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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO
INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS
Professor: Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo
Natal-RN, Março de 2005
2
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................3
2 VARIÁVEIS GENERALIZADAS E ELEMENTOS DE SISTEMAS ................4
2.1 VARIÁVEIS DE SISTEMA.......................................................................................4 2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas....................4 2.1.2 Potência e Energia .....................................................................................5 2.1.3 Energia Armazenada e Estado ...................................................................5
2.2 ELEMENTOS BÁSICOS DE SISTEMAS.....................................................................6 2.2.1 Propriedades Constitutivas de Fontes de Energia.....................................6 2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia.......................7 2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia...........................8
2.3 ELEMENTOS ADICIONAIS DE SISTEMAS ...............................................................9
3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS, ELÉTRICOS, FLUÍDOS, MAGNÉTICOS E TÉRMICOS ........................................................................10
3.1 SISTEMAS MECÂNICOS ......................................................................................10 3.1.1 Translacionais ..........................................................................................10 3.1.2 Rotacionais ...............................................................................................12
3.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................13
3.3 SISTEMAS FLUIDOS............................................................................................15
3.4 SISTEMAS MAGNÉTICOS ....................................................................................19
3.5 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................20
4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS.......................22
4.1 CONVERSORES DE ENERGIA...............................................................................22 4.1.1 Transformador Elétrico............................................................................22 4.1.2 Transformador Mecânico-Translacional .................................................23 4.1.3 Transformador Mecânico-Rotacional ......................................................24 4.1.4 Transformador Fluido ..............................................................................24
4.2 ACOPLADORES DE ENERGIA ..............................................................................25 4.2.1 Acopladores Conservadores de Potência.................................................25 4.2.2 Acopladores Conservadores de Energia ..................................................27
4.3 MULTI-PORTAS MODULADAS...................................................................29 4.3.1 Bi-Portas Moduladas................................................................................30 4.3.2 Uni-Portas Moduladas .............................................................................31
5 INTERCONEXÃO DE ELEMENTOS DE SISTEMAS.....................................32
5.1 SISTEMAS MECÂNICOS ......................................................................................33
5.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................35
5.3 SISTEMAS FLUIDOS............................................................................................36
5.4 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................37
3
1 INTRODUÇÃO
çãoIdentifica -Análise -
Dinâmicos -
Escala -Computador -
Simulação -modelo de Tipos
- Modelos dinâmicos: modelos matemáticos formados por um conjunto de equações
diferenciais. São utilizados para a análise e projeto em controle.
- Modelos dinâmicos por análise: modelos em forma de equações diferenciais e que
envolvem simplificações.
- Modelos dinâmicos por identificação: modelos obtidos por observações de um
sistema.
- Modelos por simulação: usados na investigação empírica das propriedades de um
sistema ou processo.
- Modelos por simulação computacional: formulação matemática do comportamento de
um sistema que pode ser implementada em um computador analógico ou digital.
- Modelos por simulação em escala: usados em fenômenos complexos. Passam pela
construção de réplicas para posterior análise.
Parar Começar
Validação Modelagem
Projeto doControlador
Feita comaproximações
Controle insatisfatório:reconsiderar o modelo
Processo de Modelagem
4
2 VARIÁVEIS GENERALIZADAS E ELEMENTOS DE SISTEMAS
Fonte Sistema Saída
Portador deEnergia
Portador deEnergia
- Sistemas: manipuladores de energia que interagem com as entradas e saídas via portas
de energia
energia de dissipação -energia de geração -
energia de ntoarmazename - Básicos Elementos
2.1 Variáveis de Sistema
Determinam como e em que sentido a energia é transmitida.
Exemplo:
Fonte de
Energia
Elétricav
i
RR
- Sistema: resistor
- Portas: fios
- Variáveis de sistema: tensão (v) e corrente (i) Potência = v.i
2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas
Fonte Sistema
f
e
Sentido Generalizado: esforço (e) e fluxo (f)
5
esforço
fluxo
- Medidores de esforço: voltímetros, termomêtros, barômetros
- Medidores de fluxo: amperímetros, medidores de vazão, dinamômetros.
