menos potencialmente, ressonantes com a experincia do estudante, includa sua

experincia escolar. Assim, admite-se que o estudante, no momento do incio da

resoluo da tarefa, tenha ampla experincia do assunto, ou uma experincia que est

sendo construda no trabalho escolar.

2. Na classe, o professor deve gerenciar uma dinmica de ensino e aprendizagem ao

longo de muito tempo, envolvendo, sobretudo, um determinado assunto de estudo, sua

experincia cultural e profissional, a experincia cultural de estudantes e algumasrestries e/ou oportunidades que derivam de elementos objetivos que pode-se

encontrar ou associar a esse campo (por exemplo, exigncias e restries fsicas,

objetos materiais especficos do domnio e os sinais desenvolvidos pela cultura para

sua representao externa e seu tratamento)

3. Selecionar tpicos de estudo suficientemente amplos (para evitar a fragmentao da

oferta cultural aos estudantes), mas tambm homogneos (com respeito ao seu

tratamento na classe): portanto, temas amplos, mas fceis de identificar pelos alunos,

com um vocabulrio que apresenta termos especficos que tm significao unvoca e

representaes mentais habilitadas sem ambiguidades.

4. Selecionar temas que permitem construir, em um determinado nvel escolar,

conhecimento importante tanto do ponto de vista do domnio destes temas, quanto do

ponto de vista da aprendizagem em uma ou mais disciplinas. Por exemplo, um tema

importante, como a transmisso das caractersticas hereditrias dos seres humanos,

no parece acessvel aos alunos da escola primria, enquanto para os alunos de 12 a13

anos o tema susceptvel de articular muitas questes e preocupaes dos estudantes.


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A teoria dos Domnios de Experincia foi elaborada no intuito de estudar a relao entre as

prticas dos sujeitos, sobretudo, na sua dimenso cultural, e os saberes que eles mobilizem ou

constroem. Alm disso, visa-se tambm agir, no quadro escolar, sobre a construo de saberes

a partir das relaes culturais evidenciadas. A perspectiva cultural leva em considerao

tambm os componentes materiais e simblicos das atividades, bem como as concepes

desenvolvidas pelos sujeitos. A abordagem dos Domnios de Experincia fornece ferramentas

para refletir sobre as condies culturais da aquisio de saberes pelos alunos e para

proporcionar dispositivos didticos apropriados. Ela coloca em jogo fatores culturais e

questes epistemolgicas a proposito dos saberes escolares, bem como questiona a natureza

desses saberes do ponto de vista das prticas sociais que lhe so relacionadas, e seus quadros

culturais.

De acordo com Douek (2005), um domnio de experincia so essas esferas de atividades

socialmente estveis, e que podem, dependendo do caso, envolver, muitas vezes, vrios tipos

de prticas e conceitos. Estes ltimos podem ser de tipos quotidianos, cientficos, ou dos dois

no sentido de Vygotsky.

Segundo Douek (2005, p. 265), trata-se de:

Reconhecer, mesmo que fosse difcil de definir sua fronteira, um domnioda cultura que seja coerente e homogneo; esse domnio reconhecvel

pelas prticas que nele se desenvolvem, pelo saber que nele se estabelece,

de forma institucionalizada, as diversas representaes simblicas que nele

so usadas, que sejam formalmente estruturadas, esquemticas ou mais

naturais.

Reconhecer os protagonistas envolvidos: os professores e os alunos, a fim

de levar em considerao algumas das caractersticas de suas prticas e das

possibilidades de desenvolvimentos dessas e de seus saberes, no que diz

respeito um dado domnio de experincia. (traduo nossa)

Ainda, segundo a autora, nesta perspectiva, uma anlise epistemolgica das categorias de

prticas culturais, de redes de conceitos desenvolvidas nessas prticas, e suas relaes com

conceitos do campo escolar, necessria(p. 265).

De acordo com Boero (2009, p. 123), o

Domnio de Experincia um domnio da cultura (no sentido de Hatano &

Wertsch, 2001), suscetvel de atividades em um ou vrias disciplinas, coerentes e


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homogneas, reconhecveis pelas prticas que se desenvolvem e estabilizam em uma

determinada comunidade, os conhecimentos que se estabelecem nessas comunidades

de uma forma mais ou menos institucionalizada, as diferentes representaes

simblicas esto em uso (que sejam formalmente estruturadas, esquemticas ou mais

naturais, como no caso dos desenhos, descries verbais etc). (traduo nossa)

Para o autor, trata-se, para o trabalho escolar nos Domnios de Experincia, de proporcionar

aos alunos condies para desenvolver as aprendizagens escolares na base de prticas

culturais de referncia atualizadas. Para este efeito, ele caracteriza um Domnio de

Experincia por trs aspectos:

1.

