Introduc¸ao˜ a Teoria da Medida e` Integral de Lebesguemcabral/livros/livro-medida/medida-V201… · Integral de Lebesgue Primeira Edi˘c~ao V0.8 5 de Janeiro de 2010 Marco A. P

Introducao a Teoria da Medida eIntegral de Lebesgue

Primeira Edicao V0.85 de Janeiro de 2010

Marco A. P. Cabral,PhD Indiana University, EUA

Depto. de Matematica AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro – RJ – Brasil

ii

IntroducaoNesta apostila fazemos uma introducao curta a Teoria da Medida. Os pre-requisitos sao:

(a) Teoria (elementar) dos conjuntos;(b) Conceitos de Analise Real: enumerabilidade, limite, supremum e nocoes de topologia

da reta.

Fomos cuidadosos nas motivacoes de cada capıtulo, fazendo consideracoes de caraterfilosofico/historico da materia. Para atender ao publico do livro, alunos com pouca bagagemmatematica, colocamos exercıcios mais concretos do que os usualmente encontrados em livrosde medida e muitos exemplos para ilustrar as definicoes.

Quanto ao conteudo selecionado, apresentamos a Teoria Geral de Medida, sem nos restrin-gir a Medida de Lebesgue, pela sua importancia em Probabilidade. Apresentamos a medidade Lebesgue utilizando o metodo de Caratheodory pelo seu uso na construcao das medidasde Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff. Damos destaque a comparacao entre as integrais deRiemann e Lebesgue.

Gostarıamos tambem que o aluno adquirisse um vocabulario basico da Teoria da Medida:Teorema da Convergencia Monotona e Dominada, Fubini, derivada de Radon-Nikodym, espacoproduto. Por isso incluımos estes resultados explicando sua importancia mas sem incluir suademonstracao (que tomaria muito tempo).

Com o estudo desta apostila o aluno estara pronto, por exemplo, para aplicacoes em Teoriade Probabilidades, Financas e em Equacoes Diferenciais Parciais.

As fontes principais desta apostila sao:(a) artigos da Wikipedia sobre medida e integracao;(a) capıtulos 11, 12 and 13 de Measure Theory, de D.H.Fremlin, University of Essex, Col-

chester, England. Cerca de metade dos exercıcios sao deste livro. Isso foi possıvel pois este ma-terial possui a Design Science License, que pode ser vista em http://dsl.org/copyleft/dsl.txt.

Recomendamos como leitura complementar o livro do Bartle (Elements of Integration, verBibliografia) por ser um curto e apropriado para um primeiro contato com a materia.

iii

iv

Sumario

1 Espaco com Medida 11.1 σ-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Espacos com Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Medida Exterior e Metodo de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Medida de Lebesgue em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 σ-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Espacos com Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3 Medida Exterior e Metodo de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Medida de Lebesgue em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Integracao 192.1 Funcoes Mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Definicao da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Teoremas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Integral de Riemann × Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Teorema de Radon-Nikodym e Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Outras Construcoes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.1 Funcoes Mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2 Definicao da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.3 Teoremas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7.4 Integral de Riemann × Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.5 Teorema de Radon-Nikodym e Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Probabilidade e Medida 39

Bibliografia 41

v

vi SUMARIO

Capıtulo 1Espaco com MedidaUma medida num conjunto X e uma funcao que atribui um numero real nao-negativo parasubconjuntos de X. Pode ser interpretada como area, tamanho, massa, volume, capacidadetermica ou qualquer propriedade aditiva, i.e., uma propriedade tal que a medida da uniao dedois conjuntos disjuntos e igual a soma de suas medidas. Um exemplo importante e a medidade Lebesgue no espaco euclidiano, que atribui comprimento, area e volume, respectivamente,a subconjuntos de Rn com n = 1, 2, 3.

Podemos enxergar a origem do conceito de medida no conceito de contagem. De fato, aideia de contagem pode ser generalizada de dois modos:

(a) como cardinalidade, ou (b) como medida.Existem conjuntos que sao pequenos do ponto de vista da medida mas grandes do ponto

de vista da cardinalidade. Um exemplo e Q, que possui medida (de Lebesgue) 0 mas possuiinfinitos pontos (cardinalidade infinita).

Gostarıamos de atribuir uma medida para cada subconjunto de X mas o axioma da es-colha implica, de forma nao-trivial, que existem subconjuntos de R (conjuntos de Vitali1, verExercıcio 40, p.17) aos quais nao podemos atribuir medida quando ela generaliza o compri-mento de intervalos de R. De fato e impossıvel atribuir comprimento a todos subconjuntosde R preservando a aditividade e invariancia por translacao.

Por isso temos que considerar uma colecao especial (usualmente menor) de subconjuntosde X onde a medida esta definida, a chamada σ-algebra de subconjuntos de X.

Elementos da σ-algebra sao chamados de conjuntos mensuraveis. Uma funcao e ditamensuravel se a imagem inversa de todo mensuravel e um mensuravel.

Decidimos apresentar a Teoria Geral da Medida, ao inves de medida de Lebesgue somente,pois a teoria geral e fundamental para a teoria de probabilidade e e mais facil que a construcaoda medida de Lebesgue. De fato, para construir a medida de Lebesgue e necessario antesintroduzir medida exterior e o metodo de Caratheodory.

Em resumo, nas duas primeiras secoes definimos σ-algebra e espaco de medida e nas duasultimas secoes apresentamos medida exterior (uma forma de construir medidas nao-triviais) ea medida de Lebesgue.

1Giuseppe Vitali: 1875 Ravenna, Italy – 1932 Bologna, Italy.

1

2 CAPITULO 1. ESPACO COM MEDIDA

1.1 σ-Algebras

O conceito usual de comprimento, area e volume se aplica somente a conjuntos com umacerta regularidade. Por isso para definir o conceito de medida temos que comecar definindouma classe de subconjuntos que podem ser medidos, a chamada σ-algebra.

DEFINICAO 1.1 Uma σ-algebra de subconjuntos de X e uma famılia Σ de subconjuntosde X tais que:

(a) ∅ ∈ Σ;(b) para todo E ∈ Σ, seu complemento E = X \ E ∈ Σ;

(c) para toda sequencia 〈En〉n∈N em Σ, sua uniao⋃n∈N

En ∈ Σ.

Elementos de Σ sao chamados de conjuntos mensuraveis.

Observacao 1.1 Uma algebra de conjuntos e um subconjunto fechado pelas operacoes decomplementacao e por uniao finita. O σ da σ-algebra e porque ela e fechada tambem pelauniao enumeravel. Note que, ao contrario da uniao, nao consideramos a complementacaoenumeravel (porque?).

Exemplo 1.1 Existem duas σ-algebra de subconjuntos de X que sao canonicas:(a) Σ = ∅, X , a menor σ-algebra de X; (b) P(X), a maior σ-algebra de X.

Exemplo 1.2 Considere X = 1, 2, 3, 4 . Sao σ-algebra de X (porque?):(a) Σ = ∅, 1 , 2, 3, 4 , X ; (b) Σ = ∅, 1, 2 , 3, 4 , X .

Exemplo 1.3 O conjunto Σ = A ∈ P(N); A e infinito ∪ ∅ satisfaz algumas daspropriedades (quais?) mas nao e uma σ-algebra.

Exemplo 1.4 O conjunto Σ = ∅,Q,Q,R e uma σ-algebra de R (porque?).

Exemplo 1.5 O conjunto Σ = A ∈ P(R); A ou A e enumeravel e uma σ-algebra de R(porque?).

Exemplo 1.6 O conjunto Σ = A ∈ P(R); A e um intervalo nao e uma σ-algebra de R(porque?).

A prova do proximo lema e um exercıcio facil deixado para o leitor.

LEMA 1.2 (Propriedades Elementares de uma σ-algebra) Se Σ e uma σ-algebra desubconjuntos de X, entao para todo E, F ∈ Σ:

(a) E ∪ F ∈ Σ; (b) E ∩ F ∈ Σ; (c) E \ F ∈ Σ;

(d) se 〈En〉n∈N e uma sequencia em Σ, entao⋂n∈N

En ∈ Σ.

1.1. σ-ALGEBRAS 3

Exemplo 1.7 Se En, Fq, Gt ∈ Σ para todo n ∈ Z, q ∈ Q e t ∈ R, pela definicao e peloultimo lema (reindexando as famılias de conjuntos envolvidas) pertencem a Σ:⋂

n∈Z

En,⋃n∈Z

En,⋂q∈Q

Fn,⋃q∈Q

Fn.

Por outro lado,⋃t∈[0,1]

Et e⋂t∈[0,1]

Et podem nao pertencer a Σ (porque?).

O proximo lema, cuja prova e um exercıcio facil deixado para o leitor, define um tiponao-trivial de σ-algebra gerado por uma famılia de σ-algebras. A formulacao e abstrata mase uma tecnica muito utilizada em algebra e analise para se obter a existencia de um objetomınimo com certa propriedade: tome a intersecao de todos objetos com esta propriedade.

Do lema decorrera a definicao de σ-algebra gerada por uma famılia de conjuntos, cujoexemplo mais importante e da σ-algebra de Borel, gerada pelos subconjuntos abertos de umespaco topologico.

LEMA 1.3 Seja S = (Σi)i∈I uma famılia (nao-vazia) de σ-algebras de subconjuntos de X.Entao ⋂

i∈I

Σi = E ∈ Σi; para todo i ∈ I,

a intersecao de todas as σ-algebras que pertencem a S, e uma σ-algebra de X.

COROLARIO 1.4 Seja A uma famılia de subconjuntos de X. Existe ΣA, a menor σ-algebrade subconjuntos de X incluindo A, i.e., se Σ e uma σ-algebra contendo A, entao ΣA ⊂ Σ.

Demonstracao. Defina

S , Σ; Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X, A ⊂ Σ

e ΣA ,⋂S. Complete o argumento.

DEFINICAO 1.5 Dizemos que ΣA ⊂ P(X) e a σ-algebra de subconjuntos de X geradapor A ⊂ P(X) se:

(a) ΣA e uma σ-algebra;(b) A ⊂ ΣA;

(c) Se Σ e uma σ-algebra com A ⊂ Σ, entao ΣA ⊂ Σ (a menor).

Exemplo 1.8 Para um X qualquer, a σ-algebra gerada por ∅ e ∅, X .

Exemplo 1.9 A σ-algebra de subconjuntos de N gerada por n ; n ∈ N e P(N).

Exemplo 1.10 A σ-algebra de subconjuntos de N gerada por 1 , 2 e∅, 1 , 2 , 1, 2 , 1 , 2 , 1, 2 ,N .


DEFINICAO 1.6 A σ-algebra gerada pela famılia de abertos de R (ou Rn) e conhecidacomo σ-algebra de Borel. Seus elementos sao os conjuntos de Borel2 ou borelianos.

Observacao 1.2 Veremos no Exercıcio 4, p.13 que a σ-algebra de Borel de R e geradatambem pelos intervalos abertos ou fechados, limitados ou ilimitados.

Esta definicao e generalizada para um espaco topologico (conjunto munido de umatopologia, um subconjunto das partes satisfazendo algumas propriedades, similar a definicaode σ-algebra) qualquer. Caso nao saiba o que e um espaco topologico, nao se preocupe, poisesta definicao nao sera utilizada neste texto.

DEFINICAO 1.7 Seja X um espaco topologico. A σ-algebra gerada pela famılia de conjun-tos abertos de X e conhecida como σ-algebra de Borel. Seus elementos sao os conjuntosde Borel3 ou borelianos de X.

1.2 Espacos com Medida

A teoria da medida foi desenvolvida no final do seculo XIX e no inıcio do seculo XX por EmileBorel, Henri Lebesgue4, Johann Radon5 and Maurice Frechet6, entre outros. As principaisaplicacoes sao:

• na fundamentacao da integral de Lebesgue, que generaliza (com vantagens) a integralde Riemann.

• na axiomatizacao da teoria de probabilidade feita por Andrey Kolmogorov;

• na definicao de integral em espacos mais gerais do que os euclidianos.

DEFINICAO 1.8 Dizemos que a sequencia 〈En〉n∈N e disjunta se nenhum ponto pertencea mais do que um En, isto e, se Em

⋂En = ∅ para todos m, n ∈ N distintos.

