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INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO ÀÀ MECÂNICA DAS ROCHASMECÂNICA DAS ROCHASLicenciatura em Geologia Aplicada e do Ambiente Licenciatura em Geologia Aplicada e do Ambiente -- 2005/20062005/2006

Fernando M. S. F. Marques *Fernando M. S. F. Marques *

* Departamento de Geologia, Faculdade de Ciências de Lisboa* Departamento de Geologia, Faculdade de Ciências de Lisboa

Aula teAula teóórica rica 99

DEFORMAÇÃO (STRAIN) E DEFORMABILIDADE DAS ROCHAS

- Deformação - modificação da posição relativa de pontos num sólido por alteraçãodo estado de tensão a que está sujeito (sobrecarga ou descarga).

- Deformabilidade - relação entre as modificações do estado de tensão e as correspondentes deformações.

- A deformação, natural ou artificial é frequentemente fenómeno muito complexo e com expressão tridimensional

- Nestas condições é elucidativo observar situações simples, de deformação bidimensional.

- Tal como no estudo das tensões, são consideradas deformações normais e de corte (ou cisalhamento).

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DEFORMAÇÃO HOMOGÉNEA

O estado de deformação é o mesmo em qualquer ponto do sólido considerado,resultando que:

- Segmentos de recta mantêm-se rectilíneos

- Círculos são deformados em elipses

- Elipses são deformadas em outras elipses

l

l’

l'll −

=ε Contracção positiva

DEFORMAÇÃO NORMAL

Q Q’

P, P’

l

γ

ψ

γ = tg ψ Deformação de corte negativa

DEFORMAÇÃO DE CORTE

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Exemplos de deformação finita homogénea:

(x,y) (x’,y’)

x

y

x’ = kx y’ = yExtensão ao longo do eixo x

(x,y)

(x’,y’)

x

y

Extensão ao longo dos eixos x e yx’ = k1x y’ = k2y

(x,y)(x’,y’)

x

y

x’ = kx y’ = (1/k) y

Corte puro

(x,y) (x’,y’)

x

y

y’=y

1

y

x’ = x + γy

Corte simples

γ

γ - deformação de cortek - deformação normal

×

γ=

yx

101

'y'xCorte simples

×

=

yx

k/100k

'y'x

Corte puro

(0x0)+(1x1/k)=1/k

1

2 3

Corte puro seguido de corte simples

γ=

×

γk/10k/k

k/100k

101

1 2

3

Corte simples seguido de corte puro

γ=

γ×

k/10kk

101

k/100k

(kxγ)+(0x1)= kγ

OPERAÇÕES NÃO COMUTATIVAS

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EQUAÇÃO GERAL DA TRANSFORMAÇÃO DE FIGURAS BI-DIMENSIONAIS USANDO COORDENADAS HOMOGÉNEAS

As coordenadas homogéneas são úteis para tratar casos mais gerais onde, para além da deformação normal e de corte é necessário considerar movimentos de translação –deslocamentos da figura sem rotação.

As coordenadas homogéneas num plano (situação bidimensional) correspondem a três coordenadas: Duas coordenadas cartesianas e uma terceira que caracteriza a translacção.

EQUAÇÃO GERAL DA TRANSFORMAÇÃO DE FIGURAS BI-DIMENSIONAIS USANDO COORDENADAS HOMOGÉNEAS

×

=

1yx

sqpndbmca

1'y'x

[ ] [ ]

×=

snmqdcpba

1yx1'y'xou

em que x’ = ax + cy + mo termo a está relacionado com a deformação extensionalo termo c está relacionado com a deformação de corteo termo m está relacionado com a magnitude da translação

snmqdcpba Projecção, perspectiva

Escala geral

Corte, escalarotação

Translação

tal como y’ = bx + dy + n

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DEFORMAÇÃO INFINITESIMAL

Corresponde a deformação homogénea num elemento de dimensão infinitesimal no interior de um corpo que sofre deformação finita.

A deformação pode ser caracterizada pela variação das coordenadas de um ponto situado no extremo de um segmento de recta imaginário, situado no interior do corpo, no decurso da deformação.