O contexto externo desse domnio: restries da "realidade" meio mais ou menosmateriais, representaes simblicas, regras e usos sociais (a utilizao da moeda), etc.

2. O contexto interno do professor, caracterizado por seu conhecimento em relao ao

domnio visado (incluindo habilidades didticas relativas ao domnio), suas prticas e

concepes, com a quota de subjetividade e referncias culturais.

3. O contexto interno do aluno, caracterizado tambm por seus conhecimentos, suas

prticas e suas concepes, sobre o campo em jogo, com a sua subjetividade e

referncias culturais.

Segundo Douek (2005), uma das caractersticas da Didtica dos Domnios de Experincia

ensinar a lngua (expresses, leitura e escrita) e a matemtica por intermdio de trabalhos

longos (de trs meses a trs anos) que estabelecem, desenvolvem e exploram o domnio de

experincia, que, geralmente, envolve diversas disciplinas como a biologia, a histria, a

geografia, etc.

Engenharia didtica de PER

Chevallard (2009b), no seu artigo intitulado A engenharia didtica, um conceito a refundar.

Questionamentos e elementos de respostas a partir da TAD1, discute a engenharia didtica do

PER.

1Teoria Antropolgica do Didtico.


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Segundo Chevallard (2009b), um ponto de partida poderia consistir em olhar o mtodo da

engenharia didtica como um caso especfico que oferece ao investigador as possibilidades

nicas de uma metodologia da investigao em didtica. A metodologia refere-se, ento,

ao que Chevallard chama de praxeologias de investigao, colocadas em jogo em um domnio

dado ou em uma pesquisa especfica.

Este autor observa que o trabalho coletivo sobre praxeologias de investigao em didtica,

parece hoje mais necessrio do que nunca para combater os efeitos dos caminhos

maquinalmente trilhados, ou a quase naturalizao dos mtodos usados.

Chevallard explica a terminologia didtica de investigao codisciplinar, descrevendo esse

conceito-chave da seguinte forma: Uma questo Q a ser estabelecida, num sistema didtico

S(X; Y; Q) onde X um coletivo de estudo (uma classe, uma equipe de estudantes, etc.) e Y

um grupo (geralmente reduzido, ou mesmo inexistente) de auxiliares e diretores de estudo

(professor, tutor, etc.). A finalidade da constituio desse sistema estudar Q e procurar uma

resposta R que satisfaa algumas restries a priori, confrontando com meios didticos

apropriados.

Chevallard diz que esse trabalho de investigao agrega ferramentas praxeolgicas de vrias

disciplinas, ou seja, codisciplinar. Segundo o autor, envolver-se numa tal investigao engajar-se num Percurso de Estudo e Pesquisa (PER2) motivado por essa mesma pesquisa. Ele

esclarece, ainda, que para desenvolver a resposta R, de fato, conveniente coletar e organizar

um milieu de trabalho M, que rene recursos novos e antigos que X ir usar. Esses recursos,

certamente sero todas as respostas Q, validadas por uma instituio particular, e denotada

por R. A anlise destas respostas deve fornecer materiais para a construo da resposta R, ela

ser denotada por R. Outras obras O sero da cultura, qualquer que seja a dimenso

cultural que fornecem ferramentas para a anlise das respostas R , e da construo da

resposta esperada R. As obras O sero parcialmente desenhadas em vrias disciplinas,

embora algumas sejam disciplinas no reconhecidas porque so emergentes ou

culturalmente vilipendiadas. Chevallard apresenta o que ele chama de esquema herbatien

que pode ser observado na seguinte forma condensada por ( ( ; ; ) )S X Y Q M R e, da forma

desenvolvida por: 1 2 1[ ( ; ; ) { , , ..., , , ..., }]n n mS X Y Q R R R O O R

+ .

2Parcours dtude et de Recherche


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Segundo o autor, a noo de PER permite englobar prticas mais ou menos diferentes das

prticas sociais de conhecimento: pesquisa cientfica, investigao policial ou jornalstica, etc.

O estudo escolar , todavia, o que parece ser o menos passvel de modelagem em termos de

PER e, na verdade, possvel imaginar as formas mais tradicionais de ensino, e dizer que elas

requerem uma investigao sobre Q, o fato de o professor ter lugar em outra cena da classe;

ao aluno oferecido uma resposta pronta R, autenticada pelo professor, que ser a resposta

R da classe: ele dever estud-la, como ser a resposta R relatada num milieu M pela

classe X, se os alunos tiveram tempo livre para respond-lo. Ou seja, esse movimento retrata

onde cada cidado ou grupo de cidado deve ser capaz de investigar qualquer assunto que

escolher e usar as ferramentas praxeolgicas de sua formao escolar.

