Hip Riemann

7/25/2019 Hip Riemann

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A Hipotese de Riemann:Um Problema de um Milhao de Dolares

Paulo Sergio C. Lino 1Abril de 2012

1 - Introducao

Figura 1: Bernhard Riemann

Em agosto de 1900, o grande matematicoDavid Hilbert inaugurou o Congresso Internacional deMatematica realizado em Paris, apresentando uma listade 23 problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dosexploradores matematicos do seculo XX. De todos osdesafios lancados por Hilbert, o oitavo tinha algo de es-pecial. Ha um mito alemao sobre Frederico Barba-Ruiva,um imperador muito querido que morreu durante a Ter-ceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda es-taria vivo, adormecido em uma caverna nas montanhasKyffhauser, e so despertaria quando a Alemanha pre-cisasse dele. Conta-se que alguem perguntou a Hilbert:E se, como Barba-Ruiva, voce pudesse acordar 500anos, o que faria?Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria:Alguem conseguiu provar a hipotese de Riemann?

Os matematicos sabem que a prova da hipotese de Riemann tera um significadomuito maior para o futuro da matematica do que saber se a equacao de Fermat temou nao tem solucoes. Este problema matematico, procura compreender os objetos maisfundamentais da matematica - os numeros primos.

A busca pela origem secreta dos primos ja dura mais de dois mil anos. Atualmente,e oferecida uma recompensa de um milhao de dolares para a solucao da hipotese deRiemann. Em 1997, Andrew Wiles recebeu 75 mil marcos por sua prova do ultimoteorema de Fermat, gracas a um premio oferecido por Paul Wolfskehl em 1908.

Durante geracoes, os matematicos estiveram obcecados pela tentativa de prever a

localizacao precisa do proximo numero primo, produzindo formulas que gerassem essesnumeros. Por exemplo, em 1772, Euler observou que a expressao p(n) =n2 +n+ 41,produz numeros primos para 0 n 39. Carl F. Gauss, teve uma ideia inovadorae deparou com uma especie de padrao ao fazer uma pergunta mais ampla buscandodescobrir a quantidade de primos entre um e um milh ao em vez de localizar os primoscom precisao. Apesar da importancia dessa descoberta, Gauss nao a revelou a ninguem,mas um de seus alunos, Riemann, foi quem realmente desatou toda a forca das harmonias

1O autor e mestre em matematica pura p ela UFSCar e articulador do blog Fatos Matematicos.

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ocultas por tras da cacofonia desses numeros.

O pai de Riemann, que era o pastor de Quickoborn, tinha muitas expectativas emrelacao ao filho. Embora Bernhard Riemann fosse infeliz na escola, trabalhava firme e

era muito dedicado a nao decepcionar seu pai. Porem, tinha de lutar contra um perfec-cionismo quase incapacitante. Schumalfuss foi quem encontrou uma maneira de animaro jovem a explorar sua obsessao pela perfeicao, oferecendo a Riemann sua biblioteca,com uma otima colecao de livros de matematica, onde o rapaz poderia escapar daspressoes sociais dos colegas. A famlia de Riemann era pobre, e o pai de Bernhardesperava que o filho tambem entrasse na vida clerical, o que lhe faria uma fonte derenda regular com a qual poderia sustentar suas irmas. A unica universidade do Reinode Hanover que oferece a catedra de teologia - a Universidade de Gottingen - nao eraum desses novos estabelecimentos, havendo sido fundada mais de um seculo antes, em1734. Assim, atendendo aos desejos de seu pai, Riemann rumou, em 1846, para a umida

Gottingen.

Em1859, George F. B. Riemann, com32anos, foi eleito para a Academia de Cienciasde Berlim. Como regra desta instituicao, os novos membros deviam fazer um relatoriosobre o assunto que estava pesquisando. O seu relatorio era curto (foi publicado com8 paginas) e tinha por ttulo Sobre a quantidade de numero primos que nao excedemuma grandeza dada. Essas oito paginas de densa matematica foram as unicas queRiemann publicou, em toda sua vida, sobre os numeros primos, mas o artigo teria umefeito fundamental sobre a maneira como eram percebidos. Escondido neste documentode oito paginas, estava declarado o problema cuja solucao possui hoje uma etiqueta como valor de um milhao de dolares: a hipotese de Riemann.

