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Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos
1
Instituto de Física - UFRJ
Curso de Física Médica
Conceitos de Mecânica Quântica
Professor Antônio Carlos F. dos Santos ([email protected])
Bibliografia:
Griffits D. J. ,Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall
(1995).
Programa:
Parte 1 (tópicos para a P1- aula 1 até aula 10) [1] -A função de
onda (capítulo 1); [2]- A Equação de Schrodinger (capitulo 2);
Parte 2 (tópicos para a P2- aula 11 até aula 20) [3]- Formalismo
(capítulo 3); Parte 3 (tópicos para a P3- aula 21 até aula 28 )
[4]-Mecânica Quântica em três dimensões (capítulo 4); [5]-
Partículas idênticas (capítulo 5);
Avaliação: 3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula
(Li), onde Li é a média entre as 75% maiores notas daquele período
correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final
(E). A cada prova será atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni =
0,7*Pi + 0,3*Li Cálculo da Média (M) e grau final (G) Presente às
provas parciais: M = (N1 + N2 + N3)/3 Se M < 3,0, então
reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então
aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a
3,0, então G = (M + E)/2 ; Ausente em uma das provas Fará o exame
final obrigatóriamente. M será calculado como anteriormente, com E
substituindo a nota da prova não realizada. Se M < 3,0, então
reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então
aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a
3,0, então realizará a segunda chamada e G = (M + S)/2 ;
Dicas para um bom aproveitamento desta disciplina: Assiduidade,
pontualidade e disciplina para trabalhar nos exercícios
propostos!
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Avaliação de aprendizagem - Aula 1 – Equação de Schrödinger ,
Interpretação Estatística,
probabilidade, normalização
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere a seguinte distribuição proveniente de uma série de
medidas da posição de
uma partícula:
Posição x (nm) Número de
medidas
1 1
2 0
3 6
4 5
5 7
6 4
7 1
8 0
9 1
a) Calcule
b) Calcule
c) Calcule 2
d) Calcule a variância σ2 e o desvio padrão:
2- Verdadeiro ou falso?
a- A densidade de probabilidade não pode nunca ser negativa
b- A função de estado ψ não pode nunca ser negativa
c- Se z = z* (complexo conjugado), então z deve ser um número
real.
d- A função de onda ψ deve ser uma função real
e- ∫+∞
∞−
=Ψ 1dx
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3
3- Considere uma partícula cuja função de onda normalizada é
:
<
>=
−
00
02)(
x
xxex
xαααψ
a- Esboce ψ(x). Para qual valor de x, P(x) = |ψ(x)|2 é máximo
?
b- Calcule
c- Qual a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre
x = 0 e x =1/α ?
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4
Avaliação de aprendizagem - Aula 2 – Momentum, principio da
incerteza
Nome:_______________________________________________________________________
1– calcule , , e ∆x, assim como
, , e ∆p para o sistema descrito pela função de
onda normalizada 2
)( xAex −=ψ . Calcule também ∆x∆p.
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5
Avaliação de aprendizagem - Aula 3 – estados estacionários
Nome:______________________________________________________________________
1- Estado estacionário significa:
a- A função de onda não depende do tempo;
b- A densidade de probabilidade não depende do tempo;
c- A partícula está em repouso;
2- O quê podemos dizer sobre o valor esperado da posição de uma
partícula em um
estado estacionário?
a- = 0 b- não depende do tempo; c- ∆x = 0;
3- O quê podemos dizer a respeito de
para um estado estacionário?
b-
= 0; b-
não depende do tempo; c-∆p = 0;
4- O quê podemos dizer a respeito da energia de um estado
estacionário?
a- ∆E = 0; b- = 0; c- Não é bem definida;
5- Se duas funções de onda diferem por uma fase, ou seja, ψ1 =
eiϕ ψ2, então:
a- Ambas representam o mesmo estado;
b- |ψ1|2 =ei2ϕ|ψ2|
2;
c- |ψ1|2 =-|ψ2|
2;
6- Seja {ψi }, com i = 1, 2,..N o conjunto de soluções
linearmente independentes da
equação de Schroendinger para um sistema ( cada ψi representa um
estado estacionáio) e {Ei} as respectivas energias de cada um
destes estados estacionários.
a- Escreva a solução geral da equação de Schroendiger para este
sistema;
b- Em um determinado instante, mede-se a energia do sistema e
encontramos E3.