Chevallard relata, que a noo de PER surgiu fora das aulas de matemtica, e isto que levou

a uma primeira generalizao do princpio essencial de PER codisciplinar, com domnio

eventualmente disciplinar ou bidisciplinar associado ao esquema herbatien. O autor tambm

enfatiza quatro caractersticas que devem ser enfatizadas a partir da noo de PER, associada

investigao codisciplinar:

O dispositivo do PER levantado a respeito do ensino da matemtica uma

importao do dispositivo de TPE (Travaux Personnels Encadrs).

Nessa importao, a codisciplinaridade colocada entre parnteses, pois, o

PER em questo, est voltado para a matemtica (que o autor nomeou de

PER monodisciplinar), no caso da aula de matemtica, podemos falar em

investigaes matemticas.

A investigao codisciplinar aberta agrega as ferramentas com o milieu, que

a priori qualquer milieu M, que pode ser elegvel.

Com relao questo Q estudada, deve-se levar em conta a generalidade

desta questo, ou seja, sua capacidade de gerar outras perguntas.

Chevallard enfatiza, que na pedagogia AER (Activit dEnseignement et dtudde) e PER,

exige-se que os professores revisem sua relao com o saber matemtico. Ele afirma que

quando um currculo construdo em torno de uma pedagogia dada, formada uma

infraestrutura educacional, didtica/matemtica ou matemtica/didtica, que permite aimplementao desta pedagogia. Ele chama de infraestrutura didtica as condies de ensino


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e restries que a maioria das organizaes matemticas explora dentro das limitaes

impostas pelo sistema. Criar uma infraestrutura didtica matemtica adequada a uma

pedagogia AER (ou situaes) est fora do alcance de simples professores. De acordo com

o autor, um projeto como esse exige a mobilizao de imensas foras produtivas nessa rea.

Ele afirma, ainda, que mesmo a infraestrutura adequada ao professor uma tarefa difcil e

rara. Assim, tal dispositivo tem um papel estratgico para a formao inicial e continuada de

professores, na medida em que elimina o risco de querer formar professores a partir de um

equipamento praxeolgico (EP) imutvel, o qual deve ser deixado sob a responsabilidade do

professor para mobiliz-lo em situaes concretas. De outro modo, os EP disponveis passam

a ser objetos questionveis, a partir das necessidades praxeolgicas que se criam no exerccio

da profisso, e constituindo-se no estudo das questes, problemas ou necessidades, que estona origem do processo de formao que, por sua vez, levaro a reformulaes desses EP

disponveis. O autor (2009a, p. 4) ilustra esta situao com um exemplo de PER para construir

uma calculadora grfica relatada a seguir.

A pergunta Q a estudar : como construir uma calculadora grfica?, pergunta cujo estudo,

segundo o autor, deve provocar o encontro com o essencial das praxeologias geomtricas a

estudar no colgio. Por exemplo, quando se interroga sobre como construir a raiz quadrada de

um nmero inteiro, pode-se obter uma resposta por meio do teorema de Pitgoras: dado que

5 = 1 + 4 = 12 + 22, obtm-se a construo medindo-se a hipotenusa de um tringulo

retngulo, cujos lados medem 1 e 2. Se existe tambm 5 = 9 4 = 3 2 22, obtm-se de novo

5 como a medida do segundo cateto de um tringulo retngulo, cujo primeiro cateto mede 2

e a hipotenusa mede 3.

Pode-se buscar resposta s seguintes perguntas: Para quais inteiros estas tcnicas

funcionam? Ou seja, qual o seu alcance, em outros termos, quais so os nmeros inteiros

que podem ser escritos como uma soma ou como uma diferena de dois quadrados? A

resposta segunda pergunta fcil estabelecer: so os inteiros mpares (pois, 2k + 1 =

(k + 1)2 k2), bem como os mltiplos de 4 (pois, 4k = (k + 1) 2 (k 1)2).

Segundo Chevallard (2009a), a resposta primeira pergunta no do nvel de 4.o de colgio

(oitava srie do Ensino Fundamental II): a classe dever eventualmente procurar esta soluo

em documentos mais avanados para descobrir e compreender (parcialmente) a afirmao,

segundo a qual um inteiro a soma de dois quadrados, apenas se cada um dos seus fatores

primos da forma 4k + 3 intervm elevado a uma potncia par (Wikipdia, artigo Teorema

dos dois quadrados de Fermat, apud CHEVALLARD, 2009a, p. 4).


