INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA · Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1 AULA 01 Matemática Financeira REFLITA 1) Frações expressam números? 2)

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Ano: 2016

INTRODUÇÃO À

MATEMÁTICA

FINANCEIRA Aulas 01 a 04

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário Matemática Financeira ................................................ 1

REFLITA ................................................................................................................................................................ 1

Porcentagem ....................................................................................................................................................... 1

Cálculos com porcentagem ................................................................................................................................. 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

Lucro.................................................................................................................................................................... 1


AUMENTO e DESCONTO ..................................................................................................................................... 2

Preliminar 1 ......................................................................................................................................................... 2


Juro ............................................................................... 2

Elementos do estudo de juro ....................................... 2


Juro Simples ........................................................................................................................................................ 3

Juro Composto .................................................................................................................................................... 3


CAIU EM PROVAS ANTERIORES ........................................................................................................................... 4

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01 Matemática Financeira

REFLITA 1) Frações expressam números?

2) Qualquer número real pode ser escrito em

uma forma fracionária?

3) Dado um número real qualquer, é possível

escrevê-lo em uma forma fracionária, com um

denominador previamente escolhido?

Porcentagem

A razão 𝑎

𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0, pode ser expressa na forma

𝑝

100. As razões de denominador 100 podem ter seu

denominador trocado pelo símbolo de porcentagem

(%).

Veja como podemos escrever um número qualquer na

forma de porcentagem:

I. 1

2=

1

2.100

100=

50

100= 50%

II. 1

4=

1

4.100

100=

25

100= 25%

III. 0,2 =2

10=

2

10.100

100=

20

100= 20%

IV. 3 = 3

1=

3

1.100

100= 300%

Cálculos com porcentagem

Sejam 𝑣1 e 𝑣2 valores positivos quaisquer.

Se 𝑣1 equivale a 𝑝% de 𝑣2, podemos escrever:

𝒗𝟏 = 𝒑

𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝟐 ou ainda

𝒗𝟏

𝒗𝟐=

𝒑

𝟏𝟎𝟎

Obs.1: Note que, do exposto acima, podemos concluir

que para descobrir “quantos por cento” um valor 𝒗𝟏

representa de um valor 𝒗𝟐 , basta calcular a razão 𝒗𝟏

𝒗𝟐.

Perceba também que, se efetuarmos a divisão de 𝒗𝟏

por 𝒗𝟐 , teremos a porcentagem escrita numa forma

decimal.

Exemplo 1

Em uma sala de 40 alunos, 25% ficaram para

recuperação em História. O número de alunos que

ficaram para recuperação é dado por:

25% de 40 =25

100. 40 =

1

4. 40 = 10

Exemplo 2

A taxa percentual de aumento no preço de um

produto que custava R$150,00 e passou a custar

R$165,00 é dada por:

165 − 150 = 15 ⟹ 15 =𝑝

100. 150 ⟹ 𝑝 = 10

Representa uma taxa de 10%.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1 Um hospital possui 120 pacientes internados,

sendo que 40% destes são homens. Se 25% dos

homens internados sofreram problemas cardíacos,

determine a quantidade de homens internados por

problemas cardíacos.

1.2 Em uma casa existiam 60 pratos, sendo que 60%

destes eram de cor branca. Após um almoço,

alguns pratos brancos se quebraram, reduzindo a

porcentagem de pratos brancos para 40% dos

pratos restantes. Quantos pratos quebraram?

AULA 02

Lucro Se o preço de custo de uma mercadoria é 𝑪 e o preço

de venda é 𝑽, então o lucro 𝑳 obtido é dado por

𝑳 = 𝑽 − 𝑪

TAREFA 1 – Ler nas páginas 3 a 8 os exercícios resolvidos 1

a 8. FAZER os PSA 1(a, c, e), 2(a, c), 4, 16 e 21.

Observe que calcular “𝒑% de 𝒙” é o mesmo de realizar

o produto 𝒑

𝟏𝟎𝟎∙ 𝒙.

