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TRABALHO DE GRADUAÇÃO

INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBES-GUE, UM ESTUDO COMPARATIVO

ALESSANDRA PISKE

JOINVILLE, 2013

ALESSANDRA PISKE

INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBESGUE, UM ESTUDO

COMPARATIVO

Trabalho de Graduação apresentado ao

Curso de Licenciatura em Matemática

do Centro de Ciências Tecnológicas,

da Universidade do Estado de Santa

Catarina, como requisito parcial para

a obtenção do grau de Licenciatura em

Matemática.

Orientador: Prof. Dr. José Rafael

Santos Furlanetto

JOINVILLE, SC2013

P677i

Piske, Alessandra

Integração: Riemann e Lebesgue, um estudo comparativo /

Alessandra Piske - 2013.

143.: il.

Bibliografia: p. 137

Trabalho de Graduação

Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de

Ciências Tecnológicas, Curso de Licenciatura em

Matemática, Joinville, 2013.

Orientador: José Rafael Santos Furlanetto

1. Integral de Riemann. 2. Integral de Lebesgue.

3. Continuidade. 4. Função mensurável. 5. Limite.

I. Furlanetto, J. R. S. II. Integração: Riemann e Lebes-

gue, um estudo comparativo

CDD: 515

Agradecimentos

Pensei em tantas pessoas e jeitos para agradecer, mas escrever

é uma tarefa mais complicada do que se pensa.

Agradeço a Deus que me deu a vida, a capacidade, as oportu-

nidades e as condições físicas e psicológicas que permitiram a conclusão

desse trabalho.

Agradeço à minha mãe pelo amor, carinho, proteção, educação

e pelas tantas vezes que me fez massageá-la "cantando" a tabuada. À

minha irmã por seu carinho, pelos momentos em que cuidou de mim,

que me ajudou nas tarefas e por ter me dado o prazer de ser tia. Agra-

deço também aos meus familiares que estiveram ao meu lado, uma pena

não ser mais possível agradecer a duas pessoas tão especiais.

Durante a nossa vida, conhecemos várias pessoas, algumas de-

las se tornam mais do que amigos e, sem dúvidas, eu não poderia deixar

de agradecer às minhas queridas amigas Graziele e Júlia que, embora

nos desencontremos, sempre arranjamos um tempinho para irmos ao

cinema, almoçarmos juntas e sairmos para colocar o papo em dia. Agra-

deço a Valesca que eu posso passar tempos sem ver, mas quando a vejo

é como se tivessemos nos visto no dia anterior. Não posso deixar de

agradecer ao Matheus que entrou na minha vida por acaso e se fez um

grande amigo e irmão.

Muitas vezes tive medo de estar sozinha, mas eu vi que no meu

curso isso não é possível. Agradeço a Sabrina, a Manu, a Jo, a Nathi,

a Fran, a Tamara e as meninas de estágio por tornarem os meus dias

na UDESC muito divertidos, inclusive aqueles em que eu estou tão

rabugenta.

Eu não lembro por quantos professores eu já passei, mas com

certeza todos eles me ensinaram muito e me inspiraram a escolher essa

profissão. Gostaria de agradecer a Professora Elisandra pela sua dedi-

cação, por acreditar em mim e pela sua amizade. Agradeço ao Professor

José Rafael por me orientar mesmo antes de eu estar matriculada na dis-

ciplina de TGR, pela sua paciência e dedicação. Agradeço a Professora

Patricia pela sua amizade e por ter aceito avaliar meu trabalho. Agra-

deço ao Professor Rodrigo pela sua ajuda em meu trabalho e também

por aceitar ser banca deste. Agradeço também a todos os professores

que colaboraram com a minha formação.

Agradeço ao Alexandre que, por muita boa vontade, me ajudou

com o Latex e ao Bruno por ter lido o meu TGR. Agradeço ao Sandro,

a Nayra e ao Viktor por terem me auxiliado quando eu solicitei e por

terem aturado os meus momentos de paranoia.

"Prioridades corretas e uma boa ad-

ministração do tempo exigem uma

consciência de que hoje é o único

momento que temos para agir. O

passado é irrevogavelmente findo, e

o futuro é apenas uma possibili-

dade."

Dorothy Kelley Patterson

Resumo

PISKE, Alessandra. Integração: Riemann e Lebesgue, um

estudo comparativo. 2013. 143p.. Trabalho de Conclusão deCurso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universi-dade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2013.

O presente trabalho tem por objetivo o estudo rigoroso das in-tegrais de Riemann e Lebesgue, definindo-as e analisando os re-sultados decorrentes de suas definições a fim de compará-las.A primeira integral permite, apenas, que funções contínuas emquase todo ponto de seu domínio sejam integráveis, enquanto asegunda, baseada na teoria de medida, exige que a função sejamensurável e que possua integral finita para que seja integrável.Sabe-se que a Integral de Lebesgue é uma generalização da In-tegral de Riemann. Com essa ideia, além de formalizá-las, estetrabalho tem por objetivo mostrar as vantagens que existem deuma sobre a outra, especialmente as que se referem a integra-bilidade de funções e a troca do limite com o sinal de integral,e de que forma a Integral de Riemann é um caso particular daIntegral de Lebesgue.

Palavras-chave: Integral de Riemann. Integral de Lebesgue.Continuidade. Função mensurável. Limite.

Abstract

PISKE, Alessandra. Integration: Riemann and Lebesgue,

a comparative study. 2013. 143p.. Work of Course Conclu-sion (Graduate Degree in Mathematics) - Santa Catarina StateUniversity, Joinville, 2013.

The present work aims to rigorous study of Riemann’s and Lebes-gue’s integrals, defining them, and analyzing the results due totheir definitions in order to compare them. The first integral al-lows only that continuous functions on almost everywhere of itsdomain are integrable, while the second, based on the measuretheory, requires that the function has measurable and has finiteintegral to be integrable. It is known that the Lebesgue Integralis a generalization of the Riemann integral. With this idea, be-yond formalize them, this work has as objective show that thereare advantages of one over the other, especially those concerningthe integrability of functions and exchange the limit with theintegral sign, and how the Riemann integral is a special case ofLebesgue Integral.

Key-words: Riemann Integral. Lebesgue Integral. Continuity.Measurable Function. Limit.

Lista de ilustrações

Figura 1 – s(f ;P ) = 21.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 2 – S(f ;P ) = 24.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3 – s(f ;Q) = 22.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 4 – S(f ;Q) = 23.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 5 –∫ 7

1.1 ln(x3)dx = 22.85 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 6 – Sequência de funções conforme Lema 2.5 . . . . . . 90

Lista de símbolos

N Conjunto dos números naturais

Q Conjunto dos números racionais

R Conjunto dos números reais

Cn Conjunto das funções contínuas com derivadas con-

tínuas até ordem n.

Sumário

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 A INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1 GEORG RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 CONCEITOS INICIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 CÁLCULO COM INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5 O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN . . . . . . . . . 59

1.6 O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS . . . . . . 64

1.7 SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . 68

1.8 PASSAGEM AO LIMITE SOB INTEGRAL . . . . . . . 72

2 FUNÇÕES MENSURÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 A INTEGRAL DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1 HENRI LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 INTEGRAL DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4 TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA . . . 125

5 A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . 129

5.1 A INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 A INTEGRAL DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN . . . . . . . . . 131

CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Anexos 139

ANEXO A TEOREMAS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . 141

ANEXO B CONJUNTO DE CANTOR . . . . . . . . . . . . . 143

19

INTRODUÇÃO

Durante a graduação, o estudo de integrais está concentrado

no que se refere ao cálculo, para complementar a formação matemática

surgiu a necessidade de formalizar o conceito de Integral. Com essa

ideia, pretende-se, com este trabalho, formalizar a Integral de Riemann,

com a qual os estudos desenvolvidos durante o curso foram embasados,

e em seguida definiremos a Integral de Lebesgue.

A teoria que formaliza a integral com a qual já tivemos contato,

chamada Integral de Riemann, requer muitas condições para o seu de-

senvolvimento. Em contrapartida, a Integral de Lebesgue, baseada na

Teoria de Medida, exige menos condições para desenvolver um estudo

e, por esse motivo, é mais vantajosa em relação a Integral de Riemann.

Nesse sentido, existem funções que são Lebesgue-integráveis, mas não

são Riemann-integráveis. Dessa forma, estudar-se-ão as Integrais de Ri-

emann e de Lebesgue a fim de compreendê-las e compará-las.

A principal comparação que busca-se fazer, neste trabalho, é

a que existe entre o Teorema de Passagem ao Limite sob o Sinal de

Integral, para a Integral de Riemann, e o Teorema da Convergência

Dominada, para a Integral de Lebesgue. Esses dois teoremas nos for-

necem o mesmo resultado, porém sob condições diferentes. Além disso,

sabe-se que a Integral de Riemann é um caso particular da Integral de

Lebesgue, mas de que forma e sob que condições isso é verdade?

Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Capítulo 1

será formalizada a Integral de Riemann. No Capítulo 2 será iniciado o

estudo de Funções Mensuráveis, no Capítulo 3 será definida Medida, no

Capítulo 4 será apresentada, definida e estudada a Integral de Lebesgue.

Finalmente, no Capítulo 5, as duas integrais serão comparadas e será

provado que, de fato, a Integral de Riemann é um caso particular da

20 Introdução

Integral de Lebesgue. Ao final, serão adicionadas as conclusões deste

trabalho.

21

1 A INTEGRAL DE RIEMANN

Durante a graduação, o estudo de integrais se restringiu ao

cálculo da Função Primitiva e mais tarde o uso de limites de somas

de Riemann, porém a Integral de Riemann não foi formalizada. Neste

capítulo pretende-se definir a Integral de Riemann, estudar os teoremas

e as suas demonstrações, procurando analisar as condições necessárias

para obtê-los. A fim de estudá-la será utilizado o livro de Lima (2012).

1.1 GEORG RIEMANN

Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu no ano de 1826, na

cidade de Hanover e, em virtude de uma tubercolose, faleceu em 1866

na Itália. Estudou na Universidade de Berlim e obteve o grau de Doutor

na Universidade de Göttingen.

Riemann fez grandes contribuições para a Matemática, como as

equações diferencias de Cauchy-Riemann, as superfícies de Riemann, a

geometria riemanniana e a função zeta de Riemann, além disso, dentre

os Problemas de Hilbert se encontra a Hipótese de Riemann que ainda

está em aberto.

Com respeito ao trabalho de Riemann, nesta monografia vamos

tratar apenas da Integral de Riemann, que é a mais conhecida integral

nos cursos de graduação (EVES, 2004).

1.2 CONCEITOS INICIAIS

A definição de Integral de Riemann está alicerçada nos concei-

tos de supremo e ínfimo de uma função em um intervalo. Assim, para

demonstrar os teoremas, usaremos o fato de que o supremo M de uma

função limitada f : X → R é um número real que deve satisfazer:

22 Capítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN

i. Para todo x ∈ X , f(x) 6M ;

ii. Se c < M então existe f(x) ∈ f(X) tal que c 6 f(x).

De modo análogo, o ínfimo m de uma função limitada f : X → R é um

número real que deve satisfazer:

i. Para todo x ∈ X , f(x) > m;

ii. Se c > m então existe f(x) ∈ f(X) tal que c > f(x).

Observação 1.1. Se a função f : [a, b] → R é contínua então, pelo

Teorema de Weierstrass (A.1), existem x0, x1 ∈ [a, b] tais que f(x0) 6

f(x) 6 f(x1) para todo x ∈ [a, b], pois [a, b] é compacto, isto é, a função

atinge valores de máximo e mínimo em [a, b]. Isso vale para as restrições

de f aos intervalos da partição, que são compactos.

Os lemas a seguir são necessários para demonstrar os resultados

decorrentes da definição de Integral de Riemann.

Lema 1.1. Sejam A,B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e para todo

y ∈ B se tenha x 6 y. Então

i. supA 6 inf B.

ii. supA = inf B se, e somente se, ∀ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B

com y − x < ε.

Demonstração: i. Suponha que para todo x ∈ A e para

todo y ∈ B sempre se tenha x 6 y. Assim, pela definição de cota

superior, todo y ∈ B é uma cota superior do conjunto A, em particular,

supA 6 y, pois supA é a menor das cotas superiores de A. Logo,

infB

(supA) 6 infBy

E portanto,

supA 6 inf B.

1.2. CONCEITOS INICIAIS 23

ii. (⇐) Suponha que ∀ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B com y − x < ε.

Já provamos que supA 6 inf B, então vamos supor por absurdo que

supA < inf B. Pela relação de ordem, temos que existe ε > 0 tal que

ε = inf B − supA. Sabemos que, para todo x ∈ A e todo y ∈ B,

x 6 supA e inf B 6 y, assim

x 6 supA < inf B 6 y

Logo, y − x > ε, o que contradiz a hipótese. Portanto, se y − x < ε

então supA = inf B.

(⇒) Suponha que supA = inf B. Como supA é a menor cota superior

de A, para qualquer ε > 0 temos supA − ε

2não é cota superior de A,

assim existe x ∈ A tal que supA − ε

2< x < supA. De modo análogo,

para qualquer ε > 0, inf B +ε

2não é cota inferior de B, assim existe

y ∈ B tal que inf B < y < inf B +ε

2.

Por hipótese supA = inf B, então

supA− ε

2< x < supA = inf B < y < inf B +

ε

2

Logo,

y − x < inf B +ε

2−(

supA− ε

2

)

E, portanto,

y − x < ε

O item (i) desse Lema é bastante natural, já o item (ii) nos diz

que a fim de que supA = inf B é necessário, e suficiente, que sempre

seja possível encontrar elementos em A e em B tais que a distância

entre eles é tão pequena quanto se queira.

Lema 1.2. Sejam A,B ⊂ R conjuntos limitados e c ∈ R, então os con-

juntos A+B = {x+ y;x ∈ A e y ∈ B} e c ·A = {c · x;x ∈ A e c ∈ R}também são limitados. Além disso,

i. inf(A+B) = inf A+ inf B e sup(A+B) = supA+ supB.


ii. Se c > 0, então inf(c ·A) = c · inf A e sup(c ·A) = c · supA, caso

contrário inf(c · A) = c · supA e sup(c · A) = c · inf A.

Demonstração: i. Suponha A e B conjuntos limitados. As-

sim, existem a, b tais que a = inf A e b = inf B. Pela definição de ínfimo,

para todo x ∈ A e todo y ∈ B temos x > a e y > b, logo x+ y > a+ b

e, então, a + b é cota inferior de A + B. Como a = inf A então, para

qualquer ε > 0, a+ε

2não é cota inferior de A, pois a é a menor delas.

Do mesmo modo b+ε

2não é cota inferior de B. Desta forma, existem

x ∈ A e y ∈ B tais que a 6 x 6 a +ε

2e b 6 y 6 b +

ε

2. Então

x+y 6 a+ b+ε, ou seja, para qualquer ε > 0 temos que a+ b+ε não é

cota inferior de A+B, portanto a+ b é a maior cota inferior de A+B

e, assim, inf(A+B) = inf A+ inf B e A+B é limitado inferiormente.

De modo análogo temos que sup(A + B) = supA + supB. Com isso,

concluímos que A+B é um conjunto limitado.

ii. Suponha A limitado. Assim, existe a tal que a = inf A, ou seja, para

todo x ∈ A temos x > a.

Para c = 0 o conjunto c ·A = {0}, e portanto inf(0 ·A) = 0 = 0 · inf A.

Se c > 0, então c ·x > c · a para todo x ∈ A, logo c · a é cota inferior de

c · A. Tome d tal que d > c · a, então a <d

ce, como a = inf A, existe

x ∈ A tal que a < x <d

c, então c · a < c · x < d, assim d não é cota

inferior de c · A e c · a é a maior delas. Portanto, inf(c · A) = c · inf A.

A demonstração para sup(c ·A) = c · supA é feita de modo análogo.

Se c < 0 e a = supA então, pela definição de supremo, para todo x ∈ A

temos x 6 a, assim, c ·a 6 c ·x, deste modo c ·a é cota inferior de c ·A.

Tome d tal que d > c · a, entãod

c< a, como a = supA, existe x ∈ A

tal qued

c6 x 6 a, assim c ·a 6 c ·x 6 d e d não é cota inferior de c ·A.

Portanto, inf(c·A) = c·supA. A demonstração para sup(c·A) = c·inf A

é feita de modo análogo.

Com isso provamos que o conjunto c · A é limitado.

1.2. CONCEITOS INICIAIS 25

O Lema que acabamos de provar em comunhão com o Corolário

que segue serão muito importantes para as demonstrações que faremos

no estudo de integrais, uma vez que a definição desse conceito está

associada ao supremo e ínfimo de uma função em um intervalo.

Corolário 1.1. Sejam f, g : X → R funções limitadas. Então para

todo c ∈ R as funções f + g : X → R e c · f : X → R são limitadas.

Além disso,

i. sup(f + g) 6 sup f + sup g, inf(f + g) > inf f + inf g.

ii. Se c > 0, temos sup(c · f) = c · sup f e inf(c · f) = c · inf f . Caso

contrário, sup(c · f) = c · inf f e inf(c · f) = c · sup f .

Demonstração: Para demonstrar este corolário, tome

A = f(X) = {f(x);x ∈ X} e B = g(X) = {g(x);x ∈ X} .

i. Sejam C = (f + g)(X) = {f(x) + g(x);x ∈ X} e, como no Lema

anterior, A + B = {f(x) + g(y); f(x) ∈ f(X) e g(y) ∈ g(X)}. Posto

isso, fica claro que C ⊂ A + B, pois um elemento f(x) + g(x) ∈ C

também pertence a A + B, então inf C > inf(A + B) e supC 6

sup(A+B). Mas pelo Lema 1.2 temos que inf(A+B) = inf A+ inf B

e sup(A + B) = supA + supB. Portanto, inf(f + g) > inf f + inf g e

sup(f + g) 6 sup f + sup g.

ii. Para c > 0, segue do Lema 1.2 que inf(c ·f) = inf {c · f(x);x ∈ X} =

inf(c ·A) = c · inf A = c · inf f e, de modo análogo, sup(c · f) = c · sup f .

E para c < 0, inf(c · f) = inf {c · f(x);x ∈ X} = inf(c ·A) = c · supA =

c · sup f e, de modo análogo, sup(c · f) = c · inf f .

Lema 1.3. Dada f : X → R limitada. Sejam m = inf f , M =

sup f e ω = M − m, chamada de oscilação de f em X. Então ω =

sup {|f(x) − f(y)| ∀x, y ∈ X}.


Demonstração: Tome x, y ∈ X arbitrários e suponha f(x) >

f(y). Assim, m 6 f(y) 6 f(x) 6M , pois m e M são ínfimo e supremo

de f , desta forma |f(x) − f(y)| 6M−m = ω, ou seja, ω é cota superior

de {|f(x) − f(y)| ∀x, y ∈ X}.

Além disso, para todo ε > 0, existem x, y ∈ X tais que f(x) > M − ε

2e

f(y) > m+ε

2, pois M e m são supremo e ínfimo de f , respectivamente.

Assim,

|f(x) − f(y)| 6 f(x) − f(y) < M −m− ε = ω − ε

Portanto,

ω = sup {|f(x) − f(y)| ∀x, y ∈ X} .

A oscilação de uma função é um importante conceito para ob-

termos uma relação que nos facilitará as provas, especialmente, as que

se referem a integrabilidade de funções. E esse Lema será bastante uti-

lizado nas demonstrações em que não podemos garantir que a função

atinja os valores de máximo e mínimo, sendo necessário tomar o su-

premo de todas as diferenças possíveis entre todos os valores - dois a

dois - que a função atinge em um intervalo.

Lema 1.4. Sejam A′ ⊂ A e B′ ⊂ B conjuntos limitados de números

reais. Se para cada a ∈ A e cada b ∈ B existem a′ ∈ A′ e b′ ∈ B′ tais

que a 6 a′ e b′ 6 b, então supA′ = supA e inf B = inf B′.

Demonstração: Suponha que para cada b ∈ B exista b′ ∈ B′

tal que b′ 6 b e B′ ⊂ B. Sendo assim, inf B é cota inferior de B′. Tome

c > inf B, então c não é cota inferior de B e, pela definição de ínfimo,

existe b ∈ B tal que inf B 6 b < c. Mas, por hipótese, existe b′ ∈ B′ tal

que b′ 6 b < c, então c também não é cota inferior de B′. Logo, inf B

é a menor cota inferior de B′ e, portanto, inf B = inf B′. De modo

análogo, temos supA′ = supA.

1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 27

Definição 1.1. Uma partição de um intervalo [a, b] é um subconjunto

finito de pontos P = {t0, t1, ..., tn} ⊂ [a, b] tal que a ∈ P e b ∈ P , sendo

a = t0 e b = tn e, além disso, a = t0 < t1 < ... < tn = b.

E usaremos as seguintes notações. Dada uma função f : [a, b] →R, então

m = inf{f(x);x ∈ [a, b]} e M = sup{f(x);x ∈ [a, b]}.

Se tomarmos f |[ti−1, ti], chamada restrição de f ao i-ésimo in-

tervalo da partição, então podemos tomar o ínfimo e supremo da função

neste intervalo e denotaremos da seguinte forma:

mi = inf{f(x);x ∈ [ti−1, ti]} e Mi = sup{f(x);x ∈ [ti−1, ti]}.

Além das definições de ínfimo e supremo de uma função, no

Lema 1.3, definimos a oscilação de uma função no intervalo [a, b]. Se

tomarmos a restrição de f ao i-ésimo intervalo denotaremos a oscilação

neste intervalo como ωi = Mi −mi e, além disso,

ωi = sup {|f(x) − f(y)| ∀x, y ∈ [ti−1, ti]}.

Provados os lemas anteriores e fixadas essas notações podemos

definir a integral de Riemann.

1.3 INTEGRAL DE RIEMANN

Além da definição de Função Primitiva, a integral foi vista

como uma ferramenta para calcular áreas delimitadas por uma função, e

é essa noção inicial de Integral de Riemann. Nesse sentido, vamos definir

a soma inferior e a superior de uma função limitada f : [a, b] → R:

Definição 1.2. A soma inferior relativamente à partição P é o valor

s(f ;P ) = m1(t1 − t0) + ...+mn(tn − tn−1) =n∑

i=1

mi(ti − ti−1).


A Figura abaixo representa uma Soma Inferior relativa a par-

tição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} para

a função f(x) = ln(x3) definida no intervalo [1.1, 7] e, utilizando um

software matemático, resulta em s(f ;P ) = 21.15.

Figura 1 – s(f ; P ) = 21.15

Definição 1.3. A soma superior relativamente à partição P é o valor

S(f ;P ) = M1(t1 − t0) + ...+Mn(tn − tn−1) =n∑

i=1

Mi(ti − ti−1).

A Figura abaixo representa uma Soma Superior relativa a par-

tição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} para

a função f(x) = ln(x3) definida no intervalo [1.1, 7] e, utilizando um

software matemático, resulta em S(f ;P ) = 24.42.

Observe que, em módulo, a soma inferior s(f ;P ) representa um

valor aproximado, por falta, da área da região limitada pela função f e

a soma superior S(f ;P ) representa um valor aproximado, por excesso,

da mesma área.

A partição escolhida nas figuras 1 e 2 possui intervalos de com-

primentos iguais, no entanto isso não é necessário. Observando essas

figuras é fácil notar que s(f ;P ) 6 S(f ;P ), como formaliza a observa-

ção abaixo.


Figura 2 – S(f ; P ) = 24.42

Observação 1.2. Como [ti−1, ti] ⊂ [a, b], então m 6 mi 6 Mi 6 M .

Desta forma, m(b − a) 6 s(f ;P ) 6 S(f ;P ) 6 M(b − a). Ou seja, a

soma inferior relativa a uma partição é sempre menor ou igual do que

a soma superior relativa a mesma partição.

