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Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Lucas Dantas de Oliveira

201848

A HIPÓTESE DE RIEMANN

Campinas

27 de Setembro de 2017

2

Sumário

Introdução.................................................................................... Página 3

A Função Zeta............................................................................. Página 4

A Função Gama.......................................................................... Página 6

A Representação de Gauss........................................................ Página 6

A Função Gama e a Trigonometria ............................................ Página 7

Função Beta................................................................................ Página 8

Fórmula de Duplicação de Legendre.......................................... Página 9

Equação Funcional de Riemann................................................ Página 11

Hipótese de Riemann................................................................. Página 13

Conclusão .................................................................................. Página 15

Referências Bibliográficas.......................................................... Página 16

3

Introdução:

Um dos problemas mais famosos da atualidade ainda não resolvido é a

Hipótese de Riemann a qual relaciona a função zeta aos números primos. Sua

aplicação ultrapassa a teoria dos números, chegando à análise matemática e física

teórica por exemplo. O problema ganhou destaque em 1900 quando David Hilbert o

colocou numa lista de 23 problemas os quais acreditava que moldaria a matemática do

século XX.

A Hipótese de Riemann pode ser reformulada em diversas maneiras. A mais

famosa é que os zeros não triviais da função zeta são números complexos com parte

real igual a meio. A sua importância e aplicação na teoria dos números não é algo fácil

de ser entendido apesar de a função zeta ser uma série fácil de ser entendida. Foi

calculado computacionalmente que os primeiros 10 trilhões de zeros de tal função tem

essa propriedade, porém não é suficiente para a prova. Após a resolução do Ultimo

Teorema de Fermat, a Hipótese de Riemann se tornou o problema mais famoso ainda

não resolvido.

4

A Função Zeta

A Função Zeta é definida por:

𝜁(𝑠) =∑1

𝑘𝑠

∞

1

Para 𝑠 ∈ ℂ, ℜ(𝑠) ≠ 1.

A série acima somente converge para valores de 𝑠 > 1 quando

pensamos nos números reais. Mas no plano complexo a função só não está

definida para ℜ(𝑠) = 1.

Euler foi o primeiro a colocar essa série em destaque, porém apenas

para os números reais. Ele calculou o valor para o qual a série converge para

𝑠 = 2, 3, … , 16.

Para o cálculo de 𝜁(2), primeiro ele sabia que a função seno pode ser

reescrita como a série:

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!− ⋯

sin 𝑥

𝑥= 1 −

𝑥2

3!+𝑥4

5!− ⋯(I)

Note que a função sin 𝑥 𝑥⁄ é pi-periódica e seus zeros são os números

da forma 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑘 ≠ 0. Logo a função pode ser reescrita como o produto:

sin 𝑥

𝑥= (1 −

𝑥

𝜋) (1 +

𝑥

𝜋) (1 −

𝑥

2𝜋) (1 +

𝑥

2𝜋)…

sin 𝑥

𝑥= (1 −

𝑥2

𝜋2)(1 −

𝑥2

(2𝜋)2)(1 −

𝑥2

(3𝜋)2)…

Calculando a multiplicação você encontra algo do tipo:

sin 𝑥

𝑥= 1 − x2 (∑

1

(𝑘𝜋)2

∞

1) + ⋯(II)

Comparando (𝐼) e (𝐼𝐼) obtemos:

1

𝜋2∑

1

𝑘2

∞

1=1

6

Com isso podemos concluir que:

𝜁(2) =∑1

𝑘2=𝜋2

6

∞

1

5

Apesar de encontrar esses resultados, a principal contribuição dele no estudo

da função Zeta é a Fórmula do Produto de Euler. Fazendo algumas

manipulações algébricas, obtemos que:

𝜁(𝑠) =1

1𝑠+1

2𝑠+1

3𝑠+1

4𝑠+⋯

1

2𝑠𝜁(𝑠) =

1

2𝑠+1

4𝑠+1

6𝑠+1

8𝑠+⋯

𝜁(𝑠) −1

2𝑠𝜁(𝑠) = (1 −

1

2𝑠) 𝜁(𝑠) =

1

1𝑠+1

3𝑠+1

5𝑠+1

7𝑠+⋯

Fazendo o procedimento para o próximo número primo, obtemos:

(1 −1

2𝑠) 𝜁(𝑠) −

1

3𝑠(1 −

1

2𝑠) 𝜁(𝑠) =

(1 −1

3𝑠) (1 −

1

2𝑠) 𝜁(𝑠) =

1

1𝑠+1

5𝑠+1

7𝑠+⋯

Assim, podemos obter recursivamente que fazendo tal procedimento para

todos os primos, obtemos:

𝜁(𝑠) (1 −1

2𝑠) (1 −

1

3𝑠)… = 1

𝜁(𝑠) =1

(1 −12𝑠) (1 −

13𝑠)…

Seja 𝑝𝑖 o i-ésimo número primo, com isso a função Zeta pode ser reescrita

como:

𝜁(𝑠) =∏(1 −1

𝑝𝑖𝑠)

−1

, ∀ 𝑠 ℂ / ℜ(𝑠) > 1

𝑖=1

Esse resultado já mostra que há alguma relação entre os números primos e a

função Zeta.

Observe que a função zeta é definida a partir de uma p-série, para

qualquer valor de ℜ(𝑠) ≤ 1 faria com que a série divergisse. A Função Zeta de

Riemann é a expansão analítica desta série para todo o plano complexo exceto

para o ponto 𝑠 = 1. Para tal feito escreva:

𝜂(𝑠) = ∑(−1)𝑘+1

𝑘𝑠

∞

𝑘=1

6

A função 𝜂(𝑠) converge para todo 𝑠 > 0

𝜁(𝑠) − 𝜂(𝑠) = 2∑1

(2𝑘)𝑠= 21−𝑠𝜁(𝑠)

∞

𝑘=1

𝜁(𝑠) = 𝜂(𝑠)

1 − 21−𝑠

Agora a função Zeta está definida para 0 < ℜ(𝑠) < 1.

A Função Gama

A Função Gama é a extensão analítica da função vetorial para os complexos.

Para isso ela tem que seguir a propriedade que:

𝛤(𝑠 + 1) = 𝑠𝛤(𝑠), 𝛤(1) = 0! = 1

Pois se s for um inteiro positivo então recursivamente teríamos que 𝛤(𝑠 + 1) =

𝑠!

Para encontrar essa função, primeiro note que:

∫ 𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =0!

𝑡

∞

0

=1

𝑡

∫ 𝑥𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =1!

𝑡2

∞

0

=1

𝑡2

⋮

∫ 𝑥𝑠𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =𝑠!

𝑡𝑠+1

∞

0

Quando 𝑡 = 1 e 𝑠 é um inteiro positivo

∫ 𝑥𝑠𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑠!∞

0

Com isso fica definido que Para 𝑠 ∈ ℂ, ℜ(𝑠) > 0

𝛤(𝑠) = ∫ 𝑥𝑠−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

A Representação de Gauss

Sabemos que 𝑒−𝑥 = lim𝑛→∞

(1 −𝑥

𝑛)𝑛

, então:

7

𝛤(𝑠) = ∫ 𝑥𝑠−1 lim𝑛→∞

(1 −𝑥

𝑛)𝑛

𝑑𝑥∞

0

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

∫ 𝑥𝑠−1 (1 −𝑥

𝑛)𝑛

𝑑𝑥𝑛

0

Integrando por partes obtemos:

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

[1

𝑠𝑥𝑠 (1 −

𝑥

𝑛)𝑛

]0

𝑛

−∫1

𝑠𝑥𝑠𝑛 (−

1

𝑛) (1 −

𝑥

𝑛)𝑛−1

𝑑𝑥𝑛

0

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

𝑛

𝑠 𝑛∫ 𝑥𝑠 (1 −

𝑥

𝑛)𝑛−1

𝑑𝑥𝑛

0

Recursivamente, conseguimos chegar a:

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

𝑛

𝑠 𝑛∫ 𝑥𝑠 (1 −

𝑥

𝑛)𝑛−1

𝑑𝑥𝑛

0

⋮

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

𝑛

𝑠. 𝑛. 𝑛 − 1

(𝑠 + 1)𝑛. 𝑛 − 2

(𝑠 + 2)𝑛…

1

(𝑠 + 𝑛 − 1)𝑛∫ 𝑥𝑠+𝑛−1𝑑𝑥𝑛

0

𝛤(𝑠) = lim 𝑛→∞

𝑛

𝑠. 𝑛. 𝑛 − 1

(𝑠 + 1)𝑛. 𝑛 − 2

(𝑠 + 2)𝑛…

1

(𝑠 + 𝑛 − 1)𝑛. [𝑥𝑠+𝑛

(𝑠 + 𝑛)]0

𝑛

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

(𝑛𝑠

𝑠∏

𝑖

(𝑠 + 𝑖)