DEFORMAÇÃO INFINITESIMAL

P (x,y,z)

P* (x+ux, y+uy, z+uz)

Q

+++

dzz,dyy,dxx

Q*

++++++

*udzz*,udyy*,udxx

z

y

x

y

x

z

Considerando os pontos P e Q dentro do sólido

Considerando que a distância PQ é muito pequena eque o ponto P fica fixo (deslocamento normalizado):

εxx = dux / dx e dux = εxx dx

As componentes de movimento

uuxx, uuyy, uuzz podem variar com a localização no interior do corpo em deformação pelo que são

funções de xx, yy e zz

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DEFORMAÇÃO INFINITESIMAL

dx

Q Q*

dux

P,P*

y

x

dxdux

xx−

=ε

considerando deformações normaisSemelhantes à anteriorsegundo os eixos y e z resulta:

×

ε−ε−

ε−=

dzdydx

000000

dududu

zz

yy

xx

z

y

x

Considerando ainda as componentes de deformação de corte resulta:

εεεεεεεεε

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxxQue é um tensor de 2ª ordem, tal como o que caracteriza oestado de tensão.Tal como naquele existem sempre orientações para as quaisas deformações de corte se anulam, resultando apenasdeformações normais designadas de principais:

εε

ε

3

2

1

000000

As equações de transformação do tensor da deformação são também idênticas às da transformação do tensor das tensões, podendo utilizar-se o circulo de Mohr para relacionar deformações normais e de corte em planos com orientações variadas.

θθε+θε+θε=ε cosnsesencos' xy2

y2

xx 2

θθε−θε+θε=ε cosnsecossen' xy2

y2

xy 2

( ) ( ) θθε−ε−θ−θε=ε sencossencos'' yx22

xyyx

Outras propriedades dos tensores de 2ª ordem, focadas na caracterização de tensões, são também aplicáveis ao tensor das deformações, como a existência de três invariantes, dos quais se relembra o primeiro, pelas suas implicações práticas:

constante321zzyyxx =ε+ε+ε=ε+ε+ε

Do primeiro invariante resulta que a deformação média num ponto é constante, qualquer queseja a orientação dos eixos de referência

As propriedades que permitem a transformação do tensor da deformação são muito importantes, visto que, tal como no caso da medição (in situ ou em laboratório) das tensões, a medição das deformações é geralmente efectuada com aparelhos que medem apenas deformações normais (variações de distância entre pontos).

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Lei de Hooke generalizada, em três dimensões para um meio isotropico elástico linear com

E – Módulo de elasticidadeν – Coeficiente de Poisson

Módulo de Young E = σ / ε

Coeficiente de Poisson( )( ) a

r

ra

aa

//

εε

ε∆σ∆ε∆σ∆

ν =−=

Lei de Hooke generalizada, em três dimensões para um meio anisotrópico com três eixos de simetria perpendiculares entre si (simetria ortotrópica), com eixos x, y e z paralelos aos eixos de simetria

E – Módulo de elasticidadeν – Coeficiente de Poisson

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Medição da deformabilidade no material rocha:

- Ensaios de compressão uniaxial ou triaxial com medição das deformações

Medição da deformabilidade dos maciços rochosos:

São utilizados alguns dos equipamentos empregues na determinação do estado de tensão “in situ”, como por exemplo os macacos planos.

São ainda utilizados ensaios específicos – Ensaios de carga sobre placa – com adaptações específicas para operação à superfície ou em galerias.

A deformabilidade pode ser estimada a partir dos resultados da aplicação de classificações geomecânicas de maciços rochosos, através da utilização de correlações empíricas.

Avaliação e/medição da deformação - análise de formas (clastos, fósseis, cristais) e das relações geométricas entre a situação inicial e a final encontrada no terreno – tema tratado em Geologia Estrutural

Et = Em

Es

εaεr

σa σc

(-) (+)

σc /2

σσ11

σσ33 = 0= 0 Compressão uniaxial

Deformabilidade do material rocha

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Deformabilidade nos maciços rochosos

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