Agora observe a soma inferior e a superior, para a partição Q,

com n = 30 intervalos, tal que

Q = {1.1, 1.29, 1.49, 1.69, 1.89, 2.08, 2.28, 2.48, 2.67, 2.87, 3.07, 3.26,

3.46, 3.66, 3.85, 4.05, 4.25, 4.44, 4.64, 4.84, 5.03, 5.23, 5.43, 5.62,

5.82, 6.02, 6.21, 6.41, 6.61, 6.8, 7} .

Temos que s(f ;Q) = 22.3 e S(f ;Q) = 23.39. Perceba que

P ⊂ Q, nesse caso, dizemos que Q refina P e claramente vemos que

s(f ;P ) 6 s(f ;Q) 6 S(f ;Q) 6 S(f ;P ). Nesse sentido, segue o Teo-

rema.

Teorema 1.1. Quando se refina uma partição, a soma inferior não

diminui e a soma superior não aumenta. Ou seja, se P ⊂ Q então

s(f ;P ) 6 s(f ;Q) e S(f ;Q) 6 S(f ;P ).


Figura 3 – s(f ; Q) = 22.3

Figura 4 – S(f ; Q) = 23.39

Demonstração: Seja P = {t0, t1, ..., tn} uma partição de

[a, b] e suponha Q uma partição do mesmo intervalo que refine P de tal

modo que Q = P ∪ {t′}, assim existe algum i tal que t′ ∈ [ti−1, ti], ou

seja, Q = {t0, ..., ti−1, t′, ti, ..., tn}.

Sejam Mi o supremo da função f no intervalo [ti−1, ti] da partição P e

M ′ e M ′′ os supremos de f no intervalos [ti−1, t′] e [t′, ti], respectiva-

mente, da partição Q. Posto isso, temos

S(f ;P ) − S(f ;Q) =∑n

j=1 Mj(tj − tj−1) −∑i−1j=1 Mj(tj − tj−1) −


M ′(t′ − ti−1) −M ′′(ti − t′) −∑nj=i Mj(tj − tj−1)

Logo,

S(f ;P ) − S(f ;Q) = Mi(ti − ti−1) −M ′(t′ − ti−1) −M ′′(ti − t′)

Somando Mit′ −Mit

′ na expressão acima e a manipulando, convenien-

temente, podemos escrevê-la assim

S(f ;P ) − S(f ;Q) = (Mi −M ′′)(ti − t′) + (Mi −M ′)(t′ − ti−1)

Mas como [ti−1, t′] e [t′, ti] estão contidos em [ti−1, ti], então M ′ 6Mi

e M ′′ 6Mi. Além disso, t′ 6 ti e ti−1 6 t′. Logo,

S(f ;P ) − S(f ;Q) > 0

Portanto,

S(f ;Q) 6 S(f ;P ).

Dessa forma provamos que se adicionarmos um ponto à partição P ,

temos S(f ;Q) 6 S(f ;P ). Se adicionarmos n pontos a ela, o procedi-

mento é o mesmo.

Demonstramos que s(f ;P ) 6 s(f ;Q) de modo análogo.

O Teorema 1.1 nos diz que quando tomamos uma partição ini-

cial e a divimos em mais intervalos, preservando os pontos originais,

mais aproximadas estarão a soma inferior e a superior da área, quando

a função for não negativa, da região limitada pela função f . Com base

nessa ideia, iremos definir (na Definição 1.4) a integral inferior e a

superior de uma função.

Corolário 1.2. Para quaisquer partições P e Q de [a, b] e qualquer

função limitada f : [a, b] → R tem-se s(f ;P ) 6 S(f ;Q).


Demonstração: Suponha f limitada e P e Q partições de

[a, b]. Tome a partição P ∪Q, que refina P e Q. Pelo teorema anterior

e pela Observação 1.2, temos

s(f ;P ) 6 s(f ;P ∪Q) 6 S(f ;P ∪Q) 6 S(f ;Q).

Portanto, s(f ;P ) 6 S(f ;Q) para quaisquer partições P,Q de [a, b].

O Corolário 1.2 amplia a Observação 1.2, pois nos diz que para

todas as partições possíveis de um intervalo [a, b] a soma inferior é sem-

pre menor ou igual do que a soma superior independente das partições

que tomarmos.

Definição 1.4. Seja f : [a, b] → R uma função limitada, então

i. A integral inferior é definida por

∫ b

a

f(x)dx = supP

s(f ;P )

ii. A integral superior é definida por

¯∫ b

a

f(x)dx = infPS(f ;P )

onde sup e inf são tomados em relação a todas as partições P do in-

tervalo [a, b].

É intuitivo que, como as integrais superior e inferior são defi-

nidas com base no supremo e ínfimo de uma função, a integral inferior

seja menor ou igual a integral superior, e assim formaliza o próximo

corolário.

Corolário 1.3. Dada f : [a, b] → R então

m(b− a) 6∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx 6M(b− a)


Demonstração: Sejam A = {s(f ;P );P é partição} e B =

{S(f ;Q);Q é partição}. Pela definição desses conjuntos e pela Defini-

ção 1.4 sabemos que

supA = supP

s(f ;P ) =∫ b

a

f(x)dx e

inf B = infQS(f ;Q) =

¯∫ b

a

f(x)dx

E pelo Corolário 1.2 sabemos que, para quaisquer partições P e Q,

sempre temos

s(f ;P ) 6 S(f ;Q)

Então, pelo Lema 1.1, supP

s(f ;P ) 6 infQS(f ;Q), ou seja,

∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx

Além disso, m(b−a) 6∫ b

af(x)dx e

¯∫ b

af(x)dx 6M(b−a) ocorrem pela

Observação 1.2. Portanto,

m(b− a) 6∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx 6M(b− a)

A Definição 1.4, nos diz que para encontrarmos o valor da in-

tegral superior e da inferior de uma função f : [a, b] → R é necessário

tomar um supremo e um ínfimo relativos a todas as partições que exis-

tem para o intervalo [a, b], no entanto não é preciso tomar todas essas

partições, pois o corolário abaixo nos garante isso.

Corolário 1.4. Seja P0 uma partição de [a, b]. Se considerarmos as

somas s(f ;P ) e S(f ;P ) relativas às partições P que refinam P0 obte-

remos os mesmos valores para∫ b

af(x)dx e

¯∫ b

af(x)dx.

Demonstração: Sejam A = {s(f ;Q);Q é partição}, que é

o conjunto das somas inferiores relativas a todas as partições, e A′ =


{s(f ;P );P é partição e P0 ⊂ P}, logo A′ ⊂ A pois P é partição.

Para todo s(f,Q) ∈ A existe, pelo Teorema 1.1, s(f ;P ) ∈ A′ tal que

s(f ;Q) 6 s(f ;P )

basta tomar P = P0 ∪Q, que refina P0 e Q.

Sendo assim o Lema 1.4 nos garante que supA = supA′, pois A′ ⊂ A,

isto é,

supP

s(f ;P ) = supQ

s(f ;Q) =∫ b

a

f(x)dx

Analogamente, provamos que obtemos os mesmos valores para¯∫ b

af(x)dx

independente da partição que tomarmos.

De fato, o Corolário 1.4 nos diz que não precisamos tomar todas

as partições do intervalo [a, b] para obtermos os valores da integral

inferior e da superior, basta tomar uma partição e refiná-la.

Definição 1.5. Uma função limitada f : [a, b] → R é Riemann inte-

grável quando∫ b

a

f(x)dx =¯∫ b

a

f(x)dx.

E a esse valor chamamos de Integral de Riemann da função e denota-

mos por∫ b

a

f(x)dx.

Quando definimos a Soma Inferior e a Superior falamos de área,

nesse sentido, dizer que uma função não negativa é integrável implica

em dizer que a região delimitada pela função possui área, se a função

também assumir valores negativos, devemos considerar o módulo dessa

função. Além disso, desta definição segue que

∫ b

a

f(x)dx = supP

s(f ;P ) = infPS(f ;P )

e isso pode nos ser útil para as próximas demonstrações.


Figura 5 –∫

7

1.1ln(x3)dx = 22.85

Na Figura 5, temos a representação gráfica da Integral da fun-

ção ln(x3) e com o auxílio de um software, temos que

∫ 7

1.1

ln(x3)dx = 22.85.

Pelos comentários das Figuras 1, 2, 3 e 4 temos

s(f ;P ) 6 s(f ;Q) 6∫ 7

1.1

ln(x3)dx 6 S(f ;Q) 6 S(f ;P ).

Isso acontece sempre que Q ⊂ P , pois o Corolário 1.3 nos diz que

∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx.

Mas definimos a Integral Inferior e a Superior como

∫ b

a

f(x)dx = supP

s(f ;P ) e¯∫ b

a


Assim, pela definição de supremo e ínfimo, para qualquer partição P ,

temos

s(f ;P ) 6∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx 6 S(f ;P )


E o Teorema 1.1 nos diz que quando Q ⊂ P , temos que a soma inferior

não diminui e a superior não aumenta, então temos

s(f ;P ) 6 s(f ;Q) 6∫ b

a

f(x)dx 6

¯∫ b

a

f(x)dx 6 S(f ;Q) 6 S(f ;P )

Além disso, pela Definição de Integrabilidade segue que

s(f ;P ) 6 s(f ;Q) 6∫ b

a

f(x)dx 6 S(f ;Q) 6 S(f ;P ).

Assim, o que se observa pelas imagens, vale para qualquer função inte-

grável e para partições tais que P ⊂ Q.

Teorema 1.2 (Condição imediata de integrabilidade). Seja f : [a, b] →R uma função limitada. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

i. f é integrável.

ii. Para todo ε > 0, existem partições P,Q de [a, b] tais que S(f ;Q)−s(f ;P ) < ε.

iii. Para todo ε > 0, existe uma partição P = {t0, t1, ..., tn} de [a, b]

tal que S(f ;P ) − s(f ;P ) =∑n

i=1 ω(ti − ti−1) < ε.

Demonstração: (i⇒ii) Suponha f integrável e sejam A =

{s(f ;P );P é partição} e B = {S(f ;Q);Q é partição} . Pelo Corolário

1.2, para quaisquer partições P e Q sempre temos

s(f ;P ) 6 S(f ;Q)

Mas como f é integrável, então supA = inf B. E, pelo ítem (ii) do

Lema 1.1, para todo ε > 0 existem partições P e Q tais que S(f ;Q) −s(f ;P ) < ε.

(ii⇒iii) Suponha que para todo ε > 0 existem partições P e Q tais que

S(f ;Q) − s(f ;P ) < ε. Tome P0 = P ∪Q, que refina P e Q. Então, pelo

Teorema 1.1,

s(f ;P ) 6 s(f ;P0) 6 S(f ;P0) 6 S(f ;Q)


Como S(f ;Q) − s(f ;P ) < ε, então S(f ;P0) − s(f ;P0) < ε.

(iii⇒i) Suponha que para todo ε > 0, exista uma partição P0 de [a, b]

tal que S(f ;P0) − s(f ;P0) < ε.

Sejam

A = {s(f ;P );P é partição e P0 ⊂ P} e

B = {S(f ;P );P é partição e P0 ⊂ P} .

Por hipótese temos que

S(f ;P0) − s(f ;P0) < ε

Mas S(f ;P0) ∈ B e s(f ;P0) ∈ A, então, pelo Lema 1.1,

inf B = supA, ou seja,

infP0⊂P

S(f ;P ) = supP0⊂P

s(f ;P )

e, pelo corolário 1.4, podemos tomar apenas as partições que refinam

P0 para obtermos a integral superior e a inferior, assim

∫ b

a

f(x)dx =¯∫ b

a

f(x)dx

Portanto, f é integrável.

Esse teorema irá facilitar as demonstrações dos próximos re-

sultados e pode ser visto como uma definição para Riemann Integrabi-

lidade. Podemos dizer que uma função é Riemann Integrável se sempre

for possível conseguir uma partição P de [a, b] tal que s(f ;P ) e S(f ;P )

estão tão próximas quanto se queira.

Teorema 1.3. Seja a < c < b. A função f : [a, b] → R é integrável se,

e somente se, suas restrições f |[a, c] e f |[c, b] são integráveis. No caso

afirmativo∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx +∫ b

c

f(x)dx


Demonstração: Suponha f : [a, b] → R limitada e c ∈ (a, b).

Sejam P1 = {a = t0, t1, ..., ti = c} e P2 = {c = ti, ti+1, ..., tn = b}partições de [a, c] e [c, b], respectivamente. Desta forma, P0 = P1 ∪ P2

é uma partição de [a, b] que contém c.

Defina

A = {s(f ;P );P1 ⊂ P} e

B = {s(f ;P );P2 ⊂ P}

Afirmo que

A+B = {s(f ;P );P0 ⊂ P} ,

que será provado ao final da demonstração. Pelo Lema 1.2 sup(A+B) =

supA+ supB e, pelo Corolário 1.4 podemos tomar apenas as partições

que refinem P0, P1 e P2 para obtermos a integral inferior, assim

∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx (1.1)

Analogamente, defina

A′ = {S(f ;P );P1 ⊂ P} e

B′ = {S(f ;P );P2 ⊂ P}

Então,

A′ +B′ = {S(f ;P );P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P}

Pelo mesmo motivo de antes,

¯∫ b

a

f(x)dx =¯∫ c

a

f(x)dx +¯∫ b

c

f(x)dx (1.2)

Subtraindo (1.2) de (1.1), temos

¯∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

f(x)dx =¯∫ c

a

f(x)dx−∫ c

a

f(x)dx +

¯∫ b

c

f(x)dx −∫ b

c

f(x)dx


Mas, pelo Corolário 1.3, temos que

¯∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

f(x)dx > 0,

¯∫ c

a

f(x)dx −∫ c

a

f(x)dx > 0 e

¯∫ b

c

f(x)dx−∫ b

c

f(x)dx > 0.

Com isso temos que

(⇒) Se f é integrável, então¯∫ b

af(x)dx−

∫ b

af(x)dx = 0, logo ¯∫ c

af(x)dx−

∫ c

af(x)dx = 0 e

¯∫ b

cf(x)dx −

∫ b

cf(x)dx = 0. Portanto, f |[a, c] e f |[c, b]

são integráveis.

(⇐) Se f |[a, c] e f |[c, b] são integráveis, teremos que ¯∫ c

af(x)dx−

∫ c

af(x)dx =

0 e¯∫ b

cf(x)dx −

∫ b

cf(x)dx = 0, logo

¯∫ b

af(x)dx −

∫ b

af(x)dx = 0. Por-

tanto, f : [a, b] → R é integrável.

Além disso, se f : [a, b] → R é integrável, sabemos que a integral in-

ferior (e superior) é igual a integral, então pela equação (1.1) temos

que∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx +∫ b

c

f(x)dx.

Para concluir a demonstração, vamos provar que

A+B = {s(f ;P );P0 ⊂ P} .

Sejam s(f ;P ′) ∈ A e s(f ;P ′′) ∈ B, onde P ′ é uma partição para [a, c]

e P ′′ é uma partição para [c, b]. Temos que P ′ ∩ P ′′ = {c}, assim

s(f ;P ′) + s(f ;P ′′) =

m1(t1 − a) + ...+mi(c− ti−1) +mi+1(ti+1 − c) + ...+mn(b− tn−1) =

s(f ;P )

sendo P = P ′ ∪ P ′′ então A+B ⊂ {s(f ;P );P0 ⊂ P}, pois P0 ⊂ P .

Por outro lado, se tomarmos s(f ;P ) ∈ {s(f ;P );P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P},


então podemos separar a partição P em duas partições que refinem P1

e P2. Portanto, {s(f ;P );P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P} ⊂ A+B.

Teorema 1.4 (Propriedades da Integral de Riemann). Sejam f, g :

[a, b] → R funções limitadas e integráveis. Então

i. A soma f + g é integrável e

∫ b

a

f(x) + g(x)dx =∫ b

a

f(x)dx +∫ b

a

g(x)dx.

ii. O produto f · g e integrável. Se c ∈ R, então

∫ b

a

c · f(x)dx = c ·∫ b

a

f(x)dx.

iii. Se 0 < k 6 |g(x)| para todo x ∈ [a, b], entãof

gé integrável.

iv. Se f(x) 6 g(x) para todo x ∈ [a, b], então

∫ b

a

f(x)dx 6

∫ b

a

g(x)dx.

v. |f | é integrável e∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f(x)| dx.

Demonstração: Para demonstrar este teorema, vamos deno-

tar por m′i,M

′i , m

′′i ,M

′′i e ω′

i, ω′′i os ínfimos, supremos e oscilações de

fe g, respectivamente, no i-ésimo intervalo de P .

i. Pelo Teorema 1.2 temos que, se f e g são integráveis, então

para todo ε > 0, existe uma partição P = {t0, t1, ..., tn} tal que


n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) <

ε

2e

n∑

i=1

ω′′i (ti − ti−1) <

ε

2

Pelo Corolário 1.1, a função (f + g)(x) é limitada e além disso,

mi = inf(f + g) > inf f + inf g = m′i +m′′

i e

Mi = sup(f + g) 6 sup f + sup g = M ′i +M ′′

i

Assim,

S(f+g;P ) =n∑

i=1

Mi(ti−ti−1) 6n∑

i=1

M ′i(ti−ti−1)+

n∑

i=1

M ′′i (ti−ti−1) e

s(f + g;P ) =n∑

i=1

mi(ti − ti−1) >n∑

i=1

m′i(ti − ti−1) +

n∑

i=1

m′′i (ti − ti−1)

Subtraindo a segunda expressão da primeira, temos

S(f + g;P ) − s(f + g;P ) 6

n∑

i=1

(M ′i −m′

i)(ti − ti−1) +n∑

i=1

(M ′′i −m′′

i )(ti − ti−1) =

n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) +

n∑

i=1

ω′′i (ti − ti−1) <

ε

2+ε

2

Portanto, S(f + g;P ) − s(f + g;P ) < ε e, pelo Teorema 1.2, f + g é

integrável.

Além disso, suponha f, g limitadas e integráveis e P uma partição de

[a, b], então

∫ b

a

f(x)dx +∫ b

a

g(x)dx = supP

s(f ;P ) + supP

s(g;P ) 6


supP

s(f + g;P ) =∫ b

a

f(x) + g(x)dx

e

¯∫ b

a

f(x)dx +¯∫ b

a

g(x)dx = infPS(f ;P ) + inf

PS(g;P ) >

infPS(f + g;P ) =

¯∫ b

a

f(x) + g(x)dx

Mas como f , g e f + g são integráveis temos que a integral inferior é

igual a integral superior, portanto

∫ b

a

f(x) + g(x)dx =∫ b

a

f(x)dx+∫ b

a

g(x)dx.

ii. Suponha f e g integráveis e limitadas, dessa forma existem

k1, k2 ∈ R tais que |f(x)| 6 k1 e |g(x)| 6 k2 para todo x ∈ [a, b]. Tome

k = max {k1, k2}, assim

|f(x)| 6 k e

|g(x)| 6 k para todo x ∈ [a, b].

Além disso, como f e g são integráveis, temos que para todo ε > 0,

existe uma partição P = {t0, t1, ..., tn} tal que

n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) <

ε

2ke

n∑

i=1

ω′′i (ti − ti−1) <

ε

2k

Mas para x, y ∈ [ti−1, ti] arbitrários, temos

|f(y) · g(y) − f(x) · g(x)| = |f(y)g(y) − f(x)g(y) + f(x)g(y) − f(x)g(x)|= |g(y)| |f(y) − f(x)| + |f(x)| |g(y) − g(x)|6 |g(y)| |f(y) − f(x)| + |f(x)| |g(y) − g(x)|6 k(ω′

i + ω′′i )


Pelo Lema 1.3, temos que

ωi = sup {|f(y) · g(y) − f(x) · g(x)| ;x, y ∈ [ti−1, ti]}

Mas como tomamos x, y arbitrários temos que ωi 6 k(ω′i + ω′′

i ), então

n∑

i=1

ωi(ti − ti−1) 6 k

[

n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) +

n∑

i=1

ω′′i (ti − ti−1)

]

< ε

Portanto, f · g é integrável pelo Teorema 1.2.

Além disso, seja c ∈ R, pelo Lema 1.2, sabemos que

sup s(c · f ;P ) = c · sup(f ;P )

Como f e c · f são integráveis, por hipótese e pelo o que acabamos de

provar, então

∫ b

a

c · f(x)dx = c ·∫ b

a

f(x)dx.

iii. Acabamos de provar que se f e g são integráveis, então f · gé integrável. Se provarmos que

1g

é integrável, entãof

gserá integrável.

Suponha g integrável e 0 < k 6 |g(x)| para todo x ∈ [a, b]. Como g é

integrável existe uma partição P = {t0, t1, ..., tn} de [a, b] tal que

n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) < ε · k2

Para x, y ∈ [ti−1, ti] arbitrários, temos∣

∣

∣

∣

1g(x)

− 1g(y)

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

g(y) − g(x)g(y)g(x)

∣

∣

∣

∣

=|g(y) − g(x)|

|g(y)g(x)| 6|g(y) − g(x)|

k2

Pelo Lema 1.3, ωi = sup{∣

∣

∣

∣

1g(x)

− 1g(y)

∣

∣

∣

∣

;x, y ∈ [ti−1, ti]}

será a osci-

lação de1g

em [ti−1, ti], e como tomamos x, y arbitrários, então

ωi 6ω′

i

k2


E assim,

n∑

i=1

ωi(ti − ti−1) 6n∑

i=1

ω′i

k2(ti − ti−1) <

ε · k2

k2= ε

Então, pelo Teorema 1.2,1g

é integrável e, portanto,f

gé também é.

iv. Suponha f(x) 6 g(x) e sejam m′i,m

′′i ínfimos de f, g no

intervalo [ti−1, ti] de uma partição P de [a, b] e tome

A = {s(f ;P );P é partição} e

B = {s(g;P );P é partição}

Como f(x) 6 g(x) para todo x ∈ [a, b], então m′i 6 m′′

i . Assim, sempre

teremos s(f ;P ) 6 s(g;P ) e, pelo Lema 1.1 supA 6 supB, ou seja,

supP

s(f ;P ) 6 supP

s(g;P ). Portanto, como f e g são integráveis, e

∫ b

a

f(x)dx 6

∫ b

a

g(x)dx.

v. Suponha f integrável. Seja ωi a oscilação de |f | no intervalo

[ti−1, ti] de uma partição P de [a, b] e ω′i a oscilação de f nesse mesmo

intervalo. Como f é integrável, temos que

n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) < ε

Para x, y ∈ [ti−1, ti] arbitrários, temos

||f(y)| − |f(x)|| 6 |f(y) − f(x)| 6 ω′i

Pelo Lema 1.3, ωi = sup {||f(y)| − |f(x)|| ;x, y ∈ [ti−1, ti]}, e como to-

mamos x, y arbitrários, temos ωi 6 ω′i e assim

n∑

i=1

ωi(ti − ti−1) 6n∑

i=1

ω′i(ti − ti−1) < ε


Portanto, |f | é integrável.

Além disso, sabemos que f(x) 6 |f(x)| para todo x ∈ [a, b], então

− |f(x)| 6 f(x) 6 |f(x)|, e pelo ítem (iv) deste teorema, temos

−∫ b

a

|f(x)| dx 6

∫ b

a

f(x)dx 6

∫ b

a

|f(x)| dx

Portanto,∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f(x)| dx.

Corolário 1.5. Se f : [a, b] → R é integrável e |f(x)| 6 k pra todo

x ∈ [a, b] então∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

6 k(b− a).

