QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE ARQUIMEDES À INTEGRAL … · Squaring of the parabola. Riemann Sums.Definiteintegral.GeoGebra. Lista de ilustrações ... tura da parábola usando as

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESCCENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCTCURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

QUADRATURA DA PARÁBOLA: DEARQUIMEDES À INTEGRAL DEFINIDA

NÁTHALY BEATRIZ REIS

JOINVILLE, 2015


QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE ARQUIMEDES ÀINTEGRAL DEFINIDA

Trabalho de Graduação apresentado aoCurso de Licenciatura em Matemáticado Centro de Ciências Tecnológicas,da Universidade do Estado de SantaCatarina, como requisito parcial paraa obtenção do grau de Licenciatura emMatemática.

Orientador(a): Prof. Dra. Elisan-dra Bar de Figueiredo.

JOINVILLE, SC2015


QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE ARQUIMEDES ÀINTEGRAL DEFINIDA

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Mate-mática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estadode Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau deLicenciatura em Matemática.

Banca Examinadora

Orientadora:Prof. Dra. Elisandra Bar de FigueiredoUniversidade do Estado de Santa Catarina

Coorientadora:Prof. Dra. Ivanete Zuchi SipleUniversidade do Estado de Santa Catarina

Membro:Prof. Ma. Eliane Bihuna de AzevedoUniversidade do Estado de Santa Catarina

Membro:Prof. Me. Marnei Luis MandlerUniversidade do Estado de Santa Catarina

Joinville, 26/06/2015.

A Deus.

Agradecimentos

A Deus, pela minha vida e pela inteligência e capacidade queme concede.

À Universidade do Estado de Santa Catarina, pelo incentivo àbusca de experiências e aos diversos conhecimentos.

À Professora Orientadora Elisandra Bär de Figueiredo, porcompartilhar seus conhecimentos e pela dedicação na orientação.

À professora Coorientadora Ivanete Zuchi Siple, por estar sem-pre presente e me auxiliar nas atividades referentes ao trabalho.

À família e amigos pelo acompanhamento e apoio nos mais di-versos momentos durante todo o período do curso.

“Nossa maior riqueza como sereshumanos é sermos capazes de criarprojetos que acrescentem valor àvida dos outros.”

Felipe Gonzáles

Resumo

REIS, Náthaly Beatriz. Quadratura da Parábola: de Arqui-medes à integral definida. 2015. 105 páginas. Trabalho de Con-clusão de Curso de Licenciatura em Matemática - Universidadedo Estado de Santa Catarina, Joinville, 2015.

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre a evolução do mé-todo da quadratura da parábola, de Arquimedes à integral de-finida. Abordamos a quadratura pelo método da alavanca, dostriângulos inscritos, das somas de Riemann e da integral definida.Também exploramos as potencialidades dos recursos tecnológi-cos da geometria dinâmica, especificamente o GeoGebra, paradiscutir tanto o problema clássico quanto o contemporâneo, como intuito de ilustrar e verificar, de maneira dinâmica, as ideiasutilizadas na demonstração da quadratura da parábola. A me-todologia utilizada foi de caráter teórico e investigativo, tendocomo objetivos principais estruturar sistemas e modelos teóricos,e relacionar e confrontar hipóteses. O estudo realizado a respeitodas demonstrações de Arquimedes apresentou várias proprieda-des da parábola que não conhecíamos, pelo menos não na lingua-gem que ele propôs, e também mostrou como Arquimedes tinhauma visão brilhante para determinar tais resultados. Além disso,foi possível notar como o GeoGebra pode ser útil na verificaçãode tais propriedades como também dos resultados do cálculo.

Palavras-chave: Arquimedes. Quadratura da parábola. Somasde Riemann. Integral definida. GeoGebra.

Abstract

REIS, Náthaly Beatriz. Squaring of the Parabola: from Archi-medes to the definite integral. 2015. 105 páginas. Trabalho deConclusão de Curso de Licenciatura em Matemática - Universi-dade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2015.

In this work we present a study on the evolution of the squaringof the parabola, from Archimedes to the definite integral. Weview the squaring using the lever of inscribed triangles method,Riemann Sums and the definite integral. We also explore thepotential of technological resources of dynamic geometry, specif-ically GeoGebra, to discuss both the classic and the contem-porary problems, aiming at illustrating and verifying, dynami-cally, the ideas behind the squaring of the parabola. The appliedmethodology was of a theoretical and investigatory kind, hav-ing as its main goals the structuring of theoretical systems andmodels, and the relation and confrontation of hypothesis. Thestudy performed on Archimedes’s demonstrations presented sev-eral properties of the parabola that we did not know, at leastnot in the language he proposed, and also showed how brilliantArchimedes’s vision was to determine such results. Furthermore,it was possible to notice how GeoGebra can be useful for verify-ing such properties, as well as results from Calculus.

Key-words: Archimedes. Squaring of the parabola. RiemannSums. Definite integral. GeoGebra.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Método de exaustão para aproximar a área do círculo. 34Figura 2 – Método de exaustão para aproximar a área do seg-

mento parabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 3 – Segmento parabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 4 – Segmento parabólico e triângulo inscrito. . . . . . . 35Figura 5 – Seções do cone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 6 – Seções do cone - imagem da janela interativa do Ge-

oGebra 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 7 – Parábola - imagem da janela interativa do GeoGebra

3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 8 – Fotografia seções do cone: parábola. . . . . . . . . . 38Figura 9 – Fotografia seções do cone: elipse. . . . . . . . . . . . 38Figura 10 –Fotografia seções do cone: circunferência. . . . . . . 39Figura 11 –Fotografia seções do cone: hipérbole. . . . . . . . . . 39Figura 12 –Segmento parabólico e suas propriedades. . . . . . . 40Figura 13 –Segmento parabólico - Proposição 1.1. . . . . . . . . 41Figura 14 –Segmento parabólico - Proposição 1.2. . . . . . . . . 42Figura 15 –Segmento parabólico - Proposição 1.3. . . . . . . . . 43Figura 16 –Segmento parabólico - Proposição 1.4. . . . . . . . . 43Figura 17 –Propriedade da Parábola. . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 18 –Arquimedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 19 –Construção do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 . . . . . . . . . . . . 48Figura 20 –Construção do baricentro do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 . . . . 49Figura 21 –Propriedade da parábola e Teorema de Tales. . . . . 50Figura 22 –Método da alavanca de Arquimedes. . . . . . . . . . 51Figura 23 –Relação entre os triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹. . . . . 52Figura 24 –Verificação da Lei da Alavanca. . . . . . . . . . . . . 54Figura 25 –Proposição 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 26 –Caso particular da Proposição 1.7. . . . . . . . . . . 56

Figura 27 –Proposição 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 28 –Demonstração da Proposição 1.8. . . . . . . . . . . . 58Figura 29 –Proposição de Euclides sobre áreas de triângulos. . . 59Figura 30 –Proposição 1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 31 –Decomposição do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. . . . . . . . . . 60Figura 32 – Inscrição de 3 triângulos no segmento parabólico. . . 61Figura 33 – Inscrição de 7 triângulos no segmento parabólico. . . 62Figura 34 –Áreas dos triângulos inscritos no segmento parabólico. 66

Figura 35 –Referencial cartesiano para a parábola. . . . . . . . 70Figura 36 –Modelo de segmento parabólico adotado. . . . . . . 70Figura 37 –Aproximação da área sob o arco da parábola. . . . . 71Figura 38 –Aproximação da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵′. . . . . . 71Figura 39 –Aproximação da área do segmento parabólico 𝑆. . . 72Figura 40 –Aproximando áreas com retângulos - soma superior. 73Figura 41 –𝑓(𝑐𝑖) > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 42 –𝑓(𝑐𝑖) < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 43 –Diferença de áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Figura 44 –Aproximando áreas com retângulos - soma inferior. . 75Figura 45 –Soma inferior na parábola. . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 46 –Soma inferior na parábola com bases diferentes. . . . 77Figura 47 –Soma superior na reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Figura 48 –Soma superior na reta com bases diferentes. . . . . . 80Figura 49 –Soma inferior no segmento parabólico - com 𝑛 = 1. . 82Figura 50 –Soma inferior no segmento parabólico - conferência

do desenvolvimento algébrico. . . . . . . . . . . . . . 83Figura 51 –Soma inferior no segmento parabólico. . . . . . . . . 84Figura 52 –Soma superior no segmento parabólico. . . . . . . . 84Figura 53 –Soma à esquerda no segmento parabólico. . . . . . . 85Figura 54 –Soma inferior - Exemplo 2.2. . . . . . . . . . . . . . 90Figura 55 – Integral definida da função 𝑓 no intervalo [−2, 0]. . . 93Figura 56 – Integral definida da função 𝑔 no intervalo [−2, 0]. . . 94Figura 57 –Área do segmento parabólico do Exemplo 2.3. . . . . 95

Figura 58 –Área do segmento parabólico - Exemplo 2.4. . . . . 97

Lista de abreviaturas e siglas

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

MEC Ministério da Educação

NCTM Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemá-tica Escolar

PMEB Plano de Matemática do Ensino Básico

Lista de símbolos

𝐴𝑆 Área do segmento de parábola

𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 Área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶

R Conjunto dos números reais

𝑆 Segmento de parábola

𝑆(𝑓, 𝑃 ) Soma inferior da função f na partição 𝑃

𝑆(𝑓, 𝑃 ) Soma superior da função f na partição 𝑃

Δ𝐴𝐵𝐶 Triângulo de vértices A, B e C

Sumário

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES . . . . . . . . . . . . . 331.1 ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO . . . . . . . . . . . 441.2 O MÉTODO DA ALAVANCA . . . . . . . . . . . . . . 471.3 O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS . . . . . 53

2 A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . 692.1 SOMAS DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2 INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . 91

CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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INTRODUÇÃO

Na matemática grega a determinação de áreas e volumes erafeita por meio de comparações com áreas que até então já se tinhaconhecimento, como, por exemplo, a área de um quadrado. Quadraturaou quadrar uma figura significava fazer essa determinação de áreas. Aquadratura de uma figura plana, como um círculo ou um polígono, éum problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo emconstruir, com régua e compasso, um quadrado com a mesma área de dafigura original. Segundo Caglayan (2014), a investigação do problemada quadratura do círculo, por exemplo, influenciou muito a matemáticaantiga, as ciências gregas e levou a muitas invenções, tais como seçõescônicas e curvas cúbicas-quárticas.

Arquimedes encontrou o área da região deli-mitada por uma parábola e um segmento dereta. Enquanto esse é um problema fácil parao estudante de cálculo, hoje, sua solução em300 a.C. necessitava de uma habilidade mate-mática considerável. O método de Arquimedesera preencher a região com um número infinitode triângulos cada um cuja área ele pode cal-cular, e, em seguida, avaliar essa soma infinita.Na sua solução, ele afirmou, sem provas, trêsproposições preliminares sobre parábolas queeram conhecidos no seu tempo, mas não sãoamplamente conhecidos hoje. (OSLER, 2005,p.24, tradução nossa).

Isso nos leva a alguns questionamentos: o infinito já estavapresente na antiguidade? Como ele calculava essa soma de infinitasáreas de triângulos? Ele usava os infinitesimais de uma maneira que ésemelhante ao que usamos, atualmente, no cálculo integral? Quais sãoas proposições que ele afirmou, sem provar?

26 Introdução

Uma constatação frequente no ambiente acadêmico é que osquestionamentos provocam mais transformações do que as respostas.Uma forma de buscar estas respostas é olhar o que, há muito tempo,já vem sendo construído na Matemática. Nesse sentido, a História daMatemática tem seu ponto relevante.

A História da Matemática mostra que ela foiconstruída como resposta a perguntas prove-nientes de diferentes origens e contextos, mo-tivadas por problemas de ordem prática (di-visão de terras, cálculo de créditos), por pro-blemas vinculados a outras ciências (Física,Astronomia), bem como por problemas relaci-onados a investigações internas à própria Ma-temática. (BRASIL, 1997, p. 32).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) mencionam quea História da Matemática pode ser vista como uma forma de resgateda cultura, uma vez que conceitos abordados em conexão com a suaorigem são disseminadores de informações culturais, sociológicas e an-tropológicas. Assim, o recurso à História da Matemática pode responderalgumas dúvidas do aluno e contribuir significativamente no processode ensino e aprendizagem e na formação de uma visão mais crítica sobreos objetos de conhecimento.

Além disso, de acordo com Silva (2013), associando a históriaao uso de novas tecnologias essas atividades são mais atrativas para osalunos e mais fáceis de serem construídas e interpretadas. Nesta culturada informática está emergindo um conhecimento por simulação quetorna o computador um recurso didático indispensável e os professoresprecisam se atualizar no que diz respeito às tecnologias:

Embora os computadores ainda não estejamamplamente disponíveis para a maioria das es-colas, eles já começam a integrar muitas ex-periências educacionais, prevendo-se sua uti-lização em maior escala a curto prazo. Issotraz como necessidade a incorporação de es-tudos nessa área, tanto na formação inicialcomo na formação continuada do professor do

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ensino fundamental, seja para poder usar am-plamente suas possibilidades ou para conhecere analisar softwares educacionais. (BRASIL,1997, p. 35).

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Licenciatura emMatemática (BRASIL, 2001), dentre as competências e habilidades exi-gidas do estudante destacamos:

∙ capacidade de compreender, criticar e utilizar novas ideias etecnologias para a resolução de problemas.

∙ habilidade de identificar, formular e resolver problemas nasua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na análise dasituação-problema. Ainda deseja-se que

Desde o início do curso o licenciando deve ad-quirir familiaridade com o uso do computadorcomo instrumento de trabalho, incentivando-se sua utilização para o ensino de matemá-tica, em especial para a formulação e soluçãode problemas. É importante também a fami-liarização do licenciando, ao longo do curso,com outras tecnologias que possam contribuirpara o ensino de Matemática. (BRASIL, 2001,p. 6).

Porém, o que deve ser feito muitas das vezes não ocorre. No en-sino superior o processo de ensino utiliza uma metodologia comumentetradicional, sem muitas aplicações ou trabalhos práticos. Além disso,quando existe a teoria e a prática, são vistas de forma disjunta.