Esforço ⇒ Variável ENTRE (across variable)
Fluxo ⇒ Variável ATRAVÉS (through variable)
2.1.2 Potência e Energia
e
f
BA
Pot = e.f (ou proporcional a)
∫=1
01 .)(
t
ab dtfetE
2.1.3 Energia Armazenada e Estado
∫1t
0
dt e.f = Armazenada Energia
fluxo de resarmazenado -esforço de resarmazenado -
energia de resarmazenado Mecanismos
Esforço Acumulado (ea)
∫=t
a ee0
a
dtde=eou dt ex: indutor
∫ ∫t
0
e
0a
a
de f=dt ef = acumulada Energia
6
Fluxo Acumulado (fa)
∫=t
a ff0
a
dtdf=fou dt ex: capacitor
∫ ∫t
0
f
0a
a
df e=dt ef = acumulada Energia
(ea,fa,e,f) ⇒ especificam a história temporal do fluxo de energia no sistema
Estado de um Sistema
( ) n1,2,..,=i ,...,,;,...,, 2121 rnii uuuxxxf
dtd
=x
(ea,fa) ⇒ conjunto natural de variáveis de estado de um sistema
2.2 Elementos Básicos de Sistemas
fluxo) de (fontes através variáveisde fonte -esforço) de (fontes entre variáveisde fonte -
Energia de Fontes
através varáveisde resarmazenado -entre varáveisde resarmazenado -
Energia de resArmazenado
Dissipadores de Energia
- Propriedade Constitutiva: qualquer curva experimental ou lei que especifica a
característica física de um elemento do sistema.
2.2.1 Propriedades Constitutivas de Fontes de Energia
f1e
f
f1
e
PotênciaSaindo
PotênciaEntrando
7
f
e1
+
-
f
1e
PotênciaSaindo
PotênciaEntrando
e
2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia
Armazenadores de Fluxo
fe= ϕ
-1(fa)
)(efa ϕ=
∫ ∫==t f
aa edfefdtU
0 0
fa
e
fa
U= energia
U = co-energia*
= ϕ (e)
*
0
1 )( UefdffU a
f
aaa −== ∫ −ϕ
afUe ∂
∂=
∫=e
adefU0
* e
Ufa
*
∂∂
=
Se Cefa = (linear) temos que: 2*2
00
*
*2*
21
21 CeUU
CeCededefU
UCeUefUee
a
a
==
===
−=−=
∫∫
Armazenadores de Esforço
f ϕ-1= (e )ae
)( fea ϕ=
8
∫ ∫==t e
aa fdeefdtT
0 0
f
ea
T= energia
T = co-energia*
=
f-1
(e )aϕ
*
0
1 )( TfedeeT a
e
aaa −== ∫ −ϕ
fTea ∂
∂=
∫=f
adfeT0
* ae
Tf ∂
∂=
Se Lfea = (linear) temos que: 2*2
00
*
*2*
21
21 LfTT
LfLfdfdfeT
TLfTfeTff
a
a
==
===
−=−=
∫∫
2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia
f
ϕe = (f)
)( fe ϕ=
e
G= conteúdo
J= co-conteúdo
=
f
ϕe
(f)
ef edf fde G Jef
= + = +∫∫ 00 e G
f=
∂∂
; f Je
=∂∂
Se e= Rf (linear) temos que: G J Rf= =12
2
9
2.3 Elementos Adicionais de Sistemas
e
f
τ , ω τ , ω1 1 2 2
21
12
ττωω
nn
==
.
