ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOSsistemabu.udesc.br/pergamumweb/vinculos/00001a/00001adb.pdf · serão estudados os conteúdos de anéis fatoriais e principais, ... de

TRABALHO DE GRADUAÇÃO

ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚ-MEROS ALGÉBRICOS

TAMARA DA SILVEIRA

JOINVILLE, 2013

TAMARA DA SILVEIRA

ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS

Trabalho de Graduação apresentado aoCurso de Licenciatura em Matemáticado Centro de Ciências Tecnológicas,da Universidade do Estado de SantaCatarina, como requisito parcial paraa obtenção do grau de Licenciatura emMatemática.

Orientador(a): Prof. Ms. VivianeMaria Beuter

JOINVILLE, SC2013

S587eSilveira, Tamara

Elementos da Teoria dos Números Algébricos / Tamarada Silveira. – 2013.

132 p.: il.

Bibliografia:Trabalho de Graduação - Universidade do Estado de

Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Curso deLicenciatura em Matemática, Joinville, 2013.

Orientadora: Viviane Maria BeuterCoorientadora: Elisandra Bar de Figueiredo

1. Álgebra. 2. Números Algébricos. 3. Norma.4. Traço. 5. Anéis de Dedekind.

I. Beuter, V. M. II. Figueiredo, E. B. III. Elementosda Teoria dos Números Algébricos.

CDD: 512.2

A minha família.

Agradecimentos

Primeiramente, gostaria de agradecer a minha família pelo apoioconstante a minhas escolhas, pela compreensão nos momentos difíceis.Agradeço a meus pais, Trajano e Isolete, por serem minha base, minhareferência. Agraço a meu irmão, Júnior, pelo companheirismo e pelosconselhos. Não poderia deixar de agradecer a meus avós, Eudócio eRosa, que acreditaram em mim e, apesar de não poderem ver minhaconclusão da graduação, estariam orgulhosos por essa conquista.

Assim, como minha família, meus amigos também me apoiarame suportam meus momentos de estresse. Alguns desses amigos estiveramboa parte da graduação comigo, enfrentando momentos bons e ruins epor isso lhes sou grata. Eu não poderia ter companheiros melhores doque vocês, Fran, Luis e Alessandra.

Porém, acredito que, de todas as pessoas que me ajudaram aconcretizar esse projeto, meus professores foram a parte mais signifi-cativa, todos eles, desde o começo de minha formação. São poucas aspessoas que podem afirmar que tiveram tantos mestres bons quantotive. Cada um deu sua contribuição, não apenas acadêmica ou profis-sional. E a todos eles sou grata.

Contudo, gostaria de dirigir um agradecimento especial à pro-fessora Elisandra, que acompanhou minha formação acadêmica desdeo início, e esteve presente de alguma forma na maior parte dela, nãoapenas como professora, mas também como amiga. Muito obrigada.

Apesar de ter escolhido a professora Elisandra como orienta-dora há bastante tempo, uma surpresa maravilhosa tornou necessária aescolha de uma segunda pessoa nessa tarefa. Uma surpresa que tambémmostrou-se maravilhosa. Por isso, quero agradecer também à professoraViviane, que mesmo não tendo me encontrado em sala de aula, aceitou

me orientar e certamente é em grande parte, grande mesmo, respon-sável pela concretização deste trabalho. Muito obrigada, especialmentepela compreensão e dedicação.

E por último, e de forma alguma menos importante, agradeçoà professora Tatiana pela grande amizade, pois eu não poderia des-crever de outra forma o carinho que lhe sinto. Obrigada por tornarmais agradável minha caminhada, por dividir comigo a carga, espe-cialmente emocional, pelos conselhos e pela fé em minha capacidade.Enfim, agradeço aos empecilhos, desafios e erros que trouxeram cres-cimento, amadurecimento e tornaram mais significativo o alcance dosmeus objetivos.

Obrigada.

“Somewhere, something incredible iswaiting to be known.”

Carl Sagan

Resumo

SILVEIRA, Tamara. Elementos da Teoria dos Números Al-gébricos. 2013. 131 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Gradu-ação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estadode Santa Catarina, Joinville, 2013.

Esta monografia tem por objetivo iniciar o estudo na Teoria dosNúmeros Algébricos. Possui o intuito de investigar e estudar deque forma as propriedades aritméticas dos números inteiros sãoestendidas para estruturas algébricas mais gerais, tais como: cor-pos de números algébricos e seus anéis de inteiros. Assim, estetrabalho tem por finalidade explorar e compreender as noçõesde fatoração única e domínios de Dedekind. Como para isso,serão necessários alguns resultados e conceitos algébricos já co-nhecidos, bem como as noções de anéis de polinômios, extensõesalgébricas e módulos, este trabalho aborda de forma sucinta es-ses temas. Os conceitos foram organizados e sintetizados com opropósito de criar uma base teórica consistente, que possibiliteum futuro aprofundamento na teoria.

Palavras-chave: Álgebra. Números Algébricos. Norma. Traço.Anéis de Dedekind.

Abstract

SILVEIRA, Tamara. Elements of the Algebraic Number The-ory.. 2013. 131 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciaturaem Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina,Joinville, 2013.

This monograph aims to initiate the study in Algebraic Num-ber Theory. Have the intention to investigate and study howthe arithmetic properties of the integers are extended to moregeneral algebraic structures, such as bodies of algebraic num-bers and their rings of integers. Thus, this study aims to exploreand understand the notions of unique factorization domains andDedekind. As for this, and some results already known algebraicconcepts as well as the notions of polynomial rings, Algebraicextensions and modules will be needed this work addresses theseissues succinctly. The concepts were organized and synthesizedin order to create a consistent theoretical basis, which allows afurther development in theory.

Key-words: Algebra. Algebraic Numbers. Norm. Trace. Dedekindrings.

Lista de símbolos

N Conjunto dos números naturais

Z Conjunto dos números inteiros

Q Conjunto dos números racionais

R Conjunto dos números reais

C Conjunto dos números complexos

𝑈(𝐴) Conjunto dos elementos inversíveis de 𝐴

𝑎 | 𝑏 O elemento 𝑎 divide o elemento 𝑏

𝑎 ∼ 𝑏 O elemento 𝑎 está associado ao elemento 𝑏

𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) Máximo diviso comum entre os elementos 𝑎 e 𝑏

⟨𝑎⟩ Conjunto gerado pelo elemento 𝑎

𝜕𝑝 Grau do polinômio 𝑝

𝐴[𝑥] Conjunto dos polinômios sobre 𝐴

𝐴

𝐼Conjunto quociente de 𝐴 por 𝐼

𝐼𝑚(𝑓) Conjunto das imagens do homomorfismo 𝑓

𝐾𝑒𝑟(𝑓) Núcleo do homomorfismo 𝑓

𝐴[𝛼] Conjunto obtido pela adjunção de 𝛼 a 𝐴

𝐼𝐵(𝐴) Conjunto dos elementos de 𝐵 que são inteiros sobre𝐴

[𝐿 : 𝐾] Grau da extensão 𝐿 sobre 𝐾

Q[√𝑑] Corpo quadrático

𝑇𝑟(𝛼) Traço do elemento 𝛼

𝑁(𝛼) Norma do elemento 𝛼

𝐷(𝛼, 𝛽) Discriminante dos elementos 𝛼 e 𝛽

Sumário

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1 NASCIMENTO DA ÁLGEBRA . . . . . . . . . . . . . 211.2 OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA . . . . . 23

2 CONCEITOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1 ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Anéis fatoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 ANÉIS DE POLINÔMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 MÓDULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.1 Módulos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 ELEMENTOS INTEIROS E ALGÉBRICOS . . . . . . . . . 773.1 ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL . . . . . 77

3.1.1 Anéis Integralmente Fechados . . . . . . . . . . . 843.2 ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO . . 85

3.2.1 Extensões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3 NÚMEROS ALGÉBRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4 CORPOS QUADRÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 NORMA, TRAÇO E DISCRIMINANTE . . . . . . . . . . . 1034.1 NORMA E TRAÇO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 DISCRIMINANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 ANÉIS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

19

INTRODUÇÃO

A Álgebra é uma importante área de conhecimento da Mate-mática, que trata, dentre outros conteúdos, do estudo de estruturasalgébricas. As estruturas algébricas mais básicas foram estudadas nadisciplina de Álgebra Moderna do curso de Licenciatura em Matemá-tica. Porém, o conteúdo abordado em tal disciplina ainda é insuficientepara responder a questões mais elaboradas da Álgebra.

A Teoria dos Números Algébricos é um dos conceitos da áreade álgebra de grande aplicabilidade, mas sua origem se deve em grandeparte aos estudos da Teoria dos Números nos séculos XVII, XVIII eXIX, principalmente, como explicam Stewart e Tall (1973). A prin-cípio, a Teoria dos Números é, na verdade, uma teoria dos númerosracionais e inteiros, que está principalmente relacionada à resolução deequações diofantinas, segundo Endler (2006), e os números algébricossão a ferramenta para resolver tal problema.

Porém, ao partir dos estudos realizados na disciplina de Ál-gebra Moderna visando o entendimento da Teoria dos Números Al-gébricos, surgem alguns questionamentos, tais como: de que modo aTeoria dos Números Algébricos estende as propriedades dos númerosinteiros para uma estrutura de números mais gerais, tais como: corposde números algébricos, e seus anéis de inteiros algébricos? Neste cená-rio, algumas características familiares dos anéis de inteiros comuns, taiscomo a fatoração única e o comportamento dos ideais, nem sempre sãogeneralizadas para os anéis de inteiros algébricos. Como a Teoria dosNúmeros Algébricos permite lidar com esses novos fenômenos e aindacomo recuperar parcialmente o comportamento dos inteiros habituais?

Para responder a esses questões, pretendendo-se o alcance dosobjetivos desse estudo e tendo como base os principais conteúdos de

20 Introdução

álgebra estudados durante o curso de Licenciatura em Matemática,serão estudados os conteúdos de anéis fatoriais e principais, anéis depolinômios, extensões algébricas e módulos a fim de introduzir o estudode números algébricos. Também será estudada a estrutura do anel deinteiros, bem como as propriedades aritméticas de seus elementos. Seráexplorado o conceito de fatoração única dentro desses anéis de inteirose investigado os motivos pelos quais a teoria de fatoração de ideais emum anel de inteiros algébricos é mais satisfatória do que a fatoração deseus elementos.

Sendo assim, os capítulos desta monografia estão estruturadosda seguinte maneira: o Capítulo 1 traz de forma breve a história dosnúmeros algébricos, a fim de entender seu surgimento; no Capítulo 2serão apresentados os conceitos preliminares que incluem anéis fatoriaise principais, anéis de polinômios, e módulos; no Capítulo 3, serão apre-sentados os elementos inteiros e algébricos, particularmente, as noçõesde extensões, números algébricos e corpos quadráticos; no Capítulo 4estuda-se de forma sucinta os conceitos de norma, traço e discriminantede um elemento; no Capítulo 4 apresenta-se a estrutura dita anel deDedeking e, finalmente, no último capítulo serão apresentadas às con-clusões deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

21

1 A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA

Num estudo científico, a importância do conhecimento do con-texto histórico do objeto estudado é relevante para melhor compreensãodo próprio tema em si. Acompanhar o desenvolvimento do tema atravésda história, a motivação por trás do estudo e as ferramentas utilizadaspara tanto são úteis no entendimento do presente tema e ajudam anortear seu aprofundamento.

Visando a relevância exposta acima, desenvolveu-se este ca-pítulo inicial para esclarecer como a Teoria dos Números Algébricossurgiu e aperfeiçoou-se gradualmente. Para garantir a veracidade e aintegridade histórica deste capítulo foram utilizados como referencialteórico os textos de Boyer (1996), Contador (2008), Endler (2006), Eves(2004) e Stewart e Tall (1973).

1.1 NASCIMENTO DA ÁLGEBRA

A álgebra, no início do século XIX, era vista basicamente comoa aritmética simbólica. Trabalhava-se com letras da mesma forma quese faz com os números na aritmética, de modo que qualquer uma dascinco propriedades:

∙ comutatividade da adição;

∙ comutatividade da multiplicação;

∙ associatividade da adição;

∙ associatividade da multiplicação;

∙ distributividade da multiplicação em relação à adição;

22 Capítulo 1. A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA

que fossem válidas para os símbolos escolhidos se estendesse aos intei-ros positivos. A estrutura algébrica formada pelas cinco propriedadese suas consequências é aplicável a muitos sistemas diferentes. Assim,pode-se considerar as cinco propriedades básicas como postulados dedeterminada estrutura algébrica e possíveis teoremas formalmente de-correntes delas aplicáveis a outras interpretações que se ajustem àque-las propriedades. Dessa forma, a Álgebra torna-se uma área puramentehipotético-dedutiva formal.

Essa visão mais moderna da Álgebra surgiu aproximadamenteem 1830, atribuída ao inglês George Peacock (1791 – 1858), estudiosodos princípios fundamentais da álgebra. Alguns britânicos, contempo-râneos a Peacock, deram continuidade aos estudos dele, e aproximaramainda mais a Álgebra da sua noção mais moderna. As leis comutativa edistributiva foram “nitidamente trazidas à luz” por Duncan Farquhar-son Gregory (1813 – 1844), e Augustus De Morgan (1806 – 1871) trouxecontribuições adicionais acerca dos fundamentos da álgebra.

As ideias britânicas se espalharam pela Europa de tal forma queo irlandês William Rowan Hamilton (1805 – 1865) e o alemão HermannGünther Grassmann (1809 – 1877) publicaram resultados importantesque levaram à libertação da Álgebra. Hamilton, motivado por consi-derações físicas, viu-se obrigado a abandonar a comutatividade, umaideia até então inconcebida. Primeiramente, ocorreu a Hamilton repre-sentar um número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖, com 𝑎 e 𝑏 números reais, por umpar ordenado (𝑎, 𝑏), um grande feito aliás, pois acabou por eliminar a“aura mística” acerca dos números complexos. Posteriormente, ao per-ceber que o sistema complexo é conveniente para o estudo de vetores edas rotações no plano, Hamilton tentou imaginar um sistema análogonum espaço tridimensional. E assim, Hamilton apresentou a ideia dosnúmeros quatérnios (reais) em que a lei comutativa da multiplicaçãonão é válida.

Já Grassmann, desenvolveu classes de Álgebra de maior genera-lidade que Hamilton, pois, em vez de considerar quádruplos ordenados

1.2. OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA 23

de números reais, os quatérnios de Hamilton, Grassmann considerouconjuntos ordenados de n reais, chamados hipercomplexos. Por fim,o britânico Arthur Cayley (1821 – 1895) descobriu mais uma álgebranão-comutativa, a álgebra das matrizes, e desta forma Hamilton, Gras-smann e Cayley abriram as portas da álgebra abstrata desenvolvendoálgebras com leis estruturais diferentes das usuais.

1.2 OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA

A fascinação do homem civilizado pelos números é milenar. Ospitagóricos estudaram os números naturais e suas propriedades, e atémesmo o teorema de Pitágoras, apesar de ter origem geométrica, temrelevância na Teoria dos Números. Na Babilônia, notaram os chamadosternos pitagóricos, que consistem em três números naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 querespeitam a relação 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.

Apesar dos antigos gregos terem se interessado mais pela Geo-metria, também tinham interesse nos números em si, tanto que Diofanto(250 a.C. – 298 a.C.) escreveu um importante tratado sobre equaçõespolinomiais cujas soluções eram números fracionários. Particularmente,chamamos de equações diofantinas as que possuem como soluções nú-meros naturais.

Aos poucos, o estudo da Álgebra foi evoluindo. Matemáticoshindus se estabeleceram na área desenvolvendo trabalhos com númerosnegativos e com o zero. Já os muçulmanos, ao conquistarem Alexandria,bem como o norte da África e a Espanha no século VII, trouxeramenriquecimento matemático, tanto que a palavra Álgebra tem origemárabe. No século XVI, o italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576) usouem seu livro Ars Magna, do latim “A Grande Arte”, soluções negativas eimaginárias, de forma que posteriormente os números complexos fossemusados com grande entendimento e flexibilidade.

Já no século XVII, volta-se a Teoria dos Números naturaiscom o matemático francês Pierre de Fermat (1601? – 1665). A maior


contribuição de Fermat constitui na fundamentação da moderna Teoriados Números, este que possuía uma notável intuição e talento nestecampo. Provavelmente seu interesse nessa área se deu pela traduçãolatina de Aritmética, de Diofanto, feita por Bachet de Méziriac em1621. Muitas das contribuições de Fermat na Teoria dos Números temorigem em enunciados e notas escritos nas margens de seu exemplardesse livro.

Dos teoremas enunciados por Fermat, muitos se mostraramverdadeiros posteriormente, e provavelmente o item de maior desta-que em seus estudos seja o chamado Último Teorema de Fermat, queafirma a não existência de inteiros positivos 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑛, onde 𝑛 > 2,tais que 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛. Fermat, ao escrever o enunciado na margemdo referido livro, afirma ter encontrado uma demonstração admirávelpara esse fato, mas a pequenez da margem impossibilita explicitá-la ali.Durante os anos seguintes ao conhecimento público desse teorema, mui-tos matemáticos tentaram demonstrá-lo. O interesse pela demonstraçãose tornou ainda maior depois de Paul Wolfskehl, em 1908, ter legadouma quantia significativa para a Academia de Ciências de Göttingenpara que fosse dado como prêmio para a primeira pessoa a demonstrarcompletamente o Último Teorema de Fermat. Foi assim que a fama e odinheiro impulsionaram o surgimento de diversas supostas provas, o quelevou o Último Teorema de Fermat a se destacar na história matemá-tica como o problema matemático com maior número de demonstraçõesincorretas publicadas, até hoje.

A repercussão da busca pela demonstração do Último Teoremade Fermat impulsionou outros estudos matemáticos, e a prova da con-jectura avançou de sua área de origem, a Teoria dos Números Naturais,para uma diferente área de estudo, A Teoria dos Números Algébricos.No século XIX o desenvolvimento da Teoria da Álgebra amadureceu deforma que se tornou aplicável à Teoria dos Números. Por isso, naquelaépoca, os estudiosos da Teoria dos Números não priorizaram comple-tamente o Último Teorema de Fermat. Ernst Eduard Kummer (1810


– 1893), por exemplo, trabalhava em um tópico chamado de “as mai-ores leis de reciprocidade”. Neste ponto foi que os números algébricosentraram na Teoria dos Números, num trabalho de Gauss.

Em 1796, Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), matemático, as-trônomo e físico alemão, prova um fato marcante observado na práticapor Euler em 1783. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) interessou-sepela congruência 𝑝, 𝑥2 ≡ 𝑝(𝑚𝑜𝑑 𝑞), quando 𝑞 é um número inteiro e 𝑝um número primo. Nesse caso, 𝑞 é dito resíduo quadrático de 𝑝. Eulerestudava o caso em que 𝑝 e 𝑞 são números primos ímpares distintos eobservou que, se pelo menos um desses primos for da forma 4𝑅 + 1,então 𝑞 é resíduo quadrático de 𝑝 se, e somente se, 𝑝 for um resíduoquadrático de 𝑞. Por outro lado, se 𝑝 e 𝑞 forem da forma 4𝑅 + 3, en-tão um é resíduo quadrático do outro. E a reciprocidade da relaçãoentre 𝑝 e 𝑞 tornou conhecido esse resultado como a lei da reciprocidadequadrática. Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), matemático francês,tentou provar em 1785 a lei da reciprocidade, assumindo para isso quecertas progressões aritméticas têm um número infinito de primos, umteorema cuja prova se mostrou ainda mais profunda que a própria leida reciprocidade quadrática.

Quando em 1796, Gauss provou pela primeira vez a lei da re-ciprocidade quadrática ele estava insatisfeito, pois seu método não pa-recia um caminho natural para resolver um teorema aparentementetão simples. Entre 1808 e 1832, Gauss estava interessado em leis seme-lhantes, mas com potências superiores ao quadrado. Ele encontrou leisde reciprocidade superiores, mas com isso descobriu que seus cálculostornavam-se mais fáceis quando trabalhava com os inteiros de Gauss𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números inteiros e 𝑖 é a unidade imaginária,do que apenas com números inteiros. Ele desenvolveu uma teoria defatoração para esses números, provou que a decomposição em fatoresprimos era única e desenvolveu a lei da reciprocidade biquadrada, paraa congruência 𝑥4 ≡ 𝑝(𝑚𝑜𝑑 𝑞). Igualmente, ele considerou a reciproci-dade cúbica usando números da forma 𝑎+ 𝑏𝑤, com 𝑤 = 𝑒

2𝜋𝑖3 , ou seja,


para a congruência 𝑥3 ≡ 𝑝(𝑚𝑜𝑑 𝑞). O uso desses novos tipos de núme-ros por Gauss é de fundamental importância no Último Teorema deFermat, e o estudo das suas propriedades de fatoração é uma profundaé frutífera fonte de métodos e problemas.

Os números descritos no parágrafo anterior são casos parti-culares de números complexos, isto é, são raízes de um polinômio decoeficientes inteiros. Tal número é dito algébrico, e se o polinômio temcoeficiente dominante igual a 1 é dito inteiro algébrico. Numa configura-ção mais ampla dos inteiros algébricos, é possível fatorar uma soluçãoda equação de Fermat 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛, se ela existir, escrevendo-a naforma

(𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 𝜁𝑦) . . . (𝑥+ 𝜁𝑛−1𝑦) = 𝑧𝑛,

usando uma raiz 𝑛-ésima da unidade onde 𝜁 = 𝑒2𝜋𝑖

𝑛 . Se Z[𝜁] é umconjunto de inteiros algébricos da forma 𝑎0 +𝑎1𝜁+ . . .+𝑎𝑟𝜁

𝑟 onde cada𝑎𝑟 é um inteiro comum, então essa fatoração ocorre no anel Z[𝜁].

Em 1847, o francês Gabriel Lamé (1795 – 1870) anunciou uma“prova” para o Último Teorema de Fermat. Sua proposta, de maneirageral, era mostrar que bastava considerar o caso em que 𝑥 e 𝑦 não têmfatores comuns, e deduziu que nesse caso 𝑥+ 𝑦, 𝑥+ 𝜁𝑦, . . ., 𝑥+ 𝜁𝑛−1𝑦

não têm fatores em comum, ou seja, são primos entre si. Então, Laméargumentou que o produto de primos entre si pode ser igual a umapotência 𝑛 se cada um dos fatores do produto for também uma potênciade 𝑛. Assim

𝑥+ 𝑦 = 𝑢𝑛1

𝑥+ 𝜁𝑦 = 𝑢𝑛2

· · ·

𝑥+ 𝜁𝑛−1𝑦 = 𝑢𝑛𝑛

e com isso, Lamé chega a uma contradição.

Então, Joseph Liouville (1809-1882) lhe apontou que sua dedu-ção assumiu sutilmente a fatoração única. Liouville teve sua suposição


confirmada quando, mais tarde, recebeu uma carta de Kummer expli-cando que a fatoração única poderia falhar em alguns casos, o primeirodeles em 𝑛 = 23. No verão de 1847, Kummer passou a elaborar suaprópria demonstração para o Último Teorema de Fermat para certosexpoentes 𝑛, superando as dificuldades encontradas pela descoberta danão-unicidade da fatoração ao introduzir a teoria de número complexoideal. Essa teoria pode ser vista como a introdução de números que nãopertencem a Z[𝜁] para serem usados como fatores quando os elementosda fatoração pertencem a Z[𝜁].

Posteriormente, a teoria assumiu uma forma diferente do queKummer havia posto, mas o conceito essencial de “ideal” impulsionoua teoria. Usando sua teoria, Kummer demonstrou o Último Teoremade Fermat para uma ampla gama de potências com expoente primo.Kummer desenvolveu uma poderosa ferramenta com aplicações paramuitos outros problemas. Na realidade, grande parte da Teoria dosNúmeros clássica pode ser expressa em termos dos números algébricos.Essa ideia foi introduzida mais fortemente pelo alemão David Hilbert(1862 – 1943) em seu Zahlbericht (Relatório sobre os números) de 1897,que teve grande influência no desenvolvimento da Teoria dos Números.Como resultado, a Teoria dos Números Algébricos é hoje um ramo damatemática próspero e importante, com métodos elaborados e intui-tivos, e, mais significativamente, com aplicações não somente na Teo-ria dos Números, mas também na Teoria dos Grupos, na GeometriaAlgébrica, Topologia e Análise. Foram essas relações importantes quelevaram à prova final do Último Teorema de Fermat, estabelecendo-odefinitivamente como um teorema, e não apenas uma conjectura, comoera posto anteriormente. A prova do Último Teorema de Fermat foipossível pela utilização de vários conceitos desenvolvidos através dostempos, muitos desses posteriores a Fermat, o que leva a crença deque, na realidade, quando ele pensou ter vislumbrado a demonstraçãoele provavelmente cometera algum equívoco em seu raciocínio, ou, casocontrário, ele havia realmente tido um insight impressionante que nãofoi concebido por nenhum matemático nos 350 anos seguintes. Ainda


assim, ter intuído tal teorema mostra a inteligência ímpar de Fermat.

Enfim, o surgimento dos números algébricos é bastante natural,pois, por exemplo, é a ferramenta para atacar o problema da resolu-ção das equações diofantinas. E como foi posto anteriormente, o anelZ[𝜁] tem grande importância nos estudos dos números algébricos. Maisgeralmente, para qualquer número algébrico 𝛼, pode-se considerar umsubanel 𝐼𝐿 do corpo 𝐿 = Q(𝛼), sendo 𝐼𝐿 o “anel dos inteiros algébricosde 𝐿”, que nem sempre é da forma Z[𝛼]. A relação entre o anel 𝐼𝐿 e 𝐿é análoga a de Z = 𝐼Q e Q, e o estudo desse anel 𝐼𝐿 pode ser conside-rado o foco principal da Teoria dos Números Algébricos, que apesar deter surgido como ferramenta, como visto anteriormente, tem ganhadoimpulso como teoria independente.

29

2 CONCEITOS PRELIMINARES

O objetivo principal deste capítulo é apresentar os conceitos ne-cessários para o entendimento da Teoria dos Números Algébricos, alémdaqueles que são estudados em um curso típico de Álgebra Modernae, portanto, para a leitura deste trabalho é necessários o conhecimentoprévio de teoria de Grupos e Anéis.

O capítulo apresentará noções básicas de Anéis de Polinômios,Extensões Algébricas e Módulos. Tais conteúdos servem de embasa-mento teórico para estudos posteriores, e são essenciais para entendi-mento mais profundo de Álgebra. Nesse capítulo, para a exposição dateoria foram utilizados os conceitos descritos por Dean (1974), Domin-gues e Iezzi (2011), Mazucchi (2006), Peres (2007), Samuel (1967). eGonçalves (1999) como embasamento teórico.

2.1 ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS

Esta Seção está baseado em Domingues e Iezzi (2011). Aqui 𝐴será considerado um anel de integridade, ou seja, um anel comutativocom unidade e sem divisores próprios de zero. Além disso, define-sedaqui em diante, 0 o zero (elemento neutro da adição) e 1 a unidade(elemento neutro da multiplicação).

2.1.1 Divisibilidade

Nesta Subseção serão apresentados alguns conceitos referentesa divisibilidade em um Anel de Integridade, que são necessários para oestudo dos Anéis Fatoriais e Principais.

Definição 2.1. Um elemento 𝑎 ∈ 𝐴 é dito inversível se existir umelemento 𝑏 ∈ 𝐴 tal que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1, onde 1 é a unidade de 𝐴.

30 Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES

O conjunto de todos os elementos inversíveis de 𝐴 é denotadopor 𝑈(𝐴), ou seja,

𝑈(𝐴) = {𝑎 ∈ 𝐴 : ∃𝑏 ∈ 𝐴, com 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1}.

Definição 2.2. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 − {0}. Então, 𝑎 divide 𝑏 se existir𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑏 = 𝑎𝑐, e denota-se essa relação por 𝑎 | 𝑏.

Definição 2.3. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. O elemento 𝑎 é associado a 𝑏 se 𝑎 | 𝑏e 𝑏 | 𝑎, e indica-se esta relação em 𝐴 por 𝑎 ∼ 𝑏.

Exemplo 2.1. Dois elementos não nulos quaisquer de um corpo sãosempre associados. De fato, tomando 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 não nulos, onde 𝐾 écorpo, existem 𝑎−1, 𝑏−1 ∈ 𝐾 tais que 𝑎𝑎−1 = 1 e 𝑏−1𝑏 = 1. Então,𝑎 = 𝑏−1𝑏𝑎, donde 𝑏 | 𝑎. Analogamente 𝑎 | 𝑏 e, portanto, 𝑎 e 𝑏 sãoassociados em 𝐾.

Exemplo 2.2. Dois números inteiros são associados se, e somente se,forem iguais em módulo. A afirmação é verdadeira pois no anel Z,apenas 1 e −1 são inversíveis. Então, tomando 𝑎, 𝑏 ∈ Z tais que 𝑎 | 𝑏 e𝑏 | 𝑎, tem-se que existem 𝑐, 𝑑 ∈ Z, com 𝑏 = 𝑎𝑐 e 𝑎 = 𝑏𝑑. Assim, 𝑎 = 𝑎𝑐𝑑

e 𝑐𝑑 = 1 então, 𝑐 = 𝑑 = 1 ou 𝑐 = 𝑑 = −1. Portanto, 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏.A recíproca é imediata.

Proposição 2.1. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 dois elementos quaisquer. Então,𝑎 ∼ 𝑏 se, e somente se, existe um elemento inversível 𝑢 ∈ 𝐴 tal que𝑏 = 𝑎𝑢.

Demonstração: Se 𝑎 ∼ 𝑏, existem 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 tais que 𝑏 = 𝑎𝑥 e 𝑎 = 𝑏𝑦.Então, 𝑏 = 𝑏𝑦𝑥, donde 𝑦𝑥 = 1. Desta forma, 𝑥 e 𝑦 são inversíveis, com𝑥 = 𝑦−1.Reciprocamente, como 𝑏 = 𝑎𝑢 e 𝑢−1 ∈ 𝐴, tem-se que 𝑎 = 𝑏𝑢−1. Assim𝑎 | 𝑏 e 𝑏 | 𝑎, donde 𝑎 ∼ 𝑏.

Definição 2.4. Um elemento 𝑑 ∈ 𝐴 é máximo divisor comum de𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, denotado por 𝑚𝑑𝑐(𝑎1, · · · , 𝑎𝑛) = 𝑑, se:

2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS 31

1. 𝑑 | 𝑎𝑖, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,

2. se 𝑑1 ∈ 𝐴 e 𝑑1 | 𝑎𝑖, para todo 𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛}, então 𝑑1 | 𝑑. Isto é,todo divisor de 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛, é divisor de 𝑑.

Definição 2.5. Quando o máximo divisor comum de elementos quais-quer de 𝐴 é a unidade do anel esses elementos são ditos primos entresi.

Proposição 2.2. Seja 𝑑 um 𝑚𝑑𝑐 de 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴. Temos que 𝑑′ é𝑚𝑑𝑐 de 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 se, e somente se, 𝑑 ∼ 𝑑′.

Demonstração: Suponha que 𝑑 e 𝑑′ sejam máximos divisores comunsde 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛. Pelo item (𝑖) da Definição (2.4), 𝑑 e 𝑑′ dividem 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛,e pelo item (𝑖𝑖) da Definição (2.4), 𝑑 | 𝑑′ e também 𝑑′ | 𝑑. Portanto,𝑑 ∼ 𝑑′.Reciprocamente, sejam 𝑑, 𝑑′ ∈ 𝐴 tais que, 𝑑 é máximo divisor comumde 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛, 𝑑 | 𝑑′ e 𝑑′ | 𝑑. Como 𝑑 | 𝑎𝑖, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 e 𝑑′ | 𝑑,então, pela propriedade transitiva da divisibilidade, 𝑑′ | 𝑎𝑖, para todo1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Supondo que exista 𝑐 ∈ 𝐴, tal que 𝑐 é um divisor comumde 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, pelo item (𝑖𝑖) da Definição (2.4), 𝑐 | 𝑑. Mas 𝑑 | 𝑑′,donde 𝑐 | 𝑑′. Portanto, 𝑑′ é 𝑚𝑑𝑐 de 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴.

Nota-se, então, que o máximo divisor comum de elementos de𝐴, se existir, não é, em geral, único.

Exemplo 2.3. No anel dos inteiros, Z , aplicando a definição, têm-sedois 𝑚𝑑𝑐, um o oposto do outro, como é possível observar do Exemplo(2.2) e na Proposição (2.2). Porém, comumente, usa-se apenas o 𝑚𝑑𝑐positivo.

Definição 2.6. Seja 𝑝 ∈ 𝐴. Então, 𝑝 é dito elemento primo se:

1. 𝑝 = 0;

2. 𝑝 não é inversível;

3. dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, quaisquer, se 𝑝 | 𝑎𝑏, então 𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑏.


Mostra-se por indução que sendo 𝑝 primo e 𝑝 | 𝑎1 · · · 𝑎𝑛, então𝑝 divide um dos fatores.

Um número inteiro 𝑝 ∈ Z é dito primo se for um elementoprimo, ou, equivalentemente, se for divisível por ±1 ou ±𝑝.

