Título do slide 1 EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO

Título do slide

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EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO

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Vimos que a avaliação quanto a significância estatística dos efeitos principais e interações pode ser feita pela análise de variância (ANOVA).

Restrição: Na ANOVA necessitamos que o número de repetições (ou réplicas) seja maior do que um (r >1), o que nem sempre ocorre num planejamento fatorial. Com apenas uma réplica não sobram graus de liberdade para estimar σ2.

Procedimentos de análise: Estimar σ2 com base em interações de ordem alta; Usar procedimentos gráficos para identificar possíveis efeitos ativos. Efeito ativo equivale a efeito do fator diferente de zero.

Quando não há réplicas, ainda assim e possível realizar a análise dos efeitos, através de procedimentos que identifiquem efeitos inativos, e assim considerá-los no resíduo.

EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO

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I - Diagrama de Pareto

Ferramenta qualitativa útil para a identificação visual de efeitos importantes em experimentos fatoriais com fatores em 2 níveis e 1 réplica. Ele mostra a porcentagem (%) da SQT que está associada a cada efeito estimado no modelo fatorial completo. Uma porcentagem alta dá indícios de fator ativo.

Gráficos de Pareto apresentam, por meio de barras, as contribuições em % à SQT em ordem decrescente, por barras e ao mesmo tempo são marcadas as % acumuladas.

Este método é fácil e rápido, mas pode conduzir a decisões erradas, já que nem sempre é conclusivo, dado que é uma ferramenta descritiva


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FATORES

EFE

ITO

S

(%)

22.5

15

4.53.5

21 0.5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

4 2 1 12 14 3 OUTROS

Interpretação:

Efeitos que contribuem com pequena porcentagem, podem ser considerados inativos e colocados no resíduo.

Diagrama de Pareto


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II – Dot Plot ou gráfico de pontos

O dot plot mostra as estimativas dos efeitos que são possíveis “outliers”ou valores discrepantes.

Como o objetivo é detectar efeitos nulos ou inativos no experimento, estimativas de fatores inativos tendem a se concentrar, no dot plot, próximo ao “zero”, que é o centro da distribuição. Um grande desvio do centro da distribuição sugere que o fator seja ativo.

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III - Papel de Probabilidade Normal (PPN)

É um método também fácil e rápido e mais eficaz do que o de Pareto, embora possam ocorrer situações onde ele não seja conclusivo.

Etapas da construção:(a) ordenar os valores dos efeitos estimados em ordem crescente.(b) calcular a probabilidade associada a cada valor, através da fórmula:

sendo i = ordem (ou posto) do efeito (i =1, 2, ..., t ) t = total de efeitos (tratamentos) a serem marcados no gráfico.

Essa probabilidade é conhecida como função acumulada empírica.

(c) marcar os valores do respectivo Efeito x P no PPN (d) verificar os pontos que se afastam do “zero”.

%100)5,0(

t

iP


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EFEITOS

z

PR

OB

AB

ILID

AD

E

.01

.05

.15 .25 .35 .45 .55 .65 .75 .85

.95

.99

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

Interpretação:

Quanto mais próximo de zero, mais inativo é o correspondente efeito ou interação. Nos dois gráficos, os dois pontos à direita corresponderiam a efeitos ativos

Papel de Probabilidade Normal


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Exemplo:

Num processo químico, executou-se um experimento sem repetição, num total de 16 corridas. Foi medido o rendimento da operação (Y) em função da temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e vazão (D), cada um em dois níveis. Os resultados na tabela a seguir. Há algum fator ou interação significativo?

Exp. A B C D Y123456789

10111213141516

-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1-1-1-1-1+1+1+1+1

-1-1-1-1-1-1-1-1+1+1+1+1+1+1+1+1

71619082686187806150898359518578

Þ Experimento fatorial 24, sem réplicas


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Exp. A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Y1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 71,002 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 61,003 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 90,004 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 82,005 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 68,006 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 61,007 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 87,008 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 80,009 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 61,00

10 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 50,0011 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 89,0012 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 83,0013 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 59,0014 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 51,0015 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 85,0016 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 78,00

S"-"/8 76,25 60,25 73,38 75,00 71,75 71,88 72,25 72,88 70,00 72,13 72,63 72,00 72,38 72,63 72,38S"+"/8 68,25 84,25 71,13 69,50 72,75 72,63 72,25 71,63 74,50 72,38 71,88 72,50 72,13 71,88 72,13Efeito -8,00 24,00 -2,25 -5,50 1,00 0,75 0,00 -1,25 4,50 0,25 -0,75 0,50 -0,25 -0,75 -0,25

Exemplo: Tabela de contrastes


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i Fator Efeito P(%)1 A -8 3,32 D -5,5 10,03 C -2,25 16,74 BC -1,25 23,35 ABC -0,75 30,06 BCD -0,75 36,77 ACD -0,25 43,38 ABCD -0,25 50,09 AD 0 56,710 CD 0,25 63,311 ABD 0,5 70,012 AC 0,75 76,713 AB 1 83,314 BD 4,5 90,015 B 24 96,7