Elemento geral
de duas portase1
e2
f1 f2
Conservação de Potência: 2211 fefe =
- Elemento de duas portas conservativas lineares:
=
1
1
2221
1211
2
2
fe
aaaa
fe
TRANSFORMADOR IDEAL
21 nee = ⇒ 211 fn
f =
=
−
2
21
1
1
00
fe
nn
fe
n ⇒ módulo de transformação
GIRADOR IDEAL
21 rfe = ⇒ 211 er
f =
=
−
2
21
1
1
00
fe
rr
fe
r ⇒ módulo de giração
10
3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS, ELÉTRICOS, FLUÍDOS, MAGNÉTICOS E TÉRMICOS
3.1 Sistemas Mecânicos
Podem ser translacionais e rotacionais.
- Velocidade ⇒ entre um ponto e a referência ⇒ Variável ENTRE
- Força ⇒ da referência para um ponto ⇒ Variável ATRAVÉS
3.1.1 Translacionais
Tipos de Analogia:
1) Velocidade ⇒ Esforço
Força ⇒ Fluxo
(Analogia da Mobilidade) ou
(Analogia do Movimento)
2) Velocidade ⇒ Fluxo
Força ⇒ Esforço (Analogia Clássica)
Massa Translacional
→→
→=
e velocidadvmassa m
momento p mvp
→→
===aceleração aforça F
madtdvm
dtdpF
F dpdt
Fdt= ⇒ = ∫ p ⇒ Armazenador de fluxo
F
1
2
p = m v
UU*
p
v12
12
212
*
21 mvUU ==
11
Mola Translacional
→→
=⇒= ∫ e velocidadvposição x
vdtxdtdxv ⇒ Armazenador de esforço
F F
v12
1 2
F
x12
x12 = ϕ (F)
T
T*
Lei de Hooke:
212
2*1212 2
121T=T 1 kxFk
Fk
xkxF ==⇒=⇒=
Dissipação Translacional
F F
v12
1 2
F
v12
= ϕ (v )12F
J
G
Se ( ) viscosoatrito de ecoeficient b 12 →= bvF , então
2122
1 bvGJ ==
bFbvPotência
2212 ==
12
3.1.2 Rotacionais
Tipos de Analogia:
1) Velocidade angular ⇒ Esforço
Torque ⇒ Fluxo
(Analogia da Mobilidade) ou
(Analogia do Movimento)
2) Velocidade angular ⇒ Fluxo
Torque ⇒ Esforço (Analogia Clássica)
Massa Rotacional
→→→
=angular e velocidadinércia de momento I
angular momento h
ωωIh
→→
===angular aceleração
torque
ατ
αωτ IdtdI
dtdh
∫=⇒= dtdtdh ττ h ⇒ Armazenador de fluxo
1ωτ 12
2
h = I
UU*
h
12
12
ω
ω
212
*
21 ωIUU ==
Mola Rotacional
→→
=⇒= ∫ angular e velocidadangular posição
ωθ
ωθθω dtdtd ⇒ Armazenador de esforço
1 2
ω ωτ1 2 τ
12
12 = ϕ
T
T*
τ
θ (τ)
θ
13
Se a relação constitutiva da mola for linear, então:
212
*1212 2
1T=T 1 θτθθτ kk
k =⇒=⇒=
Dissipação Rotacional
1 2
ω ωτ1 2 τ
12
J
G
τ
ω
=ϕ(ω )12
τ
Se ( )τ ω= →b 12 b coeficiente de atrito viscoso , então
2122
1 ωbGJ ==
bbPotência
2212
τω ==
3.2 Sistemas Elétricos
- Tensão ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Corrente ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
Indutância
Armazena energia no campo magnético.
oconcatenad magnético fluxo )( →= λϕλ i
∫=⇒= vdtdtdv λλ ⇒ Armazenador de esforço
v12
1 2
i
λ
T
T*λ = ϕ
i
(i)
14
Para o caso linear:
Li=λ ⇒ 22
*
21
2Li
LTT ===
λ
Indutor constituído por uma bobina com N espiras:
→→
→→→
=
magnético circuito do médio oCompriment magnético circuito do al transversseção de Área
dadePermeabili espiras de Número
Indutância
2
la
NL
laNL µµ
Capacitância
Armazena energia no campo elétrico.
