Prof. Juliano J. Scremin

Teoria das Estruturas - Aula 10

Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas (1) • Introdução às Linhas de Influência; • L.I. de Vigas Biapoiadas; • L.I. de Vigas Engastadas em Balanço;

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Aula 10 - Seção 1: Introdução às Linhas de Influência

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Tipos de Carregamentos

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Permanentes

Acidentais

Fixas

Móveis

Atuam sempre sobre a estrutura; Ex. peso próprio, revestimentos, equipamentos ...

Eventualmente atuam sobre a estrutura;

Intensidade pode ser variável no tempo; Posição de aplicação constante no tempo; Ex. vento, ocupação, água etc.

Intensidade constante no tempo; Posição de aplicação variável no tempo; Ex. Veículos – trens, caminhões, etc..

Definição de Linha de Influência

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• A Linha de Influência (L. I.) de um efeito elástico “E” em uma dada seção transversal “S”, é a representação gráfica ou analítica do valor deste efeito, na seção em questão, produzido por uma carga concentrada unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.

• Efeitos Elásticos: Reações de Apoio; Momentos Fletores; Esforços Cortantes; Esforços Normais; Momento Torsor; Deslocamentos

(Deformações)

*** Uma linha de influência ( de qualquer efeito elástico ) diz respeito à apenas e tão somente uma única seção transversal da estrutura

analisada.

Linhas de Estado x Linhas de Influência

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Linha (Diagrama) de Estado de Esforços Cortantes:

Linha de Influência de Esforços Cortantes para a seção “S”:

Convenção para os Diagramas de L.I.

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Para qualquer efeito elástico, a convenção de sinais para as linhas de influência é:

Aula 10 - Seção 2: Linhas de Influência de Vigas Biapoiadas

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Linhas de Influência de Reações de Apoio (1)

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(Anti-Hor.)

(Anti-Hor.)

Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0

𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

𝐿𝐿⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 = 1 ⇒ 𝑹𝑹𝑩𝑩 𝒙𝒙 =

𝒙𝒙 − 𝒂𝒂𝑳𝑳

Σ𝑀𝑀𝐵𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥

𝐿𝐿⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 = 1 ⇒ 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝒙𝒙 =

𝑳𝑳 + 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑳𝑳

Linhas de Influência de Reações de Apoio (2)

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Linhas de Influência de Momento Fletor para - Seções Transversais entre os Apoios (1)

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𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 . 𝑐𝑐 − 𝑃𝑃 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥

𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =

𝒄𝒄𝑳𝑳− 𝟏𝟏 𝒂𝒂 −

𝒄𝒄𝑳𝑳− 𝟏𝟏 𝒙𝒙

𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 . 𝑐𝑐

𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 +

𝒂𝒂𝑳𝑳

𝒄𝒄 −𝒄𝒄𝑳𝑳𝒙𝒙

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Linhas de Influência de estruturas isostáticas

são SEMPRE combinações de retas

Linhas de Influência de Momento Fletor para - Seções Transversais entre os Apoios (2)

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𝑀𝑀𝑆𝑆 =

𝑐𝑐𝐿𝐿− 1 𝑎𝑎 −

𝑐𝑐𝐿𝐿− 1 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)

1 +𝑎𝑎𝐿𝐿𝑐𝑐 −

𝑐𝑐𝐿𝐿𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)

Linhas de Influência de Esforço Cortante - Seções Transversais entre os Apoios (1)

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𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 (𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑎 − 𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥

𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =−𝒙𝒙 + 𝒂𝒂

𝑳𝑳

𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥

𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =𝑳𝑳 + 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙

𝑳𝑳

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Linhas de Influência de Momentos Fletores e

Esforços Cortantes são SEMPRE NULAS sobre os apoios.

Linhas de Influência de Esforço Cortante - Seções Transversais entre os Apoios (2)

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𝑉𝑉𝑆𝑆 =

−𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝐿𝐿

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥𝐿𝐿

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)

Aula 10 - Seção 3: Linhas de Influência de Vigas Engastadas em Balanço

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Linhas de Influência de Reações de Apoio

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(Anti-Hor.)

(Anti-Hor.)

Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 ⇒ 𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃. 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑴𝑴𝑨𝑨 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙

Σ𝐹𝐹𝑉𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 = 0 ⇒ 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏

Linhas de Influência de Momento Fletor

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𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟎𝟎

𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = −𝑃𝑃. (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)

𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝒄𝒄 − 𝒙𝒙

𝑀𝑀𝑆𝑆 = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

Linhas de Influência de Esforço Cortante

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𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟎𝟎

𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃

𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏

𝑉𝑉𝑆𝑆 = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

Resumo das LI’s de Vigas em Balanço

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FIM

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Exercício 10.1

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• Trace a linha de influência das reações de apoio da viga abaixo e em seguida, considerando uma carga móvel de 120 kN calcule: a) RA máx - máxima reação de apoio em A b) RA mín - mínima reação de apoio em A c) RB máx - máxima reação de apoio em B d) RB mín - mínima reação de apoio em B e) RA 7 m – reação de apoio em A para carga na posição x = 7 f) RB 9 m – reação de apoio em A para carga na posição x = 9

• Trace a linha de influência de momento fletor para a seção S da viga abaixo, e em seguida calcule: - Para uma carga móvel concentrada de 350 kN determinar: a) máximo momento fletor na seção S e qual a posição da carga móvel para que este ocorra; b) mínimo momento fletor na seção S e qual a posição da carga móvel para que este ocorra; - Para uma carga móvel distribuída de 50 kN/m (com comprimento indefinido), calcular: c) máximo momento fletor na seção S; d) mínimo momento fletor na seção S;

Exercício 10.2

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• Traçar as linhas de influência de momento fletor e esforço cortante para as seções S1, S2, S3 e S4:

Exercício 10.3

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• Traçar as linhas de influência: a) Das reações de apoio em A (VA e HA); b) De momentos fletores para as seções S1, S2 e S3;

Exercício 10.4

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