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INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
XV Semana de Matemáticae
I Encontro de Ensino de Matemática
Setembro 2010UTFPR – Campus Pato Branco
Jalves [email protected]
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
Resumo:
A relatividade especial é uma teoria que surge sobre nossos conceitos de espaço e tempo e tem conseqüências em todos campos da Física. No minicurso será apresentado uma introdução a cinemática relativística, teoria desenvolvida principalmente por Albert Einstein.
Público alvo: alunos dos Cursos de Licenciaturas e Engenharias que tenham cursado Física I.
Pré-requisitos: Física I.
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
Conteúdo Mecânica Newtoniana Postulados da Relatividade Medida de um Evento Relatividade do Tempo Relatividade do Comprimento Equações de Transformação de Lorentz
Albert Einstein(1879-1955)
1905 – Um Ano MilagrosoCinco Artigos
Efeito Fotoelétrico. Prêmio Nobel de 1922. Trata da radiação e das propriedades da Luz. Determinação real do tamanho dos átomos e determina o número de Avogadro Recebe o Título de Doutor.Movimento Browniano. Trata do movimento aleatório de partículas microscópica em suspensão num líquido. Estabelece a existência de átomos e moléculas. Relatividade especial que trata do espaço e do tempo. A inércia de um corpo e seu conteúdo de energia.
A teoria da Relatividade especial é uma investigação sobre nossas idéias de espaço e do tempo. A partir destas investigações surge as diferenças que existem entre as medidas físicas realizadas em dois referenciais em movimento relativo.
As principais conseqüências dessa investigação são:
Relatividade da Simultaneidade: dois acontecimentos (eventos) se são simultâneos em um referencial, eles podem não ocorrer ao mesmo tempo para um outro observador que se move em relação ao primeiro.
Contração do Comprimento: réguas em movimento ficam mais curtas ao longo da direção do movimento.
Dilatação do Tempo: relógios em movimento batem mais devagar! Geometria de Minkowski: A Relatividade Especial muda a geometria:
geometria de Minkowski. Aumento da massa: a massa de uma partícula que se move é maior do que a
massa de repouso!
As medidas feitas em diferentes referenciais não são as mesmas.
Relatividade Versão de Albert Einstein -1905
Albert Einstein(1879-1955)
… não apenas na mecânica, mas também na eletrodinâmica, osfenômenos não têm nenhuma
propriedade associada ao conceito de repouso absoluto…
Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento (1905)
O princípio da relatividade: as leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial privilegiado (referencial absoluto).
Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz é igual em todos os sistemas inerciais. (a velocidade da luz é independente da velocidade da fonte)
Relatividade Especial - Principais Contribuições Históricas
Galileo Galilei (1564-1642). O Princípio da Relatividade: As leis da Mecânica são as mesmas para qualquer observador com velocidade constante.
Isaac Newton (1642-1727) Enuncia as três leis da mecânica válidas nos referenciais inerciais.
Jules Henri Poincaré (1854–1912). Enuncia o Princípio da Relatividade para os sinais ópticos e eletromagnéticos. Em 1900 apresenta uma versão para o tempo local de Lorentz.
Joseph Larmor (1857-1942). Obtém as equações de transformação (Eq. Lorentz) que mantêm as equações do eletromagnetismo invariantes.
Hendrik Lorentz (1853-1928). Propõem uma hipótese ad-hoc; o movimento através do éter produz uma contração do objeto.
Albert Michelson (1851-1931). Construiu com Morley o primeiro interferômetro, destinado a medir a velocidade da terra em relação ao éter.
Albert Einstein (1879–1955). Enuncia o princípio da relatividade para todas as leis da Natureza.
James Clerk Maxwell (1831–1879). Desenvolve as equações que descrevem uma onda eletromagnética. Estas propagam-se com velocidade c~ 300 000 km/s.
Jean Fresnel (1788-1827). A hipótese ondulatória da luz. A luz propaga-se em um éter em repouso, este preencheria todo o universo.