Segundo Fiorentini e Oliveira (2013), com o intuito de rompera tradicional formação do professor de matemática, na qual separa aformação matemática da formação didático-pedagógica e da práticaprofissional surgem algumas mudanças em relação à prática e à pesquisasobre formação de professores tais como:

A formação do professor de matemática deveorientar-se pelas diferentes práticas sociais do

28 Introdução

educador matemático; adotar, na formação ini-cial, práticas e projetos nos quais os licencian-dos possam integrar, fazendo contrastes, pro-blematizações e investigações sobre as relaçõesentre sua formação matemática na licencia-tura, sua formação didático-pedagógica relaci-onada ao conteúdo, e a complexidade das prá-ticas escolares (FIORENTINI e OLIVEIRA,2013, p. 918).

Uma boa forma de fazer essas conexões é optar pela integra-ção das tecnologia nos processos de ensino e aprendizagem. O mundono qual vivemos está inevitavelmente inserido nesse espaço chamadotecnologia, o qual a cada segundo que passa se modifica, se atualiza,fazendo com que nosso mundo se torne cada vez mais dinâmico, exi-gente e interativo. Isso faz com que cada um de nós necessite de umbom domínio das tecnologias para garantir um bom espaço no mercadode trabalho e um bom desenvolvimento pessoal. Deste modo, a escolapossui uma grande responsabilidade de colaborar no desenvolvimento ena formação da criança, desde o começo da infância até a vida adulta,deixando-os aptos para se deparar com o mercado de trabalho comotambém para possuírem uma vida ativa na sociedade.

É de suma importância que cada um de nós possua um olharcrítico e inovador, e também que esteja preparado para passar pornovas situações, e diante disso, as escolas não devem enxergar seusalunos como sujeitos portadores das mesmas características, mas simcomo um conjunto de singularidades, em que cada um aprende de umjeito e num certo período que implica que um mesmo problema podeser resolvido de diferentes formas. Assim, a opção de trabalhar coma tecnologia no ensino colabora para o desenvolvimento do aluno semdeixar de lado suas particularidades.

Ribeiro (2012) menciona que as Normas para o Currículo e aAvaliação em Matemática Escolar (NCTM), apontam como é impor-tante a utilização da tecnologia no ensino e aprendizagem da matemá-tica, ainda mais quando verificamos que a Matemática serve de base

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para muitas outras disciplinas.

Por um lado, compete, também, à disciplinade matemática inserir as tecnologias em salade aula e, por outro lado, as tecnologias sãouma mais-valia para o professor desenvolverum bom trabalho em sala de aula. (RIBEIRO,2012, p.14)

O computador, em muitos casos, permite a exploração de di-versos exemplos matemáticos que podem ser considerados difíceis deserem feitos manualmente, devido ao tempo e a precisão dos cálculos,além disso ele facilita a visualização das ideias matemáticas. O uso datecnologia também faz com que os alunos se mostrem mais motivadose dispostos a realizarem as atividades, uma vez que o ritual monótonode papel e lápis é deixado de lado. Como aluna do curso de licenciaturaem matemática e professora em formação, acredito que as aulas de ma-temática ficam muito mais produtivas quando o tradicional método decopiar do quadro e resolver operações no caderno é substituído por ummétodo dinâmico de visualizar de resolver as operações. Deste modo, ainserção da tecnologia no ensino faz com que o foco da aprendizagemseja o aluno e também auxilia na relação entre ele e o professor.

Umas das maneiras de se utilizar a tecnologia no ensino damatemática é por meio do uso de programas de Geometria Dinâmica.Segundo o Plano de Matemática do Ensino Básico (PMEB):

Os programas computacionais de GeometriaDinâmica e os applets favorecem igualmente acompreensão dos conceitos e relações geomé-tricas, pelo que devem ser também utilizados.(PONTE et al, 2008 apud RIBEIRO, 2012, p.15).

Existem diversos exemplos de tais programas, como o CabriGeométre, o Geogebra e o Cinderella, mas em particular, neste trabalhoiremos utilizar como meio de construções e verificação de propriedadese cálculos o programa de Geometria Dinâmica GeoGebra. Este software

30 Introdução

além de ser livre e portanto de fácil acesso, é de fácil utilização, possuiconstruções de curvas já pré-definidas, os comandos são em português,possui site oficial de consulta e também um manual oficial de utilização.O GeoGebra proporciona uma boa visualização dos objetos matemáti-cos como também permite trabalhar diretamente sobre eles e visualizaras mudanças imediatamente. “O GeoGebra é um software de matemá-tica dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo e é desenvolvidopara aprender e ensinar matemática nas escolas.” (HOHENWARTER;HOHENWARTER, 2009, p. 6).

Mesmo que o uso da tecnologia no ensino de matemática possatrazer benefícios à aprendizagem do aluno, é preciso que haja um certocuidado pois, todo método de ensino como também a tecnologia podeser bem ou mal utilizada. Apenas o uso da tecnologia, sem nenhum em-basamento teórico, não implica um ensino eficaz, é necessário repensaras práticas pedagógicas, no sentido de responder de que forma o usodessa ferramenta possa ser um diferencial no aprendizado.

Dentro da comunidade da educação matemá-tica, uma das poucas questões em que há con-senso a respeito da discussão sobre tecnologiaé que os computadores por si só não são capa-zes de trazer qualquer mudança, e que uma in-tensa discussão pedagógica deve ser realizada.Em outras palavras, se a decisão é usar a tec-nologia em sala de aula, o debate ainda estáaberto sobre como usá-las, a partir da pers-pectiva do professor e dos alunos, bem comodo ponto de vista de outros atores no cenárioda educação matemática(BORBA; VILLAR-REAL, 2005 apud OLIVEIRA, 2014, p. 27).

Deste modo, cabe aos professores verificarem a melhor maneirade trabalhar com recursos computacionais em sala de aula, criar ati-vidades e tarefas matemáticas que utilizem os programas como ferra-menta, com o objetivo de auxiliar na aprendizagem dos alunos.

É natural que se pense que o aluno seja um especialista no do-mínio técnico da ferramenta, porém não é necessário um conhecimento

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nesse nível. O aluno pode explorar exemplos como também obter umbreve conhecimento sobre os comandos necessários a serem utilizadosnas atividades com a ajuda do professor que deve estar apto a traba-lhar com tal programa, ou seja, deve conhecer o que está utilizando. Éimportante que o aluno entenda realmente com o que está trabalhando,pois caso realize as atividades por repetições de casos apresentados peloprofessor, com certeza sua aprendizagem não será significativa.

Para Borba e Penteado (2001 apud OLIVEIRA, 2014, p.28)mesmo que um professor opte por utilizar a tecnologia como ferra-menta para suas aulas, acaba, na maioria dos ambientes escolares, sedeparando com dificuldades oriundas do próprio corpo pedagógico. Talresistência pode partir dos outros professores quando se trata de umtrabalho em grupo, pois preferem conduzir suas atividades em uma“zona de conforto”, onde tais atividades possuem pouco movimento enão conduzem à incertezas e fatos imprevisíveis ao invés de optar poruma “zona de risco” onde tais imprevistos entram em cena, ou entãopor parte da direção da escola, que não se dispõe na busca existên-cia/permanência de boas condições e materiais para o uso da tecnologiana escola.

Os computadores na educação matemática têmajudado a estabelecer novos cenários para in-vestigação (embora alguns programas fecha-dos tentem eliminar incertezas, ajustando asatividades ao paradigma do exercício). O com-putador desafiará a autoridade do professor(tradicional) de matemática. Alunos trabalhan-do com, por exemplo, geometria dinâmica fa-cilmente encontram possíveis situações e ex-periências que os professores não previram aoplanejarem a aula. (SKOVSMOSE, 2000 apudOLIVEIRA, 2014, p. 29-30).

Nesse cenário, o objetivo deste trabalho é investigar a qua-dratura da parábola feita por Arquimedes e analisar como o recursotecnológico pode auxiliar na compreensão tanto do problema clássicoquanto do moderno, buscando responder como Arquimedes provou a

32 Introdução

quadratura da parábola, como os recursos tecnológicos podem ajudarna visualização da ideia usada por Arquimedes e como fazer a quadra-tura da parábola usando as somas de Riemann e a integral definida.A metodologia utilizada será uma pesquisa teórica eE investigativa, aqual tem como objetivo principal estruturar sistemas e modelos teóri-cos, relacionar e confrontar hipóteses, em que adotar-se-ão as etapasde: estudo do referencial teórico pertinente ao histórico da quadraturada parábola; estudo a respeito da teoria sobre a evolução do conceito dequadratura da parábola; exploração dos recursos dinâmicos do softwareGeogebra que auxiliam a compreensão do problema.

Este trabalho está inserido nos projetos de pesquisa “Integraldefinida - uma abordagem de Arquimedes à Lebesgue” coordenado pelaprofessora Ivanete Zuchi Siple e “Desmistificação dos épsilons e deltasno limite pela definição” coordenado pela professora Elisandra Bar deFigueiredo, visto que a quadratura da parábola é um dos percussoresda integral definida e o método de exaustão é um importante pontopara evolução do conceito de limite.

Este trabalho está divido da seguinte forma: no Capítulo 1será apresentado um estudo sobre os métodos da quadratura da pará-bola feita por Arquimedes e a representação (gráfica e analítica) dessesmétodos utilizando os recursos do software de geometria dinâmica Ge-oGebra. No Capítulo 2 será apresentada a quadratura da parábola pormeio do Cálculo, usando as somas de Riemann e a integral definida,também explorando algumas das funções do GeoGebra nessa linha e,finalmente serão apresentadas às conclusões deste trabalho e sugestõespara trabalhos futuros.

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1 OS MÉTODOS DE ARQUIME-DES

De acordo com Sarvestani (2011) no que diz respeito ao de-senvolvimento do Cálculo, Arquimedes é considerado o maior expoentematemático da antiguidade. Ele provou diversos resultados sobre árease volumes que hoje usamos no cálculo integral. O que o fez distinto,foi a sua abordagem diferente para dar uma demonstração geométricadedutiva. Ele encontrou os resultados por métodos mecânicos com an-tecedência. Por exemplo, ele determinava a área de uma região usandoo Método da Alavanca e depois aplicava o Método de Exaustão parademonstrar tal resultado.

Para achar áreas e volumes, o versátil Arqui-medes usou sua própria versão primitiva docálculo integral, que, de alguma maneira, émuito semelhante, quanto ao espírito, ao cál-culo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arqui-medes expôs seu “método da alavanca” paradescobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas,quando publicava provas para essas fórmulas,ele utilizava o método de exaustão para seajustar aos padrões de rigor da época. (BOYER,1993, p.57).

Para determinar a área de uma figura curva, por exemplo, umcírculo, usava o método de exaustão. Tal método, na maioria dos casos,consistia em inscrever e circunscrever um polígono regular com umaárea conhecida à curva dada e, em seguida, aumentando-se a quanti-dade de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, suas áreas con-vergiam para um número específico que representava a área desejada.Como o valor numérico encontrado por esse método é baseado em umnúmero finito de polígonos, tem-se uma aproximação para a área dese-jada. (Figura 1).

34 Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES

Figura 1 – Método de exaustão para aproximar a área do círculo.

Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de SARVESTANI (2011), p. 19).

Para encontrar a área de um segmento parabólico, Arquimedesutilizou o mesmo método da exaustão, porém ele só inscreveu um po-lígono específico (um triângulo) no interior do segmento parabólico eaumentando o número de triângulos provou o resultado obtido primei-ramente pelo Método da Alavanca, onde Arquimedes equilibrou seg-mentos de reta e segmentos de parábola entre si (Figura 2).

Figura 2 – Método de exaustão para aproximar a área do segmento parabólico.

A A A

BBB

C C C

Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de SARVESTANI (2011), p. 20).

Quando fala-se em quadratura da parábola refere-se em de-terminar uma relação entre a área de um segmento parabólico, que édefinido pela região delimitada por uma parábola 𝑝 e uma reta 𝑟 quepassa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 pertencentes a essa parábola, conforme Figura3, e um triângulo inscrito nesse segmento.

Arquimedes provou de duas maneiras diferentes, que a área deum segmento parabólico é 4/3 da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 cuja base éo segmento 𝐴𝐵 e a altura é a maior distância de um ponto da parábolaaté o segmento 𝐴𝐵, como representado na Figura 4. Conforme Edwards(1979), o ponto 𝐶, em que é atingida essa maior distância, é chamado

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Figura 3 – Segmento parabólico.

Fonte: Produção do próprio autor.

de vértice do segmento parabólico e quando 𝐴𝐵 é perpendicular ao eixoda parábola 𝐶 coincide com o vértice da parábola (conforme Proposição1.1 a seguir).

Figura 4 – Segmento parabólico e triângulo inscrito.



Para entender as demonstrações de Arquimedes precisamos sa-ber como na época era definida uma parábola e quais as suas proprieda-des. De acordo em Edwards (1979) a parábola foi definida originalmentepelos gregos como uma seção cônica, isto é, dado um cone circular duplo(cone com duas folhas) a parábola é a curva de interseção do cone comum plano que é paralelo a geratriz do cone. Outras posições do planogeram elipses, hipérboles e circunferências, como pode ser observadona Figura 5. A parábola era/é uma curva plana simétrica com relaçãoa uma linha, chamada de eixo da parábola.

Figura 5 – Seções do cone.


O software de geometria dinâmica GeoGebra, agora na versão5, implementou a versão 3D, na qual podemos trabalhar com super-fícies. Trabalhando com interseções de superfícies é possível explorarcom o aluno, principalmente os de nível médio e superior, as seções docone de maneira dinâmica1. Nas Figuras 6 e 7 temos imagens da janelainterativa do GeoGebra 3D em que é possível habilitar cada uma dasseções e mudar a sua posição alterando o valor das variáveis.

1 http://tube.geogebra.org/m/Wpe2hRJ4

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Figura 6 – Seções do cone - imagem da janela interativa do GeoGebra 3D.

Fonte: Produção do próprio autor, adaptado dehttp://tube.geogebra.org/material/show/id/1086603.

Figura 7 – Parábola - imagem da janela interativa do GeoGebra 3D.

Fonte: Produção do próprio autor, adaptado dehttp://tube.geogebra.org/material/show/id/1086603.

Em paralelo às tecnologias da geometria dinâmica, o uso deartefatos físicos pode contribuir muito para o processo de ensino eaprendizagem tanto da Geometria Plana e Espacial como também daGeometria Analítica. Na nossa experiência como professor e aluno po-demos observar que a percepção das representações espaciais é difícil


para a maioria dos alunos. Neste contexto, professores e pesquisadoresdos grupos de pesquisa do PEMSA (Grupo de Pesquisa em EducaçãoMatemática e Sistemas Aplicados ao Ensino) da Universidade do Es-tado de Santa Catarina - UDESC, têm investigado o desenvolvimentode novas práticas, criação de novos recursos didáticos, utilização datecnologia e outras alternativas para professores e alunos nos processosde ensino e aprendizagem de matemática. No projeto de pesquisa “In-tegral definida - uma abordagem de Arquimedes à Lebesgue” estão-seexplorando as potencialidades da impressora 3D e como aplicação a essetrabalho foram modeladas e impressas as seções do cone para facilitara visualização e compreensão dos alunos das interseções do cone comos planos (Figuras 8, 9, 10 e 11).

