Integral de Riemann - Inicio · i 1) = n i=1 m i x i ... La evidencia anterior de que las sumas de Riemann y las sumas inferiores y superiores tienen una relaci on muy estrecha,

148 – Matematicas 1 : Calculo integral en R

Capıtulo 10

Integral de RiemannLa teorıa de la Integral de Riemann o Integral Definida, como tambien se denomina en contraposicion con elcalculo de primitivas o busqueda de “antiderivadas”, tiene su origen en el uso practico de la integral y es conuna aplicacion como se introduce y motiva su construccion. No es hasta que se obtienen los teoremas clave quepuede relacionarse esta integral con las primitivas.

Las funciones implicadas en ello deben cumplir dos preceptos para poder construir estas integrales: tenerun dominio acotado (o estar restringidas a uno) y ser funciones acotadas es ese dominio. Si una de las dosreglas se incumple no podremos hablar de integrales en el sentido que vamos a construir, y diremos de ellas queson integrales impropias y las trataremos sucintamente en la ultima seccion del tema.

10.1 Sumas inferiores y superiores

10.1.1 Particiones de un intervalo

Definicion 273.- Se llama particion de un intervalo [a, b] a un conjunto finito de puntos P = {x0, x1, . . . , xn}tales que a = x0 < x1 < · · · < xn = b . Una particion divide al intervalo en intervalos mas pequenos, es decir,

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b] =n∪i=1

[xi−1, xi]

La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi = xi − xi−1 .

Denotaremos por P[a, b] al conjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b] . Considerando en elconjunto la relacion de orden de inclusion, diremos que P2 es mas fina que P1 , si P1 ⊆ P2 .

Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quizas alguno mas, cada subintervalo obtenido con P2 estacontenido en alguno de los dados por P1 , es decir, la particion dada por P2 es mas fina que la dada por P1 .

Ejemplo En [0, 1], P ={

0, 14 ,

24 ,

34 , 1}

es una particion de [0, 1], que lo “parte” en 4 trozos [0, 1] =

[0, 14 ]∪ [ 1

4 ,24 ]∪ [ 2

4 ,34 ]∪ [ 3

4 , 1], de igual longitud ∆xi = 14 , para i = 1, 2, 3, 4. La particion P1 =

{0, 1

4 ,13 ,

24 ,

34 , 1}

es mas fina que P y la particion P2 ={

0, 24 , 1}

es menos fina que P . Es decir, P2 ⊆ P ⊆ P1 .

En [a, b] , la particion P ={a, a + b−a

n , a + 2(b−a)n , . . . , a + (n−1)(b−a)

n , b}

divide al intervalo [a, b] en n

subintervalos de longitud b−an : [a, b] =

n∪k=1

[a+ (k−1)(b−a)

n , a+ k(b−a)n

]. 4

10.1.2 Sumas inferiores y superiores

Definicion 274.- Sea f : [a, b] −→ R acotada y P ∈ P[a, b] . En cada [xi−1, xi] , considemos el inferior y el

superior de f en el: mi = inf{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi

}y Mi = sup

{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]

}.

Llamarenos suma inferior de f para la particion P al valor L(f, P ) =n∑i=1

mi(xi − xi−1) =n∑i=1

mi ∆xi

y llamaremos suma superior de f para la particion P a U(f, P ) =n∑i=1

Mi(xi − xi−1) =n∑i=1

Mi ∆xi.

Si la funcion es positiva, una suma inferior significa una cota pordefecto del valor del area que encierra la funcion con el eje deabcisas (suma de areas de rectangulos de base ∆xi y altura mi ),y una suma superior una cota por exceso del valor del area. Enla figura de la derecha, la suma inferior es el area de la zonagris oscuro y la suma superior el de dicha zona mas las areasde los rectangulos superiores. Puede observarse como en cadaintervalo la curva, y por tanto, el area que encierra, esta entreambos valores.

a b

m

M

Prof: Jose Antonio Abia Vian Grado de Ing. Electronica Industrial y Automatica : Curso 2017–2018

149 – Matematicas 1 : Calculo integral en R 10.2 Integral de una funcion real de variable real

Ejemplo 275 Si tomamos f : [0, 1] −→ R donde f(x) = 2x , y la particion P ={

0, 13 ,

23 , 1}

, se tiene que

[0, 1] = [0, 13 ] ∪ [ 1

3 ,23 ] ∪ [ 2

3 , 1] y que ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 13 . Luego

m1 = inf{2x : x ∈ [0, 13 ]} = 0 M1 = sup{2x : x ∈ [0, 1

3 ]} = 23

m2 = inf{2x : x ∈ [ 13 ,

23 ]} = 2

3 M2 = sup{2x : x ∈ [ 13 ,

23 ]} = 4

3

m3 = inf{2x : x ∈ [ 23 , 1]} = 4

3 M3 = sup{2x : x ∈ [ 23 , 1]} = 2

L(f, P ) = 0 · 13 + 2

3 ·13 + 4

3 ·13 = 2

3 U(f, P ) = 23 ·

13 + 4

3 ·13 + 2 · 1

3 = 43

Como el area encerrada por la funcion es 1 (es el area de un triangulo de altura 2 y base 1), se verifica queL(f, P ) = 2

3 ≤ 1 ≤ 43 = U(f, P ). 4

Propiedades 276.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada.

a) Para toda P ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f, P ).

b) Para todas P1, P2 ∈ P[a, b] con P1 ⊆ P2 , se verifica que

L(f, P1) ≤ L(f, P2) y U(f, P2) ≤ U(f, P1).

c) Para cualesquiera P,Q ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f,Q). .