De forma analoga, se 〈Ei〉i∈I e uma famılia de conjuntos indexada por um conjuntoarbitrario I, entao ele e disjunto se Ei

⋂Ej = ∅ para todos i, j ∈ I distintos.

Para definir medida precisamos dizer o que significa uma funcao assumir valores em [0,∞].Este conjunto e a uniao do elemento ‘∞’ com o intervalo [0,∞) ⊂ R: um novo significadopara o ∞ em Matematica. Em medida ele significa comprimento, area ou volume infinito.Precisamos definir as operacoes aritmeticas basicas envolvendo ∞:

(a) adicao: ∞+∞ =∞+ a = a+∞ =∞ para todo a ∈ R;(b) subtracao: ∞− a =∞ para todo a ∈ R; mas ∞−∞ nao esta definido;(c) multiplicacao: ∞ ·∞ = a · ∞ =∞ · a =∞ para todo a > 0 e convencionamos (em

medida, confronte com calculo) 0 · ∞ =∞ · 0 = 0.

2Emile Borel: 1871 Saint Affrique, France – 1956 Paris, France.4Henri Lebesgue: 1875 Beauvais, France–1941 Paris, France.5Johann Radon: 1887 Tetschen, Bohemia (now Decin, Czech Republic) – 1956 Vienna, Austria.6Maurice Frechet: 1878 Maligny, France – 1973 Paris, France.

1.2. ESPACOS COM MEDIDA 5

Finalmente podemos estender a relacao de ordem usual para incluir ∞: a <∞ para todoa ∈ R. Com isto podemos definir o sup e o inf de subconjuntos de R ∪ ∞. A convencaousual e que inf ∅ =∞.

Outro ponto e: como interpretar∞∑n=0

xn com xn ∈ [0,∞]?

(a) se todos os xn sao finitos, trata-se de uma serie de termos nao-negativos: ou convergepara um numero real, ou e ilimitada, quando diremos que converge para ∞ (porque?).

(b) se um dos xn’s e igual a ∞, escrevemos que∞∑n=0

xn =∞.

DEFINICAO 1.9 Um espaco de medida e uma tripla (X,Σ, µ) onde:(a) X e um conjunto;(b) Σ e uma σ-algebra de subconjuntos de X;(c) µ : Σ→ [0,∞] e uma funcao tal que:

(c1) µ(∅) = 0;

(c2) se 〈En〉n∈N e uma sequencia disjunta em Σ, entao µ

(⋃n∈N

En

)=∞∑n=0

µ(En).

Os elementos de Σ sao chamados de conjuntos mensuraveis (ou µ-mensuraveis), e µe chamado de uma medida em X. A propriedade (c2) e chamada de σ-aditividade ouaditividade contavel.

Observacao 1.3 Uma medida definida numa σ-algebra de Borel (ver Definicao 1.6, p.4)e conhecida como medida de Borel.

Em linguagem informal, uma funcao e chamada de medida se atribui um numero realnao-negativo ou infinito para cada conjunto, e aditiva (medida da soma e igual a somadas medidas de conjuntos disjuntos) e vale zero no conjunto vazio. Como ja dissemos, enecessario se restringir a uma σ-algebra pois e impossıvel, de forma geral, se atribuir umamedida a TODOS os subconjuntos, a nao ser para algumas medidas triviais que apresentamosna sequencia (por exemplo a medida delta de Dirac do Exemplo 1.11, p.6 e a medida decontagem do Exemplo 1.12, p.6), definidas na σ-algebra trivial P(X).

DEFINICAO 1.10 Seja h : X → [0,∞] uma funcao qualquer. Dado E ⊂ X, defina:

µh(E) ,∑x∈E

h(x) , sup

∑x∈I

h(x); I ⊂ E e finito

.

Entao µh e uma medida em P(X) (porque?). Dizemos que e uma medida pontual.

Observacao 1.4 Definimos∑x∈∅

h(x) , 0.


Exemplo 1.11 Um caso particular importante e dado a ∈ X, a medida µIa , conhecida como

medida delta de Dirac7, denotada por δa, de modo que δa(Y ) =

0, se a 6∈ Y,1, se a ∈ Y.

Exemplo 1.12 Outro caso importante e obtido se h(x) = 1 para todo x. Obtemos a medida

de contagem em X, definida por µh(E) =

no. de pontos de E, se E e finito,

∞, se E e infinito.

Exemplo 1.13 Seja X = N, h(n) = 2−n−1 para cada n; entao µ(N) = 12

+ 14

+ · · · = 1.

LEMA 1.11 (Propriedades elementares da medida) Seja (X,Σ, µ) um espaco de me-dida.

(a) Se E, F ∈ Σ e E ∩ F = ∅, entao µ(E ∪ F ) = µ(E) + µ(F ).(b) Se E, F ∈ Σ e E ⊂ F , entao µ(E) ≤ µ(F ).(c) µ(E ∪ F ) ≤ µ(E) + µ(F ) para todo E, F ∈ Σ.

(d) Se 〈En〉n∈N e uma sequencia em Σ, entao µ

(⋃n∈N

En

)≤

∞∑n=0

µ(En).

(e) Se 〈En〉n∈N e uma sequencia nao-decrescente em Σ (isto e, En ⊂ En+1 para todon ∈ N), entao

µ

(⋃n∈N

En

)= lim

n→∞µ(En) = sup

n∈Nµ(En).

(f) Se 〈En〉n∈N e uma sequencia nao-crescente em Σ (isto e, En+1 ⊂ En para todon ∈ N), e se algum µ(En) e finito, entao

µ

(⋂n∈N

En

)= lim

n→∞µ(En) = inf

n∈Nµ(En).

Demonstracao. Deixamos (a), (b) e (c) como exercıcios.

(d) Seja F0 = E0, Fn = En \⋃i<n

Ei para n ≥ 1; entao 〈Fn〉n∈N e uma sequencia disjunta

em Σ. Complete esta prova.(e) Seja F0 = E0, Fn = En \ En−1 para n ≥ 1; entao 〈Fn〉n∈N e uma sequencia disjunta

em Σ e⋃n∈N

Fn =⋃n∈N

En. Consequentemente µ

(⋃n∈N

En

)=

∞∑n=0

µ(Fn). Mas uma inducao

facil em n, usando (a) para o passo indutivo, mostra que µ(En) =n∑

m=0

µ(Fm) para todos n.

Entao∞∑n=0

µ(Fn) = limn→∞

n∑m=0

µ(Fm) = limn→∞

µ(En).

7Paul Dirac: 1902 Bristol, England – 1984 Tallahassee, Florida, USA.

1.2. ESPACOS COM MEDIDA 7

Finalmente, limn→∞

µ(En) = supn∈N

µ(En) porque (por (b)) 〈µ(En)〉n∈N e nao-decrescente.

(f) Suponha que µ(Ek) < ∞. Defina Fn , Ek \ Ek+n para n ∈ N, F =⋃n∈N

Fn; entao

〈Fn〉n∈N e uma sequencia nao-decrescente em Σ e µ(F ) = limn→∞

µ(Fn), por (e) acima. Temos

que µ(Fn) + µ(Ek+n) = µ(Ek); como µ(Ek) < ∞, nos podemos escrever que µ(Fn) =µ(Ek)− µ(Ek+n), e portanto

µ(F ) = limn→∞

(µ(Ek)− µ(Ek+n)) = µ(Ek)− limn→∞

µ(En).

Agora, F ⊂ Ek, entao µ(F ) + µ(Ek \ F ) = µ(Ek), e (novamente pois µ(Ek) e finito)µ(F ) = µ(Ek)− µ(Ek \ F ). Portanto nos temos que µ(Ek \ F ) = lim

n→∞µ(En). Mas Ek \ F

e somente⋂n∈N

En.

Finalmente, limn→∞

µ(En) = infn∈N

µ(En) pois 〈µ(En)〉n∈N e nao-crescente.

Observacao 1.5 Observe que em (f) acima e essencial ter que infn∈N

µ(En) < ∞. De

fato, tome X = N e seja µ a medida de contagem em X do Exemplo 1.12, p.6. DefinaEn , i ∈ N; i ≥ n para cada n. Entao En+1 ⊂ En para cada n, mas

µ

(⋂n∈N

En

)= µ(∅) = 0 <∞ = lim

n→∞µ(En).

DEFINICAO 1.12 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Um conjunto A ⊂ X possuimedida nula se existe um conjunto E ∈ Σ tal que A ⊂ E e µ(E) = 0.

Observacao 1.6 Um conjunto de medida nula nao precisa ser mensuravel, embora estejacontida em um conjunto mensuravel de medida nula.

DEFINICAO 1.13 Espacos de medida em que todos os conjuntos de medida nula sao men-suraveis e chamado de completo.

Deixamos a demonstracao do proximo lema como exercıcio.

LEMA 1.14 (Ideal de Conjuntos de Medida Nula) Seja N a famılia de conjuntos demedida nula de um espaco de medida (X,Σ, µ). Entao:

(a) ∅ ∈ N ;(b) se A ⊂ B ∈ N , entao A ∈ N ;

(c) se 〈An〉n∈N e uma sequencia em N , entao⋃n∈N

An ∈ N .

LEMA 1.15 Dado um espaco de medida (X,Σ, µ), existe um espaco de medida completo

(X, Σ, µ) tal que Σ ⊂ Σ e µ = µ em Σ.


Demonstracao. Seja N a famılia de conjuntos de medida nula de (X,Σ, µ). Considere

Σ , X ∪ Z ∈ P(X); X ∈ Σ, Z ∈ N. Para cada Y ∈ Σ, Y = X ∪ Z, definaµ(Y ) , µ(X). Complete o argumento.

Exemplo 1.14(a) para a medida de contagem, o unico conjunto de medida nula e o ∅.(b) para a medida δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se,

a 6∈ A.

DEFINICAO 1.16 Se uma afirmacao P (x) pode ser aplicada aos elementos x ∈ X de umespaco com medida µ, nos dizemos que

P (x) para (µ-)quase todo ponto x ∈ X

significando que o conjunto x ∈ X; P (x) e falso possui medida nula com relacao a medidaµ.

Observacao 1.7 As expressoes ‘quase todo ponto’ (qtp), ‘quase sempre’, ‘almosteverywhere’ (a.e.), ‘almost surely’ (a.s.), ‘presque partout’ (p.p.) significam a mesmacoisa.

Exemplo 1.15 Se f, g, fn : X → R sao funcoes:(a) ‘f > 0 qtp.’ significa que x ∈ X; f(x) ≤ 0 possui medida nula;(b) ‘f = g qtp.’, significa que x ∈ X; f(x) 6= g(x) possui medida nula;(c) ‘f < g qtp.’, significa que x ∈ X; f(x) ≥ g(x) possui medida nula;(d) ‘f ≥ g qtp.’, significa que x ∈ X; f(x) < g(x) possui medida nula;(f) ‘fn → g qtp.’, significa que x ∈ X; fn(x) 6→ g(x) possui medida nula.

Se o conjunto onde esta definido a medida e um espaco topologico (conjunto munidode uma topologia, similar a definicao de σ-algebra), podemos colocar condicoes de compa-tibilidade entre a medida e a topologia. O exemplo importante e uma medida definida naσ-algebra gerada pelos abertos, (σ-algebra de Borel, ver Definicao 1.7, p.4), conhecida comomedida de Borel.

1.3 Medida Exterior e Metodo de Caratheodory

A teoria geral de Medida Exterior (tambem chamado de pre-medida) foi introduzida por Cara-theodory8. E um metodo fundamental para se definir medidas nao-triviais, incluindo a medidade Lebesgue.

Vamos ilustrar como esta construcao abstrata surge quando se tenta estender a medidade intervalos para um subconjunto qualquer de R. Podemos proceder da seguinte forma:

8Constantin Caratheodory: 1873 Berlin, Germany – 1950 Munich, Germany.

1.3. MEDIDA EXTERIOR E METODO DE CARATHEODORY 9

(a) Defina a medida de um intervalo (a, b) (ou [a, b], ou (a, b], etc.) como b− a.(b) Dado um conjunto A ⊂ R qualquer defina sua medida como o ınfimo da soma das

medidas de intervalos que cobrem A.(c) Esta pre-medida nao possui a propriedade natural de ser σ-aditiva (medida da uniao

enumeravel disjunta e igual a soma das medidas) em P(R): e necessario reduzir seu domıniopara que seja.