Quando se pede porcentagens consecutivas, isto é,

"𝒒% 𝒅𝒆 𝒑% 𝒅𝒆 𝒙”, realize todos os produtos de uma

só vez: 𝒒

𝟏𝟎𝟎∙ ቀ

𝒑

𝟏𝟎𝟎∙ 𝒙ቁ

Como calcular uma porcentagem de um valor?


Obs.2: Caso o lucro seja negativo (𝐶 > 𝑉), o

denominamos prejuízo.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Luís comercializa seus produtos obtendo 25% de

lucro sobre o preço de custo. Nessas condições,

determine a taxa percentual do lucro em relação

ao preço de venda.

AUMENTO e DESCONTO

Preliminar 1 Se uma mercadoria de valor 𝑥 recebe 10% de

aumento, então seu novo valor será de

𝑥 + 10% de 𝑥 = 𝑥 +10

100∙ 𝑥 =

110

100∙ 𝑥 = 1,10𝑥.

Se ela recebe um desconto de 10% sobre 𝑥, então seu

novo valor será de

𝑥 − 10% de 𝑥 = 𝑥 −10

100∙ 𝑥 =

90

100∙ 𝑥 = 0,90𝑥.

Generalizando:

Um AUMENTO de 𝒑% sobre 𝒗𝒊 gera um valor final 𝒗𝒇

𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 +𝒑

𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝒊 ⇒ 𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 ∙ ቀ𝟏 +

𝒑

𝟏𝟎𝟎ቁ

Um DESCONTO de 𝒑% sobre 𝒗𝒊 gera um valor final 𝒗𝒇

𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 −𝒑

𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝒊 ⇒ 𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 ∙ ቀ𝟏 −

𝒑

𝟏𝟎𝟎ቁ

Exemplo 3

Dois aumentos sucessivos de 10% sobre 𝑥 equivalem

a um único aumento de 21% sobre 𝑥. Veja:

𝑥 ∙ 1,1 ∙ 1,1

= 1,21 ∙ 𝑥

= (1 + 0,21)𝑥

= (100% + 21%)𝑥

Ou seja, o que se tinha acrescido de 21% do que se

tinha.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2 Uma mercadoria sofreu um aumento de 25%.

Determine a porcentagem de redução do seu

preço atual para que ela volte a custar o que

custava antes do aumento.

AULA 03 Juro

Elementos do estudo de juro Capital (C): nome dado ao valor inicial referente

a um empréstimo ou investimento.

Montante (M): nome dado ao valor resultante ao

final de um determinado período.

Juro (J): o nome dado entre a diferença entre

montante e capital.

Taxa de Juro (I): quanto o juro representa sobre o

capital, geralmente expresso em porcentagem.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Para comprar um aparelho de 𝑅$ 1000,00 João

possui três diferentes opções de pagamento

I) pagamento à vista de 𝑅$1000,00;

II) sem entrada com o pagamento de 𝑅$ 1200,00 dois

meses após a compra;

III) com uma entrada de 𝑅$500,00 e pagamento de

𝑅$600,00 dois meses após a compra;

a) Determine o juro e a taxa de juro da opção II).

b) Determine o juro e a taxa de juro da opção III).

𝑰 =𝑱

𝑪

𝑴 = 𝑪 + 𝑱

TAREFA 2 – Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 15 e

FAZER os PSA 26, 27, 28, 29 e 31.

Aprofundamento: PROP. 10, 15, 17, 24

Como calcular aumentos ou descontos sucessivos?

Dois aumentos (ou descontos) sucessivos de

𝑝% não equivalem a um único aumento (ou desconto)

de 2𝑝%. Pois, o segundo irá incidir sobre o valor

resultante do primeiro. Assim, realize um aumento

após o outro.

TAREFA 3 (SALA) – Ler os exercícios resolvidos 17 e

19 e FAZER os PROP 49, 50 e 52.