Exemplo 2.4. Lembre-se de que se 𝑝 ∈ Z é um número primo se𝑝 = ±1 e os únicos divisores de 𝑝 são ±1 e ±𝑝. Seja 𝑝 ∈ Z um númeroprimo, então 𝑝 = 0 e não inversível. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ Z tais que 𝑝 | 𝑎𝑏.Suponha que 𝑝 não divide 𝑎, então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑝) = 1, pois 1 e 𝑝 são osúnicos divisores de 𝑝. Pela Identidade de Bezout, existem 𝑥, 𝑦 ∈ Z taisque 1 = 𝑎𝑥 + 𝑝𝑦. Multiplicando por 𝑏, obtém-se 𝑏 = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑝𝑏𝑦. Como𝑝 | 𝑎𝑏𝑥, pois 𝑝 | 𝑎𝑏, e 𝑝 | 𝑝𝑏𝑦 segue que 𝑝 | 𝑏. Portanto, 𝑝 é um elementoprimo.Agora, seja 𝑝 ∈ Z um elemento primo. Seja 𝑎 ∈ Z, supondo que 𝑎 | 𝑝,existe 𝑡 ∈ Z tal que 𝑝 = 𝑎𝑡 e assim 𝑝 | 𝑎𝑡. Por hipótese, 𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑡.Se 𝑝 | 𝑎, e como 𝑎 | 𝑝, segue que 𝑎 e 𝑝 são associados e assim, 𝑎 = ±𝑝.Se 𝑝 | 𝑡, existe 𝑢 tal que 𝑡 = 𝑝𝑢. Substituindo em 𝑝 = 𝑎𝑡, obtém-se𝑝 = 𝑎𝑢𝑝. Daí 1 = 𝑎𝑢 e 𝑎 = ±1. Portanto, 𝑝 é primo.

Definição 2.7. Seja 𝑝 ∈ 𝐴. Então, 𝑝 é dito irredutível se:

1. 𝑝 = 0;

2. 𝑝 não é inversível;

3. dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, quaisquer, se 𝑝 = 𝑎𝑏, então 𝑎 é inversível ou 𝑏 éinversível.

Prova-se por indução que, dado 𝑝 ∈ 𝐴 irredutível e 𝑝 = 𝑎1 · · · 𝑎𝑛,𝑛 ≥ 1, então 𝑝 é associado a algum 𝑎𝑖, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 e o produto dosdemais fatores é inversível.

Observação 2.1. Um elemento 𝑝 ∈ 𝐴 tal que 𝑝 = 0, 𝑝 não é inversívele 𝑝 não é irredutível é chamado redutível.


É notável que no anel dos inteiros os elementos primos sãoirredutíveis, como mostra o próximo resultado, visto que Z é uma anelde integridade.

Proposição 2.3. Todo elemento primo de um anel de integridade 𝐴 éirredutível.

Demonstração: Seja 𝑝 um elemento primo de 𝐴. Como 𝑝 é primo,segue que 𝑝 = 0 e 𝑝 não é inversível, então, basta demonstrar o item(3) da Definição (2.7). Assim, sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑝 = 𝑎𝑏, então𝑝 | 𝑎𝑏. Assim, pela Definição (2.6), 𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑏. Supondo que 𝑝 | 𝑎,existe 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑎 = 𝑝𝑐. Desta forma, 𝑝 = 𝑎𝑏 = 𝑝𝑐𝑏, donde 𝑐𝑏 = 1e 𝑐 = 𝑏−1, onde 𝑏 é inversível em 𝐴. De forma análoga, supondo 𝑝 | 𝑏prova-se a inversibilidade de 𝑎 no anel de integridade 𝐴.

2.1.2 Anéis fatoriais

Nesta seção, serão definidos, dentre outros conceitos, anel fa-torial, anel principal e anel euclidiano, e será mostrado como que todoanel euclidiano é principal, e todo anel principal é fatorial.

Sabe-se, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, que todonúmero inteiro pode ser escrito como produto de números primos eessa fatoração é única a menos da ordem dos fatores. Nesta seção esseconceito será ampliado para um anel de integridade.

Definição 2.8. Seja 𝐴 um anel de integridade. 𝐴 é dito anel fatorialse são válidas as seguintes condições:

1. se 𝑎 é elemento qualquer de 𝐴, não nulo e não inversível, entãoexistem 𝑝1, 𝑝2, · · · , 𝑝𝑠 ∈ 𝐴 irredutíveis, tais que

𝑎 = 𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠;

2. sejam {𝑝𝑖}𝑠𝑖=1 e {𝑞𝑗}𝑡

𝑗=1 famílias de irredutíveis de 𝐴. Se 𝑎 =𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠 = 𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡, então 𝑠 = 𝑡 e existe uma permutação 𝜎


de {1, 2, · · · , 𝑠} tal que

𝑝𝑖 ∼ 𝑞𝜎(𝑖), para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑠.

Ao definir anel fatorial, a condição (2) exprime a unicidade dadecomposição de 𝑎, a menos da ordem dos fatores irredutíveis e deelementos inversíveis, cuja existência é assegurada pela condição (1).Ou seja, qualquer elemento não nulo e não inversível num anel fatorialpode ser decomposto em um produto de fatores irredutíveis. Ainda,duas decomposições em fatores irredutíveis dum mesmo elemento doanel, sob as mesmas condições, têm o mesmo número de fatores e asduas decomposições são associadas fator a fator, através de uma relaçãode permutação.

Exemplo 2.5. Todo corpo é um anel fatorial, pois, como apenas o zerodentre seus elementos não é inversível, não há elementos do corpo quenão satisfaçam a definição.

Teorema 2.1. Seja 𝐴 um anel de integridade. Então, 𝐴 é um anelfatorial se, e somente se, 𝐴 satisfaz a condição (1) da Definição (2.8)e todo elemento irredutível em 𝐴 é também elemento primo.

Demonstração: Seja 𝐴 um anel fatorial. Por definição, 𝐴 satisfaz acondição (1). Então, sejam 𝑝 ∈ 𝐴 um elemento irredutível e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

tal que 𝑝 | 𝑎𝑏. De acordo com o item (1) da Definição (2.8), existemelementos irredutíveis 𝑝1, 𝑝2 · · · , 𝑝𝑠, 𝑞1, 𝑞2 · · · , 𝑞𝑡 tais que

𝑎 = 𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠 e 𝑏 = 𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡.

Por outro lado, como 𝑝 | 𝑎𝑏, existe 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑎𝑏 = 𝑝𝑐, assim

𝑝𝑐 = 𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡. (2.1)

Como por hipótese 𝐴 é fatorial e 𝑝 é irredutível, pelo item (2) daDefinição (2.8), 𝑝 está associado a um dos fatores irredutíveis do se-gundo membro da Equação (2.1). Então, 𝑝 ∼ 𝑝𝑖 ou 𝑝 ∼ 𝑞𝑗 , para algum


1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠 ou 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡. Ou seja, 𝑝 | 𝑝𝑖 ou 𝑝 | 𝑞𝑗 . Portanto, 𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑏.Pela Definição (2.7), 𝑝 = 0 e 𝑝 é não inversível, portanto, 𝑝 é elementoprimo.Reciprocamente, seja 𝐴 um anel de integridade em que, se 𝑎 é elementoqualquer de 𝐴, não nulo e não inversível, então existem 𝑝1, 𝑝2, · · · , 𝑝𝑠 ∈𝐴 irredutíveis, tais que

𝑎 = 𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠

e em que todo elemento irredutível em 𝐴 é também elemento primo. As-sim, sejam 𝑝1, 𝑝2 · · · , 𝑝𝑠, 𝑞1, 𝑞2 · · · , 𝑞𝑡 ∈ 𝐴 elementos irredutíveis, supõe-se que

𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠 = 𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡. (2.2)

Como a condição do item (1) da Definição (2.8) já está satisfeita, bastamostrar que 𝑠 = 𝑡 e que 𝑝𝑖 ∼ 𝑞𝜎(𝑖), para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑠. Essa demons-tração se dará por indução finita sobre o número natural 𝑠.

(i) Para 𝑠 = 1, tem-se que

𝑝1 = 𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡, supondo 𝑡 > 1. (2.3)

Como 𝑝1 é primo, então 𝑝1 | 𝑞𝑗 , para algum 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡. Por outrolado, 𝑞𝑗 | 𝑝1. Assim 𝑝1 ∼ 𝑞𝑗 e então, existe 𝑢 inversível tal que

𝑞𝑗 = 𝑝1𝑢 (2.4)

Substituindo (2.4) em (2.3) tem-se que

𝑝1 = 𝑞1...𝑞𝑗−1𝑝1𝑢𝑞𝑗+1...𝑞𝑡.

Como 𝐴 é anel de integridade e 𝑝1 = 0, por hipótese, então

1 = 𝑞1...𝑞𝑗−1𝑢𝑞𝑗+1...𝑞𝑡.

Desta forma, 𝑞𝑖 é inversível para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, o que é umacontradição, pois todos os 𝑞𝑖 são irredutíveis. Donde, 𝑡 = 1.


(ii) Supõe-se, então, que a condição (2) da definição de anel fatorialesteja satisfeita para 𝑠− 1, sendo 𝑠 > 1. Agora, precisa-se provarque a condição (2) seja satisfeita para 𝑠.Da equação (2.2), 𝑝1 | (𝑞1𝑞2 · · · 𝑞𝑡), mas como 𝑝1 é elemento primo,então 𝑝1 | 𝑞𝑖, para algum 𝑞𝑖, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡. Supondo, semperda de generalidade, que 𝑖 = 1, então 𝑝1 | 𝑞1 e, para algum𝑢 é inversível em 𝐴, 𝑞1 = 𝑢𝑝1, donde

𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠 = 𝑢𝑝1𝑞2 · · · 𝑞𝑡. (2.5)

Agora, definindo 𝑝2′ = 𝑢−1𝑝2 e dividindo a Equação (2.5) por 𝑝1,obtém-se

𝑝2′𝑝3 · · · 𝑝𝑠 = 𝑞2𝑞3 · · · 𝑞𝑡, (2.6)

com 𝑝2′ , 𝑝3, · · · , 𝑝𝑠, 𝑞2, 𝑞3, · · · , 𝑞𝑡 irredutíveis. Pela hipótese de in-dução expressa no item (𝑖𝑖) desta demonstração, temos 𝑠−1 = 𝑡−1. Denotação convenientemente, tem-se que 𝑝2′ ∼ 𝑞2′ , · · · , 𝑝𝑠 ∼ 𝑞𝑠

e, portanto, 𝑠 = 𝑡 e 𝑝𝑖 ∼ 𝑞𝑖 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠.

Desta forma, com o resultado demonstrado acima, conclui-seque num anel fatorial, um elemento 𝑝 é irredutível se, e somente se, 𝑝é primo.

Agora, será definido anel principal, que é um caso particularde anel fatorial, o que será demonstrado posteriormente.

Definição 2.9. Seja 𝐴 um anel de integridade. 𝐴 é dito principal setodos os seus ideais são principais.

Desse modo, um anel de integridade 𝐴 é principal se dado qual-quer ideal 𝐼 de 𝐴, existe 𝑎 ∈ 𝐴 tal que 𝐼 = ⟨𝑎⟩.

Exemplo 2.6. O anel dos números inteiros Z é um anel principal, poiscada ideal pode ser gerado por apenas um número, ou seja, todos osseus ideais são principais, satisfazendo a condição dada na definição.


Proposição 2.4. Seja 𝐼 um ideal de um anel de integridade 𝐴. Se 𝐼contém algum elemento inversível de 𝐴, então 𝐼 = 𝐴

Demonstração: Como 𝐼 é ideal de 𝐴, basta mostrar a inclusão 𝐴 ⊂ 𝐼.Assim, sejam 𝑎 ∈ 𝐴 um elemento qualquer e 𝑢 ∈ 𝐼 inversível. Então,existe 𝑣 ∈ 𝐴 tal que 𝑢𝑣 = 1. E, assim,

𝑎 = 𝑎 · 1 = 𝑎(𝑢𝑣) = (𝑎𝑣)𝑢.

Como 𝑎𝑣 ∈ 𝐴 e 𝑢 ∈ 𝐼, então 𝑎 = (𝑎𝑣)𝑢 ∈ 𝐼. Assim, 𝐴 ⊂ 𝐼 e, portanto,𝐴 = 𝐼

Proposição 2.5. Seja 𝐴 um anel principal. Então, todo elemento ir-redutível é primo.

Demonstração: Seja 𝑝 um elemento irredutível de 𝐴. Então, 𝑝 énão nulo e não é inversível, satisfazendo as duas primeiras condiçõesde elemento primo, então, suponha-se que 𝑝 | 𝑎𝑏. Seja 𝐼 = ⟨𝑎, 𝑝⟩ ⊂ 𝐴.Como 𝐴 é anel principal, existe 𝑑 ∈ 𝐴 tal que 𝐼 = ⟨𝑑⟩. Como 𝑝 ∈ 𝐼,existe 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑝 = 𝑑𝑐. Pela irredutibilidade de 𝑝, segue que 𝑑 ou𝑐 é inversível.

1. Se 𝑑 é inversível:Pela Proposição (2.4) tem-se que ⟨𝑑⟩ = 𝐴, ou seja, ⟨𝑎, 𝑝⟩ = 𝐼 =⟨𝑑⟩ = 𝐴. Como 1 ∈ 𝐴, existem 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 tais que 1 = 𝑎𝑥 + 𝑝𝑦.Logo, 𝑏 = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑝𝑏𝑦. Por hipótese, 𝑝 | 𝑎𝑏 e é claro que 𝑝 | 𝑝𝑏𝑦,assim 𝑝 | 𝑏.

2. Se 𝑐 é inversível:Como 𝑝 = 𝑑𝑐, então 𝑑 = 𝑝𝑐−1. Mas 𝑎 ∈ 𝐼, então pode ser escritocomo 𝑎 = 𝑑𝑞, para algum 𝑞 ∈ 𝐴. Então, tem-se que 𝑎 = 𝑞𝑝𝑐−1 e,logo, 𝑝 | 𝑎.

Portanto, 𝑝 é primo.


Exemplo 2.7. Pelo Exemplo (2.6), Z é um anel principal, logo, pelaproposição acima demonstrada, todo elemento irredutível em Z é umnúmero primo e reciprocamente. Desse modo, um elemento 𝑝 ∈ Z éirredutível se, e somente se, os únicos divisores de 𝑝 são ±1 e ±𝑝.

Proposição 2.6. Seja 𝐴 um anel principal. Então, 𝑝 ∈ 𝐴 − {0} éirredutível se, e somente se, ⟨𝑝⟩ é maximal.

Demonstração: Seja 𝑝 ∈ 𝐴− {0} irredutível. Pela Definição (2.7), 𝑝é não nulo e não é inversível. Então, seja 𝑎 ∈ 𝐴 tal que ⟨𝑝⟩ ⊂ ⟨𝑎⟩, donde𝑝 ∈ ⟨𝑎⟩. Assim, existe 𝑞 ∈ 𝐴 tal que 𝑝 = 𝑎𝑞. Mas 𝑝 é irredutível, logo𝑎 ou 𝑞 é inversível. Se 𝑎 é inversível, então ⟨𝑎⟩ = 𝐴, pela Proposição(2.4). Por outro lado, se 𝑞 é inversível, então 𝑞−1 ∈ 𝐴 e 𝑎 = 𝑝𝑞−1.Logo, 𝑎 ∈ ⟨𝑝⟩ e assim ⟨𝑎⟩ ⊂ ⟨𝑝⟩. Como também ⟨𝑝⟩ ⊂ ⟨𝑎⟩, tem-se que⟨𝑎⟩ = ⟨𝑝⟩. Portanto, ⟨𝑝⟩ é maximal.Reciprocamente, seja ⟨𝑝⟩ um ideal maximal de 𝐴, entao ⟨𝑝⟩ = 𝐴. Pelacontrapositiva da Proposição (2.4), 𝑝 não é inversível. Agora, sejam𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑝 = 𝑎𝑏. Assim 𝑝 ∈ ⟨𝑎⟩, de forma que, ⟨𝑝⟩ ⊆ ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝐴.Como ⟨𝑝⟩ é maximal segue que ⟨𝑝⟩ = ⟨𝑎⟩, ou ⟨𝑎⟩ = 𝐴. Se ⟨𝑝⟩ = ⟨𝑎⟩então, 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩ = ⟨𝑝⟩ e 𝑎 = 𝑝𝑡, para algum 𝑡 ∈ 𝐴. Tem-se que 𝑝 | 𝑎 e 𝑎 | 𝑝,logo, 𝑎 ∼ 𝑝. Portanto, existe 𝑢 ∈ 𝑈(𝐴) tal que 𝑎 = 𝑢𝑝. Assim, 𝑝 = 𝑢𝑝𝑏

e 𝑢𝑏 = 1, donde 𝑏 é inversível. Se ⟨𝑎⟩ = 𝐴, tem-se que 1 ∈ 𝐴 = ⟨𝑎⟩ eexiste 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 1 = 𝑎𝑥, consequentemente 𝑎 é inversível. Portanto,𝑝 é irredutível.

Lema 2.1. Seja 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ 𝐼3 · · · uma sequência de ideais de 𝐴, onde𝐴 é anel principal. Então, para algum 𝑡 ≥ 1, 𝐼𝑡 = 𝐼𝑡+1 = · · · , em outraspalavras, a sequência 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ 𝐼3 · · · é estacionária.

Demonstração: Primeiramente é preciso mostrar que

𝐼 =⋃𝑗≥1

𝐼𝑗 (2.7)

é um ideal de 𝐴. De fato, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼, existem 𝑚,𝑛 ∈ N tais que 𝑥 ∈ 𝐼𝑚

e 𝑦 ∈ 𝐼𝑛. Tomando 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{𝑚,𝑛}, tem-se que 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑠 e, assim,


𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐼𝑠 ⊂ 𝐼. Seja 𝑥 ∈ 𝐼 e 𝑎 ∈ 𝐴, então existe um 𝑟 ∈ N tal que𝑥 ∈ 𝐼𝑟, donde 𝑎𝑥 ∈ 𝐼𝑟 ⊂ 𝐼.Como 𝐴 é anel principal, existe 𝑑 ∈ 𝐴 tal que

𝐼 = ⟨𝑑⟩.

Por outro lado, como 𝑑 ∈ 𝐼 tem-se que 𝑑 ∈ 𝐼𝑡, para algum 𝑡 ∈ N.Portanto, 𝐼 = ⟨𝑑⟩ ⊆ 𝐼𝑡. Da Equação (2.7), 𝐼𝑡 ⊆ 𝐼, de forma que 𝐼 = 𝐼𝑡.Portanto, 𝐼𝑡 = 𝐼𝑡+1 = · · · .

Lema 2.2. Seja 𝐴 um anel principal. Então, todo elemento não inver-sível 𝑎 ∈ 𝐴 tem um divisor irredutível nesse anel.

Demonstração: Se 𝑎 = 0, a demonstração é imediata. Agora, supõe-se que 𝑎 é não nulo e não inversível. Considerando o ideal 𝐼0 = ⟨𝑎⟩,tem-se que se esse ideal for maximal, então, pela Proposição (2.6), 𝑎 éirredutível, e toma-se 𝑎 como sendo seu divisor irredutível. Mas, se 𝐼0

não for maximal, então existe um ideal 𝐼1 = ⟨𝑎1⟩ ( 𝐴, tal que 𝐼0 ( ⟨𝑎1⟩.Como anteriormente, se 𝐼1 = ⟨𝑎1⟩ for maximal, 𝑎1 é irredutível. Dadoque ⟨𝑎⟩ ⊂ ⟨𝑎1⟩, então 𝑎1, neste caso, é um divisor de 𝑎. Mas, se 𝐼1 nãofor maximal, usa-se o mesmo argumento, concluindo-se que existe umideal 𝐼2 = ⟨𝑎2⟩ ( 𝐴, tal que ⟨𝑎1⟩ ( ⟨𝑎2⟩, ou seja

𝐼0 ( 𝐼1 ( 𝐼2 ( 𝐴.

Considerando novamente as duas possibilidades referentes a 𝐼2 ser ma-ximal ou não, tem-se que se 𝐼2 é maximal, 𝑎2 é um elemento irredutíveltal que 𝑎2 | 𝑎1 | 𝑎, e se 𝐼2 não for maximal, encontrar-se-á outro idealo contendo, e assim sucessivamente.Mas, pelo Lema (2.1), não há sequência 𝐼0 ⊂ 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ · · · de ideais em𝐴 estritamente crescente. Logo, para algum 𝑟+ 1 o ideal 𝐼𝑟+1 = ⟨𝑎𝑟+1⟩será maximal e o elemento 𝑎𝑟+1 desta forma obtido é irredutível e di-visor de 𝑎𝑟, 𝑎𝑟−1, ..., 𝑎1 e, portanto, divisor de 𝑎.

Proposição 2.7. Todo anel principal é fatorial.


Demonstração: Considere 𝐴 um anel principal. Pela Proposição(2.5), temos a condição de que todo elemento irredutível em 𝐴 é tam-bém elemento primo, que é a segunda condição do Teorema (2.1), paraque um anel de integridade seja anel fatorial. Logo, basta apenas mos-trar a segunda condição da definição de anel fatorial, ou seja, mostrara existência da decomposição em fatores irredutíveis dos elementos deum anel principal.Se 𝑎 ∈ 𝐴 é irredutível, a condição está satisfeita. Então, seja 𝑎 ∈ 𝐴 re-dutível, ou seja, 𝑎 é um elemento não irredutível e não nulo. Do Lema(2.2), 𝑎 tem um divisor irredutível 𝑝1 ∈ 𝐴, o que garante a existênciade 𝑎1 ∈ 𝐴 tal que

𝑎 = 𝑝1𝑎1.

Analogamente, se 𝑎1 for irredutível, a demonstração se dá por encer-rada. No caso contrário, usa-se o raciocínio anterior para 𝑎 com 𝑎1,chegando, assim, a uma igualdade 𝑎1 = 𝑝2𝑎2, com 𝑎2, 𝑝2 ∈ 𝐴 e 𝑝2 éirredutível. Até o momento

𝑎 = 𝑝1𝑝2𝑎2.

Caso 𝑎2 seja irredutível, a demonstração está encerrada. Mas se 𝑎2 é re-dutivo, repete-se o raciocínio de 𝑎 e 𝑎1 com 𝑎2, e assim sucessivamente.Pode-se assim obter a cadeia de ideias: ⟨𝑎1⟩ ⊂ ⟨𝑎2⟩ ⊂ ⟨𝑎3⟩ ⊂ · · · . PeloLema (2.1), essa cadeia deve ser estacionária, logo os 𝑎𝑖, com 𝑖 ∈ N nãopodem ser irredutíveis indefinidamente, ou seja, em algum momento𝑎𝑠 = 𝑝𝑠 será irredutível, de forma que

𝑎 = 𝑝1𝑝2 · · · 𝑝𝑠

com todos os fatores são irredutíveis.

Durante essa seção, concluiu-se que Z além de principal é fa-torial. Agora, estudar-se-á certos anéis que admitem um algoritmo dedivisão análogo à divisão no anel Z dos números inteiros. Esses anéissão um caso particular de anel fatorial, como verifica-se posteriormente.

Definição 2.10. Seja 𝐴 um anel de integridade 𝐴. 𝐴 é dito anel 𝜑-euclidiano se existir uma função 𝜑 : 𝐴− {0} → N tal que:

2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS 41

(i) Dados 𝑎 e 𝑏 ∈ 𝐴− {0}, 𝜑(𝑎𝑏) ≥ 𝜑(𝑎);

(ii) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑏 = 0, então existem 𝑞 e 𝑟 em 𝐴, tais que 𝑎 = 𝑏𝑞+𝑟,com 𝑟 = 0 ou 𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑎).

Caso a função 𝜑 esteja subentendida não é necessário explicitá-la, basta denominar 𝐴 anel euclidiano.

Exemplo 2.8. Seja 𝐴 = Z o conjunto dos números inteiros e tome𝜑(𝑥) = |𝑥|, para 𝑥 ∈ Z. Então, tem-se que

∙ |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦| ≥ |𝑥|, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ Z − {0}.

∙ Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ Z, com 𝑦 = 0. Pelo algoritmo da divisão, existem𝑞, 𝑟 ∈ Z tais que 𝑥 = 𝑏𝑦 + 𝑟, com 𝑟 = 0 ou |𝑟| < |𝑥|.

Portanto, Z é anel euclidiano com a função módulo.

Proposição 2.8. Todo anel 𝜑-euclidiano é principal.

Demonstração: Sejam 𝐴 um anel 𝜑-euclidiano e 𝐼 = {0} um idealde 𝐴. O conjunto {𝜑(𝑎) ∈ N : 𝑎 ∈ 𝐼 𝑒 𝑎 = 0} é não vazio, pois𝐼 = {0}, logo, esse conjunto tem mínimo 𝜑(𝑏), com 0 = 𝑏 ∈ 𝐼. Ainda,tem-se que ⟨𝑏⟩ ⊆ 𝐼. Seja 𝑥 ∈ 𝐼 um elemento qualquer, então, como 𝐴é 𝜑-euclidiano, existem 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 tais que 𝑥 = 𝑞𝑏 + 𝑟, onde 𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑏)se 𝑟 = 0. Assim, 𝑟 = 𝑥 − 𝑞𝑏 ∈ 𝐼, pois 𝑥, 𝑏 ∈ 𝐼, de forma que 𝑟 ∈ 𝐼.Como, dada a escolha de 𝑏 ser tal que 𝜑(𝑏) é o mínimo de 𝐼, segue que𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑏) não ocorre, logo 𝑥 − 𝑏𝑞 = 𝑟 = 0, donde 𝑥 = 𝑏𝑞 e, assim,𝑥 ∈ ⟨𝑏⟩. Portanto, ⟨𝑏⟩ = 𝐼 e 𝐴 é anel principal.

Como foi provado anteriormente, todo anel principal é fatorial,então, consequentemente, todo anel 𝜑-euclidiano é fatorial.

2.2 ANÉIS DE POLINÔMIOS

Nesta seção estão alguns dos principais conceitos de Anéis dePolinômios conforme o necessário ao que é proposto neste trabalho.


Inicialmente, o Anel de Polinômios será definido conforme define Dean(1974), para que o conceito seja posto de forma mais precisa e signifi-cativa.

Definição 2.11. Seja 𝐴 um anel. Um polinômio 𝑝 sobre 𝐴 é umasequência (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ...) de elementos de 𝐴 na qual apenas um númerofinito de termos é diferente do elemento nulo de 𝐴, denotado por 0𝐴,ou apenas 0, quando não houver ambiguidade.

Observação 2.2. É comum dizer que 𝑝 é uma sequência “quase nula”.

Como em um polinômio apenas um número finito de termosda sequência é diferente do elemento nulo de 𝐴, certamente haverá umúltimo termo não nulo do polinômio.

Definição 2.12. Seja 𝑝 um polinômio sobre um anel 𝐴 dado por

𝑝 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛, 0, 0, ...).

Define-se grau do polinômio 𝑝 o número natural 𝑛, tal que para todo𝑖 > 𝑛, tem-se 𝑎𝑖 = 0.

O grau do polinômio 𝑝 é denotado por 𝜕𝑝.

Definindo uma variável 𝑥 e denotando o polinômio (0, ..., 0, 𝑎, 0, ...)por 𝑎𝑥𝑚 quando 𝑎 é o (𝑚+ 1)-ésimo termo da sequência, tem-se

𝑎𝑥0 = (𝑎, 0, 0, 0, ...)

𝑎𝑥1 = (0, 𝑎, 0, 0, ...)

𝑎𝑥2 = (0, 0, 𝑎, 0, ...)

...

Portanto, um polinômio 𝑝 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛, 0, 0, ...) é descritoda forma

𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛.


Os termos 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ... da sequência 𝑝 são os coeficientes na expressão𝑎0 +𝑎1𝑥+𝑎2𝑥

2 + ...+𝑎𝑛𝑥𝑛. Quando o coeficiente de algum termo 𝑎𝑖𝑥

𝑖

do polinômino for nulo, usualmente fica oculto na expressão polinomial.

O grau de um termo 𝑎𝑖𝑥𝑖 é 𝑖, ou seja, o expoente de 𝑥. Num

polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 seu grau é o mesmo dotermo de maior grau com coeficiente não nulo. Nota-se, então, que opolinômio nulo (0, 0, 0, ...), ou 0 + 0𝑥+ 0𝑥2 + ..., não possui grau.

Para cada 𝑎 ∈ 𝐴, o polinômio 𝑝 = (𝑎, 0, 0, ...), ou 𝑝(𝑥) = 𝑎 +0𝑥+0𝑥2+..., é dito polinômio escalar 𝑎, e tem grau 0 se 𝑎 = 0. Apesardo polinômio nulo (0, 0, 0, ...), ou 0 + 0𝑥+ 0𝑥2 + ..., não possuir grau,ele é definido, por conveniência, como um polinômio escalar.

Num polinômio 𝑝 sobre o anel 𝐴, o coeficiente do termo demaior grau é dito coeficiente principal de 𝑝, assim, se 𝜕𝑝 = 𝑑, então,𝑎𝑑 é o coeficiente principal de 𝑝. Caso o coeficiente principal de 𝑝 sejaa unidade do anel 𝐴 (se existir), 𝑝 é chamado de polinômio mônico.

Definição 2.13. Sejam 𝑝 e 𝑞 polinômios sobre o anel 𝐴, dados por

𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚

𝑞(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥+ 𝑏2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛.

Então, 𝑝(𝑥) é igual a 𝑞(𝑥), se 𝑚 = 𝑛 e 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, para cada 𝑖 ∈ N.

Em outras palavras, dois polinômios são iguais se possuem omesmo grau e são iguais termo a termo.

Definição 2.14. Sejam 𝑝 e 𝑞 polinômios sobre o anel 𝐴, dados por

𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚

𝑞(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥+ 𝑏2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛.

Definimos a adição de dois polinômios sobre 𝐴 da seguinte forma

𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥+ (𝑎2 + 𝑏2)𝑥2 + ... (2.8)


e a multiplicação por

𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ..., (2.9)

onde

𝑐𝑘 =𝑘∑

𝑖=0𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖 =

∑𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 .

É fácil ver que a adição e multiplicação de polinômios sobre 𝐴irá resultar em um polinômio cujos coeficientes estão em 𝐴, pois taiscoeficientes resultaram da adição e da multiplição de elementos de 𝐴,que é anel, e portanto, fechado para a adição e para a multiplicação.

Observação 2.3. Seja 𝐴 um anel. Denota-se o conjunto dos polinômios𝑝 na variável 𝑥 sobre 𝐴 da forma

𝐴[𝑥] = {𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 : 𝑛 ∈ N, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,∀𝑖 ∈ {1, ..., 𝑛}}.

Observação 2.4. Seja 𝐴 um anel. É possível identificar cada elemento𝑎 ∈ 𝐴 como um polinômio constante da forma 𝑝(𝑥) = 𝑎. Como 𝑝(𝑥) ∈𝐴[𝑥], observa-se que 𝐴 ⊆ 𝐴[𝑥].

Proposição 2.9.

1. Se 𝐴 é um anel, então 𝐴[𝑥] é um anel.

2. Se 𝐴 é um anel comutativo, então 𝐴[𝑥] é um anel comutativo.

3. Se 𝐴 é um anel com unidade, então 𝐴[𝑥] é um anel com unidade.

4. Se 𝐴 é um anel de integridade, então 𝐴[𝑥] é um anel de integri-dade.

Demonstração: Para demonstrar essa proposição, serão definidos

𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...

𝑞(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥+ 𝑏2𝑥2 + ...

𝑟(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ...,

onde 𝑝, 𝑞 e 𝑟 são polinômios não nulos de 𝐴[𝑥].


1. É preciso verificar os 6 axiomas de anel. Lembrando que as pro-priedades de anel valem para os coeficientes de 𝑝, 𝑞 e 𝑟, uma vezque esses pertencem ao anel 𝐴 .

i) Comutatividade da adição:

𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥+ (𝑎2 + 𝑏2)𝑥2 + ...

= (𝑏0 + 𝑎0) + (𝑏1 + 𝑎1)𝑥+ (𝑏2 + 𝑎2)𝑥2 + ...

= 𝑞(𝑥) + 𝑝(𝑥)

ii) Associatividade da adição:

𝑝(𝑥) + [𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)] = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ ...+ (𝑏0 + 𝑐0) + (𝑏1 + 𝑐1)𝑥+ ...

= [𝑎0 + (𝑏0 + 𝑐0)] + [𝑎1 + (𝑏1 + 𝑐1)]𝑥+ ...

= [(𝑎0 + 𝑏0) + 𝑐0] + [(𝑎1 + 𝑏1) + 𝑐1]𝑥+ ...

= (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥+ ...𝑐0 + 𝑐1𝑥+ ...

= [𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)] + 𝑟(𝑥)

iii) Existência do elemento neutro da adição (0𝐴[𝑥]):Tome o polinômio nulo 0 = 0 + 0𝑥+ 0𝑥2 + ... ∈ 𝐴[𝑥]

𝑝(𝑥) + 0 = (𝑎0 + 0) + (𝑎1 + 0)𝑥+ ...

= 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ ...

= 𝑝(𝑥)

Como vale a comutatividade da adição, o polinômio nulo é o ele-mento neutro da adição em 𝐴[𝑥].

iv) Existência do elemento simétrico da adição (oposto):Para 𝑝(𝑥) = 𝑎0 +𝑎1𝑥+𝑎2𝑥

2 + ..., tome −𝑝(𝑥) = (−𝑎0)+(−𝑎1)𝑥+(−𝑎2)𝑥2 + ..., onde −𝑎𝑛 é simétrico de 𝑎𝑛 em 𝐴, para todo 𝑛 ∈ N..Assim,

𝑝(𝑥) + [−𝑝(𝑥)] = [𝑎0 + (−𝑎0)] + [𝑎1 + (−𝑎1)]𝑥+ ...

= 0 + 0𝑥+ ...