De las propiedades a) y b) anteriores, es facil deducir que L(f, P1) ≤ L(f, P2) ≤ U(f, P2) ≤ U(f, P1),por lo que resulta evidente el siguiente corolario

Corolario 277.- Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada y P0 ∈ P[a, b] . Entonces, para toda P ∈ P[a, b] conP0 ⊆ P , se verifica que

0 ≤ U(f, P )− L(f, P ) ≤ U(f, P0)− L(f, P0)

10.2 Integral de una funcion real de variable real

Si tomamdo particiones mas finas las sumas inferiores van en aumento y las superiores en disminucion esrazonable desear que acaben encontrandose (cuando las sumas inferiores y superiores significan cotas por defectoy exceso del area encerrado, encontrarse significa precisamente el valor exacto de dicho area).

Pero para formalizar estos deseos con construcciones matematicas solidas, necesitamos expresar de maneramas rigurosa la situacion que describimos:

Si f : [a, b] −→ R esta acotada, los conjuntos de numeros reales

A ={L(f, P ) : P ∈ P[a, b]

}y B =

{U(f, P ) : P ∈ P[a, b]

}son no vacıos y, por la propiedad c) de 276, el conjunto A esta acotado superiormente (cualquier suma superiores cota superior de A) y el conjunto B esta acotado inferiormente (cualquier suma inferior es cota inferior deB ). En consecuencia, el conjunto de las suma inferiores tiene un extremo superior, que llamaremos integralinferior, I , y el conjunto de las sumas superiores tiene un extremo inferor, que llamaremos integral superior,I , y se cumple

supA = sup{L(f, P ) : P ∈ P[a, b]

}= I ≤ I = inf

{U(f, P ) : P ∈ P[a, b]

}= inf B

Lo que nos lleva a la siguiente definicion

Definicion 278.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada. Se dice que f es integrable si y solo si I = I .El valor I = I = I , se denomina integral de Riemann de la funcion f en [a, b] , y se representa por

I =

∫ b

a

f o I =

∫ b

a

f(x) dx (si se quiere poner enfasis en la variable usada)

Teorema 279.- (Condicion de integrabilidad de Riemann)Una funcion f : [a, b] −→ R acotada es integrable Riemann si, y solo si, para todo ε > 0 existe una particionPε ∈ P[a, b] tal que

U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε .



Propiedades 280.- Sean f, g: [a, b] −→ R integrables en [a, b] , λ ∈ R y a < c < b . Entonces

1.- f + g es integrable en [a, b] y

∫ b

a

(f + g) =

∫ b

a

f +

∫ b

a

g .

2.- λf es integrable en [a, b] y

∫ b

a

λf = λ

∫ b

a

f .

3.- f integrable en [a, b] si, y solo si, f es integrable en [a, c] y [c, b] .

En ese caso,

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f . .

Definicion 281.- Por convenio,

∫ a

a

f(x) dx = 0;

∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx .

Como consecuencia de esta definicion la propiedad (3) puede generalizarse a cualquier c ∈ R , siempre quela funcion sea integrable en los intervalos correspondientes, es decir:

Proposicion 282.- Sea [a, b] ⊂ R y c ∈ R . Entonces

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx,

siempre que las integrales existan (es decir, que f sea integrable en los intervalos correspondientes)

Demostracion:Sea a ≤ b ≤ c (analogamente si c ≤ a ≤ b). Si f es integrable en [a, c] , por la propiedad (3),∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx,

luego ∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx−∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

10.2.1 Sumas de Riemann∗

Antes de seguir, un pequeno inciso que comentaremos una vez veamos la siguiente definicion

Definicion 283.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada. Para cada particion P ∈ P[a, b] elijamos un conjuntoE = {e1, e2, . . . , en} tal que ei ∈ [xi−1, xi] para todo i = 1, . . . , n . Se llama suma de Riemann de la funcionf para la particion P y el conjunto E al numero

S(f, P,E) =

n∑i=1

f(ei)∆xi.

Observacion: Es claro que para cualquier particion P ycualquier conjunto E elegido en ella, se verifica que

L(f, P ) ≤ S(f, P,E) ≤ U(f, P ),

pues en cada uno de los subintervalos [xi−1, xi] , se cumple quemi ≤ f(ei) ≤Mi para cualquier elemento ei ∈ [xi−1, xi] queelijamos. La evidencia anterior de que las sumas de Riemanny las sumas inferiores y superiores tienen una relacion muyestrecha, se hace notoria en la prueba de las condiciones deintegrabilidad que aborda el resultado siguiente:

Mi

f(ei)

mi

Fig. 10.1 Sumas de Riemann

Proposicion 284.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada. Entonces f es integrable en [a, b] y el valor desu integral es I si y solo si para cada ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P mas fina, Pε ⊆ P , ycualquier eleccion del conjunto E asociado a P se cumple que |S(f, P,E)− I| < ε . .



Este resultado nos indica que podemos definir la integral tanto con las sumas superiores e inferiores como conestas sumas de Riemann, y de manera bastante analoga. Sin embargo es mucho mas intuitiva la construccionpropuesta por Darboux que nosotros hemos hecho, que la construccion de Riemann asumiendo que el “parecido”de las sumas de Riemann con el area deben llevar necesariamente a la integracion.