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Chevallard (2009a) assevera que, naturalmente, como num trabalho cientfico, a classe poder

ser bloqueada pela dificuldade deste resultado. Mas poder, tambm, alm disso, interrogar-se

como estender as tcnicas encontradas ao caso dos nmeros decimais no inteiros, por

exemplo. Uma pergunta geradora de um PER pode, assim, ser retomada para prolongar o

inqurito - ou retom-la.

O autor esclarecer as razes originais da passagem da noo de AER noo de PER. Ele

examina alguns princpios fundamentais que devem guiar concepo, construo e

realizao de um ensino renovado. O primeiro princpio consiste em no procurar realizar

AER isoladas, visando cada uma gerar um (e s um) elemento matemtico - tal teorema,

tal definio, tal noo, etc. Convm, pelo contrrio, autorizar-se a conceber e realizar AER

com a finalidade matemtica ampla, embora se dando para alvo certos temas ou assuntos do

currculo prescrito do ano. Isso no significa que no se deva propor AER de pequeno

porte, e impor um corte milimtrico do matematicamente novo que uma dada AER

suposta fazer descobrir.

Nesta perspectiva, segundo o autor, o programa do ano pode ser estudado por meio de um

determinado nmero de grandes AER, esse conjunto de AER pode ser chamado de

Percursos de Estudo e de Investigao (PER), e que podem ser divididas em AER no sentido

mais usual do termo: um PER aparece ento como um verdadeiro percurso de descoberta ou

um programa de estudo e de investigao.

Segundo Chevallard (2009a), a noo de PER codisciplinar pode englobar um amplo conjunto

de prticas sociais do conhecimento, como por exemplo, a pesquisa cientfica, a investigao

policial ou jornalstica etc.

De acordo com Chevallard (2009a), cada estudante ou grupo de estudantes engajado em um

PER deve ser capaz de investigar qualquer assunto escolhido usando equipamentospraxeolgicos da formao bsica que a escola tem proporcionado. O autor salienta que a

introduo da noo de PER, na sala de aula de Matemtica, leva naturalmente a questo da

redefinio de um currculo de Matemtica PER, no qual ele examina alguns princpios que

devem orientar a concepo, a construo e a realizao de um ensino renovado, sendo o

primeiro princpio no fazer uma AER isolada, mas pelo contrrio, conceber e realizar uma

AER matemtica abrangente, trabalhando-se com temas especficos ou tpicos do programa

do ano.


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Quando um currculo se forma em torno de uma pedagogia dada, forma-se tambm uma

infraestrutura didtica - aqui didtica matemtica, ou matemtica didtica - que permite a

aplicao desta pedagogia. Uma pedagogia na qual se espera apenas do professor que expe

aos alunos a matria a estudar, supe, assim, uma infraestrutura cujo essencial se reduz s

lies, ou seja, exposies sobre os diferentes temas e assuntos previstos pelo currculo

prescrito. No entanto, segundo Chevallard, mesmo a criao destas exposies no evidente.

Ela facilitada quando, essencialmente, ela retoma de forma apenas transposta um texto do

saber elaborado na esfera (matemtica) cientfica. Os objetos matemticos que compem seu

curso e a sua organizao vem de outras fontes. isto que constitui (em parte) o que

Chevallard chama de infraestrutura didtica composta por exigncias e condies

pedaggicas, alm das organizaes matemticas que exploram estas condies, e respeitandoestas exigncias (assim como as condies e exigncias prprias da disciplina estudada).

De acordo com Chevallard (2009a), esta infraestrutura supe fundaes que o professor

isolado ou em associao com outros professores no pode criar. Ainda, ele aponta que criar

uma infraestrutura didtica matemtica adequada a uma pedagogia das AER, revela-se fora de

alcance de simples professores, e que provvel que tal projeto suponha a mobilizao de

imensas foras produtivas na disciplina. Portanto, a infraestrutura matemtica adequada a uma

pedagogia de professor constitui uma obra difcil e rara.

A ttulo de ilustrao, abaixo encontra-se um exemplo discutido por Chevallard (2009a).

Quadro 1 exemplo de infraestrutura

Na 5 srie, em relao ao clculo de rea, qual

a melhor redao?

1) rea do tringulo ABC:

3 4 126

2 2

= =

A rea do tringulo ABC de 6 cm

2) rea do tringulo ABC:

223 cm 4 cm 12 cm 6 cm

2 2

= =

Fonte: Chevallard (2009a, p. 9)


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Segundo Chevallard (2009a), a primeira forma de fazer, omitindo os smbolos das unidades,

incontestavelmente a forma ainda dominante hoje. Ela se justifica, mas no deve de jeito

nenhum conduzir a escrita do tipo 2cm62

12

2

43==

, na qual se iguala grandezas

escalares, aqui2

12e

2

43 , a uma grandeza vetorial, aqui 6 cm2. Temos por mudana de

unidade de medida: 2222 dm0,06)dm(106cm6 == . Para o autor, existe uma lgebra das

grandezas que conduz notadamente a escrever como segue (por exemplo):

...)dm6(10dm)6(10cm6 2-2212 === . Embora seja ainda largamente estranha profisso,

sem dvida, esta maneira de fazer que valorizada pelos novos currculos prescritos do

colgio na Frana.