Apesar de sua relevancia, temos uma escassa literatura em lngua portuguesa sobreo assunto. O presente trabalho e uma pequena contribuicao para aqueles que tenhaminteresse, ou mesmo curiosidade a respeito da funcao zeta de Riemann, e nao tenhamacesso a literatura estrangeira.

2 - A Funcao Zeta de Euler

Figura 2: Leonhard Euler

Para compreender o problema, convem recuar a 1650,ano em que foi publicado o livro Novae quadraturae arith-meticae seu se additione fractionum, de Pietro Mengoli.E um sobre somas de series, duas das quais sao

(1) = 1 +1

2+

1

3+

1

4+. . .

e

(2) = 1 + 1

22+

1

32+

1

42+. . .

E a demonstrado que a primeira (a serie harmonica) divergee o autor levanta o problema de saber qual e a soma da se-gunda. Este problema foi novamente levantado por Jacques

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Bernoulli em1689. Tres anos mais tarde, o mesmo Jacques Bernoulli comeca a estudaras series

(s) = 1 + 1

2s+

1

3s+

1

4s+. . .

para s N {1}.Em1735, Euler provou que a soma da serie acima paras = 2e2/6e, pouco tempo

depois, mostrou que

(2n) =(2)2n

2(2n)!|B2n|, n= 1, 2, . . .

onde Bk sao os numeros de Bernoulli definidos como os coeficientes da expansao deTaylor da funcao t/(et 1), isto e,

t

et 1=

k=0

Bk

k!tk

Os primeiros numeros de Bernoulli sao

B0 = 1, B1= 12

, B2=1

6, B3= 0, B4 = 1

30, . . .

Uma questao ainda em aberto e se o mesmo e verdadeiro quando o argumento de e um inteiro positivo mpar. Por exemplo, sera que (3) e proporcional a 3?. Em1978, R. Apery provou que (3) e pelo menos irracional. Nos pontos mpares negativoso valor da funcao zeta tambem pode ser expresso em termos dos numeros de Bernoulli,

a saber(1 2n) = B2n

2n, n= 1, 2, . . .

Usando o teste da razao, vemos que se s >1 a serie

(s) =n=1

1

ns

e convergente.

Definicao 1: Sejas >1. A funcao zeta de Euler e definida por:

(s) =n=1

1

ns

A funcao zeta de Euler tambem pode ser expressa atraves de uma integral impropriadada na proposicao seguinte:

Proposicao 1: Se(s) e a funcao zeta de Euler, entao

(s) = 1

(s)

0

ts1

et

1dt

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Demonstracao: Note que sef(t) =tm,m N, entao L{tm}(p) = m!pm+1

, de modo

que:

L ts1

(s 1)!=

1

ns

de modo que

(s) =n=1

1

ns =

n=1

L

ts1

(s 1)!

=n=1

1

(s 1)! 0

entts1dt

= 1

(s)

0

ts1n=1

entdt= 1

(s)

0

ts1et

1 et dt= 1

(s)

0

ts1

et 1dt

A conexao entre a funcao zeta de Euler e os numeros primos e dado pelo seguinte

teorema:

Proposicao 2: [Produto de Euler] Ses >1, entao

n=1

1

ns =

p primo

1

1 1ps

(1)

Demonstracao: Seguindo as ideias de Euler para provar esta identidade, notamosque

1

1

x= 1 +x+x2 +. . .

para|x|


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A ultima expressao foi obtida lembrando que cada inteiron >1 e expresso de modounico como produto de potencias de diferentes primos. Alem disso, esta proposicaomostra que ha uma relacao entre a funcaode Euler e a distribuicao dos numeros primos.Usando sua funcao, Euler deduziu dois resultados importantes que apresentaremos a

seguir.

Corolario 1: [Euclides] Existem infinitos numeros primos.

Demonstracao: Se houvesse um numero finito de primos, entao o produto do segundomembro de (1) seria um produto finito e teria evidentemente um valor finito, de modoque a serie do primeiro membro tambem seria finita para todo s > 0. Entretanto, aexpressao do primeiro membro de (1) paras= 1 e a serie harmonica

1 +1

2+

1

3+. . .

que diverge pelo teste da integral. Logo, existem infinitos primos.