No obstante, la construccion de Riemann es previa a la de Darboux y es de ella de quien deriva la notacion

usada: den∑i=1

f(ei)∆xi pasamos a

∫ b

a

f(x) dx si pensamos en que al final “dividimos” el intervalo en

trocitos unipuntuales, como expresa esta notacion.

10.2.2 Otras propiedades de la integral

Proposicion 285.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] y tal que f ≥ 0 en [a, b] , entonces

∫ b

a

f ≥ 0.

Demostracion:

Es claro, pues para cualquier P ∈ P[a, b] se tiene que 0 ≤ L(f, P ) ≤ I =

∫ b

a

f .

Corolario 286.- Sean f y g integrables en [a, b] tales que f ≤ g en [a, b] . Entonces

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.

Demostracion:

Como 0 ≤ (g − f), se tiene 0 ≤∫ b

a

(g − f) =

∫ b

a

g −∫ b

a

f . Luego

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g .

Proposicion 287.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx . .

Corolario 288.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] . Para cualesquiera c, d ∈ [a, b] se verifica que∣∣∣∣∣∫ d

c

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ d

c

|f(x)| dx

∣∣∣∣∣Demostracion:En efecto, si c ≤ d es la proposicion 287. Si d ≤ c , se tiene

−∫ c

d

|f(x)| dx ≤∫ c

d

f(x) dx ≤∫ c

d

|f(x)| dx =⇒∫ d

c

|f(x)| dx ≤ −∫ d

c

f(x) dx ≤ −∫ d

c

|f(x)| dx,

luego

∣∣∣∣∣∫ d

c

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ d

c

|f(x)| dx

∣∣∣∣∣ .Proposicion 289.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces fg es integrable en [a, b] . .

10.2.3 Algunas funciones integrables

Proposicion 290.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion monotona. Entonces f es integrable en [a, b] .

Demostracion:Supongamos que f es monotona creciente (analogo para decreciente). Entonces, para cualquier particionP ∈ P[a, b] se tiene que mi = f(xi−1) y Mi = f(xi), para todo i = 1, 2, . . . , n . En particular, si Pn es

Pn ={a, a+ b−a

n , a+ 2 b−an , . . . , a+ (n− 1) b−an , a+ n b−an = b}


152 – Matematicas 1 : Calculo integral en R 10.3 Integracion y derivacion

son U(f, Pn) =n∑i=1

f(xi)∆xi y L(f, Pn) =n∑i=1

f(xi−1)∆xi , con xi = a+ i b−an y ∆xi = b−an , luego

U(f, Pn)− L(f, Pn) =

n∑i=1

(f(xi)− f(xi−1)

)b− an

=b− an

n∑i=1

(f(xi)− f(xi−1)

)=b− an

(f(b)− f(a)

).

Luego tomando n suficientemente grande para que b−an < ε

f(b)−f(a) , entonces

U(f, Pn)− L(f, Pn) =b− an

(f(b)− f(a)

)<

ε

f(b)− f(a)

(f(b)− f(a)

)= ε.

Teorema 291.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b] . Entonces f es integrable en [a, b] .

Teorema 292.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada en [a, b] y continua en [a, b] salvo acaso en una cantidadnumerable de puntos de dicho intervalo. Entonces f es integrable en [a, b] .

10.3 Integracion y derivacion

Teorema 293.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] , con a < b , y m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] .Entonces

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M.

Demostracion:

Por ser m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b] , se tiene que

∫ b

a

mdx ≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

M dx, entonces (ver

ejercicio 10.242) m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a), luego m ≤ 1b−a

∫ b

a

f(x) dx ≤M

Nota: Como 1b−a

∫ b

a

f(x) dx = 1a−b

∫ a

b

f(x) dx , tambien es cierto que m ≤ 1a−b

∫ a

b

f(x) dx ≤M .

Teorema de la media 294.- Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b] , entonces existe ξ ∈ [a, b] talque ∫ b

a

f(x) dx = f(ξ)(b− a).

Demostracion:Al ser f continua en [a, b] , alcanzara el mınimo y el maximo en [a, b] . Sean estos m y M respectivamente.

Por el teorema anterior 293, m ≤ 1b−a

∫ b

a

f(x) dx ≤ M y, por ser f continua, toma todos los valores entre el

mınimo y el maximo; por consiguiente, existe ξ ∈ [a, b] tal que f(ξ) = 1b−a

∫ b

a

f(x) dx.

Definicion 295.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] . La funcion F : [a, b] −→ R definida de la forma

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt recibe el nombre de funcion integral de la funcion f .

Teorema 296.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] . Entonces su funcion integral es continua en [a, b] .

Demostracion:Como f esta acotada en [a, b] , existe M ∈ R tal que |f(x)| ≤M , para todo x ∈ [a, b] .

Sea entonces x ∈ [a, b] , la funcion F estara definida en todos los puntos de la forma x + h siempre quea < x+ h < b , luego

F (x+ h)− F (x) =

∫ x+h

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt =

∫ x+h

x

f(t) dt.


153 – Matematicas 1 : Calculo integral en R 10.3 Integracion y derivacion

Como −M ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b] , por el teorema 293 y la observacion posterior, se tiene que

−M ≤ 1

h

∫ x+h

x

f(t) dt ≤M, y, por tanto, |F (x+ h)− F (x)| = |h|

∣∣∣∣∣ 1h∫ x+h

x

f(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤M |h| .Tomando lımites, cuando h→ 0, lım

h→0

(F (x+ h)− F (x)

)= 0 y F es continua en cada x ∈ [a, b] .