AULA 04

Juro Simples Quando a taxa de juro incide apenas, e sempre, sobre o

capital inicial 𝐶, diz-se que o juro está sobre um regime

de juro simples.

Generalizando a ideia do exercício anterior, tem-se

que:

G

Juro Composto Quando a taxa de juro incide sobre o montante

resultante do período antecessor, diz-se que o juro está

sobre um regime de juro composto.

Generalizando a ideia do exercício anterior temos que:

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1 Um capital de 𝑅$ 8000,00 será aplicado em um

banco por 4 meses, à taxa de 1% ao mês.

Determine o montante e o juro se

a) o capital for aplicado a um regime de juro simples.

b) o capital for aplicado a um regime de juro

composto.

4.2 Determine o capital que, investido a uma taxa de

juro de 5% ao mês, após 5 meses, gera um

montante de 𝑅$ 6.250,00, se

a) for aplicado a um regime de juro simples;

b) for aplicado a um regime de juro composto.

(1,055 ≅ 1,28)

4.3 Determine a taxa mensal de juro composto de uma

aplicação que gerou um montante de 𝑅$ 5.300,00,

ao final de três meses, para um capital de

𝑅$ 5.000,00. (1,023 ≅ 1,06)

Exemplo 1

Um capital 𝐶 de 𝑅$ 2000,00 é aplicado em regime de

juro simples, por 2 anos, à taxa de 5% ao semestre.

Calcule, em reais, o montante M.

Como 2 anos equivalem a 4 semestres, tem-se:

𝑀 = 2000(1 + 0,05.4) = 2400

Logo, 𝑀 = 𝑅$ 2.400,00.

EXTRA

𝑴(𝒕) = (𝟏 + 𝒊)𝒕. 𝑪

Leia, na PARTE 2, o exercício resolvido “20”(a, b, c, d).

Leia, na PARTE 2, o exercício resolvido 28 (a, b, c, d)

Dica

Caso ache necessário o uso das fórmulas, observe que,

tanto as de juro simples quanto composto, envolvem

𝑀, 𝐶, 𝑖 e 𝑡. Logo, sempre que você tiver três desses

parâmetros você poderá descobrir o outro.

TAREFA 4 – Ler os ex. resolvidos 25, 26, 31, 31, 34 e FAZER

os PSA 54, 56, 60, 63, 64 e 67.

Taxa de juro e período

A unidade de medida do tempo t, período de duração do

empréstimo ou investimento, sempre deve estar de

acordo com o período ao qual a taxa de juro i se refere

(ao mês, ao ano, ao semestre, ...).

Se não estiverem iguais, ajuste a unidade de medida do

tempo t à unidade da taxa i, pois dessa forma sempre

dará certo. No sistema de juro composto, o contrário

não é feito de maneira trivial, por isso não o faremos.

𝑱(𝒕) = 𝑪. 𝒊. 𝒕

𝑴(𝒕) = 𝑪(𝟏 + 𝒊𝒕)

EXTRAS – PSA 3, 8, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 31, 40. 43, 48,

59, 61, 66 e 68. Conhecendo avaliações 27, 40 e 41


CAIU EM PROVAS ANTERIORES 1) (DISCURSIVA (SUB) – 2014) Julgue os itens a seguir.

a) Uma mercadoria que custava R$ 80,00 teve um

desconto de 17%. Assim, o valor desse

desconto é igual a R$ 13,60.

b) A taxa percentual de desconto de uma

mercadoria que custava R$ 70,00 e passou a

custar R$ 59,50 foi de 15%.

c) O valor 𝑥 de um objeto sofre um desconto de

20% e, em seguida, um aumento de 20%.

Nessas condições o seu valor final permanece

igual a x.

d) Três aumentos sucessivos de 8% equivalem a

um único aumento de 25,9712%.

e) Três descontos sucessivos de 7% equivalem a

um único desconto de 20%.

