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I n t r o d u l n t r o d u t : i o a Teoria

da Probabilidada

DE

.

r FUNDO E',72R,AL

Batschelet- lntroduo Matematica para Biocientistas Bensa"ld- A Censuita Medica Bingham/Davies- Manual de Anlise de Sistemas Buecken- Vocabulrio Tcn ico - Portugus, I ngls, F rances e Alemao Coutinho - Jardim, Horta e Pornar Dacorso- Elementos de Geometria Diferencial Dawson/Wool - De Bits ate lf's - Urna lntrodU

r -

,

lntrodu~ao a Teoria

da Probabilidade

Paul G. Hoel Sidney C. Port

Charles J. Stone

Universidade da Califrnia- Los Angeles

TRADUCAO

Fernando Yassou Chiyoshi

'

EOlTORA INTERCIENCIA

ltlDA A ~~ IDAnE . fEDERAL DE RONDONA .8 1 LIOTCCA

, Copyright 1971 by Houghton Mifflin Company Published in the United State by Houghton Mifflin Company under the title lntroduction to Probability Theory. Direitos reservados em 1978 por

Editora lnterciencia Ltda. Rio de Janeiro, Brasil

Programa~o Visual- lnterciencia Arte Capa - l nterciencia Art e Composiao do texto - l nterciencia

CIP-Brasil. Catalogac;:ao-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ .

Hoel, Paul G. H634i lntroduc;:ao a teoria da probab ilidade l Pa ul G. Hoel, Sidney C. Port ,

78-0330

Charles J . Stone; traduc;:ao l de l Fe rnando Yassou Chiyoshi. - Rio de Jane iro : lnterciencia , 1978.

Traduc;:ao de : lnt roduct ion to probability theory Bibliog raf ia

1. Proba bi lidades l. Port, Sidney C. 11. Stone, Char les J. III. Tftulo

COD- 519 CD U - 519

E pro ibida a reproducio total ou parcia por quaisquer meios sem autoriza~o por escritoda editora

11 EOlTORA INTERCitNCIA LTDA. ~ Rua Verna Magalhaes, 66- Tels.: 281-7495/263-5899 - ZC-16- 20000- Rio de Janeiro- Srasil

-

PREFACIO

O propsito deste volume e servir como urn texto, para curso de urn trimestre

ou .urn semestre, sobre teoria da probabilidade a nivel junior-senior. O material

foi planejado para dar ao leitor prepara~ao adequada, tantopara urn curso de estatis-tica com o para es tu dos mais avan~ados de teoria da probabilidade e processos estocas-ticos . O pre-requisito para este volume e urn curso de ccilculo elementar que inclua

integra~ao multipla. Dedicamos esfor~os para apresentar somente os conceitos mais importantes

da teoria da probabilidade. Tentarnos explicar esses con~eitos e indicar sua utilidade atraves de discussao, exemplos e exercicios. Alguns detalhes foram incluidos nos exemplos, de modo que sepode esperar, que o estudante os leia por conta prpria,

deixando assim ao instrutor mais tempo para cobrir as ideias essenciais e resolver urn numero considenivel de exercicios em sala.

Ha urn grande numero de exercicios ao fina de cada capftulo, dispostos de acordo com a ordem em que o material relevante foi introduzido no texto. Alguns desses exercicios sao de natureza rotineira, enquanto outros desenvo!vem

as ideias introduzidas no texto de forma urn pouco mais profundll. ou em dire~ao urn pouco diferente. Oferecemos sugestoes para problemas mais dificies. Respostas,

quando nao sao indicadas no prprio enunciado dos problemas, sao fornecidas ao fina do livro.

Embora a maior parte da materia neste volume seja essencia para estudo mais avan~ado de probabilidade e estatistica, algurn material opcional foi inclufdo para dar maior flexibilidade. Essas se~oes opcionais sao indicadas atraves de urn asterisco. O material da Se~ao 6.2.2 e necessario somente para Se~ao 6.6 ; nenhuma dessas se~oes e necessaria para es,te volume, mas ambas sao necessarias em lntrodu~ao a Teoria Estatfstica. O material da Se~ao 6. 7 e usado somente na demonstra~ao do Teorema l do Capituo 9 deste volume e Teorema 1 do Capituo 5 de Introdu~ao a Teoria Estatistica. Os conteudos dos capitulos 8 e 9 . sao opcionais; o Capituo 9 nao depende do Capituo 8.

Desejamos agradecer a diversos colegas que leram o manuscrito original e

fizeram sugest6es, nos levando a urn melhor resultado. Gostariamos, tambem,

de agradecer a Neill Weiss e Luis Gorostiza por terem resolvido e da::> respostas a todos os exercicios e a Sra. Ruth Goldstein pelo excelente trabalho de datilografia.

iNDICE

l. ESPA

5. VARIAVEIS ALEATRIAS CONTINUAS ....................... 111

5.1 Variaveis aleatrias e suas func;:6es de distribuic;:ao ................ 112

5.1.1 Propriedades de func;:oes de distribuic;:ao ........... ....... . 114

5.2 Densidades de variaveis aleatrias continuas .................... 117

5.2. 1 Frmulas de mudanc;:a de variavel ....................... 119

5.2.2 Densidades simetricas ............................... 125

5.3 Densidades norma!, exponencial e gama ....... . ......... .. .... 127

5.3.1 Densidades normais ........................ ...... .. 127

5.3 .2 Densidades exponenciais ...... ....................... 129

5.3.3 Densidades gama .................................. 131

*5.4. Func;:oes inversas de distribuic;:ao ............................ 134

6. VARIAVEIS ALEATRIAS COM DISTRIBUI

--"9. CAMINHOS ALEATRIOS E PROCESSOS DE POISSON ............ 225

9.1 Caminhos aleatrios ... . .............................. 225

9.2 Caminhos aleatrios simpies ............ . ..... . .......... 229

9.3 Construcrao de urn processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.4 Distancia a particulas .................................. 238 9.5 Tempos de espera .............................. .. .... 240

RESPOSTAS DOS EXERClCIOS .............................. 249

TABELA I .......... . ............. ... .................. 261

INDICE ............................................... 265

ESPA

2

"cerca de" lOOp por cento das vezes. Esta interpretayao e chamacta interprcta5o de freqtiencia relativa. Ela e muito natural em diversas aplicay6es da teoria a probabilidade aos problemas do mundo real, especialmente aqueles que envolvem as ciencias ffsicas , porem freqtientemente parece ser bastante artificial. Por exemplo. como podeamos dar urna interpretayao de freqtiencia relativa para a probabilidade de que urna crianya recem-nascida viva pelo menos 70 anos? Varias tentativas foram

feitas , nenhuma delas totalmente aceitavel, para dar interpretay6es altemativas a tais assery6es probabilfsticas.

Para a teoria matematica da probabilidade, a interpretayao de probabilidades e irrelevante, exatamente como e irrelevante, na geometria, a interpretayao de pontos, retas e planos. Usaremos a interpretayao de freqtiencia relativa para probabilidades, apenas, como urna motivayao intuitiva para as defmiy6es e teoremas que desenvol-veremos ao longo do livro.

1.1. EXEMPLOS DE FENMENOS ALEATRIOS

Nesta seyao discutiremos dois exemplos simpies de fenornenos aleatrios com o objetivo de motivar a estrutura formal da teoria.

Exemplo l. Urna caixa eontern 5 bolas identicas, porem numeradas de l a 5. Consi-dere o seguinte experirnento. As bolas sao bem misturadas dentro da caixa e urna

pessoa retira urna bola. Anota-se o numero da bola, recolocando-a na caixa. O resul-tado do experirnento e o numero da bola selecionada. Nao podemos fazer nenhuma previsao nao-trivial sobre este experimento.

Suponha que repetirnos n vezes o experirnento acima. Denote por Nn(k) o numero de vezes que a bola de ntimero k foi retirada nos n ensaios do experi-mento. Adrnita que tenhamos, s = 3 bolas e n = 20 ensaios. Os resultados destes ~O ensaios poderiam ser descritos listando os numeros que apareceram na ordem em que foram observados. Urn resultado tfpico poderia ser

l, l , 3, 2, l , 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, l , 2, 3, 3, l , 3, 2, 2,

e neste aso terfarnos

e

As freqli encias rclativas (isto e, proporyao de vezes) dos re suitados l, 2 e 3 sao entao

N2o(l ) = O 25 20 ' '

N 2o (2) = 0 40 20 ' ' e 0,35. A medida q ue o numero de ensaios aumenta, espera-se que as freqtiencias rela-

tivas N n (1)/n , ... , N n (s)jn se ajustem a alguns numeros fixos p 1 , p 2 , , Ps (que, segundo nossa intuiyao, neste caso, deveriam ser iguais a 1/s).

Pela interpretayao de freqliencia relativa, o numero Pi seria a probabi-lidade de que a i-esima bola seja retirada quando o experimento e realizado umavez (i=l,2, ... ,s).

.. l

r l

Construiremos agora urn modelo matematico para o experimento de retirar urna bola da caixa. Para isto, tornarnos prirneiro urn eonjunto n contendo s pontos que colocarnos em correspondencia biun1voca com os poss1veis resultados do experirnento. Nesta correspondencia exatamente urn ponto de ,Q e stani associado com o resultado de que a bola com o numero k seja selecionada. Chamernos este ponto wk. Associemos ao ponto wk o numero Pk = 1/s chamando-o de pro-babilidacle de W k . Observamos de irnediato que O~ Pk ~ l e que p 1 + + Ps = l.

Suponha agora que alem de serem numeradas de l a s, as r prirneiras bolas, sao pintadas de vermelho e, as s - r restantes, sao piEtadas de preto. Realizamos o experirnento como antes, mas agora estamos interessados apenas na cor da bola e nao no seu numero. Urna rapida reflexao mostra que a frequencia relativa de bolas vermelhas retiradas nas n repetic;:oes do experirnento e sirnplesmente a soma das frequencias relativas Nn(k)/n, sobre os valores de k, que correspondem a bolas vermelhas. Esperaamos, e a experiencia confim1a, que para n grande, esta fre-quencia relativa se ajustasse a algurn numero fixo. Como, para n grande, espera-se

que as frequencias relativas Nn(k)/n estejam prxirnas de Pk = 1/s, antecipar1amos que a frequencia relativa de bolas vermelhas se aproxirnaria de rjs. Novamente a experiencia eonfirma este fato. Segundo a interpretac;:ao de frequencia relativa, chamarfamos entao r/s de probabilidade de obter urna bola vermelha.

Vejamos como podemas incorporar este fato no nosso modelo. Seja A o subconjunto de n, consistindo daqueles pontos Wk tais que a bola k e vermelha. Entao A eontern exatamente r pontos. Chamarnos A um evento. De urna forma mais geral, nesta situac;:ao, chamaremos qualquer subconjunto B de ,Q urn evento. Dizer que o evento B ocorre, significa que o resultado do experirnento e repre-sentado por algurn ponto de B.

Sejam A e B dois eventos. Lembre-se que a uniao de A e B, A u B , e o eonjunto de t od os os pontos w E ,Q tais que w E A o u w E B. Agora os pontos em n estao em correspondencia com os resultados do nosso experirnento. O even o A ocorre se o experirnento produz urn resultado que e representado por algurn ponto em A, e analogamente o evento B ocorre se o resultado do experime ::: e representado por algurn ponto em B. O eonjunto A U B representa, e:1 "'o. o~:: que o evento A ocorre ou o evento B ocorre. De forma simi.:ar. A n B de A e B consiste de todos 0s pontos q ue es ta o tan to e:n A ..,_ =-: ~ ~ Assirn se w E A n B entao w EA e wEB de modo que A B de que ambos os eventos A e B ocorrem. O complemen o A c eonjunto de pontos em ,Q que nao estao e m A. O e e--~ .~ - :~ --~ experimento produz urn resultado representado por

Em urn diagrama, se A e B sao repres.er.c:.=.:. ?=: ==--~ Figura la, entao A U B, A n B, e A c sao representados pelas regi5es sombrea nas Figuras l b, l c e l d, respectivamen te.

3

4

1a 1b Q Q

@=> .u.