FitzGerald (1851-1901). Independente de Lorentz propõe a contração dos objetos através do éter.
OBS: A ciência não dá saltos!
... A Terra se desloca, no seu movimento de translação a volta do sol, com uma velocidade que é de aproximadamente de 30 km/s, nenhuma experiência mecânica efetuada à sua superfície permite revelar este movimento.
Galileo Galilei(1564-1642)
O Princípio da Relatividade na Mecânica
séc. XVIIEm qualquer referencial inercial as leis do movimento são as mesmas, e as equações matemáticas das leis têm as mesmas formas.
Isaac Newton(1642-1727)
O Princípio da Relatividade na MecânicaSéc. XVIII
As leis da mecânica são válidas em todos os sistemas de inércia (sistemas físicos com movimento relativo uniforme)
O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa. Escólio: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
' 'r r R t t= − =rr r
'' ' SS
dr dr dR v v vdt dt dt
= − ⇒ = −rr r r r r
'' SSdvdv dvdt dt dt
= −rr r
'' aaCv teSS
=⇒=
'SSvP
r 'r
z
x
y
O
S
z’
x’
y’
O’
S’Equivalência dos Referenciais de Inércia
=′−=′
ttvtxx
O Princípio da Relatividade na MecânicaSéc. XVIII
R
As Equações de Maxwell
James C. Maxwell(1831-1879)
Campos eletromagnéticospodem propagar-se como
ondas, com velocidadec ≈ 300 000 km/s.
⇓A luz é uma ondaeletromagnética.
0),(),(12
2
2
2
2 =∂
∂−∂
∂x
txut
txuc
As Equações de Maxwell
( ) . Lorentz de Força
. Ampère de Lei
. Faraday de Lei
. 0
, Gauss de Leis
C
C
S
S
Bu EF ×+=⇒
Φ+=⇒
Φ−=⇒
=
=⇒
∫
∫
∫
∫
q
dtdIdlH
dtddlE
dB
QdD
Dt
Bt
n
n
σ
σ
Física Clássica: Modelos em CriseFísica Clássica: Modelos em Crise
No fim do século XIX, já munidos com a Mecânica Newtoniana e as Equações de Maxwell, muitos Físicos achavam que estava quase tudo já entendido na Física, e que apenas detalhes seriam necessários
para explicar alguns resultados não entendidos até aquele momento.
Final do Séc XIX
Física Clássica: Modelos em CriseFísica Clássica: Modelos em Crise
Alguns Experimentos que não conseguiam ser explicados:
Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a observação de que a radiação emitida por um gás (descarga elétrica) ou uma chama (contendo um gás volátil) era composta principalmente de alguns comprimentos de onda discretos.
Final do Séc XIX
➨“Forma” (distribuição dos comprimentos de onda) dos espectros contínuos de radiação, característicos de corpos quentes.
➨“Efeito Fotoelétrico”, onde elétrons são ejetados de alguns materiais quando iluminados por radiação eletromagnética (luz)
Historicamente, o nascimento da Física Quântica ocorreu pelo 2° ítem (Radiação de Radiação de Corpo NegroCorpo Negro).
Final do Séc XIX
ÉTER:De acordo com a visão clássica, se há uma onda, como som (ou luz), deve haver algum meio para transportar esta perturbação.
Este meio, para a luz, foi chamado de éter, e essencialmente foi assumido por todo o mundo para estar lá. A onda desloca-se neste meio com uma certa velocidade, da mesma maneira que ondas em água, ou som no ar. É assumido que o éter permeia e penetra em todos os corpos materiais com ou sem resistência
Final do Séc XIX
Final do Séc XIX
James C. Maxwell(1831-1879)
Duas questões preocupavam os Físicos:
Ao contrário das leis de Newton da mecânica, as equações de Maxwell do eletromagnetismo não eram equivalentes segundo as transformações de Galileu;
A hipótese da existência do “éter” – meio cujas vibrações estariam ligadas à propagação das ondas eletromagnéticas – não foi comprovada pela famosa experiência de Michelson – Morley
O Princípio da RelatividadeComo seria uma onda eletromagnética vista por um observadorinercial S´ na velocidade da luz ?