2) (DISCURSIVA – 2014) Um capital de 300 reais será

investido no regime de juro composto a uma taxa

de juro de 5% ao semestre. Calcule o juro gerado

por esse investimento em um período de 4 anos.

Adote 1,054 = 1,2.

3) (DISCURSIVA – 2014) O preço de uma mercadoria

aumentou de 82%, em decorrência de dois

aumentos sucessivos: 30% e 𝑥%. Nessas

condições, determine 𝑥.

4) (DISCURSIVA – 2015) Se uma mercadoria é vendida

com 50% de lucro em relação ao preço de custo, é

correto afirmar que o lucro em relação ao preço de

venda é de aproximadamente

a) 15%

b) 26%

c) 30%

d) 33%

e) 38%

5) (DISCURSIVA – 2015) O preço de uma mercadoria

foi reduzido em 20% e, em seguida, sofreu um

aumento de 20%. Essa redução e aumento

sucessivos equivalem,

a) A um aumento de 16% em relação ao preço

original.

b) A um desconto de 4% em relação ao preço

original.

c) A um desconto de 16% em relação ao

preço original.

d) A manutenção do preço original.

e) A um aumento de 4% em relação ao preço

original.

6) (DISCURSIVA – 2012) Um capital de R$ 4000,00 foi

aplicado a uma taxa de 3% ao mês, durante quatro

anos, em um sistema de juro composto. Determine

o juro obtido ao final dessa aplicação. (adote

(1,03 )48 ≅ 4,1)

7) (DISCURSIVA – 2012) Considere uma melancia que,

sem casca, tem massa 𝑚 = 10 kg constituída

somente por polpa e água. A participação de água

nessa massa é de 95%. Se essa melancia for

submetida a um processo de desidratação, que

elimina apenas água, a participação de água na

massa da melancia é reduzida a 90%. Determine,

em kg, a massa de água eliminada.

8) (TESTE – 2015) Frederico quer aplicar seu primeiro

salário, 3000 reais, em uma poupança com taxa de

juros de 6% ao bimestre. Dado que a poupança

tem suas aplicações em regime de juros

compostos, determine o montante obtido por

Frederico ao final de um ano. Utilize 1,066 = 1,42.

a) 6030 reais

b) 5680 reais

c) 5320 reais

d) 4260 reais

e) 4080 reais

9) (TESTE – 2015) Carlos investiu 2500 reais, em

regime de juro simples, a uma taxa de 5% ao mês.

Nessas condições, o juro obtido nesse

investimento, ao final de 8 meses, foi igual a

a) 1000 reais

b) 1500 reais

c) 2000 reais

d) 3000 reais

e) 3500 reais

10) (TESTE – 2015) O gráfico a seguir ilustra a

composição corporal de um adulto de 92 kg obtida

durante uma avaliação física com o objetivo de

iniciar a prática de atividade física.


Após um ano de atividade física regular, essa avaliação

foi refeita e constatou-se que ele adquiriu 3 kg de

massa magra e reduziu o seu percentual de massa

gorda a 10%. Sendo assim, a massa total desse adulto

nessa reavaliação foi de

a) 75kg.

b) 80 kg.

c) 85 kg.

d) 90 kg.

e) 95 kg.

GABARITO:

FUNDAMENTAIS

1.1. 12

1.2. 20

2.1. 20%

2.2. 20%

3.1. a) J = R$ 200,00 e I = 20%

b) J = R$ 100,00 e I = 20%

4.1. a) J = R$ 320,00 e M = R$ 8.320,00

b) M = R$ 8.324,83 e J = R$ 324,83

4.2. a) R$ 5.000,00

b) R$ 4.882,81

4.3. 2%

QUESTÕES EXTRAS (Livro)

CAIU EM PROVAS ANTERIORES

1) C C E C E

2) R$ 132,00

3) 40

4) D

5) B

6) R$ 12.400,00

7) 5 kg

8) D

9) A

10) B

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