𝑛

𝑖=1

)

A Função Gama e a Trigonometria

Fazemos uma pequena manipulação algébrica no produto e chegamos a:

𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞

(𝑛𝑠

𝑠∏

1

(𝑠 𝑖⁄ + 1)

𝑛

𝑖=1

)

Com isso ao aplicamos a função Gama em −𝑠

𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞

(−𝑛−𝑠

𝑠∏

1

(−𝑠 𝑖⁄ + 1)

𝑛

𝑖=1

)

O produto destes dois resultados nos oferece:

𝛤(𝑠)𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞

(−1

𝑠2∏

1

1− (𝑠𝑖)2

𝑛

𝑖=1

)

8

𝛤(𝑠)(−𝑠)𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞

(1

𝑠∏

1

1 − (𝑠𝑖)2

𝑛

𝑖=1

)

Pela definição inicial da função Gama, chegamos a:

𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) = lim𝑛→∞

(1

𝑠∏

1

1 − (𝑠𝑖)2

𝑛

𝑖=1

)

Nós vimos que

sin 𝑥

𝑥= (1 −

𝑥2

𝜋2)(1 −

𝑥2

(2𝜋)2)(1 −

𝑥2

(3𝜋)2)… =∏[1 − (

𝑥

𝑖𝜋)2

]

∞

𝑖=1

Seja 𝑥 = 𝜋𝑠:

sin(𝜋𝑠)

𝜋𝑠=∏[1 − (

𝑠

𝑖)2

]

∞

𝑖=1

A Partir disso concluímos:

𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =1

𝑠∏

1

1 − (𝑠𝑖)2

∞

𝑖=1

=𝜋

sin(𝜋𝑠)

E, portanto:

𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =𝜋

sin(𝜋𝑠)

Função Beta

Esta função é útil em Cálculo, Análise e Estatística. No nosso caso vamos

defini-la para ajudar a provar outras coisas. O produto de Funções Gama em

dois pontos nos oferece:

𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2) = ∫ 𝑥𝑠1−1𝑒−𝑥𝑑𝑥 .∫ 𝑦𝑠2−1𝑒−𝑦𝑑𝑦∞

0

∞

0

Substituindo os valores obtemos:

𝑥 = 𝑢2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢

𝑦 = 𝑣2 ⟹ 𝑑𝑦 = 2𝑣𝑑𝑣

9

4∫ 𝑢2𝑠1−1𝑒−𝑢2𝑑𝑢

∞

0

. ∫ 𝑣2𝑠2−1𝑒−𝑣2𝑑𝑣

∞

0

Como os valores independem entre si nas integrais, podemos juntá-las numa

integral dupla:

4∫ ∫ 𝑢2𝑠1−1𝑣2𝑠2−1∞

0

∞

0

𝑒−(𝑢2+𝑣2)𝑑𝑢 𝑑𝑣

Fazemos a substituição por coordenadas polar:

𝑢 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑑𝑢𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

4∫ (∫ (cos 𝜃)2𝑠2−1(sin 𝜃) 2𝑠1−1 𝑑𝜃

𝜋2

0

) 𝑟2𝑠1+2𝑠2−2𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟

∞

0

Separamos as integrais e depois fazemos as substituições indicadas:

∫ (𝑟2)𝑠1+𝑠2−1𝑒−𝑟22𝑟𝑑𝑟 .2∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃

𝜋2

0

∞

0

𝑟2 = 𝑣 ⟹ 2𝑟𝑑𝑟 = 𝑑𝑣

∫ (𝑣)𝑠1+𝑠2−1𝑒−𝑢𝑑𝑣 .2∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃

𝜋2

0

∞

0

Observe que a primeira integral é a função Gama aplicada no ponto 𝑠1 + 𝑠2:

𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2) = 𝛤(𝑠1 + 𝑠2)∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃

𝜋2

0

𝑢 = sin2 𝜃 ⟹𝑑𝑢 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃

Segue então a definição da Função Beta:

𝐵(𝑠1, 𝑠2) =𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2)

𝛤(𝑠1 + 𝑠2)= ∫ (𝑢)𝑠2−1(1 − 𝑢)𝑠1−1𝑑𝑢

1

0

Fórmula de Duplicação de Legendre

Aplicando a Função Beta em dois pontos coincidentes, obtemos:

𝐵(𝑠, 𝑠) =𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)

𝛤(2𝑠)= ∫ (𝑢)𝑠−1(1 − 𝑢)𝑠−1𝑑𝑢

1

0

10

Substituímos:

𝑢 =1 + 𝑥

2 ⟹ 𝑑𝑢 =

1

2𝑑𝑥

𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)

𝛤(2𝑠)=1

2∫ (

1 + 𝑥

2)𝑠−1

(1 − 𝑥

2)𝑠−1

𝑑𝑥1

−1

𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)

𝛤(2𝑠)= ∫

1

22𝑠−1(1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥

1

−1

22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠)∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥1

−1

Como a função (1 − 𝑥2)𝑠−1 é uma função par então podemos trocar o intervalo

de integração, obtendo:

22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠). 2∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥1

0

Observe que ao aplicar a Função Beta em 1

2 e 𝑠, a função toma a forma de:

𝐵 (1

2, 𝑠) = 2∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥

1

0

Que aparece na equação anterior a esta. Substituindo, obtemos:

22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠)𝐵 (1

2, 𝑠)

Substituímos a função Beta pela fórmula que obtém as funções Gama:

22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠).𝛤 (12) 𝛤

(𝑠)

𝛤 (𝑠 +12)

Isolamos o 𝛤(2𝑠) obtemos a Fórmula de Duplicação de Legendre:

𝛤(2𝑠) =22𝑠−1

√𝜋 𝛤(𝑠) 𝛤 (𝑠 +

1

2)

11

Equação Funcional de Riemann

Chamaremos 𝜋−𝑠

2𝛤 (𝑠

2) 𝜁(𝑠) de 𝜉(𝑠). Sabemos que:

𝛤 (𝑠

2) = ∫ 𝑡

𝑠2−1𝑒−𝑡𝑑𝑡

∞

0

Ao substituirmos 𝑡 por 𝜋𝑛2𝑥, obtemos:

𝛤 (𝑠

2) = ∫ 𝜋

𝑠2 𝑛𝑠𝑥

𝑠2−1𝑒−𝜋𝑛

2𝑥𝑑𝑥∞

0

Tirando da integral o que não é variável e ajeitando a equação, obtemos:

𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (

𝑠

2)1

𝑛𝑠 = ∫ 𝑥

𝑠2−1𝑒−𝜋𝑛

2𝑥𝑑𝑥∞

0

Fazendo a soma de todos os n de 1 a infinito obtemos:

𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (

𝑠

2)∑

1

𝑛𝑠

∞

1

= ∫ 𝑥𝑠2−1∑𝑒−𝜋𝑛

2𝑥

∞

𝑛=1

𝑑𝑥∞

0

Com isso obtemos:

𝜉(𝑠): = 𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (

𝑠

2) 𝜁(𝑠) = ∫ 𝑥

𝑠2−1∑𝑒−𝜋𝑛

2𝑥

∞

𝑛=1

𝑑𝑥∞

0

Introduziremos duas nova funções, a 𝜗(𝑥), a Teta de Jacobi e 𝜓(𝑥), a Função

Psi que é a derivada logarítmica da função gama, ou seja: 𝜓(𝑥) = 𝛤′(𝑠) 𝛤(𝑠)⁄ ,

mas não vamos nos aprofundar nessas funções aqui.