= 0


Como vale a comutatividade da adição, −𝑝(𝑥) assim definido é oelemento simétrico de 𝑝(𝑥) em 𝐴[𝑥].

v) Associatividade da multiplicaçãoÉ preciso mostrar que

𝑝(𝑥) · [𝑞(𝑥) · 𝑟(𝑥)] = [𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥)] · 𝑟(𝑥)

Definindo as multiplicações:

𝑞(𝑥) · 𝑟(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1𝑥+ ..., onde 𝑑𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑏𝑖𝑐𝑗

𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑙0 + 𝑙1𝑥+ ..., onde 𝑙𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗

𝑝(𝑥) · [𝑞(𝑥) · 𝑟(𝑥)] = 𝑒0 + 𝑒1𝑥+ ..., onde 𝑒𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑑𝑗

[𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥)] · 𝑟(𝑥) = 𝑚0 +𝑚1𝑥+ ..., onde 𝑚𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑙𝑖𝑐𝑗

pode-se escrever:

𝑒𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑑𝑗

=∑

𝑖+𝑗=𝑘

(𝑎𝑖

∑𝛼+𝛽=𝑗

𝑏𝛼𝑐𝛽)

=∑

𝑖+𝛼+𝛽=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝛼𝑐𝛽

=∑

𝑛+𝛽=𝑘

(∑

𝑖+𝛼=𝑛

𝑎𝑖𝑏𝛼)𝑐𝛽

=∑

𝑛+𝛽=𝑘

𝑙𝑛𝑐𝛽

= 𝑚𝑘

Portanto,

𝑝(𝑥)·[𝑞(𝑥)·𝑟(𝑥)] = 𝑒0+𝑒1𝑥+... = 𝑚0+𝑚1𝑥+... = [𝑝(𝑥)·𝑞(𝑥)]·𝑟(𝑥)

e vale a associatividade da multiplicaçao em 𝐴[𝑥].


vi) DistributividadeÉ preciso mostrar que 𝑝(𝑥) · [𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)] = 𝑝(𝑥) ·𝑞(𝑥)+𝑝(𝑥) ·𝑟(𝑥).Definindo as multiplicações:

𝑝(𝑥) · [𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)] = 𝑑0 + 𝑑1𝑥+ ..., onde 𝑑𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖(𝑏𝑗 + 𝑐𝑗)

𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑒0 + 𝑒1𝑥+ ..., onde 𝑒𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗

𝑝(𝑥) · 𝑟(𝑥) = 𝑙0 + 𝑙1𝑥+ ..., onde 𝑙𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑐𝑗

pode-se escrever:

𝑑𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖(𝑏𝑗 + 𝑐𝑗)

=∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 + 𝑎𝑖𝑐𝑗

=∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 +∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑐𝑗

= 𝑒𝑘 + 𝑙𝑘

De modo análogo, verifica-se

[𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)] · 𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥) · 𝑟(𝑥) + 𝑞(𝑥) · 𝑟(𝑥)

e, então, vale a propriedade distributiva em 𝐴[𝑥].

Portanto, 𝐴[𝑥] é anel se 𝐴 for anel.

2. Definindo

𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1𝑥+ 𝑑2𝑥2 + ..., onde 𝑑𝑘 =

∑𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗

𝑞(𝑥) · 𝑝(𝑥) = 𝑒0 + 𝑒1𝑥+ 𝑒2𝑥2 + ..., onde 𝑒𝑘 =

∑𝑖+𝑗=𝑘

𝑏𝑗𝑎𝑖.


Desde que 𝐴[𝑥] é anel comutativo, tem-se

𝑑𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗

=∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑏𝑗𝑎𝑖

= 𝑒𝑘.

Desta forma,

𝑝(𝑥)·𝑞(𝑥) = 𝑑0+𝑑1𝑥+𝑑2𝑥2+... = 𝑒0+𝑒1𝑥+𝑒2𝑥

2+... = 𝑞(𝑥)·𝑝(𝑥).

Portanto, 𝐴[𝑥] é anel comutativo se 𝐴 também o for.

3. Seja 𝐴 seja anel com unidade 1. Definindo

𝑢(𝑥) = 1 = 1 + 0𝑥+ 0𝑥2 + ...

tem-se que𝑝(𝑥) · 𝑢(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥

2 + ...

com

𝑐𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑒𝑗 ,

onde 𝑒0 = 1 e 𝑒𝑗 = 0 para todo 𝑗 ≥ 0. Segue que

𝑐𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑒𝑗

= 1𝑎𝑘

= 1𝑎𝑘

= 𝑎𝑘.

Assim,

𝑝(𝑥) · 𝑢(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ... = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥

2 + ... = 𝑝(𝑥).

De modo análogo, pode-se verificar que

𝑢(𝑥) · 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥)


e, então, o polinômio escalar 𝑢(𝑥) = 1 é a unidade de 𝐴[𝑥]

Portanto, 𝐴[𝑥] é anel com unidade se 𝐴 também o for.

4. Basta mostrar que 𝐴[𝑥] não possui divisores de zero, pois a co-mutatividade e a existência da unidade já foram verificados noitens 2. e 3., respectivamente.

Supondo que𝐴[𝑥] tenha divisores de zero, então, existem 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈𝐴[𝑥], ambos não nulos, tais que 𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 0. Sendo 𝑝(𝑥) = 0e 𝑞(𝑥) = 0, existem 𝑚,𝑛 ∈ N, tais que 𝜕𝑝 = 𝑚 e 𝜕𝑞 = 𝑛. Tem-seque

𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ... = 0,

onde

𝑐𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 = 0, ∀ 𝑘 ∈ N

Particularmente,

0 = 𝑐𝑚+𝑛

=∑

𝑖+𝑗=𝑚+𝑛

𝑎𝑖𝑏𝑗

= 𝑎0𝑏𝑚+𝑛 + 𝑎1𝑏𝑚+𝑛−1 + ...+ 𝑎𝑚−1𝑏𝑛+1 + 𝑎𝑚𝑏𝑛+

+ 𝑎𝑚+1𝑏𝑛−1 + ...+ 𝑎𝑚+𝑛𝑏0

= 𝑎𝑚𝑏𝑛

pois 𝑏𝑘 = 0, para todo 𝑘 > 𝑛 e 𝑎𝑘 = 0, para todo 𝑘 > 𝑚. Destaforma, 𝑎𝑚𝑏𝑛 = 0, mas 𝑎𝑚 = 0 e 𝑏𝑛 = 0, o que contradiz a hipótesede que 𝐴 é anel de integridade. Logo, 𝐴[𝑥] não têm divisores dezero e 𝐴[𝑥] é anel de integridade se 𝐴 também o for.

Observação 2.5. Pela Proposição (2.9), verifica-se que

∙ Z[𝑥] é anel, pois Z também o é.


∙ (𝑛Z)[𝑥] é anel comutativo, pois 𝑛Z é anel comutativo;

∙ (𝑀2×2(R))[𝑥] é anel com unidade, pois 𝑀2×2(R) também o é.unidade.

∙ Q[𝑥], R[𝑥] e C[𝑥] são anéis de integridade, pois Q, R e C tambémo são.

∙ Z𝑝[𝑥] é anel de integridade, se 𝑝 for primo positivo, pois Z𝑝 tam-bém o é.

Antes de enunciar a proposição abaixo é interessante notar queo grau do polinômio define uma função

𝜕 : 𝐴[𝑥]* −→ N

𝑝(𝑥) ↦−→ 𝜕𝑝

Proposição 2.10. Sejam 𝑝 e 𝑞 polinômios não nulos sobre o anel 𝐴.

1. Se 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 0, então 𝜕(𝑝+ 𝑞) ≤ 𝑚𝑎𝑥 {𝜕𝑝, 𝜕𝑞}.

2. Se 𝜕𝑝 = 𝜕𝑞, então 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 0 e 𝜕(𝑝+ 𝑞) ≤ 𝑚𝑎𝑥 {𝜕𝑝, 𝜕𝑞}.

3. Se 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 0, então 𝜕(𝑝𝑞) ≤ 𝜕𝑝+ 𝜕𝑞.

4. Se 𝐴 é um anel de integridade, então 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 0 e 𝜕(𝑝𝑞) =𝜕𝑝+ 𝜕𝑞.

Demonstração: Primeiramente, serão definidos os polinômios 𝑝(𝑥) e𝑞(𝑥) utilizados na demonstração desta proposição. Considera-se

𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛,

𝑞(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥+ 𝑏2𝑥2 + ...+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚,

com 𝜕𝑝 = 𝑛 e 𝜕𝑞 = 𝑚.

1. Supõe-se que 𝑛 ≥ 𝑚. Assim


𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥+ ...+ (𝑎𝑚 + 𝑏𝑚)𝑥𝑚 +(𝑎𝑚+1 + 𝑏𝑚+1)𝑥𝑚+1 + ...+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑥𝑛,

onde 𝑏𝑚+1 = 𝑏𝑚+2 = ... = 0. Então, 𝜕(𝑝+𝑞) ≤ 𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 {𝜕𝑝, 𝜕𝑞}.Analogamente, demonstra-se que 𝜕(𝑟 + 𝑞) ≤ 𝑚 = 𝑚𝑎𝑥(𝜕𝑝, 𝜕𝑞),se 𝑚 ≥ 𝑛.

2. Supõe-se que 𝑛 > 𝑚 (o caro 𝑚 > 𝑛 é análogo). Então,

𝑝(𝑥)+𝑞(𝑥) = (𝑎0+𝑏0)+...+(𝑎𝑚+𝑏𝑚)𝑥𝑚+𝑎𝑚+1𝑥𝑚+1+...+𝑎𝑛𝑥

𝑛,

como 𝑎𝑛 = 0, tem-se que

𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 0

e ainda𝜕(𝑝+ 𝑞) ≤ 𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 {𝜕𝑝, 𝜕𝑞} .

3. Sejam 𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ... = 0, onde

𝑐𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 , ∀ 𝑘 ∈ N,

onde 𝑎𝑟 = 0, para todo 𝑟 > 𝑚 e 𝑏𝑠 = 0, para todo 𝑠 > 𝑛. Serádemonstrado que 𝑐𝑚+𝑛+𝑘 = 0, para todo 𝑘 > 0. Sabe-se que

𝑐𝑚+𝑛+𝑘 =∑

𝑖+𝑗=𝑚+𝑛+𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑗 .

Se 𝑖 > 𝑚 ou 𝑗 > 𝑛, é imediato que 𝑐𝑚+𝑛+𝑘 = 0.

Supondo que 𝑖 ≤ 𝑚, então

𝑖 ≤ 𝑚 ⇒ 𝑖+ 𝑗 ≤ 𝑚+ 𝑗

⇒ 𝑚+ 𝑛+ 𝑘 ≤ 𝑚+ 𝑗

⇒ 𝑛+ 𝑘 ≤ 𝑗

⇒ 𝑗 > 𝑛

⇒ 𝑏𝑗 = 0

⇒ 𝑐𝑛+𝑚+𝑘 = 0.


Analogamente, supondo que 𝑗 ≤ 𝑛, então

𝑗 ≤ 𝑛 ⇒ 𝑖+ 𝑗 ≤ 𝑛+ 𝑖

⇒ 𝑚+ 𝑛+ 𝑘 ≤ 𝑛+ 𝑖

⇒ 𝑚+ 𝑘 ≤ 𝑖

⇒ 𝑖 > 𝑚

⇒ 𝑎𝑖 = 0

⇒ 𝑐𝑛+𝑚+𝑘 = 0.

E assim, 𝜕(𝑝𝑞) ≤ 𝑚+ 𝑛 = 𝜕𝑝+ 𝜕𝑞.

4. Do item (4) da Proposiçao (2.9) segue que, se 𝑝(𝑥) = 0 e 𝑞(𝑥) = 0,então 𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 0, e ainda, se

𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥2 + ...,

então 𝑐𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛𝑏𝑚 = 0, pois 𝑎𝑛 = 0, 𝑏𝑚 = 0 e 𝑎𝑛 e 𝑏𝑚 pertencema um anel de integridade. Como visto anteriormente, 𝑐𝑛+𝑚 =𝑎𝑛𝑏𝑚 é o último termo não nulo e, portanto, 𝜕(𝑝𝑞) = 𝑚 + 𝑛 =𝜕𝑝+ 𝜕𝑞.

Observação 2.6. A seguir, será provado que, dado um anel 𝐴, oselementos inversíveis do anel de polinômios sobre 𝐴 são os próprioselementos inversíveis desse anel. Assim, fica claro que os elementos de𝐴 são polinômios escalares em 𝐴[𝑥] e que esses são os únicos elementosinversíveis de 𝐴[𝑥].

Corolário 2.1. Se 𝐴 é anel de integridade, então 𝒰(𝐴) = 𝒰(𝐴[𝑥]).

Demonstração:

∙ 𝒰(𝐴) ⊂ 𝒰(𝐴[𝑥]) :


Seja 𝑎 ∈ 𝒰(𝐴). Então, existe 𝑏 ∈ 𝐴 tal que 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎 = 1. Como𝐴 ⊂ 𝐴[𝑥], então 𝑎 ∈ 𝐴[𝑥] e 𝑏 ∈ 𝐴[𝑥]. Portanto, 𝑎 ∈ 𝒰(𝐴[𝑥]).

∙ 𝒰(𝐴[𝑥]) ⊂ 𝒰(𝐴) :

Seja 𝑝(𝑥) ∈ 𝒰(𝐴[𝑥]). Então, existe 𝑞(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] tal que 𝑝(𝑥)·𝑞(𝑥) =𝑞(𝑥) · 𝑝(𝑥) = 1. Tem-se que 𝑝(𝑥) = 0 e 𝑞(𝑥) = 0. Como 𝐴[𝑥] é umanel de integridade, segue da Proposição (2.10) que

𝜕𝑝+ 𝜕𝑞 = 𝜕(𝑝 · 𝑞) = 𝜕(1) = 0.

Concluí-se, assim, que 𝜕𝑝 = 0 e 𝜕𝑞 = 0, ou seja, 𝑝(𝑥) = 𝑎 ∈ 𝐴.Além disso, 𝑎 deve ser inversível em 𝐴[𝑥], e portanto, 𝑝(𝑥) = 𝑎 ∈𝒰(𝐴).

Observação 2.7. Se 𝐴 é corpo, não necessariamente 𝐴[𝑥] é tambémum corpo. Basta tomar como exemplos os conjuntos Q, R e C, os quaissão corpos, mas os conjuntos Q[𝑥], R[𝑥] e C[𝑥] são apenas anéis deintegridade. De fato, o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥 ∈ C[𝑥], mas não é inversível.Para verificar essa afirmação, basta supor que exista 𝑞(𝑥) ∈ C[𝑥] tal que𝑝(𝑥) · 𝑞(𝑥) = 1. Então,

0 = 𝜕(1) = 𝜕𝑝+ 𝜕𝑞 = 1 + 𝜕𝑞 ≥ 1,

que é uma contradição. Logo, 𝑝(𝑥) = 𝑥 não é inversível.

Teorema 2.2. Algoritmo de Euclides: Sejam 𝐾 um corpo e 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈𝐾[𝑥], com 𝑔(𝑥) = 0. Então, existem 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tais que

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

com 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕(𝑟(𝑥)) < 𝜕(𝑔(𝑥)).

Demonstração: Se 𝑓(𝑥) = 0, basta assumir 𝑞(𝑥) = 𝑟(𝑥) = 0.Supõe-se que 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) = 0, com

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ...+ 𝑎𝑚𝑥𝑚


𝑔(𝑥) = 𝑏0 + ...+ 𝑏𝑛𝑥𝑛,

ou seja, 𝜕𝑓 = 𝑚 e 𝜕𝑔 = 𝑛. Assim, temos que 𝜕𝑓 < 𝜕𝑔 ou 𝜕𝑓 ≥ 𝜕𝑔.

1o Caso: 𝜕𝑓 < 𝜕𝑔: Tomamos 𝑞(𝑥) = 0 e 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥).

2o Caso: 𝜕𝑓 ≥ 𝜕𝑔:

Vamos usar o segundo princípio de indução sobre 𝜕𝑓 = 𝑚.

∙ Para 𝑚 = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑎0, com 𝑎0 ∈ 𝐾. Como 0 = 𝜕𝑓 ≥ 𝜕𝑔, segueque 𝜕𝑔 = 0, ou seja, 𝑔(𝑥) = 𝑏0, com 0 = 𝑏0 ∈ 𝐾. Assim, 𝑏−1

0 ∈ 𝐾,pois 𝐾 é corpo. Tomamos 𝑞(𝑥) = 𝑏−1

0 𝑎0 e 𝑟(𝑥) = 0, daí

𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) = 𝑏0(𝑏−10 𝑎0) + 0 = 𝑎0 = 𝑓(𝑥).

∙ Agora, para 𝑚 ≥ 1 temos a seguinte hipótese de indução: Seℎ(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], ℎ(𝑥) = 0 e 𝜕ℎ < 𝑚, então existem 𝑞1, 𝑟1 ∈ 𝐾[𝑥]tais que

ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞1(𝑥) + 𝑟1(𝑥),

com 𝑟1 = 0 ou 𝜕𝑟1 < 𝜕𝑔.

Consideramos

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛) · 𝑔(𝑥).

Se ℎ(𝑥) = 0, então 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), com 𝑟(𝑥) = 0 e𝑞(𝑥) = 𝑎𝑚𝑏

−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛.

Se ℎ(𝑥) = 0, vamos calcular o grau de ℎ(𝑥). Temos que

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛) · 𝑔(𝑥)

= (𝑎0 + ...+ 𝑎𝑚𝑥𝑚) − (𝑎𝑚𝑏

−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛)(𝑏0 + ...+ 𝑏𝑛𝑥

𝑛)

= (𝑎0 + ...+ 𝑎𝑚𝑥𝑚) − (𝑎𝑚𝑏

−1𝑛 𝑏0𝑥

𝑚−𝑛 + 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑏1𝑥

𝑚−𝑛+1+

...+ 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑏𝑛−1𝑥

𝑚−1 + 𝑎𝑚𝑥𝑚)

= 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + ...+ 𝑎𝑚−𝑛−1𝑥

𝑚−𝑛−1 + (𝑎𝑚−𝑛 − 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑏0)𝑥𝑚−𝑛+

+ (𝑎𝑚−𝑛+1 − 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑏1)𝑥𝑚−𝑛+1 + ...+ (𝑎𝑚−1 − 𝑎𝑚𝑏

−1𝑛 𝑏𝑛−1)𝑥𝑚−1.


Desta forma, 𝜕ℎ < 𝑚, e pela hipótese de indução, existem 𝑞1(𝑥), 𝑟1(𝑥) ∈𝐾[𝑥], com 𝑟1(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟1 < 𝜕𝑔 tais que ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞1(𝑥) +𝑟1(𝑥). Então,

𝑔(𝑥) · 𝑞1(𝑥) + 𝑟1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛) · 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) · [𝑞1(𝑥) + 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛] + 𝑟1(𝑥).

Então, definimos 𝑞(𝑥) = 𝑞1(𝑥) + 𝑎𝑚𝑏−1𝑛 𝑥𝑚−𝑛 e 𝑟(𝑥) = 𝑟1(𝑥), e

portanto, 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 < 𝜕𝑔.

Foi provada a existência de 𝑞 e 𝑟, agora, é preciso provar suaunicidade. Suponhamos que 𝑞, 𝑞, 𝑟, 𝑟 ∈ 𝐾[𝑥] tais que

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

com 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 < 𝜕𝑔 e 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 < 𝜕𝑔. Então

𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥) · 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

𝑔(𝑥) · [𝑞(𝑥) − 𝑞(𝑥)] = 𝑟(𝑥) − 𝑟(𝑥).

Assim, se 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) então 𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑥) e

𝜕𝑔 ≤ 𝜕[(𝑞 − 𝑞)𝑔] = 𝜕(𝑟 − 𝑟) < 𝜕𝑔.

Isso é uma contradição. Logo, 𝑞 = 𝑞 e 𝑟 = 𝑟 são únicos.

Lema 2.3. Sejam 𝐾 um corpo e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Então, 𝛼 é raiz de 𝑓(𝑥)se, e somente se, (𝑥− 𝛼) | 𝑓(𝑥).

Demonstração: Seja 𝛼 raiz de 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Usando o algoritmo deEuclides, existem 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥) tais que

𝑓(𝑥) = (𝑥− 𝛼)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),


com 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 < 1, ou seja, existe 𝑏0 ∈ 𝐾, tal que 𝑟(𝑥) = 𝑏0.Assim,

0 = 𝑓(𝛼) = (𝛼− 𝛼)𝑞(𝑥) + 𝑏0,

donde 𝑏0 = 0, ou seja, 𝑟(𝑥) = 0 e (𝑥− 𝛼) | 𝑓(𝑥).Reciprocamente, se (𝑥 − 𝛼) | 𝑓(𝑥), então, por hipótese, existe 𝑞(𝑥) ∈𝐾[𝑥] tal que 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑞(𝑥). Assim, 𝑓(𝛼) = (𝛼 − 𝛼)𝑞(𝛼) = 0, ouseja, 𝛼 é raiz de 𝑓(𝑥).

Proposição 2.11. Sejam 𝐾 um corpo e 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑛 um

polinômio não nulo de grau 𝑛 em 𝐾[𝑥]. Então, o número de raízes de𝑓(𝑥) em 𝐾 é no máximo igual a 𝜕𝑓 = 𝑛.

Demonstração: Se 𝑓(𝑥) não possui raízes em 𝐾, a proposição estáprovada. Supondo que 𝛼 ∈ 𝐾 seja uma raiz de 𝑓(𝑥), como 𝑔(𝑥) =𝑥− 𝛼 ∈ 𝐾[𝑥], podemos escrever 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥− 𝛼), pelo Lema (2.3).Agora, se 𝛽 ∈ 𝐾 é uma raiz qualquer de 𝑓 , então, 𝑓(𝛽) = (𝛽−𝛼)𝑞(𝛽) =0, donde 𝛼 = 𝛽, ou seja, 𝛽 é também uma raiz de 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Assim,as raízes de 𝑓 são 𝛼 e mais as raízes de 𝑞(𝑥).Usando a indução sobre 𝜕𝑓 = 𝑛, tem-se que, se 𝑛 = 0, então 𝑓 nãopossui raízes em 𝐾 e nesse caso nada há a demonstrar.Agora, por indução, 𝜕𝑞 < 𝜕𝑓 = 𝑛, 𝑞(𝑥) possui no máximo 𝜕𝑞 = 𝑛 − 1raízes em 𝐾 e, portanto, 𝑓(𝑥) possui no máximo 𝑛 raízes em 𝐾.

Seja 𝐾 um corpo. Se 𝐿 ⊃ 𝐾 é um corpo, diz-se que 𝐿 é umaextensão de 𝐾.

Corolário 2.2. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ...+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 um polinômio não nulo de

grau 𝑛 em 𝐾[𝑥]. Então, 𝑓(𝑥) possui no máximo 𝑛 raízes em qualquerextensão 𝐿 de 𝐾.

Demonstração: Basta observar que se 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] e 𝐾 ⊂ 𝐿, então𝑓(𝑥) ∈ 𝐿[𝑥] e agora é só aplicar a Proposição (2.11) para o corpo 𝐿.

Na primeira seção deste Capítulo definiu-se elemento irredutí-vel de um anel de integridade. Trazendo esse conceito de elemento irre-dutível para um anel de polinômios, obtém-se que 𝑝(𝑥) é um polinômio


irredutível em 𝐾[𝑥], com 𝐾 um corpo, se 𝜕𝑝 ≥ 1, pois é não inversívele não nulo, e para quaisquer 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥], se 𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥),então 𝑓(𝑥) é inversível ou 𝑔(𝑥) é inversível, ou seja, 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥) é umpolinômio escalar não nulo.

Da mesma forma, um polinômio 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] é primo se 𝜕𝑝 ≥ 1e para quaisquer 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], se 𝑝(𝑥) | 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥), então 𝑝(𝑥) |𝑓(𝑥) ou 𝑝(𝑥) | 𝑔(𝑥).

A partir do Algoritmo de Euclides em 𝐾[𝑥], tem-se os seguintesresultados sobre o anel de integridade 𝐾[𝑥].

Corolário 2.3. Seja 𝐾 é um corpo, então:

1. 𝐾[𝑥] é um anel euclidiano;

2. 𝐾[𝑥] é um anel principal;

3. 𝐾[𝑥] é um anel fatorial;

4. Todo polinômio irredutível sobre 𝐾 é primo em 𝐾[𝑥].

Demonstração:

1. Tem-se que o grau de um polinômio define uma aplicação de𝐾[𝑥]*

sobre N e essa aplicação grau, 𝜕, satisfaz os itens (𝑖) e (𝑖𝑖) daDefinição (2.10). De fato, se 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], então 𝜕(𝑓𝑔) =𝜕𝑓 +𝜕𝑔 ≥ 𝜕𝑔, satisfazendo o primeiro item. Agora, pelo Teoremado Algoritmo de Euclides (2.2), se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥] e 𝑔 = 0, entãoexistem 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), com𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 < 𝜕𝑓 e o segundo item é satisfeito. Portanto, 𝐾[𝑥]é um anel euclidiano.

2. Segue imediato do item (1) e da Proposição (2.8).

3. Pelo item (2) e pela Proposição (2.7) tem-se que 𝐾[𝑥] é um anelfatorial.


4. Segue do item (2) e da Proposição (2.5).

Teorema 2.3. Sejam 𝐾 um corpo e 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio irre-

dutível, então 𝐾[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ é corpo.

Demonstração: Há uma proposição segundo Domingues e Iezzi (2013,p. 266) que afirma que, dados 𝐴 um anel comutativo com unidade e 𝐼um ideal em 𝐴, 𝐴

𝐼é corpo se, e somente se, 𝐼 é ideal maximal. Então,

basta mostrar que 𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩ é maximal.Sejam o polinômio irredutível 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] e 𝐽 = ⟨𝑝(𝑥)⟩ = {𝑔(𝑥)𝑝(𝑥) :𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}. Como 𝜕𝑝 ≥ 1, por 𝑝(𝑥) ser irredutível, segue que ospolinômios escalares não pertencem a 𝐽 , assim 𝐽 $ 𝐾[𝑥], ou seja, 𝐽 éideal próprio de 𝐾[𝑥].Seja 𝐼 um ideal de 𝐾[𝑥] de forma que 𝐽 ⊂ 𝐼. Provar-se-á que 𝐼 = 𝐽

ou 𝐼 = 𝐾[𝑥]. Pelo item (2.) do Corolário (2.3), existe ℎ(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] talque ⟨ℎ(𝑥)⟩ = 𝐼. Como 𝐽 ⊂ 𝐼 tem-se que 𝑝(𝑥) = 𝑔(𝑥) ·ℎ(𝑥), para algum𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Mas 𝑝(𝑥) é irredutível, logo 𝑔(𝑥) é inversível ou ℎ(𝑥) éinversível.Caso 𝑔(𝑥) seja inversível, pelo Corolário (2.1), existe 𝑎 ∈ 𝐾* tal que𝑔(𝑥) = 𝑎 = 0. Assim, ℎ(𝑥) = 𝑎−1𝑝(𝑥) e 𝐼 = ⟨ℎ(𝑥)⟩ ⊂ ⟨𝑝(𝑥)⟩ = 𝐽 , ouseja, 𝐼 = 𝐽.

Agora, se ℎ(𝑥) é inversível, então existe 𝑡(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑡(𝑥)ℎ(𝑥) =1. Tome 𝑞(𝑥) um elemento arbitrário de 𝐾[𝑥]. Tem-se que

𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) · 1 = 𝑞(𝑥)𝑡(𝑥)ℎ(𝑥) ∈ ⟨ℎ(𝑥)⟩ = 𝐼,

logo, 𝐾[𝑥] ⊂ 𝐼 e 𝐼 = 𝐾[𝑥]. Portanto 𝐽 = ⟨𝑝(𝑥)⟩ é ideal maximal, e𝐾[𝑥]

⟨𝑝(𝑥)⟩ é corpo.

2.3 MÓDULOS

Estão apresentados nesta seção alguns dos principais conceitosde Módulos conforme o necessário ao que é proposto neste trabalho.

2.3. MÓDULOS 59

Para elaboração desta seção, foram usados como base os textos de Ma-zucchi (2006), Peres (2007) e Samuel (1967).

Definição 2.15. Sejam 𝐴 um anel com unidade e 𝑀 um grupo abeli-ano. Diz-se que 𝑀 é um 𝐴-módulo quando houver uma operação

· : 𝐴×𝑀 −→ 𝑀

(𝑎,𝑚) ↦−→ 𝑎𝑚

tal que, dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑚,𝑛 ∈ 𝑀 , tem-se:

(i) 𝑎(𝑏𝑚) = (𝑎𝑏)𝑚

(ii) 𝑎(𝑚+ 𝑛) = 𝑎𝑚+ 𝑎𝑛

(iii) (𝑎+ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚+ 𝑏𝑚

(iv) 1𝑚 = 𝑚

Desta forma definido, diz-se que 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda,usando-se, também, a notação 𝐴𝑀 . A definição de 𝐴-módulo 𝑀 àdireita é análoga.

Exemplo 2.9. Todo anel 𝐴 é um 𝐴-módulo, tanto à esquerda quantoà direita. O grupo abeliano é dado por (𝐴,+), onde + é a operação daadição do anel 𝐴 e ·, a operação do produto da definição de Módulo, éa mesma que o produto definido no anel 𝐴.

Exemplo 2.10. O grupo trivial {0} é um 𝐴-módulo, onde 𝐴 é anel.

Exemplo 2.11. Todo espaço vetorial 𝑉 sobre um corpo 𝐾 é um 𝐾-módulo.

Exemplo 2.12. Vale a pena ressaltar que, dado 𝐼 um ideal à esquerdaem um anel 𝐴, tem-se que 𝐼 é um 𝐴-módulo à esquerda, onde a somaé induzida pela soma em 𝐴 e a multiplicação é a mesma que a de 𝐴.Têm-se um resultado análogo para ideal à direita.


Definição 2.16. Sejam 𝐴 um anel com unidade e 𝑀 um 𝐴-módulo.Um subconjunto 𝑁 ⊆ 𝑀 não vazio é um 𝐴-submódulo de M se 𝑁também for um 𝐴-módulo com as operações herdadas de 𝑀 , ou seja, se

(i) 𝑁 é um subgrupo aditivo de 𝑀 ,

(ii) 𝑁 é fechado em relação ao produto de elementos de 𝐴.

Exemplo 2.13. Os conjuntos 𝑀 e {0} são 𝐴-módulos, estes denomi-nados triviais.

Proposição 2.12. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝑁 ⊂ 𝑀 um subconjuntonão vazio. 𝑁 é um 𝐴-submódulo de 𝑀 se, e somente se, satisfaz ascondições:

(i) ∀𝑚,𝑛 ∈ 𝑁,𝑚+ 𝑛 ∈ 𝑁 ,

(ii) ∀𝑟 ∈ 𝐴,𝑛 ∈ 𝑁, 𝑟𝑛 ∈ 𝑁 .

Demonstração: Se 𝑁 for 𝐴-submódulo de 𝑀 , então os itens (𝑖) e(𝑖𝑖) da Definição (2.16) implicam nos itens (𝑖) e (𝑖𝑖) desta proposiçãorespectivamente.Reciprocamente, por hipótese 𝑁 não é vazio então, existe 𝑛 ∈ 𝑁 . Peloitem (𝑖𝑖) desta proposição 0 = 0𝑛 ∈ 𝑁 . Ainda, como −1 ∈ 𝐴 (pois é ooposto da unidade 1 do anel 𝐴), tem-se que −𝑛 = −1𝑛 ∈ 𝑁 , pelo item(𝑖𝑖). Por outro lado, + herda a associatividade e comutatividade de 𝑀 ,donde 𝑁 é subgrupo aditivo de 𝑀 . Por fim, o item (𝑖𝑖) desta proposiçãoimplica diretamente no item (𝑖𝑖) da Definição (2.16). Portanto, 𝑁 é um𝐴-submódulo de 𝑀 .

Exemplo 2.14. Dados 𝐼 um ideal à esquerda do anel 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑀um 𝐴-módulo, então

𝐼𝑚 = {𝑎𝑚 : 𝑎 ∈ 𝐼}

é um 𝐴-submódulo de 𝑀 .

Proposição 2.13. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo. Então, a interseção arbitrá-ria de submódulos de 𝑀 é um submódulo de 𝑀 .

2.3. MÓDULOS 61

Demonstração: Seja {𝑀𝑖}𝑖∈𝐼 uma família de submódulos de M,deseja-se mostrar que

⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖 é um submódulo de 𝑀 , onde 𝐼 é um

conjunto qualquer. Tomando 𝑥, 𝑦 ∈⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼.

Então, 𝑥+ 𝑦 ∈ 𝑀𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼, donde 𝑥+ 𝑦 ∈⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖.

Por outro lado, tomando 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖, tem-se que 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 donde

𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Logo, 𝑎𝑥 ∈⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖. Portanto,⋂𝑖∈𝐼

𝑀𝑖 é um

submódulo de 𝑀 .

Observação 2.8. Se 𝑁 e 𝑃 são 𝐴-submódulos de 𝑀 , pode-se definir

𝑁 + 𝑃 = {𝑛+ 𝑝 : 𝑛 ∈ 𝑁 ; 𝑝 ∈ 𝑃},

um 𝐴-submódulo de 𝑀 . Para verificar esta afirmação, basta tomar𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 + 𝑃 , tais que 𝑥 = 𝑛+ 𝑝 e 𝑦 = 𝑛′ + 𝑝′, e 𝑎 ∈ 𝐴, donde

𝑥+ 𝑦 = (𝑛+ 𝑝) + (𝑛′ + 𝑝′) = (𝑛+ 𝑛′) + (𝑝+ 𝑝′) ∈ 𝑁 + 𝑃 e

𝑎𝑥 = 𝑎(𝑛+ 𝑝) = 𝑎𝑛+ 𝑎𝑝 ∈ 𝑁 + 𝑃.

Então, pela Proposição (2.12), 𝑁 + 𝑃 é um 𝐴-submódulo 𝑀 .

Definição 2.17. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝑁 um 𝐴-submódulo de 𝑀 .Tomando 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 , defini-se a relação 𝑚1 ≡ 𝑚2(𝑚𝑜𝑑𝑁) quando𝑚1−𝑚2 ∈ 𝑁 , sendo ≡ (𝑚𝑜𝑑𝑁) uma relação de equivalência, facilmenteverificável.

Tem-se que a classe de equivalência, para cada 𝑚 ∈ 𝑀 é oconjunto dos elementos 𝑥 ∈ 𝑀 tais que

𝑥 ≡ 𝑚(𝑚𝑜𝑑𝑁).


Assim,

{𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑥 ≡ 𝑚(𝑚𝑜𝑑𝑁)} = {𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑥−𝑚 ∈ 𝑁}

= {𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑥−𝑚 = 𝑛;𝑛 ∈ 𝑁}

= {𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑥 = 𝑚+ 𝑛;𝑛 ∈ 𝑁}

= {𝑚+ 𝑛 : 𝑛 ∈ 𝑁}

= 𝑚+𝑁.