elétrica carga q )( →= vq ϕ
∫=⇒= idtqdtdqi ⇒ Armazenador de fluxo
1 2
v12
i
v12
U
U*= ϕ
q
q 12(v )
Para o caso linear:
12Cvq = ⇒ 212
2*
21
2Cv
CqUU ===
- Capacitor de placas paralelas:
→→
→→
=
placas as entre Distância placas das Área
dadePermissivi iaCapacitânc
la
C
daC
εε
15
Resistência
Dissipação de energia elétrica: )(iv ϕ=
1 2
v12
i
12
J
G
i
v
ϕv= (i)
Para o caso linear:
212 2
1 RiJGRiv ==⇒=
RvRiP
2122 ==
- Fio de área constante e comprimento l:
→
→→→
=
fio do al transversseção da Área fio do oCompriment material do adeResistivid
elétrica aResistênci
al
R
alR
ρρ
3.3 Sistemas Fluidos
- Pressão fluida ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Vazão fluida ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
Capacitância Fluida (Armazenador de Fluxo)
∫ ⇒→= fluxo der armazenado Qdt =V dtdVQ
Q
P
UU*
V
P
V=ϕ (P)
16
∫=V
PdVU0
; ∫=V
VdPU0
*
Para o caso linear:
2*
21 PCUUPCV ff ==⇒=
• Reservatório de fluido
Q
H
área da seção A
P
fluido) do densidade( .. →= ρρ HgP
gAP
gA
gPAAHV
.C
.. f ρρρ=⇒===
• Tanque Pressurizado
Q
Vt
P
Vt volume do tanque
Vt
V1ρ
ρ
Q
Q P
1
2
mentrada
marmazenada
17
armazenadaentrada mm =
dtd
Vdt
dVV
dtdV
dtdVV ttt
211211 211 )()(
ρρρρρρ =→=→=
tVdt
dQ 21
ρρ =
Para líquidos ⇒ deelasticida de módulo 12 →= β
βρρ dPd
Logo
ββtt
tVPVVdPVQdt =⇒=⇒= fC
Indutância Fluida (Armazenador de Esforço)
l
A
v
P1
P2
Q Q
Considerando o fluido contido no tubo acima como uma massa fluida rígida se
deslocando com velocidade v:
dtdVlAmaPPAF .)( 12 ρ==−=
Definindo: fluido onde 212121 momentoP
dtd
→Γ=Γ
esforço der armazenado 2121 ⇒=Γ ∫ dtP
Relação constitutiva:
dtdQ
AdtdxAQ
dtdVolAxVol 1
dtdv Av=Q =⇒⇒==⇒=
AlQ
Al
dtdQ
Al
dtd .L . .
f2121 ρρρ
=⇒=Γ⇒=Γ
18
Q
P2
P1
Q
12
12 = ϕ (Q)
T
T*Γ
Γ
Energia cinética ⇒ ∫Γ
Γ=21
021QdT
Co-energia cinética ⇒ ∫Γ=Q
dQT0
21*
Para o caso linear: 2*
21 QLTT f==
Dissipação Fluida
Mecanismos de dissipação:
- Forças viscosas entre o fluido e a superfície retentora.