Teorema fundamental del Calculo Integral 297.- Sea f : [a, b] −→ R integrable y F (x) =

∫ x

a

f(t) dt su

funcion integral. Si f es continua en [a, b] , entonces

a) F es derivable en [a, b] .

b) F ′(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b] .

Demostracion:Sea x ∈ (a, b). La funcion F estara definida en todos los puntos de la forma x+ h siempre que a < x+ h < b ,entonces

lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h= lımh→0

∫ x+h

x

f(t) dt

h= lımh→0

f(ξ)h

h= lımh→0

f(ξ) = f(x),

ya que, por el teorema de la media 294, ξ es un punto comprendido entre x y x+ h ; y f es continua en [a, b] .Ası pues F es derivable para todo x ∈ (a, b) y F ′(x) = f(x).

Como F y f son continuas en [a, b] , F es derivable “por la derecha” en a y “por la izquierda” en b ,verificandose que F ′(a) = f(a) y F ′(b) = f(b).

Regla de Barrow 298.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] . Si G: [a, b] −→ R es una primitiva de f en[a, b] , entonces ∫ b

a

f(x) dx = G(b)−G(a) .

Ejemplo

∫ 3

0

2x dx es el area del triangulo de vertices (0, 0), (3, 0) y (3, 6), pero tambien, por la regla de

Barrow, puede calcularse como:

∫ 3

0

2x dx =(x2]3

0= 32 − 02 = 9 4

Teorema del Cambio de variable 299.- Sean f : [a, b] −→ R continua en [a, b] y x = φ(t) siendo φ(t) y φ′(t)funciones continuas en [α, β] (o [β, α]), con φ(α) = a y φ(β) = b . Entonces:∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt.

Demostracion:

f(φ(t))φ′(t) es tambien continua, luego las funciones F (x) =

∫ x

a

f(u) du y G(t) =

∫ t

α

f(φ(v))φ′(v) dv

son respectivamente primitivas de f(x) y f(φ(t))φ′(t).Ahora bien, como F es una primitiva de f , F (φ(t)) es tambien una primitiva de f(φ(t))φ′(t), luego

F (φ(t)) = G(t) + C , para todo t ∈ [α, β] .Para t = α se tiene F (φ(α)) = G(α) + C , y como F (φ(α)) = F (a) = 0 y G(α) = 0, entonces C = 0.Y para t = β se tiene F (φ(β)) = G(β), es decir,∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt.

Ejemplo Para calcular

∫ 7

0

3√

1 + x dx hacemos el cambio 1 + x = t3 , de donde 3√

1 + 0 = 1 y 3√

1 + 7 = 2,

y se tiene que

∫ 7

0

3√

1 + x dx =

∫ 2

1

3√t3 3t2 td =

∫ 2

1

3t3 =(

3t4

4

]21

= 34 (16− 1) = 45

4 4


154 – Matematicas 1 : Calculo integral en R 10.4 Integrales impropias

10.4 Integrales impropias

En las secciones anteriores hemos construido la integral de Riemann con las premisas de acotacion

? Dom(f) = [a, b] es un conjunto acotado.

? f : [a, b] −→ R esta acotada en [a, b] .

Si no se cumple la primera, nos encontraremos con Integrales impropias de primera especie, y si la quefalla es la segunda hablaremos de integrales impropias de segunda especie.

10.4.1 Integrales impropias de primera especie

Definicion 300.- Sea f : [a,+∞) −→ R integrable en [a, t] , para todo t ≥ a . De∫ +∞

a

f(x) dx = lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx

se dice integral impropia de primera especie

De forma analoga se definen para funciones f : (−∞, b] −→ R integrables en [t, b] , para todo t ∈ R , por∫ b

−∞f(x) dx = lım

t→−∞

∫ b

t

f(x) dx

O, con el cambio x = −y , transformandola en una de las anteriores∫ b

−∞f(x) dx = lım

t→−∞

∫ b

t

f(x) dx = lımt→−∞

∫ −b−t−f(−y) dy = lım

t→−∞

∫ −t−b

f(−y) dy =

∫ +∞

−bf(−y) dy

Es evidente entonces que el estudio para las primeras tendra un espejo en las segundas, pero que no repetiremos.

Definicion 301.- Si lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx existe y es finito diremos que la integral impropia es convergente y

que lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx =

∫ +∞

a

f(x) dx es su valor.

Si el lımite anterior es infinito, a ∞ o −∞ , se dice que la integral impropia es divergente (hacia ∞ ohacia −∞), y si no existe el lımite se dice que es oscilante

Ejemplo La integral

∫ ∞1

x dx es divergente, pues lımt→+∞

∫ t

1

x dx = lımt→+∞

(x2

2

]t1

= lımt→+∞

t2

2 −12 = +∞ 4

Ejemplo

∫ ∞0

cosx dx es oscilante, pues lımt→+∞

∫ t

0

cosx dx = lımt→+∞

(senx]t0 = lım

t→+∞sen t que 6 ∃ 4

Ejemplo

∫ 0

−∞

11+x2 dx = π

2 , pues lımt→−∞

∫ 0

t

11+x2 dx = lım

t→−∞(arctg x]

0t = lım

t→−∞arctg 0− arctg t = −−π2 4

Ejemplo 302 Estudiar el caracter de

∫ ∞1

dxxα , para α ∈ R .