Exemplo:Tabela de efeitos ordenados

20100

1

0

-1

Efeito

zA

D

BD

B

A: AB: BC: CD: D


Interpretação: todos os efeitos de 3ª. ordem e o de 4ª. são inativos e seriam considerados como resíduos na ANOVA

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Nos experimentos vistos, o objetivo é identificar fatores que tem influência sobre a média da resposta. Entretanto, muitas vezes, o que se busca é uma combinação de fatores que minimize a variabilidade da resposta, ou seja, como devem ser ajustadas as diversas variáveis/fatores, de modo a reduzir a variação do produto ou processo. Isto também pode ser feito com o auxílio do papel de probabilidade normal (PPN), porém de um modo ligeiramente diferente daquele feito anteriormente:

REDUÇÃO DA VARIABILIDADE

• Realizar o experimento com pelo menos duas réplicas;• Calcular o desvio-padrão para cada experiência;• Calcular o logaritmo de cada desvio-padrão e considerar este como resposta

a ser analisada;• Calcular os efeitos principais e interações com os logaritmos dos desvios-

padrão e;• Analisar os resultados mediante o papel de probabilidade normal.

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Exemplo:

A pesagem de um certo tipo de produto tem apresentado variação excessiva, causando problemas à empresa no mercado, já que por diversas vezes esta foi multada. Desconfia-se que três fatores possam ser os responsáveis pela variação no peso: • balança (A): digital (-1) ou mecânica (+1)• turno (B): manhã (-1) ou tarde (+1)• embalagem (C): plástica (-1) ou metálica (+1)

O experimento foi feito com 3 repetições (r=3) e os resultados estão a seguir.


Exp. A B C AB AC BC ABC s12345678

-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1

+1-1-1+1+1-1-1+1

+1-1+1-1-1+1-1+1

+1+1-1-1-1-1+1+1

-1+1+1-1+1-1-1+1

1,082,021,181,510,502,851,161,83

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Exp. A B C AB AC BC ABC s log s12345678

-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1

+1-1-1+1+1-1-1+1

+1-1+1-1-1+1-1+1

+1+1-1-1-1-1+1+1

-1+1+1-1+1-1-1+1

1,082,021,181,510,502,851,161,83

0,03340,30540,01720,1790-0,30100,45480,06450,2625

S “-”/4 -0,05 0,12 0,13 0,21 0,06 0,09 0,18S “+”/4 0,30 0,13 0,12 0,05 0,19 0,17 0,07 efeito 0,35 0,01 -0,01 -0,17 0,13 0,08 -0,11

Calcular logaritmo dos desvios-padrão e completar as três últimas linhas:


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i Efeito P1234567

-0,17-0,11-0,010,010,080,130,35

7,1421,4335,7150,0064,2978,5792,86

Emprega-se o Papel de Probabilidade Normal (PPN) e, para tanto, é necessário antes ordenar os efeitos:

z

PR

OB

AB

ILID

AD

E

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

0,85

0,95

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0

0,5

1,0

1,5

2,0

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

A


O efeito associado ao fator A é o mais afastado de zero!!!

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EXERCÍCIOS

1) Os efeitos de sexo (fator A), gordura corporal, em % (fator B) e histórico de fumante (fator C) sobre a tolerância a exercícios foram estudados numa investigação em pequena escala com pessoas de 25 a 35 anos. A tolerância a exercícios foi medida, em minutos, até a fadiga enquanto um indivíduo estava pedalando uma bicicleta. Três indivíduos foram selecionados de cada grupo formado pelos cruzamentos dos níveis de cada fator e submetidos a um teste de “stress”.

Observe que cada fator tem 2 níveis: A – sexo: masc, fem

B – gordura corporal (%): baixa, alta

C – fumo: pouco, muito

Qual é a variável resposta?

Quantos tratamentos/experiências são possíveis?

Qual é o número total de observações?

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FUMO (C)

% GORDURA (B) SEXO (A) Pouco (-1) Muito (1)

Baixa (-1)

Masc (-1)24,129,224,6

17,618,823,2

Fem (1)20,021,917,6

14,810,311,3

Alta (1)

Masc (-1)14,615,312,3

14,920,412,8

Fem (1)16,19,310,8

10,114,46,1

EXERCÍCIO 1

Dados:

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Tabela de contrastes e estimativas dos efeitos:

EXERCÍCIO 1

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EXERCÍCIO 2

2) Uma empresa deseja caracterizar os efeitos da temperatura de processamento (fator A), de um agente antimicrobiano (fator B), do nível de umidade (fator C) e da acidez (fator D) sobre o crescimento de micróbios numa barra de frutas. O crescimento microbiano é avaliado por meio da contagem de micróbios numa amostra do produto, após 3 meses de estocagem. Os quatro fatores foram estudados nos seguintes níveis :