Experimento de Michelson-Morley - Analogia com um Barco no Rio.Pense em dois casos: 1)Um rio que flui com velocidade Vc. O rio possui uma largura de x metros.
2)Um barco desloca-se com uma velocidade relativa a água de Vb.
Considere duas situações: 1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma distância 2X2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do rio, percorrendo uma distância 2X ou,
0 P
x
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
S’S
0 (terra) 0’ (rio)
Jalves Figueira - UTFPR
Vb
Velocidade do barco em relação à terra:
Vc + Vb correnteza abaixo Vc - Vb correnteza acima
VcTempo para que o barco percorra o trajeto de ida e volta:
1 2
2 2
2
x xt t tVb Vc Vb Vc
xVctVc Vb
= + = ++ −
=−
1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma distância 2X;
Tempo para que o barco percorra o trajeto de ida e volta:
1 2 2 2 2 2
2 2
2
x xt t tV Vc V Vc
xtV Vc
= + = +− −
=−
Jalves Figueira - UTFPR
Vb
Vc
VbV
2 2V Vb Vc= +
Velocidade do barco em relação à terra:
Vc
http://www.educaplus.org/play-108-Cruzar-el-r%C3%ADo.html
2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do rio, percorrendo uma distância 2X,
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL
Medidas da Velocidade da Luz - Roemer – 1676
Tempo de Transito da Luz através da órbita terrestre.
O Astrônomo Roemer observou que os eclipses de Io, satélite de Júpiter, não eram regular.
Após 6 meses, transito de meia volta da terra ao redor do sol, o tempo oscilava em 22 min.
Este tempo corresponde ao tempo que a luz percorre a órbita da Terra.
T= D / t = c = 214 300 km/s
Medidas da Velocidade da Luz - James Bradley 1725
Aberração da Luz Estrelar
James observou que as estrelas próximas do zênite parecem mover-se, numa órbita quase circular. Em um ano o diâmetro angular de 40,5”.
O fenômeno surge devido a velocidade finita da luz e da velocidade da terra em torno do sol.
C = 299.000 km/s
Medidas da Velocidade da Luz. Michelson-Morley -1887
.)()(
,)(,)(
22 vcLBVtVBt
vcLBDt
vcLDBt
−=→=→
+=→
−=→A *
B
V
D
A = fonte luminosaB = espelho semitransparenteD, V = espelhos L = |BV| = |BD|
Se o éter existisse, a Terra em rotação e revolução mover-se-ia através dele. Um observador na Terra sentiria um vento de éter, cuja velocidade seria V em relação à Terra.
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
http://www.falstad.com/ripple/
Uma conclusão do experimento nulo é que a velocidade a Luz é a mesma em todas as direções e em qualquer referencial inercial.
Medidas da Velocidade da Luz.Experiência de Michelson-Morley -1887
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
http://www.youtube.com/watch?v=Z8K3gcHQiqk&NR=1
Medidas da Velocidade da Luz.
Experiência de Michelson-Morley -1887
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/SpecRel/Flash/MichelsonMorley/MichelsonMorley.html
http://www.falstad.com/ripple/
O que é o Tempo?
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
Isaac Newton (1642-1727) Tempo é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa. Princípios Matemáticos da Filosofia Natural
Albert Einstein (1879- 1955) tempo é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
Tempo é o que um relógio marca!
Relógio, qualquer objeto que forneça uma série de acontecimentos que possam ser contados.
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
O que é o Espaço?