De forma mais geral o Metodo de Caratheodory consiste do seguinte:(a) Definimos uma funcao, a chamada medida exterior ou pre-medida, em P(X). Exigimos

da medida exterior menos do que da medida (subaditividade ao inves de aditividade).(b) Restringimos esta funcao a um certo subconjunto, que sera uma σ-algebra, grande o

suficiente para ser interessante, onde a medida exterior e uma medida.Este roteiro justifica o nome pre-medida, utilizado para se denominar as medidas exteriores

por alguns autores.Embora existam outras formas de construir a medida de Lebesgue (por exemplo veja a

Secao 2.6, p.32), esta construcao e utilizada para se definir outras medidas, como por exemploa medida (exterior) de Hausdorff, que merecera mais comentarios no final do capıtulo na p.12.

DEFINICAO 1.17 Uma medida exterior ou pre-medida em X e uma funcaoθ∗ : P(X)→ [0,∞] tal que

(a) θ∗(∅) = 0,(b) se A ⊂ B ⊂ X, entao θ∗(A) ≤ θ∗(B) (monotona),(c) para toda sequencia 〈An〉n∈N de subconjuntos de X,

θ∗

(⋃n∈N

An

)≤

∞∑n=0

θ∗(An) (subaditiva).

Observacao 1.8 A ideia de medida exterior (ou pre-medida) de A e que e um limite detodas as possıveis medidas de A. E similar, em integracao, ao conceito de integral superior.Sera a medida de A caso A seja mensuravel, o que ocorrera caso a fronteira de A seja“bem comportada”.

Nos apresentamos agora o Teorema mais importante da Teoria basica de Medida. Como aprova e longa e muito tecnica, sera omitida. Em resumo, dada uma medida exterior θ∗ existeuma σ-algebra maximal tal que θ∗ restrita a esta σ-algebra e uma medida.

? TEOREMA 1.18 (Teorema da Extensao de Caratheodory) Seja θ∗ uma medida ex-terior em X. Defina

Σθ∗ , A ⊂ X; θ∗(E) = θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A) para todo E ⊂ X.

Entao Σθ∗ e uma σ-algebra de subconjuntos de X gerado pela medida exterior θ∗. Definaµ : Σθ∗ → [0,∞] por µ(A) , θ∗(A) para A ∈ Σθ∗ ; entao (X,Σθ∗ , µ) e um espaco de medidacompleto.


Observe que o conjunto A decompoe qualquer E em duas partes disjuntas (E ∩ A) e(E \A) (ver Figura 1.1). Como θ∗ e somente subaditiva (se fosse aditiva terıamos igualdade)nos temos que

θ∗(E) ≤ θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A).

Se a igualdade ocorrer para todo E, entao o conjunto A sera mensuravel com relacao amedida µ.

AE1

E1 ∩ A

E1 \ A

AE2

E2 ∩ A

E2 \ A

AE3

E3 ∩ A

E3 \ A

A

E4

E4 ∩ A

E4 \ A

Figura 1.1: A e mensuravel sse θ∗(Ei) = θ∗(Ei ∩ A) + θ∗(Ei \ A) para todo Ei.

1.4 Medida de Lebesgue em RA medida de Lebesgue, alem de ser a mais importante para aplicacoes, foi, historicamente, oguia para a Teoria Geral da Medida, onde os resultados inicialmente foram desenvolvidos.

O roteiro que vamos seguir e definir o comprimento de intervalos e utiliza-los para definiruma medida exterior. Aplicando o Teorema de Extensao de Caratheodory obtemos umamedida e uma σ-algebra, chamadas de medida e σ-algebra de Lebesgue. Esta sera a primeiramedida nao-trivial que definiremos. Nos exercıcios existem diversas outras medidas construıdasde forma semelhante como por exemplo (Exercıcio 41, p.17) a medida de Lebesgue-Stieltjes,muita usada em Probabilidade.

DEFINICAO 1.19 Seja I = [a, b) ⊂ R um intervalo semiaberto. Definimos seu compri-mento λ(I) por

λ(∅) , 0, λ([a, b)) , b− a se a < b.

1.4. MEDIDA DE LEBESGUE EM R 11

DEFINICAO 1.20 Definimos θ∗ : P(R)→ [0,∞], a medida exterior de Lebesgue por

θ∗(A) , inf

∞∑j=0

λ(Ij); 〈Ij〉j∈N e uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂⋃j∈N

Ij

.

Observacao 1.9 Observe que θ∗ esta bem definida pois todo A pode ser coberto por

alguma sequencia de intervalos semiabertos – por exemplo A ⊂⋃n∈N

[−n, n); portanto nos

sempre temos um conjunto nao-vazio para tomar o infimum, e θ∗(A) esta sempre definidaem [0,∞].

O fato que θ∗ e uma medida exterior e justificado pelo item (a) da proxima Proposicao.Deixamos como exercıcio provar (a) e parte de (b).

PROPOSICAO 1.21 (Medida exterior de Lebesgue) Seja θ∗ dada pela Definicao 1.20.(a) θ∗ e uma medida exterior em R.(b) θ∗ e uma extensao de λ, isto e, θ∗(I) = λ(I) para todo intervalo semiaberto I ⊂ R.

Como a medida exterior de Lebesgue e uma medida exterior, podemos usa-la para construira medida µ usando o metodo de Caratheodory.

DEFINICAO 1.22 A medida µ obtida pela aplicacao do Teorema 1.18 a medida exterior θ∗

e chamada de medida de Lebesgue em R. Os conjuntos E ⊂ R tais que

θ∗(A ∩ E) + θ∗(A \ E) = θ∗(A), para todo A ⊂ R,

sao chamados de conjuntos mensuraveis a Lebesgue.

No caso da medida de Lebesgue, em livros de analise aparece a definicao abaixo, equiva-lente a definicao geral de conjunto de medida nula ja apresentado (porque?).

DEFINICAO 1.23 Dizemos que A ⊂ R tem medida (de Lebesgue) nula se para todoε > 0, existe uma sequencia (In)n∈N de intervalos abertos e limitados tal que

A ⊂+∞⋃n=1

In e+∞∑n=1

|In| ≤ ε, (1.1)

sendo que |I| representa o comprimento do intervalo I, ou seja, |I| = b− a se I = (a, b).

Terminamos apresentando (sem demonstracao) um Teorema que relaciona conjuntos deBorel com conjuntos mensuraveis a Lebesgue. Sua importancia e garantir que utilizando ometodo de Caratheodory obtemos uma σ-algebra grande o suficiente para incluir os conjuntosde Borel.

? TEOREMA 1.24 (Conjuntos de Borel sao mensuraveis a Lebesgue) Todo conjuntode Borel de R e mensuravel a Lebesgue.


Este resultado implica que todos conjuntos abertos e fechados e todos intervalos sao conjuntosmensuraveis a Lebesgue.

Observacao 1.10 Pode-se exibir (exemplo de Lusin – ver Wikipedia: Non-Borel set) umconjunto que nao e Borel mas e Lebesgue mensuravel. Por contraste, pode-se provar aexistencia (o conjunto de Vitali) de um conjunto nao-mensuravel a Lebesgue mas esteconjunto nao pode ser exibido pois a prova e feita utilizando o axioma da escolha (verExercıcio 40, p.17).

Devido a dificuldade da existencia de conjuntos nao-mensuraveis a Lebesgue, nas aplicacoeseles frequentemente sao ignorados: e assumido que todo conjunto pode ser medido.

Observacao 1.11 Podemos provar que a medida de Lebesgue e a unica medida em Rque:(a) e completa (Definicao 1.13, p.7);(b) e invariante por translacao (i.e., µ(A) = µ(A+ x) para todo x ∈ R);(c) contem a σ-algebra dos intervalos de R;(d) atribui 1 ao intervalo [0, 1].Isto se generaliza de forma obvia para o Rn. Note a semelhanca com a unicidade dodeterminante em Rn como unica forma multilinear que atribui o valor 1 a um n-cubo.

A medida de Lebesgue e generalizada pela medida de Haar9 para um grupo topologicolocalmente compacto. O conjunto R e um grupo sob a operacao de soma. Assim a medidade Lebesgue e invariante pela operacao deste grupo. Podemos generalizar isto para um grupoe obter a medida de Haar. Um exemplo e a medida de Haar no cırculo, que corresponde amedida do comprimento de arco do conjunto. Ela possui uma unicidade similar a medida deLebesgue se for normalizada.

Finalmente temos a famılia de medidas exteriores de Hausdorff10, que generalizam amedida de Lebesgue para subconjuntos do Rn (e de forma mais geral para qualquer espacometrico, em particular para espacos de Hilbert). A medida 0-dimensional de Hausdorff eo numero de pontos de um conjunto (a medida de contagem do Exemplo 1.12, p.6), amedida 1-dimensional de um curva em Rn e seu comprimento, e a medida 2-dimensional eproporcional a area de superfıcie, etc. Alem disso existem medidas d-dimensionais de Hausdorffpara todo d ≥ 0 (nao necessariamente um inteiro!). Com elas podemos definir a dimensao(nao necessariamente inteira) de Hausdorff de subconjuntos. Faz parte da chamada TeoriaGeometrica da Medida. Ela aparece no estudo de atratores (em sistemas dinamicos), naanalise harmonica e na teoria do potencial.

A forma como construımos a medida de Lebesgue nesta secao pode ser apresentada deforma abstrata da seguinte forma. Considere I uma famılia de subconjuntos de X (no casoda medida de Lebesgue, intervalos semiabertos) tal que ∅ ∈ I e λ : I → [0,∞) uma funcaotal que λ(∅) = 0 (no caso da medida de Lebesgue, o comprimento do intervalo). Defina

9Haar10Felix Hausdorff: 1868 Breslau, Germany (now Wroclaw, Poland) – 1942 Bonn, Germany.

1.5. EXERCICIOS 13

θ∗ : P(X)→ [0,∞] por

θ∗(A) , inf

∞∑j=0

λ(Ij); 〈Ij〉j∈N e uma seq. in I t.q. A ⊂⋃j∈N

Ij

,

interpretando inf ∅ como ∞, de modo que θ∗(A) = ∞ se A nao e coberto por qualquersequencia em I (na caso da medida de Lebesgue isto nao acontece). Podemo provar que θ∗ euma medida exterior em X. No Exercıcio 31, p.16 exploramos uma construcao similar poremmais simples.

Outros exemplos importantes que utilizam esta construcao abstrata e:(a) A medida de Lebesgue-Stieltjes, apresentada no Exercıcio 41, p.17, muita usada em

Probabilidade.(b) A medida exterior de Hausdorff referida acima.

1.5 Exercıcios

1.5.1 σ-Algebras

=⇒ 1. Porque nao precisamos considerar a operacao de complementacao enumeravel na De-finicao 1.1, p.2?

=⇒ 2. Considere Σ = A ⊂ R; A e enumeravel ou A e enumeravel e A = x ; x ∈ R(subconjuntos de R unitarios). Prove que:

(a) Σ e uma σ-algebra; (b) a σ-algebra gerada por A e igual a Σ.

=⇒ 3. Considere X = 1, 2, 3, 5, 6 . Determine a σ-algebra gerada por:(a) A1 = 2 ; (b) A2 = 1, 2 ; (c) A3 = 1, 2, 3 ;(d) A4 = 1, 2 , 1, 3 ; (e) A5 = 1 , 2, 3 .

=⇒ 4. Considere as seguintes famılias de intervalos de R:A1 = (−∞, a) ; a ∈ R, A2 = [a,∞) ; a ∈ R,A3 = [a, b); a, b ∈ R, A4 = [a, b]; a, b ∈ R.

(a) Prove que todo intervalo I ∈ Ai, para algum i, e um conjunto de Borel.(b) Prove que a σ-algebra gerada por Ai, para cada i, e a σ-algebra de Borel.

→ 5. Seja Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X e A ⊂ X. Prove que

(E ∩ A) ∪ (F \ A); E,F ∈ Σ

e uma σ-algebra de subconjuntos de X gerada por Σ ∪ A .Dica: Prove a uniao primeiro. Prove a intersecao e use leis de Morgan para o complemen-

tar.