Fator Nível baixo (-1) Nível alto (1)

A - Temperatura de processo 152 178

B - Agente (conservante) 0,0 0,1

C - Umidade 0,65 0,85

D - Acidez 4,8 6,8

Variável resposta:

19

Dados:

EXERCÍCIO 2

A0 A1

B0 B1 B0 B1

D0

C0

(1)

5,55

(3)

5,19

(2)

4,47

(4)

5,32

C1

(5)

10,54

(7)

5,08

(6)

11,56

(8)

5,45

D1

C0

(9)

5,12

(11)

6,18

(10)

5,63

(12)

5,24

C1

(13)

10,73

(14)

6,53

(15)

11,33

(16)

4,93

Uma réplica por tratamento

Fatores:

A - Temperatura de processo

B - Agente (conservante)

C - Umidade

D - Acidez

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Tratamento Y Resp A B C D 1 y0000 5,55 -1 -1 -1 -1 2 y1000 4,47 1 -1 -1 -1 3 y0100 5,19 -1 1 -1 -1 4 y1100 5,32 1 1 -1 -1 5 y0010 10,54 -1 -1 1 -1 6 y1010 11,56 1 -1 1 -1 7 y0110 5,08 -1 1 1 -1 8 y1110 5,45 1 1 1 -1 9 y0001 5,12 -1 -1 -1 110 y1001 5,63 1 -1 -1 111 y0101 6,18 -1 1 -1 112 y1101 5,24 1 1 -1 113 y0011 10,73 -1 -1 1 114 y1011 10,33 1 -1 1 115 y0111 6,53 -1 1 1 116 y1111 4,93 1 1 1 1

Micróbios

Tabela de contrastes

EXERCÍCIO 2

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Trat Y Resp A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

1 y0000 5,55 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 2 y1000 4,47 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 3 y0100 5,19 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 4 y1100 5,32 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 5 y0010 10,54 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 6 y1010 11,56 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 7 y0110 5,08 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 8 y1110 5,45 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 9 y0001 5,12 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -110 y1001 5,63 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 111 y0101 6,18 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 112 y1101 5,24 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -113 y0011 10,73 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 114 y1011 10,33 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -115 y0111 6,53 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -116 y1111 4,93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Micróbios

EXERCÍCIO 2

Soma "-"/23

Soma "+"/23

Efeitos -0,2488 -2,5013 2,8063 0,1913 -0,2613 0,0963 -0,3588 -2,7913 0,2688 -0,2187 -0,2013 -0,4013 -0,4888 0,2238 0,2638

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Factorial Fit: Resp versus A; B; C; D

Estimated Effects and Coefficients for Resp (coded units)

Term Effect CoefConstant 6,741A -0,249 -0,124B -2,501 -1,251C 2,806 1,403D 0,191 0,096A*B -0,261 -0,131A*C 0,096 0,048A*D -0,359 -0,179B*C -2,791 -1,396B*D 0,269 0,134C*D -0,219 -0,109A*B*C -0,201 -0,101A*B*D -0,401 -0,201A*C*D -0,489 -0,244

Micróbios

MINITAB Stat DOE Factorial Analyze factorial design

EXERCÍCIO 2

Detectar possíveis interações inativas (ou nulas) para compor resíduo na ANOVA.

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Micróbios – Gráfico de Pareto

EXERCÍCIO 2

Estimativas dos efeitos B, C e BC são muito maiores do que as dos demais

24

EXERCÍCIO 2

Confirmando conclusão pelo gráfico de Pareto.

Micróbios - PPN

25

Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F

Fator A 1 SQA =22 r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr

Fator B 1 SQB=22r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr

Fator C 1 SQC=22r(efeito C)2 QMC= SQC =SC2 FC=QMC/QMEr

Fator D 1 SQD=22r(efeito D)2 QMD= SQD=SD2 FD=QMD/QMEr

Interação AxB 1 SQAB= 22r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr

Interação AxC 1 SQAC= 22r(efeito AC)2 QMAC= SQAC =SAC2 FAC=QMAC/QMEr

Interação AxD 1 SQAD= 22r(efeito AD)2 QMAD= SQAD =SAD2 FAD=QMAD/QMEr

Interação BxC 1 SQBC= 22r(efeito BC)2 QMBC= SQBC =SBC2 FBC=QMBC/QMEr

Interação BxD 1 SQBD= 22r(efeito BD)2 QMBD= SQBD=SBD2 FBD=QMBD/QMEr

Interação CxD 1 SQCD= 22r(efeito CD)2 QMCD= SQCD =SCD2 FCD=QMCD/QMEr

Erro 7 SQEr QMEr = SQEr/7= SE2

Total 15 SQT

Micróbios - Tabela de ANOVA

estimativa de 2

EXERCÍCIO 2

Título do slide

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F1 F2 F3

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