Demonstração: Suponha f integrável e tal que |f(x)| 6 k

pra todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema 1.4 sabemos que∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f(x)| dx

Além disso, como |f(x)| é integrável, temos que∫ b

a

|f(x)| dx = inf S(|f | ;P )

E pelo Corolário 1.3 segue

inf S(|f | ;P ) 6M(b− a)

onde M é o supremo da função em [a, b], mas M 6 k. Portanto,∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

6 k(b− a).

Esses últimos resultados nos traziam como hipótese funções

integráveis e buscávamos uma conclusão. Mas além de procurarmos

consequências da integrabilidade, precisamos encontrar condições que

tornem uma função integrável. Nesse sentido, seguem os teoremas.


Teorema 1.5. Toda função contínua f : [a, b] → R é integrável.

Demonstração: Suponha f contínua em [a, b], que é limitado

e fechado e, portanto, compacto. Assim, pelo Anexo A.2, f é uniforme-

mente contínua, isto é, para todo ε > 0 dado e para todo x ∈ [a, b] é

possível obter δ > 0 tal que, se y ∈ [a, b] temos

|y − x| < δ ⇒ |f(y) − f(x)| < ε

b− a(1.3)

Seja P = {t0, t1, ..., tn} uma partição de [a, b] tal que |ti − ti−1| <δ para todo i = 0, ..., n. Além disso, como f é contínua, pela Observação

1.1, existem xi, yi ∈ [ti−1, ti], tais que f(xi) = mi e f(yi) = Mi. Dessa

forma, como |yi − xi| 6 |ti − ti−1| < δ, segue da Expressão (1.3) que

|yi − xi| < δ ⇒ |f(yi) − f(xi)| <ε

b− a

Mas |f(yi) − f(xi)| = ωi, então∑n

i=1 ωi(ti − ti−1) <ε

b − a(b − a) = ε

e, pelo Teorema 1.2, f é integrável.

É esperado que funções contínuas definidas em um intervalo

[a, b] sejam integráveis, pois se particionarmos o conjunto [a, b] em in-

tervalos de comprimentos tão pequenos quanto se queira, os valores

de supremo e ínfimo, que pela Observação 1.1 são assumidos pela fun-

ção, também estarão tão próximos quanto se queira, pela definição de

continuidade de funções.

Teorema 1.6. Toda função monótona f : [a, b] → R é integrável.

Demonstração: Suponha f monótona não decrescente e tome

uma partição P = {t0, t1, ..., tn} de [a, b] tal que |ti − ti−1| < ε

f(b) − f(a).

Como f é monótona não decrescente então, em cada [ti−1, ti], temos

ωi = f(ti) − f(ti−1), assim

n∑

i=1

ωi = [f(t1) − f(t0)] + [f(t2) − f(t1)] + ...+ [f(tn) − f(tn−1)]


Logo,∑n

i=1 ωi = f(tn) − f(t0) = f(b) − f(a) e, além disso,

n∑

i=1

ωi(ti − ti−1) <ε

f(b) − f(a)

n∑

i=1

ωi = ε

Portanto, pelo Teorema 1.2, f é integrável.

De modo análogo, provamos que uma função monótona não crescente

também é integrável.

Definição 1.6. O comprimento |I| do intervalo [a, b] ⊂ R é dado por

|I| = b− a.

Observação 1.3. Uma cobertura de um conjuntoX ⊂ R é uma família

de conjuntos tais que a união deles contém X .

Definição 1.7 (Medida nula). Dizemos que um conjunto X ⊂ R tem

medida nula quando, para todo ε > 0 dado, existe uma cobertura finita

ou infinita enumerável X ⊂⋃

k Ik de X por intervalos abertos Ik cuja

soma dos comprimentos é tal que

∑

k

|Ik| < ε.

No Capítulo 3 deste trabalho, iremos definir medida de ma-

neira rigorosa, mas nesse momento essa definição para Medida Nula é

suficiente para provar os próximos teoremas.

A Definição 1.7 nos diz que um conjunto tem medida nula se

for possível cobrí-lo com intervalos cuja soma de seus comprimentos

seja tão pequena quanto se queira, mas se não conseguirmos cobrir

uma pequena parte do conjunto todo com nem mesmo um intervalo

com medida tão pequena quanto se queira, é suficiente, para dizer que

o conjunto todo tem medida nula. Sendo assim, para cada ε > 0 tome

a vizinhança (a − ε, a + ε), que possui |I| = 2ε. Essa vizinhança não

possui medida nula, pois para cada vizinhança (a−ε, a+ε) não é possível

cobrí-la com um intervalo de comprimento ε. Por outro lado, para todo

ε > 0 é possível cobrir o ponto a com uma vizinhança (a + ε, a − ε).


Assim, podemos concluir que os únicos intervalos de números reais que

possuem medida nula são degenerados.

Teorema 1.7. Se o conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma

função limitada f : [a, b] → R tem medida nula, então f é integrável.

Demonstração: Suponha que D tem medida nula, ou seja,

para todo ε > 0 existe uma cobertura de intervalos abertos I1, ..., Ik, ...

tais que D ⊂⋃

k Ik e∑

k |Ik| < ε

2ω, com ω = M −m.

Para cada x em que f é contínua tome uma vizinhança Jx de x tal que

a oscilação de f |(Jx ∩ [a, b]) seja menor queε

2(b− a). Assim,

⋃

x Jx é

uma cobertura aberta de [a, b] −D, pois [a, b] −D ⊂ ⋃x Jx .

Desta forma, [a, b] ⊂ (⋃

x Jx) ∪ (⋃

k Ik) é uma cobertura aberta de

[a, b] que, pelo Teorema de Borel-Lebesgue (Anexo A.3), possui uma

subcobertura finita, seja ela [a, b] ⊂ I1 ∪ ... ∪ Im ∪ Jx1∪ ... ∪ Jxn

.

Agora, considere uma partição de [a, b] formada pelos pontos a, b e pelos

extremos de cada Ik e Jxidesta subcobertura finita que pertençam ao

intervalo [a, b]. E sejam os intervalos que pertencem a partição P tais

que [tα−1, tα] ⊂ Ik para algum Ik, isto é, são formados por pontos que

pertencem a D, e [tβ−1, tβ ] ⊂ Jxi, que são formados por pontos de [a, b]

onde f é contínua. Assim,∑

α

(tα − tα−1) <∑

k

|Ik| < ε

2ωe

ωβ <ε

2(b− a)

pois tomamos Ik e Jxidessa forma. Então,

S(f ;P ) − s(f ;P ) =∑

α

ωα(tα − tα−1) +∑

β

ωβ(tβ − tβ−1) <

∑

α

ω(tα − tα−1) +∑

β

ε

2(b− a)(tβ − tβ−1) <

ωε

2ω+ε(b− a)2(b− a)

= ε

Portanto, pelo Teorema 1.2, se o conjunto dos pontos de descontinui-

dade de f tem medida nula, então f é integrável.


Para demonstrar o próximo teorema, é necessário definir a os-

cilação de f em um ponto x.

Definição 1.8. Seja f : [a, b] → R uma função limitada. Chamamos de

oscilação de f em um ponto x, o valor ω(f ;x) que é dado da seguinte

forma:

Para cada δ > 0, seja ωδ = Mδ −mδ, com Mδ e mδ supremo e ínfimo

de f em [a, b] ∩ [x − δ, x+ δ].

Note que,

i. ωδ é não negativa, pois Mδ > mδ;

ii. ωδ é limitada, pois f é limitada;

iii. ωδ é não descrescente, pois a medida que diminuimos o valor de

δ o supremo e ínfimo se aproximam.

Desta forma, definimos ω(f ;x) = limδ→0 ωδ, pois, pelo Anexo A.8, este

limite existe.

Observação 1.4. A função f é descontínua em x se, e somente se,

ω(f ;x) > 0. Isso equivale a dizer que, se f é contínua em x, então

ω(f ;x) = 0. Isto é intuitivo, pois se uma função é contínua em um

ponto x, o supremo e ínfimo de f neste ponto são o próprio valor f(x).

Observação 1.5. Se x pertence ao interior de um intervalo I ⊂ [a, b],

então ω(f ;x) 6 ω(f ; I) = supx∈I

f(x) − infx∈I

f(x).

Teorema 1.8. O conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma

função integrável f : [a, b] → R tem medida nula.

Demonstração: Suponha f integrável e seja D o conjunto

dos pontos de descontinuidade de f em [a, b]. Para cada k ∈ N, tome

Dk ={

x ∈ [a, b];ω(f ;x) >1k

}

, ou seja, pela Observação 1.4, cada Dk


contém apenas pontos em que f é descontínua. Logo, D =⋃

k Dk,

então |D| = |⋃k Dk| =∑

k |Dk| e para provar que D possui medida

nula, basta provar que cada Dk é tal que |Dk| = 0.

Como f é integrável, então pelo Teorema 1.2, existe uma partição P =

{t0, t1, ..., tn} de [a, b] tal que

n∑

i=1


k

Sejam [tα−1, tα] os intervalos da partição P que contenham pontos de

Dk em seu interior e, pela Observação 1.5 e pelo modo como definimos

cada Dk, temos ωα >1k

. Além disso, note que temos uma cobertura

para Dk ⊂ (⋃

α[tα−1, tα] ∪ F ), onde F é o conjuntos dos pontos em

que f é descontinua, mas que são extremos dos intervalos da partição.

Assim,

0 6 |Dk| 6∑

α

(tα − tα−1) + |F |

Mas F é um conjunto de intervalos degenerados, então |F | = 0. Assim,

1k

∑

α

(tα − tα−1) 6∑

α

ωα(tα − tα−1) 6n∑

i=1


k

Portanto,∑

α |tα − tα−1| < ε e D tem medida nula.

Com esses dois últimos teoremas podemos dizer que é necessá-

rio e suficiente que uma função seja contínua em quase todo ponto (Veja

Observação 3.2) de [a, b] para que seja integrável, ou seja, a função não

precisa ser contínua para todo x ∈ [a, b] para que seja integrável, basta

que só não seja contínua em um conjunto cuja medida seja nula.

1.4 CÁLCULO COM INTEGRAIS

No primeiro contato que tivemos com integrais este conceito

nos foi apresentado totalmente relacionado com a derivada. Porém, na

Definição 1.5, percebemos que não há relação direta entre eles. No en-

tanto, nos teoremas que seguem, vamos ver que, de fato, esses dois con-

ceitos se relacionam, em decorrência do estudo que fizemos até agora.

1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS 51

Além de provarmos essa relação entre a integral e a derivada, tam-

bém serão provados os métodos utilizados para facilitar o cálculo de

integrais.

Definição 1.9 (Função Primitiva). Seja f : I → R uma função con-

tínua em I. Dizemos que F : I → R é uma primitiva de f se F ′(x) =

f(x) para todo x ∈ I.

Definição 1.10 (Integral Indefinida). Seja f : I → R uma função

contínua em I. Dizemos que F : I → R é uma integral indefinida se

existe a ∈ I tal que

F (x) = F (a) +∫ x

a

f(t)dt

para todo x ∈ I.

Teorema 1.9 (Teorema fundamental do Cálculo). Seja f : I → R

uma função contínua em I, então F é uma integral indefinida de f se,

e somente se, F é uma primitiva de f .

Demonstração: (⇒) Suponha F (x) = F (a) +∫ x

af(t)dt para

todo x ∈ I. E seja a = x0 ∈ I e x = x0 +h ∈ I, com h > 0, assim temos

F (x0 + h) = F (x0) +∫ x0+h

x0

f(t)dt

então dividindo a expressão acima por h obtemos

1h

[F (x0 + h) − F (x0)] =1h

∫ x0+h

x0

f(t)dt (1.4)

Além disso, sabemos que f(x0) é uma função constante, assim inf[f(x0)] =

f(x0) = sup[f(x0)], então

∫ x0+h

x0

f(x0)dt = f(x0)(x0 + h− x0)

Logo,

f(x0) =1h

∫ x0+h

x0

f(x0)dt (1.5)


Subtraindo 1.5 de 1.4, temos∣

∣

∣

∣

F (x0 + h) − F (x0)h

− f(x0)∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

1h

∫ x0+h

x0

(f(t) − f(x0)) dt

∣

∣

∣

∣

∣

Mas, pelo Teorema 1.4, temos que∣

∣

∣

∣

F (x0 + h) − F (x0)h

− f(x0)∣

∣

∣

∣

61

|h|

∫ x0+h

x0

|f(t) − f(x0)| dt (1.6)

Além disso, como f é contínua em I, em particular é contínua em x0,

para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se t ∈ I e |t− x0| < δ ⇒|f(t) − f(x0)| < ε, logo, pela equação 1.6,

∣

∣

∣

∣

F (x0 + h) − F (x0)h

− f(x0)∣

∣

∣

∣

<1

|h|

∫ x0+h

x0

|ε| = ε

Portanto,∣

∣

∣

∣

F (x0 + h) − F (x0)h

− f(x0)∣

∣

∣

∣

< ε e pela Definição de Deri-

vada F ′(x0) = f(x0), logo F é primitiva de f .

(⇐) Suponha que F seja uma primitiva de f , isto é, F ′(x) = f(x) para

todo x ∈ I. Seja a ∈ I, tome ϕ(x) =∫ x

af(t)dt a integral indefinida de

f . Pelo que acabamos de provar, sabemos que se ϕ(x) é uma integral

indefinida de f , então é uma primitiva de f , ou seja, ϕ′(x) = f(x). Da

hipótese segue que

F ′(x) = f(x) = ϕ′(x) para todo x ∈ I.

Desse modo, existe k ∈ R tal que F (x) = ϕ(x) + k, pelo Anexo A.4.

Assim,

F (x) =∫ x

a

f(t)dt+ k (1.7)

E aplicando x = a na expressão 1.7, temos k = F (a)−∫ a

af(t)dt = F (a).

Portanto,

F (x) = F (a) +∫ x

a

f(t)dt

para todo x ∈ I e F é uma integral indefinida de f .

Este teorema nos prova a relação entre a Integral e a Derivada

de uma função contínua e garante que, realmente, a fim de calcularmos


a área, quando a função for não negativa, da região delimitada por

essa função não é necessário calcular o supremo das somas inferiores

ou o ínfimo das somas superiores relativas a todas as partições para o

intervalo no qual a função está definida, basta calcular a sua Função

Primitiva e aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo. No caso

geral, em que a função também atinge valores negativos, basta usar

o Teorema 1.3, tomando as restrições da função no intervalos em que

atinge apenas valores negativos e trocar o sinal do valor obtido com o

Teorema Fundamental do Cálculo, apenas nesse intervalo.

Algumas vezes, é conveniente fazermos uma mudança de variá-

vel para calcular a integral de uma função, o teorema que segue nos

garante que isso é possível e nos diz de que forma esse procedimento

deve ser feito.

Teorema 1.10 (Mudança de Variável). Sejam f : [a, b] → R contínua

e g : [c, d] → R, com g ∈ C1 e g([c, d]) ⊂ [a, b]. Então

∫ g(d)

g(c)

f(x)dx =∫ d

c

f(g(t))g′(t)dt

Demonstração: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, te-

mos

∫ g(d)

g(c)

f(x)dx = F (g(d)) − F (g(c)) = (F ◦ g)(d) − (F ◦ g)(c) (1.8)

Desse modo, F ◦ g é primitiva de f(x) em [g(c), g(d)]. Mas pela Regra

da Cadeia,

(F ◦ g)′(t) = F ′(g(t))g′(t) = f(g(t))g′(t)

Logo, (F ◦ g) também é primitiva de f(g(t))g′(t), aplicando o Teorema

Fundamental do Cálculo, temos

∫ d

c

f(g(t))g′(t) = (F ◦ g)(d) − (F ◦ g)(c) (1.9)


Igualando as expressões 1.8 e 1.9, temos∫ g(d)

g(c)

f(x)dx =∫ d

c

f(g(t))g′(t)dt.

De fato, fazendo uma mudança de variável encontramos o mesmo

valor para a integral de uma função. Porém é necessário que a função

escolhida para fazer essa mudança de variável seja contínua e com de-

rivada contínua. E além disso, quando fazemos esse procedimento é

necessário utilizar um fator que equilibra essa mudança de variável,

que aqui aparece como o diferencial dx = g′(t)dt, mas que em dimen-

sões maiores ou iguais a dois é chamado de Determinante Jacobiano da

mudança de variável.

Teorema 1.11 (Integração por Partes). Sejam f, g : [a, b] → R que

pertençam a classe C1 então∫ b

a

f(x) · g′(x)dx = (f · g)(x)|ba −∫ b

a

f ′(x) · g(x)dx

Demonstração: Suponha f, g ∈ C1 e tome a função f · g :

[a, b] → R,

(f · g)(x)|ba = (f · g)(b) − (f · g)(a)

Isso significa que f ·g é primitiva de (f ·g)′, pelo Teorema Fundamental

do Cálculo. Mas pela Regra do Produto para derivadas, temos

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Dessa forma,∫ b

a

(f · g)′(x)dx =∫ b

a

[f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)]dx = (f · g)(x)|ba

Portanto,∫ b

a

f(x) · g′(x)dx = (f · g)(x)|ba −∫ b

a

f ′(x) · g(x)dx


Teorema 1.12 (Fórmula do Valor Médio para Integrais). Sejam f, p :

[a, b] → R tais que f é contínua e p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b] e

integrável. Então existe c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)p(x)dx = f(c)∫ b

a

p(x)dx

Demonstração: Pelo Teorema de Weierstrass (A.1), como f

é contínua em um intervalo compacto, então temos que m 6 f(x) 6M

para todo x ∈ [a, b], com m e M ínfimo e supremo de f em [a, b],

respectivamente, e como p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], temos

m · p(x) 6 f(x) · p(x) 6M · p(x)

Além disso, pelo Teorema 1.5 f é integrável e os itens (ii) e (iv) do

Teorema 1.4 nos garantem que

m

∫ b

a

p(x) 6∫ b

a

f(x)p(x) 6M

∫ b

a

p(x)

Observe que f(x)∫ b

ap(x)dx é contínua em [a, b], pois f e a função

∫ b

ap(x)dx também são. E como f é contínua em [a, b], pelo Anexo A.9,

existe algum c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)p(x)dx = f(c)∫ b

a

p(x)dx

Teorema 1.13. Seja f : [a, b] → R contínua. Existe c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a)

Demonstração: Pelo Teorema 1.12, basta tomar p(x) = 1

para todo x ∈ [a, b].

∫ b

a

f(x)dx = f(c)∫ b

a

1dx = f(c) · x|ba = f(c)(b − a)


Embora, neste trabalho, não iremos usar as Fórmulas de Taylor

para demonstrarmos outros resultados da Integral, elas são importan-

tes ferramentas para aproximar o valor de uma função em um ponto

e as integrais de Riemann podem aparecer nessas aproximações. Em

Otimização, por exemplo, as Fórmulas de Taylor são úteis na demons-

tração das condições de Otimalidade de Segunda Ordem e também no

Método de Newton (RIBEIRO; KARAS, 2013). Com essa motivação

seguem teoremas que provam a relação das Integrais com a Fórmulas

de Taylor.

Lema 1.5. Seja ϕ : [0, 1] → R tal que ϕ ∈ Cn, então

ϕ(1) =n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

+∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt.

Demonstração: Vamos provar este teorma usando indução.

i. Pelo Teorema fundamental do Cálculo 1.9, temos que∫ 1

0

ϕ′(t)dt = ϕ(1) − ϕ(0) ⇒ ϕ(1) = ϕ(0) +∫ 1

0

ϕ′(t)dt

Portanto, o teorema vale para n = 1.

ii. Suponha que o teorema é verdadeiro para algum n, ou seja,

ϕ(1) =n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

+∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt

ou, como iremos usar a seguir,∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt = ϕ(1) −

n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

vamos provar que vale para n+ 1.

Perceba que,(

(1 − t)n

n!

)′

=n(1 − t)n−1

n!(−1) = −n(1 − t)n−1

n(n− 1)!= − (1 − t)n−1

(n− 1)!

Por Integração por partes, temos∫ 1

0

(1 − t)n

n!ϕ(n+1)(t)dt =

(1 − t)n

n!ϕ(n)(t)|10 +

∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt


Mas usando a hipótese de indução, obtemos

∫ 1

0

(1 − t)n

n!ϕ(n+1)(t)dt =

(1 − t)n

n!ϕ(n)(t)|10 + ϕ(1) −

n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

Observe que,

(1 − t)n

n!ϕ(n)(t)|10 =

(0)n

n!ϕ(n)(1) − (1)n

n!ϕ(n)(0) = − 1

n!ϕ(n)(0).

Com isso, podemos reescrever a equação anterior como

∫ 1

0

(1 − t)n

n!ϕ(n+1)(t)dt = ϕ(1) −

n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

− 1n!ϕ(n)(0)

Além disso,n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

+1n!ϕ(n)(0) =

n∑

i=1

ϕ(i)(0)i!

. Assim,

ϕ(1) =n∑

i=0

ϕ(i)(0)i!

+∫ 1

0

(1 − t)n

n!ϕ(n+1)(t)dt

Portanto, o teorema vale para todo n ∈ N.

Teorema 1.14 (Fómula de Taylor com resto integral). Seja f : [a, a+

h] → R com derivadas de ordem n contínuas neste intervalo, então

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ ...+f (n−1)(a)(n− 1)!

hn−1+

[∫ 1

0

(1 − t)n−1f (n)(a+ th)(n− 1)!

dt

]

hn

Demonstração: Tome ϕ : [0, 1] → R, como ϕ(t) = f(a +

th), assim ϕ(0) = f(a) e ϕ(1) = f(a + h), além disso, como f possui

derivadas contínuas, ϕ também possui, então pelo Lema 1.5,

ϕ(1) =n−1∑

i=1

ϕ(i)(0)i!

+∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt.


Observe que, pela Regra da Cadeia, ϕ(n)(t) = f (n)(a+th) = hnf (n)(a+

th), logo ϕ(n)(0) = hnf (n)(a). Assim,

f(a+ h) =n−1∑

i=1

hif (i)(0)i!

+∫ 1

0

[

(1 − t)n−1

(n− 1)!hnf (n)(a+ th)

]

dt.

Portanto,

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ ...+f (n−1)(a)(n− 1)!

hn−1+

[∫ 1

0

(1 − t)n−1f (n)(a+ th)(n− 1)!

dt

]

hn

Corolário 1.6 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja f :

[a, a + h] → R com derivadas de ordem n contínuas neste intervalo,

então existe θ ∈ [0, 1] tal que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ ...+f (n−1)(a)(n− 1)!

hn−1 +f (n)(a+ θh)

n!hn

Demonstração: Pelo Teorema 1.14 temos que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ ...+f (n−1)(a)(n− 1)!

hn−1+

[∫ 1

0

(1 − t)n−1f (n)(a+ th)(n− 1)!

dt

]

hn

Note que(1 − t)n−1

(n− 1)!> 0 para todo t ∈ [0, 1]

Então, pelo Teorema 1.12, existe θ ∈ [0, 1] tal que

∫ 1

0

[

(1 − t)n−1

(n− 1)!

]

f (n)(a+ th)dt = f (n)(a+ θh)∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!dt

Além disso,∫ 1

0

(1 − t)n−1

(n− 1)!dt = − (1 − t)n

n!|10 =

1n!

1.5. O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN 59

Portanto,

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ ...+f (n−1)(a)(n− 1)!

hn−1 +f (n)(a+ θh)

n!hn

1.5 O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN

Na Definição 1.4 vimos que a Integral de Riemann de uma

função é definida como o ínfimo ou o supremo de conjuntos que, em

geral, são infinitos. Sendo assim, calcular uma integral usando essa

definição pode não ser o melhor método.