Qual será a função de onda para o sistema logo após a
medida?
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Avaliação de aprendizagem - Aula 4 – o poço de potencial
infinito
Nome:______________________________________________________________________
1- Verdadeiro (V) ou falso (F) ?
a- O estado fundamental de uma partícula em uma caixa possui
número quântico n =
0.
b- As funções de onda de estado estacionário de uma partícula
confinada em uma
caixa são descontínuas em certos pontos
c- A primeira derivada dos estados estacionários de uma
partícula em uma caixa é
descontinua em certos pontos.
d- A densidade de probabilidade para uma partícula em uma caixa
é máxima no
centro da caixa.
e- Para o estado estacionário n=2 de uma partícula confinada em
uma caixa, a
probabilidade de encontrar a partícula no quarto à esquerda é
igual a
probabilidade de encontrar a partícula no quarto à direita.
f- Para n=1, o estado estacionário de uma partícula em um caixa
a probabilidade de
encontrar a partícula no terço à esquerda é igual a
probabilidade de encontrá-la
no terço do meio da caixa.
2- (GRE) Os autoestados do Hamiltoniano de uma partícula de
massa m em uma caixa de
comprimento L são funções de onda φn (x) = [2/L]1/2sen(nπx/L) e
energias En =
(nπħ)2/2mL2, onde n = 1,2,3,...No instante t =0, a função da
partícula era descrita por
ψ=1/(14)1/2[φ1 +2φ2+3φ3]. Quais das seguintes opções é um
resultado possível para uma medida da energia ?
a- 2E1 b- 5E1 c-7E1 d-9E1 e-14E1
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Avaliação de aprendizagem - Aula 5 – O oscilador Harmônico I
Nome:______________________________________________________________________
1 –(ENADE 2008)- Do ponto de vista da Física Moderna, a respeito
do espectro de energias do
oscilador harmônico, são feitas as seguintes afirmações:
I- O espectro de energia é contínuo;
II- O espectro de energia é discreto:
III- Em acordo com o principio da Correspondência de Bohr, para
grandes números
quânticos a separação de energias entre dois níveis consecutivos
torna-se
desprezível quando comparada com estas energias.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmação(coes)
a- I b- II c-III d-I e II e-II e III
2 - Escreva os operadores x e p em termos dos operadores de
criação a+ e destruição a-
3- As autofunções do oscilador harmônico podem ser escritas
como
h2
2
)(
xm
n
nn eaA
ω
ψ−
+= . Obtenha ψo e ψ1
4- O estado fundamental do oscilador harmônico é dado por ϕ (x)=
Ao exp(-mωx2/2ħ).
Encontre Ao. Dica ∫+∞
∞−
=− πdxx )exp( 2
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Avaliação de aprendizagem - Aula 6 - O oscilador Harmônico
II
Nome:______________________________________________________________________
1 – A equação diferencial de Hermite surge em vários problemas
de física: y” -2xy’ +2ny = 0
com n= 0,1,2,3,.. e admite soluções na forma de polinômios,
chamados de polinômios de
Hermite, dados pela fórmula e Rodrigues ).()1()(22 x
n
nxn
n edx
dexH −−= Obtenha os
primeiros polinômios: Ho (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x2 -2 ,
H3 (x) = 8x
3 -12x.
2 - A função geratriz dos polinômios de Hermite é ∑∞
=
− =0
2
!
)(2
n
n
nttx
n
txHe . Expandindo o lado
esquerdo da função geratriz e comparando a duas séries, obtenha
Hn (x) (n=0,1,2, e 3).
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3 - Derivando a função geratriz, prove que Hn’(x) = 2nHn-1
(x)
4 – Os polinômios de Hermite são mutualmente ortogonais em
relaçõ a função peso exp(-x2),
ou seja,
=↔
≠↔=∫
+∞
∞−
−
)(!2
)(0)()(
2
nmn
nmdxxHxHe
nnm
x
π.Utilize esta relação para mostrar
que 0)()( 322
=∫+∞
∞−
− dxxHxHe x e π8|)(| 22
=∫+∞
∞−
− dxxHe mx .