Segundo ainda Chevallard (2009a), um dos perigos relacionados com a construo de uma

didtica do inqurito e do PER nas aulas de matemtica est no fato da falta de uma

infraestrutura adequada. O esforo para fazer matemtica em termos de PER corre o risco

de ser chanfrada sub-repticiamente pela infraestrutura existente, nica conhecida e realmente

disponvel, para uma pedagogia situada em algum lugar entre a pedagogia da exposio do

saber e a do encontro arranjado. Este perigo ainda mais forte, pois chegou-se a uma fase

cuja infraestrutura ainda disponvel mostra apenas uma paisagem pfia.

No exemplo seguinte, Chevallard (2009a, p. 14) traz elementos de reflexo que atestam o fato

elencado acima.

a) Demonstrar que todo nmero da forma q5

p2

a

(com NqN,p, Za ) um

decimal (isto , que ele admite uma escrita fracionria cujo denominador uma

potencia de 10).

b) Nota-seb

auma frao irredutvel que um decimal (com 0bZ,b, Za ).

Demonstre que b pode ser escrito sob a forma N)qeNp(com22 , qp .

c) Enunciar o teorema assim demonstrado nas questes a e b.

De acordo com o autor, a primeira parte leva a estudar casos especficos de nmeros da

forma q5p2a

( Na ). Percebe-se, que passar de nmeros determinados forma geral


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indicada, constitui um salto alto para alunos da 9 srie do Ensino Fundamental II, pois h

aqui, primeira vista, o risco de uma brutalidade didtica caracterizada.

O especialista ter observado que a primeira pergunta supe apenas instrumentos matemticos

rudimentares, contudo, mostrar que o nmero2532

47

, por exemplo, decimal e pode ser

feito pondo os fatores 2 e 5 (do denominador) ao mesmo expoente, isto , o expoente maior,

que aqui o de 2, assim, tem-se: .235,0310

2353532

5472532

47==

=

V-se que a aplicao desta tcnica sobre a expresso literal q5p2

a

gera uma dificuldade,

pois, ignora-se qual dos expoentes p e q maior. necessrio, ento, fazer uma distino de

casos, o que decorre de um esquema de pensamento matemtico praticamente desconhecido

neste nvel, ou seja, inventar, de acordo com Chevallard, uma nova tcnica, tal como a

aplicada a seguir:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q p q p q p q pa 2 5a a 2 5 a 2 5 a 2 5p q p q p q p qp q q p p q q p2 5 2 52 5 2 5 2 2 5 5 2 5

q pa 2 5 .p q10

= = = =+ + +

=

+

Teremos aqui, por exemplo:

2 3 2 327 27 2 5 27 2 5 27 500 27 5 1350,135.5 5 53 2 3 2 2 3 3 32 5 102 5 2 5 2 5 10 10

= = = = =

De acordo com o autor, , sem dvida, um contedo matemtico que pode ser objeto de

estudo em uma sesso de trabalhos dirigidos, ou, mais exatamente, no mbito de um PER,

como prescrito na proposta curricular (Frana): Caracterizao dos elementos de D e de Q,

quer em termos de desenvolvimento decimal finito ou peridico, quer como quociente

irredutvel de inteiros (o denominador sendo ou no da forma52

aqp

( Na )).

Segundo Chevallard (2009), propor esta atividade como trabalho fora da sala de aula, perder

uma ocasio de fazer com os alunos um trabalho matemtico significativo, mas, tambm

entregar estes alunos a um abandono didtico contraproducente para a maioria deles. Todo se


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passa como se a preocupao do bom ajustamento das situaes didticas desse lugar a uma

anemia didtica, que poderia dar espao a um temor quase permanente.

Do acordo com Chevallard (2009b, p.99), o equipamento praxeolgica depender do PER

determinado em parte pelas decises adotadas no quadro do inqurito sobre Q. Neste caso,

no h realmente uma anlise a priori anterior ao funcionamento do sistema educativo

S(X; Y; Q) em que ocorre a investigao. A anlise a priori, que na problemtica clssica da

engenharia didtica a prerrogativa do "engenheiro didtico" ou, na melhor das hipteses, do

professor Y, aqui integrada ao trabalho do sistema didtico S(X; Y; Q) e tornou-se, na

"anlise in vivo", parte integrante do trabalho exigido pelo inqurito, que determina em

grande parte o Percurso de Estudo e Pesquisa em que ele ocorre.

