Introdução

Reta r, s, p,...

PontoA, B, C,...

•

Planoß,Ω,...

Relação entre um ponto e uma reta

r •

O ponto A pertence à reta rO ponto B não pertence à reta r

•

B

A

Relação entre pontos

AB

C•

••

D

EF

•

•

•

Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três)Os pontos D, E e F são colineares (não existe reta que passa pelos três

simultaneamente)

Relação entre duas retas de um planoc

m

ben

p

r

a

No exemplo anterior, temos:

As retas c e m são distintas e paralelas;As retas b e e são concorrentes e oblíquas;As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais);As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.

Ponto e Reta e Ponto e PlanoDado um ponto P e uma reta r, temos P ɛ r ou P ɇ rDado um ponto P e um plano α, temos P ɛ α ou P ɇ α

•

••

••

•

B

A

CD

XE

Exemplo:

No exemplo anterior, temos:

B ɛ r; B ɇ s; D ɛ s;D ɇ r; A ɛ r;

A ɛ s, E ɇ r; E ɇ s

Posições de pontos no espaço

Pontos colineares

A• B • C•

Pontos tais que existe uma reta à qual eles pertençam simultaneamente.

Pontos coplanares

•X •L •A

Pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.

Posições relativas de 2 retas

no espaçoDuas ou mais retas são coplanares quando

existe um plano que contém todas elas.

AB,BC,CD,DA e AC são coplanares porque o

plano (ABCD) as contém.

CD e GH, AD e EH, CG e DH

Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas de retas paralelas

distintas.

FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.

Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.

Observações:

Duas retas concorrentes são sempre coplanares.

Dadas duas retas, quando não existe um plano contém as duas, elas são chamadas

de retas reversas (ou não coplanares)

Duas retas

no

espaço

Coplanares

Não coplanares (reversas)

Concorrentes

Coincidentes ( iguais)

DistintasParalelas

Determinação de um plano

Um único plano passa por três pontos não colineares. Um plano, também pode ser

determinado por:

uma reta e um ponto

não-pertencente a

essa reta:

duas retas

distintas

concorrentes:

duas retas

distintas:

Posições relativas entre dois planos no espaço

Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si:Planos paralelos, Planos secantes e

Planos coincidentes.

Planos paralelos

Dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α for paralela a uma

reta pertencente ao plano β.

Planos secantes

Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar

uma reta.

Planos coincidentes

Planos coincidentes equivalem a um mesmo plano.

Ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.

Posições relativas de uma reta

e um plano

Existem três tipos de posições, sendo:

contida, incidente e paralela.

ContidaQuando a reta estiver contida no plano , ou

seja, quando todos os pontos de r pertencerem ao plano a.

a e r tem em

comum todos os

pontos de r

IncidenteQuando a reta tem somente um ponto uniforme com o plano. Ou seja, quando a reta r tem o ponto P em comum com o plano a, ela intersecta o plano em um determinado ponto.

ParalelaQuando a reta não tem nenhum ponto em comum com o plano, ou seja, a reta r está paralela ao plano a. r e a não tem pontos

em comum.

Paralelismo no espaço

Regra

As retas só são paralelas quando na possuem nenhum ponto em comum com a outra. Ou seja, duas retas distintas somente são paralelas quando não possuem pontos em comum.

Exemplo Em dois planos paralelos podem existir retas que não sejam paralelas. Retas paralelas podem existir em planos que não sejam paralelos.

1ª Propriedade

Quando dois planos distintos estão paralelos, qualquer reta pertencente a um

deles é paralela a o outro plano.

2ª Propriedade

Quando a reta é paralela a um plano, ela é paralela a pelo menos uma reta deste

plano.

3ª Propriedade

Quando uma reta não estiver contida num plano ela vai estar paralela a uma reta do

plano e ao plano.

4ª Propriedade

Quando um plano intersecta (“fura”) dois planos paralelos, as intersecções vão

formar duas retas paralelas.

5ª Propriedade

Quando um plano possui duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, logo os planos considerados também são

paralelos.

Perpendicularismo no Espaço

Em geometria, perpendicularidade (ou ortogonalidade, cujo símbolo é ) é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) fazem um ângulo de 90º.

Retas perpendiculares

Z e Y são retas concorrentes e

perpendiculares Z Y

Retas ortogonais

Retas que determinam quatro ângulos congruentes.

Se forem concorrentes, serão perpendiculares e retas ortogonais são retas que determinam quatro ângulos

congruentes.

Reta e plano perpendiculares

Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele se ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo

ponto de intersecção.

Gráfico 1

Gráfico 2

Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é

obliqua ao plano.

No Gráfico 1, t é perpendicular a αe no Gráfico 2 R é oblíqua a α

Para uma reta ser perpendicular a um plano

α é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes contidas em α, ou seja, são necessárias duas retas porque uma reta não é suficiente para garantir o perpendicularismo.

Por outro lado, bastam duas retas concorrentes,

ou seja, elas são suficientes, pois essas duas concorrentes já determinam o plano α.

1ª Propriedade

Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que

ela seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas nesse plano.

Ǝ r, s e t | s ⊂α, t ⊂α, s ∩ t = P,

r s e r t ⇔ r α

2ª Propriedade

Dados um ponto P e uma reta r, existe um único plano que passa por P e é

perpendicular a r.