- Forças viscosas entre as partículas fluidas. )(QP ϕ=
Q
P2 P1
Q
12
12 = ϕ (Q)
J
GP
P
Conteúdo ⇒ QdPGQ
∫=0
21
Co-conteúdo ⇒ ∫=P
QdPJ0
21
Para o caso linear:
212 2
1 QRJGQRP ff ==⇒=
19
- Para um fluxo laminar através de um tubo capilar:
→→→
→
=
capilar tubodo Diâmetro capilar tubodo oCompriment
fluida eViscosidad
fluida aResistênci
..128
4
dl
R
dlR
f
fµ
πµ
- Para um fluxo turbulento através de um cano longo:
→
= tubodo geometria da e fluido do
espropriedad das depende que Constante a4
3
12 QaQP
3.4 Sistemas Magnéticos
- Força Magnetomotriz (M) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Fluxo Magnético (Φ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
Armazenamento de energia em circuitos magnéticos ⇒ Indutância
Propriedade de Indutância ⇒ Acúmulo de fluxo magnético
- A forma complementar de armazenamento de energia magnética não é normalmente identificável.
Relutância Magnética
Φ=
= ∫)(ϕM
HdlM H → campo magnético
ΦM1
M2
M = M - M2 1
Φ
M
=ϕM
J
G(Φ)
No caso linear:
HlMBa
==Φ
⇒
fluxo de Densidade -al transversseção da Área -
Ba
20
ΦM
BaHl
= ⇒ M HlBa
= Φ ⇒ M = ℜΦ
→→ℜ
==ℜmagnetica dadePermeabili
magnetica Relutancia µµa
l
aHBl
2
21
Φℜ== GJ
Fontes de Energia Magnética
- Imã permanente
- Bobina com N espiras atravessada por uma corrente I ⇒ M = NI
3.5 Sistemas Térmicos
- Fluxo de calor (q) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Diferença de temperatura (∆Τ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
→→→
−=especificocalor c
substancia da massa m calor de quantidade H
)(
p
12 TTmcH p
O calor H é uma variável energia
⇓
Generalização não pode ser feita em termos de energia
Capacitância Térmica (Armazenador de Fluxo)
∫⇒= qdtH=dt
dHq (qualquer corpo)
21
q
T21
H
=ϕH (T )21
T21
U H qdt= = ∫
Dissipação Térmica
q
T2 T1
T = T - T21 2 1 q
=ϕ (q)
T21
T21
Para o caso linear:
T R qt21 = Rt resistencia termica→
- Fluxo de calor por condução:
→→
→
=corpo do oCompriment
corpo do al transverssecao da Área
corpo do termicaadeCondutivid
c
21
lAT
lA
q c
σσ
- Fluxo de calor por convecção:
21ATCq h= Ch coeficiente de calor→
22
4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS
- Conversores de energia
- Acopladores de energia
energia de resarmazenado -potencia de resconservado -
- Multi-Portas Moduladas
4.1 Conversores de Energia
4.1.1 Transformador Elétrico
v1 i1 i2 v2
λ ϕ1 1 1 2= ( , )i i λ ϕ2 2 1 2= ( , )i i
Caso linear:
+=+=
2221212
2121111
iLiMiMiL
λλ
; onde:
→→
mútua Indutância Mprópria Indutância L
dtdv 1
1λ
= dt
dv 22
λ=
Para Bi-porta Conservativa: M12 = M21 = M
1111
2 iML
Mi −=
λ
122
12211
21111
2212 λλλMLi
MLLM
MiL
MLMi +
−=
−+=
23
ou, na forma matricial:
−
−
=
1
1
11
22112
22
2
2
1 iML
M
MLLM
ML
iλλ
Coeficiente de Acoplamento ⇒ 2211LL
Mk =
Se k= 1 (acoplamento perfeito),
−=
1
1
22
11
2211
11
22
2
2
1
0
iLL
LL
LL
iλλ
Se a permeabilidade magnética for grande → 01
2211
≅LL
v nv1 2= ni i1 2= − .
onde n LL
= 11
22
Se ℜ
=2
111
NL e ℜ
=22
22NL ⇒ n N
N= 1
2
4.1.2 Transformador Mecânico-Translacional
F1
Coordenada detranslação
Coordenada detranslação
v01 = x01
α
b
a
.v02 = x02
.