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5 – Calcule dxxHex nx )(22∫
+∞
∞−
−
6 - Se ∑∞
=
=0
)()(k
Kk xHAxf , mostre que ∫+∞
∞−
−= dxxHxfek
A kx
kk)()(
!2
1 2
π(dica:
multiplique ambos os lados por exp(-x2) Hn(x) e integre.
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7 – Desenvolva x3 em série de polinômios de Hermite.
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12
Avaliação de aprendizagem - Aula 7 – A partícula livre
Nome:______________________________________________________________________
1- Para ondas em águas rasas, a relação entre a freqüência e o
comprimento de onda é
dado por
2/1
3
2
=
ρλπ
νT
, onde T é a tensão superficial e ρ a densidade. Qual é a
velocidade de grupo das ondas, e a sua relação com a velocidade
de fase, definida
como vfase=λν ? Para ondas de gravidade (águas profundas), a
relação é dada por 2/1
2
=πλ
νg
. Qual é a velocidade de grupo ? e a de fase ?
2- Considere um pacote de onda definido por ∫+∞
∞−
= dkekgxf ikx)()( , com g(k) dado por
<
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13
b- Encontre o valor de N para o qual f(x) é normalizada
c- Como isto está relacionada com a escolha de N para que
∫+∞
∞−
=π21
)(2dkkg
d- Mostre que uma definição razoável para ∆x para sua resposta
do item a) resulta
∆x∆k>1
3-GRE
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Avaliação de aprendizagem - Aula 8 – o potencial delta
Nome:______________________________________________________________________
1- Calcule as seguintes integrais:
a- ( )∫+
−
=+−+−1
3
23 )2(123 dxxxxx δ
b- [ ]∫+∞
=−+0
)(2)3cos( dxxx πδ
c- [ ]
∫+
−
+ =−1
1
3)2( dxxe
x δ
2- Considere o potencial delta duplo: V(x)= α[δ(x+a)+δ(x-a)],
onde a e α são constantes positivas.
a- Esboce este potencial
b- Quantos estados ligados possui? Encontre as energias
permitidas para α=
ħ2/ma e α= ħ2/4ma, e esboce as autofunções.
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Avaliação de aprendizagem - Aula 9 – o poço de potencial
finito
Nome:______________________________________________________________________
1- Normalize a função de onda: ψ(x) = Fe-kx (para x>a); ψ(x)
= Dcos(lx) (para 0< x
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16
Avaliação de aprendizagem - Aula 10 – matriz de espalhamento
Nome:______________________________________________________________________
1- Construa a matriz S para o potencial delta V(x)=αδ(x).
-
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17
Avaliação de aprendizagem - Aula 11 – álgebra linear I
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere os vetores |α > = ( 2, i, -1, 0) e |β > = (
i, - i , 1, 2).
a- Calcule || |α > || e || |β > ||
b- Normalize |α > e |β >
c- Calcule e
d- Calcule o ângulo entre |α > e |β >
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Avaliação de aprendizagem - Aula 12 – álgebra linear II
Nome:______________________________________________________________________
1- Seja
i
iA
−
=
00
00
101
ˆ e
1
0
1
−
=α , calcule A|α>
2- Calcule At (transposta) , A-1 (inversa), A* (complexo
conjugado), A† (conjugado
hermitiano). A é hermitiana?
3- Seja
i
B
−
−
=
01
000
101
ˆ , calcule [A,B]
4- Considere:
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Avaliação de aprendizagem - Aula 13 – álgebra linear III
Nome:______________________________________________________________________
1- Calcule os autovalores e auto-vetores normalizados do
operador
−=
010
100
001
A .A
é Hermitiano? Calcule o Tr(A) e det(A).
2- Os autovalores de um operador Hermitiano são sempre
a- Reais;
b- Imaginários;
c- Degenerados;
d- Lineares;
e- Positivos;
3- Realize as transformações Hermitianas de:
a- 〈ψA φ〉
b- 〈ψ(2i φ〉)
c- 01
2 iiA
−=
d-
1
2i
i
−=ψ
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20
Avaliação de aprendizagem - Aula 14 – espaços de funções
Nome:______________________________________________________________________
1- Quais das seguintes funções são autofunções dos operadores a)
d/dx e b) d2/dx2 ?