1c Q ll

~n Figura l

Para ilustrar estes conceitos seja A o evento "bola vermelha selecionada" e seja B o evento "bola selecionada com urn numero par". En ta o a uniao A U B e o evento em que foi selecionada urna bola vermelha ou urna bola com numero par. A intersec;:ao A n B e o evento "selec;:ao de bola vermelha com numero par". O evento A c ocorre se na o foi selecionada urna bola vermelha.

Gostariamos agora de associar probabilidades aos eventos. Matematicamente,

isto significa simplesmente que associamos a cada eonjunto B urn numero real. A priori podedarnos fazer isto de urna forma arbitniria. Entretanto, estaremos restringidos, se desejarmos que estas probabilidades reflitam o experimento que estamos tentando modelar. Como deverfamos fazer esta associac;:ao? Ja associamos a cada ponto o numero s- 1 . Assim, a urn eonjunto de urn unico ponto {w } deveria ser associado o numero s- 1 . Agora, de nossa discussao sobre a freqiiencia relati a

do evento "extrair bola vermelha", parece que devemos associar ao evento A a probabilidade P(A) = r/s. De urna forma mais geral, se B e urn evento qualquer, definiremos P(B) atraves de P(B) = jfs, se B tern exatamente j pontos. Obser-vamos entao que

P(B) L Pk, Wk E B

onde 'iwk E B Pk significa que somamas os numeros Pk sobre os valores de k tais que wk EB. Da nossa definic;:ao de P(B) segue-se facilmente que as afmnac;:oes seguintes sao verdadeiras. Deixamos sua verificac;:ao para o leitor.

Seja 1/J o eonjunto vazio; entao P(I/J) = O e P(fl.) = l . Se A e B sao dois conjuntos disjuntos quaisquer, isto e, A n B= 1/J entao

P(A U B)= P(A) + P(B).

!

. ,A

J.

.Exemplo 2. Sabe-se de experimentos fisicos que ~ istopo de urna certa subs-tiincia e inst:ivel. Com o passar do tempo ele se degrada para urna forma mais est:ivel atraves da emissao de neutrons. Estamos interessados no tempo que um :itom de urn istopo leva para se degradar a forma est:ivel. De acordo com as !eis da fisica e impossfvel dizer com certeza quando urn :itomo especffico se desintegrar:i , mas se observamos urn numero N de :itomos, podemos fazer algumas previsoes precisas sobre o numero N(t) de :itomos que nao se desintegram ate o tempo t. Em outras palavras, podemos prever, com bastante precisao, a fra9ao N(t)/N de :itomos que nao se desintegram ate o tempo t, mas nao podemos dizer quais os :itomos que permanecerao inalterados. J:i que todos os :itomos sao identicos, observar simul-

taneamente se N atomos seria equivalente a N repeti96es do mesmo experimento onde, neste caso, o experimento consiste em observar o tempo que urn :itomo leva para se desintegrar.

Em primeira aproxima9ao (que e na realidade bastante precisa), a taxa com

que o istopo se desintegra, no tempo t, e proporcional ao numero de :itomos presentes no tempo t, de modo que N(t) e dado aproximadamente pela solu9ao da equa9ao .diferencial

d f d t

-Aj(t), f(O) = N,

onde /.. > O e urna constante de proporcionalidade . A solu9ao unica desta equa9ao e f (t) = N e-At, de modo que , a fra9ao de atom os que nao se desintegram ate o tempo t, e dada aproximadamente por N(t)/N = e-"1-.t. Se O .;:;;; t 0 .;:;;; t 1 , a fra9ao de :itomos que se desintegram no intervalo de tempo [to , t!] e (e-At o - e-"1-.t, ). Consequentemente, de acordo com a interpreta9ao de probabilidade como frequencia relativa, tornarnos (e -"1-.t o - e-"1-.t') com o a probabilidade de que urn :itomo se desintegre entre os tempos t 0 e t 1 .

Para fazer urn modela matematico des te experimento podemas tentar proceder corno no exemplo anterior. Primeiro escolhemos urn eonjunto Q que possa ser posto em correspondencia urn a urn com os possfveis resultados do experimento. Urn resultado, neste caso, e o tempo que urn atomo leva para se desintegrar. Ele pode ser qualquer numero real positivo, assirn tornarnos Q como sendo o intervalo [0, oo) sobre o eixo dos numeros re ais. De nossa discussao acima p arece razoavel associar a probabilidade (e - "1-.to - e- "1-.t,) ao intervalo [t0 , t 1 ]. Em particular, se t 0 = t 1 =t, o intervalo se degenera no eonjunto {t} e a probabilidade associada a este eonjunto e O.

No exemplo anterior Q tinha apenas urn numero finito de pontos; entre-tanto, aqui Q tern urn numero infinito (nao enumer:ivel) de pontos e cada ponto tern probabilidade O. Observamos novamente que P(Q) = I e P(cf>) =O. Suponha que A e B sejam dois intervalos disjuntos. Entao, a proporyao de :itornos que se desintegram no intervalo de tempo A U B, e a soma das propor96es de atomos que se desintegram no intervalo A e no intervalo B. A luz desta aditividade exigimos

que no nosso modela matematieo A U B tenha a probabilidade P(A) + P(B) a ele associada. Em outras palavras, no nosso modela matematieo desejamos que

P(A u B ) = P(A) + P(B) sempre que A e B forem intervalos disjuntos.

1.2. ESPA

l

climulo da tolice dizer que podemos falar em probabilidade de A mas nao 11 :1 probabilidade de A c. Assim exigiremos que A c es tej a e m A sempre que s-f estiver e m A c.

Chegarnos assim a eonelusio de que s-f deve ser urna coleyao nao vazia de subconjuntos de Q ten do as seguintes propriedades:

(i) Se A esta em s-f tamhem esta em A c. (ii) Se A e B estao em s-f, A u B e A n B tambero estao

Urn simpies argumento indutivo m ostra que se A 1 , A 2 , , A n sao conjuntos eros-f, U?;t A; e n?;t A; tambero o sao. Aqui, usamos a notayaO abreviada

e

n U A; = A 1 u A 2 u u A" i; l

n n A; = A 1 n A 2 n n A". i; l

Ja que A n Ac =

Defmi~o l. Diz-se que urna eole9iiO nao-vazia d de subconjunto de n e urna a-algebra de subeonjuntos de n, desde que, as seguintes propriedades sejam sa tisf e i t as:

(i) Se A esta em d , A c tamhem esta em d. (ii) SeAn estaemd,n=l,2, .. . ,enti'io U:'=tAn e n:..lAn tamhem

estao em d.

Chegarnos agora ao probierna de assoeiar probabilidades aos eventos. Deixamos claro nos exemplos da se~ao anterior que a probabilidade de urn evento e urn numero real . nao-negativo. Para urn evento A , seja P(A) a sua probabilidade. Entao O ~ P(A) ~ l. Ao eonjunto n representando todos os resultados possiveis deve, naturalmente , ser assoeiado o numero l , de modo que P(n) = l. Mostramos na diS

~ dScu.ssao deste experimento. Simplesmente tornarnos n como sendo urn eon ~ ..;: :o -- to contendo s pontos, d como sendo a cole~ao de todos os subconjuntos

e !2 e P como sendo a medida de probabilidade que associa a probabilidade . A =:s ao evento A se A eontern exatamente j pontos.

C remos agora o espar;:o de probabilidade associado ao experimento :... ..:=v- -~~o de istopo (Exemplo 2). Neste caso, e claro que n = [0, ""),

e tac bi o o que d e P devem ser. Na verdade, como indicaremos ~-- __ .z-"" e, de modo algum, urn probierna trivial, e sim urn probierna em que .:.._: ~ _...zs r21Ilificay5es dependem de algumas propriedades da teoria dos eon-

-. . 2 . .::2o ern do escopo des te livro.

_ , ~ - no entanto e clara: quaisquer que sejam as escolhas de d e P, ~=- :o dos os intervalos e P deve associar a probabilidade (e-At o - e-ll.t')

: : 0 , t 1 ], se desejamos que o espar;:o de probabilidade que e starnos _ -.: . :-eLita a situayao fisica. Entao o probierna de construir urn espar;:o

~ ::o seguinte problema, puramente matem:Hico: Existe urn a-algebra : - =-- ;." od os os intervalos . e urna medida de probabilidade P definida -.-= :::sso...."ia a probabilidade desejada P(A) a o intervalo ? Problemas

-= - =s-'= no dominia de urn ramo da matematica avanr;:ada chamada teori!l

e -:: ?odem ser tratados ao nfvel deste livro. Re suitados da teoria da e a resposta a este probierna particular e a outros de mesma

=- .. .:;a. tais construy5es sa o sempre possiveis .

. ,-: - . ::C:rremos ern construr;:oes de espar;:os de probabilidades em geral.

- -~~ -a da probabilidade comer;:a com urn espar;:o abstrato de proba--: :: :.: "_ . "ve a teoria u san do o e sp ar;: o de probabilidade com o urna base

::! - =~ -;- . ~.:.;:::~ cando a formar;:ao de urna base para defmir precisamente outros ~ ' : os na teoria, o espar;:o de probabilidade desempenha urn p apel

- - :;::~.._-=:: ::o esenvolvimento subseqiiente da teoria. Quantidades auxiliares - -:e ~ eis aleatrias, urn conceito abordado no Capituo 3) se trans-:~=- -. ~:::e em terna dominante da teoria e, o espar;:o de probabilidade

plano secundario. d.iscussao de espar;:os de probabilidade construindo urna

espayos de probabilidade denaminados esparos uniformes

. .;.:.~...:::... ?- : , e:mas mais antigos em probabilidade en volvem a jdeia de escolher p

lO

e associamos ao eonjunto A a probabilidade P(A) = jfs se A e urn eonjunto que eontern exatamente j pontos. Tal espa~o de probabilidade e charuado esparo simetrico de probabilidade porque cada eonjunto com urn ponto tern a mesma probabilidade s-1 Voltaremos ao estudo de tais espa~os no Capituo 2.

Suponha agora que S e o intervalo [a, b] sobre o eixo real, on de - 00 < a < b < + 00 Neste caso, parece razoavel medir o "tamanho" de urn sub-conjunto A de [a, b] atraves do seu comprimento. Entao, dois conjuntos sao do mesmo tamanho se tiverem o mesmo comprimento. Representaremos o com-primento de urn eonjunto A por lA 1.

Para construir urn espa~o de probabilidade para o experimento de"escolher ao acaso urn ponto S" procedernos de maneira semelhante aquela adotada para . o experimento do istopo. Tornarnos n = S e lan~arnos mao dos resultados da teoria da medida, que mostram que existe urn a-algebra .91 de subconjun:tos de S e urna medida de probabilidade P defmida em .91 tal que P(A) = lA l l l S l sempre que A e urn intervalo.

De urna forma mais geral, seja S urn subconjunto qualquer do espa~o Eucli-diano r-dimensional, ten do urn volume r-dimensional fillito e nao nulo. Seja lA l o volume de urn subconjunto A de S. Entao, existe urri a-algebra .91 de sub-conjuntos de S que eontern todos os subconjuntos de S que possuem volumes a eles associados como em calculo e urna medida de probabilidade P definida em .s;(, tal que P(A) = l A l l l S l para qualquer eonjunto A. Tal espa~o sera desig-nado esparo uniforme de probabilidade e representado por (S,d,P).

1.3. PROPRIEDADES DAS PRO BABILIDADES

Derivaremos nesta sec;:ao algumas propriedades adicionais de uma t.;('lida de probabilidade P que decorrem de sua prpria defini~ao. Estas propriedades serao usadas constantemente ao longo do restante deste livro. AssU111.L.nos "v~ seja dado algurn espac;:o de pro babilidades (n, .91, P) e que todos os conjur,ws . em discussao sao eventos, isto e, mernb.ros de d .

Para urn eonjunto qualquer A ternos A U A c = n e assim para dois con-juntos quaisquer A e B ternos a decomposi~ao de B :

r (l) B=n n B=(AUAc)nB=(AnB)U (Ac n B). ' ,,, '

Urna vez que A n B e AC n B sao disjuntos, vemos que de (iii) da:Defi- ' "' ni~ao 2 que ,, ' 1' " (2) P(B) = P(A n B)+ P(Ac n B). Fazendo B= n e lembrando que P(n) = l, concluirnos ,de (2) que (3) P(AC) =l- P(A). Em particular P(rp) = l -P(n), de modo que (4) P(rp)=O.