Como la funcion tiene primitivas distintas para α = 1 y α 6= 1, las estudiamos por separado:

Si α = 1, lımt→+∞

∫ t

1

1

xdx = lım

t→+∞

(lnx]t

1= lımt→+∞

(ln t− ln 1) = lımt→+∞

ln t = +∞, luego diverge

Si α 6= 1,

lımt→+∞

∫ t

1

x−αdx= lımt→+∞

(x−α+1

−α+ 1

]t1

= lımt→+∞

(t−α+1

−α+ 1− 1−α+1

−α+ 1

)= lımt→+∞

t1−α − 1

1− α=

{ −11−α , si α > 1

+∞, si α < 1

Resumiendo,

∫ ∞1

dxxα diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1. En este ultimo caso,

∫ ∞1

dxxα = 1

α−1 . 4



Definicion 303.- Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo caracter, y lo representaremos por“∼”, si son simultaneamente convergentes, divergentes u oscilantes.

Propiedades 304.- Sean f, g: [a,+∞) −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a .

1.- Para cualquier b ≥ a , se tiene que

∫ +∞

a

f(x)dx ∼∫ +∞

b

f(x)dx

2.- Para cualquier λ ∈ R− {0} , se tiene que

∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

a

λf(x) dx

3.- Si

∫ +∞

a

f y

∫ +∞

a

g convergen, entonces converge

∫ +∞

a

f+g y

∫ +∞

a

f+g =

∫ +∞

a

f +

∫ +∞

a

g

Demostracion:

1.- Como

lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx = lımt→+∞

(∫ b

a

f(x) dx+

∫ t

b

f(x) dx

)=

∫ b

a

f(x) dx+ lımt→+∞

∫ t

b

f(x) dx

el lımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el lımite de la derecha es finito, infinito o no existerespectivamente. Y viceversa.

2.- Como lımt→+∞

∫ t

a

λf(x) dx = λ lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx , ambos son simultaneamente finitos, infinitos o no existen

3.- Cierto, pues lımt→+∞

∫ t

a

(f+g)(x) dx = lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx+ lımt→+∞

∫ t

a

g(x) dx , si los segundos lımites existen.

Ejemplo La integral

∫ ∞2

x+2x3 dx es convergente, ya que x+2

x3 = 1x2 + 2 1

x3 y por las propiedades 304 anteri-

ores,

∫ ∞2

1x2 dx

(P.1)∼∫ ∞

1

1x2 dx y

∫ ∞2

2 1x3 dx

(P.2)∼∫ ∞

2

1x3 dx

(P.1)∼∫ ∞

1

1x3 dx , que son ambas convergentes

(ejemplo 302). Luego por la propiedad (P.3) la integral

∫ ∞2

x+2x3 dx es convergente por ser suma de integrales

convergentes y

∫ ∞2

x+2x3 dx =

∫ ∞2

1x2 dx+

∫ ∞2

2 1x3 dx 4

Proposicion 305.- Sea f : [a,+∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ∈ [a,+∞). Si lımx→+∞

f(x) = L 6= 0

entonces

∫ ∞a

f(x) dx diverge. .

Observacion 306.- Como consecuencia de este resultado, si una funcion tiene lımite en +∞ , su integral solopuede ser convergente cuando el lımite es cero. (Si el lımite no existe no se puede asegurar nada.)

El recıproco de la proposicion 305 no es cierto, una integral puede ser divergente, aunque su lımite sea 0.

Contraejemplo

∫ ∞1

dxx diverge (ver ejemplo 302) y sin embargo, lım

x→+∞1x = 0.

10.4.2 Criterios de comparacion para funciones no negativas

Teorema 307.- Sea f : [a,+∞) −→ R integrable y no negativa en [a, t] , ∀t ∈ R .∫ +∞

a

f(x) dx es convergente ⇐⇒ F (t) =

∫ t

a

f(x) dx esta acotada superiormente. .

Nota: En consecuencia, para funciones no negativas,

∫ +∞

a

f(x) dx solo puede ser convergente o divergente.



Primer criterio de comparacion 308.- Sean f, g: [a,+∞) −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a ysupongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ b . Entonces:

a) Si

∫ +∞

a

g(x) dx converge ⇒∫ +∞

a

f(x) dx tambien converge.

b) Si

∫ +∞

a

f(x) dx diverge ⇒∫ +∞

a

g(x) dx tambien diverge.

Demostracion:

Por la propiedad 1 de 304,

∫ +∞

a

f ∼∫ +∞

b

f y

∫ +∞

a

g ∼∫ +∞

b

g, luego basta probarlo en [b,+∞). Y

como 0 ≤ f(x) ≤ g(x), tambien se tendra F (t) =

∫ t

b

f(x) dx ≤∫ t

b

g(x) dx = G(t)

a) Si

∫ +∞

b

g converge, G(t) esta acotada superiormente y F (t) que es menor tambien; luego

∫ +∞

b

f converge

b) Si

∫ +∞

b

f diverge, F (t) no esta acotada superiormente y G(t) tampoco, luego

∫ +∞

b

g diverge

Ejemplo

∫ ∞1

1x2+1 dx es convergente, pues en [1,+∞), 0 < x2 < x2 + 1 de donde 0 < 1

1+x2 <1x2 . Luego∫ ∞

1

1x2+1 dx ≤

∫ ∞1

1x2 dx y como la mayor es convergente, la menor tambien. 4

Ejemplo

∫ ∞1

1x+1 dx es divergente, pues en [1,+∞), 0 < x+1 < x+x = 2x de donde 0 < 1

2x <1

x+1 . Luego∫ ∞1

12

1x dx ≤

∫ ∞1

1x+1 dx y como la menor es divergente, la mayor tambien lo es. 4

Segundo criterio de comparacion 309.- Sean f, g: [a,+∞) −→ R integrables en [a, t] , para todo t ≥ a y no

negativas. Supongamos que existe lımx→+∞

f(x)g(x) = L . Entonces:

a) Si 0 < L < +∞ =⇒∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

a

g(x) dx .

b) Si L = 0, se tiene:

[i] si

∫ +∞

a

g(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx converge.