Isaac Newton (1642-1727) Espaço é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADEESPECIAL
O espaço absoluto, considerando na sua própria natureza sem relação a qualquer coisa externa, permanece sempre homogêneo e imóvel: o espaço relativo é uma dimensão ou medida do espaço móvel. Princípios Matemáticos da Filosofia Natural
Albert Einstein (1879- 1955) Espaço é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL
Espaço de um corpo é o conjunto de todos prolongamentos do corpo!
“Não podemos falar de espaço de uma maneira abstrata, mas tão somente de espaço que pertence a determinado corpo. Isto é: corpos de referência ou espaços de referências.”
S’
-V
Medidas de um Evento
“ Todos os nossos julgamentos com respeito ao tempo são sempre julgamentos de eventos simultâneos. Se eu digo: ‘Este trem chega aqui às 7 horas’, estou querendo dizer algo como: ‘O ponteiro pequeno do meu relógio indicar 7 horas e o trem chegar aqui são eventos simultâneos”.
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/flashlets/lightclock.swf
V
S’
Medidas de um Evento
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/flashlets/lightclock.swf
Clocks http://webphysics.davidson.edu/course_material/py230l/relativity/relativity-ex1.htm?D1=0.004 http://www.physics.nyu.edu/~ts2/Animation/special_relativity.html
#
O relógio de luz :A relatividade do tempo
relógios
021 tcD ∆=
MOVIMENTO
222
2
21
2DtvtcL +
∆=
∆=
x
y
z
x′
y′
z′
),,,( tzyxP =
),,,( tzyxP ′′′′=′
O
O′
xvv ˆ=
As transformações de Lorentz
Frentes de ondas esféricas
As transformações de Lorentz
2
11
γβ
≡−
vtxx −=′
tt =′
vdtdx
tdxd −=
′′
vvv SS −=′
transformação de Galileu:
( ) ;x x vtγ′ = − ;y y′ = z z′ =
2( )vt t xc
γ′ = −
Para v << c temos que a transformação de Lorentz reduz-se à transformação de Galileu.
•Para que se tenha frentes de ondas esféricas, com velocidade c, nos dois sistemas de coordenadas, pode-se demonstrar que as medidas de tempo e espaço nos dois sistemas de coordenadas devem satisfazer as Transformações de Lorentz:
v cβ ≡
Os postulados de Einstein e a transformação de Lorentz
A teoria da Relatividade Restrita, ou Especial, baseia-se nos dois postulados seguintes:
P1. As leis da Física são as mesmas em todos sistemas de referência com velocidade relativa constante.
P2. A velocidade da luz no vácuo não depende do movimento de sua fonte.
P1 é satisfeita pelas leis de Newton, com a transformação x’ = x – vt, ,mas não pelas leis de Maxwell: se a velocidade da luz é c em S, ela será c - u em S’. Portanto essa transformação de coordenadas precisa ser substituída.
P2 implica que uma onda esférica de luz, emitida no tempo t = t’ = 0, no ponto O = O’ , no intervalo Δt atingirá a esfera em S e no intervalo Δt’ atingirá a esfera S’.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2( ) ( )
c t x y z
c t x y z
∆ − ∆ − ∆ − ∆
′ ′ ′ ′≡ ∆ − ∆ − ∆ − ∆
A identidade deve valer não apenas para a emissão e recepção da luz, mas para os incrementos entre dois eventos quaisquer
A relação acima entre as condições físicas, (t, x, y, z) e (t’, x’, y’, z’) devem obedecer à chamada transformação de Lorentz entre os sistemas S e S’ , cuja velocidade relativa |v| deve ser menor que c:
2
2
2
/1 ( / )
1 ( / )
.
t vx ctv c
x vtxv c
y yz z
−′ =−
− ′ =−
′ =′ =
etc.) ,( 12 ttt −=∆
Significa que :
Referências TEORIA DA RELATIVIDADE PARA
PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO¹
Curso de Extensão – Março 2006
Helio V. FagundesInstituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista
Carlos Eduardo Aguiar - Instituto de Física-UFRJ