Ainda, uma vez que 𝑀 é grupo abeliano, 𝑁+𝑚 = 𝑚+𝑁 , paratodo 𝑚 ∈ 𝑀 , ou seja, todo submódulo 𝑁 de 𝑀 é um subgrupo normalem 𝑁 e, portanto, as classes laterais à esquerda e à direita coincidem,podendo desprezar as classes laterais à direita.

Proposição 2.14. Sejam 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 . Então, 𝑚1 +𝑁 = 𝑚2 +𝑁 se,e somente se, 𝑚1 ≡ 𝑚2(𝑚𝑜𝑑𝑁), ou seja, 𝑚1 −𝑚1 ∈ 𝑁 .

Demonstração: Tem-se 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 e 𝑚1 + 𝑁 = 𝑚2 + 𝑁 , então𝑚1 ∈ 𝑚2+𝑁 , ou seja, 𝑚1 = 𝑚2+𝑛, com 𝑛 ∈ 𝑁 . Logo, 𝑚1+(−𝑚2) ∈ 𝑁

e, portanto 𝑚1 ≡ 𝑚2(𝑚𝑜𝑑𝑁).Reciprocamente, dados 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 e 𝑚1 ≡ 𝑚2(𝑚𝑜𝑑𝑁), então 𝑛 =𝑚1 −𝑚2 ∈ 𝑁 , para algum 𝑛. Assim, 𝑚1 = 𝑚2 +𝑛 donde 𝑚1 ∈ 𝑚2 +𝑁 .Analogamente, chega-se na relação 𝑚2 ∈ 𝑚1 +𝑁 . Portanto, 𝑚1 +𝑁 =𝑚2 +𝑁 .

Definição 2.18. Define-se o conjunto quociente 𝑀

𝑁= {𝑚 + 𝑁 :

𝑚 ∈ 𝑀}, o conjunto de todas as classes de equivalência de 𝑁 em 𝑀 .

Proposição 2.15. Seja 𝑀

𝑁conjunto quociente. Então, 𝑀

𝑁é grupo

abeliano com a operação

+ : 𝑀𝑁

× 𝑀

𝑁−→ 𝑀

𝑁

(𝑚1 +𝑁,𝑚2 +𝑁) ↦−→ (𝑚1 +𝑁) + (𝑚2 +𝑁) = (𝑚1 +𝑚2) +𝑁.

2.3. MÓDULOS 63

Demonstração: Primeiramente, é preciso mostrar que + é bem defi-nida. Assim, tomando 𝑚1,𝑚2,𝑚3,𝑚4 ∈ 𝑀 tais que

(𝑚1 +𝑁,𝑚2 +𝑁) = (𝑚3 +𝑁,𝑚4 +𝑁).

Então, 𝑚1 +𝑁 = 𝑚3 +𝑁 e 𝑚2 +𝑁 = 𝑚4 +𝑁 , donde 𝑚1 −𝑚3 ∈ 𝑁 e𝑚2 −𝑚4 ∈ 𝑁 . Assim, (𝑚1 −𝑚3) + (𝑚2 −𝑚4) ∈ 𝑁 então, (𝑚1 +𝑚2) −(𝑚3 + 𝑚4) ∈ 𝑁 . Portanto, pela Proposição (2.14) (𝑚1 + 𝑚2) + 𝑁 =(𝑚3 +𝑚4) +𝑁 .Agora, para verificar se 𝑀

𝑁é grupo abeliano é preciso provar que +

satisfaz a propriedade associativa, a existência do elemento neutro edo elemento oposto e a propriedade comutativa em 𝑀

𝑁. Assim, sejam

𝑚1,𝑚2,𝑚3 ∈ 𝑀 , valem as propriedades

(i) Associativa:Como vale a associatividade em 𝑀 , tem-se

(𝑚1 +𝑁) + [(𝑚2 +𝑁) + (𝑚3 +𝑁)] =

= (𝑚1 +𝑁) + [(𝑚2 +𝑚3 +𝑁)]

= [𝑚1 + (𝑚2 +𝑚3)] +𝑁

= [(𝑚1 +𝑚2) +𝑚3) +𝑁

= [(𝑚1 +𝑚2) +𝑁 ] + (𝑚3 +𝑁)

= [(𝑚1 +𝑁) + (𝑚2 +𝑁)] + (𝑚3 +𝑁).

(ii) Existência do elemento neutro:Seja 0 o elemento neutro de 𝑀 , assim

(0 +𝑁) + (𝑚1 +𝑁) = (0 +𝑚1) +𝑁

= 𝑚1 +𝑁

= (𝑚1 +𝑁) + (0 +𝑁)

então, 0 +𝑁 = 𝑁 é o elemento neutro de 𝑀

𝑁.

(iii) Elemento oposto:Seja −𝑚1 é o oposto de 𝑚1 em 𝑀 , o oposto de 𝑚1 +𝑁 é (−𝑚1)+


𝑁 , tem-se

(𝑚1 +𝑁) + [(−𝑚1) +𝑁 ] = (𝑚1 −𝑚1) +𝑁

= 0 +𝑁

= 𝑁

= [(−𝑚1) +𝑁 ] + (𝑚1 +𝑁),

(iv) Comutativa:Como, 𝑀 é grupo abeliano

(𝑚1 +𝑁) + (𝑚2 +𝑁) = (𝑚1 +𝑚2) +𝑁

= (𝑚2 +𝑚1) +𝑁

= (𝑚2 +𝑁) + (𝑚1 +𝑁).

Portanto, 𝑀𝑁

é grupo abeliano.

Proposição 2.16. Seja 𝑀

𝑁um conjunto quociente. Então, 𝑀

𝑁é um

𝐴-módulo com a operação de adição + definida na proposição anteriore com a operação · definida por

· : 𝐴× 𝑀

𝑁−→ 𝑀

𝑁

(𝑎,𝑚+𝑁) ↦−→ 𝑎 · (𝑚+𝑁) = 𝑎𝑚+𝑁.

Demonstração: Pela Proposição (2.15), 𝑀𝑁

é grupo abelino.Primeiro, verifica-se que · é bem definida. Então, dados 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 e𝑎 ∈ 𝐴 tais que (𝑎,𝑚1+𝑁) = (𝑎,𝑚2+𝑁), tem-se que 𝑚1+𝑁 = 𝑚2+𝑁 ,donde 𝑚1 −𝑚2 ∈ 𝑁 . Assim, 𝑎(𝑚1 −𝑚2) = 𝑎𝑚1 −𝑎𝑚2 ∈ 𝑁 e, portanto,𝑎𝑚1 +𝑁 = 𝑎𝑚2 +𝑁 .

Por fim, tomando 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐴 e 𝑚1 + 𝑁,𝑚2 + 𝑁 ∈ 𝑀

𝑁, tem-se

que são satisfeitos

2.3. MÓDULOS 65

(i)

(𝑎1𝑎2)(𝑚1 +𝑁) = [(𝑎1𝑎2)𝑚1] +𝑁

= 𝑎1(𝑎2𝑚1) +𝑁 = 𝑎1(𝑎2𝑚1 +𝑁).

(ii)

(𝑎1 + 𝑎2)(𝑚1 +𝑁) = (𝑎1 + 𝑎2)𝑚1 +𝑁

= (𝑎1𝑚1 + 𝑎2𝑚1) +𝑁

= (𝑎1𝑚1 +𝑁) + (𝑎2𝑚1 +𝑁).

(iii)

𝑎1[(𝑚1 +𝑚2) +𝑁 ] = [𝑎1(𝑚1 +𝑚2)] +𝑁

= (𝑎1𝑚1 + 𝑎1𝑚2) +𝑁

= (𝑎1𝑚1 +𝑁) + (𝑎1𝑚2 +𝑁)

(iv)

1(𝑚1 +𝑁) = 1𝑚1 +𝑁

= 𝑚1 +𝑁

Assim, 𝑀𝑁

é um 𝐴-módulo dito Módulo Quociente.

Exemplo 2.15. Sendo 𝐼 um ideal de um anel 𝐴, 𝐴𝐼

tem estrutura de

𝐴-módulo, e os submódulos de 𝐴

𝐼são os ideais de 𝐴

𝐼.

Neste momento, é importante definir e conhecer algumas pro-priedades importantes dos Homomorfismos de Módulos. Assim, segueque

Definição 2.19. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos. Uma aplicação

𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁

diz-se um homomorfismo de 𝐴-módulos se, dados 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 e 𝑎 ∈ 𝐴

quaisquer, são válidas as condições


(i) 𝑓(𝑚1 +𝑚2) = 𝑓(𝑚1) + 𝑓(𝑚2) e

(ii) 𝑓(𝑟𝑚1) = 𝑟𝑓(𝑚1)

Observação 2.9. 1. Um homomorfismo de um𝐴-módulo nele mesmoé dito endomorfismo,

2. um homomorfismo injetor é dito monomorfismo,

3. um homomorfismo sobrejetor é dito epimorfismo e

4. um homomorfismo bijetor é dito isomorfismo.

Proposição 2.17. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos, e 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 umhomomorfismo. Então, são satisfeitas as propriedades:

1. 𝑓(0) = 0𝑁 , com 0𝑁 elemento neutro de 𝑁 ,

2. 𝑓(−𝑚) = −𝑓(𝑚), para todo 𝑚 ∈ 𝑀 ,

Demonstração:

1. Seja 0 ∈ 𝑀 o elemento neutro. Então,

𝑓(0) = 𝑓(0 + 0) = 𝑓(0) + 𝑓(0),

donde 𝑓(0) = 0𝑁 .

2. Como 0𝑁 = 𝑓(0), então, seja 𝑚 ∈ 𝑀 ,

0𝑁 = 𝑓(0)

= 𝑓(𝑚+ (−𝑚))

= 𝑓(𝑚) + 𝑓(−𝑚).

Portanto, como 0𝑁 é o elemento neutro de 𝑁 , 𝑓(−𝑚) deve ser osimétrico de 𝑓(𝑚) e, assim, 𝑓(−𝑚) = −𝑓(𝑚).

2.3. MÓDULOS 67

Observação 2.10. Seja 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de𝐴-módulos.Então, 𝐼𝑚(𝑓) e 𝐾𝑒𝑟(𝑓) são ditos imagem e núcleo de 𝑓 , onde

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑓(𝑚) : 𝑚 ∈ 𝑀} e

𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑚 ∈ 𝑀 : 𝑓(𝑚) = 0}.

Proposição 2.18. Seja 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos.Então, 𝐼𝑚(𝑓) e 𝐾𝑒𝑟(𝑓) são 𝐴-submódulos de 𝑁 e 𝑀 , respectivamente.

Demonstração: Primeiramente, será demonstrado que 𝐼𝑚(𝑓) é sub-módulo de 𝑁 . É imediato que 𝐼𝑚(𝑓) é não vazio, uma vez que 𝑓(0) =0𝑁 . Então, sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑓), ou seja 𝑥 = 𝑓(𝑚1) e 𝑦 = 𝑓(𝑚2), com𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 . Assim, 𝑥+𝑦 = 𝑓(𝑚1)+𝑓(𝑚2) = 𝑓(𝑚1+𝑚2) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Poroutro lado, para todo 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎𝑥 = 𝑎𝑓(𝑚1) = 𝑓(𝑎𝑚1) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Logo,da Proposição (2.12), 𝐼𝑚(𝑓) é submódulo de 𝑁 . Agora, será provadoque 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é um 𝐴-submódulo de 𝑀 . Como 𝑓(0) = 0𝑁 , 0 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓)donde 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é não vazio. Então, dados 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), tem-se que𝑓(𝑚1) = 0𝑁 e 𝑓(𝑚2) = 0𝑁 , então 0𝑁 = 𝑓(𝑚1) + 𝑓(𝑚2) = 𝑓(𝑚1 +𝑚2).Assim, 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Ainda, dados 𝑎 ∈ 𝐴, verifica-se que 0𝑁 =𝑎0 = 𝑎𝑓(𝑚1) = 𝑓(𝑎𝑚1), ou seja, 𝑎𝑚1 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝑓) éum 𝐴-submódulo de 𝑀 .

A partir deste momento, dado um homomorfismo 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁

de 𝐴-módulos, tanto os elemento neutro de 𝑀 quanto o de 𝑁 serãodenotados apenas como 0.

Proposição 2.19. Seja 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos.Então, 𝑓 é um monomorfismo se, e somente se, 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {0}.

Demonstração: Primeiramente, é suposto que 𝑓 é um monomor-fismo. Tomando 𝑚 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), obtém-se 𝑓(𝑚) = 0, mas 𝑓(0) = 0, pelaProposição (2.17). Como 𝑓 é injetiva, 𝑚 = 0.Reciprocamente, supondo que 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {0} e tomando 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀

tais que 𝑓(𝑚1) = 𝑓(𝑚2), deseja-se mostrar que 𝑚1 = 𝑚2, a fim de que𝑓 seja injetiva. Assim, 𝑓(𝑚1−𝑚2) = 0 donde 𝑚1−𝑚2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {0}.Assim, necessariamente 𝑚1 = 𝑚2. Portanto, 𝑓 é um monomorfismo.


Proposição 2.20. Sejam 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 e 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑃 homomorfismosde 𝐴-módulos. Então, a aplicação composta

𝑔 ∘ 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑃

𝑚 ↦−→ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚))

é um homomorfismo.

Demonstração: Sejam 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 . Assim,

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚1 +𝑚2) = 𝑔(𝑓(𝑚1 +𝑚2))

= 𝑔(𝑓(𝑚1) + 𝑓(𝑚2))

= 𝑔(𝑓(𝑚1)) + 𝑔(𝑓(𝑚2))

= (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚1) + (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚2).

Por outro lado, seja 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , então,

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑎𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑎𝑚))

= 𝑔(𝑎𝑓(𝑚))

= 𝑎𝑔(𝑓(𝑚))

= 𝑎(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚).

Portanto, 𝑔∘𝑓 satisfaz as propriedades de homomorfismo de 𝐴-módulos.

O seguinte teorema chama-se Teorema do Homomorfismopara Módulos, e possui relevância neste estudo, visto que será bas-tante usado em demonstrações posteriores. Esse teorema é análogo aoTeorema do Homomorfismos em anéis.

Teorema 2.4. Sejam 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos e𝐾𝑒𝑟(𝑓) seu núcleo. Então, os módulos 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) e 𝐼𝑚(𝑓) são isomorfos.

Demonstração: Primeiramente, define-se

𝜑 : 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) −→ 𝐼𝑚(𝑓)

𝑚+𝐾𝑒𝑟(𝑓) ↦−→ 𝜑(𝑚+𝐾𝑒𝑟(𝑓)) = 𝑓(𝑚).

2.3. MÓDULOS 69

Inicialmente, demonstrar-se-á que a aplicação 𝜑 está bem definida. Se-jam 𝑚1 + 𝐾𝑒𝑟(𝑓),𝑚2 + 𝐾𝑒𝑟(𝑓) ∈ 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) tais que 𝑚1 + 𝐾𝑒𝑟(𝑓) =

𝑚2 + 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Logo, 𝑚1 − 𝑚2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), donde 0 = 𝑓(𝑚1 − 𝑚2) =𝑓(𝑚1) − 𝑓(𝑚2). Desta forma, 𝑓(𝑚1) = 𝑓(𝑚2) e 𝜑 está bem definida.É preciso mostrar que 𝜑 é um homomorfismo de 𝐴-módulos. Então,sejam 𝑚1 +𝐾𝑒𝑟(𝑓),𝑚2 +𝐾𝑒𝑟(𝑓) ∈ 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) , donde

𝜑((𝑚1 +𝐾𝑒𝑟(𝑓)) + (𝑚2 +𝐾𝑒𝑟(𝑓))) = 𝜑((𝑚1 +𝑚2) +𝐾𝑒𝑟(𝑓))

= 𝑓(𝑚1 +𝑚2)

= 𝑓(𝑚1) + 𝑓(𝑚2)

= 𝜑(𝑚1 +𝐾𝑒𝑟(𝑓)) + 𝜑(𝑚2 +𝐾𝑒𝑟(𝑓))

e, dados 𝑚+𝐾𝑒𝑟(𝑓) ∈ 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) e 𝑎 ∈ 𝐴, tem-se que

𝜑(𝑎(𝑚+𝐾𝑒𝑟(𝑓))) = 𝑓(𝑎𝑚)

= 𝑎𝑓(𝑚)

= 𝑎𝜑(𝑚+𝐾).

Portanto, 𝜑 é homomorfismo. Agora, supondo que 𝜑(𝑚1 + 𝐾𝑒𝑟(𝑓)) =𝜑(𝑚2 +𝐾𝑒𝑟(𝑓)), com 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀 . Aplicando 𝜑, tem-se que 𝑓(𝑚1) =𝑓(𝑚2), donde 𝑓(𝑚1 − 𝑚2) = 0 e 𝑚1 − 𝑚2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Assim, 𝑚1 +𝐾𝑒𝑟(𝑓) = 𝑚2 +𝐾𝑒𝑟(𝑓) e, portanto, 𝜑 é injetor.Ainda, tem-se que 𝐼𝑚(𝜑) = {𝜑(𝑚+𝐾𝑒𝑟(𝑓)) : 𝑚 ∈ 𝑀} = {𝑓(𝑚) : 𝑚 ∈

𝑀} = 𝐼𝑚(𝑓), donde 𝜑 é sobrejetor. Portanto, 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) e 𝐼𝑚(𝑓) são

isomorfos, e denota-se por 𝑀

𝐾𝑒𝑟(𝑓) ≃ 𝐼𝑚(𝑓)

Observação 2.11. Os homomorfismos de 𝐾-módulos, onde 𝐾 é umcorpo, são as transformações lineares, uma vez que, como exposto noExemplo (2.11), espaços vetoriais são exemplos de módulos.

Exemplo 2.16. Seja 𝑁 um 𝐴-submódulo de 𝑀 . Chama-se de projeção


canônica a aplicação

𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀

𝑁

𝑚 ↦−→ 𝑚+𝑁.

Assim, 𝜋 é um epimorfismo, pois dados 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑀

𝜋(𝑚1 +𝑚2) = (𝑚1 +𝑚2) +𝑁

= (𝑚1 +𝑁) + (𝑚2 +𝑁)

= 𝜋(𝑚1) + 𝜋(𝑚2)

e dados 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑎 ∈ 𝐴

𝜋(𝑎𝑚) = (𝑎𝑚+𝑁)

= 𝑎(𝑚+𝑁)

= 𝑎𝜋(𝑚).

e, ainda, a sobrejetividade é imediata.

Por fim, segue abaixo algumas definições que serão necessáriasposteriormente.

Definição 2.20. Sejam 𝐴 um anel com unidade e 𝑀 um 𝐴-módulo.

1. Se existem 𝑥1, ..., 𝑥𝑛 ∈ 𝑀 tais que 𝑀 = 𝐴𝑥1 + ...+𝐴𝑥𝑛, então, o𝐴-módulo 𝑀 é dito finitamente gerado e, neste caso, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛

formam um sistema de geradores de 𝑀 .

2. Os elementos 𝑥1, ..., 𝑥𝑛 ∈ 𝑀 são linearmente independentes(sobre 𝐴) se

𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑥𝑖 = 0 com 𝑎𝑖 ∈ 𝐴

implicar que 𝑎1 = ... = 𝑎𝑛 = 0.

3. Se 𝑥1, ..., 𝑥𝑛 ∈ 𝑀 forem linearmente independentes e geradoresde 𝑀 , então {𝑥1, ..., 𝑥𝑛} é uma base de 𝑀 .

2.3. MÓDULOS 71

Porém, nem todo módulo finitamente gerado possui uma base.Assim, segue a definição que discrimina os módulos pela existênciaou não de uma base nele. Além disso, uma base pode conter infinitoselementos.

Definição 2.21. Um 𝐴-módulo 𝑀 é dito 𝐴-módulo livre se possuiruma base, e o número de elementos da base é chamado de posto de 𝐴.

Observação 2.12. Convencionalmente, diz-se que o grupo {0} é um𝐴-módulo livre para qualquer anel 𝐴, tal que sua base é dada por𝐵 = ∅.

Exemplo 2.17. 𝐴[𝑥] é um 𝐴-módulo livre com base {1, 𝑥, ..., 𝑥𝑛, ...}.

Exemplo 2.18. Tem-se {1, 𝑖} é linearmente independente sobre R,então será também linearmente independente sobre Z. Por isso e como{1, 𝑖} gera Z + 𝑖Z, o anel dos inteiros de Gauss Z + 𝑖Z é um Z-módulolivre, com a base {1, 𝑖}.

Teorema 2.5. Sejam 𝐴 um anel principal, 𝑀 um 𝐴-módulo livre deposto 𝑛, e 𝑁 um 𝐴-submódulo de 𝑀 . Então:

(i) 𝑁 é 𝐴-submódulo livre de posto 𝑞, com 0 ≤ 𝑞 ≤ 𝑛.

(ii) Se 𝑁 = ⟨0⟩, então existe uma base {𝑒1, . . . , 𝑒𝑛} de 𝑀 e elementos𝑎1, . . . , 𝑎𝑞 ∈ 𝐴 não nulos tais que {𝑎1𝑒1, . . . , 𝑎𝑞𝑒𝑞} é uma base de𝑁 e 𝑎𝑖 divide 𝑎𝑖+1, para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑞 − 1.

Demonstração: Ver Mazucchi (2006), p. 7.

2.3.1 Módulos Noetherianos

Para definir o que é um módulo noetheriano é preciso primei-ramente entender o que é uma sequência estacionária.


Definição 2.22. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ · · · ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ · · ·uma sequência crescente de 𝐴-submódulos de 𝑀 . Essa é uma sequên-cia estacionária se existir 𝑛0 ∈ N tal que

𝐼𝑛0 = 𝐼𝑛 ∀𝑛 ≥ 𝑛0.

A definição é análoga para sequência decrescente estacionária.

Assim, segue a definição de módulo noetheriano.

Definição 2.23. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo. 𝑀 é dito 𝐴-módulo noethe-riano se satisfizer uma das condições

(i) Toda família não vazia de 𝐴-submódulos de 𝑀 tem um elementomaximal.

(ii) Toda sequência crescente de 𝐴-submódulos de 𝑀 é estacionária.

(iii) Todo 𝐴-submódulo de 𝑀 é finitamente gerado.

Observação 2.13. As três propriedades acima são equivalentes.

Definição 2.24. Diz-se que 𝐴 é um anel noetheriano se 𝐴, vistocomo um 𝐴-módulo, for noetheriano.

Proposição 2.21. Todo anel principal é noetheriano.

Demonstração: Seja 𝐴 um 𝐴-módulo e considere a sequência cres-cente de 𝐴-submódulos

𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ · · · ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ · · · ,

deseja-se mostrar que 𝐴 é noetheriano dado que é principal, para isso,será provada a condição (ii) da Definição (2.23).Por hipótese, 𝐴 é anel principal, ou seja, todos os seus ideais são prin-cipais. Mas, os submódulos de 𝐴 são os próprios ideais de 𝐴, como

2.3. MÓDULOS 73

pode-se verificar pelas definições de submódulo e ideal. Assim, todos ossubmódulos de 𝐴 são principais. Por outro lado, observa-se que

𝐼 =⋃

𝑛∈N𝐼𝑛

é um ideal de 𝐴. Desta forma, tem-se que 𝐼𝑛 ⊂ 𝐼 = ⟨𝑎⟩, para todo 𝑛natural e 𝑎 ∈ 𝐼𝑛0 , para algum 𝑛0 ∈ N, pois

𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩ = 𝐼 =⋃

𝑛∈N𝐼𝑛

Dado que 𝑎 ∈ 𝐼𝑛0 e 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩, segue que ⟨𝑎⟩ ⊂ 𝐼𝑛0 . Assim, 𝐼 = 𝐼𝑛0 ,para algum 𝑛0 ∈ N. Portanto, existe 𝑛0 ∈ N tal que para todo 𝑛 ≥ 𝑛0

tem-se 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛0 .

Observação 2.14. Em Álgebra Linear, define-se como forma bili-near uma função

𝑓 : 𝑉 × 𝑉 −→ 𝐾

onde 𝑉 é um espaço vetorial sobre o corpo 𝐾, de forma que, dados𝑎 ∈ 𝐾 e 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉

1. 𝑓(𝑢+ 𝑣, 𝑤) = 𝑓(𝑢,𝑤) + 𝑓(𝑣, 𝑤),

2. 𝑓(𝑢, 𝑣 + 𝑤) = 𝑓(𝑢, 𝑣) + 𝑓(𝑢,𝑤) e

3. 𝑓(𝑎𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢, 𝑎𝑢) + 𝑎𝑓(𝑢, 𝑣).

Analogamente, define-se uma forma bilinear sobre 𝑀 um 𝐴- módulo.

Proposição 2.22. Sejam 𝐴 um anel, 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝑁 ⊂ 𝑀 um𝐴-submódulo. Então, 𝑀 é noetheriano se, e somente se, 𝑀

𝑁e 𝑁 são

noetherianos.

Demonstração: Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo noetheriano e (𝑀𝑛)𝑛≥0

uma sequência crescente de 𝐴-submódulos de 𝑁 . Consequentemente,(𝑀𝑛)𝑛≥0 é uma sequência crescente de 𝐴-submódulos de 𝑀 . Dado que𝑀 é noetheriano, pela Proposição (2.21), (𝑀𝑛)𝑛≥0 é estacionária. Logo,


𝑁 é noetheriano.Por outro lado, para mostrar que 𝑀

𝑁é noetheriano, sejam

𝑆 = {submódulos de 𝑀 que contém 𝑁} e 𝑇 ={

submódulos de 𝑀

𝑁

}.

Definindo a aplicação

𝜙 : 𝑆 −→ 𝑇

𝐿 ↦−→ 𝐿

𝑁

é uma bijeção de 𝑆 em 𝑇 , como é facilmente observável. Desta forma,se (𝑀𝑛)𝑛≥0 é uma sequência crescente de 𝐴-submódulos de 𝑀

𝑁, então(

𝜙−1(𝑀𝑛))

𝑛≥0 é também uma sequência crescente de 𝐴-submódulosde 𝑀 . Dado que 𝑀 é noetheriano, segue que

(𝜙−1(𝑀𝑛)

)𝑛≥0 é estacio-

nária, donde (𝑀𝑛)𝑛≥0 é também estacionária. Logo, 𝑀𝑁

é noetheriano.

Reciprocamente, sejam 𝑀

𝑁e 𝑁 noetherianos e (𝑀𝑛)𝑛≥0 uma sequência

crescente de 𝐴-submódulos de 𝑀 . Assim, (𝑁 ∩ 𝑀𝑛)𝑛 ≥ 0 é tambémuma sequência crescente de 𝐴-submódulos 𝑁 . Mas, como 𝑁 é noethe-riano, (𝑁 ∩𝑀𝑛)𝑛≥0 é estacionária, de forma que existe 𝑘 ∈ 𝑁 tal que

𝑀𝑛 ∩𝑁 = 𝑀𝑛+1 ∩𝑁 e 𝑀𝑛

𝑁= 𝑀𝑚+1

𝑁, ∀𝑛 ≥ 𝑘.

Tem-se que 𝑀𝑛 ⊆ 𝑀𝑛+1, para todo 𝑛 ≥ 𝑘. Dado um 𝑥 ∈ 𝑀𝑛+1, entãoexiste 𝑦 ∈ 𝑀𝑛 tal que 𝑥+𝑀1 = 𝑦+𝑁 . Segue que, 𝑥−𝑦 ∈ 𝑁 ∩𝑀𝑛+1 =𝑁 ∩ 𝑀𝑛. Logo, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑀𝑛 e, uma vez que 𝑦 ∈ 𝑀𝑛 conclui-se que𝑥 ∈ 𝑀𝑛. Assim, 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1, para todo 𝑛 ≥ 𝑘 e, portanto, 𝑀 énoetheriano.

Corolário 2.4. Se 𝑀1, ...,𝑀𝑛 são 𝐴-módulos noetherianos, então oproduto 𝑀1 × · · · ×𝑀𝑛 é um 𝐴-módulo noetheriano.

Demonstração: O teorema será demonstrado através de induçãosobre 𝑛.

2.3. MÓDULOS 75

(i) Para 𝑛 = 2:Verifica-se que 𝑀1 é isomorfo a 𝑀1 × {0}, denotando por 𝑀1 ≃𝑀1 ×{0}, e ainda 𝑀1 ×{0} ⊂ 𝑀1 ×𝑀2. Assim, define-se a função

𝜙 : 𝑀1 ×𝑀2 −→ 𝑀2

(0, 𝑦) ↦−→ 𝑦.

Assim, 𝜙 é um homomorfismo sobrejetor, e então, pelo Teoremado Homomorfismo,

𝑀1 ×𝑀2

ker𝜙 ≃ 𝑀2

onde ker𝜙 = 𝑀1 × {0}. Dado que 𝑀2 é noetheriano,

𝑀1 ×𝑀2

𝑀1 × 0 ≃ 𝑀2

é noetheriano e, pela Proposição (2.22), 𝑀1 ×𝑀2 é noetheriano.

(ii) Supondo que 𝑀 = 𝑀1 × · · · ×𝑀𝑛−1 é noetheriano, sendo esta ahipótese de indução.

(iii) Sendo 𝑀𝑛 noetheriano, analogamente ao item (i) 𝑀 = 𝑀1 ×· · ·×𝑀𝑛 é um 𝐴-módulo noetheriano.

Denota-se o produto cartesiano de 𝐴 por 𝐴 n vezes por 𝐴𝑛.

Corolário 2.5. Sejam 𝐴 um anel noetheriano e 𝑀 um 𝐴-módulo fi-nitamente gerado. Então, 𝑀 é um 𝐴-módulo noetheriano.

Demonstração: Seja {𝑒1, ..., 𝑒𝑛} um conjunto de geradores de 𝑀

(como um 𝐴-módulo). Assim, a aplicação

𝜙 : 𝐴𝑛 −→ 𝑀

(𝑎1, ..., 𝑎𝑛) ↦−→ 𝑎1𝑒1 + · · · + 𝑎𝑛𝑒𝑛

é um homomorfismo sobrejetor. Pelo Teorema do Homomorfismo,

𝐴𝑛

𝑘𝑒𝑟𝜙≃ 𝑀.


Por 𝐴 ser noetheriano e pelo Corolário (2.4), segue que 𝐴𝑛 é noetheri-ano. E, portanto, pela Proposição (2.22) 𝑀 é um 𝐴-módulo noetheri-ano.

Lema 2.4. Sejam 𝐴1, 𝐴2 ⊆ 𝐴 ideais e 𝐴1 + 𝐴2 = 𝐴. Então, 𝐴1𝐴2 =𝐴1 ∩𝐴2.

Demonstração: Temos que 𝐴1𝐴2 ⊂ 𝐴1 e 𝐴1𝐴2 ⊂ 𝐴2, logo 𝐴1𝐴2 ⊂𝐴1 ∩ 𝐴2. Supondo que 𝑥 ∈ 𝐴1 ∩ 𝐴2. Tem-se, por hipótese, que 𝐴1 +𝐴2 = 𝐴, então existem 𝑎1 ∈ 𝐴1 e 𝑎2 ∈ 𝐴2 tais que 1 = 𝑎1 + 𝑎2.Assim, 𝑥 = 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 é a soma de dois elementos de 𝐴1𝐴2, donde𝐴1 ∩𝐴2 ⊂ 𝐴1𝐴2. Portanto, 𝐴1𝐴2 = 𝐴1 ∩𝐴2.

Assim, conclui-se os conceitos preliminares necessários ao es-tudo dos elementos inteiros e algébricos, que são estudados no próximocapítulo.

77

3 ELEMENTOS INTEIROS EALGÉBRICOS

Com base em Samuel (1967), Mazucchi (2006), Quilles (2006),Gonçalves (1999), e Stewart (1973) este capítulo apresenta o conceito deelemento inteiro sobre um anel. Estuda-se ainda, os casos particularesdesse objeto: elemento e número algébricos. As definições e proposiçõesestudadas no capítulo anterior servirão de apoio para o desenvolvimentodos conceitos estudados neste capítulo.

3.1 ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL

Aqui, em toda seção, considera-se 𝐴 um anel comutativo comunidade.

Definição 3.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis, 𝐴 subanel de 𝐵 e 𝛼 ∈ 𝐵. Define-seo conjunto 𝐴 adjunção 𝛼, denotado por 𝐴[𝛼], por

𝐴[𝛼] = {𝑓(𝛼) : 𝑓(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥]}.

Definição 3.2. Sejam 𝐵 um anel, 𝐴 um subanel de 𝐵 e 𝛼 um elementode 𝐵. Diz-se que 𝛼 é inteiro sobre 𝐴 se existem 𝑎0, · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴, nãotodos nulos, tais que

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑎1𝛼+ 𝑎0 = 0, (3.1)

isto é, 𝛼 é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em 𝐴.

Observação 3.1. A Equação (3.1) é chamada de equação de de-pendência integral de 𝛼.

Exemplo 3.1. Sejam os anéis Z e R tais que Z ⊂ R. Tem-se que 2√

3 éinteiro sobre Z, pois é raiz do polinômio 𝑥5+𝑥4−12𝑥3−9𝑥2−36 ∈ Z[𝑥].

78 Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E ALGÉBRICOS

Teorema 3.1. Sejam 𝐵 um anel, 𝐴 um subanel de 𝐵 e 𝛼 um elementode 𝐵. As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) 𝛼 é inteiro sobre 𝐴;

(ii) O anel 𝐴[𝛼] é um 𝐴-módulo finitamente gerado;

(iii) Existe um subanel 𝑅 do anel 𝐵 que contém 𝐴 e 𝛼 e é um 𝐴-módulo finitamente gerado.

Demonstração: (i) ⇒ (ii) Seja o anel

𝐴[𝛼] ={∑

𝑖

𝑎𝑖𝛼𝑖 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐴

}.

Como 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, existem 𝑎0, · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴, não todos nulos,tais que

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑎1𝛼+ 𝑎0 = 0.