Ainda de acordo com o autor (p. 103), a concepo, construo, e realizao de cenrios de

PER apresentam todos os grandes problemas que as pesquisas em didtica da matemtica, h

muito tempo, identificaram. Alguns desses problemas so a devoluo (BROUSSEAU, 2004

apud CHEVALLARD, 2009b, p. 103) e a institucionalizao no momento do estudo. Ele

(p. 103) assevera que uma institucionalizao no desequilibrada por uma forte preferncia

disciplinar, valoriza outras entidades praxeolgicas que participam de diversas disciplinas e

vo ao encontro com a elaborao no y, como X, de uma relao, muitas vezes, indita com

vrios tipos de objetos, presentes ou no na formao escolar habitual.

A engenharia didtica para o uso (e para usurio) s pode existir, de acordo com Chevallard

(2009b, p. 105), em regra geral, em estreita articulao com a pesquisa. Dito de outra forma,

tais produes de tal engenharia didtica devem ser olhadas, salvo exceo, como sendo em

uma verso "beta" - seno "em verso alpha". No estado de desenvolvimento da pesquisa

sobre os PER, Chevallard (2009b) coloca a clnica didtica de PER como condio de

possibilidade de pesquisa e de engenharia em termos de PER, desenvolvimento marcado pela

criao, viabilizao e ativao de terrenos clnicos, mediante os quais realizaes,

observaes, experincias podem ser muito bem realizadas, levando em considerao as

instituies e as pessoas em causa e atendendo as necessidades de pesquisa de engenharia e

necessidades de engenharia a pesquisa.


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Articulao entre as diferentes engenharias

A engenharia didtica de primeira gerao consiste em determinar dispositivos de ensino

comunicveis e reprodutveis. Ela agrega algumas das caractersticas da pesquisa ao, j que

se desenvolvem nela situaes de sala de aula nas quais o pesquisador levado a descrever e

analisar os resultados de sua aplicao, tomando os devidos cuidados em relao ao grau de

generalidade dos resultados. J, na engenharia didtica da segunda gerao, o objetivo a

produo de recursos que podem ser utilizados pelo professor na sua aula, ou para a formao

continuada ou inicial de professores, fazendo com que os professores apreendam a

matemtica, ou a matemtica para ensinar a matemtica. Nos quadros 2 e 3 algumas das

caractersticas dessas engenharias so apresentadas.

Quadro 2 Engenharias de 1 e 2 gerao, objetivos e aspectos centrais.

Objetivo(s) Aspectos centrais

ED1

gerao

Elaborar e estudar propostas de transposiodidtica para o ensino.

Metodologia de pesquisa e produto

ED2

gerao Determinar os princpios que comandam aengenharia que se quer transformar em recurso

para o ensino regular, e estudar as condies desua divulgao.

Trs funes no independentes: a

investigao, o desenvolvimento e aformao de professores por meio daanlise.Necessita de vrios nveis de construo.

Fonte: autores deste artigo.

As engenharias didticas de primeira e segunda gerao so respectivamente chamadas de

Engenharia Didtica de Investigao (IDR) e Engenharia Didtica de Desenvolvimento

(IDD), as quais so descritas algumas de suas caractersticas no quadro 3.

Quadro 3 comparando IDR e IDD

Engenharias Didticas de 1 e 2 gerao

IDR

Faz emergir fenmenos didticos paraestud-los;

Visa um avano no resultado deinvestigao, fazendo uso deexperimentaes montadas em funo da

questo de pesquisa;

No h a preocupao imediata emdivulgar as situaes utilizadas.

IDD

Produzir recurso (s) para professores ou para aformao de professores.

Liberdade de ao para o professor

A investigao continua a ser essencial, mas, asquestes de investigao no so motivadas, em

primeiro lugar, pela ampliao dos quadros tericos; Baseia-se na engenharia de 1 gerao.

Fonte: autores deste artigo.


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Para Chevallard, a engenharia didtica para investigao ser considerada engenharia didtica

para o uso, e a engenharia didtica de desenvolvimento como engenharia didtica para o

conhecimento.

Para ele, a engenharia de formao est relacionada ao tratamento da construo de

dispositivos de formao, tendo a necessidade de articular objetivos, mtodos e contedos. J

a engenharia didtica profissional est relacionada a tudo o que diz respeito produo de

recursos educativos, utilizando ou no novas tecnologias, sobretudo, os trabalhos esto

baseados em situaes que servem de apoio formao e ao desenvolvimento das

competncias profissionais. Sintetizamos no quadro trs alguns dos aspectos centrais da

engenharia de PER.