i- exp(ax2)
ii- x
iii- x2
iv- ax+b
v- sen(x)
2- Ortonormalize as potências de x P(x)= ao + a1x + a2x2 +... no
intervalo -1≤x≤1 para obter
os quatro primeiros polinômios de Legendre
Dica: Processo de ortogonalização de i) normalize o primeiro
vetor (função) (
|1’〉=|1〉/||1||); ii)Encontre a projeção do segundo ao longo do
primeiro e
subtraia(|2〉 - 〈1’|2〉|1’〉); iii) normalize o segundo; iv)
subtraia do terceiro as suas
componentes na direção do primeiro e do segundo (|3〉 -
〈1’|3〉|1’〉-〈2’|3〉|2’〉 ;v)normalize o terceiro e assim por
diante
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Avaliação de aprendizagem - Aula 15 – Interpretação estatística
generalizada
Nome:______________________________________________________________________
1- Um operador A possui autofunções f1, f2, ..fn, com os
correspondentes autovalores a1,
a2, .., an. O estado do sistema é descrito pela função
normalizada |ψ 〉= (1/2)|f1 〉–
(3/8)1/2 |f2 〉+ (3i/8)1/2 |f3〉
a- Quais os possíveis resultados para a medida de A e suas
respectivas
probabilidades?
b- Qual o valor esperado de A?
c- Se ao medirmos A encontramos a2, qual é o estado do sistema
logo após a
medida?
2- Um determinado observável é descrito como 22
21ˆ =A .
a- Quais os possíveis resultados para a medida de A?
b- O estado do sistema em t = 0 era |ψ〉 = (25)1/2 [3 |1〉+4|2〉],
onde |1〉 e |2〉 são os autovetores de A correspondentes aos
autovalores menor e maior,
respectivamente. Escreva o estado para t>0
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22
c- Qual a probabilidade de medir cada um dos autovalores de
A?
d- Escreva o operador que projeta na direção do autovetor
correspondente ao menor
autovalor de A.
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23
Avaliação de aprendizagem - Aula 16 – O principio da
incerteza
Nome:______________________________________________________________________
1 – Mostre que [A,BC] = B[A,C]+[A,B]C
2 – Mostre que [AB,C] = A[B,C]+[A,C]B
3 – O Hamiltoniano de um sistema é dado por 20
01=H
) .Nesta mesma base, um operador A
é expresso como : 11
11=A
). O sistema encontra-se no estado
it
it
e
et
22
1)( =ψ . Calcule
d/dt.
4 – Um operador é dado por: t
B1
01=
). Calcule ∂ /dt para um sistema onde
it
it
e
et
22
1)( =ψ
3 – Mostre por indução que [xn, px ] =iħnxn-1 e que [x, px
n] = iħnpxn-1
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24
Avaliação de aprendizagem - Aula 17 – Equação de Schrodinger em
coordenadas esféricas
Nome:______________________________________________________________________
1- Encontre Po(x), P1 (x) e P2 (x) usando a fórmula de
Rodrigues:
l
l
l
llx
dx
d
lxP )1(
!2
1)( 2 −
=
2- Expresse cada um dos polinômios a seguir como combinações
lineares de plinôminos
de Legendre (dica: comece com a maior potência de x):
a- 5-2x
b- 3x2 + x -1
c- x4
3- Calcule os seguintes valores para a função de Legendre
associada:
a- P11 (cosθ)
b- P14 (cosθ)
4- Dado um vetor de módulo r e coordenadas x, y, z em
coordenadas cartesianas. Mostre
que Y10 = (3/4π)1/2 (z/r), Y1
±1 = (3/8π)1/2 (x±iy)/r
5- Inverta as equações do exercícios anterior para obter x,y e z
em termos de Y1m.
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Avaliação de aprendizagem - Aula 18 – A equação radial
Nome:______________________________________________________________________
1- A partir da relação de recurrência (d/dx) jn = njn(x)/x –
jn+1(x) obtenha j1(x) a partir
de jo(x) = (senx)/x
2- Utilize a relação de recurrência para a função de Bessel
esférica jn-1(x) + jn+1(x) =
(2n+1)jn(x)/x para calcule j2(x), a partir de jo(x) = (senx)/x e
j1(x) = (senx)/x2 –
(cosx)/x2
3- Esboce Veff = V (r) + (ħ2/2m)l(l+1)/r2 em função de r para l
=0,1 onde V(r) é o poço
de potencial quadrado V ( r ) = - Vo para r < ao e V (r ) = 0
para r> ao, onde ao é o
raio de Bohr . Para facilitar as contas, utilize unidades
atômicas: ħ =1, m = 1 (massa
do elétron) e ao = 1. Considere também Vo = 1
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Avaliação de aprendizagem - Aula 19 – o átomo de hidrogênio
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere o átomo de hidrogênio cuja função de onda em t = 0
é a superposição das
autofunções do Hamiltoniano: ψ (r,θ,ϕ, t =0) = (14)-1/2[2ψ100
(r) -3ψ200 (r ) + ψ322 (r)]
a- Escreva ψ (r,θ,ϕ,, t )
b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado
fundamental?