A ideia que se estuda, durante a graduação, para aproximar

áreas é particionar um intervalo no qual a função está definida e calcu-

lar a "área" definida pelo retângulo cujas dimensões correspondem ao

comprimento de cada intervalo da partição e o valor supremo ou ínfimo

da função em cada um desses intervalos. Em harmonia com o Teorema

1.1, quanto maior o número de intervalos na partição, o erro entre o

valor que calculamos e o valor real da área diminui. Quando queremos

obter o valor real dessa área, quando existe, tomamos o limite com o

comprimento de cada um desses intervalos tendendo a zero. Mas como

esse limite está associado a Definição 1.4?

Definição 1.11. A norma de uma Partição P = {t0, t1, ..., tn} é dada

por

|P | = max {|ti − ti−1| ; i = 1, ..., n}

Teorema 1.15. Seja f : [a, b] → R limitada. Para todo ε > 0 dado,

existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então

s(f ;P ) >∫ b

a

f(x)dx − ε e S(f ;P ) <¯∫ b

a

f(x)dx + ε.


Demonstração: Vamos provar que S(f ;P ) <¯∫ b

af(x)dx+ ε.

Suponha f limitada e f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Sabemos que

S(f ;P ) >¯∫ b

a

f(x)dx para toda partição P de [a, b]

Então, dado ε > 0 é possível obter uma partição P0 = {t0, t1, ..., tn} tal

que

S(f ;P0) <¯∫ b

a

f(x)dx+ε

2

Suponha M supremo de f em [a, b]. E tome 0 < δ <ε

2Mn, onde n

é o número de intervalos da partição P0. Seja P = {r0, r1, ..., rk} uma

partição de [a, b] tal que |P | < δ.

i. Sejam [rα−1, rα] ⊂ P os intervalos de P tais que [rα−1, rα] = A ⊂[ti−1, ti] = I para algum i.

Como A ⊂ I então Mα 6 Mi, com Mα supremo de f em [rα−1, rα] e

Mi supremo de f em [ti−1, ti].

Além disso, para todos os intervalos [rα−1, rα] que estão contidos em

algum [ti−1, ti], temos∑

A⊂I

(rα − rα−1) 6 (ti − ti−1)

Então,∑

A⊂I

Mα(rα − rα−1) 6Mi(ti − ti−1)

ii. Sejam [rβ−1, rβ ] os intervalos de P que não estejam contidos em

algum [ti−1, ti], assim, existe r ∈ [rβ−1, rβ ] tal que r /∈ [ti−1, ti], então

r ∈ [tj−1, tj ], portanto existe pelo menos um ti que pertence a [rβ−1, rβ ],

então existem, no máximo, n intervalos [rβ−1, rβ ]. E como |P | < δ,

então rβ − rβ−1 < δ e 0 6 Mβ 6 M , onde Mβ é o supremo de f em

[rβ−1, rβ ]. Desse modo,∑

β

(rβ − rβ−1) < nδ

E então,∑

β

Mδ(rβ − rβ−1) < nMδ <nMε

2Mn<ε

2


Note que,

S(f ;P ) =∑

A⊂I

Mα(rα − rα−1) +∑

β

Mδ(rβ − rβ−1) <

n∑

i=1

Mi(ti − ti−1) +ε

2= S(f ;P0) +

ε

2<

¯∫ b

a

f(x)dx +ε

2+ε

2

Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então

S(f ;P ) <¯∫ b

a

f(x)dx + ε

se f(x) > 0.

Provamos que para f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], agora vamos prova

para o caso geral.

Como f é limitada, sabemos que o ínfimo m de f em [a, b] é o maior

valor, em módulo, para o qual a função é negativa, então g(x) = f(x)+

|m| > 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo que provamos, dado ε > 0, existe

δ > 0 tal que se |P | < δ, então

S(g;P ) <¯∫ b

a

g(x)dx + ε

Mas definimos g(x) = f(x) + |m|, então

S(f ;P ) + |m|(b − a) <¯∫ b

a

[f(x) + |m|] dx+ ε

=¯∫ b

a

f(x)dx +¯∫ b

a

|m|dx+ ε

Então

S(f ;P ) + |m|(b− a) <¯∫ b

a

f(x)dx + |m|(b− a) + ε

Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então

S(f ;P ) <¯∫ b

a

f(x)dx + ε


Analogamente provamos que s(f ;P ) >∫ b

af(x)dx − ε

Observação 1.6. O resultado que o Teorema 1.15 nos dá é muito

importante, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então

S(f ;P ) <¯∫ b

a

f(x)dx + ε e s(f ;P ) >∫ b

a

f(x)dx − ε

E podemos reescrevê-lo da seguinte forma:

i. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||P | − 0| < δ, então∣

∣

∣

∣

∣

S(f ;P ) −¯∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

< ε,

mas essa é a definição de limite, portanto

lim|P |→0

S(f ;P ) =∫ −b

a

f(x).

ii. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||P | − 0| < δ, então∣

∣

∣

∣

∣

s(f ;P ) −∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

< ε,

assim

lim|P |→0

s(f ;P ) =∫ b

a

f(x).

Portanto, podemos ver a intregral inferior e a superior como um limite

da soma inferior e da superior quando a norma da partição de [a, b]

tende a zero.

Definição 1.12 (Partição Pontilhada). Seja P = {t0, ..., tn} uma par-

tição de [a, b] e seja ξ = (ξ1, ..., ξn), com ξi ∈ [ti−1, ti]. A partição

pontilhada é dada por P ∗ = (P, ξ).

Definição 1.13 (Soma de Riemann). Dada uma função f : [a, b] → R

e uma partição pontilhada P ∗ de [a, b], têm-se a Soma de Riemann

∑

(f ;P ∗) =n∑

i=1

f(ξi)(ti − ti−1)


Observação 1.7. Como em cada intervalo i da partição pontilhada

P ∗ temos mi 6 f(ξi) 6Mi então, fica claro que

s(f ;P ) 6∑

(f ;P ∗) 6 S(f ;P ).

Definição 1.14. Diz-se que o número real I é o limite de∑

(f ;P ∗)

quando |P | → 0 e escreve-se I = lim|P |→0

∑

(f ;P ∗), quando, para todo

ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que |∑

(f ;P ∗) − I| < ε seja qual

for a partição pontilhada P ∗ com |P | < δ.

Teorema 1.16. Seja f : [a, b] → R uma função integrável então

∫ b

a

f(x)dx = lim|P |→0

∑

(f ;P ∗)

Demonstração: Pela Observação 1.6 e sabendo que a função

f é integrável temos que

lim|P |→0

s(f ;P ) =∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

f(x)dx =¯∫ b

a


S(f ;P )

Além disso, temos s(f ;P ) 6∑

(f ;P ∗) 6 S(f ;P ) pela Observação 1.7.

Então

lim|P |→0

s(f ;P ) 6 lim|P |→0

∑

(f ;P ∗) 6 lim|P |→0

S(f ;P )

Mas como

lim|P |→0

s(f ;P ) =∫ b

a


S(f ;P ),

o Teorema do Sanduíche (A.5) nos diz que

lim|P |→0

∑

(f ;P ∗) =∫ b

a

f(x)dx.

Esse Teorema nos diz que, ao usarmos limites, não é necessário

tomar o supremo e o ínfimo da função em cada intervalo da partição

para obter o valor da integral, basta tomar algum valor que a função

atinge nos intervalos da partição pontilhada.


1.6 O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS

Muitas vezes, podemos nos deparar com funções que são ilimi-

tadas ou estão definidas em intervalos ilimitados. Mas o fato de uma

função estar definida em um intervalo ilimitado ou "atingir" valores

infinitos não é uma condição que torna a sua integral infinita. Com

isso, pode existir a Integral de Riemann para essas funções, porém é

necessário ajustar a Definição da Integral de Riemann para funções que

se incluam nesse contexto.

Teorema 1.17. Seja f : (a, b] → R limitada e para todo c ∈ (a, b]

a restrição f |[c, b] é integrável. Então, para qualquer valor de f(a), a

função f : [a, b] → R é integrável e, além disso,∫ b

a

f(x)dx = limc→a+

∫ b

c

f(x)dx

Demonstração: Inicialmente, vamos provar que f : [a, b] →R é integrável.

Como a função f é limitada então existe k ∈ R tal que |f(x)| 6 k

para todo x ∈ [a, b]. Dado ε > 0 tome c ∈ (a, b] de tal modo que

k(c− a) <ε

4, ou seja, tome c a uma distância de a tão pequena quanto

se queira. Como f |[c, b] é integrável, para todo ε > 0 existe uma partição

P = {c, ..., b} de [c, b] tal que

S(f ;P ) − s(f ;P ) <ε

2Além disso, Q = P ∪ {a} = {a, c, ..., b} é uma partição para [a, b] e

como |f(x)| 6 k para todo x ∈ [a, b], temos −k < f(x) < k e assim

S(f ;Q) < S(f ;P ) + k(c− a) e s(f ;Q) > s(f ;P ) + (−k)(c− a)

Logo,

S(f ;Q) − s(f ;Q) < 2k(c− a) + S(f ;P ) − s(f ;P ) < 2ε

4+ε

2= ε

Portanto, S(f ;Q) − s(f ;Q) < ε e pelo Teorema 1.2, f é integrável.

Agora, vamos provar que∫ b

a

f(x)dx = limc→a+

∫ b

c

f(x)dx

1.6. O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS 65

Seja c um valor tão próximo de a quanto se queira. Para todo ε > 0,

tome δ > 0 tal que δ <ε

k. Seja P = {a, c, ..., b} com |P | < δ, assim

a < c < a+ δ e∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

c

f(x)dx−∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

c

f(x)dx −∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

usando o Teorema 1.3, pois temos f |ca e f |bc são restrições de f . Assim,∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

c

f(x)dx −∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

=∣

∣

∣

∣

∫ c

a

f(x)dx∣

∣

∣

∣

< k(c− a) < kδ < kε

k= ε

Portanto,∫ b

a

f(x)dx = limc→a+

∫ b

c

f(x)dx.

Com esse teorema, garatimos que se a função f : (a, b] → R

não está definida apenas no ponto a, que possui medida nula, podemos

integrá-la da mesma forma no intervalo [a, b]. Assim, segue a definição

de Integral Imprópria.

Definição 1.15. Seja f : (a, b] → R ilimitada e contínua em (a, b].

Definimos a integral imprópria de f como∫ b

a

f(x)dx = limε→0+

∫ b

a+ε

f(x)dx.

Analogamente, seja f : [a, b) → R ilimitada e contínua em [a, b). Defi-

nimos a integral imprópria de f como∫ b

a

f(x)dx = limε→0+

∫ b−ε

a

f(x)dx.

Observação 1.8. Se f : (a, b) → R ilimitada e contínua em (a, b), pelo

Teorema 1.3, temos∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx com c ∈ (a, b),

então a integral imprópria é dada por∫ b

a

f(x)dx = limε→0+

∫ c

a+ε

f(x)dx + limε→0+

∫ b−ε

c

f(x)dx

= limε→0+

∫ b−ε

a+ε

f(x)dx.


Para definirmos a Integral Imprópria supomos que a função f

é contínua no intervalo (a, b), então, pelo Teorema 1.5, f é integrável,

mas o limite que tomamos pode ou não existir, nesse sentido, segue a

definição.

Definição 1.16. Se o limite limε→0+

∫ b

a+εf(x)dx existe então a in-

tegral é convergente, caso contrário é divergente. Analogamente, se o

limite limε→0+

∫ b−ε

af(x)dx existe, então a integral é convergente e se

não existe a integral é divergente.

Observação 1.9. Se f : (a, b] → R é tal que f(x) > 0 para todo

x ∈ (a, b] então∫ b

af(x)dx converge se, e somente se, existe k > 0 tal

que∫ b

a+ε

f(x)dx 6 k para todo ε ∈ (0, b− a).

Demonstração: (⇒) Suponha f(x) > 0 para todo x ∈ (a, b]

e∫ b

af(x)dx convergente, desse modo

0 6 limε→0+

∫ b

a+ε

f(x)dx = L =∫ b

a

f(x)dx.

Por outro lado, como f está definida em [a+ε, b] que é compacto, então

pelo Anexo A.3, a função atinge o valor de máximo, seja M

0 6 f(x) 6M para todo x ∈ [a+ ε, b]

E como a integral é convergente, então

0 6

∫ b

a+ε

f(x)dx 6 limε→0+

∫ b

a+ε

Mdx 6M(b− a)

Portanto, tome k = M(b− a).

(⇐) Suponha que existe k > 0 tal que∫ b

a+εf(x)dx 6 k para todo

ε ∈ [0, b− a]. Como f(x) > 0 para todo x ∈ [a+ ε, b], então

0 6

∫ b

a+ε

f(x)dx 6 k para todo ε ∈ [0, b− a]

1.6. O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS 67

Note que∫ b

a+εf(x)dx é monótona, pois a medida que aumentamos o

valor de ε o valor da função diminui, e também é limitada. E, pelo

Anexo A.8, o limite existe. Portanto, a integral converge.

Definição 1.17 (Convergência absoluta). A integral imprópria é dita

absolutamente convergente quando

∫ b

a

|f(x)| dx

converge.

Observação 1.10. Se∫ b

af(x)dx é absolutamente convergente, então

também é convergente.

Demonstração: Dada uma função f : (a, b] → R contínua,

tome f+ = max {(f(x), 0)} e f− = max {(−f(x), 0)} contínuas, pois f

é contínua. Assim,

f(x) = f+(x) − f−(x) e |f(x)| = f+(x) + f−(x)

Somando e subtraindo essas expressões, temos

f+(x) =12

[|f(x)| + f(x)] e f−(x) =12

[|f(x)| − f(x)]

Além disso,

0 6 f+6 |f | e 0 6 f−

6 |f |

Logo,

0 6

∫ b

a

f+(x)dx 6

∫ b

a

|f(x)|dx e 0 6

∫ b

a

f−(x)dx 6

∫ b

a

|f(x)|dx

Como∫ b

a|f(x)|dx converge, então

∫ b

af+(x)dx e

∫ b

af−(x)dx devem con-

vergir, caso contrário,∫ b

a|f(x)|dx não convirgiria. Da definição de parte

positiva e negativa, temos

∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

[f+(x) − f−(x)]dx


E pelo Teorema 1.4, segue que

∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

f+(x)dx −∫ b

a

f−(x)dx

Portanto,∫ b

af(x)dx também converge.

Definição 1.18. Seja f : [a,+∞) → R contínua, define-se a integral

imprópria como

∫ +∞

a

f(x)dx = limB→+∞

∫ B

a

f(x)dx.

Analogamente, se f : (−∞, b] → R contínua, define-se a integral im-

própria como∫ b

−∞

f(x)dx = limA→−∞

∫ b

A

f(x)dx.

Se f : (−∞,+∞) → R contínua, define-se a integral imprópria como

∫ +∞

−∞

f(x)dx = limA→−∞

∫ c

A

f(x)dx + limB→+∞

∫ B

c

f(x)dx.

para algum c ∈ R.

1.7 SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES

Estamos acostumados a trabalhar com sequências numéricas,

no entanto também existem as sequências de funções, que no caso nu-

mérico podem ou não convergir. Mas o que significa uma sequência de

funções convergir e quais os critérios para se ter convergência?

Definição 1.19 (Convergência Pontual). Seja fn : X → R uma sequên-

cia de funções. Dizemos que esta sequência converge pontualmente para

uma função f : X → R quando a sequência definida para cada x ∈ X

converge para f(x). Assim, fn → f quando para todo ε > 0 e para cada

x ∈ X, existir n0 ∈ N, tal que se n > n0, então

|fn(x) − f(x)| < ε.

1.7. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES 69

Assim, a convergência pontual é um conceito local, pois para

cada x e para cada ε obtemos um n0 e escrevemos n0(ε;x).

Definição 1.20 (Convergência Uniforme). Seja fn : X → R uma

sequência de funções. Dizemos que esta sequência converge uniforme-

mente para uma função f : X → R quando para todo ε > 0, existir

n0 ∈ N, tal que se n > n0, então

|fn(x) − f(x)| < ε

para todo x ∈ X

Diferente da convergência pontual, na convergência uniforme o

valor de n0 depende apenas de ε, ou seja, para todos os x ∈ X temos o

mesmo valor para n0 e escrevemos n0(ε), assim a convergêcia uniforme

é um conceito global.

Além disso, podemos definir a convergência da série∑+∞

n=1(fn).

Definindo sn = f1(x) + ...+ fn(x), dizemos que a série

+∞∑

n=1

(fn) = f

converge para f quando

limn→+∞

sn = f.

Se sn → f converge pontualmente, então a série também converge pon-

tualmente, se sn → f converge uniformemente a série também converge

uniformemente.

Observação 1.11. Se definirmos o resto da série como

rn(x) = f(n+1)(x) + f(n+2)(x) + ...,

teremos que,+∞∑

n=1

(fn) = sn + rn.


Dizer que∑+∞

n=1(fn) = f equivale a dizer que rn → 0 uniformemente.

Pois, para todo ε > 0 existe n0 tal que se n > n0 então∣

∣

∣

∣

∣

n∑

i=1

(fi) − f

∣

∣

∣

∣

∣

< ε,

assim∣

∣

∣

∣

∣

+∞∑

n=1

(fn) − f

∣

∣

∣

∣

∣

= |sn + rn − f | < ε

E como sn → f , então

|rn| < ε

Portanto, rn → 0 uniformemente.

Teorema 1.18. Se uma sequência de funções fn : X → R converge

uniformemente para f : X → R e cada fn é contínua no ponto a ∈ X,

então f também é contínua.

Demonstração: Como fn → f uniformemente, então para

todo ε > 0, existe n0 tal que se n > n0 então |fn(x) − f(x)| < ε

3para

todo x ∈ X , em particular vale para x = a, então |fn(a) − f(a)| < ε

3.

Além disso, como cada fn é contínua no ponto a, então para todo ε > 0,

existe δ > 0 tal que se x ∈ Xe |x− a| < δ então |fn(x) − fn(a)| < ε

3.

Com isso,

|f(x) − f(a)| = |f(x) − fn(x) + fn(x) − fn(a) + fn(a) − f(a)| 6

|f(x) − fn(x)| + |fn(x) − fn(a)| + | |fn(a) − f(a)| < 3ε

3= ε

Portanto, se |x− a| < δ então |f(x) − f(a)| < ε, logo f é contínua.

Definição 1.21 (Convergência Monótona). Seja fn : X → R uma

sequência de funções. Dizemos que fn converge monotonicamente para

f : X → R, quando para cada x ∈ X e para cada n ∈ N a sequência

(fn(x))n∈N é monótona e converge pontualmente para f(x).

Teorema 1.19 (Dini). Se a sequência de funções contínuas fn : X →R converge monotonicamente para f : X → R e se X é compacto, então

a convergência é uniforme.

1.7. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES 71

Demonstração: Suponha que fn convirja para f monotoni-

camente e que cada fn e a função f sejam convergentes. Dado ε > 0,

tome

Xn = {x ∈ X ; |fn(x) − f(x)| > ε}

para cada n ∈ N. Vamos usar o fato de que os conjuntos Xn são com-

pactos e provaremos isso ao final desta demonstração.

Como fn converge monotonicamente, então

|f1(x) − f(x)| > |f2(x) − f(x)| > ... > |fn(x) − f(x)| > ε

pois a medida que aumentamos o valor de n a distância entre fn(x) e

f(x) diminui, pois fn → f .

Como limn→+∞ fn(x) = f(x), então∣

∣

∣

∣

limn→+∞

fn(x) − f(x)∣

∣

∣

∣

= |f(x) − f(x)| = 0.

Assim, para n suficientemente grande, temos |fn(x) − f(x)| < ε para

todo x ∈ X . Ou seja, para algum n0 o conjunto Xn é vazio. Portanto,

+∞⋂

n=1

Xn = φ

Então, pelo Anexo A.6, para n > n0 temos Xn = φ. Portanto, dado

ε > 0, existe n0 tal que se n > n0 então |fn(x) − f(x)| < ε para todo

x ∈ X e, assim, fn converge uniformemente para f .

Para concluir a demonstração, vamos provar que os Xn são

compactos.

De fato, seja x ∈ Xn, então existe alguma sequência (xk) ⊂ Xn tal que

xk → x, quando k → +∞. Mas f e fn são contínuas em X , então

f(xk) → f(x) e fn(xk) → f(x)

quando k → +∞ e n → +∞.

Mas para todo k ∈ N, temos que

|fn(xk) − f(xk)| > ε


Tomando o limite quando k → +∞, temos

limk→+∞

|fn(xk) − f(xk)| > ε

∣

∣

∣

∣

limk→+∞

[fn(xk) − f(xk)]∣

∣

∣

∣

> ε

Mas supomos xk → x, então

|fn(x) − f(x)| > ε

logo x ∈ Xn e todo ponto de aderência de Xn está nesse conjunto,

portanto Xn é fechado.

Resta provar que Xn é limitado. Sabemos que X é compacto, então é

limitado. Mas para todo n ∈ N, temos que Xn ⊂ X , portanto Xn é

limitado. Assim, como Xn é limitado e fechado, é compacto.

Os últimos teoremas que provamos servirão para alcançar o

objetivo final do estudo de Integral de Riemann para este trabalho.

1.8 TEOREMA DE PASSAGEM AO LIMITE SOB O SINAL

DE INTEGRAL

No estudo de sequências de funções, podemos falar das sequên-

cias de funções integráveis convergentes. Mas quais as condições para

que o limite dessa sequência também seja integrável e, além disso, para

que seja possível trocar o sinal da integral com o limite?

Teorema 1.20 (Passagem ao limite sob o sinal de integral). Se a

sequência de funções integráveis fn : [a, b] → R converge uniformemente

para f : [a, b] → R então f é integrável e∫ b

a

limn→+∞

fn(x)dx =∫ b

a

f(x)dx = limn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx

Demonstração: Suponha fn : [a, b] → R uma sequência de

funções integráveis que converge uniformemente para f : [a, b] → R.

1.8. PASSAGEM AO LIMITE SOB INTEGRAL 73

Inicialmente, vamos provar que f é integrável. Como fn converge uni-

formemente para f , temos que dado ε > 0, existe n0 tal que se n > n0

então

|f(x) − fn(x)| < ε

4(b− a)

para todo x ∈ [a, b].

Fixe m > n0. Como fm é integrável, então existe uma partição P =

{t0, ..., tn} de [a, b] tal que, se ω′i é a oscilação de fm no intervalo [ti−1, ti]

de P , temos∑n

i=1 ω′i(ti − ti−1) <

ε

2e, ainda, |fm(y) − fm(x)| < ω′

i.

Além disso, para quaisquer x, y ∈ [a, b], sempre temos

|f(y) − f(x)| 6 |f(y) − fm(y) + fm(y) − fm(x) + fm(x) − f(x)| 6

|f(y) − fm(y)| + |fm(y) − fm(x)| + |fm(x) − f(x)| <

ω′i + 2

ε

4(b− a)

Mas pelo Lema 1.3 temos que ωi é o sup |f(y) − f(x)|, e como tomamos

x, y ∈ [a, b] arbitrários, temos

ωi 6 ω′i +

ε

2(b− a)

e assimn∑

i

ωi(ti −ti−1) 6∑

n

ω′i(ti −ti−1)+

ε

2(b− a)

n∑

i

(ti −ti−1) <ε

2+ε

2= ε

Logo,n∑

i

ωi(ti − ti−1) < ε

e, assim, f é integrável, pelo Teorema 1.2.

Agora, vamos provar que∫ b

af(x)dx = limn→+∞

∫ b

af(x)dx. De fato,

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

fn(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

[f(x) − fn(x)]dx

∣

∣

∣

∣

∣

Mas pelo Teorema 1.4, temos que∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

[f(x) − fn(x)]dx

∣

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f(x) − fn(x)| dx 6(b− a)ε4(b− a)

< ε


Portanto, pela definição de limite,∫ b

a

limn→+∞

fn(x)dx =∫ b

a

f(x)dx = limn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx

Com esse Teorema, provamos que para uma sequência de fun-

ções integráveis convergir para uma função integrável segundo Riemann

e a fim de trocar o sinal da integral com o limite é necessário que, além

de que (fn) seja uma sequência de funções integráveis, essa sequência

seja uniformemente convergente.