Na proposicao a seguir, provaremos que a serie dos inversos dos primos diverge. Masantes, veremos o lema seguinte:

Lema 1: Parax [1/2, 0), vale a desigualdade:2x 0 e f(0) = 0. Como

f(x) = 1

1 +x 2 f(x) = 1

(1 +x)2 0 parax [1/2, 0), donde segue o resultado.

Proposicao 3: A serie dos inversos dos primos diverge, ou seja:

+

n=1

1

pn=

1

2+

1

3+

1

5+

1

7+

1

11+. . .= + (2)

5


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Demonstracao: A prova de (2) e semelhante a apresentada na Prop. 2, tomandos= 1, ou seja,

1

1 12 1

1 13 1

1 15. . .

1

1 1pn=

fps pn

1

k (3)

Como todo inteiro maior que1 expressa-se de modo unico como produto de potencias deprimos diferentes, o produto das series geometricas acima representa a serie dos inversosde todos os inteiros positivos cujos fatores primos sao menores ou iguais a pn. Emparticular, vemos que

fps pn

1

k

pnk=1

1

k (4)

Substituindo (4) em (3), temos:

11 1

2

11 1

3

11 1

5

. . . 11 1

pn

pnk=1

1k

(5)

Considere agora a funcao f(x) = 1/x para x [1, pn] representada no grafico abaixo:

Temos a seguinte desigualdade para a area aproximada:

Sn= (2 1) 1 + (3 2) 12

+ (4 3) 13

+ . . .+ (pn pn+ 1) 1p n

= 1 +1

2+

1

3+. . .+

1

pn=

pnk=1

1

k>

pn1

1

xdx= lnpn

(6)

Substituindo (6) em (5), segue que

111

2

11

3

1 1

5

. . .

1 1

pn

>lnpn

1 1

2

1 1

3

11

5

. . .

1 1

pn

1. Comof(x) = 1/(x ln x)> 0, segue quef e crescente neste intervalo, de modo que lim

n+lnlnpn= +.

Observacao 1: Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a serie dos recprocos dosprimos gemeos converge. Esta serie gera o numero denominado de constante deBrun.

B2 = 1

3

+1

5+

1

5

+1

7+

1

11

+ 1

13+

1

17

+ 1

19+

1

29

+ 1

31+ 1, 9021605823

O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, aserie resultante e ainda assim convergente.

Ha outras ligacoes da funcao zeta com a Teoria dos Numeros. Por exemplo, ses >1,entao

(s)2 =n=1

d(n)

ns ,

onded(n) e o numero de divisores de n. Alem disso, se s >2, entao

(s)(s 1) =n=1

(n)

ns

onde(n) e a soma dos divisores de n.

3 - O Teorema dos Numeros Primos

Ao perceberem das limitacoes de descobrir uma formula que gerasse o enesimo

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numero primo, os matematicos voltaram-se para a estrategia de pesquisar sobre a dis-tribuicao media dos primos ao longo dos numeros naturais.

Definicao 2: Para cadax

R, definimos a funcao (x) como sendo a quantidade

de numeros primos menores ou iguais ax, ou seja:

(x) =quantidade de primos x

Figura 3: Carl F. Gauss

O matematico frances Legendre, apos um exame arduode uma tabela contendo um grande numero de primos ob-servou que aparentemente se tem

(x) xln x

(10)

querendo isto dizer que o quociente das duas funcoes tendepara1quandoxtende para+. Pela mesma altura, Gausscom apenas15ou16anos de idade tambem conjecturou quese tem (10), mas tambem fez a conjectura

(x) x2

1

ln tdt

Proposicao 4: As conjecturas de Legendre e Gauss sao equivalentes, ou seja:

limx+

xln x

x2

1

ln t

dt= 1

Demonstracao: Usando a regra de LHospital, temos:

limx+

xlnxx

21ln t

dt= lim

x+

lnx1ln2 x

1

lnx

= limx+

ln x 1ln x

= limx+

1 1

ln x

= 1

Figura 4: Graficos de (x) (vermelho), x

2 1/ ln tdt(verde), e x/ ln x(azul).

