INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

A U L A 0 5 0 9 J U N H O 2 0 0 8

Equações Diferenciais Homogêneasde Primeira Ordem: PROBLEMAS (1)

Prof. André

01 de21

02 de21

PROBLEMA 01

0xy)dy(x)dxy(x 222 Resolver:

Solução

M(x,y) = (x2 + y2) e N(x,y) = (x2 – xy) são funções homogêneas de grau 2.

Seja y = ux

ou:0u)du(1xdx u)x 32 1(

Então: dy = u dx + x du

0xdu]x(ux))[udx(x)dx(ux)(x 222

Substituindo y e dy na equação diferencial resulta:

03 de21

Integrando dos dois lados, resulta:

duu

u1

x

dx

1

duu

udu

u

1dx

x

1

11

1

1

Cu1lnu1

Cvlnv

dvv

11dv

dvv

1vdu

u

u

dudv uv

1

1

132 Cu1lnu1Cu1lnCxln

ou:

duu

u1

x

dx

1

ou:

04 de21

Mas , então: x

yu

4C x

y1 2ln

x

yxln

onde a constante 1 já foi adicionada à constante C4.

4Cu1lnuxln 2

ou, finalmente:

onde:C4 = C1 – C2 + C3

ou:

x

yC

x

y1 2lnxln 5

ou:

onde:C5 = – C4

05 de21

x

yC

x

yx 2lnxln 5

ou:

x

yC

x

yx lnxln 5

2

ou:

x

yC

x

y)(x lnxln 52

2

ou:

x

yC

x

y)(x x ln 52

2

06 de21

ou:

x

yCln

x

y)(x ln 5

2

ou:

x

y

x

y)(xC ln

2

5

ou:

xy

xy)(x

C ln

ee

2

5

ou:

x

yC

x

y)(x ln 5

2

(1)

07 de21

ou:

xy2

5 ex

y)(xC

ou:

xy

5

2

eCx

y)(x 1

ou, finalmente:

x

y2 Cxey)(x

Esta solução está na forma implícita.

onde:C = 1 / C5

(2)

08 de21

Uma outra possibilidade a partir de (1) é:

Cx

y

x

y)(x ln

2

onde:

C = – C5

ou:

Cx

y x

y)(x ln

ee

2

ou:C

x

y2

ex

y)(x

ou, finalmente:

Cx

y2 exy)(x

Esta solução também está na forma implícita.

em (2), substituindo C por eC recai nesta solução

09 de21

PROBLEMA 02

2

2

x

2xyy

dx

dy

Resolver:

Solução

x

y2

x

y

dx

dy

x

2xyy

dx

dy2

2

2

A função do lado direito da equação diferencial é homogênea de grau 0.

Seja y = xv.

Portanto: dy = x dv + v dx.

Substituindo y e dy na equação dada resulta:.

10 de21

vvdx

dvx 2

Ou, separando as variáveis:

dvvv

1dx

x 2

1

Expandindo o segundo membro por meio de frações parciais resulta:

dv1v

1

v

1dx

x

1

ou:

dv1)v(v

1dx

x

1

11 de21

Integrando os dois lados da equação resulta:

dv1v

1dv

v

1dx

x

1

ou:

321 C1vlnCvlnCxln

ou:

1vlnvlnCxln ou:

1vlnvlnClnxln

ou:

1v

vlnCxln

12 de21

Tomando a exponencial de ambos os lados resulta:

1vv

lnCxln ee

ou:

1v

vCx

Fazendo v = y / x resulta:

xy

y

1xy

xy

Cx

Resolvendo para y obtém-se finalmente:

Cx 1

Cxy

2

13 de21

PROBLEMA 03

1yx

53yx

dx

dy

Resolver:

Solução

Portanto: dv dx du dy

Seja, então: 1h v x

2h u y

onde h1 e h2 são constantes a serem determinadas

A equação dada não é homogênea.

14 de21

Para que a equação seja homogênea nas variáveis u e v:

01hh

053hh

21

21

ou:

1hh

53hh

21

21

Substituindo x, dx, y e dy na equação resulta:

1hhuv

53hh3uv

1)h(u)h(v

5)h3(u)h(v

dv

du

21

21

21

21

cuja solução é:

1h

h

2

1

2

15 de21

1(2(uv

53(2(3uv

dv

du

)1)

)1)Portanto:

uv

3uv

dv

du

ou:

Esta nova equação é homogênea.

Seja, então u = wv

Portanto, du = w dv + v dw

Substituindo u e du na nova equação resulta:

wvv

3wvv

dv

dwvdvw

16 de21

ou:

w1

3w1

w)v(1

3w)v(1

dv

dwvdvw

ou:

w1

3w1

dv

dwvw

ou:

ww1

3w1

dv

dwv

ou:

w1

ww

dv

dwv

2

12

ou:

dvv

1dw

w1ww

12

12

17 de21

ou:

dvv

1dw

ww

w12

12

As variáveis estão separadas.

dvv

1dw

1)(w

2

1w

12

Expandindo o primeiro membro por meio de frações parciais (onde o denominador possui um termo repetido) resulta:

Fatorando o denominador (do lado esquerdo) resulta:

dvv

1dw

1)(w

w12

18 de21

Integrando dos dois lados:

dvv

1 dw

1)(w

12 dw

1w

12

ou:

321 Cvln dw 1)(w

12 C1wln

222

22C

1w

2C

z

2dz z2dz

z

12dw

1)(w

12

dwdz 1wz

19 de21

ou:

321 Cvln C 1w

2 C1wln

Voltando às variáveis u e v:

321 Cvln C vu

2v C

v

vuln

Voltando às variáveis originais:

C2xln 3xy

2)2(x

x

3xyln

2

ou:

20 de21

Cx

3xyln2xln

3xy

2)2(x

2

ou:

Cx

3xy2)(xln

3xy

2)2(x

2

ou, finalmente:

C3xyln 3xy

2)2(x

Substituindo C por ln|C| pode-se também escrever:

)3xy(Cln 3xy

2)2(x

21 de21

crédito da figura de fundo

Stephansdom (St. Stephen's

Cathedral)

Catedral gótica, sobreviveu a muitas guerras e tornou-se

um símbolo da liberdade de Viena.

Viena, Áustria