Figura 8 – Fotografia seções do cone: parábola.


Figura 9 – Fotografia seções do cone: elipse.


Edwards (1979) afirma que no tempo de Arquimedes eram co-nhecidos vários fatos sobre qualquer segmento parabólico os quais Ar-

39

Figura 10 – Fotografia seções do cone: circunferência.


Figura 11 – Fotografia seções do cone: hipérbole.


quimedes apenas citou sem prová-los, referindo-se a tratados anterioressobre cônicas de Euclides e Aristeu. Atualmente, com o uso das po-tencialidades do software GeoGebra, podemos verificar facilmente es-sas propriedades, porém temos a restrição de considerar um segmentoparabólico específico. Sabemos que a menos de rotações e translaçõespodemos considerar sempre, no plano cartesiano usual, uma parábolacom vértice sobre o eixo 𝑦 com concavidade para baixo, optamos poressa orientação por ser bem clássica em diversas referências. Assim,construímos um segmento parabólico a partir da equação de uma pa-rábola, delimitando o domínio usando o comando: Função[ <Função>,<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ], para fechar o segmentousamos o comando de segmento e selecionamos os pontos 𝐴 e 𝐵, como


na Figura 3.

A seguir enunciaremos, com base da Figura 12, quatro propo-sições conhecidas na época de Aquimedes (na Seção 1.3 falaremos umpouco mais desses resultados). Nessas proposições, o ponto 𝐶 é o vér-tice e 𝐴𝐵 é a base do segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑝

e a reta 𝑟.

Figura 12 – Segmento parabólico e suas propriedades.

Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de EDWARDS (1979), p. 37).

Proposição 1.1. A linha tangente à parábola em 𝐶 é paralela a base𝐴𝐵

Proposição 1.2. A linha por 𝐶, paralela ao eixo 𝑒 da parábola, inter-cepta a base 𝐴𝐵 no seu ponto médio 𝐷.

Proposição 1.3. Toda corda 𝑄𝑄′ paralela a base 𝐴𝐵 é bissectada por𝐶𝐷, isto é, 𝑄𝑋 = 𝑄′𝑋, sendo 𝑋 o ponto de interseção de 𝑄𝑄′ com𝐶𝐷.

Proposição 1.4. É válido que2 𝐶𝑋

𝐶𝐷= 𝑄𝑋2

𝐵𝐷2 .

2 𝑄𝑋2 é a notação usual que significa (𝑄𝑋)2.

41

A seguir descrevemos a construção dessas propriedades, apre-sentamos figuras que ilustram a situação e, para possibilitar ao leitorexplorar esses experimentos de maneira dinâmica, disponibilizamos olink das implementações no GeoGebra tube.

Para a Proposição 1.1 criamos um ponto 𝑌 sobre o segmento𝐴𝐵, por ele traçamos a reta perpendicular a 𝐴𝐵 e marcamos o pontode interseção dessa reta com a parábola, definindo o ponto 𝑍. Em 𝑍

traçamos a reta tangente à parábola, como na Figura 13. Usando ocomando de mover3 o ponto 𝑌 pode-se observar que, quando o ponto𝑍 coincide com o ponto 𝐶, ocorre a maior distância entre a reta 𝐴𝐵 eo segmento parabólico e a tangente em 𝑍 coincide com a reta paralelaa 𝐴𝐵 passando por 𝐶.

Figura 13 – Segmento parabólico - Proposição 1.1.


Para Proposição 1.2 traçamos pelo ponto 𝐶 uma reta paralelaao eixo 𝑒 da parábola (uma vez conhecida a equação da parábola, tam-bém é conhecido como o seu eixo e podemos traçá-lo) e marcamos a suainterseção com o segmento 𝐴𝐵 como sendo o ponto 𝐷. Construindo ossegmentos 𝐴𝐷 e 𝐵𝐷 o GeoGebra confirma que 𝐷 é o ponto médio de

3 http://tube.geogebra.org/student/mcegQmwIQ


𝐴𝐵, pois 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷. Figura 14. Além disso, movendo4 o ponto 𝐴 ou oponto 𝐵 nota-se que esta relação se mantém.



Para a Proposição 1.3 marcamos um ponto 𝑋 sobre o seg-mento 𝐶𝐷 e por ele traçamos uma reta paralela a 𝐴𝐵, que interceptaa parábola nos pontos 𝑄 e 𝑄′. Construindo os segmentos 𝑄𝑋 e 𝑄′𝑋 oGeoGebra novamente confirma que 𝑋 é ponto médio do segmento 𝑄𝑄′,

como pode ser observado na Figura 15. Movendo5 o ponto 𝑋 é possívelver que essa relação se mantém.

Por fim, para Proposição 1.4, podemos comparar os valoresapresentados na relação e observar que é válida a igualdade (Figura 16)e novamente movendo6 o ponto 𝑋 nota-se que a relação se mantém.

Além desses fatos precisamos ainda de outro resultado, quetambém remonta aos resultados de Euclides, usado por Arquimedes noMétodo da Alavanca que estabelece uma relação entre a parábola esegmentos tangentes a ela.

4 http://tube.geogebra.org/student/mN9pK9pEh5 http://tube.geogebra.org/student/mc0kt5SNo6 https://tube.geogebra.org/student/mBWaS3wp9

43





Proposição 1.5. Considere o segmento parabólico com base 𝐴𝐵 e vér-tice em 𝐶. Sejam 𝐵𝐹 a tangente à parábola em 𝐵, 𝑀 um ponto qualquerda base 𝐴𝐵, 𝑀𝑁 paralela ao eixo 𝑒 da parábola passando por 𝑀 e in-terceptando 𝐵𝐹 em 𝑁 e 𝐿 o ponto de interseção da parábola com 𝑀𝑁,

como na Figura 17. Então,

𝑀𝑁

𝐿𝑀= 𝐴𝐵

𝐴𝑀.


Como Arquimedes, assumiremos esse resultado como verda-deiro, como verificação pode-se mover7 o ponto 𝑀 e observar que arelação se mantém.

Figura 17 – Propriedade da Parábola.


Apresentaremos na sequência um pouco sobre a vida de Arqui-medes e as duas demonstrações da quadratura da parábola dadas porele.

1.1 ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO

Arquimedes (287-212 a.C) (Figura 18) nasceu em Siracusa naGrécia, porém segundo historiadores passou boa parte de sua vida emAlexandria, cidade do Egito. Ele possuía um vasto conhecimento nãosó no campo da matemática, mas também na invenção de engenhosas

7 http://tube.geogebra.org/m/qmFeaLf3

1.1. ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO 45

máquinas de guerra, como catapultas que lançavam pedras entre outrosequipamentos de proteção.

Segundo Eves (2011),

Os trabalhos de Arquimedes são obras-primasde exposição matemática e lembram, conside-ravelmente, artigos de revistas especializadasmodernas. Alem de exibirem grande origina-lidade, habilidade computacional e rigor nasdemonstrações, são escritos numa linguagemaltamente acabada e objetiva. Cerca de deztratados de Arquimedes se preservaram aténossos dias e há vestígios de outros extravi-ados. Talvez a mais notável das contribuiçõesfeitas à matemática por esses tratados se tra-duzam no desenvolvimento inicial de algunsdos métodos do cálculo integral.

Devido a seu pai, Arquimedes também tinha conhecimento arespeito do campo da astronomia. Segundo Contador (2014), Arquime-des estando com 75 anos de idade estava a desenhar sobre a areia ou atémesmo sobre um tabuleiro de areia, uma figura ou alguma descobertaquando foi surpreendido por um soldado romano, o qual o golpeou comuma espada levando o matemático à morte.

Em uma carta enviada a Eratóstenes, Arquimedes descreve um“certo método” que viria servir como ferramenta para investigar algunsproblemas matemáticos por meio da mecânica, o qual consistia numesquema para equilibrar entre si os “elementos” das figuras geométricas(ÁVILA, 1986, p.31).

Um segmento de reta, por exemplo, deve serconsiderado como formado de pontos; uma áreade superfície plana é imaginada como sendoconstituída de uma quantidade indefinidamentegrande de segmentos de reta paralelos; e umafigura sólida é considerada como uma totali-dade de elementos planos paralelos. (BOYER,1993, p.5)


Figura 18 – Arquimedes.

Fonte: EVES, 2011, p.192.

Com base em sua contribuição, acreditamos que Arquimedesteria muito mais influência no desenvolvimento do cálculo se estivessevivido em épocas mais atuais, uma vez que foram realizadas poucascópias do seu método, limitando o conhecimento da existência de talmétodo. Esse método mecânico originou teoremas referentes a áreas,volumes e centros de gravidade, os quais Arquimedes provou rigorosa-mente pelo Método da Exaustão de Eudóxio.

Durante sua vida, o matemático provou diversas propriedadesque envolviam diferentes tipos de figuras planas. Suas descobertas so-bre a medida do círculo, trissecção do ângulo, são exemplos de obrasque tiveram um grande impacto na época. As seções cônicas eram co-nhecidas havia mais de um século quando Arquimedes escreveu sobreelas, porém nenhum progresso foi realizado a respeito das áreas dessasfiguras. Daí então, conforme Boyer (1996), ele não se limitou a pes-quisar a respeito de círculos, coroas circulares ou cilindros, campo noqual possuía um amplo conhecimento, mas sim se colocou perante oproblema de determinar a área de um segmento parabólico.

1.2. O MÉTODO DA ALAVANCA 47

Arquimedes desenvolveu duas provas distintas da quadraturada parábola. Na primeira demonstração Arquimedes usou o seu Mé-todo da Alavanca, com o qual chegava a resolução da quadratura deum segmento de parábola, equilibrando retas como fazia com pesos emmecânica. Já na segunda maneira, o matemático demonstra a proprie-dade por meio do Método de Exaustão de Eudóxio.

No segundo trabalho, constituído de 24 propo-sições, mostra-se que a área de um segmentoparabólico é quatro terços da área do trian-gulo inscrito de mesma base e de vértice noponto onde a tangente é paralela a base. Adedução envolve a soma de uma série geomé-trica convergente (EVES, 2011, p. 194).

1.2 O MÉTODO DA ALAVANCA

De acordo com Contador (2014),a Quadratura da Parábola foio primeiro trabalho desenvolvido por Arquimedes utilizando seu Mé-todo da Alavanca. Nessa demonstração o matemático equilibrou entresi segmentos que formam o triângulo com os segmentos que formam osegmento parabólico.

Esse método diz que para determinar umaárea ou um volume, corte a região correspon-dente num número muito grande de tiras pla-nas ou de fatias paralelas finas e (mentalmente)pendure esses pedaços numa das extremidadesde uma alavanca dada, de tal maneira a esta-belecer o equilíbrio com uma figura de área ouvolume e centroide (centro de massa) conhe-cidos. Arquimedes não se satisfazia com esseprocedimento, daí porque ele recorria ao mé-todo de exaustão para fornecer uma demons-tração mais rigorosa em casos como o que aca-bamos de focalizar. Pelo Método de Equilíbriopode-se ver a fertilidade da ideia que consisteem considerar toda grandeza como sendo for-mada de um número muito grande de porçõesatômicas, embora essa ideia não tenha umafundamentação precisa. (EVES, 2011, p.422)


Na sequência apresentamos a demonstração com os mesmo ele-mentos e conhecimentos de Arquimedes na época, porém com notaçõesatuais. Seja 𝑆 o segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑝 e osegmento 𝐴𝐵, como na Figura 3. Começamos como ilustrado na Fi-gura 19 sendo 𝐷 o ponto médio de 𝐴𝐵. Na sequência traçamos por𝐵 uma reta tangente à parábola e em 𝐴 uma reta paralela ao eixo 𝑒

da parábola. A interseção dessas duas retas será o ponto 𝐹 e assimobtemos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹. Ainda por 𝐷 traçando a paralela ao eixoque intercepta a parábola em 𝐶 e o segmento 𝐵𝐹 em 𝐸. Pelas Propo-sições 1.1 e 1.2, o ponto 𝐶 é o ponto da parábola de maior distância dosegmento 𝐴𝐵, ou seja, é o vértice do segmento parabólico.

Figura 19 – Construção do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 .


Como os segmentos 𝐷𝐸 e 𝐴𝐹 são paralelos e 𝐷 é ponto médiode 𝐴𝐵 segue, da semelhança dos triângulos △𝐴𝐵𝐹 e △𝐷𝐵𝐸, que 𝐸 éponto médio do segmento 𝐵𝐹.


Seja 𝐾 o ponto médio do segmento 𝐴𝐹 e traçando as medianas𝐵𝐾, 𝐴𝐸 e 𝐷𝐹 do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹, temos que seu ponto de interse-ção será o ponto 𝐺 chamado de baricentro ou centro de gravidade dotriângulo Δ𝐴𝐵𝐹 (Figura 20).

Figura 20 – Construção do baricentro do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 .


Como na Figura 21 estendemos 𝐵𝐾 até 𝐻, de modo que 𝐵𝐾 =𝐾𝐻 e pela propriedade do baricentro 𝐾𝐺 = 1

3𝐻𝐾. Por fim traçamosnum ponto qualquer 𝑀 de 𝐴𝐵 o segmento 𝑀𝑁 paralelo ao eixo daparábola, cortando a base em 𝑀 , a curva em 𝐿, a tangente 𝐵𝐹 em 𝑁

e a mediana 𝐵𝐻 em 𝑂.

Da Proposição 1.5 (Figura 17) tem-se que

𝑀𝑁

𝐿𝑀= 𝐴𝐵

𝐴𝑀. (1.1)

Pelo Teorema de Tales, segundo Contador (2014, p.212), “Quandoum feixe de retas paralelas é seccionado por duas transversais determi-nam segmentos proporcionais”, nesse caso aplicando às paralelas 𝑀𝑁

e 𝐴𝐹 sobre os segmentos de reta 𝐵𝐾 e 𝐴𝐵, fazendo o segmento 𝐴𝐵

ser proporcional a 𝐵𝐾 na mesma proporção que 𝐴𝑀 é proporcional a


Figura 21 – Propriedade da parábola e Teorema de Tales.