6. Prove o Lema 1.2, p.2.


8. Complete o argumento do Corolario 1.4, p.3.


9. Prove que todo G ⊂ R aberto pode ser escrito de forma unica como a uniao enumeravelde intervalos abertos.

Dica: Para cada x, y ∈ G, defina a relacao x ∼ y se o intervalo [x, y] ⊂ G (se x ≤ y) ou[y, x] ⊂ G (caso contrario). Prove que ∼ e uma relacao de equivalencia. Defina I como oconjunto das classes de equivalencia. Prove que existe uma funcao injetiva de I em Q. Cadaclasse e um intervalo aberto.

ý 10. (extra) Prove que dado a ∈ R e um conjunto de Borel E ⊂ R, E + a e um conjunto deBorel.

Dica: Prove que E; E + a e Borel e uma σ-algebra contendo os abertos.

ý 11. (extra) Seja E ⊂ R2 um conjunto de Borel e P : R2 → R definida por P (x, y) , x(projecao ortogonal no eixo-x). Prove que P (E) e um conjunto de Borel em R.

1.5.2 Espacos com Medida

12. Prove que se (An)n∈N e uma sequencia de conjuntos de medida nula (veja Definicao 1.12,

p.7), entao+∞⋃n=1

An tem medida nula.

=⇒ 13. Prove que para a medida:(a) de contagem, o unico conjunto de medida nula e o ∅;(b) δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se, a 6∈ A.

=⇒ 14. Explique o significado das expressoes abaixo para a medida de contagem e para a medidaδa de Dirac:

(a) f = 0 quase todo ponto; (b) f > 0 quase todo ponto.

15. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5 com h = | sen |. Entao µh(A) = 0se, e somente se, A . . . . . . . . . (complete a lacuna).

=⇒ 16. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5 com h = Ix>0 . Determine se eVerdadeiro ou Falso:

(a) Ix<−3 = 0 µh-qtp; (b) Ix<1 = I 0≤x<1 µh-qtp.

→ 17. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5. Chamamos de suporte de umafuncao f o conjunto dos pontos onde f se anula. Utilize o conceito de suporte para determinarcondicoes equivalentes a:

(a) µh(A) = 0; (b) g = 0 qtp. com relacao a µh.

18. Prove que a medida pontual µh da Definicao 1.10, p.5 e uma medida.

19. Prove os itens (a), (b), (c) e (d) do Lema 1.11, p.6.


21. Considere a prova do Lema 1.15, p.7. Prove que(a) Σ e uma σ-algebra; (b) (X, Σ, µ) e completo.

→ 22. Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Prove que:

1.5. EXERCICIOS 15

(a) µ(E ∪ F ) + µ(E ∩ F ) = µ(E) + µ(F );(b) µ(E∪F ∪G)+µ(E∩F )+µ(E∩G)+µ(F ∩G) = µ(E)+µ(F )+µ(G)+µ(E∩F ∩G)

para todo E, F , G ∈ Σ.Dica: comece com o caso em que todas as medidas sao finitas.

=⇒ 23. Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Defina a relacao entre funcoes mensuraveis f ∼ gse f = g qtp. Prove que esta relacao e de equivalencia.

ý 24. (extra) Seja Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X. Sejam µ1 e µ2 medidas em Xcom domınio Σ. Defina, para cada E ∈ Σ,

µinf(E) , infF∈Σµ1(E ∩ F ) + µ2(E \ F ), µsup(E) , sup

F∈Σµ1(E ∩ F ) + µ2(E \ F ).

(a) Prove que µinf e µsup sao medidas em X com domınio Σ.(b) Determine µinf e µsup se µ1 = δa e µ2 = δb para a, b ∈ R, medidas delta de Dirac do

Exemplo 1.11, p.6.(c) Determine µinf e µsup se µ1 = µf e µ2 = µg, medidas pontuais (ver Definicao 1.10,

p.5) dadas pelas funcoes f e g.(d) Prove que µinf e a maior medida, com domınio Σ, tal que µinf(E) ≤ min(µ1(E), µ2(E))

para todo E ∈ Σ.(e) Prove que µsup e a menor medida, com domınio Σ, tal que µsup(E) ≥ max(µ1(E), µ2(E))

para todo E ∈ Σ.

ý 25. (extra) Seja Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X. Seja N uma famılia nao-vaziade medidas em X, todas com domınio Σ. Suponha tambem que existe uma ν ∈ N tal queν(X) <∞. Defina para cada E ∈ Σ,

µmin(E) , inf

n∑i=0

νi(Fi); n ∈ N, ν0, . . . , νn ∈ N, F0, . . . , Fn ∈ Σ, E ⊂n⋃i=0

Fi

,

µmax(E) , sup

n∑i=0

νi(Fi); n ∈ N, ν0, . . . , νn ∈ N, disjuntos F0, . . . , Fn ∈ Σ,n⋃i=0

Fi ⊂ E

.

Prove que:(a) µmin e µmax sao medidas.(b) µmin e a maior medida e µmax e a menor medida, com domınio Σ, tal que

µmin(E) ≤ infν∈N

ν(E) e µmax(E) ≥ supν∈N

ν(E) para todo E ∈ Σ.

Dica: Suponha inicialmente que N e finito e veja o exercıcio anterior.

1.5.3 Medida Exterior e Metodo de Caratheodory

=⇒ 26. Compare a definicao de medida (Definicao 1.9, p.5) com a definicao de medida exterior(Definicao 1.17, p.9). Tente provar a condicao (b) da Definicao 1.17, p.9 partindo de (c).Contraste com (c1) da Definicao 1.9, p.5.


→ 27. Prove que se θ∗ e uma medida exterior em X, com A, B subconjuntos de X, entaoθ∗(A ∪B) ≤ θ∗(A) + θ∗(B).

Dica: Tem algo para ser provado?

=⇒ 28. Seja θ∗ uma medida exterior em X, µ a medida definida pelo metodo de Caratheodory.Prove que se θ∗(A) = 0, entao A e µ-mensuravel com medida zero. Conclua que µ e completano sentido da Definicao 1.13, p.7.

29. Suponha que θ∗1, θ∗2 sao medidas exteriores em X e 〈θ∗i 〉i∈I e uma famılia nao-vaziaqualquer de medidas exteriores em X. Prove que sao medidas exteriores:

(a) θ∗1 + θ∗2, definindo (θ∗1 + θ∗2)(A) , θ∗1(A) + θ∗2(A) para cada A ⊂ X.(b) θ∗sup, onde θ∗sup(A) , sup

i∈Iθ∗i (A) para cada A ⊂ X.

(c) θ∗1 ∧ θ∗2, definindo (θ∗1 ∧ θ∗2)(A) , infθ∗1(B) + θ∗2(A\B); B ⊂ A para cada A ⊂ X.

ý 30. (extra) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Para A ⊂ X defina

µ∗(A) , infµ(E); E ∈ Σ, A ⊂ E.

Prove que:(a) existe E ∈ Σ tal que A ⊂ E e µ(E) = µ∗(A).(b) µ∗ e uma medida exterior em X.

ý 31. (extra) Considere λ : P(X) → [0,∞] uma funcao qualquer tal que λ(∅) = 0. Definaθ∗ : P(X)→ [0,∞] por

θ∗(A) , inf

∞∑j=0

λ(Cj); 〈Cj〉j∈N e uma seq. in P(X) t.q. A ⊂⋃j∈N

Cj

.

Prove que θ∗ e uma medida exterior em X.

ý 32. (extra) Sejam θ∗1, θ∗2 duas medidas exteriores em X. Prove que θ∗1∧θ∗2, como definida noExercıcio 29, p.16, e uma medida exterior derivada pelo processo do Exercıcio 31 do funcionalλ(C) , min(θ∗1(C), θ∗2(C)).

1.5.4 Medida de Lebesgue em R

=⇒ 33. Identifique uma funcao contınua em R que seja igual quase todo ponto com relacao amedida de Lebesgue em R a cada uma das funcoes abaixo:

(a) IN; (b) IQ; (c) IQ ; (d) I[0,1].

→ 34. Considere (a medida exterior de Lebesgue) θ∗ da Definicao 1.20, p.11. Prove que:(a) θ∗ e uma medida exterior;(b) θ∗([a, b)) ≤ b−a. Provar a igualdade e uma questao mais delicada (consulte literatura).

=⇒ 35. Seja µ a medida de Lebesgue em R. Prove que:(a) µ( a ) = 0 para todo ∈ R; (b) µ(K) = 0 para todo K enumeravel;(c) µ([a, b]) = µ((a, b)) = µ([a, b)); (d) µ((a,+∞)) =∞.

1.5. EXERCICIOS 17

36. Prove que Q e pequeno do ponto de vista da medida de Lebesgue mas grande do pontode vista da cardinalidade.

37. Prove que a Definicao 1.23, p.11 de medida nula para medida de Lebesgue e equivalentea Definicao 1.12, p.7.

38. Considere f : [a, b] → R e X ⊂ [a, b] com medida nula com relacao a medida deLebesgue. Prove que f(X) tem medida nula com relacao a medida de Lebesgue se f eLipschitz ou Holder contınua.

Dica: estime diam(f(I)) para I um intervalo qualquer.

39. Prove que o conjunto de Cantor (que e nao-enumeravel) possui medida nula de Lebesgue.

=⇒ 40. Considere a relacao em R: a ∼ b se, e somente se, a− b ∈ Q.

(a) Prove que e de equivalencia.

(b) Defina V (conjunto de Vitali definido em 1905) como o conjunto formado por umelemento de cada classe de [0, 1]/Q. Seja Vq , q + V . Prove que se q 6= q (com q, q ∈ Q)entao Vq ∩ Vq = ∅.

(c) Prove que R =⋃q∈Q

Vq.

(d) Prove que V e nao-enumeravel.

(e) Prove que [0, 1] ⊂⋃

q ∈ [−1,1]∩Q

Vq ⊂ [−1, 2].

(f) Prove que V nao e mensuravel.

Dica: Como Vq e translacao de V , ambos possuem mesma medida. Como por (b) os Vqsao disjuntos, a medida da uniao e igual a soma das medidas. Por (e) a medida da uniaodos conjuntos de Vitali estaria entre 1 e 3. A medida de V nao pode ser zero nem positiva!Contradicao. Ver Wikipedia, Vitali set.

Obs: Note que a invariancia por translacao e o axioma da escolha sao barreiras insuperaveispara se atribuir medida para todo subconjunto de R.

=⇒ 41. Considere g : R → R uma funcao contınua nao-decrescente. Dado um intervalosemiaberto I = [a, b) ⊂ R defina λg(I) por

λg(∅) , 0, λg ([a, b)) , g(b)− g(a) se a < b.

Dado A ⊂ R, defina

θ∗g(A) , inf

∞∑j=0

λg(Ij); 〈Ij〉j∈N e uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂⋃j∈N

Ij

.

Mostre que θ∗g e uma medida exterior em R.

DEFINICAO 1.25 A medida µg gerada pelo metodo de Caratheodory partindo da medidaexterior θ∗g e conhecida como medida de Lebesgue-Stieltjes associada a g.


De forma mais geral, considere uma funcao h : R → R nao-decrescente (nao precisa sercontınua). Dado um intervalo semiaberto I = [a, b) ⊂ R defina λh(I) por

λh(∅) , 0, λh ([a, b)) , limx→b−

h(x)− limx→a−

h(x) se a < b.

Dado A ⊂ R, defina

θ∗h(A) , inf

∞∑j=0

λh(Ij); 〈Ij〉j∈N e uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂⋃j∈N

Ij

.

Mostre que θ∗h e uma medida exterior em R. Podemos novamente definir a medida deLebesgue-Stieltjes. Em que ponto o argumento nao vai funcionar se definirmos λh [a, b) ,h(b)− h(a) ao inves da formula acima?

ý 42. (extra) Considere µ a medida de Lebesgue e f : R→ R uma funcao Lipschitz contınuacom |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y| para todo x, y ∈ R. Prove que para todo E mensuravel:

(a) f(E) e um conjunto mensuravel;(b) µ(f(E)) ≤ Kµ(E).Dica: Prove inicialmente para intervalos.