Como urna segunda aplicas:ao de (2), suponha que A C B. Entao A n B = A e por~anto

(5) P(B) = P(A) + P(Ac n B) se A C B. Ja que P(Ac n B);;;. O em virtude de (ii), vemos de (5) que (6) P(B);;;.P(A) se A CB.

As leis de De Morgan estabelecem que se {An} qualquer de conjuntos, entao

n ;;;. l' e urna sequencia

(7)

e .

(S)

Para ver que (7) e verdadeiro, observe que OJ E CUn ?. l AnY se, e somente se, w f$. An para qualquer n, isto e, w E A~ para todo n;;;. l, ou equivalentemente OJ E n. A~ . Para estabelecer (8) aplicamos (7) a {A~} , obtendo

.(y A~r = 0 A., e tomando o complemento vemos que

Y A~= ( 0 A"r Urna relas:ao u tU que decorre de (7) e (3) e

(9) P ( y A n) = l - P ( 0 A~) . Mas Un An e o evento de que pelo menos urn dos eventos An ocorre, enquanto n. A~ e o evento de que nenhum desses eventos ocorre. Em palavras, (9) afirma que a probabilidade de que pelo menos urn dos eventos An ocorra e l menos a probabilidade de que nenhum dos eventos An ocorra. A vantagem de (9) e que em algumas situas:5es e mais facil deterrninar P(n. A~) do que P(U" A.). [Note que desde que os eventos A n nao sao necessariamente disjuntos, nao e verda-deiro que P(Un A.) = Ln P(An). ] O exemplo a seguir Hustra com propriedade o uso da expressao (9).

Exemplo 3. Suponha que se lance tres moedas identicas e perfeitamente equilibradas. Deterrnine a probabilidade de obter pelo menos urna cara.

Representando cara por H e coroa por T, existem .oito resultados possiveis para este experimento

MOEDA l H H H H T T T T MOEDA 2 H H T T H H T T MOEDA 3 H T H T H T H T

11

A intui9ao sugere que cada urn desses resultados deve ter a pro a ilida e de ocorrencia 1/8. Seja A 1 o evento de que a primeira moeda apresenra ara. .4= o evento de que a segunda moeda apresenta cara e A 3 o evento de que a te eira moeda apresenta cara. O probierna pede a determina9ao de P(A 1 l.J A= A 3 ).

PoremA~nA~nA~={ T,T,T} eassirn P(A ~ n A~ n A~) = l /8;

portanto (9) implica que P(A 1 U A 2 U A 3 ) = l - P(A ~ n A~ n A~) = 7/8.

O postulado basico (iii) sobre medidas de probabilidade diz-nos que P(A u B)= P(A) + P(B), para conjuntos disjuntos A e B. Se A e B nao sao necessariamente disjuntos, entao

(lO) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) e conseqiientemente

(11) P(A UB)";; P(A) + P(B). Para ver que (lO) e verdadeiro, observe que os conjuntos A n Be, A n B,

A c n B sao mutuamente disjuntos e sua unia o e sirnplesmente A U B ( ver Figura 2). As sim

(12) P(A UB) =P(A n Be) +P(Ac n B) +P(A n B). Entretanto, em virtude de (2)

P(A nBc) =P(A) -P(A n B) e

P(Ac n B)= P(B)- P(A n B). Substituindo essas express5es em (12), obtemos (10).

A

Figura 2

As expressces (10) e (11) estendem-se para qualquer numero fmito de eon- . juntos. O anlilogo da frmula exata (l O) e urn tan to complicado e sera discutido no Captulo 2. Entretanto, a desigualdade (11) pode ser estendida facilmente por indu9ao, obtendo-se

n

(13) P(Al U A2 U U An) L P(A;). i= l

12

Para demonstra-lo, observe que se n~ 2, entao por (11)

P(At u .. u An) = P((At u .. u An-t) u An) ::::;; P(At u u An-t) + P(An).

Portanto se (13) e verdadeiro para n - l conjuntos, tamhem o e para n conjuntos. Ja que (13) e claramente verdadeiro para n = l, o resultado fica de-monstrado por indu9ao.

Ate aqui usamos o fato de que urna medida de probabilidade e fmitamente aditiva. O resultado seguinte usa a aditividade enumenivel.

(14)

Teorema l. Sejam os eventos A n, n~ l.

(i) Se A 1 c A 2 c e A = U:'= 1 A., entao lim P(An) = P(A) .

(ii) Se A 1 ::J A 2 ::J e A= n:= t A., entao (14) se verifica tambem. Dernonstrayao de (i). Suponha que A 1 CA 2 C e A = U~ 1 An.

Seja B 1 = A 2 e para todo n~ 2, seja B n o eonjunto de pont9s que estao em A n mas nao em A n- 1 , isto e, B n= A n n A~- 1 . Urn ponto w esta em B n se e som e me se, w es ta em A e A n e o primeiro eonjunto da seqtiencia A 1 , A 2 , q ue on tern w. Por definiyao os conjuntos B n sao disjuntos,

e 00

A= U Bi. i = l

Conseqi.ientemente n

P(An) = L P(Bi) i ::::; l

e 00

P(A) = L P(BJ i = 1

Mas n oo

(15) lim L P(Bi) = L P(Bi) n-+ co i= l i= l

de acordo com a defmi9ao da soma de urna serie infmita. De (15 ), segue-se que n

lim P(An) = lim L P(B;) n ...... oo n-+ oo i::;;l

00 L P(B;) -= P(A), i= l

de modo q ue (1 4 ) e verdadeiro.

J

l .f

srra~o de. (ii). Suponha que A 1 ~A 2 ~ e A~::.::: A~ C e em virtude de (8)

A

Assim pelo item (i) do teorema

(16)

Como P(A~) =l -P(A 11 ) e P(Ac) =l -P(A), segue-se de (16) que

!im P(An) = !im (l - P(A~)) n-+ co n- co

!im P(A~)

e novamente (14) se verifica.

1.4. PROBABILIDADE CONDICIONAL

Considere urna caixa contendo r bolas vermelhas numeradas de l a r e b bolas pretas numeradas de l a b. Suponha que a probabilidade de extrair qualquer bola e (b + r t l. Se sabe!lJOS que a bola extraida e vermelha, qual a probabilidade de que seu numero seja l? Uutra maneira de formular este probierna e como segue. Seja A o evento de que a bola selecionada e vermelha e seja B o evento de que o numero da bola selecionada e urn. o probierna entao e determinar a probabilidade do evento B ter ocorrido, da do que ocorreu o evento A. Este probierna nao pode ser resolvi do sem ter urna definiyao precisa da probabilidade condicional de urn

evento, dado urn outro evento. Esta definiyao e a seguinte:

(17)

Defini~o 3. Sejam dois eventos A e B tais que P(A) > O. Entao define-se a probabilidade condicional de B da do A, representada por P(B l A), com o sen do

P(B ' A) = P(B 0 A) . P(A)

Se P(A) =O, a probabilidade de B dado A e indefmido. A dcfiniyao acima pode ser facilrnen te motivada pela interpretayao de pro-

babilidades como freqilencias relativas. Considere urn experimento que e repetitivo urn grande nurnero de vezes. Sejam N 11 (A) , N 11 (B) e N 11 (A n B) o numero de vezes que os even tos A , B e A n B ocorrem em n repetiy6es do experimento. Se registrassemos somente os cxperimentos em que A ocorre , terfarnos N 11 (A)

l

;;.2s B ocorre Nn(A (') B) vezes. Assim, a proporyao de vezes ue 3 . e -es:e:s Sn(A) experimentos e Nn(A n B)/Nn(A). Mas

N"(A n B) N"(A)

N"(A n B)/n Nn(A)/n

e - para >-alores grandes de n es ta fra9ao deve estar prxima de P(A n B)/P(A ). C o primeiro exemplo do uso de (17) resolvemos o probierna proposto

o come~ desta se9ao. Ja ue n eontern b + r pontos, cada urn com probabi-.da e b+ r)- 1 vemos ue P(A) = r(b + rt 1 e P(A (')B)= (b+ r)- 1 . Assim

l P(B lA)=-.

r

Esta probabilidade deve ser comparada com a probabilidade "incondicional" de B uee P(B) = 2(b + rt 1 Exernplo 4. Considere o lanyamento de duas moedas identicas e perfeitamente

equilibradas.

(a) Determine a probabilidade condicional de obter duas caras, dado ue se obteve cara na primeira moeda.

b) Determine a probabilidade condicional de obter duas caras, dado ue se obteve pelo menos urna cara.

Para resolver estes problemas, tornarnos o espa9o de amostra n consistindo de uatro pontos HH, HT, TH, TT, cada urn com probabilidade 1/4. Seja A o evento de obter cara na primeira moeda e B o de obter cara na segunda. Para resolver (a) determinamos

P(A n B l A)= P(A n B)/P(A) = (1/4)(1/2) = 1/2. Para resolver (b) determinamos

P(A n B l A U B)= P(A n B)/P(A U B)= (1/4)/(3/4) = 1/3. Nos exemplos acima, o espayo de probabilidade era especificado e usamas

(17) para determinar diversas probabilidades condicionais. Entretanto, em muitos

problemas procedernos realmente na direyao oposta. Partindo do conhecimento

antecipado de valores ue algumas probabilidades condicionais devem assumir, usamos essa inforrnayao para deterrninar a medida de probabilidade em n. Apre-sentamos seguir urn exemplo tipico dessa situayao. Exemplo 5. Suponha que a populayao de urna certa cidade e constitu{da por 40% de homens e 60% de mulheres. Suponha ainda que 50% dos homens e 30% das

mulheres sao fumantes . Determine a probabilidade de que urna pessoa ue fuma seja homem.

Representamos por M o evento de que a r-essoa selecionada e homem e por F o evento de que a pessoa selecionada e mulher. Seja S o evento de que a

l -

pessoa seiecionada e fumante e por N o de que a pessoa nao e fumante . Entao os dados do probierna sao: P(S IM) = 0,5;P(S IF) = 0,3;P(M) = 0,4 e P(F) = 0,6. O probierna con.siste em determinar P(M l S). De acordo com (17).

P(M .I S) = P(M 11 S) : P(S)

Mas P(M n S) = P(M) P(S l M) = (0,4X0,5) =. 0,20, de modo que o numeradar pode ser determinado em termos de probabilidades conhecidas. Como S e a uniao de dois conjuntos disjuntos S n M e S n F, segue-se que

P(S) =P(S n M)+ P(S n F) Ja que

P(S n F) = P(F) P(S l F) = (0,6)(0,3) ~ O,J8, Vemos que

P(S) = 0,20 + 0,18 = 0,38 Assim

P(M l S) = ~;~ ~ 0,53. '

O leitor observani que o espayo de probabilidade nunca foi mencionado expli-citamente como tal. Resoive-se este probierna e outros de natureza similar usando a informayao dada e as regras para determinar probabilidades dadas na Seyao 3 para obter as probabilidades desejadas.

E bastante facil construir urn espayo de probabilidade para o exemplo acima. Toma-se para n o eonjunto formado de quatro pontos SM, SF, NM e NF que sao os ii.nicos pontos nos conjuntos S n M, S n F, N n M e N n F, respectiva-mente. As probabilidades associadas a esses pontos nao sao especificadas direta-mente, mas precisam ser determinadas de tal forma que os eventos (S l M), (S l F), M e F tenham as pro babilidades especificadas. Ja determinamos P(S n M)= 0,20 e P(S n F) = 0,18. Deixamos como exerci'cio a determinayao das probabilidades associadas aos outros dois pontos.

O probierna discutido neste exempio e urn caso especial da situa9ao geral que passarnos aconsiderar. Suponha que A 1 ,A 2 , ,An sao n conjuntosmutua-mente disjuntos cuja uniao e n. Seja B em evento tal que P(B) > O e suponha que P(B l Ak) e P(Ak) sao conhecidas para l .,;;; k ..;; n. Qual e o valor de P(A; l B)? Para resolver este probiema, observe que Ak sao conjuntos disjuntos cuja uniao e n, de modo que

B = B 11 cvl Ak) = kvl (B 11 Ak). As sim

n

P(B) = L P(B 11 Ak). k=l

16

L

Mas

de modo que podemos escrever

(18) P(A. l B) = P(A; n B) = P(A;)P(B l A;) ' P(B) L~; 1 P(Ak)P(B l Ak)

Esta frmula, chamada regra de Bayes, tern aplica~ao freqiiente . Urna forma de interpretar o resultado (18) e a seguinte: Suponha que pesemos nos eventos Ak como as possiveis "causas" do evento observavel B. Entao P(A; l B) e a probabilidade de que o evento A; foi a causa de B, dado que B ocorreu. A regra de Bayes tamhem forma a base de urn metodo estatistico chamado metodo Bayesiano que sera discutido no Volumeii,Introdurao a Teoria Estatlstica.

