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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO IV(MTM 5118) PROFESSOR: MARCOS MARTINS

INTEGRAÇÃO COMPLEXA

1. Curvas no plano complexo

Seja C uma curva no plano complexo xy . Se x x t e y y t é uma parametrização de C , vista

como subconjunto de 2 , então ; , z t x t i y t t a b é uma parametrização de C no plano

complexo. Exemplos:

1) Segmento de reta do ponto 1z ao ponto

2z :

Por exemplo, o segmento de reta do ponto 5i ao ponto 14 3i tem parametrização:

2) Circunferência de centro em 0 e raio r :

Em 2 :

1 1 2 1 2 1, , ; 0, 1r t x y t x x y y t .

Em :

1 2 1 ; 0, 1z t z t z z t .

cos sen

; 0, 2 .it

z t r t r t

z t r e t

5 14 3 5

14 8 5 ; 0, 1 .

z t i t i i

z t t t i t

2

3) Circunferência de centro em 0z e raio r :

4) Parametrize o arco da circunferência de centro 5, 0 e raio 2 , do ponto 3, 0 ao ponto 5, 2 , no

sentido anti-horário. Solução:

Observação: Determinação do intervalo de integração:

Ponto 3, 0 : 5 2 cos 2 sen 3, 0

5 2 cos 3 cos 1

2 sen 0 sen 0

Ponto 5, 2 : 5 2 cos 2 sen 5, 2

5 2 cos 5 cos 0

2 sen 2 sen 1

z t t t i

t tt

t t

z t t t i

t t

t t

5, .

2

5

2

t

t

5) Parametrize o arco da parábola 2y x , do ponto 2 4i ao ponto 1 i .

Solução:

0 ; 0, 2 .itz t z r e t

0

55 2 ; ,

2

it

it

z t z r e

z t e t

ou

5 2 cos 2 sen z t t t i

2

2 ; 2, 1 .

x t y t

z t t t i t