𝑂𝐾, ou seja,

𝐴𝐵

𝐴𝑀= 𝐵𝐾

𝑂𝐾. (1.2)

Considere, agora, o segmento 𝐼𝐽 paralelo ao eixo da parábolatal que 𝐼𝐽 = 𝑀𝐿 e tem 𝐻 como ponto médio (Figura 22).

Como 𝐼𝐽 = 𝐿𝑀 e 𝐵𝐾 = 𝐾𝐻, de (1.1) e (1.2), Arquimedesmontou a proporção

𝑀𝑁

𝐼𝐽= 𝐵𝐾

𝑂𝐾= 𝐾𝐻

𝑂𝐾⇒ 𝐼𝐽 · 𝐾𝐻 = 𝑀𝑁 · 𝑂𝐾 (1.3)

conhecida como Lei da Alavanca.

Arquimedes considerou que se 𝐵𝐻 fosse a barra de uma ba-lança de dois pratos, e 𝐾 o ponto de apoio (fulcro), e se colocasse em𝐻 um segmento 𝐼𝐽 igual a 𝑀𝐿, suspenso pelo seu ponto médio em 𝐻,este ficará em equilíbrio com o segmento 𝑀𝑁 suspenso por seu pontomédio em 𝑂, ou seja, peso 𝐼𝐽 colocado a uma distância 𝐾𝐻 do fulcro,equilibra o peso 𝑀𝑁 a uma distância 𝑂𝐾 do fulcro.


Figura 22 – Método da alavanca de Arquimedes.

Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de CONTADOR (2014), p. 306).

Variando 𝑀 sobre o segmento 𝐴𝐵 obtemos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹

como a união de todos segmentos 𝑀𝑁 e o segmento de parábola como aunião de todos os 𝐿𝑀. Segundo Ávila (1986), agora vem a parte heurís-tica do método, considerando o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 e o segmento de pará-bola como união dos infinitos 𝑀𝑁 e 𝐿𝑀, respectivamente, presume-seque o segmento parabólico se colocado com centro de gravidade em𝐻, se equilibrará com o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 , com o centro de gravidadeem 𝐺. Nesse ponto temos a ideia dos infinitesimais que não são usadosformalmente por Arquimedes. Assim, de 1.3 temos:

𝐴𝑆 × 𝐾𝐻 = 𝐴△𝐴𝐵𝐹 × 𝐾𝐺, (1.4)

sendo 𝐴𝑆 a área do segmento parabólico 𝑆 e 𝐴△𝐴𝐵𝐹 a área do triânguloΔ𝐴𝐵𝐹. Como 𝐾𝐺 = 1

3𝐾𝐻, então de (1.4):

𝐴𝑆 × 𝐾𝐻 = 𝐴△𝐴𝐵𝐹 × 13𝐾𝐻. (1.5)

Logo, de (1.5):

𝐴𝑆 = 13𝐴△𝐴𝐵𝐹 . (1.6)


Além disso, afirmamos que:

𝐴△𝐴𝐵𝐹 = 4𝐴△𝐴𝐵𝐶 . (1.7)

Vamos mostrar esta relação. De fato, como 𝐶𝐷 é paralelo a𝐴𝐾 temos que os triângulos △𝐴𝐵𝐾 e △𝐷𝐵𝐶 são semelhantes (Fi-gura 22). Assim, 𝐴𝐾 = 2𝐶𝐷, pois 𝐷 é ponto médio de 𝐴𝐵. Ainda 𝐾

é ponto médio de 𝐴𝐹, logo 𝐴𝐹 = 4𝐶𝐷. Traçando as alturas 𝐶𝑋 e 𝐹𝑌

dos triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹 com relação a base 𝐴𝐵, respectiva-mente, como na Figura 23, temos que os triângulos Δ𝐴𝐹𝑌 e Δ𝐷𝐶𝑋

são semelhantes, pois 𝐴𝐹 é paralelo a 𝐷𝐶 e 𝐹𝑌 é paralelo a 𝐶𝑋. Logo,

𝐹𝑌

𝐶𝑋= 𝐴𝐹

𝐷𝐶= 4.

Donde, a altura relativa à base 𝐴𝐵 do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 é quatro vezesa altura do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. Disso segue (1.7).

Figura 23 – Relação entre os triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹.


Portanto, de (1.6) e (1.7):

𝐴𝑆 = 43𝐴△𝐴𝐵𝐶 (1.8)

1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS 53

concluindo a demonstração da quadratura da parábola pelo Método daAlavanca.

O software Geogebra, além de ser uma ferramenta prática queauxilia na construção dos segmentos, possibilita também verificar asdiversas propriedades como exemplificamos durante a demonstração e,para concluir, podemos ver na Figura 24 as relações finais que precisa-mos para concluir a demonstração. Na situação dinâmica movendo8 ospontos 𝐴, 𝐵 ou 𝑀 pode-se notar que as relações 1.1,1.2,1.3 e 1.7 sãomantidas.

O professor tendo em mãos este tipo de ferramenta pode trazera sala de aula uma nova forma de explicar conceitos matemáticos aosalunos, os quais podem aprender de melhor forma uma vez que elespróprios podem explorar conceitos e exemplos com o auxílio do sofware.neste caso, o Geogebra pode ser utilizado como um simulador dinâmico,na qual o aluno pode fazer conjecturas e validá-las ou refutá-las.

1.3 O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS

Depois de obter o resultado pelo método da alavanca, Arqui-medes provou o resultado com argumentos geométricos, como ele diznuma carta a Dositeo:

(...) um certo teorema geométrico que não ti-nha sido investigado antes mas que foi agorainvestigado por mim, e que eu descobri pri-meiro por métodos mecânicos e exibi por meiosgeométricos. (ÁVILA, 1986, p.38).

Nessa demonstração, Arquimedes, usa o método de exaustãode Eudoxo inscrevendo triângulos no segmento parabólico (Figura 2)e argumentos da dupla redução ao absurdo (reductio ad absurdum):para demonstrar que 𝑋 = 𝑌, mostra-se que não se pode ter 𝑋 < 𝑌 ou𝑌 < 𝑋, o que implica em 𝑋 = 𝑌.

8 http://tube.geogebra.org/m/EJjqbf6q


Figura 24 – Verificação da Lei da Alavanca.


A seguir enunciaremos algumas das 24 proposições que Arqui-medes usou nessa demonstração da quadratura que ele diz estarem nolivro sobre cônicas de Euclides. Provaremos algumas dessas proposiçõescomo consequências das outras (usando apenas argumentos geométri-cos) e outras apenas construiremos as situações de maneira dinâmica noGeoGebra para a verificação dos resultados, para tal compartilharemos,em forma de link, a situação dessas proposições. O desenvolvimento queapresentaremos segue as argumentações de Arquimedes, com algumasnotações usuais, usamos aqui como referência a vídeo aula: “Tópico deHistória da Matemática: Arquimedes”, ministrada pela professora Ta-tiana Marins Roque, da biblioteca virtual do Mestrado Profissional emMatemática em Rede Nacional - PROFMAT (ARQUIMEDES, 2013).

Na Figura 25 pode-se observar a situação descrita. Essa propo-sição relaciona as Proposições 1.1 e 1.2, em que já partimos do fato de𝐶 ser o ponto sobre a parábola mais distante do segmento 𝐴𝐵. Assim,


aqui obtemos uma maneira como determinar esse ponto 𝐶, mas semprovar que de fato ele é o ponto mais distante.

Proposição 1.6. [Proposição 1 de Arquimedes] Se por um ponto 𝐶 deuma parábola traçarmos uma reta 𝐶𝑉 que é o próprio eixo da parábolaou é paralela a esse eixo, e se 𝐴𝐵 é uma corda paralela à tangente à pa-rábola por 𝐶 e que corta 𝐶𝑉 em 𝑉, então9 𝐴𝑉 = 𝑉 𝐵. Reciprocamente,se 𝐴𝑉 = 𝑉 𝐵, a corda 𝐴𝐵 será paralela à tangente10 em 𝐶.

Figura 25 – Proposição 1.6

Fonte: Produção do próprio autor

Note que esse é o enunciado completo da Proposição 1.4 (Figura16). Na situação dinâmica movendo11 𝐵, 𝑄 ou 𝐶 pode-se ver que arelação é mantida.

Proposição 1.7. [Proposição 3 de Arquimedes] Se por um ponto 𝐶

da parábola traçarmos uma reta 𝐶𝐷 que é paralela ao eixo da parábola(ou o próprio eixo), e se por dois outros pontos da parábola 𝐵 e 𝑄

9 http://tube.geogebra.org/student/mLVm8OQRk10 http://tube.geogebra.org/student/mO17eozdu11 http://tube.geogebra.org/student/mYFoUo8fF


traçarmos duas retas paralelas à tangente à parábola por 𝐶 e que cortam𝐶𝐷 respectivamente em 𝐷 e 𝑋, então

𝐶𝐷

𝐶𝑋= 𝐵𝐷2

𝑄𝑋2 . (1.9)

Considerando o caso particular em que 𝐶 é o vértice da pará-bola, temos que a reta por 𝐶𝐷 será o eixo e assim 𝐶𝐷 será perpendi-cular a 𝐵𝐷 e 𝑄𝑋 (Figura 26).

Figura 26 – Caso particular da Proposição 1.7.


Fazendo 𝐶𝐷 = 𝑦, 𝐶𝑋 = 𝑦′, 𝐵𝐷 = 𝑥 e 𝑄𝑋 = 𝑥′ teremos de(1.9)

𝑦

𝑦′ = 𝑥2

𝑥′2 ⇒ 𝑦 =(

𝑦′

𝑥′2

)𝑥2 ⇒ 𝑦 = 𝑘𝑥2.

Essa relação, que na época de Arquimedes demostrava somente umconteúdo geométrico, pode ser interpretada, em linguagem atual, comouma das formas da equação da parábola. No tempo de Arquimedesnão se tinha a noção algébrica que temos hoje, pois tais quantidadesexpressas na equação (1.9) nada mais eram que segmentos.

Proposição 1.8. [Proposição 19 de Arquimedes] Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pon-tos de uma parábola, tal que 𝐴𝐵 é paralelo a reta tangente a parábola em𝐶. Seja 𝑅 o ponto no segmento parabólico no qual a sua tangente é para-lela a 𝐵𝐶. Sejam 𝑀 e 𝑉 os pontos em que as paralelas ao eixo da pará-bola por 𝑅 e por 𝐶, respectivamente, cortam 𝐴𝐵. Então, 𝐶𝑉 = 4

3𝑅𝑀 .


Na Figura 27 está representada a situação descrita no enunci-ado e movendo12 o ponto 𝐴 ou o ponto 𝐵 pode-se observar que estarelação é mantida.

Figura 27 – Proposição 1.8.


Demonstração: Seja 𝑌 o ponto de interseção de 𝐵𝐶 com 𝑅𝑀. PelaProposição 1.6 (com 𝑅 = 𝐶, 𝑀 = 𝑉, 𝐶 = 𝐴 e 𝐵 = 𝐵) temos que𝑌 é ponto médio de 𝐵𝐶. Além disso, temos que o triângulo Δ𝐶𝑉 𝐵 ésemelhante ao triângulo Δ𝑌 𝑀𝐵. Assim, como 𝑌 divide 𝐵𝐶 ao meio,então 𝑀 divide 𝐵𝑉 ao meio. Logo, 𝑀 é o ponto médio do segmento𝐵𝑉.

Seja 𝑅𝑊 paralela a 𝐴𝐵 passando por 𝑅 que intercepta 𝐶𝑉 em𝑊 (Figura 28). Então, pela Proposição 1.7, temos que

𝐶𝑉

𝐶𝑊= 𝐵𝑉 2

𝑅𝑊 2 . (1.10)

Como 𝑅𝑊𝑉 𝑀 é um paralelogramo temos que 𝐶𝑉 = 𝐶𝑊 + 𝑊𝑉 =𝐶𝑊 + 𝑅𝑀 e 𝑅𝑊 = 𝑀𝑉 assim em (1.10) obtemos

𝐶𝑊 + 𝑅𝑀

𝐶𝑊= (2𝑀𝑉 )2

𝑀𝑉 2 . (1.11)

Simplificando a equação (1.11) obtemos

1 + 𝑅𝑀

𝐶𝑊= 4 ⇒ 𝑅𝑀 = 3𝐶𝑊. (1.12)

12 http://tube.geogebra.org/student/mRm2qTdzg


Figura 28 – Demonstração da Proposição 1.8.


Ainda de (1.10) temos

𝐶𝑉

𝐶𝑊= (2𝑀𝑉 )2

𝑀𝑉 2 = 4 ⇒ 𝐶𝑉 = 4𝐶𝑊 ⇒ 𝐶𝑊 = 14𝐶𝑉. (1.13)

Agora de (1.12) e (1.13) obtemos que

𝑅𝑀 = 34𝐶𝑉 ⇒ 𝐶𝑉 = 4

3𝑅𝑀. (1.14)

O lema a seguir é uma das proposições de Euclides sobre áreade triângulos que está no livro Os Elementos de Euclides (2009, p. 125)e será utilizado na demonstração da Proposição 1.9.

Lema 1.1. [Proposição de Euclides] Os triângulos que estão sobre amesma base e nas mesmas paralelas são iguais entre si, ou seja, pos-suem mesma área (Figura 29).

Essa proposição, na contemporaneidade, pode ser interpretadacomo a fórmula para se calcular a área de um triângulo, pois quando ovértice do triângulo percorre uma reta paralela a base, a altura não sealtera e, portanto, a área do triângulo se mantém.


Figura 29 – Proposição de Euclides sobre áreas de triângulos.


Proposição 1.9. [Proposição 21 de Arquimedes] Seja 𝐴𝐵 a base e 𝐶

o vértice de um segmento parabólico 𝐴𝐵𝐶. Seja 𝑅 o ponto no segmentoparabólico no qual a sua tangente é paralela a 𝐵𝐶. Então, a área dotriângulo Δ𝐴𝐵𝐶 é igual a oito vezes a área do triângulo Δ𝐵𝐶𝑅, ouseja,

Δ𝐴𝐵𝐶 = 8Δ𝐵𝐶𝑅.

Figura 30 – Proposição 1.9.


Demonstração:

Sejam 𝐶𝑉 e 𝑅𝑀 como na Proposição 1.8. Provaremos queos triângulos Δ𝐴𝐶𝑉 e Δ𝐵𝐶𝑉 possuem a mesma área, assim como


Δ𝐴𝑉 𝑀 e Δ𝐶𝑀𝐵.