Como ilustra~ao da regra de Bayes, consideramos o probierna seguinte Ga meio elassie o).

Exemplo 6. Suponha que existam tn!s cofres, cada um com duas gavetas. O p meiro tern urna moeda de ouro em cada gaveta, o segundo tern urna moeda de ouro em urna gaveta e urna moeda de prata em outra, e o terceiro cofre tern urna moeda de prata em cada gaveta. Escolhe-se urn cofre ao acaso e abre-se urna gaveta. Se a gaveta eontern urna moeda de ouro, qual a probabilidade de que a outra gaveta contenha tamhem urna moeda de ouro? Pedimos ao leitor que fa~a urna pausa e adivinhe a resposta antes de ler a solu~ao ~ Freqiientemente a resposta errada de 1/2 e dada para este problema.

Resolve-se o probierna f:kil e corretamente usando a regra de Bayes urna vez decifrada a descri9ao. Podemos pensar em urn espa~o de probabilidade em que os eventos A 1 , A 2 e A 3 correspondem as sele~qes do primeiro, segundo e ter-ceiro cofre, respectivamente. Estes eventos sao disjuntos e sua uniao e n, ja que se seieciona exatamente urn cofre. Alem do mais, presume-se que os tres cofres sao igualmente provaveis de serem selecionados, de modo que P(A;) = 1/3, i= l, 2, 3. Seja B o evento de que a moeda observada e de ouro. Entao, da com-

posi~ao dos cofres e claro que e

O probierna pede a probabilidade de que a segunda gaveta contenha urna moeda de ouro, dado que havia urna moeda de ouro na primeira. Isto pode acontecer somente se o cofre escolhido foi o primeiro, assim o probierna equivale ao de deter-minar P(A 1 l B). Agora podemos aplicar a regra de Bayes (18) para obter a resposta que e 2/3. Deixamos ao leitor .:orno exerccio a deterrnina~ao de probabilidacie de que a segunda gaveta contenha urna moeda de prata, dado que a primeira continha urna de ouro.

Para exemplo seguinte consideramos urn esquema simpies de probabilidarle devido a Poiya.

Exemplo 7. Esquema de urna de Polya. Suponha que urna urna contenha r bolas vermelhas e b bolas pretas. Extrai-se urna bola e observa-se a sua cor. A seguir coloca-se na urna a bola extraida juntamente com c > O bolas da mesma cor. Este procedimento ~ , repetido (n - l) vezes. mais, de modo que o numero to tal de extr~5es ~ n.

Seja R1, l ~ j ~ n, o evento de que a j-6sima bola selecionada ~ vermelha e seja B1, l ~ j ~n, o evento de que a j-6sima bola selecionada ~ preta. Natural-mente R1 e B1 sao disjuntos para urn dado j. No momentoda k-6sima extra9ao existem b + r + (k - l)c bolas na urna e assumimos que a probabilidade de sele-cionar qualquer bola particular ~ (b+ r + (k- l)c )-1 . Para determinar P(R 1 n R 2)

escrevmos

Mas

r P(R 1) = -- , b + r e assim

De forma similar

e assim

=(b: r) C::: J + C~ J (b+:+ J= l'

b + r

Consequentemente P(R 2 ) =P(R 1 ) . Ja que

P(B2 ) = l - P(R 2 ) = _ b - , b + r ternos P(B 2 ) = P(B1 ) . Propriedades adicionais do esquema de Polya serao de-senvolvidas nos exerdcios.

1.5. INDEPEND~NCIA Considere urna caixa contendo quatro bolas distintas e urn experimento que

consiste em extrair urna bola da caixa. Assumimos que a extra9ao de qualquer bola e igualmente provaveL Seja S1 = { l , 2, 3, 4 } , cada ponto com probabilidade 1/4.

18

' l

Sejam dois eventos A e B. Para certas escolhas de A e B, o conhecirnento de que A ocorre, aumenta a chance de B ocorrer. Por exemplo, se A = { l, 2l e B= {l}, entao P(A) == 1/2, P(B) = 1/4 e P(A n B)= 1/4. Conseqiientemente P(B l A) = l /2, que e maior que P(B). Por outro lado, para outras escolhas de A e B, o conhecimento de que A ocorre, diminui a chance de B ocorrer. Por exem-plo: se A = { l, 2, 3 l , B = { l, 2, 4 l , etao f( A) = 3/4, P(B) = 3/4 e P(A n B)= 1/2. Portanto P(B l A)= 2/3 que e menor que P(B).

Urn caso muito interessanie ocorre quando o conhecirnento de que A ocorre nao altera a chance de ocorrencia de B. Como urn exemplo disso, seja A = { l, 2} e B = { l, 3 } ; entao P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 e P(A n B)= 1/4, e portanto -P(B l A) = 1/2. Eventos como esses, para os quais as probabilidades condicional e incondicional sao iguais, saochamados eventos independentes.

Sejam A e B dois eventos quaisquer em urn espa~ geral de probabilidade, e suponha que P(A) =l= O. Podemos defmir os eventos A e B como sendo inde-pendentes se P(B l A) = P(B). Com o P(B l A) = P(B n A )/P(A ), vemos que se A e B sao independentes, entao

{19) P(A n B) = P(A) P(B). Com o (19) faz sentido mesmo que P(A) = O e e tamhem sirnetrica em A

e B, ela conduz a urna definiyao altemativa de independencia.

Defmiyao 4. Dois eventos A e B sao independentes se e somente se,

P(A n B) =P(A)P(B). Podemos considerar urn probierna semelhante para tres conjuntos A, B

e C. Seja n = { l, 2, 3, 4 } , c a da p on to com probabilidade l /4. Seja A = { l, 2 } , B = { l, 3} e C= { l, 4} . Deixamos com o exercicio, mostrar q ue os pares de eventos A -e B, A e C e B e C sao independentes. Dizemos que os eventos . A, B e C sao independentes aos pares. Por outro lado, P( C) = l/2 e

P(CIA nB)= l. Assirn, o conhecirnento de que o evento A n B ocorre, aumenta a chance de C ocorrer. Neste sentido os eventos A, B e C nao chegam a ser mutuamente in de-

r pendentes. Em geral tres eventos A, B e C sao mutuamente independentes se sao independentes aos pares e se

P(A n B n C)= P(A)P(B)P(C).

Como exerc1c1o, mostre que se A, B e C sao mutuamente independentes e --t P(A n B) o=/= O, entao P(C l A n B)= P(C).

De urn modo geral, definirnos n > 3 eventos A 1 , A 2 , . , A n com o sen do mutuamente independentes se

19

20

c sc alquer subcol~ao eonten do pe o xe::1os :: ...:: ~ _ --sao muruarnente independentes.

Exemplo 8. Seja S o quadrado no plano O ~ x ~ : = espat;:o uniforme de probabilidade sobre o quadrado, e sef- _..;.

{(x, y): 0 ~ X ~ 1/2, 0 ~ y ~ l e B o evento

{(x, y): 0 ~ x ~ l, 0 ~ y ~ l t4}. Note que A e B sao eventos independentes. Para tan to, determinamos P(A ), P(B) e P(A n B) e m os tramo: ._ ~

P(A n B) = P(A) P(B). Como A e urn sub-retangulo do quadrado S com aica 1/2 e B e urn sub-retangulo de S com area 1/4, segue-se que P(A ) = l _ e P(B) = 1/4. Poroutrolado

A nB= (x,y) :O~x~ l/2,0~y~ 1/4 e urn sub-retangulo do quadrado S com area 1/8. Assim P(A n B)= 1/8 e vemos que A e B sao eventos independentes.

Usa-se frequentemente a not;:ao de independencia para construir espat;:os de probabilidades correspondentes a repetit;:6es de urn mesmo experimento. Daremos um tratamento mais compieto a esse assunto no CapituJo 3. Aqui nos contentaremos

em examinar a situat;:ao mais simples, aquela que envolve experimentos (como o

lant;:amento de urna moeda possivelmente nao tendenciosa) que podem conduzir

a apenas urn dos dois resultados possfveis - sucesso ou fracasso.

Em urn experimento com n lant;:amentos de urna moeda, ondc;: sucesso e

fracasso em cada lant;:amento ocorrem com probabilidades p e l - p, respectiva-mente, acreditamos intuitivamente que o resultado do -esimo lant;:amento nao deve ter influencia algurna sobre os resultados dos outros lant;:amentos. Desejamos

agora construir urn espat;:o de probabilidade para o experimento composto, consistindo

de n repetit;:6es do nosso experimento, que incorpore as nossas crent;:as intuitivas.

Ja que cada urna das n repetit;:6es pode resultar ern sucesso ou fracasso, existern urn total de 2n resultados possfveis para o experimento cornposto. Pode-se representar esses resultados atraves de urna n-tupla (x 1 , x 2 , ... , X n), on de X i= l se a -esima repetit;:ao resulta ern sucesso e xi = O caso contrario. Tornarnos o eonjunto n como sen do a col~ao . de todas as n-tuplas corno esta. Toma-se o a-algebra sd corno sendo constituido de todos os subconjuntos de n.

Chegarnos agora a alocat;:ao de urna medida de probabilidade. Para isso e necessario tao sornente alecar probabilidades a 2n conjuntos de urn ponto { (x l' x2' ... 'X n) } . Suponha que a n-tupla (x l ' ... ' X n) e tal que exatamente k dos Xi tern o valor l, por simplicidade , digamos que x 1 = x 2 = = xk = l e os outros x i tenharo o valor O. Entao se A i representa o evento de que a i-esima repetit;:ao resulta em sucesso, vemos que

{(!, l , .. . , l, O, ... , O)} = A 1 n n Ak n AZ + 1 n n A~ . ....__....-..__.... k n - k

...

De acordo com nossa intuic;ao, os eventos A 1 , A 2 , , Ak> Ak+ l' .. . , A~ devem ser mutuamente independentes e P(Ai) = p, l ..-;;;i..-;;; n. Assim devemos escolher P de tal forma que

P({(, l, . .. , l, O, . . . , O)}) = P(A 1) P(Ak)P(Af+ 1) P(A~) = l(l :.... p)"-k .

U san do o mesmo raciocinio, vemos que se a n-tupla ( x 1 , , x n) e tal que exa-tamente k dos x i tern o valor l, P deve ser tal que

Determinemos a seguir a probabilidade de que exatamente k das n repetic;oes resultem em sucesso. Observe, cuidadosamente, que is~o difere da probabilidade de que exatamente k repetic;oes especificas, resultem em sucesso e que, as outras n - k repetic;oes, resultem em fracasso. Seja Bk o evento de. que se obtem sucessos em exatamente k das n repetic;oes. Urna vez que cada seqih~ncia especifica com k sucessos tern probabilidade pk (l - p )n- k, o evento Bk tern probabilidade P(Bk) = C(k, n)pk(l - p)n-k , onde C(k, n) e o numero de sequencias (x1 , ... , X n) nas quais exatamente k dos X tern valor l. A determinaao de C( k , n) e urn probierna combinatrio simpies que sera resolvido na Sec;ao 2.4, on de mostraremos que

(20) C(k , n) = n! k!(n k)!' O::;k::;n.

Lembre-se que O! = l e que

m! = m(m - l) l.

para qualquer numero inteiro positivo m. Geralmente representa-se a quantidade

n! / k! (n- k)! por ( ~) (coeficiente binomial). Assim (21) P(Bk) = (Z) l(l - p)n-k.

Diversos problemas aplicados sao modelados por provas independentes do tipo sucesso-fracasso. O probierna discutido a seguir e tipico.

Exemplo 9 , Suponha que urna maquina proctuza parafusos dos quais l 0% sa o de-feituosos. Determine a probabilidade de que urna caixa com 3 parafusos contenha no maxima urn parafusa defeituoso.