F2
24
Considerando a alavanca rígida e sem massa e o apoio livre de atrito, podemos ter:
⇒−=⇒
−==
ba
vv
bsenxasenx
02
01
02
01 αα
0201 vbav
−=
e, pelo princípio da alavanca:
12 FbaF
= ;
ban = ⇒ Módulo de transformação
4.1.3 Transformador Mecânico-Rotacional
baCorreia
x
τ1 τ2
ω01 = θ01.
ω02 = θ02.
==
02
01
θθ
bxax
⇒ 0201 ωωab
=
022011 θτθτ = ⇒ 12 ττ
=
ba
; ban = ⇒ Módulo de transformação
4.1.4 Transformador Fluido
xQ1
P01
Q2
P02
Área da superfíciedo êmbolo 2
Área da superfíciedo êmbolo 1
A1
A2
25
→===
dtdVQ
AV
AVx
2
2
1
1 11
22 Q
AAQ =
2021010201 APAPFF === ⇒ 021
201 P
AAP = ;
1
2
AAn = ⇒ Módulo de transformação
4.2 Acopladores de Energia
- Transformam um tipo de energia em outro
- Modelam transdutores, atuadores, motores e geradores
- Acopladores conservadores de potencia- Acopladores armazenadores de energia
4.2.1 Acopladores Conservadores de Potência
• Transformador Rotacional/Translacional
a
Correia
τ1
ω01 = θ01.
v = x02 02
F2
.
Porta rotacional
Porta translacional
02011 xa
=θ ⇒ 02011 va
=ω
aF21 =τ ⇒ 121 τa
F = ; a
n 1= ⇒ Módulo de transformação
26
• Transformador Eletromecânico
Motor / Gerador
τ2 , ω02Porta mecânica
rotacional
Porta elétrica
v01
i1
Φ=Φ=
122
02101
iKKv
τω
Conservação de Potência ⇒ KKK == 21
Logo,
Φ=Φ=
12
0201
iKKv
τω
Φ → fluxo total
v n= ω
τ = ni ; n K= Φ ⇒ Módulo de transformação
• Girador Fluido-Mecânico
Q1
P01
Área da superfíciedo êmbolo
A
v02
F2Porta mecânica
translacional
Porta fluida
1021 QA
v =
2011 FA
P = ; rA
=1 ⇒ Módulo de giração
27
4.2.2 Acopladores Conservadores de Energia
• Eletromecânico (campo elétrico)
x v02
F2
Porta mecânicatranslacional
Porta elétrica
v01
i1
),(22 qxF ϕ= ),(101 qxv ϕ=
Se o dispositivo for eletricamente linear, tem-se:
)( )( 01
01 xCqv
vqxC =⇒=
Energia Armazenada no campo elétrico:
∫∫ +=SS
dxFdqvqxU 201),( (Energia Elétrica + Energia Mecânica)
S ⇒ Caminho arbitrário de integração de um ponto para (x,q)
x
q
s
( )x, q
A energia armazenada pode ser calculada integrando-se ao longo de qualquer caminho
S. Um caminho conveniente é o indicado na figura, pois a força F2 é zero para todo x quando
a carga é zero.
Neste caso, se o estado inicial (x0, q0) é (0,0),
28
∫ ==q
xCqdq
xCqqxU
0
2
)(2)(),(
Uma vez obtida uma expressão para energia acumulada, as relações constitutivas que
descrevem a força e a tensão, são dadas por:
xqxUF
∂∂ ),(
2 = q
qxUv∂
∂ ),(01 =
Logo,
==
)(1
2
2
2 xCdxdq
xUF
∂∂
)(01 xC
qqUv ==
∂∂
• Eletromecânico (campo magnético)
v02F2
Porta mecânicatranslacionalPorta
elétrica
v01i1
),(21 λϕ xF = ),(11 λϕ xi =
Se o dispositivo for eletricamente linear, tem-se:
)( )( 11 xL
iixL λλ =⇒=
Energia Armazenada no campo magnético:
∫∫ +=SS
dxFdixT 21),( λλ (Energia Elétrica + Energia Mecânica)
S ⇒ Caminho arbitrário de integração de um ponto para (x,λ)
29
x
λ
s
( )x, λ
A energia armazenada pode ser calculada integrando-se ao longo de qualquer caminho
S. Um caminho conveniente é o indicado abaixo, pois a força F é zero para todo x quando o
fluxo é zero.