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No entanto,x2

1/ ln tdt e uma melhor aproximacao de(x)do que x/ ln xcomo sepode ver no grafico abaixo. Esta figura tambem sugere que(x) e sempre maior do quex/ ln xe que a diferenca vai aumentando a medida que x cresce. Isto levou Legendre aconjecturar, em 1800, que uma funcao que aproxima (x) ainda melhor do que x/ ln x

e x

ln x 1.08366Gauss nao publicou nada sobre este topico, o que se sabe sobre as observacoes dele

sobre o assunto vem nas suas cartas pessoais e no seu diario. No entanto, nem mesmoo grande Gauss conseguiu provar sua conjectura. Esforcos matematicos foram feitos nosentido de que em 1848, o matematico russo Chebyshev demonstrou que

0, 89 x2

1

ln tdt < (x)< 1, 11

x2

1

ln tdt

Figura 5: Matematicos que provaram a conjectura de Legendre-Gauss

Em 1896, os matematicos, Jacques Hadamard e De La Vallee Poussin, trabalhandoindependentemente e baseando-se nos escritos de Riemann, conseguiram finalmentedemonstrar que

limx+

(x)

x/ ln x= 1

Este resultado passou a ser conhecido por Teorema dos Numeros Primos.

4 - A Funcao Zeta de Riemann

Riemann estendeu a definicao da funcao Zeta de Euler para os numeros complexos.Escrevendo s= +it, temos que:

|ns| = |es lnn| = |e(+it) lnn| = |e lnn| |eit lnn| = |elnn| =n

Usando este resultado, juntamente com o testeMde Weierstrass, segue-se que a funcaozeta de Riemann dada por

n=1

1

ns

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e analtica para Re(s)> 1. Podemos estender a analiticidade de, para 1< Re(s)< 1e tambem para todo o plano complexo, exceto no ponto z = 1, onde ocorre o unicopolo da funcao , como ilustrado na figura abaixo.

Figura 6: Grafico da funcao|(s)| para s C.

A Proposicao 1, apresentada anteriormente para a funcao zeta de Euler tambem evalida para a funcao zeta de Riemann, ou seja:

Proposicao 5: Sejas C. SeRe(s)> 1, entao

(s) = 1

(s)

0

ts1

et 1 dt (11)

onde(z) e a funcao gama de Euler, definida por

(s) =

0

etts1dt

A prova desta Proposicao pode ser encontrada em [3]. A expressao (11) e conhecidapor representacao integral da funcao zeta de Riemann. Usando a Prop. 4 e possvelestender a funcao zeta de Riemann para1< Re(s)< 1, obtendo a expressao

(s) = 1

(s)

10

1

et 11

t+

1

2

ts1dt 1

2s+

1

1

et 11

t

ts1

Para maiores detalhes, consulte [3]. Alem disso, notamos um aparente problema noponto s = 0 o qual pode ser resolvido da seguinte forma: Sendo (s+ 1) = s(s),entao:

1

2s(s)=

1

2(s + 1)

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obtendo 1/2 no ponto s= 0. Portanto, a funcao esta definida e e analtica na faixa1< Re(s)< 1, com um polo simples em s= 1.

A expressao a seguir valida para s= 1 e uma relacao de fundamental importanciana teoria da funcao zeta de Riemann cuja prova pode ser encontrada em [5].

Proposicao 6: Ses C {1}, entao

(s) = 2(2)s1(1 s)(1 s) sin(s2

)

5 - A Conjectura ou Hipotese de Riemann

Figura 7: Faixa crtica

A famosa conjectura ou hipotese de Riemann estarelacionada com os zeros da funcao . Os zeros dafuncao zeta localizados em zn =2n, n = 1, 2, . . .sao chamados zeros triviais. Aquele grande matema-tico afirmou que a funcao tem infinitos zeros nafaixa 0 Re(s) 1, conhecida por faixa crtica. J.Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmacao, em1893.

Uma das mais famosas questoes em aberto daMatematica e a hipotese de Riemann sobre os zerosnao triviais da funcao zeta. A hipotese de Riemannestabelece que todos os infinitos zeros da funcao ,pertencentes a faixa crtica 0 Re(s) 1, estao so-

bre a reta Re(s) = 1/2, que e chamada de reta crtica. Desta forma, os zeros naotriviais da funcao , de acordo com a conjectura de Riemann, sao infinitos e da formas = 1/2 + i, com real. Ate o momento, nenhuma prova foi apresentada para estaconjectura. Este problema nao um tipo de problema que pode ser abordado por metodoselementares. Ja deu origem a uma extensa e complicada bibliografia.