Na Figura 31, considerando a base desses triângulos sobre areta 𝐴𝐵, então o vértice está sobre uma paralela, a qual passa por 𝐶.

Pela Proposição 1.6, 𝑉 é o ponto médio de 𝐴𝐵 e na demonstração daProposição 1.8 provamos que 𝑀 é ponto médio de 𝐵𝑉. Então, peloLema 1.1, Δ𝐴𝐶𝑉 = Δ𝐵𝐶𝑉 e Δ𝐶𝑀𝑉 = Δ𝐵𝐶𝑀. Donde,

Δ𝐴𝐵𝐶 = 4Δ𝐵𝐶𝑀. (1.15)

Figura 31 – Decomposição do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶.

Y


Se provarmos que Δ𝐵𝐶𝑀 = 2Δ𝐵𝐶𝑅, seguirá de (1.15) o re-sultado desejado.

Seja 𝑌 o ponto de interseção de 𝑅𝑀 e 𝐵𝐶, pela Proposição1.8 temos que 𝐶𝑉 = 4

3𝑅𝑀 e, pela semelhança dos triângulos Δ𝐶𝑉 𝐵

e Δ𝑌 𝑀𝐵, segue que 𝐶𝑉 = 2𝑌 𝑀. Logo,

2𝑌 𝑀 = 𝐶𝑉 = 43𝑅𝑀 = 4

3(𝑅𝑌 + 𝑌 𝑀) ⇒ 𝑌 𝑀 = 2𝑅𝑌. (1.16)


Considerando os triângulos Δ𝐵𝑀𝑌 e Δ𝐵𝑅𝑌 com bases, res-pectivamente, 𝑌 𝑀 e 𝑅𝑌 e seu vértice em 𝐵, segue de (1.16) queΔ𝐵𝑀𝑌 = 2Δ𝐵𝑅𝑌. De maneira análoga obtemos que Δ𝐶𝑀𝑌 =2Δ𝐶𝑅𝑌. Assim,

Δ𝐵𝐶𝑀 = Δ𝐵𝑀𝑌 + Δ𝐶𝑀𝑌 = 2Δ𝐵𝑅𝑌 + 2Δ𝐶𝑅𝑌 = 2𝐵𝐶𝑅.

Com as proposições acima podemos então dar continuidade ademonstração da quadratura da parábola. Vamos mostrar que 𝐴𝑆 =43𝑇, em que 𝐴𝑆 é a área do segmento parabólico 𝑆 e 𝑇 é a área dotriângulo Δ𝐴𝐵𝐶 como na Figura 4.

Já temos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 inscrito no segmento de parábola𝑆, agora inscreveremos, na região que restou entre o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶

e 𝑆, os triângulos Δ𝐵𝐶𝐹 e Δ𝐴𝐶𝐺, sendo 𝐹 e 𝐺 os pontos em que astangentes a parábola são paralelas, respectivamente, a 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶, comona Figura 32.

Figura 32 – Inscrição de 3 triângulos no segmento parabólico.

Fonte: Produção do próprio autor


Sendo 𝑇1𝑎 e 𝑇1𝑏, respectivamente a área dos triângulos Δ𝐵𝐶𝐹

e Δ𝐴𝐶𝐺. Sabemos, pela Proposição 1.9 que 𝑇1𝑎 = 𝑇1𝑏 = 𝑇

8 . Logo,

𝑇1 = 𝑇1𝑎 + 𝑇1𝑏 = 𝑇

4 . (1.17)

Traçando novos triângulos na área que restou entre os últimostriângulos traçados e o segmento parabólico (Figura 33), mantendo amesma regra de construção anterior: a base está sobre os triângulos jáexistentes e o vértice no ponto em que a tangente à parábola é paralelaà base.

Figura 33 – Inscrição de 7 triângulos no segmento parabólico.


Desse modo surgirão mais quatro triângulos nos quais tambémvale o resultado da Proposição 1.9, assim,

𝑇2𝑎 = 𝑇2𝑏 = 𝑇2𝑐 = 𝑇2𝑑 = 18 · 𝑇

8 = 𝑇

82 .

Logo,

𝑇2 = 𝑇2𝑎 + 𝑇2𝑏 + 𝑇2𝑐 + 𝑇2𝑑 = 𝑇

42 . (1.18)


Fazendo o mesmo raciocínio concluímos que, construindo suces-sivamente triângulos sobre os lados dos triângulos anteriormente cons-truídos e vértice sobre o ponto em que a tangente à parábola é paralelaà base, vamos ter, após 𝑛 etapas, a seguinte soma das áreas de todosos triângulos construídos é igual a

𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑛−1 (1.19)

a qual Arquimedes provou ser igual a 43𝑇.

Aqui surge o problema, o qual sabemos atualmente se tratar deuma soma infinita (uma série geométrica de razão 1/4), porém Arqui-medes não tinha as ferramentas do cálculo infinitesimal que utilizamosnos dias de hoje. Ele usava argumentos bastantes diferentes dos nos-sos, como o Método da Exaustão. Para isso precisamos do auxílio daseguinte proposição.

Proposição 1.10. [Proposição 23 de Arquimedes] Dada uma sucessãofinita de áreas 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, · · · , 𝑌, 𝑍, dais quais 𝐴 é a maior, e cadauma é quatro vezes maior que sua sucessora, então

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + · · · + 𝑌 + 𝑍 + 𝑍

3 = 4𝐴

3 .

Demonstração: Sabemos que 𝐴 = 4𝐵, 𝐵 = 4𝐶, 𝐶 = 4𝐷, · · · , 𝑌 =4𝑍. Vamos realizar a seguinte soma:

𝐵+𝐶+𝐷+· · ·+𝑌 +𝑍+𝐵

3 +𝐶

3 +· · ·+𝑌

3 +𝑍

3 = 4𝐵

3 +4𝐵

3 +· · ·+4𝑌

3 +4𝑍

3 .

Como 𝐴 = 4𝐵 e portanto 𝐴

3 = 4𝐵

3 e usando esse raciocínio para asdemais parcela temos:

𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + · · · + 𝑌 + 𝑍 + 𝐵

3 + 𝐶

3 + · · · + 𝑌

3 + 𝑍

3 = 𝐴

3 + 𝐵

3 + · · · + 𝑌

3 .

Somando, agora, 𝐴 em ambos os lados teremos

𝐴+𝐵+𝐶+𝐷+· · ·+𝑌 +𝑍+ 𝐵

3 + 𝐶

3 +· · ·+ 𝑌

3 + 𝑍

3 = 𝐴+ 𝐴

3 + 𝐵

3 +...+ 𝑌

3


⇒ 𝐴+𝐵+· · ·+𝑌 +𝑍+(

𝐵

3 + 𝐶

3 + · · · + 𝑌

3

)+𝑍

3 = 𝐴+𝐴

3 +(

𝐵

3 + · · · + 𝑌

3

)⇒ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + · · · + 𝑌 + 𝑍 + 𝑍

3 = 𝐴 + 𝐴

3

⇒ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + · · · + 𝑌 + 𝑍 + 𝑍

3 = 4𝐴

3 .

Arquimedes aplica a Proposição 1.10 a soma

𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑛−1 ,

pois satisfaz as hipóteses, uma vez que cada uma das parcelas é quatrovezes a seguinte, e então, se somarmos 1

3 da última parcela, ou seja,

𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑛−1 + 13 · 𝑇

4𝑛−1

o resultado será 43 da maior parcela, desde modo,

𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑛−1 + 13 · 𝑇

4𝑛−1 = 43𝑇.

Enfim, chegamos a proposição conhecida como Quadraturada Parábola, que afirma o seguinte:

Proposição 1.11. [Proposição 24 de Arquimedes] Qualquer segmentolimitado por uma parábola e uma corda é igual a quatro terços do tri-ângulo que tem a mesma base que o segmento e a mesma altura queele.

Demonstração: O argumento principal que caracteriza o Método deExaustão utilizada por Arquimedes é o seguinte: “Se 𝐴𝑆 ≤ 4

3𝑇 e 𝐴𝑆 ≥43𝑇 , então 𝐴𝑆 = 4

3𝑇 .” Vamos demostrar as duas afirmações supondoo contrário e chegando a uma contradição, ou seja, dupla redução aoabsurdo. Deste modo, temos que:


(i) 𝐴𝑆 ≤ 43𝑇 :

Vamos supor que 𝐴𝑆 > 43 𝑇. Então, após uma certa quantidade

de etapas de construções de triângulos, vamos ter uma soma querepresenta a soma da área 𝐴 dos triângulos, é menor que 𝐴𝑆 emaior que 4

3𝑇 , ou seja, 𝐴 < 𝐴𝑆 e 𝐴 >43𝑇 . Assim, podemos

escrever essa soma da seguinte maneira:

𝐴 = 𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑛−1 .

Pela proposição 1.10 temos que

𝐴 + 13

𝑇

4𝑛−1 = 43𝑇 ⇒ 𝐴 = 4

3𝑇 − 13

𝑇

4𝑛−1 ,

donde 𝐴 <43𝑇 , o que contradiz a suposição feita.

(ii) 𝐴𝑆 ≥ 43𝑇 :

Vamos supor agora que 𝐴𝑆 <43𝑇. Com isso podemos realizar a

operação 43𝑇 −𝐴𝑆 e essa diferença resultará num número positivo.

Pela Proposição de Exaustão:

Se de uma grandeza qualquer se subtraiuma parte não menor que sua metade,do restante subtrai-se também uma partenão menor que sua metade, e assim pordiante, se chegará por fim a uma gran-deza menor que qualquer outra prede-terminada da mesma espécie. (EVES,2011, p.419).

Existirá um inteiro 𝑚 de tal modo que a área 𝑇𝑚 = 𝑇

4𝑚−1 de umdos triângulos obtidos na 𝑚−ésima iteração do procedimento, émenor que essa diferença, ou seja,

43𝑇 − 𝐴𝑆 > 𝑇𝑚. (1.20)

Por outro lado,

𝑇𝑚 >13𝑇𝑚 = 1

3𝑇

4𝑚−1 . (1.21)


Além disso, da Proposição 1.10, segue que

13

𝑇

4𝑚−1 = 43𝑇 −

(𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑚−1

). (1.22)

Deste modo, de (1.20), (1.21) e (1.22), obtemos

43𝑇 − 𝐴𝑆 > 𝑇𝑚 >

13

𝑇

4𝑚−1 = 43𝑇 −

(𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑚−1

).

Donde,𝐴𝑆 < 𝑇 + 𝑇

4 + 𝑇

42 + · · · + 𝑇

4𝑚−1 ,

o que é um absurdo, pois essa soma representa a áreas dos triân-gulos inscritos no segmento parabólico de área 𝐴𝑆 , logo não podeser maior que a área desse segmento.

Portanto, concluímos que 𝐴𝑆 = 43𝑇.

Usando o sofware GeoGebra pode-se construir os triângulos decada etapa, notando que eles vão exaurindo a área de 𝑆 e, além disso,determinar suas áreas de maneira dinâmica, verificando os resultadosque compõem a demonstração da Quadratura da Parábola pelo métodode exaustão (Proposição 1.11) (Figura 34).

Figura 34 – Áreas dos triângulos inscritos no segmento parabólico.



Não só Arquimedes concluiu o resultado da quadratura, mastambém outros matemáticos estudaram sobre tal assunto. As provas domatemático impulsionaram seus conterrâneos e sucessores a fazer no-vas descobertas. Segundo Boyer (2013), a geometria dos indivisíveis deCavalieri (1598-1647) ganhou popularidade quase imediata e tornou-se,exceto pelos trabalhos de Arquimedes, a maior fonte de pesquisas mate-máticas trabalhando com infinitesimais em geometria que culminaramcom a integral definida de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866).Boyer (2013) comenta que os problemas envolvendo infinitésimos erambem populares nessa época, e que Torricelli (1608-1647) se encantavacom eles. Um exemplo disso, é que em seu trabalho “De dimensioneparabolae”, apresentou vinte e uma provas diferentes da quadratura daparábola, usando métodos com uso de indivisíveis e de exaustão maisou menos com a mesma quantidade de provas. Boyer (2013) afirma queuma dessas provas assemelha-se muito com o trabalho de Luca Valério(1552-1618) de inscrever e circunscrever figuras.

69

2 A RESOLUÇÃO PELO CÁL-CULO

Depois de verificar a Quadratura da Parábola pelos métodosde Arquimedes, iremos neste capítulo aproximar a área do segmentoparabólico usando áreas de retângulos que podem ser inscritos ou cir-cunscritos nesse segmento. Essa soma de áreas de retângulos é definidacomo a Soma de Riemann.

Para trabalhar com essa aproximação precisamos introduzir umreferencial cartesiano, da geometria analítica, e considerar o arco de pa-rábola 𝑝 e o segmento de reta 𝑟 como porções limitadas do gráfico defunções. Assim, podemos, por meio das somas de Riemann, aproximara área do segmento de parábola e por meio da integral definida deter-minar o valor exato dessa área, para então comparar com o resultadoobtido por Arquimedes.

Consideremos o segmento de parábola 𝑆 delimitado por umaparábola 𝑝 e pelo segmento de reta 𝐴𝐵 em que 𝐴 e 𝐵 são pontos daparábola (Figura 3). Adotaremos o referencial cartesiano 𝑥𝑂𝑦 posicio-nando o eixo 𝑦 sobre o eixo da parábola 𝑝 com sentido positivo de talforma que a parábola tenha a concavidade voltada para baixo e o eixo𝑥 de modo que um dos pontos do segmento 𝐴𝐵 estejam sobre o eixo 𝑥

e o segmento parabólico fique todo no primeiro e segundo quadrantes.Algumas possibilidades dessa consideração estão ilustradas na Figura35.

Com base nessas possibilidades exploraremos o segmento pa-rabólico, como representado na Figura 36, em que a parábola é dadapela função 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥2 +𝑐, com 𝑎 e 𝑐 números reais positivos e o seg-

mento 𝐴𝐵 definido pelos pontos 𝐴

(−√

𝑐

𝑎, 0)

e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘2 + 𝑐), com

70 Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO

Figura 35 – Referencial cartesiano para a parábola.


𝑘 ∈

(−√

𝑐

𝑎,

√𝑐

𝑎

], dessa forma a equação da reta 𝑟 definida pelos

pontos 𝐴 e 𝐵 é dada pela equação 𝑔(𝑥) = 𝑚

(𝑥 +

√𝑐

𝑎

), sendo

𝑚 = −𝑎𝑘2 + 𝑐

𝑘 +√

𝑐

𝑎

. (2.1)

Figura 36 – Modelo de segmento parabólico adotado.