Exemplo 1.1. Seja fn : [0, 4] → R uma sequência de funções definida

por

fn(x) = x− 1n.

Perceba que a sequência fn(x) converge uniformemente para a

função f(x) = x. Isso ocorre pois

limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

x− 1n

= x

e, além disso, para cada x que pertence ao compacto [0, 4] temos que a

sequência numérica fn(x) é monótona, então pelo Teorema 1.19, essa

convergência é uniforme.

Desse modo as condições do Teorema de passagem ao limite sob o sinal

de integral estão satisfeitas e é possível aplicá-lo. Logo,

limn→+∞

∫ 4

0

x− 1ndx =

∫ 4

0

limn→+∞

x− 1ndx

=∫ 4

0

xdx

=[

x2

2

]4

0

= 8.

Assim encerramos o que se pretendia a respeito da Integral de

Riemann para este trabalho.

75

2 FUNÇÕES MENSURÁVEIS

Para iniciarmos o estudo da Integral de Lebesgue é fundamental

o estudo de funções mensuráveis, pois é uma condição necessária para

formalizar essa integral. E, além disso, em tudo que nos referirmos a

funções mensuráveis e a essa integral iremos mencionar uma coleção

de conjuntos chamada de σ-álgebra. A partir deste Capítulo, vamos

convencionar que 0 · (+∞) = 0. A fim de definir e estudar tudo o que

se refere a essa integral, iremos usar o livro de Bartle (1995).

Definição 2.1. Seja X um conjunto. Uma família χ de subconjuntos

de X é chamada de σ-álgebra quando satisfaz:

i. Os conjuntos X e φ pertencem a χ;

ii. Se um subconjunto A está em χ então seu complementar Ac tam-

bém está em χ;

iii. Seja (An)n∈N uma sequência de conjuntos em χ, então a união

enumerável⋃

n∈NAn também está em χ.

Perceba que, em geral, para o mesmo conjunto é possível en-

contrar mais de uma σ-álgebra, desde que sejam satisfeitas as condições

da Definição.

Observação 2.1. Segue que, se χ é uma σ-álgebra e (An)n∈N é uma

sequência de conjuntos em χ então a intersecção enumerável⋂

n∈NAn

também pertence a χ. Isso ocorre porque, pelo item (ii) da definição

2.1, temos que o complementar Acn de cada termo da sequência também

pertence a χ e, pelo ítem (iii) da mesma definição,⋃

n∈NAcn pertence

a χ. Mas, pelas lei de De Morgan,⋃

n∈NAcn =

(⋂

n∈NAn

)ce, pelo

item (ii), o complementar deste conjunto pertence a χ, assim⋂

n∈NAn

também está na σ-álgebra.

76 Capítulo 2. FUNÇÕES MENSURÁVEIS

Chamamos de espaço mensurável o par ordenado (X,χ) for-

mado pelo conjunto X e por uma σ-álgebra e dizemos que X é χ-

mensurável ou apenas mensurável, quando a σ-álgebra estiver clara no

contexto.

Exemplo 2.1. 1. A menor σ-álgebra χ de um conjunto X é formada

por X e pelo conjunto vazio, ou seja, χ = {φ,X} e a maior é dada por

χ = {A;A ⊆ X}, isto é, formada por todos os subconjuntos de X .

2. Sejam χ1, χ2 duas σ-álgebras de X , então a interseção χ

delas também é uma σ-álgebra. Pois,

i. φ,X pertencem a χ1 e χ2, então pertencem a χ1 ∩ χ2 = χ.

ii. Se A está em χ, então A ∈ χ1 e χ2, como χ1, χ2 são σ-álgebras

então Ac ∈ χ1 e χ2, portanto Ac ∈ χ.

iii. Seja uma sequência de conjuntos An em χ, então An ∈ χ1 e χ2

e, pela definição,⋃

n∈NAn ∈ χ1 e χ2, portanto⋃

n∈NAn ∈ χ.

3. Seja A uma coleção de subconjuntos de X , tome todas as

σ-álgebras que contêm A, a interseção destas também é uma σ-álgebra,

pelo exemplo anterior. Essa interseção é a menor σ-álgebra que contém

A e é chamada de σ-álgebra gerada por A.

4. A Álgebra de Borel é uma σ-álgebra B para o conjunto dos

números reais R que é gerada por todos os intervalos abertos (a, b)

de números reais. Observe que a Álgebra de Borel também é gerada

por todos os intervalos fechados [a, b] da reta, pois como B é formado

por todos os intervalos abertos da reta, temos que para todo n ∈ N o

conjunto{

x ∈ R; a− 1n< x < b+

1n

}

pertence a B, por ser um intervalo aberto. Mas se para todo n isso acon-

tece, temos uma sequência de conjuntos em B, então pela Observação

77

2.1, segue que

+∞⋂

n=1

{

x ∈ R; a− 1n< x < b+

1n

}

∈ B.

Observe também que essa sequência é decrescente no sentido de que

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ..., assim se tomarmos a interseção finita

teremos que⋂n

i=1 Ai = An, então como queremos a interseção infinita,

devemos tomar o conjunto do tipo An no qual n → +∞, assim

limn→+∞

a− 1n6 lim

n→+∞x 6 lim

n→+∞b+

1n

Logo,

+∞⋂

n=1

{

x ∈ R; a− 1n< x < b+

1n

}

= {x ∈ R; a 6 x 6 b} .

Portanto, a Álgebra de Borel, também é a σ−álgebra gerada por todos

os intervalos fechados da reta.

Qualquer conjunto na Álgebra de Borel é chamado de conjunto de Bo-

rel.

Definição 2.2 (Função Mensurável). Dizemos que uma função f :

X → R é χ−mensurável se para todo α ∈ R o conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α}

pertence a χ.

Lema 2.1. Seja f : X → R e χ uma σ-álgebra. As seguintes afirmações

são equivalentes:

i. Para todo α ∈ R o conjunto Aα = {x ∈ X ; f(x) > α} está em χ.

ii. Para todo α ∈ R o conjunto Bα = {x ∈ X ; f(x) 6 α} está em χ.

iii. Para todo α ∈ R o conjunto Cα = {x ∈ X ; f(x) > α} está em χ.

iv. Para todo α ∈ R o conjunto Dα = {x ∈ X ; f(x) < α} está em χ.


Demonstração: (i ⇔ ii) Se Aα ∈ χ, então pela definição 2.1,

Acα ∈ χ, mas Ac

α = Bα.

(i ⇒ iii) Suponha que para cada α ∈ R o conjunto Aα ∈ χ, em

particular temos que isso vale para o número real α− 1n

, assim

Aα−

1n

={

x ∈ X ; f(x) > α− 1n

}

pertence a χ para cada n ∈ N. Pela Observação 2.1, temos que a inter-

seção enumerável⋂

n∈N

Aα−

1n

também pertence a χ.

Observe que Cα ⊃⋂

n∈NAα−1n

, pois seja x ∈⋂

n∈NAα− 1n

, então para

todo n ∈ N

f(x) > α− 1n

Mas como isso vale para todo n, temos

limn→+∞

f(x) > limn→+∞

α− 1n

Logo,

f(x) > α

Mas essa é a condição para pertencer a Cα, então Cα ⊃ ⋂

n∈NAα−1n

.

Além disso, Cα ⊂ ⋂

n∈NAα−1n

, pois seja x ∈ Cα então

f(x) > α > α− 1n

para qualquer n ∈ N.

Então x ∈ Aα−

1n

para todo n ∈ N. Dessa forma, temos que

Cα =⋂

n∈N

Aα− 1n

∈ χ

e, portanto, Cα ∈ χ.

(i ⇐ iii) Suponha que para cada α ∈ R o conjunto Cα ∈ χ, em parti-

cular, para cada n ∈ N o conjunto

Cα+

1n

={

x ∈ X ; f(x) > α+1n

}

79

pertence a χ. Pela definição de σ−álgebra, temos que

+∞⋃

n=1

Cα+

1n

também pertence a χ.

Mas perceba que Aα ⊃ ⋃+∞n=1 Cα+ 1

n, pois se x ∈ ⋃+∞

n=1 Cα+ 1n

, então

para algum n ∈ N temos x ∈ Cα+ 1n

e

x é tal que f(x) > α+1n

Mas α+1n> α, então f(x) > α, logo x ∈ Aα.

Além disso, Aα ⊂ ⋃+∞n=1 Cα+ 1

n, pois se x ∈ Aα, então

f(x) > α,

dessa forma, existe algum q ∈ R tal que

f(x) > q > α

Mas como limn→+∞ α +1n

= α e para todo n ∈ N temos α +1n> α,

então para algum n ∈ N temos que

q > α+1n> α.

Então f(x) > α+1n

para algum n, o que é suficiente para x pertencer

a⋃+∞

n=1 Cα+ 1n

. Logo,

Aα =+∞⋃

n=1

Cα+

1n

e, portanto, Aα ∈ χ.

(iii ⇔ iv) Se Cα ∈ χ, então pela definição 2.1, Ccα ∈ χ, mas Cc

α = Dα.

Exemplo 2.2. 1. Seja f : X → R uma função limitada e seja B a

Álgebra de Borel. Então a função f é mensurável.

Como f é limitada, então existe algum k ∈ R tal que

−k 6 f(x) 6 k para todo x ∈ X.


Se α < −k, temos que

{x ∈ X ; f(x) 6 α} = φ ∈ χ

Se α > k, temos que

{x ∈ X ; f(x) > α} = φ ∈ χ

Se −k 6 α 6 k, então

{x ∈ X ; f(x) > α}

pertence a B, pois é um intervalo de números reais. Portanto, uma

função limitada é B−mensurável.

No entanto, se considerarmosχ como sendo a menor σ−álgebra,

isto é, χ = {φ,X} a função não é mensurável, pois nos casos α < −k e

α > k, em nada difere.

Mas se −k 6 α 6 k, então o conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α}

não pertence a χ. E assim, uma função limitada não é χ−mensurável.

2. Toda função contínua f : X → R é B-mensurável.

De fato, para todo α ∈ R, temos que o conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α}

é um intervalo de números reais, e portanto, pertence a B.

3. Toda função monótona f : X → R é B-mensurável.

Suponha f monótona não decrescente, sendo assim temos que x 6 y ⇔f(x) 6 f(y) para x, y ∈ X . Então, temos que o conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α}

corresponde ao conjunto

{x ∈ X ;x > a}

81

para algum a tal que f(a) = α e a ∈ X , que pertence a χ por ser um

intervalo.

Assim como para as funções limitadas, as contínuas e as mo-

nótonas podem não ser mensuráveis dependendo da σ−álgebra que to-

marmos.

Pelos exemplos acima, vimos que uma função pode ser mensu-

rável com relação a uma σ−álgebra, mas em relação a outra pode não

ser. No entanto, o estudo da Integral de Lebesgue irá considerar apenas

as funções mensuráveis em determinada σ−álgebra.

Lema 2.2. Sejam f, g : X → R funções mensuráveis e seja c ∈ R.

Então também são mensuráveis as funções: (i.) c · f ; (ii.) f2; (iii.)

f + g; (iv.) f · g; (v.) |f |.

Demonstração: i. Suponha f mensurável, então para todo

α ∈ R o conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α} ∈ χ.

Se c = 0, então c · f(x) = 0 para todo x ∈ X , então pelo exemplo

anterior, c · f é mensurável.

Se c > 0, então {x ∈ X ; c · f(x) > α} ={

x ∈ X ; f(x) >α

c

}

e, como f

é mensurável, este conjunto pertence a χ.

Se c < 0, então {x ∈ X ; c · f(x) > α} ={

x ∈ X ; f(x) <α

c

}

e, como f

é mensurável e pelo Lema 2.1, este conjunto pertence a χ. Portanto, a

função c · f é mensurável.

ii. Suponha f mensurável e α > 0, então

{

x ∈ X ; f2(x) > α}

={

x ∈ X ; f(x) < −√α}

∪{

x ∈ X ; f(x) >√α}

Como f é mensurável, usando o Lema 2.1, sabemos que os conjuntos

{

x ∈ X ; f(x) < −√α}

e{

x ∈ X ; f(x) >√α}

pertencem a χ e, pela Definição 2.1, a união deles também pertence a

χ.


Se α < 0, então{

x ∈ X ; f2(x) > α}

= X

que pertence a χ, por definição.

iii. Suponha f e g mensuráveis, então

{x ∈ X ; f(x) > q} ∈ χ e

{x ∈ X ; g(x) > α− q} ∈ χ

onde fixamos q ∈ Q. Então, pela observação 2.1, temos

Sq = {x ∈ X ; f(x) > q} ∩ {x ∈ X ; g(x) > α− q} ∈ χ

Afirmo que,⋃

q∈Q

Sq = {x ∈ X ; (f + g)(x) > α}

que é uma união enumerável de conjuntos que estão em χ, então per-

tence a χ, por definição.

De fato, seja x ∈ ⋃q∈Q Sq, então para algum q′ ∈ Q temos x ∈ Sq′ e é

tal que

f(x) > q′ e g(x) > α− q′

então f(x)+g(x) > α e, portanto,⋃

q∈Q Sq ⊂ {x ∈ X ; (f + g)(x) > α}.

Por outro lado, se x ∈ {x ∈ X ; (f + g)(x) > α}, então x é tal que

f(x) + g(x) > α ⇒ α− g(x) < f(x)

Mas em todo intervalo da reta existem sempre números irracionais e

racionais, então existe q ∈ Q tal que

α− g(x) < q < f(x)

Assim, f(x) > q e g(x) > α− q, então x ∈ ⋃q∈Q Sq. Portanto,⋃

q∈Q

Sq = {x ∈ X ; (f + g)(x) > α} ∈ χ

e, assim, f + g é mensurável.

iv. Suponha f e g mensuráveis e observe que

f · g =14

[

(f + g)2 + (f − g)2]

(2.1)

83

Pois,

14

[

(f + g)2 − (f − g)2]

=14

[

f2 + 2fg + g2 − f2 + 2fg − g2]

= f · g

Como f e g são mensuráveis, então na expressão 2.1 temos soma de

quadrados, portanto, pelos ítens anteriores desse Lema, f · g é mensu-

rável.

v. Suponha f mensurável e α > 0, então

{x ∈ X ; |f(x)| > α} = {x ∈ X ; f(x) > α} ∪ {x ∈ X ; f(x) < −α}

que pertence a χ, pois f é mensurável e pelo Lema 2.1.

Se α < 0, então

{x ∈ X ; |f(x)| > α} = X

que pertence a χ por definição.

Observação 2.2. Seja f uma função mensurável. Defina a parte posi-

tiva f+ e a parte negativa f− da função, que são funções não negativas,

tais que

f+ = sup {f(x), 0} e f− = sup {−f(x), 0}

Observe que f = f+ − f− e |f | = f+ + f−, assim

f+ =12

(|f | + f) e f− =12

(|f | − f)

Então, pelo Lema 2.2, as funções f+ e f− são mensuráveis.

Definição 2.3. Chamamos uma função f de função estendida quando

f : X → R, ou seja, a função assume os valores de +∞ e −∞. A coleção

de todas as funções estendidas que são χ−mensuráveis é denotado por

M(X,χ).

Observação 2.3. Seja f ∈ M(X,χ) então os conjuntos

i. {x ∈ X ; f(x) = +∞} e ii. {x ∈ X ; f(x) = −∞}


pertencem a χ.

i. Perceba que

{x ∈ X ; f(x) = +∞} =∞⋂

n=1

{x ∈ X ; f(x) > n}

Pois seja x ∈ {x ∈ X ; f(x) = +∞} então f(x) = +∞ se, e somente se,

para todo n ∈ N temos f(x) > n, portanto x ∈ ⋂∞n=1 {x ∈ X ; f(x) > n}.

Assim, como cada {x ∈ X ; f(x) > n} pertence a χ pela definição de

Funções Mensuráveis, então pela Observação 2.1, a interseção desses

conjuntos também pertence a χ e, assim,

{x ∈ X ; f(x) = +∞} ∈ χ.

ii. Observe que

{x ∈ X ; f(x) = −∞} =

[

∞⋃

n=1

{x ∈ X ; f(x) > −n}]c

Pois se x ∈ {x ∈ X ; f(x) = −∞}, então x ∈ X , mas

x /∈ {x ∈ X ; f(x) > −n} para todo n ∈ N,

portanto

x ∈[

∞⋃

n=1

{x ∈ X ; f(x) > −n}]c

.

Se x ∈ [⋃∞

n=1 {x ∈ X ; f(x) > −n}]c, então, pela Lei de De Morgan,

x ∈[

∞⋂

n=1

{x ∈ X ; f(x) 6 −n}]

Então, f(x) 6 limn→∞ −n = −∞, portanto f(x) = −∞.

Logo

{x ∈ X ; f(x) = −∞} =

[

∞⋃

n=1

{x ∈ X ; f(x) > −n}]c

.

Como o conjunto [⋃∞

n=1 {x ∈ X ; f(x) > −n}]c pertence a χ pela defi-

nição de Função Mensurável e de σ−álgebra, temos,

{x ∈ X ; f(x) = −∞} ∈ χ.

85

Lema 2.3. Uma função f ∈ M(X,χ) se, e somente se, os conjuntos

A = {x ∈ X ; f(x) = +∞} e B = {x ∈ X ; f(x) = −∞}

pertencem a χ e a função

f1(x) =

f(x) se x /∈ A ∪B

0 se x ∈ A ∪B

é mensurável.

Demonstração: ⇒ Suponha f ∈ M(X,χ) então pela obser-

vação 2.3 os conjuntos A e B pertencem a χ. Além disso, se α > 0

temos

{x ∈ X ; f1(x) > α} = {x ∈ X ; f(x) > α} −A

pois, nesse caso, queremos os valores de x tais que a função f1(x) > 0,

e os valores de x que estão em A são os valores em que f1(x) = 0. Se

α < 0, então

{x ∈ X ; f1(x) > α} = {x ∈ X ; f(x) > α} ∪B

pois queremos todos os valores em que f1(x) = 0, mas no conjunto

{x ∈ X ; f(x) > α} estão apenas os elementos de A, no entanto os ele-

mentos de B também tornam f1(x) = 0. Assim, como f é mensurável,

f1 também é.

⇐Suponha f1 mensurável e A,B ∈ χ. Se α > 0, temos

{x ∈ X ; f(x) > α} = {x ∈ X ; f1(x) > α} ∪A

pois, nesse caso, queremos os valores de x tais que f(x) > 0 e no

conjunto {x ∈ X ; f1(x) > α} estão apenas valores finitos, mas a função

f é estendida, então assume o valor de +∞. Se α < 0, temos

{x ∈ X ; f(x) > α} = {x ∈ X ; f1(x) > α} −B

pois os valores de x tais que f(x) > α são maiores que −∞, portanto os

elementos de B não estão em {x ∈ X ; f(x) > α}. Dessa forma, a função

estendida f é mensurável e, assim, pertence a M(X,χ).


Definição 2.4 (Limites de sequências). Seja (xn) : N → R uma

sequência, definimos

lim supxn = infm

(

supn>m

xn

)

lim inf xn = supm

(

infn>m

xn

)

Quando lim supxn = lim inf xn a sequência é convergente e chamamos

esse valor de limite da sequência e denotamos por lim xn.

Para sequência de funções, definimos a sequência numérica de-

finida para cada x que pertence ao domínio (X) e tomamos o seu limite.

O limite da sequência de funções será a função f : X → R definida por

f(x) = lim fn(x) para cada x ∈ X.

Lema 2.4. Seja fn uma sequência de funções em M(X,χ), então tam-

bém pertencem a M(X,χ) as funções:

(i.) f(x) = inf fn(x) (ii.) F (x) = sup fn(x)

(iii.) f∗(x) = lim inf fn(x) e (iv.) F ∗(x) = lim sup fn(x)

Demonstração: i. Suponha f(x) = inf fn(x) e observe que

A = {x ∈ X ; f(x) > α} =⋂

n∈N

{x ∈ X ; fn(x) > α} = B.

O conjunto B =⋂

n∈N {x ∈ X ; fn(x) > α} pertence a χ, pois as funções

fn são mensuráveis, então cada {x ∈ X ; fn(x) > α} pertence a χ e,

assim, a interseção enumerável desses conjuntos também pertence a χ.

Seja x ∈ A, então f(x) > α, ou seja, inf fn(x) > α, então para todo

n ∈ N temos α 6 inf fn(x) 6 fn(x), pela definição de ínfimo, assim x

também pertence a {x ∈ X ; fn(x) > α} para todo n, portanto x ∈ B.

Se x ∈ B, então para todo n ∈ N temos fn(x) > α assim inf fn(x) > α,

ou seja, f(x) > α e x ∈ A. Portanto, A = B e a função f(x) = inf fn(x)

87

também pertence a M(X,χ).

ii. Suponha F (x) = sup fn(x) e observe que

U = {x ∈ X ;F (x) > α} =⋃

n∈N

{x ∈ X ; fn(x) > α} = W

O conjunto W =⋃

n∈N {x ∈ X ; fn(x) > α} pertence a χ, pois as fun-

ções fn são mensuráveis, então cada {x ∈ X ; fn(x) > α} pertence a χ

e, assim, a união enumerável desses conjuntos também pertence a χ.

Seja x ∈ U , então F (x) > α, ou seja, sup fn(x) > α, assim, para algum

n ∈ N temos fn > α, logo x ∈ W .

Se x ∈ W , então para algum n temos fn(x) > α, mas sup fn(x) >

fn > α, então x ∈ U . Assim, U = W e, portanto, F (x) = sup fn(x) ∈M(X,χ).

iii. Suponha f∗(x) = lim inf fn(x), pela definição de limite inferior te-

mos

f∗(x) = supn>1

{

infm>n

fm(x)}

.

Mas infm>n

fm(x) pertence a M(X,χ) pelo item (i) desse Lema e pelo item

(ii) supn>1

{

infm>n

fm(x)}

pertence a M(X,χ) . Portanto f∗(x) pertence a

M(X,χ).

iv. Suponha F ∗(x) = lim sup fn(x), pela definição de limite superior

temos

F ∗(x) = infn>1

{

supm>n

fm(x)}

.

Mas supm>n

fm(x) pertence a M(X,χ) pelo item (ii) desse Lema, e pelo

ítem (i) infn>1

{

supm>n

fm(x)}

também pertence aM(X,χ). Portanto F ∗(x)

pertence a M(X,χ).

Corolário 2.1. Seja (fn) uma sequência de funções em M(X,χ) que

converge pontualmente para f , então f ∈ M(X,χ).

Demonstração: Suponha fn(x) → f(x) para cada x ∈ X ,

pelo Lema anterior, sabemos que lim inf fn(x) e lim sup fn(x) perten-


cem a M(X,χ). Mas pela definição de limite, temos

lim inf fn(x) = lim sup fn(x) = lim fn(x) para cada x ∈ X

Como fn(x) → f(x) então

f(x) = lim fn(x) para cada x ∈ X

que pertence a χ, pelo Lema 2.4.

Portanto, o limite de uma sequência de funções mensuráveis, também

é mensurável.

Lema 2.5. Seja f ∈ M(X,χ) uma função não negativa, então existe

uma sequência (ϕn) ∈ M(X,χ) que satisfaz

i. 0 6 ϕn(x) 6 ϕn+1(x) para cada x ∈ X e para todo n ∈ N.

ii. f(x) = limϕn(x) para cada x ∈ X.

iii. Cada ϕn possui apenas um número finito de valores reais, isto é,

é uma função simples (Definição 4.1).