Para resolver o problema, supernos que a produc;ao de parafusos constitui

repetic;oes independentes de urna prova do tipo sucesso-fracasso em que a produc;ao de urn parafusa defeituoso e urn sucesso. Entao a probabilidade de sucesso neste

caso e 0,1. Seja B0 o evento de que nenhum dos tres parafusos e defeituoso e 21

B1 o "'" ~ ::x:"_"_~:;-e o c,-e.._.-disjuaws, s.e-5

l l

11

\ r .

eventos tais q ue P(A) = 2/5, P(B) = ?. / 5 e

detennine P(B). , q e se escolha ao acaso urn ponto sobre urn quadrado uni tario . Seja A

o e-.eilro e que o ponto esta no triiingulo limitadopor y =O, x = l e x = y . e B o evento de que o ponto est:i no re tangulo com vertices em (0 ,0) , (l, 0). ( . l _)e (O, 1/2). Determine P(A u B) e P(A n B).

l . G ma caixa eon tern l O bolas numeradas de l a l O. Seleciona-se urna bola a o a aso e a seguir seleciona-se, tamhem ao acaso, urna segunda bola dentre as

9 restantes. Determine a probabilidade de que os numeros das bolas selecionadas diferem de duas ou mais unidades.

12. Dado que urn ponto escolhido ao acaso sobre urn quadrado unitario esteja no

triiingulo limitado por x =_O, y = O e x + y = l, determine a probabilidade de q ue o mesmo es tej a tamhem no triiingulo limita do por y = O, x = l e x = y .

13. Suponha que ternos quatro cofres, cada urn com 2 gavetas. Os cofres l e 2, tern urna moeda de ouro em urna gaveta e urna de prata na outra. O cofre 3, tern duas moedas de ouro e, o cofre 4 tern duas de prata. Escolhe-se urn

cofre ao acaso, abre-se urnagaveta e encontra-se urna moeda de ouro. Determine a probabilidade de que a outragaveta contenha

(a) urna moeda de prata;

(b) urna moeda de ouro.

14. Urna caixa eontern 10 bolas das quais 6 sao pretas e 4 sao brancas. Remove-se

tres bolas sem observar suas cores. Determine a probabilidade de que urna quarta bola -removida da caixa seja branca. Assuma que as lO bolas sao igual-mente provaveis de serem removidas da caixa.

15. Para urna caixa de mesma composis;ao que a do Exerdcio 14, determine a probabilidade de que todas as 3 bolas removidas sejam pretas, sabendo-se que pelo merros urna delas e preta.

16. Suponha que urna fabrica tern duas m:iquinas A e B, respons:iveis, respecti-vamente, por 60% e 40% da produs;ao total. A maquina A proctuz 3% de itens defeituosos, enquanto que a maquina B proctuz 5% de itens defeituosos. Determi-ne a probabilidade de que urn dado i tern defeituoso foi procluzido pela maquina B.

17. Mostre por indus;ao sobre n que a probabilidade de selecionar urna bola ver-

melha na n-esima extras;ao no esquema de Polya (Exemplo 7) e r,(b + r f 1 . para qualquer n.

18. Urn estudante se submete a urn exame de multipla escolha no qual cada questao tern 5 respostas possiveis das quais exatamente urna e correta. O estudante seleciona a resposta correta se e1e sabe a resposta. Caso contr:irio, ele seleciona ao acaso urna resposta entre as 5 possiveis. Suponha que o estudante saiba a

resposta de 70% das questoes.

23

( ) Qu.a: a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para urna dada questao?

(b) Se o estudante escolhe a resposta correta para urna dada questao, qual a probabilidade de que ele sabia a resposta?

19. Suponha que se escolha ao acaso urn ponto sobre urn quadrado unitario. Saben-

do-se que o , ponto esta no re tangulo limitado por y = O, y = l, x = O, e X = 1/2, qual e a probabilidade de que O ponto esteja no triangulo limitado por y = 0, x = 1/2 e x + y = l?

20. Supnha que urna caixa contenha r bolas vermelhas e b bolas pretas. Extrai-se ao acaso urna bola da caixa e a seguir extrai-se, tamberu ao acaso, urna segunda bola dentre as que f1caram na caixa. Determine a probabilidade de que

(a) ambas as bolas sejam vermelhas; (b) a primeira bola seja vermelha e a segunda p re ta; (c) a primeira bola seja preta e a segunda vermelha; (d) ambas as bolas sejam pretas.

21. Urna caixa eontern 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se urna bola da caixa. Se a bola e vermelha, ela e recolocada na caixa. Se e preta, alem de recoloca-la na caixa, adiciona-se duas bolas a caixa. Determine a probabilidade de que urna segunda bola extraida da caixa seja

(a) vermelha; (b) p re ta.

22. Extrai-se duas bolas, com reposi

.

27.

28.

29.

(a) Caleule a probabilidade de que a segunda bola seja preta, dado que a pri-

meira e preta.

(b) Caleule a probabilidade de que a segunda bola seja da mesma cor da

primeira.

(c) Caleule a probabilidade de que a primeira bola seja branca, da do q ue a

segunda e branca.

Urn colegio e composto de 70% de homens e 30% de mulheres. Sabe-se que 40% dos homens e 60% das mulheres sao fumantes. Qual e a probabilidade de que urn estudante que foi visto fumando seja homem?

Suponha que os automveis tern igual probabilidade de serem produzidos

na segunda, terc;:a, quarta, quinta e sexta-feira. As porcentagens de autom-

veis amarelos produzidos nos diferentes dias da semana sao: segunda - 4% ;

terc;:a, quarta e quinta - l %; e sexta - 2%. Se voce compra urn automvel amarelo , qual a probabilidade de queomesmo foi proctuzido numa segunda-feira?

Suponha que existisse urn teste para cancer com a propriedade de que 90% das pessoas com cancer e 5% das pessoas sem cancer reagem positivamente. Adrnita que l % dos pacientes de urn hospital tern cancer. Qual a probabilidade de que urn paciente escolhido ao acaso, que reage positivamente a esse teste, realmente tenha cancer? .

30. No probierna de tres cofres discutidos no Exemplo 6, determine a probabilidade de que a segunda gaveta contenha urna moeda de prata, dado que a primeira

continha urna moeda de ouro.

31. No esquema de urna de Polya (Exemplo 7), dado que a segunda bola e vermelha, determine a probabilidade de que

(a) a primeira bola era vermelha;

(b) a priilleira bola era p re ta.

32. Suponha que se lanc;:a tres moedas identicas e perfeitamente equilibradas. Seja A i o evento de observar cara na i-esima moeda. Mostre que os eventos A 1 , A 2 e A 3 sao mutuamente independentes.

33. Suponha que as seis faces de urn dado tern igual probabilidade de ocorrencia e que sucessivos lanc;:amentos do dado sao independentes. Construa urn espac;:o

de probabilidade para o experimento composte de tres lanc;:amentos do dado.

3-t . Sejam A e B dois eventos independentes. Mostre que A e Bc, AC e B e A c e BC sao tamhem independentes.

r. Seja Q = { l, 2, 3, 4 } e suponha que cada ponto tern probabilidade 1/4 . Sen do A = { l , 2 } , B= { l , 3 } e C= { l, 4} , mostre que os pares de eventos A e B, A e C e B e C sao independentes.

36. S ponha que A , B e C sa o eventosmutuamente independentes e P(A ll B) =f. O. llome que P(C l A ll B)= P(C) .

25

26

37. Experiencia mastra qtie 20% das pessoas que fazem reservas de mesa num certo restaurante deixam de comparecer. Se o restaurante tern 50 mesas e aceita 52 reservas, qual a probabilidade de que seja capaz de acomodar todos os fregueses?

38. Urn alvo circular de raio unitario esta dividido em quatro zonas anelares com raios externos 1/4, 1/2, 3/4 e l , respectivamente. Suponha que se dispare ao alvo lO tiros independentemente e ao acaso.

(a) Determine a probabilidade de que no maximo 2 tiros atinjam a zona limi-tacta pelos circulos de raios 1/2 e l.

(b) Se 5 tiros atingem o disco de raio 1/2, determine a probabilidade de que pelo menos urn atinja o disco tle raio 1/4 .

39. Urna maquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo, de tal sorte que a maquina falha somente se todos os quatro componentes falham. Suponha que as falhas dos componentes sao independentes umas das outras. Se os compo-nentes tern probabilidades 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4 de falhar quando a maquina e acionada, qual e a probabilidade de que a maquina furreione quando acionada?

40. Urn certo componente de urn motor de foguete falha 5% das vezes quando o motor e acionado. Para obter maior confiabilidade no funcionamento do motor, duplica-se esse componente n vezes. O motor entao falha somente se todos os n componentes falharn . Suponha que as fallias dos componentes sejam independentes urna das outras. Qual e o menor valor de n que pode ser usado para garan tir que o motor furreione 99% das vezes?

41. Lan9a-se um dado simetrico tres vezes. Sabendo-se que a face l ocorre pelo menos uma vez, qual e a probabilidade de que ela ocorra exatamente urna vez?

42. Existem 4 reis num baralho de 52 cartas. Extrai-se urna carta do baralho, registra-se o seu valor e a seguir rep6e-se a carta extraida. Este procedimento e repetido 4 vezes. Deterrnine a probabilidade de que existam exatamente 2 reis entre as cartas selecionadas, sabendo-se que entre elas existe pelo merros urn rei.

43 . Mostre que se A , B e C sao eventos tais que P(A n B n C) =F O e P(C l A n B)= P(C l B), entao P(A l B n C) = P(A l B).

44. Urn homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Qual a probabilidade de que ele atinja o alvo pelo menos urna vez, se tern probabilidade 9/ 10 de atingir o alvo em qualquer tiro?

45 . Lan9a-se urn da do 12 vezes. Determine a probabilidade de o b ter

(a) dois "seis"; (b) no maxima dois "seis".

46. Suponha que a probabilidade de atingir urn alvo e 1/4 . Disparando-se oito tiros ao alvo, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo merros duas vezes?

4 7. No Exercicio 44 qual a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo merros du as vezes , sabendo-se que o mesmo foi atingido pelo menos urna vez?

ANALISE COMBINATORIA

Lembre-se da Se~ao 1.2 onde urn espa~o simetrico de pro)abilidade contendo s pontos, e o modelo usado para o experimento de selecioar ao acaso urn ponto de urn eonjunto S contendo s pontos. Daqui para diante, quando falarmos em selecionar ao a'caso urn ponto de urn eonjunto fmito S, estaremos dizendo que, a probabilidade associada a cada eonjunto de urn ponto e s-1, e, portanto, que a probabilidade associada a u~ eonjunto A contendo j pontos e jfs.

Seja N(A) o numero de pontos em A. Desde que P(A) = N(A)/s, o probierna de determinar P(A) e equivalente aO de determinar N(A) . O procedimento para obter P(A) e eontar o numero de pontos em 4 e dividir pelo numerototal s de pontos. Entretanto, as vezes inverte-se o procedimento. Se de algurna forma co-nhecemos P(A) , podemos obter N(A) pela frmula N() = sP(A). Este proce-dimento sera usado muitas vezes na seqiiencia.

A determin~ao de N(A) e facil quando A tern apenas alguns pontos, pois neste caso podemos, simplesmente enumerar todos os pontos em A. Porem, mesmo que A tenha urn numero moderado de pontos, o metodo de enumera~ao direta torna-se impraticavel, e assim algumas regras simpies de contagem sao desejaveis. Nosso propsito neste capitulo e apresentar urna discussao nao-tecnica e sistematica de metodos que sao elementares porem de grande aplicabilidade. Este assunto tende a tornar-se dificil rapidamente, por -isso limitaremos nosso tratamento aquelas partes maiores na teoria da probabilidade. As prirneiras quatro se~5es deste capftulo eontern o material essencial, enquanto as quatro liitirnas se~5es eontern urn material opcional e urn pouco mai's diffcil.

2.1. AMOSTRAS ORDENADAS

Suponha que ternos dois conjuntos S e T. Se S tern m pontos distintos s1 , s2 , ... , sm e T tern n pontos distintos t 1 , t 2 , . , t n, entao o numero de pares (s i, lj) que podem ser formados tomando urn ponto do eonjunto S e urn segundo ponto do eonjunto T e mn. Isto e clar0- de vez que qualquer elemento do eonjunto S pode ser associado a qualquer urn dos n elemcntos do eonjunto T.

x.emplo I. Se S= ~ 1,2} e T= ll,2,3}, entaoexistemseispares:(1 ,1), (1 ,2), (1,3), (2, 1) , (2,2), (2,3). Observe cuidadosarnente que o par (1 ,2) e distinto do par (2, 1) .