Para usar as somas de Riemann no segmento parabólico pode-mos considerar uma diferença da área de duas regiões: a área da regiãosob o arco da parábola menos a área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵′ (Figuras 37 e38). Usando a soma com retângulos inscritos na região (chamada somainferior) para aproximar a área sob o arco de parábola (Figura 37) e

71

soma com retângulos circunscritos na região (chamada soma superior)para aproximar a área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵′ (Figura 38) obtemos umaaproximação por retângulos inscritos no segmento parabólico, como naFigura 39.

Figura 37 – Aproximação da área sob o arco da parábola.


Figura 38 – Aproximação da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵′.



Figura 39 – Aproximação da área do segmento parabólico 𝑆.


2.1 SOMAS DE RIEMANN

Para formalizar o cálculo da área de 𝑆 usando uma aproxima-ção por áreas de retângulos iremos introduzir o caso do cálculo da áreade uma região sob o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) positiva e contínuapara 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Primeiro, iremos aproximar a área dessa região pela soma deáreas de retângulos (em particular, inscritos ou circunscritos), entãotomaremos o limite dessa soma, conforme o número de retângulos au-menta arbitrariamente, conforme a Figura 40, e esse limite, quandoexistir, é definido como a integral de Riemann da função 𝑓 no intervalo[𝑎, 𝑏]. Para essa formalização usaremos Guidorizzi (2000).

Uma partição 𝑃 de um intervalo [𝑎, 𝑏] é um conjunto finito𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛}, 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ... < 𝑥𝑛 = 𝑏. A amplitudedo intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] será indicada por Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. Os núme-ros Δ𝑥1, Δ𝑥2, ..., Δ𝑥𝑛 não são necessariamente iguais; o maior delesdenomina-se amplitude da partição 𝑃 e indica-se por máx Δ𝑥𝑖.

Assim, definimos

2.1. SOMAS DE RIEMANN 73

Figura 40 – Aproximando áreas com retângulos - soma superior.

a ba b


Definição 2.1. Sejam 𝑓 uma função definida em [𝑎, 𝑏] e 𝑃 : 𝑎 = 𝑥0 <

𝑥1 < 𝑥2 < ... < 𝑥𝑛 = 𝑏 uma partição de [𝑎, 𝑏]. Para cada índice 𝑖 (𝑖 =1, 2, 3, ..., 𝑛) seja 𝑐𝑖 um número em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] escolhido arbitrariamente.O número

𝑛∑𝑖=1

𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 = 𝑓(𝑐1)Δ𝑥1 + 𝑓(𝑐2)Δ𝑥2 + ... + 𝑓(𝑐𝑛)Δ𝑥𝑛 (2.2)

denomina-se soma de Riemann de 𝑓 , relativa à partição 𝑃 e aosnúmeros 𝑐𝑖.

Observe que, se 𝑓(𝑐𝑖) > 0, então 𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 será a área do re-tângulo 𝑅𝑖 determinado pelas retas 𝑥 = 𝑥𝑖−1, 𝑥 = 𝑥𝑖, 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑖)(Figura 41), enquanto se 𝑓(𝑐𝑖) < 0, a área de tal retângulo será dadopelo valor numérico de −𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 (Figura 42).

Geometricamente podemos então interpretar a soma de Rie-mann (2.2) como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos 𝑅𝑖

que estão acima do eixo 𝑥 e a soma das áreas dos que estão abaixo doeixo 𝑥 (Figura 43).


Figura 41 – 𝑓(𝑐𝑖) > 0.

xi-1 xia b

f(c )i


Figura 42 – 𝑓(𝑐𝑖) < 0.

a

b

xi-1 xi

f(c )i


Como casos particulares de somas de Riemann para funçõeslimitadas em [𝑎, 𝑏] é usual usar as somas superiores denotadas por𝑆(𝑓, 𝑃 ), na qual deve-se escolher 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] de tal forma que 𝑓(𝑐𝑖) éo máximo da função no subintervalo, e inferiores denotadas por 𝑆(𝑓, 𝑃 ),em que escolhe-se 𝑐𝑖 tal que 𝑓(𝑐𝑖) é mínimo da função no subintervalo.Como a soma de Riemann depende da escolha de 𝑐𝑖 e do número deretângulos, sempre haverá uma diferença entre essas somas, porém,quando o número de retângulos tende ao infinito, espera-se que as so-mas convirjam para o mesmo valor. No caso de uma região 𝑅 totalmenteacima do eixo 𝑥 temos que a soma superior sempre resultará uma áreamaior que 𝑅, como ilustra a Figura 40, e a soma inferior resultará umaárea menor que 𝑅 (Figura 44). Assim, se existir a área de 𝑆 conforme o


Figura 43 – Diferença de áreas.

a b


número de retângulos aumenta o valor dessas duas somas se aproxima.

Figura 44 – Aproximando áreas com retângulos - soma inferior.

a ba b


A seguir apresentaremos dois exemplos da aproximação da área


do segmento parabólico por somas de Riemann, usando a somas infe-riores com a amplitude dos subintervalos tomada como constante. Oprimeiro exemplo será um caso particular numérico para facilitar acompreensão e o segundo exemplo generaliza a situação que propomos.

Exemplo 2.1. Considere o segmento parabólico delimitado pela pará-bola 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Os pontos de interseçãodessas curvas são 𝐴(−2, 0) e 𝐵(1, 3).

Para resolver esse problema faremos, como já descrito acima,uma diferença de áreas de regiões: a área sob o arco da parábola 𝑦 =𝑓(𝑥) e a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Figura 45 – Soma inferior na parábola.


A Figura 45 ilustra geometricamente a soma inferior da fun-ção 𝑓 referente a uma partição com 9 pontos. Observemos que as al-turas dos retângulos inscritos não possuem o mesmo comportamentoem todos os subintervalos da partição. Isso ocorre pois no intervalo[−2, 0] a função é crescente, logo assume seu ponto de mínimo no ex-tremo esquerdo de cada subintervalo e no intervalo [0, 1] a função é


decrescente assumindo seu mínimo no direito de cada subintervalo. As-sim, para obter uma expressão para soma inferior em função do nú-mero de retângulos inscritos (ou número de pontos da partição) to-maremos uma partição 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛} do intervalo [−2, 0] eoutra partição 𝑄 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2, · · · , 𝑧𝑛} do intervalo [0, 1] de modo queΔ𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = 2

𝑛, e Δ𝑧 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1 = 1

𝑛, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Logo, para

cada 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e para cada 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 temos

𝑥0 = −2, 𝑥1 = −2 + Δ𝑥, 𝑥2 = −2 + 2Δ𝑥, · · · , 𝑥𝑛 = −2 + 𝑛Δ𝑥 (2.3)

e

𝑧0 = 0, 𝑧1 = Δ𝑧, 𝑧2 = 2Δ𝑧, · · · , 𝑧𝑛 = 𝑛Δ𝑧. (2.4)

Observamos que com as partições 𝑃 e 𝑄 como acima, estamosinserindo 𝑛 retângulos em cada uma das regiões: [−2, 0] e [0, 1]. Como ointervalo [−2, 0] tem o dobro do comprimento do intervalo [0, 1] teremosretângulos com bases diferentes em cada região: Δ𝑥 = 2Δ𝑧. A Figura46 ilustra essa soma.

Figura 46 – Soma inferior na parábola com bases diferentes.


Faremos agora o cálculo dessas somas.


Observação: Para calcular somas inferiores ou superiores, se-rão usadas as seguintes expressões:

(i) 1 + 2 + 3 + · · · + 𝑘 = (1 + 𝑘)𝑘2

(ii) 12 + 22 + 32 + · · · + 𝑘2 = 𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)6

Soma inferior para o intervalo [−2, 0] :

𝑆(𝑓, 𝑃 ) = 𝑓(𝑥0)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥2)Δ𝑥 + ... + 𝑓(𝑥𝑛−1)Δ𝑥

= 𝑓(−2)Δ𝑥 + 𝑓(−2 + Δ𝑥)Δ𝑥 + 𝑓(−2 + 2Δ𝑥)Δ𝑥 +

... + 𝑓(−2 + (𝑛 − 1)Δ𝑥)Δ𝑥

= Δ𝑥[(−(−2)2 + 4) + (−(−2 + Δ𝑥)2 + 4) +

(−(−2 + 2Δ𝑥)2 + 4) + ... + (−(−2 + (𝑛 − 1)Δ𝑥)2 + 4)]

= Δ𝑥[(−4 + 4) + (−(4 − 4Δ𝑥 + (Δ𝑥)2) + 4) + ... +

(−(4 − 4(𝑛 − 1)Δ𝑥 + (𝑛 − 1)2(Δ𝑥)2) + 4)]

= Δ𝑥[4Δ𝑥(1 + 2 + ... + 𝑛 − 1) − (Δ𝑥)2(12 + 22 + ... + (𝑛 − 1)2)]

= 2𝑛

[4 · 2

𝑛

𝑛(𝑛 − 1)2 −

(2𝑛

)2( (𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1)6

)]

= 2𝑛

[4𝑛 − 4 −

(2

3𝑛2

)(2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛)

]= 8 − 8

𝑛− 8

3 + 4𝑛

− 43𝑛2

= 163 − 4

𝑛− 4

3𝑛2

Portanto,

𝑆(𝑓, 𝑃 ) = 163 − 4

𝑛− 4

3𝑛2 . (2.5)

Soma inferior para o intervalo [0, 1] :


𝑆(𝑓, 𝑄) = 𝑓(𝑧1)Δ𝑧 + 𝑓(𝑧2)Δ𝑧 + 𝑓(𝑧3)Δ𝑧 + ... + 𝑓(𝑧𝑛)Δ𝑧

= 𝑓(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑓(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑓(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧

= Δ𝑧[𝑓(Δ𝑧) + 𝑓(2Δ𝑧) + ... + 𝑓(𝑛Δ𝑧)

= Δ𝑧[(−(Δ𝑧)2 + 4) + (−(2Δ𝑧)2 + 4) + ... + (−(𝑛Δ𝑧)2 + 4)

= Δ𝑧[−Δ𝑧2(12 + 22 + ... + 𝑛2) + 4𝑛]

= 1𝑛

[− 1

6𝑛2 (2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛) + 4𝑛

]= 11

3 − 12𝑛

− 16𝑛2

Portanto,

𝑆(𝑓, 𝑄) = 113 − 1

2𝑛− 1

6𝑛2 . (2.6)

Seja 𝑇 = 𝑃 ∪ 𝑄 uma partição do intervalo [−2, 1]. De (2.5) e(2.6) obtemos a soma inferior de 𝑓 para o intervalo [−2, 1] :

𝑆(𝑓, 𝑇 ) = 𝑆(𝑓, 𝑃 ) + 𝑆(𝑓, 𝑄) = 9 − 92𝑛

− 32𝑛2 . (2.7)

Agora faremos a soma superior na região sob a reta 𝐴𝐵, com𝑥 ∈ [−2, 1], a Figura 47 ilustra a soma superior da função 𝑔 referente auma partição com 9 pontos.

Figura 47 – Soma superior na reta.



Note que as alturas dos retângulos circunscritos possuem omesmo comportamento em todos os subintervalos da partição, poisa função é crescente, logo assume seu ponto de máximo no extremodireito de cada subintervalo. No entanto, como nosso objetivo é fazera diferença da soma inferior de 𝑓 e da soma superior de 𝑔 usaremosa mesma partição 𝑇 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛, 𝑧1, 𝑧2, · · · 𝑧𝑛} do intervalo[−2, 1] de modo que Δ𝑥 = 2

𝑛, Δ𝑧 = 1

𝑛e 𝑥𝑛 = 𝑧0 logo 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e 𝑧𝑖 ∈ 𝑄

são como em (2.3) e (2.4). Dessa forma, novamente teremos retânguloscom bases diferentes em [−2, 0] e [0, 1] (Figura 48).

Figura 48 – Soma superior na reta com bases diferentes.


Assim,

𝑆(𝑔, 𝑇 ) = 𝑔(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑔(𝑥2)Δ𝑥 + ... + 𝑔(𝑥𝑛)Δ𝑥 +

+𝑔(𝑧1)Δ𝑧 + 𝑔(𝑧2)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑧𝑛)Δ𝑧

= 𝑔(−2 + Δ𝑥)Δ𝑥 + 𝑔(−2 + 2Δ𝑥)Δ𝑥 + ... + 𝑔(−2 + 𝑛Δ𝑥)Δ𝑥

+𝑔(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑔(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧

= Δ𝑥[(−2 + Δ𝑥 + 2) + (−2 + 2Δ𝑥 + 2) + ... + (−2 + 𝑛Δ𝑥 + 2)]

+Δ𝑧[(Δ𝑧 + 2) + (2Δ𝑧 + 2) + ... + (𝑛Δ𝑧 + 2)]

= (Δ𝑥)2(1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + (Δ𝑧)2(1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + 2𝑛Δ𝑧

=(

2𝑛

)2· 𝑛2 + 𝑛

2 + 1𝑛2 · 𝑛2 + 𝑛

2 + 2𝑛 · 1𝑛

= 92 + 5

2𝑛.


Logo,

𝑆(𝑔, 𝑇 ) = 92 + 5

2𝑛. (2.8)

Finalmente, das expressões obtidas em (2.7) e (2.8) obtemos aexpressão em termos do número de retângulos inscritos no segmentoparabólico 𝑆 (Figura 39).

𝐴𝑆 ≈ 𝑆(𝑓, 𝑇 ) − 𝑆(𝑔, 𝑇 ) = 92 − 7

𝑛− 3

2𝑛2 . (2.9)

Substituindo valores para 𝑛 obtemos algumas aproximações(com 2𝑛 retângulos inscritos, visto que inscrevemos 𝑛 no intervalo[−2, 0] e outros 𝑛 no intervalo [0, 1]):

∙ 𝑛 = 1 ⇒ 2 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈ −4;

∙ 𝑛 = 3 ⇒ 6 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈ 2;

∙ 𝑛 = 8 ⇒ 16 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈ 461128 ≈ 3, 6.

A soma quando 𝑛 = 1 é negativa, pois a soma inferior de 𝑓(𝑥) =4 − 𝑥2 no intervalo [−2, 0] é nula quando usamos apenas um retângulo,enquanto a soma superior de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 nesse intervalo é igual a 4.

No intervalo [0, 1] a soma inferior de 𝑓 é igual a soma superior de 𝑔,

como pode ser observado na Figura 49.