Demonstração: Suponha f ∈ M(X,χ) e tal que f(x) > 0

para todo x ∈ X . Para cada n ∈ N, tome

Ekn ={

x ∈ X ; k · 2−n6 f(x) < (k + 1)2−n

}

para k = 0, 1, ..., n · 2n − 1. E para k = n · 2n, tome

Ekn = {x ∈ X ; f(x) > n} .

Perceba que

a) Os conjuntos Ekn são disjuntos para cada n, pois o extremo da di-

reita do conjunto Ekn é o extremo da esquerda do conjunto Ek(n+1).

b) Cada Ekn pertence a χ, pois supomos f mensurável.

c) Perceba também que⋃+∞

n=1 Ekn = X , pois por (a) temos que o ex-

tremo a direita de um conjunto Ekn é o extremo a esquerda do Ek(n+1),

89

assim⋃+∞

i=1 Ekn é um intervalo de números reais. Além disso, temos que,

para k = n · 2n,

Ekn = {x ∈ X ; f(x) > n} .

Assim, o intervalo não é limitado superiormente. E ainda, para n = 1

e k = 0, temos que

E01 ={

x ∈ X ; 0 6 f(x) <12

}

e como a função é não-nagativa, temos que⋃+∞

i=1 Ekn = X . Com isso,

tome ϕn(x) = k · 2−n para x ∈ Ekn e segue que:

i. 0 6 ϕn(x) 6 ϕn+1(x) para cada x ∈ X e para todo n ∈ N.

ii. f(x) = limϕn(x) para cada x ∈ X .

Pois tomamos ϕn(x) = k · 2−n para x ∈ Ekn, mas perceba que nos

conjuntos

Ekn ={

x ∈ X ; k · 2−n6 f(x) < (k + 1)2−n

}

temos que nesses conjuntos x é tal que ϕ(x) 6 f(x) < ϕ(x)+2−n, assim

para n grande o bastante temos que ϕ(x) está tão próxima quanto se

queira da função f(x) para cada x.

iii. Cada ϕn possui apenas um número finito de valores reais, pois to-

mamos apenas um número finito de Ekn.

Esse lema pode ser representado pelo gráfico abaixo, no qual

cada cor indica uma função da sequência. Observe que o Lema não

exige convergência uniforme. Então para todo ε > 0 existe n0(ε) ∈ N

tal que se n > n0 então |f(x) − ϕn(x)| < ε para cada x ∈ X .

O Lema 2.5 é de fundamental importância para o estudo da

Integral de Lebesgue, pois nos garante a existência de uma sequência

de funções simples que converge para uma função não negativa e men-

surável, ou seja, para uma função que pertence a M+(X,χ). Mais do

que isso, devemos lembrar que pela Observação 2.2 podemos tomar a

parte positiva e a negativa de uma função, que são não negativas. Então

para a parte positiva conseguimos uma sequência de funções e para a


Figura 6 – Sequência de funções conforme Lema 2.5

parte negativa também conseguimos uma sequência que cumprem as

condições do lema acima.

91

3 MEDIDA

No Capítulo 1 deste trabalho, definimos Medida Nula utili-

zando Coberturas e o comprimento de cada intervalo que compõe essa

Cobertura. Porém essa não é a uma definição rigorosa para Medida.

Neste Capítulo será definida e estudada Medida como uma função que

associa a cada elemento da σ−álgebra um valor não negativo que per-

tence a R. Este capítulo, assim como capítulo anterior constituem uma

preparação para o estudo da Integral de Lebesgue. Para alcançar esse

objetivo será utilizado o livro de Bartle (1995).

Definição 3.1 (Medida). Uma medida é uma função µ : χ → R tal

que

i. µ(φ) = 0;

ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) > 0;

iii. A função µ deve ser enumerável aditiva, isto é, seja (En)n∈N uma

sequência de conjuntos em χ tal que En ∩ Em = φ para n 6= m

então

µ(⋃

n∈N

En) =∞∑

n=1

µ(En).

Observação 3.1. No ítem (iii) desta definição, se ocorrer µ(⋃

n∈NEn) =

+∞ então para algum n ∈ N temos µ(En) = +∞ ou a série∑∞

n=1 µ(En)

diverge.

Se µ(⋃

n∈NEn) < ∞, então a medida µ é dita finita.

Se existir uma sequência (En)n∈N ∈ χ tal que X =⋃

n∈NEn e µ(En) <

+∞ para todo n ∈ N, então a medida µ é dita σ−finita.

Exemplo 3.1. 1.Seja X 6= φ e χ uma σ−álgebra de X e tome p ∈ X

fixo. Então a função

92 Capítulo 3. MEDIDA

µ(E) =

0 se p /∈ E

1 se p ∈ E 6= φ

é uma medida. Pois,

i. µ(φ) = 0, pois p /∈ φ;

ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) > 0;

iii. Se (En)n∈N é uma sequência disjunta de conjuntos em χ então se

p /∈⋃

n∈NEn então

µ(⋃

n∈N

En) = 0 =∞∑

n=1

µ(En)

mas se p ∈ ⋃

n∈NEn, então para um, e somente um, En temos

p ∈ En, portanto

µ(⋃

n∈N

En) = 1 =∞∑

n=1

µ(En)

2. Seja X = N e χ a σ−álgebra formada por todos os sub-

conjuntos de N. Defina a função µ como: se E ∈ χ é finito, então

µ(E) = #E e se E ∈ χ for infinito, então µ(E) = +∞. Então µ é uma

medida.

i. µ(φ) = #φ = 0, por definição;

ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) = #E > 0 ou µ(E) = +∞ > 0;

iii. Se (En)n∈N é uma sequência disjunta de conjuntos em χ então

µ(⋃

n∈N

En) = +∞ =∞∑

n=1

µ(En)

pois a união infinita da sequência disjunta é um conjunto infinito

e a série é crescente sem limitante superior.

93

Observe que essa medida não é finita, porém é σ−finita, basta tomar a

sequência En = {n}, na qual #En = 1 para todo n ∈ N e⋃

n∈NEn = N.

3. Seja X = R e B a Álgebra de Borel. A medida λ(E) =

b − a com E = (a, b) é a única que coincide com o comprimento dos

intervalos abertos e chama-se Medida de Lebesgue. Essa Medida não

é finita, pois se tomarmos uma sequêcia de conjuntos En ∈ B então

λ(⋃

n∈NEn) = +∞, porém ela é σ−finita, basta tomarmos a sequência

de todos os intervalos abertos de números reais de comprimento finito.

4. Seja X = R, B a σ−álgebra de Borel e seja f uma função

contínua, monótona não decrescente. Existe única medida λf (E) =

f(b) − f(a) definida em E = (a, b), que se chama Medida de Borel-

Stieltjes gerada por f .

Os próximos exemplos serão úteis para demonstrações do pró-

ximo capítulo.

Exemplo 3.2. Seja µ uma medida em χ e seja A ∈ χ fixo, então

λ(E) = µ(A ∩ E) é uma medida em χ.

Suponha A ∈ χ um conjunto fixo, E ∈ χ qualquer e µ uma medida.

i. Se A ∩ E = φ, então µ(φ) = 0, pois µ é medida.

ii. Temos que o conjunto A∩E pertence a χ, pois A∩E = (Ac ∪ Ec)c,

que pertence a χ pela definição de σ−álgebra. Como A ∩E ∈ χ, então

µ(A ∩E) > 0.

iii. Seja (A ∩ E)j uma sequência disjunta de conjunto em χ. Então

temos que (A ∩ E)j = (A ∩ Ej) pois A é fixo, e como a sequência é

disjunta os Ej devem ser disjuntos.

Assim, temos

µ

+∞⋃

j=1

(A ∩ E)j

= µ

+∞⋃

j=1

(A ∩ Ej)

=+∞∑

j=1

µ(A∩Ej) =+∞∑

j=1

µ(A∩E)j

pois µ é medida e A ∩ Ej ∈ χ.

Logo, µ(A ∩ E) é uma medida.


Exemplo 3.3. Sejam µ1, ..., µn medidas em χ e a1, ..., an números reais

não negativos. Então a função λ definida em E ∈ χ por

λ(E) =n∑

j=1

ajµj(E)

é uma medida.

De fato, como µj para j = 1, ...n são medidas, temos

i. Se E = φ, então

λ(E) =n∑

j=1

ajµj(E) = 0

pois µj(φ) = 0 para todo j = 1, ..., n.

ii. Para todo E ∈ χ, temos

λ(E) =n∑

j=1

ajµj(E) > 0

pois µj(E) > 0 e aj são não negativos para todo j = 1, ..., n.

iii. Seja En uma sequência disjunta de conjuntos em χ, então temos

λ

(

+∞⋃

i=1

Ei

)

=n∑

j=1

ajµj

(

+∞⋃

i=1

Ei

)

= a1µ1

(

+∞⋃

i=1

Ei

)

+ ...+ anµn

(

+∞⋃

i=1

Ei

)

= a1

+∞∑

i=1

µ1(Ei)) + ...+ an

+∞∑

i=1

µn(Ei)

=+∞∑

i=1

n∑

j=1

ajµj(Ei) =+∞∑

i=1

λ(Ei)

Logo, λ é enumerável aditiva. E assim λ é uma medida.

Lema 3.1. Seja µ uma medida definida em uma σ−álgebra χ. Se

E,F ∈ χ tais que E ⊂ F , então µ(E) 6 µ(F ). Além disso, se µ(E) <

+∞, então µ(F − E) = µ(F ) − µ(E).

95

Demonstração: Sejam E,F ∈ χ, com E ⊂ F e suponha

E 6= φ. Sabemos que (F − E) ∩E = φ, então pela Definição 3.1 temos

que

µ[(F − E) ∪ E] = µ(F − E) + µ(E)

Mas E ⊂ F , então (F − E) ∪ E = F , assim

µ(F ) = µ(F − E) + µ(E)

Como µ é uma medida então µ(F − E) > 0 e µ(E) > 0, então

µ(F ) = µ(F − E) + µ(E) > µ(E)

Portanto µ(F ) > µ(E). Além disso, se µ(E) < +∞ então podemos

subtrair µ(E) em ambos os lados da expressão µ(F ) = µ(F−E)+µ(E),

logo

µ(F − E) = µ(F ) − µ(E).

Esse Lema é evidente para a Álgebra de Borel tomando a me-

dida de Lebesgue. Pois se (c, d) ⊂ (a, b), então temos que a 6 c 6 d 6 b,

assim a distância entre a e b é maior ou igual a distância entre c e d.

Lema 3.2. Seja µ uma medida definida em uma σ−álgebra χ.

i. Se (En)n∈N é uma sequêcia não decrescente em χ, então

µ(⋃

n∈NEn) = limµ(En).

ii. Se (Fn)n∈N é uma sequêcia não crescente em χ, então

µ(⋂

n∈N Fn) = limµ(Fn).

Demonstração: i. Suponha (En)n∈N uma sequência não de-

crescente de conjuntos em χ, ou seja, En ⊂ En+1 para todo n ∈ N.

Se tivermos µ(En0) = +∞ para algum n0 então, pelo Lema 3.1, temos

que para todo n > n0 µ(En) = +∞, e pela Definição 3.1, temos que


µ(⋃

n∈NEn) = +∞ = limµ(En), que satisfaz o Lema.

Assim, suponha que µ(En) < +∞ e defina a sequência de conjuntos

(An)n∈N como

A1 = E1 e An = En − En−1 para n > 1.

Dessa forma, se n 6= m temos An ∩Am = φ, além disso

1. En =⋃n

i=1 Ai, pois se x ∈ En, então x ∈ Ai para algum i ∈{1, ..., n} e se x ∈ ⋃n

i=1 Ai, então x ∈ Ai para algum i ∈ {1, ..., n}e, como (En)n∈N é uma sequência não decrescente, x ∈ En.

2.⋃+∞

n=1 En =⋃+∞

n=1 An, pois se x ∈⋃+∞

n=1 En, então x ∈ Ei para

algum i ∈ N, assim x ∈ Ai, logo x ∈ ⋃+∞n=1 An. E se x ∈ ⋃+∞

n=1 An,

então x ∈ Ai para algum i ∈ N, assim x ∈ Ei, logo x ∈⋃+∞

n=1 En.

Desse ítem e pela definição de medida, segue que

µ

(

+∞⋃

n=1

En

)

= µ

(

+∞⋃

n=1

An

)

= limm∑

n=1

µ(An)

.

Mas pelo Lema 3.1, como An = En − En−1, temos µ(An) = µ(En) −µ(En−1), então

m∑

n=1

µ(An) =

µ(E1)+[µ(E2) − µ(E1)]+[µ(E3) − µ(E2)]+ ...+[µ(Em) − µ(Em−1)] =

µ(Em)

Segue que,

µ(+∞⋃

n=1

En) = limm∑

n=1

µ(An) = limµ(En)

Portanto, µ(⋃+∞

n=1 En) = limµ(En).

ii. Suponha (Fn)n∈N uma sequência não crescente em χ, ou seja, Fn+1 ⊂Fn e suponha µ(F1) < +∞ assim, pelo Lema 3.1, temos que µ(Fn) <

+∞ para todo n ∈ N. Defina a sequência (En)n∈N,

En = F1 − Fn

97

e observe que esta sequência é não decrescente, então pelo ítem (i) deste

Lema temos que µ(⋃+∞

n=1 En) = limµ(En).

Mas, pelo Lema 3.1 sabemos que, como En = F1 − Fn, então µ(En) =

µ(F1) − µ(Fn), logo

µ

(

+∞⋃

n=1

En

)

= lim[µ(F1−Fn)] = lim[µ(F1)−µ(Fn)] = µ(F1)−limµ(Fn)

Então,

µ

(

+∞⋃

n=1

En

)

= µ(F1) − limµ(Fn).

Afirmo que⋃+∞

n=1 En = F1 −⋂+∞

n=1 Fn, que será provado no final da

demonstração. Assim temos,

µ

(

+∞⋃

n=1

En

)

= µ(F1) − µ

(

+∞⋂

n=1

Fn

)

.

Dessa forma,

µ(F1) − limµ(Fn) = µ(F1) − µ

(

+∞⋂

n=1

Fn

)

.

Portanto,

µ

(

+∞⋂

n=1

Fn

)

= limµ(Fn).


+∞⋃

n=1

En = F1 −+∞⋂

n=1

Fn.

Se x ∈ ⋃+∞n=1 En, então x ∈ En = F1 − Fn para algum n ∈ N, dessa

forma x ∈ F1, então x ∈ F1 −⋂+∞

n=1 Fn. E se x ∈ F1 −⋂+∞

n=1 Fn, então

x ∈ F1 e, assim, x ∈ En = F1 − Fn, logo x ∈ ⋃+∞n=1 En

Definição 3.2 (Espaço de Medida). Um espaço de medida é um trio

(X,χ, µ) formado pelo conjunto X, por uma σ−álgebra e por uma me-

dida definida sobre essa.


Observação 3.2. Dizemos que uma propriedade vale em µ−quase todo

ponto (µ−q.t.p) se existe um conjunto N ∈ χ de medida nula, isto é,

µ(N) = 0 tal que a propriedade vale em todo conjunto X −N .

Observação 3.3. Se considerarmos B a Àlgebra de Borel e µ a me-

dida de Lebesgue temos que apenas os intervalos degenerados possuem

medida nula.

Demonstração: De fato, seja I = [a, a] um intervalo degene-

rado, então sabemos que µ(I) = a− a = 0, portanto se um intervalo é

degenerado, então possui medida nula.

Agora suponha por absurdo que o intervalo J = [a, b] com a < b tenha

medida nula, isto é, µ(J) = 0.

Como a medida de J é 0, temos que b− a = 0, ou seja, b = a. Mas isso

é um absurdo, pois supomos a < b. Portanto, se um intervalo é não

degenerado, então não possui medida nula quando estivermos falando

da Medida de Lebesgue.

Exemplo 3.4. Tomando a Àlgebra de Borel e a medida de Lebesgue,

temos que o Conjunto de Cantor (ver Anexo B) possui medida nula,

pois não contém intervalos.

Exemplo 3.5. Dizer que o conjunto dos pontos de descontinuidade de

uma função tem medida nula (como nos teoremas 1.7 e 1.8) equivale a

dizer que a função f é contínua em quase todo ponto de X .

Definição 3.3 (Carga). Seja χ uma σ−álgebra de X, então a função

real λ : χ → R é chamada de carga se

i. λ(φ) = 0;

ii. Seja (En)n∈N uma sequência de conjuntos em χ tal que En∩Em =

φ para n 6= m então

λ(⋃

n∈NEn) =∑∞

n=1 λ(En).

99

Assim, podemos dizer que Carga é uma generalização de Me-

dida, pois satisfaz os itens (i) e (iii) definição de Medida, porém permite

que os conjuntos E ∈ χ também possuam carga negativa.

Com isso concluimos o estudo preliminar que precisavamos

para formalizar a Integral de Lebesgue.

101

4 A INTEGRAL DE LEBESGUE

A Integral de Riemann foi desenvolvida no século XIX, en-

quanto a Integral de Lebesgue foi desenvolvida no século seguinte. Mas

qual a necessidade de elaborar uma nova integral envolvendo outra

teoria? Certamente, a Integral de Lebesgue é mais vantajoa que a de

Riemann, caso contrário não faria sentido outra formalização. Sendo as-

sim, pretendemos mostrar que, de fato, existe vantagem de uma sobre

a outra.

Ao estudarmos a Integral de Riemann procuramos analisar as

condições necessárias para obter alguns resultados que dizem respeito

a integração. Ao estudarmos a Integral de Lebesgue iremos fazer a

mesma abordagem, utilizando o livro de Bartle (1995), para depois

compararmos as duas integrais.

4.1 HENRI LEBESGUE

Henri Léon Lebesgue nasceu no ano de 1875 na cidade de Be-

ausvais, na França, e faleceu em 1941 em Paris. Estudou Matemática

na Escola Normal Superior de Paris, que foi frequentada por outros

grandes matemáticos, na qual obteve o diploma em 1897. No ano de

1902, Henri Lebesgue formulou a Teoria de Medida com base na qual

generalizou as integrais, através da Integral de Lebesgue, apresentando

a Faculdade de Ciências de Paris com a tese Integrále, lougueur, aire.

Além disso, Lebesgue também contribuiu para a Topologia, Séries de

Fourier e cálculo variacional. Pelas suas obras recebeu diversos prêmios,

dentre eles o Prêmio Poncelet, em 1914, foi eleito para a Academia de

Ciências, em 1922, e várias universidades lhe concederam o título de

Doutor honoris causa (O’CONNOR; ROBERTSON, 2004).

102 Capítulo 4. A INTEGRAL DE LEBESGUE

4.2 INTEGRAL DE LEBESGUE

No Capítulo 2 provamos que para qualquer função mensurá-

vel, não negativa é possível encontrar uma sequência não decrescente,

de funções que assumem apenas um número finito de números reias e

que converge para a função em questão. Nos apropriando dessa ver-

dade matemática, conseguiremos definir a integral para funções que se

encaixam nesse contexto.

Definição 4.1. Uma função real é dita simples se assume apenas uma

quantidade finita de valores reais.

Podemos representar uma função simples e mensurável ϕ :

X → R como

ϕ =n∑

j=1

ajχEj

onde aj ∈ R e χEj=

0 se x /∈ Ej

1 se x ∈ Ej

.

No entanto, existe única representação padrão que se caracte-

riza pelo fato de que

i. Se i 6= j então ai 6= aj e Ei ∩ Ej = φ.

ii. Para todo j tivermos Ej 6= φ e, além disso, X =⋃n

j=1 Ej .

Definição 4.2. Seja ϕ : X → R uma função simples em M+(X,χ)

com representação padrão. Definimos a integral de ϕ relativamente a

medida µ como∫

ϕdµ =n∑

j=1

ajµ(Ej)

Observe que não há nenhuma restrição a integral ser infinita.

No entanto, pela definição, fica claro que∫

ϕdµ > 0.

Perceba que a única condição para definir a integral de uma função

simples é que seja não negativa e mensurável. Além disso, podemos

4.2. INTEGRAL DE LEBESGUE 103

comparar a integral de funções simples com a Soma Inferior relativa

a uma partição, considerando que teremos retângulos cujas dimensões

representam a medida de um conjunto En ∈ χ e o valor que a função

simples assume nesse conjunto, porém não podemos garantir que a

integral restrita a cada En represente a área do retângulo, isso depende

da medida em questão.

O Lema a seguir servirá de ferramenta para que, depois de de-

finirmos a integral para funções mensuráveis e não negativas, possamos

provar propriedades dessa integral.

Lema 4.1. Sejam ϕ, ψ ∈ M+(X,χ) funções simples e c > 0. Então

i.∫

c · ϕdµ = c ·∫

ϕdµ.

ii.∫

ϕ+ ψdµ =∫

ϕdµ+∫

ψdµ

iii. Se λ está definido em E ∈ χ por

λ(E) =∫

ϕχEdµ

então λ é uma medida.

Demonstração: i. Suponha c > 0 e ϕ =∑n

j=1 ajχEja re-

presentação padrão de ϕ. Como c > 0, então

c · ϕ =n∑

j=1

cajχEj

é uma representação padrão para c · ϕ, pois c · ai 6= c · aj para i 6= j.

Pela Definição 4.2, temos

∫

c · ϕdµ =n∑

j=1

c · ajµ(Ej) = c ·n∑

j=1

ajµ(Ej)

Mas∑n

j=1 ajµ(Ej) =∫

ϕdµ, portanto

∫

c · ϕdµ = c ·∫

ϕdµ


.

ii. Suponha ϕ, ψ ∈ M+(X,χ) e sejam

ϕ =n∑

j=1

ajχEje ψ =

m∑

k=1

bkχFk

suas representações padrões. Temos que,

ϕ+ ψ =n∑

j=1

ajχEj+

m∑

k=1

bkχFk

Masn∑

j=1

ajχEj+

m∑

k=1

bkχFk=

n∑

j=1

m∑

k=1

(aj + bk)χEj∩Fk,

então

ϕ+ ψ =n∑

j=1

m∑

k=1

(aj + bk)χEj∩Fk.

No entanto, essa não é a representação padrão, pois nada nos garante

que os aj + bk são distintos. Sendo assim, vamos construir uma repre-

sentação padrão para ϕ+ ψ.

Tome ch, com h = 1, ..., p os elementos distintos do conjunto

{aj + bk; j = 1, ...n e k = 1, ...,m}

e sejam Gh o conjunto formando pelos Ej ∩ Fk 6= φ tais que se tenha

os valores de ch, isto é,

Gh ={

⋃

Ej ∩ Fk; aj + bk = ch

}

Note que,

µ(Gh) = µ(⋃

Ej ∩ Fk) =∑

(j,k)

µ(Ej ∩ Fk)

Agora temos que

ϕ+ ψ =p∑

h=1

chχGh


é uma representação padrão para ϕ+ ψ. Pela Definição 4.2, temos que

∫

ϕ+ ψdµ =p∑

h=1

chµ(Gh) =p∑

h=1

∑

(j,k)

chµ(Ej ∩ Fk)

=p∑

h=1

∑

(j,k)

(aj + bk)µ(Ej ∩ Fk)

=n∑

j=1

m∑

k=1

ajµ(Ej ∩ Fk) +n∑

j=1

m∑

k=1

bkµ(Ej ∩ Fk)

Como X =⋃n

j=1 Ej =⋃m

k=1 Fk, então∑n

j=1 µ(Ej ∩ Fk) = µ(Fk) e∑m

k=1 µ(Ej ∩ Fk) = µ(Ej). Assim, temos

p∑

h=1

chµ(Gh) =n∑

j=1

ajµ(Ej) +m∑

k=1

bkµ(Fk)

Logo,∫

ϕ+ ψdµ =∫

ϕdµ+∫

ψdµ.

iii. Suponha⋃n

i=1 Ej = E e seja λ uma função definida em E ∈ χ por

λ(E) =∫

ϕχEdµ.