2- Calcule para no estado fundamental
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Avaliação de aprendizagem - Aula 20 – o espectro do
hidrogênio
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogenóide,
sendo este constituído de um núcleo (q= +Ze) e um elétron (q’=-e).
Suponha que o núcleo permanece em repouso enquanto o elétron (de
massa m) orbita circularmente à sua volta.
a- Partindo da quantização do módulo do momentum angular, L= nħ,
com n = 1,2,3,..., determine o módulo da velocidade do elétron nas
possíveis órbitas, em função de seu raior r.
b- Considerando que a força Coulombiana mantém o elétron preso a
uma órbita em torno do próton, determine os raios das possíveis
órbitas.
c- Considerando o movimento do elétron como não relativístico,
determine sua energia cinética numa órbita caracterizada pelo
número quântico n.
d- Determine a energia potencial do elétron em uma órbita
caracterizada pelo número quântico n, supondo que ela seja
puramente eletrostática e tomando como zero o seu valor no
infinito.
e- Determine o valor dos níveis de energia em função de n.
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Avaliação de aprendizagem - Aula 21 – Momentum Angular
Nome:______________________________________________________________________
1- As relações [Li, Lj] = iħLk εijk implicam que:
a- É possível medir simultaneamente as três componentes do
momentum angular;
b- É impossível medir simultaneamente as três componentes do
momentum angular;
c- Que Lx , Ly e Lz são compatíveis;
d- Existem uma base de autovetores comuns a Lx, Ly e Lz;
2- Considere uma partícula em um potencial central V(r) .
Classimente, o momentum
angular se conserva. Podemos afirmar então que:
a- [H,L2] =[H,Lx] = [H,Ly]= [H, Lz] =0
b- [H,Lx] ≠ 0
c- [H,L] ≠ 0
3- Definindo L± = Lx ± iLy e lembrando que Lx e Ly são
observáveis, então:
a- L± são observáveis
b- L± são hermitianos
c- L± não são observáveis
4- Mostre que L+L- = Lx2 + Ly
2 + ħLz e que L-L+ = Lx2 + Ly
2 - ħLz
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5- Mostre também que L+L- = L2 –Lz
2 +ħLz e L-L+ = L2 – Lz
2 - ħLz
6- E ainda que L2 = ½ (L+L- +L-L+) + Lz2
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30
Avaliação de aprendizagem - Aula 22 – Autofunções de L2 e Lz
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere os seguintes operadores no espaço de Hilbert:
010
101
010
2
1=xL ;
00
0
00
2
1
i
ii
i
Ly −
−
= ;
100
000
001
−
=zL
a- Quais são os possíveis resultados se Lz é medido?
b- Suponha que seja medido Lz = 1. Neste estado, calcule , e ∆Lx
?
c- Encontre os autovetores normalizados de Lx e autovalores na
base de Lz.
d- Se a partícula tem Lz =-1, e Lx é medido, quais os possíveis
resultados e suas
respectivas probabilidades?
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31
e- Considere o estado
2
12
12
1
=ψ na base se Lz. Se Lz2 é medido e encontra-se +1,
qual o estado após a medida? Qual a probabilidade de encontrar
Lz2= +1 ? e logo
após a medida? Se Lz é medido quais os possíveis resultados e
respectivas
probabilidades?