Considerando𝑀 um𝐴-módulo finitamente gerado por {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1},ou seja, 𝑀 = ⟨1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1⟩, deve-se provar que 𝑀 = 𝐴[𝛼]. Para ve-rificar a inclusão 𝐴[𝛼] ⊆ 𝑀 , observa-se que 𝛼𝑛 = −(𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 + · · · +𝑎1𝛼 + 𝑎0), donde 𝛼𝑗 ∈ 𝑀 , para todo 𝑗 ≤ 𝑛. A prova de que 𝑎𝑗 ∈ 𝑀 ,para todo 𝑗 > 𝑛, será feita por indução sobre 𝑗. Assim, supondo queexistam 𝑏0, · · · , 𝑏𝑛−1 ∈ 𝐴 tais que 𝛼𝑗 = 𝑏𝑛−1𝛼

𝑛−1 + . . . + 𝑏1𝛼 + 𝑏0,tem-se que

𝛼𝑗+1 = 𝛼𝑗𝛼

= (𝑏𝑛−1𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑏1𝛼+ 𝑏0)𝛼

= 𝑏𝑛−1𝛼𝑛 + · · · + 𝑏1𝛼

2 + 𝑏0𝛼

= 𝑏𝑛−1(−𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 − · · · − 𝑎1𝛼− 𝑎0) + · · · + 𝑏1𝛼

2 + 𝑏0𝛼

= −𝑏𝑛−1𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 − · · · − 𝑏𝑛−1𝑎1𝛼− 𝑏𝑛−1𝑎0 + · · · + 𝑏1𝛼

2 + 𝑏0𝛼

= −𝑎0𝑏𝑛−1 + (−𝑏𝑛−1𝑎1 + 𝑏0)𝛼+ · · · + (𝑏𝑛−2 − 𝑏𝑛−1𝑎𝑛−1)𝛼𝑛−1,

logo 𝛼 ∈ 𝑀 , para todo 𝑗 ∈ N e, logo, 𝐴[𝛼] ⊆ 𝑀 . Por outro lado, é fácilver que 𝑀 =

⟨1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1⟩ ⊂ {

∑𝑖 𝑎𝑖𝛼

𝑖 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐴} = 𝐴[𝛼]. Portanto,

3.1. ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL 79

𝐴[𝛼] = 𝑀 e 𝐴[𝛼] é finitamente gerado por {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1}.

(ii) ⇒ (iii) Basta tomar 𝑅 = 𝐴[𝛼] ⊂ 𝐵 que é um 𝐴- módulo fini-tamente que contém 𝛼 e 𝐴.

(iii) ⇒ (i) Seja 𝑅 = ⟨𝑦1, . . . , 𝑦2⟩ um 𝐴-módulo finitamente gerado,com 𝐴 ⊆ 𝑅 ⊆ 𝐵 e 𝛼 ∈ 𝑅, donde 𝑅 = 𝐴𝑦1 + . . . + 𝐴𝑦𝑛 e, como 𝑅 ésubanel de 𝐵, 𝛼𝑦𝑖 ∈ 𝑅 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Ou seja, existem 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴, com1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 tais que⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

𝛼𝑦1 = 𝑎11𝑦1 + . . .+ 𝑎1𝑛𝑦𝑛

𝛼𝑦2 = 𝑎21𝑦1 + . . .+ 𝑎2𝑛𝑦𝑛

...𝛼𝑦𝑛 = 𝑎𝑛1𝑦1 + . . .+ 𝑎𝑛𝑛𝑦𝑛

.

Assim, ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩(𝛼− 𝑎11)𝑦1 − 𝑎12𝑦2 − . . .− 𝑎1𝑛𝑦𝑛 = 0

−𝑎21𝑦1 + (𝛼− 𝑎22)𝑦2 − . . .− 𝑎2𝑛𝑦𝑛 = 0...

−𝑎𝑛1𝑦1 − 𝑎𝑛2𝑦2 − . . .+ (𝛼− 𝑎𝑛𝑛)𝑦𝑛 = 0

.

Matricialmente, tem-se

⎡⎢⎢⎢⎢⎣(𝛼− 𝑎11 −𝑎12 · · · −𝑎1𝑛

−𝑎21 (𝛼− 𝑎22) · · · −𝑎2𝑛

......

. . ....

−𝑎𝑛1 −𝑎𝑛2 · · · (𝛼− 𝑎𝑛𝑛)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑦1

𝑦2...𝑦2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣00...0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

Definindo 𝑀 = [𝑎𝑖𝑗 ] a matriz dos coeficientes do sistema linear e 𝐷 =𝑑𝑒𝑡(𝑀) seu determinante, tem-se pela regra de Cramer que 𝐷𝑦𝑗 = 0,para 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Tem-se que 1 ∈ 𝑅, donde

1 =𝑛∑

𝑗=1𝑐𝑗𝑦𝑗 ,


onde 𝑐𝑗 ∈ 𝐴, e, desta forma,

𝐷 = 𝐷 · 1

= 𝐷

𝑛∑𝑗=1

𝑐𝑗𝑦𝑗

=𝑛∑

𝑗=1𝑐𝑗𝐷𝑦𝑗

= 0

Assim, 𝐷 é uma equação de dependência integral de 𝛼, uma vez que𝐷 = 𝛼𝑛 + 𝑏𝑛−1𝛼

𝑛−1 + . . . + 𝑏1𝛼 + 𝑏0, donde os 𝑏𝑖, com 𝑖 = 0, . . . , 𝑛,resultam das somas e multiplicações dos elementos da matriz 𝑀 naoperação do determinante na matriz. Como tais coeficientes pertencema 𝐴, 𝑏𝑖 ∈ 𝐴, para 𝑖 = 0, . . . , 𝑛. Ou seja, 𝐷 = 𝛼𝑛 + 𝑏𝑛−1𝛼

𝑛−1 + . . . +𝑏1𝛼+ 𝑏0 = 0 Portanto, 𝛼 é inteiro sobre 𝐴.

Corolário 3.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis, 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝛼1, · · · , 𝛼𝑛 ∈ 𝐵. Se 𝛼1 éinteiro sobre 𝐴, 𝛼2 é inteiro sobre 𝐴[𝛼1], 𝛼3 é inteiro sobre 𝐴[𝛼1, 𝛼2] e𝛼𝑛 é inteiro sobre 𝐴[𝛼1, . . . , 𝛼𝑛−1], então 𝐴[𝛼1, . . . , 𝛼𝑛] é um 𝐴-módulofinitamente gerado.

Demonstração: Pelo Teorema (3.1), se 𝛼1 é inteiro sobre 𝐴, então𝐴[𝛼1] é um 𝐴-módulo finitamente gerado. Supondo que

𝑅 = 𝐴[𝛼1, · · · , 𝛼𝑛−1]

é um 𝐴-módulo finitamente gerado por {𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛} e que 𝛼𝑛 éinteiro sobre 𝑅, tem-se, novamente pelo Teorema (3.1), que 𝑅[𝛼𝑛] é um𝑅-módulo finitamente gerado. Então, existem {𝑦1, 𝑦2, · · · , 𝑦𝑚} ⊂ 𝑅[𝛼𝑛]de forma que

𝑅[𝛼𝑛] = 𝐴[𝛼1, 𝛼2, · · · , 𝛼𝑛]

= 𝑦1𝑅+ 𝑦2𝑅 · · · + 𝑦𝑚𝑅

= 𝑦1(𝑥1𝐴+ 𝑥2𝐴+ · · · + 𝑥𝑛𝐴) + · · · + 𝑦𝑚(𝑥1𝐴+ 𝑥2𝐴+ · · · + 𝑥𝑛𝐴)

= 𝑦1𝑥1𝐴+ 𝑦1𝑥2𝐴+ · · · + 𝑦𝑚𝑥𝑛−1𝐴+ 𝑦𝑚𝑥𝑛𝐴.


Assim, {𝑦𝑖𝑥𝑗}, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, gera o 𝐴-módulo 𝑅[𝛼𝑛].Como 𝑅[𝛼𝑛] = 𝐴[𝛼1, . . . , 𝛼𝑛], este é um 𝐴-módulo finitamente gerado.

Corolário 3.2. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis com 𝐴 ⊂ 𝐵. Se 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝐵

são inteiros sobre 𝐴, então 𝐴 [𝛼1, · · · , 𝛼𝑛] é um 𝐴-módulo finitamentegerado.

Demonstração: Se 𝛼𝑖 inteiro sobre𝐴 é também inteiro sobre𝐴 [𝛼1, . . . , 𝛼𝑖−1],com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, donde, do Corolário (3.1), segue que 𝐴[𝛼1, . . . , 𝛼𝑛] éum 𝐴-módulo finitamente gerado.

Corolário 3.3. Sejam 𝐵 um anel e 𝐴 um subanel de 𝐵. Se 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐵

são inteiros sobre 𝐴, então 𝛼+𝛽,𝛼−𝛽 e 𝛼𝛽 são também inteiros sobre𝐴.

Demonstração: Naturalmente, como 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐴[𝛼, 𝛽] e 𝐴[𝛼, 𝛽] é umsubanel de 𝐵, 𝛼+𝛽, 𝛼−𝛽 e 𝛼𝛽 também são elementos de 𝐴[𝛼, 𝛽]. PeloCorolário (3.2), sendo 𝛼 e 𝛽 inteiros sobre 𝐴, 𝐴[𝛼, 𝛽] é um 𝐴-módulofinitamente gerado. Assim, pelo Teorema (3.1), como 𝐴 ⊂ 𝐴[𝛼, 𝛽] ⊂ 𝐵

e 𝐴[𝛼, 𝛽] contém 𝛼+ 𝛽, 𝛼− 𝛽 e 𝛼𝛽 estes são inteiros sobre 𝐴.

Corolário 3.4. Sejam 𝐵 um anel e 𝐴 um subanel de 𝐵. O conjunto𝐼𝐵(𝐴) do elementos de 𝐵 que são inteiros sobre 𝐴 é um subanel de 𝐵que contém 𝐴.

Demonstração: O Corolário (3.3) implica que 𝐼𝐵(𝐴) é um subanel de𝐵. Temos que 𝐴 ⊂ 𝐼𝐵(𝐴), uma vez que, se 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 é raiz do polinômiomônico 𝑝(𝑥) = 𝑥−𝑎, com coeficientes em 𝐴. Portanto, 𝐴 ⊂ 𝐼𝐵(𝐴) ⊂ 𝐵.

Definição 3.3. Sejam 𝐵 um anel e 𝐴 um subanel de 𝐵.

(i) O conjunto

𝐼𝐵(𝐴) = {𝛼 ∈ 𝐵 : 𝛼 é inteiro sobre 𝐴}


é dito anel de inteiros de 𝐵 sobre 𝐴.

(ii) Se todo elemento de 𝐵 é inteiro sobre 𝐴, ou seja, 𝐼𝐵(𝐴) = 𝐵,então o conjunto 𝐵 é dito inteiro sobre 𝐴.

Corolário 3.5. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis e 𝐴 ⊂ 𝐵. Então, todo subanel de𝐵 que é um 𝐴-módulo finitamente gerado contém 𝐼𝐵(𝐴).

Demonstração: Seja 𝑅 ⊂ 𝐵 um anel, tal que 𝑅 é um 𝐴-módulofinitamente gerado e {𝛼1, . . . , 𝛼𝑛} um conjunto de geradores de 𝑅. Su-pondo que 𝛼 ∈ 𝑅, tem-se que 𝐴[𝛼] é um 𝐴-módulo finitamente gerado,uma vez que 𝛼 = 𝑎1𝛼1 + . . .+ 𝑎𝑛𝛼𝑛, com 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. PeloTeorema (3.1) 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, donde 𝛼 ∈ 𝐼𝐵(𝐴). Assim, 𝐼𝐵(𝐴) ⊂ 𝑅.

Proposição 3.1. Sejam 𝐶 um anel, 𝐵 um subanel de 𝐶 e 𝐴 um subanelde 𝐵. Então, 𝐶 é inteiro sobre 𝐴 se, e somente se, 𝐵 é inteiro sobre𝐴 e 𝐶 é inteiro sobre 𝐵.

Demonstração: Se 𝐶 é inteiro sobre 𝐴, então para cada 𝛼 ∈ 𝐶

existem 𝑎0, . . . , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴, não todos nulos, tais que

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + . . .+ 𝑎0 = 0.

Como 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐵, segue que 𝛼 é inteiro sobre 𝐵 e, portanto, 𝐶 éinteiro sobre 𝐵. Agora, se 𝛽 ∈ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶 segue que 𝛽 ∈ 𝐶 e porhipótese, 𝛽 é inteiro sobre 𝐴, logo 𝐵 é inteiro sobre 𝐴.Reciprocamente, considere que 𝐶 é inteiro sobre 𝐵 e 𝐵 é inteiro sobre 𝐴.Seja 𝛼 ∈ 𝐶, então 𝛼 é inteiro sobre 𝐵, ou seja, existem 𝑏0, . . . , 𝑏𝑛−1 ∈ 𝐵

tais que𝛼𝑛 + 𝑏𝑛−1𝛼

𝑛−1 + . . .+ 𝑏0 = 0.

Segue que 𝛼 é inteiro sobre 𝐴[𝑏0, . . . , 𝑏𝑛−1]. Como 𝐵 é inteiro sobre 𝐴,𝑏0, . . . , 𝑏𝑛−1 são inteiros sobre 𝐴. Pelo Corolário (3.1), 𝐴[𝑏0, . . . , 𝑏𝑛−1, 𝛼]é um 𝐴-módulo finitamente gerado, donde, pelo Teorema (3.1), 𝛼 éinteiro sobre 𝐴. Portanto, 𝐶 é inteiro sobre 𝐴.


Proposição 3.2. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis, tais que 𝐵 é um domínio e 𝐵inteiro sobre 𝐴. Então, 𝐴 é um corpo se, e somente se, 𝐵 é um corpo.

Demonstração: Sejam 𝐴 um corpo e 0 = 𝛼 ∈ 𝐵. Como 𝐵 é inteirosobre 𝐴, 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, assim, pelo Teorema (3.1), 𝐴[𝛼] é um 𝐴-módulo finitamente gerado, mas como 𝐴 é corpo segue que, tendo emvista a Observação (2.11), 𝐴[𝛼] é um espaço vetorial finitamente geradosobre 𝐴. Definindo a aplicação 𝜙, por

𝜙 : 𝐴[𝛼] −→ 𝐴[𝛼]

𝑏 ↦−→ 𝑏𝛼,

temos que 𝜙 é 𝐴− linear (uma transformação linear de espaços linearessobre 𝐴), pois dados 𝑎, 𝑏,∈ 𝐴[𝛼] e 𝛽 ∈ 𝐴, tem-se que 𝜙(𝑎 + 𝑏) =(𝑎 + 𝑏)𝛼 = 𝑎𝛼 + 𝑏𝛼 = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏) e 𝜙(𝛽𝑎) = 𝛼𝛽𝑎 = 𝛽𝛼𝑎 = 𝛽𝜙(𝑎).Nota-se que 𝜙(𝑏) = 0 se, e somente se, 𝑏 = 0, pois 𝐵 é domínio deintegridade. Desta forma, 𝐾𝑒𝑟(𝜑) = {0} e 𝜙 é injetora. Pelos espaçosvetoriais considerados como domínio e contradomínio serem de mesmadimensão e finitos, 𝜙 é sobrejetora, donde 𝜙 é bijetora. Por outro lado,1 ∈ 𝐴[𝛼] e a bijetividade de 𝜙 garante a existência de 𝑏 ∈ 𝐴[𝛼] tal que𝜙(𝑏) = 𝑏𝛼 = 1, de forma que, 𝑏 = 𝛼−1, ou seja, 𝛼 é inversível em 𝐵 e,portanto, 𝐵 é corpo.Reciprocamente, sejam 𝐵 um corpo e 0 = 𝛼 ∈ 𝐴, tem-se que 𝛼 ∈ 𝐵,pois 𝐵 contém 𝐴 e 𝛼−1 ∈ 𝐵. É necessário provar que 𝛼−1 ∈ 𝐴. Porhipótese, 𝐵 é inteiro sobre 𝐴, então existem 𝑎0, . . . , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 tais que

(𝛼−1)𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝛼−1)𝑛−1 + . . .+ 𝑎1(𝛼−1) + 𝑎0 = 0.

Multiplicando a equação por 𝛼𝑛−1 e isolando o termo 𝛼−1, tem-se

𝛼−1 = −(𝑎𝑛−1 + . . .+ 𝑎1𝛼𝑛−2 + 𝑎0𝛼

𝑛−1),

e, assim, 𝛼−1 é uma combinação linear de elementos de 𝐴 e 𝛼−1 ∈ 𝐴.Portanto, 𝐴 é corpo.


3.1.1 Anéis Integralmente Fechados

É importante lembrar que se 𝐴 é um domínio de integridade,então existe um corpo 𝐾 que contém 𝐴 e que 𝐴 é um subanel de 𝐾. Omenor corpo 𝐾 que satisfaz essa propriedade é dito o corpo de fraçõesde 𝐴. Por exemplo, Q é o corpo de frações de Z.

Definição 3.4. Sejam 𝐴 um domínio de integridade e 𝐾 seu corpo defrações. Quando 𝐼𝐾(𝐴) = 𝐴 o anel 𝐴 é dito integralmente fechado.

Exemplo 3.2. Seja 𝐴 é um domínio de integridade e 𝐾 seu corpode frações. Então, 𝐼𝐾(𝐴) é um anel integralmente fechado, ou seja,𝐼K(𝐼K(𝐴)) = 𝐼K(𝐴. Visto que 𝐴 ⊂ 𝐼K(𝐴) ⊂ K e K é o menor corpoque contém 𝐴, logo K também é o menor corpo que contém 𝐼K(𝐴).Além disso, 𝐼K(𝐴) é um subanel de K, assim, K é o corpo de fraçõesde 𝐼K(𝐴). Seja 𝛼 ∈ K inteiro sobre 𝐼K(𝐴). Sendo 𝐼K(𝐴) inteiro sobre 𝐴,então, pela Proposição (3.1), 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, e 𝛼 ∈ 𝐼K(𝐴). Assim,𝐴 é integralmente fechado.

Proposição 3.3. Seja 𝐴 um domínio de integridade fatorial. Então,𝐴 é integralmente fechado.

Demonstração: É preciso mostrar que 𝐼K(𝐴) = 𝐴. A inclusão 𝐴 ⊂𝐼K(𝐴) é sempre válida. Assim, sejam K o corpo de frações de 𝐴 e𝛼 ∈ 𝐼K(𝐴). Assim, pode-se escrever 𝛼 = 𝑏

𝑐, com 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 e 𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑐) = 1.

Além disso, existem 𝑎0, . . . , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴, não todos nulos, tais que

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + . . .+ 𝑎0 = 0.

Como 𝛼 = 𝑏

𝑐, tem-se que

(𝑏

𝑐

)𝑛

+ 𝑎𝑛−1

(𝑏

𝑐

)𝑛−1+ . . .+ 𝑎0 = 0.

Multiplicando a equação acima por 𝑐𝑛, obtem-se

𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1𝑐+ . . .+ 𝑎0𝑐

𝑛 = 0,

3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO 85

ou seja,𝑏𝑛 = −𝑐(𝑎𝑛−1𝑏

𝑛−1 + . . .+ 𝑎0𝑐𝑛−1).

Desta forma, 𝑐 | 𝑏𝑛. Suponha-se que 𝑐 não é inversível. Assim, seja 𝑝 umelemento irredutível que divide 𝑐, segue que 𝑝 divide 𝑏𝑛 e isso implicaque 𝑝 divide 𝑏. Mas isso contradiz que 𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑐) = 1 e portanto 𝑐 éinversível em 𝐴. Tem-se que 𝛼 = 𝑏𝑐−1 ∈ 𝐴, donde 𝐼K(𝐴) ⊂ 𝐴. Assim𝐼K(𝐴) = 𝐴 e 𝐴 é integralmente fechado.

Observação 3.2. O anel Z é integralmente fechado, uma vez que éum domínio de integridade fatorial. Isto é, 𝐼Q(Z) = Z.

3.2 ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO

Aqui, nesta seção, considera-se que 𝐾 e 𝐿 corpos e se 𝐿 ⊃ 𝐾

diz-se que 𝐿 é uma extensão de 𝐾.

Definição 3.5. Seja 𝐿 uma extensão de um corpo 𝐾. Diz-se que 𝛼 ∈ 𝐿

é algébrico sobre 𝐾 se existe um polinômio não nulo 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] talque 𝑓(𝛼) = 0, ou seja, existem 𝑎0, 𝑎1, · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐾, não todos nulos,tais que

𝑎𝑛𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 + · · · 𝑎1𝛼+ 𝑎0 = 0. (3.2)

Na Equação (3.2) podemos assumir que 𝑎𝑛 = 0. Neste caso𝑎−1

𝑛 ∈ 𝐾, multiplicando ambos os lados por 𝑎−1𝑛 , obtemos a equação de

dependência integral (3.1) da definição de elemento inteiro. Portanto, 𝛼é um elemento inteiro sobre um corpo 𝐾 se, e somente se, 𝛼 é algébricosobre esse mesmo corpo 𝐾.

Nem sempre todos os elementos de um corpo 𝐿 ⊃ 𝐾 são raízesde um polinômio 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Um elemento que não é algébrico édito transcendente. Por exemplo, R é uma extensão de Q e 𝜋 ∈ R,mas não existe nenhum polinômio 𝑓(𝑥) ∈ Q[𝑥]* tal que 𝜋 é raiz de𝑓(𝑥). O teorema que prova que 𝜋 é transcendente chama-se TeoremadeLindemann, cuja demonstração encontra-se no livro do Ian Stewart(1973) p. 74.


Definição 3.6. Seja 𝐿 uma extensão do corpo 𝐾. Diz-se que 𝐿 é umaextensão algébrica de 𝐾 se todo elemento de 𝐿 é algébrico sobre 𝐾.

Lema 3.1. Sejam 𝐿 e 𝐾 corpos, 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿. Então,𝛼 é algébrico sobre 𝐾 se, e somente se, existe um único polinômiomônico irredutível 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑝(𝛼) = 0.

Demonstração: Seja 𝛼 ∈ 𝐿 um elemento algébrico sobre 𝐾 e tome𝐼 = {𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] : 𝑝(𝛼) = 0}. Agora, considere a função grau 𝜕

definida em 𝐼* e 𝜕(𝐼*) = {𝜕(𝑝(𝑥)) : 𝑝(𝑥) ∈ 𝐼*}, segue que 𝜕(𝐼*) ⊂ Ne, por hipótese, 𝜕(𝐼*) = {0}. Pelo Princípio da Boa Ordenação, existeum mínimo para o conjunto 𝜕(𝐼*). Desta forma, existe um polinômio𝑝(𝑥) ∈ 𝐼* tal que o grau de 𝑝(𝑥) é mínimo para 𝜕(𝐼*). Sabe-se, então,que 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 𝑝(𝑥) = 0, 𝑝(𝛼) = 0 e 𝑝(𝑥) tem o menor grau possíveldentre os polinômios de𝐾[𝑥] que tem 𝛼 como raiz. Obviamente, pode-setomar 𝑝(𝑥) mônico, pois em um corpo pode-se multiplicar pelo inversodo coeficiente principal (𝑎−1

𝑛 ) a igualdade 𝑝(𝛼) = 0.

Afirma-se que 𝑝(𝑥) é irredutível sobre𝐾[𝑥]. De fato, suponha-seque 𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), com 𝜕𝑓, 𝜕𝑔 > 1. Claro que 𝜕𝑔, 𝜕𝑓 < 𝜕𝑝. Tem-seque 0 = 𝑝(𝛼) = 𝑓(𝛼)𝑔(𝛼) e desde que 𝐾 é um domínio integridade,tem-se 𝑓(𝛼) = 0 ou 𝑔(𝛼) = 0, contradizendo a minimalidade do graude 𝑝(𝑥). Portanto, 𝑝(𝑥) é irredutível.

É preciso provar a unicidade e, para tanto, observe que 𝐼 é idealpróprio de 𝐾. De fato,

∙ 𝐼 = ∅, pois o polinômio nulo pertence a 𝐼;

∙ se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐼, então (𝑓 − 𝑔)(𝛼) = 𝑓(𝛼) − 𝑔(𝛼) = 0 e (𝑓 − 𝑔) ∈ 𝐼;

∙ se 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥] e 𝑔 ∈ 𝐼, então (𝑓𝑔)(𝛼) = 𝑓(𝛼)𝑔(𝛼) = 𝑓(𝛼)0 = 0 e𝑓𝑔 ∈ 𝐼;

∙ como ℎ(𝑥) = 1𝐾 ∈ 𝐾[𝑥] e ℎ(𝑥) /∈ 𝐼 vem que 𝐼 $ 𝐾[𝑥].


Sendo 𝑝(𝑥) um polinômio irredutível, tem-se que ⟨𝑝(𝑥)⟩ é um ideal ma-ximal, e como ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⊂ 𝐼 $ 𝐾[𝑥], segue que 𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩. Agora, seja𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio mônico irredutível tal que 𝑞(𝛼) = 0, o queimplica que, 𝑞(𝑥) ∈ 𝐼, logo, 𝑞(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑡(𝑥), com 𝑡(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Nota-seque 𝑡(𝑥) é inversível em 𝐾[𝑥], pois 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são irredutíveis em 𝐾[𝑥].Assim, 𝑡(𝑥) = 𝑡 ∈ Q e 𝑞(𝑥) = 𝑡.𝑝(𝑥). Mas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são mônicos,então, 𝑡 = 1 e 𝑞(𝑥) = 𝑝(𝑥).A recíproca é imediata pois se existe um único polinômio mônico irre-dutível 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑝(𝛼) = 0, isso já satisfaz a Definição (3.6).

Observação 3.3. O polinômio mônico irredutível 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]* talque 𝑝(𝛼) = 0 denomina-se polinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾. Nestecaso, 𝑝(𝑥) é o polinômio de menor grau que tem 𝛼 como raiz.

Definição 3.7. Analogamente a Definição (3.1), define-se 𝐾 adjunção𝛼 por

𝐾[𝛼] = {𝑓(𝛼) : 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]},

onde 𝐿 e 𝐾 corpos, com 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿.

Exemplo 3.3. Seja

R[𝑖] = {𝑓(𝑖) : 𝑓(𝑥) ∈ R[𝑥]} ∈ C

e 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C. Tome 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 então, 𝑓(𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖, o que implicaque 𝑎+ 𝑏𝑖 ∈ R[𝑖] e R[𝑖] = C.

Os elementos de 𝐾[𝛼] são somas e produtos de elementos de𝐿, desta forma, 𝐾[𝛼] é subconjunto de 𝐿.

Proposição 3.4. Sejam 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿. Então, aaplicação 𝜓𝛼 : 𝐾[𝑥] −→ 𝐿, definida por 𝜓𝛼(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼), é um homo-morfismo tal que:

1. 𝐼𝑚(𝜓𝛼) = 𝐾[𝛼];


2. se 𝛼 é algébrico sobre 𝐾 e se 𝑝(𝑥) é o polinômio minimal de 𝛼sobre 𝐾, então 𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) = ⟨𝑝(𝑥)⟩ é ideal maximal de 𝐾[𝑥];

3. 𝐾[𝑥]𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) ≃ 𝐾[𝛼],

onde 𝐼𝑚(𝜓𝛼) é o conjunto imagem de 𝜓𝛼 e 𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) = {𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] :𝜓𝛼(𝑓(𝑥)) = 0} é o núcleo de 𝜓𝛼.

Demonstração: Primeiro, prova-se que 𝜓𝛼 é um homomorfismo deanéis. Sejam 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Considerando ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) e 𝑡(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), obtem-se:

∙ 𝜓𝛼(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝜓𝛼(ℎ(𝑥)) = ℎ(𝛼) = 𝑓(𝛼)𝑔(𝛼) = 𝜓𝛼(𝑓(𝑥))𝜓𝛼(𝑔(𝑥));

∙ 𝜓𝛼(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝜓𝛼(𝑡(𝑥)) = 𝑡(𝛼) = 𝑓(𝛼) + 𝑔(𝛼) = 𝜓𝛼(𝑓(𝑥)) +𝜓𝛼(𝑔(𝑥)).

Portanto, 𝜓𝛼 é um homomorfismo dos anéis de 𝐾[𝑥] em 𝐿.

1. 𝐼𝑚(𝜓𝛼) = {𝜓𝛼(𝑓(𝑥)) : 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]} = {𝑓(𝛼) : 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]} =𝐾[𝛼].

2. Como 𝑝(𝑥) é irredutível então, pela Proposição (2.6), ⟨𝑝(𝑥)⟩ éideal maximal de 𝐾[𝑥]. Tem-se que 0 = 𝑝(𝛼) = 𝜓𝛼(𝑝(𝑥)), ouseja, 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼), que é um ideal de 𝐾[𝑥] e assim ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⊂𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼). Nota-se que ⟨𝑝(𝑥)⟩ $ 𝐾[𝑥], pois 1𝐾 ∈ 𝐾[𝑥], mas 1𝐾 /∈𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼). Uma vez que ⟨𝑝(𝑥)⟩ é maximal, vem que 𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) =⟨𝑝(𝑥)⟩ .

3. No item (1) foi visto que 𝐼𝑚(𝜓𝛼) = 𝐾[𝛼]. Daí, o Teorema dos

Isomorfismos assegura que 𝐾[𝑥]𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) ≃ 𝐾[𝛼].

Observação 3.4. Sendo 𝜓𝛼 um homomorfismo tem-se que 𝐼𝑚(𝜓𝛼) =𝐾[𝛼] é um subanel de 𝐿. Notando que 1𝐾 ∈ 𝐾[𝛼] e que as propriedades


de comutatividade e sem divisores de zero são hereditárias de 𝐿, pode-segarantir que𝐾[𝛼] é um domínio de integridade. Porém, a inversibilidadede todos os elementos não nulos não é assegurada.

Corolário 3.6. Sejam 𝐿 e 𝐾 corpos, 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿.Então, 𝛼 algébrico sobre 𝐾 se, e somente se, 𝐾[𝛼] é corpo.

Demonstração: Supondo que 𝛼 é algébrico sobre 𝐾, vem do item(2) da Proposição (3.4) que 𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) é um ideal maximal de 𝐾[𝑥], o

item (3) da mesma proposição afirma que 𝐾[𝛼] ≃ 𝐾[𝑥]𝐾𝑒𝑟(𝜓𝛼) , que é

corpo, pelo Teorema dos Isomorfismos. Via isomorfismo, 𝐾[𝛼] tambémé corpo.Reciprocamente, supondo que 𝛼 não é algébrico sobre 𝐾, então o únicopolinômio de 𝐾[𝑥] que 𝛼 é raiz é o polinômio nulo, assim 𝐾𝑒𝑟(𝜑𝛼) ={0}. Pelo item (3) da Proposição (3.4), conclui-se que 𝐾[𝛼] ≃ 𝐾[𝑥], queé apenas um domínio de integridade, contradizendo a hipótese, logo, 𝛼é algébrico sobre 𝐾.

Corolário 3.7. Se 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐿 ⊇ K são raízes do mesmo polinômioirredutível sobre 𝐾, então 𝐾[𝛼] e 𝐾[𝛽] são isomorfos como corpos.

Demonstração: Seja 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], tal que 𝑝(𝑥) é irredutível sobre 𝐾 e𝑝(𝛼) = 𝑝(𝛽) = 0. Pode-se tomar 𝑝(𝑥) mônico, assim, 𝑝(𝑥) é o polinômiominimal de 𝛼 e 𝛽 sobre 𝐾. Considerando os homomorfismos

𝜓𝛼 : 𝐾[𝑥] −→ 𝐾[𝛼] e 𝜓𝛽 : 𝐾[𝑥] −→ 𝐾[𝛽]𝑓(𝑥) ↦−→ 𝑓(𝛼) 𝑓(𝑥) ↦−→ 𝑓(𝛽),

tem-se, pelos itens (2.) e (3.) da Proposição (3.4), que

𝐾[𝛼] ≃ 𝐾[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ ≃ 𝐾[𝛽].

Logo, 𝐾[𝛼] ≃ K[𝛽] como corpos.

Proposição 3.5. Sejam 𝛼 ∈ 𝐿 ⊇ 𝐾 algébrico sobre 𝐾 e 𝑛 o grau dopolinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾.


1. Se 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], então 𝑓(𝛼) pode ser expresso de forma únicacomo 𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + . . . + 𝑎𝑛−2𝛼

𝑛−2 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, tal que

𝑎𝑖 ∈ 𝐾, para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛− 1.

2. 𝐾[𝛼] = {𝑎0+𝑎1𝛼+· · ·+𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛−

1}.

Demonstração:

1. Sejam 𝑝(𝑥) o polinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾 e 𝑛 o grau de 𝑝(𝑥).Dado 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] e usando o algoritmo de Euclides obtem-se que𝑛−1 é o maior grau possível do resto da divisão de 𝑓(𝑥) por 𝑝(𝑥).Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑝(𝑥) + 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 e 𝑝(𝛼) = 0,implica que, 𝑓(𝛼) = 𝑞(𝛼)𝑝(𝛼) + 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 =𝑎0 + 𝑎1𝛼+ · · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1.Precisa-se provar a unicidade de 𝑓(𝛼). Suponha que 𝑎0 + 𝑎1𝛼 +· · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 = 𝑓(𝛼) = 𝑏0 + 𝑏1𝛼+ · · · + 𝑏𝑛−1𝛼𝑛−1, com 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 ∈

𝐾[𝑥], para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛− 1 e considere ℎ(𝑥) = (𝑎0 − 𝑏0) + (𝑎1 −𝑎2)𝛼 + · · · + (𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1)𝛼𝑛−1. Então, ℎ(𝛼) = 0, logo ℎ(𝑥) = 0ou 𝜕ℎ < 𝜕𝑝. Pela minimalidade do grau de 𝑝(𝑥), tem-se ℎ(𝑥) = 0,portanto 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 = 0, ou seja, 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, para todo 𝑖 = 1, · · · , 𝑛− 1.

2. É claro que 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 ∈ 𝐾[𝛼], para 𝑎𝑖 ∈ 𝐾.

Agora, seja 𝑢 um elemento de 𝐾[𝛼], então existe um polinômio𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑢 = 𝑓(𝛼). Pelo item (1.), segue que 𝑢 =𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼+ · · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 e assim 𝑢 ∈ {𝑎0 + 𝑎1𝛼+ · · · +𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 para 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛− 1}.