𝜗(𝑥) =∑𝑒−𝜋𝑛2𝑥 = 1 +

𝑛𝜖ℤ

2∑ 𝑒−𝜋𝑛2𝑥

∞

𝑛=1

= 1 + 2𝜓(𝑥)

𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (

𝑠

2) 𝜁(𝑠) = ∫ 𝑥

𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

0

= ∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

1

+∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

1

0

(𝐼𝐼𝐼)

A Função Teta de Jacobi possui a seguinte propriedade (que não será

demonstrada por usar ferramentas sofisticadas da analise complexa) :

𝜗(𝑥) =1

√𝑥𝜗 (1

𝑥) ⟹ 2𝜓(𝑥) + 1 =

1

√𝑥(2𝜓 (

1

𝑥) + 1 )

𝜓(𝑥) =1

√𝑥𝜓 (

1

𝑥) +

1

2√𝑥−1

2

A partir disso vamos resolver:

12

∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

1

0

=

∫ 𝑥𝑠2−1 (

1

√𝑥𝜓 (

1

𝑥) +

1

2√𝑥−1

2)𝑑𝑥

1

0

=

∫ 𝑥𝑠2−32𝜓(

1

𝑥) 𝑑𝑥 + ∫

1

2(𝑥

𝑠2−32 − 𝑥

𝑠2−1)

1

0

𝑑𝑥 =1

0

∫ 𝑥𝑠2−32𝜓(

1

𝑥) 𝑑𝑥 +

1

𝑠(𝑠 − 1)

1

0

=

Fazemos a substituição de 𝑥 =1

𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 = −

1

𝑥2𝑑𝑥. Com isso, temos:

−∫ (1

𝑥)

𝑠2−32𝜓(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥2+

1

𝑠(𝑠 − 1)

1

∞

=

∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

1

0

= ∫ (1

𝑥)

𝑠2−32𝜓(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥2+

1

𝑠(𝑠 − 1)

∞

1

(𝐼𝑉)

Por (III) e (IV) obtemos:

∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

0

= ∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

1

+∫ (1

𝑥)

𝑠2−12𝜓(𝑥)𝑑𝑥 +

1

𝑠(𝑠 − 1)

∞

1

∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

0

= ∫ (𝑥𝑠2−1 + 𝑥−

𝑠2−12)𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

1

+1

𝑠(𝑠 − 1)

∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥

∞

0

= ∫ (𝑥𝑠2 + 𝑥

1−𝑠2 )

𝜓(𝑥)

𝑥𝑑𝑥

∞

1

−1

𝑠(1 − 𝑠)

Ou seja:

𝜋−𝑠2𝛤 (

𝑠

2) 𝜁(𝑠) = ∫ (𝑥

𝑠2 + 𝑥

1−𝑠2 )

𝜓(𝑥)

𝑥𝑑𝑥

∞

1

−1

𝑠(1 − 𝑠)

Note que ao substituir 𝑠 por 1 − 𝑠 obtemos:

𝜋−1−𝑠2 𝛤 (

1 − 𝑠

2) 𝜁(1 − 𝑠) = ∫ (𝑥

1−𝑠2 + 𝑥

𝑠2)𝜓(𝑥)

𝑥𝑑𝑥

∞

1

−1

(1 − 𝑠)𝑠

Ou seja, continuamos tendo a mesma coisa com isso obtém que:

𝜋−1−𝑠2 𝛤 (

1 − 𝑠

2) 𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−

𝑠2𝛤 (

𝑠

2) 𝜁(𝑠)

𝜉(𝑠) = 𝜉(1 − 𝑠)

13

Isso mostra que existe uma simetria de 𝜉(𝑠) no eixo 𝑠 =1

2.

A partir disto temos

𝜉 (1

2+ 𝑖𝑡) = 𝜉 (

1

2− 𝑖𝑡)

Aplicando a Fórmula de Duplicação de Legendre no ponto 𝑠

2 obtemos:

𝛤(𝑠) =2𝑠−1

√𝜋 𝛤 (

𝑠

2) 𝛤 (

𝑠 + 1

2)

Na expressão 𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =𝜋

sin(𝜋𝑠) , vemos que para

𝑠+1

2, temos:

𝛤 (𝑠 + 1

2)𝛤 (1 −

𝑠 + 1

2) =

𝜋

sin (𝜋𝑠2 +

𝜋2)

𝛤 (𝑠 + 1

2)𝛤 (

1 − 𝑠

2) =

𝜋

cos (𝜋𝑠2 )

Como 𝜉(𝑠) = 𝜉(1 − 𝑠) ⟹ 𝛤 (𝑠+1

2) 𝜉(𝑠) = 𝛤 (

𝑠+1

2) 𝜉(1 − 𝑠), logo:

𝜋−1−𝑠2 𝛤 (

𝑠 + 1

2)𝛤 (

1 − 𝑠

2) 𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−

𝑠2𝛤 (

𝑠 + 1

2)𝛤 (

𝑠

2) 𝜁(𝑠)

Substituindo 𝛤 (𝑠+1

2)𝛤 (

1−𝑠

2) da primeira parcela por 𝜋sec (

𝜋𝑠

2) e 𝛤 (

𝑠+1

2) 𝛤 (

𝑠

2) da

segunda por 𝛤(𝑠)√𝜋. 21−𝑠, teremos:

𝜋−1−𝑠2 𝛤(𝑠)

√𝜋

2𝑠−1𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−

𝑠2𝜁(𝑠)

𝜋

cos (𝜋𝑠2 )

𝜁(1 − 𝑠) =2

(2𝜋)𝑠cos (

𝜋𝑠

2)𝛤(𝑠)𝜁(𝑠)

Fazemos esta substituição 1 − 𝑠 → 𝑠 e agora possuímos outra maneira de

escrever a Equação Funcional de Riemann:

𝜁(𝑠) = 2𝑠𝜋𝑠−1 sen (𝜋𝑠

2)𝛤(1 − 𝑠)𝜁(1 − 𝑠)

Com esta forma podemos ver facilmente os zeros triviais da Função Zeta que

são quando 𝑠 = −2𝑘 , ∀𝑘 ∈ ℕ, pois é quando 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑠

2) = 0.

14

Com tudo isso, temos finalmente a função Zeta:

𝜁(𝑠) =

{

∑

1

𝑛2= ∏

𝑝𝑠

𝑝𝑠 − 1𝑝 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

, ℜ(𝑠) > 1

∞

𝑛=1

(1 − 21−𝑠)−1∑(−1)𝑘+1

𝑘𝑠

∞

𝑘=1

, 0 < ℜ(𝑠) < 1

2𝑠𝜋𝑠−1 sen (𝜋𝑠

2)𝛤(1 − 𝑠)𝜁(1 − 𝑠) , ℜ(𝑠) < 0

Hipótese de Riemann

Riemann conjecturou que os zeros não triviais da função zeta estão sobre a

reta ℜ(𝑠) =1

2. Ele também conjecturou que:

𝜉(𝑠) = 𝑒𝐴+𝐵𝑠∏(1−𝑠

𝜌)

𝜌

𝑒𝑠𝜌

Onde 𝐴 e 𝐵 são constantes aleatórias e 𝜌 é são os zeros não triviais da Função

Zeta.

15

Conclusão

Sempre que se escuta falar sobre a hipótese de Riemann nos vem à

mente a distribuição dos números primos e Teoria dos Números, todavia sua

aplicação a essas áreas não é evidente, uma vez que ela utiliza de muitos

recursos analíticos e algébricos para a obtenção da função Zeta. A veracidade

da Hipótese de Riemann não terá uma influencia direta a criptografia, mas há

várias conjecturas que baseiam seu cálculo nela, como por exemplo, o cálculo

da estimativa de erro do teorema dos números primos.

16

Referências Bibliográficas

BORWEIN, Peter., et al. The Riemann Hypothesis A Resource for the

Afficionado and Virtuoso Alike, Nova York, Springer-Verlag, 2008

MRYOUMATH. Gamma Function. Disponível em:

<https://www.youtube.com/playlist?list=PL3E4136E122545FBE> Acesso em:

25 set. 2017.

ZANELLA, Lucas. Função gama. Disponível em:

<http://lucaszanella.com/pt/artigos/mat/gama> Acesso em: 25 set. 2017.

SINGINGBANANA. The Riemann Hypothesis. Disponível em:

<https://www.youtube.com/watch?v=rGo2hsoJSbo&t=307s> Acesso em: 22

set. 2017

Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function."

From MathWorld-A Wolfram Web Disponível em:

<http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html> Acesso em: 22

set. 2017

MRYOUMATH . Riemann Zeta Function - For Beginners.Disponível em:

<https://www.youtube.com/playlist?list=PL32446FDD4DA932C9> Acesso em:

24 set. 2017

Weisstein, Eric W. "Digamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web

Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html>

Acesso em: 24 set. 2017