ý 43. (extra) Vamos mostrar que a medida exterior de Lebesgue θ∗ em R e invariante portranslacao.

(a) Suponha que c ∈ R. Prove que θ∗(A + c) = θ∗(A) para todo A ⊂ R, onde A + c =x+ c; x ∈ A.

(b) Suponha que c > 0. Prove que θ∗(cA) = cθ∗(A) para todo A ⊂ R, onde cA =cx; x ∈ A.

Dica: comece com intervalos semiabertos. Depois prove que θ∗(A+ x) ≤ θ∗(A) + ε paratodo ε > 0 e (usando este resultado) θ∗(A) = θ∗((A+ x) + (−x)) ≤ θ∗(A+ x).

ý 44. (extra) Seja B a σ-algebra de conjuntos de Borel de R e ν : B → [0,∞] uma medidatal que ν[−n, n] < ∞ para todo n ∈ N. Mostre que existe uma funcao g : R → R que enao-decrescente tal que ν(E) = µg(E) para todo E ∈ B, onde µg e definida no Exercıcio 41,p.17. A funcao g e unica?

ý 45. (extra) Seja B a σ-algebra de conjuntos de Borel de R e sejam ν1, ν2 : B → [0,∞]medidas tais que ν1(I) = ν2(I) < ∞ para todo intervalo semiaberto I ⊂ R. Prove queν1(E) = ν2(E) para todo E ∈ B.

Capıtulo 2IntegracaoO movimento do seculo XIX em direcao ao rigor em matematica tentou colocar o calculo embases solidas. A integral de Riemann1 e um exemplo de sucesso destas tentativas pois forneceo resultado esperado para muitos problemas que eram conhecidos e para outros problemasnovos.

No entanto, a integral de Riemann nao interage bem com a operacao de limite desequencias de funcoes. Isto e importante, por exemplo, no estudo da serie de Fourier2. Ja coma integral de Lebesgue e mais facil saber quando e possıvel tomar o limite dentro da integral.Estas propriedades melhores decorrem do fato que a integral de Lebesgue e, num paralelo comseries, “absolutamente convergente”, enquanto a integral de Riemann e “condicionalmenteconvergente”. Ver p. 30 para detalhes.

A integral de Lebesgue estende para uma classe maior de funcoes a integral de Riemanne alem disso permite definir integrais sobre espacos mais gerais que o Rn. Dedicamos umaSecao a comparacao da integral de Riemann com a de Lebesgue.

A teoria de integracao sobre um espaco de medida geral (que inclui a integral de Lebesguecomo um exemplo) que apresentamos neste livro consiste de:

i. uma teoria de conjuntos mensuraveis (a σ-algebra);

ii. uma teoria de medida destes conjuntos (da σ-algebra);

iii. uma teoria de funcoes mensuraveis;

iv. uma teoria de integral de funcoes mensuraveis.

Este e um caminho possıvel, mas nao e o unico. E possıvel construir a Teoria de Integracaosem Teoria da Medida e utilizar a integral para definir a medida. Para detalhes ver a Secao 2.6.

Os teoremas mais importantes sobre esta integral sao:

• Teorema da Convergencia Monotona;

1 Bernhard Riemann: 1826 Breselenz, Hanover (now Germany) – 1866 Selasca, Italy.2Fourier

19

20 CAPITULO 2. INTEGRACAO

• Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue;

• Teorema de Radon-Nikodym;

• Teorema de Fubini.

2.1 Funcoes Mensuraveis

Funcoes mensuraveis sao funcoes “bem comportadas“ entre espacos de medida. Funcoes quenao sao mensuraveis sao consideradas em analise como patologicas. Note que o conceito defuncoes mensuraveis depende da σ-algebra mas e independente de medida. Na pratica, se forutilizado o metodo de Caratheodory(Secao 1.3, p.8), a σ-algebra e que dependera da medidaexterior. Assim, neste caso, a funcao ser mensuravel depende da medida exterior (porque?).

DEFINICAO 2.1 (Funcao Mensuravel) Uma funcao f : X → R e chamada de Σ-mensuravel, ou simplesmente mensuravel, se satisfaz:

x ∈ X; f(x) < a = f−1((−∞, a)) ∈ Σ para todo a ∈ R.

Se Σ e a σ-algebra de:(a) Borel, entao f e dita mensuravel a Borel;(b) Lebesgue, entao f e dita mensuravel a Lebesgue.

Exemplo 2.1 (triviais)(a) Qualquer funcao constante e mensuravel.(b) Se Σ = P(X), entao toda funcao e mensuravel.(b) Se E ∈ Σ, IE e Σ-mensuravel.(c) Se g e Borel-mensuravel, entao g e Lebesgue mensuravel.

Exemplo 2.2 (importantes, veja exercıcios)(a) Toda funcao contınua f : R→ R e Borel-mensuravel.(b) Toda funcao monotona f : R→ R e Borel mensuravel.

Observacao 2.1 Nem todas funcoes Borel-mensuraveis sao contınuas. Mas, pelo Teoremade Luzin3(consulte literatura), se f : [a, b]→ R e Borel-mensuravel, dado ε > 0, existe umcompacto E ⊂ [a, b] tal que f restrita a E e contınua e µ(E) < ε.

Deixamos para o leitor provar o lema seguinte.

LEMA 2.2 Seja Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X. Entao para qualquer funcao f :X → R as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) x ∈ X; f(x) < a ∈ Σ para todo a ∈ R;(b) x ∈ X; f(x) ≤ a ∈ Σ para todo a ∈ R;(c) x ∈ X; f(x) > a ∈ Σ para todo a ∈ R;(d) x ∈ X; f(x) ≥ a ∈ Σ para todo a ∈ R.

3Nikolai Luzin: 1883 Irkutsk, Russia – 1950 Moscow, USSR.

2.1. FUNCOES MENSURAVEIS 21

DEFINICAO 2.3 De forma geral, se Σ e uma σ-algebra em X e T e uma σ-algebra em Y ,dizemos que f : X → Y e mensuravel se

f−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ T.

Se A gera a σ-algebra T, pelo Exercıcio 10, p.34, e equivalente exigir que

f−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ A.

Note a semelhanca com a definicao de funcao contınua em um espaco topologico: f :X → Y e contınua se, e somente se,

f−1(E) e aberto em X para todo aberto E em Y.

Este primeiro resultado mostra que o conjunto das funcoes mensuraveis forma um espacovetorial (combinacoes lineares) e uma algebra (produto de funcoes). Alem disso podemostomar modulo de uma funcao mensuravel e obter uma funcao mensuravel.

TEOREMA 2.4 (Propriedades de Funcoes Mensuraveis I) Sejam f, g : X → R funcoesΣ-mensuraveis e c ∈ R. Sao Σ-mensuraveis:

(a) cf ; (b) f + g; (c) f 2; (d) fg; (e) |f |.Demonstracao.

(a) Seja a ∈ R qualquer. Se c = 0, entao x ∈ X; cf(x) < a e X ou ∅, e portantopertence a Σ. Se c > 0, entao

x ∈ X; (cf)(x) < a =x ∈ X; f(x) <

a

c

∈ Σ.

O caso c < 0 e similar. Como a e arbitrario, cf e mensuravel.(b) Por hipotese, se r ∈ Q, entao

Sr = x ∈ X; f(x) > r ∩ x ∈ X; g(x) > a− r ∈ Σ.

Como claramentex ∈ X; (f + g)(x) > a =

⋃r∈Q

Sr,

segue que (f + g) e mensuravel.(c) Seja a ∈ R. Se a < 0, entao x ∈ X; (f(x))2 > a = X; se a ≥ 0, entao

x ∈ X; (f(x))2 > a = x ∈ X; f(x) >√a ∪ x ∈ X; f(x) < −

√a.

(d) Segue de (a), (b) e (c) pois fg = 14[(f + g)2 − (f − g)2].

(e) Se a < 0, entao x ∈ X; |f(x)| > a = X; se a ≥ 0, entao

x ∈ X; |f(x)| > a = x ∈ X; f(x) > a ∪ x ∈ X; f(x) < −a.

O proximo resultado mostra que as funcoes mensuraveis sao bem comportadas com relacaoa convergencia pontual de sequencias de funcoes.


TEOREMA 2.5 (Propriedades de Funcoes Mensuraveis II) Seja 〈fn〉n∈N uma sequenciade funcoes Σ-mensuraveis de X em R. Sao Σ-mensuraveis:

(a) limn→∞

fn; (b) supn∈N

fn; (c) infn∈N

fn; (d) lim supn→∞

fn; (e) lim infn→∞

fn.

Demonstracao. Para n ∈ N, a ∈ R defina Hn(a) , x; fn(x) ≤ a ∈ Σ. A prova seguedos seguintes fatos:

(a) x ∈ X; ( limn→∞

fn)(x) ≤ a =⋂k∈N

⋃n∈N

⋂m≥n

Hm(a+ 2−k);

(b) x ∈ X; (supn∈N

fn)(x) ≤ a =⋂n∈N

Hn(a);

(c) infn∈N

fn = − supn∈N

(−fn);

(d) lim supn→∞

fn = limn→∞

supm∈N

fm+n;

(e) lim infn→∞

fn = − lim supn→∞

(−fn).

Observacao 2.2 Neste trabalho nao apresentaremos mais propriedades de funcoes men-suraveis. E verdade tambem que a composicao de uma funcao contınua com uma men-suravel e mensuravel, mas a composicao de duas funcoes mensuraveis pode nao ser men-suravel.

Uma funcao nao ser mensuravel implica na existencia de um conjunto que nao e men-suravel. Como ja observamos, quase todo subconjunto de R e mensuravel a Lebesgue. Por-tanto, quase toda funcao que voce encontrara sera mensuravel a Lebesgue e e comum emaplicacoes assumir que todas as funcoes envolvidas sao mensuraveis.

2.2 Definicao da Integral

A definicao de integracao que nos fazemos e dividida em tres etapas:

i. integracao de funcoes simples (Definicao 2.8, p.23);

ii. integracao de funcoes nao-negativas (Definicao 2.10, p.24);

iii. integracao de funcao real qualquer (Definicao 2.13, p.24).

Existem outros caminhos para se definir a integral, mas este corresponde ao metodocanonico de todo livro de medida e integracao. Ele corresponde tambem ao metodo parase provar resultados: provamos para funcoes simples, depois para nao-negativas e finalmentepara uma funcao qualquer.

DEFINICAO 2.6 Dado A ⊂ X, definimos sua funcao indicadora ou caracterıstica

IA : R→ 0, 1 por IA(x) ,

0, se x 6∈ A,1, se x ∈ A.

Outra notacao usual e χA.

2.2. DEFINICAO DA INTEGRAL 23

DEFINICAO 2.7 (Funcao Simples) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Dizemos que

f : X → R e uma funcao simples se f =n∑i=0

aiIEi, onde ai ∈ R e cada Ei e Σ-mensuravel,

isto e, Ei ∈ Σ.

Observacao 2.3 Alguns autores permitem um conjunto arbitrario Ei. Assim uma funcaosimples e qualquer funcao que assume um numero finito de valores distintos.

Observacao 2.4 A representacao de uma funcao simples nao-nula f comn∑i=0

aiIEie unica

se os a′is sao nao-nulos e unicos e se os Ei’s sao disjuntos (exercıcio).

Exemplo 2.3 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida.(a) Uma funcao constante e simples.(b) Toda funcao simples e mensuravel.(c) Se f , g : X → R sao simples e c ∈ R, cf + g e simples.

Vamos definir agora a integral de uma funcao simples. Ela esta bem definida pelo Lema 2.9(tecnico) que apresentamos depois da definicao sem a demonstracao (consulte a literatura). Adificuldade e que uma funcao simples f possui mais de uma representante e temos que provarque o valor da integral independe do representante que nos escolhemos. Vamos explorar casosparticulares nos exercıcios.

DEFINICAO 2.8 (Integral de uma funcao simples) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida

e f : X → R uma funcao simples, isto e, f =m∑i=0

aiIEi. Definimos a integral da funcao

simples f com relacao a medida µ (pode ser ∞!) por∫f dµ ,

m∑i=0

aiµ(Ei).