Para demonstrar esse item vamos usar o seguinte fato

µ(Ej) =∫

χEjdµ =

∫

χE∩Ejdµ

pois para ψ(x) = 1 para todo x ∈ X , temos

∫

ψ(x)χEj=

n∑

j=1

1µ(Ej)

Mas como⋃n

i=1 Ej = E, temos

n∑

j=1

1µ(Ej) =n∑

j=1

1µ(Ej ∩ E) =∫

χEj∩Edµ.


Provado isso, temos,

λ(E) =∫

ϕχEdµ =n∑

j=1

ajµ(Ej) =n∑

j=1

aj

∫

χEj∩Edµ

=n∑

j=1

ajµ(Ej ∩ E).

Assim, temos que

λ(E) =n∑

j=1

ajµ(Ej ∩E)

onde aj > 0 para j = 1, ..., n. Dos Exemplos 3.2 e 3.3 segue que λ(E)

é uma medida.

No Lema 2.5 garantimos a existência de uma sequência de fun-

ções simples e mensuráveis que converge para uma função mensurável

e não negativa, nesse sentido podemos definir a integral de funções não

negativas.

Definição 4.3. Seja f ∈ M+(X,χ). Definimos a integral de f relati-

vamente a medida µ como sendo o valor que pertence a R tal que∫

fdµ = sup∫

ϕdµ

onde o supremo é tomado relativo a todas as funções simples ϕ ∈M+(X,χ) que satisfazem 0 6 ϕ(x) 6 f(x) para todo x ∈ X. Além

disso, se E ∈ χ, então definimos a integral de f sobre E relativamente

a medida µ como sendo o valor que pertence a R tal que∫

E

fdµ =∫

fχEdµ

Perceba que na Definição de Integral de Riemann era necessário

que a função fosse limitada, mas para a integral que estamos vendo

agora é preciso, somente, que a função seja mensurável.

Lema 4.2. i. Sejam f, g ∈ M+(X,χ) e f 6 g, então∫

fdµ 6

∫

gdµ


ii. Seja f ∈ M+(X,χ) e sejam E,F ∈ χ tais que E ⊂ F , então

∫

E

fdµ 6

∫

F

fdµ

Demonstração: i. Suponha f, g ∈ M+(X,χ) e f 6 g. Sabe-

mos que,∫

fdµ = sup ∈ ϕdµ

e

∫

gdµ = sup ∈ ψdµ

com 0 6 ϕ(x) 6 f(x) e 0 6 ψ(x) 6 f(x) para todo x ∈ X .

Tome os conjuntos

A =

n∑

j=1

ajµ(Ej);ϕ =n∑

j=1

ajχEje 0 6 ϕ(x) 6 f(x)

e

B =

{

m∑

k=1

bkµ(Fk);ϕ =m∑

k=1

bkχFke 0 6 ψ(x) 6 g(x)

}

que são os cojuntos das integrais de todas as funções simples que satis-

fazem 0 6 ϕ(x) 6 f(x) e 0 6 ψ(x) 6 f(x) para todo x ∈ X .

Por hipótese temos que 0 6 ϕ(x) 6 f(x) 6 g(x) para todo x ∈ X ,

então A ⊂ B. Logo, temos que para todo [∑n

j=1 ajµ(Ej)] ∈ A

n∑

j=1

ajµ(Ej) 6 supB

[

m∑

k=1

bkµ(Fk)

]

Assim,

supA

n∑

j=1

ajµ(Ej)

6 supA

{

supB

[

m∑

k=1

bkµ(Fk)

]}


Mas supA

{

supB

[∑m

k=1 bkµ(Fk)]}

= supB

[∑m

k=1 bkµ(Fk)], então

supA

n∑

j=1

ajµ(Ej)

6 supB

[

m∑

k=1

bkµ(Fk)

]

E portanto,∫

fdµ 6

∫

gdµ.

ii. Suponha f ∈ M+(X,χ) e sejam E,F ∈ χ com E ⊂ F . Observe que,

fχE =

0 se x /∈ E

f se x ∈ Ee fχF =

0 se x /∈ F

f se x ∈ F

Então fχE 6 fχF e segue do ítem (i) deste teorema que∫

fχEdµ 6

∫

fχFdµ.

Mas, pela Definição 4.3, sabemos que∫

E

fdµ =∫

fχEdµ e∫

F

fdµ =∫

fχFdµ

Portanto,∫

E

fdµ 6

∫

F

fdµ.

Teorema 4.1 (Teorema da Convergência Monótona). Seja (fn) uma

sequência não descrescente de funções em M+(X,χ) que converge para

f , então∫

fdµ = lim∫

fndµ

Demonstração: Seja (fn) uma sequência não descrescente

tal que fn(x) → f(x) para todo x ∈ X . Como a sequência é não

decrescente, então para cada x ∈ X temos

0 6 fn(x) 6 fn+1(x) 6 f(x) para todo n ∈ N


Sendo assim, f ∈ M+(X,χ) pelo Lema 2.4. E pelo teorema anterior

temos que∫

fn(x) 6∫

f(x)

Aplicando o limite em ambos os lados, obtemos

lim∫

fn(x) 6∫

f(x)

.

Agora vamos provar que lim∫

fn(x) >∫

f(x).

Seja α ∈ R e tal que 0 < α < 1 e ϕ uma função simples tal que

0 6 ϕ(x) 6 f(x) para cada x ∈ X . E tome o conjunto

An = {x ∈ X ; fn(x) > αϕ(x)}

Vamos assumir que An ∈ χ e provaremos no final da demonstração.

Além disso, An ⊂ An+1 e⋃∞

n=1 An = X . Assim, pelo Lema 4.2 segue

que∫

An

αϕdµ 6

∫

An

fndµ 6

∫

fndµ (4.1)

Como An é uma sequência não descrescente e⋃∞

n=1 An = X , temos∫

ϕdµ = lim∫

An

ϕdµ (4.2)

Tomando o limite em 4.1 temos

lim∫

An

αϕdµ 6 lim∫

An

fndµ 6 lim∫

fndµ

E de 4.2 resulta que

α

∫

ϕdµ 6

∫

fndµ

Como α ∈ (0, 1) podemos tomar o limα→1 α = 1 e da expressão acima

temos∫

ϕdµ 6

∫

fndµ

E como tomamos ϕ ∈ M+(X,χ) tal que 0 6 ϕ 6 f arbitrária, então∫

fdµ = sup∫

ϕdµ 6

∫

fndµ


Como 6∫

fdµ 6∫

fndµ e∫

fdµ >∫

fndµ, então∫

fdµ = lim∫

fndµ.


An = {x ∈ X ; fn(x) > αϕ(x)} ∈ χ

Para os valores x tais que ϕ(x) = 0, temos que

An = {x ∈ X ; fn(x) > 0}

que pertence a χ pois fn é mensurável. Agora suponha ϕ(x) 6= 0, então

An ={

x ∈ X ;fn(x)ϕ(x)

> α

}

se provarmos quefn(x)ϕ(x)

é mensurável, então An ∈ χ. Pelo Lema 2.2, sa-

bemos que o produto de funções mensuráveis é uma função mensurável,

então, vamos provar que1

ϕ(x)é mensurável. Seja o conjunto

{

x ∈ X ;1

ϕ(x)> k

}

para k ∈ R. Se k = 0, então{

x ∈ X ;1

ϕ(x)> 0}

= X

pois supomos ϕ(x) > 0, e por definição X ∈ χ. Se k > 0, então{

x ∈ X ;1

ϕ(x)> k

}

={

x ∈ X ;ϕ(x) 61k

}

que pertence a χ, pois ϕ é mensurável. Se k < 0, então{

x ∈ X ;1

ϕ(x)> k

}

={

x ∈ X ;ϕ(x) >1k

}

que também pertence a χ por ϕ ser mensurável. Portanto, An ∈ χ.

Perceba que, com o Teorema da Convergência Monótona, já

conseguimos uma troca do limite com o sinal da Integral de Lebesgue


em uma sequência de funções monótonas e integráveis que converge,

enquanto para a Integral de Riemann conseguimos apenas no Teorema

de Passagem ao Limite sob o sinal de Integral, que exigia convergência

uniforme da sequência.

Corolário 4.1. Sejam f, g ∈ M+(X,χ) e c > 0 então

i. c · f ∈ M+(X,χ) e∫

c · fdµ = c ·∫

fdµ

.

ii. f + g ∈ M+(X,χ) e∫

f + gdµ =∫

fdµ+∫

gdµ

.

Demonstração: i. Suponha f ∈ M+(X,χ) e c > 0. Como f

é uma função não negativa, então, pelo Lema 2.5, existe uma sequência

de funções simples (ϕn), não decrescente e tal que ϕn(x) → f(x) para

cada x ∈ X . Como c > 0 então c · f ∈ M+(X,χ) e pelo Teorema da

Convergência Monótona, temos∫

c · fdµ = lim∫

c · ϕndµ = c · lim∫

ϕndµ = c

∫

fdµ

ii. Suponha f, g ∈ M+(X,χ). Como f > 0 e g > 0 são mensuráveis,

então f+g > 0 e é mensurável pelo Lema 2.2, além disso a função f+g

está bem definida.

Como f, g são funções não negativas então, pelo Lema 2.5 existem

sequências de funções simples (ϕn) e (ψn), não decrescentes e tais que

ϕn(x) → f(x) e ψn(x) → g(x) para cada x ∈ X . Então pelo Teorema

da Convergência Monótona e pelo Lema 4.2 temos que∫

f + gdµ = lim∫

ϕ+ ψdµ = lim(∫

ϕdµ+∫

ψdµ

)

=


lim∫

ϕdµ+ lim∫

ψdµ =∫

fdµ+∫

gdµ

Observe a importância do Teorema da Convergência Monótona

e do Lema 2.5 para a Integral de Lebesgue de funções não-negativas.

Pois conseguimos provar que∫

c ·fdµ = c ·∫

fdµ e∫

f+gdµ =∫

fdµ+∫

gdµ, com bastante facilidade, enquanto para a Integral de Riemann,

se fez necessário um estudo usando a oscilação de f no intervalo na

qual está definida.

Lema 4.3 (Lema de Fatou). Se (fn) ∈ M+(X,χ) então∫

(lim inf fn)dµ 6 lim inf∫

fndµ

Demonstração: Suponha (fn) ∈ M+(X,χ) e tome a sequên-

cia

gm = inf {fm, fm+1, ...}

que representa(

infn>m

fn

)

da Definição 2.4. Como gm representa o ínfimo

deste conjunto então temos que gm 6 fn para todo n > m, portanto

gm é uma sequência monótona não decrescente e∫

gmdµ 6

∫

fndµ para n > m

Como∫

fndµ 6 lim inf∫

fndµ, temos que∫

gmdµ 6 lim inf∫

fndµ

Além disso, temos que gm → supm

(

infn>m

fn

)

, pois gm =(

infn>m

fn

)

e

como gm 6 gm+1, temos que gm → supm

{gm}, Anexo A.7, portanto

lim gm = supm

(

infn>m

fn

)

. E como gm é uma sequência não decrescente

de funções não negativas, pelo Teorema da Convergência Monótona,

temos que∫

(lim inf fn)dµ = lim∫

gmdµ 6 lim inf∫

fndµ.


O Lema de Fatou nos traz outra relação para a integral do

limite de uma sequência de funções integráveis não negativas, embora

não seja uma igualdade, irá facilitar algumas demonstrações, inclusive

a do Teorema da Convergência Dominada.

Corolário 4.2. Seja f ∈ M+(X,χ), se λ está definida sobre χ por

λ(E) =∫

E

fdµ

então λ é uma medida.

Demonstração: Suponha f ∈ M+(X,χ).

i. Se E = φ, então fχE= 0 para todo x ∈ X . Então

∫

E

fdµ = 0

. ii. Como f ∈ M+(x, χ), então f(x) > 0 para todo x ∈ X , segue do

Lema 4.2 que

0 6

∫

E

fdµ

para todo E ∈ χ.

iii. Seja (En) ∈ χ uma sequência tal que En ∩Em = φ para n 6= m com

E =⋃∞

n=1 En defina

fn =n∑

k=1

fχEk⇒ fn →

∞∑

k=1

fχEk= fχE

(4.3)

Segue da expressão acima e do Corolário 4.1 que

∫

fn =∫ n∑

k=1

fχEk=

n∑

k=1

∫

fχEk=

n∑

k=1

λ(Ek) (4.4)

Note que fn é uma sequência monótona não decrescente, pois

fn+1 =n∑

k=1

fχEk+ fχEn+1

>

n∑

k=1

fχEk= fn


Pelo Teorema da Convergência Monótona temos∫

lim fndµ = lim∫

fndµ

Mas

∫

lim fndµ =∫

fχE=∫

E

fdµ = λ(E) = λ

(

∞⋃

k=1

Ek

)

E, pela Expressão 4.4,

lim∫

fndµ = limn∑

k=1

∫

fχEk=

∞∑

k=1

∫

fχEk=

∞∑

k=1

λ(Ek)

Portanto,

λ

(

∞⋃

k=1

Ek

)

=∞∑

k=1

λ(Ek).

Dessa forma, λ(E) é uma medida.

Podemos comparar o item (iii) da demonstração deste corolá-

rio, com a Teorema 1.3, pois nos diz que podemos calcular a integral das

restrições de f em cada conjunto Ek ∈ χ da sequência (En) ∈ χ, que é

disjunta, e somá-las para obter o valor da integral da função restrita a

união desses conjuntos.

Corolário 4.3. Seja f ∈ M+(X,χ). Então f(x) = 0 em quase todo

ponto se, e somente se,∫

fdµ = 0.

Demonstração: (⇐) Suponha f ∈ M+(X,χ) e∫

fdµ = 0.

Tome a sequência de conjuntos (En) ∈ χ tais que

En ={

x ∈ X ; f(x) >1n

}

que são os conjuntos onde a função f(x) > 0, então vamos provar que

os conjuntos En tem medida nula.

Perceba que⋃∞

n=1 En = X , pois lim1n

= 0 e como f ∈ M+(X,χ)


temos que f(x) > 0 para todo x ∈ X .

Como f >1nχEn

temos que

∫

fdµ >

∫

1nχEn

dµ

Mas temos por hipótese que∫

fdµ = 0, então

0 =∫

fdµ >

∫

1nχEn

dµ =1n

∫

χEndµ

Pela Definição 4.2 temos que∫

χEndµ = µ(En), então resulta da ex-

pressão acima que

0 >1nµ(En)

Mas1n> 0, e µ(En) > 0, portanto

0 >1nµ(En) > 0

E assim, µ(En) = 0.

(⇒) Suponha f(x) = 0 em quase todo ponto. Tome o conjutno

E = {x ∈ X ; f(x) > 0}

então, como f(x) = 0 em quase todo ponto, temos que µ(E) = 0.

E defina fn = nχE, então f 6 lim inf fn, pois a sequência fn tende ao

infinito,

0 6

∫

fdµ 6

∫

(lim inf fn)dµ

Mas pelo Lema 4.3 temos que∫

(lim inf fn)dµ 6 lim inf∫

fndµ

E além disso temos∫

fndµ =∫

nχEdµ =∫

E

ndµ = 0

pois µ(E) = 0. Logo,

0 6

∫

fdµ 6 0


e, portanto,∫

fdµ = 0.

Corolário 4.4. Seja f ∈ M+(X,χ) e seja a função

λ(E) =∫

E

fdµ

definida sobre χ. Se µ(E) = 0, então λ(E) = 0.

Demonstração: Seja

λ(E) =∫

E

fdµ

e suponha µ(E) = 0. Assim,

fχE = 0 em quase todo ponto de X

pois f(x) 6= 0 apenas no conjunto E que tem medida nula. Então, pelo

Corolário 4.3, temos∫

fχEdµ = 0

Mas∫

fχEdµ =∫

E

fdµ = λ(E).

Portanto, se µ(E) = 0, então λ(E) = 0.

Corolário 4.5. Seja (fn) ∈ M+(X,χ) uma sequência monótona não

decrescente que converge em quase todo ponto de X para f ∈ M+(X,χ),

então∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Demonstração: Suponha (fn) ∈ M+(X,χ) uma sequência

monótona não decrescente e seja N ∈ χ tal que µ(N) = 0 e que fn(x) →


f(x) para cada x ∈ M = X−N . Assim, temos que fn(x)χM → f(x)χM

para todo x ∈ X . Logo, pelo Teorema da Convergência Monótona temos∫

fχMdµ = lim∫

fnχMdµ

Como µ(N) = 0 então as funções fχN = 0 e fnχN = 0 em quase todo

ponto de X , segue do Corolário 4.3 que∫

fχNdµ = 0 e∫

fnχNdµ = 0

Como X = M ∪N temos que f = fχN + fχM e fn = fnχN + fnχM ,

então∫

fdµ =∫

fχNdµ+∫

fχMdµ = lim(∫

fnχMdµ+∫

fnχNdµ

)

=

lim(∫

fnχM + fnχNdµ

)

= lim∫

fndµ.

Portanto,∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Esse corolário amplia o Teorema da Convegência Monótona,

pois nos diz que não é necessário que a sequência seja convergente para

todo x ∈ X , basta que seja convergente em quase todo ponto.

Corolário 4.6. Seja (gn) uma sequência em M+(X,χ), então

∫

(

∞∑

n=1

gn

)

dµ =∞∑

n=1

∫

gndµ.

Demonstração: Suponha (gn) uma sequência em M+(X,χ)

e defina

fn =n∑

n=1

gk

dessa forma, fn é monótona não decrescente e tal que

fn =n∑

n=1

gk →∞∑

n=1

gk = f


Então∫ ∞∑

n=1

gkdµ =∫

fdµ = lim∫

fndµ = lim∫ n∑

n=1

gkdµ = limn∑

n=1

∫

gkdµ

Portanto,∫

(

∞∑

n=1

gn

)

dµ =∞∑

n=1

∫

gndµ.

Agora que fizemos um estudo para a integral de funções men-

suráveis não negativas, podemos abordar as funções que também assu-

mem valores negativos.

4.3 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS

Definição 4.4. A coleção L = L(X,χ, µ) das funções integráveis é

formado por todas as funções f : X → R tais que∫

f+dµ < +∞ e∫

f−dµ < +∞. E definimos a integral de f relativamente a µ como∫

fdµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ

Se o conjunto E ∈ χ então definimos a integral de f relativamente a µ

como∫

E

fdµ =∫

E

f+dµ−∫

E

f−dµ

Perceba que a única condição para que exista a Integral de

Lebesgue de uma função é que a sua parte positiva e a negativa possuam

integrais finitas, enquanto a Integral de Riemann exige que a função seja

contínua em quase todo ponto.

Observação 4.1. Sejam f1, f2 ∈ M+(X,χ) tais que f = f1 − f2,∫

f1dµ < +∞ e∫

f2dµ < +∞ então∫

fdµ =∫

f1dµ−∫

f2dµ

4.3. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS 119

De fato, suponha f = f1 − f2 e sabemos que f = f+ − f−, então

f1 − f2 = f+ − f−

f1 + f− = f+ + f2

Como f1 + f− ∈ M+(X,χ) e f+ + f2 ∈ M+(X,χ) temos∫

f1 + f−dµ =∫

f+ + f2dµ

Pelo corolário 4.1 temos que∫

f1dµ+∫

f−dµ =∫

f+dµ+∫

f2dµ

Além disso, sabemos que as funções f1, f2, f+, f− possuem integrais

finitas, portanto∫

f1dµ−∫

f2dµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ

Mas pela Definição 4.4, temos que∫

f+dµ−∫

f−dµ =∫

fdµ, logo∫

fdµ =∫

f1dµ−∫

f2dµ

Lema 4.4. Se f ∈ L e λ está definido em λ : χ → R como

λ(E) =∫

E

fdµ

então λ é uma carga.

Demonstração: Suponha f ∈ L, sendo assim temos que

f = f+ − f− com∫

f+dµ < +∞ e∫

f−dµ < +∞ e temos que∫

E

fdµ =∫

E

f+dµ−∫

E

f−dµ

Pela definição de parte positiva e parte negativa de uma função, sabe-

mos que f+ef− ∈ M+(X,χ), logo, pelo Corolário 4.2,

λ1(E) =∫

E

f+dµ e λ2(E) =∫

E

f−dµ


são medidas. E temos que

λ(E) = λ1(E) − λ2(E)

Fixado isso, segue que

i. Se E = φ temos

λ(φ) = λ1(φ) − λ2(φ),

então

λ(φ) = 0, pois λ1, λ2 são medidas

ii. Seja En uma sequência disjusta de conjuntos que pertencem a χ,

então

λ

(

∞⋃

n=1

En

)

= λ1

(

∞⋃

n=1

En

)

+ λ2

(

∞⋃

n=1

En

)

Note que⋃∞

n=1 En ⊂ X , então pelo Lema 4.2, temos que

λ1

(

∞⋃

n=1

En

)

=∫

⋃

∞

n=1En

f+dµ 6

∫

f+dµ < ∞ e

λ2

(

∞⋃

n=1

En

)

=∫

⋃

∞

n=1En

f−dµ 6

∫

f−dµ < ∞

Mas λ1 e λ2 são medidas, então são enumeráveis aditivas, logo

∞∑

n=1

λ(En) =∞∑

n=1

λ1(En) −∞∑

n=1

λ2(En)

Então,∞∑

n=1

λ(En) =∞∑

n=1

λ1(En) − λ2(En)

Logo,

λ

(

∞⋃

n=1

En

)

=∞∑

n=1

λ(En)

Portanto, a função λ define uma carga.


Essa função λ é chamada de integral indefinida de f relativa-

mente a medida µ e pelo item (ii) da demonstração acima vemos que a

integral é uma função enumerável aditiva, portanto, podemos particio-

nar o conjunto X , calcular a integral em cada intervalo da partição e

somar esses valores para obtermos o valor da integral da função em X .

Teorema 4.2. Uma função f ∈ L se, e somente se, |f | ∈ L. Além

disso,∣

∣

∣

∣

∫

fdµ

∣

∣

∣

∣

6

∫

|f |dµ.

Demonstração: (⇒) Suponha f ∈ L, sabemos que f = f+ −f− e

∫

f+dµ < +∞ e∫

f−dµ < +∞. Pela Observação 2.2 temos que

|f | = f+ + f−, dessa forma temos

|f |+ = f+ + f− e |f |− = 0

Observe que, usando o Corolário 4.1,∫

|f |+dµ =∫

f+ + f−dµ =∫

f+dµ+∫

f−dµ < ∞,

pois temos uma soma finita de valores finitos. Assim, a função |f | sa-

tisfaz as condições da Definição 4.4, temos∫

|f |dµ =∫

|f |+dµ−∫

|f |−dµ

Mas∫

|f |+dµ =∫

f+ + f−dµ =∫

f+dµ+∫

f−dµ e∫

|f |−dµ =∫

0dµ = 0.

Logo∫

|f |dµ =∫

f+ + f−dµ =∫

f+dµ+∫

f−dµ

E, portanto, |f | ∈ L.