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32
Avaliação de aprendizagem - Aula 23 – SPIN
Nome:______________________________________________________________________
-
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33
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34
Avaliação de aprendizagem - Aula 24 – elétron em um campo
magnético
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere um elétron em repouso na presença de um campo
magnético B = Bo k cujo
Hamiltoniano é dado por
−
−=10
01
2
hoBHγ
. Em t=0 o estado do sistema era
−
=1
1
2
1)0(χ
a- Escreva |χ(t)〉
b- Se a componente x do spin fosse medida no tempo t, qual é a
probabilidade de
encontrar +ħ/2 ?
c- O mesmo para a componente y
d- O mesmo para a componente z
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35
Avaliação de aprendizagem - Aula 25 – adição de momenta
angular
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere dois elétrons com momenta angular l1 = 1 e l2 =
3.
a- Quais os possíveis valores para o spin total?
b- Quais os possíveis valores para o momentum angular orbital
total?
c- Quais os possíveis valores para o momentum angular total
J?
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36
Avaliação de aprendizagem - Aula 26 – coeficiente de
Clebsh-Gordan
Nome:______________________________________________________________________
1 – Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em
repouso em uma configuração
que o spin total é 3, e sua componente z é 1 (ou seja, o
autovalor de Sz é ħ). Se você medisse a
componente z do momentum angular da partícula de spin 2, quais
os valores que você poderia
obter e com quais probabilidades?
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37
Avaliação de aprendizagem - Aula 27 – partículas idênticas
Nome:______________________________________________________________________
1– Quais as funções a seguir são simétricas (S), anti-simétricas
(A) ou não tem simetria (N) ?
a- f(1)g(2)α(1)α(2) b- f(1) f(2)[α(1)β(2)- β(1)α(2)] c- f(1)
f(2) f(3) β(1) β(2) β(3) d- exp[-a(r1 –r2)]
e- [f(1)g(2)-g(1)f(2)][α(1)β(2)-α(2)β(1)] f- r12
2 exp[-a(r1 + r2)
2- Moste que os operadores simetrizador S = ½ (1+P12) e
anti-simetrizador A = ½ (1-P12)
são projetores, i. e., S2 = S e A2 = A
3- Mostre também que S e A são suplementares, i.e., S + A =
1
4- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)
a- Bósons possuem spin semi-inteiro;
b- Todos os férmions possuem o mesmo spin;
c- Elétrons são distinguíveis;
d- Férmions possuem funções de onda anti-simétricas;
e- Duas partículas são idênticas se todas as suas propriedades
intrínsecas (massa,
carga, spin, etc..) são exatamente iguais. Nenhum experimento
pode distingui-las;
f- Prótons e elétrons são férmions;
g- Prótons e elétrons são idênticos;
h- Os autovalores do operador de troca são ± 1;
i- O operador de troca é hermitiano;
j- O operador de troca comuta com o Hamiltoniano;
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Avaliação de aprendizagem - Aula 28 – sistemas com um número
arbitrário de partículas
Nome:______________________________________________________________________
1- Considere um sistema de três elétrons com funções de onda α,
β e χ. Escreva a função de onda para este sistema.
2- Considere três partículas distinguíveis: a primeira
encontra-se no estado ψ1, a segunda
no estado ψ2 e a terceira no estado ψ3. Escreva a função de onda
total para este sistema
3- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)
a- Quando um sistema inclui várias partículas idênticas, somente
alguns “kets” de seu
estado podem descrever seus estados físicos;
b- Quando um sistema inclui várias partículas distinguiveis,
somente alguns “kets” de
seu estado podem descrever seus estados físicos;
c- Quando um sistema inclui vários férmions, somente alguns
“kets” de seu estado
podem descrever seus estados físicos;
d- 3He é um bóson;
e- 4He é um férmion;
f- O Boro (Z = 5, A = 11) é um férmion;
g- O Boro (Z=5, A= 10) é um bóson;
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7- Dado o vetor
=
...
0
1
2
1
ψ , calcule com os operadores do oscilador harmônico
( ) mnnm nHuu ωδh21+= , ( ) 1,1 ++ += nmnm nuAu δ , 1, −= nmnm
nAuu δ , as quantidades: a) 〈H〉; b) 〈x2〉; c)〈x〉; d) 〈p2〉; e) 〈p〉;
f) utilize os itens anteriores
para calcular ∆x∆p. (nota: as expressões para p e x em termos de
A e A+ podem ser obtidas de
hh ωω
m
pix
mA
22+
= e
hh ωω
m
pix
mA
22−
=+ )
11- Qual é o fluxo associado com a função , onde u(x) é uma
função real ?
12- Uma função de onda é representada por ikxikx BeAex −+=)(ψ .
Calcule o fluxo.
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