LEMA 2.9 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Se

m∑i=0

aiIEi=

n∑j=0

bjIFj,

onde todos os Ei e Fj sao mensuraveis e ai, bj ∈ R, entao

m∑i=0

aiµ(Ei) =n∑j=0

bjµ(Fj).

Vamos definir a integral de funcoes nao-negativas usando funcoes simples.


DEFINICAO 2.10 (Integral de funcoes nao-negativas) Seja (X,Σ, µ) um espaco demedida e f ≥ 0 uma funcao Σ-mensuravel. Definimos a integral da funcao nao-negativaf com relacao a medida µ (pode ser ∞!) por∫

f dµ , sup

∫g dµ; g e uma funcao simples e 0 ≤ g ≤ f

.

E comum integrarmos uma funcao em um subconjunto de um espaco de medida; por

exemplo integrar

∫ b

a

f(x) dx, com a < b em R.

DEFINICAO 2.11 (Integracao em Subconjuntos) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida,H ∈ Σ, e f ≥ 0 uma funcao Σ-mensuravel. Definimos∫

H

f dµ ,∫f dµ, onde f(x) =

f(x), se x ∈ H,0 se x ∈ X \H.

Exemplo 2.4

∫H

1 dµ = µ(H).

Observacao 2.5 E facil ver que (exercıcio 9, p.33) f = f · IH e Σ-mensuravel.

Assim,

∫ b

a

f dµ ,∫

[a,b]

f dµ =

∫f · I[a,b] dµ.

DEFINICAO 2.12 Definimos a parte positiva f+ e a parte negativa f− de uma funcao fpor

f+(x) , max(0, f(x)), f−(x) , max(0,−f(x)).

Assim, f = f+ − f− com f+, f− ≥ 0.

Observacao 2.6 Pelo exercıcio 9, p.33, se f e mensuravel, entao f+ e f− sao mensuraveis.

DEFINICAO 2.13 (Integral) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida e f : X → R umafuncao Σ-mensuravel. Definimos a integral da funcao f com relacao a medida µ (pode ser+∞ ou −∞, ver observacao) por∫

f dµ ,∫f+ dµ−

∫f− dµ,

Se H ∈ Σ, definimos ∫H

f dµ ,∫H

f+ dµ−∫H

f− dµ.

2.2. DEFINICAO DA INTEGRAL 25

Observacao 2.7 Se as integrais dos componentes positivo (f+) e negativo (f−) de f sao∞ entao a definicao acima nao faz sentido (∞−∞). Neste caso dizemos que f nao eintegravel. Se somente uma das duas integrais e∞, dizemos que a integral e +∞ ou −∞.

Deixamos para o leitor refletir sobre o seguinte. Como pedimos que a parte positiva enegativa de uma funcao seja integravel, a integral de Lebesgue e “absolutamente convergente”(no sentido de series), pois uma funcao f e integravel se, e somente se, |f | e integravel.

A integral e um operador linear e monotonico pelo proximo Teorema, apresentado semdemonstracao.

TEOREMA 2.14 (Propriedades basicas da integral) Seja (X,Σ, µ) um espaco de me-dida e f, g : X → R funcoes Σ-mensuraveis.

(a) Se c ∈ R,

∫(cf + g) dµ = c

∫f dµ+

∫g dµ (linearidade).

(b) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X, entao

∫f dµ ≤

∫g dµ (monotonicidade).

(c) se E,F ∈ Σ, E ⊂ F e f ≥ 0, entao

∫E

f dµ ≤∫F

f dµ (monotonicidade).

(d) |f | e integravel e

∣∣∣∣∫ f dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f | dµ. Se

∫|f | dµ = 0, entao f = 0 µ-qtp.

DEFINICAO 2.15 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida e f, g : X → R funcoes Σ-mensuraveis. Dizemos que f e g sao equivalentes se f = g µ-qtp.

E claro que esta relacao e de equivalencia (Exercıcio 23, p.15). A integral “nao enxerga”a diferenca entre as funcoes f e g equivalentes. Fisicamente, por exemplo, uma forca f eg equivalentes vao realizar o mesmo trabalho. Assim, na definicao dos espacos funcionaisLp e L∞, vamos falar na funcao f querendo dizer num representante qualquer da classede equivalencia a que a funcao pertence. Assim como numeros racionais sao classes deequivalencia e dizemos “considere o numero racional 1/2” ao inves de dizer “considere aclasse de equivalencia de 1/2”, vamos falar na funcao f em Lp ao inves de dizer classe deequivalencia a que f pertence.

DEFINICAO 2.16 O conjunto Lp(X) = Lp(X,Σ, µ), para 1 ≤ p < ∞, e formado pelasfuncoes f : X → R que sao Σ-mensuraveis com integral

∫|f |p dµ finita.

O conjunto L∞(X) = L∞(X,Σ, µ) e formado pelas funcoes f : X → R que sao Σ-mensuraveis e limitadas µ-qtp, isto e, existe M ∈ R tal que µx ∈ X; |f(x)| > M = 0.

Estes espacos sao Espacos Vetoriais Normados (EVNs) pelo Teorema 2.14 se introduzimosa norma:

(a) em Lp (1 < p <∞): ‖f‖Lp =(∫|f |p dµ

)1/p;

(b) em L∞: ‖f‖L∞ = inf M > 0; µx; |f(x)| > M = 0 (chamado de sup essencial).Com estas normas (devido ao fato de se tratar da integral de Lebesgue) eles sao EVNs

completos, ou seja, sao Espacos de Banach. Como ja observamos, os elementos sao classes


de equivalencia de funcoes iguais a menos de um conjunto de medida nula, tais quais elementosde R sao classes de equivalencia de sequencias de Cauchy.

Observacao 2.8 Se utilizassemos a integral de Riemann este espaco NAO seria completo.Esta e uma razao tecnica da importancia da integral de Lebesgue.

Particularizando para o L2, o membro mais importante desta famılia de espacos de funcoes,podemos definir o produto interno (forma bilinear):

(f, g) ,∫fg dµ.

Com isto, L2 sera um EVN completo com norma induzido por um produto interno, quechamamos de Espaco de Hilbert. Este e um espaco importante onde a Teoria da serie deFourier se desenvolve. Alem disso a teoria de equacoes diferenciais parciais se desenvolvenos chamados Espacos de Sobolev, espacos que envolvem a existencia de derivadas (numsentido mais fraco) limitadas nestas normas integrais. Deste modo passamos do espaco dasfuncoes contınuas (C(X)) ou suaves (Cn(X)) para espacos de Banach, Hilbert e Sobolev.

Exemplo 2.5 (verifique!)

(a) A funcao 1/x 6∈ L1(1,∞) mas pertence a Lp(1,∞) para p > 1.

(b) A funcao 1/x 6∈ L∞(R).

(c) A funcao f(x) = IN(x)x

pertence a L∞(R).

2.3 Teoremas de Convergencia

Nesta secao apresentamos (sem demonstracao) os principais resultados da Teoria de Inte-gracao, os Teoremas da convergencia monotona e da convergencia dominada (de Lebesgue).Estes teoremas fornecem condicoes (simples) para que possamos trocar o limite com a integral,isto e, condicoes para que

limn→∞

(∫fn dµ

)=

∫ (limn→∞

fn

)dµ.

Embora a teoria seja mais complicada, as condicoes para poder se trocar limite com integralsao bem mais simples na integral de Lebesgue do que na de Riemann. De fato (estude osenunciados dos dois teoremas abaixo), na integral de Lebesgue basta se ter convergenciapontual (qtp) e uma condicao extra simples (monotonicidade ou dominancia por uma funcaointegravel). Por contraste, a integral de Riemann pede, por exemplo, convergencia uniforme.

2.4. INTEGRAL DE RIEMANN × LEBESGUE 27

TEOREMA 2.17 (convergencia monotona) Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida e〈fn〉n∈N uma sequencia de funcoes reais integraveis em X tais que

f(x) = limn→∞

fn(x), µ-qtp. em X (convergencia pontual).

Suponha que a sequencia e monotona crescente, isto e,

fn(x) ≤ fn+1(x), µ-qtp. em X, para todo n ∈ N (monotonicidade).

Se supn∈N

∫fn dµ <∞, entao f e integravel e

∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

Exemplo 2.6 Seja an uma enumeracao de Q e An =n⋃k=1

ak . Seja fn = IAn . Claramente

fn e uma sequencia monotona crescente que converge para IQ. Como∫fn dµ = 0 para todo

n (fn = 0 exceto em numero finito de pontos)∫IQ dµ = 0. Contraste com a integral de

Riemann, onde R

∫IQ(x) dx nao existe pois o conjunto dos pontos de descontinuidade desta

funcao nao possui medida zero (e R).

TEOREMA 2.18 (convergencia dominada de Lebesgue) Seja (X,Σ, µ) um espaco demedida e 〈fn〉n∈N uma sequencia de funcoes reais integraveis em X tais que

f(x) = limn→∞

fn(x), µ-qtp. em X (convergencia pontual).

Suponha que exista uma funcao integravel g tal que

|fn(x)| ≤ g(x), µ-qtp. em X, para todo n ∈ N (dominancia por funcao integravel).

Entao f e integravel e ∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

2.4 Integral de Riemann × Lebesgue

Primeiro vamos ver algumas dificuldades com a integral de Riemann:

• Troca do limite com a integral. No estudo da serie de Fourier existe a necessidade detrocar o processo de limite com a integracao. No entanto, as condicoes que permitemmostrar que

limk→∞

[∫fk(x) dx

]=

∫ [limk→∞

fk(x)]dx

sao difıceis na integral de Riemann.


• A ausencia da convergencia monotona. O exemplo canonico e considerar ak a enu-meracao dos racionais em [0, 1] e definir

gk(x) ,

1, se x = aj, j ≤ k,

0, caso contrario.

As funcoes gk sao iguais a zero em todos os pontos exceto num conjunto finito pontos,e portanto sua integral de Riemann e zero. A sequencia gk, claramente nao-negativa,converge monotonamente para a funcao IQ, que nao e integravel a Riemann.

• Inapropriada para intervalos ilimitados. A integral de Riemann e apropriada somentepara intervalos limitados. Pode ser estendida para intervalos ilimitados tomando limitescontanto que nao surja ∞−∞.

• Definicao esta muito atrelada ao Rn. Como se generalizar a integral para outrosespacos?

Para fazermos uma comparacao informal entre as duas integrais, imagine que desejamossaber o volume de uma montanha (acima do nıvel do mar) sabendo a funcao de sua altura h.

• na integral de Riemann dividimos a montanha numa malha de 1 metro quadradoe medimos a altura h da montanha no centro de cada quadrado. O volume em cadaquadrado da malha e aproximadamente 1×1×h. Portanto o volume total e (aproxima-damente) igual a soma deste volumes. Neste caso estamos particionando o domınio.

• na integral de Lebesgue desenhamos um mapa de contorno da montanha (curvasde nıvel) com 1 metro de altura entre elas. O volume contido entre duas curvas denıvel e aproximadamente igual a area vezes a altura h da curva de nıvel. Portanto ovolume total e (aproximadamente) igual a soma deste volumes. Neste caso estamosparticionando a imagem.

Vamos agora (re)ver a definicao da integral de Riemann numa forma apropriada parafazer uma comparacao tecnica com a integral de Lebesgue, respondendo as perguntas maisinteressantes.

Comecamos definindo a integral de uma funcao escada (compare com a definicao defuncao simples). Aqui surge novamente a dificuldade: como a representacao de uma funcaoescada nao e unica, temos (mas vamos ignorar) que provar que a integral de Riemann estabem definida (independe da representacao).

DEFINICAO 2.19 (integral de Riemann de funcao escada) Uma funcao s : R → R e

chamada de funcao escada se s =n∑i=0

ciIEi, onde cada Ei e um intervalo limitado e ci ∈ R.

Sejam ai e bi os extremos do intervalo Ej. Definimos a integral de Riemann de s por

R

∫s(x) dx ,

n∑i=0

ci(bi − ai).

2.4. INTEGRAL DE RIEMANN × LEBESGUE 29

E facil ver que cada particao do intervalo [a, b] induz a duas funcoes escadas: uma queassume o sup da funcao em cada intervalo, e outra que assume o inf da funcao em cadaintervalo.