Quadro 4 aspectos centrais de uma Engenharia de PER


PercursodeEstudoedeInvestigao(PER)

Categorizar um conjunto de prticassociais de conhecimento.

Sistema didtico: S (X, Y, Q), sendoQ a questo a ser respondida, X ogrupo de estudo e Y a equiperesponsvel em auxiliar o estudo.

O conhecimento (matemtico), no algo que conhecido de antemo, este surgir durante ainvestigao, junto s discusses realizadas com osalunos.

Questes geradas a partir de uma PER devem sertomadas para melhorar a investigao ou retom-

la. O estudo um projeto que assume um

desenvolvimento em longo prazo (local deaprendizagem muito relevante).

Estabelece nveis de trabalho Exige dos professores uma reviso de sua relao

com o saber.

Um dos perigos relacionados com a construo deuma didtica do inqurito e dos PER, em classesde matemtica, est no fato de falta de umainfraestrutura adequada.

Fonte: os autores destes artigos.

Boero, diferentemente de Chevallard e Perrin-Glorian, prope uma engenharia didtica

voltada ao ensino, em que o principal conceito o de "domnio de experincia", isto , com j

dito, uma rea da cultura humana que se desenvolve na classe pelo intermdio da ao da

mediao do professor segundo sua cultura e intenes, a evoluo das prticas e concepes

dos alunos sobre esse domnio. No quadro quatro, so apresentadas algumas caractersticas

da engenharia dos Domnios de Experincia.


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Quadro 5 Aspectos centrais da engenharia dos Domnios de Experincia


Domnios

de

experincia

Correlacionar as principaisdisciplinas e ensinarmatemtica

O processo de enculturaonas atividades o cerne dotrabalho em classe

Inspirado em Vygotsky;

Escolha do tema no necessariamente matemtico;

Permite a mediao (por parte do professor) deferramentas matemticas por meio de sua resoluo;

Anlise pode ser feita de acordo com diferentesperspectivas tericas

Fonte:autores deste artigo.

Artigue (2009) afirma que todas essas engenharias esto voltadas para

a concepo, implementao e avaliao de dispositivos didticos tendo objetivos

bem definidos, e apoiados claramente sobre bases tericos, e suscetveis de serobjeto de um discurso tecnolgicos no sentido da teoria antropolgica do didtico

[...], a implementao tomando lugar em um sistema didtico institucional (Escola,

IUFM, mas tambm centro de frias...), com dispositivo principal ou dispositivo

auxiliar.(p. 225).

Ainda de acordo com Artigue, essas engenharias tm diversos objetivos: explorao de

organizaes matemticas e/ou didticas, testagem de hipteses ou de construes tericas,

estudo do funcionamento de sistemas didticos em dadas condies, produo de recursos

(objetos de aprendizagem) para o ensino de um dado tema, construo de dispositivos de

formao de professores, acompanhamento ou preparao da evoluo de currculos locais ou

globais, etc.

Bessot (2009 apud ARTIGUE, 2009, p. 227) evidenciou muito bem a profundeza das relaes

histricas tecidas entre a engenharia didtica da primeira gerao e a teoria das situaes

didticas (TSD). Ela aponta que a engenharia est no corao do didtico

3

, sendo ao mesmotempo:

O indispensvel instrumento de confrontao da cincia didtica com a

contingncia;

O instrumento e o objeto das observaes;

3Chevallard (2009b, p. 89-90) d a seguinte definio ao termo o didtico: Digamos que, em uma situao

institucional dada, h o didticoquando uma instncia U (pessoa ou instituio) da situao quer fazer (oufaz) algo - um gesto didtico - para que alguma instncia V (pessoa ou instituio) se modifique de umamaneira desejada em sua relao com alguma obra .


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e o meio de elaborao e de difuso de seus resultados para os professores e

o pblico.

Bessot (2009, apud ARTIGUE, 2009, p. 227) destaca, ainda, a importncia da articulao de

trs abordagens:

uma abordagem pela articulao de situaes por cadeias lgicas (a

dependncia dos saberes),

uma abordagem pela aproximao de situaes por sua semelhana

semntica,

uma abordagem pela articulao de situaes pelo encadeamento dos

questionamentos associados.(traduo nossa)

Esta autora aponta a necessidade da primeira e terceira articulaes para permitir controlar a

possibilidade de transformar as causas em razes do saber, enquanto que a segunda vem da

necessidade de conceber as causas da aprendizagem.