[ii] si

∫ +∞

a

f(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx diverge.

c) Si L = +∞ , se tiene:

[i] si

∫ +∞

a

f(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx converge.

[ii] si

∫ +∞

a

g(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx diverge. .

Ejemplo

∫ ∞2

1x2−√xdx es convergente, pues [2,+∞) es positiva y lım

x→+∞

1x2−√x

1x2

= lımx→+∞

x2

x2−√x

= 1 6= 0.

Luego

∫ ∞2

1x2−√xdx ∼

∫ ∞2

1x2 dx que converge. 4

Observacion: Aunque los criterios dados son validos unicamente para funciones positivas en un entorno de +∞ ,

teniendo en cuenta que

∫ +∞

a

f ∼∫ +∞

a

−f , para las funciones negativas basta estudiar el caracter de

∫ +∞

a

− f .



10.4.3 Convergencia absoluta

Definicion 310.- Sea f : [a,+∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a . Diremos que

∫ +∞

a

f(x)dx es

absolutamente convergente si

∫ +∞

a

|f(x)|dx converge.

Teorema 311.- Sea f : [a,+∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a .

Si

∫ ∞a

|f(x)|dx converge, entonces

∫ +∞

a

f(x)dx converge.

En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge.

Demostracion:Para todo x ∈ [a,+∞) se tiene −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| , luego 0 ≤ f(x) + |f(x)| ≤ 2|f(x)| . Entonces, si∫ +∞

a

|f(x)|dx converge se tiene que

∫ +∞

a

(|f(x)|+ f(x)) dx es convergente y, por tanto, aplicando al propiedad

3 de 304, se tiene que ∫ +∞

a

f(x)dx =

∫ +∞

a

(f(x) + |f(x)|) dx−∫ +∞

a

|f(x)|dx

converge.

Nota: El recıproco no es cierto, pues

∫ ∞π

sen xx dx es convergente pero no converge absolutamente

10.4.4 Integrales impropias de segunda especie

Cuando la funcion no esta acotada en el intervalo, tenemos estas integrales de segunda especie:

Definicion 312.- Sea f : (a, b] −→ R integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , y no acotada. De∫ b

a+

f(x)dx = lımt→a+

∫ b

t

f(x) dx

se dice integral impropia de segunda especie

Analogamente se definen las integrales impropias de segunda especie en intervalos de la forma [a, b), para fun-ciones f : [a, b) −→ R integrables en [a, t] , ∀t ∈ [a, b) y no acotadas∫ b−

a

f(x)dx = lımt→b−

∫ t

a

f(x) dx o

∫ b−

a

f.

Observaciones 313.- Los distintos tipos de integrales impropias tienen, en realidad, el mismo comportamientoy cumplen condiciones similares

1.- En efecto, con el cambio x = a + b − t , se tiene que

∫ b−

a

f(x)dx =

∫ b

a+

f(a+b−t)dt y todas las

integrales de segunda especie pueden ser del mismo tipo

2.- pero tambien el cambio x = a + 1t , produce que

∫ b

a+

f(x)dx =

∫ +∞

1b−a

f( 1t+a)

t2 dt y que todas las

integrales impropias de segunda especie se transformen en una de primera especie

3.- Es claro por las definiciones y por estas observaciones anteriores, que las caracterizaciones de convergencia,divergencia y oscilancion sean identicas en las de segunda especie; lo mismo que el comportamiento delas integrales impropias para funciones no negativas, ası como en la convergencia absoluta

4.- De hecho los criterios de convergencia de integrales impropias de segunda especie para funciones nonegativas son identicos (pero acomomodados a estas) a los de primera especie:



Primer criterio de comparacion 314.- Sean f, g: (a, b] −→ R integrables en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , y noacotadas. Supongamos que existe c ∈ (a, b] tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ (a, c] , entonces

a) Si

∫ b

a+

g(x)dx converge =⇒∫ b

a+

f(x)dx tambien converge.

b) Si

∫ b

a+

f(x)dx diverge =⇒∫ b

a+

g(x)dx tambien diverge.

Segundo criterio de comparacion 315.- Sean f, g: (a, b] −→ R integrables en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , no

negativas y no acotadas. Supongamos que existe y es finito lımx→a+

f(x)g(x) = L . Entonces:

a) Si L 6= 0 entonces,

∫ b

a+

f(x)dx ∼∫ b

a+

g(x)dx .

b) Si L = 0, se tiene:

[i] Si

∫ b

a+

g(x)dx converge =⇒∫ b

a+

f(x)dx tambien converge.

[ii] Si

∫ b

a+

f(x)dx diverge =⇒∫ b

a+

g(x)dx tambien diverge.

Teorema 316.- (Convergencia absoluta.)Sea f : (a, b] −→ R integrable en [t, b] , ∀t ∈ (a, b] , y no acotada.

Si

∫ b

a+

|f(x)|dx convergente =⇒∫ b

a+

f(x)dx es convergente.