De formamais geral, suponha que ternos -n conjuntos S1 , S2 , .. , Sn tendo s1 , s2 . , Sn pontos distintos, respectivarnente. Entao o numero de n-tuplas (x 1 , x 2 , . . , Xn) que podem ser formados, onde x 1 e urnelementode S 1 , x2 urn elementode s2' ... ' e Xn urnelementode Sn, e sls2 ... Sn. Isto e urna extensao bastante bvia do caso discutido acima para n = 2. (Urna demonstra9ao

formal de que o numero den-tuplas e s1 s2 s n pode serfeita porindu9ao sobre n.) Urn importante caso especial ocorre quando cada eonjunto S, l .;;;; i .;;;; n, e

o mesmo eonjunto S tendo s pontos distintos. Existem entao sn n-tuplas (x 1 ,x2 , . . ,xn), onde cada X e umponto do eonjunto S. Exemplo 2 .. S= {.1, 2} e n= 3. Neste caso e_xistem ~ n-tupla.t_(l, l, 1), (1, l, 2), (l ' 2, 1), (l' 2, 2), (2, l ' 1), (2, l ' 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2).

O caso especial em que os conjuntos S, l .;;;; i.;;;; n, sao os mesmos, pode ser ~

abordado de urn ponto de vista difereil.te. Suponha que urna caixa eontern s bolas

distintas numeradas de l a s. Extrai-se urna bola da caixa, registra-se o seu numero l

e a seguir rep6e-se a bola na caixa. Repete-se o procedimento n vezes. Cada urna

das n extra96es produz urn numero de l a s. O resultado pode ser registrado

atraves de urna n-tupla. (x 1 , x 2 , , Xn), onde x 1 e o numero da 11:1 bola, x 2 , o da 2? etc. Existem ao todo sn n-tuplas. Este procedimento charna-se amostragem com reposirao de urna popula9ao de s objetos distint os. O re.sultado (x 1 , .X 2 , , X n) chama-se arnostra de tamanho n extraida com reposi9ao de urna populayao de s objetos. Falarnos de amostragem aleatria com reposirao , se admitirmos que todas as sn arnostras possiveis tern a mesma probabilidade ou, na linguagem tradi-cional, sao igualmente provaveis de ocorrer.

Exemplo 3. Lan9a-se n vezes urna moeda perfeitarnente equilibrada. Determinar a probabilidade de obter pelo menos urna cara.

Presumivelmente a afirmayao de que a moeda e perfeitarnente equilibrada

implica que a probabilidade de obter cara em qualquer lanyamento e 1/2. Se assim

for, e se supormos que lanyar a moeda n vezes equivale extrair urna arnostra alea-

tria de tarnanho n de urna popula9ao de dois objetos l H, T } , entao cada urn dos 2n resultados possiveis e igualmente provavel. Seja A o evento de obter pelo menos urna cara e Ai o de obter cara no i-esimo lanyarnento. Entao A = U?= 1 A i . Mas

28

P(A) l - P(Ac) - P ( (v1 Ai) c)

= l - P ((\A~) e ('\?= 1 A~ ocorre se e somente se , todos os n lanyarn~ntos produzirem coroas. Assim P(n7= 1 A ~) = r" , de modo que P(A) = l - 2-n.

,

Seja S urn eonjunto contendo s objetos distintos, Selecionamos urn objeto de S e registramos o objeto selecionado, mas suponha agora que nao o repomos ao eonjunto S. Se repetirmos este procedimento, faremos urna selec;;ao dentre

(s - l) objetos restantes. Suponha que o procedimento seja repetido mais n - l vezes, de modo que selecionamos n objetos ao todo. (Obviamente devemos ter

n ,;;:;; s neste caso). Novamente podemos registrar o resultado em forma de urna n-tupla (x 1 , x 2 , , Xn), porem desta vez os numeros x 1 , x 2 , . , Xn devem ser distintos, nao pode haver duplicac;;oes na nossa amostra. O primeiro objeto

pode ser qualquer urn dos s objetos, o segundo pode ser qualquer urn dos s - l objetos restantes , o terceiro pode ser qualquer urn dos s - 2 objetos restantes etc., de modo que existem ao todo (s)n = s( s - l) (s-n+ l) diferentes resultados possfveis para o experimento. Refere-se a este proceclime_nto como amostragem sem reposiriio n de umapopulac;;ao de s objetos distintos. Falamos de umaamostra aleatria de tamanho n tornada sem reposiriio de urna popu(ariio de s objetos se supomos que cada urn dos (s)n resultados e igualmente provavel.

Representamos o produto s(s - l) (s -n + l) por meio de simbolo (s)n. Em particular (s)s = s(s - l) l = s! Mas extrair urna amostra de tamanho s de urna populac;;ao de s objetos diferentes equivale a escrever os numeros l, 2, ... , s

em algurna ordem. Assim s! representa o numero de ordenac;;oes diferentes (ou

permutac;;oes) de s objetos.

Suponha que se extraia com reposic;;ao urna amostra aleatria de tamanho

n de urn eonjunto de s objetos. Desejamos a probabilidade do evento A de que nenhum ponto ocorre duas vezes na amostra. Este probierna pode ser resolvido

facilmente. O numero de amostras de tamanho n com reposic;;ao e sn . Dentre estas sn amostras aleatrias, o nUmero daquelas nas quais nenhurn ponto aparece

duas vezes e igual ao numero de amostras de tamanho n extraidas sem reposiriio dentre s objetos, isto e, sn. Assim, ja que todas as amostras sao igualmente pro-vaveis, vemos que aprobabilidade desejada e

(s)n s(s- l) (s - n + l) s" s n

( l)

Exempio 4. Urna aplicac;;ao recente e urn tanto surpreendente de (l) e nochamado probierna do aniversario. Suponha que os aniversarias das pessoas ocorram com

igual probabilidade entre os 365 dias do ano. (Ignoramos aqui os anos bissextos

e o fato de que as taxas de natalidade nao sao exatamente uniformes ao Iongo do

ano). Deterrninar a probabilidade p de que em urn grupo de n pessoas nao existam duas com aniversarias comuns.

Neste probierna ternos s= 365, e assim aplicando (l) vemos que

p = ( 1 - 3~5) ( 1 - 3~5) ... ( 1 - n 3~5 1) 29

_\s ~ .... ::51:' ~- eacias numericas sao bastantes inesperadas. Mesmopara s tao pequeno o .., . p < 1/2, e para n = 56, p = 0,01. Isto e, num grupo de 23 pessoas,

a ?Iobabilidade de que pelo merros duas pessoas tenham o mesmo aniversario ex-ce e 1/2. Num grupo de 56 pessoas e quase certo que duas pessoas tenham o mesmo aruversan o.

Se ternos urna popula

Urn probierna mais sofisticado envolvendo permutayoes aleatrias , e o de determinar a probabilidade de que ocorram exatamente k "encontros". Para usar o nosso exemplo visual de distribuir bolas em caixas, o probierna e deterrninar a

probabilidade de que a bola i esteja na caixa i para exat(}II1ente k valores diferentes de i.

Pode-se resolver o probierna do encontro de varias maneiras. Adiamos a

discussao deste probierna para a Seyao 2.6.

2.3. Combinar;oes (amostras desordenadas)

Urna mao de pquer consiste de cinco cartas extraidas de urn baralho de 52 cartas. De acordo com a discussao acima, existiriam (52) 5 maos de poquer.

Entretanto, para chegar a esta contagem diferentes orderray5es das mesmas cinco

cartas sao consideradas maos diferentes. Isto e, a mao 2 , 3 , 4, 5 , 6 de espadas nesta

ordem e considerada diferente damao 2, 4, 3, 5, 6 de espadas nesta ordem. Do ponto

de vista do jogo, estas maos sao as mesmas. De fato, todas as 5! permutay6es das

mesmas cinco cartas sao equivalentes. Das (52) 5 maos possiveis, exatamente 5!

delas sao simplesmente permutay6es dessas mesmas cinco cartas. Sirnilarmente,

para qualquer eonjunto de cinco cartas existem 5! diferentes p~rmutay6es. Assim, o numero total de maos de poquer, sem considerar a ordem em que as cartas apa-recem, e (52)5 /5! Nesta contagem considera-se duas maos diferentes se, e somente se, elas diferem como eonjunto de objetos, isto e, se elas tern pelo menos urn ele-mento diferente. Por exemplo, entre as (52)5 /5! maos de poquer, as maos (2 , 3, 4, 5, 6) de espadas e (3, 2, 4, 5, 6) de espadas sao as mesmas, porem as maos (2, 3, 4,

5, 7) de espadas e (2, 3, 4, 5, 6) de espadas sao diferentes. De urna forma mais geral, suponha que ternos urn eonjunto S de s objetos

distintos. Entao, como foi explicado anteriormente, existem (s), amostras distintas de tamanho r que padem ser extraidas sem reposiyao de S. Cada subconjunto

distinto { x 1 , ... , x, } de r objetos de S pode ser orderrado (rearranjado) de r! maneiras diferentes. Se decidimos ignorar a ordem em que os objetos aparecem na

amostra, essas r! reordenay6es de x 1 , .. , x r serao consideradas as mesmas. Existem portanto, (s)7/r! diferentes amostras de tamanho r que padem ser extradas, sem reposifiio e sem considerafiiO de ordem, de urn eonjunto de s objefos distintos.

Geralmente representa-se a quantidade (s),/r! por meio do simbolo do coe-ficiente binomial

(s), = (s) . r! r

Observe que para r =O, l, 2, ... , s

(s) = (s), ~ r r!

s!

r! (s - r)!

31

lndicamos aqui para uso futuro que ( ~ ) e bem defl~ido para qualquer numero real a e qualquer numero inteiro nao-negativo r atraves de

(3) (a) = (a), = ~a - l) (a - r + l) r r! r! onde O! e (a)0 sao ambos definidos como sendo l. Exemplo S.

( - n)( - n - l )( - n

3!

n(n + l )(n + 2) 3!

2)

Observe que se a e urn numero inteiro p ositivo , entao ( ~ ) = O para r >a. Convencionamos que ( ~) = O se r e urn numero inteiro negativo . Entao (~) e deflnido para todo real a e todo inteiro r .

Como foi observado anteriormente , quando s e urn inteiro positivo e r

e urn inteiro nao-negativo , e interessan te pensar em ( ;) como o numero de ma-neiras em que podemas extrair sem reposigao urna aroostra de tamanho r de urna

populagiro de s objetos distintos sem consideragao da ordem em que esses objetos

sao escolhidos.

Exemplo 6. Considere o eonjun to de ntimeros - l , 2, . .. , n } . Entao, se

l ~ r ~ n, existem exatamente ( ~ ) escolhas de numeros i 1 , i2 , . , i, tais que l ~ i1 < i2 < . .

Exempo 8. Considere urna mao de pquer de cinco cartas. Determine a probabi-lidade. de obter urn " four" (isto e, quatro cartas de mesmo valor) supondo que as cinco cartas sao escolhidas ao acaso.

Podemos resolver o probierna da seguinte forma.

Existem ( 552 ) maos diferentes, que deverao ser igualmente provaveis. Assim

D tera ( 5l) pontos. Para que o evento desejado ocorra, devemos ter quatro cartas de mesmo valor. Existem 13 scolhas diferentes para o valor das cartas que irao compor o " four" , a saber, 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8 , 9, 10, J, Q, K e A. Para cada urna dessas escolhas (q ue determine quatro das cinco cartas da mao desejada) existem 48 cartas dentre as quais podemas escolher a 5'!- carta. Ja que cada urna das 13 escolhas do " four" pode ser associada com cada urna das 48 escolhas da 5'!- carta, existem a o to do (13)( 48) maneiras possfveis de o b ter urna mao de poquer com quatro das cinco cartas iguais. A probabilidade desejada e portanto

(13)(48)

c;) ~ 2,40 X 10-4 .

Exemplo 9. Suponha que se distribui n bolas em n caixas de tal forma que os nn arranjos poss!veis sao igualmente provaveis. Deterrnine a probabili~ade de que somente a caixa l esteja vazia.