Riemann enunciou, tambem sem provar, a seguinte formula assintotica para o numeroN(T) de zeros da faixa crtica, 0 Re(s) 1,0< Im(s) T,

N(T) = 1

2Tln T 1 + ln(2)

2 T+O(ln T)

Uma prova rigorosa desta formula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Mangoldt em1905e pode ser vista em [5]. Nove anos mais tarde, G. H. Hardy provou que existe umainfinidade de zeros sobre a retaRe(s) = 1/2. Mas, uma infinidade nao significa que saotodos. E interessante notar que se a parte real de s e igual a 1, entao a funcao deRiemann nao admite nenhum zero sobre esta linha. Para ver uma prova deste fato, veja[5].

E. C. Titchmarsh mostrou em19351936, que ha1041zeros na regiao0 Re(s) 1 e 0 < Im(s)< 1468. Todos estes zeros estao sobre a reta crtica Re(s) = 1/2. Como auxlio de supercomputadores, verificou que os primeiros 10 trilhoes de zeros estaosobre a linha crtica, sugerindo portanto, que a hipotese deve ser realmente verdadeira.

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Figura 8: Zeros da funcao zetasobre a linha crtica

Os matematicos se referem ao problema de Rie-mann como uma hipotese, e nao como uma conjec-tura, pela existencia de muitos resultados que depen-dem de sua solucao. A palavra hipotese tem uma

conotacao muito mais forte, pois representa uma pre-missa necessaria que o matematico aceita para poderconstruir uma teoria. Uma conjectura, por outrolado, representa apenas uma previsao do matematicosobre o modo como o mundo se comporta. Muitaspessoas tiveram de assumir sua incapacidade de re-solver o enigma de Riemann e decidiram adotar suaprevisao como uma hipotese de trabalho. Se alguemconseguir transformar a hipotese em teorema, todosesses resultados pendentes serao validados. (A Musica

dos Numeros Primos, pp 19).

Figura 9: (1/2 +it), para 0< t


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Riemann conjecturou que

Li(x) 12

Li(

x) 13

Li( 3

x) 15

Li( 5

x) +1

6Li( 6

x) + . . .=

n=1(n)

n Li( n

x) (12)

seria uma excelente aproximacao de(x). Empiricamente isto e plausvel; por exemplo,se n1.000.000, entao a diferenca entre (n) e a soma dos quatro primeiros termosnao nulos da serie (12) nao excede 37. Convem ressaltar que existe uma relacao diretaentre a funcao de Mobius e a funcao : se s Ce se Re(s)> 1, entao

1

(s)=

n=1

(n)

ns

6 - Problemas Relacionados

Os Condensados de Bose-Einstein

Figura 10: Condensados deBose-Einstein

Os Condensados de Bose-Einstein (BECs) sao nu-vens de atomos ultrafrios, com temperaturas proximasao zero absoluto que se comportam como um unico egigantesco objeto cujo comportamento so e conhecidocom a interpretacao quantica, pois e um objeto de na-tureza quantica.

Este fenomeno foi teorizado nos anos20por AlbertEinstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath

Bose sobre a mecanica estatstica dos Fotons (semmassa) para atomos (com massa). Einstein especulouque arrefecendo os atomos bosonicos ate temperat-

uras muito baixas os faria colapsar (ou condensar) para o mais baixo estado quanticoacessvel, resultando numa nova forma de materia.

Esta transicao ocorre abaixo de uma temperatura crtica, a qual, para um gas tridi-mensional uniforme consistindo de partculas nao-interativas e sem graus internos deliberdade aparentes, e dada por:

Tc= n

(3/2)

2/3 h2

2mkB

onde:

Tc e a temperatura crtica, na densidade da partcula, ma massa do boson, ha constante de Planck,

kB a constante de Boltzmann, e

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a funcao zeta de Riemann, sendo (3/2) 2, 6124.Sistemas Dinamicos, Caos, Probabidade e Estatstica

As estatsticas dos zeros da funcao zeta de Riemann e um assunto interessante devidoa sua ligacao com a hipotese de Riemann e com a distribucao dos numeros primos. Ospesquisadores descobriram que esta hipotese tambem esta relacionada com a teoria dematrizes aleatorias e o caos quantico. Por exemplo, M. Berry apontou que as correlacoesentre os zeros de(s) sao como as correlacoes entre os nveis de energia de um sistemaquantico caotico. Alem disso, a regularizacao da funcao zeta de Riemann e usada pararegularizar series divergentes que surgem na Teoria Quantica de Campos. Num exemplonotavel, a funcao zeta de Riemann surge explicitamente no calculo do efeito Casimir(Atracao entre duas pequenas placas metalicas que estao muito proximas entre si, daordem de varios diametros atomicos).