Neste caso, se o estado inicial é (0,0),
∫ ==λ λλλλ0
2
)(2)(),(
xLd
xLxT
Uma vez obtida uma expressão para energia acumulada, as relações constitutivas que
descrevem a força e a corrente, são dadas por:
xxTF
∂λ∂ ),(
2 = ∂λ
λ∂ ),(1
xTi =
Logo,
==
)(1
2
2
2 xLdxd
xTF λ
∂∂
)(1 xL
Ti λ∂λ∂
==
4.3 MULTI-PORTAS MODULADAS
- Modulação de relações constitutivas por uma variável auxiliar.
- Ocorre frequentemente em portas conservativas e em portas simples.
30
4.3.1 Bi-Portas Moduladas
Uma bi-porta modulada expressa a variável de estado como uma função das variáveis
esforço e fluxo e de alguma variável auxiliar ρ.
Para um transformador ideal ⇒ e n e f1 2 2= ( )ρ ρ , = n( ) f 1
Para um girador ideal ⇒ e r f e1 2 2= ( )ρ ρ , = r( ) f 1
• Transformador Rotacional-Translacional Modulado
τ2, ω02Porta rotacional
θ
aF1 , v01
Portatranslacional
==
0201
12
)cos()cos(
ωθθτ
avFa
; n a( ) cosθ θ=
• Variável Campo em Motor/Gerador
τ2 , ω02Porta mecânica
rotacional
Porta elétrica v01
i1ifvf
Φ
31
02101 ωΦ= Kv
112 iK Φ=τ
Contudo, o fluxo é função da corrente de campo if:
)(1 finK =Φ
Logo,
ω)( finv =
iin f )(=τ
4.3.2 Uni-Portas Moduladas
Elementos da interface do sistema com o controlador são freqüentemente modulados
para permitir o controle da dinâmica interna do sistema.
Ex: Amplificador de potência
32
5 INTERCONEXÃO DE ELEMENTOS DE SISTEMAS
Conexão de elementos de sistemas ⇒ Novo conjunto de restrições
Relações Interconectivas ⇒ Independem do material ou da dinâmica envolvida
Existem duas maneiras diferentes de conectar elementos uni-portas:
• Conexão Série
1 2
e1f1 f2f
e2
e
21 eee +=
21 fff +=
• Conexão Paralelo
3
4
e3f3
f4
f
e4e
e e e= =3 4
f f f= +3 4
Estas relações podem ser colocadas como restrições de compatibilidade de esforço e de
continuidade de fluxo.