:\este caso o espac;:o de probabilidade consiste de nn - pontos igualmente pro aveis. Seja A o evento de que apenas a caixa l esteja vazia. Isto pode acontecer someme se as n bolas estao nas n - l caixas restantes de tal forma que nenhuma caixa estej a vazia. Assim, exatamente urna dessas (n - l) caixas deve eonter duas bolas, e as (n - 2) caixas restantes devem ter exatamente urna bola cada. Seja Bi o evento de que a caixa i , i = 2, 3, . .. n, tenha duas bolas, caixa l esteja vazia e as (n - 2) caixas restantes tenharo exatamente urna bola cada. Entao os eventos Bi sao disj un tos e A= Ui =2 Bj . Para deterrninar P(Bj) observe que as duas bolas colocadas na caixa -i podem ser escolhidas dentre n bolas de ( ~ ) maneiras. As (n - 2) bolas podem ser rearranjadas _de (n - 2)! maneiras nas (n - 2) caixas restantes. Assim, o numero de maneiras distintas em que podemos colocar duas bolas na caixa i , deixar a caixa l vazia e colocar exatamente urna bola em cada urna das caixas restante s e (~)(n - 2)! . Portanto

P(B) n"

e conseqiientemente

P(A) (n - l)(;) (n - 2)! (;)(n - l) ! ------ ------ - ---------

n" n" 3

.\R.TI~ ES C a grande variedade de problemas combinatrios que envolvem amostras

.;.,s.o .enadas sa o do seguinte tipo. Urna caixa eontern n bolas -vermelhas e b brancas. Extrai-se sem reposi~ao da caixa uma .amostra aleatria de tamanho n.

Qual e a probabilid~de de que a amostra contenha exatamente k bolas vermelhas (e portanto n- k bolas pretas?)

Para resolver o problema, argumentamos como segue. Estamos interessados

apenas no nmero total de bolas vermelhas e bolaspretas e nao na ordem em que

elas sao extrafdas. lsto e, estamos lidando com amostragem sem reposic;:ao e sem consider~ao da ordem. Podemos, portanto, tornar o nosso espac;:o de amostra com o sendo a cole~ao de (b ~ ') amostras de tamanho n que podem ser extraidas dessa maneira .das r +b bolas da popula~ao. Associamos a probabilidade (b~') -l a cada urna dessas (h ~ ') arnostras. Devemos determinar a seguir o numero de maneiras em que sepode extrair urna amostra de tamanho n , de modo que contenha exatamente k blas vermelhas. De r bolas vermelhas pode-se extrair k bolas vermelhas de ( k-) maneiras, sem considerar a ordem, e de b bolas pretas pode-se escolher n - k bolas pretas de (n ~ k) maneiras , sem considerar a ordem. Como podemos associar cada escolha de k bolas vermelhas com cada escolha de n - k bolas pretas, existem urn total de ( k) (n ~ kJ escolhas possveis . Assim a proba-bilidade desejada e

A essencia deste tipo de probierna e que a populac;:ao (neste caso as bolas) e particionada em duas classes (bolas vermelhas e pretas). Toma-se urna amostra aleatria de urn certo tamanho e deseja-se determinar a probabilidade de que a amostra contenha ntimeros especificos de itens das duas classes.

34

Em alguns prohienfas deste tipo as duas classes nao sao defmidas explicita-mente, mas podem ser identificadas a partir dos enunciados.

Exemplo 10. Urnamao de poquer consiste de cinco cartas extradas de urn baralho comurn de 52 cartas. Obtenha a probabilidade de que a mao tenha exatamente

dois reis.

Para resolver o problema, observe que existem (552) maos de poquer. Num

baralho existem 4 reis e outras 48 cartas. Isto particiona as cartas em duas classes, reis e nao-reis, tendo 4 e 48 cartas, respectivamente . A mao de poquer e urna amostra de tamanho 5 extraida sem reposic;:ao e sem considerac;:ao de ordem da populac;:ao de 52 cartas. o probierna e assirn o de determinar a probabilidade de

que a amostra contenha 2 membros da primeira classe e 3 da segunda. Portanto a probabilidade desejada e

3,99 X 10- 2

Exemplo 11. Urn baralho de cartas tern 4 naipes de 13 cartas: paus, ouros, copas e espadas.

(a) Qual e a probabilidade de que em urna mao de 5 cartas exatamente 3 sejam paus?

(b) Qual e a probabilidade de que em urna mao de 5 cartas exatamente 3 sejam do mesmo naipe?

Para resolver (a) observe que as condiy6es do probierna dividem o baralho de 52 cartas em duas classes. A primeira e a de "paus" com 13 membros, e a classe dois e a de "nao-paus" com 39 membros. As 5 cartas constituem urna amostra de tamanho 5 de urna populayao de 52 cartas, e o probierna requer que 3 das 5 cartas sejam da classe l. Assim, a probabilidade desejada e

p 8,15 X 10-2 .

Para resolver (b), seja A 1 o evento de que exatamente tres cartas sejam paus, A 2 o de que exatamente tres sejam ouros, A 3 o de que exatamente tres sejam copas e A 4 o de que exatamente tres sejam espadas. Entao, como existem apenas 5 cartas na mao, os eventos A 1 , A 2 , A 3 e A 4 sao mutuamente disjuntos . Sua uniiio A 1 U A 2 U A 3 U A 4 e o evento de que exatamente 3 das 5 cartas sejam do mesmo naipe. Assim a probabilidade desejada e 4p. Exemplo 12. Considere novamente urna mao de poquer de 5 cartas. Qual e a proba-bilidade de que ela seja urn "fuli house" (isto e, urn par de cartas de igual valor e urna trinca de cartas de igual valor) , supondo que as cartas sao extrafdas do ba-ralho ao acaso?

Para resolver o problema, observamos novamente que existem ( 552 ) maos equiprovaveis de poquer. Dentre elas devemos agora determinar o numero de ma-neiras em que podemes ter urn par e urna trinca. Considete o numero de maneiras

em que po dernos escolher urna trinca particular, digamos 3 ases , e urn par particular, digamos 2 reis. A trinca tern 3 cartas que serao escolhidas sem considerayao de

orderu dentre 4 ases, e isso pode ser feito de ( j ) maneiras. O par tern 2 cartas que serao escolhidas sem considera9ao de orderu dentre 4 reis. Isso pode ser feito

de ( i ) maneiras. Entao o numero total de maneiras de se obter urna mao com

urna trinca de ases e urn par de reis e ( j )(i) . Assim, a probabilidade de obter uma mao com urna trinca de ases e urn par de reis e (j )(i) / ( 5l) =p. aturalmente esta probabilidade seria a mesma para qualquer par especifico e qualquer trinca especifica. Mas o valor das cartas da trinca pode ser qualquer urn dos 13 , e o valor

das cartas do par, pode ser qualquer urn dos 12 restantes. Como cada urn dos 13 va lores da trinca pode ser associado a c a da urn dos 12 valores do par, existem ( 13) (12) escolhas desse tipo. Cada urna dessas escolhas constituem urn evento disjunto tendo probabilidade p , de modo que a probabilidade desej ada e

(13)(1 2)p = (l3)(1 2)(4)(6) l 44 X 10- 3 . (5lJ "" ,

Exemplo 13. Qual e a probabilidade de obter exatamente dois pares? Aqui urna mao como (2 , 2, 2, 2, x ) nao eontacorno dois pares mas como urna quadra.

Para resolver o probierna observamos que se a mao tern dois pares, entao duas cartas tern o mesmo valor x, duas tern o mesmo valor y =l= x e a quinta carta tern urn valor diferente de x e y . Existem 13 valores diferentes. Os valores dos pares podem ser escolhidos de ( 1) maneiras. A outra carta pode ter qualquer urn dos 11 valores restantes. As duas cartas de valor x podem ser escolhidas dentre

4 cartas deste valor de (i) maneiras, o mesmo valendo para as duas cartas de valor y. A Ultima carta de valor z pode ser escolhida de (i) = 4 maneiras dentre as quatro com esse valor. Assim o nfunero total de escolhas e (l) (11) (i )(i)C4) , e portanto a probabilidade desejada e

Em alguns problemas envolvendo parti~oes as classes sao imaginadas como no exemplo a seguir.

Exemplo 14. Suponha que ternos urna caixa contendo r bolas numeradas de l a r. Toma-se urna amostra aleatria sem reposi~ao de tamanho n e registra-se os nu-meros das bolas. Repoe-se as bolas a caixa e torna-se urna segunda amostra aleatria sem reposi~ao de tamanho m. Determine a probabilidade de que duas amostras tenham exatamente k bolas em comum.

36

Para resolver este probierna podemos argumentar como segue. O efeito da primeira amostra e participar as bolas em duas classes: as n bolas selecionadas e as r - n nao-selecionadas (podemos imaginar que as n bolas da primeira amostra sao pintadas de vermelho antes de serem repostas nas caixas). O probierna e entao

..

deterrrlinar a probabilidade de que a aroostra de taroanho n contenha exataroente k bolas da primeira classe, de modo que a probabilidade desejada e

Se o argumento fosse conduzido de forma inversa e pensassemos na segunda

amostra fazendo a partiyao obteriamos a probabilidade

Deixaroos como exercicio mostrar que essas duas probabilidades sao iguais.

Podemos estender facilmente a nossa considerayao de dividir urna populayao em duas classes para m ;;;. 2 classes. Suponha que ternos urn eonjunto de r objetos tais que cada objeto e de urn dos m tipos possiveis . A populayao consiste de r 1 objetos do tipo 1, r2 objetos do tipo 2, ... , r m objetos do tipo m, on de

r 1 + r2 + + 'm =r. Extraindo-se urna amostra aleatria sem reposiyao de ta-manho n da populayao desses r objetos, qual e a probabilidade de que a aroostra contenha exatamente k 1 , objetos do tipo l , : . . , km objetos do tipo m onde k 1 + .. +km=n ?

Urna vez mais o espayo de probabilidade e a coleyao das ( ~) amostras igual-mente provaveis de taroanho n que se pode extrair sem reposiyao e sem conside-rayao de ordem da populayao de r objetos. Pode-se escolher os ki objetos do tipo i na aroostra. dos ri ordem de ( ~i. ) maneiras .

l

objetos deste tipo na populayao sem considerayao de

Assim, a probabilidade de escolher a aroostra com a

COmpoSiyaO eSpecificada e

Exemplo 15. Em urna mao de 13 cartas de urn baralho comum, obtenha a probabi-lidade de ocorrer exataroente 3 paus, 4 ouros, 4 copas e 2 espadas.

Neste probierna r =52 e n = 13. S e a classe l e contituida de paus, classe 2 de ouros, classe 3 de copas e classe 4 de espadas, entao m = 4, k 1 = 3, k2 = 4, k 3 = 4, e k4 = 2, de modo que a probabilidade desejada e

37

38

Exemplo 16. Problerna de comissao. No probierna da comissao discutido anterior-

rnente , obtenha a probabilidade de que unta comissao de 6 rnernbros seja cornposta

de 2 professores titulares, 3 professores adjuntos e l professor assistente.

Usando o rnModo acirna, obtemos a resposta como sendo

2.5. UNIA.O DE EVENTOS*

Considere novarnente a perrnuta9ao aleatria de n objetos distintos. Dizernos

que ocorre urn encontro na i-esirna posi9ao se o i-esirno obje to ocupa a i-esirna posi9ao.

Seja A i o evento de q ue ocorre urn encontro na posi9ao i. Entao A = U7= 1 A; e o evento de que ocorre pelornenos urn encontro. Podernos determinar PCU7= 1 A;) para n = 2 atraves da Equa9ao (l O) do Capitul o l que estabelece que

P(A 1 u A 2) = P(A 1) + P(A 2)- P(A 1 n A 2). E possivel usar esta frrnula para obter urna frrnula sernelhante para n = 3.

Sejam A 1 , A 2 e A 3 treseventoseseja B=A 1 UA 2 Entao P(A 1 u A 2 u A 3 ) = P(B u A 3) = P(B ) + P(A 3 ) - P( 'J n A 3).