No GeoGebra a simulação dinâmica permite alterar rapida-mente o valor de 𝑛 para obter diversas aproximações, mas não é possí-vel obter a expressão geral em termos do número de retângulos usados.Para conferir com o resultado algébrico do Exemplo 2.1, foi precisofazer as somas separadas nos intervalos: [−2, 0] e [0, 1], porém essa que-bra não é necessária de maneira geral, pois o GeoGebra constrói osretângulos inscritos ou circunscritos usando apenas como referência osvalores da função no subintervalo, mas para o cálculo algébrico precisa-mos controlar o máximo e mínimo da função conforme ela é crescente


Figura 49 – Soma inferior no segmento parabólico - com 𝑛 = 1.


ou decrescente no intervalo original. A Figura 50 ilustra a janela do Ge-oGebra para o valor de 𝑛 = 8, na situação desenvolvida algebricamenteno Exemplo 2.1.

Movendo1 o controle deslizante de 𝑛 e pode-se observar as apro-ximações obtidas.

Para fazer a aproximação por somas o GeoGebra oferece trêsopções:

∙ SomaDeRiemanÀEsquerda[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Va-lor de x Final>, <Número de Retângulos> ]2 na qual a altura dosretângulos é assumida no extremo esquerdo de cada subintervalo;

∙ SomaDeRiemannInferior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Va-lor de x Final>, <Número de Retângulos> ]3 na qual a altura

1 http://tube.geogebra.org/student/mc4h0NKV42 http://tube.geogebra.org/student/mouJVm82Y3 http://tube.geogebra.org/student/mZPQRoDaz


Figura 50 – Soma inferior no segmento parabólico - conferência do desenvolvimentoalgébrico.


dos retângulos é assumida no ponto de mínimo da função em cadasubintervalo;

∙ SomaDeRiemannSuperior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Va-lor de x Final>, <Número de Retângulos>]4 na qual a altura dosretângulos é assumida no ponto de máximo da função em cadasubintervalo.

Para fazer tais somas no segmento parabólico ainda precisamostrabalhar com uma diferença de áreas: a área sob o arco de parábola e aárea sob o segmento de reta, porém sem fazer a quebra nos intervalos emque as funções mudam de comportamento de crescente para decrescenteou vice versa. Essa quebra é necessária para a conta algébrica parapoder determinar o ponto 𝑐𝑖 do subintervalo em que é assumido o pontode máximo ou de mínimo.

4 http://tube.geogebra.org/student/milkgONge


Nas Figuras 51, 52 e 53 temos a representação da soma inferior,superior e à esquerda com 𝑛 = 11 retângulos, respectivamente.

Figura 51 – Soma inferior no segmento parabólico.


Figura 52 – Soma superior no segmento parabólico.



Figura 53 – Soma à esquerda no segmento parabólico.


Na sequência apresentamos um exemplo da situação geral comodescrita na introdução deste capítulo.

Exemplo 2.2. Considere o segmento parabólico do nosso caso geral de-

limitado pela parábola 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥2 +𝑐 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥+𝑚

√𝑐

𝑎,

sendo 𝑚 como em (2.1). Nesse caso os pontos de interseção dessas cur-

vas são 𝐴

(−√

𝑐

𝑎, 0)

e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘2 + 𝑐), com 𝑘 ∈

(−√

𝑐

𝑎,

√𝑐

𝑎

].

Para este caso faremos como no Exemplo 2.1: a área sob o arcoda parábola 𝑦 = 𝑓(𝑥) menos a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Como a função 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥2+𝑐 é crescente no intervalo[−√

𝑐

𝑎, 0]

e decrescente no intervalo [0, 𝑘], caso tenhamos 𝑘 > 0, então o desenvol-vimento da soma de Riemann inferior precisará ser feita em cada umdesses intervalos, de modo semelhante ao Exemplo 2.1. Assim, toma-

remos uma partição 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛} do intervalo[−√

𝑐

𝑎, 0]

e

outra partição 𝑄 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2, · · · , 𝑧𝑛} do intervalo [0, 𝑘] de modo que


Δ𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =√

𝑐√𝑎𝑛

, e Δ𝑧 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1 = 𝑘

𝑛, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Logo,

para cada 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e para cada 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 temos

𝑥0 = −√

𝑐

𝑎, 𝑥1 = −

√𝑐

𝑎+ Δ𝑥, · · · , 𝑥𝑛 = −

√𝑐

𝑎+ 𝑛Δ𝑥 (2.10)

e

𝑧0 = 0, 𝑧1 = Δ𝑧, 𝑧2 = 2Δ𝑧, · · · , 𝑧𝑛 = 𝑛Δ𝑧. (2.11)

Observamos que com as partições 𝑃 e 𝑄 como acima, estamos

inserindo 𝑛 retângulos em cada uma das regiões:[√

𝑐

𝑎, 0]

e [0, 𝑘]. Se

𝑘 <

√𝑐

𝑎então teremos Δ𝑥 > Δ𝑧.

Faremos agora o cálculo dessas somas.

Soma inferior para o intervalo[−√

𝑐

𝑎, 0]

:


𝑆(𝑓, 𝑃 ) = 𝑓(𝑥0)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥2)Δ𝑥 + ... + 𝑓(𝑥𝑛−1)Δ𝑥

= 𝑓

(−√

𝑐

𝑎

)Δ𝑥 + 𝑓

(−√

𝑐

𝑎+ Δ𝑥

)Δ𝑥 + 𝑓

(−√

𝑐

𝑎+ 2Δ𝑥

)Δ𝑥 +

... + 𝑓

(−√

𝑐

𝑎+ (𝑛 − 1)Δ𝑥

)Δ𝑥

= Δ𝑥

[(−𝑎

(−√

𝑐

𝑎

)2

+ 𝑐

)+(

−𝑎

(−√

𝑐

𝑎+ Δ𝑥

)2

+ 𝑐

)+(

−𝑎

(−√

𝑐

𝑎+ 2Δ𝑥

)2

+ 𝑐

)+ ... +(

−𝑎

(−√

𝑐

𝑎+ (𝑛 − 1)Δ𝑥

)2

+ 𝑐

)]

= Δ𝑥

[(−𝑎( 𝑐

𝑎

)+ 𝑐)

+(

−𝑎

(𝑐

𝑎− 2Δ𝑥

√𝑐

𝑎+ (Δ𝑥)2

)+ 𝑐

)+(

−𝑎

(𝑐

𝑎− 4Δ𝑥

√𝑐

𝑎+ 4(Δ𝑥)2

)+ 𝑐

)+ ... +(

−𝑎

(𝑐

𝑎− 2(𝑛 − 1)Δ𝑥

√𝑐

𝑎+ (𝑛 − 1)2(Δ𝑥)2

)+ 𝑐

)]

= 2𝑎

√𝑐

𝑎(Δ𝑥)2(1 + 2 + · · · + (𝑛 − 1))

−𝑎(Δ𝑥)3(12 + 22 + · · · + (𝑛 − 1)2)

= 2√

𝑎𝑐

(1𝑛

√𝑐

𝑎

)2

· 𝑛2 − 𝑛

2 − 𝑎

(1𝑛

√𝑐

𝑎

)3

· 2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛

6

= 𝑐√

𝑐√𝑎

(23 − 1

2𝑛− 1

6𝑛2

).

Portanto,

𝑆(𝑓, 𝑃 ) = 𝑐√

𝑐√𝑎

(23 − 1

2𝑛− 1

6𝑛2

). (2.12)

Fazendo 𝑎 = 1 e 𝑐 = 4 obtemos o mesmo valor que em (2.5).

Soma inferior para o intervalo [0, 𝑘] :


𝑆(𝑓, 𝑄) = 𝑓(𝑧1)Δ𝑧 + 𝑓(𝑧2)Δ𝑧 + 𝑓(𝑧3)Δ𝑧 + ... + 𝑓(𝑧𝑛)Δ𝑧

= 𝑓(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑓(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑓(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧

= Δ𝑧[(−𝑎(Δ𝑧)2 + 𝑐) + (−𝑎(2Δ𝑧)2 + 𝑐) + ... + (−𝑎(Δ𝑧)2 + 𝑐)

= Δ𝑧[−𝑎(Δ𝑧)2(12 + 22 + ... + 𝑛2) + 𝑐𝑛]

= 𝑘

𝑛

[−𝑎

𝑘2

𝑛22𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛

6 + 𝑐𝑛

]= −𝑎𝑘3

(13 + 1

2𝑛+ 1

6𝑛2

)+ 𝑐𝑘

= 3𝑐𝑘 − 𝑎𝑘3

3 − 𝑎𝑘3

2𝑛− 𝑎𝑘3

6𝑛2 .

Portanto,

𝑆(𝑓, 𝑄) = 3𝑐𝑘 − 𝑎𝑘3

3 − 𝑎𝑘3

2𝑛− 𝑎𝑘3

6𝑛2 . (2.13)


Seja 𝑇 = 𝑃 ∪𝑄 uma partição do intervalo[−√

𝑐

𝑎, 𝑘

]. De (2.12)

e (2.13) obtemos a soma inferior de 𝑓 para o intervalo[−√

𝑐

𝑎, 𝑘

]:

𝑆(𝑓, 𝑇 ) = 𝑆(𝑓, 𝑃 ) + 𝑆(𝑓, 𝑄)

𝑆(𝑓, 𝑇 ) = 2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√

𝑎𝑘 − 𝑎√

𝑎𝑘3

3√

𝑎− 𝑐

√𝑐 + 𝑎

√𝑎𝑘3

2√

𝑎

(1𝑛

+ 13𝑛2

).(2.14)

Agora faremos a soma superior na região sob a reta 𝐴𝐵, como

𝑥 ∈[−√

𝑐

𝑎, 𝑘

]. Como 𝑔 é uma função crescente temos que os pontos de

máximo em cada subintervalo estão no extremo direito, logo não haveriaa necessidade de fazer a soma separada. Porém como nosso objetivo é fa-zer a diferença da soma inferior de 𝑓 e da soma superior de 𝑔, novamenteusaremos a mesma partição 𝑇 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛, 𝑧1, 𝑧2, · · · 𝑧𝑛} do in-

tervalo[−√

𝑐

𝑎, 𝑘

], de modo que Δ𝑥 =

√𝑐√

𝑎𝑛, Δ𝑧 = 𝑘

𝑛e 𝑥𝑛 = 𝑧0 logo

𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 são como em (2.10) e (2.11). Dessa forma, novamente


teremos retângulos com bases diferentes em[√

− 𝑐

𝑎, 0]

e [0, 𝑘], caso

𝑘 <

√𝑐

𝑎. Assim,

𝑆(𝑔, 𝑇 ) = 𝑔(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑔(𝑥2)Δ𝑥 + ... + 𝑔(𝑥𝑛)Δ𝑥 +

+𝑔(𝑧1)Δ𝑧 + 𝑔(𝑧2)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑧𝑛)Δ𝑧

= 𝑔

(−√

𝑐

𝑎+ Δ𝑥

)Δ𝑥 + 𝑔

(−√

𝑐

𝑎+ 2Δ𝑥

)Δ𝑥 + ... +

𝑔

(√𝑐

𝑎+ 𝑛Δ𝑥

)Δ𝑥 + 𝑔(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑔(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧

= Δ𝑥

[𝑚

(−√

𝑐

𝑎+ Δ𝑥 +

√𝑐

𝑎

)+ 𝑚

(−√

𝑐

𝑎+ 2Δ𝑥 +

√𝑐

𝑎

)

+... + 𝑚

(−√

𝑐

𝑎+ 𝑛Δ𝑥 +

√𝑐

𝑎

)]

+Δ𝑧

[𝑚

(Δ𝑧 +

√𝑐

𝑎

)+ 𝑚

(2Δ𝑧 +

√𝑐

𝑎

)+ ... + 𝑚

(𝑛Δ𝑧 +

√𝑐

𝑎

)]= 𝑚(Δ𝑥)2(1 + 2 + 3 + ... + 𝑛)

+𝑚(Δ𝑧)2(1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + 𝑚

√𝑐

𝑎𝑛Δ𝑧

𝑚

(𝑐

𝑎𝑛2 + 𝑘2

𝑛2

)· 𝑛2 + 𝑛

2 + 𝑚

√𝑐

𝑎

𝑘

𝑛· 𝑛

= 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2 + 2√

𝑎𝑐𝑘)2𝑎

+ 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2)2𝑛

.

Logo,

𝑆(𝑔, 𝑇 ) = 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2 + 2√

𝑎𝑐𝑘)2𝑎

+ 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2)2𝑛

. (2.15)


Finalmente, das expressões obtidas em (2.14) e (2.15) obtemosa expressão para a área do segmento parabólico em termos do númerode retângulos inscritos no segmento parabólico 𝑆.


𝐴𝑆 ≈ 𝑆(𝑓, 𝑇 ) − 𝑆(𝑔, 𝑇 )

= 2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎− 𝑐

√𝑐 + 𝑎

√𝑎𝑘3

2√

𝑎

(1𝑛

+ 13𝑛2

)−𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2 + 2

√𝑎𝑐𝑘)

2𝑎− 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2)

2𝑛. (2.16)

De forma análoga ao Exemplo 2.1, o GeoGebra permite a simu-lação dinâmica para explorar vários valores para 𝑎, 𝑐 e 𝑘. Além disso,para cada um desses valores é possível fazer as aproximações da área dosegmento parabólico pelas somas de Riemann. Para ilustrar a situaçãodo Exemplo 2.2, construímos as somas análogas às da resolução. O re-sultado pode ser observado na Figura 54, na implementação dinâmica5

pode-se alterar os valores de 𝑎, 𝑐 e 𝑘 para mudar o segmento parabólicoe 𝑛 para ter aproximações com uma quantidade variável de retângulos.

Figura 54 – Soma inferior - Exemplo 2.2.


5 http://tube.geogebra.org/m/SpxKsLR4

2.2. INTEGRAL DE RIEMANN 91

2.2 INTEGRAL DE RIEMANN

Depois de verificar o resultado da área do segmento parabólicopor meio das somas de Riemann, vamos agora obter o valor mais precisoda área de tais regiões.

Definição 2.2. Seja 𝑓 uma função definida em [𝑎, 𝑏] e 𝐿 um númeroreal. Dizemos que

∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 tende a 𝐿, quando máx Δ𝑥𝑖 −→ 0, e

escrevemos

lim𝑚á𝑥Δ𝑥𝑖→0

𝑛∑𝑖=1

𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 = 𝐿

se, para todo 𝜖 > 0, existir um 𝛿 > 0 que só dependa de 𝜖, mas não daparticular escolha dos 𝑐𝑖, tal que

|𝑛∑

𝑖=1𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖 − 𝐿| < 𝜖

para toda partição 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, · · · , 𝑥𝑛} de [𝑎, 𝑏], com máx Δ𝑥𝑖 < 𝛿

e 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Tal número 𝐿, que quando existe éúnico, denomina-se integral de Riemann de 𝑓 em [𝑎, 𝑏] e indica-sepor

∫ 𝑏

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Então, por definição,∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑚á𝑥Δ𝑥𝑖→0

𝑛∑𝑖=1

𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖.