(⇐) Suponha f uma função mensurável e tal que |f | ∈ L. Como na

parte (⇒) deste Teorema, temos

|f |+ = f+ + f− e |f |− = 0


e tais que∫

f+ + f−dµ < ∞ e∫

|f |−dµ = 0

Como∫

f+ + f−dµ =∫

f+dµ+∫

f−dµ < ∞,

temos que∫

f+dµ < ∞ e∫

f−dµ < ∞

caso contrário teríamos∫

f+ + f−dµ = ∞. Pela Observação 2.2 temos

que f = f+ − f−. Desse modo f satisfaz as condições da Definição 4.4

e temos que∫

fdµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ

Portanto, f ∈ L. Além disso, temos∣

∣

∣

∣

∫

fdµ

∣

∣

∣

∣

=∣

∣

∣

∣

∫

f+dµ−∫

f−dµ

∣

∣

∣

∣

6

∣

∣

∣

∣

∫

f+dµ

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

∫

f−dµ

∣

∣

∣

∣

Mas f+ e f− são funções não negativas, então∫

f+dµ > 0 e∫

f−dµ >

0, logo∣

∣

∣

∣

∫

f+dµ

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

∫

f−dµ

∣

∣

∣

∣

=∫

f+dµ+∫

f−dµ =

∫

[

f+ + f−]

dµ =∫

|f |dµ

Portanto,∣

∣

∣

∣

∫

fdµ

∣

∣

∣

∣

6

∫

|f | dµ.

Corolário 4.7. Se f é mensurável, g é integrável e |f | 6 |g|, então f

é integrável e∫

|f |dµ 6

∫

|g|dµ.

Demonstração: Suponha f é mensurável, g é integrável com

|f | 6 |g|. Sabemos que |f | = f+ + f− ∈ M+(X,χ) e |g| ∈ M+(X,χ).

Então, pelo Lema 4.2, segue que∫

|f |dµ 6

∫

|g|dµ


Além disso, como g é integrável, então∫

|g|dµ < ∞, logo

∫

|f |dµ =∫

f+dµ+∫

f−dµ < ∞

Sendo assim,∫

f+dµ < ∞ e∫

f−dµ < ∞ logo∫

fdµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ

e, portanto, f ∈ L.

Nesse corolário, vimos uma função mensurável f tal que |f | 6|g|, com g integrável. Nesse caso, dizemos que a função f é dominada

pela função g.

Teorema 4.3. Seja α ∈ R, f, g ∈ L. Então

i. α · f ∈ L e∫

αfdµ = α

∫

fdµ.

ii. f + g ∈ L e∫

f + gdµ =∫

fdµ+∫

gdµ.

Demonstração: i. Suponha α ∈ R, f ∈ L.

Se α = 0, temos que αf = 0, então αf ∈ L.

Pelo Lema 1.2, temos que se A é um conjunto limitado e α > 0 temos

que sup(α · A) = α supA, então vamos usar esse fato abaixo.

Se α > 0, temos que

(αf)+ = sup {αf, 0} = α sup {f, 0} = αf+

(αf)− = sup {−αf, 0} = α sup {−f, 0} = αf−

Como f é integrável, temos que∫

αf+dµ < ∞ e∫

αf−dµ < ∞, então∫

αfdµ =∫

αf+dµ−∫

αf−dµ


Mas f+ e f− são não negativas, então pelo Corolário 4.1, temos∫

αfdµ = α

∫

f+dµ− α

∫

f−dµ = α

[∫

f+dµ−∫

f−dµ

]

Portanto, se α > 0, temos∫

αfdµ = α

∫

fdµ.

Se α < 0, temos que −α > 0 e assim

(αf)+ = sup {αf, 0} = sup {(−α)(−f), 0} = −α sup {−f, 0} = −αf−

(αf)− = sup {−αf, 0} = −α sup {f, 0} = −αf+

Como f é integrável, temos que∫

αf+dµ < ∞ e∫

αf−dµ < ∞, então∫

αfdµ =∫

−αf−dµ−∫

−αf+dµ

Mas f+ e f− são não negativas e −α > 0, então pelo Corolário 4.1,

temos∫

αfdµ = −α∫

f−dµ+ α

∫

f+dµ = α

[∫

f+dµ−∫

f−dµ

]

Portanto, se α < 0, temos∫

αfdµ = α

∫

fdµ.

E assim, se α ∈ R, temos que αf ∈ R e∫

αfdµ = α

∫

fdµ.

ii. Suponha f, g ∈ L. Então sabemos que∫

fdµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ < ∞∫

gdµ =∫

g+dµ−∫

g−dµ < ∞

Como f = f+ − f− e g = g+ − g−, então f + g = f+ − f− + g+ −g− = (f+ + g+) − (f− + g−). Como f, g são integráveis, então as suas

4.4. TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA 125

partes positivas e negativas possuem integrais finitas, então as funções

(f++g+) e (f−+g−) também possuem, e pela Observação 4.1 podemos

usar essas funções para encontrarmos a integral de f + g. Desse modo,

a função f + g satisfaz as condições da Definição 4.4 e temos∫

f + gdµ =∫

(f+ + g+)dµ−∫

(f− + g−)dµ

Mas as funções f+, f−, g+ e g− pertencem a M+(X,χ), então∫

(f++g+)dµ−∫

(f−+g−)dµ =∫

f+dµ+∫

g+dµ−∫

f−dµ−∫

g−dµ =

[∫

f+dµ−∫

f−dµ

]

+[∫

g+dµ−∫

g−dµ

]

Portanto, f + g ∈ L e∫

f + gdµ =∫

fdµ+∫

gdµ.

4.4 TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA

O Teorema da Convergência Dominada junto com o Teorema

de Passagem ao Limite sob o Sinal de Integral representam os resultados

mais importantes deste trabalho, pois nos mostram a maior vantagem

que uma integral tem sobre a outra.

Para demonstrar o Teorema da Convergência Dominada, vamos

precisar do seguinte fato

lim inf (−xn) = − lim sup (xn)

Pois,

lim inf(−xn) = supm

(

infn>m

(−xn))

Mas pelo Lema 1.2 temos,

supm

(

infn>m

(−xn))

= supm

(

− supn>m

xn

)

= −infm

(

supn>m

xn

)


Portanto,

lim inf(−xn) = − lim supxn

Teorema 4.4 (Teorema da Convergência Dominada). Seja (fn) : X →R uma sequência de funções em L que converge em quase todo ponto

para f : X → R mensurável. Se existe uma função g integrável tal que

|fn| < g para todo n ∈ N, então f é integrável e∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Demonstração: Suponha que (fn) : X → R convirja para

f em quase todo ponto, desse modo, pelo Corolário 2.1 temos que f

é mensurável. Sendo assim, como fn só não converge para f em um

conjunto de medida nula, vamos supor que fn(x) → f(x) para cada

x ∈ X .

Suponha também que exista uma função g integrável tal que |fn| 6 g

para todo n ∈ N, assim temos que −g 6 fn 6 g, ou seja, temos

fn + g > 0 e g − fn > 0 para todo n ∈ N.

Como |fn| 6 g e supomos fn(x) → f(x) para cada x ∈ X , então

lim |fn| 6 lim g

Mas lim |fn| = |f |, então

|f | 6 g 6 |g|

E pelo Corolário 4.7, temos que f é integrável.

Além disso, temos que fn + g > 0 para todo n é mensurável, pois

fn, g são mensuráveis e pelo Lema 2.2 a soma de funções mensuráveis

é mensurável. Sendo assim, fn + g ∈ M+(X,χ). Desse modo, vale o

Lema de Fatou∫

lim inf [fn + g]dµ 6 lim inf∫

[fn + g]dµ

Como fn(x) → f(x) temos que lim inf fn = lim fn = f e, usando o

Teorema 4.3, temos∫

fdµ+∫

gdµ 6 lim inf∫

fndµ+∫

gdµ

4.4. TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA 127

Sabendo que g é integrável, temos∫

fdµ 6 lim inf∫

fndµ.

Agora vamos provar que∫

fdµ > lim inf∫

fndµ.

Temos que g − fn > 0 é mensurável pelo Lema 2.2, então g − fn ∈M+X,χ, então pelo Lema de Fatou

∫

lim inf [g − fn] dµ 6 lim inf∫

[g − fn] dµ

Como fn(x) → f(x) temos que lim inf fn = lim fn = f e, usando o

Teorema 4.3 e sabendo que g é integrável, temos

−∫

fdµ 6 lim inf∫

−fndµ = lim inf(

−∫

fndµ

)

Mas lim inf(

−∫

fndµ)

= − lim sup(∫

fndµ)

então, temos que∫

fdµ > lim sup∫

fndµ.

Logo, temos que

lim sup∫

fndµ 6

∫

fdµ 6 lim inf∫

fndµ

Mas lim sup∫

fndµ > lim inf∫

fndµ. Portanto,

lim sup∫

fndµ =∫

fdµ = lim inf∫

fndµ

E como lim sup∫

fndµ = lim inf∫

fndµ, segue que

∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Observe que, para a Integral de Lebesgue, trocar o limite com

o sinal da integral é necessário, apenas, que a sequência de funções


integráveis fn convirja em quase todo ponto para a função f e que

todos os elementos dessa sequência sejam limitados por uma função

integrável, isto é, sejam dominados por essa função.

Exemplo 4.1. Para calcular o limite

limn→+∞

∫ +∞

0

xn

1 + xn+2dx

podemos verificar qual o limite da sequência de funçõesxn

1 + xn+2e, se

as condições do Teorema da Convergência Dominada forem satisfeitas,

aplicá-lo. (PIRES, 20??)

Como sempre temos 1 + xn+2 > 1, então

xn

1 + xn+26 xn

6 1 se 0 < x < 1

E para x > 1, temos

xn

1 + xn+26

xn

xn+2=

1x2

Assim, a sequência é dominada pela função g : [0,∞[ definida por

g(x) =

1 se 0 < x < 11x2

se x > 1

que é integrável. Além disso,

limn→+∞

xn

1 + xn+2=

1 se 0 < x < 11x2

se x > 1

Dessa forma, as condições do Teorema da Convergência Dominada es-

tão satisfeitas e, no próximo capítulo, vamos provar que a Integral de

Lebesgue é a Integral de Riemann quando tomamos a Álgebra de Borel

e a Medida de Lebesgue, então

limn→+∞

∫ +∞

0

xn

1 + xn+2dx =

∫ +∞

0

limn→+∞

xn

1 + xn+2dx

=∫ 1

0

0dx+∫ +∞

1

1x2dx = 1

129

5 A COMPARAÇÃO DAS INTE-

GRAIS

No início do Capítulo 4 deste trabalho, sugerimos que uma in-

tegral representa vantagem sobre a outra, neste capítulo iremos abordar

quais são essas vantagens. Para isso, iremos relembrar superficialmente

a construção das duas integrais. Além disso, vamos ver como uma in-

tegral pode ser vista como um caso particular da outra.

5.1 A INTEGRAL DE RIEMANN

Para construir a Integral de Riemann, inicialmente, foram defi-

nidas a Soma Superior e a Inferior de uma função f : [a, b] → R limitada

relativas a uma partição para o intervalo [a, b], e representavam uma

aproximação para a área limitada pela função. E a partir desses dois

conceitos definiram-se a Integral Inferior e a Superior como sendo∫ b

a

f(x)dx = supP

s(f ;P ) e

¯∫ b

a


A fim de que uma função limitada seja integrável segundo Ri-

emann, é necessário que

∫ b

a

f(x)dx =¯∫ b

a

f(x)dx.

Com o teoremas 1.7 e 1.8 percebemos como o conceito de conti-

nuidade para Integral de Riemann é importante. Para que uma função

seja integrável segundo Riemann é necessário e suficiente que seja con-

tínua em quase todo ponto.

130 Capítulo 5. A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS

Concluindo o estudo dessa integral, demonstramos o Teorema

de Passagem ao Limite sob o sinal de Integral que nos mostra condições

para que seja possível fazer a troca entre o sinal da integral com o limite

da seguinte forma∫ b

a

limn→+∞

fn(x)dx = limn→+∞

∫ b

a

f(x)dx.

Para isso é necessário que a sequêcia de funções integráveis fn seja

uniformemente convergente.

5.2 A INTEGRAL DE LEBESGUE

A construção da Integral de Lebesgue inicia-se com o estudos

das funções mensuráveis e de medidas. Concluído esse estudo prelimi-

nar, foi definida a integral de uma função ϕ : X → R simples, não

negativa e mensurável, como o somatório∫

ϕdµ =n∑

j=1

ajµ(Ej).

No capítulo 2, vimos que o Lema 2.5 nos garante que para qual-

quer função f : X → R mensurável, não negativa existe uma sequência

não decrescente ϕn : X → R de funções simples que converge para

a função f . Com isso, define-se a Integral de Lebesgue para funções

mensuráveis e não negativas como∫

fdµ = sup∫

ϕdµ

onde este supremo é tomado em relação a todas as funções simples ϕ

tais que 0 6 ϕ(x) 6 f(x), que nos é garantido que existe pelo lema que

acabamos de mencionar. Perceba que esta Integral que foi definida para

funções não negativas pode representar a área delimitada pela função,

no entanto é necessário que a medida µ coincida com o comprimento

dos conjuntos Ej que pertecem a σ−álgebra.

Concluído o estudo para funções não negativas, vimos que para

uma função mensurável f ser integrável segundo Lebesgue é necessário

5.3. LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN 131

que as integrais da parte positiva e da negativa sejam finitas e define-se

a integral dessa função como∫

fdµ =∫

f+dµ−∫

f−dµ.

Assim, para uma função mensurável ser Lebesgue integrável é necessá-

rio que tenha integral finita.

Finalizando o estudo da integral de Lebesgue, provamos o Te-

orema da Convergência Dominada que nos diz quando e como a troca

entre o sinal da integral e o limite pode ser feita. Nesse caso é necessá-

rio, apenas, que a sequência de funções integráveis fn seja convergente,

em quase todo ponto, e dominada por uma função integrável, o que é

mais simples do que ter convegência uniforme.

5.3 A INTEGRAL DE LEBESGUE GENERALIZA A INTE-

GRAL DE RIEMANN

Seja f : [a, b] → R uma função limitada e não negativa.

Suponha χ = B = {Ei = [ti−1, ti]; (ti−1, ti) ⊂ [a, b]} a Álgebra de Borel

para o intervalo [a, b] e seja µ(Ei) = ti − ti−1, a medida de Lebesgue.

Pelo Exemplo 2.2, sabemos que f é mensurável. Ora, a Álgebra de Borel

contém todas as partições possíveis para o intervalo [a, b]. Sabemos que

a integral de Riemann da função é dada por∫ b

a

f(x)dx = supP

s(f ;P ).

E a integral de Lebesgue é dada por∫

fdµ = supϕ

∫

ϕdµ.

Tome os conjuntos

R = {s(f ;P );P é partição} e

Q ={∫

ϕdµ;ϕ é uma função simples e 0 6 ϕ(x) 6 f(x)}

132 Capítulo 5. A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS

Suponha s(f ;P ) ∈ R, então

s(f ; p) =n∑

i=1

mi(ti − ti−1) mas (ti − ti−1) = µ(Ei), então

s(f ; p) =n∑

i=1

miµ(Ei)

Como P é uma partição então⋃n

i=1 Ei = [a, b] e assim, podemos definir

uma função

ϕ =n∑

i=1

miχEi

que é simples, pois existem apenas um número finito de intervalos na

partição P e, além disso, em cada intervalo Ei existe apenas um mi =

inf f |Ei. Como supomos f não negativa e pela definição de ínfimo,

temos que 0 6 ϕ(x) 6 f(x) para cada x ∈ [a, b]. Logo, R ⊂ Q e, assim,

supR 6 supQ.

Agora suponha∫

ϕdµ ∈ Q, então

∫

ϕdµ =n∑

i=1

aiµ(Ei) com ϕ =n∑

i=1

aiχEi

e tal que 0 6 ϕ(x) 6 f(x) para cada x ∈ [a, b].

Perceba que em cada conjunto Ei ∈ B temos que a função simples que

atinge o maior valor nesse intervalo deve coincidir com o ínfimo mi da

função em cada um desses conjuntos, pois se mi = inf f |Ei então

mi 6 f(x) para todo x ∈ Ei

Suponha que exista uma função simples ϕ tal que no intervalo Ei as-

suma o valor ai = mi + ε, então, temos que ai não é ínfimo da função

neste intervalo, assim existe algum x ∈ Ei tal que

mi < f(x) < mi + ε,

neste caso a função ϕ não satisfaz a condição de que 0 6 ϕ(x) 6 f(x)

para todo x ∈ [a, b]. Logo, a maior função em cada Ei ∈ B corresponde

5.3. LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN 133

ao ínfimo da função em cada um desses intervalos e, assim, supQ não

pode ser maior que supR.

Portanto, quando estamos trabalhando com funções limitadas, usando

Álgebra de Borel e a medida de Lebesgue temos que supR = supQ, ou

seja,∫ b

a

f(x)dx =∫

fdµ.

Observação 5.1. Para concluirmos a igualdade acima, supomos f

não negativa, mas isso vale para toda função limitada, o que pode ser

verificado facilmente usando a integral da parte positiva e da negativa,

nos apropriando de que f = f+ − f− e aplicando os teoremas 1.4 para

a Integral de Riemann e 4.3 para Integral de Lebesgue.

Agora, como sabemos que a Integral de Riemann é uma Integral

de Lebesgue podemos dizer que todo estudo feito para a segunda se

aplica a primeira, no entanto não podemos dizer o contrário. Assim,

não é necessário que uma função seja contínua em quase todo ponto

para ser integrável segundo Riemann, basta que os valores das integrais

da parte positiva e da negativa sejam finitos.

Além disso, a fim de aplicar o Teorema de Passagem ao li-

mite sob o Sinal de Integral é necessário que a sequência de funções

integráveis, segundo Riemann, seja uniformemente convergente, porém

sabemos que é suficiente que a sequência seja convergente e dominada

por uma função integrável, como nos afirma o Teorema da Convergência

Dominada.

Portanto, vemos que a teoria por trás da Integral de Riemann

não é tão forte quanto a de Lebesgue, sendo assim, a primeira teoria

precisa de muitas condições para demonstrar os resultados, enquanto a

outra é menos rigorosa em relação as funções, porém mais bem elabo-

rada.

135

CONCLUSÃO

Com esse trabalho, tinhamos por objetivo principal mostrar

que a Integral de Lebesgue possui vantagens sobre a Integral de Rie-

mann e, por fim, mostrar que esta é um caso particular daquela.

No primeiro capítulo desse trabalho, foi formalizada a integral

mais conhecida nos cursos de graduação, podendo provar que os te-

oremas vistos durante esse estágio decorrem da Definição de Integral

de Riemann. Isso pode não ter ficado claro no estudo feito durante a

graduação, principalmente, pelo fato de que o estudo desse conceito

iniciou-se com o cálculo da Função Primitiva, quando, na verdade, isso

decorre da Definição que vimos no referido capítulo. Nesse mesmo ca-

pítulo, vimos quão importante é o conceito de continuidade para essa

Integral, sendo necessário e suficiente, que uma função seja contínua

para ser integrável.

Nos dois capítulo seguintes, pudemos conhecer e estudar uma

teoria que não foi vista na graduação, no entanto é uma teoria simples

para ser compreendida, porém muito rigorosa. No Capítulo 4, baseado

no estudo feito nesses dois capítulos, foi definida e estudada a Integral

de Lebesgue. Vimos que a fim de uma função mensurável ser Lebesgue-

integrável é necessário apenas que as integrais de sua parte positiva e

da negativa sejam finitas.

No último capítulo desse trabalho as duas integrais foram com-

paradas e foi provado que tomando a Álgebra de Borel, a medida de

Lebesgue e supondo a função limitada podemos ver a Integral de Ri-

emann como uma Integral de Lebesgue, no entanto, a Integral de Le-

besgue, por adimitir funções mensuráveis segundo uma σ−álgebra e

qualquer medida definida neste conjunto, não pode ser vista como um

caso particular da primeira e sim como uma generalização. Além disso,

136 Conclusão

nos exemplos do Capítulo 2, vimos que uma função contínua, consi-

derando a Álgebra de Borel, é mensurável, e como no Capítulo 1 de-

finimos a Integral de Riemann em um intervalo compacto, é evidente

que a integral de Riemann de uma função contínua é finita, portanto é

Lebesgue-integrável.

Nesse sentido, podemos dizer que a Integral de Lebesgue é mais

vantajosa que a Integral de Riemann, pois exige menos condições para

integrabilidade de funções, especialmente, no que se refere ao processo

da troca de limite com o sinal de integral. Vimos que a Integral de

Riemann é uma Integral de Lebesgue, mas a teoria de Lebesgue é mais

forte do que a teoria de Riemann. Porém é necessário ressaltar que o

estudo da Integral de Riemann é mais acessível a cursos de graduação,

sendo a forma mais natural de calcular áreas de regiões limitadas por

funções. Sendo assim, podemos dizer que as duas integrais apresentam

vantagens, a primeira é mais natural e a segunda é mais abrangente.

137

Referências

BARTLE, R. G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure.2a. ed. New York: Wiley Classics Library, 1995. Citado 3 vezes naspáginas 75, 91 e 101.

EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino h.domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. Citado na página21.

LIMA, E. L. Análise Real - Funções de Uma Variável. 11a. ed. Rio deJaneiro: IMPA, 2012. Citado 3 vezes nas páginas 21, 141 e 143.

O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Henri léon lebesgue.Scotland, 2004. Disponível em: <www-history.mcs.st-andrews.ac.uk-/Biographies/Lebesgue.html>. Acesso em: 06 Nov, 2013. Citado napágina 101.

PIRES, G. Integrabilidade. 20?? Disponível em: <www.math.ist.utl-.pt/˜jmourao/AMIII/integra.pdf>. Acesso em: 10 Dez, 2013. Citadona página 128.

RIBEIRO, A. A.; KARAS, E. W. Otimização Contínua - Aspectosteóricos e computacionais. Curitiba: [s.n.], 2013. Citado na página 56.

Anexos

141

ANEXO A – TEOREMAS IMPOR-

TANTES

Seguem alguns teoremas importantes retirados do livro de Lima

(2012).

Teorema A.1 (Teorema de Weierstrass). Seja f : X → R contínua

no conjunto compacto X ⊂ R. Existem x0, x1 ∈ X tais que f(x0) 6

f(x) 6 f(x1) para todo x ∈ X.

Teorema A.2. Seja X ⊂ R compacto. Toda função contínua f : X →R é uniformemente contínua.

Teorema A.3 (Teorema Borel-Lebesgue). Toda cobertura aberta de

um conjunto compacto possui uma subcobertura finita.

Teorema A.4. Se f, g : I → R são funções contínuas, deriváveis no

interior de I, com f ′(x) = g′(x) para todo x que pertence ao interior

de I, então existe c ∈ R tal que g(x) = f(x) + c para todo x ∈ I.

Teorema A.5 (Teorema do Sanduíche). Sejam f, g, h : X → R, a ∈X ′ e limx→a f(x) = limx→a g(x) = L. Se f(x) 6 h(x) 6 g(x) para todo

x ∈ X − {a}, então limx→a h(x) = L.

Teorema A.6. Dada uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ ... ⊃Xn ⊃ ... de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um

número real que pertence a todos os Xn.

Teorema A.7. Toda sequência monótona limitada é convergente.

Teorema A.8. Seja f : X → R uma função monótona limitada.

Para todo a ∈ X ′+ e todo b ∈ X ′

−, existem L = limx→a+ f(x) e

M = limx→b− f(x).

142 ANEXO A. TEOREMAS IMPORTANTES

Teorema A.9. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Se f(a) <

d < f(b), então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.

143

ANEXO B – CONJUNTO DE CAN-

TOR

O procedimento para obter o Conjunto de Cantor, assim como a

demonstração de suas propriedades, podem ser encontrados de maneira

mais detalhada no livro de Lima (2012). Segue, de forma resumida,

a definição desse conjunto e suas propriedades que se encontram no

mesmo livro.

Retira-se do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto. Depois

retira-se o terço médio aberto de cada um dos intervalos restantes e

assim se repete o procedimento indefinidamente. O conjunto dos pontos

não retirados é o Conjunto de Cantor, que possui as seguintes proprie-

dades:

i. É compacto;

ii. Tem interior vazio (não contém intervalos);

iii. Não contém pontos isolados (todos seus pontos são de acumulação);

iv. É não-enumerável.

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