P e r Ǝ α | P € α e r α⇒

3ª Propriedade

Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela também é

perpendicular ao plano.

r α e s // r s α ⇒

4ª Propriedade

Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro.

α // β e r α r β ⇒

Retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.

Planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.

Planos PerpendicularesUm plano é perpendicular a outro quando e

somente quando existe uma reta contida em um deles e perpendicular ao outro.

β α Ǝ r β | r α ⇔ ⊂

Se dois planos concorrentes não são

perpendiculares, dizemos que são oblíquos.

Quando uma reta é perpendicular a um plano,

todos os planos que a contêm são

perpendiculares ao plano inicial.

Se dois planos α e β são oblíquos e a reta r está

contida em α, então r não é perpendicular a β.

1ª Propriedade

Se uma reta r e um plano α são ambos perpendiculares a um plano β, a reta r é

paralela ao plano α.

2ª Propriedade

Se dois planos α e β se intersectam segundo uma reta r e se y é um outro perpendicular a

cada m dos planos α e β. Então y é perpendicular à reta r.

Teorema das 3 Perpendiculares

Dados: uma reta r perpendicular a um plano α no ponto P;

uma reta s, contida em α, que não passa por P;

uma reta t, contida em α, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A.Então, se B é um ponto de r, a

reta AB é perpendicular à reta s.

Simbolicamente: r α, r ∩ α = P

s ⊂ α, P ∉ st ⊂ α, P ∈ t, t s, t ∩ s =

A B ∈ r

Projeção ortogonal

Postulados/Axiomas

Ocorre quando há intersecção de um plano com sua reta

perpendicular através de um ponto, formando assim uma

projeção ortogonal de um ponto sobre o plano, ou seja, o ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P

sobre o plano α.

Obs: Quando o P ϵ α, os

pontos P’ e P coincidem,

ou seja, P’ = P

De uma figura qualquer sobre um plano

Ocorre quando as projeções de uma figura geométrica (qualquer

conjunto de pontos) sobre um plano, formando uma projeção

ortogonal de todos os pontos sobre o plano.

Exemplo:Há uma projeção ortogonal da figura

geométrica F sobre o plano α.

Casos particulares

1º - A projeção ortogonal de uma reta sobre uma plano pode ser tanto uma

reta como um ponto

2º - A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano pode ser um

segmento ou um ponto.

A distância entre dois pontos distintos pode formar um segmento.

Dados os pontos a e b, a distância entre eles forma o segmento A8B, se A e B coincidirem, dizemos que a distância

entre eles é zero.

Distâncias

A

B

•

•

Distância de um ponto a uma reta

Tendo um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma reta que passa por P sendo

perpendicular a r, no ponto A. A distância do ponto P à reta r é a distância

entre os pontos P e A.

Distância de um ponto a um plano

Dados um ponto P e um plano α, podemos determinar P’, que é a projeção ortogonal de P

sobre α. A distância do ponto P ao plano α é igual a distância entre os pontos P e P’.

Distância entre duas retas distintas e paralelas

A distância entre duas retas paralelas pode formar um reta perpendicular a partir de qualquer

ponto entre as retas paralelas. Dadas as r e s paralelas, os pontos A e B formam outra reta

perpendicular.

Distância entre uma reta a um planoQuando a reta é paralela ao plano e não está

contida nele

A distância entre uma reta paralela e um plano pode formar outra reta, que estará contida entre a reta paralela e o plano, a partir de qualquer ponto da reta paralela.

A distância da reta r e o

plano α paralelos da

origem a reta P e P’ a

partir do ponto P da reta r.

Distância entre dois pontos distintos e paralelos

Distância formada a partir de qualquer ponto de dois planos distintos e paralelos.

Dados os planos α e β

distintos e paralelos forma-se

uma reta entre os pontos P do

plano α e P’ do plano β.

Distância entre duas retas reversas

Distância formada a partir de qualquer ponto da reta r reversa e o plano α paralelo, que contem s. A distância entre r e s é a distância desse ponto a

esse plano.

O método dedutivo:algumas demonstrações

Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que

os contém.

Postulados/Axiomas

Dados 3 pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um,

plano que os contém.

Propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração

Teoremas

Demonstrados a partir dos postulados e de outros teoremas já demonstrados, usando

argumentação lógica.

Demonstração

Existe um único plano α que contém uma reta r e um ponto pertencente a

ela.

•P

ExistênciaP não pertence a r;

A e B são distintos pertencentes a r;P, A e B são colineares.

•P

Como, por um postulado, existe um único plano α contendo A, B e P, e como a reta r tem dois de seus pontos (A e B) em α, r está contida em α. Assim, de fato existe um plano contendo r e P.

UnicidadeTodo plano que contiver r e P, conterá A e

B. Logo, será o plano α.

Dados uma reta r e um ponto A não pertencente a r, existe uma reta que

passa por A e é paralela a r.

•P

Centro Educacional Monteiro Lobato

MATEMÁTICAProfessor Renilson Ribeiro

Ana LuízaAnne Lula

Jamille Marina Amorim

Tarciso ReisVinícius David

Grupo

Brumado/BA,Jun/2012

2º ano EM