Definição 3.8. Um corpo 𝐾 é chamado algebricamente fechadose todo polinômio 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] pode ser expresso com um produto defatores lineares, todos em 𝐾[𝑥]. Isto é, todas as raízes de 𝑝(𝑥) pertencema 𝐾.


Exemplo 3.4. O corpo C dos números complexos é um corpo alge-bricamente fechado, fato esse conhecido como o "Teorema Fundamen-tal da Álgebra"(todas as raízes de 𝑝(𝑥) ∈ C[𝑥] estão contidas em C).Já os corpos Q e R não são algebricamente fechados, por exemplo,𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 ∈ Q[𝑥] ⊂ R[𝑥], mas as raízes ±𝑖 = ±

√−1 de 𝑓(𝑥) não

pertencem a R e muito menos a Q.

Proposição 3.6. Seja 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] com 𝜕𝑓 = 𝑛 > 1 e 𝛼 ∈ 𝐿 raiz de𝑓(𝑥), com 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝑓 ′(𝑥) a primeira derivada da funçãopolinomial 𝑓(𝑥).

1. 𝛼 é raiz simples se, e somente se, 𝑓(𝛼) = 0 e 𝑓 ′(𝛼) = 0.

2. 𝑓(𝑥) é irredutível sobre 𝐾 se, e somente se, as raízes de 𝑓(𝑥) sãosimples.

Demonstração:

1. Seja 𝛼 uma raiz simples de 𝑓(𝑥). Então, pode-se escrever 𝑓(𝑥) =(𝑥 − 𝛼)𝑔(𝑥) com 𝑔(𝛼) = 0. Derivando obtém-se 𝑓 ′(𝑥) = 𝑔(𝑥) +(𝑥 − 𝛼)𝑔′(𝑥) e 𝑓 ′(𝛼) = 𝑔(𝛼) = 0. Por outro lado, 𝛼 é raiz de𝑓(𝑥), pois 𝑓(𝛼) = 0. Seja 𝑚 a multiplicidade de 𝛼 como raiz de𝑓(𝑥). Supõe-se 𝑚 > 1, então 𝑓(𝑥) = (𝑥− 𝛼)𝑚𝑞(𝑥) com 𝑞(𝛼) = 0.Derivando tem-se 𝑓 ′(𝑥) = 𝑚(𝑥−𝛼)𝑚−1𝑞(𝑥)+(𝑥−𝛼)𝑚𝑞′(𝑥), logo𝑓 ′(𝛼) = 0. Isso contradiz a hipótese, portanto 𝑚 = 1.

2. Tomando 𝛼 ∈ 𝐿 ⊇ 𝐾 tal que 𝑓(𝛼) = 0 e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Tem-se que𝛼 é algébrico sobre 𝐾. Seja 𝑎 o inverso do coeficiente dominantede 𝑓(𝑥), assim 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) é o polinômio minimal de 𝛼. Supondoque 𝛼 tenha multiplicidade 𝑚 > 1 pelo item (1), 𝑓 ′(𝛼) = 0. Assim𝑔′(𝛼) = 0, o que é uma contradição, pois 𝜕𝑔′ < 𝜕𝑔 e 𝑔(𝑥) é opolinômio minimal de 𝛼.


3.2.1 Extensões Algébricas

Considere 𝐴 um anel com unidade e 𝐾 um corpo tal que 𝐾 ⊂𝐴. Como 𝐴 é um anel, segue que para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 implica que𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐴, ou seja, a operação de adição é fechada em 𝐴, que satisfazas seguintes propriedades: Para quaiquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴:

(i) (𝑎+ 𝑏) + 𝑐 = 𝑎+ (𝑏+ 𝑐);

(ii) 𝑎+ 𝑏 = 𝑏+ 𝑎;

(iii) Existe 0 ∈ 𝐴 tal que 𝑎+ 0 = 𝑎 = 0 + 𝑎;

(vi) Dado 𝑎 ∈ 𝐴, existe −𝑎 ∈ 𝐴 tal que 𝑎+ (−𝑎) + 0 = (−𝑎) + 𝑎.

Agora, para qualquer 𝑎 ∈ 𝐴 e para qualquer 𝑘 ∈ 𝐾 ⊂ 𝐴 implica que𝑘𝑎 ∈ 𝐴, pois a operação de multiplicação é fechado em 𝐴. E ainda, sãosatisfeitas as propriedades abaixo: Para quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑘, 𝜆 ∈ 𝐾

(v) (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐);

(vi) (𝑎+ 𝑏)𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 e 𝑘(𝑎+ 𝑏) = 𝑘𝑎+ 𝑘𝑏;

(vii) (𝑘 + 𝜆)𝑎 = 𝑘𝑎+ 𝜆𝑏 e 𝑎(𝑘 + 𝜆) = 𝑎𝑘 + 𝑎𝜆;

(viii) Existe 1 ∈ 𝐾 tal que 1𝑎 = 𝑎 = 𝑎1.

Então, pode-se ver 𝐴 como um 𝐾-espaço vetorial.

Sabe-se da Álgebra Linear que todo 𝐾−espaço vetorial 𝑉 tembase, ou seja, um conjunto de geradores linearmente independentes quegeram 𝐴. E se 𝑉 possui uma base com 𝑛 vetores, então qualquer basepara 𝑉 terá também 𝑛 vetores. Lembrando que a dimensão do espaçovetorial 𝑉 sobre 𝐾 é o número de elementos de uma base 𝑉 .

Definição 3.9. Sejam 𝐿 e 𝐾 corpos e 𝐿 uma extensão de 𝐾. Então,como visto anteriormente, pode-se dizer que 𝐿 é um 𝐾−espaço veto-rial. Neste caso, define-se o grau da extensão 𝐿 de 𝐾 como sendo a


dimensão do 𝐾−espaço vetorial 𝐿 e o grau da extensão denota-se por[𝐿 : 𝐾].Se o grau da extensão 𝐿 de 𝐾 for finito, diz-se que 𝐿 é extensão finitade 𝐾. Caso contrário, 𝐿 é uma extensão infinita de 𝐾.

Proposição 3.7. Sejam 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿.

1. 𝐿 é extensão finita se, e somente se, 𝐿 é extensão algébrica.

2. Se 𝛼 é algébrico sobre 𝐾 e o grau do polinômio minimal de 𝛼

sobre 𝐾 é 𝑛, então [𝐾[𝛼] : 𝐾] = 𝑛 e 𝛾 = {1, 𝛼, 𝛼2, · · · , 𝛼𝑛−1} éuma base de 𝐾[𝛼] sobre 𝐾.

Demonstração:

1. Considere [𝐿 : 𝐾] = 𝑚 < ∞ e seja 𝛼 ∈ 𝐿 ⊃ 𝐾. Sendo 𝐾[𝛼] umsubespaço de 𝐿 segue, imediatamente, que [𝐾[𝛼] : 𝐾] 6 [𝐿 : 𝐾] =𝑚 < ∞. Se [𝐾[𝛼] : 𝐾] = 𝑛, então 1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛 são linearmentedependentes, pois 𝑛 é o número máximo de elementos linearmenteindependentes, e portanto, existem escalares 𝑎0 + 𝑎1 + · · · + 𝑎𝑛,não todos nulos, tais que

𝑎0 + 𝑎1𝛼+ · · · + 𝑎𝑛𝛼𝑛 = 0,

e isso mostra que 𝛼 é algébrico sobre 𝐾.

2. Pela Proposição (3.5), todo elemento de 𝐾[𝛼] se escreve de formaúnica como 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1, com 𝑎𝑖 ∈ 𝐾. Claro que𝛾 = {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1} gera 𝐾[𝛼]. Precisa-se verificar que 𝛾 é umconjunto linearmente independente, suponha-se que

𝑏0 · 1 + 𝑏1𝛼1 + · · · + 𝑏𝑛−1𝛼

𝑛−1 = 0. (3.3)

Por outro lado,

0 = 0 · 1 + 0𝛼1 + · · · + 0𝛼𝑛−1. (3.4)


Pela unicidade comentada anteriormente, tem-se que 𝑏𝑖 = 0 paratodo 𝑖 = 1, · · · , 𝑛 − 1. Portanto, 𝛾 é um conjunto de geradoreslinearmente independentes de 𝐾[𝛼], isto é, 𝛾 é uma base do espaçovetorial 𝐾[𝛼] sobre 𝐾.

Corolário 3.8. Sejam 𝐿 uma extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿. As seguintesafirmações são equivalentes:

1. 𝛼 é algébrico sobre 𝐾;

2. [𝐾[𝛼] : 𝐾] é finito;

3. 𝐾[𝛼] é a extensão algébrica de 𝐾.

Demonstração: O Corolário é consequência direta da Proposição(3.7).

Observação 3.5. Seja 𝐾 é um corpo. Se 𝛼 é algébrico sobre 𝐾 pode-seconcluir que𝐾[𝛼] é um𝐾-módulo finitamente gerado por {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1}.Além disso, a recíproca também é verdadeira. Na realidade, esse resul-tado pode ser obtido pelo Teorema 3.1.

Proposição 3.8. Sejam 𝑀 um domínio e 𝐿 uma extensão de 𝐾 taisque 𝐾 ⊆ 𝐿 ⊆ 𝑀 , [𝑀 : 𝐿] e [𝐿 : 𝐾] são finitas. Então, [𝑀 : 𝐾] é finitae [𝑀 : 𝐾] = [𝑀 : 𝐿][𝐿 : 𝐾]

Demonstração: Seja {𝑣1, · · · , 𝑣𝑟} uma base de 𝑀 sobre 𝐿 e seja{𝑢1, · · · , 𝑢𝑠} uma base de 𝐿 sobre 𝐾. Basta provar que 𝛾 = {𝑣𝑖𝑢𝑖 :𝑖 = 1, · · · , 𝑟 e 𝑗 = 1, · · · , 𝑠} é uma base de 𝑀 sobre 𝐾.Primeiro vamos mostrar que o conjunto 𝛾 é linearmente independente.Considere que ∑

𝑖,𝑗

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖𝑢𝑗 = 0, (3.5)


com 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐾 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠. Pode-se reescrever a Equação(3.5) do seguinte modo:

(𝑎11𝑢1 + 𝑎12𝑢2 + · · · + 𝑎1𝑠𝑢𝑠)𝑣1 + · · · + (𝑎𝑟1𝑢1 + · · · + 𝑎𝑟𝑠𝑢𝑠)𝑣𝑟 = 0.

Observa-se que 𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗 ∈ 𝐿, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠, pois 𝐿 é

um espaço vetorial sobre 𝐾, e então,𝑟∑

𝑖,𝑗

𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗 ∈ 𝐿. Como {𝑣1, · · · , 𝑣𝑟}

é linearmente independente sobre 𝐿, tem-se que𝑠∑

𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗 = 0, para

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟. Como {𝑢1, · · · , 𝑢𝑠} é linearmente independente sobre 𝐾,obtém-se que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todos 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠.Agora vamos mostrar que 𝛾 gera 𝑀 . Seja 𝑦 ∈ 𝑀 , então 𝑦 = 𝜆1𝑣1 +· · · + 𝜆𝑟𝑣𝑟, onde 𝜆𝑖 ∈ 𝐿. Por sua vez, 𝜆𝑖 =

𝑠∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗 , onde 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐾.

Assim

𝑦 =𝑟∑

𝑖=1𝜆𝑖𝑣𝑖 =

𝑟∑𝑖=1

𝑠∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗𝑣𝑖 =∑𝑖,𝑗

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖𝑢𝑗 .

Portanto, [𝑀 : 𝐾] é finita e [𝑀 : 𝐾] = [𝑀 : 𝐿][𝐿 : 𝐾].

Como consequência imediata da Proposição (3.8) [𝑀 : 𝐿] e[𝐿 : 𝐾] dividem [𝑀 : 𝐾].

Definição 3.10. Seja 𝐾 um corpo. Diz-se que 𝐾 tem característica𝑚 se 𝑚𝛼 = 0, para todo 𝛼 ∈ 𝐾, e 𝑚 é o menor inteiro positivo comessa propriedade. Se 𝑚𝛼 = 0 para todo 𝛼 = 0 e todo 𝑚 inteiro positivo,então diz-se que 𝐾 tem característica zero.

Observação 3.6. Note que todo corpo infinito possui característicazero.

Proposição 3.9. Seja 𝐾 um corpo de característica zero. Se 𝑓(𝑥) ∈

𝐾[𝑥] é um polinômio mônico irredutível, tal que 𝑓(𝑥) =𝑛∏

𝑖=1(𝑥 − 𝛼𝑖) é

sua decomposição em fatores lineares em uma extensão 𝐿 de 𝐾, entãoas 𝑛 raízes 𝛼1, . . . , 𝛼𝑚 de 𝑓(𝑥) são distintas.

Demonstração: Supõe-se que nem todas as raízes 𝛼1, . . . , 𝛼𝑚 de 𝑓(𝑥)sejam distintas. Pela Proposição (3.6),tem-se que 𝑓(𝑥) possui alguma


raiz em comum com sua derivada 𝑓 ′(𝑥). Assim, 𝑓(𝑥) | 𝑓 ′(𝑥). Umavez que 𝜕𝑓 ′(𝑥) < 𝜕𝑓 , isto significa que 𝑓 ′(𝑥) é um polinômio nulo.Entretanto

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾

e𝑓 ′(𝑥) = 𝑛 · 1 · 𝑥𝑛−1 + (𝑛− 1)𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−2 + · · · + 𝑎1.

Então, 𝑛 ·1 = 0, 𝑗𝑎𝑗 = 0, para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛−1, o que é impossível em umcorpo de característica zero. Portanto, as raízes de 𝑓(𝑥) são distintas.

Teorema 3.2. Sejam 𝐾 um corpo de característica zero, 𝐿 um ex-tensão finita de grau 𝑛 de 𝐾 e 𝐶 um corpo algebricamente fechadocontendo 𝐾. Então, existem 𝑛 distintos 𝐾-isomorfismos de 𝐿 em 𝐶.

Demonstração: A afirmação deste teorema é verdadeira para qual-quer extensão 𝐿 de 𝐾 da forma 𝐿 = 𝐾[𝛼] com 𝛼 ∈ 𝐿. De fato, opolinômio minimal 𝑓(𝑥) de 𝛼 sobre 𝐾 é de grau 𝑛. E tem 𝑛 raízes𝛼1, . . . , 𝛼𝑛 em C, todas distintas, de acordo com a Proposição (3.9).Para cada 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, tem-se um 𝐾-isomorfismo 𝜎𝑖 : 𝐿 −→ 𝐶, talque 𝜎𝑖(𝛼) = 𝛼𝑖 e 𝜎𝑖(𝑎) = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ 𝐾.A continuação da demonstração será feita por indução sobre o grau 𝑛 daextensão 𝐿 sobre 𝐾. Seja 𝛼 ∈ 𝐿, considera-se os corpos 𝐾 ⊆ 𝐾[𝛼] ⊆ 𝐿

e toma-se 𝑞 = [𝐾[𝛼],𝐾]. Podemos assumir 𝑞 > 1. Anteriormente,mostrou-se que existem 𝑞 distintos 𝐾-isomorfismos 𝜎1, . . . , 𝜎𝑞 de 𝐾[𝛼]em 𝐶. Como, pelo Corolário (3.7), 𝐾[𝜎𝑖(𝛼)] = 𝐾[𝛼𝑖] e 𝐾[𝛼] são iso-morfos, é possível construir uma extensão 𝐿𝑖 de 𝐾[𝜎𝑖(𝛼)] = 𝐾[𝛼𝑖] eum isomorfismo 𝜏𝑖 : 𝐿 −→ 𝐿𝑖 que estende 𝜎𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞). Tem-seque 𝐾[𝜎𝑖(𝛼)] é um corpo de característica zero. Uma vez que, [𝐿𝑖 :𝐾[𝜎𝑖(𝛼)]] = [𝐿 : 𝐾[𝛼]] = 𝑛

𝑞< 𝑛, a hipótese de indução implica que

existem 𝑛

𝑞distintos 𝐾[𝜎𝑖(𝛼)]-isomorfismos 𝜃𝑖𝑗 de 𝐿𝑖 em 𝐶 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

𝑞 ).

Portanto, as aplicações compostas 𝜃𝑖𝑗 ∘ 𝜏𝑖 fornecem 𝑞 · 𝑛𝑞

= 𝑛 𝐾-isomorfismos de 𝐿𝑖 em 𝐶. Os 𝐾-isomorfismos são distintos pois para

3.3. NÚMEROS ALGÉBRICOS 97

𝑖 = 𝑘, 𝜃𝑖𝑗 ∘ 𝜏𝑖|𝐾[𝛼𝑖] = 𝜎𝑖 = 𝜎𝑘 = 𝜃𝑘𝑗 ∘ 𝜏𝑘|𝐾[𝛼𝑘], enquanto para 𝑖 = 𝑘 e𝑗 = 𝑡, 𝜃𝑖𝑗 |𝐿𝑗

= 𝜃𝑖𝑡|𝐿𝑡.

Teorema 3.3. (Teorema do Elemento Primitivo) Sejam 𝐾 um corpode característica zero, 𝐿 uma extensão de 𝐾 de grau finito 𝑛. Então,existe um elemento 𝜃 de 𝐿 (chamado de elemento primitivo), tal que𝐿 = 𝐾[𝜃].

Demonstração: Ver Samuel (1967), p. 34.

3.3 NÚMEROS ALGÉBRICOS

Nesta seção considera-se que 𝐿 e 𝐾 são corpos tais que Q ⊂𝐾 ⊂ 𝐿 ⊂ C.

Definição 3.11. Seja 𝐿 uma extensão 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿 ⊆ C. Se existe umpolinômio mônico 𝑓(𝑥) ∈ Q[𝑥], 𝑓(𝑥) = 0 tal que 𝑓(𝛼) = 0, então diz-seque 𝛼 um é número algébrico. No caso em 𝑓(𝑥) ∈ Z[𝑥], então 𝛼 édito um inteiro algébrico.

Definição 3.12. Diz-se que 𝐿 ⊃ Q é um corpo de números se todoelemento de 𝐿 é um número algébrico. Isto é, 𝐿 uma extensão finita deQ. Se [𝐿 : Q] = 𝑛 dizemos que 𝐿 é um corpo de números de grau 𝑛.

Definição 3.13. Define-se o anel dos inteiros algébricos do corpo denúmeros 𝐿 como

𝐼𝐿 = {𝛼 ∈ 𝐿 : ∃𝑓(𝑥) ∈ Z[𝑥]* tal que 𝑓(𝛼) = 0}

= {𝛼 ∈ 𝐿 : 𝛼 é inteiro algébrico}.

Exemplo 3.5. O anel de inteiros algébricos de Q é igual a Z.

Definição 3.14. Sejam 𝐾 um corpo de números de grau 𝑛 e 𝐼𝐾 o anelde inteiros algébricos de 𝐾. Chama-se de base integral de 𝐾, ou de𝐼𝐾 , uma Z-base para o grupo aditivo 𝐼𝐾 .


Observação 3.7. Sejam {𝛼1, . . . , 𝛼𝑛} uma base integral de 𝐼𝐾 . Todoelemento 𝛼 ∈ 𝐼𝐾 pode ser escrito de modo único, da forma

𝛼 =𝑛∑

𝑖=1𝑎𝑖𝛼𝑖,

com 𝑎𝑖 ∈ Z para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Proposição 3.10. Seja 𝐾 = Q[𝜃] um corpo de números sobre Q degrau 𝑛. Então, existem exatamente 𝑛 monomorfismos distintos 𝜎𝑖 :𝐾 −→ C (𝑖 = 1, · · · , 𝑛). Os elementos 𝜎𝑖(𝜃) = 𝜃𝑖 são as raízes distintasem C do polinômio minimal de 𝜃 sobbre Q.

Demonstração: Segue do Teorema (3.2) uma vez que Q[𝜃] éum corpo de característica zero.

A seção a seguir é um exemplo de corpo de números e seu anelde inteiros algébricos.

3.4 CORPOS QUADRÁTICOS

Anteriormente, foi visto que um corpo de números é uma ex-tensão finita de Q. Nesta seção, serão introduzidos o conceito de corposquadráticos e suas principais propriedades.

Definição 3.15. Um corpo quadrático é uma extensão finita de Qde grau 2.

Proposição 3.11. Todo corpo quadrático é da forma Q(√𝑑), onde 𝑑 é

um inteiro livre de quadrados, ou seja, 𝑑 não é divisível pelo quadradode um número primo.

Demonstração: Se 𝐾 é um corpo quadrático, então todo elemento𝛼 ∈ 𝐾 tal que 𝛼 /∈ Q tem polinômio minimal sobre 𝐾 de grau 2 sobreQ. Pelo Teorema (3.3), tem-se que 𝐾 = Q[𝛼], para algum 𝛼 ∈ 𝐾. Seja𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 o polinômio minimal de 𝛼. Resolvendo a equaçãoquadrática

𝛼2 + 𝑏𝛼+ 𝑐 = 0,

3.4. CORPOS QUADRÁTICOS 99

tem-se que 2𝛼 = −𝑏 ±√𝑏2 − 4𝑐. Assim, 𝐾 = Q[𝛼] = Q[

√𝑏2 − 4𝑐] e

observando que 𝑏2 − 4𝑐 é um número racional da forma 𝑢

𝑣= 𝑢𝑣

𝑣2 , com𝑢, 𝑣 ∈ Z primos entre si, tem-se que Q[

√𝑏2 − 4𝑐] = Q(

√𝑢𝑣). Como

𝑢𝑣 ∈ Z, podemos representar 𝑢𝑣 = 𝑑𝑚2, onde 𝑑,𝑚 ∈ Z, com 𝑚 > 1,𝑑 = 1 e 𝑑 livre de quadrados. Assim, 𝑄(

√𝑢𝑣) = 𝑄(

√𝑑), com 𝑑 livre de

quadrados.

Observação 3.8.

1. Um elemento 𝛼 é da forma 𝑎 + 𝑏√𝑑 com 𝑎, 𝑏 ∈ Q. O conjunto

{1,√𝑑} é uma base da extensão Q[

√𝑑] sobre Q.

2. O elemento√𝑑 é uma raiz do polinômio irredutível 𝑥2 − 𝑑. O

conjugado de√𝑑 é −

√𝑑, ou seja, existe um automorfismo 𝜎 :

Q(√𝑑) −→ Q(

√𝑑), tal que 𝜎(𝑎+ 𝑏

√𝑑) = 𝑎− 𝑏

√𝑑.

3. Se 𝑑 > 0, a extensão Q(√𝑑) é dita real e se 𝑑 < 0, a extensão

Q(√𝑑) é dita imaginária.

Lema 3.2. Seja 𝐼𝐾 o anel de inteiros de 𝐾 = Q(√𝑑), com d livre de

quadrados, sobre Z. Se 𝛼 = 𝑎+ 𝑏√𝑑 ∈ 𝐼𝐾 , então 2𝑎 ∈ Z e 2𝑏 ∈ Z.

Demonstração: Pela Observação (3.8), existe um automorfismo

𝜎 : 𝐾 −→ 𝐾

𝑎+ 𝑏√𝑑 ↦−→ 𝑎− 𝑏

√𝑑.

Como 𝜎(𝛼) também é raiz da mesma equação de dependência integralde 𝛼, então 𝜎(𝛼) ∈ 𝐼𝐾 . Como 𝛼, 𝜎(𝛼) ∈ 𝐼𝐾 , pelo Corolário (3.3), tem-seque 𝛼+ 𝜎(𝛼) ∈ 𝐼𝐾 e 𝛼𝜎(𝛼) ∈ 𝐼𝐾 . Ainda, 𝛼+ 𝜎(𝛼) = (𝑎+ 𝑏

√𝑑) + (𝑎−

𝑏√𝑑) = 2𝑎 ∈ Q e 𝛼𝜎(𝛼) = (𝑎 + 𝑏

√𝑑)(𝑎 − 𝑏

√𝑑) = 𝑎2 − 𝑑𝑏2 ∈ Q. Pela

Proposição (3.3), segue que Z é integralmente fechado e, portanto,

2𝑎 ∈ Z e 𝑎2 − 𝑑𝑏2 ∈ Z. (3.6)

Por (3.6), tem-se que (2𝑎)2 − 𝑑(2𝑏)2 = 4(𝑎2 − 𝑑𝑏2) ∈ Z. Mas, 2𝑎 ∈ Z,então 𝑑(2𝑏)2 ∈ Z. Se 2𝑏 /∈ Z, o seu denominador tem um fator primo 𝑝,


tal que em 𝑑(2𝑏)2 este fator aparece como 𝑝2 no denominador. Como 𝑑é livre de quadrados, então 𝑑(2𝑏)2 /∈ Z, o que é um absurdo. Portanto,2𝑏 ∈ Z.

Observação 3.9. Se 𝑑 é livre de quadrados, então 𝑑 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4).

O teorema a seguir tem por finalidade determinar o anel dosinteiros algébricos de um corpo quadrático 𝐾 = Q(

√𝑑), com 𝑑 livre de

quadrados.

Teorema 3.4. Seja 𝐾 = Q(√𝑑) um corpo quadrático, com 𝑑 ∈ Z livre

de quadrados.

(i) Se 𝑑 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) ou 𝑑 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4), então o anel de inteiros 𝐼𝐾 de𝐾, é constituído de todos os elementos da forma 𝑎 + 𝑏

√𝑑, com

𝑎, 𝑏 ∈ Z, ou seja, 𝐼𝐾 = Z[√𝑑].

(ii) Se 𝑑 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4), então o anel de inteiros 𝐼𝐾 de 𝐾, é consistidode todos os elementos da forma 1

2(𝑎 + 𝑏√𝑑), com 𝑎, 𝑏 ∈ Z, e de

mesma paridade, ou seja, 𝐼𝐾 = Z

[1 +

√𝑑

2

].

Demonstração: Seja 𝛼 = 𝑎+ 𝑏√𝑑 ∈ 𝐼𝐾 . Pelo Lema (3.2), segue que

𝑎 = 𝑢

2 e 𝑏 = 𝑣

2 , com 𝑢, 𝑣 ∈ Z.

Da Equação (3.6), tem-se que

𝑢2 − 𝑑𝑣2 ∈ 4Z.

Assim

(i) Se 𝑑 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) ou 𝑑 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝑢 e 𝑣 são pares, pois se 𝑣fosse ímpar, então 𝑣2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4). Como 𝑢2−𝑑𝑣2 ∈ 4Z, tem-se que𝑢2 −𝑑(4𝑘+1) ∈ 4Z, para algum 𝐾 ∈ Z, donde 𝑢2 −𝑑 ∈ 4Z. Destaforma, 𝑢2 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 4). Logo, 𝑑 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) ou 𝑑 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4), o que

3.4. CORPOS QUADRÁTICOS 101

é uma contradição à hipótese. Já que 𝑣 é par, então 𝑣2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4)e, portanto, 𝑢2 ∈ 4Z. Assim, 𝑢 também é par. Logo, 𝑎, 𝑏 ∈ Z e𝛼 = 𝑎+ 𝑏

√𝑑 ∈ Z[

√𝑑] e, assim, 𝐼𝐾 ⊂ Z[

√𝑑]. Agora, tomando 𝛼 ∈

Z[√𝑑], segue que 𝛼 é raiz do polinômio 𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑎2 −𝑑𝑏2 ∈ Z[𝑥].

Logo, Z[√𝑑] ⊂ 𝐼𝐾 . Portanto, 𝑍[

√𝑑 =]𝐼𝐾 .

(ii) Se 𝑑 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝑢 e 𝑣 tem a mesma paridade. Se 𝑢 e𝑣 são pares então, 𝑎, 𝑏 ∈ Z e, logo, 𝛼 = 𝑎 + 𝑏

√𝑑 ∈ Z[

√𝑑].

Se 𝑢 e 𝑣 são ímpares, então 𝛼 = 𝑢

2 + 𝑣√𝑑

2 ∈ Z

[1 +

√𝑑

2

]e,

assim, 𝐼𝐾 ⊂ Z

[1 +

√𝑑

2

]. Agora, se 𝛼 = 𝑎 + 𝑏

(1 +

√𝑑

2

)∈

Z

[1 +

√𝑑

2

], com 𝑎, 𝑏 ∈ Z, então 𝛼 é raiz do polinômio 𝑥2 −(2𝑎+

𝑏)𝑥 +(𝑎2 + 𝑎𝑏− (1 − 𝑑)𝑏2

4

)∈ Z[𝑥], pois 𝑑 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4). Logo,

Z

[1 +

√𝑑

2

]⊂ 𝐼𝐾 . Portanto, Z

[1 +

√𝑑

2

]= 𝐼𝐾 .

Exemplo 3.6.

∙ Seja 𝐾 = Q(√

6). Como 6 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) então, 𝐼𝐾 = Z[√

6].

∙ Seja𝐾 = Q(√

−3). Como −3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) então, 𝐼𝐾 = Z[

1 +√

−32

].

∙ Seja 𝐾 = Q[𝑖], sendo 𝑖 =√

−1. Como −1 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) então𝐼𝐾 = Z[𝑖], o anel dos inteiros de Gauss.

Observação 3.10. Seja Q[√𝑑] um corpo quadrático.

1. Se 𝑚 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝛽 = {1,√𝑑} é uma base integral de

Q[√𝑑].

2. Se 𝑚 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝛽 ={

1, 1 +√𝑑

2

}é uma base integral

de Q[√𝑑].

103

4 NORMA, TRAÇO EDISCRIMINANTE

Seja 𝐾 um corpo. Na Álgebra Linear tem-se que se 𝑇 é um ope-rador linear de um 𝐾−espaço vetorial 𝑉 de dimensão finita (𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉

igual a 𝑛), então existe uma matriz quadrada (ordem 𝑛 × 𝑛) associ-ada a essa transformação, e a partir dessa matriz define-se o traço, anorma, o determinante e o polinômio característico do operador linear𝑇. Agora, sejam 𝐴 um anel, 𝐸 um 𝐴−módulo livre de posto finito e 𝜎um endomorfismo de 𝐸. Do mesmo modo que é feito em Álgebra Linear,defini-se o traço, a norma e o polinômio característico do endomorfismo𝜎.

Assim, este capítulo tem como base os textos de Mazucchi(2006), Samuel (1967) e Stewart (1973).

4.1 NORMA E TRAÇO

Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis, 𝐴 ⊂ 𝐵, tais que 𝐵 é um 𝐴-módulo livre deposto 𝑛 e {𝑒1, 𝑒2, ..., 𝑒𝑛} uma base de 𝐵 sobre 𝐴. Para definir as aplica-ções norma e traço, bem como polinômio característico e discriminanteé preciso primeiro analisar os endomorfismos de 𝐵. Seja 𝜎 : 𝐵 −→ 𝐵

um endomorfismo de 𝐴−módulos. Desta forma,

𝜎(𝑒1) = 𝑎11𝑒1 + 𝑎12𝑒2 + ...+ 𝑎1𝑛𝑒𝑛

𝜎(𝑒2) = 𝑎21𝑒1 + 𝑎22𝑒2 + ...+ 𝑎2𝑛𝑒𝑛

...𝜎(𝑒𝑛) = 𝑎𝑛1𝑒1 + 𝑎𝑛2𝑒2 + ...+ 𝑎𝑛𝑛𝑒𝑛,

104 Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E DISCRIMINANTE

com 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴, para 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛. Matricialmente tem-se⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝜎(𝑒1)𝜎(𝑒2)

...𝜎(𝑒𝑛)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛

......

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 · · · 𝑎𝑛𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑒1

𝑒2...𝑒𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

Definição 4.1. Define-se

(i) o traço de 𝜎 por

𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜎) =𝑛∑

𝑖=1𝑎𝑖𝑖;

(ii) a norma de 𝜎 por

𝑁𝐵|𝐴(𝜎) = 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑖𝑗);

(iii) o polinômio característico de 𝜎 por

𝜒𝐵|𝐴(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛 − [𝑎𝑖𝑗 ]),

sendo 𝐼𝑛 a matriz identidade de ordem 𝑛.

Observação 4.1. Sejam 𝑋 e 𝑌 duas matrizes quadradas de mesmaordem, sabe-se que traço(𝑋+𝑌 ) = traço(𝑋) + traço(𝑌 ) e que det(𝑋𝑌 )= det(𝑋)det(𝑌 ). Devido a essas propriedades e ao fato que 𝜎 e 𝜙 sãohomomorfismos, tem-se que:

∙ 𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜎 + 𝜙) = 𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜎) + 𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜙)

∙ 𝑁𝐵|𝐴(𝜎𝜙) = 𝑁𝐵|𝐴(𝜎)𝑁𝐵|𝐴(𝜙)

∙ 𝜒𝐵|𝐴(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛−[𝑎𝑖𝑗 ]) = 𝑥𝑛−𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜎)𝑥𝑛−1+...+(−1)𝑛𝑁𝐵|𝐴(𝜎).

Definição 4.2. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis, 𝐴 ⊆ 𝐵, tais que 𝐵 é um 𝐴-módulolivre de posto 𝑛 e {𝑒1, 𝑒2, ..., 𝑒𝑛} uma base de 𝐵 sobre 𝐴. Seja 𝛼 ∈ 𝐵

e considere o endomorfismo (de 𝐴−módulos) 𝜎𝛼 : 𝐵 −→ 𝐵 dado por𝜎𝛼(𝑥) = 𝛼𝑥. Assim, define-se

4.1. NORMA E TRAÇO 105

(i) o traço de 𝛼 ∈ 𝐵 por 𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝛼) = 𝑇𝑟𝐵|𝐴(𝜎𝛼);

(ii) a norma de 𝛼 ∈ 𝐵 por 𝑁𝐵|𝐴(𝛼) = 𝑁𝐵|𝐴(𝜎𝛼);

(iii) o polinômio característico de 𝛼 ∈ 𝐵 por 𝜒𝐵|𝐴(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼 −𝜎𝛼).

Observação 4.2. Pode-se usar simplesmente 𝑇𝑟 para traço, 𝑁 paranorma e 𝜒(𝑥) para o polinômio característico se estiver claro quais osanéis com que se está trabalhando.