DEFINICAO 2.20 (integral superior/inferior de Riemann) Se f : [a, b]→ R e limitada,definimos sua integral superior de Riemann por

U[a,b](f) , inf

∫s(x) dx; s e funcao escada e f ≤ s

,

e sua integral inferior de Riemann por

L[a,b](f) , sup

∫s(x) dx; s e funcao escada e s ≤ f

.

DEFINICAO 2.21 (Integral de Riemann de funcao qualquer) Dizemos que f e in-tegravel a Riemann em [a, b] se

U[a,b](f) = L[a,b](f).

Neste caso definimos o valor comum como sendo a integral de Riemann de f no intervalo

[a, b], denotada por R

∫ b

a

f(x) dx.

Voltando e comparando a Definicao 2.10, p.24 (integral de Lebesgue) com a definicao daintegral de Riemann, observamos que a principal diferenca consiste no uso de funcoes escadaao inves de funcoes simples. Para comparar funcoes simples com escada veja exercıcio 28,p.36.

Apresentamos agora um resultado classico (ver algum livro de analise para demonstracao)sobre a integral de Riemann, relacionando-a com a medida de Lebesgue.

TEOREMA 2.22 (Lebesgue) Seja f : [a, b] → R limitada. Entao, f e integravel a Rie-mann em [a, b] se, e somente se, o conjunto D = x ∈ [a, b] ; f e descontınua em x temmedida nula com relacao a medida de Lebesgue.

TEOREMA 2.23 (Riemann × Lebesgue) Se f : [a, b]→ R e integravel a Riemann, entaof e integravel a Lebesgue, com a mesma integral.

Demonstracao. Nos vamos provar apenas para f ≥ 0. Para o caso geral decomponhaf = f+ − f−.

Como o sup para integral de Lebesgue e tomado num conjunto maior (o conjunto dasfuncoes simples, que contem o conjunto das funcoes escada, veja exercıcio 28, p.36) que ada integral inferior de Riemann (o conjunto das funcoes escada),

R

∫ b

a

f(x) dx = L[a,b](f) ≤∫f dµ.


Pela monotonicidade da integral de Lebesgue, dada uma funcao escada s qualquer (que emensuravel pois e simples) tal que f ≤ s,∫

f dµ ≤∫s dµ.

Tomando o inf nos dois lados com relacao as funcoes escada s’s tais que f ≤ s,∫f dµ ≤ L[a,b](f) = R

∫ b

a

f(x) dx.

Dessas desigualdades concluımos que

R

∫ b

a

f(x) dx ≤∫f dµ ≤ R

∫ b

a

f(x) dx.

Portanto, R

∫ b

a

f(x) dx =

∫f dµ.

Este teorema e sobre a integral propria de Riemann, de uma funcao limitada em umintervalo limitado. Para funcoes ilimitadas e intervalos ilimitados define-se a integral to-

mando limites. Por exemplo a integral impropria de Riemann

∫ ∞0

sinx

xdx e definida por

lima→∞

∫ a

0

sinx

xdx, e a integral

∫ 1

0

lnx dx e definida por lima→0+

∫ 1

a

lnx dx. Dessas, a segunda

existe como integral de Lebesgue, mas a primeira nao pois

∫ ∞0

∣∣∣∣sinxx∣∣∣∣ dx =∞.

Nesse sentido, a integral de Lebesgue e uma integral “absolutamente convergente”, signifi-cando que f e integravel a Lebesgue se, e somente se, |f | tambem e. Na funcao f(x) = sinx

x,

obterıamos que tanto a integral de f+ quanto a de f− e ∞, obtendo que a integral deLebesgue seria igual a ∞−∞, algo nao definido.

Em contraste, a integral de Riemann em intervalos ilimitados e “condicionalmente conver-gente” Da teoria de series sabemos que os termos de uma serie condicionalmente convergentesnao podem ser comutados nem associados de forma arbitraria preservando o valor da serie.Assim esta restricao (“convergencia absoluta”) da integral de Lebesgue assegura mais robusteznas suas propriedades.

2.5 Teorema de Radon-Nikodym e Fubini

Devido a sua importancia em diversas aplicacoes, apresentamos mais estes dois teoremas daTeoria da Medida:

• Teorema de Radon-Nikodym, que define a “derivada” de uma medida com relacao aoutra;

• Teorema de Fubini, que permite calcular uma integral dupla como duas integrais simplessucessivas, trocando a ordem de integracao.

2.5. TEOREMA DE RADON-NIKODYM E FUBINI 31

Para apresenta-los precisamos de algumas definicoes.

DEFINICAO 2.24 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida. Dizemos que uma medida µ efinita se ela nao assume o valor ∞.

Dizemos que ela e σ-finita se existe uma sequencia En em Σ com:

∞⋃n=1

En = X e µ(En) <∞.

DEFINICAO 2.25 Dadas medidas λ e µ em definidas numa σ-algebra Σ, dizemos que λ eabsolutamente contınua com relacao a µ, denotado por λ µ, se para todo E ∈ Σ comµ(E) = 0 implica que λ(E) = 0.

Para se entender a notacao λ µ, observe que se µ(E) = 0, entao 0 ≤ λ(E) µ(E) = 0.Logo λ(E) = 0.

Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida e f : X → R uma funcao mensuravel nao-negativa.Para cada E ∈ Σ defina λ(E) ∈ [0,∞] por:

λ(E) ,∫E

f dµ.

E claro que (exercıcio) λ e uma medida absolutamente contınua com relacao a µ. Note quecomo λ e uma medida,

λ(E) =

∫E

dλ =

∫E

f dµ para todo E ∈ Σ.

Logo, abusando notacao, ∫E

(dλ− f dµ) = 0 para todo E ∈ Σ.

Portanto, em algum sentido, dλ = f dµ, ou seja, f =dλ

dµ, a chamada derivada de Radon-

Nikodym. O proximo teorema mostra que toda medida σ-finita absolutamente contınua eobtida desta forma.

TEOREMA 2.26 (Radon-Nikodym) Sejam λ e µ medidas σ-finitas definidas numa σ-algebra Σ de subconjuntos de X e suponha que λ µ, isto e, λ e absolutamente contınuacom relacao a µ. Entao existe uma funcao nao-negativa f : X → R mensuravel (com relacaoa Σ) tal que

λ(E) =

∫E

f dµ para todo E ∈ Σ.

Alem disso, f e unica no sentido que se g possui esta propriedade, g = f µ-qtp em X.


Observacao 2.9 Chamamos a funcao f de derivada de Radon-Nikodym de λ com

relacao a µ, denotada por f =dλ

dµ.

Em Teoria da Probabilidade, o Teorema de Radon-Nikodym e fundamental para se definira probabilidade condicional em espacos de medida infinitos. A dificuldade, contornada peloTeorema de Radon-Nikodym, e que se tentarmos generalizar a definicao usual surgira umadivisao de zero por zero.

Finalizamos com o enunciado do Teorema de Fubini. Para isto precisamos da definicao damedida produto.

DEFINICAO 2.27 Sejam (X,Σ, µ) e (Y,T, τ) espacos de medida. Existe uma medidacanonica numa σ-algebra de subconjuntos de X × Y , a chamada medida produto π geradapor µ e τ , denotada por π = µ×τ . Esta medida esta definida na σ-algebra gerada por A×B,onde A ∈ Σ e B ∈ T.

Esta construcao natural generaliza a ideia de medir subconjuntos do R2 utilizando retangulos.A dificuldade e que conjuntos mensuraveis do plano podem nao ser retangulos, embora se-jam unioes enumeraveis de retangulos. Exige um trabalho burocratico para sua construcao.E similar a topologia produto, quando dadas topologias em X e Y se introduz a topologiaproduto em X × Y .

O Teorema de Fubini permite calcular a integral no espaco produto por iteracao, comoduas integrais sucessivas em cada um dos espacos. Note que o resultado independe da ordemde integracao em cada um destes espacos.

TEOREMA 2.28 (Fubini) Sejam (X,Σ, µ) e (Y,T, ν) espacos de medidas completos, π =µ× ν a medida produto e f : X × Y → R uma funcao π-integravel. Entao,∫

X×Yf dπ =

∫X

(∫Y

f(x, y) dν(y)

)dµ(x) =

∫Y

(∫X

f(x, y) dµ(x)

)dν(y).

2.6 Outras Construcoes da Integral

Um outro caminho para se construir uma Teoria de Integracao e utilizando metodos da AnaliseFuncional. Fazemos o caminho inverso ao percorrido ate aqui: ao inves de desenvolver umateoria de medida para construir a integral, construımos uma integral para depois introduziruma medida.

Considere o espaco das funcoes contınuas de suporte compacto, denotado por Cc(R).Neste espaco podemos definir a integral de Riemann (que nao necessita de teoria da medida).

Introduzindo a norma ‖f‖ , R

∫|f(x)| dx (integral de Riemann!) em Cc(R), obtemos um EVN

(espaco vetorial normado) que nao e completo (tal qual Q) mas que pode ser completadopara obtermos L1(R), um espaco de Banach, com tecnica semelhante a utilizada para secompletar Q e obter R (classes de equivalencia de sequencias de Cauchy).

2.7. EXERCICIOS 33

O espaco L1(R) e isomorfo ao espaco das funcoes integraveis a Lebesgue identificandofuncoes que diferem num conjunto de medida nula. A integral de Riemann, que esta definidano subespaco (denso) Cc(R) ⊂ L1(R), pode ser estendida por continuidade, de forma unica,para todo o espaco (analogia com como a definicao de 2x para x ∈ R partindo da definicaode 2x para x ∈ Q).

Esta integral estendida de Cc(R) para todo o L1(R) e igual a integral de Lebesgue.

2.7 Exercıcios

2.7.1 Funcoes Mensuraveis

=⇒ 1. (funcoes mensuraveis triviais) Considere f : X → R.(a) Prove que se Σ = P(X), entao toda funcao f e mensuravel.(b) Prove que toda funcao constante f e mensuravel (com relacao a qualquer σ-algebra).(c) Prove que IA : X → R e Σ-mensuravel se, e somente se, A ∈ Σ.(d) Considere Ψ = ∅, X . Quais sao as funcoes f Ψ-mensuraveis?

=⇒ 2. Determine a menor σ-algebra que torne mensuravel uma funcao f : X → R que assumasomente:

(a) 2 valores distintos; (b) 3 valores distintos.

3. Considere Σ = A ⊂ R; A e enumeravel ou A e enumeravel, uma σ-algebra de Rpelo Exercıcio 2, p.13. Determine se e Σ-mensuravel:

(a) I[0,1]; (b) IQ .

→ 4. Considere X = 1, 2, 3, 4 e a σ-algebra Σ = ∅, 1 , 2, 3, 4 , X .(a) Quantas funcoes distintas f : X → X sao Σ-mensuraveis?(b) Repita o item (a) para a σ-algebra Σ = ∅, 1, 2 , 3, 4 , X .

=⇒ 5. Prove que se f = aIA + bIB e Σ-mensuravel, entao A,B ∈ Σ.Dica: A ∩B = f−1( a+ b ) ∈ Σ.


Dica: Para provar que (i)⇒(ii), considere⋂n∈N

x; f(x) < a+ 2−n.

7. Prove que toda funcao f : R→ R e Borel-mensuravel se:(a) f e monotona; (b) f e contınua.Dica: (b) Toda subconjunto aberto de R pode ser escrito como a uniao enumeravel de

intervalos abertos (Exercıcio 9, p.14) .

=⇒ 8. Prove que toda funcao Borel-mensuravel f : R→ R e Lebesgue-mensuravel.Dica: Existe diferenca?

9. Prove que se f e Σ-mensuravel e H ∈ Σ, entao f(x) = f(x)IH(x) =

f(x), se x ∈ H,0 se x ∈ X \H,

e Σ-mensuravel.


→ 10. Suponha que A gera a σ-algebra T de subconjuntos de Y . Prove que f : X → Y e(Σ,T)-mensuravel se, e somente se, φ−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ A.