Estamos assumindo as propriedades e Teoremas clássicos so-bre integral de Riemann, como referência pode-se consultar Guidorizzi(2000), em particular, sabe-se que toda função contínua é integrável.Logo, as funções que delimitam o segmento parabólico são integráveis.Além disso, observe que conforme máxΔ𝑥 tente para zero tem-se queo número de retângulos construídos na soma de Riemann tende para oinfinito, ou seja, 𝑛 tente para infinito. Assim, calculando o limite dassomas obtidas em (2.9) e (2.16) temos que a área do segmento definidono Exemplo 2.1 tendo calculado o limite é


𝐴𝑆 = lim𝑛→∞

92 − 7

𝑛− 3

2𝑛2 = 92u.a. (2.17)

e a área do segmento do Exemplo 2.2 é

𝐴𝑆 = lim𝑛→∞

2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎− 𝑐

√𝑐 + 𝑎

√𝑎𝑘3

2√

𝑎

(1𝑛

+ 13𝑛2

)−

𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2 + 2√

𝑎𝑐𝑘)2𝑎

− 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2)2𝑛

=(

2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎− 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘2 + 2

√𝑎𝑐𝑘)

2𝑎

)u.a.. (2.18)

Calcular as somas de Riemann e consequentemente seu limitenem sempre é uma tarefa fácil, para contornar esse problema tem-se,para a classe das funções contínuas, o Teorema Fundamental do Cálculo(TFC), que faz a conexão entre a integral definida e a primitiva dafunção.

Teorema 2.1 (TFC). Se 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → R é contínua e 𝐹 é uma primitiva

de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], então∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎).

Deste modo, podemos novamente fazer relação entre a qua-dratura da parábola e a integral, pois por meio da integral tambémpodemos calcular áreas. Novamente, como no caso das somas de Ri-emann, precisamos saber com qual função estamos trabalhando paraassim realizar os cálculos. Vamos utilizar os mesmos exemplos da Seção2.1 e calcular as áreas por meio da integral de Riemann.



Figura 55 – Integral definida da função 𝑓 no intervalo [−2, 0].


Da mesma forma que nas somas de Riemann, para este casofaremos uma diferença de áreas de regiões: a área sob o arco da parábola𝑦 = 𝑓(𝑥) e a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).

A Figura 55 ilustra a área da região 𝐴𝑝 sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)calculada pela integral da função 𝑓 no intervalo [−2, 1]. Note que afunção 𝑓 é contínua em todo o intervalo [−2, 1], logo podemos usar oTFC.

𝐴𝑝 =∫ 1

−2(−𝑥2 + 4)𝑑𝑥

= −𝑥3

3 + 4𝑥

1

−2

=[− (1)3

3 + 4(1)]

−[− (−2)3

3 + 4(−2)]

= 9.

Portanto,

𝐴𝑝 =∫ 1

−2(−𝑥2 + 4)𝑑𝑥 = 9. (2.19)


Agora faremos o cálculo para a região sob a reta 𝐴𝐵, isto é, ocálculo da área 𝐴𝑟 abaixo da função 𝑔. A Figura 56 ilustra essa área.

Figura 56 – Integral definida da função 𝑔 no intervalo [−2, 0].


Como a função 𝑔 é contínua em todo o intervalo [−2, 1] temos

𝐴𝑟 =∫ 1

−2(𝑥 + 2)𝑑𝑥

= 𝑥2

2 + 2𝑥

1

−2

=[

(1)2

2 + 2(1)]

−[

(−2)2

2 + 2(−2)]

= 92 .

Portanto,

𝐴𝑟 =∫ 1

−2(𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 9

2 . (2.20)

Deste modo, podemos agora calcular a área 𝐴𝑆 por meio dosvalores obtidos na integral da função 𝑓 (2.19 ) e da função 𝑔 (2.20).Assim,

𝐴 = 𝐴𝑝 − 𝐴𝑟 = 9 − 92 = 9

2 (2.21)


esse resultado coincide com o obtido pelo cálculo do limite da somainferior em (2.17). A Figura 57 mostra exatamente a área do segmentoparabólico.

Figura 57 – Área do segmento parabólico do Exemplo 2.3.


Exemplo 2.4. Considere o segmento parabólico do nosso caso geraldelimitado pela parábola 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥2 + 𝑐 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 +

𝑚

√𝑐

𝑎, sendo 𝑚 como em (2.1). Nesse caso os pontos de interseção

dessas curvas são 𝐴

(−√

𝑐

𝑎, 0)

e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘2+𝑐) com 𝑘 ∈(

−√

𝑐

𝑎,

√𝑐

𝑎

].

Como 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas em[

−√

𝑐

𝑎, 𝑘], temos pelo

TFC:

𝐴𝑝 =∫ 𝑘

−√

𝑐𝑎

(−𝑎𝑥2 + 𝑐)𝑑𝑥 = −𝑎𝑥3

3 + 𝑐𝑥

𝑘

−√

𝑐𝑎

=[−𝑎(𝑘)3

3 + 𝑐𝑘

]−

[−

𝑎(−√

𝑐𝑎 )3

3 + 𝑐

(−√

𝑐

𝑎

)]

= −𝑎𝑘3

3 + 𝑐𝑘 − 𝑐√

𝑐

3√

𝑎+ 𝑐

√𝑐√𝑎

= 2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎u.a..


Portanto,

𝐴𝑝 =∫ 𝑘

−√

𝑐𝑎

(−𝑎𝑥2 + 𝑐)𝑑𝑥 = 2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎u.a.. (2.22)

Agora para região sob a reta, temos

𝐴𝑟 =∫ 𝑘

−√

𝑐𝑎

(𝑚𝑥 + 𝑚

√𝑐

𝑎

)𝑑𝑥 = 𝑚𝑥2

2 + 𝑚

√𝑐

𝑎𝑥

𝑘

−√

𝑐𝑎

=[

𝑚(𝑘)2

2 + 𝑚

√𝑐

𝑎𝑘

]−

[𝑚(−√

𝑐𝑎

)2

2 + 𝑚

√𝑐

𝑎

(−√

𝑐

𝑎

)]

=[

𝑚𝑘2

2 + 𝑚𝑘

√𝑐

𝑎− 𝑚𝑐

2𝑎+ 𝑚𝑐

𝑎

]= 𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘2 + 2

√𝑎𝑐𝑚𝑘

2𝑎u.a..

Portanto,

𝐴𝑟 =∫ 𝑘

−√

𝑐𝑎

(𝑚𝑥 + 𝑚

√𝑐

𝑎

)𝑑𝑥 = 𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘2 + 2

√𝑎𝑐𝑚𝑘

2𝑎u.a.. (2.23)

Deste modo, podemos agora calcular a área 𝐴𝑆 por meio dosvalores obtidos em (2.22) e de (2.23)

𝐴𝑆 = 𝐴𝑝 − 𝐴𝑟

𝐴𝑆 = 2𝑐√

𝑐 + 3𝑐√


𝑎𝑘3

3√

𝑎− 𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘2 + 2

√𝑎𝑐𝑚𝑘

2𝑎u.a.. (2.24)

Na Figura 58 temos uma situação da implementação dinâmicano GeoGebra em que podemos, alterando6 𝑎, 𝑐 e 𝑘, escolher o segmentoparabólico e com isso determinar a área do segmento e a área do triân-gulo usado por Arquimedes para provar a quadratura, ainda podemosver que a relação de Arquimedes de fato é válida.

6 http://tube.geogebra.org/m/NErPw4nv


Figura 58 – Área do segmento parabólico - Exemplo 2.4.


Para confrontar algebricamente o resultado obtido pelo Cálculoe o de Arquimedes, precisamos determinar o ponto 𝐶 que é o vértice dosegmento parabólico para então ter a altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶 relativaa base 𝐴𝐵. Para isto, utilizaremos o Teorema do Valor Médio.

Teorema 2.2 (TVM). Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏),

então existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 ′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎

.

A partir do Teorema 2.2, obtemos então as coordenadas doponto 𝐶.

Tendo o ponto 𝐶(𝑥0, 𝑦0) e a reta 𝑟 na forma 𝑟 : 𝑎𝑥+𝑏𝑦 +𝑐 = 0,podemos então, por meio da expressão de distância entre ponto e reta

𝑑(𝐶, 𝑟) = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|√𝑎2 + 𝑏2

(2.25)

calcular tal distância, a qual equivale à altura do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶.


Para o segmento 𝐴𝐵, calculamos seu comprimento tambémpor meio de distância, mas desta vez entre dois pontos. Tendo as coor-denadas do ponto 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵), obtemos o comprimento dosegmento 𝐴𝐵 por meio da expressão

𝑑(𝐴, 𝐵) =√

(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2.

Tendo o comprimento do segmento 𝐴𝐵 e a distância 𝑑 entre areta 𝑟 podemos então calcular a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶,

𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵.𝑑

2 . (2.26)

Por fim, temos que verificar se vale a relação da quadratura daparábola, provada por Arquimesdes, que afirma que 𝐴𝑆 = 4

3Δ𝐴𝐵𝐶.

Vamos realizar esses cálculos para os exemplos já trabalhadosanteriormente.


Pelo TVM temos que 𝑓 ′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎

. Então,

𝑓 ′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎

−2𝑐 = 3 − 01 − (−2) = 3

3 = 1

−2𝑐 = 1

𝑐 = −12

Logo temos 𝐶(𝑐, 𝑓(𝑐)) = 𝐶

(−1

2 ,154

).

Para 𝐶

(−1

2 ,154

)e 𝑟 : −𝑥 + 𝑦 − 2 = 0, calculando a distância

𝑑, temos:


𝑑 = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|√𝑎2 + 𝑏2

=

− 1.

(− 1

2

)+ 1.

154 − 2

√

(−1)2 + 12= 9

√2

8

Para o segmento 𝐴𝐵, temos que seu comprimento é dado por

𝑑(𝐴, 𝐵) =√

(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2

=√

(1 − (−2))2 + (3 − 0)2

= 3√

2

A partir desdes dados podemos calcular a área do triânguloΔ𝐴𝐵𝐶. Assim,

𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵.𝑑

2 =3√

2.9√

28

2 = 278 𝑢.𝑎.

Por fim,

𝐴𝑆 = 43Δ𝐴𝐵𝐶 = 4

3 .278 = 9

2𝑢.𝑎.

confere o resultado de Arquimedes com o cálculo da integral.

101

CONCLUSÃO

A quadratura da parábola foi uma importante descoberta nomeio matemático. Considerada a mais difícil de suas obras, Arquime-des provou a quadratura por meio de propriedade geométricas de retas,triângulos e segmentos de parábola, sem qualquer ferramenta do cál-culo diferencial. O matemático encontrou a solução do problema daquadratura por meio de dois métodos: o da alavanca, o qual obteveo resultado equilibrando retas, de mesma forma que trabalhava compesos em mecânica e o método de inserir triângulos em um segmentoparabólico, no qual por meio do Método de Exaustão de Eudóxo provourigorosamente que a área de um segmento parabólico é 4

3 da área de umtriângulo inscrito em tal segmento, onde o triângulo era de mesma basee de vértice no ponto onde a tangente é paralela a base. Hoje que temostodas as ferramentas do cálculo para determinar a área de um segmentoparabólico de maneira muito fácil , porém a análise de como ele foi pro-vado na antiguidade não acontece da mesma forma uma vez que sãode compreensão difícil pois usam basicamente elementos geométricos eargumentações que não estamos acostumados.

Atualmente, com as ferramentas que o cálculo nos proporciona,conseguimos aproximar a área do segmento parabólico utilizando as so-mas de Riemann. Para isso precisamos de um arco de parábola e umsegmento de reta inseridos num plano cartesiano, pois tais elementosprecisam ser dados por meio de funções. Podemos também encontrar ovalor da área de um segmento parabólico através das integrais defini-das, as quais também necessitam que o arco de parábola e o segmentode reta sejam dados por meio de funções. As somas de Riemann exigemum pouco mais de tempo nos cálculos, porém nada que supere a com-plexidade da geometria utilizada por Arquimedes. Utilizando integrais,o cálculo se torna ainda mais simples, devido a evolução do cálculo com

102 Conclusão

o passar do tempo.

Não só o ensino, mas tudo que está a nossa volta hoje estáenvolvido pela tecnologia. Deste modo, afim de acompanhar o desen-volvimento, é de suma importância que a matemática se atualize fre-quentemente, isto é, professores e métodos de ensino precisam estar emconstante atualização e preparados para se deparar com tais transfor-mações. O ensino da matemática, por sua vez, também necessita estarem contante atualização, usufruindo de maneira eficaz das ferramentasque as tecnologias proporcionam.

Os softwares de geometria dinâmica, por exemplo, são ótimasferramentas para serem utilizadas com o objetivo de colaborarem noprocesso de ensino-aprendizagem dos alunos. O GeoGebra, dentre ou-tros, é um programa de fácil utilização e disponível gratuitamente. Nele,dentre tudo o que o programa proporciona, podemos fazer represen-tações geométricas afim de melhor visualizar a situação e conferir osresultados. Assim, utilizando-o para os fins deste trabalho, foi possívelvisualizar e simular várias situações particulares que no ambiente lápise papel seriam muito trabalhosas e estáticas, já que esta ferramenta ofe-rece comandos de soma de Riemann e também de integrais definidas,mostrando então o valor numérico de cada uma das áreas como tambéma representação gráfica de cada uma delas. Existem outros exemplos deprogramas de geometria dinâmica, como o Cabri Geométre, o Geogebrae o Cinderella. Porém, devido ao tempo que foi preciso para a realiza-ção deste trabalho não foi possível explorar outros softwares além doGeogebra, o qual foi utilizado como ferramenta, pois tais programasexigem tempo para que se possa obter um bom conhecimento sobretais e então trabalhar com os mesmos.

Inicialmente pretendíamos estudar a quadratura da parábolafeita por outros estudiosos, porém não tivemos tempo para tais pesqui-sas. Assim, este ponto fica como sugestão de objetivo para trabalhosfuturos como também pesquisas sobre provas para as propriedades to-madas como verdade nas demonstrações feitas por Arquimedes.

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