• Restrição de Compatibilidade de Esforço
1
k
n
e1
en
ek
ekk
n
=∑ =
1
0
• Restrição de Continuidade de Fluxo
1
k
n
f1
fn
fk
fkk
n
=∑ =
1
0
33
RelaçõesConstitutivas
RelaçõesDinâmicas
Restrições Interconectivas
Compatibilidadede esforço
Compatibilidadede fluxo
DESCRIÇÃO INTERNA
Modelo em Espaço de Estados,
em termos das variáveis armazenadoras de energia
DESCRIÇÃO EXTERNA
Equações Diferenciais,em termos das variáveis
de esforço, fluxo, oucombinações delas
RealçõesBásicas
ModelosMatemáticos
5.1 Sistemas Mecânicos
• Restrição de continuidade de força
F1
Fn
FkFm v d td
F Fii
n
m=∑ + =
1
0
onde: F dpdtm =
• Restrição de compatibilidade de velocidade
0
ReferênciaInterna
v01 vj j+1
1
2
j
j + 1
n
v12
vn0
v vj jj
n
n, +=
−
∑ =10
1
0
34
• Aplicação das regras interconectivas
mk b0
2=1
0 0
1F(t)
- Lei de continuidade para forças: 0)( =−−− bmk FFFtF
- Relações constitutivas:
==
=
=
1020
10
10
bvbvF
mvp
kxF
b
k
- Relações dinâmicas:
=
=
dtdx
v
dtdpFm
1010
- Variáveis de estado naturais ⇒ p, x10
- Descrição Interna:
=
+−−=
pmdt
dx
tFpmbkx
dtdp
1
)(
10
10
- Descrição Externa: m d xdt
b dxdt
kx F t2
102
1010+ + = ( )
35
5.2 Sistemas Elétricos
• Restrições interconectivas para tensão e corrente
i1
in
ij
v1
vnvj
01
=∑=
n
jji 0
1=∑
=
n
jjv
• Aplicação das regras interconectivas
v(t)iR vR
iL iCvL vC
iL
R
C
- Leis interconectivas:
=+=
=+=
R
CLR
CL
CR
iiiii
vvvvtv )(
- Relações constitutivas e dinâmicas:
=
=
===
dtdvdt
dqi
CvqLiRiv
LL
CC
CC
LL
RR
λ
λ
- Variáveis de estado naturais ⇒ L , λCq
36
- Descrição Interna:
=
+−−=
CL
LCC
qCdt
d
tvRL
qRCdt
dq
1
)(111
λ
λ
- Descrição Externa: )(1112
2
tvRCLCdt
dRCdt
dL
LL =++ λλλ
5.3 Sistemas Fluidos
• Leis Interconectivas para pressão e razão de fluxo
Fluido Incompressível Fluido Compressível
Q1
Qn
Qj
m1
mn
mj
∑=
=n
jjQ
10 Qj ⇒ Vazão ∑
=
=n
jjm
10 mj ⇒ Fluxo de massa
• Aplicação das regras interconectivas
Fonte de fluxo(Bomba de deslocamento constante)
Q(t)
P
Cf RfLf
PR
QRPL
QLPC
37
- Leis interconectivas:
=+=
+==
RL
RLC
LC
C
QQPPP
QQtQPP
)(
- Relações constitutivas:
=
=Γ
=
RfR
LfL
CfC
QRP
QL
PCV
- Relações Dinâmicas:
Γ=
=
dtdP
dtdV
Q
LL
CC
- Variáveis de estado naturais ⇒ ΓL , VC
- Descrição interna:
dVdt L
Q t
ddt C
V RL
C
fL
L
fC
f
fL
= − +
= −
1
1
Γ
ΓΓ
( )
- Descrição Externa: d Vdt
RL
dVdt L C
V RL
Q t dQ tdt
C f
f
C
f fC
f
f
2
2
1+ + = +( ) ( )
5.4 Sistemas Térmicos
• Leis interconectivas de fluxo de calor e temperatura
T1
Tn
T2
q1
qn
qj
Tii
n
=∑ =
1
0 q jj
n
=∑ =
1
0
38
• Aplicação das regras interconectivas
q1 T , qC C
Rt1 Ct Rt2
q2q
T1 T2
T(t)
- Leis interconectivas:
=
+=
=
+=
1
21
2
21)(
qqq
TT
TTtT
C
C
- Relações constitutivas:
=
=
=
222
111
qRT
qRT
TCH
t
t
CtC
- Relações Dinâmicas: = C
C qdt
dH
- Variáveis de estado naturais ⇒ HC
- Descrição do sistema: )(111
121
tTRC
HRRdt
dH
t
C
tt
C +
+−=