Para usar esos criterios son muy utiles las familias de integrales impropias de segunda especie siguientes:

Ejemplo 317 Estudiar el caracter de

∫ b

a+

dx(x−a)α y de

∫ b−

a

dx(b−x)α , para los α ∈ R .

Solucion:Si α = 1,

lımt→a+

∫ b

t

dx

x− a= lımt→a+

(ln |x− a|

]bt

= lımt→a+

(ln |b− a| − ln |t− a|

)= +∞

lımt→b−

∫ t

a

dx

b− x= lımt→b−

(− ln |b− x|

]ta

= lımt→b−

(ln |b− a| − ln |b− t|

)= +∞

Si α 6= 1,

lımt→a+

∫ b

t

dx

(x− a)α= lımt→a+

(1

1− α1

(x− a)α−1

]bt

= lımt→a+

1

1− α

(1

(b− a)α−1− 1

(t− a)α−1

)=

{ 1(1−α)(b−a)α−1 , si α < 1

+∞, si α > 1

lımt→bb

∫ t

a

dx

(b− x)α= lımt→b−

(−1

1− α1

(b− x)α−1

]ta

= lımt→b−

1

α− 1

(1

(b− t)α−1− 1

(b− a)α−1

)=

{ 1(1−α)(b−a)α−1 , si α < 1

+∞, si α > 1

luego converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1.

Analogamente se hace la segunda, y se obtiene que

∫ b−

a

dx(b−x)α converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1. 4

Cuando se reunen en una sola integral varias impropiedades, la unica manera de resolver el problema esseparar la integral en varias integrales impropias que tengan con una sola impropiedad. Esto es precisamentelo que aparece recogido en las siguientes definiciones:


159 – Matematicas 1 : Calculo integral en R 10.5 Ejercicios

Definicion 318.- Sea f :R −→ R integrable en todo intervalo cerrado [t1, t2] ⊂ R , diremos que

∫ +∞

−∞f(x) dx

es convergente si para algun c ∈ R las dos integrales

∫ c

−∞f y

∫ +∞

c

son convergentes.

Y en ese caso:

∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ c

−∞f(x) dx+

∫ +∞

c

f(x) dx

Definicion 319.- f : (a, b) −→ R integrable en cada [t1, t2] ⊂ (a, b). La

∫ b−

a+

f es convergente si para algun

c ∈ R las dos integrales

∫ c

a+

f y

∫ b−

c

f son convergentes. Y en ese caso

∫ b−

a+

f =

∫ c

a+

f +

∫ b−

c

f

Definicion 320.- f : (a,∞) −→ R integrable en cada [t1, t2] ⊂ (a,∞). La

∫ ∞a+

f es convergente si para algun

c ∈ R las dos integrales

∫ c

a+

f y

∫ ∞c

f son convergentes. Y en ese caso

∫ ∞a+

f =

∫ c

a+

f +

∫ ∞c

f

10.5 Ejercicios

10.242 Comprobar que la funcion f(x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo [a, b] de

R y calcular el valor de la integral.

10.243 Comprobar que la funcion f(x) =

{1, si x ∈ [0, 1]2, si x ∈ (1, 2]

es integrable Riemann en [0, 2]. (Utilizar la condicion

de integrabilidad de Riemann.)

10.244 Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) U(f, P1) = 4 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y U(f, P2) = 5 para P2 = {0, 1

4 , 1,32 , 2} .

b) L(f, P1) = 5 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y L(f, P2) = 4 para P2 = {0, 1

4 , 1,32 , 2} .

c) Tomando P ∈ P[−1, 1],

(i) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 2.

(ii) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 6 y

∫ 1

−1

f(x) dx = 2.

(iii) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 6 y

∫ 1

−1

f(x) dx = 10.

10.245 Se sabe que

∫ 1

0

f(x) dx = 6,

∫ 2

0

f(x) dx = 4 y

∫ 5

2

f(x) dx = 1. Hallar el valor de cada una de las

siguientes integrales:

a)

∫ 5

0

f(x) dx b)

∫ 2

1

f(x) dx c)

∫ 5

1

f(x) dx.

10.246 Sean f derivable y F (x) =

∫ x

a

f(t) dt . ¿Es cierto que F ′(x) =

∫ x

a

f ′(t) dt? ¿Por que?

10.247 Sea f(x) =

∫ x

a

11+sen2 t dt . ¿Cual es su dominio? Calcular f ′(x) y f ′′(x), indicando sus dominios de

definicion.

10.248 Hallar f ′(x), indicando su dominio de definicion, para

a) f(x) =

∫ x3

a

11+sen2 tdt. b) f(x) =

(∫ x

a

11+sen2 tdt

)3

.

c) f(x) =

∫ sen x

a

11+sen2 tdt. d) f(x) =

∫ (∫ xa

11+sen2 t

dt)

a

11+sen2 tdt.



10.249 Hallar el dominio y la expresion de f ′(x) para cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =

∫ 47

1x

1t dt b) f(x) =

∫ sec x

x2

1t dt c) f(x) =

∫ cos x

x3

sen(t2) dt

10.250 Si f es continua, calcular F ′(x), siendo F (x) =

∫ x

0

xf(t) dt .