Observação 4.3. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis tais que 𝐵 é um 𝐴-módulo livrede posto finito. Se 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐵 e 𝑎 ∈ 𝐴, então, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐵

∙ (𝜎𝛼 + 𝜎𝛽)(𝑥) = 𝛼𝑥+ 𝛽𝑥 = (𝛼+ 𝛽)(𝑥) = 𝜎𝛼+𝛽(𝑥);

∙ 𝜎𝛼 ∘ 𝜎𝛽(𝑥) = 𝜎𝛼(𝛽𝑥) = 𝛼𝛽𝑥 = 𝜎𝛼𝛽(𝑥);

∙ 𝜎𝑎𝛼(𝑥) = (𝑎𝛼)𝑥 = 𝑎(𝛼𝑥) = 𝑎𝜎𝛼(𝑥).

Além disso, a matriz de 𝜎𝑎 em relação a uma base {𝑒1, · · · , 𝑒𝑛}de 𝐵 sobre 𝐴 é a matriz diagonal onde 𝑎 é a entrada de todas asdiagonais. De fato,

𝜎𝑎(𝑒1) = 𝑎𝑒1 = 𝑎𝑒1 + 0𝑒2 + · · · + 0𝑒𝑛

𝜎𝑎(𝑒2) = 𝑎𝑒2 = 0𝑒1 + 𝑎𝑒2 + · · · + 0𝑒𝑛

...𝜎𝑎(𝑒𝑛) = 𝑎𝑒𝑛 = 0𝑒1 + 0𝑒2 + · · · + 𝑎𝑒𝑛.

Matricialmente, obtém-se

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝜎𝑎(𝑒1)𝜎𝑎(𝑒2)

...𝜎𝑎(𝑒𝑛)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑎 0 · · · 00 𝑎 · · · 0...

...0 0 · · · 𝑎

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑒1

𝑒2...𝑒𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .


Proposição 4.1. Considerando ainda que 𝐴 e 𝐵 são anéis, 𝐴 ⊂ 𝐵,𝐵 um 𝐴−módulo livre de posto 𝑛. Se 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐵 e 𝑎 ∈ 𝐴, então

1. 𝑇𝑟(𝛼+ 𝛽) = 𝑇𝑟(𝛼) + 𝑇𝑟(𝛽);

2. 𝑇𝑟(𝑎𝛼) = 𝑎𝑇𝑟(𝛼);

3. 𝑇𝑟(𝑎) = 𝑛𝑎

4. 𝑁(𝛼𝛽) = 𝑁(𝛼)𝑁(𝛽)

5. 𝑁(𝑎) = 𝑎𝑛

6. 𝑁(𝑎𝛼) = 𝑎𝑛𝑁(𝛼)

Demonstração:

1. 𝑇𝑟(𝛼 + 𝛽) = 𝑇𝑟(𝜎𝛼+𝛽) = 𝑇𝑟(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽) = 𝑇𝑟(𝜎𝛼) + 𝑇𝑟(𝜎𝛽) =𝑇𝑟(𝛼) + 𝑇𝑟(𝛽);

2. 𝑇𝑟(𝑎𝛼) = 𝑇𝑟(𝜎𝑎𝛼) = 𝑇𝑟(𝑎𝜎𝛼) = 𝑎𝑇𝑟(𝛼);

3. 𝑇𝑟(𝑎) = 𝑇𝑟(𝜎𝑎) = 𝑛𝑎

4. 𝑁(𝛼𝛽) = 𝑁(𝜎𝛼𝛽) = 𝑁(𝜎𝛼 ∘ 𝜎𝛽) = 𝑁(𝜎𝛼)𝑁(𝜎𝛽) = 𝑁(𝛼)𝑁(𝛽)

5. 𝑁(𝑎) = 𝑁(𝜎𝑎) = 𝑎𝑛

6. 𝑁(𝑎𝛼) = 𝑁(𝜎𝑎𝛼) = 𝑁(𝑎𝜎𝛼) = 𝑎𝑛𝑁(𝛼)

Proposição 4.2. Sejam 𝐾 um corpo de característica zero, 𝐿 umaextensão de 𝐾 de grau 𝑛, 𝛼 ∈ 𝐿 e 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 as raízes do polinômiominimal de 𝛼 sobre 𝐾. Então, 𝑇𝑟(𝛼) = 𝛼1+, 𝛼2 + ... + 𝛼𝑛, 𝑁(𝛼) =𝛼1𝛼2...𝛼𝑛 e 𝜒(𝑥) = (𝑥− 𝛼1)(𝑥− 𝛼2)...(𝑥− 𝛼𝑛).


Demonstração: Inicialmente será demonstrado para o caso em que𝛼 é elemento primitivo de 𝐿 sobre 𝐾, e, portanto, 𝐿 = 𝐾[𝛼]. Seja𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ... + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, opolinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾. Então,

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1 + · · · + 𝑎1𝛼+ 𝑎0 = 0,

e, logo,𝛼𝑛 = −𝑎𝑛−1 − · · · − 𝑎1𝛼− 𝑎0.

Tem-se que 𝐿 é𝐾-isomorfo a 𝐾[𝑥]⟨𝑓(𝑥)⟩ , pela Proposição (3.4), e {1, 𝛼, ..., 𝛼𝑛−1}

é uma base de 𝐿 sobre 𝐾. Para determinar a matriz do endomorfismo𝜎𝛼, pela base dada acima, faz-se

𝜎𝛼(1) = 𝛼 = 0 · 1 + 1𝛼+ 0𝛼2 + · · · + 0𝛼𝑛−1

𝜎𝛼(𝛼) = 𝛼2 = 0 · 1 + 0𝛼+ 1𝛼2 + · · · + 0𝛼𝑛−1

...

𝜎𝛼(𝛼𝑛−2) = 𝛼𝑛−1 = 0 · 1 + 0𝛼+ 0𝛼2 + · · · + 1𝛼𝑛−2 + 0𝛼𝑛−1

𝜎𝛼(𝛼𝑛−1) = 𝛼𝑛 = −𝑎01 − 𝑎1𝛼+ · · · + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1.

Assim,

𝑀 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 0 1𝑎0 −𝑎1 −𝑎2 · · · −𝑎𝑛−2 −𝑎𝑛−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦é a matriz associada ao endomorfismo 𝜎𝛼. Desta forma

𝑥𝐼𝑛 −𝑀 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑥 −1 0 · · · 0 00 𝑥 −1 · · · 0 0...

.... . .

...0 0 0 · · · 𝑥 −1𝑎0 𝑎1 𝑎2 · · · 𝑎𝑛−1 𝑥+ 𝑎𝑛−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


e calculando o determinante por cofatores, tem-se 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛−𝑀) = 𝑓(𝑥),ou seja, o polinômio característico em 𝛼 é igual ao polinômio minimalde 𝛼. Por definição

𝜒(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛 −𝑀)

= 𝑥𝑛 − 𝑇𝑟(𝜎𝛼)𝑥𝑛−1 + ...+ (−1)𝑛𝑑𝑒𝑡(𝜎𝛼)

Tem-se que 𝛼 é elemento primitivo, então

𝜒(𝑥) = (𝑥− 𝛼1)(𝑥− 𝛼2)...(𝑥− 𝛼𝑛)

= 𝑥𝑛 − (𝑛∑

𝑖=1𝛼𝑖)𝑥𝑥−1 + ...+ (−1)𝑛(

𝑛∏𝑖−=1

𝛼𝑖).

Assim,

𝑇𝑟(𝜎𝛼) = 𝑇𝑟(𝛼) =𝑛∑

𝑖=1𝛼𝑖

e

𝑁(𝜎𝛼) = 𝑁(𝛼) =𝑛∏

𝑖=1𝛼𝑖.

É preciso mostrar, agora, para o caso geral, isto é, considera-se𝛼 ∈ 𝐿 qualquer é um elemento algébrico sobre 𝐾. Assim 𝐾 ⊆ 𝐾[𝛼] ⊆ 𝐿

e pela Proposição (3.8) tem-se que

[𝐿 : 𝐾] = [𝐿 : 𝐾[𝛼]][𝐾[𝛼] : 𝐾].

Assim, dadas {𝑦1, ..., 𝑦𝑞} uma base de 𝐾[𝛼] sobre 𝐾 e seja {𝑧1, ..., 𝑧𝑟}uma base de 𝐿 sobre 𝐾[𝑥], então {𝑦𝑖𝑧𝑖} é uma base de 𝐿 sobre 𝐾 e𝑛 = 𝑞𝑟. Agora, é preciso mostrar que o polinômio característico 𝜒(𝑥)de 𝛼, em relação a 𝐿 sobre 𝐾, é igual a 𝑟-ésima potência do polinômiominimal de 𝛼 sobre 𝐾. Seja 𝑀 = (𝑎𝑖ℎ) a matriz do endomorfismo de𝐾[𝛼] sobre 𝐾 em relação à base {𝑦1, ..., 𝑦𝑞}. Então,

𝜎𝛼(𝑦𝑖) = 2𝛼𝑦𝑖 =∑

ℎ

(𝑎𝑖ℎ)𝑦ℎ


e

𝛼(𝑦𝑖𝑧𝑗) =(∑

ℎ

𝑎𝑖ℎ𝑦ℎ

)𝑧𝑗

=∑

ℎ

𝑎𝑖ℎ(𝑦ℎ𝑧𝑗).

Assim, ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝛼𝑦1𝑧1 = 𝑎11𝑦1𝑧1 + 𝑎12𝑦1𝑧1 + · · · + 𝑎1𝑞𝑦𝑞𝑧1

𝛼𝑦2𝑧1 = 𝑎21𝑦1𝑧1 + 𝑎22𝑦1𝑧1 + · · · + 𝑎2𝑞𝑦𝑞𝑧1...

𝛼𝑦𝑞𝑧1 = 𝑎𝑞1𝑦1𝑧1 + 𝑎𝑞2𝑦1𝑧1 + · · · + 𝑎𝑞𝑞𝑦𝑞𝑧1.

Então, ordena-se a base 𝑦𝑖𝑧𝑗 de 𝐿 sobre 𝐾, tal que a matriz do endo-morfismo seja

𝑀1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑀 0 · · · 0 00 𝑀 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 0 𝑀

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ou seja, 𝑀 repete-se 𝑟-vezes na diagonal como blocos na matriz 𝑀1.Assim, a matriz 𝑥𝐼𝑛 −𝑀1, é formada por 𝑟-blocos diagonais da forma𝑥𝐼𝑞 − 𝑀 , donde 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛 − 𝑀1) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑞 − 𝑀)𝑟. Então, 𝜒(𝑥) =(𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑛 −𝑀1)) e (𝑑𝑒𝑡(𝑥𝐼𝑞 −𝑀)) é o polinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾,como é possível concluir pela primeira parte da demonstração.

Observação 4.4. Pela Proposição (4.2) tem-se que

𝑇𝑟(𝐿|𝐾(𝛼)) = 𝑟𝑇𝑟𝐾[𝛼]|𝐾(𝛼),

𝑁𝐿|𝐾(𝛼) = (𝑁𝐾[𝛼]|𝐾(𝛼))𝑟 e

𝜒𝐿|𝐾(𝛼) = (𝜒𝐾[𝛼]|𝐾(𝛼))𝑟,

com 𝑟 = [𝐿 : 𝐾[𝛼]].

Exemplo 4.1. Seja o corpo quadrático Q[𝑖].


1. Seja 𝑖 ∈ Q[𝑖]. O polinômio minimal de 𝑖 é 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 1, cujasraízes são ±𝑖. Assim,

𝑇𝑟(𝑖) = 𝑖− 𝑖 = 0,

𝑁(𝑖) = 𝑖(−𝑖) = 1 e

𝜒(𝑥) = 𝑝(𝑥).

2. Seja = 1 − 𝑖 ∈ Q[𝑖]. O polinômio minimal de 1 − 𝑖 é 𝑞(𝑥) =𝑥2 − 2𝑥+ 2, cujas raízes são 1 ± 𝑖. Assim,

𝑇𝑟(𝑖) = (1 + 𝑖) + (1 − 𝑖) = 2,

𝑁(𝑖) = (1 + 𝑖)(1 − 𝑖) = 2 e

𝜒(𝑥) = 𝑞(𝑥).

Exemplo 4.2. Sejam o corpo quadrático Q[√𝑑], com 𝑑 livre de qua-

drados e 𝛼 = 𝑎+ 𝑏√𝑑 ∈ Q[

√𝑑]. Então,

1. Se 𝑏 = 0 então, 𝑎 ∈ Q e 𝑝(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 é o polinômio minimal de𝛼. Assim, 𝑇𝑟(𝛼) = 𝑎 e 𝑁(𝑎) = 𝑎.

2. Se 𝑏 = 0 então, o polinômio minimal de 𝛼 é 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 +𝑎2 − 𝑑𝑏2 e suas raízes são 𝑎+ 𝑏

√𝑑 e 𝑎− 𝑏

√𝑑. Assim, 𝑇𝑟(𝛼) = 2𝑎

e 𝑁(𝛼) = 𝑎2 − 𝑑𝑏2.

Exemplo 4.3. Seja 𝐾 = Q(√𝑑). Então, tem-se duas possibilidades

para o seu anel de integridade 𝐼𝐾 :

1. se 𝑑 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝐼𝐾 = Z[√𝑑];

2. se 𝑑 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) ou 𝑑 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4), então 𝐼𝐾 = Z

[1 +

√𝑑

2

].

Para o caso (1) tem-se a base 𝛽1 = {1,√𝑑} Os monomorfismos de 𝐾

em C são 𝜎1(𝑎 + 𝑏√

−1) = 𝑎 + 𝑏√

−1 e 𝜎2(𝑎 + 𝑏√

−1) = 𝑎 − 𝑏√

−1.


Logo, 𝑇𝑟(𝑎 + 𝑏√

−1) =2∑

𝑖=1𝜎𝑖(𝑎 + 𝑏

√−1) = 2𝑎 e 𝑁(𝑎 + 𝑏

√−1) =

2∏𝑖=1

𝜎(𝑎+ 𝑏√

−1) = 𝑎2 + 𝑏2.

Proposição 4.3. Se 𝐴 é um domínio, 𝐾 seu corpo de frações, 𝐿 ⊇ 𝐾

uma extensão finita e 𝛼 ∈ 𝐿 um elemento inteiro sobre 𝐴, então oscoeficientes do polinômio característico de 𝛼 são inteiros sobre 𝐴. Emparticular, 𝑇𝑟(𝛼) e 𝑁(𝛼) são inteiros sobre 𝐴.

Demonstração: Pela Proposição (4.2), tem-se que 𝜒(𝑥) = (𝑥 −𝛼1)(𝑥 − 𝛼2) · · · (𝑥 − 𝛼𝑛). Os coeficientes de 𝜒(𝑥) são somas e produ-tos dos 𝛼𝑖, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, basta mostrar que estes 𝛼𝑖 são inteirossobre 𝐴. Pela Proposição (3.10) existe um 𝐾-homomorfismo definidoda seguinte forma

𝜎𝑖 : 𝐾[𝛼] −→ 𝐾[𝛼𝑖]

𝛼 ↦−→ 𝛼𝑖,

com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Uma vez que 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, tem-se que

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑎0 = 0,

onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, e 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Aplicando 𝜎𝑖, obtemos

𝜎𝑖(𝛼)𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜎𝑖(𝛼)𝑛−1 + · · · + 𝑎0 = 0,

donde𝛼𝑛

𝑖 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1𝑖 + · · · + 𝑎0 = 0.

Portanto, 𝛼𝑖 é inteiro sobre 𝐴.

Corolário 4.1. Se 𝐴 é um anel integralmente fechado, então os coefi-cientes do polinômio característico de 𝛼, 𝑇𝑟(𝛼) e 𝑁(𝛼) são elementosde 𝐴.

Demonstração: Tem-se que os coeficientes de 𝜒(𝑥), o polinômio ca-racterístico de 𝛼, são elementos de 𝐾 e são inteiros sobre 𝐴. Mas 𝐴


é integralmente fechado, donde os coeficientes estão em 𝐴. Portanto,𝑇𝑟(𝛼) e 𝑁(𝛼) são elementos de 𝐴.

Observação 4.5. Seja 𝛼 ∈ Q[√𝑑] um inteiro algébrico sobre Z, com

𝑑 livre de quadrados e 𝛼 um inteiro algébrico. Como Z é integramentefechado, segue que pelo Corolário (4.1), 𝑇𝑟(𝛼) e 𝑁(𝛼) são númerosinteiros. Por outro lado, se 𝑇𝑟(𝛼) e 𝑁(𝛼) são número inteiros, tem-seque 𝛼 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 𝑇𝑟(𝛼)𝑥 + 𝑁(𝛼). E, assim, 𝛼 éum inteiro algébrico. Disto concluí-se que um elemento de um corpoquadrático é inteiro algébrico se, e somente se, seu traço e sua normasão números inteiros.

Exemplo 4.4. Sejam 𝐾 = 𝑄[√

−5] um corpo quadrático e 𝜇 um ele-mento do anel de inteiros quadráticos, 𝐼𝐾 . Então 𝜇 é inversível se, esomente se, |𝑁𝜇|= 1. De fato, se 𝜇 é inversível, então existe um 𝜈 ∈ 𝐼𝑘

tal que 𝜇𝜈 = 1, de onde vem que, 1 = 𝑁1 = 𝑁𝜇𝜈 = 𝑁𝜇𝑁𝜈 e como𝑁𝜇 e 𝑁𝜈 são inteiros, concluímos que, 𝑁𝜇 = ±1, portanto |𝑁𝜇| = 1.Reciprocamente se |𝑁𝜇| = 1, temos 𝑁𝜇 = 𝜇𝜇 = ±1 ou 𝜇(±𝜇) = 1,logo 𝜇 é inversível.

Proposição 4.4. Sejam 𝐴 um anel integralmente fechado, 𝐾 seu corpode frações, 𝐿 uma extensão finita de 𝐾 de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dosinteiros de 𝐴 em 𝐿. Sejam {𝛼1, ..., 𝛼𝑛} uma base de 𝐿 sobre 𝐾, onde𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗)) = 0 e 𝛼 ∈ 𝐿. Se 𝑇𝑟(𝛼𝛽) = 0 para todo 𝛽 ∈ 𝐿, então𝛼 = 0.

Demonstração: Tem-se que 𝛼 = 𝑎1𝛼1 + 𝑎2𝛼2 + · · · + 𝑎𝑛𝛼𝑛, com𝑎𝑖 ∈ 𝐾, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, é suficiente mostrar que 𝑇𝑟(𝛼𝛼𝑗) = 0, com1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, então 𝛼 = 0. Logo, para 𝑗 = 1, ..., 𝑛,

0 = 𝑇𝑟(𝛼𝛼𝑗) = 𝑎1𝑇𝑟(𝛼1𝛼𝑗) + 𝑎2𝑇𝑟(𝛼2𝛼𝑗) + · · · + 𝑎𝑛𝑇𝑟(𝛼𝑛𝛼𝑗).


Matricialmente, tem-se⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑇𝑟(𝛼1𝛼1) 𝑇𝑟(𝛼2𝛼1) 𝑇𝑟(𝛼3𝛼1) 𝑇𝑟(𝛼𝑛𝛼1)𝑇𝑟(𝛼1𝛼2) 𝑇𝑟(𝛼2𝛼2) 𝑇𝑟(𝛼3𝛼2) 𝑇𝑟(𝛼𝑛𝛼2)

......

. . ....

𝑇𝑟(𝛼1𝛼𝑛) 𝑇𝑟(𝛼2𝛼𝑛) 𝑇𝑟(𝛼3𝛼𝑛) 𝑇𝑟(𝛼𝑛𝛼𝑛)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑎1

𝑎2...𝑎𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣00...0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Mas, 𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗)) = 0, donde 𝑎1 = 𝑎2 = · · · = 𝑎𝑛 = 0. Portanto,𝛼 = 0.

Sejam 𝐿 e 𝐾 corpos, 𝐿 uma extensão finita de grau 𝑛 de 𝐾.Considera-se a aplicação

𝑆𝛼 : 𝐿 −→ 𝐾𝛽 ↦−→ 𝑇𝑟(𝛼𝛽),

segue que 𝑆𝛼 é um 𝐾-homomorfismo. De fato, sejam 𝛽, 𝛾 ∈ 𝐿 e 𝜆 ∈ 𝐾.Então

𝑆𝛼(𝛽 + 𝛾) = 𝑇𝑟(𝛼(𝛽 + 𝛾))

= 𝑇𝑟(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾))

= 𝑇𝑟(𝛼𝛽) + 𝑇𝑟(𝛼𝛾)

= 𝑆𝛼(𝛽) + 𝑆𝛼(𝛾)

e

𝑆𝛼(𝜆𝛽) = 𝑇𝑟(𝛼𝜆𝛽)

= 𝑇𝑟(𝜆𝛼𝛽)

= 𝜆𝑇𝑟(𝛼𝛽)

= 𝜆𝑆𝛼(𝛽).

E, define-se

𝐻𝑜𝑚𝐾(𝐿 : 𝐾) = {𝑓 : 𝐿 −→ 𝐾 : 𝑓 é 𝐾-homomorfismo}.

Corolário 4.2. Sejam 𝐴 um anel integralmente fechado, 𝐾 seu corpode frações, 𝐿 uma extensão finita de 𝐾 de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dos


inteiros de 𝐴 em 𝐿. Sejam {𝛼1, ..., 𝛼𝑛} uma base de 𝐿 sobre 𝐾, onde𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗)) = 0 e 𝛼𝑖𝑛𝐿. Se 𝑇𝑟(𝛼, 𝛽) = 0 para todo 𝛽 ∈ 𝐿, então aaplicação

𝜌 : 𝐿 −→ 𝐻𝑜𝑚𝐾(𝐿,𝐾)

𝛼 ↦−→ 𝑆𝛼,

com 𝑆𝛼(𝛽) = 𝑇𝑟(𝛼𝛽), é um isomorfismo

Demonstração: É fácil ver que 𝜌 é um homomorfismo, visto que se𝛼1, 𝛼2 ∈ 𝐿 e 𝑎 ∈ 𝐾, então

𝜌(𝛼1 + 𝛼2)(𝛽) = 𝑆𝛼1+𝛼2(𝛽)

= 𝑇𝑟((𝛼1 + 𝛼2)𝛽)

= 𝑇𝑟(𝛼1𝛽) + 𝑇𝑟(𝛼2𝛽)

= 𝑆𝛼1(𝛽) + 𝑆𝛼2(𝛽)

= 𝜌(𝛼1)(𝛽) + 𝜌(𝛼2)(𝛽)

e

𝜌(𝑎𝛼1)(𝛽) = 𝑆𝑎𝛼1(𝛽)

= 𝑇𝑟(𝑎𝛼1𝛽)

= 𝑎𝑇𝑟(𝛼1𝛽)

= 𝑎𝑆𝛼1(𝛽)

= 𝑎𝜌(𝛼)(𝛽),

para todo 𝛽 ∈ 𝐿. Então, seja 𝛼 ∈ 𝐿 tal que 𝜌(𝛼) = 0. Assim,

𝜌(𝛼)(𝛽) = 𝑆𝛼(𝛽) = 𝑇𝑟(𝛼𝛽) = 0,∀𝛽 ∈ 𝐿,

donde 𝜌(𝛼) = 0. Pela Proposição 4.4, 𝛼 = 0, donde 𝜌 é injetora. E, porfim, 𝜌 é sobrejetora, pois 𝑑𝑖𝑚𝐾𝐿 = 𝑑𝑖𝑚𝐾(𝐻𝑜𝑚𝐾(𝐿,𝐾)). Portanto, 𝜌é um isomorfismo.


Teorema 4.1. Seja 𝐴 um anel integralmente fechado, 𝐾 seu corpode frações, 𝐿 ⊃ 𝐾 uma extensão finita de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dosinteiros de 𝐴 em 𝐿. Então 𝐼𝐿(𝐴) é um 𝐴-submódulo de um 𝐴-módulolivre.

Demonstração: Seja {𝛼1, ..., 𝛼𝑛} uma base de 𝐿 sobre 𝐾. Então,uma vez que toda extensão finita é algébrica, tem-se que 𝛼𝑖 é algébricosobre 𝐾, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Ou seja, existem 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, com 𝑖 = 0, 1, ..., 𝑛,tais que

𝑎𝑛𝛼𝑛𝑖 + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1𝑖 + · · · + 𝑎0 = 0.

Supondo que 𝑎𝑛 = 0 e multiplicando a equação acima por 𝑎𝑛−1𝑛 , então

0 = 𝑎𝑛−1𝑛 (𝑎𝑛𝛼

𝑛𝑖 + 𝑎𝑛−1𝛼

𝑛−1𝑖 + · · · + 𝑎0)

= (𝑎𝑛𝛼𝑖)𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑎𝑛𝛼𝑖)𝑛−1 + · · · + 𝑎𝑛−1𝑛 𝑎0

e, assim 𝑎𝑛𝛼𝑖 é inteiro sobre 𝐴. Seja, 𝑎𝑛𝛼𝑖 = 𝑧𝑖 ∈ 𝐼𝐿(𝐴), com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.É preciso mostrar que {𝑧1, ..., 𝑧𝑛} é um base de 𝐿 sobre 𝐾. Sejam𝑏1, ..., 𝑏𝑛 ∈ 𝐴 tais que 𝑏1𝑧1 + 𝑏2𝑧2 + · · · + 𝑏𝑛𝑧𝑛 = 0. Então,

𝑏1𝑎𝑛𝛼1 + 𝑏2𝑎𝑛𝛼2 + · · · + 𝑏𝑛𝑎𝑛𝛼𝑛 = 0.

Mas, {𝛼1, ..., 𝛼𝑛} -é uma base de 𝐿 sobre 𝐾, donde 𝑏𝑖𝑎𝑛 = 0 e, assim,𝑏𝑖 = 0 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Logo, {𝑧1, ..., 𝑧𝑛} é linearmente independente ecomo possui 𝑛 elementos,sendo, assim, uma base de 𝐿 sobre 𝐾. PeloCorolário 4.2, existe uma base dual {𝑦1, ..., 𝑦𝑛} tal que

𝜌(𝑧𝑖)(𝑦𝑗) = 𝑆𝑧𝑖(𝑦𝑗) = 𝑇𝑟(𝑧𝑖𝑦𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 , para 𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑛.

Por outro lado, se 𝛼 ∈ 𝐼𝐿(𝐴) então 𝛼𝑧𝑖 ∈ 𝐼𝐿(𝐴), para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, peloCorolário 4.1, 𝑇𝑟𝐿|𝐾(𝛼𝑧𝑖) ∈ 𝐴, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Mas 𝛼 = 𝑐1𝑦1 + · · · +𝑐𝑛𝑦𝑛, com 𝑐1, ..., 𝑐𝑛 ∈ 𝐾, então 𝑇𝑟(𝛼𝑧𝑖) = 𝑐𝑖 ∈ 𝐴, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.Portanto, 𝐼𝐿(𝐴) é um submódulo de um 𝐴-módulo livre gerado por{𝑧1, ..., 𝑧𝑛}.


Corolário 4.3. Seja 𝐴 um anel integralmente fechado, 𝐾 seu corpode frações, 𝐿 ⊃ 𝐾 uma extensão finita de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dosinteiros de 𝐴 em 𝐿, se 𝐴 é um domínio principal, então 𝐼𝐿(𝐴) é um𝐴-módulo livre de posto 𝑛.

Demonstração: Pelo Teorema 2.5, um submódulo de um 𝐴-módulolivre é também livre e possui posto menor ou igual a 𝑛. Pelo Teorema4.1, 𝐼𝐿(𝐴) possui uma base de 𝑛 elementos de 𝐿 sobre 𝐾. Portanto,𝐼𝐿(𝐴) tem posto 𝑛.

Corolário 4.4. Seja 𝐴 um anel integralmente fechado, 𝐾 seu corpode frações, 𝐿 ⊃ 𝐾 uma extensão finita de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dosinteiros de 𝐴 em 𝐿, se 𝐴 é um domínio principal e 𝐴 ⊆ 𝐼𝐿(𝐴) é umideal, então 𝐴 é um 𝐴-módulo livre de posto 𝑛.

Demonstração: Sejam {𝑒1, ..., 𝑒𝑛} uma base de 𝐼𝐿(𝐴) e 0 = 𝛼 ∈ 𝐴.Então, 𝛼𝑒1, ..., 𝛼𝑒𝑛 ∈ 𝐴 e são linearmente independentes sobre 𝐴, poise 𝛼1𝛼𝑒1 + · · · + 𝛼1𝛼𝑒𝑛 = 0, onde 𝛼1, ...𝛼𝑛 ∈ 𝐴, então 𝛼1𝛼 = 0, para1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Assim, como 𝐴 é um domínio principal, 𝛼𝑖 = 0, com1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Proposição 4.5. Sejam 𝐴 um anel noetheriano e integralmente fe-chado, 𝐾 seu corpo de frações, 𝐿 ⊇ 𝐾 uma extensão finita de grau𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o fecho inteiro de 𝐴 em 𝐿. Então 𝐼𝐿(𝐴) é um 𝐴-módulofinitamente gerado e 𝐼𝐿(𝐴) é um anel noetheriano.

Demonstração: Pelo Teorema 4.1, 𝐼𝐿(𝐴) é submódulo de um 𝐴-módulo livre de posto 𝑛. Pelo Corolário 2.5, 𝐼𝐿(𝐴) é um 𝐴-módulo no-etheriano finitamente gerado. Mas, ideais de 𝐼𝐿(𝐴) são 𝐴- submódulosde 𝐼𝐿(𝐴), donde satisfazem a condição de maximalidade da Definição2.23. Portanto, 𝐼𝐿(𝐴) é anel noetheriano.

4.2. DISCRIMINANTE 117

4.2 DISCRIMINANTE

Definição 4.3. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis tais que 𝐵 é um 𝐴-módulo livrede posto finito 𝑛. Dados (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) ∈ 𝐵𝑛 = 𝐵×𝐵× ...×𝐵 (𝑛 vezes),define-se seu discriminante por

𝐷𝐵/𝐴(𝛼1, ..., 𝛼𝑛) = 𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗)).

Caso não haja ambiguidade, o discriminante de (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) serádenotado apenas por 𝐷(𝛼1, ..., 𝛼𝑛).

Exemplo 4.5. Sejam o corpo quadrático Q[√𝑑], com 𝑑 livre de qua-

drados e {1,√𝑑} uma base de Q[

√𝑑] sobre Q. Então,

𝐷(1,√𝑑) =

𝑇𝑟(1) 𝑇𝑟(

√𝑑)

𝑡𝑟(√𝑑) 𝑇𝑟(

√𝑑

2)

=

2 00 2𝑑

= 4𝑑.

Proposição 4.6. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis tais que 𝐵 é um 𝐴-módulo livrede posto finito 𝑛. Dados (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) ∈ 𝐵𝑛. Se (𝛽1, ..., 𝛽𝑛) ∈ 𝐵𝑛 tais que

𝛽𝑖 =𝑛∑

𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝛼𝑗 com 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴,

então𝐷(𝛽1, ..., 𝛽𝑛) = (𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑖𝑗))2𝐷(𝛼1, ..., 𝛼𝑛).

Demonstração: Sejam 𝛽𝑝, 𝛽𝑞 ∈ 𝐵 tais que

𝛽𝑝 =𝑛∑

𝑖=1𝑎𝑝𝑖𝛼𝑖 e 𝛽𝑞 =

𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑞𝑗𝛼𝑗 ,

com 𝑎𝑝𝑖, 𝑎𝑞𝑖 ∈ 𝐴. Então,

𝛽𝑝𝛽𝑞 =𝑛∑

𝑖=1𝑎𝑝𝑖𝛼𝑖

𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑞𝑗𝛼𝑗 =𝑛∑

𝑖,𝑗=1𝑎𝑝𝑖𝑎𝑞𝑗𝛼𝑖𝛼𝑗 .

Logo,

𝑇𝑟(𝛽𝑝𝛽𝑞) = 𝑇𝑟

⎛⎝ 𝑛∑𝑖,𝑗=1

𝑎𝑝𝑖𝑎𝑞𝑗𝛼𝑖𝛼𝑗

⎞⎠ =𝑛∑

𝑖,𝑗=1𝑎𝑝𝑖𝑎𝑞𝑗𝑇𝑟 (𝛼𝑖𝛼𝑗) .


Transcrevendo a equação acima na forma matricial, verifica-se que

(𝑇𝑟(𝛽𝑝𝛽𝑞)) = (𝑎𝑝𝑖)(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗))(𝑎𝑞𝑗)𝑡,

onde (𝑎𝑞𝑗)𝑡 é a matriz transposta da matriz (𝑎𝑞𝑗). Pela Definição (4.3),

𝐷(𝛽1, ..., 𝛽𝑛) = 𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛽𝑝𝛽𝑞))

= 𝑑𝑒𝑡((𝑎𝑝𝑖)(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗))(𝑎𝑞𝑗)𝑡)

= 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑝𝑖)𝑑𝑒𝑡(𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛼𝑗)𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑞𝑗)𝑡

= 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑖𝑗)2𝐷(𝛼1, ..., 𝛼𝑛).

Observação 4.6. Pela Proposição 4.6 conclui-se que o discriminantede quaisquer bases de 𝐵 sobre 𝐴 são associados. Ou seja, a matriz (𝑎𝑖𝑗)que expressa uma base em termos da outra, possui matriz inversa (𝑏𝑖𝑗),com 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐴. Assim, tanto 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑖𝑗) quanto 𝑑𝑒𝑡(𝑏𝑖𝑗) = 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑖𝑗)−1 sãoinversíveis em 𝐴?.

Definição 4.4. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis tais que 𝐵 é um 𝐴-módulo livre deposto finito 𝑛. O discriminante de 𝐵 sobre 𝐴 é um ideal em 𝐴, definidoda forma

D𝐵/𝐴 = ⟨𝐷(𝛼1, ..., 𝛼𝑛)⟩,

onde {𝛼1, ..., 𝛼𝑛} é uma base de 𝐵 sobre 𝐴.