Mas

(4) P(B ) = P(A 1 u A 2 ) = P(A 1) + P(A 2 ) - P(A 1 n A 2 ) . corno B llA 3 = (A 1 U A 2 ) U A 3 = (A 1 ll A 3 ) u (A2 ll A3), segue-se que (5) P(B n A3 ) = P(A 1 n A3 ) + P(A 2 n A3) - P(A 1 n A 2 n A 3 ) . Substituindo(4)e(5)naexpressaode P(A 1 U A 2 UA 3 ) , vernosque

P(A 1 u A 2 u A 3) = [P(A 1) + P(A 2) - P (A 1 n A 2)] + P(A 3 ) - [P(A 1 n A 3) + P(A 2 n A 3)- P(A 1 n A 2 n A 3)]

= [P(A 1) + P(A 2 ) + P(A 3)] - [P(A 1 n A1) + Pf.A 1 n A 3 ) + P(A 2 n A 3)] + P(A 1 n A 2 n A 3) .

Para expressar esta frmula de rnaneira rnais conveniente, fazernos

S 1 = P(A1) + P(A1) + P(A3) , S2 = P(A 1 n A 2) + P(A 1 n A 3) + P(A2 n A3),

e

Entao

(6)

Existe urna generalizac;:ao de (6) que e valida para todo numero inteiro po-

sitivo n. Considere os eventos A 1 ,A 2 , ... ,A 11 Defina n numeros S,, l ";;, , ";;,n , atraves de

S, = L P(A;, n n A;J. l ~ i 1 <

40

esta probabilidade com o sen do (n - r) !/n!. C orno a r-esima soma S, tern exa-tamente (~) termos, vimos que

P(A 1 u u A.) = f (n) ~n_-= _!1! ( -1)' - 1 r=l r n!

" n! = L C-ly-1 - --r= 1 r!(n r)!

(n - r)! n!

" (-ly-1 = r~l --, -, - ;

isto e,

(8) l l (-l)"- l

(l - p) = l - - + - - ... + -'-----:._____ " 2! 3! n!

Usando (8), vemos que a probabilidade Pn de que nao ocorra encontros e

l l ( l)" " ( l )k Pn = l - l + - - - + + -=--- = L -=---

2! 3! n! k=o k! (9)

Vemos que o segundo membro de (9) e simplesmente os pmeiros n + l termos da expansao de e-1 em serie de Taylor. Portanto, podemos aproximar Pn por e- 1 e obter l - e- 1 = 0,6321. .. como urna aproximas:ao de (l - Pn)-

Vefica-se que esta aproximas:ao e extremamente boa, mesmopara valores pequenos de n. Na tabela abaixo apresentamos valores de (l - Pn) para diversos valores de n.

n 3 4 5 6

1-Pn 0,6667 0,6250 0,6333 0,6320

Ternos assim, o extraordimio resultado de que a probabilidade de ocorrer pelo menos urn encontro entre n objetos pennutados aleatoamente e pratica-mente independente de n.

O probierna de encontros pode ser reformulado de varias maneiras diferentes. Urna das mais famosas e a seguinte: Toma-se dois baralhos equivalentes de cartas e forma-se pares com urna carta de cada baralho. Qual e a probabilidade de ocorrer pelo menos urn encontro?

Para resolver o probierna precisamos observar apenas que se pode usar o pri-meiro baralho para de terruinar as posis:oes ( caixas). Sem perda de generalidade podemos supor que as cartas do primeiro baralho estao arranjadas na ordem l, 2, . .. , n. Associa-se entao as cartas do segundo baralho (bolas) as posis:oes deterrninadas pelo pmeiro baralho. Urn encontro ocorre na posis:ao i se, e somente se, a i-esima carta extraida e a de nfunero i.

Agora que sabemos como determiar a probabilidade Pn de nenhum en-contra, podemas obter facilmente a probabilidade f3n(r) de que haja exatamente r encontros. Para resolver o problema, determinamos iniialrnente a probabilidade de que haja exatamente r encontros e que estes ocorram nas primeiras r posi~6es. Isto pode acontecer somente se nao houver encontros nas (n - r) posi~6es restantes. A probabilidade de que nao haja encontros em j objetos permutados aleatoriamente e Pj Portanto, j! Pj e o numero de maneiras em q ue se pode permutar j objetos entre si de modo que haja encontros (Por que?). Ja que existe apenas urna maneira de ter r encontros nas primeiras r posi~6es o numero de maneiras em que podemas ter r encontros nas primeiras r posi~6es e nao ter nenhum encontro nas (n - r)

posi~6es restantes e (n - r)! Pn _ r Assim, a probabilidade desejada e (n - r) !

a, = - --- Pn-r n !

A probabilidade de que haja exatamente r encontros e que estes ocorram em r posi~6es especificas quaisquer e a mesma para todas as especifica~6es das posi-~6es , isto e, Ci.r .

Para resolver o probierna de que haja exatamente r encontros, tudo que e necessario perceber agora e que os eventos "exatamente r encontros ocorrendo nas posi~6e s i 1 , i2 , .. . , ir' ' sa o eventos disjunt os para as diversas escolhas de i1 , i2 , . , ir. O numero de tais escolhas e ( ~) . Assim, a probabilidade desejada e ( ~ ) cxr. Portan to , se f3n(r) e a probabilidade de que ocorra exatamente r en-contros entre n objetos permutados aleatoriamente, obtemos

(l O)

n! (n-r)! Pn-r ---- --

r! (n - r)! n!

Pn - r r!

Usando o fato de que Pn _ r e aproximadamente igual a e- 1 (aproximac;;ao que e bastante boa mesmopara n-r moderadamente grande) obtemos

(11)

Como ilustra~ao fmal dessas ideias, determinaremos a probabilidade de que ocorra urn encontro na posi~ao j, dado que ocorrem exatamente r encontros.

4 1

42

Para resolver este problema, seja Aj o evento de que ocorre urn encontro na posi

?tro 'ba. re.

:e, )S

distribuir aleatoriamente n bolas em r caixas. !sto pode ser constatado simples-mente pensando na distribuis;ao das bolas nas caixas da forma seguinte. Extraimos

primeiro urna amostra de tamanho n de urn eonjunto de r objetos, e se o i-esimo elemento de amostra for o j-esimo objeto, colocarnos a bola i na caixa j. As vezes e util pensarna aroostragem aleatria com reposis;ao desta maneira, isto e, como dist ri-buis;ao aleatria de bolasem caixas (veja o probierna de cupom ao fmal do capitulo) .

Considere a distribuis;ao aleatria de n bolas em r caixas. Qual e a proba-bilidade de que urna bola especffica , digamos bola j , esteja em urna caixa especifica, digamos caixa i? Se a bola j esta na caixa i, ternos (n - l) bolas para distribuir nas r caixas sem restris;ao quanto ao destino das bolas. Pode-se colocar a bola j na caixa i de urna maneira apenas , e as (n - l) bolasrestantespodem ser colocarlas nas r caixas de rn -l maneiras. Assim a probabilidade desejada e rn -l frn = 1/r.

Traduzindo em linguagem de aroostragem aleatria, vemos que em urna amostra aleatria de tamanho n, extrafda com reposis;ao de urna populas;ao de r objetos, e igualmente provavel que o j-esimo elemento da amostra seja qualquer urn dos r objetos.

As consideras;oes acima estendem-se facilmente de urna caixa especffica para k caixas, l ~ k ~ r . Deixamos como exercfcio mostrar que a probabilidade de que k bolas especfficas ocupem k caixas especfficas e. simplesmente ,-~ Em linguagem de aroostragem aleatria este resultado diz que se extrairmos com reposis;ao urna amostra de tamanho n de uma populas;ao de r objetos, a probabili-dade de que o j 1 -esimo, j2 -esimo, ... h -esimo elementos da amostra sejam k obje-tos especificos quaisquer e r -k.

Seja Aj(i) o evento de que o j-esimo elementoda amostra e o i-esimo objeto. Entao acabamos de dizer que para qualquer escoha j 1 < j 2 <

Exemplo 17. Suponha que se distribui aleatoriamente n bolasem r caixas. Obtenha a probabilidade de que tenha exatamente k bolas nas primeiras r 1 caixas.

Para resolver o probierna observe que a probabilidade de que urna dada bola esteja em urna das primeiras r caixas, e rtfr. Pense na distribuis:ao de n bolas como n repeti96es do experimento de colocar urna bola em urna das r caixas. Suponha que o resultado e considerado sucesso se a bola cai em urna d as primeiras r1 caixas, e fracasso caso contnirio. Entao, do resultado da Ses:ao 1.5 ., vemos

que a probabilidade de que as primeiras r 1 caixas contenham exatamente k bolas e

2.8. NUMERO DE CAIXAS V AZIAS

Voltamos a considerar novamente o probierna da distribuis:ao aleatria de n bolas em r caixas e investigamos a probabilidade Pk(r , n) de que exatamente k caixas estejam vazias.

Iniciamos a resolver o probierna representando por Ai o evento de que a i-esima caixa esta vazia . Para que este evento ocorra, todas as n bolas devem estar nas (r - l ) caixas restantes, e isto pode acontecer de (r - l) n maneiras. As sim, P(Ai) = (r -l)n/rn =(l - 1/r)n.

44

De maneira semelhante , se l< i1 < i2 < < ik < r, o evento Ai 1 n Ai2 n n Aik ocorre se, e somente se, todas as bolas estiverem nas r - k caixas restantes . Conseqiientemente P(Ai

1 n n Aik) = (r - k)n /rn =(l - k/r)n . Podemos agora

aplicar (7) para determinar a probabilidade de A 1 U U A n que e simplesmente o eventodeq~epelomenos umacaixaestejavazia . Nestasituas:ao Sk = (~) (1-k/r)n , de modo que usando (7) obtemos

r I (- nk-1 sk k=l

t ( _ l )k - 1 ( /') ( l ~) n k= l J.;, l

Assim a probabilidade p 0 (r, n) de q ue todas as caixas estejam ocupadas e (13) Po(r, n) =

Como etapa seguinte determinamos a probabilidade a.k(r , n) de que exa-tamente k caixas especificas ( digamos as primeiras k caixas) estejam vazias . Es te

evento pode ocorrer se todas as n bolas estiverem nas (r - k) caixas restantes e se nenhuma dessas r- k caixas estiverem vazias. O numero de marreiras e m q ue podemos distribuir n bolas em (r - k) caixas de modo que nenhuma caixa fique vazia e (r- k) n p 0 (r- k, n). Assim, a probabilidade desejada e (1 4) ak(r, n) = (r - _k)np0~r - k, _!!)

r

= (1 - ;) n p 0 (r - k, n). Podemos agora de terroinar facilmente as pro babilidades p k (r , n). Para cada escolha de k numeros distintos i l' i2' ... ' i k do eonjunto de numeros { l' 2, ... ' n}' o evento{exatamente k caixas i 1 , i 2 , . . , ik vazias}tem piobabilidade cxk(r, n) e estes eventos sao mutuamente disjuntos. Existem ( ~) tais eventos e sua uniao e simplesmente o evento exatamente k caixas vazias. Assim

(15) Pk(r, n) = (~) (l ;) n p0 (r - k, n) . Usaudo a expressao de p 0 (r, n) dada em (13) vemos que

(16) (r)r-k (r - k)( j+k)n Pk(r, n)= k j~O (-l)j j l- - , - . Como acontece com o probierna dos encontros, os problemas de ocupayao

tern diversas formulay5es. Apresentamos a seguir urna das mais famosas entre elas.

Probierna do cupom. Coloca-se cupons ou, nos dias atuais, brinquedos nas caixas de cereais para atrair compradores infantis. Suponha que existem r tipos de cupons ou brinquedos e que e igualmente provavel que urna dada caixa contenha qualquer urn deles. Suponha que se adquire n caixas, determine a probabilidade de

(a) obter urna cole9ao com pelo me nos urn de cada tipo, (b) nao obter exatamente k dos r tipos de cupons ou brinquedos.

Exercfcios

l. O cdigo genetico especifica urn aminoacido atraves de urna sequencia de tres nu-cleotideos. Cada nucleotideo pode ser de urn dos quatro tipos T, A, C e G, sendo permitidas as repeti96es. Quantos aminoacidos podero ser codificados desta maneira?

2. O cdigo Morse consiste de urna sequencia de pontos e tra9os em que repeti96es sao permitidas.

(a) Quantas letras sepode codificar usando exatamente n simbolos? (b) Qual e o nt1mero de letras que se pode codificar usando n ou me os

simbolos?