→ 11. Neste exercıcio utilizamos f para representar uma funcao f : X → Y qualquer.(a) Qual a σ-algebra em X que torna toda f mensuravel?(b) Qual a σ-algebra em Y que torna toda f mensuravel?(c) Fixe f e uma σ-algebra Σ em X. Defina TΣ

f , F ∈ P(Y ); f−1(F ) ∈ Σ. Proveque TΣ

f e uma σ-algebra. Prove que e a maior que torna f mensuravel.

(d) Fixe f e uma σ-algebra T em Y . Defina ΣTf , E ∈ P(X); f(E) ∈ T. Prove que

ΣTf e uma σ-algebra. Prove que e a menor que torna f mensuravel.

(e) No item (c), se (X,Σ, µ) e um espaco de medida entao (Y,TΣf , µf ), com µf (E) ,

µ(f−1(E)), e um espaco de medida. Desta forma uma funcao f definida em um espaco demedida induz a existencia de um outro espaco de medida.

12. Seja Σ uma σ-algebra de subconjuntos de X e f, g : X → R funcoes Σ-mensuraveis.Prove que sao Σ-mensuraveis f+, f−, f ∧ g e f ∨ g, onde

(f ∨ g)(x) , max(f(x), g(x)), (f ∧ g)(x) , min(f(x), g(x)).

2.7.2 Definicao da Integral

→ 13. Prove que a representacao de uma funcao simples nao-nula f porn∑i=0

aiIEie unica se

os ai’s sao nao-nulos e unicos e se os Ei’s sao disjuntos.Dica: f pode assumir somente um numero finito de valores (porque?). Defina Ei ,

f−1(bi), onde bi e cada um destes valores.

14. Sejam A,B,C,D conjuntos mensuraveis com medida finita e a, b, c, d ∈ R.=⇒(a) Suponha que aIA = bIB + cIC . Prove que aµ(A) = bµ(B) + cµ(C).

(b) Suponha que aIA + bIB = cIC + dId. Prove que aµ(A) + bµ(B) = cµ(C) + dµ(D).Dica: cuidado pois os numeros podem nao ser distintos e os conjuntos podem nao ser

disjuntos.

15. O que e um espaco de Banach e um espaco de Hilbert?

→ 16. Em um espaco vetorial normado, se ‖f‖ = 0 entao f = 0. Dissemos que L1(X) e umespaco vetorial normado. No entanto, pelo Teorema 2.14, p.25, se ‖f‖ = 0, entao f = 0µ-qtp, ou seja, nao necessariamente f = 0. Explique.

Dica: Leia a p. 15.

=⇒ 17. (Lema de du Bois-Reymond4) Considere f : X → R uma funcao integravel em (X,Σ, µ).Prove que f = 0 µ-qtp em X se:

(a)

∫E

f dµ = 0 para todo E ∈ Σ; (b)

∫fg dµ = 0 para toda g Σ-mensuravel.

Obs: resultado importante para o calculo das variacoes.

4Paul David Gustav du Bois-Reymond: 1831, Berlim, Alemanha – 1889, Freiburg, Alemanha.

2.7. EXERCICIOS 35

Dica (para todos itens): suponha por contradicao que o conjunto x ∈ X; f(x) > ε (oux ∈ X; f(x) < ε) nao possui medida nula. Use este conjunto ou sua funcao caracterıstica.

=⇒ 18. Prove que:

(a) A funcao 1/x 6∈ L1(1,∞) mas pertence a Lp(1,∞).

(b) A funcao 1/x 6∈ L∞(R).

(c) A funcao f(x) = IZ(x)x

pertence a L∞(R).

19. Considere f , g : X → R funcoes simples. Prove que sao funcoes simples:

(a) |f |; (b) f + g (c) f ∨ g e f ∧ g, definidas no Exercıcio 12, p.34.

20. Considere f , g : X → R funcoes integraveis. Prove que sao funcoes integraveis f ∨ g ef ∧ g, definidas como no Exercıcio 12, p.34.

=⇒ 21. Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida e f : X → R uma funcao integravel. Prove que

para todo ε > 0 existe uma funcao simples gε : X → R tal que

∫|f − gε| dµ < ε. Dizemos

que as funcoes simples sao densas no espaco das funcoes integraveis L1(X,Σ, µ).

Dica: Considere f ≥ 0 inicialmente.

→ 22. Seja µ a medida de contagem (Exemplo 1.12, p.6) em N. Prove que uma funcao

f : N → R (uma sequencia 〈f(n)〉n∈N) e µ-integravel se, e somente se, a serie∑

f(n) e

absolutamente convergente e nesse caso∫f dµ =

∞∑n=0

f(n).

→ 23. Sejam µ1, µ2 duas medidas com domınio na σ-algebra Σ. Defina µ(E) , µ1(E)+µ2(E)para E ∈ Σ. Prove que para qualquer funcao Σ-mensuravel f : X → R,∫

f dµ =

∫f dµ1 +

∫f dµ2.

Dica: Assuma que f e funcao simples e depois que f ≥ 0.

ý 24. (extra) Seja dx a medida de Lebesgue. Prove que se f : X → R e integravel, entao∫f(x+ a) dx existe e e igual a

∫f(x) dx para todo a ∈ R.

Dica: Comece com funcoes simples. Assuma que a medida de Lebesgue e invariante portranslacao.

2.7.3 Teoremas de Convergencia

=⇒ 25. Seja fn(x) = nI[0,1/n](x) com a medida de Lebesgue em R. Utilize-a para mostrar que acondicao do Teorema da Convergencia Dominada |fn| ≤ g nao pode ser retirada.


→ 26. Considere a sequencia de funcoes reais 〈fn〉n∈N, todas integraveis e tais que∞∑n=0

∫|fn| dµ

e finito. Prove que f(x) ,∞∑n=0

fn(x) esta definida qtp. e

∫f dµ =

∞∑n=0

∫fn dµ.

Dica: Assuma inicialmente que fn ≥ 0.

27. Dada uma funcao f : R→ R qualquer, defina para cada k ∈ R a funcao Tkf : R→ R,o truncamento de f por

Tkf(x) ,

f(x), se |f(x)| ≤ k;

k, se f(x) > k;

−k, se f(x) < −k.

Suponha que f e µ-integravel. Prove que:

(a) Tkf e mensuravel; (b)∫f dµ = lim

k→∞

∫Tkf dµ.

2.7.4 Integral de Riemann × Lebesgue

=⇒ 28. Prove que toda funcao escada e uma funcao simples (em particular mensuravel). Proveque f = IQ e uma funcao simples que nao e uma funcao escada. Assim o conjunto de funcoessimples e (bem) maior que o de funcoes escada.

29. Fixe uma funcao f : [a, b] → R. Dada uma particao qualquer do intervalo [a, b],determine a funcao escada s associada que seja a menor de todas com f ≤ s. Assim s deveser constante entre os pontos da particao.

2.7.5 Teorema de Radon-Nikodym e Fubini

=⇒ 30. Prove que a relacao ser dominada e transitiva. De um exemplo que prove que nao esimetrica.

=⇒ 31.(a) De um exemplo de medida σ-finita que nao e finita.(b) A medida de contagem (Exemplo 1.12, p.6) e finita? E σ-finita?(c) A medida δa de Dirac e finita? E σ-finita?

32. Seja (µn) uma sequencia de medidas em (Σ, X) com µn(X) ≤ 1. Defina λ : Σ → Rpor

λ(E) ,∞∑n=1

2−nµn(E).

Prove que λ e uma medida e que µn λ para todo n.

=⇒ 33. Seja X = [0, I] e Σ a σ-algebra de Borel em X. Se µ e a medida de contagem(Exemplo 1.12, p.6) e λ a medida de Lebesgue, entao λ µ, mas o Teorema de Radon-Nikodym nao se aplica. Porque?

2.7. EXERCICIOS 37

→ 34. Prove a unicidade de f no Teorema de Radon-Nikodym.

ý 35. (extra) Suponha que µ e uma medida numa σ-algebra Σ de subconjuntos de X ef : X → R uma funcao mensuravel nao-negativa. Para cada E ∈ Σ defina λ(E) ∈ [0,∞]por:

λ(E) ,∫E

f dµ.

Prove que:(a) λ e uma medida em Σ absolutamente contınua com relacao a µ.(b) λ e finita se, e somente se, f e integravel.Dica: (a) prove que λ e σ-aditiva usando o Teorema da convergencia monotona.


Capıtulo 3Probabilidade e MedidaNeste capıtulo de duas paginas traduzimos o vocabulario da Teoria da Medida para o daTeoria de Probabilidade. Uma excelente referencia e o capıtulo IX do livro Measure Theoryde P. Halmos.

Vamos comecar com uma definicao basica.

DEFINICAO 3.1 Dado um espaco de medida (Ω,Σ, µ), dizemos que e um espaco deprobabilidade se µ(Ω) = 1. Neste caso denotamos a medida µ por P e dizemos que(Ω,Σ, P ) e um espaco de probabilidade.

• Ω e o espaco amostral.

• Os elementos da σ-algebra Σ sao os eventos, que podem ser um subconjunto propriode P(Ω).

• A cada evento A ∈ Σ (elemento da σ-algebra), associamos sua probabilidade, dadapela sua medida P (A).

• Uma funcao mensuravel com valores em R e chamada de variavel aleatoria.

• A integral∫X P. e chamada de esperanca da variavel aleatoria X com relacao a

probabilidade P .

• Uma sequencia (Xn)n∈N de variaveis aleatorias e chamada de processo estocasticodiscreto. Uma famılia (Xt)t∈R de variaveis aleatorias e chamada de processo es-tocastico contınuo.

Exemplo 3.1 Considere um jogo onde se lancam 2 dados a cada instante de tempo. Podemosconsiderar o processo estocastico discreto Xn igual a soma do valor dos 2 dados a cadainstante.

Um exemplo de processo estocastico contınuo e Xt o valor de uma acao a cada instantede tempo.

39

40 CAPITULO 3. PROBABILIDADE E MEDIDA

O fato que o espaco de eventos e uma σ-algebra significa, em linguagem coloquial, quedados eventos A e B sao eventos tambem:

• a nao ocorrencia de A, isto e, A;

• a ocorrencia de A ou B, isto e, A ∪B;

• a ocorrencia de A e B, isto e, A ∩B.

A necessidade de incluir unioes enumeraveis e mais sutil. Um exemplo desta necessidadeaparece considerando um jogo de dados em que o jogador deve jogar o dado repetidamente ateque apareca o numero 6. Dada a possibilidade do jogo nunca acabar e se repetir infinitamente,temos que considerar unioes infinitas enumeraveis de eventos.

A necessidade de assumir que X e mensuravel provem do fato que queremos ser capazesde atribuir probabilidades para, por exemplo, que o valor de X esteja entre a e b. Dai aparecenaturalmente a σ-algebra de Borel em R.

DEFINICAO 3.2 Dois eventos A e B sao ditos independentes se P (A∩B) = P (A)P (B).

O conceito de independencia entre eventos juntamente com o de probabilidade condicional,ambos sem correspondente na Teoria da medida, inicia o caminho que separa as duas teorias,fazendo com que a Teoria de Probabilidade seja muito mais do que simples aplicacao da Teoriada Medida.

Referencias Bibliograficas[1] Bartle R.G.; The Elements of integration and Lebesgue measure; John Wiley & Sons,

Inc., New York, (1995). ISBN: 0-471-04222-6, MR1312157 (95k:28001).

[2] Fremlin, D. H.; Measure Theory. University of Essex, (2009). Endereco:http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm Acessado em ju-lho/2009.

[3] Halmos P.R.; Measure Theory; Van Nostrand, 1950; Halmos, Paul R. Measure Theory.D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., (1950), MR0033869.

[4] The MacTutor History of Mathematics archive,http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/

[5] Royden, H. L.; Real Analysis; Macmillan Publishing Company, New York, (1988). ISBN:0-02-404151-3, MR1013117 (90g:00004).

[6] Wikipedia. Paginas: Measure, Lebesgue Measure e Sigma-Algebra. Endereco:http://en.wikipedia.org/wiki/Measure (mathematics), etc. Acessado em ju-lho/2009.

41

Documents

Introduc¸ao˜ a Teoria da Medida e` Integral de Lebesguemcabral/livros/livro-medida/medida-V201… · Integral de Lebesgue Primeira Edi˘c~ao V0.8 5 de Janeiro de 2010 Marco A. P