Bessot (2009 apud ARTIGUE, 2009, p. 27), falando da distino entre as causas e as razes

do saber, declara:

O fundamento da engenharia didtica no somente conceber causas de

aprendizagem de um saber, isto , situaes, mas tambm causas pertinentes com

relao s razes do saber, ou seja, situaes que tornam possvel uma

transformao das causas em razes. (traduo nossa)

Um dos pontos importantes da engenharia didtica (de primeira gerao e de segunda

gerao) o controle, momento em que imprescindvel levar em considerao os seguintes

elementos apontados por Perrin-Glorian (2009 apud ARTIGUE, 2009, p. 229):a pertinncia epistemolgica das situaes e sua sucesso; o jogo das variveis

didticas que permite o ressurgimento dos problemas; o potencial adidtico terico

do milieu inicial para a ao do aluno para a ao conjunta do professor e do

aluno.(traduo nossa)

Chevallard (2009b), como visto na parte deste artigo que trata da engenharia de PER, tinha

por objetivo principal a refundao da engenharia didtica, apoiando-se na noo de PER.Segundo Artigo (2009), no seu projeto de refundao, Chevallard (2009b) distinguiu trs


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problemticas: problemtica de base, problemtica possibilista e problemtica primordial, que

foram definidas da seguinte forma:

Problemtica de base: Sendo dado um conjunto de condies e restries,

pesando sobre tal instituio ou tal pessoa, sob quais conjuntos de

condies essa instituio ou essa pessoa poderia integrar ao seu

equipamento praxeolgica tal entidade praxeolgica designada?

Problemtica possibilista: Sendo dado um conjunto de condies e de

restries de que tal instituio ou tal pessoa submetida, a quais sistemas

praxeolgicos possvel que essa instituio ou essa pessoa tenha acesso?

Problemtica primordial: Sendo dado um projeto de atividade no qual tal

instituio ou tal pessoa pensa em se engajar, qual para esta instituio ou

esta pessoa, o equipamento praxeolgico que pode ser julgadoindispensvel ou simplesmente til na concepo e no cumprimento desse

projeto? (CHEVALLARD, 2009b apud RTIGUE, 2009, p. 230, traduo

nossa)

Segundo Artigue (2009), pode-se perceber a distancia que se instaura com a engenharia

didtica baseada na teoria das situaes didticas desde que passamos da primeira segunda

das problemticas em que, em termos de PER, quando se passa de PER disciplinares

finalizados a PER codisciplinares abertos (p. 230). A diferena ntida nos PER

codisciplinares abertos, devido ausncia da finalizao da praxeologia, mas tambm nos

PER finalizados no que diz respeito ao milieu e a mesognese, ao espao reservado s

respostas culturais acessveis s questes de estudo, no que diz respeito, tambm, mais

globalmente, o que se procura aperfeioar e controlar por intermdio da engenharia didtica"

(ARTIGUE, 2009, p.230-231). Uma diferena reside tambm na ausncia da anlise a priori

na engenharia de PER, essa anlise fundamental nas engenharias didticas de primeira e

segunda gerao.

No que diz respeito engenharia dos Domnios de Experincia, Boero (2009) aponta uma

oposio entre sua abordagem e a teoria das situaes didticas, focando especificamente a

dimenso de aculturao que, para ele, no seria levada em considerao na TSD. Para

Artigue (2009, p.233) uma viso minimalista da TSD, pois,

De um lado, a tomada em conta da dimenso da aculturao , para aqueles que

entram em contato com a teoria das situaes, menos visvel do que a dimenso de

aprendizagem por adaptao. Por outro, por intermdio dos desenvolvimentos

tericos mais recentes como os em termos da teoria da ao, por exemplo, j


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mencionados, que ser possvel chegar a um nvel de sofisticao terica capaz de

levar em considerao a complexidade desses processos de aculturao. (traduo

nossa)

A inteno, neste artigo, trazer tona as discusses recentes em torno da noo de

Engenharia Didtica. Portanto, espera-se que a proposta de mostrar com profundidade o

conceito de Engenharia neste trabalho tenha sido atingida. O presente estudo foi realizado

sobre esta noo, que tem, de acordo com Artigue (2009, p.236), uma dimenso fundadora

para nossa comunidade. Acredita-se, tambm, com este trabalho ter levado a percepo de

quanto a noo de Engenharia Didtica evoluiu e tem se diversificado nos ltimos trinta anos,

alm da compreenso da razo de ser esta metodologia na histria da Educao Matemtica.

Portanto, h concordncia com Artigue (2009, p.237), quando afirma que o estudo permitiu

[...] determinar o que, para ns, est no corao desta noo, o que queremos

conservar nela no esforo de refundao necessria, e pensar tambm as adaptaes

e articulaes a trabalhar, para organizar a diversidade das formas existentes e

chegar a expressar, por intermdio de um objeto refundado, uma concepo

compartilhada do designdidtico.

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