Observação 4.7. É possível mostrar que, dados um corpo 𝐾, 𝐿 umaextensão finita de 𝐾 de grau 𝑛 e 𝜎1, . . . , 𝜎𝑛 os 𝑛 𝐾-isomorfismos dis-tintos de 𝐿 em um corpo algebricamente fechado 𝐹 contendo 𝐾, se{𝛼1, . . . , 𝛼𝑛} é uma base de 𝐿 sobre 𝐾, então

𝐷(𝛼1, . . . , 𝛼𝑛) = 𝑑𝑒𝑡(𝜎𝑖(𝛼𝑗))2 = 0.

Esta proposição encontra-se demonstrada em Samuel (1967).

119

5 ANÉIS DE DEDEKIND

Em um anel, a fatoração de seus elementos geralmente não éúnica. Para observar este fato, basta considerar Z[

√−5], encontramos

as seguintes fatorações para o número 9:

9 = 3 · 3

9 = (2 +√

−5)(2 −√

−5).

Os fatores 3, 2 +√

−5 e 2 −√

−5 são irredutíveis em Z[√

−5]. Defato, ambos têm norma 9. Se 2 −

√−5 fosse redutível, ou seja, existem

𝛼, 𝛽 ∈ Z[√

−5] tais que 2 −√

−5 = 𝛼𝛽, e então, teríamos 𝑁(𝛼𝛽) =𝑁(𝛼)𝑁(𝛽) = 9. Pela Observação (4.5) e o Exemplo (4.4), segue 𝑁(𝛼) ={3,−3}. Porém, isso não é possível, pois 𝑁(𝑎 + 𝑏

√−5) = 𝑎2 + 5𝑏2 ∈

{3,−3}, quaisquer que sejam 𝑎, 𝑏 ∈ Z. Para provar que 3 e 2 +√

−5 éanálogo. Desta forma, o número 9 foi escrito como produto de fatoresirredutíveis de duas formas diferentes e assim Z[

√−5] não é fatorial.

Como já foi visto, a fatoração única dos elementos é válidaapenas anéis fatoriais. Neste capitulo será estudada a fatoração dosideais não nulos, definindo uma estrutura chamada anel de Dedekind,em que todo ideal não nulo possui uma fatoração única em potências deideais primos. Assim, este capítulo tem como base os textos de Mazucchi(2006), Samuel (1967) e Stewart (1973).

Definição 5.1. Seja 𝐴 um anel. Então um ideal 𝑃 de 𝐴 é primo se

(i) 𝑃 = 𝐴 e

(ii) se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑎𝑏 ∈ 𝑃 então, 𝑎 ∈ 𝑃 ou 𝑏 ∈ 𝑃 .

Exemplo 5.1. Seja 𝐴 um anel. O ideal nulo de 𝐴 é um ideal primo de𝐴.

120 Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND

Lema 5.1. Seja 𝑝 um elemento primo de um anel de integridade 𝐴.Então, ⟨𝑝⟩ é um ideal primo próprio de 𝐴,

Demonstração: Como 𝑝 é elemento primo e, assim, não inversível,tem-se que ⟨𝑝⟩ é um ideal próprio. Se 𝑥, 𝑦 ∈ ⟨𝑝⟩ então, existe um ele-mento 𝑡 ∈ 𝐴 tal que 𝑥𝑦 = 𝑝𝑡. Daí, 𝑝 | 𝑥𝑦. Como 𝑝 é elemento primo,então 𝑝 | 𝑥 ou 𝑝 | 𝑦. Se 𝑝 | 𝑥 então, 𝑥 = 𝑝𝑠, para algum 𝑠 ∈ 𝐴, e 𝑥 ∈ ⟨𝑝⟩.Se 𝑝 | 𝑦 é análogo.

Observação 5.1. Há uma proposição segundo Domingues e Iezzi (2013,p. 266) que afirma que, dados 𝐴 um anel comutativo com unidade e 𝐼um ideal em 𝐴, tem-se que

∙ I é um ideal primo se, e somente se, 𝐴𝐼

é anel de integridade

∙ 𝐴

𝐼é corpo se, e somente se, 𝐼 é ideal maximal.

Proposição 5.1. Todo ideal maximal de um anel 𝐴 é um ideal primode 𝐴.

Demonstração: Da Observação (5.1) tem-se que, dado 𝐼 umideal maximal de 𝐴, então 𝐴

𝐼é corpo, em particular, 𝐴

𝐼é anel de

integridade, e assim, 𝐼 é um ideal primo de 𝐴.

A recíproca nem sempre é verdadeira, por exemplo, sejam 𝐴 =Z12 = {0, 1, · · · , 11} e o ideal maximal 𝐼 = {0, 6}. Nota-se que 2 · 3 =6 ∈ 𝐼, mas 2 /∈ 𝐼 e 3 /∈ 𝐼. Portanto 𝐼 não é um ideal primo de Z12.

Lema 5.2. Sejam 𝐴 um anel e 𝑃 um ideal de 𝐴. O ideal 𝑃 é primo se,e somente se, contiver um produto de ideais 𝐽1, ..., 𝐽𝑛 de 𝐴, implicarque 𝑃 contém pelo menos um dos ideais 𝐽𝑖.

Demonstração: Supõe-se que 𝐽𝑗 * 𝑃 , para todo 𝑗 = 1, ..., 𝑛. En-tão, para cada 𝑗 existe 𝛼𝑗 ∈ 𝐽𝑗 , com 𝛼𝑗 /∈ 𝑃 . Dado que 𝑃 é primo,

121

𝛼1 · · ·𝛼𝑛 /∈ 𝑃 . Por outro lado, 𝛼1 · · ·𝛼𝑛 ∈ 𝐽1 · · · 𝐽𝑛 ⊂ 𝑃 , o que é umacontradição. Portanto, 𝑃 contém 𝐽𝑗 , para algum 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.Reciprocamente, seja 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑎𝑏 ∈ 𝑃 . Então ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ = ⟨𝑎𝑏⟩ ⊆ 𝑃 .Logo ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝑃 ou ⟨𝑏⟩ ⊆ 𝑃 , donde 𝑎 ∈ 𝑃 ou 𝑏 ∈ 𝑃 . Assim, 𝑎 ∈ 𝑃 ou𝑏 ∈ 𝑃 . Portanto, 𝑃 é ideal primo.

Proposição 5.2. Se 𝐴 ⊆ 𝐵 são anéis e 𝑃 ⊆ 𝐵 é um ideal primo,então 𝑃 ∩𝐴 é um ideal primo de A.

Demonstração: Seja a aplicação 𝜌 = 𝜋 ∘ 𝑖 de 𝐴 em 𝐵

𝑃, onde 𝑖 : 𝐴 −→

𝐵 é a inclusão (𝑖(𝑥) = 𝑥) e 𝜋 : 𝐵 −→ 𝐵

𝑃a projeção (𝜋(𝑥) = �� = 𝑥+𝑃 ).

A aplicação 𝜌 desta forma definida é um homomorfismo, pois 𝜋 e 𝑖 sãohomomorfismos. Tem-se que

𝐾𝑒𝑟(𝜌) = {𝑥 ∈ 𝐴 : 𝑝(𝑥) = 0 = 𝑃}.

Assim,

𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜌) ⇔ 𝜌(𝑥) = 0

⇔ 𝜋 ∘ 𝑖(𝑥) = 0

⇔ 𝜋(𝑥) = 0

⇔ �� = 0

⇔ 𝑥+ 𝑃 = 𝑃

⇔ 𝑥 ∈ 𝑃.

Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝜌) = 𝐴∩𝑃 . Pelo Teorema dos Isomorfismos, tem-se que𝐴

𝐴 ∩ 𝑃≃ 𝐼𝑚(𝜌) ⊂ 𝐵

𝑃. Como 𝐵

𝑃é um domínio de integridade, então

𝐴

𝑃 ∩𝐴é também um domínio. Portanto, 𝑃 ∩𝐴 é um ideal primo de 𝐴.

Definição 5.2. Um um domínio de integridade 𝐴 é dito anel de De-dekind se satisfaz as seguintes condições

1. 𝐴 é integralmente fechado;


2. 𝐴 é noetheriano;

3. Todo ideal primo não nulo de 𝐴 é maximal.

Observação 5.2. Todo corpo é anel de Dedekind, pois todo corpo éintegralmente fechado, noetheriano e, por vacuidade (corpos não pos-suem ideais próprios), todo ideal primo é maximal

Proposição 5.3. Em um anel de Dedekind 𝐴 todo ideal contém umproduto de ideais primos.

Demonstração: Sejam 𝐴 um anel de Dedekind então, por definição, 𝐴é um anel noetheriano. Considera-se F o conjuntos dos ideais de 𝐴 quenão contém um produto de ideais primos. Supondo que F = ∅. Dadoque 𝐴 é noetheriano, então F tem um elemento maximal 𝑀 . Tem-se que𝑀 não é um ideal maximal pois, caso contrário, 𝑀 seria ideal primo,logo 𝑀 /∈ F. Desta forma, existem 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴−𝑀 tal que 𝑥𝑦 ∈ 𝑀 . Vistoque 𝑀 ( ⟨𝑥⟩ +𝑀 e 𝑀 ( ⟨𝑦⟩ +𝑀 , assim ⟨𝑥⟩ +𝑀, ⟨𝑦⟩ +𝑀 /∈ F Assim,

𝑃1𝑃2...𝑃𝑛 ⊆ ⟨𝑥⟩ +𝑀 e 𝑄1𝑄2...𝑄𝑛 ⊆ ⟨𝑦⟩ +𝑀,

onde 𝑃𝑖, 𝑄𝑗 são ideais primos de 𝐴, e

(𝑃1𝑃2...𝑃𝑛)(𝑄1𝑄2...𝑄𝑛) ⊆ (⟨𝑥⟩ +𝑀)(⟨𝑦⟩ +𝑀) ⊆ 𝑀,

o que é uma contradição. Portanto, 𝐹 = ∅.

Da Proposição 5.3 conclui-se facilmente que num anel de De-dekind, todo ideal não nulo contém um produto de ideais primos nãonulos.

Teorema 5.1. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind, 𝐾 seu corpo de frações,𝐿 uma extensão finita de 𝐾 de grau 𝑛 e 𝐼𝐿(𝐴) o anel dos inteiros de𝐿 sobre 𝐴. Então 𝐼𝐿(𝐴) é um anel de Dedekind.

Demonstração: Pelo Exemplo (3.2) e pela Proposição (4.5), 𝐼𝐿(𝐴)é integralmente fechado e noetheriano, respectivamente. Resta mostrarque todo ideal primo não nulo de 𝐼𝐿(𝐴) é maximal. Seja 𝑃 ⊂ 𝐼𝐿(𝐴) um

123

ideal primo não nulo. Como 𝐴 ⊂ 𝐼𝐿(𝐴), pela Proposição (5.2), tem-seque 𝑃 ∩𝐴 é um ideal primo de 𝐴. Primeiro, é preciso provar que 𝑃 ∩𝐴é não nulo. Seja 𝛼 ∈ 𝑃 com 𝛼 = 0, então 𝛼 ∈ 𝐼𝐿(𝐴) . Assim, existem𝑎1, ..., 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, não todos nulos, tais que,

𝛼𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑎0 = 0

e que 𝑛 seja o menor expoente possível. Logo, 𝑎0 = 0. Caso contrário,a equação seria de grau menor do que 𝑛. Assim,

𝑎0 = 𝛼(−𝛼𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−2 − · · · − 𝑎1) ∈ 𝛼𝐼𝐿(𝐴) ∩𝐴 ⊂ 𝑃 ∩𝐴.

Logo, 𝑃 ∩𝐴 = {0}. Uma vez que 𝑃 ∩𝐴 é ideal primo de 𝐴 e 𝐴 é anel deDedekind, então 𝑃 ∩𝐴 é um ideal maximal de 𝐴 e, portanto, 𝐴

𝑃 ∩𝐴é

corpo. Agora, considera-se a aplicação 𝜌 = 𝜋 ∘ 𝑖 tal que 𝑖 : 𝐴 −→ 𝐼𝐿(𝐴)

é a inclusão e 𝜋 : 𝐼𝐿(𝐴) −→ 𝐼𝐿(𝐴)𝑃

a projeção. Então, pelo Teoremados Isomorfismos,

𝐴

𝑃 ∩𝐴≃ 𝐼𝑚(𝜌) ⊂ 𝐼𝐿(𝐴)

𝑃

Mas 𝐼𝐿(𝐴) é inteiro sobre 𝐴, então 𝐼𝐿(𝐴)𝑃

é inteiro sobre 𝐴

𝑃 ∩𝐴e, pela

Proposição (3.2), 𝐼𝐿(𝐴)𝑃

é um corpo. Portanto, p é ideal maximal.

Definição 5.3. Sejam 𝐴 um domínio de integridade e 𝐾 seu corpode frações. Um ideal fracionário de 𝐴 é um conjunto 𝐹 ⊆ 𝐾 quesatisfaz as seguintes propriedades:

(i) se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 , então 𝑥+ 𝑦 ∈ 𝐹 ;

(ii) se 𝑥 ∈ 𝐹 e 𝑎 ∈ 𝐴, então 𝑎𝑥 ∈ 𝐹 ;

(iii) existe 𝑑 ∈ 𝐴− {0} tal que 𝑑𝐹 ⊂ 𝐴.

Isto é, um ideal fracionário 𝐹 é um 𝐴-submódulo de 𝐾, tal que existe𝑑 ∈ 𝐴− {0} e 𝑑𝐹 ⊂ 𝐴.


Observação 5.3. Os ideais usuais de𝐴 são ideais fracionários, considerando-se 𝑑 = 1.

Exemplo 5.2. Os ideais fracionários de Z são da forma 𝑟Z, onde 𝑟 ∈ Q.

Definição 5.4. Sejam 𝐴 um domínio, 𝐾 seu corpo de frações, e 𝑄,𝑅 ⊆𝐴 são ideais fracionários. Diz-se que 𝑄 divide 𝑅 se existe um idealinteiro 𝐻 de 𝐴 tal que 𝑅 = 𝑄𝐻.

Proposição 5.4. Se 𝐴 é um anel de Dedekind, então todo ideal fraci-onário de 𝐴 é um 𝐴-módulo finitamente gerado.

Demonstração: Seja 𝐹 um ideal fracionário de 𝐴. Então, existe 𝑑 ∈𝐴−{0} tal que 𝑑𝐹 ⊆ 𝐴. Se 𝑥 ∈ 𝑑𝐹 , então existe 𝑡 ∈ 𝐹 tal que 𝑥 = 𝑑𝑡 e,assim, 𝑡 = 𝑑−1𝑥 ∈ 𝑑−1𝐴 e, portanto, 𝐹 ⊆ 𝑑−1𝐴. Considere a aplicação

𝜌 : 𝐴 −→ 𝑑−1𝐴

𝑥 ↦−→ 𝑑−1𝑥.

A aplicação 𝜌 é um isomorfismo, pois para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, têm-seque

𝜌(𝑥+ 𝑦) = 𝑑−1(𝑥+ 𝑦) = 𝑑−1𝑥+ 𝑑−1𝑦 = 𝜌(𝑥) + 𝜌(𝑦) e

𝜌(𝑥𝑦) = 𝑑−1𝑥𝑦 = 𝑥𝑑−1𝑦 = 𝑥𝜌(𝑦),

uma vez que, pelo Exemplo (2.14), 𝑑−1𝐴 é 𝐴-submódulo, e para todoelemento 𝑦 ∈ 𝑑−1𝐴 existe um 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑑−1𝑥. Então, 𝐴 éisomorfo a 𝑑−1𝐴. Como 𝐴 é anel de Dedekind e, assim, noetheriano,então 𝑑−1𝐴 é noetheriano, donde 𝑑−1𝐴 é finitamente gerado. Portanto,𝐼 ⊆ 𝑑−1𝐴 é um 𝐴-módulo finitamente gerado.

Lema 5.3. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind que não é corpo, 𝐾 seucorpo de frações e 𝐽 um ideal maximal de 𝐴. Então o conjunto

𝑁 = {𝑥 ∈ 𝐾 : 𝑥𝐽 ⊂ 𝐴}

é um ideal fracionário de 𝐴.

125

Demonstração: Primeiramente, como 𝐴 não é corpo, então 𝐽 = {0},ou seja, existe 𝑑 ∈ 𝐽 , com 𝑑 = 0. Agora, sejam 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝐾 :𝑥𝐽 ⊂ 𝐴} e 𝑎 ∈ 𝐴, então, 𝑦𝑠, 𝑧𝑡 ∈ 𝐴, para todo 𝑠, 𝑡 ∈ 𝐽 . Desse modo, se𝑟 ∈ 𝐽 , tem-se que

∙ (𝑦 + 𝑧)𝑟 = 𝑦𝑟 + 𝑧𝑟 ∈ 𝐴, donde 𝑦 + 𝑧 ∈ 𝑁 ;

∙ (𝑎𝑦)𝑟 = 𝑦(𝑎𝑟) ∈ 𝐴, pois 𝐽 é ideal e, assim, 𝑎𝑟 ∈ 𝐽 . Logo, 𝑎𝑦 ∈ 𝑁

e

∙ se 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥𝐽 = 𝐽 ⊂ 𝐴 e, assim, 𝐴 ⊂ 𝑁 . Pela definição de𝑁 , tem-se que 𝑑𝑁 ⊆ 𝐴, para todo 𝑑 ∈ 𝐽 ⊆ 𝐴.

Portanto, 𝑁 é um ideal fracionário de 𝐴.

Proposição 5.5. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind que não é corpo e 𝐾seu corpo de frações. Então, todo ideal maximal 𝑀 de 𝐴 é inversível.

Demonstração: Considere o ideal fracionário 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝐾 : 𝑥𝑀 ⊂𝐴}. Deseja-se mostrar que 𝑁𝑀 = 𝐴. A inclusão 𝑁𝑀 ⊂ 𝐴 já tem-se,pela própria definição de 𝑁 . Por outro lado, 𝐴 ⊂ 𝑁 , pois 𝑀 é ideal de𝐴. Logo, 𝑀 = 𝑀𝐴 ⊂ 𝑀𝑁 ⊂ 𝐴. Mas, 𝑀 é maximal, então 𝑀 = 𝑁𝑀

ou 𝑁𝑀 = 𝐴. Supondo, primeiramente que 𝑀 = 𝑁𝑀 e considerando𝛼 ∈ 𝑁 , tem-se que 𝛼𝑀 ⊂ 𝑀 , 𝛼2𝑀 ⊂ 𝛼𝑀 ⊂ 𝑀 , donde 𝛼𝑛𝑀 ⊂ 𝑀 ,para todo 𝑛 ∈ N. Assim, seja 𝑑 ∈ 𝑀 , com 𝑑 = 0, então 𝑑𝛼𝑛 ∈ 𝛼𝑀 ⊆ 𝐴,para todo 𝑛 ∈ N. Logo, 𝐴[𝛼] =

{∑𝑎𝑖𝛼

𝑖 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐴}

é ideal fracionáriode 𝐴. Então, como 𝐴 é noetheriano, segue pela Proposição (5.4) que𝐴[𝛼] é um 𝐴-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema (3.1), 𝛼 é inteirosobre 𝐴. Como 𝐴 é integralmente fechado, 𝛼 ∈ 𝐴. Logo, 𝑁 ⊂ 𝐴 e como𝐴 ⊂ 𝑁 , então 𝑁 = 𝐴. Agora, seja 𝑎 ∈ 𝑀 . Pela Proposição (5.3),

⟨𝑎⟩ = ⟨𝑎⟩ ⊃ 𝑃1𝑃2...𝑃𝑛,

onde os 𝑃1, ..., 𝑃𝑛 são ideais primos não nulos de 𝐴, e 𝑛 é o menor valorpossível. Assim, 𝑀 ⊃ ⟨𝑎⟩ ⊃ 𝑃1𝑃2...𝑃𝑛. Pelo Lema (5.2), 𝑀 contém umdos 𝑃𝑖, para algum 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Sem perda de generalidade, afirma-se que


𝑖 = 1, ou seja, 𝑀 ⊃ 𝑃1. Uma vez que 𝐴 é anel de Dedekind, 𝑀 = 𝑃1,pois 𝑃1 é ideal maximal. Então, considerando agora 𝑃 = 𝑃2...𝑃𝑛, tem-se que ⟨𝑎⟩ ⊃ 𝑀𝑃 , onde 𝑃 não está contido em ⟨𝑎⟩, pela minimalidadede 𝑛. Logo, existe 𝑏 ∈ 𝑃 e 𝑏 /∈ ⟨𝑎⟩ tal que 𝑀𝑏 ⊂ ⟨𝑎⟩. Assim, 𝑏

𝑎𝑀 ⊆ 𝐴,

de forma que 𝑏

𝑎∈ 𝑁 . Uma vez que 𝑏 /∈ ⟨𝑎⟩ tem-se que 𝑏

𝑎/∈ 𝐴, ou seja,

𝑁 = 𝐴. Portanto, 𝑀𝑁 = 𝐴.

Conclui-se que todo ideal 𝑀 maximal de 𝐴 de um anel deDedekind é inversível e seu inverso é o ideal fracionário 𝑀−1 = {𝑥 ∈𝐾 : 𝑥𝑀 ⊂ 𝐴}. Isto é, 𝑀𝑀−1 = 𝐴.

Lema 5.4. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind, 𝐾 seu corpo de frações e𝐿 uma extensão de 𝐾. Sejam 𝑄,𝑅 ideais maximais de 𝐼𝐿(𝐴). Então𝑅 ⊆ 𝑄 se, e somente se, 𝑄 divide 𝑅.

Demonstração: Se 𝑄 divide 𝑅, então existe um ideal 𝐻 ⊆ 𝐼𝐿(𝐴) talque 𝑅 = 𝑄𝐻 ⊆ 𝑄. Seja 𝑥 ∈ 𝑅 = 𝑄𝐻 daí, existem 𝑞 ∈ 𝑄 e ℎ ∈ 𝐻, taisque 𝑥 = 𝑞ℎ ∈ 𝑄. Como 𝑄 é um ideal, segue que 𝑥 ∈ 𝑄 e 𝑅 ⊂ 𝑄.

Reciprocamente, se 𝑅 ⊆ 𝑄, então 𝑅𝑄−1 ⊆ 𝑄𝑄−1 = 𝐴. Assim, 𝑅𝑄−1

é ideal inteiro tal que (𝑅𝑄−1)𝑄 = 𝑅. Portanto, 𝑄 divide 𝑅.

Teorema 5.2. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind. Então todo ideal 𝐼 nãonulo de 𝐴 é um produto de ideais primos de 𝐴, ou seja,

𝐼 =𝑛∏

𝑖=1𝑃 𝑒𝑖

𝑖 ,

onde 𝑃1, ..., 𝑃𝑛 são ideais primos de 𝐴 e 𝑒1, ..., 𝑒𝑛 são inteiros positivos.

Demonstração: Seja F a família dos ideais de 𝐴, não nulos, e que nãoresultam dum produto de ideais primos de 𝐴. Supondo que F = ∅. Por𝐴 ser noetheriano, F possui elemento maximal 𝑀 , com 𝑀 = 𝐴, pois 𝐴é o produto da coleção vazia de ideais primos. Logo, 𝑀 ⊆ 𝑃 , com 𝑃

é ideal maximal de 𝐴. Pelo Lema (5.3), 𝑇 = {𝑥 ∈ 𝐾 : 𝑥𝑃 ⊂ 𝐴} é talque 𝑃𝑇 = 𝐴. Dado que 𝑀 ⊆ 𝑃 , então 𝑀𝑇 ⊆ 𝑃𝑇 = 𝐴. Por outro lado,𝑀 = 𝑀𝐴 ⊂ 𝑀𝑇 ⊂ 𝐴, pois 𝐴 ⊂ 𝑇 . Assim 𝑀 ( 𝑀𝑇 , uma vez que se

127

𝑀 = 𝑀𝐴 e se 𝛼 ∈ 𝑇 , tem-se que 𝛼𝑀 ⊂ 𝑀 , 𝛼2𝑀 ⊂ 𝛼𝑀 ⊂ 𝑀 e, assim,𝛼𝑛𝑀 ⊂ 𝑀 , para todo 𝑛 ∈ 𝑁 . Logo, se 𝑑 ∈ 𝑀 − {0}, então 𝑑𝛼𝑛 ∈ 𝑀 ⊆𝐴. Assim, 𝐴[𝛼] é ideal fracionário de 𝐴. 𝐴 é noetheriano, então, pelaProposição (5.4), 𝐴[𝛼] é 𝐴-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema(3.1), tem-se que 𝛼 é inteiro sobre 𝐴, que é integralmente fechado,donde 𝛼 ∈ 𝐴. Assim, 𝑇 ⊂ 𝐴 e 𝑇 = 𝐴. Mas isso é uma contradição,porque se 𝑇 = 𝐴, então 𝑃 = 𝑃𝐴 = 𝑃𝑇 = 𝐴, e 𝑃 é um ideal primo.Pela maximalidade de 𝑀 e pela relação 𝑀 ⊆ 𝑀𝑇 , 𝑀𝑇 /∈ T, ou seja,𝑀𝑇 = 𝑃1...𝑃𝑛, onde 𝑃1, ..., 𝑃𝑛 são ideais primos de 𝐴. Multiplicandopor 𝑃 em ambos os lados da equação, tem-se que 𝑀 = 𝑃1...𝑃𝑛𝑃 , e istoé uma contradição, visto que 𝑀 ∈ F. Portanto, F = ∅.

Proposição 5.6. Seja 𝐼 um ideal não nulo de 𝐴, então 𝐼 é expressocomo o produto de ideais primos não nulos de forma única.

Demonstração: Seja 𝐼 um ideal não nulo de 𝐼𝐾(𝐴). Suponha-se queexistam 𝑃1, . . . , 𝑃𝑚, 𝑄1, . . . , 𝑄𝑛 ideais primos de 𝐼𝐾(𝐴) tais que

𝑃1 · · ·𝑃𝑚 = 𝑄1 · · ·𝑄𝑛. (5.1)

A demonstração será por indução finita sobre o número natural nãonulo 𝑚. É importante lembrar que em u anel de Dedekind um idealnão nulo 𝐽 é primo se, e somente se, é maximal.Para 𝑚 = 1 tem-se

𝑃1 = 𝑄1 · · ·𝑄𝑛.

Então, pelo Lema(5.1), para algum 𝑖, 𝑄𝑖 ⊂ 𝑃1. Como 𝑄𝑖 é maximal,segue que 𝑃1 = 𝑄𝑗 , para algum 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. Pode-se supor, sem perda degeneralidade, que 𝑗 = 1. Então, 𝑄1 = 𝑄1 · · ·Q𝑛, portanto, 𝑛 = 1 = 𝑚.Agora, considera-se como hipótese de indução que para algum 𝑚 > 1tem-se

𝑃1, · · ·𝑃𝑚−1 = 𝑄1 · · ·𝑄𝑚−1

e 𝑃𝑖 = 𝑄𝑖, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1. Da equação (5.1), resulta que𝑃1, . . . , 𝑃𝑚 · · ·𝑄1, logo, de acordo com o Lema (5.1), 𝑃𝑖 ⊆ 𝑄𝑖, pois


𝑃𝑖 é maximal. Sem perda de generalidade, suponha que 𝑖 = 1 e, então

𝑃1 · · ·𝑃𝑚 = 𝑃1𝑄2 · · ·𝑄𝑛

𝑃−11 𝑃1 · · ·𝑃𝑚 = 𝑃−1

1 𝑄1 · · ·𝑄𝑛

𝑃2 · · ·𝑃𝑚 = 𝑄2 · · ·𝑄𝑛.

Portanto, pela hipótese de indução, tem-se 𝑛−1 = 𝑚−1 e 𝑃𝑖 = 𝑄𝑖, para1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Em resumo, tem-se que 𝑚− 𝑛 e 𝑃𝑖 = 𝑄𝑖, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Corolário 5.1. Sejam 𝐴 um anel de Dedekind, então todo ideal fraci-onário 𝐹 não nulo de 𝐴 é um produto de ideais primos de 𝐴, de modoúnico.

Demonstração: Seja 𝐹 um ideal fracionário de 𝐴, então existe 𝑑 ∈𝐴 − {0} tal que 𝑑𝐹 ⊆ 𝐴. Tem-se que 𝐹 = (𝑑𝐹 )(𝑑−1𝐴) é produto deideais de 𝐴, então pelo Teorema (5.2) 𝐹 é, de forma única, o produtode ideais primos de 𝐴.

Teorema 5.3. Seja 𝐴 um anel de Dedekind. Então, 𝐴 é fatorial se, esomente se, A é principal

Demonstração: Na proposição (2.7) provou-se que todo anel prin-cipal é fatorial. Agora, Considera-se que 𝐴 é um anel fatorial. Sejam𝑃 um ideal primo de 𝐴 e 𝛼 ∈ 𝐴, com 𝛼 = 0 então, existem elementosirredutíveis 𝑝1,≤, 𝑝𝑛 ∈ 𝐴 tais que 𝛼 = 𝑝1 · · · 𝑝𝑛. Como 𝑃 é ideal primo,então

𝑝1 · · · 𝑝𝑛 ∈ 𝑃,

segue que 𝑝𝑖 ∈ 𝑃 , para algum 𝑖. Além disso, ⟨𝑝𝑖⟩ ⊆ 𝑃 . Como 𝑝𝑖 éirredutível e, portanto, primo, tem-se pelo Lema (5.1) que ⟨𝑝𝑖⟩ é umideal maximal, e assim, ⟨𝑝𝑖⟩ = 𝑟, ou seja, 𝑃 é um ideal principal. Se𝐽 é um ideal próprio de 𝐼𝐾(𝐴), pelo Teorema (5.6), existem ideaisprimos 𝑃1, . . . , 𝑃𝑚 tais que 𝐼 = 𝑃1, · · · , 𝑃𝑚. Como cada 𝑃𝑖 é principal,conclui-se que 𝐼 é também principal.

129

CONCLUSÃO

Ao cursar uma graduação, é iniciada a aprendizagem em umaárea de estudo. Essa iniciação, contudo, dá apenas uma noção geraldas muitas ramificações da área de conhecimento. Muitos dos gradua-dos, ao formarem-se, engajam-se em uma carreira, uma profissão parapor em prática sua formação. Outros, porém, preferem aprofundar seusconhecimentos em um dos ramos da área escolhida para cursar. A Ma-temática, possui vários ramos em que se pode especializar-se, sendo aÁlgebra um deles.

Assim, a fim de aprofundar os conhecimentos em Álgebra, foirealizado esse trabalho. Durante a concretização deste, foi possível en-tender como se dá a construção de algumas das estruturas algébricasconhecidas hoje. O conhecimento histórico, inclusive, de como se deuesta construção é bastante relevante, uma vez que tal entendimentopossibilita novos questionamentos, e por consequência, a construção demais estruturas.

A partir da problemática que surgiu na história da Matemá-tica, buscou-se as respostas, mas essas necessitavam de pré-requisitos.Assim, apresentam-se os conceitos preliminares. Porém, apesar dessesterem surgido inicialmente com o objetivo de entender os conceitos maiselaborados que deles necessitam, foi um capítulo de complexa estrutu-ração. Nem todas as propriedades dos conceitos vistos no Capítulo 2foram exploradas, pois estas são muitas, mas o breve vislumbre das es-truturas encontradas no referido capítulo, mostra como pode-se de umaestrutura, ir para casos particulares, como acontece em anéis fatoriais.Ou ainda, como é possível expandir um anel qualquer a uma estruturade polinômios.

Da mesma forma que acontece com os anéis de polinômios,

130 Conclusão

outras estruturas como módulo, extensões algébricas, anel de inteiros,corpos quadráticos e muitas outras que não foram exploradas nestetrabalho, utilizam de estruturas mais simples para sua construção. Sãocaracterísticas que fazem da Álgebra um campo de estudos ainda maisinteressante, pois suas possibilidades são inúmeras.

Assim concluí-se, como dito anteriormente, que a graduaçãodá apenas uma base para sua área de estudo e, portanto, conhecerÁlgebra em sua amplitude atual requer o conhecimento de conceitosalém dos estudados durante a graduação e além dos expostos aqui.Sendo a Álgebra uma área que, ao que tudo indica, tende sempre acrescer, a ter mais a se saber, novas estruturas a se construir, o estudorealizado abre portas para um aprofundamento futuro, como normade ideais, anel de frações, corpos ciclotômicos, ramificações de ideais,reticulados, e muitos outros.

REFERÊNCIAS

BENEDITO, Cintya W. de Oliveira. Famílias de Reticulados Algé-bricos e Reticulados Ideais. 2006. Dissertação (Mestrado) - UNESP,São José do Rio Preto, 2010.

BOLLAUF, Maiara F. Contribuições de Galois para a soluçãodos problemas clássicos da Geometria. 2012. Monografia (Gradu-ação) - UDESC, Joinville, 2012.

DEAN,Richard A. Elementos de Álgebra Abstrata. 1a. ed. Rio deJaneiro: Livros Técnicos Científicos, 1974.

DOMINGUES, Hygino H. Álgebra Moderna. 4a. ed. São Paulo:Atual, 2003.

GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Ins-tituto de Matematica Pura e Aplicada, 1999.

ENDLER, Otto. Teoria dos Corpos. Rio de Janeiro: Instituto de Ma-temática Pura e Aplicada, 2012.

MAZUCCHI, Elen C. Reticulados Numéricos. 2006. Dissertação(Mestrado) - UNESP, São José do Rio Preto, 2006.

PERES, Marcelo R. Troglia. Um Tópico em Teoria de Módulos:Módulos Projetivos e Injetivos. 2007. Monografia (Graduação) - UFSC,Florianópolis, 2007.

QUILLES, Cátia R. de Oliveira. Discriminante de Corpos de Nú-meros. 2006. Dissertação (Mestrado) - UNESP, São José do Rio Preto,2006.

SAMUEL, Pierre. Algebraic Theory of Numbers. 1a. ed. Paris: Do-ver Publications, 1967.

STEWART, Ian; TALL, David. Algebraic Number Theory andFermat’s Last Theorem. 3a. ed. Massachussets: A K Peters, 1973.

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