A Diferenca Entre Primos Gemeos

Outra questao envolvendo a hipotese de Riemann e referente aos numeros primosconsecutivos. Se pk denota o kesimo numero primo (de modo que p1 = 2, p2 =3, p3 = 5 e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabeleceque a diferenca entre dois numeros primos consecutivos,pk+1 pk, cresce na mesmavelocidadeque

pkln(pk). Mais especificamente, existe uma constante real positiva

M >0 de modo que vale a desigualdade

pk+1 pk < Mpkln(pk)

para todo k suficientemente grande. Para provar este resultado, Cramer utilizou cru-cialmente a Hipotese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princpio serfalso, caso a Hipotese tambem seja.

A Hipotese de Riemann e a Internet

Nao e facil elaborar um sistema de criptografia seguro na era dos supercomputa-dores. Contudo, os cientistas R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, desenvolveram umcriptosistema de chave publica, denominado RSA, que tem se mostrado inviolavel.Esse criptosistema depende do conhecimento matematico dos numeros primos e suas

propriedades.A pesquisa sobre a Hipotese de Riemann fornece informacoes tao preciosas, sobre opadrao dos numeros primos, que avancos nessa investigacao poderiam nos levar a umprogresso substancial nas tecnicas de fatoracao e, consequentemente, levar a quebra daseguranca na transmissao de dados via Internet.

8 - Palavras Finais

Tudo que foi comentado anteriormente explica porque a hipotese de Riemann e umaproblema em aberto tao famoso. Este problema desde de sua formulacao tem captadoa imaginacao de alguns dos maiores matematicos do mundo. Andre Weil, matematico

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ingles fascinado pela hipotese de Riemann, declarou certa vez numa entrevista que, du-rante muito tempo ficou obcecado em demonstra-la e publica-la em 1959, no centenarioda publicacao da hipotese. Mas aquele ano passou sem que ele tivesse tido sucesso.Depois, a sua ambicao ficou apenas em compreender a demonstracao quando alguem

a publicasse. Perto do fim da vida, desejava somente que a demonstracao fosse feitaenquanto ele estivesse vivo, mas nem essa ambicao foi satisfeita. Convem dizer queuma conjectura formulada por Weil sobre os zeros de certas funcoes de uma variavelcomplexa analoga a hipotese de Riemann foi demonstrada por Pierre Deligne em 1974.

Em maio de 2000, o Clay Mathematics Institute (CMI) - ONG norte-americana quedesenvolve e dissemina conhecimentos matematicos - ofereceu sete premios no valor deum milhao de dolares cada. Para receber a bolada, basta solucionar um dos problemasde matematica propostos. Mas a riqueza nao vem facil; os problemas sao consideradospor um comite de matematicos como os mais complicados e mais importantes desta areaem nossos dias. Esta lista com 7 problemas extremamentes difceis, contem a hipotese

de Riemann e conjectura de Poincare que foi resolvida pelo matematico russo GrigoryPerelmann, o qual recusou o premio de 1 milhao de dolares.

A comunidade matematica esta esperando surgir outro Grigori para solucionar oenigma de Hipotese de Riemann.

9 - Referencias Bibliograficas

[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotese-de-Riemann[2] Santos, Jose Carlos. A Hipotese de Riemann - 150 anos.[3] Aguilera-Navarro, Maria Ceclia K. et. al. A Funcao Zeta de Riemann.[4] Du Sautoy, Marcus. A Musica dos Numeros Primos: A historia de um problema

nao resolvido na matematica. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro,2007.[5]Borwein, P. et. ali. The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado andVirtuoso Alike. Springer,2007.[6] http://pt.wikipedia.org/wiki/Condensado-de-Bose-Einstein.[7] Simmons, G. F. Calculo com Geometria Analtica. Vol. 2. Ed. Makron Books,Sao Paulo, 1987.[8] Conrey, J. Brian. The Riemann Hypothesis. Notices of the AMS. Vol. 50, n. 3.[9] http://pt.wikipedia.org/wiki/Serie-dos-inversos-dos-primos

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