10.251 Obtener el dominio y la expresion concreta de su funcion integral F (x) =

∫ x

a

f(t) dt , para cada una de

las funciones siguientes:

a) La funcion f(t) = t2 para a = −1. Repetirlo, tomando ahora a = 1, ¿porque son iguales/distintas?

b) La funcion f(t) =

{0, si t < 02, si t ≥ 0

y a = 0

c) La funcion f(t) = |t| y a = 0

d) La funcion f(t) =

{−2t, si t ≤ 1

1, si t > 1, para a = 1 y tambien para a = 0

Comprobar que se cumplen las tesis de los teoremas 296 y 297 anteriores.

10.252 Sea f :R −→ R estrictamente creciente y continua, con f(0) = 0. Calcular los extremos de la funcion∫ (x+3)(x−1)

0

f(t) dt .

10.253 Dada la funcion f estrictamente creciente en R , con f(0) = 0, y continua, estudiar el crecimiento,

decrecimiento y los extremos de F (x) =

∫ x3−2x2+x

1

f(t) dt .

10.254 Encontrar los valores de x para los que la funcion F (x) =

∫ x

0

te−t2

dt alcanza algun extremo.

10.255 Sea f : [a, b] −→ R de clase 1, tal que f(a) = f(b) = 0 y

∫ b

a

f2(x) dx = 1. Probar que

∫ b

a

xf(x)f ′(x) dx = −1

2.

10.256 Sean f y g funciones reales continuas en [a, b] que verifican que∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx.

Demostrar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que f(c) = g(c).

10.257 Calcular

∫ +∞

0

e−xdx e

∫ 0

−∞exdx

10.258 Calcular el valor de

∫ +∞

−∞

dx1+x2

10.259 Definicion: Si f es integrable en cualquier [a, b] de R , se llama valor principal de

∫ +∞

−∞f(x) al lımite

lımt→+∞

∫ t

−tf(x)dx y si la integral impropia es convergente el valor principal es el valor de la integral

Comprobar que el VP

∫ +∞

−∞

dx1+x2 coincide con el valor de la integral obtenido en el ejercicio anterior

10.260 Probar que

∫ +∞

−∞senx dx no es convergente, pero que sı existe el V P

∫ +∞

−∞senx dx?



10.261 Estudiar el caracter de

∫ +∞

−∞

2x−11+x2 dx y hallar V P

∫ +∞

−∞

2x−11+x2 dx .

10.262 Estudiar el caracter de las integrales siguientes:

a)

∫ ∞0

(2 + senx)dx b)

∫ ∞0

e2x(2x2−4x)dx c)

∫ ∞−∞

e−xdx d)

∫ ∞1

1ch xdx

e)

∫ ∞−∞

e−x2

dx f)

∫ 0

−∞e2x(2x2+4x)dx g)

∫ 0

−∞

x2+1x4+1dx h)

∫ ∞0

xe−x2

dx

i)

∫ ∞0

sen3 x1+cos x+ex dx j)

∫ ∞1

x1+x4 dx k)

∫ ∞0

dx√x

l)

∫ ∞0

x ln x(1+x2)2 dx


a)

∫ 0

−1

x−1(x+1)2 dx b)

∫ 1

0

dx√x(1−x)

c)

∫ 1

0

sen x+cos x√x(1−x)

dx

d)

∫ π

0

dx1−cos x e)

∫ 1

0

ex

ex−1dx f)

∫ π2

0

ex√sen x

dx

10.264 Probar que

∫ +∞

0

dxxα diverge para cualquier α ∈ R .

10.265 Estudiar el caracter de las siguientes integrales, segun los valores de α

a)

∫ +∞

α

sen2 xx2 dx b)

∫ +∞

α

dxln x , para α > 1


a)

∫ 1

0

sen xx2 dx b)

∫ π

0

sen2 2xx2 dx c)

∫ ∞1

ln xx4−x3−x2+xdx

d)

∫ √2

0

x

(x2−1)45dx e)

∫ 2

1

dxx ln x f)

∫ ∞0

dx

x+(x3+1)12

g)

∫ +∞

1

sen2 1xdx h)

∫ 1

0

lnx ln(x+ 1)dx i)

∫ ∞0

ex

ex+1dx.


a)

∫ π4

0

(1−tg x) sen x

(π4−x)32 x

32dx b)

∫ √2

2

0

π4−arcsen x

x12 ( 1√

2−x)

32dx c)

∫ ∞0

ex

ex+1 −ex

ex−1dx

d)

∫ ∞1

arctg(x−1)3√

(x−1)4dx e)

∫ 1

0

sen3(x−1)x ln3 x

dx f)

∫ ∞0

√x sen 1

x2

ln(1+x) dx

g)

∫ π4

0

(1−e−x

2

x2 cos x − 1)dx h)

∫ π2

π4

(1−e−x

2

x2 cos x − 1)dx i)

∫ π

0

1+ x2−

x2

8 −√

1+sen x

x72

dx

10.268 Encontrar los valores de β , para que las integrales siguientes sean convergentes.

a)

∫ π2

0

1−cos xxβ

dx b)

∫ ∞2

(βxx2+1 −

12x+1

)dx c)

∫ ∞0

1−e1√x

xβdx d)

∫ ∞0

x−sen xxβ

dx

e)

∫ ∞0

dxx1−β 3√1−x2

f)

∫ ∞0

(1√

1+2x2− β

x+1

)dx g)

∫ ∞β

sen2 xx2−1 dx h)

∫ ∞β

xβ

x4−1dx


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Integral de Riemann - Inicio · i 1) = n i=1 m i x i ... La evidencia anterior de que las sumas de Riemann y las sumas inferiores y superiores tienen una relaci on muy estrecha,